2konsp 125

3

ЗМІСТ Стор.

Передмова............................................................................................................6

Розділ 1 ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ

1.1 Матриці та визначники..............................................................................8

1.1.1 Основні поняття........................................................................................8

1.1.2 Арифметичні дії над матрицями.............................................................9

1.1.3 Властивості дій множення матриць.......................................................10

1.1.4 Обчислення оберненої матриці…………………………………………16

1.1.6 Інші властивості визначників................................................................. .23

1.1.9 Ранг матриці..............................................................................................26

1.2 Системи лінійних рівнянь..........................................................................29

1.2.1 Основні поняття.......................................................................................29

1.2.2 Метод Гаусса розв‘язання систем лінійних рівнянь............................33

1.2.3 Матричний метод розв‘язання систем лінійних рівнянь.....................38

1.2.4 Формули Крамера................................................................................…39

Розділ 2 ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

2.1 Функція однієї змінної……………………………………………..…….42

2.2 Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші…....43

2.2.1 Односторонні границі……………………………………………….…44

2.2.2 Границя функції на нескінченності………………………………...…44

2.2.3 Теореми про границі функцій…………………………………………45

2.3 Неперервність функції…………………………………………………...46

2.3.1 Неперервність функції в точці………………………………………...46

2.3.2 Класифікація точок розриву функції………………………………....48

2.3.3 Основні властивості неперервних функцій…………………………..49

Розділ 3 ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

3.1 Задачі, що приводять до поняття похідної…………………………….50

3.2 Означення похідної……………………………………………………...51

3.3 Диференційовність функції…………………………………………….52

3.4 Похідні елементарних функцій……………………………….………...52

3.5 Диференціал функції…………………………………………………….55

3.6 Похідні й диференціали вищих порядків……………………………....57

3.7 Застосування диференціального числення……………………………..59

4

3.7.1 Основні теореми диференціального числення…………………….....59

3.7.2 Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя……………………...60

3.7.3 Формула Тейлора ……………………………………………………...62

Розділ 4 ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

4.1 Невизначений інтеграл…………………………………………………...65

4.1.2 Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла……………..65

4.1.3 Основні властивості невизначеного інтеграла……………………….66

4.1.4 Таблиця основних інтегралів………………………………………….66

4.1.5 Безпосереднє інтегрування ……………………………………………67

4.1.6 Метод підстановки……………………………………………………..67

4.1.7 Інтегрування частинами……………………………………….……….68

4.1.8 Інтегрування раціональних дробів…………………………………….69

4.1.9 Інтегрування ірраціональних функцій…………………………….....72

4.1.10 Інтегрування деяких тригонометричних функцій………………...…73

4.2 Визначений інтеграл…………………………………………………..…76

4.2. 1 Задача про площу криволінійної трапеції…………………………….....76

4.2.2 Властивості визначеного інтеграла……………………………………80

4.2.3 Теореми про середнє значення визначеного інтеграла……………….83

4.2.4 Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Теорема про

існування первісної функції. Формула Ньютона – Лейбніца……………...84

4.2.5 Заміна змінної у визначеному інтегралі. Формула інтегрування

частинами…………………………………………………………………….86

Розділ 5 ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

5.1 Частинні похідні першого порядку……………………………………..90

5.1.1 Означення частинних похідних……………………………………......90

5.1.2 Обчислення частинних похідних від функції ………………………….......91

5.1.3 Геометричне тлумачення частинних похідних функції ………………….91

5.2 Частинні похідні вищих порядків.Теорема Шварца ………………….92

5.3. Частинний і повний диференціал функції багатьох змінних.

Диференційовані функції……………………………………………………95

5.4 Диференціювання складної функції багатьох змінних……………....99

5.5. Диференціали вищих порядків функцій однієї і багатьох

змінних……………………………………………………………………….101

РОЗДІЛ 6. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

6.1. Основні означення……………………………………………...……….104

5

6.2. Диференціальні рівняння першого порядку……………………..……105

6.3. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними………....106

6.4. Диференціальні рівняння з однорідними функціями...………………107

6.5. Лінійні рівняння ………………………………………………………..108

6.6 Рівняння Бернуллі …………………………………………...………….109

6.7. Рівняння в повних диференціалах …………………………….………110

6.8. Інтегруючий множник………………………………………………….111

6.9. Диференціальні рівняння другого порядку …………………………..113

6.10 Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають пониження

порядку ……………………………………………………………..……….114

6.11 Лінійні диференціальні рівняння ………………………………….….115

6.12 Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими

коефіцієнтами ……………………………………………………………….119

6.13 Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку …...120

6.14 Метод варіації довільної сталої ……………………………………….121

6.15 Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі

сталими коефіцієнтами …………………………………………….……….123

6.16. Системи звичайних диференціальних рівнянь ……………...………124

Список рекомендованої літератури ..............................................................125

6

ПЕРЕДМОВА

Дисципліна ―Прикладна математика‖ є однією з основних дисциплін

фундаментального циклу у підготовці фахівців з напрямку «водні

біоресурси». Вона відображує нові вимоги, що ставляться до математичної

освіти сучасного інженера. Її характеризують прикладна спрямованість та

орієнтація на навчання студентів застосуванню математичних методів для

вирішення прикладних задач.

Мета дисципліни – розгляд питань сучасної прикладної математики

з попереднім розлядом класичних питань вищої математики, зокрема,

лінійної алгебри, диференціального та інтегрального числення функції

однієї та багатьох змінних, теорії диференціальних рівнянь тощо. В

результаті вивчення цієї дисципліни студент повинен знати математичну

символіку, визначення, основні теореми, передбачені програмою

дисципліни, вміти влучно і стисло виражати математичну думку під час

розв‖язання конкретних задач, самостійно розв‖язувати типові задачі, що

найбільш часто зустрічаються, використовуючи для цього отримані під час

вивчення цієї дисципліни знання, аналізувати отримані результати.

Методи прикладної математики дали дослідникам у різноманітних

галузях науки і техніки надійний і ефективний засіб для математичного

моделювання найскладніших задач. Це сприяло значному розвитку та

прогресу у різноманітних сферах людської діяльності. Особливо ця

обставина стосується розв‘язання широкого кола задач сучасної фізики

навколишнього середовища, теорії водних біоресурсів, фізики океану

тощо. Реалізація математичних моделей на комп‘ютері відбувається за

допомогою методів прикладної математики, які, зрозуміло, постійно

удосконалюються разом з прогресом у галузі комп‘ютерної техніки.

Розв'язок математичної моделі задачі, який повинен забезпечувати

критерій ефективності та оптимальності, можна одержати швидше за

допомогою відповідного ефективного алгоритму. Будь-яка редукція

задачі математичної фізики або техніки звичайно зводиться до розв'язання

алгебраїчних рівнянь тої чи іншої структури. Як наслідок, більшість

методів прикладної математики пов'язані із зведенням задачі до системи

алгебраїчних рівнянь та їх наступним розв'язанням. Одним з досить

розповсюджених методів розв'язування задач математичної фізики та

прикладної математики є метод скінченних різниць. В останні роки дуже

актуальною є проблема широкого застосування різних методів побудови

різницевих схем в задачах фізики навколишнього середовища, теорії

водних біоресурсів, фізики океану тощо.

7

Адже розуміння сучасних методів прикладної математики вимагає

фундаментального знання базових розділів вищої математики.

Тому у пропонованому конспекті лекцій з прикладної математики

викладені базові питання вищої математики з акцентуванням на питаннях

диференціювання та інтегрування функцій, розв'язування лінійно-

алгебраїчних рівнянь та їх систем, теорії звичайних диференційних

рівнянь. Такий вибір розділів конспекту, з одного боку, дозволяє читачу

зрозуміти базові питання предмету, зокрема, класичні питання вищої

математики, з другого, дозволяє бути підготовленим для опанування

безпосередньо питань прикладної математики.

Користуючись випадком, автори висловлюють подяку декану

Інституту математики, механіки та економіки Одеського національного

університету ім.І.Мечникова, д.ф.-м.н., професору Шевчуку В.Г.,

завідувачам кафедр вищої математики №1 і №2 Одеського національного

політехнічного університету, д.ф.-м.н., професору Новікову В.В. та д.т.н.,

професору Усову А.В., завідувачу кафедри вищої математики Одеської

державної академії холоду, д.ф.-м.н., професору Швецу В.Т. за корисні

поради.

.

.

8

Розділ 1 ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ

1.1 Матриці та визначники.

1.1.1 Основні поняття

Матрицею називається прямокутна таблиця, що заповнена деякими

математичними об‘єктами, наприклад, числами, векторами, функціями,

похідними, інтегралами, операторами і т.с. Будемо розглядати матриці з

елементами з поля дійсних чисел.Частіше за все елементи матриці

позначаються однією буквою з двома індексами, що вказують "адресу"

елемента - перший індекс дає номер рядка, що містить елемент, другий -

номер стовпця. Якщо матриця має m рядків та n стовпців, то говорять, що

матриця має розмір m x n. Таким чином, матриця (розміру m x n)

записується у вигляді

mnm2m1

2n2221

1n1211

a...aa

............

a...aa

a...aa

A.

Припущується позначення матриці розміру m x n у вигляді ijaA , де

індекс i пробігає усі значення від 1 до m, а j - від 1 до n. При позначенні

матриць використовуються дужки - круглі та квадратні.

Матриці, що мають одне й те ж число n рядків та стовпців, називають

квадратними; це число n називають порядком квадратної матриці.

Важливу роль грають так звані діагональні матриці. Під цим маються

на увазі квадратні матриці, що мають всі елементи рівні нулю, крім

елементів головної діагоналі, тобто елементів у позиціях (1,1), (2,2), ..., (n,n). Діагональна матриця D з діагональними елементами d1, d2,

..., dn позначається diag(d1,d2,...,dn). Діагональна матриця diag(1, 1,

..., 1) називається одиничною та позначається E (чи En) або ж I (чи In).

Матрицю, що складається з одного рядка, часто називають вектором

(рядком, вектор-рядком, рядковою матрицею), а з одного стовпця –

векрор-стовпцем (стовпцем, стовпцевою матрицею).

1.1.2 Арифметичні дії над матрицями

Дві матриці вважають рівними, якщо вони мають однаковий розмір і

9

усі їх відповідні елементи рівні.

Матрицю A={ai j} можна транспонувати, тобто замінити рядки

стовпцями, а стовпці- відповідними рядками, тоді отримаємо так звану

транспоновану матрицю AT={aj i}.

Дві матриці A={ai j} та B={bi j} одного і того ж розміру m x n

можна додавати, їх сумою буде матриця того ж розміру C{ci j},

cij=aij+bij, тобто щоб отримати суму двох матриць, достатньо додати

відповідні елементи цих матриць, що знаходяться на однакових позиціях.

Оскільки ми розглядаємо тут матриці з елементами з поля P дійсних чисел,

то очевидною є асоціативність операції додавання матриць, що випливає з

асоціативності додавання елементів поля P. Аналогічно доводиться

комутативність додавання.

Матриці можна додавати, множити їх на число, а також множити

матриці одна на одну. Ці дії мають властивості:

1. (A+B)+C=A+(B+C);

2. A+B=B+A;

3. Існує 0: A + 0 = 0 + A = A;

4. Для A існує -A: A + (-A)=0;

5. (c1+c2)A=c1A+c2A.

6. c(A1+A2)=cA1+cA2.

7. c1(c2A)=(c1c2)A

8. 1A=A

9. (AB)C=A(BC).

10. (cA)B=A(cB)=cAB.

11. (A1+A2)B=A1B+A2B.

12. A(B1+B2)=AB1+AB2.

13.Існують одиничні матриці, якщо розмір А(mxn),то EmA=AEn=A.

14. (AT)T = A.

15. (A + B)T = AT + BT.

10

16. (cA)T = cAT.

17. (AB)T = BTAT.

Для квадратних матриць фіксованого порядку n дії додавання та

множення означені завжди, і їх результатами є квадратні матриці того ж

порядку. Про цю обставину кажуть таким чином: квадратні матриці

фіксованого порядку створюють кільце. Кільце, що має структуру

векторного простору, тобто система об‘єктів, що мають властивості 1-12,

називається алгеброю над основним полем. Таким чином, квадратні

матриці з елементами з поля R складають алгебру над цим полем.

1.1.3 Загальні властивості візначників

Розглянемо квадратну матрицю

nnn2n1

2n2221

1n1211

a...aa

............

a...aa

a...aa

A (1.1)

Визначником n-го порядку, що відповідає матриці (1.1), називається

алгебраїчна сума n! членів, що складена за таким правилом: членами суми

є усі можливі добутки n елементів матриці, що узяті по одному з кожного

рядка та з кожного стовпця, при цьому член береться зі знаком плюс, якщо

його індекси складають парну підстанову, та зі знаком минус - у

протилежному випадку. Y символьному вигляді можна записати так:

n21

n21

n21

α,...,α,αnα2α1α

)α,...,α,inv(α

nnn2n1

2n2221

1n1211

...aaa1)(

a...aa

............

a...aa

a...aa

A

де (1,2,...,n) пробігає усі перестанови чисел 1, 2, ..., n; далі,

множник )α,...,α,inv(α n211)( дорівнює +1, якщо(1,2,...,n) - парна

перестанова, і дорівнює -1, якщо непарна.Визначник матриці A

позначають інколи det(A).

Далі буде корисно знати, з яким знаком входить у визначник

11

nnn2n1

2n2221

1n1211

a...aa

............

a...aa

a...aa

доданок nn2211 βαβαβα ...aaa , де (1,2,...,n) та (1,2,...,n) - дві

перестанови чисел 1, 2, ..., n. Для того щоб знати це, треба розташувати

співмножники за порядком розташування рядків. Помітимо, що якщо

поміняти місцями два співмножника, то виникає транспозиція, як у

перших, так і у других індексах, так що кількість інверсій у перших

індексах та кількість інверсій у других індексах змінюються на непарні

числа, і тому їх сума змінюється на парне число. Тому )β,...,β,inv(β)α,...,α,inv(α n21n211)(

не змінюється під час перестанови

двох співмножників, а тому і під час будь-якої зміни порядку

співмножників, оскільки будь-яка зміна порядка рівносильна декільком

попарним змінам місць. Звідки випливає, що знак, з яким входить доданок

nn2211 βαβαβα ...aaa у визначник, є

)β,...,β,inv(β)α,...,α,inv(α n21n211)( . Тому означення визначника

можна записати у вигляді

n21

n21

nn2211

n21n21

β...ββ

α...ααβαβαβα

)β,...,β,inv(β)α,...,α,inv(α

nnn2n1

2n2221

1n1211

...aaa1)(

a...aa

............

a...aa

a...aa

(1.2)

де

n21

n21

β...ββ

α...ααпробігає усі підстанови чисел 1, 2, ..., n.

Властивість 1. Визначник транспонованої матриці дорівнює визначнику

вихідної. Іншою мовою - визначник не змінюється при транспонуванні

матриці.

Властивість 2. Якщо елементи якого-небудь рядка є сумою двох доданків,

12

то визначник дорівнює сумі двох визначників, у першому з яких елементи

відповідного рядка дорівнюють першим доданкам,у другому-другим,тобто

nnn1

ini1

1n11

nnn1

ini1

1n11

nnn1

inini1i1

1n11

a...a

.........

c...c

.........

a...a

a...a

.........

b...b

.........

a...a

a...a

.........

cb...cb

.........

a...a

A

.Властивість 3. Якщо усі елементи будь-якого рядка визначника мають

спільний множник, то цей спільний множник можна винести за знак

визначника, тобто

nnn1

ini1

1n11

nnn1

ini1

1n11

a...a

.........

a...a

.........

a...a

m

a...a

.........

ma...ma

.........

a...a

A

Властивість 4. Визначник з двома однаковими рядками дорівнює нулю.

Приклад. Хай потрібно обчислити визначник

1111

1111

1111

1111

Додамо до другого рядка перший, помножений на -1, потім до третього

додамо перший, помножений на -1, і потім до четвертого додамо перший,

помножений на -1.

Дістанемо рівний визначник

022

202

220

1

0220

2020

2200

1111

13

У останньому визначнику переставимо перший та другий стовпці, а для

компенсації знаку після перестанови помножимо перший стовпець на -1 :

022

220

202

. Відіймемо від третього рядку перший, дістанемо рівний

визначник 22

222

220

220

202

. Відіймемо від другого рядку перший:

1642)(240

222

, тобто шуканий визначник дорівнює -16.

Хай дан визначник

nnn2n1

2n2221

1n1211

a...aa

............

a...aa

a...aa

A .

Розглянемо визначник

nnn1

1n11

a...0...a

...............

0...1...0

...............

a...0...a

,

матрицю якого можна дістати з матриці вихідного визначника шляхом

заміни елемента aik на 1 та усіх остатніх елементів i-го рядку та k-го

стовпця на нулі.

Побудований таким чином визначник називається алгебраїчним

доповненням елемента aik. Для нього прийняте позначення Aik. Помітимо,

що Aik не залежить від елементів i-го рядку та k-го стовпця вихідного

визначника.

Якщо ж цілком викреслити з A i-й рядок та k-й стовпець, дістанемо

визначник розміру n-1, що називається мінором елемента aik та

14

позначається Mik, тобто

nn1nk1nkn1

1ni11ki11ki11i

1ni11ki11ki11i

1n11k11k11

ik

a...aa...a

..................

a...aa...a

a...aa...a

..................

a...aa...a

M

.

Розглянемо Aik. Обміняємо k-й стовпець з k-1-м (визначник змінить

знак), потім k-1 з k-2 і т.с., поки вихідний k-й стовпець (де стоїть

одиниця) не переміститься на місце першого. При цьому визначник

змінить знак k раз, тобто він буде дорівнювати (-1)kA’, а по

абсолютній величині його значення не зміниться. Аналогічно,

переставимо i-й рядок на місце першого, визначник буде дорівнювати

Aik=(-1)i(-1)kA”=(-1)i+k

A”=

=(-1)i+k

nn1nk1nk

1ni11ki11ki

1ni11ki11ki

a...aa...0

..................

a...aa...0

a...aa...0

..................

0...00...1

Як було вказано вище, у методі Гаусса останній визначник дорівнює

добутку одиниці на визначник, отриманий викреслюванням з Aik першого

рядку і першого стовпця, тобто

Aik=(-1)i+k

nn1nk1nk

1ni11ki11ki

1ni11ki11ki

a...aa...0

..................

a...aa...0

a...aa...0

..................

0...00...1

=

15

=(-1)i+k1

nn1nk1nkn1

1ni11ki11ki11i

1ni11ki11ki11i

1n11k11k11

a...aa...a

..................

a...aa...a

a...aa...a

..................

a...aa...a

=(-1)i+kMik.

Отже, Aik = (-1)Mik, що можна також прийняти за означення

алгебраїчного доповнення.

Приклад 1. Обчислити

n

3

2

a...111

...............

1...a11

1...1a1

1...111

.

Тут природно до усіх рядків додати перший, помножений на -1. Тоді

дістанемо визначник:

1)1)...(a1)(a(a

1a...000

...............

0...1a00

0...01a0

1...111

n32

n

3

2

.

16

1.1.4 Обчислення оберненої матриці

Матриця B називається оберненою до матриці A, якщо AB=BA=E, де

E - одинична матриця. Рівність AB=BA показує (легко бачити,

використовуючи правило множення матриць), що кількість рядків та

стовпців матриці A повинно бути однаковим. Таким чином, обернена

матриця має сенс тільки для квадратних матриць. Хай дана матриця n-го

порядку

nnn2n1

2n2221

1n1211

a...aa

............

a...aa

a...aa

A. Матриця

nn2n1n

n22212

n12111

A...AA

............

A...AA

A...AA

A,

що складається з алгебраїчних доповнень до елементів матриці A (при

чому алгебраїчне доповнення до елементу aij стоїть на перехресті j-го

рядку та i-го стовпця) називається приєднаною (чи взаємною) матрицею

до матриці A. Розглянемо добуток AA*=C={ci,j}. Елемент cij матриці C

визначається за правилом множення матриць:

n

1kkjikij Aac .

За властивістю 8 визначників ця сума дорівнює A , якщо i = j; та, за

властивістю 10, дорівнює нулю при i j. Тому

A...00

............

0...A0

0...0A

AA.

Ця матриця відрізняється від одиничної E тим, що на діагоналі замість

одиниць стоять одні й ті ж числа A. Такі матриці називаються

скалярними. Коли ці числа різні, матрицю називають діагональною.

Якщо кожний елемент матриці A* поділити на A , то сума

n

1kkjik

n

1k

kj

ik AaA

1

A

Aa

дає одиницю при i = j, і нуль при i j.

17

Тому оберненою до A буде матриця, що отримується з приєднаної матриці

A* діленням усіх її елементів на число A:

nn2n1n

n22212

n12111

1

A...AA

............

A...AA

A...AA

A

1A

.

Звернемо увагу, що приєднану матрицю для даної можна завжди

обчислити, якщо виконати вказані вище дії. Щоб обчислити обернену

матрицю, потрібно кожний елемент приєднаної матриці поділити на A. Тому, для будь-якої неособливої матриці (її визначник не дорівнює

нулю), існує єдина обернена матриця.

Приклад. Обчислимо обернену матрицю для матриці

412

112

013

A .

Складаємо приєднану матрицю

110

31210

145

A .

Обчислимо визначник A=53+10(-1)+00=5. Тому

5

1

5

10

5

3

5

122

5

1

5

41

A 1

.

- Обчислення оберненої матриці за допомогою елементарних

перетворень

18

Назвемо елементарним перетворенням над рядками матриці одну з

дій:

а) множення усіх елементів даного рядку на одне й те ж число k;

б) додавання до кожного елемента даного рядка з номером i відповідного

елемента, помноженого на число k, з рядка з номером j.

Наприклад, хай дана матриця

nnn2n1

2n2221

1n1211

a...aa

............

a...aa

a...aa

A.

Елементарне перетворення, що зводиться до множення першого рядка на

k, дає матрицю

nnn2n1

2n2221

1n1211

a...aa

............

a...aa

ka...kaka

A'

а додавання до другого рядка першого, помноженого на k, дає матрицю

nnn2n1

1n2n12221121

1n1211

a...aa

............

kaa...kaakaa

a...aa

A".

Отримати з матриці A матрицю A’ можна також множенням A зліва на

матрицю B’

19

A'

a...aa

............

a...aa

a...aa

1...00

............

0...10

0...0k

AB'

nnn2n1

2n2221

1n1211

,

що перевірюється безпосередньо. Таким чином, елементарне

перетворення, що зводиться до множення i-го рядку на число k,

рівносильно множенню зліва на матрицю, що отримана з одиничної

множенням її i-го рядку на k.

Матрицю A” з матриці A можна дістати також множенням зліва на

матрицю B”, що отримана з одиничної додаванням до 2-го рядку 1-го,

помноженого на k:

A"

a...aa

............

a...aa

a...aa

1...00

............

0...1k

0...01

AB"

nnn2n1

2n2221

1n1211

,

тобто елементарне перетворення, що відповідає дії б), рівносильно

множенню зліва матриці A на матрицю, що отримана з одиничної за

допомогою тих же дій.

Отже, виконання елементарних перетворень над матрицею A

зводиться до множення на A зліва матриці, що отримана з одиничної

за допомогою тих же перетворень. Запишемо тепер поряд дві матриці, спочатку одиничну, а потім дану:

nnn2n1

2n2221

1n1211

a...aa

............

a...aa

a...aa

1...00

............

0...10

0...01

.

Пристосуємо тепер елементарне перетворення, що зводиться до додавання

до другого рядку першого, помноженого на k, до цієї об‘єднаної матриці:

20

nnn2n1

1n2n12221121

1n1211

a...aa

............

kaa...kaakaa

a...aa

1...00

............

0...1k

0...01

.

Ми бачимо, що у лівій частині об‘єднаної матриці стоїть матриця B”

(матриця, яку треба помножити на A, щоб отримати A” ), а у правій - -

результат добутку B”A. Пристосовуючи ще раз до отриманої об‘єднаної

матриці яке-небудь елементарне перетворення, дістанемо за рахунок

однакових дій над лівою та правою частинами у лівій частині матрицю

(вона є добутком двох матриць, що отримані з одиничних матриць

відповідними елементарними перетвореннями), яка, помножена на A, дасть

матрицю правої частини.Тобто, ліва частина об’єднаної матриці

"накопичує" елементарні перетворення, а права частина дає

результат пристосування цих перетворень до матриці A.

Тепер пристосуємо метод Гаусса до матриці

nnn2n1

2n2221

1n1211

a...aa

............

a...aa

a...aa

1...00

............

0...10

0...01

так, щоб у правій частині вийшла одинична матриця. Для цьго треба

помножити перший рядок на 11

i1

a

a і додати до і-го рядку. Роблячи це зо

всіма рядками, крім першого, дістанемо матрицю

nnn2

2n22

1n1211

nnn2n1

2n2221

a'...a'0

............

a'...a'0

a...aa

b'...b'b'

............

b'...b'b'

0...01

.

Зробивши аналогічну операцію з другим рядком (з метою отримати у

другому стовпці нулі), з третім і т.с., прийдемо до матриці

21

nn

2n22

1n1211

nnn2n1

2n2221

'a'...00

............

a'...a'0

a...aa

'b'...'b''b'

............

b'...b'b'

0...01

(у правій частині об‘єднаної матриці нижче головної діагоналі стоять нулі).

Поділимо останній рядок на ann” , дістанемо матрицю

1...00

............

a'...a'0

a...aa

/a"'b'.../a"'b'/a"'b'

............

b'...b'b'

0...01

2n22

1n1211

nnnnnnn2nnn1

2n2221

.

Помножимо послідовно останній рядок на елементи, що стоять у

останньому стовпці та відіймемо від відповідних рядків (звідки взяті ці

елементи), і дістанемо матрицю

1...00

............

0...a'0

a...aa

b...bb

............

b"...b"b"

b"...b"b"

22

1n1211

nnn2n1

2n2221

1n1211

.

Якщо провести цю операцію з n-1 рядком, n-2 і т.с., дістанемо

1...00

............

0...10

0...01

b...bb

............

b...bb

b...bb

nnn2n1

2n2221

1n1211

, тобто у

лівій частині отримаємо матрицю B, а у правій E. Але, як сказано вище,

ліва частина - це добуток BA, права - результат цього добутку, тобто

BA=E. Тому B - обернена матриця до A. Такий метод обчислення

оберненої матриці називається методом елементарних перетворень.

Приклад. Обчислимо обернену матрицю до матриці

22

412

112

013

A .

Складемо об‘єднану матрицю:

412

112

013

100

010

001

.

Для зручності обчислень, відступимо від методу Гаусса. Додамо другий

рядок спочатку до третього рядку, а потім до першого:

500

112

101

110

010

011

.

Додамо подвійний перший рядок до другого:

500

310

101

110

032

011

.

Поділимо останній рядок на 5:

500

310

101

110

032

011

.

Відіймемо третій рядок від першого, а також помножимо третій рядок на 3

та відіймемо від другого:

100

010

001

5

1

5

10

5

3

5

122

5

1

5

41

.

У лівій частині дістали обернену матрицю:

23

5

1

5

10

5

3

5

122

5

1

5

41

A 1 .

У алгебрі матриць можна розв‘язувати матричні рівняння AX=B (або

XA=B), де A, B та X - квадратні матриці (A, B - відомі, X - невідома) у

випадку, якщо існує A-1. Для цього достатньо помножити зліва рівність

AX=B на A-1 (рівність XA=B множиться зправа на A-1), отримаємо

X=EX=(A-1A)X=A-1B (у випадку рівності XA=B, X=BA-1).

Приклад. Дані матриці

34

23A ,

53

71B , при чому

34

23A 1

,

тому розв‘язком рівняння AX=B буде матриця

1313

119

53

71

34

23X .

1.1.5 Інші властивості визначників

Хай -

nnn2n1

2n2221

1n1211

a...aa

............

a...aa

a...aa

A - квадратна матриця порядку n.

Мінором порядку k для цієї матриці називається визначник матриці, що

складається з елементів, що знаходяться на перетині деяких обраних k

рядків та k стовпців. У загальному вигляді мінор порядку k можна

записати у вигляді

kk1k

k111

βαβα

βαβα

a...a

.........

a...a

.

24

Тут 1,...,k - номери обраних рядків 1< 2 <…<k, а 1,...,k -

номери обраних стовпців, 1<2 <...<k.

Мінором, що доповнює даний мінор порядку k, називається мінор

порядку n-k, матриця якого виникає з вихідної шляхом викреслювання

рядків та стовпців, що містять даний мінор.

Алгебраїчним доповненням до даного мінора називається доповнюючий

мінор з множником k1k1 β...βα...α)1(

.

Наступна теорема, яку приведемо без доведення, є глибоким

узагальненням розкладу визначника по елементах рядку.

Теорема 1 (теорема Лапласа). Хай у матриці визначника обрані k рядків.

Визначник дорівнює сумі добутків усіх мінорів порядку k, складених з цих

рядків, на їх алгебраїчні доповнення.

Ми обмежимося доведенням важливого приватного випадку - формулою

Хай дані дві матриці A={aij} та B={bij} однакового розміру nxn,

при чому вони розбиті однаково на клітинки:

2221

1211

AA

AAA ,

2221

1211

BB

BBB клітинки Aij, Bij однакового розміру kxk (тобто n=2k).

Очевидно, при додаванні матриць A та B їх можна додавати по клітинках.

Розглянемо їх множення. Хай C=AB={cij}. Тоді

2222122121221121

2212121121121111

BABABABA

BABABABAC , тобто

матриці, що розбиті на клітинки, можна перемножати за тим же правилом

"рядок на стовпець", як звичайно, узявши замість елементів відповідні

клітинки.

Дійсно, хай cij -елемент лівої верхньої клітинки матриці C. У цьому

випадку 1 i k, 1 j k. Елемент cij, як елемент клітинки A11B11+

+A12B21, дорівнює lj

n

1lillj

n

1klillj

k

1lilij bababac

(у кожній з перших двох сум множники беруться з відповідних клітинок

A11, B11, A12, B21). Остання сума - це і є результат добутку AB.

Доведення рівності для елементів остатніх клітинок нічим не відрізняється

від даного.

25

Трикутна матриця називається унітрикутною, якщо усі її елементи

головної діагоналі дорівнюють 1. З‘ясуємо, як змінюються рядки матриці

A при множенні її зліва на праву унітрикутну матрицю C. Хай

1...00

............

c...10

c...c1

C n2

n112

;

n

2

1

A

...

A

A

A .

(A1, ..., An-рядки матриці А). Маємо:

n

nn22

nn12121

A

...

Ac...A

Ac...AcA

CA ,

так що перший рядок отриманий з першого рядку A додаванням наступних

рядків, помножених на c12, ..., c1n, другий - з другого додаванням

наступних рядків з відповідними множниками і т.с., останній зостається

без змін. Якщо A - квадратна матриця, то при усіх описаних перетвореннях

визначник матриці не змінюється, так що CA=A.

Якщо C - ліва унітрикутна матриця

1...cc

............

0...1c

0...01

C

2n1n

21

, то

n22n11n

2121

1

A...AcAc

...

AAc

A

CA,

і тут опис перетворень зручно починати з кінця: до останнього рядку

додаються попередні, помножені на cn1, cn2, ..., cn,n-1, до

передостаннього - попередні, помножені на відповідні елементи матриці C,

і т.с.; до другого рядку додається перший, помножений на c21, і перший

зостається без змін. Тому і в цьому випадку CA=A

При правому множенні на унітрикутну матрицю C робляться аналогічні

перетворення стовпців, тому також AC=A

Теорема 2. Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює

добутку визначників співмножників.

Теорема 3. Для того, щоб матриця A мала обернену, необхідно та

26

достатньо, щоб її визначник відрізнявся від нуля.

1.1.6 Ранг матриці

Рядки матриці A розміром mxn можна розглядати як n-мірні вектори.

Аналогічно стовпці - m-мірні вектори. Тому можна ввести поняття

лінійної залежності (незалежності) та рангу множини рядків та множини

стовпців.

Ствердження 1. Хай u1,u2,…,um - рядки матриці

mn1m

kn1k

n111

a...a

.........

a...a

.........

a...a

A,

при чому рядки uk+1,…,um є лінійними комбінаціями рядків u1,u2,…,uk.

Хай, далі, v1,…,vn - стовпці матриці A, а v~ 1,… v~ n - їх відрізки

довжиною k. Тоді з будь-якої залежності c1 v~ 1+…+cn v~ n=0 випливає

залежність c1v1+…+cnvn=0 .

Теорема 1. Ранг множини рядків прямокутної матриці дорівнює рангу

множини її стовпців.

Теорема 2. Для лінійної залежності множини рядків квадратної матриці

необхідно та достатньо,щоб її визначник дорівнював нулю.

Нагадаємо, що однорідною називається система з нульовими

вільними членами. Розглянемо однорідну систему з n рівнянь з n

невідомими

0xa...xaxa

..................................

0xa...xaxa

0xa...xaxa

nnn22n11n

nn2222121

nn1212111

або (у векторній формі)

27

0x

a

...

a

a

...x

a

...

a

a

x

a

...

a

a

n

nn

n2

n1

2

2n

22

12

1

1n

21

11

. (1.3)

З теорем 1 та 2 випливає, що та ж умова A=0 є необхідною та

достатньою для лінійної залежності стовпців

nn

n2

n1

n

2n

22

12

2

1n

21

11

1

a

...

a

a

v,...,

a

...

a

a

v,

a

...

a

a

v

тобто існування x1, x2, ..., xn, що одночасно не дорівнюють нулю. Звідси

безпосередньо випливає, що є вірною наступна теорема.

Теорема 3. Для існування нетривіальних розв‘язків системи n лінійних

однорідних рівнянь з n невідомими (1.3) не тільки необхідно, але й

достатньо, щоб визначник матриці коефіцієнтів системи дорівнював нулю.

Нагадаємо, що необхідність встановлена як наслідок з теореми Крамера.

Достатність випливає з того, що розшук розв‘язків системи (1.3)

рівносильний до розшуку коефіцієнтів x1, x2, ..., xn лінійної залежності

стовпців матриці коефіцієнтів системи.

Теорема 4. Ранг матриці дорівнює найбільшому порядку мінорів, що

відрізняються від нуля.

Приклад . Обчислити ранг матриці

14332

7511

5131

2112

A .

Відіймемо від третього стовпця другий, а від першого та четвертого -

другий, помножений на два. Дістанемо

28

14332

7511

5131

2112

A

8634

9411

1235

0010

.

Відіймемо від третього рядку перший, а від другого та четвертого рядків -

перший, помножений на 3. Дістанемо

A

8604

9401

1205

0010

.

Далі, відіймемо від другого рядку суму двох останніх. Тоді дістанемо

рядок лише з нулів; його можна відкинути і тому

A

8604

9401

0000

0010

8604

9401

0010

.

Відіймемо від останнього стовпця перший і додамо третій, помножений на

2. Тоді, відкидаючи стовпець з одних нулів, знайдемо, що

A

8604

9401

0010

0604

0401

0010

604

401

010

.

Скорочуємо останній рядок на -2 та додаємо до нього подвійний другий:

A

604

401

010

1100

401

010

.

Міняємо місцями перший та другий рядки:

29

A

1100

010

401

.

Усі рядки A лінійно незалежні, тому її ранг дорівнює 3.

1.2 Системи лінійних рівнянь

1.2.1 Основні поняття

Теорія систем лінійних рівнянь кладе початок великому та практично

важливому розділу алгебри - лінійній алгебрі. Коефіцієнти рівнянь, що

розглянуті тут, значення невідомих і взагалі усі числа, з якими ми будемо

зустрічатися, будемо вважати дійсними, хоча зміст даних обговорень

переноситься і на випадок довільних комплексних чисел. На відміну від

елементарної алгебри ми будемо вивчати системи з довільною кількістю

рівнянь та невідомих, при чому інколи кількість рівнянь системи не буде

навіть припускатися таким, що збігається з кількістю невідомих.

Загальноприйнято невідомі позначати буквами x1,x2,... Рівняння відносно

невідомих x1,x2,...,xn називається лінійним, якщо його можна записати у

вигляді a1x1+a2x2+...+anxn=b. Тут a1,a2,...,an та b - довільні дійсні

(або комплексні) числа. Сукупність значень невідомих x1=1,x2=2,...,

xn=n задовольняє даному рівнянню, якщо у результаті підстанови цих

значень невідомих у рівняння воно перетвориться на арифметичну

тотожність. Припустимо, що дана система m лінійних рівнянь відносно

невідомих х1,x2,...,xn. У загальному випадку таку систему можна

записати у вигляді:

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

bxa...xaxa

..................................

bxa...xaxa

bxa...xaxa

(1.4)

Цей запис припускає, що рівняння системи занумеровані числами 1,2,...,

m, при чому mn. Коефіцієнти при невідомих мають два індекси.

Перший з них є номером рівняння, яке містить даний коефіцієнт, а другий

- номером відповідної невідомої. Так, наприклад, aij є коефіцієнт при

невідомій xj у i-му рівнянні. Для скорочення ці індекси звичайно не

розділяються комою; не слід, однак, у випадку a11 замість "а один один"

читати "а одинадцять", у випадку a34 замість "а три чотири" читати "а

30

тридцять чотири".

Зведемо коефіцієнти при невідомих у системі (1.24) у матрицю

mnm2m1

2n2221

1n1211

a...aa

............

a...aa

a...aa

A

Ця матриця називається матрицею (коефіцієнтів) системи. Якщо матрицю

A доповнити зправа стовпцем вільних членів, то дістанемо нову матрицю

m

2

1

mnm2m1

2n2221

1n1211

b

...

b

b

a...aa

............

a...aa

a...aa

A,

яка називається розширеною матрицею системи. Якщо ввести у розгляд

матрицю-стовпець (вектор-стовпець) невідомих

n

2

1

x

...

x

x

X

и матрицю-стовпець (вектор-стовпець) вільних членів

m

2

1

b

...

b

b

B,

а також використовуючи правило множення матриць та ознаку їх рівності,

дістанемо запис системи (1.4) у матричній формі: AX=B.

Сукупність чисел 1,2,...,n називається розв’язком системи (1.4), якщо

у результаті заміни невідомих x1,x2,...,xn відповідно числами

1,2,...,n вони задовольняють усім рівнянням системи, тобто усі

31

рівняння системи перетворюються на арифметичні тотожності.

Система називається сумісною, якщо вона має, принаймні, один розв‘язок.

У протилежному випадку система називається несумісною. Сумісна

система може мати єдиний розв‘язок (визначена система), але може мати

і більш чим один розв‘язок (невизначена система).

Поряд з системою (1.4), розглянемо систему

lnln22l11l

2nn2222121

1nn1212111

'bx'a...x'ax'a

..................................

'bx'a...x'ax'a

'bx'a...x'ax'a

. (1.5)

Хай системи (1.4) та (1.5) обидві сумісні. Системи (1.4) та (1.5)

називаються рівносильними, якщо множина розв‘язків першої системи

збігається з множиною розв‘язків другої системи. Очевидно, при зміні

порядку послідовності рівнянь системи (1.4) множина її розв‘язків

зостається незмінною (при підстанові розв‘язку у систему усі рівності так

само перетворюються на тотожності). Це ж буде справедливим, якщо

обидві частини будь-якого рівняння помножити на одне й те ж число, яке

не дорівнює нулю. Тому при перестанові місцями рівнянь системи або

множенні обох частин одного з них на ненульове число дістанемо

рівносильну систему. Додамо до другого рівняння системи (1.24) перше

рівняння, помножене на число . Дістанемо систему

mnmn22m11m

12nn1n22122211121

1nn1212111

bxa...xaxa

..................................

bλbx)aλa(...x)aλa(x)aλa(

bxa...xaxa

(1.6)

Якщо позначити ліві частини рівнянь системи (1.4) відповідно через I1, I2,

..., Im, її можна переписати у вигляді

32

mm

22

11

bI

........

bI

bI

.

Тоді систему (4.3) можна переписати у вигляді

mm

1212

11

bI

........

bλbIλI

bI

.

Хай сукупність чисел 1,2,...,n є розв‘язком системи (1.4), тобто при

підстанові 1,2,...,n замість x1,x2,...,xn дістанемо тотожності I1= b1,

I2 = b2, ...,Im = bm. Система (1.6) тому також буде у результаті цієї

підстанови складатися з тотожностей, крім другого рівняння I2 + I1 =

b2 + b1. Але це теж тотожність, тому що I1= b1,I2 = b2. Тому множина

розв‘язків системи (4.1) є розв‘язками системи (1.26). Хай сукупність чисел

1,2,...,n є розв‘язком системи (1.6), тобто при підстанові 1,2,...,n

замість x1, x2, ..., xn дістанемо тотожності I1= b1,I2+ I1=b2+ b1,

...,Im = bm. Система (1.4) у результаті цієї ж підстанови буде складатися

з тотожностей, крім другого рівняння I2 = b2. Але це теж тотожність,

тому що з тотожностей I1= b1,I2 + I1=b2 + b1, очевидно, слідує

тотожність I2 = b2. Тому множина розв‘язків системи 1.6) є розв‘язками

системи (1.4).

Отже, отримали, що множини розв‘язків систем (1.4) та (1.6) збігаються,

тобто системи (1.4) та (1.6) рівносильні. Оскільки при перестанові рівнянь

системи (1.4), а також при заміні другого рівняння сумою першого та

другого дістають рівносильну систему, дістанемо

Теорема 1. Якщо у системі (1.4) i-е рівняння Ii = bi замінити сумою

Ii + Ij = bi +bj, де Ij = bj - інше рівняння цієї системи, то дістанемо

рівносильну систему.

Отримання з даної системи їй рівносильної назвемо елементарними

перетвореннями. З вищенаведеного, а також з теореми 1, можна записати

у вигляді наступних пунктів припустимі (тобто ті, що призводять до

рівносильної системи) елементарні перетворення:

33

1. перестанова місцями рівнянь системи;

2. множення обох частин одного з рівнянь на число, яке не дорівнює нулю;

3. додавання до одного з рівнянь іншого, помноженого на число, з

наступною заміною першого на отриману суму.

1.2.2 Метод Гаусса розв’язання систем лінійних рівнянь

Метод Гаусса заснований на пристосуванні елементарних перетворень

над системою з метою отримання такої рівносильної системи, яка легко

розв‘язується. Він складається з двох частин: прямого та зворотнього хода.

При цьому метод дозволяє визначити, сумісна система чи ні. Метод Гаусса

належить до точних методів розв‘язання систем рівнянь.

Теорема 2. Будь-яка сумісна система лінійних рівнянь зводиться шляхом

елементарних перетворень і, може бути, зміни нумерації невідомих до

рівносильної системи з трапецієвидною матрицею. Для системи n рівнянь з

n невідомими з відмінним від нуля визначником матриці коефіцієнтів

система зводиться до рівносильної системи з трикутною матрицею.

Перейдемо до переказу прямого хода метода Гаусса. Хай дана довільна

система лінійних рівнянь (1.4). Припустимо, що коефіцієнт a11 0, хоча

насправді він може, звичайно, дорівнювати нулю, і ми повинні будемо

почати з будь-якого іншого, відмінного від нуля, коефіцієнта з першого

рівняння системи. Перетворимо тепер систему (1.4), виключаючи невідоме

x1 з усіх рівнянь, крім першого. Для цього обидві частини першого

рівняння помножимо на число 11

21

a

a і відіймемо від відповідних частин

другого рівняння, потім обидві частини першого рівняння, помножені на

число 11

31

a

a, відіймемо від відповідних частин третього рівняння, і т.с.

Ми прийдемо цим шляхом до нової системи з m лінійних рівнянь з n невідомими:

mnmn33m22m

3nn3333232

2nn2323222

1nn1313212111

'bx'a...x'ax'a

.......................................

'bx'a...x'ax'a

'bx'a...x'ax'a

bxa...xaxaxa

, (1.7)

34

де j1

11

1iijij a

a

aa'a , 1

11

1iii b

a

ab'b .

В силу теореми 1 система (1.7) рівносильна до системи (1.4). Будемо тепер

далі перетворювати систему (1. 7). При цьому до першого рівняння ми не

будемо більш торкатися зовсім і будемо вважати, що належить

перетворювати лише частину системи (1.7), що складається з усіх рівнянь,

крім першого. При цьому ми вважаємо, звичайно, що серед цих рівнянь

немає таких, усі коефіцієнти лівих частин яких дорівнюють нулю, - такі

рівняння ми скасували б, якщо б і їх вільні члени дорівнювали нулю, а у

протилежному випадку ми вже довели б несумісність нашої системи.

Таким чином, серед коефіцієнтів a’ij є відмінні від нуля; будемо вважати,

що a’22 0. Перетворимо тепер систему (1. 7), відіймаючи від обох частин

третього та кожного з наступних рівнянь обидві частини другого рівняння,

помножені відповідно на числа 22

32

'a

'a,

22

42

'a

'a,…,

22

2m

'a

'a . Цим буде

виключене невідоме x2 з усіх рівнянь, крім першого та другого, і ми

прийдемо до наступної системи рівнянь, що рівносильна до системи (1.7),

а тому і до системи (1.24):

tntn33t

3nn3333

2nn2323222

1nn1313212111

"bx"a...x"a

.......................................

"bx"a...x"a

'bx'a...x'ax'a

bxa...xaxaxa

.

Ця система містить тепер t рівнянь, t m, оскільки деякі рівняння

виявились, можливо, відкинутими. Зрозуміло, що кількість рівнянь

системи могла зменшитися вже після виключення невідомого x1. У

подальшому буде перетворюватися лише частина отриманої системи, що

містить усі рівняння, крім двох перших.

Коли зупиниться цей процес послідовного виключення невідомих?

Якщо ми прийдемо до такої системи, одне з рівнянь якої має відмінний від

нуля вільний член, а усі коефіцієнти лівої частини дорівнюють нулю, то, як

ми знаємо, наша вихідна система несумісна.

У протилежному випадку ми дістанемо наступну систему рівнянь, що

рівносильна до системи (1.4):

35

)1k(kn

)1k(knk

)1k(kk

)2k(1kn

)2k(n1kk

)2k(k1k1k

)2k(1k1k

2nn2kk21k1k2222

1nn1kk11k1k1212111

bxa...xa

bxa...xaxa

........................................

'bx'a...x'ax'a...x'a

bxa...xaxa...xaxa

(1.8)

Тут 0a,0a,...,0'a,0a )1k(kk

)2k(1k1k2211

Підкреслимо також, що k t та, очевидно, k n. Використовуючи

поняття розширеної матриці системи, систему (1.8) можна записати

компактно у вигляді матриці

)1k(k

)2k(1k

2

1

)1k(kn

)1k(kk

)2k(n1k

)2k(k1k

)2k(1k1k

n2k21k222

n1k11k11211

b

b

...

'b

b

a...a0...00

a...aa...00

.....................

'a...'a'a...'a0

a...aa...aa

(1.9)

(праворуч від риски стоїть стовпець вільних членів), яку природно назвати

сходинковою, оскільки нижче головної діагоналі у неї розташовані лише

нулі. На цьому прямий хід метода Гаусса завершується.

Теорема 3. Якщо система (1.4) прямим ходом метода Гаусса

перетворюється у рівносильну до неї систему (1.8) (k n), то система

сумісна; вона буде визначеною при k = n та невизначеною при k < n.

Метод Гаусса можна пристосувати до будь-якої системи лінійних

рівнянь. При цьому система буде несумісною, якщо у процесі

перетворень ми дістанемо рівняння, у якому коефіцієнти при усіх

невідомих дорівнюють нулю, а вільний член відрізняється від нуля (випадок 1); якщо ж ми такого рівняння не зустрінемо, то система буде

сумісною. Сумісна система буде визначеною, якщо вона призводиться

до трикутного вигляду (1.10) (випадок 2), і невизначеною, якщо

призводиться до трапецієвидного вигляду (1.8) при k < n (випадок 3).

У випадку 1 розширена матриця перетвореної системи виглядає так:

36

)1k(s

)1k(1k

)1k(k

)2k(1k

2

1

)1k(kn

)1k(kk

)2k(n1k

)2k(k1k

)2k(1k1k

n2k21k222

n1k11k11211

b

...

b

b

b

...

'b

b

0...00...00

.....................

0...00...00

a...a0...00

a...aa...00

.....................

'a...'a'a...'a0

a...aa...aa

де )1k(

s)1k(

1k b,...,b

не дорівнюють нулю. У випадку 3 вона має

вигляд (1.9). У випадку ж 2 вигляд

)1n(n

2

1

)1n(nn

n222

n11211

b

...

'b

b

a...00

............

'a...'a0

a...aa

.

При практичному розв‘язанні системи лінійних рівнянь методом Гаусса

належить виписати матрицю з коефіцієнтів системи, приєднати до неї

стовпець з вільних членів, для зручності відділений вертикальною рискою,

і усі перетворення виконувати над рядками цієї розширеної матриці.

Приклад 1. Розв‘язати систему

25xx6x3

2x3xx

9x5x2x

321

321

321

.

Перетворимо розширену матрицю цієї системи:

25

2

9

163

311

521

~

52

11

9

16120

230

521

~

8

11

9

800

230

521

.

37

Ми приходимо до системи рівнянь

8x8

11x2x3

9x5x2x

3

32

321

,

що має єдиний розв‘язок x1 = 2, x2 = -3, x3 = -1. Вихідна система

виявилася визначеною.


2x9x20x11

5x2x7x

1x5x3xx3

3xx8x5x

432

431

4321

4321

.

Перетворимо розширену матрицю системи:

2

5

1

3

920110

2701

5313

1851

~

2

8

8

3

920110

1150

821160

1851

~

162

8

160

3

290890

1150

290890

1851

~

2

8

160

3

0000

1150

290890

1851

Ми прийшли до системи, що містить рівняння 0 = 2. Вихідна система

буде несумісною.


38

0x5xx3x2

0xx3xx4

0x3x2x2x

4321

4321

4321

.

Тут кількість рівнянь менш за кількість невідомих; тому якщо вона і буде

сумісною, то невизначеною. Перетворимо розширену матрицю системи:

0

0

0

5132

1314

3221

.

Оскільки останній стовпець складається з нулів та внаслідок елементарних

перетворень не змінюється, то далі при перетвореннях його писати не

будемо:

5132

1314

3221

~

11570

13590

3221

~

9

8

9

1000

13590

3221

~

4500

13590

3221

.

Ми прийшли до системи рівнянь

0x4x5

0x13x5x9

0x3x2x2x

43

432

4321

.

Вільним невідомим можна обрати будь-яке з невідомих x3 та x4. Хай

αx4 . Тоді з третього рівняння випливає α5

4x3 , після чого з

другого рівняння дістанемо αx2 та, нарешті, з першого рівняння

α5

3x1 . Таким чином, α

5

3x1 , αx2 , α

5

4x3 , αx4 буде

загальним виглядом розв‘язків даної системи рівнянь.

1.2.3 Матричний метод розв’язання систем лінійних рівнянь

Розглянемо системи n лінійних рівнянь з n невідомими:

39

nnnn22n11n

2nn2222121

1nn1212111

bxa...xaxa

..................................

bxa...xaxa

bxa...xaxa

. (1.11)

У матричній формі цю систему перепишемо у вигляді AX = B, де

nnn2n1

2n2221

1n1211

a...aa

............

a...aa

a...aa

A- матриця коефіцієнтів,

n

2

1

x

...

x

x

X- вектор невідомих,

n

2

1

b

...

b

b

B- стовпець вільних членів.

Якщо обернена до A матриця A-1 існує (а ми знаємо, що це можливо тоді і

тільки тоді, коли визначник A 0), то, розв‘язавши матричне рівняння

AX = B, дістанемо X = A-1B, тобто досить однозначну відповідь. Таким

чином, розв’язок системи (1.11) існує і єдиний тоді і тільки тоді, коли

A0. Розв‘язання системи (1.31) за формулою X = A-1B має назву

розв’язання матричним засобом.

1.2.4 Формули Крамера

Помножимо перше з рівнянь системи (1.11) на A1j, друге на A2j, ..., n-

е на Anj та додамо, де Aij -алгебраїчне доповнення до елементу aij матриці

коефіцієнтів A. Дістанемо

(a11A1j+a21A2j+...+an1Anj)x1+...+(a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj)xj+...++(a1nA1j+a2nA2j+...+annAnj)xn=b1A1j + +b2A2j+...+bnAnj. Коефіцієнти перед x1,x2,...,xj-1,xj+1,...,xn є сумами добутків

алгебраїчних доповнень j-го стовпця матриці A на елементи паралельного

стовпця, які, як випливає з властивостей визначників, дорівнюють нулю.

Коефіцієнт при xj, з властивостей визначників, дорівнює визначнику

матриці A. Тому дістали рівняння Axj=b1A1j+…+bnAnj . Права частина

цього рівняння, як бачимо, є

40

b1A1j+…+bnAnj =Aj=

nn1njn1-njn1

2n12j21-2j21

1n11j11-1j11

a...aba...a

.....................

a...aba...a

a...aba...a

-

розклад визначника Aj по j-му стовпцю; Ajдістанемо з A заміною

j-го стовпця стовпцем вільних членів. Виконаємо тепер описані дії для

j=1,2,...,n, дістанемо рівносильну систему рівнянь (кожна з дій -

елементарне перетворення над системою рівнянь):

nn

22

11

AxA

.............

AxA

AxA

.

З кожного рівняння отриманої системи знайти xj можна тільки у випадку

A0. У цьому випадку A

Ax

j

j . Таким чином, є вірною наступна

теорема.

Теорема 4 (Крамера). Розв‘язок системи n лінійних рівнянь з n

невідомими (1.31) існує та єдине тоді і тільки тоді, коли визначник

матриці коефіцієнтів відрізняється від нуля A0 та розв‘язки

знаходяться за формулами

A

Ax

j

j . (1.12)

Формули (1.12) мають назву формул Крамера.

З цієї теореми можна дістати два простих наслідка, що легко доводяться

від протилежного.

Наслідок 1. Якщо відомо, що система n лінійних рівнянь з n невідомими

не має розв‘язків, то визначник матриці коефіцієнтів дорівнює нулю.

Наслідок 2. Якщо система n лінійних рівнянь з n невідомими має більш

чим один розв‘язок, то визначник матриці коефіцієнтів дорівнює нулю.

41

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо усі її вільні члени

дорівнюють нулю. Однорідна система (незалежно від кількості рівнянь)

завжди має розв‘язок, що складається з нульових значень для усіх

невідомих. Для однорідних систем цікавим є питання про те, чи є

нульовий розв‘язок єдиним чи крім нього існують інші, нетривіальні,

розв‘язки.

Наслідок 3. Для того, щоб система n лінійних однорідних рівнянь з n

невідомими мала нетривіальні розв‘язки, необхідно, щоб визначник

матриці з її коефіцієнтів дорівнював нулю.

Дійсно, якщо хоча б один нетривіальний розв‘язок є, то система має більш

чим один розв‘язок, так як нульовий завжди є. Тому визначник матриці

коефіцієнтів системи дорівнює нулю.

42

РОЗДІЛ 2 ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

2.1 Функція однієї змінної

Нехай X і Y дві множини. Відображенням f множини X у

множину Y називається правило, яке кожному елементу x X ставить у

відповідність один і тільки один елемент y Y .

Замість слова "відображення" можна вживати "функція", "оператор",

"відповідність".

Записи f

y f x , X Y , f : X Y означають, що f є

відображенням множини X у множину Y.

Для позначення функції вживаються й інші букви, наприклад

y g x , y F x .

Елемент y, який відображення f ставить у відповідність елементу x ,

називається образом елемента x при відображенні f або значенням

відображення f у точці x і позначається символом f x . Множина X

називається областю визначення відображення f і позначається D f .

Множина R x y| x D f : f x y називається множиною значень

відображення f.

Нехай f : X Y , A X , B Y . Образом множини A при

відображенні f називається множина f A f x | x A . Прообразом

множини B при відображенні f називається множина

1f B x X | f x B .

Графіком функції f : X Y називається множина

G f x,y X Y | x X ,y f x .

Якщо f : X Y і g :Y Z , то функція h : X Z , яка

визначається формулами h g f x , x X називається складеною

функцією, або суперпозицією функцій f і g.

43

Приклади. 2 2y x sin x, g y y , h x g y x sin x.

Відображення f : X Y називається відображенням множини Х

на множину Y або сур'єкцією, якщо f X Y .

Відображення f : X Y називається взаємооднозначним

відображенням множини X у множину Y або ін'єкцією, якщо

1 2 1 2 1 2x X , x X : x x f x f x .

Відображення f : X Y , яке є сур'єкцією та ін'єкцією, називається

бієкцією. У цьому випадку говорять, що f здійснює взаємно однозначну

відповідність між множинами X і Y .

Якщо f : X Y − бієкція, то y Y ! x X : f x y. Функція

1f :Y X називається оберненою до бієкції f , якщо f x y та

1f y x .Відображення f : N X називається послідовністю

елементів із X . Послідовність позначається так: 1 2 nx ,x ,...,x ,..., де

nx f n − n -ний член послідовності.

2.2 Границя функції.

Нехай функція f x визначена на множині X і точка x є

граничною точкою множини X . Виберемо із X послідовність точок,

відмінних від 0x : 1 2 nx ,x ,...,x ,..., збіжну до 0x . Значення функції в точках

цієї послідовності також утворюють числову послідовність

1 2 nf x , f x , ..., f x , ....

Означення границі функції за Гейне. Число A називається границею

функції f x у точці 0x ( або при 0x x ), якщо для будь-якої збіжної до

0x послідовності значень аргументу x , відмінних від 0x , відповідна

послідовність значень функції збігається до числа A .

Символічно це записують так: 0x x

lim f x A

.

Означення границі функції за Коші. Нехай функція f x

44

визначена в деякому околі точки 0x , крім, можливо, самої точки 0x .

Число A називається границею функції f x у точці 0x , якщо для

довільного числа 0 існує число 0 таке, що нерівність f x A

виконується для всіх x , що задовольняють умову 0 0x x , x x .

2.2.1 Односторонні границі

Число A називається границею функції f x у точці 0x справа

(зліва), якщо для будь-якої збіжної до 0x послідовності nx , елементи

якої більші (менші) 0x , відповідна послідовність nf x збігається до

числа A .Символічно це записують так:

0 00 0x x x x

lim f x A lim f x A

.

Можна дати рівносильне означення односторонніх границь функції

"в термінах ".

Число A називається границею функції f x у точці 0x справа

(зліва), якщо для довільного числа 0 існує таке 0 , що для всіх x ,

які задовольняють умову 0 0 0 0x x x ( x x x ) , виконується

нерівність f x A .

Теорема. Функція f x має в точці 0x границю тоді й тільки тоді,

коли в цій точці існує як права, так і ліва границя та ці границі рівні між

собою. У цьому випадку границя функції дорівнює одностороннім

границям.

2.2.2 Границя функції на нескінченності

Число A називається границею функції f x при x , якщо для

будь-якої нескінченно великої послідовності nx значень аргументу

відповідна послідовність nf x значень функції збігається до числа A .

45

Символічно це записують так: xlim f x A

.

Число A називається границею функції f x при x x ,

якщо для будь-якої нескінченно великої послідовності nx , елементи nx

якої додатні (від'ємні), відповідна послідовність nf x значень функції

збігається до числа A .

Символічно це записують так:

x xlim f x A lim f x A

.

Можна дати означення "в термінах ", рівносильні наведеним

вище.

2.2.3 Теореми про границі функцій

Теорема. Якщо функція f x має границю в точці 0x , то ця

границя єдина.

Теорема. Якщо функції f x і x мають у точці 0x границі, то

функції

f xf x x , f x x ,

x

(при

00

xlim x

) у точці 0x

також мають границі, причому

0 0 0x x x

lim f x x lim f x lim x

; (2.3)

0 0 0x x x

lim f x x lim f x lim x

; (2.4)

0

00

x

xx

lim f xf x

limx lim x

. (2.5)

Теорема . Нехай функції f x і x , визначені в деякому околі

точки 0x , крім, можливо, самої точки 0x , мають у точці 0x границі, й

такі, що в околі точки 0x f x x . Тоді 0 0x x x x

lim f x lim x

.

46

Теорема. Нехай функції f x , x , g x визначені в деякому околі

точки 0x , крім, можливо, самої точки 0x , функції f x , g x мають у

точці 0x границю, рівну A , тобто 0 0x x x x

lim f x lim g x A

. Нехай, крім

того, виконується нерівність f x x g x . Тоді функція x у

точці 0x має границю, рівну A , тобто 0x x

lim x A

.

Перша визначна границя: 0

1x

sin xlim

x

Друга визначна границя. 1

1

x

xlim e

x

2.3 Неперервність функції

2.3.1 Неперервність функції в точці

Нехай функція f x визначена в деякому околі точки 0x .

Функція f x називається неперервною в точці 0x , якщо

00x x

lim f x f x

.Функція f x називається неперервною в точці 0x

справа (зліва), якщо 0 00 00 0x x x x

lim f x f x lim f x f x

.

Отже, функція f x неперервна в точці 0x , якщо вона неперервна в

цій точці як справа, так і зліва.Розглянуте поняття неперервності функції є

локальною (місцевою) властивістю. Якщо функція f x неперервна в

кожній точці інтервалу a,b , то говорять, що вона неперервна на інтервалі

a,b . Якщо при цьому в точці a функція неперервна справа, а в точці b –

неперервна зліва, то говорять, що функція f x неперервна на відрізку

a,b .Зауважимо, що термін неперервної кривої походить із поняття

неперервної функції. Графіком неперервної на a,b функції є неперервна

крива ("суцільна крива").

Теорема. Якщо функції f x , x неперервні в точці 0x , то

47

функції

0 0

f xf x x , f x x , x

x

у точці 0x також

неперервні.

Теорема (про неперервність складеної функції). Якщо функція

f x неперервна в точці 0x , а функція x неперервна в точці 0t ,

причому 0 0x t , то складена функція f t неперервна, як функція

від t , у точці 0t .

Наведемо приклади деяких важливих границь, обчислення яких

спирається на неперервність елементарних функцій.

1)

0

1aa

x

log xlim log e

x

.

Доведення.

Якщо a e , то маємо:

0

11

x

ln xlim

x

, тобто при 0x виконується

1ln x x .

2) 0

1x

x

alim lna

x

.

Доведення. Покладемо 1xz a . Тоді 1 1xaa z,x log z .

Якщо x 0 , то 1xa і 1 0xz a .

0 0 0

1 1 1

11

x

x z z aa a

a zlim lim lim lna

log zx log z log e

z

.

Якщо a e , то маємо: 0

11

x

x

elim

x

, тобто при x 0 справедливо

1xe x .

Розглянемо степенево-показниковий вираз xf x

. Нехай

0 0

0x x x xlim f x a, a , lim x b

. Запишемо

48

xx ln f x x ln f x

f x e e

.

Маємо

0

bx b lna lna b

x xlim f x e e a

.

Зазначимо, що вирази 0 01 0, , є не визначеними. Для

знаходження відповіді на питання, що є границею виразу xf x

, у

цих випадках недостатньо знати лише границі функцій f x , x ,

потрібно знати закон, за яким вони прямують до своїх границь.

2.3.2 Класифікація точок розриву функції

Точка 0x називається точкою розриву функції f x , якщо функція

f x у точці 0x не є неперервною. Точки розриву класифікують

наступним чином.

Розриви першого роду. Якщо в точці 0x функція f x має скінченну

ліву й скінченну праву границю і вони рівні між собою, тобто

0 00 0x x x x

lim f x lim f x

,

але відмінні від значення функції f x в точці 0x або значення 0f x не

існує, то точка 0x називається точкою усувного розриву функції f x .

Якщо в точці 0x функція f x має скінченну границю справа і

скінченну границю зліва й 0 00 0x x x x

lim f x lim f x

, то точка 0x

називається точкою розриву функції f x зі скінченним стрибком.

Розриви другого роду. Точка 0x називається точкою розриву другого

роду функції f x , якщо в цій точці функція f x не має принаймні

однієї з односторонніх границь або хоча б одна з односторонніх границь є

нескінченною.

Кусково-неперервні функції. Функція f x називається кусково-

49

неперервною на відрізку a,b , якщо вона неперервна в усіх внутрішніх

точках a b, , за винятком, можливо, скінченного числа точок, у яких має

розрив 1-го роду і , крім того, має односторонні границі в точках a та b .

2.3.3 Основні властивості неперервних функцій

Перша теорема Больцано-Коші (теорема про обернення функції

в нуль). Нехай функція f x неперервна на відрізку a,b і на його

кінцях значення функції мають різні знаки. Тоді існує точка C a,b

така, що f C =0 .

Друга теорема Больцано-Коші (теорема про проміжне значення).

Нехай функція f x неперервна на відрізку a,b і на кінцях цього

відрізка приймає значення f a A, f b B, де A B . Тоді для будь-

якого числа C A,B існує точка c a,b така, що f c =C .

Перша теорема Вейєрштрасса. Якщо функція f x неперервна на

відрізку a,b , то вона обмежена на цьому відрізку.

Друга теорема Вейєрштрасса. Якщо функція f x неперервна на

відрізку a,b , то вона досягає на цьому відрізку своїх точних меж, тобто

існують такі точки x , x a,b1 2 , що

1 1a,b a,b

f x sup f x , f x inf f x .

Теорема про неперервність оберненої функції. Нехай функція

y f x визначена, строго монотонна й неперервна на деякому проміжку

X , і нехай множина Y − множина значень. Тоді на множині Y обернена

функція x x однозначна, строго монотонна та неперервна. Перейдемо

до доведення неперервності функції x x . Оскільки ця функція, як уже

встановлено, монотонна і її значення, згідно з умовою, заповнюють увесь

проміжок X , то відповідно до леми функція x x неперервна.

.

50

РОЗДІЛ 3 ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ

ЗМІННОЇ

3.1 Задачі, що приводять до поняття похідної

Задача про миттєву швидкість. Нехай матеріальна точка M

рухається вздовж прямої. Позначимо відстань точки M до деякої

початкової точки O даної прямої в момент часу t через s t . Тоді в

момент часу t t , де t - приріст часу, точка M буде знаходитися на

відстані від точки O рівній s t t . Різницю s s t t s t назвемо

приростом шляху.

Відношення s t t s ts

t t

називається середньою

швидкістю руху точки за проміжок часу t .

Швидкістю руху точки в момент часу t або миттєвою швидкістю

називається границя відношення s

t при 0t , тобто

0 0t t

s t t s tsv t lim lim

t t

.

Приклад. Знайти миттєву швидкість рівномірно прискореного руху

матеріальної точки з початковою швидкістю 0v і прискоренням a .

Розв'язування. Залежність шляху s від часу t при рівно

прискореному русі виражається формулою 2

02

a ts t v t

. Тоді

2

02

a t ts t t v t t

. Отже,

2 2

0 02 2

a t t a ts s t t s t v t t v t

.

51

Після спрощення маємо

2

02

a ts v t a t t

.

Таким чином

2

0

0 00 0

22t t

a tv t a t t

a tv t lim lim v a t v a t

t

.

3.2 Означення похідної

Нехай в деякому проміжку X визначена функція y f x .

Виберемо довільну точку 0x X і надамо x0 приросту x такого, що

x x X . Зазначимо, що x може бути як додатним, так і від'ємним.

При цьому функція одержить приріст 0 0y f x x f x . Нехай в

точці x0 існує границя 0x

ylim

x.

Похідною функції y f x в точці x0 називається границя

відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст

аргументу прямує до нуля.

Похідну функції y f x в точці x0 позначають так: 0'y x або

0'f x . Отже, за означенням

0 0

00 0

'

x x

f x x f xyf x lim lim

x x

.

Якщо функція y f x має похідну в кожній точці x X , то похідна є

функцією від x і в цьому випадку позначається так: 'y x або '

f x .

Механічний та геометричний зміст похідної

Механічний зміст похідної випливає із задачі про миттєву швидкість,

а саме: похідна від пройденого шляху s t по часу t дорівнює миттєвій

52

швидкості v t в момент часу t , тобто 'v t s t . Геометричний зміст

похідної розкрито у задачі про дотичну: похідна 'f x0 , якщо вона існує,

дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції

y f x в точці з координатами x0 , 0 0y f x . Використовуючи

означення правої і лівої границі, введемо поняття правої і лівої похідної

функції y f x в точці x0 . Правою (лівою) похідною функції y f x в

точці x0 називається права (ліва) границя відношення y

x при 0x (за

умови, що ця границя існує). Права похідна позначається так:

00 0

'

x

yf x lim

x

, а ліва 0

0 0

'

x

yf x lim

x

.

3.3 Диференційовність функції

Функція y f x називається диференційованою в точці x0 , якщо

її приріст у цій точці можна подати у вигляді

y A x x x , (3.1)

де A - деяке число, не залежне від x , а x - нескінчено мала функція

при 0x , тобто 0

0xlim x

.

Зв'язок між диференційованістю функції y f x в точці x0 і

існуванням похідної даної функції в цій точці установлюється наступною

теоремою.

Теорема. Для того, щоб функція функції y f x була

диференційована в точці x0 , необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій

точці скінчену похідну.

Теорема . Якщо функція y f x диференційована в точці x0 , то

вона в цій точці неперервна.

3.4 Похідні елементарних функцій

Похідна сталої функції. Похідна функції y C , де C const при

53

x X виражається формулою 0'y .

Похідна степеневої функції y x . Область визначення X цієї

функції залежить від . Візьмемо довільну відмінну від нуля внутрішню

точку x області визначення X . Тоді

0 0 0

'

x x x

y x x y x x x xyy lim lim lim

x x x

1 1 1

0 0

1 1 1 1

x x

x x

x xlim x x lim x

x x

x x

.

Приклади. 5 45'y x ; y x ;

1 2

2

1 11'y x ; y x ;

x x

1 1

2 21 1

2 2

'y x x ; y x .x

Похідна показникової функції 0 1xy a a ;a ,x ; .

0 0 0

x x x'

x x x

y x x y xy a ay lim lim lim

x x x

0 1

1 1x x

xx x

x x

a a alim a lim a lna.

x x

Приклади. 2 2 2x ' xy ; y ln ; 5 5 5x ' xy ; y ln .

Похідна логарифмічної функції 0 1 0ay log x a ;a ,x ; .

0 0 0

a a'

x x x

y x x y x log x x log xyy lim lim lim

x x x

54

0 0 0

0

1 1

11 1

a aa

x x x

a

ax

x xx x log loglogx xxlim lim lim

xx xx

x

xlog

xlim log e.

xx x

x

Зокрема, якщо y ln x , то 1'yx

.

Похідні тригонометричних функцій.

Нехай y sin x, x ; . Тоді

0 0 0

22 2'

x x x

x xsin cos x

sin x x sin xyy lim lim lim

x x x

0 0 0

2 2 12 2

2 2

x x x

x xsin sin

x xlim cos x lim lim cos x cos x cos x.

x x

Аналогічно доводиться, що функція y cos x, x ; має

похідну 'y sin x . Якщо 2 2

y tgx, x k; k ,k Z

,

то

0 0 0

'

x x x

sin x x sin x

tg x x tgx cos x x cos xyy lim lim lim

x x x

2 20 0

1 1 11

x x

sin xlim lim .

x cos x x cos x cos x cos x

Аналогічно доводиться, що функція

1y ctgx, x k; k ,k Z має похідну 2

1'ysin x

.

55

Похідна оберненої функції.

Теорема. Нехай функція y f x задовольняє всі умови теореми

про існування оберненої функції і в точці x0 має похідну 0 0'f x . Тоді

обернена до неї функція x y у точці 0 0y f x має похідну і

0

0

1'

'y

f x .

Похідні обернених тригонометричних функцій. Нехай маємо

функцію 1 1y arcsin x,x ; . За означенням функції y arcsin x

x sin y . Згідно теореми про похідну оберненої функції

2 2

1 1 1 1

1 1

'

'arcsin x

cos ysin y sin y x

.

Аналогічно одержуються похідні інших обернених

тригонометричних функцій:

2

2

2

11 1

1

1

1

1

1

'

'

'

y arccos x,x ; ; y ;

x

y arctgx,x ; ; y ;x

y arcctgx,x ; ; y .x

3.5 Диференціал функції

Нехай функція y f x диференційована в точці x0 . Тоді її приріст

у цій точці можна подати у вигляді

y A x x x ,

де 0x при 0x . Отже, доданок A x є головною частиною

приросту функції, яка лінійно залежить від x .

Диференціалом функції y f x в точці x0 називається головна

частина приросту функції в цій точці, яка лінійно залежить від x .

56

Диференціал функції позначається так:

dy A x .

Враховуючи, що 0'A f x , маємо

0'dy f x x .

Диференціалом незалежної змінної x називається її приріст: dx x .

Отже,

0'dy f x dx .

Із останньої формули випливає, що похідну 'f x0 можна

обчислити як відношення диференціалів:

0' dy

f xdx

.

Оскільки диференціал dy функції y f x є головною частиною її

приросту, то це дає можливість застосувати диференціал функції в

наближених обчисленнях: із наближеної рівності y dy , тобто

0 0 0'f x x f x f x dx .

Отже

0 0 0'f x x f x f x dx (3.2)

Приклад. Знайти наближено 4 001, .

Розв'язування. Розглянемо функцію y x . Покладемо

0 4 0 001x , x , . Тоді 04 001, x x . Далі маємо

0 01 1

4 242 4

'f x , f x .

Отже, 1

4 001 2 0 001 2 000254

, , , .

57

Якщо функції u u x ,v v x диференційовані, то мають місце

наступні формули:

d Cu C du C const ,

d u v du dv ,

d u v v du u dv ,

2

u v du u dvd

v v

.

Нехай тепер маємо складену функцію y f u , u x , де

f u , x диференційовані функції в точках x0 і 0 0u x . Тоді

0'udy f u du . Таким чином, якщо функція складена, то форма

диференціалу не змінює свого виду. Цю властивість називають

інваріантністю форми диференціалу.

3.6 Похідні й диференціали вищих порядків

Похідна 'f x функції y f x сама є деякою функцією

аргументу x . Отже, можна ставити питання про існування похідної від

функції 'f x . Цю похідну називають похідною другого порядку, або

другою похідною. ЇЇ позначають ''y або ''

f x . Отже, '

'' 'y y .

Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається

третьою похідною, або похідною третього порядку і т. д.

Якщо визначена похідна n 1 - го порядку функції y f x , то

похідною n - го порядку називається перша похідна похідної n 1 - го

порядку, тобто

'n ny y

1.

58

Похідні, починаючи з похідної другого порядку, називаються

похідними вищих порядків.

Формула Лейбніца для п-ної похідної добутку двох функцій

Нехай y u v , де u u x ,v v x - функції, які мають похідні

будь-якого порядку. Тоді

' ' ' '' '' ' ' ' ' '' '' ' ' ''y u v v u; y u v u v u v v u u v u v v u; 2

3 3 2 2 2 2 3

3 2 2 3

2 2

3 3

' ' ' '

' '

y u v u v u v u v u v v u

u v u v u v v u.

Праві частини одержаних рівностей подібні на розвинення бінома

n

u v Ньютона, але замість показників степенів стоять числа, які

визначають порядок похідних. При цьому самі функції u,v

розглядаються як "похідні нульового порядку", тобто 0 0

u u ,v v .

Враховуючи це, одержуємо

1 2 21

1 2

1 1

nn n n n'

n k k n

n nny u v u v u v u v ...

! !

n n ... n ku v ... u v .

k !

Диференціали вищих порядків.

Нехай функція y = f (x) диференційована в кожній точці x деякого

проміжку X . Її диференціал першого порядку dy =f ′(x)dx

є функцією двох змінних: аргументу x і диференціала dx . Нехай 'f x

також диференційована в кожній точці x деякого проміжку X . Будемо

розглядати у виразі 'dy f x dx диференціал dx як постійний множник.

Тоді

2'

' ' '' ''d dy d f x dx f x dx dx f x dxdx f x dx .

Диференціал d dy називається диференціалом другого порядку і

59

позначається 2d y . Отже,

22 ''d y f x dx .

Диференціал 1nd d y від диференціала 1nd y , взятий при

постійному dx називається диференціалом n -го другого порядку функції y

= f (x) і позначається nd y . Методом математичної індукції можна

встановити, що

nnnd y f x dx .

Із останньої формули випливає, що

nn

n

d yy x

dx ,

або

nn

n

d yy x

dx .

3.7 Застосування диференціального числення

3.7.1 Основні теореми диференціального числення

Теорема Ферма. Нехай функція f x визначена на інтервалі a,b і

в деякій точці 0x a,b має найбільше або найменше значення. Тоді,

якщо в цій точці існує похідна 0'f x , то вона рівна нулю, тобто

0 0'f x .

Теорема Ролля. Якщо функція f x визначена на відрізку a,b і вона

1) неперервна в кожній точці відрізка a,b .

2) диференційована на інтервалі a,b .

3) на кінцях відрізка a,b приймає рівні значення f a f b ,

то існує точка C a,b така, що 0'f C .

60

Теорема Лагранжа. Якщо функція f x визначена на відрізку a,b і

вона

1) неперервна в кожній точці відрізка a,b ,

2) диференційована на інтервалі a,b , то існує точка C a,b така,

що

' f b f a

f Cb a

.

Теорема Коші. Якщо функції f x і g x 1) неперервні на відрізку

a,b ,

2) диференційовані на інтервалі a,b , і 0'g x x a,b ,

то існує точка C a,b така, що

'

'

f b f a f C

g b g a g C

.

3.7.2 Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.

Теорема 1 ( правило Лопіталя). Нехай функції f x і g x

визначені в проміжку a,b і 0x a x alim f x lim g x

. Нехай, крім того, в

проміжку a,b існують скінченні похідні 'f x і 'g x , причому

0'g x . Тоді, якщо існує границя

'

'x a

f xlim

g x, то існує й границя

x a

f xlim

g x, причому

'x a x a

f x f ' xlim lim

g x g x .

Теорема 2 (правило Лопіталя). Нехай функції f x і g x

визначені в проміжку a,b , x a x alim f x , lim g x

і в проміжку

a,b існують скінчені похідні 'f x та 'g x , причому 0'g x . Тоді,

якщо існує границя

'

'x a

f xlim

g x, то існує й границя

x a

f xlim

g x, причому

61

'x a x a

f x f ' xlim lim

g x g x .

Теорема 2 має місце також, коли x . Правило Лопіталя дає

можливість розкривати невизначеності типу 0

0;

.

Приклади.

1. 20 0 0

1 1

2 2 2x x x

cos x sin x cos xlim lim lim .

xx

2.

1

10

1x x x

ln x xlim lim lim .x x

Правило Лопіталя можна застосовувати при розкритті невизначеностей

вигляду 0 00 0 1, , , , .

Приклади.

1.

0 0 0 0 0 0 0 02

1

01 11

'

'x x x x

ln xln x xlim x ln x lim lim lim

x xx

0 0

0x

lim x

.

2.

2 2 2

11 1'

'x x x

sin xsin xlim tgx lim lim

cos x cos x cos x

2

00

1x

cos xlim

sin x

.

3. 0 00 0

0 0 0 00 1

lim x ln xx x ln x x

x xlim x lim e e e

.

4. 0 2

2 2

lim cos x lntgx

xcos x cos x lntgx

x x

lim tgx lim e e

62

Знайдемо

1 1

2

11

22 2 2 2

00

2 1

2

'lntgx tgxlntgx cos xlim cos x lntgx lim lim lim

' sin xx x x x

cos x cos xcos xcos x

limsin xx

.

Отже, 0

2

1cos x

x

lim tgx e

.

5. 2

2 2

1

lim tgx ln sin x

xtgx tgx ln sin x

x x

lim sin x lim e e

.

Знайдемо

22 2 2 2

1

1

'

'x x x x

cos xlnsin xlnsin x sin xlim tgx lnsin x lim lim lim

tgx tgx

sin x

2

1 0 0

x

lim sin x cos x

. Отже, 0

2

1tgx

x

lim sin x e

.

3.7.3 Формула Тейлора

Розглянемо многочлен 20 1 2

nnP x a a x a x ... a x ,

де 0 1 2 na ,a ,a ,..,a дійсні числа. Продиференціюємо многочлен P x n

раз.

2 11 2 3

22 3

33 4

1 2 3

2 3 2 1

3 2 4 3 2 1 2

' nn

'' nn

'' nn

P x a a x a x ... n a x ;

P x a a x ... n n a x ;

P x a a x ... n n n a x ;.......................................................................................

n

n

....................;

P x n! a .

Якщо в наведених формулах покласти x 0 , то одержимо

63

0 1 2 3

0 0 00

1 2 3

' '' '''P P Pa P , a , a ,a ,

! ! !

0n

n

P...; a .

n! Отже, можна записати

20 0 0

01 2

n' ''nP P P

P x P x x ... x! ! n!

Нехай маємо многочлен P x за степенями 0x x , де 0x деяке

стале дійсне число, тобто

2

0 1 0 2 0 0n

nP x A A x x A x x ... A x x ,

де 0 1 nA ,A ,...,A дійсні числа. Поклавши 0x x , матимемо

20 1 2

nnP x A A A ... A .

Звідси аналогічно до попереднього, одержимо

' ''

nn

P PP x P x x x x ...

! !

Px x

n!

20 0

0

0 00

1 2

0

Ці формули називають формулами Тейлора і Маклорена.

Теорема Тейлора. Нехай функція f x в точці 0x і в деякому її

околі має похідні 1n - го порядку. Нехай також 0x x деяка точка, що

належить околу, про який йде мова. Тоді існує точка , яка лежить між

точками 0x і x , така, що

20 00 0 0

110 0

0 0

1 2

1

' ''

n nn n

f x f xf x f x x x x x ...

! !

f x fx x x x .

n! n !

(3.3)

Приклади. Записати формулу Маклорена для функції 1)

64

xf x e ; 2) f x sin x ; 3) f x cos x .

Розв'язування.

1) xf x e . Оскільки

n' '' xf x f x ... f x e , то

n' ''

f f ... f 0 0 0 1. Отже,

n

x nx x xe ... x

! ! n!

2

1 01 2

.

2) f x sin x . Так як n

f x sin n x

2

, то

nn

, якщоn knf x sin

, якщоn k.

1

2

0 2

2 1 2

Звідси маємо

nn nx x x x

sin x x ... x .! ! ! n !

3 5 7 2 12 2

1 03 5 7 2 1

3) f x cos x . n

f x cos n x

2

;

nn

, якщоn knf x cos

, якщоn k

2

0 2 1

2 1 2;

nn nx x x x

cos x ... x .! ! ! n !

2 4 6 2

2 11 1 0

2 4 6 2

65

Розділ 4 ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

4.1 Невизначений інтеграл

4.1.2 Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла

Однією із основних задач диференціального числення є знаходження

похідної f ( x ) заданої функції f ( x ) . Різноманітні питання математичного

аналізу і його застосувань приводять до оберненої задачі: для даної функції

f ( x ) знайти таку функцію F( x ) , похідна якої рівна f ( x ) , тобто

F ( x ) = f ( x ) . Відтворення функції за відомою її похідною одна із

основних задач інтегрального числення. Функція F( x ) називається

первісною для функції f ( x ) , на деякому проміжку Х, якщо для усіх

значень хХ виконується рівність F ( x ) = f ( x ) . Якщо F( x ) первісна для

функції f ( x ) , то й функція F( x ) С , де С довільна стала, також є

первісною для функції f ( x ) , оскільки ( F( x ) С )′ = F ( x ) + С ′= f ( x ) + 0

= f ( x ) . Нехай первісною функції f ( x ) на проміжку Х, крім функції F( x ) ,

є функція Ф( x ) , тобто Ф ( x ) = f ( x ) . Розглянемо різницю Ф( x )F( x ) .

Обчислимо похідну цієї різниці.

(Ф( x )F( x ) )′ =Ф ( x ) F ( x ) = f ( x ) f ( x ) = 0.

Отже, згідно з теоремою Лагранжа Ф( x )F( x ) = С. Звідси маємо:

Ф( x ) = F( x )+ С.

Таким чином, множина первісних функції f ( x ) на проміжку Х,

вичерпується функціями виду F( x )+ С, де F( x ) одна із первісних

функції f ( x ) .

Означення. Сукупність усіх первісних функції f ( x ) на проміжку Х

називається невизначеним інтегралом функції f ( x ) на цьому проміжку і

позначається f ( x )dx . Невизначений інтеграл інакше називають

інтегралом Ньютона Лейбніца. Якщо F( x ) одна з первісних функції

f ( x ) , то за означенням f ( x )dx = F( x )+ С.

Знак називається знаком невизначеного інтеграла, f ( x )

підінтегральною функцією, а f ( x )dx підінтегральним виразом.

Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають

інтегруванням цієї функції.

66

4.1.3 Основні властивості невизначеного інтеграла

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

f ( x )dx ( F( x ) С )′ = F ( x ) + С ′= f ( x ) .

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному

виразу.

d f ( x )dx d( F( x ) С ) = d F( x )= f ( x ) d(x).

3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі

цієї функції і довільної постійної.

dF( x ) = F( x ) С .

4. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла, тобто, якщо

k = const 0, то k f ( x )dx k f ( x )dx .

5. Невизначений інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі

(різниці) невизначених інтегралів від кожної функції, тобто

f ( x ) g( x ) dx f ( x )dx g( x )dx .

4.1.4 Таблиця основних інтегралів

Безпосередньо із означення визначеного інтеграла випливають

наступні формули, котрі утворюють таблицю основних інтегралів:

1.1x

x dx C, 11

,

2. dx

ln x Cx ,

3. 2

dxarctg x C

1 x

,

4. 2 2

dx 1 xarctg C, a 0

a aa x

5. 2

dxarcsin x C

1 x

,

6. 2 2

dx xarcsin C

aa x

,

7. x

x x xaa dx C, a 0, a 1; e dx e C

lna ,

67

8. x xe dx e C ,

9. sin xdx cos x C ,

10. cos xdx sin x C ,

11. 2

dxctgx C

sin x ,

12. 2

dxtgx C

cos x ,

13. 2 2

dx 1 x aln C, a 0

2a x ax a

,

14. 2 2

2 2

dxln x x a C, a 0

x a

4.1.5 Безпосереднє інтегрування

Обчислення інтегралів за допомогою безпосереднього використання

таблиці основних інтегралів та їх властивостей називається безпосереднім

інтегруванням.

Приклади.

1. 3

2 1 5x3sin x 5x 6 dx 3cos x ln x 6x C

x 3

.

2. 2

dx 1 xarctg C

3 3x 9

.

4.1.6 Метод підстановки

В основі методу підстановки (методу заміни змінної) лежить

формула диференціювання складеної функції. Якщо F ′( x) = f(x), х(a, b),

то для довільної диференційованої на проміжку (, ) функції x= (t), де

(t) (a, b), якщо t (, ) маємо:

(F((t)))′ = F ′( x) ′(t) = f(x) ′(t) = f((t)) ′(t).

Таким чином, f ( ( t ) d ( t ) F( ( t )) C .

Приклад. Обчислити інтеграл 6sin xcos xdx .

Розв‘язування. Покладемо t sin x , dt cos xdx . Тоді 7 7

6 6 t sin xsin xcos xdx t dt C C

7 7 .

68

4.1.7 Інтегрування частинами

Нехай функції )x(u і )x(v визначені й диференційовані на деякому

проміжку Х. Тоді

d(uv ) udv vdu .

udv d(uv ) vdu .

Припустимо, що інтеграл vdu існує. Тоді

udv d(uv ) vdu .

Оскільки d(uv ) uv C , то

udv uv vdu . (4.1)

Довільну сталу С включає в себе інтеграл vdu .

Формула (4.1) називається формулою інтегрування частинами.

За цією формулою обчислюються , зокрема інтеграли виду

1) nP ( x )sin xdx , nP ( x )cos xdx , xnP ( x )e dx

,

де nP ( x ) многочлен n-ного степеня відносно х, 0 . Тут слід прийняти

nu P ( x ) .

2) nP ( x )arcsin xdx , nP ( x )arccos xdx , nP ( x )arctgxdx ,

nP ( x )arcctgxdx , nP ( x )ln xdx

Тут також nP ( x ) многочлен n-ного степеня відносно х. У цих

інтегралах ndv P ( x )dx .

Приклад.

u x, dv sin xdxx sin xdx xcos x cos xdx

du dx, v cos x

xcos x sin x C .

69

4.1.8 Інтегрування раціональних дробів

Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших

дробів. Розглянемо дробово-раціональну функцію n

k

P ( x )

Q ( x ), де nP ( x )

многочлен n-го степеня, а kQ ( x ) многочлен k-го степеня. Якщо n k,

то, виконавши ділення, одержимо

n rn k

k k

P ( x ) R ( x )W ( x )

Q ( x ) Q ( x ) ,

де r < k. Наприклад,

5 3 2 22

3 3

x x x 1 2x 6x 2x 3

x 2x 1 x 2x 1

.

У вищій алгебрі доводиться, що кожний многочлен можна подати у

вигляді добутку

n n1 2Q ( x ) A( x )( x ) ...( x ) , (4.2)

де А коефіцієнт при старшому членові многочлена nQ ( x ) , а i корені

рівняння nQ ( x )= 0. Множники n1 2( x )( x ) ...( x ) називаються

елементарними. Якщо серед них є однакові, то групуючи їх, одержимо

m1 2n m1 2

r r rQ ( x ) A( x ) ( x ) ...( x ) , (4.3)

де m1 2r r ... r n . Числа m1 2r , r , ... , r називаються кратностями коренів

1 2 m, ,..., . Серед коренів 1 2 m, ...,, можуть бути й комплексні. Якщо

a bi b 0 r-кратний комплексний корінь многочлена з дійсними

коефіцієнтами, то цей многочлен має також спряжений з r-кратний

корінь a bi . Ураховуючи всі комплексні корені многочлена nQ ( x ) ,

формулу (4.2) можна записати у вигляді

2 2r sn

tQ ( x ) A( x ) ...( x ) ...( x 2px q ) ...( x 2ux v ) ,

де , ..., , ... p, q, ...,u,v дійсні числа.

Дріб r

n

P ( x )

Q ( x ) , де r < n називається правильним раціональним дробом.

Теорема. Правильний раціональний дріб r

n

P ( x )

Q ( x ), де

70

2 2rn

s tQ ( x ) A( x ) ...( x ) ...( x 2px q ) ...( x 2ux v )

можна єдиним чином подати у вигляді суми найпростіших дробів

1 2 r 1 2

r2 2n

srs

BA A B BP ( x ) A... ... ...

Q ( x ) x xx xx x

1 1 1 1

2 22

t tt

M x NM x N K x L... ... ... ...

x 2px q x 2ux vx 2px q

2

K x L

x 2ux v

,

де 1 1 1 1i j i i j jA , B , M , N , K , L дійсні числа.

Приклад. Розкласти на найпростіші дроби

2

2 2

x 5x 9

x 1 x 2x 2

.

Розв‘язування. Згідно з наведеною теоремою маємо:

21 2

2 2 22

A Ax 5x 9 Mx N

x 1 x 2x 2x 1 x 2x 2 x 1

,

де 1 2A , A , M , N поки що невідомі числа.

Зведемо праву частину останньої рівності до спільного знаменника.

22 21 2

2 2

A x 1 x 2x 2 A x 2x 2 Mx N x 1

x 1 x 2x 2

3 21 1 2 2 1 2

2 2

A M x A A 2M N x 2A M 2N x 2A 2A N

x 1 x 2x 2

Два многочлени тотожно рівні між собою тоді й тільки тоді, коли

рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях х. Тому для

визначення коефіцієнтів 1 2A , A , M , N складемо систему

1

1 2

2

1 2

A M 0,

A A 2M N 1,

2A M 2N 5,

2A 2A N 9.

Розв‘язавши цю систему, маємо: 1 2

7 7 21A , A 1, M , N

5 5 5 .

71

Отже,

2

2 2 22

x 5x 9 7 1 7x 21

5 x 1 5 x 2x 2x 1 x 2x 2 x 1

.

Інтегрування найпростіших раціональних дробів

Розглянемо інтеграли від найпростіших ірраціональних дробів.

1. d( x a )Adx

A Aln x a Cx a x a

.

2.

nn n 1

Adx AA x a d x a C

x a 1 n x a

.

3.2

Mx Ndx

x 2px q

.

Тут многочлен 2x 2px q не має дійсних коренів , отже

2p q 0 . Виділимо повний квадрат

22 2x 2px q x p q p .

Уведемо підстановку t x p . Тоді x t p, dx dt . Далі

покладемо 2 2q p a . Маємо:

2 2 2 2 2 2 2

Mt N Mp 2t dtMx N 1 dtdx dt M N Mp

2x 2px q t a t a t a

.

Перший із інтегралів правої частині, обчислюється безпосередньо

2 2 22 2

2t dtln t a C ln x 2px q C

t a

.

Другий інтеграл обчислюється за формулою 4) таблиці основних

інтегралів.

1.

2

Mx Ndx

x 2px q n

.

Увівши підстановку t x p , одержимо x t p, dx dt . Покладемо 2 2q p a . Тоді

2 22 2n 2

2t dtMx N 1 dtdx M N Mp

n 2 t ax 2px q t a n

.

Перший із інтегралів правої частини легко зводиться до інтегралу 1)

таблиці основних інтегралів, а другий інтеграл

n 2 2 n

dtI

t a

обчислюється за рекурентною формулою

72

2 2 2 n 1n n 1

1 2n 3 tI I

2n 2a 2 n 1 t a

.

4.1.9 Інтегрування ірраціональних функцій

Інтеграл від ірраціональної функції не завжди обчислюється в

скінченному вигляді. Проте деякі типи таких інтегралів за допомогою

певних підстановок можна звести до інтегралів від раціональних функцій.

Позначимо 1 2 nR u ,u , ...,u раціональну функцію від змінних

n1 2u ,u , ...,u . Наприклад, функція

3

4

1 x 2 2 xf ( x )

x 2 3x 5

є

раціональною від 3 4x, x 2, x, 3x 5 , тобто

43f ( x ) R x, x 2, x, 3x 5 .

Інтеграли виду

p1

p1

m m

n nax b ax bR x, , ..., dx

cx d cx d

,

де i im ,n 1, i 1, 2, ..., p натуральні числа, a,b,c, d дійсні числа,

причому a b

c d (у іншому випадку

ax b

cx d

стала величина)

обчислюється за допомогою введення нової змінної

kax bt

cx d

,

де k спільний знаменник дробів i

i

m, i 1,2, ..., p

n .

Приклад. Обчислити 1 x dx

1 x 1 x

.

Розв‘язування. Зробимо підстановку 1 x

t1 x

. Одержимо

22

2 2 22

4t dt1 x 2 t 1t , 1 x , x , dx

1 x t 1 t 1 t 1

.

73

Далі маємо

2 2

2 2 2

t dt dt1 x dx t 1 12 2 dt 2 dt 2

1 x 1 x t 1 t 1 t 1

1 x 1 x2t 2arctg t C 2 2arctg C

1 x 1 x

.

Інтеграли виду 2R x, ax bx c dx зводяться до інтегралів від

раціональних функцій за допомогою підстановок Ейлера.

Якщо a 0 , то вводиться нова змінна t :

2ax bx c ax t ,

де знаки можна брати у будь-якій послідовності.

Якщо у тричлені 2ax bx c a 0, c 0 , то можна використати

іншу підстановку

2ax bx c xt c .

У випадку коли 2a 0 b 4ac і тричлен має дійсні різні корені

й , то використовується підстановка

2ax bx c x t

або 2ax bx c x t .

Зазначимо, що підстановки Ейлера часто приводять до досить

складних раціональних функцій, а тому на практиці при обчисленні

інтегралів цього типу користуються простішими методами.

4.1.10 Інтегрування деяких тригонометричних функцій

Розглянемо деякі типи інтегралів від тригонометричних функцій, які

обчислюються в скінченному вигляді. До них належать інтеграли від

раціональних функцій відносно функцій sinx , cos x , tgx , ctgx , secx ,

cosecx . Оскільки функції tgx , ctgx , secx та cosecx раціонально

визначаються через sin x та cos x , то мова піде про інтеграли виду

R sinx,cos x dx , (4.4)

де R sinx,cos x – раціональна функція від sin x та cos x .

Інтеграли такого виду можна звести до інтегралів від раціональної

74

функції за допомогою універсальної тригонометричної підстановки

x

tg t2 . (4.5)

Справді,

22 2 2

x x x2sin cos 2tg

2t2 2 2sin xx x x 1 tsin cos 1 tg2 2 2

;

2 2 22

22 2 2

x x xcos sin 1 tg

1 t2 2 2cos xx x x 1 tsin cos 1 tg2 2 2

.

Крім того, 2

2dtx 2arctg t, dx

1 t

.

Інтеграл (4.4) після заміни змінної (4.5) набуває вигляду

2

12 2 2

2t 1 t 2R sin x,cos x dx R , dt R t dt

1 t 1 t 1 t

, де

2

1 2 2 2

2t 1 t 2R t R ,

1 t 1 t 1 t

– раціональна функція від змінної t .

Таким чином, інтеграл виду (4.4) завдяки підстановці (4.5) завжди

можна обчислити в скінченому вигляді. Однак застосування підстановки

(4.5) не завжди доцільне. В окремих випадках можна використати інші,

простіші методи. Це стосується, зокрема, інтегралів виду

2n 1R cos x sin xdx ; (4.6)

2n 1R sinx cos xdx , (4.7)

де n – ціле число; R cos x та R sin x – раціональні функції від своїх

аргументів. Для обчислення інтеграла (4.6) застосуємо підстановку

cos x t . (4.8)

Матимемо

n2n 1 2

n n2 2

sin xdx dt,sin xdx sin x sin xdx

1 cos x sin xdx 1 t dt.

Отже, n

2n 1 21R cos x sin xdx R t 1 t dt R t dt ,

75

де n

21R t R t t t – раціональна функція від t .

Аналогічно, якщо скористатися підстановкою sinx t , то інтеграл

(36) набуває вигляду

n

2n 1 22R sinx cos xdx R t 1 t dt R t dt ,

де n

22R t R t 1 t – раціональна функція від t .

При обчисленні інтегралів від тригонометричних функцій часто

доводиться користуватися відомими формулами тригонометрії.

Розглянемо інтеграли

sin xsin xdx, sin xcos xdx, cos xcos xdx . (4.9)

Для знаходження цих інтегралів застосовують такі формули:

1

sin xsin x cos x cos x2

;

1

sin xcos x sin x sin x2

;

1

cos xcos x cos x cos x2

.

Якщо 0, 0 , то перший з інтегралів (39) обчислюють

так:

1 1sin xsin xdx cos xdx cos xdx

2 2

1 1sin x sin x C.

2 2

Аналогічно обчислюють і два інші інтеграли.

При інтеграли (4.9) обчислюють так:

2 1 cos2 x 1 1sin xdx dx x sin2 x C

2 2 4

; (4.10)

21 1sin xcos xdx sin2 dx cos2 x C b 4ac

2 4

; (4.11)

2 1 cos2 x 1 1cos xdx dx x sin2 x C

2 2 4

. (4.12)

Якщо , то, використовуючи непарність функції sint та

парність функції cost , знаходження інтегралів (39) зводиться до випадку

. Зауважимо, що метод обчислення інтегралів (4.10) і (4.11)

використовується і для інтегралів виду 2ksin xdx та 2kcos xdx, k N .

76

Приклад

Знайти інтеграли: dx

2sin x cos x ;

Розв‗язання

dx

l R sin x,cos x dx.2sin x cos x

Застосуємо підстановку x

tg t2 .

Тоді 2

2tsin x

1 t

.

Маємо

2 2

d t 2dt 1 t 2 5l 2 ln C

5 t 2 5t 4t 1 t 2 5

x2 5 tg

1 2ln C.x5 2 5 tg2

4.2 Визначений інтеграл

4.2.1 Визначений інтеграл. Умови існування визначеного

інтеграла

Нехай на відрізку [а; b], де а ≤ b, задано функцію y = f (x) (не

обов‘язково неперервну). Розіб‘ємо відрізок [а; b] на n довільних частин

так, щоб:

a = х 0 < х1 < x 2 < … < х k < х 1k < … < х n = b.

Сукупність точок х 0 , х1 , ... , х n називатимемо Т – р о з б и т т я м

відрізка [а; b] на частини.

На кожному частинному відрізку [х k ; х 1k ] , k = 0, 1, 2, … , n – 1,

виберемо довільно по одній точці kc [х k ; х 1k ]. Точки kc називають

п р о м і ж н и м и . Нехай λ — найбільша довжина серед довжин частинних

відрізків, тобто:

0 1

max kk n

x

, 1k k kx x x , k = 0, 1, ... , n – 1.

Зрозуміло, що для різних Т – розбиттів відрізка [а; b] число λ, взагалі

кажучи, буде різним. Отже, λ залежить від Т: ( )T

Надалі розглядатимемо тільки такі розбиття, для яких λ (Т) 0.

77

Побудуємо суму

1

0

( )n

k k

k

f c x

. (4.13)

Суму (4.19) називають і н т е г р а л ь н о ю с у м о ю функції ( )f x ,

побудовану на відрізку [а; b] для даного T – розбиття.

Означення 1. Число І називається г р а н и ц е ю інтегральної суми

(4.19) при λ (Т) 0, якщо для будь – якого 0 існує таке число 0 ,

що як тільки λ (Т) < , то при будь – якому виборі точок kc і будь – якому

Т – розбитті відрізка [а; b] справджується нерівність:

I

Той факт, що чисдо I є границею інтегральної суми , записують так:

1

( ) 00

lim ( )n

k kT

k

I f c x

Означення 2. Границя інтегральної суми, якщо вона існує, нази-

вається в и з н а ч е н и м і н т е г р а л о м ф у н к ц і ї ( )f x на відрізку [а;

b] і позначається:

( )

b

a

I f x dx

При цьому число а називається н и ж н ь о ю м е ж е ю інтегрування, b

– в е р х н ь о ю м е ж е ю ; ( )f x називається підінтегральною ф у н к ц і є ю ;

( )f x dx — підінтегральним в и р а з о м ; відрізок [a; b] — п р о м і ж к о м

інтег р у в а н н я .

Отже, згідно з попередніми означеннями, визначений інтеграл

( )

b

a

f x dx є границя (якщо вона існує!) інтегральної суми, тобто:

( )

b

a

f x dx =( ) 0

1

0

lim ( )T

n

kk kf c x

(4.14)

Якщо визначений інтеграл функції y = f (x) існує, то така функція

називається і н т е г р о в н о ю на в і д р і з к у [а; b].

Так, функція ( )f x = С, де С = const, на відрізку [а; b] інтегровна і

b

a

Cdx C b a

Справді, для будь – якого T – розбиття відрізка [а; b] і будь –якого

вибору точок kc маємо:

78

1

0

( )n

k k

k

f c x

= 1 1

0 0

n n

k k

k k

C x C x C b a

.

Проте не всяка функція, задана на відрізку [а; b], є інтегровною на

ньому. Так, якщо ( )f x не є обмеженою на відрізку [а; b], то вона не

інтегровна на цьому відрізку. Інакше кажучи, обмеженість функції на

відрізку є необхідною умовою її інтегровності.

Справді, нехай ( )f x не є обмеженою на [а; b]. Тоді вона не є об-

меженою хоча б на одному з частинних відрізків T – розбиття. Нехай це

відрізок [ 1;і іx x ]. Тоді інтегральну суму для даного T – розбиття можна

записати у вигляді:

1

0

( )n

k k

k

f c x

= 1 1

0 1

i n

k k k k i i

k k i

f c x f c x f c x

.

Введемо позначення:

1 1

0 1

i n

k k k k

k k i

A f c x f c x

.

Тоді:

i iA f c x .

Оскільки ( )f x не є обмеженою на відрізку [ 1;і іx x ], то точку

ic [ 1;і іx x ] можна вибрати так, що:

1

( )i if c x A

T .

Отже, 1

( )i i i iA f c x f c x A

T

.

Звідси дістаємо, що при λ (Т) 0 сума .

Таким чином, тільки обмежені на даному відрізку функції можуть

бути інтегровними. Тому надалі розглядатимемо тільки обмежені функції.

Проте не всяка обмежена функція є інтегровною. Так, функція

Діріхле:

1, ;

( )0, ,

якщо x раціональне числоD x

якщо x ірраціональне число

на відрізку [0; 1] є обмеженою

( ) 1D x ,

але не інтегровною. Справді, якщо на кожному з частинних відрізків за

проміжні точки kc взяти раціональні точки, то = 1. Якщо за kc брати

ірраціональні точки, то = 0, а це означає що інтегральна сума,

побудована для функції ( )D x , ні до якої границі не наближається.

79

Щоб сформулювати критерій інтегровності функції на заданому

відрізку, введемо до розгляду так звані суми Д а р б у ( 1842—1917) —

французький математик.

Нехай на відрізку [а; b] задана обмежена функція ( )f x .

Тоді для будь – якого T – розбиття відрізка [а; b] ця функція є об-

меженою і на будь – якому частинному відрізку [х k ; х 1k ], k = 0, 1, 2, … ,

n – 1, а отже, множина значень функції, які вона набуває на кожному з

відрізків [х k ; х 1k ], має точну нижню і точну верхню межі. Нехай :

1;

inf ( )k k

kx x x

f x m

, 1;

sup ( )

k k

kx x x

f x M

(для неперервної функції km і kM збігаються відповідно з найменшим і

найбільшим значенням функції ( )f x ). Побудуємо такі суми:

1

0

n

k k

k

S m x

, 1

0

n

k k

k

S M x

.

Суми S і S називаються відповідно н и ж н ь о ю і в е р х н ь о ю

с у м а м и Д а р б у . Зрозуміло, що суми Дарбу залежать від Т – розбиття

( )S S T , ( )S S T

і не залежать від вибору проміжних точок kc .

Теорема 1. ( к р и т е р і й і н т е г р о в н о с т і ) . Для того щоб обмежена

на відрізку [а; b] функція ( )f x була інтегровною на цьому відрізку, необхідно

і достатньо, щоб справджувалося співвідношення:

( ) 0lim 0T

S S

. (4.15)

Теорема 2. Будь – яка неперервна на відрізку [а; b] функція ( )f x є

інтегровною на цьому відрізку.

Теореми 1 і 2 приймаємо без доведення.

Згідно з теоремою 2, для неперервної на відрізку [а; b] функції ( )f x

визначений інтеграл ( )

b

a

f x dx існує. Можна довести, що нижня і верхня

суми Дарбу, побудовані для довільної обмеженої функції, також мають

границі при λ (Т) 0. Тоді з рівності (4.21) маємо:

( ) 0 ( ) 0lim limT T

S S

.

Оскільки для будь – якого T – розбиття:

S ≤ ≤ S ,

то:

80

( ) 0 ( ) 0 ( ) 0lim lim lim ( )

b

T T Ta

S S f x dx

. (4.16)

Припустимо, що неперервна функція ( )f x набуває на відрізку [а; b]

невід‘ємних значень, ( )f x ≥ 0. Тоді фігура, зображена на рис. 3, є

криволінійною трапецією. Отже, враховуючи рівність (4.16), дістаємо

важливе твердження: криволінійна трапеція є квадровною фігурою і її

площа ( )

b

a

S f x dx .

Тому визначений інтеграл можна геометрично інтерпретувати як

число, що виражає площу криволінійної трапеції.

Зрозуміло, що задачі, розглянуті в попередньому параграфі,

розв‘язуються за допомогою визначеного інтеграла. Так, шлях S,

пройдений точкою за проміжок часу від t до t дорівнює:

( ) ;S f x dx

Маса прямолінійного стержня: ( ) ;

b

a

m x dx

Робота, виконана змінною силою: ( )

b

a

W F x dx

Усі ці формули свідчать про те, що визначений інтеграл має широке

застосування в геометрії, механіці, фізиці.

Зауваження.

Теорема 2 стверджує, що будь – яка неперервна на відрізку [а; b]

функція є інтегровною. Проте інтегровними є не тільки неперервні функції.

Можна довести, що обмежена функція, яка на відрізку [а; b] має скінченне

число точок розриву, є інтегровною на цьому відрізку; будь – яка обмежена

і монотонна на відрізку [а; b] функція є інтегровною.

У подальшому розглядатимемо тільки неперервні функції.

Зазначимо наприкінці, що коли функція ( )f x є неперервною на

відрізку [а; b], то визначений інтеграл називають ще і н т е г р а л ом Коші

((1789—1857) — французький математик), а визначений інтеграл,

розглядуваний для довільної обмеженої функції, називають і н т е г р а л о м

Р і м а н а ((1826 —1866) — німецький математик).

4.2.2 Властивості визначеного інтеграла

Сформулюємо і доведемо властивості визначеного інтеграла для

81

неперервної функції.

1°. Нехай функція ( )f x задана і неперервна на відрізку [а; b], а < b.

Тоді існує визначений інтеграл:

( )

b

a

f x dx

і справджується рівність:

( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx .

2°. Для будь – якої функції ( )y f x

( ) 0

b

a

f x dx

Властивості 1° і 2° приймають за означення.

3°. Існує інтеграл ( )

b

a

C f x dx , де С — довільне стале число, і

справджується рівність :

( ) ( )

b b

a a

C f x dx C f x dx .

Властивість 3° формулюють ще так: сталий множник можна виносити

за знак визначеного інтеграла.

4°. Нехай на відрізку [а; b] задано неперервні функції ( )f x і ( )x .

Тоді існує інтеграл:

( ( ) ( ))

b

a

f x dx x dx

і виконується рівність:

( ( ) ( )) ( ) ( )

b b b

a a a

f x dx x dx f x dx x dx .

Властивість 4° формулюють ще так: визначений інтеграл від суми

функцій дорівнює сумі визначених інтегралів від цих функцій.

Властивість 4° можна узагальнити і для n неперервних на відрізку

[а;b] функцій. Отже,

1 2 1 2( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )

b b b b

n n

a a a a

f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx .

82

5°. Справедливою є рівність:

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx , a ≤ c ≤ b.

Ця властивість справджується і тоді, коли с > b, а функція ( )f x

неперервна на відрізку [а; с]. Отже,

( ) ( ) ( )

c b c

a a b

f x dx f x dx f x dx .

Звідси:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b c c c c

a a b a b

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx .

Властивість 5° можна узагальнити і на випадок, коли основний

відрізок [а; b] розбитий точками с1 < с 2 < ...< с m на m частин. Тоді

виконується рівність:

1 2

1

( ) ( ) ( ) ... ( )

m

c cb b

a a c c

f x dx f x dx f x dx f x dx .

6°. Якщо функції ( )f x і ( )x неперервні на відрізку [а; b] і для

кожного x [а; b] справджується нерівність:

( )f x ≤ ( )x ,

то справджується також нерівність:

( ) ( )

b b

a a

f x dx x dx .

З властивості 6° випливає, що коли обидві частини нерівності

містять неперервні функції, то таку нерівність можна почленно

інтегрувати. Зокрема, якщо ( )f x неперервна на відрізку [а; b] і на цьому

відрізку ( )f x > 0, то й ( )

b

a

f x dx ≥ 0.

Якщо ( )f x ≤ 0, то й ( ) 0

b

a

f x dx .

7°. Якщо функція ( )f x є неперервною на відрізку [a; b], то на цьому

відрізку є інтегровною функція ( )f x , і справджується нерівність:

( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx .

Зауважимо, що властивості 1°—7° виконуються і тоді, коли функції

83

інтегровні на відрізку [b; а].

