U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 31TOPOLOGÍA DE REDES: Una red eléctrica está determinada por el tipo de elementos que contiene y por la forma en que están conectados. Anteriormente se han considerado los elementos por sí mismos y sus características volt-ampere. La topología de la red es el estudio de la forma en que los elementos de la red están conectados. El estudio de la topología de las redes proporciona una forma sistemática para determinar cuántas ecuaciones se requieren en el análisis, cuáles son independientes y la mejor elección de un conjunto de ecuaciones para efectuar el análisis más directo. Generalmente en el análisis se obvia la naturaleza de los elementos y se simplifica el dibujo del circuito mostrando a los elementos como líneas, esto se define como gráfico de un circuito. La topología trata de las propiedades de las redes cuando se tensiona, dobla o distorsiona de alguna otra manera el tamaño y la forma de la red sin perder sus características de conexión. Para realizar el análisis topológico de una red es necesario definir los conceptos básicos en los que se basa este análisis en un circuito, estos son: árbol, ramas de árbol, enlaces y coárbol.

Tres posibles formas en las que puede representarse una

red de seis ramas y cuatro nodos. ÁRBOL : Es una subgráfica de un gráfico de n nodos que representa un circuito originalmente y se obtiene eliminando ramas de la gráfica original cumpliendo las siguientes propiedades: a) Contiene todos los nodos de la gráfica; los nodos no se dejan en posiciones aisladas. b) Contiene n-1 ramas que conectan a todos los nodos. c) No existen trayectorias cerradas. RAMAS DE ÁRBOL (ra) : Son las ramas que conforman el árbol, la cantidad de ramas de árbol de un circuito se representa con las letras ra. En el gráfico del circuito se representa a través de líneas continuas. ENLACES (e): Las ramas que se eliminan de la gráfica para formar un árbol se llaman cuerdas, eslabones, o "enlaces”, y la cantidad de enlaces se representa con la letra e. En el gráfico de circuito se representa a través de líneas discontinuas o segmentadas. COÁRBOL : Una vez definido el árbol aquellas ramas que no son partes del árbol se les llama coárbol o complemento del árbol, por lo tanto, los enlaces o eslabones son cualquier rama que pertenezcan al coárbol. Para una gráfica cualquiera de un circuito, la relación que existe entre las ramas, enlaces, nodos y ramas que conforman el árbol son las siguientes: sea r el número de ramas de la gráfica y n el número de nodos, se tiene que: ra = n - 1, (ra: número de ramas del árbol), e = r - ra = r - (n - 1), (e: número de enlaces).

Forma en la que se determina las ramas de árbol y los enlaces de un circuito.

1

2

4

3

1

2 3

4

1

2 3

4

1 32

6 7 8

5

4

2 3

5

4

1

SE DETERMINAN EL NÚMERO DE RAMAS Y NODOS DEL CIRCUITO: r = 8 , n = 5.SE CALCULAN EL NÚMERO DE RAMAS DEÁRBOL Y ENLACES DEL CIRCUITO: ra = n - 1 = 5 - 1 = 4 , e = r - ra = 8 - 4 = 4.

SE DIBUJA EL GRÁFICO DEL CIRCUITO SE IDENTIFICA EL ÁRBOL (RAMAS DE ÁRBOL) CON TRAZOS CONTINUOS SIN

(ENLACES) CON TRAZOS DISCONTINUOS .

FORMAR UN LAZO CERRADO Y EL COÁRBOL

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 32ANÁLISIS DE NODOS: Es un método general de análisis de circuito donde los voltajes son las incógnitas que deben obtenerse. Una selección conveniente para resolver muchos circuitos es el conjunto de voltajes de nodos. Puesto que el voltaje se define como el existente entre dos nodos, es conveniente seleccionar un nodo en la red que sea nodo de referencia, y luego asociar un voltaje a cada uno de los demás nodos. El voltaje de cada nodo diferente del nodo de referencia con respecto a éste, se define como un voltaje de nodo. Es una práctica común seleccionar las polaridades de modo que el voltaje de cada nodo sea positivo con respecto al nodo de referencia. El nodo de referencia se especifica a un potencial de tierra o potencial cero, y una vez determinado los voltajes de los otros nodos, éstos están a un potencial mayor o menor a cero con respecto al nodo de referencia. Al nodo de referencia se le suele llamar por esta razón nodo de tierra. (un ejemplo típico de referencia es un edificio cuya referencia de altura es el suelo, teniéndose que una persona que esté en un segundo piso se encuentra a 6 metros del nivel del suelo o una persona que esté en el primer nivel del sótano se encuentra a -3 metros del nivel del suelo, aunque pueda tenerse otras referencias como los metros sobre el nivel del mar u otro punto de referencia geográfico).

