261107 1 7 - Naresuan University · 2013. 8. 22. ·...

บทนา

เอกสารประกอบการเรยนรายวชา 261107 หลกฟสกส 1 ตอนตน เปนเอกสารทประกอบดวยบทเรยนจานวน 7 บทเรยน ซงเนอหาจะอยในครงแรกของวชาหลกฟสกส ประกอบดวย เวกเตอร การเคลอนทใน 1 มต การเคลอนทใน 2 และ 3 มต กฎการเคลอนท การเคลอนทแบบหมนและอนๆ การประยกตกฎของนวตน งานและพลงงาน พลงงานศกยและกฎการอนรกษพลงงาน โมเมนตมเชงเสนและการชน การเคลอนทแบบหมนของวตถแขงเกรง การเคลอนทแบบกลง โมเมนตมเชงมมและทอรกเนอหาภายในเลมจะประกอบดวยคาอธบาย ตวอยาง และแบบฝกหด เพอใหนสตเขาใจเนอหาไดงายขน นสตสามารถคนควาเนอหาเพมเตมไดจากหนงสอเรยนฟสกสอนๆ ซงทางภาควชาฟสกสขอขอบคณ ผชวยศาสตราจารย ดร.ชมพนช วรางคณากล ทไดเรยบเรยงและจดพมพเนอหาในเอกสารฉบบน และหวงเปนอยางยงวาเอกสารฉบบนจะทาใหนสตสามารถเรยนรวชาฟสกสไดดยงขน และถามขอผดพลาดประการใดภาควชาฟสกสขออภยมา ณ โอกาสน ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยนเรศวร

สารบญ เรอง หนา

บทท 1 เวกเตอร และคณตศาสตรทใชในฟสกส 1 บทท 2 การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต 18 บทท 3 กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน 34 บทท 4 งานและพลงงาน 54 บทท 5 โมเมนตมเชงเสนและการชน 74 บทท 6 การเคลอนทแบบหมน 96 บทท 7 การเคลอนทแบบกลง โมเมนตมเชงมม และทอรก 118

ผสอน ผศ.ดร. ชมพนช วรางคณากล

บทท 1 เวกเตอร และคณตศาสตรทใชในฟสกส

ปรมาณเวกเตอร เปนปรมาณทตองการทงขนาดและทศทาง จงจะเขาใจความหมายไดสมบรณ เชน ความเรว ความเรง แรง ปรมาณสเกลาร เปนปรมาณทบอกแตขนาดอยางเดยวกสมบรณแลว เชน มวล อณหภม ปรมาตร การเขยนเสนตรงแทนเวกเตอร การเทากนของเวกเตอร เวกเตอรนเสธ คอเวกเตอรใดๆ ทมขนาดเทากน แตมทศทางตรงขาม การบวกเวกเตอร

การบวกเวกเตอร Av ดวย Bv ไดผลลพธเปน Cv ดงรป เขยนสมการไดเปน BAC vvv += (1.1)

ขนาดของ Cv หรอ BA vv + เปน

เวกเตอร ใดๆ สามารถแทนไดดวยเสนตรง โดยทความยาวแทนขนาดของเวกเตอร หวลกศรแทนทศของ เวกเตอร ดงรปขนาดของเวกเตอร เขยนแทนดวย A หรอ Av

Av และ Bv จะเปนเวกเตอรทเทากน เมอมขนาดเทากน และมทศไปทางเดยวกนดงรป เขยนแสดงไดวา BA vv =

จากรป ไดวา BA vv −= หรอ AB vv −=

θ++= cosAB2BAC 22 (1.2) เมอ θ เปนมมระหวาง Av กบ Bv

คณตศาสตรทใชในฟสกส หนา 2

เวกเตอร BA vv + และ AB vv + จะไดเวกเตอรลพธทเทากน ดงรป จะได ABBAC vvvvv +=+= (1.3)

การบวกเวกเตอรมากกวา 2 ตว โดยการเขยนรป

DCBAR vvvvv +++= (1.4) การลบเวกเตอร

BA)B(AD vvvvv −=−+= เมอ θ เปนมมระหวาง Av กบ Bv เดม โดยขนาด

θ−+= cosAB2BAD 22 (1.5) สมบตพนฐานของเวกเตอร

เมอให B,A vv และ Cv เปนเวกเตอร m และ n เปนสเกลาร แลวจะได 1. ABBA vvvv +=+ กฎการสลบท 2. C)BA()CB(A vvvvvv ++=++ กฎการสมทบการบวก 3. ผลคณของ Av ดวย m ไดเปน Amv จะมขนาด m เทาของ Av มทศเหมอน Av เมอ

m > 0 และตรงขามกบ Av เมอ m < 0 แสดงดงรปขางลาง

เมอ Amv =0 เรยกวา เวกเตอรศนย (Zero Vector or Point Vector)


4. การบวกและลบเวกเตอรมากกวาสองตวขนไป ทาไดโดยกลบทศเฉพาะเวกเตอรทมเครองหมายลบนาหนา เชน

DCBAE vvvvv +−−= เขยนใหมไดเปน D)C()B(AE vvvvv +−+−+=

5. mAAm vv = 6. A)mn()An(m vv = 7. AnAmA)nm( vvv +=+ 8. BmAm)BA(m vvvv +=+

ตวอยาง 1.1 ถาให Av มขนาด 6 หนวย และ Bv มขนาด 7 หนวย มทศดงรป วธทา ก. หาขนาดของ BA vv + จากรปจะเหนวา Av และ Bv นนทามมตอกน 150o

จะเหนวาในขอน ขนาดของ BA vv + มคานอยกวาขนาดของ Av หรอขนาดของ Bv เนองจากเวกเตอรทงสองกระทาตอกนเปนมมปานจงทาใหขนาดของการบวกเวกเตอรมคาลดลง

ข. ขนาดของ BA vv −

จะเหนวาในขอน ขนาดของ BA vv − มคามากกวาขนาดของ BA vv + เนองจากเวกเตอรทงสองกระทาตอกนเปนมมปานจงทาใหขนาดของการลบเวกเตอรมคามากขนดงรป

จงหา ก. ขนาดของ BA vv + ข. ขนาดของ BA vv −

R เปนเวกเตอรลพธ โดยท o22 150cosAB2BAR ++= o22 150cos)7)(6(276R ++= 253.12R = R = 3.5 หนวย

P เปนเวกเตอรลพธ โดยท o22 150cosAB2BAP −+= o22 150cos)7)(6(276R −+= 746.157R = R = 12.56 หนวย ตอบ


ลองทาด นกสารวจแรเดนทางจากทพกไปทางทศเหนอ 3 กโลเมตร แลวเดนไปทางทศตะวนออกเฉยงเหนออก 5 กโลเมตร พบแหลงแรพอด อยากทราบวาทพกอยหางจากแหลงแรเทาใด ทศทางไหน

เวกเตอรหนงหนวย (Unit Vector)

AAav

=

AaA =v (1.6) เวกเตอรหนงหนวยในระบบพกดฉาก 3 มต ในระบบ 3 มต เรานยมให k,j,i เปนเวกเตอรหนงหนวยตามแนวแกน X, Y, Z ดงรป สมบตพเศษของเวกเตอร

1. เวกเตอรหนงหนวย k,j,i มทศตงฉากซงกนและกน 2. เปนเวกเตอรคงท (Constant Vector) นอกจากขนาดจะคงทแลว ทศยงคงทดวย 3. ชดเวกเตอรหนงหนวย k,j,i จะเรยงตามลาดบกฎมอขวา คอกามอขวารอบแกน

k ใหนวหวแมมอชไปตามแกน k แลวหมนแกน i วนไปตามนวมอทกาเปนมม 90o แกน i จะบรรจบกบแกน j ได

สวนประกอบของเวกเตอร ก. เวกเตอรใน 2 มต

หมายถงเวกเตอรทมขนาดหนงหนวย จากรปถาให aเปนเวกเตอรหนงหนวยในทศของ Av แลว เขยนสมการแสดงนยามของเวกเตอรหนงหนวย a ไดเปน

จาก yx AAA vvv += (1.7) และ iAA xx =v jAA yy =v ดงนน jAiAA yx +=v (1.8)


ถาใหมม θ เปนมมท Av กระทากบแนวแกน X จะได Ax = A cos θ

Ay = A sin θ ขนาดของเวกเตอร Av หาไดจาก

2y

2x AAA += (1.10)

ข. เวกเตอรใน 3 มต

kAjAiAAAAA zyxzyx ++=++= vvvv

โดยท 2z

2y

2x AAAA ++= (1.12)

โคไซนบอกทศ (Direction Cosine) ตวอยาง 1.2 ให k4j3i2A ++=v จงหาขนาดและโคไซนบอกทศของ Av วธทา

θ คอมมท Av กระทากบแกน Z และ φ คอมมทเงาของ A

v ทฉายลงบนระนาบ XY กระทากบแกน X

φθ= cossinAA x φθ= sinsinAA y (1.11)

θ= cosAA z

จากรป ให γβα ,, เปนมมท Av กระทากบแกน X,Y,Z

ไดวา AAcos x=α

AA

cos y=β (1.13)

AAcos z=γ

ขนาดของ Av 2

z2y

2x AAAA ++=

222 432A ++= = 5.39 ตอบ

(1.9)


และ โคไซนบอกทศของ Av จะได

37.039.52

AAcos x ===α

56.039.53

AA

cos y ===β

74.039.54

AAcos z ===γ ตอบ

เวกเตอรตาแหนง (Position Vector) เปนเวกเตอรทใชบอกตาแหนงของอนภาคทอยใน Space ซงอยนงหรอเคลอนทกตามเทยบกบจดกาเนด O เรานยมให rv เปนเวกเตอรตาแหนงของจด P(x,y,z) ดงแสดงในรป

ระยะทางระหวางจดสองจด

ระยะทางระหวางจด P1 กบ P2 จะเทากบขนาดของเวกเตอร 21rv นนคอ

212

212

21221 )zz()yy()xx(r −+−+−= (1.16)

และสมการของเวกเตอรตาแหนงของจด P (x,y,z) เขยนไดเปน

kzjyixr ++=v (1.14)

จากรปจะเหนวา 1rv เปนเวกเตอรตาแหนงของ P1 kzjyixr 1111 ++=v 2rv เปนเวกเตอรตาแหนงของ P2 kzjyixr 2222 ++=v 21rv เปนเวกเตอรตาแหนงของจด P2 เทยบกบ P1 k)zz(j)yy(i)xx(r 12121221 −+−+−=v (1.15)


ตวอยางท 1.3 อนภาคตวหนงวางอยท P (2,3,-1) เมตร และมอนภาคอกตวหนงวางอยทจด Q (4,-3,2) เมตร จงหา ก. เวกเตอรตาแหนงของจด Q สมพทธกบจด P ข. ระยะหางระหวางอนภาคทงสอง วธทา ก. ให 21r

v เปนเวกเตอรตาแหนงของจด Q สมพทธกบจด P จะได 1221 rrr vvv −=

k)12(j)33(i)24(r21 ++−−+−=v k3j6i2r21 +−=v เมตร ตอบ ข. ให d เปนระยะหางระหวางอนภาคทงสอง

22221 3)6(2rd +−+== v

d = 7 เมตร ตอบ ผลคณเวกเตอร 1. ผลคณเชงสเกลาร (Scalar Product or Dot Product) 2. ผลคณเชงเวกเตอร (Vector Product or Cross Product) ผลคณเชงสเกลาร

จากรป ให 1rv และ 2r

v เปนเวกเตอรตาแหนงของจด P และ Q ตามลาดบ kj3i2r1 −+=v k2j3i4r2 +−=v

ผลคณเชงสเกลารของ Av และ Bv เขยนแทนดวย BA vv ⋅ (อานวา เวกเตอร A dot เวกเตอร B) มคาเทากบผลคณของขนาดของ Av กบ Bv กบโคไซนของมมระหวาง Av กบ Bv เขยนไดเปน θ=⋅ cosABBA vv (1.17)

ABBAcosvv ⋅

=θ (1.18)


กฎของผลคณเชงสเกลาร ให B,A vv และ Cv เปนเวกเตอร ใดๆ m เปนสเกลาร 1. ABBA vvvv ⋅=⋅ กฎการสลบท 2. CABA)CB(A vvvvvvv ⋅+⋅=+⋅ กฎการกระจาย 3. )Bm(AB)Am()BA(m vvvvvv ⋅=⋅=⋅ 4. เมอให k,j,i เปน Unit Vector ตามแนวอางอง X,Y,Z แลว

4.1 1kkjjii =⋅=⋅=⋅ 4.2 0ikkjji =⋅=⋅=⋅ 4.3 0kijkij =⋅=⋅=⋅

5. เมอให kAjAiAA zyx ++=v และ kBjBiBB zyx ++=v จะได 5.1 ABBABABABA zzyyxx

vvvv ⋅=++=⋅ 5.2 22

z2y

2x AAAAAA =++=⋅ vv

6. เรยก Cosine ของมมท Av ทากบเวกเตอรหนวย k,j,i คอ )j,Acos(),i,Acos( vv

และ )k,Acos(v ตามลาดบ วาเปน Direction Cosine ดงรป 7. ถา BA vv = แสดงวาเวกเตอรทงสองเหมอนกนทกประการ มมระหวางเวกเตอรทงสองจะ

เทากบศนย เราได 1)B,Acos( =vv

และ 22 BABA ==⋅ vv 8. ถา 0BA =⋅ vv โดยท 0A ≠v และ 0B ≠v แสดงวา Av และ Bv ตงฉากกน ดงนน

0)B,Acos( =vv 9. ถา b,a เปนเวกเตอรหนวยของ B,A vv ตามลาดบ ผลคณเชงสเกลารของ aกบ b ยอม

เทากบ )B,Acos( vv คอ )B,Acos(ba vv=⋅

10. ขนาดของ Av ทฉายไปบน Bv คอ θcosA เทากบผลคณเชงสเกลารของ Av กบ b นนคอ

bAcosA ⋅=θ v

6.1 iaAA)i,Acos( x ⋅==v

6.2 jaAA

)j,Acos( y ⋅==v

6.3 kaAA)k,Acos( z ⋅==v


จากรปซายมอ bacos ⋅=θ baA)ba(AcosA ⋅=⋅=θ bAcosA ⋅=θ

v ในทานองเดยวกน ขนาดของ Bv ฉายลงบน Av กเทากบผลคณเชงสเกลารของ Bv กบ a นนคอ aBcosB ⋅=θ

v ตวอยาง 1.4 ถาให kj2i2A −+=v และ k2j3i6B +−=v จงหา ก. BA vv ⋅ และ AB vv ⋅ ข. มมระหวาง Av และ Bv วธทา ก. zzyyxx BABABABA ++=⋅vv = (2)(6)+ (2) (-3) +(-1) (2) = 4 ตอบ zzyyxx ABABABAB ++=⋅vv = (6)(2)+(-3)(2)+(2)(-1) = 4 ตอบ

ข. มมระหวาง Av และ Bv เราตองหาขนาดของ Av และ Bv กอน โดยท 3)1(22AAAA 2222

z2y

2x =−++=++=

และ 72)3(6BBBB 2222z

2y

2x =+−+=++=

ดงนน 191.0)7)(3(

4AB

BAcos ==⋅

=θ

vv

o1 79)191.0(cos == −θ ตอบ


ผลคณเชงเวกเตอร ผลคณเชงเวกเตอรของ Av และ Bv เขยนแทนดวย BA vv× (อานวา Av cross Bv ) โดยใหนยามดงน θ=× sinABBA vv (1.19) เมอ θ เปนมมระหวาง Av และ Bv โดยท π<θ<0

AB

BAsinvv×

=θ (1.20)

กฎของผลคณเชงเวกเตอร ให B,A vv และ Cv เปนเวกเตอร ใดๆ m เปนสเกลาร 1. ABBA vvvv ×≠× แต ABBA vvvv ×−=× 2. CABA)CB(A vvvvvvv ×+×=+× 3. )Bm(AB)Am()BA(m vvvvvv ×=×=× 4. ผลคณเชงเวกเตอรของ k,j,i จะไดเปน

4.1 0kkjjii =×=×=× 4.2 jik,ikj,kji =×=×=× 4.3 jki,ijk,kij −=×−=×−=×

5. ถาให kAjAiAA zyx ++=v และ kBjBiBB zyx ++=v จะได k)BABA(j)BABA(i)BABA(BA xyyxzxxzyzzy −+−+−=× vv

6. ผลคณเชงเวกเตอรหาจากคาดเทอรมแนนตดงน

zyx

zyx

BBB

AAAkji

BA =× vv

7. ถา 0BA =× vv โดยท 0A ≠v และ 0B ≠v แลว จะไดวา Av และ Bv มทศขนานกน

หรอไมก BA vv =

n เปนเวกเตอรหนวยมทศตงฉากกบระนาบของ Av และ Bv ตามกฎมอขวา


8. ขนาดของ BA vv× จะเทากบพนทของสเหลยมดานขนานทม Av และ Bv เปนดานประกอบ

9. B,A vv และ Cv มความสมพนธตางๆ ดงน

9.1 ผลคณเชงสเกลารของ B,A vv และ Cv )BA(C)CA(B)CB(A vvvvvvvvv ×⋅=×⋅=×⋅

9.2 ผลคณเชงเวกเตอรของ B,A vv และ Cv 1. )BA(C)CA(B)CB(A vvvvvvvvv ⋅−⋅=×× 2. )CB(A)CA(BC)BA( vvvvvvvvv ⋅−⋅=××

ตวอยางท 1.5 จงหาพนทสเหลยมดานขนานซงม kj2i4A −+=v เมตร และ

k2j3i3B −+=v เมตร เปนดานประชด วธทา พนทสเหลยมดานขนาน = ขนาดของ BA vv× )k2j3i3()kj2i4( −+×−+=

233124

kji

−−=

k6j5i +−−=

222 6)5()1( +−+−= 87.762 == ตารางเมตร ตอบ การหาคาอนพนธของเวกเตอร (Derivative of Vector Functions) นยาม ถาให )u(AA vv = เปนฟงกชนเวกเตอรทมคาขนอยกบตวแปรสเกลาร u เพยงตวเดยวแลว อนพนธของ Av เทยบกบ u จะนยามดงน

uAlimA

dud

0u ∆∆

=→∆

vv

u)u(A)uu(AlimA

dud

0u ∆−∆+

=→∆

vvv (1.21)

พนทสเหลยมดานขนาน = ฐาน x สง = Ah = AB sin θ BA vv×=

พนทสามเหลยม θ=×= sinAB21BA

21 vv


เมอ limit หาคาไดจรง และเรยก (1.21) นวาเปนอนพนธอนดบทหนงของ Av เทยบกบ u

ถาให kAjAiAA zyx ++=v เปนฟงกชนเวกเตอรของตวแปรสเกลาร u แลว อนพนธอนดบทหนงของ Av เทยบกบ u ในเทอมผลรวมขององคประกอบของเวกเตอร จะ

เขยนไดเปน kAdudjA

dudiA

dudA

dud

zyx ++=v (1.22)

และอนพนธอนดบทสองของ Av เทยบกบ u ได

kAdudjA

dudiA

dudA

dud

z2

2

y2

2

x2

2

2

2

++=v (1.23)

สตรเบองตนสาหรบการหาอนพนธของเวกเตอร ถาให B,A vv และ Cv เปนฟงกชนเวกเตอร ทขนกบตวแปรสเกลาร u และ φ เปนฟงกชน สเกลารของตวแปร u แลว จะไดสตรการหาอนพนธดงน

1. AdudA

dud)A(

dud vvv

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= φφφ

2. BdudA

dud)BA(

dud vvvv +=+

3. BAdudB

dudA)BA(

dud vvvvvv ⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⋅=⋅

4. BAdudB

dudA)BA(

dud vvvvvv ×⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛×=×

ตวอยาง 1.6 ถาให k3juiuA 2 +−=v และ kuj2iuB −+=v จงหา

ก. )BA(dud vv + ข. )BA(

dud vv ⋅ ค. )BA(

dud vv×

วธทา ก. จาก BdudA

dud)BA(

dud vvvv +=+

)kuj2iu(dud)k3juiu(

dud)BA(

dud 2 −+++−=+ vv

)ki()jiu2()BA(dud

−+−=+ vv

kji)1u2()BA(dud

−−+=+ vv ตอบ

ข. จาก

)kuj2iu()k3juiu(

dud

)kuj2iu(dud)k3juiu()BA(

dud

2

2

−+⋅+−+

−+⋅+−=⋅ vv


)}kuj2iu()jiu2{()}ki()k3juiu{()BA(dud 2 −+⋅−+−⋅+−=⋅ vv

2u230u)BA(dud 22 −+−+=⋅ vv

5u3)BA(dud 2 +=⋅ vv ตอบ

หรอ )kuj2iu()k3juiu(BA 2 −+⋅+−=⋅ vv u3u2uBA 3 −−=⋅ vv u5uBA 3 −=⋅ vv

ดงนน )u5u(dud)BA(

dud 3 −=⋅ vv

5u3)BA(dud 2 −=⋅ vv ตอบ

ค. จาก

zyx

zyx

BBB

AAAkji

BA =× vv

เราได u2u

3uu

kji

BA 2

−−=× vv

ku3j)u3u(i)6u(BA 232 +++−=× vv

ดงนน }ku3j)u3u(i)6u{(dud)BA(

dud 232 +++−=× vv

ku6j)3u3(iu2)BA(dud 2 +++=× vv ตอบ


ตวอยาง 1.7 กาหนด ktjtit5A 32 −+=v จงหาคาของ )AA(dtd vv ⋅ เมอ t = 1

วธทา จาก 6242 ttt25AAA ++==⋅ vv

)ttt25(dtd)AA(

dtd 624 ++=⋅ vv

53 t6t2t100)AA(dtd

++=⋅ vv

แทนคา t = 1 จะได

10862100)AA(dtd

=++=⋅ vv ตอบ

ตวอยาง 1.8 ให ktj)tcos(i)tsin(R ++=v จงหา

ก. Rdtd v ข. R

dtd

2

2 v

วธทา ก. จาก ktj)tcos(i)tsin(R ++=v

}ktj)tcos(i)t{sin(dtdR

dtd

++=v

kj)tsin(i)tcos(Rdtd

+−=v

ดงนน 222 1)t(sin)t(cosRdtd

++=v

414.1211Rdtd

==+=v ตอบ

ข. จาก ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= R

dtd

dtdR

dtd

2

2 vv

}kj)tsin(i)t{cos(dtdR

dtd

2

2

+−=v

j)tcos(i)tsin(Rdtd

2

2

−−=v

)t(cos)t(sinRdtd 22

2

2

+=v

11Rdtd

2

2

==v ตอบ


การอนทเกรตเวกเตอร (Integration of Vector) การอนทกรลแบบไมจากดเขต (Indefinite Integrals) นยาม ถาให kAjAiA)u(A zyx ++=v เปนฟงกชนเวกเตอรของตวแปรสเกลาร u แลว อนทกรลแบบไมจากดเขตของ )u(Av เทยบกบ u เขยนไดดงน ∫∫∫∫ ++= dzAkdyAjdxAidu)u(A zyx

v (1.24)

