40

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN

A méretezés, ellenőrzés célkitűzése:

Annak elérése, hogy a szerkezet rendeltetésszerű használat esetén előírt ideig és előírt bizton-

sággal elviselje az adott terhelést anélkül, hogy benne károsodás lépne fel.

Statikus terhelés: a terhelés időben nem változik.

Méretezés, ellenőrzés statikus terhelésnél:

- Pontbeli jellemző alapján (feszültségcsúcsra).

- Szerkezeti jellemző alapján (teherbírásra, alakváltozásra).

3.1. Méretezés, ellenőrzés feszültségcsúcsra

Feszültségcsúcsra történő méretezés, ellenőrzés esetén a szerkezet veszélyes pontjában kiszá-

mított, a tönkremenetelre jellemző redukált feszültséget hasonlítjuk össze azzal a megengedett

feszültséggel, amelynél már károsodás lép fel.

Károsodás:

-maradó (képlékeny) alakváltozás,

- törés, szakadás.

Anyagszilárdsági jellemző:

0,2pR - folyáshatár,

mR - szakítószilárdság.

Ezek az anyagszilárdsági jellemzők szakító kísérletekkel határozhatóak meg.

a) Speciális eset: egytengelyű feszültségi állapot.

A méretezés, ellenőrzés a következő egyenlőtlenség alapján történik:

= ,jell

z megn

ahol n a biztonsági tényező,

jell a károsodáshoz tartozó szilárdsági jellemző.

Itt nincs probléma, mert csak egy főfeszültség koordináta nem nulla: 0 .z

A szilárdsági jellemzők is az egytengelyű feszültségi állapotra állnak rendelkezésre.

Például:

Húzás:

Hajlítás:

hxM

y

z

F F

y

hxM

z

A feszültségi állapot:

0 0 0

0 0 0

0 0 z

F

.

0 0 0

0 0 0

0 0 z

F

.

b) Általános eset: tetszőleges térbeli feszültségi állapot.

x xy xz

yx y yz

zx zy z

F

Probléma: nem tudjuk, hogy melyik feszültség koordiná-

tát hasonlítsuk össze a meg -tel!

41

Redukált feszültség / egyenértékű feszültség / összehasonlító feszültség

Definíció: Olyan feszültség, amely a pontbeli feszültségi állapotot a károsodás szempont-

jából egyértelműen jellemzi.

A redukált feszültség bevezetésével a tetszőleges térbeli feszültségi állapotot egytengelyű

feszültségi állapotra vezetjük vissza. A redukált feszültség kiszámítására különböző elméle-

tek vannak.

A redukált feszültség meghatározására több elméletet is kidolgoztak. Az elméletek nem ál-

talános érvényűek, vannak olyanok, amelyek rideg anyagok és vannak olyanok, amelyek

alakítható anyagok esetén alkalmazhatók előnyösebben, azaz írják le a valósághoz közel-

állóbban a tönkremenetelt.

Rideg anyagok:

mR

Rideg anyag: nem képes képlékeny alakváltozásra.

A rugalmas alakváltozás után hirtelen (képlékeny

alakváltozás nélkül) törik/szakad el.

Például az öntött vas, kerámia, üveg, stb.

m BR az anyag szakítószilárdsága.

Coulomb1- elmélet: egy feszültségi állapot akkor nem okoz károsodást, ha a feszültségi

állapothoz tartozó legnagyobb normál feszültség kisebb az anyag

szakítószilárdságánál.

Főfeszültségek jelölése: 1 2 3 .

A pontban fellépő legnagyobb normálfeszültség: max 1 3max , .

A Coulomb-féle redukált feszültség: max 1 3max , .red Coulomb

Méretezés, ellenőrzés:

m( ) mred eg

RCoulomb

n , ahol n az előírt biztonsági tényező.

Alakítható anyagok

mR

0,2pR

Alakítható anyag: képlékeny alakváltozásra képes.

A törés csak a képlékeny alakváltozás után

következik be.

Például a fémek, acél, alumínium, stb.

0,2p FR az anyag folyáshatára.

Mohr2- elmélet: egy pontbeli feszültségi állapot akkor nem okoz károsodást, ha a fe-

szültségi állapothoz tartozó legnagyobb Mohr-kör átmérője kisebb,

mint a megengedett feszültség.

1 Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) francia fizikus és hadmérnök. 2 Christian Otto Mohr (1835-1918) német mérnök.

42

A Mohr-féle redukált feszültség: 1 3red Mohr .

Méretezés, ellenőrzés: m( )jell

red egMohrn

,

ahol jell az anyag tönkremenetelét jellemző szilárdsági érték.

Itt általában 0,2jell pR , vagy jell mR és n az előírt biztonsági tényező.

Huber3- Mises

4- Hencky

5- elmélet:

Két feszültségi állapot a károsodás szempontjából akkor azonosan veszélyes, ha a torzulási

alakváltozási energiájuk megegyezik:

1 2T Tu u .

A Huber-Mises-Hencky-féle elmélet szerinti redukált feszültség arányos az Tu torzulási

energiával.

2 22

1 2 2 3 3 1

1( ) 6

2red THMH G u

,

2 2 2 2 2 21

( ) 62

red x y y z z x xy yz xzHMH

.

Méretezés, ellenőrzés: m( )jell

red egHMHn

.

Itt 0,2jell pR , vagy jell mR és n az előírt biztonsági tényező.

A Mohr és a HMH szerint redukált feszültség csak kis mértékben tér el egymástól.

Általában: red HMH < red Mohr .

c) Méretezés, ellenőrzés általános gondolatmenete rúdszerkezetek esetén:

- A rúdszerkezet veszélyes keresztmetszetének megkeresése, meghatározása. A veszélyes

keresztmetszet az, ahol legnagyobbak az igénybevételek.

- A veszélyes keresztmetszeten a veszélyes pontok megkeresése, meghatározása. A veszé-

lyes pontok azok, ahol legnagyobb a red redukált feszültség.

- A veszélyes pontokban a méretezés, ellenőrzés elvégzése: max .red meg

3.2. Méretezés, ellenőrzés szerkezeti jellemzők alapján

A szerkezeti jellemzőre történő méretezés, ellenőrzés esetén nem egy pontbeli érték, hanem a

szerkezet egészére jellemző mennyiség figyelembevételével döntjük el, hogy a szerkezetet

mechanikai, szilárdságtani szempontból megfelelőnek tekintjük, vagy nem.

a) Méretezés, ellenőrzés teherbírásra:

3 Makszimillian Titus Huber (1872-1950) lengyel mérnök. 4 Richard Edler von Mises (1883-1953) osztrák mérnök. 5 Heinrich Hencky (1885-1951) német mérnök.

43

A teherbírásra történő méretezés, ellenőrzés esetén azt az állapotot tekintjük tönkremene-

telnek, amikor a szerkezet minden pontjában eléri a feszültség a folyáshatár értékét.

0,2pR

0,2pR

A teherbírásra történő méretezés, ellenőrzés kiinduló felté-

telezése, hogy:

- az anyag jól alakítható,

- az anyag lineárisan rugalmas, ideálisan képlékeny.

Az ábrán egy ilyen idealizált anyagmodell, a lineárisan

rugalmas, ideálisan képlékeny anyag szakító diagramja

látható.

- Méretezés-ellenőrzés teherbírásra húzás-nyomás esetén:

Ha húzás-nyomás esetén az N húzó/nyomó erőt folyamatosan növeljük, akkor a rúdke-

resztmetszet minden pontjában egyszerre lép fel 0,2pR nagyságú feszültség. Ehhez az ál-

lapothoz tartózó húzó/nyomó igénybevételt KN határerőnek nevezzük. Tönkremenetel az

KN határerőnél lép fel.

yy

S

x

y

z z

0,2pR

növelésetönkremenetel

N .

zN A , 0,2K pN R A . ( KN határerő)

Méretezés, ellenőrzés: max ,Kmeg

K

NN N

n maxN - a rúdban fellépő legnagyobb rúderő,

Kn - előírt biztonsági tényező.

