3068 Material Complement a Rio
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MATEMATICA PARA COMPUTACIÓN I Código 3068
Material complementario
Preparado por Emmanuel Chaves Villalobos
UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA
VICERRECTORÍA ACADÉMICA ESCUELA DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
Material complementario Matemática para computación 1
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UNED – Acortando distancias
TABLA DE CONTENIDOS
I. PRESENTACIÓN 4
II. TEORÍA DE CONJUNTOS 5
A. Historia 5
B. Conceptos importantes 5
C. Notación 6
D. Igualdad de conjuntos 7
E. Subconjuntos: 8
F. Operaciones con conjuntos 9
1. Unión: 9
2. Intersección: 10
3. Diferencia: (Simbología ) 11
4. Complemento: (Simbología ) 12
5. Diferencia simétrica: (Simbología ) 13
G. Álgebra de conjuntos 13
H. Producto cartesiano de conjuntos o producto cruz 14
Ejercicios propuestos 15
III. SUCESIONES 19
A. Finita o infinita 19
B. En orden 19
C. La regla 20
D. Notación 21
E. Sucesiones definidas recursivamente 22
1. Definición de sucesión recursiva: 22
Ejercicios propuestos 23
IV. DIVISIBILIDAD 29
A. División entera 29
B. División exacta 30
C. Múltiplos y divisores 30
1. Divisor de un número: 30
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D. Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo 31
1. Divisores y múltiplos comunes: 31
2. Máximo común divisor (MCD): 31
3. Números primos entre sí: 32
4. Mínimo común múltiplo (MCM): 32
E. Algoritmo de Euclides 33
Ejercicios propuestos 35
V. MATRICES 36
A. Historia 36
B. Definiciones y notaciones 36
C. Operaciones básicas 38
1. Suma o adición: 38
2. Producto por un escalar 38
3. Producto: 39
4. Transpuesta: 40
D. Matrices cuadradas y definiciones relacionadas 41
E. Matriz Booleana 42
Operaciones con matrices Booleanas: 42
Ejercicios propuestos 44
VI. Referencias 49
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I. PRESENTACIÓN
El presente material tiene como finalidad ofrecer una introducción a los conocimientos básicos relacionados con las matemáticas discretas como son teoría de conjuntos, sucesiones, divisibilidad, matrices, entre otros; con el fin de aplicarlos a situaciones concretas del campo de la informática.
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II. TEORÍA DE CONJUNTOS
Diagrama de Venn que muestra un conjunto A contenido en otro conjunto U y su complemento
A. Historia
La Teoría de Conjuntos es una división de las matemáticas que estudia
los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático
alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo
XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
B. Conceptos importantes
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien
definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un
conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay
en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se
sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los
bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber
si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la
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vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber
distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es.
En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o
cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el
sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor.
“Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de
objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro
pensamiento.”
Georg Cantor
C. Notación
Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...
Además se llama elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un
conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos
permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos
duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...
De esta manera, si es un conjunto, y todos sus elementos, es común
escribir: , para definir a tal conjunto . Esta notación empleada
para definir al conjunto se llama notación por extensión. Como se muestra el
conjunto se escribe entre llaves “{ }” o separados por comas “ , ”.
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UNED – Acortando distancias
Para representar que un elemento que pertenece a un conjunto , escribimos
(léase "x en A", "x pertenece a A" o bien "x es un elemento de A"). La negación
de se escribe (léase “x no pertenece a A”).
El conjunto universal, que siempre representaremos con la letra (u mayúscula), es
el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de
números enteros entonces es el conjunto de los números enteros, si hablamos de
ciudades, es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede
mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado
el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia
de dicho conjunto previamente.
Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto
vacío y que se denota por . Es decir
En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo: el
conjunto {b, b, b, d, d} simplemente será { b, d }.
D. Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, lo que se escribe si constan de los
mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A está también contenido
en B y todo elemento de B está contenido en A. En símbolos:
Ejemplo: El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:
{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }
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E. Subconjuntos:
Diagrama de Venn que muestra
Un conjunto se dice que es subconjunto de otro , si cada elemento de es
también elemento de , es decir, cuando se verifique:
,
sea cual sea el elemento . En tal caso, se escribe: .
Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si , se
cumpla . Si tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al
conjunto , pero si todo elemento de es elemento de , entonces decimos
que es un subconjunto propio de , lo que se representa por .
Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo),
y todo conjunto A es subconjunto impropio de sí mismo.
Note que se utiliza solo para elementos de un conjunto y solo para conjuntos.
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F. Operaciones con conjuntos
Sean y dos conjuntos,
1. Unión: (Simbología )
Diagrama de Venn que ilustra
Para cada par de conjuntos y existe un conjunto Unión de los dos, que se
denota como el cual contiene todos los elementos de y de . Es claro que
el hecho de que un elemento pertenezca a es condición necesaria y
suficiente para afirmar que es un elemento de o al menos de . Es decir:
Ejemplos:
1. Si tenemos los conjuntos: , ,
y
Entonces: , ,
y
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2. Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }, entonces:
A B = { 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
2. Intersección: (Simbología ∩)
Diagrama de Venn que ilustra
Los elementos comunes a y forman un conjunto denominado intersección de
y , representado por . Es decir, es el conjunto que contiene a
todos los elementos de que al mismo tiempo están en :
.
Si dos conjuntos y son tales que , entonces y se dice que
son conjuntos disjuntos. Es claro que el hecho de que es condición
necesaria y suficiente para afirmar que y . Es decir
Ejemplos:
1. Si tenemos los conjuntos
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UNED – Acortando distancias
Entonces: , , y
2. Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }, entonces:
Q P= {a, b, o, r, s, y}
3. Diferencia: (Simbología )
Diagrama de Venn que muestra A – B
Diagrama de Venn que muestra B – A
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Los elementos de un conjunto que no se encuentran en otro conjunto , forman
otro conjunto llamado diferencia de y , representado por . Es decir:
.
o dicho de otra manera:
Una propiedad interesante de la diferencia es que .
Ejemplos: Sin importar cual conjunto elija usted, siempre se cumple
4. Complemento: (Simbología )
El complemento de un conjunto , es el conjunto de los elementos que pertenecen a
algún conjunto pero no pertenecen a , que lo representaremos por . Es decir
.
Ejemplo: Sea y donde , entonces
el complemento de estará dado por:
El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos
tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los
números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por
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los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de
las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.
En vista de que y , entonces , de
manera que .
5. Diferencia simétrica: (Simbología )
Los elementos de dos conjuntos y , a excepción de aquellos elementos que se
encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos, se define la diferencia
simétrica. Es decir:
G. Álgebra de conjuntos
Sean A, B, y C conjuntos cualesquiera y U un conjunto tal que , ,
y entonces:
Elemento neutro de la unión
Elemento neutro de la intersección
Propiedad conmutativa de la intersección
= Propiedad conmutativa de la unión
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Propiedad de Involución.
Propiedad asociativa de la intersección
Propiedad asociativa de la unión
Propiedad distributiva de la intersección
Propiedad distributiva de la unión
H. Producto cartesiano de conjuntos o producto cruz
Dados dos conjuntos y , definimos al conjunto producto (o producto cartesiano)
de y (en ese orden), representado por como el conjunto
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UNED – Acortando distancias
Ejemplo: Sean y . Así,
Ya que el producto cartesiano está formado de pares ordenados (donde el orden de
los componentes importa), resulta
Ejercicios propuestos
(1) Indique en cada caso si los conjuntos que se dan a continuación son iguales:
y
y { 3, 5, 8}
y el conjunto de números enteros mayor que 4 y menores que 6
(2) Sea indique la pertenencia o no de los
siguientes ejercicios:
a) 2 A
b) 7 A
c) 3.5 A
d) 12 A
e) -4 A
f) 9 A
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UNED – Acortando distancias
(3) Sea identifique los conjuntos que son subconjuntos
de este:
(4) Si y ¿Qué se concluir de los conjuntos ?
