3.4. EL TEOREMA DE TAYLOR. EXTREMOS RELATIVOS 103

3.4 El Teorema de Taylor. Extremos relativosLa derivación está directamente relacionada con la posibilidad de aproximarlocalmente funciones suficientemente regulares mediante funciones más sencillas.Sea f : A → R una función real de variable real. B el conjunto de puntos

de A∩A0 en los que f es derivable y x0 ∈ B ∩B0, decimos que f es dos vecesderivable en el punto x0 si la función f 0 es derivable en dicho punto. En estecaso, la derivada de f 0 en x0 recibe el nombre de derivada segunda de f en elpunto x0 y se denota por f 00(x0). La función que a cada punto de B ∩B0 en elque f sea dos veces derivable le hace corresponder la derivada segunda de f ental punto se denomina función derivada segunda de f y se denota por f 00.Reiterando esta definición por recurrencia se introducen las derivadas de ordensuperior, obteniendo la derivada n-ésima de f en el punto x0, que dentamospor f (n)(x0).Cualquiera que sea α ∈ R, puede comprobarse fácilmente por inducción que

f + g, αf y fg son n veces derivables en todo punto de A con

(f + g)(n)(x) = f (n)(x) + g(n)(x),

(αf)(n)(x) = αf (n)(x),

(fg)(n)(x) =nXk=0

µn

k

¶f (n−k)(x)g(k)(x),

para todo x ∈ A. La anterior expresión para la derivada n-ésima de un productose conoce como Fórmula de Leibnitz. Si además g(x) 6= 0, para todo x ∈ A, lafunción f

g también es n veces derivable en todo punto de A y su derivada n-ésimaes de la forma ϕ

g2n, donde ϕ es una función que puede expresarse mediante sumas,

diferencias y productos de las funciones f, f 0, ..., f (n) y g, g0, ..., g(n). Además, lacomposición de funciones n veces derivables es una función n veces derivable.Sea I es un intervalo no reducido a un punto, f : I → R una función y n un

natural. Diremos que f es de clase Cn en I si f es n veces derivable en todopunto de I y la función derivada n-ésima de f, f (n) : I → R, es continua enI. Denotaremos por Cn(I) el conjunto de las funciones de clase Cn en I. Quef sea de clase C0 en I significará simplemente que f es continua en I. C0(I)denotará el conjunto de las funciones continuas en I. Finalmente, diremos quef es de clase C∞ en I si f es de clase Cn en I, para todo n ∈ N. El conjuntode las funciones de clase C∞ en I se denota por C∞(I).Es claro que C∞(I) ⊂ Cn+1(I) ⊂ Cn(I) ⊂ C0(I), para todo n ∈ N. Además,

puede comprobarse que todas las inclusiones son estrictas.Por otra parte, las sumas, productos, cocientes y composiciones de funciones

de clase Cn (donde n puede ser un natural o ∞) son también funciones declase Cn. En particular, toda función racional (luego también toda funciónpolinómica) en I pertenece a C∞(I).

Proposición 3.19 Sea I un intervalo no reducido a un punto, n un naturalmayor o igual que 2 y f, g : I → R funciones n − 1 veces derivables en I y n

104 TEMA 3. DERIVABILIDAD

veces derivables en un punto x0 ∈ I. Entonces limx→x0 f(x)−g(x)(x−x0)n = 0 si, y sólo

si, f(x0) = g(x0), f 0(x0) = g0(x0), ... , f (n)(x0) = g(n)(x0).