และถามฟงกชนเวกเตอร )u(Bv ตวหนง โดยทอนพนธเทากบ )u(Av นนคอ )u(Bdud)u(A vv =

แลว อนทกรลใน (1.24) จะหาผลลพธไดเปน C)u(B)u(Bddu)u(A vvvv +== ∫∫ (1.25) เมอ C

v เปนเวกเตอรคงทตามใจชอบของการอนทเกรต ตวอยาง 1.9 จงหาคาของ ∫ duAv เมอ ku6ju2iu3A 22 +−=v วธทา ∫∫ +−= du)ku6ju2iu3(duA 22v duu6kudu2jduu3iduA 22

∫∫∫∫ +−=v Cku2juiuduA 323 vv ++−=∫ ตอบ การอนทกรลแบบจากดเขต (Definite Integrals) นยาม อนทกรลแบบจากดเขตของฟงกชนเวกเตอร )u(Av จากชวง u = a ถง u = b นยามไดดงน

b

a

b

au

b

auC)u(B)u(Bddu)u(A vvvv +== ∫∫

==

)a(B)b(Bdu)u(Ab

au

vvv +=∫=

(1.26)

ตวอยาง 1.10 ถาให k4j)3u3(i)1u2()u(A 2 −−+−=v จงหา ∫=

2

1udu)u(Av

วธทา du4kdu)3u3(jdu)1u2(idu)u(A2

1u

2

1u

22

1u

2

1u∫∫∫∫====

−−+−=v

2

1

322

1u}ku4j)u3u(i)uu{(du)u(A −−+−=∫

=

v

)k4j20()k8j2i2(du)u(A2

1u−−−−+=∫

=

v

k4j4i2du)u(A2

1u−+=∫

=

v ตอบ


การอนทเกรตเชงเสน (Line Integrals) ถา kAjAiA)u(A zyx ++=v เปนสนามเวกเตอร อนทกรลขององคประกอบของ Av ในแนวสมผสเสนโคง C ดงรป เรยกวา อนทกรลเชงเสน และใหนยามดงน

∫∫ ++=⋅C

zyx )dzAdyAdxA(rdA vv (1.27)

ถาเสนโคง C เปนเสนโคงทลากจาก P1 ไปยง P2 แลว อนทกรลเชงเสนตาม (1.27) จะเปน

∫∫ ++=⋅2

1

P

Pzyx )dzAdyAdxA(rdA vv (1.28)

และถา C เปนเสนโคงปดอยางงายแลว อนทกรลรอบเสนโคงปด C จะได ∫∫ ++=⋅

Czyx )dzAdyAdxA(rdA vv (1.29)

ตวอยาง 1.11 ถาให kxzjx2iyzA −+=v จงหา ∫ ⋅ rdA vv เมอ C เปนเสนโคงซงม สมการพารามเตอร x = t , y = 2t , z = t2 จาก t = 0 ถง t = 1

วธทา จาก ∫∫ ++=⋅2

1

P

Pzyx )dzAdyAdxA(rdA vv

∫∫ −+=⋅2

1

P

P)xzdzxdy2yzdx(rdA vv

∫∫=

−+=⋅1

0t

233 )}t(dt)t2(td2dtt2{rdA vv

∫∫=

−+=⋅1

0t

43 )dtt2tdt4dtt2(rdA vv

1

0

52

4

5t2t2

2trdA −+=⋅∫

vv

1.210210

522

21rdA ==−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=⋅∫

vv ตอบ


แบบฝกหด บทท 1 คณตศาสตรทใชในฟสกส

กาหนดให k2j4iB,kj3i2A ++=−+= vv และ k2j2iC +−=v จงหา 1. BA vv + 2. BA vv − 3. BA vv ⋅ 4. BA vv× 5. )CxB(A vvv ⋅ 6. )CxB(A vvv× 7. C)BA( vvv ⋅× 8. )CB(A vvv ⋅⋅ 9. กาหนดให k)4t2(jt3it2A 2 ++−=v และ ktjt2itB 2++=v แลว จงหา

)BA(dtd vv ⋅ เมอ t = 2

10. กาหนด kxz3jyz2ixy4A +−=v จงหาคาของ ∫ ⋅C

rdA vv เมอ C เปนเสนโคงทมสมการ

พารามเตอรเปน x = t, y = 2t และ z = 3t จาก t = 0 ถง t = 3


บทท 2 การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต

ความเรว (Velocity) คออตราการเปลยนระยะกระจด เปนปรมาณเวกเตอร อตราเรว (Speed) คอขนาดของความเรวเปนปรมาณสเกลาร ความเรวเฉลย (Average Velocity) อนภาคเคลอนทจากจด A ทเวลา t1ไปยงจด B ทเวลา t2 1r

v = ตาแหนงของอนภาคทเวลา t1 2r

v = ตาแหนงของอนภาคทเวลา t2 ในเวลา 12 ttt −=∆ อนภาคเคลอนท

ไดการกระจด 12 rrr vvv −=∆ ดงนนจะได

ความเรวเฉลย tr

ttrrv12

12av ∆

∆=

−−

=vvv

v (2.1)

ความเรวบดดล (Instantaneous Velocity) คอความเรวขณะใดขณะหนง หรอความเรวทจดใดๆ ความเรวบดดลของการเคลอนทของอนภาคจะหาไดจากคาจากดความของความเรวเฉลย เมอ 0t →∆

dtrd

trlimv

0t

vvv =

∆∆

=→∆

(2.2)

สวนประกอบของเวกเตอรความเรว เมอให )t(rr vv = เปนเวกเตอรตาแหนงของวตถทเวลา t ใดๆ ซงเขยนสมการไดเปน

kzjyixr ++=v (2.3) โดยท x,y,z เปนฟงกชนของเวลา t ดงนน ความเรว vv ของวตถ เมอหาจากอนพนธของ rv เทยบกบเวลา t จะได

kdtdzj

dtdyi

dtdxv ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=v (2.4)

ให vx,vy และ vz เปนสวนประกอบของความเรวในแนวแกน x,y,z ซงจะได

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

dtdzv,

dtdyv,

dtdxv zyx (2.5)

และความเรว vv ของวตถเมอเขยนในเทอมขององคประกอบของความเรว kvjvivv zyx ++=v (2.6) อตราเรวบดดล หรอเรยกสนๆ วา “อตราเรว” หมายถงขนาดของความเรว นนคอ 2

z2y

2x vvvvv ++== v (2.7)

หนวยของความเรวในระบบ SI ใชเปนเมตร/วนาท (m/s) และในระบบอนๆ อาจใชหนวยของความเรวเปน ft/s, cm/s, km/hr เปนตน

การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต หนา 19

ตวอยาง 2.1 อนภาคตวหนงเคลอนทไป ณ เวลา t ใดๆ มเวกเตอรตาแหนง kt4j)1t2(i)2t4t(r 222 +++++=v เมอ r วดเปนเมตร และ t วดเปนวนาท จงหาความเรว และอตราเรว ณ เวลา t = 1 วนาท วธทา หาความเรว เมอ t = 1 วนาท

]kt4j)1t2(i)2t4t[(dtd

dtrdv 222 +++++==v

v

kt8jt4i)4t2(v +++=v แทนคา t = 1 k8j4i6v 1t ++==

v m/s ตอบ และอตราเรว v เมอ t = 1 วนาท ได 76.10116846vvvv 2222

z2y

2x ==++=++= m/s ตอบ

ความเรง (Acceleration) คอคาความเรวทเปลยนไปตอหนงหนวยเวลา หรอเรยกวาอตราการเปลยนความเรว ความเรงเฉลย (Average Acceleration) ความเรวเปลยนไป )t(v)t(vv 12

vvv −=∆ ความเรงเฉลยในการเคลอนทของอนภาค จะได

tv

tt)t(v)t(va

12

12av ∆

∆=

−−

=vvv

v (2.8)

ความเรงบดดล (Instantaneous Acceleration) คอความเรงขณะใดขณะหนงหรอ ความเรงทจดใดๆ หาไดจากคาจากดความเรงเฉลยเมอเวลาสนๆ 0t→∆ นนคอ

2

2

0t dtrd

dtvd

tvlima

vvvv ==

∆∆

=→∆

(2.9)

องคประกอบของความเรง ความเรง av ในการเคลอนทของอนภาคตามสมการ (2.9) เมอเขยนในเทอมขององคประกอบในแนวแกน x, y, z จะได

kvdtdjv

dtdiv

dtd

dtvda zyx ++==v

v (2.10)

จากรป )t(v 1v และ )t(v 2

v เปนความเรวของอนภาคทจด A และ B ณ เวลา t1 และ t2 ตามลาดบ ในชวงเวลา 12 ttt −=∆


และ dtrdvv

v = ดงนน จะได

kdt

zdjdt

ydidt

xda 2

2

2

2

2

2

++=v (2.11)

ให ax, ay, az เปนขนาดขององคประกอบความเรงแลว ความเรง av จะเขยนไดเปน kajaiaa zyx ++=v (2.12)

โดยท

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

==

==

==

2

2z

z

2

2y

y

2

2x

x

dtzd

dtdva

,dt

yddt

dva

,dt

xddt

dva

(2.13)

ขนาดความเรง av หาจาก 2

z2y

2x aaaaa ++== v (2.14)

ตวอยาง 2.2 จงหาความเรงในการเคลอนทของอนภาคตวหนงไปตามเสนโคงขณะใดๆ มสมการพารามเตอรของตาแหนงเปน x = t2 + 4t +3, y = 2t2 + 2, z = 4t2 เมอ x, y และ z มหนวยเปน เมตร และ t มหนวยเปนวนาท วธทา ให rv เปนเวกเตอรตาแหนงของอนภาคเมอเวลา t ใดๆ kzjyixr ++=v kt4j)2t2(i)3t4t(r 222 +++++=v ให av เปนความเรงในการเคลอนทของอนภาค จะได

]kt4j)2t2(i)3t4t[(dtda 222

2

2

+++++=v

]kt8jt4i)4t2[(dtda +++=v

k8j4i2a ++=v m/s2 ตอบ


A Bivv x=v

การเคลอนทในหนงมต (One Dimensional Motion with Constant Acceleration) การเคลอนทเชงเสน (Linear Motion) การเคลอนทเชงเสน เปนการเคลอนทของวตถในหนงมต เชนการเคลอนทของรถยนตในแนวแกน x ขณะใดๆ การกระจด จะเปนฟงกชนของเวลา เขยนไดเปน

i)t(xixr ==v (2.15) ความเรว ของการเคลอนทเชงเสนในแนวแกน x จะได

idtdxivv x ==v (2.16)

เมอ x = x(t) ถาความเรว vv ไมคงทแลว ความเรว vv จะเปนฟงกชนของเวลา t ดงนนตาแหนง x ณ เวลา t ใดๆ ทวตถเคลอนทไดจะหาไดจากการอนทเกรต dx = vdt ดงน

∫∫ =t

tx

x

x 00

dtvdx (2.17)

เมอ x0 และ x เปนตาแหนงทเวลา t0 และ t อนทกรลของ (2.17) จะได

∫=−t

tx0

0

dtvxx

∫+=t

tx0

0

dtvxx (2.18)

จากสมการ (2.18) ตองทราบคา vx = v(t) จงหาคาของอนทกรลได กรณ ความเรว vv คงท จะได )tt(vxx 0x0 −+= (2.19) เปนสมการหนงของการเคลอนท ความเรง ความเรงของการเคลอนทเชงเสนตรงในแนวแกน x จะได

idt

xdidt

dviaa 2

2x

x ===v (2.20) ความเรว vv ของการเคลอนทเชงเสน ณ เวลา t ใดๆ จะได

∫+=t

t0

0

dtavv vvv (2.21)


ตวอยาง 2.3 อนภาคตวหนงเคลอนทในแนวแกน x ในขณะเวลา t ใดๆ มสมการของตาแหนง 5t5t2x 23 ++= จงหาความเรวและความเรงของอนภาค

ก. ทเวลา t ใดๆ ข. ทเวลา t = 3 s วธทา ก. ความเรว

i)5t5t2(dtdi

dtdxv 23 ++==v

i)t10t6(v 2 +=v m/s ตอบ ความเรง

i)t10t6(dtda 2 +=v

i)10t12(a +=v m/s2 ตอบ ข. ความเรวทเวลา t = 3 s

i)t10t6(v 2 +=v แทน t = 3 ได i)]3(10)3(6[v 2 +=v

i84v =v m/s ความเรงทเวลา t = 3 s i)10t12(a +=v แทน t = 3 ได i]10)3(12[a +=v

i46a =v m/s2 ตอบ การเคลอนทเชงเสนดวยความเรงคงท สาหรบสมการ (2.21) จะอนทเกรตหาคาได เมอทราบคาความเรงเปนฟงกชนของเวลา คอ )t(aa vv = และถา a มคาคงทแลว ความเรว v ณ เวลา t ใดๆ ของการเคลอนทเชงเสน โดยการอนทเกรตสมการ (2.21) จะได

∫+=t

t0

0

dtavv vvv

)tt(avv 00 −+= vvv (2.22) จากสมการ (2.22) เมอการเคลอนทเชงเสนตรงไปตามแกน x ดวยความเรงคงท แลวตาแหนง x ทอนภาคเคลอนทไปถง ณ เวลา t ใดๆ จะหาไดดงน


จาก )tt(avdtdx

00 −+=

dt)]tt(av[dx 00 −+= อนทเกรตจะได

∫∫ −+=t

t00

x

x 00

dt)]tt(av[dx

∫∫ −+=−t

t0

t

t00

00

dt)tt(adtvxx

t

t

2000

0

)tt(a21tvxx ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −++=

จะได

20000 )tt(a

21)tt(vxx −+−+= (2.23)

ถา t0 = 0, x0 = 0

20 at

21tvx += (2.24)

เอาคาของ t - t0 จากสมการ (2.22) คอ avvtt 0

0−

=− แทนลงใน (2.23)

20000 )

avv(a

21)

avv(vxx −

+−

+=

จดสมการ ได )xx(a2vv 0

20

2 −+= (2.25) หมายเหต สมการทวไปของการเคลอนทเชงเสนทมความเรง a = คาคงท กไดตาม สมการ (2.22), (2.24),(2.25) นน ถาวตถเรมเคลอนทตาแหนง x = 0 เมอเวลา t0 = 0 แลวจะได

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=

+=

+=

ax2vv

,at21tvx

,atvv

20

2

20

o

(2.26)


ตวอยาง 2.4 รถยนตคนหนงเคลอนทจากจดหยดนงไปดวยความเรง 8 m/s2 เปนเวลา 10 s แลวจงเคลอนทตอไปดวยความเรวคงทนาน 20 s ตอจากนนจงลดความเรวลง เคลอนทไปดวยความหนวง 8 m/s2 จนกระทงหยดนง จงหา ก. ระยะทางทงหมดทรถเคลอนทไปได ข. เวลาทงหมดทรถใชในการเคลอนท ก. หาระยะทางทงหมดทรถเคลอนทได

ให x เปนระยะทางทงหมด = x1 + x2 + x3 (1) ตอนท 1 ( BA → ) BA → ม a = 8 m/s2 เปนเวลา 10 s หาระยะทาง x1 ไดดงน

201 at

21tvx +=

400)10)(8(21)10)(0(x 2

1 =+= เมตร (2)

หาความเรวทจด B )tt(avv 00B −+= s/m80)10(80vB =+= (3) ตอนท 2 ( CB→ )

CB→ มความเรวคงท 80 m/s เปนเวลา 20 วนาท หาระยะทาง x2 ได tvx B2 = 160)20)(80(x2 == เมตร (4) ตอนท 3 ( DC → )

DC → รถมความหนวง(a = -80 m/s2) มความเรวตน 80 m/s และความเรวสดทาย vD = 0 จงหา x3 3

20

2D ax2vv −=

32 x)8(2)80(0 −=

x3 = 400 เมตร (5) แทนคา x1, x2 และ x3 ใน (1) ไดระยะทางทงหมด x = 400 + 1600 + 400

x = 2400 เมตร ตอบ


ข. หาเวลาทงหมด t = t1 + t2 + t3 เมอ t1 = 10 วนาท, t2 = 20 วนาท และ t3 = เวลารถแลนในชวง DC → จะได

vD = vC - at3 แทนคา 0 = 80 - 8(t3) t3 = 10 วนาท

เวลา t = 10 + 20 + 10 = 40 วนาท ตอบ การเคลอนทในแนวดงและการตกของวตถอยางเสร (Free Falling Body) หลกการคานวณสาหรบการเคลอนทในแนวดง 1. ความเรงคงท a = - g = -9.8 m/s2 2. ใหใชพนโลกเปนแกนอางองปรมาณ v0, vy และ y จะมเครองหมายเปนบวกเมอวตถเคลอนทขน และเปนลบเมอเคลอนทลง 3. วตถตกอยางเสร v0 = 0 วตถเคลอนทขนถงจดสงสด vy = 0 4. เครองหมายของเวลา t ตองเปนบวกเสมอ ตวอยาง 2.5 วตถอนหนงถกปลอยใหตกจากยอดตกสง h ขณะทปลอยวตถอนแรกน วตถอนทสองถกยงสวนขนไปในแนวดง ดวยความเรวทพอด ทาใหวตถอนทสองขนไปถงยอดตก อยากทราบวาวตถทงสองอนนจะสวนกน ณ ทสงเทาใด วธทา

การเคลอนทในแนวดงหรอตามแกน y เปนการเคลอนทเชงเสนทมความเรงคงท a = - g = - 9.8 m/s2 จะไดสมการเปน vy = v0 - gt

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

−=

gy2vv

gt21tvy

20

2y

20

(2.27)

คดการเคลอนทของวตถอนแรกเมอตกลงมาไดทาง h - y จะสวนกบวตถอนทสองในเวลา t ดงนนได

20 gt

21tvy −=

แทนคา 2gt210)yh( −=−−

2gt21yh =− (1)


คดการเคลอนทของวตถอนทสอง จะได

20 gt

21tvy −= (2)

หา v0 ไดจาก gy2vv 20

2y −=

เมอ vy = 0 จะได gh2v0 20 −=

gh2v0 = แทนใน (2) จะได 2gt

21gh2ty −= (3)

(1) และ (2) เวลาเทากน (1)+(3) จะได gh2th =

ดงนน g2ht = (4)

แทน t จาก (4) ลงใน (3) จะได

( )2

g2hg

21gh2

g2hy ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

4h3y = ตอบ

ตวอยาง 2.6 ถาปากอนหนขนไปในแนวดงดวยความเรว 30 m/s จงหา ก. เวลาทกอนหนขนไปถงจดสงสด ข. ระยะทางสงสดทกอนหนขนไปได ค. เวลาทกอนหนอยสงเหนอพน 40 เมตร

วธทา

ก. หาเวลาทกอนหนขนไปสงสด จาก vy = v0 - gt 0 = 30 - 10t 30 = 10t t = 3 วนาท ตอบ


ข. ระยะทางสงสดทกอนหนขนไปได จาก gh2vv 2

02y −=

vy = 0 , v0 = 30 m/s 0 = (30)2 - 2(10)h

451023030h =

××

= เมตร

นนคอกอนหนขนไปไดสงสด 45 เมตร ตอบ ค. หาเวลาทกอนหนอยสงเหนอพนดน 40 เมตร

จาก 20 gt

21tvy −=

จดสมการใหมเปน t2- 6t + 8 = 0 t = 2, 4 วนาท นนคอกอนหนอยเหนอพนเปนระยะ 40 เมตร ในเวลา 2 วนาท (ขาขน) และ 4 วนาท (ขาลง) ตอบ การเคลอนทในสองมต (Two-Dimensional Motion) อนทเกรต (2.30) จะได เวกเตอรตาแหนงของอนภาคทเคลอนท ณ เวลา t ใดๆ ดงน

∫∫ =t

t

r

r 00

dtvrd vv

∫=−t

t0

0

dtvrr vvv

นนคอจะได ∫+=t

t0

0

dtvrr vvv (2.31)

ตองทราบ vv จงจะหา rv ได และถาความเรว vv มคาคงท อนทกรล (2.31) ได )tt(vrr 00 −+= vvv (2.32)

เวกเตอรตาแหนง rv ของอนภาคทเคลอนทใน 2 มต บนระนาบ xy คอ iyixr +=v (2.28) และความเรว vv ของอนภาค จะได

jdtdyi

dtdx

dtrdv +==v

v (2.29)

dtvrd vv = (2.30)


ความเรง av ของการเคลอนทในสองมต จะได

jdt

dvi

dtdv

dtvda yx +==v

v (2.33)

ดงนนจะได dtavd vv = เมออนทเกรต จะได vv ทเวลา t ใดๆ ดงน

∫∫ =t

t

v

v 00

dtavd vvv

∫=−t

t0

0

dtavv vvv (2.34)