- Méretezés-ellenőrzés teherbírásra egyenes hajlítás esetén:

Ha tiszta egyenes hajlítás esetén az hxM hajlító nyomatékot folyamatosan növeljük, akkor

a rúdkeresztmetszet szélső pontjaiban lép fel először 0,2pR nagyságú feszültség. Az hxM

hajlító nyomatékot tovább növelve a keresztmetszet egyre nagyobb részén fogja elérni a

z feszültség az 0,2pR értéket. Az hxM hajlító nyomatékot tovább növelve végül olyan

állapot alakul ki, hogy a keresztmetszet x tengely fölötti részén minden pontban 0,2pR , a

keresztmetszet x tengely alatti részén pedig minden pontban - 0,2pR feszültség fog fellépni.

Ehhez az állapothoz tartózó hajlító igénybevételt KM határnyomatéknak nevezzük és azt

mondjuk, hogy tönkremenetel az KM határnyomatéknál lép fel.

44

y

xS

hxM

y

A

A

p0,2R p0,2R

p0,2Rp0,2Ry y

z z z

növelésetönkremenetelhxM

.

Hajlító nyomaték:

hx zM y dA

A

.

A tönkremenetelhez tartozó határ hajlító nyomaték:

0,2 0,2K z p p

xx

M y dA R y dA R y dA

A A A

S AS A

.

0,2 .K p x xM R S A S A

Tiszta hajlítás a feszültségeloszlásból nem származhat eredő erő A A .

Például:

S

x

yy

zA

A

hxM

A A

( ) ( )x xS A S A

Kétszeres szimmetrikus

keresztmetszet:

A keresztmetszetnek két

egymásra merőleges

szimmetria tengelye van. x

y

A

A

dA

y

-ydA

S

x

A

S y dA , ,2

AA A

.x xS A S A

0,2 .2

K p x

AM R S

45

Méretezés, ellenőrzés: max m ,Khx h eg

K

MM M

n

maxhxM - a rúdszerkezetben fellépő legnagyobb hajlító nyomaték,

Kn - az előírt biztonsági tényező.

- Méretezés-ellenőrzés teherbírásra csavarás (kör, körgyűrű) esetén:

x

S

R

Fzy

cM

Határnyomaték:

cK F F

p

M R dA R dA

A A

S

,

poláris statikai nyomaték.pS

.cK F pM S

Méretezés, ellenőrzés: max mcK

c c eg

K

MM M

n ,

- maxcM - a rúdban fellépő legnagyobb csavaró nyomaték,

- Kn - előírt biztonsági tényező.

b) Méretezés, ellenőrzés alakváltozásra

Alakváltozásra történő méretezés esetén a vizsgált szerkezetet akkor tekintjük normál

üzemszerű működésre alkalmatlannak, ha a szerkezet alakváltozása egy előírt mértéket túl-

lép.

Például, ha egy megmunkáló gép állványában a megmunkálás során túl nagy deformációk

lépnek fel ,akkor a gép pontos megmunkálásra alkalmatlan lesz.

Például húzás – nyomás esetén:

max

Nl

A E , max meg .

Alakváltozásra kell méretezni például: megmun-

káló gépeket, hidakat, zsilipeket, nagyméretű cső-

elzárókat, stb.

y

x

l max

N

3.3. Gyakorló feladatok méretezésre, ellenőrzésre statikus terhelés esetén

3.3.1. feladat: Méretezés teherbírásra és feszültségcsúcsra

x

y

a

2a S

z2 kN m

2 m4 m

C

9 kNy

A B

Adott:

A tartó méretei, téglalap ke-

resztmetszetének oldalaránya és

terhelése, valamint:

0,2 330F pR MPa, 2Fn .

46

Feladat:

a) A tartó igénybevételi ábráinak megrajzolása.

b) A tartó méretezése teherbírásra.

c) A tartó méretezése feszültségcsúcsra.

Kidolgozás:

a) A tartó igénybevételi ábráinak megrajzolása:

y

2 kN m

2 m4 mC

9 kN8 kN

4 kN

9 kN 12 kN

yT kN

9

1

812

z

z

hxM kNm

11

20

14

A B z

Támasztó erőrendszer meghatározása:

8 2 9 4 4 5 6 0a ByM F ,

12 kNByF .

6 8 4 9 2 4 1=0b AyM F ,

9 kNAyF .

Az igénybevételi ábrák megrajzolása a szo-

kásos módon történik.

Veszélyes keresztmetszet: C

max 20hxM kNm.

b) A tartó méretezése teherbírásra:

y

hxM x

S

F

F

z

y

Határnyomaték:

/ 2 / 2

2 2 2 ( / 2)K F F F x

x

A A

S

M y dA y dA S A

xS - a fél keresztmetszet x tengelyre számított statikai

nyomatéka.

32

/ 2

/ 22 2

x A

A

a aS ydA a .

Hajlítási határnyomaték:

3/ 2

/ 2

2 2K F F x FA

A

M ydA S a .

47

A tartó megfelel, ha az maxK

hx

F

MM

n , azaz

3

maxF

hx

F

aM

n

feltétel teljesül.

6max 33

12 20 1049,49 mm

330

F hx

F

n Ma

.

c) A tartó méretezése feszültségcsúcsra:

A tartó megfelel, ha a maxF

z

Fn

egyenlőtlenség teljesül:

max

max

hx

z

x

M

K ,

2

32 4

6 6x

a aK a

max

3

6

4

hx F

F

M

na

.

6max

336 6 2 20 10

56,65 mm4 4 330

F hx

F

n Ma

.

3.3.2. feladat: Méretezés teherbírásra és feszültségcsúcsra

y

60kN

60kN

40kN

40kN

x

z

A

BC

D

a

a

bc

h e

e

Adott: A kör keresztmetszetű ABCD tartószer-

kezet, melynek jellemző méretei

0,2ma h , 0,4mb , 0,5mc ,

0,3me és 2Fn , 160MPaF .

Feladat:

a) Az ABCD rúdszakasz igénybevételének meg-

határozása.

b) Az ABCD rúdszakasz méretezése teherbírás-

ra.

c) Az ABCD rúdszakasz méretezése feszültségcsúcsra.

Kidolgozás:

a) Az ABCD rúdszakasz igénybevételének meghatározása.

A B pontba redukált nyomaték: 60 0,4 24 kNmB z zM e e .

A D pontba redukált nyomaték: 40 0,6 24 kNmD z zM e e .

Az ABCD rúdszakasz tisztán csa-

varva van!

Veszélyes keresztmetszetek: a B-D

rúdszakasz valamennyi kereszt-

metszete. max 24kNmcM .

xz

cM

z

A B C D

24 24 kNm

a) Az ABCD rúdszakasz méretezése teherbírásra:

48

y

S

x

R

cM

z

F

d

Feszültségeloszlás határállapotban.

Határnyomaték:

cK F F F P

P

A A

M R dA R dA S

S

.

PS - a keresztmetszet S pontra számított poláris statikai

nyomatéka.

/2/2 2 /2 3 32

0 0 0 0

2 23 12

dd d

P

r r rA

r dS r dA r r d dr r dr

.

Csavarási határnyomaték: 3

12cK F P F

dM S

.

A tartó megfelel, ha az maxcK

c

F

MM

n , azaz, ha az

3

max12

Fc

F

dM

n

feltétel teljesül.

6max

3312 12 2 24 10

104,6mm160

F c

F

n Md

.

c) Az ABCD rúdszakasz méretezése feszültségcsúcsra:

y

S

x

R

cM

z

d

Feszültségeloszlás rugalmas alakváltozás esetén.

A tartó megfelel, ha a maxF

Fn

egyenlőtlenség teljesül:

max

max

c

p

M

K ,

3

16p

dK

max

3

16 c F

F

M

nd

.

6max

3316 16 2 24 10

115,2 mm160

F c

F

n Md

.

3.3.3. feladat: Csőtengely méretezése feszültségcsúcsra

49

x

y

d

D

P

Ree

hxM

cM

Adott: egy körgyűrű keresztmetszetű tartó veszélyes ke-

resztmetszetének igénybevétele:

(600 800 ) NmS x zM e e , meg 80 MPa , 2D d .