Formas de representar el nodo de referencia.

La determinación de las ecuaciones del análisis de nodos se basa en la aplicación de la Ley de Corrientes de Kirchhoff en los nodos que no sea el nodo de referencia. La aplicación de la LCK en un nodo, expresando cada corriente incógnita en términos de los voltajes de nodos resulta en una ecuación de nodo, en consecuencia el número de ecuaciones de nodos es igual a n-1 donde n es el número de nodos. El planteamiento de la LCK no es necesaria en el nodo de referencia, puesto que se comprueba que ésta ecuación se obtiene con la combinación lineal de las ecuaciones de los demás nodos dejando de ser útil en la resolución de los voltajes de nodos. Ejemplo. El siguiente circuito tiene tres nodos, los cuales se han identificado como V1, V2 y el nodo de referencia V3 cuyo potencial es cero (V3=0 Voltios). En el circuito se deben colocar el sentido de las corrientes de los elementos y plantear la LCK en los nodos donde están las incógnitas que queremos determinar, en este caso V1 y V2. Aplicando la LCK en el nodo V1: donde reemplazando las corrientes por medio de la relación volt-ampere en función de los voltajes de nodos: aplicando la LCK en el nodo V2: reemplazando en función de los voltajes de nodos: donde se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las cuales son V1 y V2. Ordenando las ecuaciones agrupando términos semejantes: En los circuitos donde hay fuentes de voltaje se deben tomar las siguientes consideraciones teniéndose dos formas de resolver este problema: La más difícil consiste en asignar una corriente desconocida a la rama en la que se encuentra la fuente de voltaje, luego aplicar la LCK a cada nodo y sustituir las corrientes en función de los voltajes de nodos, después aplicar la LVK para relacionar el voltaje de la fuente con los voltajes de los nodos donde se encuentra ubicada esta fuente, el resultado sería n-1 ecuaciones de nodos (aplicando la LCK) más una ecuación adicional (aplicando la LVK) si solo existe una fuente de voltaje presente en la red (es decir, una ecuación adicional por cada fuente de voltaje que exista en el circuito); esta ecuación adicional que relaciona el voltaje de la fuente con los nodos donde está ubicado se necesita porque la corriente en una fuente de voltaje no se conoce directamente o con una relación volt-ampere, sino que su corriente se adapta a lo que necesite el circuito, por lo que se convierte en una incógnita adicional que se añade a los voltajes de los nodos.