นนคอจะได ∫+=t

t0

0

dtavv vvv (2.35)

จะหาคาอนทกรลไดเมอทราบความเรง av และในกรณทความเรง av มคาคงท จะได )tt(avv 00 −+= rvv (2.36) เมอความเรง av คงท เวกเตอรตาแหนง rv ของอนภาคทเคลอนทในระบบ 2 มต ณ เวลา t ใดๆ จะหาไดดงน จาก dtvrd vv = และ )tt(avv 00 −+= rvv ดงนนจะได [ ]dt)tt(avrd 00 −+= vvv

[ ]dt)tt(avrdt

t00

r

r 00

∫∫ −+= vvv

20000 )tt(a

21)tt(vrr −+−=− vvvv

20000 )tt(a

21)tt(vrr −+−+= vvvv (2.37)


ตวอยาง 2.7 อนภาคตวหนงเคลอนทไปตามเสนโคงในระนาบ xy โดยมความเรงแปรคาตาม เวลา t ดวยสมการ 2s/mjt4i)t21(a ++=v ถาเรมตน t = 0 อนภาคอยทตาแหนง (1,2) m และมความเรว s/mj2i3 − จงหา ก. ความเรวของอนภาคทเวลา t = 2 s ข. ตาแหนงของอนภาคทเวลา t = 2 s วธทา ก. ความเรวท t = 2 s

จาก ∫+=t

t0

0

dtavv vvv

[ ]∫ +++−=2

0dtjt4i)t21()j2i3(vv

[ ] 2

0

22 jt2i)tt()j2i3(v +++−=v

)j8i6()j2i3(v ++−=v ฉะนน j6i9v +=v m/s ตอบ

ข. หาเวกเตอรตาแหนง rv ของอนภาคท t = 2 s

จาก ∫+=t

t0

0

dtvrr vvv

j2ir,0t +== v และจากขอ ก.จะหา vv ทเวลา t ใดๆ ไดเปน j)2t2(i)tt3()t(vv 22 −+++== vv ดงนน [ ]dtj)2t2(i)tt3(j2ir

2

0

22∫ −+++++=v

2

0

332

j)t2t32(i)

3t

2tt3(j2ir ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+++++=v

j)4316(i)

3826(j2ir −+++++=v

j310i

335r +=v เมตร ตอบ


การเคลอนทแบบโพรเจกไทล (Projectile Motion) ความเรว vv ของวตถ ณ เวลา t จะได jvivv yx +=v (2.40) เมอ 00x cosvv θ= คงท (2.41 ก) gtsinvv 00y −θ= (2.41 ข) แทนคา (2.41ก และ ข) ลงใน (2.40) จะได j)gtsinv(i)cosv(v 0000 −θ+θ=v (2.42) และอตราเรวของโพรเจกไทล ขณะเวลา t ใดๆ จะได 2

y2x vvv += (2.43)

หาทศของความเรว v ไดจาก x

y

vv

tan =θ (2.44)

เวกเตอรตาแหนง rv ของโพรเจกไทล jyixr +=v j)gt

21sintv(i)costv(r 2

0000 −θ+θ=v (2.45)

เวลาในอากาศ เปนเวลาทงหมดทวตถใชในการเคลอนทแบบโพรเจกไทลจากจดเรมตนไปยงจดสงสด แลวโคงลงมายงพนในระดบเดยวกนกบจดเรมตน ดงรป เวลาในอากาศ

gsinv2t2T 00 θ

== (2.46)

วตถเคลอนทแบบโพรเจกไทลระนาบ xy ดวยความเรวตน 0vv ในทศทามม

0θ กบแนวแกน x ดงรป จะได jvivv y0x00 +=v (2.38)

⎪⎭

⎪⎬⎫

θ=

θ=

00y0

00x0

sinvv

cosvv (2.39)


ระยะทางสงสดในแนวดง H เปนระยะสงสดในแนวดง

g2

sinvH 022

0 θ= (2.47)

พสย (Range: R) เปนระยะทางในแนวระดบทโพรเจกไทลเคลอนทได จะได

g2sinvR 0

20 θ

= (2.48)

ตวอยาง 2.8 ถาเตะลกบอลในทศทามม 30o กบแนวระดบดวยความเรวตน 20 m/s จงหา

ก. เวลาทลกบอลขนไปถงจดสงสด ข. ระยะทางสงสดทลกบอลขนไปได ค. พสยทลกบอลเคลอนทได ง. เวลาทงหมดทลกบอลอยในอากาศ จ. ความเรวของลกบอลหลงเตะแลว t = 2 s ฉ. เวกเตอรตาแหนงของลกบอลทเวลา t = 2 s

วธทา ก. จากเวลาทลกบอลขนไปถงจดสงสด

g

sinvt 00 θ=

s02.18.9

5.0208.930sin20t

o

=×

== ตอบ

ข. ระยะทางสงสดทลกบอลขนไปได

)8.9(230sin)20(

g2sinvH

o220

220 =

θ=

m1.5)8.9(2

)5.0)(5.0)(20)(20(H == ตอบ

ค. พสยทลกบอลเคลอนทได

8.9

)30(2sin)20(g2sinvR

o20

20 =

θ=

8.9

60sin)20)(20(Ro

=


m34.358.9

)866.0)(20)(20(R == ตอบ

ง. เวลาทงหมดทลกบอลลอยอยในอากาศ

gsinv2t2T 00 θ

==

( ) s04.28.9

30sin202To

== ตอบ

จ. ความเรวของลกบอลหลงจากเตะไปแลว 2 s จาก jvivv yx +=v (1)

เมอ s/m32.17v30cos20cosvv

x

o00x

==θ=

(2)

)2)(8.9(30sin20v

gtsinvvo

y

00y

−=

−θ=

s/m6.9vy −= (3) แทน(2)และ(3)ลงใน(1) s/mj6.9i32.17v −=v ตอบ ฉ. เวกเตอรตาแหนงของลกบอลทเวลา t = 2 s jyixr +=v

เมอ m64.34x30cos)20)(2(costvx o

00

==θ=

m4.0y

)2)(8.9(2130sin)20)(2(y

gt21sintvy

2o

200

=

−=

−θ=

j4.0i46.34r +=∴ v ตอบ


บทท 2 การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต

1. อนภาคตวหนงเคลอนทในแนวแกน x ในขณะเวลา t ใดๆ มสมการตาแหนง x = 3t2 + 4t +2 จงหา ความเรว ความเรงของอนภาคทเวลา t ใดๆ และทเวลา t = 2 วนาท

2. อนภาคตวหนงเคลอนทในหนงมตตามแนวแกน x ขณะใดๆ มอตราเรวแปรคาตามเวลา t ใหไดดวยสมการ v = 3t2 + 4t + 5 m/s ถาขณะเรมตนเมอเวลา t = 0 อนภาคอยทตาแหนง x = 2 เมตรจากจดอางอง อยากทราบวาระยะทางทอนภาคนเคลอนทไดใน 3 วนาทแรกเปนเทาใด

ขอมล รถไฟเรมเคลอนจากจดหยดนงดวยความเรงคงท เมอเวลาผานไปชวระยะหนง วดอตราเรวได 30 m/s และเมอเคลอนทไปอก 160 เมตร วดอตราเรวได 50 m/s จงหา 3. ความเรงของรถไฟน 4. เวลาทใชในการเคลอนทไดระยะทาง 160 เมตร 5. เวลาจากจดเรมตน จนมอตราเรว 30 m/s 6. ระยะจากจดเรมตนจนมอตราเรวเปน 30 m/s ขอมล วตถถกโยนขนดวยอตราเรวตนตามแนวดง 30 m/s จงหา 7. เมอเวลาผานไป 2 วนาท วตถอยสงจากพนเทาใด 8. ความเรวของวตถหลงจากโยนแลว 2 วนาท 9. เวลาทวตถเคลอนทถงจดสงสด 10. เวลาเมอวตถตกถงพน ขอมล ดดลกหนกอนหนงในทศทามม 45o กบแนวระดบ ดวยอตราเรวตน 20 m/s จงหา 11. เวลาทลกหนขนไปถงจดสงสด 12. ระยะทางสงสดทลกหนขนไปได 13. เวลาทลกหนลอยอยในอากาศ 14. ระยะทางทลกหนเคลอนทไดมากทสดในแนวระดบ 15. เวกเตอรตาแหนงของลกหนเมอเวลา 1 วนาท


บทท 3 กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน

กฎการเคลอนท (Laws of Motion) แรง (Force) เปนอานาจททาใหวตถอยนงเกดการเคลอนท และทาใหวตถทเคลอนทเกดการหยดนง ตวอยางเชน แรงดงในเสนเชอก

กฎการเคลอนทของนวตน

นวตนไดเสนอการเคลอนทของวตถไว 3 ขอเรานยมเรยกวา กฎการเคลอนทของ นวตน มสาระดงน กฎขอท 1 ของนวตน กลาววา “วตถทกชนดจะดารงสภาพหยดนง หรอเคลอนทดวยความเรวคงทตราบใดทไมมแรงภายนอกมากระทา”

เราเรยกกฎขอท 1 ของนวตนวา กฎแหงความเฉอย (law of inertial) คอเฉอยตอการเปลยนสภาพการเคลอนท กฎขอท 2 ของนวตน กลาววา “ความเรงของวตถเปนปฏภาคโดยตรงกบแรงลพธทกระทาตอวตถ โดยมทศทางเดยวกนและเปนปฏภาคผกผนกบมวลของวตถ”

แรง 3 แรง กระทาตอวตถเดยวกน แบงเปน 2 กรณ 1. ผลรวมของแรงเปนศนย วตถจะหยดนง หรอเคลอนทดวยความเรวคงท 2. ผลรวมของแรงมากกวาศนย วตถเคลอนทดวยความเรง

จากรป ถา ∑ = 0Fv ความหมายกฎขอท 1 คอ 1. วตถอยนงตลอดไป หรอ 2. วตถเคลอนทดวยความเรวคงท

แรงลพธมากกวาศนย มผลทาใหวตถมวล m เคลอนทดวยความเรง จากกฎขอท 2 ของ นวตน จะได

∑ = amF vv (3.1)

กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 35

จาก (3.1) เมอแยกเปนสวนประกอบของแรงตามแนวแกน x, y, z จะได

zz

yy

xx

amF

amF

amF

vv

vv

vv

=

=

=

(3.2)

ตวอยาง 3.1 วตถมวล 10 kg ถกแรงกระทาใหเคลอนทจากจดนงเปนเวลา 3 วนาท จนมความเรวเปน 48 m/s จงหาขนาดของแรงลพธททาใหวตถนเคลอนท วธทา

F = ma (1) หาความเรง a จาก v = vo + at

48 = 0 + a(3) a = 16 m/s2

แทนใน (1) F = (10 kg)(16 m/s2) = 160 N ตอบ กฎขอท 3 ของนวตน กลาววา “ทกแรงกรยายอมมแรงปฏกรยาทมขนาดเทากน หรอแรงกระทาซงกนและกน ในทศทางตรงขามกนเสมอ” BAAB FF vv −= (3.3)

แรงกรยา = - แรงปฏกรยา เมอ ABFv เปนแรงทวตถ B กระทาตอวตถ A และ BAFv เปนแรงทวตถ A กระทาตอวตถ B


การประยกตใชกฎของนวตน ตวอยาง 3.2 ไฟจราจรมนาหนก 100 N แขวนดวยลวด 2 เสน ดงรป ทามม 37o และ 53o กบแนวระดบดงรป จงหาแรงดงในลวดทง 3 เสน จากรป แยกแรง T1 และ T2 เขาสแกน x และ y สวนแรงดง T3 เทากบนาหนกของวตถ มขนาดเทากบ 100 N เมอวตถอยนง เราไดวา ∑ = 0Fv สงผลให ∑ =−= 037cosT53cosTF o

1o

2x (1) ∑ =−+= 0N10053sinT37sinTF o

2o

1y (2) จาก (1) เราไดวา

1o

o

12

o1

o2

T33.153cos37cosTT

37cosT53cosT

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

แทนคา T2 ลงในสมการท (2) ไดวา

N8.79T33.1T

N60T0N100)53)(sinT33.1(37sinT

12

1

o1

o1

===

=−+

ฉะนน เราไดวา T1 = 60 N, T2 = 79.8 N และ T3 = 100 N ตอบ

วธทา วตถคงสภาพอยนงได แสดงวาวตถ อยในสภาพสมดล แรงลพธทกระทาตอวตถเปนศนย เขยนแนวแรงใหมไดเปนดงรป


ตวอยาง 3.3 วตถมวล m เลอนลงมาจากพนเอยงเรยบ ทามม θ กบแนวระดบดงรปจงหาความเรงในแนวพนเอยง วธทา วตถเคลอนทลงมาดวยแรงดงลงตามแนวพนเอยง ตวอยาง 3.4 มวล 2 กอน แขวนผานรอกในแนวดงดงรป ถามวล m1 นอยกวา m2 จงหาความเรงของระบบ และแรงดงในเสนเชอก

จากรป masinmg =θ asing =θ

ฉะนน ความเรงตามแนวพนเอยง = θsing ตอบ

วธทา พจารณามวล m1 จะเหนวาวตถเลอนขน ดวยความเรง a ดงรป

จากกฎขอท 2 ของนวตน F = ma ไดวา T - m1g = m1a (1)


พจารณามวล m2 จะเหนวาวตถเลอนลง ดวยความเรง a เชนกน ดงรป

แทน (3) ลงใน (1) จะได gmm

mm2T21

21⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= ตอบ

แรงเสยดทาน เปนแรงกระทาระหวางผววตถทกาลงจะเคลอนทหรอเคลอนทแลว เกดขนระหวางผวสมผส หรอพดอกอยางวาเปนแรงตานการเคลอนทของวตถ มทศสวนกบทศการเคลอนทของวตถ เมอ F เปนแรงดง และ f เปนแรงเสยดทาน ไดวา ถา F นอยกวาหรอเทากบ f วตถจะหยดนง และถา F มากกวา f วตถจะเคลอนท เราแบงแรงเสยดทานออกเปน 2 แบบ ไดแก 1. แรงเสยดทานสถต (fs) เปนแรงเสยดทานทเกดขนเมอวตถถกแรงกระทาแลวยงไมเคลอนท จนกระทงเรมเคลอนท ฉะนนแรงเสยดทานสถตจงมคามากทสด ถา แรง F นอยกวา fs วตถยงคงหยดนงและเมอ แรง F มากกวา fs แลว วตถกจะเคลอนท เมอวตถเคลอนท แรงเสยดทานทเกดขนจะเปนแรงเสยดทานจลน fk

ไดวา m2g - T = m2a T = m2g - m2a (2) แทนคา (2) ลงใน (1) ไดวา m2g - m2a - m1g = m1a m2g - m1g = m1a + m2a

gmmmma

21

12⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

= (3)


2. แรงเสยดทานจลน (fk) เปนแรงเสยดทานทเกดขนเมอวตถมการเคลอนท ขนาดของแรงเสยดทานจลนจะมคานอยกวาขนาดของแรงเสยดทานสถต ขนาดของแรงเสยดทาน ขนอยกบตวประกอบ 2 ตว ตวท 1 คอ แรงในแนวตงฉากทกดระหวางผวสมผส (N) ตวท 2 คอ ชนดของผวสมผส Nf µ= (3.4)

เมอ µ เปนสมประสทธของความเสยดทาน และ N เปนแรงปฏกรยาในแนวตงฉาก

ถาวตถยงไมเคลอนท Nf ss µ= เมอ fs เปนแรงเสยดทานสถต และ sµ เปนสมประสทธของความเสยดทานสถต

ถาวตถเคลอนทแลว Nf kk µ= เมอ fk เปนแรงเสยดทานจลน และ kµ เปนสมประสทธของความเสยดทานจลน


fk

ตารางคา sµ และ kµ สาหรบพนผวสมผสแบบตางๆ ชนดของผวสมผส sµ kµ

เหลกบนเหลก 0.74 0.57 อลมเนยมบนเหลก 0.61 0.47 ทองแดงบนเหลก 0.53 0.36 ทองเหลองบนเหลก 0.51 0.44 สงกะสบนเหลกหลอ 0.85 0.21 ทองแดงบนเหลกหลอ 1.05 0.29 แกวบนแกว 0.94 0.40 ทองแดงบนแกว 0.68 0.53 ยางบนผวคอนกรต(แหง) 1.00 0.80 ยางบนผวคอนกรต(เปยก) 0.30 0.25

ตวอยาง 3.5 วตถไถลลงมาตามพนเอยงทมสมประสทธความเสยดทาน พนเอยงจะตองทามมเทาใด วตถจงจะเคลอนทลงดวยความเรวคงท

วธทา จากรปเราแยกแรงเขาสแนวแกน x และ y ของพนเอยงไดดงรปขวามอ และเมอวตถเลอนลงดวยความเรวคงท ความเรง a = 0

ไดวาทางแกน x ∑ = 0Fx แทนคา 0fsinmg k =−θ

0Nsinmg k =− µθ θµ = sinmgNk (1)

ในแกน y ∑ = 0Fy 0cosmgN =− θ

θ= cosmgN (2)

(1)/(2) ไดวา θθ

θµ == tan

cossin

k

ดงนน จะเหนวาวตถไถลลงมาดวยความเรวคงท ตอบ


การเคลอนทในแนววงกลม (Circular Motion) เมอวตถเคลอนทเปนวงกลม ความเรวของวตถจะมทศสมผสเสนรอบวงกลมซง

เปลยนแปลงตามเวลา นนคอวตถจะเคลอนทดวยความเรง และความเรงนจะมทศเขาสศนยกลางของวงกลมเสมอ เราเรยกความเรงนวา ความเรงสศนยกลาง ให Tp เปนเวลาทอนภาคเคลอนทครบ 1 รอบ หาไดจาก ระยะทางทเคลอนได r2π= เวลาทใชครบ 1 รอบ = Tp

อตราเรว pTr2

vπ

= (3.7)

เวลาทใชในการเคลอนทครบรอบ v

r2Tp

π=

แทน v ใน (3.7) ลงใน (3.5) ได

2p

2

r Tr4a π

= (3.8)

ขนาดของความเรงสศนยกลาง

rva

2

r = (3.5)

เมอ Fr เปน แรงสศนยกลาง มทศพงเขาสศนยกลางของการเคลอนท

ขนาดของแรง r

vmmaF2

rr == (3.6)


ตวอยาง 3.6 ลกบอลมวล 0.5 kg ผกดวยเชอกยาว 1.5 เมตร แกวงลกบอลเปนวงกลมในแนวราบ ถาเชอกทนแรงดงไดสงสด 50 N ลกบอลจะมอตราเรวสงสดเทาใด กอนทเชอกจะขาด วธทา ตวอยาง 3.7 วตถเลกๆ มวล m แขวนดวยเชอกยาว L แกวงวตถเปนวงกลมในแนวระดบดวยรศม r มอตราเรวคงท v ดงรป การแกวงลกษณะนเรยกวา conical pendulum เพราะคลายรปกรวย จงหาอตราเรวของวตถ และคาบของการเคลอนท; Tp

จากรป θsinT ทาหนาทเปนแรงสศนยกลาง

เราได r

vmsinT2

=θ (1)

และในแนวดง mgcosT =θ (2)

(1)/(2) เราได rgvtan

2

=θ (3.9)

จากความรทางเรขาคณต รศม θ= sinLr ดงนนอตราเรวของวตถเปน θθθ == tansinLgtanrgv ตอบ

แรงสศนยกลางมาจากแรงดงในเสนเชอก

ดงนน r

vmFT2

r ==

อตราเรว mTrv =

แทนคา s/m2.125.0

5.150v =×

= ตอบ

วธทา จากรป เชอกทามม θ กบแนวดง เราสามารถแยกแรงดงในเสนเชอก T ใหอยในแนวระดบ และในแนวดงได


v

f

คาบของการเคลอนท Tp θ

π=

π=

tanrgr2

vr2Tp

g

cosL2Tpθ

π= วนาท ตอบ

ขอสงเกต คาบเวลาของการเคลอนท Tp ไมขนอยกบมวล m ถาใหเชอกยาว L = 1 เมตร และมม = 20o เราหาคาบของการเคลอนทได

8.920cos12

gcosL2T

o

p π=θ

π=

95.1Tp = วนาท ตอบ ตวอยาง 3.8 รถยนตมวล 1500 kg ขบมาถงทางโคงรศมความโคง 35 เมตร ดงรป ถาสมประสทธความเสยดทานระหวางยางรถกบพนถนนเปน 0.05 จงหาอตราเรวสงสดของรถทจะเลยวโคงไดอยางปลอดภย วธทา ในทน แรงเสยดทานทาหนาทเปนแรงสศนยกลาง

r

vmf2

=

จาก mgNf µµ ==

ดงนน r

vmmg2

=µ

rgv µ= (3.10) แทนคา s/m1.138.93505.0v =××= ตอบ

ในโจทย ถาถามหาแรงเสยดทานทกระทาตอยางรถ ไดเปน mgNf µµ ==

N73508.9150005.0f =××= ตอบ

และ v ยงหาไดจาก mfrv =

s/m1.131500

357350v =×

= ตอบ


ตวอยาง 3.9 ถาทางโคงทามม θ กบแนวระดบ และถนนไมมแรงเสยดทาน รถเคลอนทดวยความเรว v จงหามม θ ทเหมาะสม ทาใหรถไมลนไถล ทความเรวสงสดแรงปฏกรยาในแนวระดบตองเทากบแรงสศนยกลาง ดงนน

2

rmvsinN =θ (1)

และ mgcosN =θ (2)

(1)/(2) เราได rgvtan

2

=θ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −θ

rgvtan

21 (3.11)

