28. Un examen consta de 20 cuestiones. Cada respuesta … · 2017-11-14 · 67 67 4 1032 67 19 67...
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28. Un examen consta de 20 cuestiones. Cada respuesta correcta se valora con 3 puntos, y por cada cuestión incorrectamente contestada se restan 2 puntos. Si al final de la prueba un alumno consiguió 30 puntos, ¿cuántas cuestiones contestó bien y cuántas mal? Respuestas correctas: x Respuestas incorrectas: y
20 20
3 2 30 3 2 (20 ) 30 3 40 2 30 5 70
14 respuestas correctas
6 respuestas incorrectas
x y y x
x y x x x x x
x
y
29. Halla dos números consecutivos tales que, añadiendo al mayor la mitad del menor, el resultado excede en 13 unidades a la suma de la quinta parte del menor con la onceava parte del mayor. Dos números consecutivos: x y x + 1
1 110 ( 1) 55 22 10 ( 1) 13 1101 13
2 5 11 110 110
1330110 110 55 22 10 10 1 430 133 1330 10
133
x x x x x x xx
x x x x x x
Los números son el 10 y 11.
30. Dos números que difieren en cinco unidades son tales que la diferencia de sus cuadrados es 95. ¿Cuáles son dichos números?
7512,1210
2595952510
95)2510(95)5(
5
95
5222222
yxx
xxxxx
xy
yx
yx
31. Dos números suman 176 y, al dividirlos, se obtiene 6 de cociente y 1 de resto. Indica cuáles son dichos números.
1511256
257
17517511767176)16(
16
176
x
yyyyyx
yx
32. Si a la raíz cuadrada de un número le sumamos su quinta parte, el resultado es diez. Calcula dicho número.
2
2
22 2
21
2
50 5010 10
5 5 5 5
2 500 10025 2 500 100 125 2 500 0
25
100 , no es válido125 125 4 2 500 125 75
252 2
x x x xx x x x
x xx x x x x x
xx
x
33. El precio de un artículo es 12 € más barato si se le aplica un descuento del 30 % que si se le aplica un descuento del 25 %. ¿Cuánto cuesta ese artículo?
€24005,0
121205,01270,075,0 xxxx
34. La suma de tres números pares consecutivos es 42. Calcula dichos números.
Pares consecutivos: .42,22,2 xxx
66
3636642642)42()22()2( xxxxx
Los números son: 12, 14 y 16. 35. La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 265. Calcula dichos números.
2 2 2 2 2
12
2
( 1) 265 2 1 265 2 2 264 0
111 1 4 132 1 23132 0
12 , no es válida2 2
x x x x x x x
xx x x
x
Los números son 11 y 12.
36. Un padre tiene 48 años, y su hijo, 8. ¿Cuántos años han de pasar Para que la edad del padre sea el triple de la del hijo? Padre: 48 años. Cuando pasen x años tendrá 48 + x años. Hijo: 8 años. Cuando pasen x años tendrá 8 + x años.
48 3 (8 ) 48 24 3 2 24 12 años han de pasar.x x x x x x
37. La suma de un número y su inverso es de 𝟓𝟎
𝟕. Calcula dicho número.
2
2 2
12
2
1 50 1 507 ( 1) 50 7 50 7 0
7 7
750 50 4 7 7 50 48
114 14
7
xx x x x x
x x
x
xx
El número 7. SOLUCIONES PÁG. 55 38. La suma de una fracción que tiene 5 por numerador y su inversa da como
resultado 𝟑𝟒
𝟏𝟓. Halla dicha fracción.
2 2
2
22
1
2
5 34 25 34 25 343 (25 ) 34
5 15 5 15 3
34 34 4 3 75 34 163 34 75 0
6 6
3
25, no es una solución válida.
3
x x xx x
x x x
x x x
x
x
Solución: 5
3 .
39. Una persona emplea el 55 % de su sueldo mensual en el alquiler de su
vivienda, y 𝟐
𝟑 partes del resto, en alimentación y recibos domiciliados de gas, luz
y teléfono. Si dicha persona dispone de 210 € mensuales para gastos personales, ¿a cuánto asciende su sueldo?
€400115,0
21021015,021045,0
3
255,01
21045,03
255,021045,0
3
255,0
xxx
xxxxxx
40. La población de un cultivo de hongos experimenta un incremento mensual del 15 %. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que la población se triplique?
0
0 0
P ( ) 1,15 P
P ( ) 3 P 1,15 P 1,15 3 ln 1,15 ln 3 ln 1,15 ln 3
ln 37,86 meses 8 meses
ln 1,15
t
t t t
t
t t
t
41. Un campo rectangular de 216 m2 de área se valla haciendo uso de 60 m de alambrada. ¿Cuáles son las dimensiones que tiene dicho campo?
2
2
22 2
1 1
2 2
216A 216 m
216 216Per 2 2 60 m 30 30 30
30 30 4 216 30 6216 30 30 216 0
2 2
18 m 12 m
12 m 18 m
x y yx
xx y x y x
x x
x x x x x
x y
x y
42. Calcula el valor de m para que la solución de la ecuación x2 + mx + (m – 1) = 0 sea única y doble.
2
2
2 2
m m 4 (m 1)m (m 1) 0
2
4 16 16m 4 (m 1) 0 m 4m 4 0 m 2
2
x x x
43. La suma de dos números naturales es 21, y su producto, 90. Calcula dichos números.
156
615
2
921
2
9042121
09021902190)21(
21
90
21
22
112
22
yx
yxx
xxxxxx
xy
yx
yx
44. Se quiere construir un recipiente con una cartulina rectangular de 214 cm de perímetro; para ello, se recorta en cada esquina un cuadrado de 10 cm de lado. Al doblar las caras de la figura resultante, tal y como se indica en la figura, se obtiene un recipiente cuyo volumen es de 10 320 cm3. ¿Cuáles son las dimensiones de dicho recipiente?
2
2 2
1 1
2
2 ( 20) 2 ( 20) 214 2 2 214 40 40
10 10 320 1032
2 2 164 67 67
1032 1032 (67 ) 1032
67 67 4 1032 67 1967 1032 67 1032 0
2 2
43 cm 24 cm
24 cm
x y x y
x y xy
x y x y y x
xy xy x x
x x x x x
x y
x
2 43 cmy
Las dimensiones son 43 x 24 x 10 cm.
45. El precio de la compra de dos artículos es de 1 575 €. Tras aplicar un descuento del 16 % al primer artículo y un descuento del 8 % al segundo, el precio queda en 1 383 €. ¿Cuál es el precio de cada artículo?
1575 1575
0,16 0,08 1575 1383 192 0,16 0,08 (1575 ) 192
660,16 126 0,08 192 0,08 192 126 66 825 €
0,08
1575 825 750 €
x y y x
x y x x
x x x x
y
El que está rebajado un 16 % vale 825 € y el otro, 750 €.
46. La diagonal de un rectángulo mide 𝟔√𝟓 cm, y uno de sus lados es 6 unidades
mayor que el otro. ¿Cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo?
2
2 2 2 2 2
2
6 5 ( 6) 36 5 12 36 2 12 144 0
612 12 4 144 12 36
12, no es una solución válida.4 4
x x x x x x x
x
Las dimensiones son 6 x 12 cm.
47. Margarita ha comprado 15 entradas para el cine y 5 para la ópera por un importe total de 295 €. Por su parte, Pedro ha comprado 6 entradas para el cine y 10 para la ópera, pagando 374 €. ¿Cuál es el precio unitario de la entrada para el cine? ¿Y de la entrada para la ópera? Cine: x Ópera: y
€329359
€912
10810829518712187152953
187)359(53
359
18753
593
374106
295515
y
xxxx
xx
xy
yx
yx
yx
yx
El precio de la entrada de cine es de 9 €, y para la ópera de 32 €. 48. Determina dos números sabiendo que al dividir el mayor entre el menor se obtiene 4 de cociente y 4 de resto y que la diferencia entre el doble del mayor y el triple del menor es 33.
