3. LÍMITES DE FUNCIONES. 3.1. Noción intuitiva de límite ... · algo con el lenguaje matemático...

Departamento de Matemáticas http://www.colegiovirgendegracia.org/eso/dmate.htm

ANÁLISIS: Límites de funciones

1

3. LÍMITES DE FUNCIONES.

3.1. Noción intuitiva de límite de una función.

El aterrizaje de un avión proporciona una visión intuitiva del concepto de límite de una función. El avión sobrevuela a lo largo de la pista (variable x), mientras que su altura (variable y) va disminuyendo hasta hacerse 0. En general, algunas preguntas que nos podemos hacer con una función f cualquiera son:

a. Si los valores de la variable x se aproximan a un valor concreto x0 (x tiende a x0 : x x→ 0 ),

¿qué le pasa a los valores de ( )f x ? ¿Se aproximan a algún valor? ¿Se hacen tan grandes o

tan pequeños como queramos? ¿Oscilan? b. Si los valores de la variable x se hacen arbitrariamente grandes (tienden a ∞ : x →∞ ) o

pequeños (tienden a −∞ : x →−∞ ), ¿qué le pasa a los valores de ( )f x ? ¿Se aproximan a

algún valor? ¿Se hacen tan grandes o tan pequeños como queramos? ¿Oscilan? Estas cuestiones son las que pretendemos responder, desarrollando estrategias que nos permitan

determinar, de forma relativamente cómoda, el comportamiento de las imágenes dependiendo de los valores de la variable.

De manera intuitiva se puede intentar responder a algunas cuestiones similares a las anteriores, analizando la gráfica de una función:

GRÁFICA LÍMITES GRÁFICA LÍMITES

( )

( )

( )

( )

lim

lim

lim

lim

x

x

x

x

f x

f x

f x

f x−

+

→−∞

→∞

→

→

=

=

= −∞

= +∞0

0

0

0

( )

( )

( )

lim

lim

lim

x

x

x

f x

f x

f x

→−∞

→∞

→

=

=

=0

4

4

0

( )

( )

( )

lim

lim

lim

x

x

x

f x

f x

f x

→−∞

→∞

→

= ∞

= ∞

=3

1

( )

( )

( )

lim

lim

lim

x

x

x

f x

f x

f x

→−∞

→∞

→

= −∞

= ∞

=3

5

( )

( )

( ) ( )

lim

lim

lim

x

x

x

f x

f x

f x f

→−∞

→∞

→

= ∞

= −∞

= − ≠ =3

1 3 2

( )

( )

( ) ( )

lim

lim

lim

x

x

x

f x

f x

f x f

→−∞

→∞

→

= ∞

= ∞

= ≠ =1

2 1 3



2

Ejercicio: A la vista de las gráficas, calcular los límites que se plantean.

GRÁFICA LÍMITES GRÁFICA LÍMITES

( )

( )

lim

limx

x

f x

f x→−∞

→∞

=

=

( )

( )

( )

lim

lim

lim

x

x

x

f x

f x

f x

→−∞

→∞

→

=

=

=2

( )

( )

( )

( )

lim

lim

lim

lim

x

x

x

x

f x

f x

f x

f x+

−

→−∞

→∞

→

→

=

=

=

=0

0

( )

( )

( )

( )

lim

lim

lim

lim

x

x

x

x

f x

f x

f x

f x

−

+

+

−

→−

→−

→

→

=

=

=

=

1

1

2

2

( )

( )

( )

lim

lim

lim

x

x

x

f x

f x

f x

→−∞

→∞

→

=

=

=2

( )

( )

( )

( )

lim

lim

lim

lim

x

x

x

x

f x

f x

f x

f x+

−

→−∞

→∞

→

→

=

=

=

=4

4

( )

( )

( )

( )

lim

lim

lim

lim

x

x

x

x

f x

f x

f x

f x+

−

→−∞

→

→−

→−

=

=

=

=

0

2

2

( )

( )

( )

( )

lim

lim

lim

lim

x

x

x

x

f x

f x

f x

f x+

−

→−∞

→∞

→

→

=

=

=

=1

1

( )

( )

( )

( )

lim

lim

lim

lim

x

x

x

x

f x

f x

f x

f x+

−

→−∞

→∞

→−

→−

=

=

=

=4

4

( )

( )

( )

( )

lim

lim

lim

lim

x

x

x

x

f x

f x

f x

f x

−

+

+

−

→−

→−

→

→

=

=

=

=

1

1

0

0

( )

( )

( )

( )

,lim

lim

lim

lim

x

x

x

x

f x

f x

f x

f x−

+

→

→

→

→

=

=

=

=

6 5

5

2

2

( )

( )

( )

( )

lim

lim

lim

lim

x

x

x

x

f x

f x

f x

f x+

−

→−∞

→∞

→−

→−

=

=

=

=3

3

( )

( )

( )

( )

lim

lim

lim

lim

x

x

x

x

f x

f x

f x

f x

−

+

+

−

→−

→−

→

→

=

=

=

=

1

1

1

1

( )( )

( )

( ),

,

lim

lim

lim

x

x

x

f

f x

f x

f x

−

+

→

→

→

−

=

=

=

2

2 5

2 5

3



3

3.2. Definiciones formales.

Las definiciones de límites, con todas las posibilidades que se pueden dar, son abstractas y difíciles de comprender. Vamos a escribirlas todas con el único objetivo de irnos familiarizando algo con el lenguaje matemático más complejo y para tenerlas recogidas con orden por si en el futuro a alguien le hacen falta. 3.2.1. Límite de una función en infinito. (A) LÍMITE FINITO:

( ) ( )lim /x

f x L M x M f x Lε ε→∞

= ⇔ ∀ > ∃ ∈ > ⇒ − <0

(B) LÍMITES INFINITOS:

( ) ( )lim /x

f x M h x h f x M→∞

= ∞ ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ > ⇒ >

( ) ( )lim /x

f x M h x h f x M→∞

= −∞ ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ > ⇒ <

En la práctica, los límites en ∞ se calculan igual que se hacían los límites de sucesiones. 3.2.2. Límite de una función en menos infinito. (A) LÍMITE FINITO:

( ) ( )lim /x

f x L M x M f x Lε ε→−∞

= ⇔ ∀ > ∃ ∈ < ⇒ − <0

(B) LÍMITES INFINITOS:

( ) ( )lim /x

f x M h x h f x M→−∞

= ∞ ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ < ⇒ >

( ) ( )lim /x

f x M h x h f x M→−∞

= −∞ ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ < ⇒ <

En la práctica, los límites en −∞ se calculan igual que en ∞ , sin más que hacer el cambio

de la variable x por -x: ( ) ( )lim limx x

f x f x→−∞ →∞

= − .

3.2.3. Límite puntual de una función. A los extremos de la recta real tan sólo nos podemos aproximar por uno de sus lados, es decir, que a ∞ sólo nos podemos acercar por la izquierda, mientras que a −∞ sólo nos podemos aproximar por la derecha. Sin embargo, a cualquier otro punto a de la recta, nos podemos aproximar por ambos lados: por su izquierda (por valores menores que a: x a−→ ) o por su derecha (mediante valores mayores que a: x a+→ ). Si tenemos en cuenta esta circunstancia, a la hora de calcular un límite puntual siempre tendremos que estudiar lo que ocurre con la función al aproximarnos por cada lado, obteniendo así los límites laterales. Lógicamente, si ambos límites son iguales, existirá el límite de la función en dicho punto y será igual que los laterales.



4

Intuitivamente, esto se ve muy bien en el siguiente ejemplo: Consideremos la función T que asocia a cada período de tiempo de duración de una llamada telefónica su importe; si cada 3 minutos o fracción importa 0,03 €, la gráfica de T es:

¿Cómo se comporta T en el punto x=3? Si nos aproximamos a 3 tomando valores mayores, la función vale 10; pero si nos aproximamos a 3 con valores menores, la función vale 5. Esta situación se puede resumir diciendo que el límite de T por la derecha en el punto 3 es 10 y que el límite de T

por la izquierda en el punto 3 es 5: ( ) ( )lim limx x

T x y T x+ −→ →

= =3 3

10 5 .