ถารศมความโคงของถนนเปน 50 เมตร และรถมอตราเรว 13.4 m/s จะตองยกพนถนน

o2

1 1.20)8.9)(50(

)4.13(tan =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −θ ตอบ

กฎแรงโนมถวงสากลของนวตน

เรามกเรยกวา แรงดงดดระหวางมวล คอแรงดงดดระหวางมวลคหนง ซงกระทาในแนวเสนตรง

มวล m1 และ มวล m2 จะสงแรงดงดดระหวางกน โดยท F21 เปนแรงทมวล m1 กระทาตอมวล m2 และ F12 เปนแรงทมวล m2 กระทาตอมวล m1 แรงทงสองอยในแนวเสนทเชอมระหวางศนยกลางมวลทงสอง เราสามารถเรยกแรงในลกษณะนวา แรงสศนยกลาง และยงพบวา แรง F21 = F12 แตมทศทางตรงกนขาม โดยทขนาดของแรงขนาดจะแปรผนตรงกบมวล

วธทา จากรป แรงปฏกรยาททางโคงกระทากบรถไมไดอยในแนวดง แตตงฉากกบทางโคงเอยงทามม θ กบแนวดง แยกแรงปฏกรยา N ใหอยในแนวระดบได เปน θsinN และแยกใหอยในแนวดงได

θcosN


ทงสอง และแปรผกผนกบระยะหางยกกาลงสอง เขยนสมการของแรงดงดดระหวางมวลทงสองไดเปน

221

rmGmF = (3.12)

เมอ G = 6.67 x 10-11 Nm2/kg2 เรยกวา คานจโนมถวงสากล และสมการ (3.12) เรยกวา กฎแรงโนมถวงสากลของนวตน ตวอยาง 3.10 จงหาแรงดงดดระหวางมวล 2 กอน กอนละ 1 kg วางอยหางกน 1 เมตร

วธทา จาก 221

rmGmF =

2

2211

)m1()kg1)(kg1)(kg/Nm1067.6(F

−×=

N1067.6F 11−×= ตอบ การหาคา g และมวลของโลก แรงโนมถวงทโลกดงดดมวล m หาไดจาก

2e

G rmGMF =

แต mgFG =

ไดวา 2e

rmGMmg = (3.13)

ดงนนคาความโนมถวง ณ ตาแหนง r จากจดศนยกลางโลก คอ

2e

rGMg = (3.14)

ถามวล m อยทผวโลกจะได r = Re

ดงนน 2e

e

RGMg =

ได G

gRM2e

e = (3.15)

จากรป อนภาคมวล m อยหางจากจดศนยกลางของโลกทมมวล Me รศม Re เปนระยะ r


จากขอมลของโลก g = 9.8 m/s2, Re = 6.38 x 106 m, G = 6.67 x 10-11 Nm2/kg2

kg1098.5Mkg/Nm1067.6

)m1038.6)(s/m8.9(M

GgRM

24e

2211

262

e

2e

e

×=×

×=

=

−

ตวอยาง 3.11 ดาว A มคา g เปน 4 เทาของดาว B ถาดาวทงสองมมวลเทากน ดาว A จะมรศมเปนกเทาของดาว B วธทา ใหดาว A มคา g = gA มมวล MA และมรศม RA

จาก (3.14) 2A

AA R

GMg = (1)

ใหดาว B มคา g = gA มมวล MA และมรศม RA

จาก (3.14) 2B

BB R

GMg = (2)

(1)/(2) B

2B

2A

A

B

A

GMR

RGM

gg

×=

gA = 4gB , มวล MA = MB

B

2B

2A

B

B

B

GMR

RGM

gg4

×=

2A

2B

RR4 =

4RR

2B2

A =

ดงนน BA R21R = ตอบ


การเคลอนทของดาวเคราะหและดาวเทยม จะเหนวา แรง F เปนแรงสศนยกลาง จะได

rmr

mvF 22

G ω== (3.16)

rmr

mvr

GmM 22

2 ω==

v เปนความเรวของดาวเทยม ω เปนความเรวเชงมมของดาวเทยม

โดยท T

2π=ω (3.17)

r

mvr

GmM 2

2 =

r

GMv2 =

r

GMv = (3.18)

และจาก rmr

GmM 22 ω=

32

rGM

=ω

3rGM

=ω (3.19)

พจารณาดาวเทยมหรอดาวเคราะหมวล m เคลอนทเปนวงกลมรอบดาวทมมวล M มรศมการเคลอนท r


ตวอยาง 3.12 จงหาคาบเวลาในการเคลอนทของดาวเทยม ซงมวงโคจรเปนวงกลมรอบโลก เมอดาวเทยมโคจรอยเหนอผวโลก 8.05 x 105 เมตร กาหนดใหรศมโลกมคา 6.44 x 106 เมตร วธทา ใหรศมของโลก คอ Re และ ระยะจากผวโลกไปยงดาวเทยม คอ d

ระยะจากศนยกลางโลกไปยงดาวเทยม = r ได dRr e +=

และจาก 3e

rGM

=ω

โดยท T

2π=ω

3e

e

)dR(GM

T2

+=

π

e

3e

GM)dR(2T +

π=

3

ee

3e

Rd1

GMR2T ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+π=

จาก 2e

e

RGMg =

3

e

e

Rd1

gR2T ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+π=

แทนคา Re = 6.44 x 106 m, d = 8.05 x 105 m และ g = 9.80 m/s2

3

6

5

2

6

m1044.6m1005.81

s/m8.9m1044.62T ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

××

+×

π=

T = 6077.69 s = 101.29 นาท ตอบ


กฎของเคปเลอร (Kepler’s laws) เปนกฎทใชในการอธบายการเคลอนทของดาวเคราะหรอบดวงอาทตย ประกอบไปดวย

กฎ 3 ขอ ดงน 1. ดาวเคราะหจะโคจรรอบดวงอาทตยเปนวงร โดยมดวงอาทตยอยทจดโฟกสจดหนงของวงร 2. เวกเตอรรศม (radius vector) ทวดจากดวงอาทตยไปยงดาวเคราะห จะกวาดไดพนทเทากนในชวงเวลาทเทากนเรยกกฎขอนวา กฎของพนท (law of area) จากรป ถาเวลาในการเคลอนทจากตาแหนง 1 ไป 2, 3 ไป 4 และ 5 ไป 6 เทากน พบวาพนท A, B และ C ทกวาดไปไดจะเทากน ดงนน

พนท A = B = C 3. อตราสวนระหวางกาลงสามของครงแกนหลก (semimajor axis) ของวงรกบกาลงสองของคาบในการโคจรครบรอบของดาวเคราะห ทงหลายจะมคาเทากน

ttanconsTa

2

3

=


กฎขอท 1 และ 2 ของเคปเลอร การทดาวเคราะหเคลอนทเปนวงรแสดงวาตองมแรงกระทาบนดาวเคราะหเหลานน

(เกดความเรง) ซงนวตนไดตงสมมตฐานวา แรงทกระทาบนดาวเคราะหมตนกาเนดมาจากดวงอาทตยและตองเปนแรงเขาสศนยกลาง ดงรป ซงแรงดงกลาวกคอ แรงดงดดระหวางมวล นนเอง พจารณาดาวเคราะหมวล m ถกแรง F มทศพงเขาสจด O กระทาโดยทเวลา t ดาวเคราะหอยทตาแหนง rv เมอเวลาผานไป dt อยทตาแหนง rdr vv + จะเหนวากวาดพนทไปได

rdr21Ad vvv ×=

ถากาหนดให Adv เปนเวกเตอรพนท จะได

rdr21Ad vvv ×= (3.20)

dtrdr

21

dtAd v

vv

×=

m2L)pr(

m21vr

21

dtAd v

vvvvv

=×=×= (3.21)

เมอ vmp vv = เรยกวาโมเมนตม และเรยก prL vvv ×= วา โมเมนตมเชงมม (angular momentum)

จาก dtpd

dtvdmamF

vvvv ===

dtLdp

dtrd

dt)pr(d

dtpdrFr

vv

vvvvvvv =×−

×=×=×

แตแรง Fv อยในแนวเดยวกบ Fr vv× ดงนน

0


ดงนน dtLd0v

= (3.22)

จะได ttanconsL =v

ดงนน ttanconsm2L

dtAd

==vv

(3.23)

นนคอ ในชวงเวลาเทากน จะกวาดพนทไปไดเทากน กฎขอท 3 ของเคปเลอร

ถาสมมตใหวงโคจรของดาวเคราะหมวล m เปนวงกลมรศม a โดยมดวงอาทตยมวล M อยทจดศนยกลาง

a

mvF2

c =

22

2 Ta2

am

amv

aGMm

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

==

2

Ta2

aGM

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=

ttancons4GM

Ta

22

3

=π

= (3.24)

เปนไปตามกฎขอท 3 ของเคปเลอร

บทท 3 กฎการเคลอนท และกฎการเคลอนทของนวตน

1. ออกแรง 10 นวตน กระทาตอวตถ A มวล 60 กโลกรม ซงตดกบวตถ B มวล 40 กโลกรม ถาพนไมมแรงเสยดทาน จงหาวาวตถทงสองจะเคลอนทดวยความเรงเทาใด


ขอมล มวล 6 กโลกรม วางอยบนโตะลน ผกตดกบเชอกเบาเสนหนงทปลายขางหนงของเชอกมมวลแขวนอย 4 กโลกรม เชอกคลองผานรอกลนดงรป จงหา

1. ความเรงของระบบ 2. แรงดงในเสนเชอก

ขอมล จากรปมวล 3 กโลกรม และ 2 กโลกรม คลองอยบนรอกลน โดยอาศยเชอกเบาเสนหนง จงหา 3. ความเรงของระบบ 4. แรงดงในเสนเชอก

5. จากการแขงขนการขบรถจกรยานยนตในสนามแขงขนแหงหนง ปรากฏวาเมอรถมาถงทาง

โคงรศม 40 เมตร คนขบจะตองเอยงทามม 45o กบแนวดง ขณะนนรถมอตราเรวเทาใด 6. รถยนตเลยวโคงบนถนนราบทมรศมความโคง 25 เมตร ถาสมประสทธความเสยดทาน

ระหวางยางรถกบพนถนนเปน 0.4 รถคนนจะเลยวโคงดวยอตราเรวเทาใด

ขอมล วตถมวล 1 กโลกรม ผกดวยเชอกยาว 1 เมตร แกวงเปนวงกลมในแนวดง ขณะเชอกทามม 30o กบแนวดง วตถมอตราเรว 2 m/s จงหา 7. ความเรงสศนยกลาง 8. ความเรงตามแนวสมผส 9. ความเรงลพธ 10. แรงดงในเสนเชอก

11. ดาว A อยหางจากดาว B เปนระยะ d ออกแรงดงดดกน F ถาดาว A อยหางจากดาว B เปนระยะ 2d จะออกแรงดงดดกนเทาใด

12. ดาวเทยมดวงหนงจะตองโคจรสงจากพนโลกเทาใด จงจะทาใหความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลกเหลอเพยง g/4 กาหนดใหรศมโลกเปน 6400 กโลเมตร

13. ดาวเคราะหดวงหนงมเสนผานศนยกลางประมาณครงหนงของเสนผานศนยกลางของโลก และมมวล 1/10 เทาของมวลโลก ชายคนหนงหนก 600 N บนผวโลก เขาจะหนกเทาใดเมอขนไปอยบนผวดาวเคราะหดวงน

14. ดาวดวงหนงมมวลเปน 3 เทาของมวลโลก และมรศมเปน 2 เทาของรศมโลก จงหาความเรงทพนผวดาวดวงนน กาหนดให g เปนความเรงทผวโลก

3 kg

2 kg

2 m/s

30o


15. มวล A และ B วางหางกน 6 เมตร ทาใหเกดแรงดงดดระหวางกน F ถาตองการใหเกดแรงกระทาตอกนเปน 4/9 เทาของแรงเดม ตองวางมวลทงสองหางกนกเมตร

16. ถามวล 1 kg หนก 9.8 N บนพนโลก จงหานาหนกบนดวงจนทร ถารศมโลกเทากบ 4 เทาของรศมดวงจนทร และมวลโลกเทากบ 8 เทาของมวลดวงจนทร

17. ดาวเคราะหดวงหนงมมวลเปน 2 เทาของมวลโลก แตมรศมเปนครงหนงของรศมโลก คาความเรงเนองจากแรงโนมถวงของดาวเคราะหนนเปนกเทาของความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก

18. จงหาอตราสวนของแรงโนมถวงโลกกบแรงโนมถวงทกระทาตอยานอวกาศเมออยทระดบเหนอผวโลกเปนระยะทางเทากบครงหนงของรศมโลก

19. ชายคนหนงชงนาหนกตนเองบนดาวเคราะหดวงหนงได 1/5 เทาของนาหนกทชงไดบนผวโลก ถาดาวเคราะหดวงนนมรศมเปน 1/3 เทาของรศมโลก จงหามวลของดาวเคราะหดวงนน

20. ถาโลกมรศม R ทระยะสงจากผวโลกเทาใด วตถจงจะมนาหนกเปนครงหนงของนาหนกทชงบนผวโลก

21. ดาวเคราะหดวงหนงมมวลเทากบมวลของโลก ถาปลอยวตถชนหนงจากทสง 5 เมตร บนดาวเคราะหดวงน พบวาความเรวของวตถเมอตกถงพนเปน 2 เทาของความเรวเมอปลอยวตถชนนใหตกลงสพนโลกจากความสงเทากน จงหาวารศมของดาวเคราะหดวงนเปนกเทาของรศมโลก

ผสอน ผศ.ดร.ชมพนช วรางคณากล

m m A B

บทท 4 งานและพลงงาน

งาน (work) งานคอผลคณระหวางขนาดของแรงทกระทาตอวตถกบระยะทางทเคลอนทไดในแนว

เดยวกน เปนปรมาณสเกลาร มหนวยเปนจล (J) โดยท 1 J = 1 Nm งานของแรงคงท

แรง Fv ดงวตถใหเคลอนทจาก A ไปยง B ไดการกระจด sv แรง Fv มทศทามม θ กบแนวกระจด s งานททาโดยแรง Fv จะได sFW vv ⋅= (4.1) หรอ θθ == cosFss)cosF(W (4.2) ถาแรง Fv มองคประกอบ

kFjFiFF zyx ++=r

และระยะกระจด sv มสวนประกอบ kzjyixs ++=v งานทงหมดททาโดยแรง Fv จะได zyx zFyFxFsFW ++=⋅= vr (4.3) ถามแรงเสยดทานเขามาเกยวของดงรป

งานและพลงงาน หนา 55

งานทไดเปนงานลพธจะตองคดงานเนองจากแรงเสยดทานดวย fF WWW += ถาเปนดงรปจะได

fscosFsW

fsWcosFsW

f

F

−=−=

=

θ

θ

ตวอยาง 4.1 แรงคงทขนาด 100 N เคลอนวตถในแนวเสนตรงไดระยะทาง 20 m จงหางานททาได เมอแรงนทามม 0o, 30o, 60o, 90o กบแนวการเคลอนท วธทา เมอ o0=θ ได

J000,20cos)20)(100(

cosFssFWo ==

=⋅= θvv

เมอ o30=θ ได

J732,1)866.0)(20)(100(30cosFsW o

===


J000,1)5.0)(20)(100(60cosFsW o

===


J0)0)(20)(100(90cosFsW o

===

ตอบ


ตวอยาง 4.2 ใชแรง N)j2i5(F +=v ในการเคลอนทอนภาคใหเคลอนทในระนาบ xy ไดการกระจด m)j3i2(s +=v จงหางานททาโดยแรงน วธทา จาก sFW vv ⋅=

)j3j2()i2i5(

Nm)j3i2()j2i5(

⋅+⋅=

+⋅+=

J16W = ตอบ งานเนองจากแรงไมคงท

พจารณาอนภาคเคลอนทตามแนวแกน x จาก xi ถง xf ภายใตแรงกระทาไมคงท ดงรป เราไมสามารถใช (4.2) หางานได

ถาสมมตวาอนภาคเคลอนทเปนการกระจดนอยๆ ดงรป a เราสามารถประมาณไดวา แรงในแนวแกน x คอ Fx มคาคงท ดงนนงานทกระทาโดยแรง Fx ทาใหอนภาคเคลอนทได x∆เขยนไดเปน

xFW x∆=∆ (4.4) และงานทงหมดททาจาก xi ถง xf มคา

∑ ∆≅f

i

x

xx xFW

เปลยน ∑ เปน integration

∫∑ =∆=→∆

f

i

f

i

x

xx

x

xx0x

dxFxFlimW

เราสามารถหางานเนองจากแรง Fx เมออนภาคเคลอนทจาก xi ถง xf ไดจาก

∫=f

i

x

xxdxFW (4.5)

หรองานมคาเทากบพนทใตกราฟระหวาง Fx และ x ดงรป b


ถามแรงมากกวา 1 แรงกระทาตออนภาคใหเคลอนท จาก xi ถง xf หางานลพธไดจาก

∫ ∑=f

i

x

xxnet dx)F(W (4.6)

ตวอยางของแรงทมขนาดเปลยนไปตามตาแหนงของการเคลอนทของอนภาค เชนแรงของสปรง ดงรป

พจารณางาน WFapp ททาโดยแรงภายนอก Fapp ในการยดหรอหดสปรงอยางชาๆ จากตาแหนง xi ถง xf ซงมคาเทากบแรงของสปรงแตมทศตรงขาม นนคอ Fapp = -(-kx) = kx ดงนนงานเนองจาก Fapp มคา

2i

2f

x

x

x

xappF kx

21kx

21kxdxdxFW

f

i

f

iapp

−=== ∫∫

หมายความวางานททาโดยสปรงจะมขนาดเทากบงานเนองจากแรงภายนอกทใชดงหรอกดสปรงแตมเครองหมายตรงกนขาม


ตวอยาง 4.3 จงหางานในการเคลอนวตถจากตาแหนง x = 0 ถง x = 6 ดงรป ตวอยาง 4.4 มวลตดปลายสปรงซงมคาคงทของแรง 80 N/m สปรงถกอดเปนระยะทาง 3 cm จากตาแหนงสมดล จงหางานททาโดยแรงของสปรงในการเคลอนมวลจากตาแหนง -3 cm ถงตาแหนงสมดล

วธทา จาก ∫∫−−==

0

3

x

xss dx)kx(dxFW

f

i

0

3

2xk21

−−=

22 )m103)(m/N80(21 −×−=

J106.3 2−×= ตอบ กาลง

พจารณาแรงภายนอกกระทาตอวตถและเกดงาน W∆ ในชวงเวลา t∆ เรานยามกาลงเฉลย (average power; Pavg) วาเปนอตราสวนของงานททาตอเวลา

tWPavg ∆

∆= (4.7)

และกาลงขณะใดๆ (instantaneous power; P) คอลมตของกาลงเฉลยเมอ t∆ เขาใกล 0

dtdW

tWP 0t

lim=

∆∆

= →∆ (4.8)

งาน = พนทใตกราฟจาก x=0 ถง x=6 = พนทสเหลยมผนผา+พนทสามเหลยม

Nm)52(21Nm)45( ×+×=

= 25 J ตอบ


จาก sdFdW vv ⋅= ดงนนสมการ (4.8) เขยนไดดงน

vFdt

sdFdtdWP vvvv

⋅=⋅

== (4.9)

หนวยของกาลง ในระบบ SI คอ J/s ซงเรยกวา วตต (Watt; W) โดยท 1 W = 1 J/s = 1 kg m2/s3

ในระบบ British engineering คอ แรงมา (horsepower; hp) โดยท 1 hp = 500 = 746 W

ตวอยาง 4.5 ลฟทมมวล 1,000 kg รบภาระไดมากทสด 800 kg มแรงเสยดทาน 4,000 N ตานการเคลอนทขนดงรป จงหา ก. กาลงนอยทสดทมอเตอรใชในการยกลฟทใหเคลอนทดวยอตราเรวคงท 3 m/s ข. กาลงทมอเตอรใชในการยกลฟทใหเคลอนทขนดวยความเรง 1.0 m/s2 หากาลงจากสมการ (4.9)

W1049.6

)s/m3)(N10164.2(

TvvTP

4

4

×=

×=

=⋅= vv

kW9.64P = หรอ hp1.87P = ตอบ ข. จากกฎขอ 2 ของนวตน F = Ma MaMgfT =−− MafMgT ++= f)ga(M ++=

N104s/m)8.91)(kg108.1( 323 ×++×=

วธทา ก. มอเตอรตองใชแรง Tv ในการดงลฟทใหเคลอนทขนดวยอตราเรวคงท (a = 0) จากกฎขอ 2 ของนวตน F = ma ในทนใหมวลของลฟท + สมภาระ = M

F = Ma = 0 T- f - Mg = 0 เมอ M คอมวลรวมของระบบ (ลฟท+ภาระ) = 1,800 kg ดงนน T = f + Mg = 4x103 N +(8x103 kg)(9.8 m/s2) = 2.164x104 N


N1034.2 4×= หากาลงจากสมการ (4.9) v)1034.2(TvP 4×== ตอบ เมอ v เปนอตราเรวขณะใดๆ ของลฟท

งานและพลงงานจลน พจารณาแรง xF

v กระทาตออนภาคมวล m ใหเคลอนทไปในทศทาง x จาก 0 ถง s งานททา โดยแรง xF

v มคา s)ma(sFW xx == (4.10) เมอ ax มคาคงท เนองจาก Fx คงท เราทราบแลววา ความสมพนธเมออนภาคเคลอนทภายใตความเรงคงท คอ

t)vv(21s fi +=

t

vva if

x−

=

เมอ vi คอความเรวท t = 0 และ vf คอความเรวทเวลา t ใดๆ แทนคาลงในสมการ (4.10) ได

t)vv(21

tvv

mW fiif +⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

=

2i

2f mv

21mv

21W −= (4.11)

เรานยามปรมาณในสมการ (4.11) วาเปนพลงงานจลน (kinetic energy; K) ของอนภาค

2mv21K = (4.12)

พลงงานจลนเปนปรมาณสเกลารและเปนปรมาณทเกยวกบการเคลอนทของอนภาคสมการท (4.12) เขยนไดเปน

2i

2f mv

21mv

21W −= (4.13)

