3 Samplade system

3. Samplade system

Reglerteknik II – Tillståndsmetoder (419301) 3 – 1

Laboratoriet för reglerteknik Reglerteknik II / KEH

3 Samplade system Vad är ett samplat system? I ett tidskontinuerligt system är alla variabler )(tx , )(ty och )(tu kontinuerliga (funktio-ner) i tiden i den meningen att de är definierade för alla t .

I ett tidsdiskret system är signalerna kända endast vid diskreta tidpunkter 1t , 2t , .

Ett samplat system är ett system där en eller flera (tidskontinuerliga) signaler mäts vid diskreta tidpunkter 1t , 2t , (”sampel” = stickprov).

Ett samplat system är således en tidsdiskret beskrivning av ett tidskontinuerligt system. Vanligtvis är (eller antas) insignaler vara styckvis konstanta över samplingsintervallen 1, ii tt .

3. Samplade system

3. Samplade system 3 – 2


Varför sampling? – Nuförtiden är så gott som alla reglersystem implementerade digitalt i en dator. – En regleralgoritm i en dator arbetar sekventiellt med ändligt många mätdata. Den

avläser mätdata vid diskreta tidpunkter och beräknar styrsignaler vid diskreta tidpunkter baserade på dessa mätdata.

Nackdelar med samplande reglering – I princip är det svårare att reglera ett system med en samplande regulator än med en

tidskontinuerlig, eftersom en samplande regulator bara förfogar över en delmängd av de signaler som en kontinuerlig regulator kan använda. Samplande regulatorer kan således i princip inte ge bättre reglering än klassen av tidskontinuerliga regulatorer.

– Om samplingsintervallet är långt, kan betydande saker ske mellan samplings-ögonblicken vilket regulatorn inte får information om.

– Instabilitet i återkopplade system beror på att ”man litar för mycket på för gammal information”. Samplande regulatorer använder information som kan vara upp till ett samplingsintervall gammal.

3. Samplade system



Fördelar med samplande reglering – Datorimplementering är enklare och billigare än analog implementering. – Man har inga principiella begränsningar på karaktären av reglermekanismerna —

komplexa och sofistikerade reglerlagar kan enkelt implementeras i ett program. – Olinjäriteter och villkor av olika slag (t.ex. variabelbegränsningar) kan beaktas enklare

än vid tidskontinuerlig reglering. – System som innehåller tidsfördröjningar (dödtider) kan enklare behandlas med

samplad reglering än med tidskontinuerlig reglering. Vid tidsfördröjningar syns effekten av insignaler inte genast i utsignalerna. För att

veta den kommande effekten bör regulatorn ”minnas” vilka insignaler som påverkat systemet; detta är enklare vid samplad reglering, där insignalerna är konstanta över samplingsintervallet, än vid tidskontinuerlig reglering, där insignalerna varierar ”godtyckligt” och inte kan registreras för alla t .

3. Samplade system



Två typiska situationer för sampling Det finns två typiska situationer då man vill beskriva ett tidskontinuerligt system med hjälp av ett tidsdiskret system: – Vi har utgående från en tidskontinuerlig systembeskrivning ”designat” en tidskonti-

nuerlig regulator, som vi vill implementera i en dator med hjälp av en tidsdiskret regleralgoritm. Den tidskontinuerliga regulatorn bör således samplas.

– Vi har en tidskontinuerlig beskrivning av ett system, som vi först samplar (diskre-tiserar) för att därefter använda tidsdiskret designteori för att direkt bestämma en tidsdiskret regulator.

Vi kommer att behandla båda fallen, dock mera ingående det tidsdiskreta design-problemet.