2R

VV

1R

VVI

2R

V

1R

VI 2131

a2R1R

a−

+−

=⇒+=

21a iiI +=

b32 Iii +=

b3221

b3R2R I

3R

VV

2R

VVI

3R

V

2R

V +−=−⇒+=

a21 IV3R

1V

2R

1

1R

1 =−

+ b21 IV3R

1

2R

1V

1R

1 −=

++−

V1 V2

2R

1R

V3

aI 3R bI

V2

2iV1

1R 1i

2R

3R

V3

aIbI3i

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 33Ejemplo. Determinar las ecuaciones de nodos del circuito siguiente: usando el método generalizado se plantea n-1 ecuaciones de nodos, donde n = 5, entonces: n-1 = 5-1 = 4 ecuaciones. Se toma el nodo V5 como nodo de referencia con un potencial de 0 Voltios, V5 = 0 V. nodo V1: nodo V2: nodo V3: nodo V4: Se tienen 4 ecuaciones por LCK, con 7 incógnitas: V1,V2,V3, V4, Ia, Ib e Ic, por lo tanto se necesitan 3 ecuaciones adicionales. Estas se obtienen aplicando LVK en las fuentes: Constantes conocidas: R1, R2, R3, R4, R5. Los valores conocidos: Va, Vb, Vc, V5 (la referencia V5 = 0 volts). Las variables incógnitas: V1, V2, V3, V4, Ia, Ib, Ic. Se tiene entonces un sistema de siete ecuaciones con siete incógnitas. El método más fácil y con el menor número de ecuaciones consiste en notar que básicamente lo que interesa aquí son los voltajes de los nodos, así que se debe evitar la consideración de la corriente en la rama que contiene a una fuente de voltaje y que está causando problemas. Para eliminar la necesidad de conocer las corrientes en las fuentes de voltaje, se encierran las fuentes de voltaje dentro de líneas discontinuas: La región encerrada por las líneas discontinuas se consideran nodos generalizados o supernodos, donde la LCK se mantiene para tales supernodos como para un nodo ordinario. En este caso se procede a aplicar la LCK a cada nodo o supernodo y sustituir las corrientes en función de los voltajes de nodos. En el supernodo se igualan las corrientes que entran a cualquiera de los dos nodos con las corrientes que salen de cualquiera de los dos nodos. Se tienen en este ejemplo 4 nodos que no son de referencia, por lo que se necesitan 4 ecuaciones. Observando por inspección que: (dado que V5 = 0 Voltios) y la relación entre los nodos V1 y V3 es: solo se necesita una ecuación, que se determina aplicando la LCK al supernodo de V1-V3: Constantes conocidas: R1, R2, R3, R4, R5. Los valores conocidos: Va, Vb, Vc, V5 (la referencia V5 = 0 volts). Las variables incógnitas: V1, V2, V3, V4. Se tiene entonces un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Nótese que en los supernodos que contienen al

