3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3....
Transcript of 3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3....
![Page 1: 3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1 Belka o długo ści 3a jest utwierdzona](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050521/5fa50f1fe069c35ec9620c15/html5/thumbnails/1.jpg)
3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1
Belka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie A zaś w punkcie B spoczywa na podporze
przegubowej ruchomej, rysunek 3.1.1. Aby belka była statycznie wyznaczalna w punkcie D
umieszczono przegub. Wyznaczyć niewiadome podporowe. Belka jest obciążona
obciążeniem ciągłym o intensywności q na długości 2a, a w punkcie C momentem skupionym
M = qa2.
Rys.3.1.1
Rozwiązanie
Wzdłuż osi belki prowadzimy oś x układu współrzędnych, a oś y pionowo w górę przez punkt A (rys.3.1.2).
Rys.3.1.2
W zależności od rodzaju podpór zakładamy w nich odpowiednie niewiadome podporowe. Dla
płaskiego dowolnego układu sił mamy trzy równania, plus jedno równanie momentów
![Page 2: 3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1 Belka o długo ści 3a jest utwierdzona](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050521/5fa50f1fe069c35ec9620c15/html5/thumbnails/2.jpg)
względem przegubu. Często najłatwiej jest ułożyć dwa równania momentów po obydwu
stronach przegubu (wtedy nie wolno układać równania momentów dla całej belki) i dwa
równania rzutów na osie przyjętego układu.
∑∑
=−+=
==
0qa2RR;0F)2
0R;0F)1
BAyiy
Axix
równanie momentów względem przegubu D po prawej stronie przegubu
;02
qaaRM;0M)3
2
BpiD =−⋅+=∑
równanie momentów względem przegubu D po lewej stronie przegubu
∑ =+−= 02
qaaRM;0M)4
2
AyAliD
z równania (3)
2
qaR,qa
2
qaaR B
22
B −=−=⋅
z równania (2)
qa2
5R,
2
qaqa2Rqa2R AyBAy =+=−=
z równania (4)
2A
222
AyA qa2M,qa2
1qa
2
5
2
qaaRM =−=−=
Ostatecznie:
RAx = 0; RAy = qa2
5; RB =
2
qa− ; MA = 2qa2
Zadanie 3.2
Belkę o długości 3a utwierdzono w punkcie A i oparto na podporze przegubowej przesuwnej
w punkcie B. W punkcie D belka posiada przegub. Wyznaczyć niewiadome podporowe w
punktach A i B oraz oddziaływanie w przegubie D gdy belka jest obciążona obciążeniem
![Page 3: 3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1 Belka o długo ści 3a jest utwierdzona](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050521/5fa50f1fe069c35ec9620c15/html5/thumbnails/3.jpg)
ciągłym o intensywności q na odcinku AB, momentem skupionym M przyłożonym do punktu
B i siłą skupioną P działającą w punkcie C pod kątem α, rysunek 3.2.1.
Rys.3.2.1
Dane: a = 1 m; q = 100 kN/m; α = 30o, P = 3
qa; M = qa2.
Rozwiązanie Aby móc wyznaczyć oddziaływania w przegubie D musimy belkę rozbić w tym miejscu na
dwie części – lewą i prawą, rys. 3.2.2.
Rys.3.2.2
Dla obydwu części zakładamy w podporach odpowiednie niewiadome podporowe, w punkcie
D dla strony lewej i prawej zakładamy przeciwnie skierowane oddziaływania pionowe i
poziome, tak aby po złożeniu belki w całość siły te wzajemnie się znosiły.
Aby rozwiązać to zadanie badamy równowagę osobno części lewej i prawej, bo przecież po
uwzględnieniu wzajemnych oddziaływań pomiędzy nimi każda z nich musi być w
równowadze.
Układamy równania równowagi dla części lewej, których jak wiadomo dla płaskiego
dowolnego układu sił jest 3.
