TENSOR DE ESFUERZOS

Cuando una fuerza F acta sobre una superficie S, genera una presin

Definicin: Primero tenemos que definir la orientacin de una superficie r que se puede caracterizar con un vector normal a esta superficie:

En esta superficie de normal , vamos a aplicar una fuerza . Definimos el tensor de esfuerzos como el tensor:

Esta fuerza acta en los tomos de cada parte de esta superficie S.Ojo: Esta notacin no significa que el vector es paralelo al vector porque hay la presencia del tensor de esfuerzo que acta sobre el vector y que cambia su direccin. A este tensor de esfuerzos se puede definir una aplicacin linear a tal que:

donde () es la base en la cual esta definido el tensor de esfuerzos.

Tomemos un sistema de referencia (x,y,z):

En este sistema, las componentes de son:

(i puede ser igual a x, y o z. Igualmente, j puede ser igual a x, y o z). Los ndices repetidos significan que se hace una sumatoria sobre este ndice. Por ejemplo: Este tensor de esfuerzos = tiene dos ndices. El primer ndice i es relacionado con la direccin de la fuerza, el segundo ndice j es relacionado con la orientacin de la superficie.

Ejemplo: tomemos una superficie horizontal (que entonces va a tener un vector normal en la direccin z). En esta superficie, los van a estar de la forma . La i corresponde a la direccin de la normal, y el punto corresponde a la direccin en la cual esta orientado el esfuerzo. Entonces vamos a tener:

En el caso de los 2 dibujos antes, tenamos nx=0,ny=0 y nz=1. Entonces, las fuerzas son respectivamente:Si ahora tomamos una superficie de orientacin cualquiera:

entonces para expresar las fuerzas, tenemos que usar la formula (1) aqu escrita en forma matricial:

Un sistema en equilibrio debe verificar dos propiedades:1- La sumatoria de las fuerzas igual cero 2- La sumatoria de los momentos igual cero.El punto 1 implica que si dibujamos las fuerzas (o lo que es lo mismo el esfuerzo multiplicado por la superficie) en las caras de un cubo, vamos a tener fuerzas opuestas y de misma magnitud.

El punto 2 implica que el tensor de esfuerzos es simtrico. El momento generado por debe ser igual al momento generado por . Para igualar momentos, tenemos que definir un sentido de rotacin positivo (de manera arbitraria). Vamos a decir que el sentido positivo corresponde a una rotacin horaria.

El momento provoca una rotacin en el sentido positivo, entonces el momento es:+ dS.dz (un momento es una fuerza por una distancia, la fuerza es dS= dxdy, y la distancia que separa la dos fuerzas es dz).Miremos ahora el momento generado por . Como la suma de los dos momentos debe ser igual a cero, el momento generado por debe hacer una rotacin en el otro sentido que el momento generado por , es decir en un sentido negativo (antihorario). Entonces debemos tener el dibujo siguiente:

El momento provoca una rotacin en el sentido negativo, entonces el momento es: dS.dy = dxdz.dy.La sumatoria de los momentos igual a cero da:

+ dxdy.dz dxdz.dy = 0

es decir:

=

Propiedades del tensor de esfuerzos:

El tensor de esfuerzos es real y simtrico, entonces es diagonalizable, es decir que existe una base (la base de los vectores propios) en la cual el tensor es diagonal (las valores de la diagonal son los valores propios). Si llamamos 1, 2 y 3 los valores propios del tensor de esfuerzos, y si llamamos u1, u2 y u3 los vectores propios asociados a los tres valores propias 1, 2 y 3, el tensor de esfuerzos se puede escribir en la base :

Eso significa que el valor 1 acta en la direccin , que el valor 2 acta en la direccin y que 3 acta en la direccin . Entonces, en los tres planos perpendiculares a estas tres direcciones principales , no hay esfuerzos de cizalle (shear-stress) que acta. Generalmente, se ordenan los valores propios de acuerdo a su magnitud: