27.2. ３相似三角形的周长与面积

姚 正 逵

（ 1 ）相似三角形有什么性质？相似多边形呢？

（ 2 ）相似三角形的对应边的比叫什么？

（ 3 ） ΔABC 与 ΔA/B/C/ 的相似 比为 k,

则 ΔA/B/C/ 与 ΔABC 的相似比是多少？

1

k

对应角相等 , 对应边成比例 .

相似比

A

B C A`

B` C`

在 10 倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比 , 三角形哪些元素放大为 10 倍 ?

算一算：ΔABC 与 ΔA´B´C´ 的相似比是多少？ΔABC 的周长 :______, 面积 :__________.ΔA´B´C´ 的周长 :______, 面积 :________. ΔABC 与 ΔA´B´C´ 的周长比是多少 ?面积比是多少？

在 4×4 正方形网格中

看一看：ΔABC 与 ΔA´B´C´ 有什么关系？ 为什么？

想一想：你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？

（相似）

2

√10

2

√2

1

√5√2

A B

C

A’

C’B’

2

2

A

B C

A’

B’ C’

已知 :ΔABC∽ΔA´B´C´, 相似比为 k.

求证 : ΔABC 的周长

ΔA’B’C’ 的周长=k

周长比等于相似比 .

验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以证明吗？

证明：∵△ ABC∽△A′B′C′,且相似比为 k

∴ AB BC ACk

A B B C AC

（相似三角形的对应边成比例）

∴AB=kA´B´,BC=kB´C´,AC=kA´C´

∴ ABC AB BC AC kA B kB C kACk

A B C A B B C AC A B B C AC

的周长的周长

A

B C

A’

B’ C’

已知 :ΔABC∽ΔA´B´C´, 相似比为 k.求证 : ΔABC 的周长

ΔA’B’C’ 的周长=k

如图 AD和 A´D´分别是 BC， B´C´边上的高。∵△ABC ∽△A′B′C′,且相似比为 k

2

12

12

BC ADABC BC AD kB C kA Dk k k

A B C B C A D B C A DB C A D

的面积的面积

证明：

A

B C

A’

B’ C’

已知 :ΔABC∽ΔA´B´C´, 相似比为 k.

=k2求证 : sABC

sA´B´C´

D D´

∴ kD

AD BC

C

∴

∴AD=kA´D´,BC=kB´C´

A

B C

A’

B’ C’

相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 .

1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格

相似比

周长比

面积比 2

2

4

100

100

1000019

13

13

2 ．．．

．．．

．．．

2 、两个相似三角形的面积比是 9 ： 25 ，那么它们的相似比是 _______对应边上的高是的比是 _________周长之比是 ___________

3 ： 53 ： 5

3 ： 5

在 10 倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比 , 三角形的边长 , 周长 , 面积 , 角有什么关系 ?

三角形的边长 , 周长放大为 10 倍 .

三角形的面积放大为 100 倍 .

三角形的角大小不变 .

探究三如图，四边形 ABCD相似于四边形 A‘B’C‘D’，相似比为 k，它们的周长比、面积比是多少？

A

B

C

D

A'

B'

C'

D'

相似多边形面积的比等于相似比的平方．

相似多边形周长的比等于相似比

例 1. 如图，在△ ABC和△ DEF中， AB＝ 2DE， AC＝ 2DF，∠A＝∠ D，△ ABC的周长是 24 ，面积是 48 ，求△ DEF的周长和面积．解：在△ ABC和△ DEF中，

∵ AB＝ 2DE， AC＝ 2DF

∴2

1

AC

DF

AB

DE

又 ∠ D＝∠ A

∴ △DEF∽△ABC，相似比为 2

1

A

BC

D

E F

DEF

1 1, = C =12

2 24 2DEF DEF

ABC

C C

C

1 1= = =12

4 48 4DEF DEF

DEFABC

S SS

S

例题分析

2. 如图，△ ABC∽△A‘B’C‘ ，它们的周长分别为 60cm 和 72cm ，且 AB=15cm ， B'C'=24cm ，求 BC、 AC、 A'B'、 A'C'的长．

解： △ ABC∽△A'B'C'

60 15

72 18k

15

' ' 18

AB

A B

18 18' ' 15 18

15 15A B AB

15

' ' 18

BC

B C

15 2420

18BC

60 15 20 25AC

' ' 72 18 24 30A C

A

BC

A'

B'

C'

（一）判断题：1 、如果把一个三角形三边长同时扩大为原来的 10 倍，那么它的周长也扩大为原来的 10 倍。（√）

2 、如果把一个三角形的面积扩大为原来的 9 倍，那么它的三边也扩大为原来的 9 倍。（ × ）

3 、老师在电脑上画了一个六边形，上课时发现，原来一条5 厘米的边在电视屏幕上变成了 15 厘米，那么电视屏幕的放大比例是（ ），这个六边形的面积扩大为原来的（ ）倍。

1 ：3

9

4 、公园中的儿童游乐场是两个相似多边形地块，相似比为 2 ： 3 ，面积差为 30m² ，它们的面积分别是多少？

24m²， 54m²

5 、如图，△ ABC,DE//BC, 且△ ADE的面积等于梯形 BCED 的面积 , 则△ ADE 与△ ABC 的相似比是 _______

B

A

D E

C

1 ： 2

66 、如图，、如图， SS□□ABCDABCD=2008cm=2008cm22 ，点，点 EE 是平行四边是平行四边形形 ABCDABCD

的边的边 ABAB 的延长线上一点，且 ，那么 的延长线上一点，且 ，那么

SS△△BEF BEF == ？ ？

ABBE4

1

F

D C

A B E

8. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的 2cm变成了 6cm ，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？

6 3

2 1解： 放缩比例为

面积发生了2

3 9

1 1

S

S

变化

原图

9S S变化 原图

1. 1. 相似三角形对应高的比，对应角平分线相似三角形对应高的比，对应角平分线的比的比 ,, 对应中线的比，对应周长的比都等于对应中线的比，对应周长的比都等于相似比相似比 ..(( 相似三角形对应线段的比等于相似比相似三角形对应线段的比等于相似比 ))

2.2. 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方 ..

6 、如图，矩形 FGHN 内接于△ ABC ， FG在BC 上， NH 分别在 ABAC 上，且 AD⊥BC于 D ，交 NH 于 E ， AD=8cm,BC=24cm,(1) △ABC∽ △ANH 成立吗？试说明理由；(2) 求矩形 FGHN 的面积的最大值A

B C

N HE

F D G

7 、如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积为多少？

FE D

CB

A

L' L

F' FB

H

A

B CD

A /

B / C /D /

相似三角形的对应边上高线有什么关系？

相似三角形的对应高线之比等于相似比。

已知 ： ΔABC ΔA∽ /B/C/ AD BC 于 D ， A / D / B / C / 于 D / ，

求证：

' ' ' '

AD ABk

A D A B

类似得出相似三角形的对应角平分线之比，中线之比，都等于相似比

6. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是 15cm, 一种半径是 30cm ，如果半径是 15cm 的蛋糕够 2 个人吃，半径是 30cm 的蛋糕够多少人吃？（假设两种蛋糕高度相同）

解： 两地蛋糕是相似的

相似比是 1 ： 2

面积的比为2

11: 4

2

设半径是 30cm 的蛋糕够 x人吃

1 ： 4 ＝ 2 ： x

x = 8

答：半径是 30cm 的蛋糕够 8 个人吃．