หรอเขยนไดวา KKK if ∆=− (4.14) นนคอ งานททาโดยแรงคงทในการเคลอนอนภาค มคาเทากบการเปลยนแปลง

พลงงานจลนของอนภาค และเรยกสมการท (4.14) วา ทฤษฎงาน-พลงงาน (work-energy theorem)


พจารณากรณแรงทกระทาตออนภาคในทศ x มคาไมคงท ผลรวมของแรงทงหมดมคา ∑ xFv จากกฎขอ 2 ของนวตน maFx =∑

v และจากสมการท (4.6) งานสทธมคา

( )∫ ∫∑ ==f

i

f

i

x

x

x

xxnet dxmadxFW

dxdvv

dtdx

dxdv

dtdva ===

ดงนน

∫ ∫ ∫==⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

f

i

f

i

f

i

x

x

v

v

v

vnet vdvmdvmvdx

dxdvvmW

2i

2fnet mv

21mv

21W −= (4.15)

จากสมการท (4.15) จะเหนไดวาทฤษฎงาน-พลงงาน สามารถใชไดกบกรณทแรงกระทาตออนภาคมคาไมคงท

สาหรบการเคลอนทของอนภาคตามเสนทางใดๆ ใน 3 มตเขยนไดวา

∫ ⋅=f

isdFW vv (4.16)

kdzjdyidxsd ++=v และ kFjFiFF zyx ++=v แทนคาในสมการ (4.16) ได

∫ ++=fff

iii

z,y,x

z,y,xzyx )dzFdyFdxF(W (4.17)

สมการ (4.17) เปนสมการทวไปทใชหางานเมอ อนภาคเคลอนทจาก (xi, yi, zi) ถง (xf, yf, zf) ตวอยาง 4.6 กลองมมวล 6 kg ถกลากจากขณะหยดนงไปทางขวาดวยแรงขนาด 12 N ดงรป จงหาอตราเรวของกลองหลงจากเคลอนทเปนระยะทาง 3 เมตร


ก. เมอลากกลองบนพนเรยบ วธทา งานททาโดยแรง 12 N

J36)m3)(N12(sFW ==⋅= vv จากทฤษฎงาน-พลงงาน

ifF KKW −=

0mv21 2

f −=

22F2f s/m12

kg6)J36(2

mW2v ===

s/m46.3v f =∴ ตอบ

ข. เมอลากกลองบนพนขรขระ ทมคาสมประสทธ ความเสยดทาน 0.15 ใชทฤษฎงาน-พลงงาน เมอ vi = 0

2fnet mv

21W =

22net2f s/m

6)5.9(2

mW2v ==

s/m78.1v f = ตอบ

วธทา เนองจากพนมความเสยดทาน ดงนน งานสทธ คอ fFnet WWW +=

เนองจากแรงเสยดทานมทศทางตรงกนขามกบ การกระจด ดงนนงานมคาเปนลบ คอ

mgsfsWf µ−=−= )m3)(s/m8.9)(kg6)(15.0( 2−= J5.26−=

J5.9J5.26J36Wnet =−=


ตวอยาง 4.7 รถคนหนงเคลอนทดวยความเรว 48 km/hr เมอเบรกพบวารถมระยะหยดนอยสดท 40 m ถารถอกคนหนงมเครองยนตเหมอนกน เคลอนทดวยความเรว 96 km/hr จงหาระยะหยดนอยทสดของรถคนดงกลาว วธทา ใหระยะหยดนอยทสดเทากบ d เมอเบรกแรงเสยดทานระหวางลอและถนนจะมคามากทสด งานททาโดยแรงเสยดทาน คอ -fd ซงมคาเทากบการเปลยนแปลงพลงงานจลนของเครองยนต เนองจากพลงงานจลนสดทายมคาเปน 0 ดงนน if KKW −=

2mv210fd −=−

f2

mvd2

=

เนองจากรถยนต 2 คน เหมอนกน ทาใหมวล m ของรถทง 2 คนเทากน และแรงเสยดทาน f ของรถทง 2 คนเทากน ดงนนไดอตราสวนของระยะหยด คอ

2

1

2

1

2

vv

dd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

แทนคา v1 = 48 km/h, v2 = 96 km/h และ d1 = 40 m

จะได 1

2

2 d4896d ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

m160)m40(4d4 1 === ตอบ แรงอนรกษและแรงไมอนรกษ

แรงอนรกษ (Conservative force) คอ แรงททาใหเกดงานซงไมขนกบเสนทางการเคลอนทของอนภาค นนคอ งานทกระทาบนอนภาค โดยแรงอนรกษจะขนอยกบตาแหนงเรมตน และตาแหนงสดทายของอนภาคเทานน


พจารณาการเคลอนทของอนภาคตามเสนทางปดใดๆ ภายใตแรงอนรกษ ดงรป a จากนยามของแรงอนรกษ สามารถเขยนไดวา

WPQ(ตามเสนทางท 1) = WPQ(ตามเสนทางท 2) ถาสมมตใหอนภาคเคลอนทจาก P ถง Q ตามเสนทางท 1 และเคลอนทจาก Q ถง P

ตามเสนทางท 2 ดงรป b ดงนน WPQ(ตามเสนทางท 1) = - WPQ(ตามเสนทางท 2) WPQ(ตามเสนทางท 1) + WPQ(ตามเสนทางท 2) = 0

นนหมายความวา ผลรวมของงานทกระทาโดยแรงอนรกษบนเสนทางปดใดๆ จะมคาเทากบ 0 ตวอยางของแรงประเภทนไดแก แรงโนมถวง แรงคนตวของสปรง เปนตน

พจารณาการเคลอนทของอนภาคในแนวดงภายใตแรงโนมถวง mg (ในทศลบ y) จากตาแหนงเรมตน yi ถงตาแหนงสดทาย yf งานททาโดยแรงโนมถวงมคา Wg = - mg(yf-yi)

จะเหนวา Wg ขนอยกบตาแหนง yi และ yf และไมขนกบเสนทางการเคลอนทในกรณอนภาคเคลอนทเปนเสนทางปด จะไดวา yi = yf ดงนน Wg = 0

สาหรบแรงคนตวของสปรง ซง Fs = - kx งานททาใหการยดหรอหดสปรงระหวางตาแหนงเรมตน xi กบตาแหนงสดทาย xf มคา

2f

2is kx

21kx

21W −=

นนคอ Ws ขนอยกบตาแหนงเรมตนและตาแหนงสดทายเทานน และสาหรบการเคลอนทเปนเสนทางปด Ws = 0 เมอ xi = xf ดงนนสรปไดวา แรงโนมถวงและแรงคนตวของสปรงเปนแรงอนรกษ

แรงไมอนรกษ (Nonconservative force) คอแรงททาใหเกดงานซงขนอยกบเสนทางการเคลอนทของอนภาค และงานทกระทาโดยแรงไมอนรกษตามเสนทางปดใดๆ ไมจาเปนตองมคาเทากบ 0 ตวอยางของแรงประเภทน ไดแก แรงเสยดทาน แรงตานของอากาศ เปนตน

พจารณาการเลอนสมดบนโตะขรขระ จาก A ไป B ตามเสนทางในรป ถาสมดเคลอนทไป ตาม เสนตรง งานททาโดยแรงเสยดทาน จะมคา - fd


และ ถาสมดเคลอนทไปตามเสนโคง งานททาโดยแรงเสยดทานจะมคา ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−π

2df และถา

สมดเคลอนทเปนเสนทางปดใดๆ งานททาโดยแรงเสยดทานกจะไมเทากบ 0 พลงงานศกย

การเคลอนทของอนภาคในแนวแกน x จากตาแหนงเรมตน xi ถงตาแหนงสดทาย xf ภายใต แรงอนรกษ Fv งานททาโดยแรงอนรกษจะมคาเทากบพลงงานศกยทลดลง

นนคอ ∫ ∆−==f

i

x

xxc UdxFW (4.18)

เมอ Fx คอ องคประกอบของแรงในทศการกระจด U∆ คอ การเปลยนแปลงพลงงานศกย โดยท if UUU −=∆ ดงนน (4.18) เขยนไดเปน

∫−=−=∆f

i

x

xxif dxFUUU (4.19)

เนองจากแรงคงทขนอยกบตาแหนงของอนภาคเพยงอยางเดยว ดงนนพลงงานศกยจงเปนปรมาณทขนอยกบตาแหนงดวย และเรานยามฟงกชนพลงงานศกยไดเปน

∫ +−=f

i

x

xixf UdxF)x(U (4.20)

(4.20) ใชไดกบแรงคงทเทานน และโดยทวไป Ui = 0 ทตาแหนงอางองใดๆ จากสมการ (4.18) ถาอนภาคเคลอนทเปนระยะทางสนมากๆ dx ดงนน การเปลยนแปลงพลงงานศกยจะมคานอยมากเชนกน นนคอ dUU=∆ ฉะนน (4.18) จะกลายเปน

dUdxFx −= ดงนนเขยนความสมพนธของแรงอนรกษและฟงกชนพลงงานศกยไดดงสมการ

dxdUFx −= (4.21)

การอนรกษพลงงานกล พจารณาการเคลอนทของอนภาคตามแนวแกน x ภายใตอทธพลของแรงอนรกษ Fx

เพยงอยางเดยว จากทฤษฎงาน-พลงงาน พบวา งานมคาเทากบการเปลยนแปลงพลงงานจลนของอนภาค นนคอ KWc ∆= และเนองจากแรงดงกลาวเปนแรงอนรกษ ดงนนงานมคา UWc ∆−= UK ∆−=∆ 0)UK(UK =+∆=∆+∆ (4.22)


เรยก (4.22) วากฎการอนรกษของพลงงานกล (law of conservation of mechanical energy) ซงเขยนในรปแบบอนไดดงน ffii UKUK +=+ (4.23) หรอ fi EE = (4.24) เมอ E คอ ผลรวมของพลงงานกลของระบบ UKE += (4.25)

นนคอ กฎการอนรกษของพลงงานกลกลาววา ถามแรงอนรกษทางานใหแกระบบ ผลรวมของพลงงานกลของระบบจะมคาคงท หรอกลาวอกนยหนงคอ พลงงานจลนและพลงงานศกยของระบบสามารถเปลยนรปไปมาไดโดยทพลงงานรวมของระบบมคาคงทเสมอ ถามแรงอนรกษกระทาตอระบบมากกวาหนงแรง สามารถเขยนกฎการอนรกษของพลงงานกลไดดงน ∑ ∑+=+ ffii UKUK (4.26)

เมอเทอมในเครองหมาย ∑ เทากบจานวนแรงอนรกษทกระทาตอระบบ เชน ถามมวลเชอมตดกบปลายสปรงกาลงสนอยในแนวดง ดงนนจงมแรงอนรกษ 2 แรง ทกระทาตอระบบ คอแรงของสปรง และแรงโนมถวงในระบบทวๆ ไป เราจะพบแรงไมอนรกษเสมอเชนระบบมความเสยดทาน ผลรวมของพลงงานของระบบจะมคาไมคงท

ถาให Wnc คองานททาโดยแรงไมอนรกษ และ Wc คองานททาโดยแรงอนรกษ จากทฤษฎงาน-พลงงาน จะไดวา KWW cnc ∆=+ เนองจาก UWc ∆−= ดงนน )UU()KK(UKW ififnc −+−=∆+∆= (4.27) หรอ ifiiffnc EE)UK()UK(W −=+−+= (4.28)

นนคอ งานทกระทาโดยแรงอนรกษมคาเทากบการเปลยนแปลงพลงงานรวมของระบบ และถา Wnc = 0 ดงนน Ei = Ef ซงกคอกฎการอนรกษของพลงงานกลนนเอง พลงงานศกยโนมถวง

อนภาคเคลอนทจากจด P ถง Q ภายใตแรงโนมถวงคงทดงรป งานทกระทาโดยแรงโนมถวงตามเสนทาง PAQ สามารถแบงเปน 2 สวน คอ งานตามเสนทาง PA และ งานตามเสนทาง AQ นนคอ


mgh0mghWWW AQPAPAQ −=+−=+= WPA เปนลบเพราะ mg มทศทางตรงขามกบการกระจด WAQ เปน 0 เพราะ mg มทศตง

ฉากกบการกระจด ในทานองเดยวกน งานตามเสนทาง PBQ จะมคา - mgh เชนกน สาหรบงานตามเสนทาง PQ พจารณาไดจากการเขยนเสนโคงใหอยในรปขนบนไดตาม

แนวนอนและแนวดง และจะเหนวามงานเกดขนเฉพาะในแนวดงเทานน ทงนเนองจากในแนวนอน mg ตงฉากกบการกระจดจงไมมงานเกดขน ซงงานททาตามขนบนไดในแนวดงสาหรบขนท n ใดๆ มคา nymg∆− เนองจากระยะทางในแนวดงจาก P ถง Q มคาเทากบ h ดงนนงานทงหมดทกระทาโดยแรงโนมถวง จงมคาเทากบพลงงานรวมของงานในแนวดง นนคอ ∑ −=∆−=

nng mghymgW

หรอ fig mgymgyW −= (4.29) สรปไดวา เนองจากงานททาโดยแรงโนมถวงไมขนกบเสนทาง ดงนนแรงโนมถวงจงเปน

แรงอนรกษ และนยามฟงกชนพลงงานศกยโนมถวง Ug ไดดงน mgyUg = (4.30) แทน (4.30) ลงใน (4.29) จะได gfig UUUW ∆−=−= (4.31)

นนคอ งานททาโดยแรงโนมถวงมคาเทากบพลงงานศกยเรมตนลบดวยพลงงานศกยสดทาย สาหรบกรณทวตถตกอยางอสระภายใตอทธพลของแรงโนมถวงเพยงอยางเดยว เราสามารถเขยนกฎการอนรกษของพลงงานกลไดดงน จาก ffii UKUK +=+

f2fi

2i mgymv

21mgymv

21

+=+ (4.32)

ตวอยาง 4.8 ปลอยลกบอลมวล m ทความสง h จากพนดน ดงรป จงหาอตราเรวของลกบอลทความสง y จากพนดน โดยไมคดแรงตานทานของอากาศ

วธทา เมอลกบอลถกปลอยจากขณะหยดนง ทความสง h จากพนดน พลงงานจลน Ki = 0 และพลงงานศกย Ui = mgh เมอลกบอลอยท

ระยะทาง y เหนอพนดน พลงงานจลน 2ff mv

21K =

และพลงงานศกย Uf = mgy จาก ffii UKUK +=+

mgymv21mgh0 2

f +=+

)yh(g2v2f −=

)yh(g2v f −= ตอบ


ตวอยาง 4.9 ลกตมเพนดลมมวล m ผกตดกบปลายเชอกนาหนกเบา ยาว L ดงรป ลกตม ถกปลอยขณะหยดนงโดยทามม 0θ กบแนวดง และทจดตรง 0 ไมมความเสยดทาน จงหา ก. อตราเรวของลกตมตาแหนงตาสดทจด b ข. แรงตงในเสนเชอก ทตาแหนง b แทนคาลงในสมการได

mgLmv21cosmgL0 2

b0 −=− θ

)cosmgLmgL(m2v 0

2b θ−=

)cos1(gL2 0θ−= )cos1(gL2v 0b θ−=∴ ตอบ ข. จากกฎขอท 2 ของนวตน ∑ =−= rbr mamgTF

เมอ ar = ความเรงสศนยกลาง r

v2

=

ในทน r = L

LvmmgT

2b

b =−

)cos1(mg2mgT 0b θ−+=∴ )cos23(mg 0θ−= ตอบ

วธทา ก. พจารณาตาแหนง a และ b จาก กฎการอนรกษพลงงาน

bbaa UKUK +=+ เมอ 0Ka =

2bb mv

21K =

0aa cosmgLmgyU θ−== mgLmgyU bb −== (เปนลบเพราะใชจด 0 เปนตาแหนงอางองของลกตมจงอยในทศ -y)


ตวอยาง 4.10 กลองมมวล 3 kg เคลอนทลงจากพนเอยงขรขระทมแรงเสยดทาน 5 N และพนเอยงทามม 30o ดงรป

ก. ใชทฤษฎของพลงงานคานวณหาอตราเรวของกลองเมอเคลอนทมาถงปลายสดของพนเอยง

ข. ตรวจสอบคาตอบ ขอ ก. โดยใชกฎการเคลอนทของนวตน ก. วธทา ทตาแหนงเรมตน vi = 0 ฉะนน พลงงานจลน = 0 พลงงานรวมคอพลงงานศกยเพยงอยางเดยว

J7.14

)m5.0(sm8.9)kg3(

mgyUE

2

iii

=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

==

ทตาแหนงสดทายพลงงานศกย = 0 เพราะวา yi = 0 พลงงานรวมคอพลงงานจลนเพยงอยางเดยว

2ff mv

21E =

สาหรบในกรณน fi EE ≠ เพราะวาระบบนแรงเสยดทานและงานททาโดยแรงเสยดทานมคา J5)m1)(N5(fsWnc −=−=−= จาก Wnc = Ef - Ei

i2f mgymv

21fs −=−∴

)fsmgy(m2v i

2f −=

)J5J7.14()kg3(

2−=

22 s/m47.6= s/m54.2v f =∴ ตอบ


ข. วธทา จากกฎขอ 2 ของนวตน ∑ = maF maf30sinmg o =−

kg3N5

)5.0)(s/m8.9(

mf30singa

2

o

−=

−=

2s/m23.3= จาก as2vv 2

i2f +=

as2v0v 2f

2i =⇒=

22

2

s/m46.6

)m1)(s/m23.3(2

=

=

s/m54.2v f =∴ ตอบ

ตวอยาง 4.11 นกสกเลนสกบนพนเรยบทามม 20o กบพนสง 20 m ดงรป ดานลางของพนเอยงเปนพนขรขระในแนวนอน คาสมประสทธความเสยดทานจลน ระหวางสกและหมะเทากบ 0.21 จงคานวณวานกสกจะเลนสกไดเปนระยะทางเทาใดบนพนในแนวนอนกอนหยดนง วธทา หาอตราเรวของนกสกทดานลางของพนเอยงจาก

ffii UKUK +=+ 0mv

21mgh0 2

f ==+

gh2v f = )m20)(s/m8.9(2 2= s/m8.19=


ใชทฤษฎงาน-พลงงาน สาหรบการเคลอนทบนพนขรขระในแนวราบ งานททาโดยแรงเสยดทานกอนสกหยดมคา ifnc KKfsW −=−=

2imv

210mgs −=−µ

m2.95)s/m8.9)(21.0(2

)s/m8.19(g2

vs 2

22i ===µ

ตอบ

พลงงานศกยสะสมในสปรง

งานทสปรงทาในการเลอนกลองจากตาแหนง xi ถง xf คอ

2f

2is kx

21kx

21W −=

นยามปรมาณ 2kx21 วาเปนพลงงานศกยยดหยน (elastic potential energy;Us) ท

สะสมไวในสปรง

2s kx

21U = (4.33)

Us มคาเปน 0 เมอสปรงไมมการยดหรอหด และมคามากทสดเมอสปรงถกอดมากทสด (รป c)

พลงงานกลรวมของระบบมคา

2f

2f

2i

2i kx

21mv

21kx

21mv

21E +=+= (4.34)


และจากรป xi = 0 ดงนน (4.34) กลายเปน

2f

2f

2i kx

21mv

21mv

21E +== (4.35)

หมายความวา ทระยะกระจด xr ใดๆ ผลรวมของพลงงานจลนและพลงงานศกยจะมคาคงท ซงเทางานรวม ในกรณทมแรงไมอนรกษกระทาตอระบบ เราสามารถใชทฤษฎงาน-พลงงาน หางานเนองจากแรงไมอนรกษไดดงน )UK()UK(EEW iiffifnc +−+=−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ += 2

i2i

2f

2f kx

21mv

21kx

21mv

21 (4.36)

นนคอ ถามแรงไมอนรกษมากระทาตอระบบ พลงงานรวมของระบบจะมคาไมคงท ตวอยาง 4.12 กลองมมวล 0.8 kg เคลอนทไปทางขวาดวยความเรวเรมตน 1.2 m/s ชนกบสปรงเบาซงมคาคงทของแรง 50 N/m ดงรป จงหาระยะทสปรงหดตวมากทสดหลงจากการชน เมอ

ก. พนไมมความเสยดทาน ข. พนมความเสยดทาน โดย 5.0=µ

ข. วธทา เนองจากระบบมแรงไมอนรกษมากระทาดงนนพลงงานของระบบจะมคาไมคงท หางานเนองจากแรงเสยดทานในการเคลอนกลองจาก xi = 0 ถง xf = x fxWnc −= เมอ mgNf µµ == )s/m8.9)(kg8.0(5.0 2= N92.3= Jx92.3Wnc −=∴

ก. วธทา จาก 2f

2f

2i

2i kx

21mv

21kx

21mv

21E +=+=

2f

2i kx

2100mv

21

+=+

2i

2f mv

k1x =

m152.0)s/m2.1(m/N50

kg8.0v

kmx 2

if ===∴


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ += 2

i2i

2f

2fnc kx

21mv

21kx

21mv

21W

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=− 0mv

21kx

210x92.3 2

i2f

22 )2.1)(8.0(21x

250x92.3 −=−

0576.0x92.3x25 2 =−− ใชสมการ quadratic หา x ได x = 0.0924 m และ -0.249 m เนองจากกลองเคลอนท

มาทางขวา ดงนน เลอก x = 0.924 m ตอบ

แบบฝกหด งานและพลงงาน

1. กลองมมวล 6 kg ถกลากจากหยดนงไปทางขวาดวยแรงขนาด 12 N ในแนวราบ จงหาอตราเรวของกลองหลงจากเคลอนทเปนระยะทาง 3 เมตร 2. จากขอ 1 ถาลากกลองบนพนขรขระทมสมประสทธของความเสยดทาน 0.15 อตราเรวของกลองหลงจากเคลอนทไปได 3 เมตร เปนเทาใด 3. ปลอยลกบอลมวล m ตกอยางอสระในแนวดงสง h จากพนโลก

