2._Programación_Lineal_2
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23/03/2015 1 El método Simplex (1947) George Dantzig Modelo de Programación Lineal Opt. Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n Sujeto a: a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n >=< b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n >=< b 2 … a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n >=< b m x 1 , x 2 , …, x n 0 Forma matricial Opt. Z = (c 1 , c 2 , …, c n ) s.a: con: n x x x ... 2 1 m n mn m m n n b b b x x x a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 n x x x ... 2 1 0 ... 0 0 ≥ a ij = cantidad de recursos i que se necesita por unidad de actividad j. Forma matricial resumida X c Z Opt . b X A a s : . 0 X con : = vector de actividades = vector de precios/costos unitarios. = vector de disponibilidad de recursos. = matriz de coeficientes tecnológicos. = cantidad de recursos i que se necesita por unidad de actividad j. X c b A a ij Otra forma de expresar el P.L. Forma canónica Cualquier otra forma de expresar un P.L. se puede pasar a la forma canónica. X c Z Max b X A a s : . 0 X con :
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23/03/2015
1
El método Simplex (1947)
George Dantzig
Modelo de Programación Lineal
Opt. Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
Sujeto a:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn >=< b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn >=< b2
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn >=< bm
x1, x2, …, xn 0
Forma matricial
Opt. Z = (c1, c2, …, cn)
s.a:
con:
nx
x
x
...
2
1
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
......
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
nx
x
x
...
2
1
0
...
0
0
≥
aij = cantidad de recursos i que se necesita por unidad de actividad j.
Forma matricial resumida
XcZOpt .
bXAas :.
0Xcon :
= vector de actividades = vector de precios/costos unitarios. = vector de disponibilidad de recursos. = matriz de coeficientes tecnológicos. = cantidad de recursos i que se necesita por unidad de actividad j.
X
cbA aij
Otra forma de expresar el P.L. Forma canónica
Cualquier otra forma de expresar un P.L. se puede pasar a la forma canónica.
XcZMax
bXAas :.
0Xcon :
23/03/2015
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Posibles cambios de la F.O.
y las restricciones
4. Una variable no restringida equivale a la diferencia de
dos variables no negativas. Por ejemplo: x1 no restringida
equivale a x2 – x3; donde x2, x3 ≥ 0.
Variables de holgura y superfluas
Para aplicar el método Simplex se añaden variables de holgura o superfluas, con el propósito de convertir las desigualdades en igualdades.
Por ejemplo, dado los siguientes conjuntos de restricciones:
4x1 + 3x2 ≤ 12 4x1 + 3x2 + h1 = 12
3x1 + 5x2 ≤ 15 3x1 + 5x2 + h2 = 15
5x1 + 2x2 ≥ 16 5x1 + 2x2 - s1 = 16
3x1 + 2x2 ≥ 20 3x1 + 2x2 - s2 = 20
Aplicación del método Simplex
Ejemplo:
Max Z = 400x1 + 500x2
2x1 + 3x2 100 3x1 + 2x2 120 x1 + 2x2 60 x1, x2 0 Agregando variables de holgura: 2x1 + 3x2 + x3 = 100 3x1 + 2x2 + x4 = 120 x1 + 2x2 + x5 = 60 Z - 400x1 - 500x2 = 0
Tabla inicial del método Simplex
aB cB 400 500 0 0 0 xB
a3 0 2 3 1 0 0 100
a4 0 3 2 0 1 0 120
a5 0 1 2 0 0 1 60
-400 -500 0 0 0
Solución inicial factible: x1 = x2 = 0
Max Z = 400x1 + 500x2
2x1 + 3x2 + x3 = 100 3x1 + 2x2 + x4 = 120 x1 + 2x2 + x5 = 60 Z - 400x1 - 500x2 = 0
Estructura matricial de la tabla inicial
c 0
Ba
Bc
A
I
b
-c 0
aB cB 400 500 0 0 0 xB
a3 0 2 3 1 0 0 100
a4 0 3 2 0 1 0 120
a5 0 1 2 0 0 1 60
-400 -500 0 0 0
Estructura matricial de la tabla inicial
400 500 0 0 0
a3 0 2 3 1 0 0 100
a4 0 3 2 0 1 0 120
a5 0 1 2 0 0 1 60
-400 -500 0 0 0 0
AI
c
c-0
0b
Veamos en Excel.
23/03/2015
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Estructura matricial
de una tabla sucesiva
400 500 0 0 0
a1 400 1 0 -0,4 0,6 0 32
a5 0 0 0 -0,8 0,2 1 4
a2 500 0 1 0,6 -0,4 0 12
0 0 140 40 0 18800
c 0
B-1
A
Bc B
-1A - c
B-1
bB 1
Bc B
-1
Estructura matricial
de una tabla sucesiva
c 0
Ba
Bc
B -1
A
B -1
bB 1
B
c B -1
A - c B
c B -1
Análisis de las iteraciones
del método Simplex
x1
x2
1ª. Solución (0,0)
2ª. Solución (0,30)
3ª. Solución (20,20)
4ª. Solución (32,12)
400 500 0 0 0
a3 0 2 3 1 0 0 100
a4 0 3 2 0 1 0 120
a5 0 1 2 0 0 1 60
-400 -500 0 0 0 0
400 500 0 0 0
a3 0 0,5 0 1 0 -1,5 10
a4 0 2 0 0 1 -1 60
a2 500 0,5 1 0 0 0,5 30
-150 0 0 0 250 15000
400 500 0 0 0
a1 400 1 0 2 0 -3 20
a4 0 0 0 -4 1 5 20
a2 500 0 1 -1 0 2 20
0 0 300 0 -200 18000
400 500 0 0 0
a1 400 1 0 -0,4 0 0,6 32
a4 0 0 0 -0,8 1 0,2 4
a2 500 0 1 0,6 0 -0,4 12
0 0 140 0 40 18800
Interpretación de los zj - cj
El zj – cj de una variable real no básica:
Es lo que tendría que aumentar su coeficiente en la F.O. para que pase a ser una variable básica.
Ejemplo:
Max Z = x1 + 2x2
2x1 + x2 10 000
x1 + x2 8 000
x1 4 000
El zj – cj de una variable real no básica
La tabla óptima es:
La solución óptima es: x1 = 0; x2 = 8000
Para que x1 entre a la base, su coeficiente c1 = 1
debe aumentar z1 – c1 = 1.
Es decir, para que convenga producir autos, su
beneficio debe aumentar al menos $1.
aB cB 1 2 0 0 0 xB
a2 2 1 1 0 1 0 8000
a5 0 1 0 0 0 1 4000
a3 0 1 0 1 -1 0 2000
1 0 0 2 0 16000
El zj – cj de una variable de holgura
Es lo que aumentaría (o disminuiría) la F.O. si se tuviese una unidad más (o menos) del recurso correspondiente.
Ejemplo:
Max Z = 3x1 + 2x2
2x1 + x2 10 000
x1 + x2 8 000
x1 4 000
La tabla óptima es:
23/03/2015
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El zj – cj de una variable de holgura
aB cB 3 2 0 0 0 xB
a2 2 0 1 -1 2 0 6000
a5 0 0 0 -1 1 1 2000
a1 3 1 0 1 -1 0 2000
0 0 1 1 0 18000
Si se dispusiera de una h.h. más en el
departamento de acabados, el beneficio aumentaría $1.
