3.1.13.1.1 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点3.1.13.1.1 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点

先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

一元二次方程 方程的根 二次函数 图象与 x 轴的交点

x2-2x-3=0 y=x2-2x-3

x2-2x+1=0 y=x2-2x+1

x2-2x+3=0 y=x2-2x+3

3

1

2

1

x

x 0,3,0,1

121 xx 0,1

无实根 无交点

⊿=b2-4ac ax2+bx+c=0的根

y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴的交点

⊿>0

⊿=0

⊿<0

一般一元二次方程与相应二次函数的关系

x1,x2 （ x1,0 ），（ x2 ， 0 ）

x1=x2（ x1 ， 0 ）

无实根 无交点

对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。

函数零点的定义：函数零点的定义：

注意： 零点指的是一个实数；

零点是一个点吗 ?方程 f(x)=0有实数根

函数 y=f(x)的图象与 x轴有交点

函数 y=f(x)有零点

0 1 2 3 4 5-1-2

1

2

3

45

-1-2

-3

-4

x

y

探究 观察二次函数 2( ) 2 3f x x x 的图象，如右图，我们发现函数 2( ) 2 3f x x x 在

区间 2,1 上有零点。计算 ( 2)f 和 (1)f 的乘

积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间

2,4 上是否也具有这种特点呢？

结论

如果函数 ( )y f x 在区间 ,a b 上的图象是连续不断的一条曲线，

并且有 ( ) ( ) 0f a f b ，那么，函数 ( )y f x 在区间 ,a b 内有零点，

即存在 ,c a b ，使得 ( ) 0f c ，这个c也就是方程 ( ) 0f x 的根。

例例

a b a b

a b a b

例 1 ：求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2

练习：

1. 二次函数 ，

则函数的零点个数是（ ）

2 ( 0)y ax bx c a 0a c

44)(1 23 xxxxf

42log)(3 3 xxxf

23)(2 21 xxf x

2. 求下列函数的零点个数

例 2 ：1．函数

2( )f x Inx

x 的零点所在的大致区间是（ ）

A． 1,2 B． 2,3 C． 11,e

和 3,4 D． ,e

2. 若方程 在（ 0 ， 1 ）内恰有一解，求实数 a 的取值范围。

22 1 0ax x

3. 方程在 （ -1 ， 1 ）上有实根，求 k 的取值范围 .

02

32 kxx

作业： P92 A 组 2,作业本 A 本 P28 4.5

1. 若函数 f(x)=ax+b 有一个零点 2, 求函数

g(x)=bx2-ax 的零点

2. 已知关于 x 的方程 的一个根在(-2,0) 内，另一根在 (1,3) 内，求实数 a 的取值范围 .

053 2 axx

的实数解的个数

的方程，讨论关于已知 axxxRa 86.3 2