3.1 Linjära tidsinvarianta modeller



3.1 Linjära tidsinvarianta modeller Sampling av ett tidskontinuerligt system Tillståndsmodellen

)()()()()()(

tttttt

DuCxyBuAxx

(3.1.1)

har enligt tidigare lösningen

d)(e)0(e)(0

)( uBxx AA t

ttt (3.1.2)

Eftersom IAA ttee kan detta även skrivas

d)(e)0()(e0

uBxx AA t

t t (3.1.3)

För 1 ktt resp. ktt fås då

d)(e)0()(e1

1

01 uBxx AA

kk

t

kt t och d)(e)0()(e

0

uBxx AA k

k

t

kt t




Subtraktion av ekvationen till höger från den till vänster ger

d)(ee)(e)(1

1)1(1 uBxx AAA

k

k

kkkt

t

tk

ttk tt (3.1.4)

Definitionen kk tth 1 och byte av integrationsvariabel (kallas dock fortfarande ) ger

10

( ) e ( ) e ( )dh

hk kt t A Ax x Bu (3.1.5)

Om )(tu är konstant )( ktu över samplingsintervallet 1, kk tt , dvs )()( ktuu , h0 , fås

)()()( 1 kkk ttt uGxFx (3.1.6) där

hAF e , 0

e dh

t t

AG B (3.1.7)




Om varje samplingsintervall har längden h , gäller khtk , ,2,1,0k . Antag att ( )tu är konst. )( ktu över varje samplingsintervall 1, kk tt , ,2,1,0k .

Då gäller (3.1.6) för godtyckliga heltal k , och vi kan skriva

)()())1(( khkhhk uGxFx , ,2,1,0k (3.1.8)

eller kortare, med ”underförstått” samplingsintervall (eller tiden normerad så att 1h ),

)()()()()()1(

kkkkkk

uDxCyuGxFx

(3.1.9)

Numeriskt beräknas matriserna F och G enklast enligt SBGASIF , (3.1.10) där

hhhhth

t

3322

0 !41

!31

!21de AAAIS A (3.1.11)

Matrisen F , dvs systemmatrisen för ett tidsdiskret system, kallas vanligen övergångs-matrisen.




Exempel Sampla den linjära kontinuerliga tillståndsmodellen

)()(

)(2)(1,0)(txty

tutxtx

med samplingsintervallet 1h tidsenhet.

Vi får

9516258,01200001,0

24001,0

601,0

21,01de

1

0

1,0 ttS

och 9048,09516258,01,01 ASIF , 9033,129516258,0 SBG dvs

)()(

)(9033,1)(9048,0)1(kxky

kukxkx

Figuren tidigare visar utsignalen för detta system med den i figuren givna stegvist varierande insignalen; heldragen signal = kont. modell, punkter = samplad modell.




Från samplat system till tidskontinuerligt system Betrakta det tidsdiskreta systemet

)()()1( kkk uGxFx (3.1.12)

Vi söker den tidskontinuerliga systembeskrivningen

)()()( ttt BuAxx (3.1.1)

som vid sampling med det konstanta samplingsintervallet h ger den tidsdiskreta system-beskrivningen.

Problemet är i princip enkelt att lösa. Vi löser först A ur

FA he (3.1.13) och därefter B ur

GGSB A1

0

1 de

t

ht (3.1.14)




Förutom det rent matematiska/numeriska problemet att bestämma A finns två tänkbara komplikationer:

FA he kan sakna lösning

FA he kan ha flera lösningar

Exempel på ingen lösning Det tidsdiskreta systemet

)()(

)()()1(kxky

kukxkx

har ingen kontinuerlig motsvarighet med ordningstalet 1 eftersom 1e ah saknar reell lösning för a .




Exempel på flera lösningar Det samplade systemet (”den harmoniska oscillatorn”)

)()sin()cos(1)()cos()sin(

)sin()cos()1( kuhhkhh

hhk

xx

med samplingsintervallet h ger en kontinuerlig systembeskrivning med

0

0

A ,

0

B

där

kh

2, ,2,1,0 k

vilket enkelt kan verifieras genom sampling av det kontinuerliga systemet. Det finns således oändligt många kontinuerliga system som i detta fall ger ett och samma samplade system.

2.3 Samplade system

3.2.1 Pulsöverföringsoperatorn 3 – 12


3.2 Insignal-utsignalsamband 3.2.1 Pulsöverföringsoperatorn (q)H I analogi med överföringsoperatormatrisen )p(G för en kontinuerlig systembeskrivning, där td/dp är deriveringsoperatorn så att )()p()( tt uGy , kan vi även för en tidsdiskret systembeskrivning härleda en överföringsoperator )q(H kallad pulsöverföringsoperatorn.