(A) LÍMITES FINITOS:

( ) ( )lim /x a

f x L a x f x Lε δ δ ε−→

= ⇔ ∀ > ∃ > < − < ⇒ − <1 10 0 0

( ) ( )lim /x a

f x L x a f x Lε δ δ ε+→

= ⇔ ∀ > ∃ > < − < ⇒ − <2 20 0 0

( ) ( )lim /x a

f x L x a f x Lε δ δ ε→

= ⇔ ∀ > ∃ > < − < ⇒ − <0 0 0

( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a

f x L f x f x L− +→ → →

= ⇔ = =

Obsérvese que en esta definición, se prescinde del valor de la función en el punto x=a. La función f puede tomar en a el valor L, otro distinto de L o incluso no existir.

Ejemplo 1: Sea ( )f x x= 2 . Veamos que ( )limx

f x→

=3

6 .

Consideremos un número real positivo cualquiera suficientemente pequeño: ,ε = 0 001 .

Debemos buscar otro número real positivo suficientemente pequeño δ , de forma que si

x δ< − <0 3 , entonces tengamos que ( ) ,f x x− = − <6 2 6 0 001 . Pues bien:

sumando dividiendo entre

restando

Si , , , , ,

, , , , ,

x x x

x x x

− < ⇒ − < − < ⇒ < < ⇒

⇒ < < ⇒ − < − < ⇒ − <

6 2

3

2 6 0 001 0 001 2 6 0 001 5 999 2 6 001

2 9995 3 0005 0 0005 3 0 0005 3 0 0005

Por lo tanto, es posible encontrar nuestro ,δ = 0 0005 .



5

Esto se debe poder hacer para cualquier valor de ε > 0 . Por eso vamos a razonar en general: sumando dividiendo entre

restando

Si x x x

x x x

ε ε ε ε εε ε ε ε ε− < ⇒ − < − < ⇒ − + < < + ⇒

− −⇒ + < < + ⇒ < − < ⇒ − <

6 2

3

2 6 2 6 6 2 6

3 3 3 32 2 2 2 2

Por lo tanto, siempre es posible encontrar nuestro δ , por ejemplo, εδ =2

.

Ejemplo 2: Sea ( ) si xf x

x si x≤⎧

= ⎨ + >⎩

3 13 1

.

( )limx

f x−→

=1

3 ya que ( )/ si x f xε δ ε δ ε∀ > ∃ = > < − < ⇒ − = − = <0 0 0 1 3 3 3 0

( )limx

f x+→

=1

4 ya que ( )/ si x f x x xε δ ε δ ε∀ > ∃ = > < − < ⇒ − = − − = − <0 0 0 1 4 3 4 1

(B) LÍMITES INFINITOS (también se pueden hacer las definiciones laterales):

( ) ( )lim /x a

f x M x a f x Mδ δ→

= ∞ ⇔ ∀ ∈ ∃ > < − < ⇒ >0 0

Intuitivamente, esto significa que, dado cualquier número real M, siempre podemos encontrar un entorno conveniente de a en el que los valores de la función son mayores que M.

( ) ( )lim /x a

f x M x a f x Mδ δ→

= −∞ ⇔ ∀ ∈ ∃ > < − < ⇒ <0 0

Intuitivamente, esto significa que, en un entorno conveniente de a, los valores de la función son tan pequeños como queramos.



6

3.3. Cálculo de límites.

lim ( )x

f x→∞

FUNCIÓN RESULTADO EJEMPLOS

f polinomio

c.l.>0 ⇒ ∞ lim ( )x

x x x pq→∞

− − + =∞ >3 23 2 4 3 0

c.l.<0 ⇒ −∞ lim ( )x

x x x pq→∞

− + − = −∞ − <4 37 2 7 0

f xp xq x

( )( )( )

=

racional ⇒

∞∞

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

indet.

grado p(x)<grado q(x) ⇒ 0

lim lim limx x x

xx x x x x

xxxx x

→∞ →∞ →∞

− −− −− − −= = = =+ +++

3 3 2 3

33

33 3

3 1 33 0 0 012 12 1 2 02

grado p(x)=grado q(x) ⇒ c.l. p(x) / c.l. q(x) lim

x

x xx x→∞

− + −=− +

2

2

3 32 4 5 2

grado p(x)>grado q(x)

⇒ ±∞ según regla signos con c.l.

limx

x x xx→∞

− + ⎛ ⎞= −∞ <⎜ ⎟− −⎝ ⎠

3 24 6 5 4 02 1

limx

x xx x→∞

− + + −⎛ ⎞= ∞ >⎜ ⎟− + − −⎝ ⎠

4 2

2

3 2 1 3 05 3 1 5

( )( ) g xf x a=

( y 1)a a> ≠0 exponencial

lim ( )x

g x→∞

∈

⇒ un número. lim

xx

x

ee eeee

− −+

→∞= = = =

2 2 33 1 3

2 3 23

1 1 lim

xx

x

− + −+

→∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 7 2 223 3 2 4

2 2 3 9

lim ( )x

g x→∞

= ∞

⇒ 0 (0<a<1) ⇒ ∞ ( a>1)

limx

x

x

− ∞− +

→∞

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

3

22 11 1 02 2

limx

x

−∞

→∞⎡ ⎤= = ∞⎣ ⎦

2 473 3

lim ( )x

g x→∞

= −∞

⇒ ∞ (0<a<1) ⇒ 0 (a>1)

limx

x

− −∞ ∞

→∞

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = ∞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

234 4 55 5 4

limx x

xx

∞+−∞− +

→∞

⎡ ⎤⎛ ⎞= = =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

5 2

32

3 2 110 10 010

f x

g xa

( )

log ( )↓

( y 1)a a> ≠0 logaritmo

lim ( )º

xg x

R n

R→∞

+

−∈⇒

⇒ /∃

⎧⎨⎪

⎩⎪ 0

limx

xL Lx→∞

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1 3

4 2 2

lim log log ???x

xx→∞

− + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1 3

4 2 2

lim ( )x

g x→∞

= ∞

⇒ −∞ (0<a<1) ⇒ ∞ ( a>1)

lim logx

x→∞

= −∞213

lim logx

xx→∞

+ = ∞−

2

511

lim ( )x

g x→∞

= −∞

⇒ /∃→∞

lim ( )x

f x lim log ( )x

x→∞

∃ − +/ 7 3 4

lim ( ) lim ( )x x

f x f x→−∞ →∞

= − (sustituir la x por -x, hacer las cuentas y calcular el límite en+∞ )

lim limx x

x x x x x xx x→−∞ →∞

− + − − −= = −∞− +

3 2 3 24 6 5 4 6 52 2

lim limx x

x x

− ∞

→−∞ →∞

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

3 33 34 4 4 05 5 5

Las funciones trigonométricas “puras” (sin componer) no tienen límite en ±∞ .



7

lim ( )x a

f x→

(sustituir la x por a y hacer las cuentas)

FUNCIÓN RESULTADO EJEMPLOS

f polinomio Un número. lim ( ) ( ) ( ) ( )x

x x x→−

− − + = − − − − − + = − − + + =3 2 3 2

12 4 1 1 2 1 4 1 1 2 4 4

f xp xq x

( )( )( )

=

racional

( ) ( ), p a q a∈ ≠ 0

⇒ un número. limx

xx x→

− + =−22

5 7 33 2

( )lim( )x

xx→−

− − − − −= = =+ ⋅ − + −3

3 3 3 0 02 1 2 3 1 5

( ) ( ), p a k q a= ≠ =0 0

⇒ k/0 ⇒ límites laterales (dan ∞ pero hay que estudiar el signo de cada uno).

limlim lim

lim

x

x x

x

x xx x x x

x x

−

+

→

→ →

→

−⎧ ⎫= −∞⎪ ⎪− − −⎪ ⎪⎛ ⎞ − += ⇒ ⇒ = −∞⎨ ⎬⎜ ⎟ −− + − +⎝ ⎠ ⎪ ⎪= −∞⎪ ⎪− +⎩ ⎭

21

2 21 1

21

11 1 12 1

12 1 0 2 12 1

limlim lim

lim

x

x x

x

xx xx x

xx x x xx x

−

+

→

→ →

→

+⎧ ⎫= +∞⎪ ⎪+ +⎪ ⎪⎛ ⎞ −= ⇒ ⇒ ∃/⎨ ⎬⎜ ⎟ +− −⎝ ⎠ ⎪ ⎪= −∞⎪ ⎪−⎩ ⎭

20

2 20 0

20

44 4 43

43 0 33

p(a)=q(a)=0 ⇒ 0/0 indet. ⇒ descomponer los polinomios, simplificar y volver a calcular el límite.

