§3-1 力矩的概念和计算
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§3-1 力矩的概念和计算. §3-2 力偶的概念. §3-3 平面力偶系的合成与平衡. 第 3 章 力矩与平面力偶系. 力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。力的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。. 主要研究内容： (1) 力矩和力偶的概念； (2) 力偶的性质； (3) 平面力偶系的合成与平衡。. 谁曾经想过用杠杆来移动地球？ 古希腊科学家阿基米德曾说过“如果给我一个支点，我就能撬起地球”。这句名言从理论上讲是完全正确的， 因为杠杆能使力变大，只要杠杆足够长，就 - PowerPoint PPT Presentation
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工程力学电子教案 1力矩与平面力偶系
§3-1 力矩的概念和计算§3-2 力偶的概念§3-3 平面力偶系的合成与平衡
第 3 章 力矩与平面力偶系
工程力学电子教案 2力矩与平面力偶系
力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。力的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。
主要研究内容： (1) 力矩和力偶的概念； (2) 力偶的性质； (3) 平面力偶系的合成与平衡。
工程力学电子教案 3力矩与平面力偶系
谁曾经想过用杠杆来移动地球？ 古希腊科学家阿基米德曾说过“如果给我一个支点，我就能撬起地球”。这句名言从理论上讲是完全正确的，因为杠杆能使力变大，只要杠杆足够长，就能产生足够大的力来“搬动”地球。 动力臂越长，施力的一方经过的距离越长，力省了，可增加了距离。如果真有一个支点，要撬动地球，恐怕撬棍的动力臂长得你无法想象，比阻力臂要长 1000 万万亿倍，要把地球撬起 1 厘米，如果按每秒移动 1 米计算，要花 3 万亿年的时间，这比地球的历史还要长。—— 来自中国科普网
工程力学电子教案 4力矩与平面力偶系
§3-1 力矩的概念和计算1. 力对点之矩
(1) 用扳手拧螺母；
(2) 开门，关门。
由上图知，力 F 使物体绕 O 点转动的效应，不仅与力的大小，而且与 O 点到力的作用线的垂直距离 d 有关，故用乘积 F·d 来度量力的转动效应。该乘积
O
F
Al
d
图 3-1
工程力学电子教案 5力矩与平面力偶系
根据转动效应的转向取适当的正负号称为力 F 对点 O
之矩，简称力矩，以符号 M O (F) 表示。即
O 点称为力矩的中心，简称矩心； O 点到力 F 作用线的垂直距离 d ，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。
dFFMO )(
工程力学电子教案 6力矩与平面力偶系
力矩的单位： 国际制 N·m ， kN·m
工程制 公斤力米（ kgf·m ）
应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。
力矩的性质：(1) 力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动
而改变；
O F
d
图 3-2 (a)
工程力学电子教案 7力矩与平面力偶系
(2) 力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一 个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必通过该点；
F
o
图 3-2 (b)
(3) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
O
F1
F2
图 3-2
(c)
工程力学电子教案 8力矩与平面力偶系
2. 合力矩定理表达式：证明：由图得
而
Ox
y
d
x
y
F
Fx
Fy
A
r
图 3-3
)()( R FMFM OO
cossin
cossin
)cossin
cos(sin
)sin()(
rF
rF
rF
rFdFFMO
cos , sin
cos , sin
x y
A A
F F F F
r x r y
工程力学电子教案 9力矩与平面力偶系
则
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ F1 、 F2 、… Fn ）则可将每个力对 O 点之矩相加，有
该汇交力系的合力 FR=∑F ，由式 (a) ，它对 O 点的矩为：
比较 (b) 、 (c) 两式有
( ) ( )O A y A xM x F y F a F
( ) ( )O A y A xM x F y F b F
R R R( ) ( )O A y A x A y A xM x F y F x F y F c F
)()( R FMFM OO 证毕。
工程力学电子教案 10力矩与平面力偶系
§3-2 力偶的概念1. 力偶和力偶矩
(1) 力偶的概念 把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力叫做力偶。并记作（ F ， F
′ ）。可用图 3-4 表示 ,例如：方向盘等
F
F′
d 力偶臂
力偶作用面图 3-4
F1
F
F′
AB
F1′
C
D
图 3-5
工程力学电子教案 11力矩与平面力偶系
(2) 力偶的性质(a) 力偶在任何坐标轴上的投影等于零；(b) 力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合力，即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平衡；(c) 力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应，即它可以也只能改变物体的转动状态。
x图 3-6
F
F′
d力偶臂
力偶作用面
工程力学电子教案 12力矩与平面力偶系
(3) 力偶矩 其转动效应——力对点之矩，即用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。
F
F
d
图 3-7
Ox
例如：
dF
xdFxF
FMFM OO
)(
)()(
dFMdFFFM 或),(
工程力学电子教案 13力矩与平面力偶系
(4) 力偶的三要素(a) 力偶矩的大小；(b) 力偶的转向；(c) 力偶作用面在空间的方位。
2. 平面力偶等效定理 定理：在同一平面内（或两平行平面）的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。
例如：方向盘F1
F
F′
AB
F1′
C
D图 3-8
工程力学电子教案 14力矩与平面力偶系
设有一力偶 (F, F ′), 如图所示 .
