2_caratteristiche Inerziali Delle Sezioni (Esempi)
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7/25/2019 2_caratteristiche Inerziali Delle Sezioni (Esempi)
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2007 Universit degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 [email protected]
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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 2Titolo: Caratteristiche inerziali delle sezioni esempi
FACOLT DI INGEGNERIA
LEZIONE 2 Caratteris tiche inerziali delle sezioni esempi
Nucleotematico
Lez. Contenuto
1 2 Caratteristiche inerziali delle sezioni esempi.
Sono riportate e commentate nel seguito le soluzioni degli esempiproposti nella lezione precedente.
Esempio 2.1
Relativamente alla sezione rettangolare di figura 2.1 si
determinino:i) il momento di inerzia rispetto allasse x;
ii) il momento di inerzia rispetto ad un asse parallelo allasse x epassante per il baricentro;
iii) il momento di inerzia rispetto ad un asse contenente unadiagonale.
Figura 2.1.
Sia b = 300 mm e h = 400 mm.
Si considera il riferimento (xOy) di figura 2.1. Il momento diinerzia della sezione rispetto allasse x
49
x
b
0
33b
0
b
0
h
0
3h
0
2
S
2
x
mm104.6I
3
bhdx
3
hdx
3
ydydxydSyI
=
==
=== (e.1.1)
Il baricentro della sezione il punto intersezione dei suoi assi disimmetria che sono anche gli assi centrali di inerzia della sezione. Siconsidera il riferimento (G) di figura 2.2. Il momento di inerzia della
sezione rispetto allasse parallelo a x e passante per G :
x
b
h
y
O
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49
2
b
2
b
32
b
2
b
32
b
2
b
2
h
2
h
32
h
2
h
2
S
2
mm106.1I
12bhd
12hd
3dddSI
=
==
===
(e.1.2)
Figura 2.2.
Questo risultato avrebbe potuto pi facilmente trovarsi sfruttando ilteorema del trasporto di Huygens-Steiner. Gli assi x e sono infatti
paralleli e lasse passa per il baricentro; applicando il citato teoremasi ha
12
hb
4
hbh
3
hb
2
hAII
3232
x
=
=
= (e.1.3)
essendo A = bh larea della sezione e h/2 la distanza tra gli assi x e .
Il momento di inerzia rispetto alla diagonale OB (figura 2.3) pudeterminarsi sfruttando la (1.21). Per costruire la matrice di inerziarelativa al punto O si considera ancora il sistema di riferimento (xOy);il momento di inerzia Ix dato dalla (e.1.1); il momento di inerzia Iy
pu calcolarsi in modo analogo e vale49
3
y mm106.33
hbI == (e.1.4)
Il momento di deviazione si determina sfruttando il teorema deltrasporto del momento di deviazione, espresso dalla (1.63):
4922
OOOOxy mm104.34
hb
2
h
2
bbhAAII ====+= (e.1.5)
essendo nullo il momento di deviazione Irispetto alla coppia di assi
centrali di inerzia (,). La matrice di inerzia allora
x
b
h
y
O
G
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[ ] 49yxy
xyx mm106.36.3 6.34.6II
IIJ
=
= (e.1.6)
Figura 2.3.
Il versore della retta r contenente la diagonale OB ha componenti(figura 2.3)
6.0hb
bu22
x =+
= 8.0hb
hu22
y =+
= (e.1.7)
Infine il momento di inerzia rispetto alla retta r
[ ]
49
49r
mm10152.1
mm108.0
6.0
8.0
6.0
6.36.3
6.34.6uuJI
=
==
(e.1.8)
In alternativa avrebbe potuto sfruttarsi la (1.24)49
xy
2
y
2
xr
mm10152.1cossinI2sinIcosII =+= (e.1.9)
essendo
== 13.53b
htana (e.1.10)
Ancora, in alternativa avrebbe potuto scriversi la matrice di inerziarelativa al baricentro G:
[ ] 49 mm109.00
06.1
I0
0IJ
=
=
(e.1.11)
essendo il momento di inerzia Icalcolato, in analogia con la (e.1.3),come
x
b
h
y
O
G
|u|= 1
ux
uy
B
r
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48
3
mm10912hbI == (e.1.12)
e valutare Ircome
[ ]
49
49r
mm10152.1
mm108.0
6.0
8.0
6.0
9.00
06.1uuJI
=
==
(e.1.13)
o come4922
r mm10152.1sinIcosII =+= (e.1.14)
Alcuni dei risultati appena trovati sono di notevole utilit nelcalcolo delle caratteristiche inerziali di sezioni pi complesse qualoraqueste possano essere considerate come ottenute dallunione direttangoli. In particolare, con riferimento alla figura 2.3 si riassumono iseguenti risultati:
- momenti di inerzia di un rettangolo di dimensioni b ed h rispettoagli assi contenenti i lati e momento di deviazione rispetto a dettacoppia di assi:
3
bhI
3
x= 3bh
I
3
y= 4hb
I
22
xy= (e.1.15)
essendo x lasse contenete il lato di lunghezza b ed y lassecontenente il lato di lunghezza h;
- momenti di inerzia di un rettangolo di dimensioni b ed h rispettoagli assi paralleli ai lati e passanti per il baricentro, cio rispettoagli assi centrali di inerzia:
12
bhI
3
= 12
bhI
3
= (e.1.16)
Esempio 2.2
Si determinino i momenti centrali di inerzia della sezione difigura 2.4 e si tracci lellisse centrale di inerzia. Sia a = 100 mm.
Si considera inizialmente il sistema di riferimento (xOy) di figura2.4. Rispetto a questo le coordinate del baricentro sono
mm86.192a14
27a3a8a2
5a15a7
1y
mm86.92a14
13a2a8a
2
3a15
a7
1x
22
2G
22
2G
==
=
==
=
(e.2.1)
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Figura 2.4.
Le coordinate (e.2.1) sono valutate considerando la sezione si area7a2come un rettangolo di lati 3a e 5a privato di un rettangolo di lati 2ae 4a (figura 2.4); il primo ha area 15a2 ed il baricentro nel punto dicoordinate (3a/3, 5/2a), il secondo ha area 8a2 ed il baricentro nelpunto di coordinate (2a, 3a).
I momenti di inerzia rispetto agli assi del sistema di riferimento(xOy) sono
( ) ( )( )
( ) ( )( ) 422
33
y
422
33
x
a3
31a2a8
12
a2a4
3
a3a5I
a3
127a3a8
12
a4a2
3
a5a3I
=
+
=
=
+
=
(e.2.2)
cio49
xmm10433.6I = 49
x mm10433.6I = (e.2.3)
Nella prima delle (e.2.2) il primo addendo il momento di inerzia delrettangolo di lati 3a e 5a rispetto allasse x, valutato sfruttando la(e.1.15) mentre la quantit dentro parentesi quadra il momento diinerzia del rettangolo di lati 2a e 4a rispetto allasse x. Questultimo asua volta valutato sfruttando il teorema del trasposto di Huygens-Steiner, cio sommando il momento di inerzia di questo rettangolorispetto ad un asse parallelo ad x e passante per il suo baricentro ed ilmomento di trasporto. Analoghe considerazioni valgono per laseconda delle (e.2.2).Il momento di deviazione rispetto alla coppia di assi (x,y)
a a a
a
a
a
a
a
x
y
O
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( ) ( ) 484222
xy mm10250.8a433a2a3a8
4a5a3I === (e.2.4)
in cui il primo addendo il momento di deviazione del rettangolo di lati3a e 5a rispetto alla coppia di assi (x,y), valutato sfruttando la (e.1.15)ed il secondo il momento di deviazione del rettangolo di lati 2a e 4arispetto allasse x. Questultimo a sua volta valutato sfruttando ilteorema del trasposto del momento di deviazione, cio sommando ilmomento di deviazione del rettangolo di lati 2a e 4a rispetto ad assiparalleli a (x,y) passanti per il suo baricentro ed il prodotto della suaarea per il prodotto delle coordinate di O nel riferimento avente origine
nel baricentro del rettangolo e assi paralleli a x ed y; si osservi che nelpresente caso gli assi paralleli ad (x,y) passanti per il baricentro delrettangolo di lati 2a e 4a nullo in quanto questi assi sono gli assicentrali di inerzia di detto rettangolo.
Si assume ora il sistema di riferimento (xgGyg) avente gli assiparalleli a x ed y e origine nel baricentro G della sezione (figura 2.5).
Figura 2.5.
I momenti di inerzia ed il momento di deviazione della sezione rispettoagli assi di questo riferimento si determinano con i teoremi deltrasporto e sono
424
GG
2
xyyx
4
2
242
G
2
yy
4
2
242
G
2
xx
a7
30a
14
13a
14
27a7a
4
33yxa7II
a84
361a
14
13a7a
3
31xa7II
a84
1369a
14
27a7a
3
127ya7II
gg
g
g
===
=
==
=
==
(e.2.5)
a a a
a
a
a
a
a
x
y
O
xg
yg
G
xG
yG
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cio
49y
49x
mm104298.0I
mm10630.1I
g
g
=
= 49yx mm104286.0I gg = (e.2.6)
La matrice di inerzia scritta nel riferimento (xgGyg)
[ ] 49 mm104298.04286.0
4284.0630.1J
= (e.2.7)
I suoi autovalori, cio i momenti principali di inerzia baricentrici siottengono con la (1.49)
( )494
2
yx
2
yxyxmm10767.1a671.17
2
I4IIIII gggggg ==
+++=
( )484
2
yx
2
yxyx
mm10924.2a924.22
I4IIIII
gggggg
==++
=
(e.2.8)
Le direzioni degli assi centrali di inerzia si determinano con le (1.54)ed (1.56):
=
=
77.17
I
IItana
gg
g
yx
x =
=
23.72
I
IItana
gg
g
yx
x (e.2.9)
e sono rappresentate in figura 2.6.
Figura 2.6.
Infine i semiassi dellellisse centrale di inerzia sono
a a a
a
a
a
a
a
x
y
O
xg
yg
G
xG
yG
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a589.1AI == a646.0AI ==
(e.2.10)
e lellisse centrale di inerzia rappresentata in figura 2.6.
Si osserva che per la determinazione degli assi centrali diinerzia possono adottarsi diverse strategie; ovvio che tra queste opportuno scegliere quella che comporta un minore onere di calcolo.Ad esempio nel presente caso i momenti di inerzia ed il momento dideviazione rispetto al sistema di riferimento (xgGyg) avrebbero potutodeterminarsi direttamente, cio senza la preventiva determinazione diIx, Iyed Ixy. Infatti, con riferimento alla figura 2.7 si ha:
( ) ( )
( ) ( )
422
211
2yx
422
23
21
23
y
422
23
21
23
x
a7
30yxa8yxa15I
a84
361xa8
12
a2a4xa15
12
a3a5I
a84
1369ya8
12
a4a2ya15
12
a5a3I
gg
g
g
==
=
+
+
=
=
+
+
=
(e.2.11)
Figura 2.7.
essendo (x1, y1) le coordinate del baricentro del rettangolo di lati 3a e5a e (x2, y2) le coordinate del baricentro del rettangolo di lati 2a e 4anel riferimento (xgGyg), cio
a7
4a
14
27a
2
5y
a
7
4a
14
13a
2
3x
1
1
==
==
a
14
15a
14
27a3y
a
14
15a
14
13a2x
2
2
==
==
(e.2.12)
a a a
a
a
a
a
a
x
y
O
xg
yg
G
xG
yG
G1
G2
x1 x2
y1
y2
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FACOLT DI INGEGNERIA
Nelle (e.2.11) i momenti di inerzia ed il momento di deviazione sono
evidentemente calcolati con i teoremi del trasporto come somma deimomenti di inerzia e dei momenti di deviazione dei due rettangolirispetto ad assi paralleli a xged ygpassanti per i rispettivi baricentri edei corrispondenti momenti di trasporto.
Osservazione: sezioni sottili
Si definiscono sezioni sottili le sezioni generate da unsegmento che si sposta nel piano mantenendosi ortogonale ad unalinea continua detta linea media, essendo la lunghezza del segmento,detta spessore, molto inferiore a quella della linea media. La figura
2.8a, in cui lo spessore delle sezioni indicato con , mostra alcuniesempi di sezioni sottili. Frequentemente le sezioni sottili sirappresentano disegnandone solo la linea media, come in figura 2.8b.
Figura 2.8.
Si consideri la sezione sottile di figura 2.9 avente forma rettangolare edimensioni h e . Applicando la (e.1.15) possono essere calcolati imomenti principali di inerzia baricentrici della sezione:
12
h
I
3
x
= 12
h
I
3
y
= (2.1)
Figura 2.9 immediato osservare che il momento di inerzia rispetto allassecentrale di inerzia y (parallelo alla dimensione h) piccolissimo
x
y
Gh
y
d
1
2
(a)
(b)
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rispetto al momento di inerzia rispetto allasse centrale di inerzia x
(parallelo alla dimensione ). Ad esempio se lo spessore fosse pariad 1/10 di h si avrebbe
120
h
12
h
10
hI
43
x == 12000
h
10
h
12
hI
43
y =
= (2.2)
e quindi Iy= Ix/100.Il momento di inerzia della sezione rispetto ad un asse y parallelo ady posto alla distanza d da questultimo (figura 2.9) si determinaimmediatamente con il teorema del trasporto di Huygens-Steiner
2
y'y dhII += (2.3)
Se d ha lo stesso ordine di grandezza di h questo momento di inerziaha lo stesso ordine di grandezza di Ix. Ad esempio se d = h/2 si ha:
40h
40h
12000h
I444
'y += (2.4)
che tre volte pi grande di Ix. Questultima relazione rende ancheevidente come il momento di inerzia della sezione rispetto ad un assey ortogonale alla direzione dello spessore sia tecnicamentecoincidente con il solo contributo del momento di trasporto dellaformula di Huygens-Steiner, essendo trascurabile il momento diinerzia rispetto allasse y.Queste semplici osservazioni rendono tecnicamente lecito trascurare imomenti di inerzia dei rettangoli sottili rispetto agli assi ortogonali alloro spessore e quindi consentono di semplificare notevolmente ilcalcolo dei momenti di inerzia delle sezioni sottili formate da rettangoli.Pi in generale, il calcolo dei momenti di inerzia delle sezioni sottilipu essere condotto senza commettere grossi errori semplicementeconsiderando nullo lo spessore e considerando larea della sezionecome se fosse uniformemente distribuita sulla sua linea media.
Esempio 2.3
Si tracci lellisse centrale di inerzia della sezione sottile di figura2.10. Sia a = 100 mm e = a/20.
Figura 2.10.
a/2 a/2
a/4 a/4
a
A1
A2
A3
O
G1
G2
G3
x
y
1
2
3
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Si considera la sezione formata dai rettangoli sottili indicati infigura 2.10, identificati come 1, 2 e 3. Siano A1, A2 ed A3 le aree diquesti rettangoli e G1, G2e G3i loro baricentri.
Il baricentro della sezione giace sul suo asse di simmetria; sisceglie quindi il sistema di riferimento di figura 2.10 avente lasse ysullasse di simmetria della sezione. Il baricentro della sezione haascissa nulla e ordinata
( ) mm40a5
2yAyAyA
A
1y 3G32G21G1G ==++= (e.3.1)
essendo A larea della sezione2mm1250a
2
5A == (e.3.2)
ed A1A2ed A3le aree dei rettangoli sottili ed essendo yG1, yG2ed yG3le ordinate dei relativi baricentri (figura 2.10):
0y
aA
1G
1
==
2ay
aA
2G
2
==
ay
2aA
2G
3
==
(e.3.3)
Si osserva che considerando la sezione formata dai tre rettangolisottili di figura 2.10 le intersezioni tra i rettangoli vengono consideratedue volte nella successive valutazioni (figura 2.10); questo produceevidentemente una approssimazione che tanto pi accettabilequanto pi lo spessore sottile.
La posizione degli assi centrali di inerzia della sezione nota:lasse y un asse centrale di inerzia in quanto asse di simmetria;laltro asse centrale di inerzia passa per il baricentro della sezione ed ortogonale a y. Si assume quindi il sistema di riferimento (G)avente origine nel baricentro G ed assi coincidenti con gli assi centralidi inerzia (figura 2.11).
Figura 2.11.
A1
A2
A3
O
G1
G2
G3
x
y
2a/5G
a/10
3a/5
a/2 a/2
a/4 a/4
a
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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 2Titolo: Caratteristiche inerziali delle sezioni esempi
FACOLT DI INGEGNERIA
I momenti principali di inerzia baricentrici sono
33
2
3
2
2
32
1
2
a
1212
aI
a52
aAa52
2a
A12a
a52
AI
+
=
+
+
+
=
(e.3.4)
cio
462
462
mm10469.0a
32
3I
mm10167.2a30
13I
==
==
(e.3.5)
Si osservi che nella prima delle (e.3.4) sono stati trascurati i momentidi inerzia dei rettangoli 1 e 3 rispetto agli assi paralleli a e passantiper G1 e G3, mentre nella seconda delle (e.3.4) stato trascurato ilmomento di inerzia del rettangolo 2 rispetto allasse . Ovviamentenella prima delle (e.3.4) il momento di inerzia del rettangolo di area A 2 calcolato con il teorema del trasporto di Huygens-Steiner comesomma del momento di inerzia di questo rettangolo rispetto ad unasse parallelo a e passante per G2 e del relativo momento ditrasporto.
I semiassi dellellisse centrale di inerzia sono:
mm4.1920
1
2
a
A
I
mm6.4175
13a
A
I
===
===
(e.3.6)
e lellisse tracciata in figura 2.12.
Figura 2.12.
G
a/2 a/2
a/4 a/4
a
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FACOLT DI INGEGNERIA
LEZIONE 2 Sessione di studio 1
Caratteris tiche inerziali delle sezioni - esempi
Sono proposti nel seguito alcuni esempi. Si consiglia di risolverli inmodo autonomo e di utilizzare la soluzione riportata come controllodel procedimento utilizzato e dei risultati ottenuti.
Esempio 2.4
Si tracci lellisse centrale di inerzia della sezione di figura 2.13.Sia a = 50 mm.
Figura 2.13.
Si considera la sezione formata da un rettangolo di lati 8a e 4a privatodi un triangolo rettangolo di cateti 6a e 2a. Larea della sezione
232 mm1065a262
a2a6a4a8A ==
= (e.4.1)
Nel riferimento (xOy) di figura 2.13, dette (xr,yr) le coordinate delbaricentro del rettangolo e (xt,yt) le coordinate del baricentro deltriangolo, le coordinate del baricentro della sezione sono
( )
( )t2
r
2
G
t
2
r
2
G
ya6ya32A
1y
xa6xa32
A
1x
=
=
(e.4.2)
essendo 32a2larea del rettangolo e 6a
2larea del triangolo.
Le coordinate del baricentro del rettangolo sono evidentemente quelledel punto di intersezione dei suoi assi, quindi
a4xr= a2yr= (e.4.3)
Le coordinate del baricentro del triangolo possono essere determinatesecondo lo schema di figura 2.14 applicando la definizione (1.1):
( )
=b
0
uv
0
G dvduuu ( )
=b
0
uv
0
G dvduvv (e.4.4)
O
y
x
a
2a
a
a6a
a
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FACOLT DI INGEGNERIA
essendo v(u) la funzione che descrive la retta contenente lipotenusa
del triangolo, cio
( ) ub
hhuv = (e.4.5)
Figura 2.14.
Sviluppando i calcoli si ottiene
3
b
6
hb
hb
2duu
b
hhu
hb
2dudvu
hb
2u
2b
0
b
0
ub
hh
0
G ==
==
3
h
3
bh
hb
1duu
b
hh
2
1
hb
2dudvv
hb
2v 2
b
0
2b
0
ub
hh
0
G ==
==
(e.4.6)
Nel riferimento di figura 2.13 le coordinate del baricentro del triangolosono quindi
a33
a6auax Gt =+=+= a
3
5a
3
2avay Gt =+=+= (e.4.7)
Quindi le coordinate del baricentro della sezione sono
( )
mm8.103a13
27
a3
5
a6a2a32a26
1
y
mm5.211a13
55a3a6a4a32
a26
1x
t
22
2G
22
2G
==
=
=== (e.4.8)
Si assume ora il sistema di riferimento (xgGyg) con origine nelbaricentro della sezione ed assi paralleli ad x e y (figura 2.15).Rispetto a tali assi i momenti di inerzia della sezione sono
txrxx gggIII = tyryy ggg III = (e.4.9)
in cui Ixgred Iygrsono i momenti di inerzia del rettangolo rispetto agli
assi xged yge Ixgted Iygtsono i momenti di inerzia del triangolo rispetto
agli stessi assi.
Relativamente al rettangolo si utilizza il teorema del trasporto ditrasporto di Huygens-Steiner:
v
u
h
b
Gt
uG
vGug
vg
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FACOLT DI INGEGNERIA
( ) 42
2
3
rx a507
21728a2a1327a32
12a4a8I
g = +=
( ) 42
2
3
ry a507
87392a4a
13
55a32
12
a8a4I
g=
+
=
(e.4.10)
Figura 2.15
Relativamente al triangolo conviene valutare preliminarmente ilmomento di inerzia rispetto agli assi contenenti i cateti; ancora conriferimento alla figura 2.14, il momento di inerzia rispetto allasse v
12
bhduu
b
hhududvuI
3b
0
2
b
0
ubhh
0
2
v =
==
(e.4.11)
Analogamente il momento di inerzia del triangolo rispetto allasse u
12
hbdudvvI
3b
0
ub
hh
0
2
u ==
(e.4.12)
Con il teorema del trasporto di Huygens-Steiner si valutano quindi imomenti di inerzia del triangolo rispetto agli assi u
g e v
g paralleli ai
cateti (ed anche paralleli a xged yg) e passanti per Gt(figura 2.14):
36
hb
3
h
2
hb
12
hbI
323
ug=
=
36
bh
3
b
2
hb
12
bhI
323
v g=
= (e.4.13)
Tornando alla figura 2.15 i momenti di inerzia del triangolo rispetto agliassi baricentrici xged ygbaricentrici sono
( )
( ) 42
2
3
ty
4
2
2
3
tx
a169
3564a3a
13
55a6
36
a6a2I
a169
396a
3
5a
13
27a6
36
a2a6I
g
g
=
+
=
=
+
=
(e.4.14)
I momenti di inerzia della sezione rispetto agli assi xged ygsi valutanoquindi con la (e.4.9) e sono
O
y
x
a
2a
a
a6a
a
yg
xgG
GrGt
xG
yG
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FACOLT DI INGEGNERIA
48444
x mm10532.2a39
1580
a169
396
a507
21728
I g ===
48444
y mm10455.9a39
5900a
169
3564a
507
87392I
g===
(e.4.15)
Il momento di deviazione rispetto alla coppia di assi (xg,yg)
tyxryxyx ggggggIII = (e.4.16)
in cui Ixgygred Ixgygtsono i momenti di deviazione del rettangolo e del
triangolo rispetto alla coppia di assi (xg,yg).Relativamente al rettangolo si utilizza il teorema del trasporto delmomento di deviazione:
46
42
ryx
mm10550.3
a169
96a4a
13
55a2a
13
27a32I
gg
=
==
=
(e.4.17)
Relativamente al triangolo conviene valutare preliminarmente ilmomento di deviazione rispetto ai cateti; ancora con riferimento allafigura 2.14, il momento di deviazione rispetto alla coppia di assi (u,v)
24
hbduu
b
hhu
2
1
dudvvududvuvI
22b
0
2
b
0
ub
hh
0
b
0
ub
hh
0
uv
=
=
=
==
(e.4.18)
Con il teorema del trasporto del momento di deviazione si valutaquindi il momento di deviazione del triangolo rispetto alla coppia diassi (ug,vg) paralleli ai cateti (ed anche paralleli a xged yg) e passantiper Gt(figura 2.14):
72
hb
3
b
3
h
2
hb
24
hbI
2222
vu gg== (e.4.19)
Tornando alla figura 2.15 il momento deviazione del triangolo rispettoalla coppia di assi xged ygbaricentrici per la sezione quindi
( ) ( )
464
2
22
tyx
mm10435.6a169
174
a3a13
55a
3
5a
13
27a6
72
a2a6I
gg
==
=
+=
(e.4.20)
Il momento di deviazione della sezione rispetto alla coppia di assi(xg,yg) si valuta quindi con la (e.4.16) ed
46444
yx mm10885.2a13
6a
169
174a
169
96I
gg=== (e.4.21)
La matrice di inerzia relativa al baricentro, scritta nel riferimento(xgGyg)
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[ ] 4
4
a282.151462.0462.0513.40
39
a590018181580
J
=
= (e.4.22)
cio
[ ] 46 mm105.945885.2
885.22.253J
= (e.4.23)
I suoi autovalori, cio i momenti principali di inerzia baricentrici siottengono con la (1.49)
( )484
2
yx
2
yxyx
mm10455.9a284.1512
I4IIIII
gggggg
==+++
=
( )484
2
yx
2
yxyx
mm10532.2a511.402
I4IIIII
gggggg
==++
=
(e.4.24)
Le direzioni degli assi centrali di inerzia si determinano con le (1.54)ed (1.56):
=
=
76.89I
IItana
gg
g
yx
x =
=
239.0
I
IItana
gg
g
yx
x (e.4.25)
Infine i semiassi dellellisse centrale di inerzia sono
mm61.120a412.2A
I===
mm41.62a248.1A
I===
(e.4.26)
Si osserva che gli assi centrali di inerzia sono quasi coincidenti con gliassi xged yg; coerentemente i momenti principali di inerzia baricentricisono quasi uguali ai momenti di inerzia rispetto agli assi xged yg. Gliassi centrali e lellisse centrale di inerzia sono rappresentati in figura
2.16.
Figura 2.16.
O
y
x
a
2a
a
a6a
a
yg
xgG
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Con riferimento alla figura 2.17, conviene nel seguito riassumere
alcune propriet inerziali del triangolo rettangolo ottenute nel corsodello svolgimento del presente esempio, ed in particolare:
Figura 2.17.
- coordinate del baricentro:
3
bxG=
3
hyG= (e.4.27)
- momenti di inerzia rispetto agli assi contenenti i cateti e momentodi deviazione rispetto a detta coppia di assi:
12
bhI
3
x= 12
bhI
3
y= 24
hbI
22
xy= (e.4.28)
essendo x lasse contenete il cateto di lunghezza b ed y lasse
contenente il cateto di lunghezza h;
- momenti di inerzia rispetto agli assi paralleli ai cateti e passanti peril baricentro e momento di deviazione rispetto a tale coppia di assi:
36
bhI
3
xg=
36
bhI
3
yg=
72
hbI
22
yx gg= (e.4.29)
Esempio 2.5
Si tracci lellisse centrale di inerzia della sezione sottile di figura
2.18. Sia a = 100 mm e = a/10.
Figura 2.18.
x
y
O
a
a
a a a
1
2
3
4
y
x
h
b
G
xG
yGxg
yg
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FACOLT DI INGEGNERIA
Si considera la sezione formata dai rettangoli sottili indicati in
figura 2.18, identificati come 1, 2, 3 e 4. Siano A1, A2, A3ed A4le areedi questi rettangoli e G1, G2, G3e G4, i loro baricentri (figura 2.19).
Figura 2.19.
Nel riferimento di figura 2.19 le coordinate del baricentro della sezionesono
++=
++
=
a5aa2aa23a
Ay
a2
5aa
2
35a
2
aa
Ax
G
G
(e.5.1)
cio
mm55.109a53
527
2
1y
mm35.121a53
52
2
3x
G
G
=+
+=
=+
+=
(e.5.2)
essendo
22 mm5236a524.0a53A ==+= (e.5.3)
larea della sezione.Si assume quindi il sistema di riferimento (xgGyg) di figura 2.20, aventeorigine nel baricentro della sezione ed assi paralleli a quelli delriferimento (xOy). I momenti di inerzia della sezione rispetto agli assixged ygsono
4x3x2x1xx gggggIIIII +++= 4y3y2y1yy ggggg IIIII +++= (e.5.4)
essendo Ixg1, Ixg1, Ixg3, Ixg4ed Iyg1, Iyg1, Iyg3, Iyg4i momenti di inerzia dei
rettangoli 1, 2, 3 e 4 rispetto agli assi xged yg, rispettivamente.
x
y
O
a
a
a a a
G1
G2
G3
G4
A1
A2
A3
A4
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FACOLT DI INGEGNERIA
Figura 2.20.
Relativamente ai rettangoli 1, 2 e 4 questi momenti di inerzia sitrovano applicando il teorema del trasporto di Huygens-Steiner. Si ha:
( )4642
G4x
4642
G2x
464
2
G
3
1x
mm10001.12a120.0yaI
mm10181.8a082.0ya2aI
mm10470.2a025.0ya2
3a
12
aI
g
g
g
===
===
==
+
=
(e.5.5)
464
2
G
3
4y
464
2
G
3
2y
4642G1y
mm10383.17a174.0xa2
5a
12
aI
mm10925.5a059.02
axa
12
aI
mm10726.14a147.0xaI
g
g
g
==
+
=
==
+
=
===
(e.5.6)
avendo trascurato i momenti di inerzia dei rettangoli sottili rispetto ailoro assi baricentrici paralleli al lato pi lungo.