Si f : I → R es una función derivable en un punto x0 ∈ I, sabemos que existeuna única función afín g : R→ R tal que limx→x0

f(x)−g(x)x−x0 = 0. Concretamente

g viene dada por g(x) = f(x0) + f 0(x0)(x− x0), para todo x ∈ R. Si f verificalas hipótesis de la proposición anterior, es decir, si f es n− 1 veces derivable enI y n veces derivable en el punto x0 (con n ≥ 2), no cabe esperar que la funciónafín g verifique la condición limx→x0

f(x)−g(x)(x−x0)n = 0. De hecho, no la verifica si

una de las derivadas f 00(x0), ..., f (n)(x0) es distinta de cero, lo que puede ocurrirperfectamente. Sin embargo, es natural preguntarse si existe alguna funciónpolinómica P : R → R tal que limx→x0

f(x)−P (x)(x−x0)n = 0, o equivalentemente, tal

que f(x0) = P (x0), f 0(x0) = P 0(x0), ... , f (n)(x0) = P (n)(x0). La respuesta esafirmativa ya que la función P : R→ R dada por

P (x) = f(x0)+f0(x0)(x−x0)+f

00(x0)2!

(x−x0)2+· · ·+f(n)(x0)

n!(x−x0)n, ∀x ∈ R,

verifica claramente las condiciones pedidas. Además, P es de hecho la únicafunción polinómica de grado menor o igual que n que cumple tales condiciones(pues las funciones polinómicas de grado menor o igual que n quedan determi-nadas por su valor en un punto arbitrario x0 y el valor de las derivadas sucesivashasta la n-ésima en tal punto). Así pues:

Definición 3.20 Sea n un natural y f : A → R una función real de variablereal n veces derivable en un punto x0 ∈ A. La función polinómica Pn : R → Rdefinida por

Pn(x) = f(x0) + f0(x0)(x− x0) + f

00(x0)2!

(x− x0)2 + · · ·+ f(n)(x0)

n!(x− x0)n,

para todo x ∈ R, recibe el nombre de polinomio de Taylor de orden n de f enel punto x0. Además, la función Rn : A→ R dada por Rn(x) = f(x)− Pn(x),para todo x ∈ A, se denomina resto de Taylor de orden n de f en el puntox0.

Ejemplo 3.21 Obtenemos y representamos gráficamente los polinomios de Tay-lor de la función f(x) = cosx, centrados en el punto x0 = 0 y de orden 1, 2, ..., 10,

3.4. El Teorema de Taylor. Extremos relativos 105

junto con la función cosx. Los polinomios de Taylor son

P1(x) = 1

P2(x) = 1− x2

2

P3(x) = 1− x2

2

P4(x) = 1− x2

2 +x4

24

P5(x) = 1− x2

2 +x4

24

P6(x) = 1− x2

2 +x4

24 − x6

720

P7(x) = 1− x2

2 +x4

24 − x6

720

P8(x) = 1− x2

2 +x4

24 − x6

720 +x8

40320

P9(x) = 1− x2

2 +x4

24 − x6

720 +x8

40320

P10(x) = 1− x2

2 +x4

24 − x6

720 +x8

40320 − x10

3628800

Gráficamente:

A medida que aumenta el grado del polinomio de Taylor mejor es la aproxi-mación obtenida, de hecho, bajo ciertas condiciones, el polinomio de Taylor deorden n nos proporciona una aproximación de f en un entorno del punto x0 quees tanto más perfecta cuanto mayor sea el natural n. Concretamente, tenemoslo siguiente:

Corolario 3.22 Sea I un intervalo no reducido a un punto, n un natural mayoro igual que 2 y f : I → R una función n − 1 veces derivables en I y n vecesderivables en un punto x0 ∈ I. Sea además Pn el polinomio de Taylor de ordenn de f en el punto x0. Entonces limx→x0

f(x)−Pn(x)(x−x0)n = 0.

Como consecuencia inmediata de este resultado puede probarse el siguientecriterio de utilidad para el estudio de extremos relativos.

Corolario 3.23 (Criterio de clasificación de extremos relativos). SeaI un intervalo no reducido a un punto, n un natural mayor o igual que 2 yf : I → R una función n − 1 veces derivable en I y n veces derivable en unpunto x0 ∈ I. Supongamos que I es un entorno de x0 y que

f 0(x0) = f 00(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0 , f (n)(x0) 6= 0.