2455
25
833533388333)44(23332
44
xy
yyyyyyx
yx
Solución: 24 y 5.
49. La suma de las áreas de dos cuadrados es 113 cm3, y la suma de sus perímetros, 60 cm. Calcula las dimensiones de cada uno de estos cuadrados.
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
21 1
2 2
113 113 (15 ) 113
4 4 60 15 15
225 30 113 2 30 112 0 15 56 0
8 cm 7 cm15 15 4 56 15 1
7 cm 8 cm2 2
x y x y x x
x y x y y x
x x x x x x x
x yx
x y
Solución: 7 y 8 cm.
50. En un supermercado, una caja de cereales, tres pizzas y dos paquetes de jamón serrano cuestan 20 €. Calcula el precio unitario de cada producto sabiendo que cinco cajas de cereales cuestan lo mismo que un paquete de jamón serrano, y que diez pizzas valen igual que seis paquetes de jamón serrano. Cereales: x Pizza: y Jamón: z
3,1
510020
5
3
10
6
5
1001092025
33
5
610
5
2023
yx
zz
zzy
zx
zzzzzz
zy
zx
zyx
Cereales: 1 € Pizza: 3 € Jamón: 5 €
51. Un grupo de amigos con gustos dispares ha comprado 7 entradas para el cine, 4 para el teatro y 2 para la pista de patinaje, y ha abonado por todas ellas 286 €. Calcula el precio de cada entrada sabiendo que cuatro entradas para la pista de patinaje cuestan lo mismo que una entrada para el teatro; y que una entrada para el teatro y otra para la pista de patinaje tienen el mismo precio que seis entradas para el cine. Cine: x Teatro: y Patinaje: z
€48124€125
60
€10143
1430
14301296352865
62
5
6447
5
66564
6
4
286247
yz
x
xxxxx
x
xzxzxzz
xzy
yz
zyx
Cine: 10 € Teatro: 48 € Patinaje: 12 €
52. La ecuación de posición de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
responde a la expresión 𝒆 = 𝒆𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 +𝟏
𝟐𝒂𝒕𝟐, donde e0 es la posición inicial del
móvil respecto al origen del sistema de referencia, v0 es la velocidad inicial del móvil, y a es la aceleración. Halla la ecuación de la posición de un móvil sabiendo que en t = 1 s se encuentra a 15 m de su posición inicial; en t = 5 s, a 55 m, y en t = 10 s, a 150 m.
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 1 2 0
0 1 3
15 12 2 2 3025
55 5 2 10 25 1102
2 20 100 300100
150 102
2 2 30 2 2 30
8 24 80 ( ) 8 24 80
18 99 270 ( ) 360 720 (1
ae v
e v aa
e v e v a
e v aa
e v
e v a e v a
v a E E v a
v a E E a
2 3
2
2
0
0
8 8 )
7202 m/s
360
24 2 804 m/s 10 4
8
30 2 4 210 m
2
E E
a
v e t t
e
53. Un cajero automático admite billetes de 50 €, 20 € y 10 €. Un día se depositan en el cajero 225 billetes por un importe de 7 000 €. Averigua el número de billetes de cada valor, sabiendo que la suma del número de billetes de 50 € y de 10 € es el doble que el número de billetes de 20 €. 50 €: x 20 €: y 10 €: z
1 2
1 2
225 225
50 20 10 7 000 50 20 10 7 000
2 2 0
225
30 40 4 250 (50 )
3 225 ( )
22575 billetes de 20 €
3
4 250 30 7550 billetes de10 €
40
225 75 50 100 bill
x y z x y z
x y z x y z
x z y x y z
x y z
y z E E
y E E
y
z
x
etes de 50 €