![Page 4: 3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1 Belka o długo ści 3a jest utwierdzona](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050521/5fa50f1fe069c35ec9620c15/html5/thumbnails/4.jpg)
1) ∑ =−= 0HR;0F DAxix ,
2) ∑ =⋅−+= 0aqVR;0F DAyiy ,
3) ∑ =⋅−+⋅= 02
aqaMaV;0M ADiA .
Układamy równania dla prawej części: 4) ∑ =α−= ,0sinPH;0F Dix
5) ∑ =α−−−= ,0cosPqaVR;0F DBix
6) ∑ =⋅α−+⋅+⋅= 0acosPM2
aqaaV;0M DiB .
Rozwiązywanie równań rozpoczniemy od części prawej gdyż tam są równania z jedną niewiadomą. z (4) ,kN
6
3100
6
3qa5,0
3
qasinPHD ==⋅=α=
z (6) ,kN100qaa
qa
2
qa
2
3
3
qa
a
M
2
qacosPV
2
D −=−=−−=−−α=
z (5) ,kN502
qa
2
3
3
qaqaqacosPqaVR DB ==⋅++−=α++=
z (1) ,kN6
3100
6
3qaHR DAx ===
z (2) ,kN200qa2qaqaVqaR DAy ==+=−=
z (3) .kNm150qa2
3qa
2
qaaV
2
qaM 22
2
D
2
A ==+=⋅−=
Ostatecznie:
,kN6
3100RAx = ,kN200RAy = .kNm150M A = ,kN50RB =
,kN6
3100HD = ,kN100VD −=
Możemy teraz przeprowadzić obliczenia sprawdzające nie rozdzielając belki w przegubie D rys. 3.2.3.
![Page 5: 3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1 Belka o długo ści 3a jest utwierdzona](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050521/5fa50f1fe069c35ec9620c15/html5/thumbnails/5.jpg)
Rys.3.2.3
Dla belki z przegubem najlepiej jest rozpocząć układanie warunków równowagi od równań
momentów względem przegubu po jego lewej i prawej stronie. Następnie piszemy równania
rzutów na oś poziomą i pionową.
7) 0a2cosP2
aqaMaR;0M B
PiD =⋅α−⋅−+⋅=∑
stąd:
kN502
qa
a
qa2
2
3
3
qa
2
qaR
2
B ==−⋅⋅+=
8) ,02
aqaaRM;0M AyA
LiD =⋅+⋅−=∑
9) ∑ =α−= 0sinPR;0F Axix
kN6
3100
6
3qa
2
1
3
qasinPRAx ==⋅=α=
10) ∑ =α−−+= ;0cosPqa2RR;0F BAyiy
kN200qa22
qa
2
3
3
qaqa2RcosPqa2R BAy ==−⋅+=−α+=
Wstawiając do (8):
kNm150qa2
3
2
qaqa2
2
qaaRM 2
22
2
AyA ==−=−⋅=
Otrzymane wyniki potwierdzają poprawność poprzednich obliczeń.
![Page 6: 3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1 Belka o długo ści 3a jest utwierdzona](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050521/5fa50f1fe069c35ec9620c15/html5/thumbnails/6.jpg)
Zadanie 3.3
Dla ramy przedstawionej na rysunku 3.3.1 wyznaczyć niewiadome podporowe w punktach A
i B. Rama obciążona jest na odcinku pionowym obciążeniem ciągłym o intensywności
m
Nq , a w punkcie C przyłożono moment skupiony M = qa2 [Nm].
Rys.3.3.1
Rozwiązanie Przyjmujemy prostokątny układ współrzędnych 0,x,y (rys. 3.3.2) i przyjmujemy zgodnie z
rodzajem podpór niewiadome podporowe. W punkcie A (podpora przegubowa stała)
niewiadoma RA rozłożona na dwie składowe RAx i RAy o kierunkach osi układu
współrzędnych. Zwroty niewiadomych możemy przyjmować dowolnie (przy pewnej wprawie
starajmy się aby były one zgodne z rzeczywistymi, co zmniejsza ryzyko pomyłek w czasie
obliczeń). W punkcie B jedna niewiadoma pionowa RB.