106 TEMA 3. DERIVABILIDAD

Entonces:

i) Si n es par y f (n)(x0) < 0, la función f alcanza un máximo relativo estrictoen el punto x0.

ii) Si n es par y f (n)(x0) > 0, la función f alcanza un mínimo relativo estrictoen el punto x0.

iii) Si n es impar, la función f no alcanza un extremo relativo en el punto x0.

El criterio anterior, para el caso n = 2, se conoce como Criterio de la 2a

derivada.

Ejercicio 3.24 Comprueba que la función f(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1presenta en x = 1 un mínimo relativo.

El resultado principal del presente apartado, que enunciamos a continuación,nos proporciona, bajo condiciones un poco más exigentes que las del Corolario3.22, una expresión del resto de Taylor de orden n de f en el punto x0, lo quenos permitirá a menudo controlar el error que se comete al sustituir la funciónf por su polinomio de Taylor.

Teorema 3.25 (Fórmula de Taylor). Sea I un intervalo no reducido a unpunto, n un natural y f : I → R una función de clase Cn en I y n + 1 vecesderivable en todo punto de I que no sea un extremo de I. Entonces, dados dospuntos x0 y x de I con x0 6= x, existe un punto c en el intervalo abierto deextremos x0 y x tal que

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x− x0) + f

00(x0)2!

(x− x0)2 + · · ·+ f(n)(x0)

n!(x− x0)n+

+f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− x0)n+1.

Es decir, Rn(x) =f(n+1)(c)(n+1)! (x − x0)n+1, donde Rn es el resto de Taylor de

orden n de f en el punto x0.

El resultado anterior también se verifica para n = 0, de hecho, la afirmaciónque resulta para este valor de n no es otra que el Teorema del valor medioaplicado a la restricción de f al intervalo cerrado de extremos x0 y x. Vemos asíque el Teorema de Taylor es una extensión del Teorema del valor medio.

Ejemplo 3.26 Encuentra un valor aproximado del número real e. Para ello,consideramos la función f : R → R definida por f(x) = ex, para todo x ∈ R.Es inmediato que, cualquiera que sea el natural n, la función f es n vecesderivable en todo punto x de R y se verifica que f (n)(x) = ex, para cada n ∈ N.Obviamente f es de clase C∞ en R y, por tanto, se verifican las hipótesis del

3.4. Aproximación de raices. Método de Newton-Raphson 107

Teorema de Taylor para cualquier natural n. Si lo aplicamos con x0 = 0 y x = 1,obtenemos un punto c en el intervalo ]0, 1[ tal que,

Rn(1) = f(1)− Pn(1) = f (n+1)(c)

(n+ 1)!=

ec

(n+ 1)!,

donde Rn (resp. Pn) es el resto (resp. polinomio) de Taylor de orden n de f enel punto cero. Es claro entonces que

|Rn(1)| < 3

(n+ 1)!.

Obsérvese además que Rn(1) es el error que se comete al considerar a Pn(1)como valor de f(1), es decir, como valor de e. La fórmula de Taylor (en estecaso recibe el nombre de desarrollo de MacLaurin, ya que está centrada enel punto x0 = 0), es

f(x) = ex = 1 +x

1!+x2

2!+ · · ·+ x

n

n!+

ec

(n+ 1)!xn+1

con 0 < c < 1. Puesto que la sucesión { 3(n+1)!} converge a cero, podemos

conseguir una aproximación de e con un error que, en valor absoluto, sea tanpequeño como se desee. De acuerdo con la desigualdad anterior, bastará tomarn suficientemente grande. Así por ejemplo, el número real

P6(1) = 1 +1

1!+1

2!+1

3!+1

4!+1

5!+1

6!= 2. 7181

es una aproximación del número e con un error inferior, en valor absoluto, a37! =

11680 y por tanto inferior a 10

−3. En general, la suma 1 + 11! +

12! + ...+

1n!

da un valor aproximaddo del número e con un error menor que 3(n+1)! .