(5) Sean Indique
cuales de los siguientes incisos son correctos
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(6) Si: Obtenga:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
(7) Sean
¿Los conjuntos son ajenos y porque?
¿ es subconjunto de ?
¿ es un subconjunto de ?
¿ es subconjunto de ?
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(8) Si
Encuentre:
a) =
b) =
c) =
d) =
(9) ¿Cuáles de las siguientes igualdades son verdaderas?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(10) Si
Encuentre:
a)
b)
c)
d)
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UNED – Acortando distancias
(11) Encuentre 9 palabras ocultas en la siguiente sopa de letras relacionada con
conjuntos.
R A I C N E N E T R E P
N F U A T U C I S I A N
O O N M O S O S V O A O
N L I I N M M T A I I I
O D V N P R P U C O M C
T U E N U T L N I N A C
N A R N A S E I O N S E
U T S E L R M R A U V S
J N O V E A E M P A L R
N E V F M N N O C C E E
O P I R L I T I A N O T
C D L A A Q O P N I V N
A F B C D A N O M I T I
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III. SUCESIONES
A. Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión
finita.
Ejemplos:
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es
una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada
término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en
este caso un orden alternativo)
B. En orden
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que
decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando...
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el
mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
Ejemplo:
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
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C. La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
¡Pero la regla debería ser una fórmula!
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:
10º término,
100º término, o
n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que
queramos).
Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el
término). Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero: vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar
que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:
Probamos la regla: 2n
n Término Prueba
1 3 2n = 2×1 = 2
2 5 2n = 2×2 = 4
3 7 2n = 2×3 = 6
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UNED – Acortando distancias
Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo
que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla:
n Término Regla
1 3 2n+1 = 2×1 + 1 = 3
2 5 2n+1 = 2×2 + 1 = 5
3 7 2n+1 = 2×3 + 1 = 7
¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como:
La regla para es:
Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º:
D. Notación
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:
Posición del término
Es normal usar para los términos:
es el término
es la posición de ese término
Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que
escribir:
Entonces podemos escribir la regla para en forma de ecuación, así:
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UNED – Acortando distancias
Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:
¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?
E. Sucesiones definidas recursivamente
Los valores de los términos de una sucesión pueden definirse explícitamente
mediante fórmulas como . Hay sucesiones que se definen
implícitamente mediante reglas que permiten encontrar un término de la sucesión
utilizando otros términos que lo preceden en la sucesión.
1. Definición de sucesión recursiva:
Una sucesión está definida recursivamente siempre que: .
Valor Base: Los valores de algunos términos de la sucesión, generalmente el
primero, o los primeros, se especifiquen explícitamente (se dan los valores de
los elementos a partir de los cuales se generan los demás valores de la
sucesión).
Fórmula recursiva: Los valores de los otros elementos de la sucesión están
definidos en término de valores previos en la sucesión. nos describe la
manera (reglas o fórmulas) para obtener los otros valores de la sucesión (de
manera “recurrente”).
Ejemplo: La sucesión con fórmula explicita definida por para , es
decir:
La sucesión con fórmula recursiva dada por , con , es decir:
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UNED – Acortando distancias
Ejercicios propuestos
(1) Hallar el término general de las siguientes sucesiones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
(2) Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.
(3) Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.
(4) Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores
que 5.
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UNED – Acortando distancias
SOLUCIONES:
(1) Hallar el término general de las siguientes sucesiones:
a)
El numerador es constante.
El denominador es una progresión aritmética de .
b)
El numerador es una progresión aritmética con una .
El denominador es una progresión aritmética con una .
c)
En esta sucesión se han simplificado algunas fracciones.