Feladat:

a) Feszültségeloszlás rajzolása a keresztmetszet x és y

tengelye mentén, a veszélyes pont(ok) meghatározása.

b) A redukált feszültség meghatározása Coulomb, Mohr és

Huber-Mises-Hencky szerint.

c) A keresztmetszet méretezése Mohr-elmélet szerint.

Kidolgozás:

a) Feszültségeloszlás megrajzolása a keresztmetszet x és y tengelye mentén, a veszélyes

pont(ok) meghatározása:

x

y

S

A

B

y

z xz

y

z x

yzx

Veszélyes pontok:

- hajlításból az A és B pont,

- csavarásból a palást minden pontja,

- hajlításból és csavarásból együttesen

az A és B pont.

A keresztmetszet méretezését az A, vagy

B pontbeli redukált feszültség figyelem-

bevételével kell elvégezni.

b) A redukált feszültség meghatározása Coulomb, Mohr és Huber-Mises-Hencky szerint:

, ,

0 0 0

0 0

0

z

R z

z z

F

.

hxz

x

My

I , c

z z

p

M

I , ahol 2p xI I .

max2

hx hxz

x x

M MD

I K , max

2

c cz

p p

M MD

I K , 2p xK K .

A redukált feszültség Coulomb szerint:

50

n

n

2 R 3 1

Z

R

z

z

1( )red Coulomb ,

2

2

12 2

z zz

,

2

2

32 2

z zz

.

22

1max2 2

hx hx c

x x p

M M M

K K K

22

2 2

1max

1

2 2 2

hx hx c redhx hx c

x x p x p

M M M MM M M

K K K K K

.

A redukált feszültség Mohr és Huber-Mises-Hencky szerint:

2

2 2 2

red 1 3( ) 2 42

zz z zMohr

.

2 2 2 2 2 2

red 1 2 2 3 3 1 1 3 1 3

1 1( )

2 2HMH

Behelyettesítés és átalakítás után: 2 2

red 3z zHMH

Összefoglalva:

2 2

red z z , : 4 , : 3Mohr HMH .

2 2

red max red red max maxz zA B ,

red max

22

hx c

x p

M M

K K

2 2

red4hx c

x x

M MM

K K

.

Mohr szerint: 4 : 2 2

4red hx cM M M

2 2 44

6 8 10 1000 Nm4

.

Huber-Mises-Hencky szerint: 3 :

2 2

red4

hx cM M M

2 2 436 8 10 916 5 Nm

4

.

c) A keresztmetszet méretezése Mohr-elmélet szerint:

51

A tartó megfelel, ha red max meg , redmeg

x

M

K red

meg

x

MK

.

Mivel 2D d , ezért 4 4( ) 2

64x

D dK

D

43(16 1) 15

64 64

dd

d

.

A méretezési egyenlőtlenségből: red3

meg

64

15

Md

6

364 10

25 7 mm15 80

,

Szabványos külső átmérőt választva (MSz 4337-64): 60 mmD és 30 mm.d

3.3.4. feladat: Tengely méretezése, ellenőrzése feszültségcsúcsra

x

y

D

d

B

F F

y

z

l

A

Adott:

800 NF , 100 mml ,

150 mmD , 125 MPameg .

Feladat:

A tengely méretezése feszültség-

csúcsra.

Kidolgozás:

Az igénybevételi ábrák megrajzolása:

zyT N

800 800

z

hxM Nm 80

zcM Nm

60

A terhelés redukciója a tengely középvona-

lába.

F

z

y

1M B A

l

Csavaró nyomaték:

1 800 0,075 60Nm2

DM F .

Veszélyes keresztmetszet: A.

Feszültségeloszlás az A keresztmetszetben:

52

x

hxM

cM

S

yT

y y

yz

y

xz

y

z

z

yz

yz

x

x

P

Q

x

nyírás

csavarás

( ),

y x

yz

x

T S y

I a y

max

4,

3

y

yz

T

A

,hxz

x

My

I

max ,hxz

x

M

K

,cz

p

M

I max ,c

z

p

M

K

2 , 2p x p xI I K K .

A veszélyes keresztmetszet

veszélyes pontjai a P és Q

pontok.

Méretezés a P és Q pontokban Mohr szerint:

A redukált feszültség: 2 2

red z xz , : 4Mohr .

2 2

red max red red max maxz xzP Q ,

red max

22

hx c

x p

M M

K K

2 2

red4hx c

x x

M MM

K K

.

Mohr szerint 4 : 2 2

4red hx cM M M

2 24 48 10 6 10 1000 Nm

.

A tartó megfelel, ha red max meg redmeg

x

M

K ,

33red

meg

1000 10800 mm

125x

MK

.

Mivel 3

32x

dK

33 3

32 32 8008150 20,124 mmxK

d

Ellenőrzés az S pontban Mohr szerint:

y

red max meg

44

3

TS

A ,

2 2220,124

318 mm4 4

dA

.

y

red max meg

4 4 8004 2 6,71 MPa 125MPa

3 3 318

TS

A .

A tengely szilárdságtani szempontból megfelel!

53

4. RUGALMASSÁGTANI EGYENLETEK

Célkitűzés: Olyan rugalmas szerkezeti elemeket, alkatrészeket (azaz a mechanikai szóhaszná-

lat szerint testeket) akarunk megvizsgálni szilárdságtani szempontból, méretezni,

ellenőrizni, amelyek nem kezelhetők az eddig használt rúdmodellel. A méretezés-

hez, ellenőrzéshez ismernünk kell a rugalmas test szilárdsági állapotát jellemző

mennyiségeket.

Rugalmas test állapotának jellemzői:

- ( , , )u u x y z elmozdulási vektormező,

- ( , , )A A x y z alakváltozási tenzormező,

- ( , , )F F x y z feszültségi tenzormező,

- ( , , )u u x y z fajlagos alakváltozási energiamező.

Kérdés: milyen általános összefüggések állnak fent ezen állapotjellemzők között?

Válasz: A rugalmasságtani egyenletek.

A rugalmasságtani feladat megfogalmazása:

Adott: - a test alakja és méretei,

- a test anyagi viselkedését jellemző mennyiségek,

- a terhelés és a megtámasztás.

Keresett: , , , .u F A u

Feladat: a rugalmasságtani egyenletek megoldása.

4.1. Egyensúlyi egyenletek – feszültségi állapot

x y

z

n dF F dA

r

V

dV

AdA

dA

O

dF qdV

A testből kiragadunk egy olyan V térfoga-

tot, mely teljes egészében a test belsejé-

ben van.

A V térfogat környezetének mechanikai hatásait erőkkel vesszük figyelembe:

- a térfogaton megoszló elemi erő: dF q dV ,

- a felületen megoszló elemi erő: dF dA F n dA

dA

.

A V testrész egyensúlyban van.

Az egyensúly feltétele: a) 0F

b) 0 0M .

54

a) Egyensúlyi egyenletek:

Az első vektoregyenlet:

0 .F q dV F n dA

V A

Gauss6-Osztrogradszkij

7-féle integrál átalakítási tétel:

.F n dA F dV

VA

A Hamilton8-féle (vagy nábla) differenciál operátor:

- derékszögű descartesi koordináta-rendszerben (DDKR-ben): x y ze e ex y z

,

- henger koordináta-rendszerben (HKR-ben): 1

R ze e eR R z

.

Alkalmazva a Gauss-Osztrogradszkij tételt:

0F q F dV

V

.

Az integrálnak bármely V választás esetén el kell tünnie az integrandusz zérus.

Egyensúlyi egyenlet(ek): 0F q . (1 vektor egyenlet 3 darab skalár egyenlet)

Az egyensúlyi egyenletben szereplő mennyiségek:

A feszültségi tenzor (diadikus alakja): x x y y z zF e e e .

A térfogaton megoszló terhelés sűrűségvektora: x x y y z zq q e q e q e .

A skalár egyensúlyi egyenletek előállítása a DDKR-ben:

0x x y y z z x y ze e e e e e qx y z

,

0.yx z q

x y z

0

0 azegyensúlyi egyenletek skaláris alakja.

0

xyx xzx

yx y yz

y

zyzx zz

qx y z

qx y z

qx y z

b) A feszültségi tenzor szimmetriája:

6 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) német matematikus. 7 Mihail Vasziljevics Osztrogradszkij (1801-1862) orosz matematikus. 8 William Rowan Hamilton (1805-1865) ír matematikus, fizikus és csillagász.