运用加减平衡力系的公理并注意到：
),(~),(
),(~),,,(~),(
11 PPFF
PPQQFFFF
ABCABD
ABC
ABD
SS
SPPM
SFFM
2),(
,2),(
),(),(
),(),(
),(),(
11
11
PPMFFM
PPMPPM
PPMFFM
证明：
图 3-9
P
P1 P1′
P′
F
F′
Q′
Q
A′
B′
AB
b
a
CD
工程力学电子教案 15力矩与平面力偶系
两个重要推论：推论 1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的转动效应
A B
M
(a)
A B
M
C
(b)
图 3-10
工程力学电子教案 16力矩与平面力偶系
推论 2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对物体的转动效应，其中 F1d=F2D
注意：上述结论只适用于刚体，而不适用于变形体。
A B
d
F 1
F1
(a)
A B
D F2
F2
(b)
图 3-11
工程力学电子教案 17力矩与平面力偶系
§3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的
总称。1. 合成(1) 两个力偶的情况
F1′F1 d1
d2
F2′
F2
222
111 ,
dFM
dFM
=
F11′
F22′
F22
F11
d
dFM
dFM
222
111 ,
d
FR′FR=
2211R
2211R ,
FFF
FFF
工程力学电子教案 18力矩与平面力偶系
这样得到新的力偶 (FR , FR′), 则
M= FRd= (F11 - F22)d=F11d - F22 d=M1+M2
(2) 任意个力偶的情况M=M1 + M2 + … + Mn , 或 M=∑Mi
M1
M2
Mn
图 3-13
工程力学电子教案 19力矩与平面力偶系
2. 平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即
∑Mi=0
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
工程力学电子教案 20力矩与平面力偶系
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3 =F4 = 1 kN,
求作用在板上的合力偶矩。
180mmF 1F2
F3
F 4
80mm
解：由式M = M1 + M2
则M =-F1 · 0.18 –F3 · 0.08
= -350 N· m
负号表明转向为顺时针。
图 3-14
例 题 3- 1
工程力学电子教案 21力矩与平面力偶系
长为 4 m 的简支梁的两端 A 、 B 处作用有二个力偶，大小各为 M1
=16 N· m ， M2 = 4 N· m ，转向如图。试求 A 、 B
支座的约束力。
解：作 AB 梁的受力图，如图 (b) 所示。AB 梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束力也必须组成一个同平面的力偶（ FA ，FB ）才能与之平衡。
例 题 3- 2
FBFA
M1
M2
AB
(b)
d60
4m
A BM1
M2
(a) 图 3-15
工程力学电子教案 22力矩与平面力偶系
由平衡方程 ∑M =0
得 -M1+ M2+FB l cos60º= 0
解得
故
FB=6 N
FA 、 FB 为正值，说明图中所示 FA 、 FB 的指向正确。
FA = FB = 6 N
FBFA
M1
M2
AB
(b)
d
例 题 3- 2
工程力学电子教案 23力矩与平面力偶系
如图所示的铰接四连杆机构 OABD ，在杆 OA 和 BD 上分别作用着矩为 M1 和 M2 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知 OA=r ，DB=2r ， θ =30° ，不计各杆自重，试求 M1 和
M2 间的关系。 B
O D
M1
M2
A
例 题 3- 3
工程力学电子教案 24力矩与平面力偶系
解：因为杆 AB 为二力杆，故其反力 FAB 和 FBA 只能沿A ， B 的连线方向。 分别取杆 OA 和 DB 为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，所以支座 O 和 D 的约束力 FO 和 FD 只能分别平行于 FAB
和 FBA ，且与其方向相反。
B
O D
M1
M2
A
例 题 3- 3
工程力学电子教案 25力矩与平面力偶系
B
D
M2
FD
FBA
OM1
FO
FABA
02
0
2
1
cosrFM
cosrFM
BA
AB
BAAB FF 因为
12 2MM 所以求得
写出杆 OA 和 DB 的平衡方程： ∑ M = 0
工程力学电子教案 26力矩与平面力偶系
思考题 3-1 一力偶 (F1,F1
′) 作用在 Oxy 平面内 ,另一力偶 (F2 ， F2
′) 作用在 Oyz 平面内 , 它们的力偶矩大小相等 ( 如图 ) 。试问此两力偶是否等效，为什么？
x
y
z
F2
F2′
F1 F1′
图 3-16
O
工程力学电子教案 27力矩与平面力偶系
如图所示，在物体上作用有两力偶(F1,F1′) 和 (F2,F2′) 其力多边形封闭。问该物体是否平衡？为什么？
图 3-17
F1
F2
F1′
F2′
F1
F2
F1′
F2′
思考题 3-2
工程力学电子教案 28力矩与平面力偶系
图 3-18 所示圆盘由 O 点处的轴承支持，在力偶 M 和力 F 的作用下处于平衡。能不能说力偶被力 F 所平衡？为什么？
力矩和力偶有什么联系？又有什么区别？
F
MO
图 3-18
思考题 3-3
思考题 3-4
工程力学电子教案 29力矩与平面力偶系
两轮半径同为 r ，一轮在轮缘上受一大小为 F 的力作用，另一轮在轮缘上受两个方向相反、大小都是 F/2 的力作用，各轮上的力对轮心的矩是否相同？两轮上的力对轮的外效应是否相同？
(a)
rO1
F
r
(b)
O2
F/2
F/2
图 3-19
思考题 3-5
工程力学电子教案 30力矩与平面力偶系
图中所示两轮在图示主动力作用下能否处于平衡？为什么？若不能平衡，可否再在轮上加一个力使之平衡？如何加？
(b)
r
(a)
O1
F
rO2
F/2
F/2
图 3-20
思考题 3-6
工程力学电子教案 31力矩与平面力偶系
