Vairāk argumentu funkcijasParciālais un pilnais diferenciālis

VAIRĀK ARGUMENTU FUNKCIJAS DIFERENCIĀLRĒĶINI

Ja katram mainīgu lielumu x, y vērtību sakārtotam pārim (x, y)D pēc zināma likuma atbilst viena noteikta lieluma z vērtība, tad lielumu z sauc par mainīgo x un y funkciju un raksta z = f(x, y).

x, y – neatkarīgie mainīgie jeb argumenti z – atkarīgais mainīgais Funkcija – likums vai operators, kas katram

skaitļu pārim piekārto kādu reālu skaitli.

Vairāk argumentu funkcijas

tzyxTT

xyzV

R

UI

xyS

,,,

Taisnstūra laukums

Elektriskās strāvas stiprums

Paralēlskaldņa tilpums

Temperatūra t telpas punktā M(x; y; z)

Ja katram mainīgu lielumu x, y, z vērtību sakārtotam pārim (x, y, z)D pēc zināma likuma atbilst viena noteikta lieluma u vērtība, tad lielumu u sauc par mainīgo x, y, un z funkciju un raksta u = f(x, y, z).

n argumentu funkcija

u = f(x1, x2, x3, …, xn).

Ja katram kopas D, kuras elementi ir reālo skaitļu sakārtoti pāri (x, y), elementam (x, y) tiek piekārtots noteikts reāls skaitlis, tad kopa D ir definēta divu argumentu x un y funkcija f. Funkcijas f vērtību punktā (x; y) apzīmē ar f(x, y)

Kopu D sauc par funkcijas f definīcijas apgabalu, bet visu tās vērtību (ko tā iegūst kopā D) kopu sauc par funkcijas f vērtību apgabalu.

Par funkcijas z = f(x, y) līmeņlīniju sauc visu to punktu kopu, kuros šai funkcijai ir konstanta vērtība, t.i. f(x, y) = C.

C var izvēlēties patvaļīgi. Katrai funkcijai eksistē bezgalīgi daudz līmeņlīniju.

Ģeometriski līmeņlīnija ir tāda līnija, kas rodas, šķeļot virsmu z = f(x, y) ar plakni z = C.

Praktiskos pielietojumos: Ja funkcija z = f(x, y) apraksta temperatūras sadalījumu, tad

līmeņlīnijas sauc par izotermām. Ja z ir spiediens, tad līmeņlīnijas sauc par izobārām. Finansu matemātikā līmeņlīnijas sauc par izokvantām.

Izokvanta - līnija, kas savieno visus punktus ar vienādu ražošanas apjomu (visas faktoru kombinācijas, kas nodrošina vienādu ražošanas apjomu). 

Līmeņlīnijas un līmeņvirsmas

Pieņem, ka funkcija z = f(x, y) ir definēta kādā Oxy plaknes apgabalā D. Apzīmē ar attālumu starp šī apgabala diviem punktiem P(x, y) un P0(x0, y0).

Funkcijas robeža

20

200 yyxxPP

Skaitli A sauc par funkcijas z = f(x, y) robežu, kad P P0, ja katram > 0 var atrast tādu > , ka visiem definīcijas apgabala punktiem P(x, ), kuriem ir spēkā nevienādības 0 < < , ir spēkā nevienādība

Ja skaitlis A ir funkcijas f(x; y) robeža, kad P(x; y) P0(x0; y0), tad raksta

Funkcijas robeža

Ayxf ;

Ayxf

yyxx

);(lim0

0

Skaitli A sauc par funkcijas z = f(x, y) robežu, kad P P0, ja katram > 0 var atrast tādu punkta P0(x0; y0) -apkārtni, ka visiem punktiem P(x; y) no šīs apkārtnes, izņemot varbūt pasu punktu P0 ir spēkā nevienādība

Ayxf ;

Dota divargumentu funkcija z=f(x,y).