Rys.3.3.2
![Page 7: 3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1 Belka o długo ści 3a jest utwierdzona](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050521/5fa50f1fe069c35ec9620c15/html5/thumbnails/7.jpg)
Równania równowagi dla płaskiego dowolnego układu sił
∑∑∑
=−−⋅=
=+−=
=+−=
02
qaMaR;0M
0RR;0F
0qaR;0F
2
BiA
BAyiy
Axix
z których wyznaczamy reakcje
qa2
3R
qa2
3
2
qaqa
a2
qa
a
qaR
qaR
Ay
22
B
Ax
=
=+=+=
=
Zadanie 3.4
Dla przedstawionej na rysunku 1 konstrukcji wyznaczyć niewiadome podporowe na
podporach A i B oraz siłę w pręcie AB. Pewną część konstrukcji stanowi łuk o promieniu r a
w punkcie C występuje przegub. Obciążenie stanowi siła skupiona P przyłożona w punkcie C,
moment skupiony K przyłożony w punkcie E, oraz obciążenie ciągłe o intensywności q
działające na pionowy fragment konstrukcji rys.3.4.1.
Rys.3.4.1
![Page 8: 3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1 Belka o długo ści 3a jest utwierdzona](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050521/5fa50f1fe069c35ec9620c15/html5/thumbnails/8.jpg)
Dane: h = r = 5m, a = 2m, b = 4m l = 11m, P = 500kN, K = 750kNm, q = 100kN/m. Rozwiązanie Przyjmujemy układ współrzędnych jak na rysunku 3.4.2 i zakładamy niewiadome podporowe
w punktach A i B. Aby uzewnętrznić siłę w pręcie AB przecinamy go w dowolnym miejscu a
do przegubów A i B przykładamy dwie przeciwnie skierowane siły S (rys. 3.4.2) równe sile
wewnętrznej w tym pręcie.
Rys.3.4.2
Jest to płaski dowolny układ z przegubem. Do dyspozycji mamy więc cztery równania
równowagi.
∑∑
=−+=
=−+−⋅=
0PRR;0F)2
0SSRhq;0F)1
yBAiy
Bxix
;0K2
hhqbPlR;0M)3 ByiA =+⋅⋅−⋅−⋅=∑
i warunek momentów względem przegubu C po prawej stronie przegubu:
∑ =++⋅−⋅= 0)ra(RrRrS;0M)4 ByBxpiC
Podstawiamy:
P = q⋅r; K = 3/10q⋅r2; h = r; a = 2/5r; b = 4/5r; l = 11/5r.
∑∑
=⋅−+=
=−⋅=
0rqRR;0F)2
0Rrq;0F)1
yBAiy
Bxix
![Page 9: 3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1 Belka o długo ści 3a jest utwierdzona](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050521/5fa50f1fe069c35ec9620c15/html5/thumbnails/9.jpg)
;0qr10
3
2
rqr
5
4qrr
5
11R;0M)3 2
2
ByiA =+⋅−⋅−⋅=∑
∑ =⋅−++⋅= 0rR)rr5
2(RrS;0M)4 BxBy
piC
z (1) RBx = qr = 500 kN
z (3) kN3,227qr11
5qr
10
3
2
1
5
4
11
5RBy ==
−+=
z (2) kN7,272qr11
6qr
11
5qrRA ==−=
z (4) kN0,182qr11
4qr
115
57qrR
5
7RS ByBx ==
⋅
⋅−=−=
Zadanie 3.5
Wyznaczyć reakcję więzów konstrukcji złożonej z bieżni A B i umieszczonego na niej
wysięgnika W o ciężarze G. Bieżnia posiada w punkcie E przegub, ciężar jej pomijamy.