( ) ( ) ( )lim lim lim( ) ( ) ( )x x x

x x x x x x x xx x→ → →

− + ⋅ − ⋅ − ⋅ − −⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟− − ⋅ − − −⎝ ⎠

3 2

1 1 1

7 6 0 1 6 6 5 51 0 1 1 1 1

limlim lim lim

lim

x

x x x

x

x xx x x x

x

−

+

→−

→− →− →−

→−

⎧ ⎫= −∞⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ += = = ⇒ ⇒ ∃/⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪= +∞⎪ ⎪+⎩ ⎭

2

22 2 2

2

12 0 1 1 12

14 4 0 2 0 22

f x a g x( ) ( )=

( y 1)a a> ≠0 exponencial

lim ( )x a

g x→

∈

⇒ un número lim x x

xe e

e− + − −

→−= =

23 2 7 12121

1 limx

xx

− ++

→= =

2 7 3342 4

25 5 5

lim ( )x a

g x→

= ∞

⇒ 0 (0<a<1) ⇒ ∞ (a>1)

limx x

x

+ ∞

→

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

2 3

1

1 1 02 2

( )lim x

x

∞+

→−⎡ ⎤= = ∞⎣ ⎦

252

23 3

lim ( )x a

g x→

= −∞

⇒ ∞ (0<a<1) ⇒ 0 (a>1)

( )lim

x

x

− −∞+

→−

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ∞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

623

3

4 45 5

( )lim x

x

−−∞−

→⎡ ⎤= =⎣ ⎦

474

410 10 0

/∃→

lim ( )x a

g x lim lim limx x x

x x xya que y

+ −

∞ −∞− − −

→ → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∃ = = = = ∞/ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 11 1 1

1 1 1

1 1 1 1 102 2 2 2 2

f x

g xa

( )

log ( )↓

( y 1)a a> ≠0 logaritmo

lim ( )º

x ag x

R nR→

+

−∈⇒

⇒ /∃

⎧⎨⎪

⎩⎪ 0

limx

xL Lx→−

− +⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠1

3 1 24 2

lim log log( ) ???x

xx→

− −⎛ ⎞ = − =⎜ ⎟+⎝ ⎠2

3 2 14 2

lim ( )x a

g x→

= ∞

⇒ −∞ (0<a<1) ⇒ ∞ ( a>1)

lim logx x→

⎛ ⎞ = −∞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 203

1 lim log

( )x

xx→−

+ = ∞+

2

5 23

13

lim ( ) óx a

g x→

= −∞ ∃/

lim ( )x a

f x→

⇒ ∃/

lim log( )x x→−

⎛ ⎞−∃/ ⎜ ⎟+⎝ ⎠5 24

34

Las funciones seno y coseno “puras” (sin componer) tienen límite puntual en todo su dominio.



8

Funciones definidas a trozos:

lim ( )x a

f x→

CASO Si las imágenes de todos los valores de x próximos a a se calculan mediante la misma fórmula, nos encontramos en el caso de un límite puntual de una función.

EJEMPLOS

( ) lim ( ) limx x

x si xx x xf x f xx x x xsi x

x→ →

− + =⎧− +⎪ ⎛ ⎞= ⇒ = = =⎨ − + ⎜ ⎟−≠ ⎝ ⎠⎪ −⎩

3 23 2

1 1

3 1 17 6 0 57 6 1 01

1

( ) lim ( ) limx x

x si x

f x si x f xx xx si x

→ →

− ≤ −⎧⎪ − −⎪= − < < ⇒ = = −⎨ + +⎪⎪ ≥⎩

0 0

3

11 11 2 11 1

2

CASO

Si las imágenes de los valores de x próximos a a por la izquierda se calculan mediante una fórmula y las de los valores de x próximos a a por la derecha mediante otra diferente, calcularemos los límites laterales por separado. Si ambos coinciden, existirá el límite en a y su valor coincidirá con el de los límites laterales. Si no coinciden o alguno de ellos no existe, no existirá el límite en a.

EJEMPLOS

lim ( ) lim ( )lim ( )

lim ( ) lim( )

lim ( ) limlim ( )

lim ( ) lim ( )

x x

xx x

x x

xx x

f x xf xx si x f x

f x si xf x

x si x f xf x x

− −

+ +

− −

+ +

→ →

→→ →

→ →

→→ →

⎧ = − = ⎫⎪⎪ ⇒ =⎬− <⎧ = =⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭= ≤ < ⇒⎨ ⎨= = ⎫⎪ ⎪ ⎪+ ≥⎩ ⇒ ∃/⎪ ⎬= + =⎪ ⎪⎭⎩

1 1

11 1

3 3

33 3

3 223 1 2 2

2 1 32 2

1 31 4

lim ( )x

f x→−∞

Si la función está definida para valores tan pequeños como queramos, utilizamos la fórmula correspondiente a dichos valores y calculamos el límite en menos infinito de dicha función. En caso de no estar definida la función para valores tan pequeños como queramos, no podemos hablar de la existencia de dicho límite.

EJEMPLOS

( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )x x x x

x si xf x f x x x

si x →−∞ →−∞ →∞

− + <⎧= ⇒ = − + = + = ∞⎨

>⎩

3 1 13 1 3 1

2 1

( ) lim ( ) ???x

x si xf x f x

Lx si x →−∞

⎧− − ≤ <= ⇒ =⎨

≤ <⎩

2 2 00 4

lim ( )x

f x→∞

Si la función está definida para valores tan grandes como queramos, utilizamos la fórmula correspondiente a dichos valores y calculamos el límite en infinito de dicha función. En caso de no estar definida la función para valores tan grandes como queramos, no podemos hablar de la existencia de dicho límite.

EJEMPLOS

( ) lim ( ) lim xx x x

x si xf x f x

si x →∞ →∞

− + <⎧= ⇒ = = ∞⎨

>⎩

3 1 12

2 1

cos( ) lim ( ) ???

sen x

x si xf x f x

x si xπ

π →∞

− ≤ <⎧= ⇒ =⎨ ≤ <⎩

2 00



9

3.4. Operaciones y límites. El límite (en ±∞ o puntual) de una operación de dos funciones es igual a dicha operación con los límites de cada función. Esta es la norma general que nos va a permitir calcular la mayoría de los límites, aunque nos encontraremos con problemas en algunos casos (indeterminaciones), que recordaremos como se resuelven. Los siguientes cuadros, resumen las distintas posibilidades:

Límites y operaciones EJEMPLOS: lim ( )

lim ( )x

x

f x

g x→

→

=

= −

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2

5

3

( )lim ( )( ) lim ( ) lim ( )f g x f x g x± = ±( )( )

lim ( )( ) lim ( ) lim ( ) ( )

lim ( )( ) lim ( ) lim ( ) ( )x x x

x x x

f g x f x g x

f g x f x g x→ → →

→ → →

+ = + = + − =

− = − = − − =2 2 2

2 2 2

5 3 2

5 3 8

( )lim ( )( ) lim ( ) lim ( )f g x f x g x⋅ = ⋅ ( )lim ( )( ) lim ( ) lim ( ) ( )x x x

f g x f x g x→ → →

⋅ = ⋅ = ⋅ − = −2 2 2

5 3 15

( )lim ( / )( ) lim ( ) / lim ( )f g x f x g x= ( )lim ( / )( ) lim ( ) / lim ( ) / ( )x x x

f g x f x g x→ → →

= = −2 2 2

5 3

( )lim ( )( ) lim ( )lim ( )f x f xg g x= ( ) lim ( )lim ( )( ) lim ( )x

g xg

x xf x f x → −

→ →= = = =2 3

32 2

1 155 125

SUMA EJEMPLOS lim ( )f x lim ( )g x lim [( )( )]f g x+

L1 L2 L1+L2 limx

x x xx x→∞

⎡ ⎤− + − − −+ = − + =⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

2

2

3 2 3 5 1 3 1724 6 7 7 7

L ±∞ ±∞ lim( )x

xx x→−

⎡ ⎤− ⎛ ⎞+ = +∞ = ∞⎜ ⎟⎢ ⎥+ − ⎝ ⎠⎣ ⎦21

3 2 2 54 1 3

±∞ L ±∞ ( )limx

xx x→−∞

⎡ ⎤− −+ = −∞ + = −∞⎢ ⎥− −⎣ ⎦

32 1 03 4

±∞ ±∞ ±∞ [ ]lim ( )x

x x xx x→∞

⎡ ⎤− ++ = −∞ + −∞ = −∞⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

2 3

2

3 2 3 54 7 9

RESTA EJEMPLOS lim ( )f x lim ( )g x lim [( )( )]f g x−

L1 L2 L1-L2 limx

x x xx x→∞

⎡ ⎤− + − − −− = − − =⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

2

2

3 2 3 5 1 3 1124 6 7 7 7

L ±∞ ∞∓ lim ( )( )x

xx x→−

⎡ ⎤− − ⎛ ⎞− = − −∞ = ∞⎜ ⎟⎢ ⎥+ − ⎝ ⎠⎣ ⎦21

3 2 2 54 1 3

±∞ L ±∞ ( )limx

x xx x→−∞

⎡ ⎤− − = −∞ − = −∞⎢ ⎥− −⎣ ⎦

32 13 4

±∞ ±∞ ∞−∞ Indeterminación

lim ( ) limx x

x x x x xx x x→∞ →∞

⎡ ⎤+ + − + − ∞⎛ ⎞− = ∞−∞ = = = −⎜ ⎟⎢ ⎥+ − − ∞⎝ ⎠⎣ ⎦

2 2 2

2

3 2 2 2 3 11 1 1

lim ( ) limx x

x x x x x xx x x→∞ →∞

⎡ ⎤− − − + + − −∞⎛ ⎞− = −∞ +∞ = = = −∞⎜ ⎟⎢ ⎥+ − − ∞⎝ ⎠⎣ ⎦

2 2 3 2

2

3 2 2 2 31 1 1



10

PRODUCTO EJEMPLOS lim ( )f x lim ( )g x lim [( )( )]f g x⋅

L1 L2 L1�L2 lim x

x

xx

−

→−

− + −⎛ ⎞⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ −⎝ ⎠2

2 1 5 153 93 6 2

L ±∞

±∞ si L>0 lim limx x

x x

x xx x

−

→−∞ →∞

+ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅ = ⋅∞ = ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 1 2 1 23 3

3 3 3

∞∓ si L<0 limx

x

xx

−

→∞

⎡ ⎤− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅∞ = −∞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

4 3 1 45 2 5

·∞0 si L=0 Indeterminación

lim ( ) limx x

x x x x x xx x x x x→∞ →∞

⎡ ⎤+ + + + ∞⎛ ⎞⋅ = −∞ ⋅ = = = −⎜ ⎟⎢ ⎥− + − − + + − ∞⎝ ⎠⎣ ⎦

2 2 4 2

3 4 3

3 2 2 4 8 30 41 1 1

lim ( ) limx x

x x x x x x xx x x x x→∞ →∞

⎡ ⎤+ + + + + −∞⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅∞ = = = −∞⎜ ⎟⎢ ⎥− + + − − ∞⎝ ⎠⎣ ⎦

2 3 5 4 2

3 4 3

2 3 2 6 301 2 1 2 2 1

±∞ ±∞ ±∞ lim ( )x

x x xx x→∞

⎡ ⎤− −⋅ = −∞ ⋅∞ = −∞⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

3 4 2

3

3 22 1 1

DIVISIÓN EJEMPLOS

lim ( )f x lim ( )g x lim [( / )( )]f g x

L1 L2

L1/L2 si L2≠ 0 lim : lim : :x x

x x

x xx x

−

→−∞ →∞

− + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 1 2 1 23 3 0 03 3 3

±∞ ó no existe si L1≠ 0 y L2=0

(límites laterales en límites puntuales)

limlim lim

lim

x

x x

x

x xx x x x

x x

−

+

→

→ →

→

−⎧ ⎫= −∞⎪ ⎪− − −⎪ ⎪⎛ ⎞ − += ⇒ ⇒ = −∞⎨ ⎬⎜ ⎟ −− + − +⎝ ⎠ ⎪ ⎪= −∞⎪ ⎪− +⎩ ⎭

22

2 22 2

22

55 5 54 4

54 4 0 4 44 4

lim : limx x

x x x x x xx x x x x x→∞ →∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − − + −⎛ ⎞= = = −∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − + − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 4 3 2

2 2 3 2

4 1 4 32 3 3 0 2 8 3 12

0/0 (Indeterminación)

si L1=L2=0

lim : ( : ) limx x


⎡ ⎤+ + + − −∞⎛ ⎞⋅ = = = = ∞⎜ ⎟⎢ ⎥− − − + − ∞⎝ ⎠⎣ ⎦

4 5 3 6 5 4

2 5 3 2

2 3 2 3 20 01 2 1 3 3

( ) ( / )lim lim( ) ( )x x

x x x x x xx x→ →

− + − ⋅ ⋅ − ⋅ +⎛ ⎞= = = = −⎜ ⎟− − ⋅ − −⎝ ⎠

2 3

1 1

2 0 2 1 1 2 3 31 0 1 1 1

L ±∞ 0 lim : :x

x

xx

−

→∞

⎡ ⎤− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∞ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

4 3 3 4 05 5 5

±∞ L

±∞ si L>0 lim : lim : :x x

x x

x xx x

−

→−∞ →∞

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ∞ = ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 2 13 3

3 3 3

∞∓ si L<0 ( )lim : : ( )x

x

xx

−

→∞

⎡ ⎤−⎛ ⎞ = ∞ − = −∞⎢ ⎥⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

1 4 3 22 2

±∞ ó no existe si L=0


( )lim : : limx x

x x xx x x x→∞ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −= ∞ = = −∞⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

5 7

2 2

2 4 3 401 2 4 3

±∞ ±∞ /∞ ∞ Indeterminación

lim : lim limx x x

x xx x x→ → →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ∞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−∞ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 2

2 4 20 0 0

1 3 0 02 6 0 6



11

POTENCIA EJEMPLOS lim ( )f x lim ( )g x lim [( )( )]f xg

L1>0 L2 (L1)L2 ( )lim

x

xx

→−− + = =

13 33

12 1 3 3

L>1

∞ ∞ ( )limx

x

xx

−∞

→∞

⎡ ⎤ = = ∞⎢ ⎥+⎣ ⎦

3 42 21

−∞ 0 ( )lim limx x

x x

x xx x

− −−∞

→−∞ →∞

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 24 43 3 3 02 2

1 ±∞ ∞1

Indeterminación

( )

lim ( )

lim lim lim

lim ( )x

x x x

x x x

xxx

xx

x

x xx x x

e ex→∞

∞

→∞ →∞ →∞

−⋅ ⋅−

⋅ ∞−→∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + − = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥

= + = = = ∞⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2 2

2

2

4 4 4

3 2 242 3 2

243 2

3 3 21 1 1 13 2 3 2 3 2

11 3 22

0<L<1

∞ 0 limx

x

xx

∞

→

⎡ ⎤+⎡ ⎤ ⎛ ⎞= =⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

21

0

1 1 02 3 3

−∞ ∞ lim limx x

x x

x xx x

− − −∞

→−∞ →∞

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = = ∞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

2 23 35 5 57 9 7 9 7

0

L>0 0 limx

x

x

xx

+

→∞

⎡ ⎤ = =⎢ ⎥+⎣ ⎦

3 1322

2

2 0 01

L<0 ±∞ o no existe


lim ( )x

x

x

xx

+− −

→∞

⎡ ⎤ = = ∞⎢ ⎥+⎣ ⎦

3 1

32

2 01

L=0 00 Indeterminación lim lim

x x

x x

x xx x→−∞ →∞

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 21 1

02 2

5 5 02 3 2 3

∞ 0 ( )( )lim

x

x

x − ∞

→

− +⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

211

1

2 2 0 03

−∞ ∞ ( )limx

x

xx

−−∞

→∞

+⎡ ⎤ = = ∞⎢ ⎥−⎣ ⎦2

2 3 01

L<0 ±∞ No existe lim ( ) ???x

x

xx

∞

→

− −⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − =⎜ ⎟ ⎣ ⎦+⎝ ⎠

21

0

2 1 11

∞

L>0 ∞ ( )lim lim

x xx x

x x

x xx x

+ +

→−∞ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −= = ∞ = ∞⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2

2 21 1

3 31

2 2

4 42 3 2 3

L<0 0 ( )lim

xx

x

xx

+−

−

→∞

⎡ ⎤− = ∞ =⎢ ⎥+⎣ ⎦

13

12

4 02 3

L=0 ∞0 Indeterminación

( )lim( )

x

x x

−

→

⎡ ⎤= ∞⎢ ⎥−⎣ ⎦

10

21

11

∞ ∞ lim ( )x

x

xx

∞

→∞

⎡ ⎤+ = ∞ = ∞⎢ ⎥−⎣ ⎦

22 31

−∞ 0 lim ( )x

x

xx

−−∞

→∞

⎡ ⎤+ = ∞ =⎢ ⎥−⎣ ⎦

22 3 01



12

3.5. Cálculo de indeterminaciones. Aunque en los ejemplos anteriores ya han aparecido algunas indeterminaciones y las hemos resuelto al igual que hacíamos en las sucesiones, vamos a recordar detenidamente los pasos que hay que seguir para resolver las más sencillas.

En primer lugar, recordemos que una indeterminación aparece cuando intentamos calcular el límite de una operación y lo hacemos realizando los límites de cada uno de los elementos de la operación y, posteriormente, haciendo la operación con el valor de dichos límites. Así, nos podemos encontrar las siguientes:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ; ; · ; ; ;∞∞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∞−∞ ∞ ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟∞⎝ ⎠ ⎝ ⎠0 00 0 1 0

0

El criterio general para resolverlas es volver al comienzo y realizar la operación primero, para posteriormente calcular el límite (este proceso nos va a servir en todos los casos, salvo cuando la operación es la potencia, donde la cosa es más complicada). Después de seguir ese camino, normalmente transformaremos las diferentes indeterminaciones en una del siguiente tipo:

(A) Indeterminación ∞⎛ ⎞⎜ ⎟∞⎝ ⎠

provocada por el cociente de dos polinomios: ( )( )lim

x

P xQ x→∞

∞⎛ ⎞= ⎜ ⎟∞⎝ ⎠

Para resolverla dividimos todos los términos del numerador y del denominador entre x elevada a la mayor potencia del denominador (también puede ser del numerador, pero suele ser más cómoda la interpretación con la del denominador).

Ejemplo 1:

lim lim limx x x

x xx x x x x x x

x xx xx xx x x

→∞ →∞ →∞

− + − +− + ∞ − + −⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟− + ∞ − +⎝ ⎠ − +− +

2 3

2 3 3 3 3 3

33

2 33 3 3

2 5 7 2 752 5 7 0 5 0 54 83 4 83 4 8 3 0 0 33

Ejemplo 2:

lim lim limx xx

xx x x x x

x xx xx xx x x

→∞ →∞→∞

+ ++ ∞ +⎛ ⎞= = = = = =⎜ ⎟− + ∞ − +⎝ ⎠ − +− +

2

2 3 3 3

33

2 33 3 3

7 5 7 57 5 0 0 0 08 13 8 13 8 1 3 0 0 33

Ejemplo 3:

lim lim limx xx

x x xx x x x x x xx xx x

x xx x x→∞ →∞→∞

− + − +− + ∞ +∞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = = +∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + ∞⎝ ⎠ ⎝ ⎠− +− +

5 3

5 3 4 4 4 4

44

3 44 4 4

4 5 11 5 1144 5 113 27 3 27 3 2 77



13

Analizando los ejemplos, descubrimos la siguiente regla:

( )( ) ( )

dor dor

dor dor

dor dor

si grado n > grado d (+ ó según regla signos con coef. líderes)

lim si grado n grado d =coef. líder ( ); =coef. líder ( )

si grado n grado d

x

P x p p P x q Q xQ x q→∞

⎧±∞ −⎪

∞ ⎪⎛ ⎞= = =⎨⎜ ⎟∞⎝ ⎠ ⎪⎪ <⎩0

(B) Indeterminaciones producidas por la suma, diferencia, producto, cociente o potencia de cocientes de polinomios. Se resolverán operando dichas fracciones algebraicas. Ejemplos:

limx

x x xx x→∞

⎛ ⎞+ − ∞ ∞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ∞ ∞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2 2

2 2

3 5 7 3 1 52 2 1 1 2 2

lim ( ) limx n

x x x x x xx x x→∞ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − + + − −∞⎛ ⎞− = −∞ +∞ = = = −∞⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − − ∞⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2 3 2

2

3 2 2 2 31 1 1

lim ( ) limx x


⎡ ⎤+ + − − + + −∞ −⎛ ⎞⋅ = −∞ ⋅ = = = =⎜ ⎟⎢ ⎥− + − − + + − −∞ −⎝ ⎠⎣ ⎦

2 2 4 3 2

3 4 3

3 2 2 4 2 6 3 40 41 1 1 1

lim : ( : ) limx x


⎡ ⎤+ + + − − ∞⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟⎢ ⎥− − + − − ∞⎝ ⎠⎣ ⎦

4 5 7 6 5 4

6 2 7 6

2 3 2 4 2 20 0 21 2 1 3 3 1

lim : limx x


⎡ ⎤+ + ∞ + − ∞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− − ∞ − + − ∞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

4 5 3 6 5 4

2 5 3 2

2 3 2 3 21 2 1 3 3

(C) Indeterminación ( )∞ −∞ producida por una expresión irracional (con raíces).

Se resolverá multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada (signo central cambiado) del ∞ −∞ . Ejemplo:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )lim lim

lim lim

lim lim

x x

x x

x x

x x x x x xx x x

x x x

x x x xx x x x x x

xx x x

x x xx xx x x x

→∞ →∞

→∞ →∞

→∞ →∞

− − + ⋅ + − +− − + = ∞−∞ = = =

+ − +

− − + − ∞⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟∞⎝ ⎠+ − + + − +

− − −= = = =+ − ++ − ++ − +

2 2

2

2

22 2

2 2

2

22 2 2

2 4 5 7 2 4 5 72 4 5 7

2 4 5 7

2 4 5 7 5 72 4 5 7 2 4 5 7

5 7 75 5 0 545 7 2 4 0 02 4 5 7 2 4



14

(D) El número e (EULER).

Consideremos la función definida por ( )x

f xx

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

11 . Entonces:

( ) ( )lim lim . ...x

x xf x e

x∞

→∞ →∞

⎛ ⎞= + = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

11 1 2 71828182845 (lo podemos y debemos comprobar

empíricamente con la calculadora).