Starpību ∆xz = f(x+∆x, y) - f(x, y) sauc par funkcijas parciālo pieaugumu pēc x.

Starpību ∆yz = f(x, y+∆y) - f(x, y) sauc par funkcijas parciālo pieaugumu pēc y.

Starpību ∆z = f(x+∆x, y+∆y) - f(x, y) sauc par funkcijas pilno pieaugumu.

Parciālie pieaugumi un pilnais pieaugums

Funkciju sauc par nepārtrauktu punktā P0(x0;y0), ja tā definēta punktā P0 un tā apkārtnē un ja bezgalīgi maziem argumentu pieaugumiem atbilst bezgalīgi mazs funkcijas pieaugums, t.i., ja

Funkcijas nepārtrauktība

0lim00

z

yx

Funkcijai f(x, y) ir jābūt definētai punkta P0 apkārtnē, ieskaitot pašu punktu P0.

Punktā P0 jāeksistē funkcijas robežai, kad P patvaļīgā veidā tiecas uz P0.

Robežai jāsakrīt ar funkcijas vērtību punktā P0.

Funkcija ir nepārtraukta, ja izpildās sekojoši nosacījumi

Hiperboliskais cilindrs

x^2/a^2-y^2/b^2=1

Funkciju z = f(x, y) sauc par diferencējamu punktā P(x; y), ja tās pilno pieaugumu z var uzrakstīt:

z = Ax + By + (x, y), kur x, y ir argumentu x un y pieaugumi punkta P apkārtnē A, B – izteiksmes, kas nav atkarīgas no argumentu

pieaugumiem x un y, bet (x, y) ir augstākas kārtas bezgalīgi maza funkcija.

Ax + By – funkcijas z = f(x, y) pilnā pieauguma galvenā

lineārā daļa, kuru sauc par funkcijas pilno diferenciāli.

dz = Ax + By

Pilnais diferenciālis

z = (x + x)(y +y)2 - x2y2 =

= (x + x)(y2 + 2yy + (y)2) - x2y2 =

= xy2 + 2xyy + x(y)2 + y2x + 2yxy + x(y)2 - x2y2 =

= 2xyy + x(y)2 + y2x + 2yxy + x(y)2 =

= 2xyy +y2x + x(y)2 + + 2yxy + x(y)2

2xyy + y2x – lineāra attiecība pret argumenta pieaugumiem x un y, funkcijas pilnais pieaugums.

x(y)2 + 2yxy + x(y)2 - nelineāra attiecība pret argumenta pieaugumiem x un y, augstākas kārtas bezgalīgi maza funkcija salīdzinājumā ar lineāro locekli.

z = xy2

Divu argumentu funkcijas pilnais diferenciālis ir vienāds ar funkcijas parciālo atvasinājumu un attiecīgo argumentu diferenciāļu reizinājumu summu

z = xy2

dyy

zdxx

zdz

2yx

z

xyz

2

xydydxydz 22

Vispārināts divargumentu funkcijas pilnais diferenciālis.

Vairākargumentu funkcijas pilnais diferenciālis

dzz

udyy

udxx

udu

),,( zyxzz

uy

y

ux

x

uu

Dota divargumentu funkcija

z = f(u,v) Argumenti u un v ir

neatkarīgā mainīgā x funkcijas

u = u(x) un v = v(x)