Definiera förskjutningsoperatorn (även kallad skiftoperatorn) q enligt

)1()(q)()(q kfkfhtftf (3.2.1)

där )(kf betecknar den k :te samplingen av signalen )(tf . Operatorn q förskjuter således en signal en sampling framåt i tiden.

För systemet )()()1( kkk uGxFx , )()()( kkk uDxCy , fås då

)()q()()(q)()()1()(q 1 kkkkkkk uGFIxxIuGxFxx

)()q()()()( 1 kkkk uDGFICDuxCy dvs )()q()( kk uHy där DGFICH 1)q()q( (3.2.2)

3.2 Insignal-utsignalsamband

3.2.2 Differensekvationer 3 – 13


3.2.2 Differensekvationer Varje element )q(H i matrisen )q(H är pulsöverföringsoperatorn för sambandet mellan en given utsignal )(ky och en given insignal )(ku . Dessa element är rationella uttryck i q och kan allmänt skrivas

)q()q()q(

ABH där

nnnn

nnnn

aaaA

bbbbB

qqq)q(

qqq)q(

11

1

11

10

(3.2.3)

Eftersom )()q()( kuHky fås

)()qqq()()qqq(

)()q()()q(

11

1011

1 kubbbbkyaaakuBkyA

nnnn

nnnn

(3.2.4)

som vid upprepad användning av definitionen på q ger differensekvationen

)()1()()()1()( 101 kubnkubnkubkyankyanky nn eller )()1()()()1()( 101 nkubkubkubnkyakyaky nn (3.2.5)




Från differensekvation till tillståndsform Precis som för kontinuerliga systembeskrivningar är det för tidsdiskreta beskrivningar möjligt att bestämma en tillståndsmodell utgående från ett insignal-utsignalsamband, i detta fall en differensekvation.

Exempel Överför systemet )1()2(05,1)1(80,1)( kukykyky på tillståndsform.

Systemets ordning bestäms av antalet tidsförskjutningar av utsignalen och är lika med gradtalet för polynomet )q(A . I detta fall är systemet av andra ordningen.

Vi skriver systemet som )()1(05,1)(80,1)1( kukykyky och väljer (t.ex.) tillståndsvariablerna )1()(1 kykx och )()(2 kykx , vilket ger

)()1( 21 kxkx , )()(05,1)(80,1)1()1( 122 kukxkxkykx , )()( 2 kxky

eller i matrisform

)(10)(80,105,1

10)1( kukk

xx , )(10)( kky x




Exempel: En enkel diskret modell för ett curlingspel för en pekskärmsdator. Positionen på fingret: 1u och 2u Positionen för stenen: 1x och 2x Vårt finger påverkar stenen med kraften ( )s i ik u x Friktionskraften blir f ik x Newtons lag: ( )i s i i f imx k u x k x .

Approximera ( ) ( 1)x k x kxh

, 2

( 1) ( ) ( 1) 2 ( ) ( 1)x k x k x k x k x kxh h

Vilket ger ( 1) 2 ( ) 1 ( 1) ( )i i i ix k a b x k b x k au k , 2

sk ham

fk hb

m

Med definitionerna 3 1( ) ( 1)x k x k och 4 2( ) ( 1)x k x k , fås 2 0 1 0 0

0 2 0 1 0( 1) ( ) ( )

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0

a b b aa b b a

k k k

x x u




Anmärkningar: fk och sk är valbara parametrar, och man kan eventuellt påverka fk genom att

sopa på banan. För att modellera det att vi släppt taget om stenen (eller lyft upp fingret) så skall vi

sätta 0a . Rotationsrörelse för stenen kan även enkelt modelleras, som även inför nya krafter i

systemet (en roterande sten rör sig inte rakt, därför att man får mera friktion på den sida som rotationsrörelsen går i mot stenens rörelse).

För numeriska beräkningar så är differensekvationerna sannolikt effektivare denna gång.

