정정구조해석 2. 구조해석의 기본원리

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2. 구조해석의 기본원리

2.1. 개설

■ 구조해석이란

￭ 안전하고 경제적인 구조물을 설계를 위하여 예상되는 하중(설계하중)에 대한 구

조물 전체 및 각 부재의 거동을 분석

￭ 구조물의 거동은 구조물을 구성하고 있는 부재들의 내부에 발생하는 힘(부재력

또는 단면력) 또는 응력 및 각 부재의 변형과 이에 의한 구조물 전체 변형 등

￭ 구조해석을 통하여 얻은 결과는 사용되는 구조재료의 특성을 고려하여 정해진 방

법(철근 콘크리트 설계, 강구조 설계, 목구조설계 등)에 따른 설계에 사용

2.2. 구조해석을 위한 구조 모델화

2.2.1 모델화, 이상화

￭ 부재(Member): 모든 부재는 체적을 갖는 체적부재이나 부재의 기하형태 및

dimension (길이, 폭, 높이)에 따라 구조설계자가 다루기 용이한 형태로 이상화

; 선형부재, 판부재(Plate, Wall), 쉘부재, 체적부재(구체)

￭ 부재의 접합(Connection):

- 강(fixed)접합: 모든 변형(회전, 이동)을 구속

- 힌지(Hinge, Pin)접합: 모멘트힌지, 전단힌지, 축힌지, 해당 부재력을 발생시키

는 변형에 대한 구속을 해제, 마찰무시

￭ 지점(Support): 고정 지점, 모멘트힌지 지점, 로울러 지점, 전단힌지 지점

고정 지점

수평, 수직변위

및 회전구속

자유단

구속

없음

모멘트힌지 지점

수평, 수직변위

구속

로울러 지점

수직변위구속

전단힌지 지점

수평변위,

회전 구속

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2.2.2 지점 반력의 모델화

■ 지점반력

￭ 지점 반력은 지점에서 구조물의 변위 (이동 및 회전)을 구속함으로 발생

￭ 해석하고자 하는 구조부재 또는 이들로 구성된 구조물 전체를 지지하는 부재 또

는 지반을 지점으로 이상화

예) 슬래브-보, 슬래브+보-기둥(벽체), 슬래브+보+기둥(벽체)-기초,

슬래브+보+기둥(벽체)+기초-지반

￭ 지점 반력은 지점에서 구속되는 변위(이동, 회전)로 인하여 발생하는 반작용력,

따라서 한 지점에서 구속된 변위수는 반력수와 동일

■ 보의 지점 형태에 따른 반력수

￭ 롤러: 힌지: 수직․수평이동 구속

미지반력 1+2

￭ 고정단: 수직, 수평, 회전 구속 자유단: 구속 없음

미지반력 3+0

￭ 전단힌지: 수평, 회전 구속

미지반력 2+3

￭ 경사진 로울러: 경사면 수직이동 구속

미지반력 1+2

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■ 응력과 단면력

￭ 부재 내에 작용하는 실제 힘은 부재의 체적 내에서 압축력과 인장력만으로 작용.

이 힘에 부재의 단면적을 고려하여 응력( )으로 표현: 주응력- 주인장응력,

과 압축응력

￭ 엔지니어는 이를 다루기 용이한 직교좌표계로 변환 ; 휨응력, 전단응력, 축응력,

비틀림 응력

￭ 선형부재에서 단면에 작용하는 응력을 적분함으로 더 이상 단면적을 해석과정에

서 고려하지 않도록 휨 모멘트, 전단력, 축력, 비틀림 모멘트로 변환사용

￭ 주응력도

￭ 전단응력 - 전단력

=

￭ 휨응력 - 휨모멘트

=

・

￭ 축응력 - 축력

=

￭ 비틀림응력 - 비틀림 모멘트

r=

・

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2.3. 자유 물체도와 평형 조건

2.3.1 외력과 지점

￭ 구조물에 작용하는 하중의 합 = 지점반력의 합 → 외적 평형상태 유지

외적평형

하중 = 반력

2.3.2. 자유물체도(Free-Body Diagram)

￭ 자유물체도란 하나의 강체 또는 여러개의 강체가 연결되어 구성된 구조물의 전체

또는 (분리된) 특정부분에 작용하는 모든 힘(외력, 내부력)을 나타낸 Diagram.