Dota divargumentu funkcija

Argumenti u un v ir neatkarīgā mainīgā x funkcijas

Saliktas funkcijas atvasināšana

xtgxz sin

xvuntgxu sin

Funkcijām eksistē atvasinājums punktā x, bet divargumentu funkcija z = f(u,v) ir diferencējama punktā P(u, v)

vuyv

zx

u

zz

,

(u, v) – bezgalīgi maza funkcija, kad u 0 un v 0

vuyv

zx

u

zz

xxxx

,limlimlimlim0000

dx

dv

v

z

dx

du

u

z

dx

dz

xtgxz sin

xvuntgxu sin

dx

dv

v

z

dx

du

u

z

dx

dz

vuz

xtgxtgxx

tgxx

xuux

vu

xuutgxvu

dx

dvu

dx

duu

dx

dz

xx

vv

vv

vv

uv

coslncos

1sin

coslncos

1

sinln

sin2

1sin

21

1

Apslēptu funkciju atvasinājumi

0,,01222 zyxFzyx

Ja funkcija F(x, y, z) un tās parciālie atvasinājumi F’x(x, y, z),F’y(x, y, z) un F’z(x, y, z) ir definēti un nepārtraukti kāda punkta P0(x0; y0; z0) apkārtnē, un pie tam F(x0, y0; z0) = 0, bet F’y(x0, y0; z0) ≠ 0, tad punkta P0(x0; y0; z0) apkārtnē vienādojums F(x, y; z) = 0 definē vienu vienīgu apslēptu funkciju z = z(x, y), kura ir nepārtraukta un diferencējama kādā apgabalā, kas satur punktu (x0, y0), turklāt ir spēkā vienādība z(x0, y0) = z0.

Apslēptu funkciju atvasinājumi

0,0122 yxFyx

Ja funkcija F(x, y) un tās parciālie atvasinājumi F’x(x, y) un F’y(x, y) ir definēti un nepārtraukti kāda punkta P0(x0; y0) apkārtnē, un pie tam F(x0, y0) = 0, bet F’y(x0, y0) ≠ 0, tad punkta P0(x0; y0) apkārtnē vienādojums F(x, y) = 0 definē vienu vienīgu apslēptu funkciju y = y(x), kura ir nepārtraukta un diferencējama kādā intervālā, kas satur punktu x0, turklāt ir spēkā vienādība y(x0) = y0.

0),( yxF

0, xyxF

0

dx

dy

y

F

dx

dx

x

F

0

dx

dy

y

F

x

F

yFxF

ydx

dy

Noteikt atvasinājumu apslēptai funkcijai.dx

dy

0 xyee xy

xey

Fye

x

F yx

xe

ye

xe

ye

dx

dyy

x

y

x

yFxF

ydx

dy

Noteikt parciālos atvasinājumus funkcijai z = f(x, y).

052 zyxe z

12 2

ze

z

Fx

y

Fxy

x

F

11

2 2

zz e

x

y

z

e

xy

x

z

Par virsmas pieskarplakni punktā M0 sauc plakni, kurā atrodas visas caur punktu M0 uz virsmas vilktu līniju pieskares šajā punktā.

Par virsmas normāli punktā M0 sauc taisni, kas vilkta caur šo punktu perpendikulāri pieskarplaknei.

Virsmas pieskarplakne un normāle

Vienādojums plaknei, kas iet caur punktu M0(x0; y0; z0) un ir perpendikulāra vektoram n(A; B; C).

Vienādojumi, kas nosaka taisni, kas iet caur punktu M0(x0; y0; z0) un ir paralēla vektoram n(A; B; C).

0000 zzCyyBxxA

C

zz

B

yy

A

xx 000

Virsmai F(x, y, z) = 0 punktā M0(x0; y0; z0) normāles vektora koordinātas ir

Pieskarplaknes vienādojums

z

zyxFC

y

zyxFB

x

zyxFA

000000000 ;;;;;;

000000000 ;;;;;; zyxFCzyxFBzyxFA zyx

0000 zzCyyBxxA

0;;;;;; 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx

Virsmai F(x, y, z) = 0 punktā M0(x0; y0; z0) normāles vektora koordinātas ir

Normāles vienādojums

C

zz

B

yy

A

xx 000

z

zyxFC

y

zyxFB

x

zyxFA

000000000 ;;;;;;

