3. Partículas sometidas a fuerzas conservativas: Teoría ondulatoria de Schrödinger

0. Introducción

1. Partícula cuántica en un potencial: ec de Schrödinger(1926)

2. Algunos problemas en 1D: Partícula libre.g p

3. Escalón de potencial.

4 Pozo cuadrado de potencial de paredes infinitas en 1D4. Pozo cuadrado de potencial de paredes infinitas, en 1D

5. Barrera de potencial en 1D. Efecto “túnel”.

6 Pozo cuadrado de potencial de profundidad finita6. Pozo cuadrado de potencial de profundidad finita.

7. La relación de incertidumbre.

8 S l ió é i d l d S h ödi8. Solución numérica de la ec. de Schrödinger

Ejemplo1: pozo cuadrado de potencial

Ejemplo 2: oscilador armónico.

0. IntroducciónEn este capítulo estudiamos la primera teoría cuántica verdaderamente consistente y completa que marca la ruptura con el mundo clásico.

Se puede decir que los desarrollos posteriores no hacen más que extender elSe puede decir que los desarrollos posteriores no hacen más que extender el rango de aplicación de la teoría sin añadir demasiados conceptos verdaderamente nuevos.

E S h ödi ( d l t i ) W H i b ( t i i l)

Por otro lado también la Mecánica Clásica se puede considerar no como otra cosa sino como un caso límite de la cuántica

E. Schrödinger (mec. ondulatoria) y W. Heisenberg (mec. matricial) se propusieron (1926) encontrar un forma de tratar el movimiento de una partícula cuántica sometida a fuerzas conservativas (no conservativas no aparecen nunca a escala atómica o sub atómica) que derivan de un potencial Vnunca a escala atómica o sub-atómica) que derivan de un potencial V.

Al cabo de menos de un año Schrödinger mostró que eran matemáticamente g qequivalentes. Por eso sólo vamos a estudiar el tratamiento o “representación” de Schrödinger

1. Ec. De Schrödinger (1926) I

Reproducimos los puntos clave del artículo de Schrödinger (Annalen der Physik 4, 79 (1926) de 40 páginas

* Sch. retomó (al parecer ya enunciada por Hamilton y mencionada por de Broglie) la analogía óptica geométrica/mecánica clásica:

Principio de Fermat (mínimo camino óptico) principio de mínima acción de Hamilton.

* Consideró que probablemente así como el principio de Fermat es un caso q p p plímite del principio de Huyghens cuando la longitud de onda es muy pequeña, las leyes de la Mecánica Clásica podrían ser un caso límite para partículas de “gran” masa en que la longitud de onda de de Broglie es muy pequeña.g q g g y p q

Los fotones cambian de velocidad y de longitud de onda al pasar de un medio a otro de diferente índice de refracción.

Las partículas clásicas cambian de velocidad cuando cambia la energía potencial pues se cumple:

cteEVmv )(21 2 r

Ec. De Schrödinger (1926) IIRecordemos la ec fundamental de ondas que cumple una partícula libre en 1D:

(1) ),(),(2 2

22

ttxi

xtx

m

2 txm Consideremos una onda “monocromática” (como veremos, es de energía definida)

tiextx )(),(

Pues cualquier función de x y t se puede escribir como superposición de funciones de esa formaPues cualquier función de x y t se puede escribir como superposición de funciones de esa forma

Si la sustituimos en (1) nos queda: 0)(2)(" xmx

m2 (2)0)()(" 2kLlamando:

mk 2 (2) 0)()(" 2 xkx

Cuya solución más general posible es :ikxikx BeAex )(

O sea: es una superposición de dos ondas armónicas de número de ondas k y –kO sea: es una superposición de dos ondas armónicas de número de ondas k, y –k , es decir que el coeficiente de en (2) representa el cuadrado del número de ondas.

Cuando hay una energía potencial V(x) la conservación de la energía 2clásica exige que: )(22 xVEmp

Aceptando la hipótesis de de Broglie: )(21)( 22 xVEmxkkp

Y tit d (2) d 0)()(21)(" xxVEmx Y sustituyendo en (2) queda: 0)()(2)( 2 xxVEmx

Ec de Schrödinger “independiente del tiempo”.

Ec. De Schrödinger (1926) IIILa ec de Schrödinger “independiente del tiempo” se suele escribir como:

(3) )(2 2

22

ExVxm

Esta ecuación debe cumplirla la parte espacial de cualquier función de onda que represente un estado de la partícula con energía definida E.

Si aceptamos la relación de Planck-Einstein E(4) )()(),(

tEiti exextx La función de onda completa es

Y la ecuación que debe cumplir la función completa:

(5) )(2

22

ixV

( ))(2 2 txm

Ecuación de Schrödinger (dependiente del tiempo) en 1DEs la ecuación más importante de la Mecánica CuánticaEs la ecuación más importante de la Mecánica Cuántica.

Dado que es lineal, cualquier combinación de funciones de la forma (4) cumple esta ecuación, es decir cualquier función que pueda representar el estado de la partícula

En cambio sólo funciones que corresponden a estados de energía bien definida cumplen (3).