￭ 강체란 작용력에 대하여 형태가 고정되어 모양이나 크기가 변하지 않는 물체, 실

제 모든 물체는 외력이 가해지면 그 물성에 따라 변형되나 변형되는 정도가 무시

할 수 있을 만큼 작은 경우 강체로 가정

￭ 자유물체도에 힘의 평형조건을 적용하면 반력이 기지력인 경우 내부력을, 내부력

이 기지력인 경우 반력을 구할 수 있음

⟹ ⟹

2.3.3. 평형 및 평형조건

￭ 구조물의 평형상태 : 정지, 등속운동 상태

￭ 평면 직교좌표에서의 평형조건 : 3개의 정역학적 평형방정식

∑F x=0, ∑F y=0, ∑M z=0

(2-1)

정정구조해석 2. 구조해석의 기본원리

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(2-2)

(2-3)

; Q는 평면상의 임의의 점 (2-4)

￭ 3개의 외적평형조건(방정식)으로 3개의 미지반력을 구할 수 있다.

￭ 반력이 4개 이상인 경우 3개의 외적평형조건만으로는 구할 수 없으므로 추가 방

정식이 필요: 정정 구조물의 경우 부재 내부에 해제조건(예, 힌지)이 존재해야 하

며, 부정정 구조물의 경우 변위-변형율 관계(적합조건)를 이용

￭ 3개의 평형방정식 선택의 조건은 그들이 서로 독립;

예) ∑F x=0, ∑ , ∑M z, a=0,

∑F x=0, ∑M z,a=0, ∑M z, b=0

2.4. 지점반력의 계산

1) 반력표시 2) 3개의 평형방정식 이용 3) 독립된 다른 조건식을 통한 검산

예제 2.1

다음 단순보의 반력을 구하시오.

1 2

A B

P =200kN P =300kN

10m 10m 10m

12

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예제 2.2

다음 켄틸레버보의 반력을 구하시오.

1

2

A

P =100kN

4m 2m

P =50kNㆍm

예제 2.3

다음 라멘의 반력을 구하시오.

1

2

1

2m4m

A

B C

D

E

2m

2m

2m

q =20kN/mq =30kN/m

P =60kN

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예제 2.4

다음 연속보의 반력을 구하시오.

q=5kN/m

A

P =10kN

D E

H

P =20kN·m

B C F G

1m

60°

1m 2m 6m 1m1m2m

1

2

§ 자유물체도 A-C

AB C

1m 1m

§ 자유물체도 F-H

HG

F

1m 1m

·

§ 자유물체도 C-F

D EC F

2m 6m 2m

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2.5. 구조물의 정정성

￭ 구조물을 이루는 구조형식(구성 부재들의 접합형식, 지점형식)이 붕괴를 방지하

는데 꼭 필요한 만큼의 부재수 및 그들의 접합부(절점)와 지점에 의한 구속조건

을 갖고 있을 경우, 이때의 구조형식은 정역학적 정정, 정정구조물

￭ 이때 반력 및 부재의 내부에 작용하는 힘들(부재 단면력)은 힘의 평형조건식을

적용함으로 결정

∑ ∑ ∑

￭ 부재수 및 그들의 접합부(절점)와 지점의 구속조건이 부족하거나 불합리 하여 구

조물의 부분 혹은 전체가 강체운동(이동 및 회전)이 가능한 경우(붕괴)의 구조형

식은 정역학적 불안정(구조)