El numerador es una progresión aritmética con una .
El denominador es una progresión aritmética de .
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UNED – Acortando distancias
d)
Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una .
Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por .
e)
Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética
con una .
El denominador es una progresión aritmética de .
Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por .
a)
Es una sucesión oscilante.
Los términos impares forman progresión aritmética con una , si no
tenemos en cuenta los términos pares.
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UNED – Acortando distancias
El denominador de los términos pares forman progresión aritmética con
una .
b)
Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión
aritmética con una .
Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término
general al cuadrado.
Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por .
a)
Es una sucesión oscilante.
El numerador de los términos impares forman progresión aritmética con
una d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.
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UNED – Acortando distancias
Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término
general al cuadrado.
El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es
una progresión aritmética de (sin contar los términos pares).
El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle 3.
Los términos pares forman una sucesión constante.
(2) Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.
a15 = 5 + 14 · 5 = 75
S15 = (5 + 75)· 15/2 = 600.
(3) Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.
a1= 5; d= 10 ; n= 15.
a15= 5+ 14 ·10= 145
S15 = (5 + 145)· 15/2 = 1125
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UNED – Acortando distancias
(4) Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores
que 5.
a1= 6; d= 2; n= 15.
a15 = 6 + 14 · 2 = 34
S15= (6 + 34) · 15/2 = 300
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UNED – Acortando distancias
IV. DIVISIBILIDAD
El tema de divisibilidad se trata sobre los números naturales, aunque se sabe que
sus resultados son válidos en . Sin embargo, para cuestiones de unicidad es más
claro restringir el estudio a los números naturales. En las propiedades en las que
intervengan números enteros se advertirá sobre este carácter.
A. División entera
Dados dos números naturales a y b, llamaremos división entera entre ellos a la
operación de encontrar otros dos números q (cociente) y r (resto), tales que se
cumpla:
, con , o lo que es lo mismo,
Se demuestra que q y r son únicos y que siempre existen. Si esta situación la
expresamos como , llamaremos a q cociente por defecto y a r resto
por defecto.
También podemos expresarla como llamando a r' resto por
exceso.
Propiedades:
Se cumple siempre que
Si el dividendo y el divisor se multiplican (o dividen) por un mismo número, el
cociente no varía, pero el resto queda multiplicado (o dividido) por ese
número.
En la división entera podemos definir la operación "módulo". Dados dos números a y
b naturales llamaremos a MOD b al resto por defecto que resulta al dividir a entre b.
Material complementario Matemática para computación 1
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UNED – Acortando distancias
B. División exacta
Dados dos números naturales a (dividendo) y b (divisor), llamaremos división exacta
entre ellos a la operación de encontrar otro número q (cociente) tal que se cumpla
.
Si esta operación es posible, diremos que b es divisor de a, o bien
que a es múltiplo de b.
C. Múltiplos y divisores
1. Divisor de un número:
Diremos que un número natural a es divisor de b cuando existe otro número
natural k que multiplicado por a da por resultado b. Expresado de otra forma, la
división entre b y a ha de ser exacta.
La relación de "ser divisor" o de divisibilidad se representa con el símbolo |.
Así, "a divide a b" se escribe como a|b.
Propiedades
Todo número natural es divisor de sí mismo.
La unidad es divisor de todos los números naturales
El cero no es divisor de ningún número.
Si un número es divisor de otros dos, también lo es de suma y
diferencia:
Material complementario Matemática para computación 1
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UNED – Acortando distancias
Si a es divisor de b, y b es divisor de c, entonces a es divisor de c, es decir:
Si a divide a b, también divide a bx, siendo x natural, es decir:
, con .
Si y ambos son positivos (naturales),
Todo n es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
Cero es múltiplo de todos los números.
La suma o diferencia de dos múltiplos de un número también es múltiplo de
dicho número.
Si a es múltiplo de b, y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de c.
D. Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo
1. Divisores y múltiplos comunes:
Un número natural k es divisor común de otros cuando es divisor de todos ellos.
Igualmente se define el múltiplo común.
2. Máximo común divisor (MCD):
El máximo común divisor de varios números naturales es el mayor de sus divisores
comunes.
Si su valor es 1, diremos que los números son primos entre sí.
Propiedades:
Si a es múltiplo de b, entonces el MCD de ambos es b.
El MCD de dos números a y b coincide con el MCD de b y el resto de la
división de a entre b. En esta propiedad se basa el Algoritmo de Euclides.
Material complementario Matemática para computación 1
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UNED – Acortando distancias
Si varios números naturales se multiplican (o dividen exactamente) por otro
natural m, su MCD queda también multiplicado (o dividido exactamente)
por m. En concreto, si se dividen entre su MCD, los resultados son primos
entre sí.
Si m es el MCD de dos números a y b y n su MCM, se cumple la igualdad:
Igualmente, si m es el MCD de a y b, existen dos números enteros p y q tales
que se verifica: (Teorema de Bezout)
3. Números primos entre sí:
Son aquellos números naturales (no necesariamente primos) que no tienen divisores
comunes. Su MCD es 1. También se les llama extraños, primos relativos o coprimos.
Según el Teorema de Bezout, si a y b son primos entre sí, existirán dos números
enteros p y q tales que se verifique:
4. Mínimo común múltiplo (MCM):
De varios números es el menor de sus múltiplos comunes.
Propiedades:
Si a es múltiplo de b, entonces el MCM de ambos es a.
Si varios números naturales se multiplican (o dividen exactamente) por otro
natural m, su MCM queda también multiplicado (o dividido exactamente)
por m.
Si m es el MCD de dos números a y b y n su MCM, se cumple la
igualdad:
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UNED – Acortando distancias
E. Algoritmo de Euclides
El máximo común divisor de dos enteros puede obtenerse escogiendo el mayor de
todos los divisores comunes. Hay un proceso más eficiente que utiliza repetidamente
el algoritmo de la división. Este método se llama algoritmo de Euclides.
El algoritmo de Euclides se describe de la forma siguiente: Dados dos
enteros a y b cuyo máximo común divisor se desea hallar, y asumiendo que a b > 0,
(El método funciona también si a y b son negativos). Basta trabajar con los valores
absolutos de estos números, debido a que M.C.D (|a|, |b|)=M.C.D (a,b) se siguen los
siguientes pasos:
a) Se usa el algoritmo de la división para obtener a = q1b + r2 , con
0 r1 < b. Si r1 = 0, entonces y M.C.D.(a, b) = b.
b) Si r1 0 se divide b por r1 y se producen enteros q2 y r2 que
satisfacen b =q2 r1 + r2 con 0 r2 < r1.
Si r2 = 0 el proceso termina y M.C.D.(a, b) = r1.
c) Si r2 0 se procede a dividir r2 por r1 obteniendo r1 = q3 r2 + r3 con 0 r3 < r2.
d) Este proceso continua hasta que algún residuo cero aparece. Esto ocurre
porque en la secuencia b > r1 > r2 >..... 0 no puede haber más de
b enteros. Es decir, el proceso es finito.
e) En estas circunstancias, el máximo común divisor de a y b no es más que el
último residuo no cero del proceso anterior.
Esto lo garantiza la aplicación reiterada del siguiente teorema.
Teorema. Sí a y b son enteros positivos con a b y si a = qb + r; entonces
M.C.D.(a, b) = M.C.D.( b, r ).
Material complementario Matemática para computación 1
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UNED – Acortando distancias
Ejemplo: Halle M.C.D.(12378, 3054)
12378 = 4 3054 + 162
3.054 = 18 162 + 138
162 = 1 138 + 24
138 = 5 24 + 18
24 = 1 18 + 6
18 = 3 6 + 0
Luego M.C.D.(12378, 3054) = 6 que es el último residuo no cero.