Wysięgnik styka się punktowo z bieżnią w punktach C i D, i zawieszony jest na nim ładunek
o ciężarze P. Wymiary konstrukcji podano na rysunku 3.5.1 w metrach.
Dane: l = 1m, P = 1 kN, Q = 5 kN. kąt α = 300
Rys.3.5.1
![Page 10: 3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1 Belka o długo ści 3a jest utwierdzona](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050521/5fa50f1fe069c35ec9620c15/html5/thumbnails/10.jpg)
Rozwiązanie
Potraktujemy konstrukcję jako złożoną z dwóch ciał sztywnych. Wysięgnika W obciążonego
tylko pionowymi siłami P i Q (w punktach styku z bieżnią wystąpią tylko oddziaływania
pionowe) i bieżni AB obciążonej siłami oddziaływania wysięgnika.
Obydwa ciała znajdują się w stanie równowagi, muszą więc spełniać warunki równowagi.
Wysięgnik rys.3.5.2.
Rys.3.5.2
Traktujemy go jako całość (nie wyznaczamy sił wewnętrznych w prętach wysięgnika).
Stanowi on płaski równoległy układ sił. Przyjmujemy prostokątny układ odniesienia,
zakładamy w punktach styku pionowe siły RC i RD i układamy równania równowagi
równanie rzutów na oś y
∑ =−−+= 0QPRR;0F)1 DCiy
równanie momentów względem dowolnego punktu np. punktu C
∑ =⋅−⋅−⋅= 0l5PlQl2R;0M)2 DiC
![Page 11: 3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1 Belka o długo ści 3a jest utwierdzona](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050521/5fa50f1fe069c35ec9620c15/html5/thumbnails/11.jpg)
z równania (2)
kN512
55
2
1P
2
5Q
2
1RD =⋅+⋅=+=
wstawiając do (1)
kN1551RQPR DC =−+=−+=
Siłami tymi po zmianie ich zwrotów obciążamy bieżnię w punktach C i D.
Bieżnia rys.3.5.3
Rys.3.5.3
Rozpatrujemy teraz równowagę bieżni jako płaskiego dowolnego układu sił z jednym
przegubem w punkcie E. Ilość równań (3 + 1)., Przyjmujemy układ odniesienia i zakładamy
niewiadome podporowe w punkcie A – RAx, RAy i MA, w punkcie B – RB skierowaną pod
kątem 900 - α = 600 do osi bieżni.
∑ =⋅−= 060cosRR;0F)3 0BAxix
∑ =−−⋅+= 0RR60sinRR;0F)4 DC0
BAyiy
0lRl860sinR;0M)5 D0
BliC =⋅−⋅⋅=∑
0l4RMlR;0M)6 AyACpiC =⋅−+⋅=∑
![Page 12: 3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1 Belka o długo ści 3a jest utwierdzona](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050521/5fa50f1fe069c35ec9620c15/html5/thumbnails/12.jpg)
z(5)
kN3
10
60sin
RR
0
DB ==
z (1)
kN3
560cosRR 0
BAx =⋅=
z (2)
kN12
3
3
105160sinRRRR 0
BDCAy =⋅−+=⋅−+=
z (4) kNm3l3l1l41lRl4RM CAYA ==⋅−⋅=⋅−⋅= Zadanie 3.6
Dwa pełne walce o ciężarach Q1 = 70 kN, Q2 = 10 kN i o promieniach r1 = 300 mm,
r2 = 100 mm umieszczono swobodnie w gładkim cylindrze o promieniu r = 600 mm, rysunek
3.6.1. Wyznaczyć położenie równowagi określone kątem ϕ, reakcje w punktach A i B oraz
wzajemny nacisk walców na siebie. Osie walców i cylindra są poziome. Tarcie w układzie
pominąć.
