2º trimestre Caroline de Souza Tidra Informática, manhã Professora: Aline de Bona IFRS Campus...

2 trimestre Caroline de Souza Tidra Informtica, manh Professora: Aline de Bona IFRS Campus Osrio Agosto de 2011

Sumrio Introduo Contedos do trimestre Desenvolvimento de todos contedos Exerccio favorito Diferenas entre funes de 1 grau e 2 grau Correo da Prova Pbworks Sujesto Curiosidade Poesia Matemtica Auto-Avaliao Turma Concluso Mensagem final

Introduo No portflio deste trimestre estarei apresentando um pouco de cada contedo aprendido. Ao passar dos slides voc ver exemplos, atividades, prova e definies que foram feitos em aula ou em horrios extra com a professora Aline de Bona.

Contedos do trimestre O que so funes polinomiais? Funo Polinomial de 1 grau Funo Afim Funo Linear Funo Identidade Funo Constante Determinao partir do grfico Funo de 1 grau crescente ou decrescente Zeros da funo Estudo do sinal da funo de 1 grau Funo Polinomial de 2 grau Concavidade da parbola Zeros de uma funo quadrtica Vrtice da parbola Conjunto imagem da funo quadrtica Valor mnimo e valor mximo da funo quadrtica Crescimento e decrescimento de uma funo quadrtica Estudo do sinal da funo quadrtica

Desenvolvimento O que funes polinomiais? Funo polinomial, uma funo com mais ou no mnimo um termo onde cada termo tem uma varivel independente com o grau zero ou maior que um. Sendo o grau o expoente da varivel, e o grau da funo polinomial maior grau dos termos e este define a representao grfica. Ex: y = x + 1 Grau da funo = 3, pois o expoente y = 2x + 4 Grau da funo = 1 P.S: Definio feita em sala de aula com a turma toda!

Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Funo polinomial do 1 grau tem a sua forma f(x) = ax +b a b com a e b, sendo nmeros reais e a 0 (caso a = 0 tem-se f(x) = b, que representa a funo constante). Os nmeros Representados por a e b so chamados coeficientes, enquanto x a varivel independente. Ento, so funo polinomiais do 1 grau: Exemplo FunoCoeficientes f(x) = 2x + 20a = 2 e b = 20 f(x) = 10xa = 10 e b = 0 f(x) = -3x + 4a = -3 e b = 4

Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Exemplo: Uma fbrica de bolsas tem o custo fixo mensal de R$ 5 000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e vendida por R$ 45,00. Para que a fbrica tenha um lucro mensal de R$ 4 000,00, ela dever fabricar e vender mensalmente x bolsas. a) Qual o valor de x? x = 450 unidades vendidas para ter 4 mil de lucro mensal. b) Qual o valor do x para ocorrer prejuzo no ms? Se vender 249 unidades ou menos j ter prejuzo. x = quantidade de bolsas custo fixo mensal = 5 mil custo unitrio = 25 reais preo unitrio = 45 reais lucro mensal = 4 mil x = ? l(x) = 45.x 25x 500 l(x) = 20x 5000 4000 + 5000 = 20x 9000 = 20x 9000/20 = x x = 450 0 = 20x 5000 5000/20 x = 250

Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Funo Afim Funo Afim No caso de a 0 e b 0, a funo polinomial do 1 grau recebe o nome de Afim. Exemplos: f(x) = x + 8 (a = 1 e b = 8)f(x) = x 4 (a = e b = -4) Chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais, tais que f(x)= ax + b para todo x R. Na funo afim, nota-se: - O grfico da funo afim f(x) = ax + b uma reta. - D = R e Im = R. - Sendo o grfico da funo uma reta, basta considerarmos dois pontos (x, y) do plano cartesiano para construirmos o grfico.

Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Funo Linear Funo Linear No caso de b = 0, a funo polinomial do 1 grau recebe o nome de linear. Se construirmos, um grfico da funo f(x) = 2x: Podemos observar o grfico da funo linear f(x) = ax uma reta que contm a origem (0, 0) do sistema cartesiano. Para construir esse grfico basta determinar apenas mais um ponto (x, y) do plano cartesiano e fazer a reta. x2x = y -2-4 00 12 24

Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Funo Identidade Funo Identidade No caso de a = 1 e b = 0, a funo polinomial do 1 grau recebe o nome de funo identidade. Se construirmos, um grfico da funo f(x) = x: Podemos observar que: - D = R e Im = R - O grfico identidade uma reta que divide o 1 e o 3 quadrante. xx = y -2 00 11 22

Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Funo Constante Funo Constante No caso a = 0 e b R, a funo expressa por f(x) = b e recebe o nome de funo constante. Exemplo: f(x) = 3 Se construirmos, um grfico da funo f(x) = 3: D = R Im = {3} O grfico da funo f(x) = b sempre uma reta paralela ao eixo x. Se: b > 0 a reta fica acima do eixo x. b = 0 a reta fica sobre o eixo x. b < a reta fica abaixo do eixo x.

Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Funo Constante Funo Constante Exemplo: O grfico mostra a relao entre o espao S percorrido e o tempo t gasto um motorista em uma viagem. No eixo horizontal est representado o tempo (t), em horas, gasto no percurso e no eixo vertical a distncia (S) percorrida, em quilmetros. Observando o grfico, voc poderia dizer que esse motorista ficou parado em algum momento da viagem? Caso a resposta seja afirmativa, quantas horas esse motorista permaneceu parado? Sim, o motorista ficou parado entre 2 e 5 horas, ou seja, permaneceu no mesmo lugar por 3 horas.

Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Determinao partir do grfico Determinao partir do grfico Resolver a funo f(x) = ax + b cujo grfico seguinte: y = 1 1 = a + b y = 7 7 = 3a + b Sistema -a b = -1 3a +b = 7 2a = 6 a = 3 a + b = 1 3a + b = 7 { para determinar a e b: Logo: a funo procurada f(x) = 3x - 2 a + b = 1 3 + b = 1 b = 1 3 b = -2

Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Funo de 1 grau crescente ou decrescente Funo de 1 grau crescente ou decrescente Considerando dois valores do domnio D (2 e 4), temos: f(2) = 3 f(4) = 7 Considerando dois valores do domnio D (2 e 4), temos: f(2) = -7 f(4) = -13 Quando os valores de x aumentam e os de y tambm a funo crescente. Quando os valores de x aumentam e os de y diminuem a funo decrescente, ou x diminui e y aumenta tambm decrescente. Regra para qualquer funo: x1>x2 e y1>y2 funo crescente x1>x2 e y1

Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Estudo do sinal da funo de 1 grau Estudo do sinal da funo de 1 grau Lista 01/08: O estudo do sinal de uma funo y = (f) significa determinar para que os valores x do domnio da funo a imagem f(x) ser positiva, negativa ou nula. Em outras palavras, estudar o sinal de uma funo f significa determinar para que valores de x temo f(x)>0, f(x)

Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Concavidade da parbola Concavidade da parbola Concavidade de uma parbola a abertura para cima ou para baixo. Exemplos: f(x) = x - 2x 3, temos a = 1>0 f(x) = 2x, temos a = 2>0 Em ambos, a parbola tem concavidade para cima. f(x) = -x + 2x 3, temos a = -1

Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Zeros de uma funo quadrtica Zeros de uma funo quadrtica Zeros ou razes da funo os valores de x que anulam a funo, ou seja, que torna f(x) = 0. dois zeros desiguais a) Se >0 a funo y = ax + bx + c tem dois zeros desiguais (x 1 e x 2 ). zero real duplo b) Se = 0 a funo y = ax + bx + c tem um zero real duplo (x 1 = x 2 ). no tem zero real c) Se 0 (a funo tem dois zeros reais diferentes) x = -b = -(-4) 36 = 4 6 2a 2.(1) Logo: os zeros da funo y = x + 4x 5 so x = 5 e x = -1. { x = 5 x = -1

Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Zeros de uma funo quadrtica Zeros de uma funo quadrtica 2) A funo f(x) = x -2x + 3k tem dois zeros iguais. Nestas condies, determine os valores reais de k. A condio para que a funo tenha zeros reais iguais que = 0. = b - 4ac = (-2) - 4.(1).(30k) = 4 12k 4 12k = 0 -12k = -4 12k = 4 k = 4/12 k =1/3 Logo: k = 1/3

Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Vrtice da parbola Vrtice da parbola O vrtice da parbola de uma funo o ponto mximo quando a parbola est para baixo e o ponto mnimo quando a parbola est para baixo. A parbola, que representa o grfico da funo f(x) = ax + bx + c, passa por um ponto V, chamado vrtice, cujas coordenadas so (abscissa) e (ordenada). Frmula para calcular o vrtice

Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Conjunto imagem da funo quadrtica Conjunto imagem da funo quadrtica Para obter o conjunto imagem de uma funo quadrtica podemos aplicar as coordenadas do vrtice. Exemplo: Determinar o conjunto imagem da funo f(x) = x - 3x +2. f(x) = x2 3x + 2 = 1 > 0 = 3/2 = - a = 1 > 0 Logo: Im = {y R | y -}

Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Valor mnimo e valor mximo da funo quadrtica Valor mnimo e valor mximo da funo quadrtica Exemplo: Exemplo: Determinar o valor de k de modo que a funo f(x) = -x - 2x + k tenha 2 como valor mximo. Yv = 2 f(x) = -x - 2x k Yv = 2 = -((-2) - 4.(-1).k) 4.(-1) 2 = -(4 + 4k) 4 -8 = -4 -4k -8 + 4 = -4k -4 = -4k k = -4/-4 k = 1 Obs: Em uma parbola a concavidade para cima ou para baixo, onde no ponto mximo ou mnimo vrtice. est localizado o vrtice.

Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Crescimento e decrescimento de uma funo quadrtica Crescimento e decrescimento de uma funo quadrtica Em uma parbola, metade crescente e a outra metade decrescente. Concavidade voltada para cima: Decrescente do infinito (-) ao vrtice Crescente do vrtice ao infinito () Concavidade voltada para baixo: Crescente do infinito (-) ao vrtice Decrescente do vrtice ao infinito ()

Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Crescimento e decrescimento de uma funo quadrtica Crescimento e decrescimento de uma funo quadrtica Exemplo: Para que valores da funo f(x) = x - 2x 3 : a) crescente? b) decrescente? f(x) = x - 2x 3 a = 1>0 (valor mnimo) = 4 + 12 = 16>0 (zeros desiguais) X v = -b = 2 = 1 2a 2 Y v = - = - 16 = -4 4a 4 Logo: a) f(x) crescente para x 1 b) f(x) decrescente para x 1 vrtice decrescente crescente V (1, -4)

Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Estudo do sinal da funo quadrtica Estudo do sinal da funo quadrtica Inicialmente determinamos as razes reais (se existirem) do polinmio quadrtico. A seguir podemos estudar o sinal utilizando o grfico da funo ou o quadro de sinais (com a funo na forma fatorada). O exemplo seguinte nos mostra tais possibilidades. As razes da funo polinomial y = x - 3x - 4 so x = -1 e x = 4

Exerccio favorito *-* Observe o grfico e responda as perguntas abaixo: a) Determine os intervalos em que a funo : - crescente: [-2, 1] e [2, 3] - decrescente: [3, 4] b) O que ocorre com a funo no intervalo [1, 2]? No intervalo [1, 2] fica em repouso.