55

A második vektoregyenlet:

0 0M r q dV r F n dA

V A

.

Átalakítás a Gauss-Osztrogradszkij féle integrál átalakítási tétellel:

0 r q r F dV

V

.

Az r F kifejezés fölötti nyíl arra utal, hogy a nábla operátor erre a szorzatra hat.

Az integrálnak bármely V választása esetén el kell tünnie az integrandusz zérus.

A szorzat differenciálását elvégezve: 0

0

r q F r F

.

A második tag részletezése:

0x y z x x y y z z

r r rr F F e F e F e e e e

x y z

.

A feszültségi tenzor vektorinvariánsa: 1

2x x x y y z zF e e e .

Invariáns: koordináta-rendszertől független (koordináta transzformációval szemben válto-

zatlan, állandó).

Például az xF vektor x irányú koordinátája:

1

02

x x x x x y y x z z xF e e e e e e e

0 vegyesszorzat

0

0 .

y z z y

zy yz zy yz

e e

Ugyanezzel a gondolatmenettel elő lehet állítani az xF többi koordinátáját is:

, .xz zx xy yx

Ezzel bizonyítottuk, hogy az F feszültségi tenzor szimmetrikus.

Tétel: Minden szimmetrikus tenzor vektorinvariánsa zérus.

c) Az eredmények összefoglalása:

0 0 egyensúlyi egyenlet.F F q

0 0 a feszültségi tenzor szimmetrikus.T

M F F

Egyensúlyi egyenletek: kapcsolat a térfogati terhelés és a belső erőrendszer között.

56

4.2. Kinematikai /geometriai/ kompatibilitási egyenletek

4.2.1. Az elmozdulásmező derivált tenzora

P

Q Qu u

dr

Pu

u

A test egy tetszőleges P pontjának elemi kör-

nyezetét vizsgáljuk meg.

A Q a P pont elemi környezetében helyezke-

dik el.

x y zdr dxe dye dze .

Az elmozdulásmező: , , , , , , , ,x y zu u x y z u x y z e v x y z e w x y z e .

Q P Pu u u u u .

Sorfejtés: ((..................................))P

P PP

u u uu u dx dy dz

x y z

lineáris rész

yuxu zu

magasabb rendű tagok

Lineáris közelítés esetén a sorfejtésben a magasabb rendű tagokat elhanyagoljuk: .u du

Ha 0 xdy dz u u dx ,

Ha 0 ydx dz u u dy ,

Ha 0 zdx dy u u dz .

Relatív elmozdulás vektorok:

x x y z

u u v wu e e e

x x x x

,

y x y z

u u v wu e e e

y y y y

,

z x y z

u u v wu e e e

z z z z

.

Az elmozdulásmező hely szerinti megváltozása lineáris közelítés esetén:

P PP

u u uu du dx dy dz

x y z

xe dr ye drze dr

y yu e dr

x xu e dr

z zu e dr

,x x y y z z x y z

u u udu u e u e u e dr e e e dr D dr

x y z

du D dr .

57

Az elmozdulásmező derivált tenzora:

x x y y z zD u e u e u e , x y z

u u uD e e e

x y z

.

.D u Nem szimmetrikus tenzor!

A derivált tenzor mátrixa az xyz koordináta-rendszerben:

u u u

x y z

v v vD

x y z

w w w

x y z

x y zu u u

Az elmozdulásmező skaláris koordinátái:

, , ,

, , ,

, , .

u u x y z

v v x y z

w w x y z

A derivált tenzor felbontása: 1 1.

2 2

szimmetrikus ferdeszimmetrikusrész rész

T TD D D D D

4.2.2. Az alakváltozási tenzor

Az alakváltozási tenzor a derivált tenzor szimmetrikus része:

1 1

.2 2

TA D D u u

Kis alakváltozások esetén ez a tenzoregyenlet a kinematikai/geometriai egyenlet.

Ez az egyenlet az u elmozdulásmező és az A alakváltozási (tenzor) mező kapcsolatát adja

meg.

Az alakváltozási tenzor elemeinek jelölése:

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

x xy xz

yx y yz

zx zy z

A

x y z

,xy yx

Szimmetrikus tenzor: ,yz zy

.xz zx

Az alakváltozási tenzor koordinátái az értelmezés (a derivált tenzor koordinátái) felhasználá-

sával:

58

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

u v u w u

x x y x z

u v v w vA

y x y y z

u w v w w

z x z y z

.

A kinematikai/geometriai egyenletek skaláris alakja:

, ,x xy yx

u u v

x y x

, ,y yz zy

v v w

y z y

, .z xz zx

w u w

z z x

4.2.3. A forgató tenzor

A forgató tenzor a derivált tenzor ferdeszimmetrikus része:

1 1

2 2

TD D u u .

A forgató tenzor mátrixa:

1 10

2 2

1 10

2 2

1 10

2 2

u v u w

y x z x

v u v w

x y z y

w u w v

x z y z

.

A forgató tenzor az elemi környezet merevtestszerű szögelfordulását jellemzi.

A forgató tenzornak a szilárdságtanban/rugalmasságtanban nincs további szerepe, nem hasz-

náljuk.

4.3. Anyagegyenletek – lineárisan rugalmas anyag

Anyagegyenlet: összefüggés az alakváltozási és a feszültségi állapot között.

4.3.1. Az általános Hooke9-törvény izotróp anyagra

1)

2 1

) 21 2

I

I

FA F E

G

AF G A E

, ahol csúsztató rugalmassági modulus

anyagjellemzők.Poisson tényező

G

9 Robert Hooke (1635-1703) angol természettudós.

59

A feszültségi/alakváltozási tenzor első skalár invariánsai:

1 2 3 1 2 3, .I x y z I x y zF A

Invariáns egy mennyiség, ha a koordináta-transzformációval szemben változatlan, állandó.

Az ) alak skaláris egyenletei:

1,

2 1

1,

2 1

1,

2 1

x x x y z

y y x y z

z z x y z

G

G

G

,

,

.

yx

xy

yz

yz

xzxz

G

G

G

A ) alak skaláris egyenletei:

2 ,1 2

2 ,1 2

2 ,1 2

x x x y z

y y x y z

z z x y z

G

G

G

,

,

.

xy xy

yz yz

xz xz

G

G

G

Más anyagállandók bevezetése:

a) Egyszerű Hooke- törvény – egytengelyű feszültségi állapot (húzás-nyomás/hajlítás):

0 0 0 0 0

0 0 0 , 0 0 , ahol .

0 0 0 0

x

y x y z

z z

F A

y

zN N

húzás-nyomás hxM

y

hxM

z

hajlítás

Egyszerű Hooke-törvény: .z zE

Általános Hooke-törvény:

21 2

2 2 2 1 .1 2

z z x y z

z z z z z z z

G

G G G

A két alakot összevetve: 21

EG

, vagy 2 1E G ,

ahol E a Young10

-féle rugalmassági modulus.

10 Thomas Young (1773-1829) angol természettudós.

60

b) Összefüggés az első skalár invariánsok között:

IF

13

2 1I x y z x y z IA F

G

1 1 2 1

2 1 3I I IA F F

G K

.

K térfogati rugalmassági modulus (nem független anyagállandó).

13 2

1 2 1 2

EK G

.

c) Fajlagos térfogatváltozás:

1 1 1 1 1 1

1 1 1

x y z

x y z I

dVA

V

.

( jelentése: lineáris közelítés esetén)

Lineárisan rugalmas, izotróp anyag anyagállandói: , , ,E G K ezek közül kettő független.

Megjegyzés: 0, 0, merta deviátor tenzorok a test tiszta torzulását jellemzik. dI dIA F

Az izotróp anyagra vonatkozó általános Hooke-törvény felírása mátrix alakban:

Kiindulva a Hooke-törvény 1

2 1IA F F E

G

alakjából és felhasználva az 1 1

2G E

összefüggést:

1 1,

1

1 1,

1

1 1,

1

x x x y z x y z

y y x y z y x z

z z x y z z x y

E E E E

E E E E

E E E E

1,

1,

1.

xy xy

yz yz

xz xz

G

G

G

Az alakváltozási és a feszültségi tenzor független koordinátáit oszlopmátrixba rendezve kap-

juk a törvény mátrixos alakját.