3.5 Aproximación de raices. Método de Newton-Raphson

Este método tiene por objeto aproximar la raíz de una función mediante surecta tangente. Sea f : A −→ R una función dos veces derivable con ]x0, b[⊂ A(además se supone que la ecuación f(x) = 0 tiene una única raíz en el intervalo]x0, b[). Como sabemos, la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0))es:

y − f(x0) = f 0(x0)(x− x0)El punto de corte de dicha tangente con el eje de abcisas es

x1 = x0 − f(x0)

f 0(x0)

108 TEMA 3. DERIVABILIDAD

Tomamos el valor x1como primera aproximación del valor de la raíz. Ahoraconsideramos el punto (x1, f(x1)) y se repite el proceso, la ecuación de la rectatangente a la gráfica de f en el punto (x1, f(x1)) es:

y − f(x1) = f 0(x1)(x− x1)y el punto de corte x2 de dicha tangente con el eje de abcisas:

x2 = x1 − f(x1)

f 0(x1)

En general

xn+1 = xn − f(xn)

f 0(xn)

Observación 3.27 El método de Newton Raphson no siempre proporciona unasucesión de valores que tiendan a la raíz de la ecuación f(x) = 0). Hay dosdificultades posibles:

1. En alguna iteración xi podemos obtener f 0(xi) = 0 con lo cual ya nopodemos seguir con el proceso (puesto que en el paso siguiente para calcularxi+1se requiere la división por f 0(xi)). Este problema puede subsanarsecon una elección adecuada del x1. Así pues, antes de aplicar el métodoanterior en un intervalo conviene elegir como punto de inicio aquelextremo del intervalo en el que los signos de f y f 00 sean iguales(véase el ejemplo siguiente).

2. Más serio resulta el problema cuando el método no converge para ningunaelección del punto inicial (salvo que tomemos el cero exacto de f al em-pezar). De hecho puede probarse que una condición suficiente para quela sucesión anterior converja a la solución es que¯̄̄̄

¯f(x) · f 00(x)[f 0(x)]2

¯̄̄̄¯ < 1

Ejemplo 3.28 Aproxima la raíz que la ecuación x3 − x + 1 = 0 posee en elintervalo ]−2,−1[, aplicando el método de Newton-Raphson con dos iteraciones.Para resolver este ejemplo, elegimos el extremo más conveniente:

f(x) = x3 − x+ 1f 0(x) = 3x2 − 1f 00(x) = 6xf(−2) = −5 < 0f 00(−2) = −12 < 0

Tomamos por tanto x0 = −2. Así pues,

x1 = −2− f(−2)f 0(−2) = −2−

−511

=−1711

= −1.54

3.5. Funciones convexas 109

x2 =−1711− f(−1711 )f 0(−1711 )

= −1.36

Ejercicio 3.29 Considera x0 = 2 y la ecuación x2 − 2 = 0 para calcular, uti-lizando el método de Newton-Raphson, las seis primeras cifras decimales de

√2.

124 TEMA 4. INTEGRACIÓN

4.3.1 La regla de los trapecios

Una forma de aproximar el valor de la integral definida anterior es usar ntrapecios como indican las siguientes figuras:

donde hemos dividido el intervalo [0, 5π6 ] en 2, 4 y 6 partes iguales, respectiva-mente. Si en cada caso aproximamos el valor real del área por la suma de lasáreas de los trapecios que se forman obtenemos los siguientes valores:

1.59164, 1.79893 y 1.83633.

4.3. Integración numérica 125

En este casoR 5π

6

0senxdx = 1 +

√32 que aproximadamente es 1.86603.

Teorema 4.10 Sea f : [a, b] −→ R+0 continua. Para cada partición del in-tervalo [a, b] en n subintervalos, cada uno de longitud b−a

n , la regla de lostrapecios para aproximar

R baf(x)dx viene dada por

Z b

a

f(x)dx≈b− a2n

[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2)+ · · ·+ 2f(xn−1) + f(xn)]

además, cuando n→∞, el miembro de la derecha tiende a R baf(x)dx. Si f tiene

derivada segunda continua en [a, b], el error E cometido al aproximarR baf(x)dx

por la regla de los trapecios es

E≤(b− a)3

12n2[max (f 00(x))], a ≤ x ≤ b.