Diferenas entre funes de 1 grau e 2 grau Para identificar o tipo de funo que tratado em provas ou trabalhos, destacam-se duas caracterstica predominantes: 1) Frmulas: Funo de 1 grau f(x) = ax + b Funo de 2 grau f(x) = ax + bx + c 2 Grficos Funo de 1 grau sempre uma reta. Funo de 2 grau sempre uma parbola, pois o a elevado ao quadrado. (ax) Parbola Reta FP de 2 grau FP de 1 grau Obs: Obs: Tive uma pequena dificuldade em perceber as diferenas entre as funes, e isso foi a causa de vrios erros. Ento coloquei no Portflio as diferenas, para aprender mais e lembrar!

Correo da Prova 2 1) f(0) = 6 c f(1) = 2 f(-2) = 20 f(x) = ax + bx + c a. 1 + b. 1 + 6 = 2 a + b = -4. (2) a. (-2) + b. (-2) + 6 = 20 4a - 2b = 14 2a + 2b = -8 a + b = -4 4a - 2b = 14 1 + b = -4 6a = 6 b = -5 f(x) = x - 5x + 6 a x - 5x + 6 = 0 Bhaskara {2, 3} b V (-b/2a, -/4a) Bhaskara = ((-5)/2*1, -((-5) - 4*1*6)/4*1) c a =1 parbola U d Im [-1/4, +) e crescente do [2,5 +) f Obs: Foi difcil desenhar esse grfico no paint! No aprendi a usar o Graphmatica!

Correo da Prova 2 2) h(t) = 5t (8 - t) = 40t - 5t = -5t + 40t Bhaskara: a = -5, b = 40, c = 0 a h(3) = -5. 3 + 40. 3 = -45 + 120 = 75 m b 60 = -5t + 40t 5t - 40t - 60 = 0 (Bhaskara : t 1 = 2 segundos, t 2 = 6 segundos) c ( -40/2*(-5), -(40 - 4*(-5)*0)/4*(-5) ) V = 4,80 A mx = 80m no t = 4 seg. 3) f(x) = x - 3x + k a = 1, b = -3, c = k a > 0 9/4>k b = 0 c < 0 9/4 0 - 9 > 4k - 9/4 > k 9 - 4k = 0 9 = 4k 4) Y v = 4 - = -(b - 4ac) = 4 4 4a -((-4) - 4*(-1)*k) = 4 4. (-1) 4 + k = 4 k = 0

Correo da Prova 2 5) P = 2b + 2h = 120 cm A = b * h h = (120 - 2b)/2 h = 60 - b A = bx (60 - b) A = 60b - b Y v = - = -(60 - 4*(-1)*0) 4a 4*(-1) -3600 A = 900 cm -4 6) V (3, -4) f(2) = 0 (x 1 + x 2 )/2 = 3 (2 + x 2 ) = 3 2 + x 2 = 6 x 2 = 6 - 2 x 2 = 4 a f(x) > 0 : [-, 2) V (4, + ) b f(x) = 0 : {2, 4} c f(x) < 0 : (2, 4) 7) O resumo fiz na prova, no escreverei aqui, j que o portflio em si mesmo responde essa questo : ) b b hh

Pbworks: carolsouza.pbworks.com Mantenho meu Pbworks organizado e possivelmente atualizado. Nesse trimestre pelo o acmulo de trabalhos, provas e tarefas fazer, no postei duas das listas dadas, mas postarei logo, mesmo que atrasadas :)

Sugesto Depois de dadas as listas de exerccios temos prazo para post-las no Pbworks. Depois de postadas as listas no sabemos se est certo o modo de desenvolvimento da funo, pois s vezes a funo j vem com o resultado. Minha sugesto que as listas fossem corrigidas uma uma, depois de algumas semanas da postagem, nos estudos orientados para no ficar dvidas sobre as questes feitas e temos certeza se est certa ou errada.

