2次元CFTのOTO - Osaka...
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OTO研究会@阪大豊中キャンパス, 2017年5月26日
2次元CFTのOTO
沼澤 宙朗大阪大学 素粒子論研究室
・PTEP 2016 (2016) no.11, 113B06 (arXiv1602.06542[hep-th])
参考文献)
Collaboration with P. Caputa(YITP) and A.Veliz-Osorio(Queen Mary U.)
1.Introduction2.2次元CFTのOTO相関関数
1.Introduction
・(2次元)共形場理論とは?
→量子臨界点を記述する理論
・例として、Isingスピン系を考えてみましょうi i+ 1
ハミルトニアン H =X
i
�i
z
�i+1z
+ hX
i
�i
x
h は横磁場の強さを表すパラメータ�iz =
✓1 00 �1
◆�i
x
=
✓0 11 0
◆
,
↑ ↓ ↑ ↑ … ↑ ↓ ↓
CFT = Conformal(共形) Field(場) Theory(理論)
[cf:Fradkin’s textbook]
(or )
どちらも (違う点の相関なし)
(or )|"" · · · "i
・h=0(横磁場なし)の基底状態|## · · · #i
・h=∞(横磁場のみ)の基底状態|!! · · · !i | · · · i
・h=有限
h�iz�
jzi � h�i
zi h�jzi = 0
相関長ξ: h に依る
・特殊な場合:h=1 相関長ξが無限大 = 量子臨界点
h�iz�
jzi ⇠ e�
|i�j|⇠
h�iz�
jzi ⇠ |i� j|�� (べき的な振る舞い)
ξ= ∞ ⇒ スケールなし (共形と言われる所以)
i i+ 1
・ここまでは、各サイト上にスピンが乗ったスピン系
・長波長のものだけ(程エネルギー極限、マクロ)を考える
⇒波長に対して各スピンの間隔は小さく見え, 連続的にスピンが並んでいると思える
↑ ↓ ↑ ↑ … ↑ ↓ ↓
" ""# # " ""# # " ""# # " ""# #" ""# # " ""# #
この連続極限(場の理論極限)が イジング共形場理論(Ising CFT)
例えば、分散関係は
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.5
1.0
1.5
2.0
h=1.3の分散
h=1の分散
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.5
1.0
1.5
2.0
CFT極限
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
(線形分散)
⇠
!(k)
k
⇠ = 0
拡大
2次元 CFT(共形場理論)の種類
・ホログラフィックなCFT [西田氏のトーク参照]
・有理型の(Rationalな)CFT *イジングCFTはこのクラス
*今回主に話す対象
他にもリュービル理論、オービフォールドCFTなど。CFTの完全な分類は無し
・自由場の(相互作用しない)理論
*解ける模型
・OTO 相関関数(out-of-time-ordered相関関数)
定義: C(t) = hVW (t)V †W †(t)iV,W :operator, W (t) ⌘ eiHtWe�iHt
交換子の一部として現れる:h[V,W (t)][V,W (t)]†i= hVW (t)W (t)†V †i+ hW (t)V V †W (t)†i � hVW (t)V †W (t)†i � hW (t)VW (t)†V †i
・量子力学をSemiclassicalに考えると、リャプノフ指数と関係:
�qe�Lt�q
2.OTO相関関数
[q(t), p(0)] ⇠ {q(t), p(0)}P.B
= i~ @q(t)@q(0)
= i~e�Lt = ie�L(t�t⇤)
t⇤ = ��1L log ~�1 (エーレンフェスト時間)
[Larkin-Ovchinikov,64] [Kitaev,14]
・OTO 相関関数は一般の量子系でも定義可能
・拡張するのはいいが、リャプノフ指数が存在するか否か は非自明
(=AdS中のEinstein重力を記述するCFT, large c 強結合)を有限温度に置くと、実際にカオスの振る舞いが見られる
しかし、ホログラフィックCFT
[cf:Stanford-Shenker 13]
→とくに、量子多体系でも定義できる
20 40 60 80 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
C�VW (t)
t
リャプノフ指数C�
VW ⇡ 1� e2⇡� (t�t⇤)
0に近づくt⇤ =
�
2⇡log c
hW (t)V (0)W (t)V (0)i�(⇠ 1�# · e�L(t�t⇤) (t t⇤)
! 0 (t > t⇤) �L =
2⇡
�, t⇤ = ��1
L log c
ホログラフィックCFT(chaotic) の場合
W (t), V( :プライマリー場)
[cf:Robert-Stanford 14, 西田氏のトーク]
選べる(プライマリー)演算子は identity , スピン演算子 ( に対応 ) ,
1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