4.3.2 La regla de Simpson

En este caso aproximamos f por polinomios de segundo grado. Dividimos elintervalo [a, b] en n subintervalos de longitud b−a

n pero esta vez exigimos que nsea par y poder así agrupar los intervalos en la forma:

a = x0 < x1 < x2x2 < x3 < x4...xn−2 < xn−1 < xn = b

Cada tres puntos consecutivos tal y como los hemos agrupado podemos con-siderar el polinomio de grado menor o igual a dos que pasa por dichos puntos(sabemos que éste es único) y usamos dicho polinomio como aproximación dela función f(x) en dicho subintervalo. El área total será por tanto la suma delas áreas encerradas por cada polinomio de segundo grado y el eje de abcisas taly como se observa en la siguiente figura para el caso concreto de

R 5π6

0senxdx,

dividiendo el intervalo en dos subintervalos, donde hemos representado en trazomás grueso la función seno y, en trazo menos grueso la función polinómica de

126 TEMA 4. INTEGRACIÓN

grado 2 que pasa por los puntos (0, sen0), (5π12 , sen5π12 ) y (

5π6 , sen

5π6 ):

Las aproximaciones que se obtienen dividiendo en 2, 4 y 6 subintervalos son,respectivamente:

1.90402, 1.86803, 1.86641.

Teorema 4.11 Sea f : [a, b]−→ R+0 continua. Para cada partición del inter-valo [a, b] en n subintervalos (n par), cada uno de longitud b−a

n , la regla deSimpson (mirar) para aproximar

R baf(x)dx viene dada por

Z b

a

f(x)dx ≈b− a3n

[f(x0) + 2

n2−1Xk=1

f(x2k) + 4

n2X

k=1

f(x2k−1) + f(xn)].

Además, cuando n→∞, el miembro de la derecha tiende aR baf(x)dx. Si f tiene

derivada cuarta continua en [a, b], el error E cometido al aproximarR baf(x)dx

por la regla de Simpson es

E ≤ (b− a)5

180n4[max(f 0v(x))], a ≤ x ≤ b.

Teorema 2.14 (de Bolzano) Sean a y b números reales tales que a < b yf : [a, b] → R una función continua en [a, b]. Supongamos que f(a)f(b) < 0.Entonces existe x0 ∈]a, b[ tal que f(x0) = 0.

Por ejemplo, si consideramos la función f : [0, 2]→ R tal que f(x) = x2 − 1,se tiene que es continua en [0, 2] y que f(0) = −1 y f(2) = 3. La situación es lasiguiente:

Una aplicación interesante del Teorema de Bolzano es la obtención de raicesde ecuaciones de forma aproximada mediante el método de bisección. Enmuchas ocasiones es necesario resolver ecuaciones de la forma f(x) = 0 para lasque no existe una fórmula que permita hallar sus raíces. Es necesario entoncesutilizar métodos que permitan aproximar las raíces mediante sucesiones de va-lores c1, c2, ..., que “converjan” a dichas raíces. Estudiaremos un método quenos servirá en el caso de que tengamos una función f : [a, b] −→ R continuaque verifique que f(a)f(b) < 0, es decir, que nos permita aplicar el Teoremade Bolzano a la función f en el intervalo [a, b]. Sabemos por tanto, que existec ∈]a, b[ tal que f(c) = 0. A continuación consideramos el punto medio delintervalo [a, b], c1 = a+b

2 y estudiamos el signo de f(a+b2 ). Si f(a+b2 ) 6= 0,(si

f(a+b2 ) = 0 habremos encontrado ya raíz) aplicamos de nuevo el Teorema deBolzano pero ahora a [a, a+b2 ] si f(a)f(

a+b2 ) < 0 ó a [

a+b2 , b] si f(

a+b2 )f(b) < 0.

Se repite el proceso obteniendo así c2, c3, ...y terminamos al determinar la raízcon un error aceptado. De hecho, podemos acotar el error cometido en cadaaproximación mediante la desigualdad:

Ei = |ci − r| ≤b− a2i

,

donde denotamos por r a la raíz exacta buscada.