Y podemos generalizar lo anterior de forma que, dada una función ( )g x tal que

( )limx

g x→∞

= ∞ , también podemos afirmar que ( )

( )

( )limg x

xe

g x∞

→∞

⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

11 1 .

Este hecho nos permite resolver la indeterminación ∞1 , como vamos a comprobar en el siguiente ejemplo:

( )

lim

lim (dividimos entre y reescribimos la fracción)

= lim lim x

xx

x

x xx xx x

x x x

x x

x x xx

exx→∞

− ∞⎛ ⎞⎜ ⎟+ ∞⎝ ⎠ ∞

→∞

+ − −⋅ ⋅− + +− − +

+ + +

→∞ →∞

− ∞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ∞⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ++⎝ ⎠ ⎜ ⎟

−⎝ ⎠

2

2

2 2

2

11

5 4 7 17 5 4 21 7 7

2 5 4 10

5 3 1 5 3 5 45 4

7 11 1 5 45 47

x e⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ =

78 5

Otra forma de resolver un ejercicio del mismo tipo que el anterior sería:

( )

lim

lim (sumamos y restamos a la fracción, realizando la resta)

lim lim lim x

x

x

x xxx x

x x x

xx

xxx x

e →∞

∞⎛ ⎞⎜ ⎟∞⎝ ⎠ ∞

→∞

− ⋅ ⋅−

→∞ →∞ →∞

+ ∞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ∞⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − = + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

2 2

3

2 1 22 2 1 3

3 3

2 1 1 12 1

2 1 2 11 1 1 1 2 12 1 2 12

( )x

x e⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− ∞⎝ ⎠ = = ∞

226 3

NOTA:

Las indeterminaciones 00 e ∞0 requieren de técnicas más complejas (desconocidas de momento) para resolverlas, por lo que no las discutiremos aquí.



15

Ejercicio 1: Consideremos las siguientes funciones:

( )

( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

( ) ; ( ) log ; ( ) ; ( ) l

x xx x x

p x x q x x x r x x s x x xx x x xf x g x h x j x

x x x x

k x e l x m x n x e

x xa x L x b x c x L d xx

+− −

= − + = − + = − − = −− − + − += = = =+ − −

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+= + = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

2

32 3 24

2 2

2

114 1

2 2

5 3 2 7 1 32 4 3 1 2

3 1 4

223

124 2 4 ( )og x −3 5

Calcula los siguientes límites:

LÍMITE RESULTADO LÍMITE RESULTADO

1 lim ( )x

p x→0

3 2 lim ( )x

p x→1

−2

3 lim ( )x

p x→−2

13 4 /

lim ( )x

p x→1 3

4 3

5 lim ( )x

p x→−∞

∞ 6 lim ( )x

p x→∞

−∞

7 lim ( )x

q x→0

7 8 lim ( )x

q x→1

·2 2

9 lim ( )x

q x→−2

17 10 /

lim ( )x

q x→1 3

62 3

11 lim ( )x

q x→−∞

∞ 12 lim ( )x

q x→∞

∞

13 lim ( )x

r x→0

∃ 14 lim ( )x

r x→1

∃

15 lim ( )x

r x→−2

4 7 16 /

lim ( )x

r x→1 3

∃

17 lim ( )x

r x→−∞

∞ 18 lim ( )x

r x→∞

∃

19 lim ( )x

s x→0

0 20 lim ( )x

s x→1

3 2

21 lim ( )x

s x→−2

3 14 22 /lim ( )

xs x

→1 3 0

23 lim ( )x

s x→−∞

∞ 24 lim ( )x

s x→∞

∞

25 lim ( )x

f x→0

−4 3 26 lim ( )x

f x→1

−1 2

27 lim ( )x

f x→−2

−8 28 /

lim ( )x

f x→1 3

−1

29 lim ( )x

f x→−∞

−2 30 lim ( )x

f x→∞

−2

31 lim ( )x

g x→0

∃lim

limx

x

x

x+

−

→

→

− = −∞⎧⎪⎨ − = ∞⎪⎩

0

0

3

3 32 lim ( )

xg x

→1 −3

33 lim ( )x

g x→−2

3 2 34 /

lim ( )x

g x→1 3

−9



16


35 lim ( )x

g x→−∞

0 36 lim ( )x

g x→∞

0

37 lim ( )x

h x→0

−1 38 lim ( )x

h x→1

∃lim

lim

x

x

xxxx

+

−

→

→

⎧ + = ∞⎪⎪ −⎨

+⎪ = −∞⎪ −⎩

2

1

2

1

1111

39 lim ( )x

h x→−2

−5 3 40 /lim ( )

xh x

→1 3 −5 3

41 lim ( )x

h x→−∞

−∞ 42 lim ( )x

h x→∞

∞

43 lim ( )x

j x→0

0 44 lim ( )x

j x→1

−1 3

45 lim ( )x

j x→−2

∃lim

lim

x

x

x xxx xx

+

−

→−

→−

⎧ − + = −∞⎪⎪ −⎨

− +⎪ = ∞⎪ −⎩

2

22

2

22

2424

46 /

lim ( )x

j x→1 3

−1 7

47 lim ( )x

j x→−∞

−1 48 lim ( )x

j x→∞

−1

49 lim ( )x

k x→0

e−4 50 lim ( )x

k x→1

e−3

51 lim ( )x

k x→−2

e e− =6 61 52 /lim ( )

xk x

→1 3 e−11 3

53 lim ( )x

k x→−∞

0 54 lim ( )x

k x→∞

∞

55 lim ( )x

l x→0

∃lim

lim

x

x

x

x

+

−

→

→

⎧ = ∞⎪⎨

=⎪⎩

1

0

1

0

2

2 0 56 lim ( )

xl x

→1 2

57 lim ( )x

l x→−2

− =1 22 1 2 58 /lim ( )

xl x

→1 3 8

59 lim ( )x

l x→−∞

1 60 lim ( )x

l x→∞

1

61 lim ( )x

m x→0

2 3 62 lim ( )x

m x→1

4 9

63 lim ( )x

m x→−2

32 243 64 /lim ( )

xm x

→1 3 ( ) ( )=10 9 1092 3 2 3

65 lim ( )x

m x→−∞

0 66 lim ( )x

m x→∞

0

67 lim ( )x

n x→0

1 68 lim ( )x

n x→1

∃lim

lim

xx

xx

x

x

e

e

+

−

−

→

−

→

⎧= ∞⎪⎪

⎨⎪ =⎪⎩

2

2

1

1

1

10

69 lim ( )x

n x→−2

e e− =2 3 23 1 70 /lim ( )

xn x

→1 3 e e− =3 8 38 1

71 lim ( )x

n x→−∞

1 72 lim ( )x

n x→∞

1



17


73 lim ( )x

a x→0

L2 74 lim ( )x

a x→1

L3

75 lim ( )x

a x→−2

∃( )lim

xL x

+→−+ = −∞

∃2

2

( )limx

L x−→−

⎧⎪⎨

+⎪⎩ 22

76 /lim ( )

xa x

→1 3 L ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠73

77 lim ( )x

a x→−∞

∃ 78 lim ( )x

a x→∞

∞

79 lim ( )x

b x→0

−∞ 80 lim ( )x

b x→1

( )log ·log= −1 4 2 2

81 lim ( )x

b x→−2

0 82 /

lim ( )x

b x→1 3

( )log ·log= −1 36 2 6

83 lim ( )x

b x→−∞

∞ 84 lim ( )x

b x→∞

∞

85 lim ( )x

c x→0

·L−2 2 86 lim ( )x

c x→1

L− 3

87 lim ( )x

c x→−2

∃lim

x

xLx+→−

⎛ ⎞+ = ∞⎜ ⎟+⎝ ⎠

∃

2

2

12 4

limx

xLx−→−

⎧⎪⎪⎨

⎛ ⎞+⎪⎜ ⎟⎪ +⎝ ⎠⎩

2

2

12 4

88

/lim ( )

xc x

→1 3 ( )L− 21 5

89 lim ( )x

c x→−∞

∃ 90 lim ( )x

c x→∞

∞

91 lim ( )x

d x→0

∃ 92 lim ( )x

d x→1

∃

93 lim ( )x

d x→−2

∃ 94 /lim ( )

xd x

→1 3 ∃

95 lim ( )x

d x→−∞

∃ 96 lim ( )x

d x→∞

∞

Ejercicio 2. Calcula los siguientes límites:


1 limx

x xx→−∞

−+

3 253

2 limx

xx→∞

−−

4

2

11

3 ( )limx

xx→−∞

+ −2

2

1 1 4 ( ) ( )lim

·x

xx x→

−− − 21

2 51 3

5 ( ) ( )lim

·x

xx x→

−− − 23

2 51 3

6 limx

xx→

−4

30

2

7 ( )limx

x x→∞

+ −1 8 ( )limx

x x→−∞

+ − −2 21 1

9 ( )lim xx

x→

+1

01 10 ( )( )lim

xx

xx −

→− 23

32

11 limx

xx→

+ −−3

1 23

12 limx

xx→

+ −+ −0

9 316 4



18

3.6. Ramas infinitas de una función. Asíntotas y ramas parabólicas. (A) Todas las situaciones planteadas anteriormente al calcular un límite, proporcionan información muy útil para la representación gráfica de una función.

Se dice que una función f tiene una rama infinita, cuando el valor de la variable o el valor de las imágenes o ambas crecen infinitamente. Si algunas de estas ramas se aproximan cada vez más a alguna recta, diremos que ésta es una asíntota de la función. (B) Tipos de ramas infinitas:

TIPOS NOMBRE EJEMPLOS

( )limx a

f x→

= ∞ ó ( )limx a

f x→

= −∞ x a=

Asíntota vertical de ramas convergentes

( )lim

x af x

+→= ∞ y ( )lim

x af x

−→= −∞

ó ( )lim

x af x

+→= −∞ y ( )lim

x af x

−→= ∞

x a= Asíntota vertical

de ramas divergentes

( )limx a

f x L+→

= y ( )limx a

f x−→

= ±∞

ó ( )lim

x af x

+→= ±∞ y ( )lim

x af x L

−→=

x a= Asíntota vertical

con una única rama a la izquierda

ó a la derecha

( )limx

f x L→∞

=

ó ( )lim

xf x L

→−∞=

ó ambos finitos (iguales o distintos)

y L= Asíntota horizontal

( ) ( )lim y limx x

f xf x m

x→±∞ →±∞= ∞ =

y ( )lim

xf x mx n

→±∞− =⎡ ⎤⎣ ⎦

·y m x n= +

Asíntota oblicua

( ) ( )lim y limx x

f xf x

x→±∞ →±∞= ±∞ = ±∞

ó ( ) ( )lim y lim

x x

f xm f x mx

x→±∞ →±∞= − = ±∞⎡ ⎤⎣ ⎦

Rama parabólica

Puede haber 2 A.H.

Puede haber 2 A.O.



19

(C) Ejemplos de asíntotas:

ASÍNTOTAS VERTICALES: Posibles en los puntos problemáticos

lim ( )x k

f x x k±→

= ±∞ ⇒ =

Polinomios NO TIENEN, porque no tienen puntos problemáticos

Rac

iona

les

( )lim limx x

xxx→ →

−− ⎛ ⎞= =⎜ ⎟− + ⎝ ⎠21 1

2 12 2 01 0 ( ) ( )x− −1 1

N O es A .V . de ( )( )

limlim es A .V . de ( )

lim

x

x

x

xx f xxx

xx xx x f x

xx xx

+

−

→ −

→ −

→ −

−= = − ⇒ = =− − ++

−⎧ = −∞⎪− − −⎪⎛ ⎞ − += = ⇒ = − =⎨⎜ ⎟ −− + − +⎝ ⎠ ⎪ = ∞⎪ − +⎩

2

21

2 21

21

2 2 21 12 11

2 22 2 4 2 21 1

2 21 0 11

Irra

cion

ales

Índice par

Asíntotas del radicando, cuando exista el límite: ( )

lim limx x

xxx→ →

−− ⎛ ⎞= =⎜ ⎟− + ⎝ ⎠21 1

2 12 2 01 0 ( ) ( )x− −1 1

N O es A.V . de ( )( )

lim lim es A.V . de ( )x x

xx f xxx

x x xx f xx x x−→ − → −

−= = − ∉ ⇒ = =− − ++

− − − −⎛ ⎞= = = ∞ ⇒ = − =⎜ ⎟− + − + − +⎝ ⎠

2

2 2 21 1

2 2 21 12 11

2 2 4 2 2 2 211 0 1 1

Índice impar

Asíntotas del radicando:

lim( ) no tiene porque el radicando no tiene y ( ) es A.V.

lim

x

x

xf x x g x xx

x

−

+

→

→

⎧= −∞⎪⎪= − + = ⇒ ⇒ =⎨

⎪ = ∞⎪⎩

503 5

50

113 7 0

1

Expo

nenc

iale

s Posibles en los puntos problemáticos (del exponente):

( )

( )( )

limlim es A.V . de ( )

lim

lim lim

x

xx xx

x

x

xxx

x x

e ee e x f x e

e e

+

−

∞+

→ −+ +→ −

−∞+

→ −

−−−

→ →

⎧= = ∞⎪⎛ ⎞ ⎪= = ⇒ = − =⎨⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪ = =⎪⎩

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

121 1 1

22 0 212

2

2

39 03 0

3 3

20

2 2 2( )

( )x

x+

−3

3 N O es A.V . de g ( )xxx x−−= = ⇒ = =

2 96 32 64 3 2

Loga

rítm

icas

Posibles en los puntos donde el argumento vale 0: ( )lim ln ln lim ln es A.V . de ( ) ln

( )lim ln ln lim ln

x x

x x

x x x f x x

xxx

+→ →

→ →

= = = −∞ ⇒ = =

−⎛ ⎞− ⎡ ⎤⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠

0 0

2

3 3

0 0

39 03 0

( )( )

xx

+−

33

ln N O es A .V . de g ( ) ln xx xx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= ⇒ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎝ ⎠

2 96 33

Trig

onom

étric

as

-El seno y el coseno NO tienen asíntotas verticales.

-La tangente y la secante tienen infinitas asíntotas verticales: x k kπ π= + ∀ ∈2

-La cotangente y la cosecante tienen infinitas asíntotas verticales: x k kπ= ∀ ∈

Def

inid

as a

troz

os Posibles en los puntos problemáticos de cada fórmula:

lim ln ( )ln( )

( )

xx y x es una A.V. de f xx x

f xx x x No tiene porque es un polinomio

x x No tiene porque es un polinomiog x

x punto problemático, pero xx

+→= −∞ ≤ ⇒ =⎧≤⎧ ⎪= ⇒⎨ ⎨

− > ⎪⎩ ⎩− <⎧

⎪= ⇒⎨ = ≥≥⎪⎩

02

0 2 023 2

1 11 0 01 ( )lim ( ) lim

x x

f NO tiene A.V.f x x

x xh(x)= x x x No tienen porque son polinomios, luego f NO tiene A.V.