4.2.3 Теореми про середнє значення визначеного інтеграла

Теорема 1. Якщо функція ( )f x інтегровна на відрізку [а; b], то

справджуються нерівності:

( )

b

a

m b a f x dx M b a , (4.17)

де М і m — деякі числа.

Наслідок. Якщо функція ( )f x неперервна на відрізку [а; b], то існує

точка с [а; b] така, що виконується рівність:

( ) ( )

b

a

f x dx f c b a (4.18)

Справді, за теоремою Вейєрштрасса неперервна на відрізку [а; b]

функція набуває свого найменшого і найбільшого значень, відповідно m і

М. Тоді за теоремою про проміжне значення неперервної функції існує

хоча б одна точка с [а; b], в якій функція дорівнює числу .

Цей наслідок називають що т е о р е м о ю про с е р е д н є

з н а ч е н н я в и з н а ч е н о г о і н т е г р а л а від неперервної функції.

Теорема 2. Нехай функції ( )f x і ( )g x визначені і неперервні на

відрізку [а; b], причому ( )g x на відрізку [а; b] не змінює знака, ( )g x ≥ 0

або ( )g x ≥ 0. Тоді існує таке число с (а; b), що

( ) ( ) ( )

b b

a a

f x g x dx f c g x dx (4.19)

( ) ( )

( )

b

ab

a

f x g x dx

m M

g x dx

.

Зауважимо, що теорема 1 є окремим випадком теореми 2. Справді,

припустивши в теоремі 2, що ( )g x = 1, матимемо теорему 1.

Назва теореми 1 як інтегральної теореми про середнє пояснюється

тим, що в даному разі стверджується існування деякої точки, яка міститься

всередині відрізка і має певну властивість, пов‘язану з визначеним

інтегралом функції. Теорему 2 називають у з а г а л ь н е н о ю т е о р е м о ю

про с е р е д н є . Ми розглянули випадок, коли а < b .

Теореми 1, 2 залишаються справедливими й тоді, коли а > b.

Наприкінці зауважимо, що число

84

1

( )

b

a

f x dxb a

(4.20)

називають с е р е д н і м з н а ч е н н я м ф у н кції ( )f x на відрізку [а; b].

4.2.4 Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Теорема

про існування первісної функції. Формула Ньютона – Лейбніца

Розглянемо одну з основних теорем інтегрального числення, а саме,

що всяка неперервна на відрізку [а; b] функція має первісну, та знайдемо

спосіб обчислення визначеного інтеграла.

Нехай на відрізку [а; b] задана неперервна функція ( )f x . Ця функція

інтегровна на будь – якому відрізку [а; х], де а ≤ х ≤ b. Отже, існує

визначений інтеграл

( )

x

a

f t dt ,

який називають в и з н а ч е н и м і н т е г р а л о м із змінною верхньою

межею. Очевидно, він є функцією від х. Позначимо його через:

( ) ( )

x

a

Ф x f t dt . (4.21)

Оскільки визначений інтеграл не залежить від змінної інтегрування,

то щоб не плутати з верхньою межею, ми через t позначили змінну

інтегрування.

Лема. Якщо функція ( )f x неперервна на відрізку [а; b], то функція:

( ) ( )

x

a

Ф x f t dt

також неперервна на цьому відрізку

Основна теорема інтегрального числення

Теорема. Якщо функція ( )f x є неперервною на відрізку [а; b], то

функція ( ) ( )

x

a

Ф x f t dt є диференційовною в кожній точці цього відрізка

і / ( ) ( )Ф x f x .

Наслідок. Для будь – якої неперервної на відрізку [а; b] функції

( )f x існує первісна, і однією з первісних функцій є визначений інтеграл

(4.16) із змінною верхньою межею.

Справді, оскільки ( )f x неперервна на відрізку [а; b], то вона є

інтегровною на [а; b], а отже, і на будь – якому відрізку [а; х], а ≤ x ≤ b.

Тоді згідно з лемою, функція Ф (х) неперервна на відрізку [а; b], а з

85

доведеної теореми випливає, що Ф (х) має похідну на відрізку [а; b].

Проте, якщо функція (4.28) є первісною для ( )f x , а функція F (х) є

будь – яка первісна для ( )f x , то справджується рівність:

( ) ( )

x

a

f t dt F x C ,

де С — довільна стала. Замість х підставимо в цю рівність а. Тоді:

0 = F (а) + С, звідки С = – F (а).

Отже, ( ) ( ) ( )

x

a

f t dt F x F a

Поклавши в цій рівності х = b, дістанемо формулу Ньютона –

Лейбніца:

( ) ( ) ( )

b

a

f t dt F b F a (4.22)

(тут замість t взято х).

Формула (4.30) виражає зв‘язок між визначеним і невизначеним

інтегралами, вона дає також змогу досить просто обчислювати визначений

інтеграл від неперервної функції. Справді, якщо для ( )f x відома яка –

небудь первісна F (х), то визначений інтеграл ( )

b

a

f x dx дорівнює різниці

двох значень первісної: при х = a і при x = b. Зокрема, для тих функцій,

невизначені інтеграли від яких беруться в скінченному вигляді, визначені

інтеграли можна обчислювати за допомогою формули (4.30).

Формулу Ньютона – Лейбніца записують ще так:

( ) ( ) ( ) ( )

bb

aa

f t dt F x F b F a .

Приклад. Обчислити:

a)

1

201

dx

x ;

Розв’язання. Підінтегральні функції в кожному визначеному інтегралі

є функції, неперервні на відповідних відрізках. Тому для їх обчислення можна за-

стосовувати формулу Ньютона – Лейбніца.

a) Однією з первісних функцій для функції 2

1

1 x є агсtg х. Отже,

11

2 00

1 041

dxarctgx arctg arctg

x

86

4.2.5 Заміна змінної у визначеному інтегралі. Формула

інтегрування частинами

При вивченні невизначеного інтеграла ми розглянули один з найбільш

ефективних методів інтегрування функцій — метод підстановки. Цим

методом користуються також при обчисленні визначених інтегралів. Проте

для визначеного інтеграла треба цей метод обгрунтувати. Доведемо таку

теорему.

Теорема. Нехай виконуються умови:

1) ( )f x неперервна функція на відрізку [а; b];

2) функція ( )x t і її похідна / / ( )x t неперервні на відрізку

; ;

3) ( ) a , ( ) b і значення функції ( )x t не виходять за межі

відрізка [а; b] при t ; .

Тоді справджується рівність:

/( ) ( ) ( )

b

a

f x dx f t t dt

. (4.23)

Зауваження.

Якщо при знаходженні невизначеного інтеграла методом

підстановки у первісній функції ми від змінної t поверталися до змінної х

(робили підстановку ( )t x ), то при обчисленні визначеного інтеграла

робити таку заміну немає потреби. Якщо вдається обчислити інтеграл, який

міститься у правій частині формули (4.31), то цим самим обчислено і

інтеграл лівої частини формули (4.31). На практиці, як і при знаходженні

невизначеного інтеграла, найчастіше користуються підстановками виду

( )t x . При цьому функція ( )x повинна задовольняти умовам:

1) ( )x має на відрізку [а; b] неперервну похідну;

2) на відрізку [а; b] вона є строго монотонною.

Тоді така функція має обернену функцію ( )x t , тобто маємо

підстановку, про яку йдеться в теоремі. При цьому межі для t знаходяться з

рівності ( )t x . Тоді ( )a є нижня межа по t, а ( )b — верхня межа.

Розглянемо окремий випадок формули (4.31), а саме, нехай маємо

87

визначений інтеграл ( )

a

a

f x dx

, який можна записати так:

0

0

( ) ( ) ( )

a a

a a

f x dx f x dx f x dx

.

У першому інтегралі застосуємо підстановку х = – t.

Очевидно, функція ( )t t на відрізку [0; а] задовольняє умови

попередньої теореми. Отже,

0

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a a a a

a a

f x dx f t dt f x dx f t dt f x dx

.

Визначений інтеграл не залежить від того, якою буквою позначено

змінну інтегрування, тому в першому інтегралі замість t візьмемо х.

Матимемо:

0

( ) ( ( ) ( ))

a a

a

f x dx f x f x dx

.

Припустимо, що функція ( )f x на відрізку [– а; а] є парною, тобто

( ) ( )f x f x . Тоді з попередньої рівності дістаємо:

0

( ) 2 ( )

a a

a

f x dx f x dx

. (4.24)

Якщо ( )f x на відрізку [– а; а] є непарною, ( ) ( )f x f x , то:

( ) 0

a

a

f x dx

. (4.25)

Приклад.

Обчислити :

88

2

2

0

sin cosx xdx

;

Розв’язання.

Застосовуємо підстановку t = соs х, де 02

x

.

Знайдемо межі для змінної t (табл. 1).

Тоді:

sindt xdx ,

002 32 2

0 1 1

1sin cos

3 3

tx xdx t dt

.

4 25 252 3

90 9

1 1 989

2 3 3x x dx tdt t .

При обчисленні визначених інтегралів часто користуються формулою

інтегрування частинами:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b bb

aa a

u x dv x u x v x v x du x . (4.26)

Виведемо цю формулу. Нехай функції ( )u x і ( )v x мають на відрізку

[а; b] неперервні похідні / ( )u x і / ( )v x .

Знайдемо похідну добутку:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )d dv x du x

u x v x u x v xdx dx dx

.

Тоді функція ( )u x ( )v x є первісною для функції:

( ) ( )

( ) ( )dv x du x

u x v xdx dx

.

Згідно з формулою Ньютона — Лейбніца:

89

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

bb

aa

dv x du xu x v x dx u x v x

dx dx

.

До інтеграла у лівій частині цієї рівності застосовуємо властивість 4°

визначеного інтеграла:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

b bb

aa a

dv x du xu x dx v x dx u x v x

dx dx ,

або ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b bb

aa a

u x dv x dx v x du x u x v x .

Звідси й дістаємо формулу (4.22).

90

РОЗДІЛ 5. Функції багатьох змінних

5.1.1 Означення частинних похідних

Нехай у деякій області простору задано функцію n незалежних змінних:

u=ƒ(x1 ,x2 , …,xn)

Візьмемо довільну точку в області визначення функції багатьох змінних

Р(x1 ,x2 , …,xn). Зафіксуємо xi і надамо аргументу xi довільного приросту Δxi,

залишаючи значення інших (n-1) змінних сталими.

Дістанемо нову точку Р1 (x1 ,x2 , …, xi+Δxi , …,xn). Приріст Δxi спричинить

відповідний приріст функції, який називається частинним:

Δui= Δxi u=ƒ(x1 ,x2 , …, xi+Δxi , …,xn) - ƒ(x1 ,x2 , …, xi, …, xn).

Поділимо частинний приріст Δui на приріст Δxi. Відношення виражає

середню швидкість зміни функції u=ƒ(x1 ,x2 , …,xn) за змінною xi на ділянці

від точки Р(x1 ,x2 , …, xi, …, xn).до точки Р1 (x1 ,x2 , …, xi+Δxi , …,xn).

Перейдемо до границі у відношенні , довільно спрямовуючи Δxi до нуля.

Частинною похідною першого порядку по xi в точці Р(x1 ,x2 , …, xi, …, xn)

називається границя відношення частинного приросту функції Δui до

приросту аргументу Δxi при Δxi →0, якщо ця границя існує і скінченна.

Записують це так:

Xi

u

Xi

XnXifXnXiXiXif

xixi

),...,(),...,,...,(

Xi

Uilimlim

00

Для частинних похідних прийнято позначення:

Xi

PfXnXif

Xi

XnXifU

Xi

UXiXi

)(),,...,(',

),...,(', , .

Частинна похідна Xi

U

характеризує швидкість зміни функції u=ƒ(x1 ,x2 ,

…,xn) в точці P(x1 ,x2 , …,xn) в напрямі осі O .

Для функції двох змінних z=ƒ(x, y) можна побудувати дві частинні

похідні першого порядку:

xx

yxfyxxf

x

z xz

xx

limlim

00

),(),(,

91

yx

yxfyxyxf

y

z yz

xx

limlim

00

),(),,(.

5.1.2 Обчислення частинних похідних від функції u= ƒ(x1 ,x2,...хn )

Оскільки частинна похідна від функції u=ƒ(x1 ,x2 , …,xn) є, за означенням,

похідною за однією змінною при сталих значеннях інших змінних, то правила

відшукання звичайних похідних цілком переносяться на частинні похідні.

Щоб знайти 1X

U

треба у думці зафіксувати всі інші n-1 змінні і

диференціювати функцію u=ƒ( x10, x20

,…, ),...,,,00)1(0)1( xxxx niii

за як

функцію однієї змінної .

Наприклад: функція u=5xy має дві незалежні змінні. Запишемо дві залежні

похідні: yx

xy

x

xyyxx

xx

u

xx

u

x

x5

55),(5

limlimlim000

xy

yx

y

xyyyx

yy

u

yy

u

y

y5

55)(5limlimlim

000

5.1.3 Геометричне тлумачення частинних похідних функції z=ƒ(x

,y).

Нагадаємо, що похідна функції однієї змінної в точці М0(x0 ,y0)

дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною в точці М0(x0 ,y0) і

променем, який збігається з додатним напрямом осі Ох ( рис. 5.1).

рис. 5.1

Із означення частинної похідної випливає, що при відшуканні частинної

похідної функції багатьох змінних останню розглядають, як функцію

однієї змінної при фіксованих інших змінних. Тому геометричне

тлумачення частинних похідних функції багатьох змінних аналогічне

тлумаченню функції однієї змінної. Функція z=ƒ(x ,y) геометрично

являє собою деяку поверхню ( рис. 5.2).

Розглянемо в області визначення функції z= ƒ(x ,y) фіксовану точку

92

Р0(x0 ,y0). Цій точці на поверхні z=ƒ(x ,y) відповідає точка М0(x0 ,y0 ,z0).

Щоб знайти ƒ’x (x0 ,y0) , треба продиференціювати функцію z=ƒ(x ,y0). Щоб

побудувати криву z=ƒ(x ,y0), проведемо через точку Р0 площину y= y0 ,

перпендикулярну до площини xOy. Дістанемо площину M0P0N0. У перерізі

поверхні z=ƒ(x ,y)цією площиною лежить крива z=ƒ(x ,y0), яка проходить

рис. 5.2

через точку M0. Проведемо дотичну M0N0 до кривої в точці M0,

позначивши через кут утворений дотичною з додатнім напрямом лінії,

паралельної осі Ох. Тоді ƒ’x (x0 ,y0)=tg . Аналогічно ƒ’x (x0 ,y0)=tg ,де

- кут ,утворений додатнім напрямом лінії, паралельної осі Oy,і дотичною,

проведеною через точку M0 до кривої, утвореної перерізом поверхні z=ƒ(x

,y) площиною x =x0 .(рис. 5.3).

Рис. 5.3

5.2 Частинні похідні вищих порядків. Теорема Шварца.

Частинні похідні вищих порядків знаходять аналогічно звичайним

похідним вищим порядків. Припустимо, що функція

)(),...,,(21

Xffu xxx n має всі перші частинні похідні за своїми змінними.

93

При цьому результатом диференціювання є функції ),...,,(21 xxx ni

,

),...,,(),...,,(2121

'

xxxxxxxf ninixi

u

(5.1)

Нехай функції мають, у свою чергу, перші частинні

похідні за тими самими змінними, тобто

.,...2,1,),,...,,(21

nkixxxx

nik

k

i

Використовуючи формулу (5.1), дістанемо

).()(

2

Xuu

ik

ikik xxxx

(5.2)

Частинні похідні

xxx ikk

iu

2

називаються другими частинними похідними, або частинними

похідними другого порядку. Для других частинних похідних від функції

прийнято також ще й такі позначення:

.;;; """" ffuu xixkxixkxkxixixk

Похідні "u xixk, , = 1, 2,…, n, ki називаються мішаними, їх дістають

диференціюванням функції ),...,,((21 xxx n

fu ,спочатку по , а потім по

.

Функція ),...,,(21 xxx n

fu може мати похідних другого порядку. Так,

функція ),,( zyxfu має дев‘ять других похідних. Якщо функції (5.2)

мають похідні, то дістанемо похідні третього порядку

.)( '"22

xkxix

ikik

ik Uuu

xxxxxx

При цьому мішаними будуть всі похідні, для яких , не рівні між

собою одночасно. Так, для функції трьох змінних можна дістати 27

похідних третього порядку, серед яких мішаними будуть, наприклад,

94

;;;;'""'"'"'

uuuu xxzxyzxzzxyy

Виявляється, що за певних умов, які накладаються на функцію

),...,,(21 xxx n

fu , мішані одного порядку рівні між собою.

Сформулюємо без доведення таку теорему.

Теорема Шварца. Якщо функція ),...,,(21 xxx n

fu визначена разом із

своїми частинними похідними

nkf

nif

xxx kii

,...,2,1,;,...,2,1,

2

В деякому околі точки ),...,,(020100 xxxP n

, причому

,,...,2,1,,

2

nkif

xx ki

, ki ,

Неперервні в точці , то значення мішаних похідних другого порядку за

різними змінними не залежить від порядку диференціювання:

,,...,2,1,,

22

nkiff

xxxx kiki

,

Теорема справджується і для мішаних похідних й більш високого порядку.

Наприклад, для функції

573323

xyxyyxZ

маємо

;792;73323322

xxyyxyyyxy

z

x

z

;796;622

22

2

2

yyx

xyzxy

xz

.;7 182963

2

222

2

xyxyzyyx

yx

z

тобто

95

yx

zyx

z

22

Наприклад, нехай дано функцію

yx

yxxyyxf 22

22

),(

За умови, що 00)0,0(22yxif . Знаходимо

222

22

22

22

)(

4

yx

yx

yx

yxy

x

f

Припустимо, що . Тоді при будь-якому значенні , в тому числі

, дістанемо

yx

yf

),0(.

Потім знаходимо 1),0(

xx

yf і , зокрема, 1

)0,0(2

xx

f . Обчисливши

аналогічно

xx

xf

)0,(2

в точці (0, 0), дістанемо , 1)0,0(2

xx

f . Отже, для заданої

функції

xx

f

xx

f

)0,0()0,0( 22

.

Тут перші частинні похідні y

fi

x

f

в точці (0, 0) зазнають розриву.

5.3 Частинний і повний диференціал функції багатьох змінних.

Диференційовані функції.

Розглянемо функцію ),...,,(21 xxx n

fu , визначену в деякій області D.

Нехай вона має частинні похідні за всіма змінними в кожній точці області

D, тобто

96

nixu

xux

ii

i

xi

,...,2,1,lim0

(5.3)

Використовуючи теорему про залежність між функцією, яка має границю,

її границею і нескінченно малою функцією, дістаємо

nixu

xux

ixi

i

ii

i ,...,2,1,0lim0

,

(5.4)

Де iє нескінченно малими функціями.

З рівностей (5.3) -(5.4) знаходимо частинні прирости

xxu

ux ii

i

i

(5.5)

Якщо порівняти вираз з означенням диференційованої функції однієї

змінної )(tfu , для якої

ttdtdu

u (5.6.)

Де - нескінченно мала функція, то рівність (5.5) можна прийняти за

означення диференційованості функції ),...,,(21 xxx n

fu за кожною із

змінних.

Функція ),...,,(21 xxx n

fu називається диференційовною в точці

),...,,(21 xxx n

fu за змінною , якщо її частинний приріст має

вигляд

xxdxdu

ux iii

i

i ,

є

.,...,2,1,0lim0

niixi

Аналізуючи рівність (5.5) і порівнюючи її з (5.6), бачимо, що частинний

приріст uxi складається з двох частин. Перша частина, яка дорівнює

xdxdu

i

i

, є лінійною відносно приросту незалежної змінної , вона є

97

нескінченно мала того самого порядку мализни, що і . Оскільки

0lim0

xxi

ii

xi

то друга частина xii є нескінченно мала більш високого порядку

мализни ніж xi . Тому лінійна відносно xi частина приросту uxi

дістала назву головної.

Головна (лінійна відносно xi ) частина xdxdu

i

i

приросту uxi

функції ),...,,(21 xxx n

fu при фіксованих xxx n,...,,

21 називається

частинним диференціалом функції і позначається

nixdxduudx i

i

i

i ,...,2,1,

Покладаючи dxx ii , знаходимо

dxdx

duudx i

i

i

Тобто частинний диференціал функції n змінних дорівнює частинній

похідній функції, помноженій на диференціал відповідної незалежної

змінної.

Розглянемо тепер функцію ),...,,(21 xxx n

fu , яка має неперервні частинні

похідні за всіма змінними в точці ),...,,(21 xxxP n

. Тоді, міркуючи

алогічно, дістанемо

,......22112

2

1

1

xxxxx

ux

x

ux

x

uu nnn

n

де

.,...,2,1,0lim0

niixi

або

n

iii

n

ii

i

xxx

uu

11 (5.10)

98

Перша сума є лінійною відносно приросту , а друга – нелінійною.

Таким чином, ми довели таку теорему.

Теорема. Якщо функція ),...,,(21 xxx n

f має неперервні частинні похідні в

деякій точці ),...,,(21 xxxP n

, то її повний приріст зображується у вигляді

(5.10), причому x

u

i

не залежить від xi .

Позначивши Ax

ui

i

, повний приріст функції ),...,,(

21 xxx nfu можна

зобразити у вигляді

n

iii

n

iii xxAu

11 (5.11)

Якщо приріст функції в точці ),...,,(21 xxxP n

можна зобразити у

вигляді (5.11), де не залежить від , то функція називається

диференційованою в точці. Якщо )(Xfu диференційована в кожній

точці області свого визначення, то вона називається диференційованою в

області.

Зміст означення диференційованої функції багатьох змінних зводиться,

таким чином, до зображення її повного приросту у вигляді двох частин,

одна з яких лінійна відносно приросту незалежних змінних, а друга —

нескінченно мала більш високого порядку мализни, ніж перша. Якщо

останнє твердження прийняти за означення диференційованої функції

багатьох змінних, то справджується така теорема.

Теорема. Для того щоб функція ),...,,(21 xxx n

fu , була диферен-

ційованою в точці, необхідно, щоб вона мала в цій точці частинні похідні,

і достатньо, щоб ці частинні похідні були неперервні в точці.

Введемо поняття повного диференціала функції багатьох змінних. Сума

частинних диференціалів функції багатьох змінних називається повним

диференціалом. Для функції ),( yxfz маємо

yy

zx

x

zdzzdzddz yx

,

99

Оскільки і - незалежні змінні, а для них yyxx , , то

yy

zx

x

zdz

.