SOLUCIONES PÁG. 56 54. Tres recipientes, A, B y C, almacenan un total de 72 L de disolvente. El recipiente A contiene la tercera parte de la cantidad que hay en B y C juntos. Por otro lado, si de B se pasan 4 L a C y 6 L a A, se iguala la cantidad de disolvente que hay en los recipientes. Halla la cantidad de disolvente que había inicialmente en cada recipiente. A: x B: y C: z
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
727272
4 4 216 (3 )3 0
2 88 ( )163
10 6 4 2 2 74 ( )
72
4 4 216
2 40 ( 2 )
4 80 ( 4 )
4020 litro
2
x y zx y zx y z
y z E Ex y zy zx
y z E Ex y
y x z x z y z E E
x y z
y z
z E E
z E E
z
s
216 4 2034 litros
4
72 34 20 18 litros
y
x
55. Un hipermercado inicia una campaña de ofertas por sus tres productos estrella, A, B y C. En la primera de ellas, ofrece un descuento del 4 % en el producto A, del 6 % en el producto B y del 5 % en el producto C. A las dos semanas, pone en marcha la segunda oferta, descontando un 8 % sobre el precio inicial de A, un 10 % sobre el precio inicial de B y un 6 % sobre el precio inicial de C. Si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos productos B y tres productos C, se ahorra 16 €; si adquiere durante la segunda promoción tres productos A, un producto B y cinco productos C, se ahorra 29 €, y si compra sin descuentos un producto A, uno B y uno C, debe abonar 135 €. Calcula el precio de cada producto antes de las ofertas.
A: x – B: y – C: z
1 2
1 3
0,04 2 0,06 3 0,05 16 135
3 0,08 0,10 5 0,06 29 4 12 15 1600
135 24 10 30 2 900
135 135
8 11 1060 (4 ) 8 11 1060
202 12120 (14 6 340 (24 )
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
y z E E y z
zy z E E
2 314 8 )
1212060 €
202
11 60 106050 €
8
135 50 60 25 €
E E
z
y
x
56. Un padre tiene dos hijos. Dentro de 5 años, el padre doblará en edad a su hijo menor, mientras que hace 5 años doblaba en edad al mayor. Si entre los tres suman actualmente 90 años, halla la edad que tiene cada uno. Padre: x – Hijo pequeño: y – Hijo mayor: z
1 2
1 3
2 3
5 2 ( 5) 90 90
5 2 ( 5) 2 5 3 85 ( )
90 2 5 3 95 ( )
90
3 85
8 200 ( 3 )
20025 años
8
85 2520 años
3
90 20 25 45 años
x y x y z x y z
x z x y y z E E
x y z x z y z E E
x y z
y z
z E E
z
y
x
57. Calcula el valor de m para que x2 + (m + 2)x + 4m = 0 tenga dos soluciones que difieran en dos unidades.
2
2
2 2
2 2
2 22
2 2 2
(m 2) (m 2) 16m(m 2) 4m 0
2
(m 2) m 4m 4 16m (m 2) m 12m 4
2 2
(m 2) m 12m 4 (m 2) m 12m 42
2 2
m 12m 4 m 12m 42 2 m 12m 4 4
2
m 12m 4 2 m 12m 4 4 m 12m 0
m 0m (m 12) 0
m 12
x x x
x
58. Dos móviles que se mueven con velocidad constante tardan en recorrer una misma distancia 7 h y 10 h, respectivamente. Calcula el tiempo que tardarían en encontrarse si recorrieran esa misma distancia, pero partiendo cada uno de un extremo y en sentidos opuestos.
0
1 1
2 2
7 h7 h
10 h10 h
7 h1
7 10 7 10
10 h
17 701 1 1 h 4,12 h
7 10 7 10 70 17
A
B
x x vt
dt v
dt v
dx t
d d d t tt d t d
dx d t
t t t tt t