Az általános Hooke-törvény

mátrixos alakban:

1

10

1

10 0

10 0 0

10 0

E E E

E E E

E E E

G

G

G

x

x

y

xy

yz

xz

x

y

z

xy

yz

xz

61

Tömören: ,C ahol C az anyagjellemzők/anyagállandók mátrixa.

4.3.2. Az általános Hooke-törvény ortotróp anyagra

Anizotróp anyag: az anyagi tulajdonságok (viselkedés) iránytól függő.

Pl.: faanyag, hosszú szálazással erősített műanyag, stb.

Ortotróp anyag: az anizotróp anyag speciális esete, az anyagi viselkedés egymásra merőleges

irányokban vett anyagjellemzőkkel leírható.

Pl.: egy irányban futó, párhuzamos hosszú szálakkal erősített műanyag.

Azért foglalkozunk ezzel az esettel, mert a gyakorlatban elterjedt szálerősítésű műanyag

kompozitok közül sok ezzel az anyagmodellel leírható.

Kompozit anyag: többféle, eltérő tulajdonságú anyagból összetett anyag.

Részei: - erősítés (üvegszál, szénszál, aramid szál, stb.),

- mátrix (ágyazó anyag: epoxi, poliészter, poliamid, stb.)

Tapasztalat: a kompozit anyag sok esetben jobb mechanikai tulajdonságokkal rendelkezik,

mint az alkotórészei.

Fő előnyök: nagy szilárdság, kis tömegsűrűség (önsúly), korrózió állóság, stb.

mátrixanyag

szálanyag

1

3

2

1, 2, 3 a kompozit anyagi főirányai (az anyag természetes/anyagi koordináta-rendszere).

Valóság: az anyag nem homogén (a szálak és a mátrix anyaga eltérő tulajdonságú).

Mechanikai modell: Egy olyan homogén, ortotróp anyag, amely nem alkalmas a szálakban,

vagy a mátrixban fellépő mechanikai jellemzők (alakváltozások, feszült-

ségek) meghatározására, hanem csak a kompozit anyag egy olyan kisebb

tartományának átlagos jellemzői határozhatók meg vele, amelyben ele-

gendően sok szál van.

62

Áltános Hooke-törvény ortotróp anyagra:

1

2

3

12

23

13

3121

1 2 3

3212

1 2 3

13 23

1 2 3

12

23

13

1

10

1

10 0

10 0 0

10 0

E E E

E E E

E E E

G

G

G

1

2

3

12

23

13

1 2 3, , az irányú húzáshoz tartozó rugalmassági modulus ,E E E 1,2,3

12 23 31, , a csúsztató rugalmassági modulusok,G G G

12 23 31, , a tényezők .Poisson

Például: 12 2 12 1az irányúhúzáshoz tartozó irányú kontrakció : .1 2

.C Az ortotróp Hooke-törvény mátrixos felírás esetén formailag ugyanolyan alakban

írható fel, mint az izotróp Hooke-törvény.

Az anyagtörvény izotróp és ortotróp esetre formailag azonos, különbség a C anyag-

állandó mátrix tartalmában van.

Közös tulajdonság: C szimmetrikus mátrix (energetikai okokból következően) .

Szimmetria: 32 23 31 1321 12

2 1 3 2 3 1

, , .E E E E E E

A lineárisan rugalmas ortotróp anyag viselkedése 9 független anyagállandóval írható le:

1 2 3 12 23 13 12 23 13, , , , , ,E E E G G G .

4.4. Peremfeltételek

uA

x y

z

pA

0p

dA

n

O

Dinamikai peremfeltétel: 0 az n.pF n p A

Kinematikai peremfeltétel: 0 az uu u A -n.

A 0p ismert felületi terhelés.

pA - a test felületének az a része, ahol a felületi terhe-

lés ismert.

Az 0u ismert elmozdulás.

uA - a test felületének az a része, ahol az elmozdulás

ismert.

63

4.5. A rugalmasságtan egyenletrendszere

0 egyensúlyi egyenlet (3db)F q .

1

kompatibilitási egyenlet (6 db)2

A u u .

anyagegyenlet (6db)C .

0

0

dinamikai (3 db),peremfeltételek

(3 db).kinematikai

p

u

A

A

F n p

u u

Ismeretlenek: ( , , ), ( , , ,), ( , , )u x y z A x y z F x y z .

Bebizonyítható: a rugalmasságtan egyenletrendszerének adott peremfeltételek mellett egy és

csakis egy megoldása létezik (egzisztencia és unicitás).

Egzakt megoldás: A keresett , ,u A F mezők az egyenletrendszer és a peremfeltételek min-

den egyenletét kielégítik.

Közelítő megoldás: A keresett , ,u A F mezők az egyenletrendszer és a peremfeltételek nem

minden egyenletét elégítik ki.

4.6. A kompatibilitási egyenlet más alakjai

Az 1

2A u u geometriai egyenletből indulunk ki.

Átalakítás: szorzás jobbról és balról vektoriálisan -val Saint-Venant–féle kompatibili-

tási egyenlet.

4.6.1. A Saint-Venant – féle kompatibilitási egyenlet

0A (tenzor egyenlet).

A skalár egyenletek levezetése DDKR-ben:

a) Az A kifejezés előállítása:

x x y y z zA e e e , és x y ze e ex y z

.

A levezetésnél felhasználjuk az a b c a b c azonosságot.

x x y y z z x y zA e e e e e ex y z

y yx x z zz y z x y xe e e e e e

y z x z x y

.

A kifejezést átrendezve:

64

y yx xz zx y zA e e e

z y x z y x

.

b) Szorzás vektoriálisan balról -val.

A Saint-Venant tenzor-egyenlet bal oldalán álló kifejezés mínusz egyszeresét jelöljük -

val.

Az A tenzor mátrixának első oszlopába az y z

xez y

vektor

koordinátái kerülnek. Az oszlopmátrix előállítása:

2 2 22 2 2

2 2

y y y yz z z zx y ze e e

z y z x y x z y y zy z

2 2 2 2

1 1

2 2

y yz zy zy x z x

yz

e e e ez x y x z x y x

ee

2 22 2

2 2

1 1 1

2 2 2

xy zyxz zx y z y

z x

e e e ez y z yy y

e e

2 2 22

2 2

1 1 1

2 2 2

xy y yzxzx z y z

y x

e e e ey z y zz z

e e

.

Az átalakítások során felhasználtuk az a b b a azonosságot.

A kifejezés tagjainak átcsoportosítása után:

2 2 2 2 2 22 2

2 2 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

y yz zy zy xy xzz zx x ye e e

y z z y z x y x y zz y z

2 2 22

2

1 1 1

2 2 2

xy y yzxzze

z y z x y xy

.

Hasonló számítások eredményeképpen kapjuk az A tenzor második és har-

madik oszlopát:

2 2 2 2 2 22 2

2 2 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

yz yx zx zx xz xz zy x ye e e

x z y x z y x z x zz x z

2 22 2

2

1 1 1

2 2 2

yz yxxz xze

x y z y x zx

,

65

2 2 2 2 22 2 2

2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

yx y zy zy xyzx zx xz x ye e e

z y z x y x x y z y z xy x

2 2 22

2 2

1 1

2 2

xy yx yxze

y x x yy x

.

A Saint-Venant féle kompatibilitási tenzor egyenlet szerint a fenti oszlopok minden koordi-

nátája nullával egyenlő. Ez a kilenc egyenlet a Saint-Venant féle kompatibilitási tenzor

egyenlet skaláris alakja DDKR-ben:

2 2 2 2

2 2

1 10

2 2

y yz zy z

y z z yz y

,

2 2 22

2

1 1 10

2 2 2

zy xy xzz

z x y x y zz

,

2 2 22

2

1 1 10

2 2 2

xy y yzxz

z y z x y xy

,

2 2 22

2

1 1 10

2 2 2

yz yx zxz

x z y x z yz

,

2 2 22

2 2

1 10

2 2

zx xz xz

x z x zx z

,

2 22 2

2

1 1 10

2 2 2

yz yxxz x

x y z y x zx

,

2 2 22

2

1 1 10

2 2 2

yx y zyzx

z y z x y xy

,

2 22 2

2

1 1 10

2 2 2

zy xyzx x

x y z y z xx

,

2 2 22

2 2

1 10

2 2

xy yx yx

y x x yy x

.

