2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.
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Solución de un sistema de tres
ecuaciones con tres incógnitas aplicando la Regla De Cramer
Autores:Rosy Marcela Palomino MartínezIván de Jesús Sánchez Piedrahíta
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La Regla de Cramer es un método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones por determinantes.
Ejemplo:
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
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Para resolver un sistema utilizando la Regla de Cramer:
Paso 1:Hallar la determinante del sistema la cual denominaremos
Una determinante es una expresión numérica en la que se toman los coeficientes de x, y y de z, las cuales se escriben dentro de dos barras de la siguiente manera:
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De esta manera la determinante del sistema nos quedaría así:
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
2 3 4 = 2 6 8
4 9 -4
Vemos que los números dentro de las barras son los coeficientes correspondientes a x, y y z.
Esta expresión es una determinante de tercer orden porque tiene tres filas y tres columnas.
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Paso 2 :Resolver la determinante del sistema ( )El valor de una determinante de tercer orden se halla aplicando la Regla de Sarrus.
2 3 4 = 2 6 8
4 9 -4 2 3 4
2 6 8
Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales.
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Se multiplican entre si los tres números por que pasan las diagonales principales y secundarias 2 3 4 = 2 6 8
4 9 -4 2 3 4
2 6 8
2 3 4 = 2 6 8
4 9 -4 2 3 4
2 6 8
Diagonales Principales
Diagonales Secundarias
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Se multiplican los términos de las diagonales principales.
2 3 4 = 2 6 8 = - 48 + 72 + 96
4 9 -4 2 3 4
2 6 8
Los productos de los números que hay en las diagonales principales se escriben con su propio signo.
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Se multiplican los términos de las diagonales secundarias.
2 3 4 = 2 6 8 = - 48+72+96-96-144+24
4 9 -4 2 3 4
2 6 8
Los productos de los números que hay en las diagonales secundarias se escriben con el signo cambiado.
![Page 9: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/9.jpg)
2 3 4 = 2 6 8 = - 48+72+96-96-144+24
4 9 -4 2 3 4
2 6 8
Finalmente se efectúa la operación correspondiente.
24 -120
-96
Siendo éste el valor de la determinante de todo el sistema.
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Paso 3 : Hallar la determinante de x la cual denominaremos
La determinante de x equivale a colocar en la columna de los coeficientes de x los términos independientes de las ecuaciones.
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De esta manera nos quedaría así:
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
3 3 4 = 5 6 8
4 9 -4
En este caso los coeficientes de x fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.
![Page 12: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/12.jpg)
Paso 4 :Resolver
3 3 4 = 5 6 8 = - 72 + 180 + 96
4 9 -4
3 3 4
5 6 8
Se multiplican los términos de las diagonales principales.
![Page 13: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/13.jpg)
3 3 4 = 5 6 8 = -72+180+96-96-216+60
4 9 -4
3 3 4
5 6 8
Luego se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.
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3 3 4 = 5 6 8 = -72+180+96-96-216+60
4 9 -4
3 3 4
5 6 8
108 - 156
- 48
Se realiza la operación la cual dio como resultado -48 que será el valor de la determinante de x.
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Paso 5 : Hallar la determinante de y la cual denominaremos
La determinante de y equivale a colocar en la columna de los coeficientes de y los términos independientes de las ecuaciones.
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De esta manera nos quedaría así:
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
2 3 4 = 2 5 8
4 4 -4
Aquí los coeficientes de y fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.
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Paso 6 :Resolver
2 3 4 = 2 5 8 = - 40 + 32 + 96
4 4 -4
2 3 4
2 5 8
Se multiplican los términos de las diagonales principales.
![Page 18: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/18.jpg)
2 3 4 = 2 5 8 = - 40+32+96-80-64+24
4 4 -4
2 3 4
2 5 8
Se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.
![Page 19: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/19.jpg)
2 3 4 = 2 5 8 = - 40+32+96-80-64+24
4 4 -4
2 3 4
2 5 8
- 8 +16 - 40
8 - 40
- 32
Se realiza la operación la cual dio como resultado – 32 el cual será el valor de la determinante de y.
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Paso 7: Hallar la determinante de z la cual denominaremos
La determinante de z equivale a colocar en la columna de los coeficientes de z los términos independientes de las ecuaciones.
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De esta manera nos quedaría así:
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
2 3 3 = 2 6 5
4 9 4
Aquí los coeficientes de z fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.
![Page 22: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/22.jpg)
Paso 8 :Resolver
2 3 3 = 2 6 5 = 48 + 54 + 60
4 9 4
2 3 3
2 6 5
Se multiplican los términos de las diagonales principales.
![Page 23: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/23.jpg)
2 3 3 = 2 6 5 = 48+54+60-72-90-24
4 9 4
2 3 3
2 6 5
Se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.
![Page 24: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/24.jpg)
2 3 3 = 2 6 5 = 48+54+60-72-90-24
4 9 4
2 3 3
2 6 5
102 -12 - 114
102 - 126- 24
Se realiza la operación la cual dio como resultado –24 el cual será el valor de la determinante de z.
![Page 25: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/25.jpg)
Paso 9:Hallar el valor de x.
El valor de x se obtiene dividendo el valor de la determinante de x ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ).
Es decir
![Page 26: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/26.jpg)
De esta manera
=
Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.
= Siendo éste el valor de x.
![Page 27: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/27.jpg)
Paso 10:Hallar el valor de y.
El valor de y se obtiene dividendo el valor de la determinante de y ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ).
Es decir
![Page 28: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/28.jpg)
De esta manera
=
Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.
= Siendo éste el valor de y.
![Page 29: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/29.jpg)
Paso 11:Hallar el valor de z.
El valor de z se obtiene dividendo el valor de la determinante de z ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ).
Es decir
![Page 30: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/30.jpg)
De esta manera
=
Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.
= Siendo éste el valor de z.
![Page 31: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/31.jpg)
Paso 12:Reemplazar los valores de x,y y z en la primera ecuación del sistema.
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
2( )+3( )+4( )
1 + 1 + 1 = 3
Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.
![Page 32: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/32.jpg)
Paso 13:Reemplazar los valores de x,y y z en la segunda ecuación del sistema.
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
2( )+6( )+8( )
1 + 2 + 2 = 5
Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.
![Page 33: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/33.jpg)
Paso 14:Reemplazar los valores de x,y y z en la tercera ecuación del sistema.
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4 4( )+9( )-4( )
2 + 3 - 1= 4
Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.
![Page 34: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081414/5665b4b81a28abb57c9383a6/html5/thumbnails/34.jpg)
Luego de comprobar vemos que los valores hallados para x, y y z satisfacen todas las ecuaciones
Por lo tanto para el sistema
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
La solución es:
x = y =
z =