Differensapproximationerna av derivatorna är lämpligare denna gång än antagandet om att insignalen är konstant mellan samplingstiderna (vilket den nu knappast är), som vi gjorde tidigare. Mera om detta i kapitel 4.1 i samband med diskretisering av regulatorer.

Om vi skulle ha använt bakåtdifferens i båda derivata-approximationerna så skulle vi få ( 1)k x att bero på ( 1)k u , vilket skulle kräva att vi i tillståndsekvationen skulle behöva införa en D-matris. Antagligen mindre realistiskt så.


3.2.3 Pulsöverföringsfunktionen 3 – 17


3.2.3 Pulsöverföringsfunktionen ( )zH Analogt med Laplacetransformen för tidskontinuerliga systembeskrivningar kan man för tidsdiskreta beskrivningar använda en s.k. Z-transform, som för en tidsdiskret signal

)(kf definieras

0

)()(k

kzkfzF (3.2.6)

där z är en komplex variabel.

Med hjälp av Z-transformen kan insignal-utsignalsambandet för ett tidsdiskret MIMO-system skrivas )()()( zzz UHY (3.2.7)

där )(zY och )(zU är Z-transformerna av utsignalen )(ky resp. insignalen )(ku och )(zH är systemets pulsöverföringsmatris (pulsöverföringsfunktion).

Pulsöverföringsfunktionen kan erhållas från en tillståndsbeskrivning för systemet enligt

DGFICH 1)()( zz (3.2.8)


3.2.3 Pulsöverföringsfunktionen 3 – 18


Av ovanstående följer att pulsöverföringsfunktionen )(zH (eller matrisen )(zH ) enklast erhålles genom att ersätta operatorn q i pulsöverföringsoperatorn )q(H (eller matrisen

)q(H ) med den komplexa variabeln z .

Observera analogin med överföringsfunktionen )(sG och överföringsoperatorn )p(G för kontinuerliga system. Övning 3.2.1 Bestäm Z-transformens pulsöverföringsfunktion för systemet

)(10)(80,105,1

10)1( kukk

xx , )(10)( kky x .


3.2.4 Bakåtskiftoperatorn 3 – 19


3.2.4 Bakåtskiftoperatorn -1q Operatorn q förskjuter en signal en sampling framåt i tiden. Analogt kan vi definiera en förskjutningsoperator 1q som verkar bakåt i tiden enligt

)1()(q 1 kfkf (3.2.9)

Allmänt gäller )()(q nkfkfn (3.2.10)

där n är ett godtyckligt heltal.


3.2.5 Frekvenssvar 3 – 20


3.2.5 Frekvenssvar I analogi med det kontinuerliga fallet så kan man även utnyttja överföringsfunktionen för ett diskret system för att beräkna frekvenssvaret för systemet.

I det kontinuerliga fallet gjorde vi det genom att ersätta s med j , där 1j och är frekvens.

I det diskreta fallet ersätter man z med j he , eller ekvivalent ersätta 1q med j he , där h är samplingstid. Man kan även direkt använda en tillståndsmodell ( , , , )F G C D för att beräkna frekvenssvar, genom att ersätta z med j he i (3.2.8). Frekvenssvaret för diskreta system blir som väntat bara för frekvensintervallet

0, / h , mera om det i nästa kapitel.

3. Samplade system

3.3 Val av samplingsintervall 3 – 21


3.3 Val av samplingsintervall Vad påverkar valet av samplingsintervall? Den samplade systembeskrivningen )()()1( kkk uGxFx (3.1.12)

ger den exakta lösningen till det kontinuerliga systemet )()()( ttt BuAxx (3.1.1)

i samplingstidpunkterna kht , 0,1,2,k ifall insignalerna är konstanta i varje enskilt samplingsintervall hkkh )1(, .

Spelar det då någon roll hur vi väljer samplingsintervallet under förutsättning att kravet på konstanta insignaler alltid kan uppfyllas?

Svar: Ja!

För att det samplade systemet skall ge rätt bild av det kontinuerliga systemets egen-skaper krävs att ”inget väsentligt” hinner ske i systemet mellan samplingspunkterna.