Az alakváltozási tenzor szimmetriáját figyelembe véve, hat egymástól különböző skaláris-

egyenlet marad:

2 22

2 2

2 2 2

2 2

2 22

2 2

,

,

,

xy yx

yz y z

xz xz

x y y x

y z z y

z x x z

2

2

2

2 ,

2 ,

2 .

xy yzxz x

yz xy yzx

yz xyzx x

x z y x y z

y x z y z x

z y x z x y

66

Megjegyzés:

Ez hat egyenlet megszorításokat jelent az alakváltozási tenzor koordinátáira nézve. Azt jelenti,

hogy az alakváltozási tenzor koordinátái nem függetlenek egymástól.

Ha figyelembe vesszük az 1

2A u u összefüggést, akkor az egyenletek azonosság-

gá alakulnak. Tehát a Saint-Venant-féle kompatibilitási egyenlet fizikai tartalma megegyezik a

4.2.2.pontban felírt geometriai/kinematikai egyenletek tartalmával.

Átalakítás: a Saint-Venant egyenlet + izotróp Hooke-törvény + egyensúlyi egyenletek

Beltrami11

- Michell12

-féle kompatibilitási egyenlet.

4.6.2. A Beltrami-Michell-féle kompatibilitási egyenlet

1

01 1

IF F q q q E

(tenzor egyenlet).

Laplace13

–féle differenciál operátor: 2 2 2

2 2 2x y z

.

A skalár egyenletek levezetése DDKR-ben:

2 2 2

2 2 2F F

x y z

,

yx zqq q

qx y z

,

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

x y x zxx

y x y z y x y zy

z z x z y z

,

yx z

yx zx y z

yx z

qq q

x x xxqq q

q q q qy y y y

qq q

z z z z

, T

q q .

11 Eugenio Beltrami (1835-1900) olasz matematikus. 12 John Henry Michell (1863-1940) ausztrál matematikus. 13 Pierre-Simon de Laplace (1749-1829) francia matematikus, csillagász és fizikus.

67

x x x

xy y y

y

z

z z z

q q q

x y zq

q q qq q

x y z x y zq

q q q

x y z

.

A skaláregyenleteket a kijelölt differenciálások elvégzésével kapjuk.

A feszültségi tenzor diagonális elemeihez kapcsolódó három skaláregyenlet:

2 2 2 2

2 2 2 2

12 0

1 1

yx x x x xI zqq qF q

x x y zx y z x

,

2 2 2 2

2 2 2 2

12 0

1 1

y y y y yxI zq qqF q

y x y zx y z y

,

2 2 2 2

2 2 2 2

12 0

1 1

yxz z z I z zqqF q q

z x y zx y z z

.

A feszültségi tenzor főátlón kívüli elemeihez kapcsolódó hat skaláregyenlet valójában csak

három különböző egyenlet a feszültségi tenzor szimmetriája miatt:

2 2 2 2

2 2 2

10

1

xy xy xy y xIq qF

x y x yx y z

,

2 2 2 2

2 2 2

10

1

xz xz xz xI z qF q

x z x zx y z

,

2 2 2 2

2 2 2

10

1

yz yz yz yI zqF q

y z z yx y z

.

4.7. Gyakorló feladatok a rugalmasságtani egyenletekre

4.7.1. feladat: Rugalmas test elmozdulási és alakváltozási állapota

Adott: A rugalmas test elmozdulási állapota az , ,u r u x y z függvénnyel, továbbá a test

P pontjának Pr helyvektora.

, , ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zu r u x y z u x y z e v x y z e w x y z e ,

/ ,u x y R / 2 ,2 2 2v x y z R /w yz R ,

10 m,R =0,25 , 4 2 5 mm.P x y zr e e e

Feladat: a) A , ,D x y z derivált, az , ,A x y z alakváltozási és a , ,x y z forgató tenzor

mátrixának meghatározása.

b) A P pontbeli alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása és szemléltetése az

elemi triéderen.

68

c) Az n fajlagos nyúlás és a mn fajlagos szögváltozás meghatározása, ha

0,5n x y

3e e e

2

és +0,5m x y

3e e e

2

.

Kidolgozás:

a) A , ,D x y z derivált, az , ,A x y z alakváltozási és a , ,x y z forgató tenzor mátrixá-

nak meghatározása:

Az elmozdulásmező derivált tenzora:

x x y y z z x y z

u u uD u e u e u e e e e u

x y z

.

0

1

1 10

u u uy x

x y z R R

v v vD x y z

x y z R R R

w w w z yR Rx y z

- nem szimmetrikus tenzor.

A derivált tenzor a P(x,y,z) pont elemi környezetének relatív, fajlagos elmozdulási állapo-

tát jellemzi.

Az alakváltozási tenzor:

1 1

2 2

TA D D u u (a derivált tenzor szimmetrikus része).

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

x xy xz

yx y yz

zx zy z

A

1 1

2 2

1 1,

2 2

1 1

2 2

u v u w u

x x y x z

u v v w v

y x y y z

u w v w w

z x z y z

0 0

0 0

10 0

yR

A yR

yR

.

Az alakváltozási tenzor a P(x,y,z) pont elemi környezetének alakváltozását jellemzi.

A forgató tenzor:

1 1

2 2

TD D u u (a derivált tenzor ferde szimmetrikus része).

69

1 10

2 2

1 10

2 2

1 10

2 2

u v u w

y x z x

v u v w

x y z y

w u w v

x z y z

0 0

10

10 0

xR

x zR R

zR

A forgató tenzor a P(x,y,z) pont elemi környezetének merevtestszerű szögelfordulását jel-

lemzi.

b) A P pontbeli alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása és szemléltetése az elemi

triéderen:

0,25

0,002 0,5 1010

4x y

R

, 0

yx

xy yxG

,

0,25

0,002 0,5 1010

4y y

R

, 0

yz

yz zyG

,

1 1

0,002 2 1010

4z y

R , 0xz

xz zxG

.

-4

0,5 0 0

0 0,5 0 10 .

0 0 -2

x xy xz

P yx y yz

zx zy z

1 1

2 2

1 1A

2 2

1 1

2 2

xe

P

ye

ze

2410

0,5

0,5

c) Az n fajlagos nyúlás és a mn fajlagos szögváltozás meghatározása:

-4 -4

0,5 0,250,5 0 0

0 0,5 0 3 / 2 10 3 / 4 10

0 0 -2 0 0

n P nA e

.

A fajlagos nyúlás:

-4

0,25

10 3 / 4 0,5 3 / 2 0

0

n n ne

-4 -430,125 10 0,5 10

8

.

A fajlagos szögváltozás: -4

0,251

10 3 / 4 3 / 2 0,5 0 0.2

0

mn n me

70

4.7.2. feladat: Rugalmasságtani egyenletek – húzott rúd

yb

l

x

z

a

Adott:

Az ábrán látható hasáb alakú (mechanikai szempontból rúd-

nak is tekinthető) rugalmas, önsúlyával terhelt test

elmozdulásmezőjének skaláris koordinátái:

/u g x z E , /v g y z E ,

2

2 2 2 2gw l z x y

E

.

E - az anyag rugalmassági modulusa, - Poisson tényező,

- a test anyagának tömegsűrűsége, g - gravitációs gyors.,

, ,a b l - a test méretei.

Ezeket az elmozdulási koordinátákat a rúdelmélet (húzott -

nyomott prizmatikus rúd) felhasználásával kapjuk.

Feladat: A rugalmasságtani egyenletek teljesülésének ellenőrzése.

Kidolgozás:

a) Az alakváltozási tenzor előállítása:

/x

ug z E

x

, /y

vg z E

y

, /z

wg z E

z

.