(a) จงหาอตราเรวของลกบอลเมอลกบอลอยทระยะ y จากพน (ถอวาไมมแรงเสยทานจากอากาศ)

(b) จงหาอตราเรวของลกบอลทระยะ y ถา vi เปนอตราเรวเรมตนทความสง h 4. พนเอยงหยาบยาว 1 เมตร ทามม 30o กบพนราบ ปลอยวตถมวล 3 kg จากจดนงทจดสงสดใหไถลลงลาง โดยมแรงเสยดทานขนาด 5 นวตน

(a) จงหาอตราเรวของวตถทตนพนลาด โดยใชหลกของพลงงาน (b) ใหตรวจคาตอบโดยใชกฎขอท 2 ของนวตน


บทท 5 โมเมนตมเชงเสนและการชน

(Linear Momentum and Collisions)

โมเมนตมเชงเสนและการดล เรานยามโมเมนตมเชงเสนของอนภาคมวล m ทกาลงเคลอนทดวยความเรว vv วาเปน

ผลคณของมวลและความเรว กลาวคอ vmp vv = (5.1)

จากสมการ (5.1) จะเหนวา โมเมนตมเปนปรมาณเวกเตอร ซงมทศเดยวกบทศของความเรว และถาอนภาคกาลงเคลอนทในทศใดๆ เราสามารถเขยนองคประกอบของ pv ในแนวแกน x, y, z ไดดงน

zzyyxx vmp,vmp,vmp vvvvvv === (5.2) จากกฎขอท 2 ของนวตน

dtpd

dtvdmamF

vvvv === (5.3)

หรอ dtFpd vv = (5.4) integrate สมการ (5.4) เพอหาการเปลยนแปลงโมเมนตมของอนภาคจาก ipv ถง fpv ท

เวลา ti ถง tf ตามลาดบ

∫=−=∆f

i

t

tif dtFppp vvvv (5.5)

เรานยามปรมาณทางขวามอของสมการ (5.5) วาเปนเวกเตอรการดล (Impulse; Iv ) ของแรง Fv ในชวงเวลา t∆ นนคอ

pdtFIf

i

t

t

vvv ∆== ∫ (5.6)

นนคอการดลของแรง Fv มคาเทากบ การเปลยนแปลงโมเมนตมของอนภาค และเรยก

สมการ (5.6) วา ทฤษฎการดล – โมเมนตม (impulse – momentum theorem) ซงเทยบไดกบกฎขอท 2 ของนวตม จากคานยามเราจะเหนวาการดลเปนปรมาณเวกเตอรทมขนาดเทากบพนทใตกราฟระหวางแรงกบเวลา ดงรปท a เนองจากแรงมคาไมคงทเมอเวลาเปลยนไป ดงนนความสมพนธของเวลาและแรงเฉลย avgFv หาไดจาก

โมเมนตมและการชน หนา 75

∫∆

=f

i

t

tavg dtF

t1F vv (5.7)

เมอ if ttt −=∆ ดงนนสมการ (5.6) เขยนไดเปน tFpI avg∆=∆= vvv (5.8) แรงเฉลยแสดงในรปท b ถาแรงทกระทาตออนภาคมคาคงท นนคอ FFavg

vv = ดงนนสมการ (5.8) จะกลายเปน tFpI ∆=∆= vvv (5.9)

เรยกสมการ (5.9) วา impulse approximation การประมาณนจะใชไดกตอเมอ เราสมมตวามแรงกระทาตออนภาคในชวงเวลาสนๆ และแรงดงกลาวมคามากกวาแรงอนๆ มาก ซงโดยทวไปมกใชกบกรณของการชนในชวงเวลาสนมากๆ เชนลกเบสบอลกระทบกบถงมอของนกเบสบอลในชวงเวลาประมาณ 0.01 วนาท และแรงเฉลยทถงมอกระทบกบลกบอล โดยทวไปจะมคาในเรอนพนนวตน ซงมคามากกวาแรงโนมถวงมาก ดงนนจงใช impulse approximation ได

ตวอยาง 5.1 รถมมวล 1500 kg ชนกบกาแพงดงรป ความเรวเรมตนและความเรวสดทายของรถมคา –15 และ 2.6 m/s ตามลาดบ ถาชวงเวลาในการชนคอ 0.15 s จงหาการดลและแรงเฉลยทกระทาตอรถ

วธทา โมเมนตมกอนชน และโมเมนตมหลงชนของรถหาไดจาก ii vmp vv = = (1500 kg)(-15 m/s) = - 2.25 x 104 kg m/s ff vmp vv = = (1500 kg)(2.6 m/s) = 0.39 x 104 kg m/s


if pppI vvvv −=∆= = 0.39 x 104 – (- 2.25 x 104) kg m/s = 2.64 x 104 kg m/s

s15.0

s/mkg1064.2tpF

4

avg

×=

∆∆

=vv

= 1.76 x 105 N ตอบ

ตวอยาง 5.2 ลกบอลมวล 100 g ตกจากทสง 2 m เหนอพนดนดงรป และกระดอนกลบในแนวดงสง 1.5 m หลงจากกระทบกบพน จงหา ก) โมเมนตมของลกบอลกอนและหลงกระทบกบพน วธทา ใชวธของงานในการหาความเรวของลกบอลกอน และหลงกระทบพน

กอนกระทบพน : mghmv21 2

i =

s/m)2)(8.9)(2(gh2vi == s/m26.6v i =

หลงกระทบพน : hmgmv21 2

f ′=

s/m)5.1)(8.9)(2(hg2v f =′= s/m42.5v f = ∴ โมเมนตมของลกบอลกอนกระทบพน ii vmp vv = s/mj)26.6)(kg1.0( −= s/mkgj626.0−= ตอบ


∴ โมเมนตมของลกบอลหลงกระทบพน ff vmp vv = s/mj)42.5)(kg1.0(= s/mkgj542.0= ตอบ

ข) หาแรงเฉลยทพนกระทาตอลกบอลในชวงเวลาของการชน 0.01 s วธทา จาก tFppp if ∆=−=∆ vvvv

Nj1017.1s10

s/mkg)j626.0(j542.0F 2

2 ×=−−

= −v ตอบ

การอนรกษของโมเมนตมเชงเสน พจารณาระบบอนภาค 2 ตว ทาอนตรกรยากนภายใตระบบปด กลาวคอ ระบบจะถก

แยกออกจากสงแวดลอมและอนภาคจะสงแรงกระทาถงกนโดยไมมแรงจากภายนอกมากระทา ดงรป

สมมตวาทเวลา t โมเมนตมของอนภาคตวท 1 และ 2 คอ 1pv และ 2pv ตามลาดบ ดงนนแรงทอนภาคกระทาตอกนเขยนไดจากกฎขอท 2 ของนวตน กลาวคอ

dtpdF 1

12

vv = และ dtpdF 2

21

vv =

เมอ 12Fv คอ แรงทอนภาคตวท 2 กระทาตออนภาคตวท 1 21Fv คอ แรงทอนภาคตวท 1 กระทาตออนภาคตวท 2

จากกฎขอท 3 ของนวตน 2112 FF vv −= ดงนน 0FF 2112 =+ vv

หรอ ( ) 0ppdtd

dtpd

dtpd

2121 =+=+ vvvv


กาหนดให Pv เปนผลรวมของโมเมนตม ดงนน ttanconsppP 21 =+= vvv (5.10) หรอ f22f11i22i11 vmvmvmvm vvvv +=+ (5.11) หรอ f2f1i2i1 pppp vvvv +=+ (5.12)

เรยกสมการท (5.12) วา กฎการอนรกษโมเมนตมเชงเสน ซงจะเหนไดวาผลรวมโมเมนตมของระบบตอนเรมตนมคาเทากบผลรวมโมเมนตมตอนสดทาย

ตวอยาง 5.3 ปนใหญมวล 3000 kg หยดนงดงรป ในปนใหญมลกปนมวล 30 kg เมอจดระเบดทาใหลกปนเคลอนทในแนวราบ ถาขณะนนปนใหญเคลอนทไปทางขวาดวยความเรว 1.8 m/s จงหาความเรวของลกปนหลงออกจากปนใหญ

วธทา จาก f22f11i22i11 vmvmvmvm vvvv +=+ ผลรวมของโมเมนตมกอนจดระเบดมคาเปน 0 ดงนน

0vmvm f22f11 =+ vv

f12

1f2 v

mmv vv −=

)s/m8.1(kg30kg3000⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

s/m180−= ลกปนจะเคลอนทไปทางซายในทศตรงขามกบทศการเคลอนทของปนใหญ ตอบ


การชน โดยทวไปการชนอาจเกดในรปแบบของการสมผสกนของวตถ ดงรป a ซงเปน

ปรากฏการณทเราเหนอยเปนประจาสาหรบวตถขนาดใหญ เชน การชนกนของลกบลเลยด หรออาจจะเปนการชนกนในระดบอะตอม ดงรป b ซงเปนการชนกนของโปรตอนกบอนภาคแอลฟา เนองจากประจทงสองมประจบวก ดงนนมนจงผลกกน ซงขบวนการนเรยกวาการกระเจง (scattering process)

พจารณาการชนกนของอนภาคมวล m1 และ m2 ในชวงเวลาสนๆ จะเกดแรงดลขนดงรป ถา 12Fv เปนแรงทกระทาตอมวล m1 เนองจากมวล m2 และสมมตวาไมมแรงภายนอกมากระทาตออนภาค ดงนน การเปลยนแปลงโมเมนตมของ m1 เนองจากการชนเขยนไดเปน

dtFpf

i

t

t121 ∫=∆ vv

ใหโมเมนตมรวมของระบบคอ 21 ppP vvv += ดงนนเราสรปไดวา การเปลยนแปลง โมเมนตมของระบบเนองจากการชนมคาเปน 0 นนคอ constantppP 21 =+= vvv

ดงนนเราสรปไดวาสาหรบการชนชนดใดๆผลรวมโมเมนตมของระบบกอนชนจะมคาเทากบผลรวมโมเมนตมของระบบหลงชน หรอกลาวไดวาผลรวมของโมเมนตมจะอนรกษเสมอ แตอยางไรกตามโดยทวไปแลวเมอมการชนเกดขน ผลรวมของพลงงานจลนไมจาเปนตองอนรกษ ทงนเนองจากพลงงานจลนสามารถเปลยนรปไปเปนพลงงานความรอนและพลงงาน

ในทานองเดยวกน ถา 21Fv เปนแรงทกระทาตอมวล m2 เนองจากมวล m1 ดงนนการเปลยนแปลงโมเมนตมของ m2

dtFpf

i

t

t212 ∫=∆ vv

จากกฎขอท 3 ของนวตนดงนนสรปไดวา 21 pp vv ∆−=∆ 0pp 21 =∆+∆ vv


ศกยยดหยนได เมอวตถมรปรางเปลยนไปในระหวางการชนเราสามารถนยามการชนชนดตางๆ ไดดงน 1. การชนแบบไมยดหยน (inelastic collision)

เปนการชนซงโมเมนตมอนรกษ แตพลงงานจลนไมอนรกษ เชนการชนของลกบอลยางกบพนผวแขง เนองจากพลงงานจลนบางสวนของลกบอลจะหายไปในการททาใหมนมรปรางเปลยนไปในขณะทสมผสกบพน 2. การชนแบบไมยดหยนสมบรณ (perfectly inelastic collision)

เปนการชนซงภายหลงการชน วตถจะเคลอนทตดไปดวยกน ดงนนหลงการชน วตถจะมความเรวเหมอนกน 3. การชนแบบยดหยน (elastic collision)

เปนการชนซงทงโมเมนตมและพลงงานจลนอนรกษ เชนการชนกนของลกบลเลยด เปนตน

การชนในหนงมต การชนแบบไมยดหยนสมบรณ

พจารณาอนภาค 2 ตว ทมมวล m1 และ m2 เคลอนทดวยความเรวตน i1vv และ i2vv ในแนวเสนตรงดงรป

ถาหลงการชนอนภาคเคลอนทตดไปดวยกนดวยความเรวเดยวกน fvv ดงนนระบบจะมเฉพาะโมเมนตมเทานนทอนรกษ หรอกลาวไดวา ผลรวมของโมเมนตมกอนชนมคาเทากบผลรวมของโมเมนตมหลงชน นนคอ f21i22i11 v)mm(vmvm vvv +=+ (5.13)

21

i22i11f mm

vmvmv++

=vv

v (5.14)


ตวอยาง 5.4 รถคนเลกมวล 900 kg เคลอนทดวยความเรว 20 m/s ชนกบรถคนใหญมวล 1,800 kg ซงหยดนงหลงการชน รถทงสองคนเคลอนทตดไปดวยกน จงหา ก. ความเรวของรถทงสองคนหลงการชน ข. พลงงานจลนทสญเสยไประหวางการชน ก. วธทา เนองจากการชนเปนแบบไมยดหยนสมบรณ ดงนน f21i22i11 v)mm(vmvm vvv +=+ fv)kg800,1900(0)s/m20)(kg900( v+=+

kg700,2

s/mkg000,18vf =∴v

s/m67.6= ตอบ

ข. วธทา

พลงงานจลนกอนชน 2i22

2i11i vm

21vm

21K +=

0)s/m20)(kg900(21 2 +=

J108.1 5×=

พลงงานจลนหลงชน 2f21f v)mm(

21K +=

2)s/m67.6)(kg800,1kg900(21

+=

J106.0 5×= ดงนนพลงงานทสญเสยไปมคา 5

fi 10)6.08.1(KK ×−=− J102.1 5×= ตอบ

การชนแบบยดหยน พจารณาอนภาค 2 ตวภายใตการชนแบบยดหยน ดงรป ในกรณนทงโมเมนตมและ

พลงงานจลนจะอนรกษ ดงนน


f22f11i22i11 vmvmvmvm vvvv +=+ (5.15)

2f22

2f11

2i22

2i11 vm

21vm

21vm

21vm

21

+=+ (5.16)

นา 2 คณ (5.16) และจดรปใหมจะได )vv(m)vv(m 2

i22

f222f1

2i11 −=−

)vv)(vv(m)vv)(vv(m i2f2i2f22f1i1f1i11vvvvvvvv +−=+− (5.17)

จากสมการท (5.15) จะได )vv(m)vv(m i2f22f1i11

vvvv −=− (5.18) นาสมการท (5.17)/(5.18) ได i2f2f1i1 vvvv vvvv +=+ หรอ )vv(vv f2f1i2i1

vvvv −−=− (5.19) สมมตวาเรารคามวลและความเรวเรมตนของอนภาคทงสอง เราสามารถหาอตราเรว

สดทายไดจากการแกสมการ (5.15) และ (5.16) คอ

i221

2i1

21

21f1 v

mmm2v

mmmmv vvv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

= (5.20)

i221

12i1

21

1f2 v

mmmmv

mmm2v vvv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= (5.21)

ในทน vv เปนบวก เมออนภาคเคลอนทไปทางขวาและ เปนลบเมออนภาคเคลอนทไปทางซายในกรณท m1 = m2 จะพบวา i2f1 vv vv = และ i1f2 vv vv = นนคอหลงการชนอนภาคมการแลกเปลยนความเรวกน เชน ในกรณการชนกนของลกบลเลยด เปนตน

ถาตอนเรมตน m2 หยดนง ดงนน 0v i2 =v ดงนนสมการ (5.20) และ (5.21) จะ

กลายเปน

i121

21f1 v

mmmmv vv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

= (5.22)

i121

1f2 v

mmm2v vv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= (5.23)

ถา m1 >> m2 ดงนน i1f1 vv vv ≈ และ i1f2 v2v vv ≈ นนคอ เมอมอนภาคหนกมากๆ ชนกบอนภาคเบามากๆ ซงหยดนง หลงการชนอนภาคหนกจะเคลอนทตอไปอยางไมเปลยนแปลง ในขณะทอนภาคเบาจะกระดอนกลบดวยความเรวเปนสองเทาของความเรวเรมตนของอนภาคหนก เชน การชนกนของอะตอมของธาตยเรเนยมกบอะตอมของธาตไฮโดรเจนเปนตน


ถา m2 >> m1 และตอนเรมตน m2 หยดนงดงนน i1f1 vv vv ≈ และ i1f2 vv vv << นนคอ เมออนภาคเบามากๆ ชนกบอนภาคหนกมากๆ ซงหยดนง อนภาคเบาจะมความเรวในทศยอนกลบในขณะทอนภาคหนกยงคงหยดนง เชนลกแกวเลกๆ วงชนกบลกโบวลงทหยดนง เปนตน

ตวอยาง 5.5 กลองมมวล 1.6 kg กาลงเคลอนทไปทางขวาดวยอตราเรว 4 m/s บนพนเรยบปราศจากความเสยดทานแลวชนกบสปรงซงตดกบกลองใบทสองมวล 2.1 kg ซงกาลงเคลอนทไปทางซายดวยอตราเรว 2.5 m/s ดงรปท a ถาคาคงทของสปรงเทากบ 600 N/m จงหาความเรวของกลองใบทสอง และระยะทสปรงถกอดเมอกลองใบทหนงเคลอนทดวยอตราเรว 3 m/s ไปทางขวา ดงรป b วธทา 1. หา f2vv จากกฎการอนรกษของโมเมนตม f22f11i22i11 vmvmvmvm vvvv +=+

2

f11i22i11f2 m

vmvmvmv

vvvv −+

=

kg1.2)s/m3)(kg6.1()s/m5.2)(kg1.2()s/m4)(kg6.1(

v f2

−−+=v

s/m74.1v f2 −=∴v f2vv เปนลบแสดงวามวล m2 ยงคงเคลอนทไปทางซาย ตอบ

2. หาระยะทสปรงถกอดจากกฎการอนรกษของพลงงาน เนองจากระบบปราศจากความเสยดทาน ดงนน

22f22

2f11

2i22

2i11 kx

21vm

21vm

21vm

21vm

21

++=+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+= 2

f222f11

2i22

2i11

2 vm21vm

21vm

21vm

21

k2x


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−−+= 2222 )74.1)(1.2(

21)3)(6.1(

21)5.2)(1.2(

21)4)(6.1(

21

6002

m173.0x = ตอบ

การชนใน 2 มต พจารณาอนภาคมวล m1 ชนกบมวล m2 โดยทตอนเรมตน m2 หยดนง ดงรป ซง m1

ไมไดชนกบ m2 ตรงๆ แตจะชนแบบเฉยดๆ (glancing) หลงจากการชนมวล m1 เคลอนททามม θ กบแนวระดบ และ m2 เคลอนททามม φ กบแนวระดบ

ใชกฎการอนรกษของโมเมนตมในรปองคประกอบ xfxi PP vv = เมอ 0Pyi =v เราได โมเมนตมในแนวองคประกอบ x:

φθ += cosvmcosvmvm f22f11i11 (5.24a) โมเมนตมในแนวองคประกอบ y:

φθ −= sinvmsinvm0 f22f11 (5.24b) สมมตวาการชนเปนแบบยดหยน ดงนนเขยนการอนรกษของพลงงานกล

ไดวา 2f22

2f11

2i11 vm

21vm

21vm

21

+= (5.25)

สมการ (5.25) ใชไดเฉพาะในกรณการชนแบบยดหยนเทานน


ตวอยาง 5.6 รถเกงมวล 1500 kg เคลอนทไปทางทศตะวนออกดวยอตราเรว 25 m/s ชนกบรถแวนมวล 2500 kg ซงกาลงเคลอนทไปทางเหนอดวยอตราเรว 20 m/s ดงรป เมอชนกนแลวรถทงสองเคลอนทตดกนไปทามม θ กบทศตะวนออกดวยความเรวเทากน จงหาความเรวและทศทางของรถหลงการชน วธทา ใหการเคลอนทในทศตะวนออกและทศเหนออยในแกน +x และ +y ตามลาดบ เนองจากโมเมนตมกอนชนตามแนวแกน x มเฉพาะโมเมนตมของรถเกงเทานน ∴ผลรวมโมเมนตมของระบบ (รถเกง + รถแวน) กอนชนตามแนวแกน x คอ )s/m25)(kg1500(Pxi =∑

v = 37500 kg.m/s

เมอรถชนกนแลวเคลอนทตดกนไปดวยความเรวเดยวกนทามม θ ผลรวมโมเมนตมหลงชนตามแนวแกน x คอ

)cosv)(kg4000(Pxf θ=∑v

จาก ∑∑ = xfxi PP vv ∴ 37500 kg.m/s = (4000 kg) (v cos θ) (1) ในทานองเดยวกนสาหรบการอนรกษของโมเมนตมตามแนวแกน y จะได

∑∑ = yfyi PP vv ∴ (2500 kg) (20 m/s) = (4000 kg) (v sin θ) 50000 kg.m/s = (4000 kg) (v sin θ) (2)


(2) ÷(1) ได

tan θ = 3750050000 = 1.33

∴ θ = 53.1° แทนคา θ ลงใน (2) ได

v = )1.53)(sinkg4000(

s/mkg50000o

⋅ = 15.6 m/s ตอบ

ตวอยาง 5.7 ในการแขงบลเลยดสมมตวาผเลนตองการใหลกนาเงนลงหลมมมซงอยในทศทามม 35 องศากบแกน x ดงรป อยากทราบวาหลงจากผเลนแทงลกเหลองไปชนกบลกนาเงนแลว ลกเหลองจะเบนไปเปนมมเทาใด โดยไมคดแรงเสยดทานระหวางลกบลเลยดกบพนโตะ

วธทา เนองจากในตอนเรมตนลกนาเงนหยดนง 0v i2 =∴v∴

ดงนนการอนรกษของพลงงานจลนเขยนไดเปน

2f22

2f11

2i11 vm

21vm

21vm

21

+=

แต m1 = m2 ดงนน 2

f22f1

2i1 vvv += (1)

ใชการอนรกษของโมเมนตมกบการชนใน 2 มต ได f22f11i11 vmvmvm vvv += m1 = m2 ⇒ f2f1i1 vvv vvv += (2) ยกกาลงสอง สมการ (2) ทงสองขาง (dot ตวมนเอง) ได