Ec. De Schrödinger en 3DSin dar detalles (se puede seguir el mismo razonamiento con pequeñas complicaciones adicionales), la ec. (5) se generaliza en 3D a:

El argumento seguido antes se puede seguir en sentido contrario:

(6) ),,,(),,,(),,(),,,(2

22

ttzyxitzyxzyxVtzyx

m

El argumento seguido antes se puede seguir en sentido contrario:

Por el teorema de Fourier (o separación de variables), cualquier función de cuadrado integrable es una combinación lineal de otras de la forma:

tEi titi ezyxezyxtzyx ),,(),,(),,,(

Si le exigimos que cumpla (6) se tiene: (7) ),,(),,(),,(),,(2

22

zyxEzyxzyxVzyxm

Ecuación de Schrödinger “independiente del tiempo” en 3D

Reagrupando se escribe como 0),,(),,(2),,( 22

zyxzyxVEmzyx

Por lo que es una “onda” con ),,(212

22 zyxVEmk

k

Si aceptamos la hipótesis de de Broglie ),,(22 zyxVEmp kp

Por tanto EVm

p2

2

y E es pues la energía y está bien determinada

Estrategia general de solución de problemasEl problema general de MQ se puede enunciar como sigue:

Una partícula está sometida a fuerzas que derivan de un potencial conocido V(r).En t =0 (o en un instante dado cualquiera t0) se encuentra en un estado descrito por la función de onda (r,0).

Se trata de encontrar (r,t) en cualquier otro instante.

La estrategia más frecuente es:

1) Encontrar todas las funciones de onda n(r) que satisfacen la ec. de Schrödinger independiente del tiempo y las energías En correspondientes.

2) E ibi ( 0) bi ió li l d l ( ) ( t t2) Escribir (r,0) como combinación lineal de las n(r) (veremos pronto que esto es siempre posible y bastante simple) es decir, encontrar los coeficientes cn tales que: )0,( ) (ct nn rr

n

Entonces la solución al problema es : ),( )e(cttEi

nn

n

rr n

El paso más difícil es el 1)

Evolución temporal de las funciones de ondaUna idea importante es que todas las funciones de onda que se obtienen a partir de una dada (x,t) multiplicándola por un factor de fase global representan el mismo estado físico de la partícula.

En efecto si multiplicamos (x,t) por ei ( = cte real) la densidad de probabilidad, y todos los valores esperados de magnitudes físicas son los mismos.

Así pues, los estados de energía definida, con uno sólo de los valores En “son estacionarios”, es decir que no evolucionan con el tiempo, pues la función de onda cambia simplemente multiplicada por el factor de fase global exp (-iE t/ħ)onda cambia simplemente multiplicada por el factor de fase global exp ( iEnt/ħ)

Incluso un estado que es combinación lineal de varios con la misma energía definida En (pero otras propiedades diferentes), es estacionario, debido a que

E bi l i t f ió d d bi ió d t d

n (p p p ), , qsu función de onda es la inicial multiplicada por exp(-iEnt/ħ).

En cambio, cualquier otra función de onda, que sea combinación de estados con varios En distintos, cada función n va multiplicada por un factor de fase distinto.

Físicamente los valores medios, etc… cambian con el tiempo: en resumen un estado que no es de energía definida no es estacionario.

2) Algunos problemas: partícula libre 1DNo hay nada nuevo que decir. La ec de Sch. indepte de t ya vista es:

)()(2

22

xEx

)(2 2xm

Que tiene solución para cualquier E > 0 (¿por qué no E<0?). Si llamamos

)( ikxikx BA

2

mEk

)( ikxikxk BeAex La solución más general para cualquier E > 0 dado es:

Y la función de onda completa que corresponde a una energía EE

)(),( )( tkxitkxitEi

k BeAeextx

EQue es una superposición de dos ondas de frecuencia y número de ondas , que se propagan en sentidos opuestos, es decir, la

predicción de de Broglie 2

mEk

E

predicción de de Broglie

El estado más general posible de la partícula es una superposición de funciones de onda )(),( )(

tkkxi dkekgtx p p

con todas las k posibles, es decir un paquete de ondas:

)(),(

k

dkekgtx

3) Escalón de potencial 1D V verdaderoSe tiene:

(2)región ,0 si ,V región(1) , 0 si ,0

)(0 xconst

xxV

(1) (2)

Ec de Srchödinger:

0)()(0)(21)( )1( 212

2

22

2

xkd

xdxmEd

xd 2:llamando 21mEk

V idealizado

(1) (2)

0)()( 0)(21)( )2( 222

2

022

2

xkdx

xdxVEmdx

xd

)()()( 1222 dxdx

:llamando 21

k

2 :llamando 20

2

VEmk

Solución más general posible :a) Si 0 < E < V0 (energía total menor que la altura del escalón)

2 EV )(2d 2i : nº el definimos 20

22

EVmikc real )( )()( )2( 22

2222222

22

xcxc eBeAxxcdt

xd

El 2ª término no es de cuadrado integrable, pues se va a ∞ cuando x∞, así que B2 = 0

En la región (1), la solución más general posible es:

)()()( )1( 111111

212

12

xikxik eBeAxxkxd )()()( 111112 eexxkdx

Condiciones de frontera ISe mostrará más tarde que y ’ deben ser continuas en el escalón (x =0):

)0(')0('

)0()0( 21121

AcBAikABA

)0()0( 2211121 AcBAik

A2 se puede elegir real (se puede multiplicar todo por un insignificante factor de fase constante ei hasta que lo sea) entonces resulta que:q ) q

11121

212

02

1

21 *;1

21;11

211

21 ABAA

kcíBA

EVíA

kcíA

R

)2sin(1)2cos(

Re2*)(

0

1111111

xmEVxmEA

eAeAeAx xikxikxik

1

2

(x)

F de onda Escalón de potencial E = V0/1.1, k1 = 3 m-1

R

)sin(1-)cos(2 xE

xA

EVm

A 02)(

0

(x)

(x

)

xAx

0

22 exp)(-1

-5 0 5 10-2

x(m)

Función de onda total

Los resultados son totalmente análogos a la reflexión total de una onda EM

Finalmente, la función de onda total que corresponde a una E definida se obtiene multiplicando (x) por el factor temporal exp(-it) = exp[-i(ħ) t] .

Los resultados son totalmente análogos a la reflexión total de una onda EM en un medio conductor con frecuencia menor a la de plasma:

A) La f. de o. en el segundo medio (E < V0) no es nula sino evanescente. Es estacionaria no se propaga y su amplitud decrece exponencialmente al penetrar enestacionaria, no se propaga y su amplitud decrece exponencialmente al penetrar en él.

B) La f. de o. en el primer medio es una superposición de dos ondas planas de la misma amplitud una se propaga hacia la derecha y otra hacia la izquierda Enmisma amplitud, una se propaga hacia la derecha y otra hacia la izquierda. En decir, en realidad es también una onda estacionaria.

C) El factor de reflexión es la unidad: 12

21

A

BR

1A

c tE-i

D) Función de onda total para energía E<V0

0si

0 si e )sin(-)cos(),(

1

11

212

xeA

xxkkcxkA

txtEixc

ti

0 si 2 xeAE) Cualquier energía 0< E<V0 es permitida (luego se verá que también cuando E>V0)

Escalón de altura infinita

Si el escalón de potencial es de altura infinita (E << V0) la analogía es con la reflexión total de las ondas EM en un conductor perfecto. En ese caso:

0; ;2i 112

12122

022

BA

ckiAkcEVmikc

La onda evanescente se anula (de amplitud despreciable frente a las del 1er medio)

11211 0 BAABA

La onda evanescente se anula (de amplitud despreciable frente a las del 1er medio)

Además:

La función de ondas total se anula en la interfase:

0)0( 11 tEitEixikxik eBAeeBeAtx 0),0( 1111

11 eBAeeBeAtx

En otros puntos x (x t) corresponde a una onda estacionariaEn otros puntos x, (x,t) corresponde a una onda estacionaria con un nodo en la interfase:

tEitEixikxik exmEiAeeBeAtx

2sin2),( 11111

Escalón de potencial 1D. Caso b) E>V0 Con las mismas definiciones de: 2 21

mEk

R

22

02

VEmk

Tenemos: 0)()()2(0)()()1( 22

22

kxdkxd Tenemos: 0)()( )2(; 0)()( )1( 222

212 xk

dxxk

dx

Y la solución general con E dada es: xikxikxikxik eBeAxeBeAx 1111222111 )( ;)( g 222111 )()(

Es interesante estudiar el caso particular en que no hay onda incidente por la derecha, es decir cuando B2 = 0.

Como antes, sin pérdida de generalidad se puede elegir que A2 sea realxikxikxik eAxeBeAx 111

22111 )( ;)( Y las condiciones de frontera en x =0 imponen:

)0(')0('

)0()0(

2211121

21121

AkBAkABA

Resolviendo en función de A se tiene:Resolviendo en función de A2 se tiene:

21

2112

1

211

21;

21 A

kkkBA

kkkA

22222

1TR2

21

1

1

2

2

21

1

1

2

2

1

2

1

2

2

21

21

2

1

1 2 ; 2 ;!!! 0

kk

kkkT

kkk

vv

AA

vvT

kkkk

ABR

Escalón de potencial 1D. Caso b) E>V0 IISi V0 <0 se pueden aplicar las mismas fórmulas pero ahora k2 >k1.

También en este caso hay una probabilidad no nula de reflexiónTambién en este caso hay una probabilidad no nula de reflexión

Todas estas propiedades ocurren igualmente en la reflexión y refracción de ondas EM Las ecs que dan R y T se llaman

Notar que una partícula clásica:

refracción de ondas EM. Las ecs que dan R y T se llaman fórmulas de Fresnel en la Óptica Física

* se reflejaría con total seguridad si E <V0 (y no tendría acceso a la parte derecha del escalón)

* t iti í t t l id d i E V* y se transmitiría con total seguridad si E > V0.

* Si E = V0 la partícula clásica se detendría justo en el borde superior del escalón.