Samplingsintervallet bör således vara ”tillräckligt litet”, men hur litet?

3.3 Val av samplingsintervall

3.3.1 Aliaseffekten 3 – 22


En avvägning av olika aspekter som borde beaktas vid valet av samplingsintervall i ett reglersystem inbegriper det öppna (dvs oreglerade) systemets egenskaper det slutna (dvs reglerade) systemets önskade egenskaper metoder för design av samplande regulatorer mätnoggrannhet

I princip vill man sampla så sällan som möjligt eftersom ett onödigt litet samplings-intervall kan ge problem med datorimplementering, slitage på ställdon samt ev. numeriska problem pga stor datamängd med redundant information.

Kravet att uppnå önskade reglerprestanda (t.ex. i form av stabilitetsmarginaler) kräver dock att man samplar tillräckligt ofta (dvs tillräckligt snabbt).

Dessa motstridiga krav kräver kompromisser och kvalitativa avvägningar.

Två mättekniska faktorer, som har betydelse för valet av samplingsintervall och som kan analyseras mera konkret, är den s.k. aliaseffekten och behovet av mätvärdesfiltrering.




Aliaseffekten Ett problem vid sampling är att höga frek-venser kan uppträda i form av ”falska” lägre frekvenser.

I illustrationen till höger har man genom sampling (mellersta figuren) fått fram ett ”sannolikt” beteende (nedersta figuren) som inte alls existerar (översta figuren).

Omvänt kan man genom sampling med det använda samplingsintervallet inte skilja på frekvenserna i översta och nedersta figuren — samplingsresultatet blir i båda fallen det i den mellersta figuren.




Vad göra åt aliaseffekten? Orsaken till aliaseffekten är att vi samplar för långsamt i förhållande till en (relevant) frekvens i den samplade signalen. Vi bör således sampla snabbare. Men hur snabbt? Några definitioner Samplingsfrekvensen hf /1s [Hz], där h är samplingsintervallet [sek]

Samplings(vinkel)frekvensen h/2s [rad/sek]

Nyquistfrekvensen h/2/sN [rad/sek]

Samplingsteoremet

En kontinuerlig signal som inte innehåller någon frekvens högre än Nyquistfrekvensen N kan exakt rekonstrueras från samplade data.

Omvänt gäller att ingen frekvens som är högre än Nyquistfrekvensen N kan efter sampling skiljas från en lägre frekvens i intervallet N,0 . Frekvenser N som samplas så uppträder i den samplade signalen under aliasfrekvensen a N2 .




Valet av samplingsintervall

Av samplingsteoremet följer att information om frekvenser som är högre än Nyquist-frekvensen går förlorad vid samplingen. Man bör därför välja samplingsintervallet så, att frekvenser högre än Nyquistfrekvensen h/N är ointressanta, dvs mest ”brus”.

Om man är intresserad av frekvenser upp till frekvensen max , dvs av frekvenser i intervallet max,0 , bör samplingsintervallet h då väljas så, att

max/h (3.3.1)

Märk att valet av samplingsintervall utgående från samplingsteoremet är motiverat av informations-/mättekniska faktorer.

Det kan finnas andra faktorer, t.ex. krav på reglerprestanda, som gör att man väljer ett samplingsintervall max/h . Då gäller att maxN , dvs dessa frekvenser är inte identiska.


3.3.2 Filtrering 3 – 26


3.3.2 Filtrering Oberoende av enligt vilka kriterier man valt samplingsintervallet h gäller att man inte kan få tillförlitlig information om frekvenser högre än Nyquistfrekvensen h/N .

Om frekvenser högre än Nyquistfrekvensen förekommer i en samplad signal är detta enbart till skada, eftersom de pga av aliaseffekten kommer att tolkas som lägre frekvenser.

Mätbrus bidrar typiskt med sådana frekvenser, men det kan också vara frågan om mera regelbundna systemegenskaper med frekvenser N , som man av någon anledning inte vill beakta.

Pga aliaseffekten bör sådana frekvenser elimineras (eller dämpas) genom filtrering före samplingen (dvs mätningen).