Curiosidade Voc capaz de somar os algarismos de 1 a 100 em poucos minutos? Carl Friedrich Gauss (1777-1855) aos 10 anos de idade respondeu rapidamente 5.050 ao seu professor surpreendendo-o pela sua grande habilidade na matemtica. Em 1792, seu talento foi reconhecido pelo duque de Braunschweig, que lhe garantiu recursos para prosseguir o estudo de matemtica. Gauss criou a geometria diferencial, e fez novas descobertas como a Lei da Reciprocidade Quadrtica, que introduz o conceito de congruncia e o Teorema Fundamental da lgebra. Em 1801, publicou Disquisitiones Arithmeticae, seu tratado sobre a Teoria dos Nmeros. No mesmo ano, calculou a rbita do asteride Ceres. Com base em uma teoria que desenvolveu, previu corretamente onde e quando o Ceres deveria reaparecer. Morreu em 23 de fevereiro de 1855, sendo considerado o "Prncipe da Matemtica". Vejam abaixo a resoluo proposta por Gauss (isso aos 10 anos de idade): 101, 101, 101,..., 101, 101, 101 100 x Portanto 1 + 2 + 3 +...+ 99 + 100 = (100x101)/2= 5050! Achei bem legal essa curiosidade e ento decidi postar aqui no portflio!

Poesia Matemtica s folhas tantas do livro matemtico, um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma Incgnita. Olhou-a com seu olhar inumervel e viu-a do pice base uma figura mpar; olhos rombides, boca trapezide, corpo retangular, seios esferides. Fez de sua uma vida paralela dela at que se encontraram no infinito. "Quem s tu?", indagou ele em nsia radical. "Sou a soma do quadrado dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa. "E de falarem descobriram que eram (o que em aritmtica corresponde a almas irms)primos entre si. E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potenciao traando ao sabor do momento e da paixo retas, curvas, crculos e linhas sinoidaisnos jardins da quarta dimenso. Escandalizaram os ortodoxos das frmulas euclidiana e os exegetas do Universo Finito. Romperam convenes newtonianas e pitagricas. E enfim resolveram se casar constituir um lar, mais que um lar, um perpendicular. Convidaram para padrinhos o Poliedro e a Bissetriz.

Poesia Matemtica E fizeram planos, equaes e diagramas para o futuro sonhando com uma felicidade integral e diferencial. E se casaram e tiveram uma secante e trs cones muito engraadinhos. E foram felizes at aquele dia em que tudo vira afinal monotonia. Foi ento que surgiu O Mximo Divisor Comum freqentador de crculos concntricos,viciosos. Ofereceu-lhe, a ela,uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominador comum. Ele, Quociente, percebeu que com ela no formava mais um todo,uma unidade. Era o tringulo, tanto chamado amoroso. Desse problema ela era uma frao, a mais ordinria. Mas foi ento que Einstein descobriu a Relatividade e tudo que era esprio passou a ser moralidade como alis em qualquer sociedade. Poesia Matemtica de Millr Fernandes

Auto-Avaliao Nesse trimestre meu rendimento escolar matemtico no foi dos melhores. Tive e ainda tenho muitas dificuldades, e dvidas na aprendizagem das funes polinomiais, tanto de 1 grau como a de 2 grau. Tenho indo nos estudos orientados de matemtica para assim aprender mais, e isso j me ajuda bastante. Gostaria de novamente alcanar a mdia 7, pois, reconheo que no me esforcei o suficiente para alcanar mais. Mas, isso j est mudando, depois que levei um susto ao ver minha nota. Pretendo tomar meus horrios vagos me dedicar em cumprir todas as tarefas fazer, principalmente as de matemtica. Trimestre que vem vou apresentar o artigo cientfico, j tenho bastantes idias e j comecei a ler o artigo sobre a energia. Me dedicarei mais e vou estar presente em todas as aulas extras de matemtica. Sei que preciso melhorar e tenho absoluta certeza que vou me esforar para isso.

Turma, Informtica- manh Vou levar pra sempre uma lembrana de cada um. Adoro-os

Concluso O meu portflio ficou bem simples, coloquei o que achei de mais importante nesse trimestre e algumas coisas que ao passar dos dias gostei como curiosidades, a poesia e o exerccio favorito.

Mensagem final Ningum pode ser perfeito. Mas todos podem ser melhores. Bob Esponja

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