￭ 부재수 및 그들의 접합부(절점)와 지점에 의한 구속조건이 붕괴의 방지를 위해

필요 수보다 많은 경우 정역학적 부정정(구조) - 구조해석 II

§ 정역학적 불안정

statically

underdeterminate,

unstable

§ 정역학적 정정

statically determinate

§ 정역학적 부정정

statically

indeterminate

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2.6. 정정판별 및 조건 방정식

■ 구조물의 정정성

￭ 외적 및 내적으로 구분되며 , 일반적으로 한 구조물이 차 부정정이라 함은 외적

부정정차수( )와 내적부정정차수()를 합한 것이며, 내적 혹은 외적부정성의

구분은 일반적으로 구조물의 해석에는 큰 의미를 갖지 않음

(2-5)

￭ 외적 정정: 지점 반력수 가 3개이며 3개의 평형방정식으로부터 계산가능

￭ 반력수 에 대하여,

: 외적부정정, : 외적 정정, : (외적)불안정 (2-6a,b,c)

￭ 외적부정정 차수

(2-7)

■ 정정 판별

각 부재들의 연결이 고리(loop)를 형성하지 않는 열린 구조물의 경우, 부재 내

에 해제조건(내적이완, release, 예, 힌지)이 존재하면, 해제조건에 의해 추가적으

로 조건방정식이 만들어지므로(예, 모멘트힌지에서 모멘트는 ‘0’) 3개 이상의 반

력을 갖는 외적 부정정 구조물이 “정정”일 수 있음.

￭ 반력수(), 평형방정식수(3), 조건식수()에 대하여,

: 정정, : 부정정, : 불안정 (2-8a,b,c)

￭ 부정정 차수

(2-9)

￭ 외적, 내적 부정정차수

, (2-10a,b)

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예) 정정판별

구 조 형 식 3+ n(판별)

￭ 구조 시스템의 적절한 위치에 구속이 추가되면 불안정한 구조는 정정으로, 정정

구조는 부정정 구조로 변화

￭ 아래 우측의 닫힌 구조물의 경우 위의 정정 판별식을 적용할 수 없음.

n=-1, 1차 불안정 축부재에 의해 구속이 한 개 추가되어 정정

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■ 기하학적 불안정

￭ 정정 혹은 부정정 구조물의 경우 불합리한 부재 및 지점의 배치로 인해 불안정한

구조형식을 취할 수 있음.

-반력의 연장선이 한 점에서 만나는 경우, 작용하중으로 인하여 그 점에 대한 모

멘트합≠0⇒평형조건(안정)이 만족되지 않고 회전(강체운동)

- 기하학적 불안정은 과다변위를 유발시키고 휨부재를 축력부재로 변환시킬 수

있음.

·

≠

■ Cut-Tree법에 의한 정정판별

￭ 구조물의 종류에 무관하게 일반적으로 적용가능

￭ 구조물을 구성하고 있는 부재들을 절단하여 절점을 정의하고, 각각의 절단된 부

재(강체)의 양단 절점에 미지 내부력을 표시하여 자유물체도를 구성

￭ 절단된 부재는 강체이어야 하므로 힌지를 포함 할 수 없음: 힌지가 있다면 힌지

에서 절단

￭ 각 자유물체도는 평형을 이루므로 각 각 세 개의 평형조건식이 주어지며 반력과

절점에 나타나는 미지 내부력 수는 구하여야 할 미지력의 수

부정정차수=반력수 +절점 미지내부력수-3*자유물체도수 (2-11)

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예) 절점과 강체수의 관계

⇒ 절점의 개수 및 위치에 관계없이 항상 동일한 판별결과를 얻음

: 절점증가(3개의 미지수 추가) = 강체수 추가(3개의 평형조건식 추가)

■ 절점에서의 미지 내부력

보 절단

모멘트힌지 절단

모멘트힌지+축력힌지 절단

■ (모멘트)힌지에서의 미지력 수

미지력 수 = 2·(n-1), n: 힌지에 결합 된 부재의 수 (2-12)

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예) Cut-Tree 방법에 의한 정정 판별

1)

2)

3)

4)