Аналогічно повний диференціал функції ),...,,(21 xxx n

fu , запишемо у

вигляді

n

ii

i

n

n

xx

ux

x

ux

x

ux

x

udu

12

2

1

1

... .

Тоді формула (5.11) набирає вигляду

n

iii xuu

1

Таким чином, доведено таку теорему.

Теорема. Якщо функція багатьох змінних диференційована в деякій

точці, то її повний приріст дорівнює сумі повного диференціала і

нескінченно малих більш високого порядку мализни.

5.4 Диференціювання складної функції багатьох змінних.

Розглянемо функцію ),...,,(21 xxx n

fu , задану в деякій області.

Часто трапляється, що змінні ),...,,(21 xxx n

є,в свою чергу, функціями від

змінної :

.,...,2,1),( nitx ii

Тоді ставиться задача: за яких умов складну функцію -змінних можна

диференціювати по незалежній змінній ? Похідна функції

),...,,(21 xxx n

fu по називається повною похідною.

Відповідь на питання про існування повної похідної функції

),...,,(21 xxx n

fu за дає така теорема.

Теорема. Якщо функція ),...,,(21 xxx n

fu має неперервні частинні

похідні по ),...,,(21 xxx n

у фіксованій точці ),...,,(21 xxx n

P , а функції

100

.,...,2,1),( nitx ii мають похідні txi

в точці , то функція

)(Pfu має повну похідну

n

i i

i

n

n

tx

xu

tx

xu

tx

xu

tx

xu

t

u12

2

1

1... (5.12)

Приклад. Знайти tu

функції ,siny

xu якщо tytx 21,31 .

Розв‘язання. За формулою (5.12) знаходимо

.11

31cos

1

)31(

1

31cos

1

31

1

31sin3

,1

,3

,1

31cos

1

)31(cos

,1

31cos

1

31

1

31sincossin

222

2

222

2

22

2

2

2

222

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

u

t

t

t

y

t

x

t

t

t

t

y

x

y

x

y

u

t

t

t

t

t

t

y

x

y

x

y

x

x

u

Нехай , а , тоді . Використовуючи

формулу (5.12), знаходимо

x

y

y

f

x

f

x

u

(5.13)

Формула (5.13) виконується і для того випадку, коли внутрішня функція є

функція кількох змінних, тобто

).,...,,(),(,),...,,( 2121 xxxyyfuxxxfu nn

При цьому замість будуть , замість будуть ,

101

замість буде .

Формула (5.13) набере вигляду

.,...,2,1, nix

y

y

u

x

u

iii

Розглянемо тепер більш загальний випадок, коли функції

кожна із змінних залежить, у свою чергу, від двох

інших змінних: Використовуючи формулу (5.12) і вважаючи

функції і диференційованими, запишемо

n

i

i

i

n

n

n

i

i

i

n

n

dx

dx

fdx

dx

fdx

dx

fdx

dx

fu

dx

dx

fdx

dx

fdx

dx

fdx

dx

fu

1

2

2

1

1

1

2

2

1

1

....

,...

5.5 Диференціали вищих порядків функцій однієї і багатьох

змінних

Нехай дано функцію однієї незалежної змінної y = f(x).

Диференціалом другого порядку або другим диференціалом функції y

= f(x) у деякій фіксованій точці називається диференціал першого

диференціала в цій точці, який позначається d2y = d(dy), за умови, що х є

незалежною змінною.

Диференціалом третього порядку або третім диференціалом

називається диференціал другого диференціала

d3y = d(d

2y)

за умови, що х є незалежною змінною.

Взагалі диференціалом n-го порядку або n-м диференціалом

функції y = f(x) називається диференціал її (n-1)-го диференціала

dny = d(d

n-1y)

за умови, що х є незалежною функцією.

При обчисленні диференціалів вищих порядків треба брати до уваги,

що dx, є довільне незалежне від x число, яке при диференціюванні по х слід

розглядати як сталий множник. Так,

d2y = d(dy) = d(y`dx) = (y``dx)dx,

d2y = y``dx

2

d3y = d(y``dx

2) = y```dx

3

Взагалі

102

dny = y

(n)dx

n

Приклад. Знайти диференціал другого порядку функції y = sin2 x.

Розв‘язання. Маємо

dy = 2 sin x cos xdx = sin 2xdx,

d2y = d (sin 2 xdx) = 2 cos 2xdx

2.

Диференціал другого порядку визначимо як диференціал диференціала

першого порядку:

),()(2

yxddydy

dudx

dx

duddudud

Тоді dydy

ddx

dx

dyxd

),(

але

dyy

udx

xy

u

ydx

yx

udx

x

u

x

2

222

2

2

; (5.14)

таким чином

)()(2

2

2222

2

22 dy

y

u

xy

udxdy

yx

udx

x

uud

(5.15)

У рівностях (5.23) і (5.24) була використана умова (5.22). Припускаючи,

що функція u = f(x, y) задовольняє умови теореми Шварца, знаходимо

)(2)(2

2

222

2

22 dy

y

udxdy

yx

udx

x

uud

Символічно це записується у вигляді

udyy

dxx

ud

2

2

Можна показати, що й для диференціала n-го порядку справедлива

формула

udyy

dxx

ud

n

n

Аналогічно будуються диференціали вищих порядків для функції

більшого числа змінних. Запишемо, наприклад, d2u для функції n

незалежних змінних u = f (x1, x2, …, xn). Маємо

n

jj

j

n

j j

dxx

ud

x

uddudud

11

)()(2

103

Остання рівність записана на тій підставі, що dxj, j = 1, 2, …, n, є

незалежний диференціал. Тоді

n

ij

jij

xxx

u

x

ud

1

2

n

j

n

iji

ji

xxxx

ud1 1

22 (5.16)

Якщо функція u = f(x1, x2, …, xn) задовольняє умови теореми Шварца,

то порядок підсумовування у формулі (5.25) можна міняти місцями.

104

РОЗДІЛ 6. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

6.1 Основні означення

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається

рівняння, що залежить від незалежної змінної x , шуканої функції y і її

похідних. Символічно це записують так

0),...,',,( )( nyyyxF (6.1)

Означення. Порядок найвищої похідної невідомої функції, що

входить у диференціальне рівняння, називається порядком цього рівняння.

Приклад.

02 2'" xyyy - диференціальне рівняння другого порядку.

Означення. Розв‘язком диференціального рівняння називається

функція ),(xy яка при підстановці в рівняння перетворює його в

тотожність.

Найпростішим диференціальним рівнянням є рівняння виду

).(' xfy

(6.2)

Щоб його розв`язати, досить взяти невизначений інтеграл

,)()( CxFdxxfy (6.3)

де C - довільна стала.

Процес знаходження розв`язку диференціального рівняння

називається інтегруванням диференціального рівняння. У загальному

випадку для знаходження розв`язку диференціального рівняння n-го

порядку буде потрібно n послідовних інтегрувань, а, виходить, розв`язок

загального виду буде містити n незалежних довільних сталих.

Означення. Загальним розв‘язком диференціального рівняння n-го

порядку називається функція ),,...,,,( 21 nCCCxy яка залежить від

незалежної змінної x і n незалежних довільних сталих ,,...,, 21 nCCC що

перетворює разом зі своїми похідними )(''' ,...,, nyyy рівняння (1) у

тотожність.

105

Означення. Частинним розв‘язком диференціального рівняння (6.1)

називається розв`язок, який можна отримати із загального розв`язку, якщо

сталим nCCC ,...,, 21 надати певні числові значення.

Означення. Загальним інтегралом диференціального рівняння (6.1)

називається функція ,0),...,,,,( 21 nCCCyx яка визначає загальний розв`язок

в неявному вигляді.

Означення. Частинним інтегралом диференціального рівняння (6.1)

називається інтеграл, отриманий із загального інтеграла, якщо надати

сталим nCCC ,...,, 21 певного числового значення.

Загальний розв`язок або загальний інтеграл диференціального

рівняння (6.1) з геометричної точки зору являє собою сімейство кривих на

площині, що залежить від параметрів );,...,, 21 nCCC назвемо їх інтегральними

кривими диференціального рівняння. Інтегральна крива диференціального

рівняння, таким чином, це графік його розв`язку (інтегралу).

6.2 Диференціальні рівняння першого порядку

Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

0),,( ' yyxF (6.4)

Якщо його можна виразити відносно ,'y воно запишеться у вигляді

),(' yxfy (6.5)

Однією з основних задач теорії диференціальних рівнянь є

Задача Коші

00

'

)(

),(

yxy

yxfy

полягає у відшуканні розв`язку (інтегралу) диференціального рівняння,

який задовольняє так званим початковим умовам (початковим даним).

Задача Коші звичайно виникає при аналізі процесів, обумовлених

диференціальним законом і початковим станом, математичним

вираженням яких і є рівняння і початкова умова (звідки термінологія і

вибір позначень: початкові дані задаються при ,0t а розв`язок

знаходиться при ).0t

Означення. Загальним розв‘язком диференціального рівняння

першого порядку називається функція ),,( Cxy

яка залежить від довільної сталої С, що задовольняє дане диференціальне

рівняння при кожному С, і для будь-якої пари значень 0,0 yx значення

0CC визначається однозначно.

Розв`язати диференціальне рівняння (6.4) або (6.5) - означає знайти

його загальний розв`язок. Розв`язати задачу Коші - означає знайти

106

частинний розв`язок диференціального рівняння, що задовольняє заданим

початковим умовам. Має місце:

Теорема Коші (про існування і єдність розв`язку). Якщо в рівнянні

),(' yxfy

функція ),( yxf і її частинна похідна по змінній y неперервні в деякій

області S площини ,0yx яка містить точку ),,( 00 yx то існує єдиний

розв`язок цього рівняння ),(xy який задовольняє умову .)( 00 yxy

Геометрично це означає, що через кожну точку області S проходить лише

одна інтегральна крива.

Розглянемо далі геометричний зміст диференціального рівняння

першого порядку. Нехай задано диференціальне рівняння (6.5)

),(' yxfy

в області D площини .xOy Це рівняння задає в кожній точці області

значення кутового коефіцієнта дотичної до графіка через цю точку

розв`язок рівняння (6.5). Якщо в кожній точці області напрямок дотичній,

обумовлене рівнянням (6.5), представити за допомогою відрізка, то

одержимо поле напрямків. Вирішити диференціальне рівняння (6.5) –

значить знайти криву ),(xy яка в кожній своїй точці має задане

рівнянням (6.5) напрямок дотичної. Загальне розв`язок рівняння (6.5) – це

множина інтегральних ліній ).,( Cxy

Зауваження. Якщо в деяких точках ),( yxf дорівнює нескінченності,

має сенс рівняння

.),(

1

yxfdy

dx

Іноді, якщо ,),(

),(),(

yxQ

yxPyxf диференціальне рівняння (6.5) можна

записати у формі, симетричній відносно x і y

dyyxQdxyxP ),(),( або .0),(),( dyyxQdxyxP

6.3 Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними

Диференціальне рівняння

.)()( 21 dyyfdxxf (6.6)

називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.

Якщо )(xy його розв`язок, то маємо тотожність

.)()()( '

21 dxxxfdxxf

107

Інтегруємо його

.)()()( '

21 Cdxxxfdxxf (6.7)

У правому інтегралі виконаємо заміну змінної, покладемо ),(xy тоді

рівність (6.7) набуде вигляду .)()( 21 Cdyyfdxxf Таким чином, щоб

розв`язати рівняння (6.6), досить проінтегрувати обидві частини цієї

рівності

Cdyyfdxxf )()( 21 або .)()( 21 CyFxF

Означення. Диференціальним рівнянням з відокремлюваними

змінними називається рівняння виду

.)()()()( 4321 dyyfxfdxyfxf (6.8)

Вимагаючи, що в розглянутій області 0)(2 yf і ,0)(3 xf розділимо обидві

частини рівності (5) на ).()( 32 xfyf Одержимо рівняння з розділяючими

змінними

.)(

)(

)(

)(

2

4

3

1 dyyf

yfdx

xf

xf

Його залишається лише проінтегрувати.

Приклад . Знайти загальний розв`язок диференціального рівняння

.2' yxy

Дивлячись на те, що ,'

dx

dyy запишемо його у вигляді .22 dxdy xy

Беремо інтеграли ,22 dxdy xy

або .2ln

2

2ln

2C

xy

6.4 Диференціальні рівняння з однорідними функціями

Означення. Функція ),( yxf називається однорідною функцією к-го

порядку, якщо ).,(),( yxfttytxf k Наприклад, 3223 9574),( yxyyxxyxf

є однорідною функцією третього порядку, тут сумарний ступінь змінних x

і y в кожному доданку дорівнює трьом; функція 5ln),(

y

x

x

y

yx

yxyxf -

однорідна нульового порядку.

Означення. Диференціальне рівняння

108

dyyxfdxyxf ),(),( 21 (6.9)

називається диференціальним рівнянням з однорідними функціями, якщо

),(1 yxf і ),(2 yxf - однорідні функції того самого порядку або, якщо

диференціальне рівняння (6) можна розв‘язати відносно 'y , тобто

),,(' yxfy

(6.10)

то ),( yxf - однорідна функція нульового порядку.

З співвідношення (6) маємо

),(),(

),(

2

1 yxfyxf

yxf

dx

dy (6.11)

Функції ),(1 yxf і ),(2 yxf однорідні того самого порядку. Для визначеності

будемо вважати, що порядок їх однорідності дорівнює .k З означення

однорідної функції маємо

),(),(

),(

),(

),(

),(

),(),( 0

2

10

2

1

2

1 yxftyxf

yxft

yxft

yxft

tytxf

tytxftytxf

k

k

.

Поділивши чисельник і знаменник у рівності (8) на ,kx отримаємо

).,1(),(x

yfyxf

За допомогою підстановки y

tx

зведемо диференціальне рівняння (7) до

рівняння з відокремлювальними змінними. .dx

dtxt

dx

dytxy

x

yt

Підставляємо це в рівняння (6.10)

.)(

)(x

dx

ttf

dttf

dx

dtxt

6.5 Лінійні рівняння

Означення. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку

називається рівняння виду

).()(' xqyxpy (6.12)

Зробимо підстановку: ),()( xvxuy де )(xu і )(xv поки що довільні функції.

dx

dvuv

dx

du

dx

dy . Підставляємо в рівняння: ).()( xquvxp

dx

dvuv

dx

du

Покладаючи ( ) 0,dv

u p x uvdx

0u . Зауваження. Якщо поставити ,0u

отримаємо 0y й .0' y Лінійне рівняння втратить зміст. Маємо

)(

0)(

xqvdx

du

vxpdx

dv

109

Розв`яжемо перше рівняння системи: .)(ln)( dxxpvdxxpv

dv

.)()(

dxxp

exv Отримане значення )(xv підставляємо в друге рівняння

системи, і знаходимо .)()()(

Cdxexqxudxxp

Шуканий розв`язок

.))(()()(

dxxpdxxp

eCdxexqy

Зауваження. При розв`язанні конкретних лінійних диференціальних

рівнянь першого порядку варто користуватися не остаточною формулою

для знаходження шуканої функції, а запропонованою схемою його

рішення.

Приклад. Знайти загальний розв`язок диференціального рівняння 3' 22 xxyy

- лінійне диференціальне рівняння першого порядку.

Робимо заміну: ,vuy .'

dx

dvuv

dx

duy Підставляємо в рівняння:

.22 3xxuvdx

dvuv

dx

du Покладемо

32

02

xdx

du

xvdx

dv

Розв`яжемо перше рівняння системи: .;ln;222 xevxvxdx

v

dv

Підставляємо в друге рівняння системи: ;2;222 33 dxexduxe

dx

du xx

22

3 t

за частинами:

2 u t; dv e2

;

x t

t

t xu x e dx te dt dt

dt xdxdu dt v e

.222 CeexCetedtete xxtttt

Шуканий розв`язок: .1)(2222 22 xxxx CexeCeexvuy

6.6 Рівняння Бернуллі

Означення. Диференціальним рівнянням Бернуллі називається

рівняння виду

.)()(' nyxqyxpy (6.13)

Покажемо спосіб, за допомогою якого рівняння Бернуллі приводиться до

110

лінійного рівняння. Розділимо обидві частини рівності (10) на .ny

Отримаємо ).()( 1' xqyxpyy nn Зробимо заміну змінної, покладаючи

.)1(, '1 nn ynzyz Підставляємо в рівняння

).()1()()1(' xqnzxpnz

Якщо ще позначити ),()1()( xpnxP ),()1()( xqnxQ отримаємо лінійне

рівняння щодо невідомої функції )(xzz

)()(' xQzxPz .

Отримавши розв`язок цього рівняння, легко отримаємо розв`язок рівняння

(10) з рівності .1 n zy

Приклад. Знайти загальний розв`язок рівняння Бернуллі 2' cos yxtgxyy .

Розділимо обидві частини цієї рівності на 2y : .cos1'2 xy

tgxyy Робимо

заміну: ;1

yz ' '

2

1.z y

y Підставляємо в рівняння xytgxy

ycos

1 '

2 або

xztgxz cos'

- лінійне диференціальне рівняння першого порядку.

;vuz ;'

dx

dvuv

dx

duz xvutgx

dx

dvuv

dx

ducos

xvdx

du

vtgxdx

dv

cos

0 xvxvtgx

v

dvcos;coslnln;

;;;coscos Cxudxduxxdx

du .cos)( xCxvuz

Шуканий розв`язок .cos)(

11

xCxzy

6.7 Рівняння в повних диференціалах

Означення. Диференціальне рівняння

0),(),( dyyxQdxyxP (6.14)

називається рівнянням у повних диференціалах, якщо його ліва частина є

повним диференціалом деякої функції :),( yxz

.),(),( dyyxQdxyxPdz

З теорії функцій двох змінних відомо, що повний диференціал деякої

функції ),( yxzz має вигляд

.dyy

zdx

x

zdz

111

З теореми про рівність мішаних похідних слідує, що якщо частинні похідні

функції ),( yxzz неперервні до другого порядку включно, то .22

xy

z

yx

z

Тому, щоб диференціальне рівняння (11) було рівнянням у повних

диференціалах повинна виконуватися рівність

,),(),(

x

yxQ

y

yxP

на що вперше вказав Л.Єйлер. Маємо

,),(),( dzdyy

zdx

x

zdyyxQdxyxP

або );,( yxPx

z

),,( yxQ

y

z

звідки

).(),(),( yCdxyxPyxz (6.15)

Тут враховано, що при обчисленні частинної похідної по змінної x ,

вирази, що містять лише змінну y , розглядувалися як постійні.

).,()()),(( ' yxQyCdxyxP

ydy

z

З останньої рівності визначаємо ).(' yC Значення CdyyCyC )()( '

підставляємо в рівність (12).

Зауваження. Так як диференціальне рівняння (11) має вигляд ,0dz

його розв`язок запишеться у вигляді .),( Cyxz

Приклад. Знайти загальний розв`язок диференціального рівняння

.0)2()2( 2323 dyyxydxxyx

;2)2(),( '23 xyxyx

y

yxPy

;2)2(

),( '23 xyyxyx

yxQx

- рівняння в повних

диференціалах. Знаходимо

).(22

)(24

2)2(),(224

224

23 yCyxx

yCyxx

dxxyxyxz (6.16)

.2

)(2)(2)())(22

(4

3'23'2224

Cy

yCyyCyxyyCyxyCyxx

y

Шуканий розв`язок Cyyxx

yxz 222

),(4224

або .4224 Cyyxx

6.8 Інтегруючий множник

Нехай диференціальне рівняння

0),(),( dyyxQdxyxP (6.17)

не є рівнянням у повних диференціалах, а множення його на функцію

),( yx перетворює ліву частину цієї рівності в повний диференціал. У

цьому випадку функцію ),( yx називають інтегруючим множником.

Рівняння

112

0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx (6.18)

у повних диференціалах, тому .)()(

x

Q

y

P

Це означає, що

x

yxQyxyxQ

x

yx

y

yxPyxyxP

y

yx ),(),(),(

),(),(),(),(

),(

y

yxP

x

yxQyxQ

x

yxyxP

y

yx

),(),(),(

),(),(

),(

або

.),(),(

),(ln

),(ln

y

yxP

x

yxQyxQ

xyxP

y

(6.19)

Розв`язати останнє диференціальне рівняння або знайти з нього

множник ),( yx у загальному випадку завдання дуже складне. Простіше

підібрати інтегруючий множник, якщо він є функцією однієї незалежної

змінної. Так, якщо )(x , рівність (15) запишеться у вигляді

,

ln

y

P

x

QQ

x

звідки за умови, що Q

x

Q

y

P

неперервна функція,

,lnln CdxQ

x

Q

y

P

а .)(

dxQ

x

Q

y

P

Cex

Аналогічно знаходимо

.)(

dyP

y

P

x

Q

Cey

Зауваження. Можна вважати, що С=1, тому що нам досить знайти

один інтегруючий множник.


.0)( 2 xdydxyx (6.17)

;),( 2 yxyxP ;),( xyxQ ;1

y

P ;1

x

Q

;lnln2

11)(ln 2xxdx

xx

.1

)(2x

x

Множимо рівняння )13( ' на )(x

01

)1(2

dyx

dxx

y (6.18)

;12x

yP ;

1

xQ ;

12xy

P

2

1

xx

Q

- рівняння )14( ' в повних

диференціалах.

);()1(2

yCx

yxdx

x

yz ;

1)(

1)()( ''

xyC

xyC

x

yx

yy

z

113

.)(;0)(' CyCyC Шуканий розв`язок

.Cx

yx

6.9 Диференціальні рівняння другого порядку

Символічно диференціальне рівняння другого порядку записується

так

,0),,,( "' yyyxF (6.10)

або, якщо воно розв`язано відносно ,"y

).,,( '" yyxfy (6.21)

Теорема існування і єдиності. Якщо в рівнянні

),,( '" yyxfy

функція ),,( 'yyxf , і її частинні похідні по y і 'y неперервні в деякій

області, що містить значення

,,, '

0

'

00 yyyyxx

то існує єдиний розв`язок цього рівняння, що задовольняє початковим

умовам

,)( 00 yxy '

0 0( ) .y x y (6.22)

Означення. Загальним розв`язком диференціального рівняння

другого порядку називається функція

),,,( 21 CCxy

яка залежить від довільних сталих 1C і 2C , що задовольняє дане

диференціальне рівняння при будь-яких 21,CC , і для будь-якої пари значень

00 , yx значення 1C і 2C визначаються однозначно.