La determinazione dei momenti di inerzia Ixg3 ed Iyg3 del
rettangolo 3 rispetto agli assi xg ed yg richiede la preventivadeterminazione dei momenti di inerzia Ir ed Is di detto rettangolorispetto agli assi r ed s paralleli ad xg ed yg e passanti per G3. Perquesto scopo pu applicarsi la (1.21) relativamente allo schema difigura 2.21. Si ha
[ ] rr3r uuJI = [ ] ss3s uuJI = (e.5.7)
in cui r ed s sono le rette per G3parallele ad xg, ed ygrispettivamente,
[ ]3J la matrice di inerzia del rettangolo 3 relativa al suo baricentroscritta nel riferimento (x3G3y3) avente per assi gli assi centrali di
inerzia del rettangolo 3 ed ru ed su i versori degli assi r ed s rispettoal riferimento (x3G3y3).
x
y
O
a
a
a a a
G1
G2
G3
G4
A1
A2A3
A4
G xg
xG
yG
yg
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Figura 2.21.
La matrice di inerzia
[ ] ( )
4
3
3y
3x3 a00
0093.0
00
012
5a
I0
0IJ
=
=
= (e.5.8)
cio
[ ] 463 mm10000317.9
J
= (e.5.9)
essendo Ix3
ed Iy3
i momenti di inerzia del rettangolo 3 rispetto agli assix3ed y3. Al solito si trascura il momento di inerzia del rettangolo sottilerispetto allasse y3, parallelo al suo lato pi lungo. I versori degli assi red s sono
=
=
447.0894.0
sincos
ur
=
=
894.0447.0
cossin
us (e.5.10)
essendo (figura 2.21)
=== 56.262
1tana
a2
atana (e.5.11)
Quindi
[ ][ ] 46423xss3s
4642
3xrr3r
mm10863.1a019.0sinIuuJI
mm10454.7a075.0cosIuuJI
========
(e.5.12)
I momenti di inerzia del rettangolo 3 rispetto agli assi xg ed yg sonoquindi (figura 2.20)
( )
464
2
Gs3y
4642
Gr3x
mm10698.3a037.0xa2
35aII
mm10657.7a077.0ay5aII
g
g
==
+=
==+=
(e.5.13)
Applicando la (e.5.4) si trovano i momenti di inerzia della sezionerispetto agli assi xged yg
a
a
a
G3
A3
r
x3
y3
s
|ur|= 1
cossin
sin
cos
|
us
|
=
1
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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 2Titolo: Caratteristiche inerziali delle sezioni esempi
FACOLT DI INGEGNERIA
474
4y3y2y1yy
474
4x3x2x1xx
mm10173.4a417.0IIIIImm10031.3a303.0IIIII
ggggg
ggggg
==+++= ==+++= (e.5.14)
Il momento di deviazione della sezione rispetto alla coppia diassi (xg,yg)
4yx3yx2yx1yxyx ggggggggggIIIII +++= (e.5.15)
essendo Ixgyg1, Ixgyg2, Ixgyg3 ed Ixgyg4 i momenti di deviazione dei
rettangoli 1, 2, 3 e 4 rispetto alla coppia di assi (xg,yg).Relativamente ai rettangoli 1, 2 e 4 questi momenti di deviazione sideterminano applicando il teorema del trasporto del momento dideviazione. Si ha (figura 2.20):
( )
4
GG4yx
4
GG2yx
4
GG1yx
a141.0yxa2
5aI
a065.0ya22
axaI
a049.0ya2
3xaI
gg
gg
gg
=
=
=
=
=
=
(e.5.16)
cio
46
2yx
461yx
mm10454.6I
mm10909.4I
gg
gg
==
46
4yx mm10093.14I gg = (e.5.17)
essendo nulli i momenti di deviazione dei rettangoli rispetto agli assiparalleli ad xg ed yg e passanti per i rispettivi baricentri in quantoquesti assi sono centrali di inerzia dei rettangoli.La determinazione del momento di deviazione di Ixg3del rettangolo 3
rispetto alla coppia di assi (xg,yg) richiede la preventivadeterminazione del momento di deviazione Irs di detto rettangolorispetto alla coppia di assi (r,s) paralleli ad xged yge passanti per G3.
Per questo scopo pu applicarsi la (1.20) relativamente allo schema difigura 2.21
( ) ( ) ( )+= 2sinII2
12cosII 3y3xyxrs 33 (e.5.18)
Si ha quindi
( ) 4643xrs mm10727.3a037.02sinI2
1I === (e.5.19)
essendo nullo il momento di deviazione33yx
I del rettangolo 3 rispetto
alla coppia di assi (x3,y3) in quanto questi sono gli assi centrali diinerzia di detto rettangolo. Al solito si trascura il momento di inerziadel rettangolo sottile rispetto allasse y3, parallelo al suo lato pi lungo.
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FACOLT DI INGEGNERIA
Il momento di deviazione del rettangolo 3 rispetto agli assi xged yg
quindi (figura 2.20)
( )
464
GGrs3yx
mm10338.4a043.0
aya2
3x5aII
gg
==
=
+= (e.5.20)
Applicando la(e.5.15) si trova il momento di deviazione della sezionerispetto agli assi xged yg
474
4yx3yx2yx1yxyx
mm10979.2a298.0
IIIIIgggggggggg
==
=+++= (e.5.21)
La matrice di inerzia relativa al baricentro
[ ]
47
4
yyx
yxx
mm10173.4979.2979.2031.3
a417.0298.0298.0303.0
II
IIJ
ggg
ggg
=
=
=
=
(e.5.22)
I suoi autovalori, cio i momenti principali di inerzia baricentricisi ottengono con la (1.49)
( )474
2
yx
2
yxyx mm10636.6a664.02
I4IIIII gggggg ==
+++=
( )474
2
yx
2
yxyx
mm10568.0a057.02
I4IIIII
gggggg ==++
=
(e.5.23)
Le direzioni degli assi centrali di inerzia si determinano con le (1.54)ed (1.56):
=
=
43.50I
IItana
gg
g
yx
x =
=
57.39I
IItana
gg
g
yx
x (e.5.24)
Infine i semiassi dellellisse centrale di inerzia sono
mm58.112a126.1A
I===
mm95.32a329.0A
I===
(e.5.25)
Gli assi e lellisse centrali di inerzia sono rappresentati in figura 2.22.