Contrariamente, una partícula cuántica tiene siempre una probabilidad de reflexión no nula, excepto si k2 >> k1 (escalón descendente infinitamente profundo)profundo)

Escalón de potencial 1D.

Factores de reflexión y transmisión en función de la energíag

Escalón de potencial 1D. Partícula “casi clásica”

Caso b) E>V0Una partícula cuyo comportamiento se

l lá i i t dparezca al clásico viene representada por un paquete de ondas y tiene una energía no perfectamente definida sino que es una superposición de funcionesque es una superposición de funciones de onda con k distintas

La figura representa la evolución de un paquete g(se representa |(x,t)|2 ) que se mueve hacia la derecha, con <E> > V0.

Después del “choque” con el escalón el paquete se divide en dos partes de integrales proporcionales a R y T respectivamente.

El estado final es una superposición cuántica de “partícula a la izquierda” y “partícula a la derecha”

Según la MCL el paquete reflejado no existiríag j

Según la MQ la partícula puede estar en cualquiera de los dos paquetes, el transimitido o el reflejado, con probabilidades T y R.

4) Pozo infinito de potencial 1DSe tiene:

0 ó si, 0 si ,0

)(x axax

xV

Ec de Schrödinger:

0)()(0)(21)( 22

2

22

2

xkd

xdxmEd

xd 2 :llamando 2

mEk

0 a

)()( 222 dxdx

Solución más general posible: cossin'')( kxBkxAeBeAx ikxikx

C di i d tCondiciones de contorno.

Como hemos visto antes si V∞, =0 (físicamente: la partícula no puede estar donde la energía potencial es infinita, ya que no podemos llevarla allí g yni con todo el trabajo del Universo)

Así pues (0)=(a)=0 B=0Y d á 3210i 2

2222kEnπkk Y además: ,...3 ,2 ,1 ;22

,0 sin 22 nn

mamE

akka n

Sustituyendo:xnAxn sin)(

tnixnAextxΨ

tEi

n

2

22

2exp sin)(),( y

an )(

maan

22p)()(

Normalización, exigimos que : 1),(*),()(*)(

dxtxtxdxxx nnnn )()()()(

nnnn

2

0

2

0

22

2 2cos1

21 sin1 Aadx

axnAdx

axnA

aa

00 22 aa

aA 22 Por tanto:

a

Dentro de esta condición la elección del argumento de A es arbitrario g(afecta en una fase global que no tiene importancia física)

Lo más simple es tomara

A 2

a

Finalmente queda: 4321;222

nnE q

xnx sin2)(

tnixnextxΨtEi

22

exp sin2)()(

,...4 ,3,2,1;2 2 nn

maEn

aaxn sin)(

tma

iaa

extxΨ n

22

expsin)(),(

Observar: En/E1

a) Las funciones de onda de energía definida son ondas estacionarias. Como en una cuerda fija por los extremos n = 3

n/ 1

extremos

b) Las energías posibles están cuantificadas: sólo pueden ser los valores que se obtienen dando a nvalores enteros positivos: hay una energía mínima n =2valores enteros positivos: hay una energía mínima con n = 1 (estado “fundamental”)

c) El momento no está definido sino que hay un 50% de posibilidades de p =+ħk y un 50% de p = -ħk

d) Una partícula cuántica con energía definida En no se mueve a un lado y otro rebotando en las paredes: UN

n =1

x/amueve a un lado y otro rebotando en las paredes: UN ESTADO DE ENERGÍA DEFINIDA ES ESTACIONARIO y NO EVOLUCIONA

x/a

e) Espectro discreto de energías. Este es el primer problema en que las energías posibles no pueden tomar cualquier valor, sino exclusivamente las g p p q ,dadas por la fórmula anterior y es debido al confinamiento de la partícula en un espacio limitado, similarmente a las ondas estacionarias en una cuerda tensa.

Se dice que el espectro de energías es “DISCRETO”Se dice que el espectro de energías es DISCRETO .

f) En este caso y para cualquier partícula confinada, el estado de mínima energía o “fundamental” no puede ser de energía cero, pues en ese caso sería p =0, p =0 y como mucho x = a, por lo que no se cumpliría la relación de incertidumbre.

g) Observar que la función de ondas n tiene exactamente n “vientres” y n+1nodos (como una onda estacionaria en una cuerda). Es decir n-1 nodos interiores donde la f.de o. se anula.

Esta es una característica de las f. de o. en 1D, de energía definida que corresponden a una partícula confinada, con cualquier potencial. Los nodos decorresponden a una partícula confinada, con cualquier potencial. Los nodos de los extremos no se cuentan (aquí salen porque V(0)=V(a) =) y pueden no existir si la f.de. o. se va exponencialmente a cero en x ±

h) Es interesante estimar (no es un cálculo riguroso) la energía del nivel fundamental ) ( g ) gsuponiendo que x = a y que xp = ħ/2 (mínima incertidumbre posible)

Para una energía E1 (exclusivamente cinética) 1

2

1 22

mEpm

pE 0)(11

1222 2mEppp mama

EmEapx 2

22

22

2

11 22

42

2

0)(22

ppp

Resulta algo menor que el resultado riguroso (también en realidad x <a), pero le da una interpretación física:

La energía mínima tiene que ser mayor que cero por el principio de incertidumbreLa energía mínima tiene que ser mayor que cero por el principio de incertidumbre

En realidad ,conociendo la f. de .o de deduce que: 12 222222

xa

i) Es interesante y también muy sencillo el problema en 3D: una partícula cuántica encerrada en una caja paralelepipédica:

2221...sin2

12

0

22222

mEapxadxaxx

axxx

cuántica encerrada en una caja paralelepipédica:

casootrocualquieren 0y 0 ,0 si ,0

),,(czbyax

zyxV

caso otrocualquier en ,

Partícula clásica en un pozo infinito de potencial 1DEl problema sólo puede ser casi-clásico para valores grandes de n, en cuyo caso la diferencia de energía entre niveles consecutivos es pequeña relativamente: (E +1-E )/E 2/npequeña, relativamente: (En+1 En)/En 2/n

Una partícula casi-clásica vendría descrita por un paquete de ondas formado por las f. de o. correspondientes a n y unos pocos n’s por encima y por debajo de él.

Como ejemplo: tomemos n= 25,26,27,..33,34,35 con la misma amplitud

La función de onda totalLa función de onda total es un paquete que se mueve a izquierda y derecha y se refleja en lasderecha y se refleja en las paredes, como una partícula clásica.

El t l i (lEl paquete evoluciona (la posición media cambia) porque no es un estado de energía perfectamentede energía perfectamente definida

5) Barrera de potencial, efecto “túnel”.Consideremos ahora el caso en que

(2)ió0iVregión(1) , 0 si ,0

)( tx

V

región(3) , si ,0(2)región ,0si,V)( 0

axaxconstxV

(1) (2) (3)

C A) E<V D fi i EVmmE 22

(1) (2) (3)

Caso A) E<V0: Definimos

EVmcmEkk 0

231

2;2

Ec Schr: xikxik eBeAxxkx 11111111 )(0)()(")1( Ec Schr: eBeAxxkx 111111 )(0)()( )1(

xikxik eBeAxxkx 11333313 )(0)()(" )3(

xcxc eBeAxxcx 22221122 )(0)()(" )2(

Por simplificar consideremos sólo el caso en que en el medio (3) no hay onda propagada hacia la izquierda, es decir B3 = 0.

Por supuesto, lo más general será superposición de este caso y cuando no hay onda hacia la derecha en (1)

Las condiciones de frontera son:

222111

2211

(2)- )1(

BAcBAikBABA

aikacac

aikacac

eAikeBeAc

eAeBeA122

122

31222

322

(3)- )2(

Podemos resolver (ejercicio), en función de A3 que además podemos suponer real:

k1

k1

acikeA

ckiA 21

32

12 1

21

acikeA

ckiB 21

32

12 1

21

2

22

212

22

21 1111 ;1111kcB

kcAB

kcB

kcAA

1

21

211

21

21 22;

22 ikikikik

Lo más interesante son los factores de reflexión y de transmisión de la barrera (hay algo de álgebra pero muy fácil de obtener):

ac

sinh

1

22

TR

VE

VE

acT

1;14

sinh1

00

2

Si c2a >>1 (barrera alta y ancha) vale la aproximación : ace

VE

VET 22

00

116

Lo más importante es que T es pequeño pero no nulo: “EFECTO TÚNEL”.

Una partícula clásica no puede superar la barrera y es totalmente p p p yreflejada si E < V0 . La pasa por encima con total seguridad si E > V0

La probabilidad no nula de encontrar la partícula donde E<V0 porque A2 B 0 (región prohibida clásicamente) y atravesar la barrera aunque la,B2 0 (región prohibida clásicamente) y atravesar la barrera aunque la particula no tenga energía suficiente para superarla por arriba se llama “efecto túnel” y es uno de los efectos cuánticos más sorprendentes.

Hace muchos años que no se discute ya el efecto túnel, sino que se utiliza en muchas aplicaciones tecnológicas, por ejemplo (entre muchísimos casos):

El i i d f t tú l d d d t i l h d lEl microscopio de efecto túnel, donde se determina la anchura de la barrera midiendo el factor de transmisión, para V0 dado.

Los magnetómetros SQUID, donde se usa el efecto Josephson (en el g (fondo es efecto túnel) en anillos superconductores. Se determina el flujo magnético que atraviesa el anillo.

Caso B) E>V0 y también E > 0, V0< 0 (pozo de potencial, energía positiva).

0231

2;2 VEmkmEkk

Ahora definimos las 3 constantes reales:

Análogamente a todo lo anterior las funciones más generales con E definida y

xikxikxikxikxikxik eBeAxeBeAxeBeAx 112211333222111 )(;)(;)(

Análogamente a todo lo anterior, las funciones más generales con E definida, y que satisfacen la ec de Schr. en cada zona son:

Vamos a estudiar los casos en que B3 =0

Igualmente las condiciones de frontera en x = 0 y x = a son:

222111

2211

(2)- )1(

BAikBAikBABA

aikacac

aikacac

eAikeBeAk

eAeBeA122

122

31222

322

i

(3)- )2(

E fá il d j t d f ió d A Fi l t l f t d fl ióEs fácil despejar todo en función de A3. Finalmente los factores de reflexión y transmisión quedan (compruébese):

RATakkkBR 1;sin2

32222

22

1

2

1 R

AT

akkkkkAR

1;

sin4 1

3

2222

22

122

21

221

1

1

Esta situación es completamente análoga a la interferencia de ondas EM múltiples en una lámina plano-paralela de espesor a.