Ejemplo 2.15 Dada la ecuación 3x3−x−1 = 0, aplica el método de biseccióncuatro veces, empezando en el intervalo cerrado y acotado [12 , 1]. Definimos

2.3. Funciones continuas definidas en intervalos 85

f : [12 , 1] → R tal que f (x) = 3x3 − x − 1. Claramente f verifica las hipótesisdel Teorema de Bolzano, por tanto, existe c ∈]12 , 1[ tal que f(c) = 0. Sea pues

c1 =12 + 1

2= 0.75

y como f(0.75) = 0.484375, la raíz está en ]0.75, 1[. Continuando el proceso

i ai bi ci f(ci)1 0.5 1 0.75 −0.4843752 0.75 1 0.875 0.1347663 0.75 0.875 0.8125 −0.2033694 0.8125 0.875 0.84375 0.041718

La cuarta iteración es c4 = 0.84375. Una cota del error cometido sería

E4 = |c4 − r| ≤b− a24

=0.5

16= 0.03125

Ejercicio 2.16 Utiliza el método de bisección para aproximar la raíz real de laecuación

x3 − x2 − 1 = 0con error menor que 1

64 . Considera para ello f(x) = x3 − x2 − 1 en el intervalo

[1, 2]

El Teorema de Bolzano afirma que una función continua en un intervalocerrado y acotado, con valores de distinto signo en los extremos del intervalo, hade anularse al menos en un punto. De forma más general, si una función continuaen un intervalo (de cualquier tipo) toma dos valores, ha de tomar necesariamentetodos los valores comprendidos entre ellos, afirmación que enunciamos en elsiguiente resultado:

Corolario 2.17 (Teorema del valor intermedio) Sea f : I → R una fun-ción continua en un intervalo I. Entonces f(I) es un intervalo.

Ejemplo 2.18 La función f :]0, 3[→ R definida por

f(x) =

⎧⎨⎩ x si 0 < x ≤ 13− 2x si 1 < x ≤ 2x− 3 si 2 < x < 3

es continua en ]0, 3[ y su imagen es el intervalo [−1, 1] (véase gráfica siguiente).

86 TEMA 2. CONTINUIDAD

Bajo las hipótesis del corolario precedente, el intervalo imagen no es en ge-neral del mismo tipo que el intervalo de partida, como se muestra en el ejemploanterior. Sin embargo, si el intervalo de partida es cerrado y acotado, la ima-gen mediante una función continua de un intervalo de este tipo es también unintervalo cerrado y acotado.

Teorema 2.19 (Weierstrass) La imagen mediante una función continua deun intervalo cerrado y acotado es un intervalo cerrado y acotado. Por tanto,toda función continua en un tal intervalo tiene máximo y mínimo absolutos.

Una función continua en un intervalo que no sea cerrado y acotado puedeno estar acotada (f :]0, 1[→ R: f(x) = 1

x , ∀x ∈]0, 1[) y por tanto carecer dealguno o de ambos extremos absolutos, o puede incluso estar acotada y no tenerextremos absolutos (g : R+ → R: f(x) = 1

1+x , ∀x ∈ R+).A continuación estudiaremos algunos hechos que nos dan importantes rela-

ciones entre la monotonía y la continuidad.

Teorema 2.20 Sea f : A → R una función real de variable real monótona talque f(A) es un intervalo. Entonces f es continua.

Corolario 2.21 Sea I un intervalo y f : I → R una función estrictamentemonótona. Entonces f−1 es continua.

Una función estrictamente monótona es, como sabemos, inyectiva pero laafirmación recíproca no es cierta en general (piénsese en la función g : R → Rtal que g(x) = x si x ≤ 0 y g(x) = 1

x si x > 0). Sin embargo, ambas propiedadesson equivalentes para funciones continuas definidas en un intervalo.

Teorema 2.22 Sea I un intervalo y f : I → R una función continua e in-yectiva. Entonces f es estrictamente monótona. Como consecuencia, f−1 escontinua.