27/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Huitième cours.
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27/09/07
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Huitième cours
27/09/07
Rappel du dernier cours
• Valeur accumulée d’une annuité simple constante de fin de période
27/09/07
Rappel du dernier cours
• Valeur accumulée d’une annuité simple constante de fin de période
• Annuité simple constante de début de période
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Rappel du dernier cours
• Valeur accumulée d’une annuité simple constante de fin de période
• Annuité simple constante de début de période
• Valeur actuelle d’une annuité simple constante de début de période
27/09/07
Rappel du dernier cours
• Valeur accumulée d’une annuité simple constante de fin de période
• Annuité simple constante de début de période
• Valeur actuelle d’une annuité simple constante de début de période
• Valeur accumulée d’une annuité simple constante de début de période
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Rappel du dernier cours
Nous avons ainsi vu quatre formules:
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Rappel du dernier cours
Nous avons ainsi vu quatre formules:
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Rappel du dernier cours
Nous avons ainsi vu quatre formules:
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Rappel du dernier cours
Nous avons ainsi vu quatre formules:
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Ces différentes valeurs sont représentées dans le diagramme suivant:
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Ce dernier diagramme nous permet de relier ces différentes valeurs.
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Rappel du dernier cours
Nous avons les formules:
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Rappel du dernier cours
Nous avons les formules:
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Rappel du dernier cours
Nous avons les formules:
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Rappel du dernier cours
Nous avons les formules:
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Il est parfois nécessaire de connaitre la valeur d’une
annuité à d’autres moments qu’à t = 0 et t = n.
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La bonne stratégie est d’utiliser ce que nous avons
développé jusqu’à maintenant pour exprimer ces valeurs.
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Annuité différée:
• Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation avant le premier paiement de celle-ci
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Annuité différée:
• Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation avant le premier paiement de celle-ci
• Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation après le dernier paiement de celle-ci
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Annuité différée:
• Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation avant le premier paiement de celle-ci
• Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation après le dernier paiement de celle-ci
• Valeur d’une annuité à un paiement de celle-ci
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Premier cas:
Déterminons la valeur actuelle d’une annuité simple constante de fin de période consistant en n paiements de 1$ dont le début est différé de m périodes.
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Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:
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La valeur de cette annuité à t = 0 est donnée par la formule:
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Exemple 1:
Yvan Sankrédi a fait l’achat d’une chaine de magasins au montant de 20 000 000$. Il financecet achat en faisant un prêt au même montant, prêt qu’il remboursera par 30 versements annuels égaux au montant de R dollars. Il commencera ces versements dans quatre ans. Le taux effectif du prêt est de 7% par année.
Quel est le paiement annuel R fait par Yvan?
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Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:
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Nous avons bien une annuité simple constante. La période de paiement est la même que la période de capitalisation de l’intérêt.
Le taux d’intérêt est de 7% par période de capitalisation.
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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est
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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est
ou encore
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Peu importe que nous utilisions la première ou la seconde équation, nous obtenons
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Deuxième cas:
Déterminons la valeur accumulée m périodes après le dernier paiement d’une annuité simple constante de fin de période consistant en n paiements de 1$. Nous supposons que le montant accumulé au moment du dernier paiement est investi dans un placement rémunéré au même taux d’intérêt que l’annuité.
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Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:
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La valeur de cette annuité à t = m + n est donnée par la formule:
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Exemple 2:
Anastasia déposera dans un compte de banque 100$ par mois pendant 15 ans. Elle fait ces versements à la fin de chaque mois et le taux d’intérêt auquel ce compte est rémunéré est le taux nominal d’intérêt i(12) = 6% par année capitalisé mensuellement. Si elle compte retirercomplètement le capital accumulé 4 ans après le dernier versement, quel montant retirera-t-elle?
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Exemple 2: (suite)
Le taux d’intérêt par mois est
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Exemple 2: (suite)
Le taux d’intérêt par mois est
Il y aura 15 x 12 = 180 versements dans le compte debanque. Ensuite Anastasia retire son capital 4 x 12 = 48périodes plus tard.
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Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:
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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 228 périodes de capitalisation est
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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 228 périodes de capitalisation est
ou encore
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Peu importe que nous utilisions la première ou la seconde équation, nous obtenons que le capital accumulé est
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Exemple 3:
Barnabé emprunte 50000$ qu’il remboursera enfaisant 32 versements trimestriels: les 8 premiers paiements sont au montant de R dollars, les 16 suivants sont au montant de 0.9R dollars et les 8 derniers au montant de (R + 1000) dollars. Les paiements sont faits à la fin de chaque trimestre, le premier est fait trois mois après le prêt. Le taux d’intérêt est le taux nominal i(4) = 8% par année capitalisé à tous les 3 mois. Déterminer R.
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Exemple 3: (suite)
Le taux d’intérêt par trimestre est
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Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:
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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est
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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est
Nous obtenons alors que
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Mais nous aurions aussi pu écrire cette équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 sous la forme
Nous obtenons aussi alors que
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Troisième cas:
Déterminons la valeur au me paiement d’une annuité simple constante de fin de période consistant en n paiements de 1$.
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Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:
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La valeur de cette annuité à t = m est donnée par la formule:
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Rente perpétuelle:
Une annuité pour laquelle les paiements ne s’arrêtent jamais est une rente perpétuelle. Les paiements sont faits à la fin de chaque période.
Il est possible de calculer sa valeur actuelle. Cependant il n’y a pas de valeur accumulée parce qu’il n’y a pas de dernier paiement.
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Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:
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Rente perpétuelle: (suite)
Nous notons la valeur actuelle de cette rente perpétuelle par
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Rente perpétuelle: (suite)
Nous pouvons calculer la valeur actuelle de cette rente. Il est facile par des moyens élémentaires d’obtenir que
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Interprétation:
Nous pouvons interpréter la formule
au moyen de rentes perpétuelles.
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Interprétation: (suite)
Une annuité de fin de période consistant en des paiements de 1$ peut être vu comme une rente perpétuelle auquel nous soustrayons une rente perpétuelle différée de n périodes.