Розв`язати диференціальне рівняння (6.20) або (6.21) - означає

знайти його загальний розв`язок. Розв`язати задачу Коші - означає

виділити із загального розв`язку частинний розв`язок, що задовольняє

заданим початковим умовам.

114

6.10 Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають

пониження порядку

У деяких випадках розв`язок диференціального рівняння другого

порядку спрощується за рахунок пониження його порядку.

1. Диференціальне рівняння виду

).(" xfy

Інтегруємо по x обидві частини цієї рівності

,)( 1

' Cdxxfy

де 1C - стала інтегрування. Шуканий розв`язок

.)()( 211 CxCdxdxxfCdxCdxxfy


.2cos" xy

Розв`язок: ,2sin2

12cos 1

' Cxxdxy

.2cos4

12sin

2

12121 CxCxCxCxdxy

2. Диференціальне рівняння не містить явно шукану функцію y

).,(" 'yxfy

Введемо нову невідому ),()( ' xyxp тоді ."

dx

dpy А рівняння звелося до

рівняння першого порядку щодо шуканої функції ).,( 1Cxpp Загальний

розв`язок даного рівняння

.),( 21 CdxCxpy


.01)()1( 2'"2 yyx

Покладемо .' py Тоді ."

dx

dpy Підставляємо в рівняння і розділяємо змінні

;11 22 x

dx

p

dp

.1 a r c t g xa r c t g Ca r c t g p Звідси (у відповідністю із

формулою )1

)(

tgtg

tgtgtg

,

xC

xCp

1

1

1

або .

1 1

1'

xC

xCy

Остаточно

маємо

.1ln

1

1)

1(

1

121

1

1

1

111

1

11

1 CxCC

CC

C

x

xC

dx

CCdx

Cdx

xC

xCy

3. Диференціальне рівняння не містить явно незалежну змінну x

).,( '" yyfy

Покладемо );(' xpy тоді .)( '

2

2

pdy

dp

dx

dy

dy

dp

dx

dp

dx

yd

dx

yd Підставляємо у

115

вихідне рівняння ),,( pyfdy

dpp ),( 1Cypp або ).,( 1Cyp

dx

dy Розділяємо

змінні .),( 1

dxCyp

dy

Загальний розв`язок диференціального рівняння знайдемо із

співвідношення

.),(

2

1

CCyp

dyx

6.11 Лінійні диференціальні рівняння

Означення. Диференціальне рівняння називається лінійним, якщо

воно лінійне щодо шуканої функції і її похідних

),(... '

1

)1(

1

)( xfyayayay nn

nn

(6.23)

де ia (i=1,2,…,n)або неперервні функції, або постійні.

Означення. Диференціальне рівняння (6.23) називається

неоднорідним, якщо 0)( xf , і однорідним, якщо .0)( xf

Розв'яжемо рівняння (6.23) щодо старшої похідної

....)( '

1

)1(

1

)( yayayaxfy nn

nn

Воно задовольняє умовам теореми існування і єдиності.

Зауваження. Надалі ми іноді будемо посилатися на диференціальні

рівняння n го порядку, але основні доведення будемо проводити лише

для рівнянь не вище другого порядку.

Розглянемо далі властивості однорідних рівнянь. Обмежимося

диференціальними рівняннями другого порядку

.0)()( 2

'

1

" yxayxay (6.24)

1.Теорема. Якщо 1y і 2y - розв`язки рівняння (6.24), то і їхня сума 21 yy

також є розв`язком цього рівняння.

Доведення. Так як 1y і 2y є розв`язками рівняння (6.24), тоді при

підстановці їх у рівність (6.24) вони обертають його в тотожність

0)()( 12

'

11

"

1 yxayxay і .0)()( 22

'

21

"

2 yxayxay

Підставимо в рівняння (6.24) замість y суму 21 yy і у відповідність із

властивостями похідних перегрупуємо доданки

116

" ' " ' " '

1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2( ) ( )( ) ( )( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

0 0 0.

y y a x y y a x y y y a x y a x y y a x y a x y

2. Теорема. Якщо 0y є розв`язом рівняння (6.24), тоді і 0Cy також є

розв`язком цього рівняння, де .constC

Дійсно, .0)()( 02

'

01

"

0 yxayxay Підставляємо :0Cy

.0))()(())(())(()( 02

'

01

"

002

'

01

"

0 yxayxayCCyxaCyxaCy

Означення. Два розв`язки )(1 xy і )(2 xy рівняння (6.24) називаються

лінійно незалежними на відрізку ,,ba якщо );()(

)(

2

1 constxy

xy і лінійно

залежними, якщо .)(

)(

2

1 xy

xy

Означення. Визначником Вронського або вронскіаном для функцій

)(1 xy і )(2 xy називається визначник виду

)()(

)()('

2

'

1

21

xyxy

xyxyW

3. Теорема. Якщо функції )(1 xy і )(2 xy лінійно залежні на відрізку ,,ba то

їхній визначник Вронського на цьому відрізку тотожно дорівнює нулю.

Доведення. Зі співвідношення 2

1

y

y слідує, що .21 yy Визначник

Вронського

0'

2

'

2

22

'

2

'

1

21

yy

yy

yy

yyW

як визначник із двома пропорційними стовпцями.

4. Теорема Ліувіля. Якщо визначник Вронського для розв`язків )(1 xy і

)(2 xy рівняння (1) не дорівнює нулю при якому-небудь значенні ,,0 bax

то він не перетворюється на нуль на всьому цьому відрізку.

Доведення. Підставляючи 1y та 2y у рівняння (1), отримаємо рівності

012

'

11

"

1 yayay і .022

'

21

"

2 yayay

Множимо перше із цих рівностей на ,2y а друге на 1y і від другої

віднімаємо першу

.0)()( '

12

'

2112

"

1

"

21 yyyyayyyy (6.25)

З іншої сторони визначник Вронського

117

,'12

'

21'

2

'

1

21yyyy

yy

yyW а .)( "

12

"

21

"

12

'

1

'

2

"

21

'

2

'

1

''

12

'

21

' yyyyyyyyyyyyyyyyW

У результаті рівність (2) запишеться у вигляді

,01

' WaW

або за умови, що ,0W

.1dxaW

dW ,lnln

0

1 CdxaW

x

x

.0

1

x

x

dxa

CeW (6.26)

Покладаючи в останній рівності ,0xx отримаємо ,00

01

x

xdxa а .0)( 0 xWC

І, виходить, 0)( 0

1

0

x

x

dxa

exWW для будь-якого .,bax

Зауваження. Якщо для якогось значення bax ,1 визначник

Вронского ,0)( 1 xW то він буде дорівнювати нулю на всьому відрізку .,ba

5. Теорема. Якщо розв`язки 1y і 2y рівняння (1) лінійно незалежні на

відрізку ,,ba то визначник Вронського ),( 21 yyW не перетворюється на нуль

ні при якому .,bax

Доведення. Припустимо, що в деякій точці відрізка ba,

0),( 2

'

1

'

2121 yyyyyyW . За теоремою Лиувіля він буде дорівнювати нулю на

всьому цьому відрізку. Припускаючи, що 1y не дорівнює нулю на відрізку

,,ba розділимо визначник Вронського на .2

1y Отримаємо

02

1

'

12

'

21

y

yyyy, із чого слідує, що ,0)( '

1

2 y

y а .

1

2 consty

y

Але це означає лінійну залежність функцій 1y і 2y , що суперечить умові

теореми про їхню незалежність. Виходить, визначник Вронського не

повинен перетворюватись на нуль.

Теорема про загальний розв`язок лінійного однорідного

диференціального рівняння (ЛОДУ).Якщо 1y і 2y - лінійно незалежні

розв`язки рівняння (1), то загальний розв`язок цього рівняння запишеться у

вигляді

,2211 yCyCy (6.27)

де 1C і 2C - довільні сталі.

Те, що рівність (6.27) є розв`язком рівняння (6.24), слідує із

властивостей 1 і 2 ЛОДУ.

Покажемо, що для будь-яких початкових умов '

00

'

00 )(,)( yxyyxy

118

сталі 1C і 2C визначаються однозначно, щоб відповідний частинний

розв`язок )()( 0220110 xyCxyCy задовольняв заданим початковим умовам.

Підставимо початкові умови у функцію (6.27) і її похідну

'

00

'

220

'

11

0022011

)()(

)()(

yxyCxyC

yxyCxyC

Отримали систему двох рівнянь із двома невідомими 1C і 2C , визначник

якої відмінний від нуля, тому що є визначником Вронського

)()(

)()(

0

'

20

'

1

201

xyxy

xyxyW

для лінійно незалежних функцій 1y і .2y За правилом Крамера система має

єдиний розв`язок. Теорема доведена.

Означення. Система n лінійно незалежних розв`язків лінійного

однорідного диференціального рівняння n го порядку (ЛОДУ-n )

називається її фундаментальною системою. Загальний розв`язок ЛОДУ-n

є лінійна комбінація з довільними постійними коефіцієнтами його

розв`язків, що становлять фундаментальну систему.

Теорема. Якщо відомо один розв`язок 1y ЛОДУ-2 (1) 02

'

1

" yayay ,

то другий розв`язок можна знайти зі співвідношення

.)(

)(2

1

)(

12

1

dxxy

exyy

dxxa

Загальний розв`язок рівняння (6.24)

.2

1

12112211

1

dxy

eyCyCyCyCy

dxa


.011

2

'" yx

yx

y

Методом підбору знаходимо .1 xy .0,1 "

1

'

1 yy Підставляємо в рівняння:

.01

02

x

x

x

.2

1

322

ln

2

1

2

1

12

1

xx

dxxdx

x

xxdxx

exdx

x

exdx

y

eyy

xdx

xdxa

Шуканий розв`язок ).2

(21x

CxCy

119

6.12 Лінійні диференційні рівняння другого порядку зі сталими

коефіцієнтами

Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку має

вигляд

,0'" qypyy (6.28)

де коефіцієнти p і q - постійні дійсні числа.

Розв`язки рівняння (6.24) шукаємо у вигляді .kxey ., 2"' kxrx ekykey

Підставляючи в рівняння, отримаємо

.0)( 2 qpkkekx

Тому що ,0xe маємо

.02 qpkk (6.29)

Назвемо цей вираз характеристичним рівнянням. Воно являє собою

квадратне рівняння відносно .k Корені квадратного рівняння

.42

2

2,1 qpp

k Розглянемо три випадки:

1. Корені характеристичного рівняння дійсні і різні: 21 kk .

У цьому випадку розв`язки 21

21 ,kk

eyey лінійно незалежні, тому що

відношення .)(

2

1 21

2

1

constee

e

y

y xkk

xk

xk

І загальний розв`язок рівняння

запишеться у вигляді .21

21

xkxkeCeCy


.0149 '" yyy

Характеристичне рівняння: ,01492 kk .7,2 21 kk

Відповідь: .7

2

2

1

xx eCeCy

2. Корені характеристичного рівняння 02 qpkk дійсні і рівні: .21 kk

За теоремою Вієта .21 pkk Але .21 kk Тому 02 1 pk і .2

1

pk Один

частинний розв`язок .21

xp

ey

Другий, лінійно незалежний із цим,

отримаємо із співвідношення dxxy

exyxy

pdx

)()()(

2

1

12 .

Маємо ,222

2

22

xp

px

pxx

p

xp

pdxx

p

xedxe

eedx

e

eey

а загальний розв`язок рівняння

.211

xkxkxeCeCy


.0168 '" yyy

Характеристичне рівняння: ,01682 kk .421 kk

120

Відповідь: .4

2

4

1

xx xeCeCy

3. Корені характеристичного рівняння комплексно спряжені: ik 2,1 .

У цьому випадку можна покласти ., )(

2

)(

1

xixi eyey

Справедлива теорема. Якщо розв`язком диференціального рівняння

(6.28) є комплексна функція дійсного аргументу ),()( xivxuy , то

розв`язками рівняння (6.28) будуть його дійсна )(xu та уявна )(xv частини.

У відповідність із формулами Ейлера, записані вище розв`язки

рівняння (6.28) подамо у вигляді

)sin(cos1 xixey x і ).sin(cos2 xixey x

В силу доведеної теореми розв`язками рівняння (5) зручніше взяти їх

дійсну й уявну частини xexu x cos)( й .sin)( xexv x Вони лінійно

незалежні

.sin

cos

)(

)(constctgx

xe

xe

xv

xux

x

Загальний розв`язок набуде вигляду

).sincos( 21 xCxCey x


.0204 '" yyy

Характеристичне рівняння: ,02042 kk .4220422,1 ik

Відповідь: ).4sin4cos( 21

2 xCxCey x

6.13 Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого

порядку

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку

(ЛНДУ – 2) має вигляд

).(2

'

1

" xfyayay (6.30)

Теорема. (Структура загального розв`язку рівняння (6.30)).

Загальний розв`язок рівняння (6.30) являє собою суму загального розв`язку

однy відповідного йому однорідного рівняння

0" 2

'

1 yayay (6.31)

і деякого частинного розв`язку чy неоднорідного рівняння (8)

.чдн yyy o (6.32)

Спочатку доведемо, що функція чодн yyy взагалі є розв`язком

121

рівняння (6.30). Дійсно, те, що однy є розв`язком рівняння (9), а чy -

розв`язком рівняння (6.30), означає 0одн2

'

одн1

"

одн yayay і

).(ч2

'

ч1

"

ч xfyayay Підставляємо в рівняння (6.30) чодн yyy

).()(0

)()()'()()( ч2

'

ч1

"

чодн2

'

одн1

"

однчодн2

'

чодн1

"

чодн

xfxf

yayayyayayyyayyayy

Тепер доведемо, що рівність (6.32) є загальним розв`язком рівняння

(6.30). Нагадаємо, що 2211одн yCyCy . Потрібно довести, що для будь-яких

початкових умов

'

ч0

'

ч20'

2''

10

'

1

'

0

'

ч0ч2021010 00000000,,,,,,, yyyyyyyyyyyyyyyy xxxxxxxxxxxxxxxx

постійні 1C і 2C знаходяться однозначно. Маємо ,0ч0202101 yyyCyС

.'

0

'

ч0

'

202

'

101 yyyCyC Отримали систему

'

ч0

'

0

'

202

'

101

ч00202101

C yyyCy

yyyCyС

двох рівнянь із двома невідомими 1С і 2С , визначником якої є визначник

Вронського для лінійно незалежних функцій. Визначник системи

відмінний від нуля, а система має єдиний розв`язок.

6.14 Метод варіації довільної сталої

Нехай

2211 yCyCy

- загальний розв`язок рівняння (6.310). Розв`язок неоднорідного рівняння

(6.30) будемо шукати в такому ж самому вигляді, тільки будемо вважати

)(11 xCC і )(22 xCC деякими функціями від .x

Похідна

.)()()( 2

'

21

'

1

'

22

'

11

' yCyxCyxCyxCy

Підберемо )(1 xC і )(2 xC таким чином, щоб виконувалася рівність

.0)()( 2

'

21

'

1 yxCyxC (6.33)

Тоді

,)()( 2

'

21

'

1

' yxCyxCy а .)()()()( '

2

'

2

'

1

'

1

"

22

"

11

" yxCyxCyxCyxCy

122

Підставляємо в рівняння (6.30)

)()()()()()()()( 22112

'

22

'

111

'

2

'

2

'

1

'

1

"

22

"

11 xfyxCyxCayCyxCayxCyxCyxCyxC

або

).()()())(())(( '

2

'

2

'

1

'

122

'

21

"

2212

'

11

"

11 xfyxCyxCyayayxCyayayxC

Так як 1y і 2y - розв`язки однорідного рівняння (6.31), то

0'

22

'

11

"

1 yayay і .022

'

21

"

2 yayay

Отримали рівність

),()()( '

2

'

2

'

1

'

1 xfyxCyxC

яка разом з рівністю (6.33) утворюють систему

)()()(

0)()('

2

'

2

'

1

'

1

2

'

21

'

1

xfyxCyxC

yxCyxC

Визначником цієї системи є визначник Вронського для лінійно незалежних

функцій 1y і .2y Система має єдиний розв`язок

),()(),()( 2

'

21

'

1 xxCxxC

звідки

,)()( 111 CdxxxC ,)()( 222 CdxxxC

де ., 21 constCconstC

Будемо вважати, що ,021 CC бо нам досить знайти частинний

розв`язок рівняння (6.30). Загальний розв`язок рівняння (6.30)

.)()( 22112211 dxxydxxyyCyCy


.2 2'" xyx

y

Знайдемо загальний розв`язок відповідного однорідного рівняння

.02 '" yx

y

.;;lnln2ln;2

2

3

1

2''

'

"

CxCyCxyCxyxy

y

Частинний розв`язок неоднорідного рівняння шукаємо із системи

2'

2

2'

1

'

2

3'

1

0)()(3

01)()(

xxCxxC

xCxxC

.12

)(;3

1)(;

3

1)(;

3

1)(

4

21

3'

2

'

1

xxCxxCxxCxC

Шуканий розв`язок

.4

1

123

1 4

2

34

4

2

3

1 xCxCx

xCxCy

123

6.15 Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння

другого порядку зі сталими коефіцієнтами

Нехай задане диференціальне рівняння другого порядку зі сталими

коефіцієнтами

),('" xfqypyy (6.34)

права частина якого має спеціальний вигляд, що дозволяє знайти його

частинний розв`язок за допомогою невизначених коефіцієнтів

,)()( x

n exPxf (6.35)

де )(xPn - многочлен n - го порядку.

Візьмемо функцію ,)( xexQy де nn

nn AxAxAxAxQ

1

1

10 ...)( -

многочлен n -го порядку з невизначеними коефіцієнтами, і підставимо в

рівняння (6.30). Після очевидних перетворень отримаємо

)()()()()2()( 2'" xPxQqpxQpxQ nnnn (6.36)

Відзначимо, що, якщо )(xQn - многочлен n -го порядку, то )1()(' nxQn -го, а

)2()(" nxQn -го порядку.

1. Нехай - дійсне число, що не є коренем характеристичного

рівняння. Тоді ліва і права частини рівності (6.36) є многочлени n -го

порядку. Частинний розв`язок неоднорідного рівняння потрібно шукати у

вигляді

.)(ч

x

n exQy (6.37)

2. Нехай - дійсний однократний корінь характеристичного

рівняння. У цьому випадку в правій частині рівності (6.36) залишиться

многочлен n -го порядку, а в лівій – n-1-го, тому що .02 qp

Частинний розв`язок

.)(ч

x

n exxQy (6.38)

3. - дійсний дворазовий корінь характеристичного рівняння. У

рівності (13) не тільки ,02 qp але і у силу теореми Вієта .02 p

Частинний розв`язок

.)(2

ч

x

n exQxy (6.39)

4. Запишемо праву частину рівняння (8) так

,)()()( 21 x

n

x

n exQexPxf

(6.40)

де i 2,1 - комплексні числа, що не є коренями характеристичного

рівняння. Повторюючи міркування, проведені для однорідних рівнянь у

випадку комплексно спряжених коренів характеристичного рівняння,

отримаємо

124

.sin)(cos)(ч xexVxexUy x

n

x

n (6.41)

Можна також показати, що якщо x 2,1 є однократними коренями

характеристичного рівняння, то

.sin)(cos)(ч xexVxexUxy x

n

x

n (6.42)

Нехай тепер

.sin)(cos)()(21

xexQxexPxf x

n

x

n (6.43)

Покажемо, що рівність (6.43) можна записати у вигляді (6.40). Дійсно,

застосовуючи формули Ейлера, запишемо

.)(2

1)(

2

1)(

2

1)(

2

1

2)(

2)()(

)()(

2121

21

xi

nn

xi

nn

ixixx

n

ixixx

n

exQi

xPexQi

xP

i

eeexQ

eeexPxf

Тут у кожній із квадратних дужок багаточлен степеня ).,max( 21 nnn

Зауваження. Якщо ),()()( 21 xfxfxf то .21 ччч yyy

6.16 Системи звичайних диференціальних рівнянь

Розглянемо систему рівнянь першого порядку

),,(

),,(

2

1

yxtfdt

dy

yxtfdt

dx

де t - незалежна змінна, x і y - шукані функції.

Система, у лівій частині якої знаходяться похідні шуканих функцій

першого порядку, а праві не містять похідних, називається нормальною.

Розв`язувати систему будемо зведенням її до рівняння другого

порядку щодо однієї з невідомих функцій.

Диференціюємо по t перше рівняння системи

.211

2

2

dt

dy

y

f

dt

dx

x

f

t

f

dt

xd

Заміюючи dt

dx і

dt

dy на ),,(1 yxtf і ),,,(2 yxtf отримаємо ).,,(

2

2

yxtFdt

xd

Припускаючи, що y можна виразити через xt, і dt

dx із системи

)),,,((dt

dxxty отримаємо диференціальне рівняння другого порядку

).,,(2

2

dt

dxxtF

dt

xd

Розв`язуючи це рівняння, знаходимо ).,,( 21 CCtx Невідому функцію

y знайдемо із співвідношення ).,,(),,( 21 CCtdt

dxxty

125

Список рекомендованої літератури

1. Овчинников П.П., Яремчик Ф.П., Михайленко В.М., Вища

математика. Т.1. Київ, «Техніка», 1999.

2. Пискунов. Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1,

2. М., «Наука», 1970, 1972, 1976.

3. Мышкис А. С. Лекции по высшей математике. М., «Наука», 1966,

1969, 1973.

4. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, Главная редакция физ.-

мат. лит., 1984. - 416с.

5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, Главная редакция

физ.-мат. лит., 1971. - 432с.

6. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -

М.: "Наука", 1966, - 664с.

7. Карпелевич Ф.И., Садовский Л.Е. Элементы линейной алгебры и

линейного программирования. - М., Наука, 1965. - 275с.

8. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной

алгебры. –М.: ―Наука‖, 1976. – 315с.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.-М.:‖Наука‖, 1967.

10. Глушков О.В., Кругляк Ю.О., Чернякова Ю.Г., Лінійна алгебра,

Одесса: ТЕС.- 2004.

11. Глушков О.В., Хецеліус О.Ю., Свинаренко А.А., Лобода А.В.,

Обчислювальні методи динаміки суцільних середовищ. Одесса:

Екологія.-2007.

12. Глушков О.В., Амбросов С.В. , Вітавецька Л.А,. Лобода А.В.,

Математичне програмування, Одесса: ТЕС.-2003

2konsp 125

Documents

Transcript of 2konsp 125