c31 VVV =− a25 VVV =− b54 VVV =−

1R

VV

3R

VVIiiI 2114

c13c−=−+⇒=+

a3221

a21 I2R

VV

1R

VVIii +

−=−

⇒+=

c534332

c542 I5R

VV

4R

VV

2R

VVIiii +

−+

−=

−⇒++=

3R

VVI

4R

VViIi 14

b43

3b4−=+−

⇒=+

a2 VV −= b4 VV =

c31 VVV =−

5R

VV

4R

VV

1R

VV

3R

VV

2R

VViiiii 534321143254132

−+

−+

−=

−+

−⇒++=+

V1

1R cI1i

2iVc 3i

4i3R

V4

Vb

4RV3

5R bI

V5

2R5iaIVa

V2

V1

1i

V2

3i

V4

4icI

2i

5iaI

V3

V5bI

cI Vc

V1

V3

V2

Va aI

V5

V4

Vb

V5

bI

Va

V2V3

V5

V4

Vb

V1

Vc1R

2R

3R

4R

5R

1i cI

2i 4i3i

bI5iaI

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 34nodo de referencia, no es necesario escribir la LCK para ellos y que además puede relacionarse directamente el voltaje de un nodo con el voltaje de una fuente, reduciendo de esa manera en uno el número de incógnitas por cada fuente conectada al nodo de referencia. A estas fuentes de voltaje conectadas con el nodo de referencia en forma directa o a través de otra fuente, se les llaman fuentes de voltaje aprovechables, por cuanto reducen el número de incógnitas en el circuito. MÉTODO GENERAL PARA PLANTEAR LAS ECUACIONES DE NODO S: - Determinar el número de nodos n. - Escoger uno de los nodos como nodo de referencia. - Asignar una variable de voltaje V1, V2, .....Vn-1 a cada nodo, recordando que se entiende que cada voltaje de nodo está medido con respecto al voltaje del nodo de referencia( al cual se le asignará un potencial de 0 voltios ). A una rama que contiene una fuente de voltaje (dependiente o independiente) se le debe asignar el voltaje de la fuente; y a una rama que contenga un voltaje de control se le debe asignar el voltaje de control. - Si el circuito contiene fuentes de voltaje, conectados directamente entre sus nodos, formar un supernodo alrededor de cada una de dichas fuentes, encerrándolas junto con sus dos nodos terminales dentro de un área delimitada por una línea punteada que representa al supernodo, reduciendo así en uno el número de nodos por cada fuente de voltaje presente. El nombre de los voltajes de nodos asignados a cada nodo deben mantenerse. Usando estos voltajes asignados con respecto al de referencia, aplicar la LCK a cada nodo y a cada supernodo (exceptuando al de referencia) en este circuito modificado. Relacionar V1, V2, ...Vn-1 si aún no están en esta forma. Cada corriente se expresa en términos de las variables de voltajes de nodos definidos anteriormente. - Las fuentes de voltajes que quedan conectadas directa o indirectamente al nodo de referencia, se considerarán fuentes de voltaje aprovechables. - El número de variables de voltaje que se han introducido es: número de variables de voltaje = n – 1 – número de fuentes de voltaje aprovechables. ANÁLISIS DE MALLAS : El método conocido como análisis de mallas o análisis de lazos se basa en aplicar la LVK alrededor de ciertas trayectorias cerradas en el circuito llamadas mallas y al aplicar la relación volt-ampere se obtiene como incógnitas corrientes. Este método es solamente aplicable a circuitos que son planos. Las corrientes incógnitas son las llamadas corrientes de mallas y fluyen alrededor de las mallas. Una corriente de malla se indica por medio de una flecha curva, que casi se cierra sobre sí misma y se dibuja dentro de la malla correspondiente. Aunque las direcciones de corrientes son arbitrarias es recomendable elegir siempre corrientes de mallas que circulen en sentido de las manecillas del reloj. El número de corrientes de mallas de un circuito es igual al número de enlaces en el circuito, pasando una sola corriente de malla por cada enlace del circuito y pudiendo sumarse en las ramas del árbol. Una vez que se determinan las corrientes de mallas se obtienen las corrientes de los elementos del circuito como la sumatoria de las corrientes de mallas que pasen por el elemento y su voltaje se determina con la relación volt-ampere (el voltaje de una fuente de corriente se determina aplicando LVK en una malla donde se encuentre la fuente). Ejemplo Determine las ecuaciones de mallas del siguiente circuito: Lo primero a determinar es el número de ecuaciones de mallas (corrientes) del circuito. Existen 3 nodos y 4 ramas en el circuito. el número de ramas de árbol es: ra = n-1 = 3 - 1 = 2 ramas de árbol. El número de enlaces es la diferencia entre las ramas y las ramas de árbol: e = r -ra = 4 - 2 = 2, lo que indica que el número de corrientes de mallas es 2. Planteando un posible recorrido de las corrientes de mallas, seleccionando una malla interna i2 y una externa i1, esta última se selecciona para evitar que aparezca el voltaje de la fuente de corriente ya que sería una incógnita adicional. planteando la LVK para la malla de i1: La corriente i2 por comparación es la misma corriente de la fuente Ib, por lo que no es necesario plantear la LVK para esa malla. Entonces puede determinarse que existe una sola incógnita la cual es la corriente i1, puesto que es conocida i2 a través de la fuente de corriente Ib.

0VVV 2R1Ra =++− 0ii2Ri1RV 211a =+++− ).(.