)vv(.)vv(v.v f2f1f2f1i1i1vvvvvv ++=

f2f12

f22f1

2i1 v.v2vvv vv++=


แต f2f1 v.v vv = v1f v2f cos (θ + 35o) ดงนน v1i

2 = v1f2 + v2f

2 + 2 v1fv2f cos (θ + 35 o) (3) (3) – (1) ได 2 v1fv2f cos (θ + 35 o) = 0 ⇒ cos (θ + 35 o) = 0 cos 90 o = 0 ⇒ θ + 35 o = 90 o

∴ θ = 55 o ตอบ ตวอยางนแสดงใหเหนวา เมอมวตถมวลเทาชนกนแบบ glancing elastic collision และตอนเรมตนวตถอนหนงหยดนง หลงการชนวตถทงสองจะเคลอนททามมกน 90 องศา

ศนยกลางมวล ในหวขอนจะศกษาการเคลอนทของระบบเชงกลในเทอมของจดศนยกลางมวล ระบบ

เชงกลดงกลาวอาจจะเปนระบบของอนภาคหรอวตถขนาดใหญกได ถามแรงภายนอก Fv มากระทาตอระบบ และระบบมมวลรวม M ศนยกลางมวลจะเคลอนทดวยความเรง mFa vv =

พจารณาระบบเชงกลทประกอบดวยอนภาค 2 ตว เชอมตดกนดวยแทงวตถเบามากๆ ดงรป ศนยกลางมวลจะอยบนแทงวตถทเชอมอนภาคใกลกบอนภาคทมมวลมากกวา ถามแรงมากระทาบนแทงเหลกใกลบรเวณมวลนอย (เหนอศนยกลางมวล) ระบบจะหมนในทศตามเขมนาฬกา ดงรป a ในทางตรงขาม ถามแรงมากระทาใกลบรเวณมวลมาก (ใตศนยกลางมวล) ระบบจะหมนในทศทวนเขมนาฬกา ดงรป b และถามแรงมากระทาทศนยกลางมวลพอด ระบบจะเคลอนทในทศของ Fv โดยไมมการหมน ดงรป c

ตาแหนงของศนยกลางมวลคอตาแหนงเฉลยของระบบอนภาค เชน ศนยกลางมวลของอนภาค 2 ตวในรป หาไดจาก

21

2211c mm

xmxmx++

= (5.26)


เชน ถา x1 = 0 , x2 = d , m2 = 2m1 d32xc =∴ หมายความวา ศนยกลางมวลจะวางตว

อยใกลกบอนภาคทมมวลมากกวา ถาอนภาคทง 2 ตว มมวลเทากน ศนยกลางมวลจะอยตรงกลางระหวางอนภาค

กรณอนภาคหลายตวใน 3 มต คาพกดทางแกน x ของศนยกลางมวลของอนภาค n ตวหาไดจาก

∑

∑=++++++++

=i

ii

n321

nn332211c m

xmm...mmm

xm...xmxmxmx (5.27)

เมอ xi คอ คาพกดทางแกน x อนดบท n ของอนภาค ∑mi คอ ผลรวมมวลของระบบ = M สาหรบคาพกดทางแกน y และแกน z ของศนยกลางมวล หาไดจาก

∑

∑=i

iic m

ymy และ ∑

∑=i

iic m

zmz (5.28)

หรอเขยนในรปเวกเตอรบอกตาแหนง crv

kzjyixr cccc ++=v

M

kzmkymixmr iiiiiic

∑ ∑∑ ++=v (5.29)

M

rmr iic

∑=v (5.30)

เมอ crv คอ เวกเตอรบอกตาแหนงอนดบท i ของอนภาค

kzjyixr iiii ++=v กรณวตถเกรงดงรป ศนยกลางมวลหาไดจากการแบงวตถออกเปนชนเลกๆ แตละชนม

มวล ∆mi และมพกดเปน xi , yi ,zi ดงนนคาพกดทางแกน x มคา

Mmxx ii

c∑ ∆

≈


ถาใหจานวนชน (n) ของ ∆mi มมากๆ นนคอ n → ∞ ∴∆mi → 0 เปลยน ∑ → integration และ ∆mi → dm จะได

∫∑ =

∆=

→∆dmx

M1

Mmxlimx ii

0mci

(5.31)

ในทานองเดยวกนคาพกดทางแกน y และแกน z ของศนยกลางมวล หาไดจาก

∫= dmyM1yc และ ∫= dmz

M1zc (5.32)

หรอเขยนในรปเวกเตอรบอกตาแหนง

∫= dmrM1rcv (5.33)

ตวอยาง 5.8 ระบบประกอบดวยอนภาค 3 ตว มวล m, 2m, 4m วางอยทมมของสามเหลยม ดงรป จงหาศนยกลางมวลของระบบ วธทา เนองจากระบบวางตวอยในระนาบ xy ∴zc = 0 หา xc และ yc ไดจาก

( ) ( )

m7bdm4bdmmd2

Mxmx ii

c++++

== ∑ b75d +=

( ) ( )

m7mh40m0m2

Mymy ii

c++

== ∑ = h74

74ib

75djyixr ccc +⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=+=v ตอบ


ตวอยาง 5.9 จงหาศนยกลางมวลของแทงวตถมวล M ยาว L ดงรป เมอ ก) แทงวตถมมวลกระจายสมาเสมอ (uniform rod of mass) วธทา แทงวตถวางตวอยในแนวแกน x ∴yc = zc = 0 ให λ = มวลตอหนวยความยาว = M/L ถาเราแบงแทงวตถออกเปนสวนยอย แตละสวนยาว dx ∴มวลของแตละสวนยอยคอ dm = λdx จากสมการ (5.31) จะได

∫=L

0c dmx

M1x

∫∫λ

λ ==L

0

L

0dxx

Mdxx

M1

M2L

2x

M

2L

0

2 λλ=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

แต λ = M/L ∴ 2Lxc =

ข) แทงวตถมมวลไมสมาเสมอ (nonuniform rod of mass) โดยมมวลตอหนวยความยาวแปรผนเชงเสนกบระยะ x ในรป λ = αx เมอ α เปนคาคงท

วธทา จาก ∫∫∫∫α

αλ ====L

0

2L

0

L

0

L

0c dxx

Mdxxx

M1dxx

M1dmx

M1x

M3L

3x

M

3L

0

3 αα=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

หา M จาก 2LdxxdxdmM2L

0

L

0

ααλ ==== ∫∫∫

แทนคาลงใน xc ได

3L2

2/L3Lx 2

3

c ==α

α ตอบ


ตวอยาง 5.10 จงหาศนยกลางมวลของสามเหลยมมมฉากตามรป สมมตวาเปน uniform mass per unit area

วธทา ให M เปนมวลทงหมด แบงพนทสามเหลยมเปนพนทเลกๆ มวล dm มคา

dxyab

21Mstriparea

areatotalmasstotal

dm⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=×=

∫∫∫ =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛==

a

0

a

0c dxxy

ab2dxy

abM2x

M1dmx

M1x

เขยน y ใหอยในรปของ x จากรป xaby

ab

xy

=⇒= ดงนน

a32

3x

a2dxx

a2dxx

abx

ab2x

a

0

3

2

a

0

22

a

0c =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= ∫∫

ในทานองเดยวกน สาหรบ yc จะได

b31yc = ตอบ

การเคลอนทของระบบอนภาค

พจารณาเวกเตอรบอกตาแหนงจากสมการท (5.30) M

rmr iic

∑=v ถาสมมตวา

M มคาคงท ดงนนความเรวของศนยกลางมวลคอ

M

vmdt

rdm

M1

dt

rdv iii

ic

c

vvvv ∑

∑ === (5.34)

เมอ ivv คอความเรวของอนภาคตวท i PpvmvM iic

vvvv === ∑∑ (5.35) สรปไดวาผลรวมของโมเมนตมของระบบมคาเทากบผลคณของมวลกบความเรวของศนยกลางมวล


ความเรงของศนยกลางมวล คอ

Mam

dtvdm

M1

dtvda iii

ic

c∑

∑ ===vvv

v (5.36)

หรอ ∑∑ == iic FamaM vvv (5.37) เมอ iF

v คอแรงทกระทาตออนภาคตวท i แรงทกระทาตอระบบอาจจะเปนแรงภายในหรอแรงภายนอกกได จากกฎขอท 3 ของ

นวตน 2112 FF vv −= เมอรวมแรงตามสมการท (5.37) แรงภายในจะหกลางกนหมด เหลอแตแรงภายนอก นนคอ

dtPdaMF cext

vvv ==∑ (5.38)

นนคอ ผลของแรงภายนอกทกระทาตอระบบจะเทากบมวลรวมของระบบคณกบความเรงของศนยกลางมวล ถาเปรยบเทยบกบกฎขอท 2 ของนวตน จะเหนวา ศนยกลางมวลเคลอนทเหมอนเปนอนภาคมวล M ภายใตอทธพลของแรงภายนอกทกระทาตอระบบ ถาไมมแรงภายนอกมากระทาตอระบบ ( )0Fext =∑

v ดงนน

0aMdtPd

c == vv

คาคงทvMP c ==∴ vv (5.39) นนคอ ผลรวมของโมเมนตมเชงเสนของระบบอนภาคจะอนรกษ ถาไมมแรงภายมา

กระทาตอระบบ ดงนนถาระบบเปนระบบปด ทงผลรวมของโมเมนตมและความเรวของศนยกลางมวลจะคงท

ตวอยาง 5.11 จรวดลาหนงมความเรว 300 m/s มการจดระเบดเพอปลดจรวดออกเปน 3 สวนทความสง 1000 m หลงการระเบดชนสวนแรกยงคงเคลอนทขนดวยความเรว 450 m/s ชนสวนทสองเคลอนทไปทางทศตะวนออกดวยความเรว 240 m/s จงหา ก) ความเรวของชนสวนท 3 หลงการระเบด วธทา ให M = มวลรวมของจรวด ⇒ M/3 = มวลของแตละชนสวนหลงการระเบด เนองจากแรงของการระเบดเปนแรงภายในและไมมผลตอโมเมนตมรวม ดงนน โมเมนตมรวมกอนการระเบดตองเทากบโมเมนตมรวมของชนสวนทง 3 หลงการระเบด กอนระเบด : jM300vMP 0i == vv (1)

หลงระเบด : v3Mj

3M450i

3M240Pf

vv⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= (2)

เมอ vv เปนความเรวของชนสวนท 3


(1) = (2) จะได

jM300v3MjM150iM80 =++ v

( )jM450i240v +−=v m/s ตอบ

ข) ตาแหนงของศนยกลางมวลเทยบกบพนหลงการระเบด 3 วนาท วธทา ศนยกลางมวลของทง 3 สวน เคลอนทแบบวตถตกอยางอสระเพราะการระเบดไมมผลตอการเคลอนทของศนยกลางมวล ถา t = 0 เปนเวลาของการระเบด ⇒ y0 = 1000 m และ v0 = 300 m/s ใชสมการของการเคลอนทในแนวดงในการหา yc

yc = y0 + v0t - 21 gt2 = 1000 + 300t – 4.9t2

ดงนน ท t = 3 s yc = [1000 + 300(3) – 4.9(3)2] m = 1.86 km ตอบ การขบเคลอนจรวด

เมอรถยนต เรอ หรอรถไฟ ถกขบใหเคลอนท แรงขบสาหรบการเคลอนท แรงหนงกคอ แรงเสยดทาน เชนในกรณของรถยนต แรงขบกคอ แรงของถนนทกระทาตอรถ เปนตน สาหรบจรวดทเคลอนทในอวกาศ ซงไมมอากาศแหลงกาเนดทจะกอใหมการขบดนตอตวจรวดจงตางกน การทางานของจรวดจะขนกบกฎการอนรกษของโมเมนตมและกฎการเคลอนทขอท 3 ของนวตน การขบเคลอนของจรวดอาจเปรยบเทยบไดกบการยงปนกลทตดอยกบลอเลอน ขณะทยงปนแตละนด ลกปนจะไดรบโมเมนตม vmv เมอวด vv เทยบกบกรอบทอยนงกบโลก แตละนดทยงลกปน ตวปนและลอเลอนจะไดรบโมเมนตมเทากนในทศทตรงกนขาม นนคอ แรงปฏกรยาของลกปนตอปนจะมอตราเรงตอลอเลอนและปน ถายงลกปน n นดตอวนาท ดงนนแรงเฉลยตอปนเทากบ vnmFav

vv = ดวยวธการเชนน ขณะทจรวดเคลอนทในอวกาศ โมเมนตมจะเปลยนเมอมวลของมน

ถกปลอยในรปของแกสรอน เพราะแกสรอนนมโมเมนตม จรวดจะไดรบโมเมนตมในทศตรงกนขาม ดงนนจรวดจะถกเรงอนเนองจาก “แรงผลก” จากแกสรอน ในเรองจรวดเราถอวา โมเมนตมอนรกษ แตพลงงานจลนเพมขน

สมมตวาทเวลาใดๆ t โมเมนตมของจรวดบวกเชอเพลงเทากบ v m) +(M v∆ ดงในรป a ในเวลาตอมาชวงเวลานอยๆ ∆t จรวดปลอยเชอเพลงออกมา ∆m และอตราเรวของจรวดเพมขนเปน vv vv ∆+ (รป b) ถาเชอเพลงถกปลอยออกมาดวยความเรว evv เทยบกบจรวด และความเรวของกรอบอางองคอ evv vv − ใชหลกการอนรกษของโมเมนตม เราได


)vv(m)vv(Mv m) +(M evvKvvv −∆+∆+=∆

mvv M e∆=∆ vv ใหลมต vdv ,0t vv→∆→∆ และ ∆m → dm นอกจากน ถาแกสรอนถกพนออก dm จรวดกจะมมวลลดลง dM ดงนน dm = -dM จะได MdvvdM e

vv −= (5.40) Integrate สมการ (5.40) โดยให Mi = มวลของจรวดและเชอเพลงตอนเรมตน และ Mf = มวลของจรวดและเชอเพลงสวนทเหลอ จะได

∫∫ −=f

i

f

i

M

Me

v

v MMd

vvd vvv

v

f

ieif M

Mnvvv lvvv =− (5.41)

สมการ (5.41) เปนสมการพนฐานของการขบเคลอนจรวด สมการนบอกเราวา

if vv vv − แปรผนโดยตรงกบ evv และ f

i

MMnl และถาตองการให vf มคามาก จรวดตอบรรทก

เชอเพลงมากๆ แรงขบ (trust) ตอจรวด คอแรงทกระทาตอจรวดโดยแกสเชอเพลง จาก (5.40) เราได

แรงขบ dtdMv

dtdvM)trust( e

v== (5.42)

จะเหนวา แรงขบจะเพมขนขณะท evv เพมขน และอตราการเปลยมวล (อตราการเผา

=dtdM ) เพมขน


ตวอยาง 5.12 จรวดเคลอนทในอวกาศดวยอตราเรว 3×103 m/s ตอมาจรวดตดเครองยนต เชอเพลงถกขบในทศตรงขามกบการเคลอนทของจรวดดวยอตราเรว 5×103 m/s เทยบกบจรวด จงหา ก) อตราเรวของจรวด ถามวลลดลงเหลอครงหนง

วธทา จาก (5.41) f

ieif M

Mnvvv lvvv =−

i

i33

M5.0Mn105103 l×+×=

= 6.47 x103 m/s ตอบ

ข) แรงขบตอจรวดมคาเทาไร ถาเชอเพลงถกเผาดวยอตรา 50 kg/s

วธทา dtdMv)trust( e

v=

= (5 x103 m/s) (50 kg/s) = 2.5 x 105 N ตอบ

แบบฝกหด

1. ลกฟตบอลมวล 0.5 kg เคลอนทดวยความเรว 20 m/s ถาผรกษาประตใชมอรบลกบอลใหหยดนงภายในเวลา 0.04 วนาท แรงเฉลยทมอกระทาตอลกบอลมขนาดเทาใด

2. วตถ A มมวล 8 kg เคลอนทไปทางแกน +X ดวยความเรว 10 m/s ไดชนกบวตถ B มวล 10 kg ซงกาลงเคลอนทไปทางแกน +Y ดวยความเรว 6 m/s ภายหลงการชน วตถทงสองเคลอนทตดกนไป จงหาความเรวลพธภายหลงการชนดงกลาว

3. ปนใหญมวล 3000 kg อยนงบนสระนาทผวแขงตว บรรจลกปนมวล 30 kg แลวยงในแนวราบ ถาปนถอยหลงไปทางขวาดวยความเรว 1.8 m/s ลกปนออกจากปากกระบอกปนดวยความเรวเทาใด


บทท 6 การเคลอนทแบบหมน (Rotational motion)

เมอวตถขนาดใหญ เชน วงลอจกรยาน หมนรอบแกนคงท เราจะไมวเคราะหวตถอนนวาเปนอนภาค เพราะทเวลาใดๆ แตละจดของวตถมความเรว และความเรงตางกน ดวยเหตน เราจะพจารณาวตถทมขนาดวาประกอบดวยอนภาคมากมาย แตละอนภาคจะมความเรว และความเรงเฉพาะตวเอง

วตถแขงเกรง (rigid body) คอวตถทมรปทรงแนนอน หรอระยะระหวางแตละคของอนภาค (ทประกอบเปนวตถ) มระยะแนนอน ในเรองนจะพดเฉพาะการหมนบรสทธ (pure rotational motion)

ความเรวเชงมม และความเรงเชงมม (Angular velocity and angular acceleration) พจารณารป เปนวตถแผนราบวางอยในระนาบ xy และหมนรอบแกนคงททผานจด O

และตงฉากกบระนาบ xy จด P(r,θ) หมนรอบ O ดวยรศมคงท ดงนน θ แปรคา สาหรบจด P(x,y)

มมหนงเรเดยน คอ มมทรองรบดวยสวนโคงทมขนาดเทากบรศม เราทราบวามมทจดศนยกลางของวงกลมมคาเทากบ 360o หรอ 2π เรเดยน

ดงนน 1 rad o3.572360

≅=π

เมอ P หมนรอบ O; x, y จะแปรคาทงค ในรปขณะท P เคลอนทเปนวงกลมจากแกน x บวก (θ = 0) ไดสวนโคง s ซงสมพนธกบ θ คอ

s = r θ (6.1a)

rs

=θ (6.1b)

ขอใหสงเกตวา rs ไมมหนวย θ จงเปนตวเลขบรสทธ

แตเรากให θ มหนวย (ตงขน) เปน radian (rad) (= เรเดยน)

การเคลอนทแบบหมน หนา 97

เรามสตร degorad 180θ

πθ =

ttt 12

12

∆∆

=−−

=θθθ

ωv (6.2)

และให ω เปน อตราเรวเชงมมขณะใดๆ (instantaneous angular speed) ซงหมายถงคา t∆

∆θ

เมอ 0t →∆ นนเอง ดงนน

dtd

t0t

lim θθω =

∆∆

= →∆ (6.3)

หนวยของ ω คอ radians per sec, or s-1 เพราะ radians ไมมหนวย ในรปถอวาอนภาคหมนรอบแกน z เราถอวา ω เปนบวก เมอ θ เพมขน คอ r หมนทวนเขมนาฬกา และ ω เปนลบ เมอ θ ลดลง หรอ r หมนตามเขมนาฬกา

ถาอตราเรวเชงมมขณะใดๆ เปลยนจาก ω1 เปน ω2 ในชวง ∆t วตถจะมอตราเรงเชงมมเฉลย ( avα ) ซงมนยามวา

ttt 12

12

∆∆

=−−

=ωωω

αv (6.4)

ทานองเดยวกน เมอ 0t →∆ , avα จะกลายเปนอตราเรงเชงมมขณะใดๆ (α) นนคอ

dtd

t0t

lim ωωα =

∆∆

= →∆ (6.5)

α มหนวยเปน rad/s2 หรอ s-2 , α เปนบวกเมอ ω เพมขนเทยบกบเวลา และเปนลบ เมอ ω ลดลงเทยบกบเวลา

ขณะทอนภาคเคลอนจาก P ถง Q ในเวลา ∆t radius vector rv กวาดไดมม ∆θ = θ2 - θ1 ซงเรยกวา การกระจดเชงมม (angular displacement) ให ωv เปนอตราเรวเชงมมเฉลย ซงหมายถง อตราสวนของระยะกระจดเชงมมตอชวงเวลา ∆t นนคอ


จลนศาสตรของการหมน การเคลอนทเชงมมดวยอตราเรงเชงมมคงท (Rotational kinematics: Rotational motion with constant angular acceleration)

ในการหาสตรของการเคลอนทเชงมม ทมอตราเรงเชงมมนน เราดาเนนคลายกบการหาสตรของการเคลอนทเชงเสน นนคอ จาก

dtddtd

αωω

α =→=

อนทเกรต โดยใชเงอนไขเรมตนทวา ω = ω0 เมอ t0 = 0 เราได

⇒==∫ ∫ ∫ω

ωααω

0 0

t

t

t

0dtdtd

[ ] [ ] ⇒=−⇒= αωωαω ωω tt 0

t00

ω = ω0 + αt ; α = คาคงท (6.6)

และ ωθ=

dtd

ดงนน dθ = ω0dt + αtdt

∫ ∫ ∫θ

θαωθ +=

0

t

0

t

00 tdtdtd

[ ] [ ] [ ]t02t0 t

21t

0αωθ +=θ

θ

⇒+=− αωθθ 20 t

21t

200 t

21t αωθθ ++= (6.7)

ถาเราขจด t จากสมการ (6.6) และ (6.7) เราจะได )(2 0

20

2 θθαωω −+= (6.8)

ขอใหสงเกตวาสตรของการเคลอนทเชงมมจะมรปเหมอนกบของการเคลอนทเชงเสน ถาเราแทน x → θ, v → ω และ a → α ตาราง 6.1 แสดงการเปรยบเทยบสตรการเคลอนทเชงเสนและเชงมม