0,xy

v u

x y

0,yz

w v

y z

0.xz

u w

z x

1 1

2 2 / 0 01 1

0 / 02 2

0 0 /1 1

2 2

x xy xz

yx y yz

zx zy z

g z E

A g z E

g z E

.

A geometriai egyenletek teljesülnek, mert ezek felhasználásával állítottuk elő az alakválto-

zási tenzort.

b) Az általános Hooke-törvény alkalmazása, a feszültségi tenzor előállítása:

(1 2 )I x y z

g zA

E

, 2 (1 )E G .

2 0,1 2

x x x y zG

0,xy xyG

2 0,1 2

y y x y zG

0,yz yzG

2 ,1 2

z z x y zG gz

0.xz xzG

71

0 0 0

( , , ) 0 0 0

0 0

x xy xz

yx y yz

zx zy z

F x y z

g z

.

A rúdelméletből: ( )

z

N gV g abzgz

A A ab

. Az anyagegyenletek teljesülnek.

c) Egyensúlyi egyenlet teljesülésének ellenőrzése: 0F q .

z z zq q e ge

0xyx xz

xqx y z

, 0

xy y zy

yqx y z

,

0 0 0yzxz z

zq g gx y z

. Valamennyi egyensúlyi egyenlet teljesül.

d) A kinematikai peremfeltételek teljesülése:

A z=l egyenletű felületen: 0u .

2 2/ , / ,2

gu g x l E v g y l E w x y

E

,

Ez a feltétel csak az 0x y pontban teljesül.

e) Dinamikai peremfeltételek teljesülése:

A 0z felület terheletlen és 0, 0xz yz z teljesül.

Az 2

bx felületek szintén terheletlenek és 0x xF e teljesül.

Az 2

ay felületek is terheletlenek és 0y yF e teljesül.

4.7.3. feladat: Rugalmasságtani egyenletek – hajlított, nyírt rúd

y z

x h

h

b

0p

l

y

Adott: Az ábrán látható hasáb alakú (me-

chanikai szempontból rúdnak is te-

kinthető) rugalmas test geometriai

méretei és terhelése: , , , 0h b l p .

Feladat: Annak ellenőrzése, hogy a rúdel-

mélettel kapott megoldás kielégí-

ti-e az egyensúlyi egyenletet és a

peremfeltételeket.

Kidolgozás:

72

a) A feszültségi állapot meghatározása a rúdelméletből:

z

y

l

0 0q p b

terhelés: 0 0q p b ,

nyíróerő: z

y 0 0

0

T z q d p b z ,

hajlító nyomaték: 2hx y 0

1M T dz p b z

2 .

A feszültségi tenzor:

0 0 0

( , , ) 0 0

0

yz

zy z

F x y z

.

3

4

2hx 0z 3

x

M py z y

I h ,

(2 ) 2

12 3

3 3

x

b h bhI .

3

4

y x 2 20yz 3

x

T S y ph y z

I b h ,

2

2 2x

h y bS y b h y h y

2

.

b) Egyensúlyi egyenlet teljesülésének ellenőrzése: 0

=0

F q .

0 0 0 0 0,xyx xz

xqx y z

2 20

3

30 0 0 0

4

yx y yz

y

pq h y

x y z h

.

Ez a skalár egyenlet csak az y h egyenletű felületeken teljesül.

0 0

3 3

3 30 0 0

2 2

zyzx zz

p yz p yzq

x y z h h

.

c) Dinamikai peremfeltételek teljesülésének ellenőrzése:

Az 2

bx felületen

2

0 0 0 1 0

( ) 0 0 0 0 ,

0 0 0

bx yzx

zy z

F e

- a felületek terheletlen

volta éppen ezt jelenti.

A 0z felületen

0

0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 1 0 0

z yz yzz

zy z zz

F e z

z

, - a felület

terheletlen volta éppen ezt jelenti.

Az y h felületeken:

0 0 0 0

( ) 0 0 1 0

0 0

y yz zy zy h y h

zy z

F e e

.

73

Ez csak y h esetén teljesíti a dinamikai peremfeltételt, amennyiben a tartó alsó felülete

valóban terheletlen. A felső felület esetén ( y h ) ugyanis 0y yy hF e p e

esetén tel-

jesülne a dinamikai peremfeltétel.

Mivel egy skaláris egyensúlyi egyenlet és egy skaláris dinamikai peremfeltételi egyenlet

nem teljesül, ezért a rúdelmélet alapján előállított megoldás rugalmasságtani szempontból

nem egzakt, hanem közelítő.

4.7.4. feladat: Rugalmasságtani egyenletek

Adott: Az ábrán látható keskeny téglalap keresztmetszetű rúd feszültségmezője:

2 3 30

3

3 1 21

3 34y

p ze y y e

le

,

320

3

3 1

34z

p zz y

le

,

2

2 20

3

3 1

24yz

p zz e y

le

,

0x xy zx .

yy

l

zx

a

e

e

Feladat:

a) Az egyensúlyi egyenlet teljesülésének vizsgálata 0q esetén.

b) A rúd terhelésének, illetve támasztóerő rendszerének meghatározása a dinamikai peremfel-

tételekből.

c) Annak vizsgálata, hogy a megadott feszültségmező lehet-e valamely rugalmasságtani fel-

adat egzakt megoldása, ha 0q .

Kidolgozás:

a) Az egyensúlyi egyenlet teljesülésének vizsgálata 0q esetén:

Ha a térfogati terhelés a rúd minden pontján zérus, akkor az 0F q egyensúlyi

egyenlet az 0F alakra egyszerűsödik.

A vizsgálandó skaláregyenletek a következők: 0xyx xz

x y z

,

0yx y yz

x y z

,

0zyzx z

x y z

.

Az első skaláregyenlet azonnal teljesül, hiszen a benne szereplő feszültségkoordináták azo-

nosan egyenlők nullával.

74

A második skaláregyenlet is teljesül tetszőleges pontban:

2 2 2 20 0

3 3

3 30 1 1 0

4 4

yx y yz p pz ze y e y

x y z l le e

.

Ugyanezt láthatjuk a harmadik skaláregyenlet esetén, ugyanis:

2 20 0

3 3

3 30 2 2 0

24 4

zyzx z p pz zy z y z

x y z l le e

.

Az egyensúlyi egyenlet tehát a rúd minden pontjában teljesül.

b) A rúd terhelésének, illetve támasztóerő-rendszerének meghatározása a dinamikai peremfel-

tételekből:

Mivel térfogati erő nem hat és a feszültségeloszlás folytonos függvényekkel leírható, a rúd-

ra ható terhelés és a támasztóerő rendszer is felületen megoszló erőként jelentkezik. Ennek

számítása a felületi feszültségállapot vizsgálatával lehetséges. Ki kell számítani a rudat ha-

tároló hat téglalap felületen a feszültségeket.

Az xe normálisú felületek terheletlenek, ugyanis 0x xy zx , vagyis

0x xF e .

Az ye normálisú felület (a rúd „felső lapja”) az y e helyettesítéssel áll elő.

3 3 3003

3 1 21 1

3 34y

p z ze e e p

l le

2

2 20

3

3 10

24zy yz

p zz e e

le

, 0xy

A negatív normálfeszültség összenyomást jelent, a felületet tehát 0 1 y

zp p e

l

sűrű-

ségű, felületen megoszló erő terheli.

A ye normálisú felület (a rúd „alsó lapja”) az y e helyettesítéssel áll elő.

3 3 30

3

3 1 21 0

3 34y

p ze e e

le

2

2 20

3

3 10

24zy yz

p zz e e

le

, 0xy . Ez a felület terheletlen.

Az ze normálisú felület a z l helyettesítéssel áll elő.

2320 0

3 3

3 1

34 2z

p p lll y y

le e

2

2 2 2 20 0

3 3

3 31

24 8yz

p lpll e y e y

le e

, 0xz .

A ze normálisú felület a 0z helyettesítéssel áll elő.

75

0z , 0yz , 0xz . A felület terheletlen.

c) Annak vizsgálata, hogy a megadott feszültségmező lehet-e valamely rugalmasságtani fel-

adat egzakt megoldása, ha 0q :

Egzakt megoldás esetén a fentieken kívül teljesülnie kell a Beltrami–Michell-féle kompati-

bilitási egyenleteknek is.

