3-relaciones
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1Dra. Norka Bedregal
1
Estructuras Discretas I
RELACIONES
Universidad Nacional San Agustn
Dra. Norka Bedregal2
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B.
A B = { (x,y) / x A ^ y B }Ejemplo:
Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 }
A x B = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }
REL
ACIO
NES
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NAR
IAS
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2Dra. Norka Bedregal3
Ejemplo:
A = { , , } B = { , , }
REL
ACIO
NES
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Dra. Norka Bedregal4
REL
ACIO
NES
BI
NAR
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3Dra. Norka Bedregal5
Dados los conjuntos
A = { 1 , 2 } y B = { 1 , 2 , 3 }
el grfico cartesiano de A x B es:
La primera componente de
cada elemento del
producto cartesiano es la
abscisa
La segunda componente de
cada elemento del
producto cartesiano es la
ordenada
REL
ACIO
NES
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Dra. Norka Bedregal6
Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano
de dos conjuntos responden a una condicin dada.
REL
ACIO
NES
BI
NAR
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4Dra. Norka Bedregal7
Dom(R) = x / xA (x,y) R
Dom(R) = {b, c, d}
REL
ACIO
NES
BI
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Dra. Norka Bedregal8
Im(R) = y / yB (x,y) R
Im(R) = {1, 3, 4}REL
ACIO
NES
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5Dra. Norka Bedregal9
Una relacin entre los conjuntos A y B es un subconjunto del
producto cartesiano A x B.
Puede estar formada por un solo par ordenado, varios o todos los
elementos de A x B.
Si R es una relacin entre A y B , la expresin x R y significa que (x,y) R , o sea, que x est relacionado con y por la relacin R.
REL
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BI
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Dra. Norka Bedregal10
Relacin sobre n conjuntos
Una relacin entre los conjuntos es cualquier
subconjunto
Los conjuntos son los dominios de la relacin, el nmero de
elementos de se llama cardinalidad, y el nmero se denomina
grado de .
Para indicar explcitamente la relacin es de grado , se dice
tambin que es una relacin -aria.
Observacin:El caso particular de relaciones binarias merece ser tratado aparte, por la riqueza de conceptos y resultados a que da lugar y el tipo de tcnicas que pueden utilizarseREL
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6Dra. Norka Bedregal11
R es una relacin de A en B si es subconjunto del producto cartesiano de los dos conjuntos:
R A xBR es una relacin con dominio A y recorrido BSi (a,b) R, se dice que a est en relacin con b, lo cual se denota aRb
Ejemplo:Sean A = {1, 2} y B = {1, b, c}Los siguientes conjuntos son ejemplos de relaciones de A en B.
Asimismo, el hecho contrario, es decir , suele denotarse por:
, o simplemente
REL
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Dra. Norka Bedregal12
Puesto que las relaciones son conjuntos, todas las operaciones definidas sobre conjuntos se pueden realizar entre relaciones:
Si son relaciones de A en B, entonces
son todas relaciones de A en B, donde la operacin de complemento se efecta con respecto al conjunto universal .
REL
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7Dra. Norka Bedregal13
Ejemplo:
Sean . Consideremos las siguientes relaciones de A en
B:
.
Entonces
REL
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Dra. Norka Bedregal14
Sea R una relacin de A en B y H una relacin de B en C. La relacin compuesta de
A en C, denotada , est definida como sigue:
Es decir,
( ) ( ) ( )[ ]HcbRbaBbsisloysiHRca ,,, o
En consecuencia:
REL
ACIO
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8Dra. Norka Bedregal15
Observacin:
Una definicin alterna para la composicin de relaciones es:
Ejemplo:
Dados A = {1; 2; 3}, B = {a; b; c; d} y C = {x; y; z}
R1= {(1; c); (1; d); (2; a); (3; b); (3; c)}
R2= {(a; z); (b; y); (b; z); (d; x)}
Graficar R1R2
REL
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Dra. Norka Bedregal16
Ejemplo:
Sean
una relacin de A en B.
una relacin de B en C.
Entonces:
Teorema
Sean una relacin de A en B, una relacin de B en C, y una
relacin de C en D. EntoncesREL
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9Dra. Norka Bedregal17
Sea R una relacin binaria en un conjunto .
La potencia n -sima de R, denotada por , est definida inductivamente
por,
Es decir, es la relacin de igualdad en el conjunto A.
Obsrvese que para , es una relacin en A
( ){ }AxxxR = /,0
RRR nn o=+1
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ACIO
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Dra. Norka Bedregal18
Ejemplo:
Sea
Como
se sigue que:
( ) ( ) ( ) ( ){ }2,4,,,,2,,2 abaaaRRR == o( ) ( ) ( ) ( ){ }aabaaaRRR ,4,,,,2,,23 == o
( ) ( ) ( ) ( ){ }aabaaaRRR ,4,,,,2,,34 == o
REL
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Dra. Norka Bedregal19
Sea R una relacin de A en B. La relacin inversa de R es la relacin de B
en A definida por:
Por lo tanto:
En consecuencia:
REL
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Dra. Norka Bedregal20
Teorema
Sean una relacin de A en B, una relacin de B en C, entonces
( )( ) 1111
11
12
121
RR
RRRR
=
=
oo
Ejemplo:
Si R= {(1; b); (1; d); (2; a); (3; b); (3; c)}
Entonces R-1 = {(b; 1); (d; 1); (a; 2); (b; 3); (c; 3)}
Es evidente que
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Dra. Norka Bedregal21
Una relacin entre dos conjuntos admite una representacin matricial, siempre que los dominios de la relacin sean finitos. Sea R una relacin definida de A en B, tal que
Entonces la matriz que representa a la relacin R es una matriz booleana de
orden m x p, definida por:
donde REL
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Dra. Norka Bedregal22
Observacin:Es fcil comprobar que si R es una relacin entre conjuntos finitos, entonces:
jinm ijij ,
Definicin:Dadas dos matrices M y N booleanas y del mismo orden, se dice que M precede a N, lo que se denota M N si se cumple
Teorema:
Dadas dos conjuntos A y B finitos, se tiene:)()(, SMRMBxASR R
ELAC
ION
ES BI
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Dra. Norka Bedregal23
Ejemplo:
Sean A = {1; 2; 3} y B = {1; 2; 3; 4}.
R= {(1; 2); (1; 4); (3; 2); (3; 3)}
S= {(1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 3); (3; 1)(3; 2); (3; 3)}
Operaciones Booleanas:
REL
ACIO
NES
BI
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Dra. Norka Bedregal24
Definicin:Sean M y N dos matrices Booleanas del mismo orden. Entonces si M = (mij) y N = (nij), se define:( )( )( )ij ijij
ijij
mMnmNMnmNM
=
=
=
Ejemplo:Dadas las matrices:
Calcular:
MNMNM
R
ELAC
ION
ES BI
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Dra. Norka Bedregal25
Teorema:Si R y S son relaciones de A en B finitos, entonces:
REL
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Dra. Norka Bedregal26
Producto Booleano de Matrices:Dadas las matrices booleanas M de orden m x n y N de orden n x p. El producto booleano de ambas matrices se realiza de la siguiente forma:
La matriz producto es una matriz boolena de orden m x p
Ejemplo:
Teorema:Si R1 y R2 son relaciones entre conjuntos finitos, y si existe R1 R2, entonces:
REL
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Dra. Norka Bedregal27
REL
ACIO
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