Una partícula clásica nunca sería reflejada, pero una partícula cuántica tiene una probabilidad no n la de reflejarse a nq e la energía sea s perior a la alt ra de laprobabilidad no nula de reflejarse aunque la energía sea superior a la altura de la barrera

excepto sia

nkak 22 0sin

a

En que hay Transmisión total

a

Esa condición se llama de resonancia y consiste en que la semi-longitud de ondaEsa condición se llama de resonancia y consiste en que la semi-longitud de onda en el medio (2) es un múltiplo entero de la anchura de la barrera.

En la óptica se usa este efecto para crear películas antirreflejantes.

6) Pozo cuadrado de potencial de paredes de altura finita. Estados ligados

(2)ió2//2iVregión(1) , 2/ si ,0

)( tax

V

región(3) , 2/ si ,0

(2)región ,2/a/2-si,V-)( 0

axaxconstxV

(Notar que ponemos el origen de coordenadas en el centro del pozo)

Estudiaremos el caso –V0 ≤ E<0 22 VEmmE

02;2 VEmkmE

Una vez más definimos las constantes reales:

La función de onda más general se compone de tres partes:xxikxikxxx eBeAxeBeAxeBeAx 333222111 )(;)(;)(

Para que sea de cuadrado integrable deben ser B1 = A3 =0, y la onda en los medios (1) y (3) no es cero sino evanescente

Las condiciones de frontera en x = -a/2 dan:

12/

2 2

ik

Bik

ikeA aik

medios (1) y (3) no es cero, sino evanescente.

1

2/2 2

Bik

ikeB aik

Y en x = a/2 dan: eikeik

ike

AA ikaika

a

-4

223

Y en x a/2 dan:

kak

kAB

ikA

sin2

422

1

3

1

Ya hemos puesto B1 = 0, ahora, para que A3 = 0 se necesita que:

ikaikaika eikeikeik 22

22 0-

eik

eikeik 0

Las soluciones de esta ecuación dan , k y por tanto los niveles permitidos de energía. Una vez más son las ondas que interfieren constructivamente al g qreflejarse en las paredes, pero ahora la condición es más complicada porque el desfase en la reflexión total no es de .

H d ibl ikaika ikik Hay dos casos posibles: ikaika eikike

ikik

ii); i)

Las soluciones no se pueden obtener analíticamente (es la primera vez en este curso, de una larga serie de casos), pero sí numéricamente. Lo máseste curso, de una larga serie de casos), pero sí numéricamente. Lo más instructivo es obtenerla gráficamente con pequeña manipulación de las ecuaciones

E l i) d j /k 0t

kaEn el caso i) despejamos /k: 0

2tan

k

Definimos una nueva constante: 2200

2

k

mVk

Ahora escribimos:0

20

22

2 2cos1

2tan1

cos

1kkka

kk

kka

ka

0

2cos

Podemos representar gráficamente |cos(ka/2)| y k/k0. Los puntos de corte cuando tan(ka/2)>0 son las soluciones de la ecuación (puntos P en la figura)( ) (p g )

Análogamente en el caso ii) las soluciones se obtienen por los ppuntos de corte entre k/k0 y

|sin (ka/2)| siendo ahora tan(ka/2) <0 (puntos I en la figura)<0 (puntos I en la figura).

7) La relación de incertidumbre de Heisenberg

Definición precisa de la desviación cuadrática media:

dxtxxxtxxxΔx ),(),(* 222

dxtxpx

itxppΔp ),(),(* 2

22

x

Con estas definiciones se puede demostrar rigurosamente que si (x,t) obedece a la ec. de Schródinger, entonces:

21 ΔxΔp

* Ya lo hemos visto en el caso de una partícula libre, para un paquete de ondas especial y sin dar una definición precisa de xp.

* Esta relación indica que es imposible un estado en que x y p estén exactamente determinadas (en MCL se da por supuesto que sí es posible sin ninguna discusión).ninguna discusión).

* Como ya vimos, (detalles matemáticos aparte) es una consecuencia de las propiedades de las ondas: cuanto más monocromática es, más deslocalizado (mayor longitud de coherencia) está el paquete en el espacio(mayor longitud de coherencia) está el paquete en el espacio.

Demostración de la relación de incertidumbre de Heisenberg (H Weyl 1928 Landau-Lifshitz QM II-15)Heisenberg (H. Weyl, 1928, Landau Lifshitz QM, II 15)

Sin pérdida de generalidad y por simplificar la notación supongamos que en el instante t <x> =0 y <p> =0 Sea la función de onda de cuadrado integrableinstante t , <x> =0 y <p> =0. Sea la función de onda, de cuadrado integrable.