Ejemplo: Como M.C.D.(12378, 3054) = 6 podemos utilizar el ejercicio anterior para
encontrar enteros x y y que cumplan la condición: 6 = 12378x + 3054y.
6 = 24 - 18
= 24 - (138 - 5 24)
= 6 24 - 138
= 6 (162 - 138) - 138
= 6 162 - 7 138
= 6 162 - 7 (3054 - 18 162)
= 132 162 - 7 3054
= 132 (12378 - 4 3054) - 7 3054
= 132 12378 + (-535) 3054
Luego x= 132; y = -535
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Ejercicios propuestos
(1) Demostrar que si dos enteros son divisibles por un tercero y los cocientes
obtenidos son primos relativos, entonces el tercer entero es el máximo común
divisor de los enteros dados.
(2) Demuestre que si la suma de dos enteros positivos a, b es un número primo
entonces M.C.D.(a, b) = 1
(3) Demuestre que el producto de 5 enteros consecutivos es divisible por 120.
(4) Si el máximo común divisor de dos números es 2, y su producto es 840, hallar
los dos números.
(5) Si el máximo común divisor de dos enteros es 14. ¿Cuáles son esos enteros,
sabiendo que la serie de los cocientes obtenidos al buscar el máximo común
divisor es 3, 8, 2 y 4?.
(6) El máximo común divisor de dos números es 108. ¿Cuál es el menor de estos
enteros si el mayor es 756?.
Visite http://www.uhu.es/64109/aula_virtual/divisib/problemas/sol2.pdf
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V. MATRICES
A. Historia
El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra
en la literatura china hacia el 650 a. C.1
Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un
importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve
capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer
ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de
ecuaciones simultáneas.2 En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de
determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el
matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en
1693.
El término "matriz" fue acuñado en 1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo
algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación
matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con
n incógnitas. Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los matemáticos
famosos que trabajaron sobre la teoría de matrices.
Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de
matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.
B. Definiciones y notaciones
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o
entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una
de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas
verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-
n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz
siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.
Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene
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UNED – Acortando distancias
el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo
orden y tienen los mismos elementos.
Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se
le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero
las filas y después las columnas.
Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se
utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de
las mismas.
Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la
columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j.
Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores
representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de
variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar.Normalmente se
escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j]
llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los
índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en
cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.
Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se
interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila
y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se
denomina vector columna.
Ejemplo:
1) Dada la matriz que es una matriz 4x3.
El elemento es el 7.
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UNED – Acortando distancias
2) La matriz
es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.
C. Operaciones básicas
1. Suma o adición:
Dadas las matrices m-por-n, A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada
sumando los elementos correspondientes, es decir, sumar cada uno de los
elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:
Nótese que para sumar matrices éstas deben tener el mismo tamaño.
Propiedades:
Asociativa, Dadas las matrices m×n A, B y C: A + (B + C) = (A + B) + C.
Conmutativa, Dadas las matrices m×n A y B: A + B = B + A
Existencia de matriz cero o matriz nula: A + 0 = 0 + A = A
Existencia de matriz opuesta: A + (-A) = 0
2. Producto por un escalar
Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar
por cada elemento de A.
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UNED – Acortando distancias
Ejemplo:
Propiedades:
Sean A y B matrices y c y d escalares.
Asociatividad: (cd)A = c(dA)
Elemento Neutro: 1·A = A
Distributividad:
De escalar: c(A+B) = cA+cB
De matriz: (c+d)A = cA+dA
3. Producto:
Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la
matriz AB.
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la
matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una
matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la
matriz m×p (m filas, p columnas.
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UNED – Acortando distancias
Por ejemplo:
Propiedades:
E producto de matrices tiene las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).
Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.
Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.