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FACOLT DI INGEGNERIA
Figura 2.22.
x
y
O
a
a
a a a
G
xg
yg
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FACOLT DI INGEGNERIA
LEZIONE 2 Sessione di studio 2
Caratteris tiche inerziali delle sezioni esempi
Sono proposti nel seguito alcuni esempi. Si consiglia di risolverli inmodo autonomo e di utilizzare la soluzione riportata come controllodel procedimento utilizzato e dei risultati ottenuti.
Esempio 2.6
Si tracci lellisse centrale di inerzia della sezione di figura 2.23.Sia a = 75 mm.
Figura 2.23.
Si considera la sezione formata da un rettangolo di lati a e 2a eda un semicerchio di raggio a.
Conviene innanzitutto determinare le caratteristiche inerziali delsemicerchio. Nel sistema di riferimento (uOv) di figura 2.24a lascissadel baricentro del semicerchio nulla per simmetria mentre la suaordinata
( )
R3
4ddsin
R
2
ddsinR
2dSPv
A
1v
0
R
0
2
2
0
R
0
2
Sc
G
=
=
=
==
(e.6.1)
essendo Aclarea del semicerchio ed avendo espresso lordinata v(P)del generico punto P del semicerchio in coordinate polari.
Figura 2.24.
u
v
O
R R
R sin
cos
P
u
v vg
O
GC
vG
ug
(a) (b)
a
2a
a a
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FACOLT DI INGEGNERIA
Gli assi centrali di inerzia del semicerchio sono quindi lasse v vginquanto asse di simmetria e lasse uGparallelo a u e passante per ilbaricentro GC(figura 2.24b). Il momento di inerzia rispetto allasse u
( ) ( )8
RddsinddsindSPvI
4
0
R
0
23
0
R
0
2
S
2
u
====
(e.6.2)
Il momento di inerzia rispetto allasse v vg evidentemente uguale almomento di inerzia rispetto allasse u.
Tornando alla sezione, si considera il sistema di riferimento(xOy) di figura 2.25.
Figura 2.25.
Larea della sezione
2322
mm10086.20a57.32
aaa2A ==+= (e.6.3)
Nel riferimento assunto le coordinate del baricentro sono
mm00.28a373.0a3
4
2
aaa2
A
1y
mm00.21a280.0
2
aa2
A
1x
22
G
2
G
==
+=
==
=
(e.6.4)
I momenti di inerzia della sezione rispetto agli assi x ed y ed ilmomento di deviazione rispetto alla coppia di assi (xy) sono
( )
( ) 47422xy
47443
y
47443
x
mm10164.3a4
a2aI
mm10352.3a059.18
a
3
aa2I
mm10680.9a059.38
a
3
a2aI
===
==
+
=
==
+
=
(e.6.5)
x
y
O
a
2a
a a
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FACOLT DI INGEGNERIA
Nelle prime due(e.6.5) sono state applicate le (e.1.15); relativamente
alla ultima si rammenti che lasse y un asse principale di inerzia peril semicerchio.Si assume ora il sistema di riferimento (xgGyg) con origine nelbaricentro ed assi paralleli ad x e y (figura 2.26).
Figura 2.26.
Rispetto a tali assi i momenti di inerzia ed il momento di deviazionedella sezione sono
474
GGxyyx
4742Gyy
4742
Gxx
mm10983.1a627.0yxII
mm10466.2a779.0xAII
mm10105.8a561.2yAII
gg
g
g
======
===
(e.6.6)
La matrice di inerzia relativa al baricentro, scritta nel riferimento(xgGyg)
[ ] 474 mm10466.2983.1983.1105.8
a779.0627.0627.0561.2
J
=
= (e.6.7)
I suoi autovalori, cio i momenti principali di inerzia baricentrici siottengono con la (1.49)
( )474
2
yx
2
yxyx
mm10732.8a76.22
I4IIIII
gggggg
==+++
=
( )474
2
yx
2
yxyx
mm10839.1a851.02
I4IIIII
gggggg
==++
=
(e.6.8)
Le direzioni degli assi centrali di inerzia si determinano con le (1.54)ed (1.56):
=
=
56.17I
II
tanagg
g
yx
x
=
=
44.72I
II
tanagg
g
yx
x
(e.6.9)
x
y
O
a
2a
a a
xg
G
xG
yG
yg
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Infine i semiassi dellellisse centrale di inerzia sono
mm94.65a879.0A
I===
mm26.30a403.0A
I===
(e.6.10)
Gli assi centrali e lellisse centrale di inerzia sono rappresentati infigura 2.27.
Figura 2.27.
Esempio 2.7
Si tracci lellisse centrale di inerzia della sezione sottile di figura
2.28. Sia a = 100 mm e = a/10.
Figura 2.28.
Si considera la sezione formata dai rettangoli sottili di figura2.28, identificati come 1 e 2 e dalla semicorona circolare di raggiomedio a. Siano A1 ed A2 le aree dei rettangoli e sia A3 larea dellasemicorona circolare. Sino inoltre G1, G2e G3i baricentri di dette aree(figura 2.29).
Conviene innanzitutto determinare le caratteristiche inerzialidella semicorona circolare.
a
2a
a a
1
2
a
2a
a a
xgG
yg
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FACOLT DI INGEGNERIA
Figura 2.29.
Nel sistema di riferimento (uOv) di figura 2.30, avente originenel centro della linea media della semicorona circolare, lascissa delsuo baricentro nulla per simmetria; lordinata
( )
=
=
==
R2dsin
RdRsinR
R
1dSPv
A
1v
00Sc
G (e.7.1)
essendo Ac larea della semicorona circolare ed avendo espressolordinata v(P) del generico punto P della semicorona circolare incoordinate polari (figura 2.30).Si osserva che lordinata vGavrebbe anche potuto essere determinata
considerando la semicorona circolare come ottenuta da unsemicerchio di raggio R + /2 privato di un semicerchio concentrico diraggio R /2, essendo lo spessore; in questo caso utilizzando la(e.6.1) per entrambi i semicerchi si ottiene:
( ) ( )
( ) ( )22
33
22
c
G
R2R2
R2R2
3
2
2R
3
4
2
2R
2R
3
4
2
2R
A
1v
+
+
=
=
+
+=
(e.7.2)
essendo Ac larea della semicorona circolare, ottenuta comedifferenza tra le aree dei semicerchi.