Obviamente, si es una constante real cualquiera se cumple: 02

dxdxdx

C l l l i i t i t l 222

Calculemos las siguientes integrales: 222)1 Δxdxx

1.....**)2 22

dxppdxx

xdxdxdx

dxdx

Donde la última integral se realiza por partes u = x, dv = d||2 y 02

xuv

2

22

2 1*.....*)3 Δpdxx

ppdxxx

(Aquí se usa la ec de Schrödinger) xxx

Sustituyendo en la desigualdad de arriba queda: 01 22

22 ΔpΔx

E t ió bóli d b 0 l 1Esta expresión parabólica en debe ser 0 , lo que implica que no puede tener dos raíces reales y el discriminante debe ser 0 :

0141 222 ΔxΔpDiscr

21 ΔxΔp q.e.d.2 q

Veremos que hay casos en que puede darse la igualdad (paquete gaussiano)

8) Solución numérica de la ec. De Schrödinger

La ec. de Schrödinger es muy difícil de resolver para un potencial cualquiera. El único caso sencillo es el potencial constante a trozos (escalones, pozos o p ( , pbarreras de potencial).

Casi los otros únicos dos casos en que es posible una solución analítica, y aún así difícil son el oscilador armónico y el átomo de hidrógeno que másaún así difícil, son el oscilador armónico y el átomo de hidrógeno, que más tarde veremos.

Sin embargo frecuentemente se presentan casos de potenciales de otras formas, por lo que en la era de los ordenadores hacen falta métodos de solución numéricos.

Vamos a estudiar uno particularmente sencillo llamado de diferencias finitas

(que es como aplicar la “fuerza bruta” de cálculo del ordenador, pero (q p , psimplísimo de programar)

Se incluye un programa en lenguaje C (schrodinger.c) que resuelve la ec por este métodoec. por este método.

La solución numérica por diferencias finitas consiste en considerar la función de ondas en puntos discretos, próximos xi:

iixx )()(

Si llamamos = xi+1-xi, podemos hacer una aproximación numérica de las derivadas usando el desarrollo de Taylor alrededor de xi, que suponemos muy bien aproximado:

11

321

321

)(!3

1)("!2

1)(')()(

)(!3

1)("!2

1)(')()(

iIII

iiii

iIII

iiii

xxxxx

xxxxx

8

10

12 V(x)

(x)V1

V(x)

1 )(!3

)(!2

)()()( iiiii

Sumando ambas ecuaciones:

112 2""2 iii 0

2

4

6

VN

Vi

V2

V3

V(x)

211 2

iiiii

Y restándolas:

2

''2 1111

iiiiii

-6

-4

-2

0N

i

23

1

Hacemos Vi V(xi) y sustituimos las aproximaciones en la ec. de Schr. para los puntos xi:

iii EV

112 2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

x

iiiiii EV

m

22

Conviene reorganizar las ecuaciones y escribirlas de la manera siguiente:

iiiii EmmV 2

2

112

2 222

Definimos el número constante adimensional:22 EmDefinimos el número constante adimensional:

2

que es la energía multiplicada por constantes

Definimos también el conjunto de valores

2

2 22

ii

mVvj

2i

Sustituyendo queda: iiiiiv 11

Considerando los números i como las componentes de un vector, el anterior sistema lineal homogéneo de ecuaciones algebraicas expresa un problema de valores propios de una

111

2

1

vv

algebraicas expresa un problema de valores propios de una matriz tridiagonal (sólo son distintos de cero los elementos de la diagonal principal y las dos adyacentes) de tantos elementos como puntos hayamos tomado

...111 3v

como puntos hayamos tomado.

Dicha matriz tiene los valores vi en la diagonal principal,-1 en todos los puntos de las diagonales superior e inferior, y 0 en todos los demás puntos.

Este tipo de matrices son especialmente fáciles y rápidas de diagonalizar

Nótese que al plantear así el problema hemos impuesto implícitamente que la q p p p p qfunción se anula en un punto a la izquierda del primero y uno a la derecha del último, lo que va bien para una partícula confinada, cuando el potencial se hace muy grande (hacemos que el potencial se haga infinito en los extremos)

En otros casos es fácil imponer otras condiciones de contorno

Se suministra libremente en la web

http://fmc.unizar.es/people/elias/Fisica_Cuantica/Fisica_Cuantica.htm

l ( j t bl t id él)el programa schrodinger.c (y un ejecutable construido con él) que diagonaliza la matriz.

Para la diagonalización se utiliza el paquete informático libre eispackg p q p

Para compilar el programa schrodinger.c se necesita tener en el mismo directorio (es muy fácil modificar el programa para que busque las funciones en otro sitio) los archivos eispack.h (cabeceras) y eispack.c (archivos fuente de las funciones usadas)

Ej 1: sol numérica del pozo cuadrado de potencial 1 DTal como está el programa schrodinger.c incluye la función doubleV(double x) que considera dos casos: pozo cuadrado de potencial y oscilador armónico.

Basta modificar ligeramente dicha función para considerar otros casos.

Hay que poner iarmonico=0; y compilar el programa.