Rys.3.6.1
Rozwiązanie
W punktach A i B zakładamy reakcje RA i RB, które działają wzdłuż prostych OO1 i OO2, zaś wzajemny nacisk walców oznaczamy symbolami N1 = N2, (rys.3.6.2). Kąt pomiędzy prostymi
OO1 i OO2 oznaczamy α.
![Page 13: 3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1 Belka o długo ści 3a jest utwierdzona](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050521/5fa50f1fe069c35ec9620c15/html5/thumbnails/13.jpg)
Rys.3.6.2
Traktując oba walce jako całość, układamy warunki równowagi jak dla płaskiego dowolnego
układu sił.
∑∑
=−−ϕ−α+ϕ==ϕ−α−ϕ=
0QQ)cos(RcosR;0F)2
0)sin(RsinR;0F)1
21BAiy
BAix
0)sin()rr(Qsin)rr(Q;0M)3 2211iO =ϕ−α−−ϕ−=∑
Rozpoczynamy od wyznaczenia kąta ϕ z równania (3)
Rozwijamy wyrażenie sin(α - ϕ)
0)sincoscos)(sinrr(Qsin)rr(Q 2211 =ϕα−ϕα−−ϕ−
dzieląc przez sinϕ
0cos)rr(Qctgsin)rr(Q)rr(Q 222211 =α−+ϕα−−−
stąd ctgα
α−
−+α−=α
sin)rr(Q
)rr(Qcos)rr(Qctg
22
1122
z twierdzenia cosinusów
)rr)(rr(2
)rr()rr()rr(cos
cos)rr)(rr(2)rr()rr()rr(
21
221
22
21
212
22
12
21
−−
+−−+−=α
α−−−−+−=+
![Page 14: 3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1 Belka o długo ści 3a jest utwierdzona](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050521/5fa50f1fe069c35ec9620c15/html5/thumbnails/14.jpg)
wstawiając:
8,06,01cos1sin
6,0)1060()3060(2
)1030()1060()3060(cos
22
222
=−=α−=α
=−⋅−⋅
+−−+−=α
ostatecznie
046,9
68,05010
30706,05010ctg
=ϕ
=⋅⋅
⋅+⋅⋅=ϕ
z równań (1) i (2) wyznaczamy reakcje RA i RB
kN44,16)sin(
sin05,69R
kN05,69)46,913,53(ctg46,9sin46,9cos
1070
)(ctgsincos
QQR
0QQ)cos()sin(
sinRcosR
)sin(
sinRR
B
000021
A
21AA
AB
=ϕ−α
ϕ=
=−⋅+
+=ϕ−α⋅ϕ+ϕ
+=
=−−ϕ−α⋅ϕ−α
ϕ+ϕ
ϕ−αϕ=
Aby wyznaczyć oddziaływanie pomiędzy walcami rozpatrujemy równowagę tylko jednego z
walców np. pierwszego, rys. 3.6.3.
Rys.3.6.3
![Page 15: 3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1 Belka o długo ści 3a jest utwierdzona](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050521/5fa50f1fe069c35ec9620c15/html5/thumbnails/15.jpg)
Wyznaczamy wartość kąta γ (rys. 3.6.2) z twierdzenia cosinusów:
0
222
211
22
221
21
2112
212
12
2
90
040302
504030
)rr)(rr(2
)rr()rr()rr(cos
cos)rr)(rr(2)rr()rr()rr(
=γ
=⋅⋅−+=
+−−−++−=γ
γ+−−++−=−
Jest to przypadek szczególny i w celu wyznaczenia oddziaływania N1 ułożymy równanie
rzutów na prostą O1O2 gdyż jest ona prostopadła do prostej OO1
kN51,11sin70NN
0sinQN
21
11
=ϕ⋅===ϕ⋅−
W przypadku ogólnym gdyby kąt γ był różny od 900 rzutujemy siły działające na walec 1 na
prostą OO1
γ−ϕ==
=γ+ϕ−
cos
RcosQNN
0cosNcosQR
A121
11A