Figura 2.30.
u
v
O
R R
R RRsin
Rcos
P
u
v vg
O
GC
vG
ug
(a) (b)
a
2a
a a
1
2
G1
G2
G3
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Si osserva che la(e.7.1) e la(e.7.2) non forniscono lo stesso risultato.In particolare la (e.7.2) dipende da mentre la (e.7.1) ne indipendente. Questo dovuto al fatto che nella (e.7.1) implicitalapprossimazione di sezione sottile, cio si considera larea dellasemicorona circolare concentrata lungo la sua linea media mentre la(e.7.2) considera leffettiva distribuzione nel piano dellarea dellasemicorona circolare. La (e.7.1) fornisce unapprossimazione tanto
migliore quanto pi lo spessore piccolo rispetto al raggio R. Inoltre immediato verificare che se diventa piccolissimo la (e.7.1) e la(e.7.2) forniscono lo stesso risultato, cio
( ) ( )( ) ( )
=++
R2
R2R2
R2R232lim
22
33
0 (e.7.3)
Gli assi centrali di inerzia della semicorona circolare sono quindi lasse
v vgin quanto asse di simmetria e lasse uGparallelo a u passanteper il baricentro GC (figura 2.30b). Continuando a considerare validalapprossimazione di sezione sottile, il momento di inerzia dellasemicorona circolare rispetto allasse u
( ) ( )2
RdsinRdRsinRdSPvI
3
0
23
0
2
S
2
u
====
(e.7.4)
Il momento di inerzia rispetto allasse v vg evidentemente uguale almomento di inerzia rispetto allasse u.
Tornando alla sezione, si considera il sistema di riferimento(xOy) di figura 2.31.
Figura 2.31.
Larea della sezione
( ) 22 mm6142a614.0a3A ==+= (e.7.5)
Nel riferimento assunto le coordinate del baricentro sono
a
2a
a a
1
2
G1
G2
G3
x
y
O
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FACOLT DI INGEGNERIA
a326.0a2
aaa2a2aA
1y
a407.0aa22
aaA
1x
G
G
=
+=
= = (e.7.6)
cio
mm71.40xG = mm56.32yG = (e.7.7)
I momenti di inerzia della sezione rispetto agli assi x ed y ed ilmomento di deviazione rispetto alla coppia di assi (xy) sono
( ) ( )
4
xy
43
23
y
4
33
2x
a3.0aaa2a22
aaI
a390.02
aaa2
3
aI
a824.02a
3a2a2aI
=+=
=
++
=
=++=
(e.7.8)
cio
47
y
47
x
mm10904.3I
mm10237.8I
==
47xy mm10000.3I = (e.7.9)
Si assume ora il sistema di riferimento (xgGyg) con origine nelbaricentro ed assi paralleli ad x e y (figura 2.32).
Figura 2.32.
Rispetto a tali assi i momenti di inerzia ed il momento di deviazionedella sezione sono
474
GGxyyx
4742
Gyy
4742
Gxx
mm10186.2a219.0yxIImm10886.2a289.0xAII
mm10586.7a759.0yAII
gg
g
g
======
===
(e.7.10)
a
2a
a a
1
2
G1
G2
G3
x
y
G
xg
yg
xG
yG
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FACOLT DI INGEGNERIA
La matrice di inerzia relativa al baricentro, scritta nel riferimento
(xgGyg)
[ ] 474 mm10886.2186.2186.2586.7
a289.0219.0219.0759.0
J
=
= (e.7.11)
I suoi autovalori, cio i momenti principali di inerzia baricentrici siottengono con la (1.49)
( )474
2
yx
2
yxyx
mm10446.8a845.02
I4IIIII
gggggg ==+++
=
( ) 4742
yx
2
yxyx
mm10027.2a203.02
I4IIIII gggggg ==++=
(e.7.12)
Le direzioni degli assi centrali di inerzia si determinano con le (1.54)ed (1.56):
=
=
46.21I
IItana
gg
g
yx
x =
=
54.68
I
IItana
gg
g
yx
x (e.7.13)
Infine i semiassi dellellisse centrale di inerzia sono
mm27.117a173.1A
I ===
mm45.47a574.0A
I===
(e.7.14)
Gli assi centrali e lellisse centrale di inerzia sono rappresentati infigura 2.33.
Figura 2.33.
a
2a
a a
G xg
yg
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FACOLT DI INGEGNERIA
LEZIONE 2 Sessione di studio 3
Caratterist iche inerziali delle sezioni esercizi
Sono proposti nel seguito alcuni esercizi la cui soluzione lasciata allettore. Si consiglia di controllare i risultati ottenuti disegnando permezzo di un programma di CAD le sezioni e verificando con questo lecaratteristiche inerziali determinate (ad esempio utilizzando ilcomando propmass di Autocad dopo avere creato una regione aventela forma della sezione).
Esercizio 2.1
Si tracci lellisse centrale di inerzia della sezione sottile di figura2.34. Sia a = 100 mm, = a/10.
Figura 2.34.
Esercizio 2.2
Si tracci lellisse centrale di inerzia della sezione sottile di figura
2.35. Sia a = 100 mm, = a/10.
Figura 2.35.
2a
a a
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7/25/2019 2_caratteristiche Inerziali Delle Sezioni (Esempi)
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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 2Titolo: Caratteristiche inerziali delle sezioni esempi
FACOLT DI INGEGNERIA
Esercizio 2.3
Si tracci lellisse centrale di inerzia della sezione di figura 2.36.Sia a = 100 mm.
Figura 2.36.
Esercizio 2.4
Si tracci lellisse centrale di inerzia della sezione di figura 2.37.Sia a = 100 mm.
Figura 2.37.
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