x x

→ →

⎧⎪ ⇒⎨ ⎡ ⎤= − = −⎪ ⎣ ⎦⎩

− + < −⎧⎪ − − ≤ < ⇒⎨⎪ − ≥⎩

0 0

2

1 1 1

3 2 15 1 1

2 3 1



20

ASÍNTOTAS HORIZONTALES: lim ( )x

f x k y k→ ±∞

= ⇒ =

Polinomios NO TIENEN porque lim ( )x

p x→ ±∞

= ±∞ siempre

Rac

iona

les

dor dorlim pq grado(n ) grado(d ) es A .H . de

En el com portam iento es sim ilar : lim lim es A .H . de

lim

x

x x

x

x y fx

x x y fx x

xx x

→∞

→ −∞ → −∞

→ ∞

− ∞⎛ ⎞= = < ⇒ =⎜ ⎟− + −∞⎝ ⎠− − − −∞⎛ ⎞− ∞ = = ⇒ =⎜ ⎟− + − + −∞⎝ ⎠

− − −∞⎛ ⎞= ⎜+ ∞⎝

2

2 2

2

2

2 2 0 01

2 2 2 2 0 01 1

4 22

dor dor

dor dor

pq grado(n ) grado(d ) es A .H . de

lim pq grado(n ) grado(d ) N O tiene A .H .x

y f

x x fx→∞

−= = = ⇒ =⎟⎠

− − −∞⎛ ⎞= = ∞ > ⇒⎜ ⎟− + −∞⎝ ⎠

3

2

4 2 22

35 7

Irra

cion

ales

Índice par

Si el radicando tiene, cuando exista el límite:

lim es A .H . de

lim N O tiene A.H .

x

x

x y fxx fx

→∞

→∞

− = ⇒ =+

− = = − ∉ ⇒− + −

2

2

2 2 2 21

2 1 11 1

Índice impar

Si el radicando tiene: lim

( ) no tiene porque el radicando no tiene y ( ) es A.H.lim

x

x

xx xf x x g x yx x

x

→∞

→−∞

⎧ − =⎪− ⎪= − + = ⇒ ⇒ =⎨−⎪ =⎪⎩

55

53 5

55

2 1 22 13 7 2

2 1 2

Expo

nenc

iale

s lim es A.H . de ( )

lim

es A.H . de ( )

lim

x xx

xx

x

xx

x

e e e y f x e

y g x

+ +∞→∞

− ∞ ∞− ∞

→∞

− ∞ −∞− −∞ ∞

→ −∞

⎛ ⎞= = = ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⎢ ⎥= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦ ⎪ ⎛⇒ = =⎬⎝⎡ ⎤ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎪= = = = ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦ ⎭

2

2

1 1102 2

93

93

1 1

1 1 1 02 2 2

102

1 1 1 22 2 2

xx−−⎞

⎜ ⎟⎠

2 93

Logarítmicas ∃ lim lim ( ) no tiene A.H.

lim lim es A.H. de g( )

x x

x x

Lx y Lx f x Lx

x x xL L y L L y x Lx x x

→−∞ →∞

→−∞ →∞

= ∞ ⇒ =

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = ⇒ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠9 9 91 0 1 0 03 3 3

Trigonométricas Ninguna función trigonométrica “pura” (sin componer con otra función) tiene asíntotas horizontales.

Def

inid

as a

troz

os

Hay si el primer o el último trozo son fórmulas que tengan A.H.:

( )Lx x

f xx x x

∃≤⎧= ⇒⎨

− >⎩2

23 2

lim ( )

lim( )

lim

x

xxx

x

Lx No hay A.H. de f x

No tiene porque es un polinomio

e y es A.H. de fe xg x x xx y es A.H. de fx x

x xh(x)= x x x No tiene

x x

→−∞

→−∞

→∞

⎧ ⇒⎪⎨⎪⎩

⎧ = ⇒ =⎧ <⎪ ⎪= ⇒⎨ ⎨+ +≥ = ⇒ =⎪ ⎪⎩ ⎩− + < −⎧⎪ − − ≤ < ⇒⎨⎪ − ≥⎩

2

0 011 11 1 1

3 2 15 1 1

2 3 1n porque son polinomios, luego f NO tiene A.H.



21

Por último veamos cómo se calcula, en dos ejemplos, una asíntota oblicua:

( )

( ) ( )( )

( )

( )

. . siempre No hay

. . lim y lim No hay

lim lim

lim lim lim

. .lim lim

x x

x x

x x x

x x

xf x AV xx

A H f x f x

f x xmx x x

y xx xn f x mx x

x xAO

f x xmx x

→∞ →−∞

→∞ →∞

→∞ →∞ →∞

→−∞ →−∞

= ⇒ + ≠ ⇒+

⇒ = ∞ = −∞ ⇒

⎫= = = ⎪+ ⎪ ⇒ =⎬⎡ ⎤ − ⎪= − = − = =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪+ +⎣ ⎦ ⎭⇒

= =

32

2

3

3

3

2 2

3

2 1 01

2 22

2 22 01 1

2

( )

lim

lim lim lim

x

x x x

xx x x

y xx xn f x mx x

x x

→−∞

→−∞ →−∞ →−∞

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎫−⎪ = = ⎪⎪ + − − ⎪⎪ ⇒ =⎬⎡ ⎤ −⎪ ⎪= − = − = =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪+ +⎣ ⎦ ⎭⎩

3

3 3

3

2 2

2 22

2 22 01 1

( )

( )

( )( )( )

lim lim lim

. .

lim lim lim

Análogamente cuando . .

x x x

x x x

f x x xmx x x

y x A Ox x x xf x x

n f x mx x xx x

x y x A O

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞ →∞

⎧ ⎫+ +⎪ = = = = ⎪⎪ ⎪

⇒ =⎪ ⎬⎪ + − + += + ⇒ ⎪⎨ ⎛ ⎞⎡ ⎤= − = + − = = =⎡ ⎤ ⎪⎪ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∞⎝ ⎠+ + ⎭⎪⎪ → −∞ ⇒ =⎪⎩

2 2

2

2 222

2

1 1 1

1 11 11 01

(D) Ejercicio 1: Calcula las asíntotas verticales y horizontales de las funciones siguientes.

( )

( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

( ) ; ( ) log ; ( ) ln ; ( )

x xx x x

p x x q x x x r x x s x x xx x x xf x g x h x j x

x x x x

k x e l x m x n x e

x xa x L x b x c x d xx

+− −

= − + = − + = − − = −− − + − += = = =+ − −

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+= + = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

2

32 3 24

2 2

2

114 1

2 2

5 3 2 7 1 32 4 3 1 2

3 1 4

223

124 2 4

( )log x −3 5

FUNCIÓN ASÍNTOTAS

FUNCIÓN ASÍNTOTAS

Verticales Horizontales Verticales Horizontales 1 ( )p x 2 ( )q x

3 ( )r x 4 ( )s x

5 ( )f x x = −3 y = 2 6 ( )g x x = 0 y = 0

7 ( )h x x = 1 8 ( )j x x = −2 y = −1

9 ( )k x y = 0 10 ( )l x x =0 y = 1

11 ( )m x y = 0 12 ( )n x ;x x= − =1 1 y = 1

13 ( )a x x = −2 14 ( )b x x = 0

15 ( )c x x = −2 16 ( )d x x = 3 5



22

Ejercicio 2: Calcula las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas de las funciones siguientes:

1. ( ) xf xx

=−

3

2 1 2. ( )g x

x=

−1

1

3. ( ) xh xx−=−

2 41

4. ( ) x xi xx− +=−

2

2

5 11

5. ( )j x x= −2 1 6. ( )k xx

=+2

11

7. ( ) xl xx+=−

2

2

11

8. ( ) xm xx

=+

2

1

9. ( ) x xn xx x

− −=− +

2

2

24 4

10. ( ) xñ xx

=+2 1

11. ( ) xq xx

=+

3

2

34

12. ( ) xr xx

=−

3

2

34

3.7. BIBLIOGRAFÍA. Para la elaboración de estos apuntes, se ha utilizado como material: 1º Mayoritariamente, las explicaciones y ejercicios propuestos en clase por los profesores del Departamento de Matemáticas del Colegio Virgen de Gracia (Granada). 2º Como ayuda para desarrollar y completar algunos apartados: -Apuntes del profesor Jesús Escudero Martín del I.E.S. Fray Luis de León (Salamanca). http://platea.pntic.mec.es/jescuder/

3. LÍMITES DE FUNCIONES. 3.1. Noción intuitiva de límite ... · algo con el lenguaje matemático...

Documents

Transcript of 3. LÍMITES DE FUNCIONES. 3.1. Noción intuitiva de límite ... · algo con el lenguaje matemático...