h✏(t, 0)✏(0, x)✏(t, 0)✏(0, x)ih✏✏i h✏✏i
t
( )x = 2,� = 1
RationalなCFTおけるOTOC: イジングCFTの場合
C(t) = hVW (t)V †W †(t)i
�
✏
I �z
エネルギー演算子 ( に対応 ) の3つ �x
例)
0に近づかない
h�✏�✏ih��i h✏✏i = �1
h✏✏✏✏ih✏✏i h✏✏i = 1
h����ih��i h��i = 0
t → ∞ でのOTO相関関数の値:
t → ∞ でのOTOCの値は演算子の取り方に依る
他の組み合わせ
一般のRCFT(可解なCFT)の場合(プライマリー演算子)
t → ∞で
limt!1
C�ij(t) =
Sij
S00
S00
S0i
S00
S0j=
Sij
S00
1
didj
[Caputa-沼澤-Osorio,16][Gu-Qi,16]
Sij : modular S matrix
di =S0i
S00:量子次元
(量子力学のS行列 とは違うものなので注意! )Sab = ha : out|b : ini
V = Oi(t, x), W = Oj(t, x)
C
�ij(t) =
hO†i (t, 0)O†
j(0, x)Oi(t, 0)Oj(0, x)ihO†
i (t, 0)Oi(t, 0)i hO†j(0, x)Oj(0, x)i
h�✏�✏ih��i h✏✏i = �1
h✏✏✏✏ih✏✏i h✏✏i = 1
h����ih��i h��i = 0
再びイジングCFT:
1
2
0
@1 1
p2
1 1 �p2p
2 �p2 0
1
A=
イジングCFTのモジュラーS行列
S��
S00
S00
S0�
S00
S0�=
=
Sij =
0
@S00 S0✏ S0�
S✏0 S✏✏ S✏�
S�0 S�✏ S��
1
A
S✏�
S00
S00
S0✏
S00
S0�
=S✏✏
S00
S00
S0✏
S00
S0✏
⇒モジュラーS行列を用いた公式から正しい値が再現された
W
V
tx
t
x
一般のRCFT(可解なCFT)の場合
C�ij(t)
Sij
S00
S00
S0i
S00
S0j
Wの励起がV直上に来ることに よって起こる変化
・OTO相関関数の値は0にならない
・ の値はモジュラーS行列の組合せ
・値は温度によらない
t ! 1
RCFTでは
その他のCFT①RCFTでも②ホログラフィックなCFT
でもないCFTにおけるCFTにおいても、OTOCは調べられ ている
[Caputa-Kusuki-Takayanagi-Watanabe, 17]
[Belin, 17]
(T 2)⌦N/ZN 巡回群オービフォールドCFT
C⌦N/SN 対称群オービフォールドCFT
どちらもリャプノフ指数は0時間発展の形は①とも②とも違う
・2d CFTにおけるOTO相関関数の振る舞いを見た
トークのまとめ
・RCFTでは一般にOTOCは0にdecayしないことを見た⇒これはホログラフィックなCFTとは違う振る舞い
・RCFTの時刻∞の時の一般的な値を導いた⇒これはイジングCFTの時の具体的な値を再現した
・その他のCFTでは、また違った振る舞いをする⇒統一的な理解は得られていないので、さらなる研究 が必要
Appendix
Non-integrability seems to be important in BH physics...
・black hole non-formation in c=1 matrix model(integrable)[Karczmarec-Maldacena-Strominger,04]
・black hole is thermal object
:spectrum of primary state
in AdS/CFT,
⇔field with mass
⇔Black hole with temp.
⇒Eigenstate represent thermal state (ETH)⇒related to quantum chaos [Srednicki,94]
・black hole formation = thermalization in dual CFT
Furthermore , BH show initial state sensitivity:[Stanford-Shenker,13]
Proper Energy at t=0 slice is
⇒Because of Blue Shift, tiny perturbation back reacts the geoemtry
[Caputa-Simon-Stikonas -Takayanagi-Watanabe,15]
ds2 =�l2dudv +R2[1� u(v + ↵✓(u))]2d�2
[1 + u(v + ↵✓(u))]2
↵ ⌘ E
MeRtw/l2
↵
ds2 =�l2dudv +R2(1� uv)2d�2
(1 + uv)2BH metric:
tiny perturbation change the structure of entanglement
TFD : entanglement is special
⇒ make more typical entanglemet Intuitively,
Entanglement is scrambled !!
・ is related to C(t) = hVW (t)V †W †(t)i OTO (Out of-Time-Oerder) cor.