En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0 , No
necesariamente A ó B son matrices nulas
El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B = A.C, No
necesariamente B=C
El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La
división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B,
no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo
aplicable a las matrices invertibles.
4. Transpuesta:
La transpuesta de una matriz m-por-n A es la matriz n-por-m AT (algunas veces
denotada por At) formada al intercambiar las filas y columnas
Material complementario Matemática para computación 1
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UNED – Acortando distancias
Propiedades:
La transposición de matrices tiene las siguientes propiedades:
D. Matrices cuadradas y definiciones relacionadas
La matriz identidad In de orden n es la matriz n por n en la cual todos los elementos
de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0.
La matriz identidad se denomina así porque satisface las
ecuaciones MIn = M y InN = N para cualquier matriz M m por n y N n por k.
Ejemplo: Si n = 3, una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número
de filas que de columnas.
Una matriz A n por n es invertible si y sólo si existe una matriz B tal que:
AB = In = BA. En este caso, B es la matriz inversa de A, identificada por A-1.
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E. Matriz Booleana
Una matriz cuyas entradas son solamente 1’s y 0`s se denomina Matriz Booleana.
Ejemplos:
a)
b)
Operaciones con matrices Booleanas:
1. Si y son dos matrices booleanas de , se define la
disyunción de y como la nueva matriz como:
2. Si y son dos matrices booleanas de , se define la
conjunción de y como la nueva matriz como:
Ejemplos: Sea
y
, se obtienen
y
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3. Multiplicación Booleana, es una nueva matriz que se denota por de
manera que si existe un uno en la misma posición en la fila de y
en la columna de y si no hay coincidencia.
Ejemplo: Sea
y
se determina la matriz
Nota: recuerde que se analiza fila con columna posición por posición, si coinciden
al menos en una ocasión unos ( ’s) la posición dada por fila columna le
corresponde un uno (1), de lo contrario le corresponde un cero (0).
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Ejercicios propuestos
(1) Dadas las matrices:
Calcular: A + B; A - B; A B; B A; At.
(2) Demostrar que: A2 - A- 2 I = 0, siendo:
(3) Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:
(4) Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones:
N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200
unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del
modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L
y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y
1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas
de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de
administración.
a) Representar la información en dos matrices.
b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración
empleadas para cada uno de los modelos.
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(5) Siendo:
Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:
SOLUCIONES
(1)
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(2) Se tiene que
(3) Multiplicamos la segunda ecuación por -2
Sumamos miembro a miembro
Si multiplicamos la primera ecuación por 3 y sumamos miembro
a miembro obtenemos:
(4) Matriz de producción:
Filas: Modelos A y B Columnas: Terminaciones N, L, S
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UNED – Acortando distancias
Matriz de coste en horas:
Filas: Terminaciones N, L, S Columnas: Coste en horas: T, A
Matriz que expresa las horas de taller y de administración para cada uno de los modelos:
(5) Se hacen cada caso por aparte:
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VI. Referencias
Bibliográficas
JIMÉNEZ Murillo, José A. (2009). Matemáticas para la computación. México:
Alfaomega Grupo Editor S.A.
KOLMAN, Busby y Ross. (1996). Estructuras de matemáticas discretas para la
computación. M{exico: Prentice-Hall Hispanoamérica, S.A.
LARSON y Hostetler. (1994). Cálculo y geometría analítica. España: McGraw-Hill
Interamericana de España S.A.
MURILLO Tsijli, Manuel (2010). Introducción a la matemática discreta. San José:
Editorial Tecnológica de Costa Rica.
Electrónicas
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/INICIALES/marco_principal.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Teoría_de_conjuntos
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/marco_conjuntos.htm
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm
http://matematica.50webs.com/sucesiones.html
http://www.monografias.com/trabajos37/teoria-numeros/teoria-numeros.shtml
http://hojamat.es/sindecimales/congruencias/teoria/teorcong.htm#criterios
http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matemática)
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T6_Matrices.htm