000000000 ;;;;;; zyxFCzyxFBzyxFA zyx

000

0

000

0

000

0

;;;;;; zyxF

zz

zyxF

yy

zyxF

xx

zyx

z = f(x, y) – divargumentu funkcija

Augstāku kārtu atvasinājumi un diferenciāļi

yxfy

zyxf

x

zyx ,,

Pirmās kārtas

parciālie atvasinājumi

y

z

yyxf

y

z

y

z

xyxf

xy

zx

z

yyxf

yx

zx

z

xyxf

x

z

yy

yx

xy

xx

,

,

,

,

2

2

2

2

2

2

Otrās kārtas parciālie atvasinājumi

323 yyxz

Ja funkcijai z = f(x, y) punktā P(x; y) eksistē nepārtraukti otrās kārtas jauktie atvasinājumi, tad tie ir vienādi.

xy

z

yx

z

22

Par otrās kārtas pilno diferenciāli sauc diferenciāli no pirmās kārtas pilnā diferenciāļa.

Par n-tās kārtas pilno diferenciāli sauc pilno diferenciāli no (n - 1)-ās kārtas pilnā diferenciāļa.

zddzd

dzdzd

nn 1

2

22

222

2

22 2 dy

y

zdxdyyx

zdx

x

zzd

Ja punktā P0(x0; y0) funkcijai f(x, y) ir ekstrēms un šajā punktā eksistē pirmās kārtas parciālie atvasinājumi, tad tie ir vienādi ar 0.

Oxy plaknes punktus, kuros funkcijas z=f(x, y) pirmās kārtas parciālie atvasinājumi ir vienādi ar nulli, sauc par stacionārajiem punktiem, kurus atrod, atrisinot sistēmu

Vairākargumentu funkciju ekstrēmi

0,0, 0000 yxfyxf yx

0,

0,

yxf

yxf

y

x

Punktus, kuros pirmās kārtas parciālie atvasinājumi ir vienādi ar nulli vai neeksistē, sauc par kritiskajiem punktiem.

Ne katrā kritiskajā punktā ir ekstrēms!

Stacionārajā punktā P0(x0; y0) aprēķina otrās kārtas atvasinājumu vērtības A, B, C un diskriminantu .

2

002

002

200

2 ;;;

y

yxfC

yy

yxfB

x

yxfA

2BAC Ja > 0, tad funkcijai f(x, y) stacionārajā punktā P0(x0; y0) ir ekstrēms.

Ja A < 0, tas ir maksimums.Ja A > 0, tas ir minimums.

Ja = 0, tad jāizpilda papildus pētījumi.Ja < 0, tad funkcijai f(x, y) stacionārajā punktā P0(x0; y0) ir ekstrēma nav.

Ja diferencējamai funkcijai f(x1, x2, … , xn) = f(P) punktā P0 ir ekstrēms, tad tās pirmās kārtas parciālie atvasinājumi šai punktā ir vienādi ar nulli.

Vairākargumentu funkciju ekstrēmi

0...00 000 21 PfPfPf

nxxx

zyxxyzyxu 2222

221212

zz

uxy

y

uyx

x

u

022

012

012

z

xy

yx Stacionārs punkts ir P0 (1; -1; 1)

Ja stacionārajā punktā P0(x10; x20; …, xn0) visām pēc absolūtās vērtības pietiekami mazām argumentu pieaugumu vērtībām funkcijas f(x1, x2, …, xn) otrās kārtas diferenciālim ir spēkā nevienādība 2f(P0) > 0, tad šajā punktā ir minimums, ja 2f(P0) < 0, tad – maksimums.

001

222

222

2

2

2

2

2

2

zy

u

zx

u

yx

u

z

uy

u

x

u

zyzy

uzx

zx

uyx

yx

uz

z

uy

y

ux

x

uud

222

22

22

2

22

2

22 222

yxzyxud 2222 2222

02222 2222 zyyxxud

Punktā P0 (1; -1; 1)funkcijai ir minimums