El programa pone V =0 si 0< x <10-10m para una partícula de m = 1./6.02217e26 kg (=1 uma masa del protón)

Calcula cada función de onda en 1001 puntos y la energía correspondiente .

(también es fácil y “más científico” programarlo en función de a2m, con lo que la solución es universal De un caso a otro sólo hay que multiplicar por un factor)solución es universal. De un caso a otro sólo hay que multiplicar por un factor)

Resultados del programa:150000

Funciones de onda pozo cuadrado

n=1(fundamental)

50000

100000

150000(m-1) n = 4

Datos. m = 1./6.02217e26 kg = 1 uma, a = 210-10 momega=1x1014 rad/s (cte sin ningún significado aquí)

-100000

-50000

0

numérico n =1 analitico numérico n = 4 analítico

Lista 51 primeros autovalores y energiasn-1 lambda_n En(eV) En/hw E/E00 0,000010 0,020588 0,998004 1,0000001 0,000039 0,082352 3,992007 3,9999902 0 000088 0 185291 8 981979 8 999941

0 200 400 600 800 1000

-150000diferencia (n=4)

no de punto (0:1000)3000

E/E0 analitica

2 0,000088 0,185291 8,981979 8,9999413 0,000157 0,329404 15,967871 15,9998034 0,000246 0,514689 24,949614 24,9995085 0,000354 0,741146 35,927120 35,9989686 0,000482 1,008772 48,900282 48,998073

2000

2500

Niveles de energía pozo cuadrado7 0,000629 1,317563 63,868971 63,9966978 0,000796 1,667517 80,833040 80,9946929 0,000983 2,058631 99,792324 99,99189010 0,001189 2,490901 120,746634 120,98810611 0 001415 2 964322 143 695766 143 983132

1000

1500

En/E

0

11 0,001415 2,964322 143,695766 143,98313212 0,001661 3,478890 168,639494 168,97674313 0,001926 4,034600 195,577573 195,96869314 0,002211 4,631446 224,509737 224,95871615 0,002516 5,269423 255,435702 255,94652816 0 002840 5 948524 288 355165 288 931824

0 10 20 30 40 500

50016 0,002840 5,948524 288,355165 288,93182417 0,003184 6,668742 323,267802 323,91427918 0,003548 7,430071 360,173269 360,89355119 0,003931 8,232502 399,071204 399,86927520 0,004334 9,076029 439,961224 440,841068

n…

Ej 2: sol numérica del oscilador armónico 1 D

Hay que poner iarmonico=1; y compilar el programa.

Tomamos otra vez el programa schrodinger.c

El programa pone V(x) =(1/2) m2x2 para una partícula de m = 1./6.02217x1026 kg(=1 uma masa del protón) con = 1014 rad/s

C l l l f i d d l í 1001 tCalcula las funciones de onda y las energías en 1001 puntos.

También se puede programar usando unidades adimensionales, lo que da una solución universal.

Calcula 1001 energías y funciones de onda pero sólo lista las 50 primeras energías y una f. de o. elegida en la cabecera del programa (nf =0 => fundamental)fundamental)

Función de onda estado fundamentaldel oscilador armónico 14

Resultados (mismos datos anteriores)

100000

120000

140000

160000

8

10

12

14

Lista 21 primeros autovalores y energiasn lambda_n En(eV) En/hw E/E00 0,000798 0,032910 0,499975 1,0000001 0 002395 0 098726 1 499875 2 999900

20000

40000

60000

80000

numérico analítico diferenciax1000 potencial

B

2

4

6

V(x

) (eV

)1 0,002395 0,098726 1,499875 2,9999002 0,003991 0,164535 2,499676 4,9996013 0,005588 0,230338 3,499376 6,9991024 0,007184 0,296134 4,498977 8,9984035 0,008780 0,361924 5,498478 10,9975046 0 010376 0 427707 6 497879 12 996406

400 600-20000

0

no punto Fi(x_I) Fi_analitica

-2

06 0,010376 0,427707 6,497879 12,9964067 0,011972 0,493484 7,497180 14,9951078 0,013567 0,559254 8,496381 16,9936099 0,015162 0,625017 9,495482 18,99191210 0,016758 0,690774 10,494483 20,990014

80

100

numérico analitico (exacto) diferencia x 100

11 0,018353 0,756524 11,493384 22,98791612 0,019948 0,822268 12,492186 24,98561813 0,021542 0,888005 13,490887 26,98312114 0,023137 0,953736 14,489488 28,98042315 0,024731 1,019460 15,487990 30,977525

20

40

60

E/E0

15 0,024731 1,019460 15,487990 30,97752516 0,026326 1,085177 16,486391 32,97442717 0,027920 1,150888 17,484692 34,97113018 0,029514 1,216592 18,482893 36,96763219 0,031107 1,282290 19,480994 38,96393320 0 032701 1 347981 20 478995 40 960035

0 10 20 30 40 50

0

n

20 0,032701 1,347981 20,478995 40,960035

Solución analítica exacta (se verá más tarde):

1 1,...4 ,3 ,2 ,1 ,0 ,21

nnEn eV 03291088.0

21

0 E