b2 Ii =

1R 1Rv

Va bI

2R

2Rv

1R 1Rv

Va bI

1i

2i2R

2Rv

1i2i

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 35 Otra forma de tomar los enlaces y las corrientes de mallas: Esta forma de tomar el sentido de las corrientes de mallas trae la dificultad de que al hacer pasar una rama de árbol por una fuente de corriente, y plantear la LVK en estas mallas aparece el voltaje de la fuente de corriente, variable que no se conoce y no se desea (puesto que solo se quiere las corrientes de mallas). La forma de determinar las ecuaciones es suponer un circuito abierto en la fuente de corriente, obteniéndose una sola ecuación de malla con lo que queda visible del circuito. Esta manera de obtener las ecuaciones se le llama supermalla La otra ecuación necesaria se determina por inspección en la fuente de corriente, como una relación de corrientes. 12b iiI −= Las corrientes de enlaces son las suficientes para permitir la obtención de una solución completa, y el conjunto de ecuaciones de mallas que se usa para calcular las corrientes de enlace es un conjunto de ecuaciones independientes. MÉTODO GENERAL PARA PLANTEAR LAS ECUACIONES DE MALL AS: - Dibujar un gráfico del circuito y luego identificar un árbol. - Determinar el número de nodos, ramas de árbol y enlaces. - Colocar todas las fuentes de voltaje en el árbol (ramas), si es posible. - Colocar todas las fuentes de corriente en el coárbol (enlaces), si es posible. - Colocar todos los elementos con variables de control para las fuentes controladas en el coárbol (enlaces), si es posible. - Asignar una corriente con una flecha de referencia a cada enlace o elemento del coárbol. A cada enlace que contenga una fuente de corriente se le asigna esa corriente como la corriente del enlace. Todas las corrientes de enlaces se devuelven por un único camino cada una a través de las ramas de árbol. - Cerrar un enlace a la vez y aplicar la LVK para cada malla o lazo que no contenga fuentes de corriente. - Para cada fuente dependiente de voltaje o corriente presente, relacionar la variable de la fuente y la cantidad que la controla con las variables de corrientes de mallas i1,i2...im, si aún no están relacionados de esa forma. - Si el circuito contiene fuentes de corriente en ramas de árbol, formar una supermalla por cada fuente de corriente que sea común a dos mallas, aplicando la LVK alrededor del lazo mayor formado por las ramas que no son comunes a las dos mallas, la LVK no necesita aplicarse a una malla que contenga una fuente de corriente que está en los enlaces del circuito. Las corrientes de mallas. ya definidas no deberán cambiarse. - Relacionar cada fuente de corriente que sea una rama de árbol con las variables i1,i2,...im, si aún no están relacionadas de esa forma. - El número de variables de corriente que se han definido son: Nº de variables de corriente (ecuaciones de mallas o lazos) = Nº de enlaces - Nº de fuentes de corriente colocadas en el coárbol (dependientes o independientes).

Va

1R 1Rv

1i

bI

2i2R

2Rv

1i 2i

1R 1Rv

1iVa

2R

2Rv2i

1ibI

2i

0VVV 2R1Ra =++−

0i2Ri1RV 21a =++− ..

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 36COMPARACIÓN ENTRE EL MÉTODO DE NODOS Y EL MÉTODO DE MALLAS. - El método de nodos en general requiere de n-1 ecuaciones pero éste número se reduce en uno por cada fuente de voltaje dependiente o independiente que halla en una rama del árbol, y aumenta en uno por cada fuente dependiente controlada de enlace o controlada por corriente. - El número de lazos requiere básicamente de r-n+1 ecuaciones. Sin embargo, cada fuente de corriente dependiente o independiente reduce este número en uno, mientras que cada fuente dependiente controlada por una corriente de rama de árbol, o por un voltaje, aumenta este número en uno. - En general antes de analizar cualquier circuito se debe observar cuantas ecuaciones se requiere en el análisis nodal y en el análisis de mallas y usar el método más simple o lo que es lo mismo el que tenga menos ecuaciones. Ejemplo. En el siguiente circuito determinar el método que genere el menor número de ecuaciones: n = 5 nodos, r = 8 ramas, ra = n-1 = 5-1 = 4 ramas de árbol, e = r-ra = 8-4 = 4 enlaces # de ecuaciones de mallas =e - Nº fuentes de corriente # de ecuaciones de mallas = 4-3 = 1 ecuación de malla # de ecuaciones de nodos = n-1-fuentes de voltaje # de ecuaciones de nodos = 5-1-0 = 4 ecuaciones de nodos En comparación, por el método de mallas es más sencillo por que se necesita solo una ecuación. Se escogen las fuentes de corriente como enlaces, para que se cumpla la condición planteada. Se cierra el enlace de i1, ya que las corrientes de las mallas de Ia, Ib e Ic son conocidas: constantes conocidas: R1, R2, R3, R4, R5. valores conocidos: Ia, Ib, Ic.variable incógnita: i1. Se tiene entonces una ecuación con una incógnita. Ejemplo. En el siguiente circuito determinar el método que genere el menor número de ecuaciones: n = 4 nodos, r = 6 ramas, ra = n-1 = 4-1 = 3 ramas de árbol, e = r-ra = 6-3 = 3 enlaces # de ecuaciones de mallas = e-fc = 3-1 = 2 # de ecuaciones de nodos = (n-1)-fv = 3-2 = 1. Se plantea el método de nodos, obteniéndose una sola ecuación donde no se conoce el voltaje. Colocando nombres a los voltajes de los nodos, y especificando las corrientes en los elementos, se coloca el nodo de referencia en V2, y se calcula solo la expresión del nodo V1, ya que los voltajes de los demás nodos se conocen por medio de las fuentes de voltaje. constantes conocidas: R1, R2, R3.valores conocidos: Va, Vb,V2, Ic. variable incógnita: V1. Se tiene entonces una ecuación con una incógnita.