(we will see in section 3)
(we can see this using mutual information)
W (tw)
・AdS/CFT(ゲージ/重力)対応
→ラージN、強結合のCFTのみアインシュタイン重力を記述できる
超重力の極限では、CFTはラージN、強結合(ストリング長 もプランク長 も 小さい )
RAdS
ls lp
CFTn(ゲージ理論) on boundary
string theory on AdSn+1(× X9-n )
RAdS
ls⇠ �
RAdS
lp⇠ N :ゲージ群のランク
: (t‘ Hooft)結合定数
ls lp
2d CFT
・ある種の2次元CFTはAdS3中のstringを記述
・共形対称性SO(2,2)=SL(2,R)×SL(2,R)は無限次元のVirasoro対称性に拡大 [Belavin-Polyakov-Zamolodchikov, 84]
→大きい対称性を持つので扱いやすい
・しかし、現われる演算子の次元、3点関数の係数は対称性で決ま らず、これが個々の理論を特徴づける
→対称性で決まらない、ダイナミカルな部分を解くのは一般に 難しい
・一般には無限個のVirasoro代数の表現(プライマリー場)を含む
→ダイナミカルな部分まで含めて相関関数が完全に求まる(可解)
・特殊な場合は有限個の既約表現のみを含み、Rational CFT (RCFT) と呼ばれる
(1)ミニマル模型(イジング模型など)(2)WZW模型(対称性がアフィンリー代数(Virasoro以上)に拡大)
(例)
・あるRCFT(WNミニマル模型)はAdS3中の高階スピン重力(stringyな 場を含む)を記述すると信じられている
→RCFTでの解析は、量子的ないしstringyな領域でのAdS/CFT対応 の理解に役立つと考えられる
[Gabadiel-Gopakumar, 11]
・イジング模型に対しても、量子的でstringyな重力を記述するという proposalがある [Castro-Gopakumar-Hartman-Maloney-Volpato, 11]
Rational CFT
AdS/CFTと相関関数
RAdS
AdS中のscatteringCFTにおける
実時間の4点相関関数
tt
・アインシュタイン重力( , << RAdS)の時、粒子がピンポイントでscattering
→ラージN、強結合のCFTでは、対応する配置で相関関数が singularityを持つ
ls lp
[Heemskerk-Penedones-Polchinski-Sully,11]
ブラックホールの場合
Boundary R
Boundary L
CFTL × CFTR における
|TFDi =X
n
e��En
2 |Eni1 ⌦ |Eni2
hTFD|VLWRWlVR |TFDi
・ブラックホールの存在→青方偏移→エネルギーの指数的増加 E ⇠ E0e
2⇡� t
→初期値鋭敏性、カオス的振る舞い
・CFT側では、 状態における4点関数のカオス的振る舞い であると解釈される
|TFDi
・この4点相関関数を書き直すと、Out-of-time-ordered相関関数 と呼ばれるものになる
( ) VRWL
WRVL
OTO相関関数の計算方法まず、ユークリッド版のCFTから始める
hW (i✏4)W (i✏3)V (i✏2)V (i✏1)i
⌧
✏4✏3✏2✏1
WVWV
⌧
✏4✏3✏2✏1
V
V
W (t)
W (t)
hW (t+ i✏4)W (t+ i✏3)V (i✏2)V (i✏1)i
✏4 ! ✏4 � it ✏3 ! ✏3 � it, とローレンツ時間へ解析接続して時間発展を求める
✏4 > ✏2 > ✏3 > ✏1
小さいユークリッド時間 を導入して、{✏i}4i=1
演算子の順番に合わせて と取る
熱平衡状態の時はユークリッド時間を にコンパクト化S1�
W (t)
W (t)V
V
V
V
W
W
⌧
t→∞の値の導出2. OTO相関関数
hO†iO
†jOiOji = |z12|2�i |z34|2�jG(z, z̄)
G(z, z̄) =X
a
F iijj(a|z)F̄ ii
jj(a|z̄)
F iijj(a|z)
4点関数
を共形ブロック の和
に分解
z =z12z34z13z24
, zij = zi � zj
は複比
Oi(0)
O†i (0)
O†j
Oj✏4
✏3✏2
✏1
tx
時間発展 O†j
Oj✏4
✏3✏2✏1
x
Oi(t)
O†i (t)
SL(2,C )対称性 (大域的な共形対称性)を使って
z z
z
O†i (t)
Oi(0) Oj(1)O†
j(1)
・OTO相関関数はモノドロミー と関係(z, z̄) : (0, 0) ! (0, 0)
正則部分
2. OTO相関関数
(複比)
ij
0
0
t
結び目
軌跡が結び目を作る
Oi(0)
O†i (0)
O†j
Oj✏4
✏3✏2
✏1
tx
時間発展O†
j
Oj
✏4
✏3✏2
✏1
x
Oi(t)
O†i (t)
O†i (t)Oi(0)
Oj(1)O†
j(1)
z̄ z̄
z̄
反正則部分
2. OTO相関関数
ij
0
0
t
軌跡は分かれる
正則な部分の共形ブロックのモノドロミーの評価に帰着
identity ブロックのモノドロミー
M00 =Sij
S00
1
didj[Moore-Seiberg,89]
TQFT的解釈
2d CFT 3d TQFT
プライマリー場 エニオン
O†j
Oj
Oi(t)
O†i (t)
3D TQFT picture
ij
0
0
t
limt!1
Cij(t) =hLink(Wi,Wj)i
hWii hWji=
Sij
S00
1
didj
2. OTO相関関数
[Witten, 88]
結び目