Därför skall signalen före samplingen filtreras med ett lågpassfilter som eliminerar frekvenser N / h .

Ett dylikt församplingsfilter kallas även antialiasfilter.




Antialiasfiltret Antialiasfiltrets uppgift är således att eliminiera högre frekvenser än Nyquistfrekvensen

N . Detta kan åstadkommas med ett lågpassfilter med en bandbredd B något större än N . Bandbredden B är den frekvens där filtrets förstärkningsförhållande är 2/1 .

Ett första ordningens system 11( ) T sG s är ett enkelt analogt lågpassfilter. Kravet

ovan innebär att man bör välja dess tidskonstant 0,3T h , där h är samplingsintervallet för den efterföljande samplingen av den filtrerade signalen.

Idealt borde lågpassfiltret släppa igenom alla frekvenser upp till Nyquistfrekvensen. Detta är dock inte möjligt i praktiken, utan man måste nöja sig med en approximation. En skarpare separering av frekvenser som filtreras och inte filtreras kan dock fås med ett filter av högre ordning, t.ex. nsT

sG)1(

1)(

.

Det finns också mer avancerade filter såsom Besselfilter, Butterworthfilter, Chebysjev-filter, ITAE-filter.




Observera att antialiasfiltret skall filtrera en signal innan den samplas.

Om man använder ett digitalt antialiasfilter bör signalen (dvs filtrets insignal) inledningsvis samplas med hög frekvens så att filtret approxi-mativt beter sig som ett analogt filter. Därefter samplas den filtrerade signalen på nytt med ett samplingsintervall som bestäms enligt de normala kriterierna ovan.

Ett digitalt lågpassfilter av första ordningen har formen )()1()1()( kaykxakx (3.3.2)

där )(kx är filtrerat värde, )(ky är mätvärde och a är en filterkonstant sådan att ett mindre värde i intervallet 1,0 ger kraftigare filtrering.




Följande två exempel är tagna ur Åström och Wittenmark (1984).

Exempel. Aliasfenomenet.




Exempel. Förfiltrering.

3 Samplade system

3.4 Stabilitet poler och nollställen 3 – 33


3.4 Stabilitet, poler och nollställen Egenvärden Om det tidskontinuerliga systemet )()()( ttt BuAxx har egenvärdena i och vänsteregenvektorerna it , ni ,,1 , gäller

TTiii tAt , ni ,,1 (3.4.1)

För den samplade systembeskrivningen )()()1( kkk uGxFx med samplings-intervallet h gäller

3322!3

1!2

1!1

1e hhhh AAAIF A (3.4.2)

Multiplikation från vänster med Tit ger såsom tidigare för exponentialfunktionen

hi

hii

iee TTT ttFt A (3.4.3) Av detta följer: Om i är ett egenvärde till systemmatrisen A för ett tidskontinuerligt system så är e ih ett egenvärde till övergångsmatrisen F för motsvarande samplade system med samplingsintervallet h .

3.4 Stabilitet, poler och nollställen

3.4.1 Stabilitet 3 – 34


3.4.1 Stabilitet Ett tidskontinuerligt system är stabilt om och endast om systemmatrisens A samtliga egenvärden i , ni ,,1 , har negativ realdel, dvs om

iii j , 0i , ni ,,1 (3.4.4)

Om det tidskontinuerliga systemet är stabilt måste också motsvarande samplade system vara stabilt eftersom signalerna sammanfaller i samplingspunkterna. För det samplade systemets egenvärden hie , ni ,,1 , gäller

)sin(j)cos(eeeee jj hh iihhhhhh iiiiii (3.4.5)

hii

hh iii hh e)(sin)(cosee 22 (3.4.6)

Om 0i är 1e hi , dvs 1e hi . Av detta följer:

Det samplade systemet är stabilt om absolutbeloppet av samtliga egenvärden till över-gångsmatrisen F är mindre än 1, dvs om e 1ih , ni ,,1 , vilket är ekvivalent med

att alla egenvärden ligger innanför enhetscirkeln i det komplexa talplanet.