Ezek skaláris alakja 0q esetén:

2 2 2 2

2 2 2 2

10

1

x x x IF

x y z x

,

2 2 2 2

2 2 2

10

1

xy xy xy IF

x yx y z

,

2 2 2 2

2 2 2 2

10

1

y y y IF

x y z y

,

2 2 2 2

2 2 2

10

1

xz xz xz IF

x zx y z

,

2 2 2 2

2 2 2 2

10

1

z z z IF

x y z z

,

2 2 2 2

2 2 2

10

1

yz yz yz IF

y zx y z

.

A deriválásokat (fenti sorrendben/elrendezésben) elvégezve a következő egyenletekre ju-

tunk:

0 0 , 0 0 ,

0 0

3 3

6 611 1 0

14 4

yp ypz z

l le e

, 0 0 ,

0 0

3 3

3 32 1 22 2 0

14 4

p pz z

l le e

,

2 2 2

2 2 20 0 0

3 3 3

3 3 31 22 2 0

2 1 34 4 4

p p pz e zz e y y z

l l l le e l e

.

4.7.5. feladat: Rugalmasságtani egyenletek – elmozdulási, alakváltozási és feszültségi állapot

y

z

x

l

P

0M

RS

S

Pr

Adott:

Egy kör keresztmetszetű rúd geometriai méretei és csúsz-

tató rugalmassági modulusa, a csavarásakor az elmozdu-

lás vektormező az , ,u r u x y z függvénnyel, továb-

bá a test P pontjának Pr helyvektora.

, , ( ) ( )x yu x y z z y e x z e , 0,1 rad/m ,

0,01 mR , =80 GPaG , =0,1 ml , 0 0 zM M e ,

0,01 0,1 mP y zr e e .

Feladat: a) Az , ,A x y z alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása.

b) A rúd térfogatváltozásának meghatározása.

76

c) Az Pr helyvektorú P pontban a főnyúlások és az

1 2 3, ,e e e alakváltozási főirányok

meghatározása. A P pontbeli alakváltozási állapot szemléltetése.

d) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása.

Kidolgozás:

a) Az , ,A x y z alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása:

1 1

2 2

TA D D u u ,

A kijelölt deriválásokat elvégezve:

0 01

0 02

0

y

A x

y x

.

A P pontban:

4

4

0 0 5 10

0 0 0

5 10 0 0P

A

.

b) A rúd térfogatváltozásának meghatározása:

A relatív térfogatváltozás az alakváltozási tenzor determinánsával egyenlő. (Kis alakválto-

zások esetén közelíthető az IA első skalár invariánssal is.)

det 0V

AV

, tehát az alakváltozás során nincs térfogatváltozás.

c) Az Pr helyvektorú P pontban a főnyúlások és az 1 2 3, ,e e e alakváltozási főirányok meghatá-

rozása. A P pontbeli alakváltozási állapot szemléltetése:

A sajátérték feladat kitűzése és a karakterisztikus egyenlet:

-4

-4

0 5 10 0

0 0 0

5 10 0 0

e x

e y

e z

e

e

e

3 -825 10 0e e .

A főnyúlások, vagyis a karakterisztikus egyenlet (harmadfokú algebrai egyenlet) megoldá-

sai: 4

1 5 10 , 2 0 , 4

3 5 10 .

Az 1e főirány meghatározása:

1

-4

1

1

5 0 5 0

10 0 5 0 0

5 0 5 0

x

y

z

e

e

e

1 1

1

1 1

5 5 0

5 0

5 5 0

x z

y

x z

e e

e

e e

1 1

1 0

z x

y

e e

e

1

2

2x ze e e .

Az 2e főirány meghatározása: 2 ye e .

Az 3e főirány meghatározása: 3 1 2

2 2

2 2x z y x ze e e e e e e e .

77

Szemléltetés az elemi triéderen:

P

5410

5

xe

ye

ze

d) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása:

Az általános Hooke-törvény: 21 2

IAF G A E

.

Ebből a feszültségi tenzor nem zérus koordinátái:

9 4 612 2 80 10 5 10 80 10 80MPa

2xz zx xzG

A feszültségi tenzor:

0 0 80

0 0 0 MPa

80 0 0

F

.

4.7.6. feladat: Rugalmasságtani egyenletek – az alakváltozási tenzor felírása henger koordi-

náta-rendszerben

Adott: Az 1

2A u u kinematikai egyenlet.

Feladat: Az 1

2A u u kinematikai egyenlet skaláris egyenleteinek levezetése az

R z henger koordináta-rendszerben.

Kidolgozás:

A nabla differenciáloperátor henger-koordinátarendszerben: R z

1e e e

R R z

.

Az u elmozdulásmaző henger koordináta-rendszerben R zu ue ve we .

A derivált tenzor: 1

R z R zD u ue ve we e e eR R z

.

A henger-koordinátarendszerben a bázisvektorok egy része nem független a helytől:

( )R Re e , ( )e e , állandóze .

Ezért henger-koordinátarendszerben a bázisvektorok helykoordináták szerinti deriváltjai –

szemben a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerrel – nem mind egyenlők nullával:

0R z z R ze ee e e e e

R R R z z z

, de Re

e

, R

ee

.

A kijelölt diadikus szorzás elvégzésénél ezt figyelembe véve:

78

1

R z R zD ue ve we e e eR R z

1 1 1RR R R z R R

eu v w u ve e e e e e e e u e e e

R R R R R R

e

1 1z R z z z z

R

e w u v wv e e e e e e e e e

R R z z z

e

.

Az azonos diádokat összevonva:

1 1R R R z R R

u v w u v u vD e e e e e e e e e e

R R R R R R R

1z R z z z z

w u v we e e e e e e e

R z z z

Ebből az elmozdulásmező derivált tenzorának mátrixa:

1

1

1

u u u

R R R z

v v u vD

R R R z

w w w

R R z

– nem szimmetrikus tenzor.

Az alakváltozási tenzor: 1

2

TA D D , vagyis a derivált tenzor szimmetrikus része:

1 1

2 2

1 1 1

2 2

1 1

2 2

u u v u wv R

R R R z R

u v u v v wA v R R

R R R R R z

u w v w wR

z R R z z

.

4.7.7. feladat: Rugalmasságtani egyenletek – az egyensúlyi egyenletek felírása henger koordi-

náta-rendszerben

Adott: Az 0F q egyensúlyi egyenlet.

Feladat: Az 0F q egyensúlyi egyenlet skaláris egyenleteinek meghatározása az R z

henger-koordinátarendszerben.

79

Kidolgozás:

A differenciáloperátor henger-koordinátarendszerben: R z

1e e e

R R z

,

A F feszültségi tenzor henger-koordinátarendszerben: R R z zF e e e .

A henger-koordinátarendszerben a bázisvektorok egy része nem független a helytől:

( )R Re e , ( )e e , állandóze .

Ezért henger-koordinátarendszerben a bázisvektorok helykoordináták szerinti deriváltjai –

szemben a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerrel – nem mind egyenlők nullával:

0R z z R ze ee e e e e

R R R z z z

, de Re

e

, R

ee

.

Az F skaláris szorzás elvégzése:

1

R R z z R zF e e e e e eR R z

1 00

R zR R R z Re e e e e e

R R R

1 1 1 1

0 1 0

01

R R zR R z

R

eee e e e e e e e

R R R R

e e

0 10

R zR z z z ze e e e e e

z z z

.

A diadikus és a skaláris szorzás asszociativitását és a bázisvektorok merőlegességét figyelem-

be véve:

1 1R zRF

R R R z

RR zRR ze e e

R R R

1 1 1R R R zR ze e e

R R R

1 1 1 1 1R zRR R z

R

eee e e

R R R R R

e e

.zRz z

R z R ze e e e e ez z z

A bázisvektorokkal való skaláris szorzás eredményeképpen, a q térfogati erősűrűség megfe-

lelő skaláris koordinátájának figyelembe vételével a következő skaláris egyenleteket kapjuk:

80

10

RR RzR Rq

R R z

,

10

R z

R R qR R z

,

10

zzR zzR zq

R R z

.