0VVVV 2R3R5R1R =+++

0Ii2RIIi3RIi5Ri1R a1ba1c11 =+++++−+ ).().().(.

2Rv

2R

bIaI1R

1RvcI

5R

5Rv

4Rv

3R

4R3Rv

1i

aI

bI

cI

Va Vb1R

2R

3R

cI

c21 Iii =+ c1a12 I

2R

VV

1R

VV =−+−

V2

ai

Va

1ibi

V12i cI

3i

Vb

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Apuntes del Prof. Arturo Castillo. 37PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA : En un circuito donde se cumpla el principio de conservación de la energía, toda la energía producida en la red debe ser consumida en la misma red y viceversa. Esto implica que la sumatoria de las potencias de los elementos de un circuito debe ser igual a cero. Donde n es el número de elementos del circuito, Pj es la potencia de los elementos del circuito. Otra forma de interpretar este principio es que la suma de las potencias entregadas en el circuito debe ser igual a la suma de las potencias consumidas en el circuito. Dependiendo del sistema de referencia utilizado para las fuentes, una potencia entregada tendrá signo negativo (referencia de elemento pasivo) o tendrá signo positivo (referencia de elemento activo) y viceversa cuando consume (recibe) potencia. En general, como las fuentes pueden entregar o recibir potencia, se pueden agrupar las potencias según si son potencias de elementos activos o pasivos. Ejemplo. En el siguiente circuito verificar el principio de Conservación de la energía. Datos: n = 4 nodos, r = 6 ramas, ra = n-1 = 4-1 = 3 ramas de árbol, e = r-ra = 6-3 = 3 enlaces # de ecuaciones de mallas = e-fc = 3-1 = 2 # de ecuaciones de nodos = (n-1)-fv = 3-2 = 1. el método de nodos, genera una sola ecuación donde no se conoce el voltaje. se coloca el nodo de referencia en V2, y se calcula la LCK solo en el nodo V1, ya que los voltajes de los demás nodos se conocen por medio de las fuentes de voltaje y la referencia. resolviendo se obtiene: Una vez calculado los voltajes de nodos, se determina voltaje, corriente y potencia de cada elemento del circuito, comenzando por los resistores; después por medio de ecuaciones de mallas y de nodos (incluyendo al nodo de referencia) se determina voltajes de fuentes de corriente y corrientes de fuentes de voltaje. Se verifica el principio de conservación de la energía.

0Pn

1jj =∑

=

∑∑ = consumidasentregadas PP

∑∑ = asresistencifuentes PP

Va Vb1R

2R

3R

cI

+

−=⇒=−

+−

⇒=+2R1R

2R1RxI

2R

VVI

2R

VV

1R

VVIii c

a1c

1a12c21

.

V2

ai

Va

1ibi

V12i cI

3i

Vb

V3V1 =

V0V2 =

W249iVPA272RViV7VVV 2R2R2R2R2R1a2R /.// ==⇒==⇒=−=

W2iVPA13RViV2VVV 3R3R3R3R3Rba3R ==⇒−==⇒−=−= ./

W29iVPA231RViV3VVV 1R1R1R1R1R121R /.// ==⇒−==⇒−=−=

Ω=Ω=Ω= 23R22R21R ,,A2IV12VV10V cba === ,,

W18IVIPV9VVVI ccIC1bc ==⇒=−= .

W25IVPVA25iii aaa32a ==⇒=+= ./

W12iVPVA1iii bbba1b −==⇒−=−−= .

∑∑ = asresistencifuentes PP

W2W249W29W12W25W18 ++=−+ //

W31W31 =