3.4.2 Poler 3 – 35


3.4.2 Poler Det kontinuerliga systemets poler är, om systemet är styrbart och observerbart, lika med A -matrisens egenvärden.

Om även det samplade systemet är styrbart och observerbart är F -matrisens egen-värden lika med det samplade systemets poler.

Under antagandet om styrbarhet och observerbarhet gäller då:

Om det kontinuerliga systemets poler är i , ni ,,1 , så är e ih , ni ,,1 , motsvarande samplade systems poler då samplingsintervallet är h .

Vi kan konstatera att om 0h , så gäller att 1e hi (dvs allmänt e ihi

).


3.4.2 Poler 3 – 36


Samband mellan det kontinuerliga och det samplade systemets poler

Det streckade området anger lämplig polplacering för ett reglerat system.


3.4.3 Nollställen 3 – 37


3.4.3 Nollställen Det är svårt att beskriva sambandet mellan det tidskontinuerliga och det samplade systemets nollställen. Speciellt kan noteras att Det samplade systemet kan ha både fler och färre nollställen än det tidskontinuerliga. Det samplade systemet kan vara icke-minimumfas även om det tidskontinuerliga är

minimumfas och vice versa.

Det samplade systemets pulsöverföringsfunktion )(zH kan dock analyseras på liknande sätt som det kontinuerliga systemets överföringsfunktion )(sG för att bestämma systemets nollställen.

Speciellt gäller för ett system med en insignal och en utsignal att nollställena ges av

0)( zB då )()()(

zAzBzH (3.4.7)

3. Samplade system

3.5.1 Styrbarhet 3 – 38


3.5 Styrbarhet och observerbarhet 3.5.1 Styrbarhet Styrbarhet innebär såväl för samplade som kontinuerliga system att tillståndet kan från ett godtyckligt initialtillstånd styras till origo på ändlig tid.

Vid styrning av ett samplat system förfogar man bara över en delmängd av de insignaler som kan användas i ett tidskontinuerligt system, nämligen styckvis konstanta signaler. Detta medför att: Ett samplat system kan vara styrbart endast om det kontinuerliga systemet är det. Om samplingsintervallet är illa valt kan det samplade systemet vara icke-styrbart även

om det kontinuerliga systemet är styrbart. Test av styrbarhet Ett samplat system är styrbart om och endast om styrbarhetsmatrisen

GFGFFGGΓ 12c

n (3.5.1)

har full rang (dvs rangen n ).

3.5 Styrbarhet och observerbarhet

3.5.2 Observerbarhet 3 – 39


3.5.2 Observerbarhet Observerbarhet definieras som att endast tillståndet noll kan producera en utsignal-sekvens som är identiskt noll då insignalen är noll. Om andra tillstånd kan ge utsignalen noll är systemet icke-observerbart.

För ett tidskontinuerligt system krävs då att ( )t y 0 för alla t , medan det för ett samplat system räcker att ( )kh y 0 , ,1,0k

Av detta följer att ett samplat system kan vara icke-observerbart ( ( )kh y 0 , ,1,0k ) trots att det kontinuerliga systemet är observerbart ( ( )t y 0).

Test av observerbarhet Det samplade systemet är observerbart om och endast om observerbarhetsmatrisen

1o

nCF

CFC

Γ (3.5.2)

har full rang (dvs rangen n ).

3.5 Styrbarhet och observerbarhet

3.5.2 Observerbarhet 3 – 40


Övning 3.5.1 Betrakta dieselmotorkatalysatorexemplet i Övning 2.2.2, där vi funderade på om vi kunde observera halten av xNO och 3NH på basen av en mätning som var summan av xNO och 3NH . Undersök observerbarheten om man antar att dynamiken i katalysatorn i stället för en tidkonstant är en dödtid som är a) lika stor b) olika stor för halten av xNO och 3NH . Anta i a) fallet för enkelhets skull att dödtiden är 1 samplingstid lång, och i b) fallet att dödtiden är 1 respektive 2 samplingstider lång.

3 Samplade system

Documents

Transcript of 3 Samplade system