ตาราง 6.1 การเปรยบเทยบสมการของการเคลอนทเชงมม และเชงเสนโดยทอตราเรงคงท

การเคลอนทเชงมมรอบแกนคงท, อตราเรงคงท, θ, ω เปนตวแปร

การเคลอนทเชงเสนโดยท a คงท, x และ v เปนตวแปร

)(2

t21t

t)(21

t

020

2

200

00

0

θθαωω

αωθθ

ωωθθ

αωω

−+=

++=

++=

+=

)xx(a2vv

at21tvxx

t)vv(21xx

atvv

020

2

200

00

0

−+=

++=

++=

+=

ตวอยาง 6.1 Rotating Wheel วงลอหมนรอบแกนกลางดวยอตราเรงคงท 3.5 rad/s2 ถาอตราเรวเชงมมของซวงลอเปน 2 rad/s ท t0 = 0, ก. ในเวลา 2 s ซลอหมนไดกองศา ข. ทเวลา 2 s อตราเรวเชงมมมคาเทาไร

วธทา ก. หามม ใชสตร 200 t

21t αωθθ ++=

แทนคา θ0 = 0, ω0 = 2 rad/s, α = 3.5 rad/s2, t = 2 s

22 )s2)(s/rad5.3(21)s2)(s/rad2( +=∴ θ

= 11 rad = 630o = 1.75 revolutions ตอบ

ข. หา ω ; ω = ω0 + αt = 2 rad/s+(3.5 rad/s)(2s) = 9.0 rad/s ตอบ


ความสมพนธระหวางปรมาณเชงมม และเชงเสน (Relationships between angular and linear quantities)

ให ω, α เปนอตราเรว และอตราเรงเชงมมของวตถแขงเกรงทหมนรอบจดหมน และให v, a เปนv อตราเรว และอตราเรง ทจดๆ หนงในวตถนน เราจะหาความสมพนธของมน ให s เปนความยาวของสวนโคงท P เคลอนไดมม θ เพราะ s = rθ, โดยท r คงท เราได

dtdr)r(

dtd

dtdsv θ

θ ===

v = rω (6.9)

เราไดทราบแลววา เมอวตถเคลอนทเปนทางโคง จะเกดอตราเรงสศนยกลาง ซงมขนาด r

v2

ม

ทศสศนยกลางของทางโคงดงรป เพราะ v = rω สาหรบจด P ทกาลงหมนรอบจด O, แลวอตราเรงสศนยกลางเขยนไดเปน

4242222r

2t rrraaa ωαωα +=+=+= (6.12)

ตอไปหาความสมพนธของ α และ a

αω

ω ==== rdtdr)r(

dtd

dtdva

a = rα (6.10) a มทศสมผสกบทางเดนของ P บางทแทน a ดวย at

22

r rr

va ω== (6.11)

ความเรงเชงเสนรวมของอนภาค(ทจด P) คอ rt aaa vvv += ดงนนขนาดของความเรงเชงเสน

รวมของจด P บนวตถแขงเกรงทกาลงหมน คอ


ตวอยาง 6.2 A Rotating Turntable เครองเลนจานเสยง เรมหมนดวยอตราเรวตน 33 rev/min และหยดในเวลา 20 s ก. อตราเรงเชงมมของเครองจานเสยงนมคาเทาไร ข. จานเสยงหมนไดกรอบกอนทมนหยด ค. ถารศมของเครองเลนจานเสยงเปน 14 cm ขนาดของอตราเรงเชงเสนตามแนวรศมและแนว

สมผสของจดทขอบทเวลา t = 0 มคาเทาไร วธทา ก. 1 rev = 2π rad จะได

s/rad46.3smin/601)rev/rad2min)(/rev33(0 =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= πω

ใช ω = ω0 + αt โดยท ω = 0 ท t = 20 s เราได

20 s/rad173.0s20

s/rad46.3

t−=−=−=

ωα

ตอบ (α เปนลบแสดงวา ω ลด)

ข. หา )20)(173.0(21)20)(46.3(t

21t 22

00 −=+=−=∆ αωθθθ

rev50.5rev2

6.34rad6.34 ===∆π

θ

ตอบ ค. หา at และ ar : ใช at = rα และ ar = rω2 แทนคาได

at = rα = (14 cm) (0.173 rad/s2) = 2.42 cm/s2 222

0r s/cm168)s/rad46.3)(cm14(ra === ω ตอบ

พลงงานจลน ของการหมน (Rotational kinetic energy)

พลงงานจลนรวมของอนภาคทงหมดทหมนรอบแกน z จะเปนผลรวมของพลงงานจลนแตละตว นนคอ

ขอใหพจารณาวตถแขงเกรง ซงหมนรอบแกนคงท z ดวยความเรวเชงมม ω ดงรป ใหวตถนประกอบดวยอนภาคเลกๆ มากมาย n ตว อนภาคตวท i มมวล mi

และอตราเรว vi จะมพลงงานจลนเปน 2iii vm

21K =

ถงแมวา mi (i = 1, 2, …∞) จะมอตราเรวเชงมมเทากน ω แต vi ของแตละตวไมเทากน คอ vi = riω


∑ ∑ ∑=

ω===n

1i

22ii

2iii rm

21vm

21KK

( ) 22iirm

21K ω∑= (6.13)

เรยกปรมาณในวงเลบวา moment of inertia, I : กาหนดให ∑= 2

iirmI (6.14) แทนคา I ใน (6.13) ได พลงงานจลนของวตถแขงเกรงทหมนรอบจด O เปน

2I21K ω= (6.15)

ขอใหสงเกตวา หนวยของ I คอ kg.m2

ตวอยาง 6.3 มวล m1 = 2.3 kg, m2 = 3.2 kg, m3 = 1.5 kg วางอยทมมของสามเหลยมมมฉาก ขนาด 30 cm, 40 cm, 50 cm ดงรป

วธทา ก. ให I1 เปน moment of inertia เมอแกนทถกหมนรอบผาน m1

2

222

233

222

2111

mkg528.0

)m4.0)(kg5.1()m3.0)(kg2.3()m0)(kg3.2(

rmrmrmI

⋅=

++=

++=

ให I2 เปน moment of inertia เมอแกนทถกหมนรอบผาน m2

2

22

233

222

2112

mkg582.0

)m5.0)(kg5.1()kg2.3(0)m3.0)(kg3.2(

rmrmrmI

⋅=

++=

++=

ให I3 เปน moment of inertia เมอแกนทถกหมนรอบผาน m3

2

222

233

222

2113

mkg168.1

)m0)(kg5.1()m5.0)(kg2.3()m4.0)(kg3.2(

rmrmrmI

⋅=

++=

++=

ตอบ

ก. จงหา I เมอแกนทถกหมนรอบผานมวลแตละกอน ข. จงหา I เมอแกนทถกหมนรอบผานจด CM


m137.0kg7

mkg96.05.12.33.2

)0(5.1)3.0(2.3)0(3.2m

ymy

m086.0kg7

mkg6.05.12.33.2

)4.0(5.1)0(2.3)0(3.2m

xmx

i

iiCM

i

iiCM

=

⋅=

++

++==

=

⋅=

++

++==

∑

∑

∑

∑

2

222CM

2CM3

23

2

222CM2

2CM

22

2

222CM

2CM

21

m117.0

)137.0()086.04.0(y)xx(r

m034.0

)137.030.0()086.0()yy(xr

m026.0

)137.0()086.0(yxr

=

+−=+−=

=

−+=−+=

=

+=+=

2

233

222

211

2iiCM

mkg344.0

)117.0)(5.1()034.0)(2.3()026.0)(3.2(rmrmrmrmI

⋅=

++=++== ∑

ขอสงเกต ขอใหสงเกตวา ICM นอยทสด ตอบ

วธทา ข. หา ICM ซงเปน moment of inertia เมอหมนรอบแกนทผาน CM เราตองหา CM กอน


ตวอยาง 6.4 The Oxygen Molecule มมวลแบบจด 4 อนวางอยทมมของกรอบสเหลยมผนผาซงเบา ดงรป วธทา ก.

2

1i

22222iiy

Ma2

)0(m)0(mMaMarmI

=

+++== ∑=

∴ พลงงานจลนของการหมนรอบแกน 22222y Ma)Ma2(

21I

21y ωωω ===

ตอบ

ข. 2222

1i

222iiz mb2Ma2mbmbMaMarmI +=+++== ∑

=

2222222zrot )mbMa()mb2Ma2(

21I

21K ωωω +=+== ตอบ

การคานวณหาโมเมนตของความเฉอย (Calculation of moments of inertia)

เราสามารถหาโมเมนตของความเฉอยของวตถทมขนาด ดวยแบงวตถเปนปรมาณเลกๆ ซงแตละปรมาตรมมวล ∆m แลวเราใชนยาม I = Σr2 ∆m และตอไปใหหา limit ของผลบวกนเมอ ∆m → 0 ดวยการให limit อยางน Σ กจะกลายเปน ∫ , โดยท r เปนระยะตงฉากจาก ∆m ถงจดหมน ดงนน

∫∑ =∆= →∆ dmrmrI 220m

lim (6.16)

ในสมการ (6.16) เราอาจเขยน dm อยในรปของ coordinates คอเขยน

dVdmdVdm

vm

0vlim

ρρ =⇒=∆∆

= →∆

ดงนนเขยน I ไดเปน ∫ ρ= dVrI 2 (6.16a)

ก. ถามวลหมนรอบแกน y ดวยความเรวเชงมม ω จงหา moment of inertia รอบแกน y และพลงงานจลนของการหมนรอบแกนน

ข. ถามวลหมนรอบแกน z ซงตงฉากกบระนาบ xy ดวยความเรวเชงมม ω จงหา Iz และพลงงานจลนของการหมนรอบแกน z


ตวอยาง 6.5 Uniform Hoop วธทา มวลนอย ∆M อยหางจาก O เทากน เปนระยะ r = R ใชสมการ (6.16) เราจะได moment of inertia รอบแกน z ทผานจด O เปน

∫ ∫ ==== 2222z MRMRdmRdmrI ตอบ

ตวอยาง 6.6 Uniform Rigid Rod

วธทา ใหสวนนอย dx มมวล dm ดงนน LM

dxdm

= หรอ dxLMdm = แทนคานดวยสมการ

(6.16) โดยท r = x ได

∫ ∫ ∫− −

===2L

2L

2L

2L

222y dxx

LMdx

LMxdmrI

22L

2L

3

ML121

3x

LM

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

− ตอบ

จงหา moment of inertia ของวงแหวนเอกรปทมมวล M รศม R หมนรอบแกนทตงฉากกบระนาบของวงแหวน โดยผานจดศนยกลางของมน

จงคานวณหา moment of inertia ของ uniform rigid rod ยาว L และมวล M ดงรป หมนรอบแกนทตงฉากกบ rod (แกน x) และผานจดศนยกลางมวล


ตวอยาง 6.7 uniform Solid Cylinder

วธทา เพอความงาย ใหแบงทรงกระบอกเปน cylindrical Shells ทมรศม r หนา dr ยาว L

ปรมาตรของแตละ shell คอ dV = (dA)L = (2πrdr)L

ให ρ = mass per unit volume dVdm

=ρ

ดงนน dm = ρdV = ρ2πrLdr แทนในสมการ (6.16) ได

2LR

drrL2dmrI4

R

0

32z

πρ

πρ

=

== ∫ ∫

แต LR

MVM

2πρ == , แทนขางบนได

2z MR

21I =

ใหแทงทรงกระบอกตน มรศม R มวล M ยาว L เนอเปนเอกรป จงหา moment of inertia ของทรงกระบอกรอบแกนของมน (แกน z ในรป)


ตาราง 6.2 บอก moments of inertia ของวตถแขงเกรงเนอเดยวทมรปตาง ๆ ทฤษฎแกนขนาน (Parallel-axis theorem)

ทฤษฎนจะชวยใหการคานวณหา moment of inertia ของวตถรอบแกนใดๆ ทขนานกบแกนทผาน CM ของวตถนนงายเขา ทฤษฎแกนขนานนกลาววา

สมมตวา Ic เปน moment of inertia ทหมนรอบแกนใดๆ ทผานจด CM ของวตถนน แลว moment of inertia ทหมนรอบแกนใดๆ ทขนานกบ และหางเปนระยะ D จากแกนทผาน CM นนคอ I = Ic + MD2 (6.17)

Parallel-axis theorem ในเมอ M เปนมวลของวตถ


พสจน (6.17)

เราจะเขยน x,y ใหสมพนธกบ xc, yc และ y,x ′′ จากรปจะเหนวา cc yyy,xxx +′=+′= แทนขางบนได

[ ]dm)yy()xx(I 2c

2c∫ +′++′=

∫ ∫ ∫∫ ++′+′+′+′= dm)yx(dmyy2dmxx2dm])y()x[(I 2c

2ccc

22

พจน 1 คอ moment of inertia รอบแกนทขนานกบแกน z ทผานจด CM พจน 2 ( 2 พจน กลาง) เปนศนยเพราะโดยนยามของ CM ; ∫ ∫ =′=′ 0dmydmx พจน 3 คอ MD2 เพราะ ∫ = Mdm และ 2

c2c

2 yxD += ดงนน เราสรปไดวา

I = Ic+MD2

ตวอยาง 6.8 การประยกตทฤษฎแกนขนาน ใหพจารณา uniform rigid rod มวล M ยาว L ดงในตวอยาง 6.6 ใหหา moment of inertia ของ rod รอบแกนทตงฉากกบ rod และผานจดปลาย (คอรอบแกน y′ ในรป)

สมมตวาวตถนหมนในระนาบ xy รอบแกนทผานจด O ดงรป และ coordinates x,y เทยบกบจดกาเนดแลว moment of inertia รอบจด O คอ

∫ ∫ +== dm)yx(dmrI 222

วธทา ใชทฤษฎแกนขนาน 2

222

cy ML31

2LMML

121MDII =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+=+=′

ตอบ


ทอรก (Torgue) ทอรกเปนผลจากการออกแรง F

v กระทาตอวตถ เพอใหมการหมนรอบแกนทผานจดใดจดหนง

ในรป F sin φ เทานนทจะทาใหประแจเลอนหมนทวนเขมนาฬกา เรยก d วา moment arm (or lever arm) ของแรง Fv สวน F cos φ ไมกอใหเกดการหมนเพราะมนผานจดหมน

ตวอยาง 6.9 The net torque on a cylinder

วธทา ก. 112221net FRFR −=+= τττ ข. Nm2)m0.1)(N5()m5.0)(N6(net −=−=τ

นนคอ ทอรกสทธมคาเทากบ 2 Nm ในทศตามเขมนาฬกา ตอบ

ตามรป แรง F กระทาทปลายของประแจเลอนในแนว φ กบแนวราบ ให τ (Tau) เปนทอรกอนเนองจากแรง Fv เราจะได

หรอ ⎭⎬⎫

×=

==

τ

φτ

Fr

FdsinrFvvv (6.18)

จากรป มแรง F1, F2 กระทาตอวตถเพอใหหมนรอบ O F1 ทาใหวตถหมนทวนเขมนาฬกา สวน F2 ทาใหวตถหมนตามเขมนาฬกา ยงผลให net torque (τnet) คอ 221121net dFdF −=+= τττ (6.18a) ขอใหสงเกตวาหนวยของทอรก คอ Nm ซงคลายกบของงาน แตทอรกไมใชงาน

ทรงกระบอกอนหนงมสองขนาดทกาหนดดวยรศม R1 และ R2 มเชอกพนรอบแกนนอกรศม R1 ปลายเชอกมแรง F1 ดงอย เชนเดยวกนแกนในมเชอกพนรอบและทปลายมแรง F2 ดงอย ก. จงหา Torque ทกระทาตอทรงกระบอกรอบ

แกน z ทผานจด O ข. สมมตวา F1 = 5 N, R1 = 1.0 m, F2 = 6 N และ

R2 = 0.5 m จงหา net torque


ความสมพนธระหวางทอรก และอตราเรงเชงมม (Relationship between torque and angular acceleration)

ในทนเราจะแสดงใหเหนวา สาหรบวตถทหมนรอบจดหมน τnet จะแปรผนโดยตรงกบความเรงเชงมมของวตถนน เราจะพจารณาเปนสองกรณ คอ กรณท 1 ทอรกสาหรบอนภาคเดยวๆ (Torque for a single particle) พจารณาอนภาคมวล m หมนรอบจด O โดยมรศม r ดงรป

(a) (b) โดยม

Ft = Tangential force Fr = Central force at = Tangential acceleration Ft จะกอใหเกด at โดยท

Ft = mat ทอรกรอบจดศนยกลาง O อนเนองจาก Ft คอ

τ = Ftr = matr เพราะ at = rα แลวเขยน τ ใหมไดเปน

τ = mr2α แต I = mr2 ดงนน τ = Iα (6.19) นนคอ ทอรกทกระทาตออนภาค แปรผนโดยตรงกบอตราเรงเชงมม และตวคงทของการแปรผน คอโมเมนตของความเฉอย สตร (6.19) คลายกบ F = ma กรณท 2 ทอรกสาหรบวตถมขนาดหมนรอบแกน z ทผานจด O พจารณามวลนอย dm และมแรง dFt กระทาในแนวสมผส ดงรป b นนคอ

dFt = (dm)at dτ ทเกดจากแรง dFt คอ dτ = rdFt = (rdm)at แต at = rα แลว dτ เขยนใหมเปน


dτ = (rdm) rα = (r2dm)α ขอใหสงเกตวาอนภาคทงหลายม at ตางกน แตม α เทากน ดงนนเราอนทเกรตทงสองขางได ∫ ∫∫ α=α=τ=τ dmr)dmr(d 22

แต ∫ = Idmr2 ดงนน τnet = Iα (6.20)

ตวอยาง 6.10 Rotating rod

วธทา จากรป จะเหนวา F = Mg เปนตวทาใหเกดทอรกรอบจดหมน O

นนคอ MgL21

=τ

ทบานพบมแรงทกระทาตอบานพบอกหนงคา แตแรงนไมกอใหเกดทอรก เพราะ r = 0

เพราะ τ = Iα, 2ML31I =

(ดตาราง 6.2) เราได

L2g3

MLMgL

23121

==α

α นจะเทากน ณ ทกๆ จดตลอดแทงวตถ ในการหา a ทปลายขวาของแทงวตถ เราใช at = Rα โดยท R = L แลวได

g23La t == α

เราจะเหนวา at (ทปลายขวา) > g ดงนนถาเอาเหรยญวางไวทปลายขวา ปลอยจากตาแหนงราบ จะเหนวา ปลายของแทงวตถจะตกเรวกวาเหรยญ

ทจดอนๆ ของแทง g23a t < เชนจดกลางแทง g

43a t =

แทงวตถเอกรปยาว L มวล M หมนรอบปลายขางหนงอยางอสระอยกบแกนหมนทไมมความฝด ดงรป แทงวตถถกปลอยจากนงในแนวราบ จงหาอตราเรงเชงมมเรมตน ของแทงวตถ และอตราเรงเชงเสนเรมตนของปลายขวาของแทง


ตวอยาง 6.11 Angular acceleration of a wheel

ประยกตกฎขอทสองของนวตน เขากบการเคลอนทของ m ใช free-body diagram ดงรป

∑ ⇒−=−= mamgTFy

mTmga −

= (2)

แต a เทากบอตราเรงเชงเสนในแนวสมผสทรมวงลอ คอ a = Rα ใช (1) และ (2) ได

ImR

2

21mgT

mTmg

ITRRa

+=

⇒−

=== α

เชนเดยวกน แกหา a และ α ได

2mRI1

ga+

=

mRIR

gRa

+==α ตอบ

ลอรศม R มวล M โมเมนตความเฉอย I ตดกบเพลาหมนอยางไมมความฝดดงรป มเชอกเบาพนรอบวงลอ ทปลายเชอกมมวล m ผกตดอย จงหาอตราเรงเชงเสนของมวล m อตราเรงเชงมมวงลอ และแรงดง T ในเสนเชอก วธทา ทอรกทกระทาตอวงลอรอบแกนของการหมน คอ τ = TR นาหนกของลอ และแรงตงฉากของเพลา ผานแกนของการหมน จงไมมทอรก เพราะ τ = Iα เราได

τ = Iα = TR → I

TR=α (1)


ตวอยาง 6.12 มวล m1 และ m2 ผกอยทแตละปลายของเชอกเบา และคลองอยบนรอกสองตวทเหมอนกน รอกแตละตวมโมเมนตความเฉอย I ดงรป a

จงหาอตราเรงของมวลแตละตว และแรงดง T1, T2 และ T3 ในเชอก (สมมตวาไมมแรงการไถลระหวางเชอกและรอก) วธทา ใชกฎขอ 2 ของนวตน และ free-body diagram รป b ให m2 > m1 ได

T1-m1g = m1a (1) m2g-T3 = m2a (2)

ตอไป คดผลของรอกตอการเคลอนทดวย free-body diagram ของรอก ดงรป c รอกตวซายให net torque เปน (T2-T1)R รอกตวขวาให net torque เปน (T3-T2)R ใชความสมพนธ τnet = Iα สาหรบรอก และรอกแตละตวม α เทากน จงให

(T2-T1)R = Iα (3) (T3-T2)R = Iα (4)

เราม 4 สมการ ตวไมทราบคา 4 ตว คอ a, T1, T2 และ T3 จงแกหาคาไมทราบได (3) + (4) ได (T3-T1)R = 2Iα (5) (1) + (2) ได T1 - T3 + m2g - m1g = (m1 + m2)a หรอ T3 - T1 = (m2 - m1)g - (m1 + m2)a (6) เอา (6) แทน (5) ได

[(m2-m1)g-(m1+m2)a]R = 2Iα

แต Ra

=α แลวสมการบนกลายเปน

2RI

21

12

2mmg)mm(

a++

−= (7)

เอา (7) แทน (1) และ (2) กจะได T1 และ T3 จากสมการ (3) หรอ (4) กสามารถหา T2 ได


งาน และพลงงานในการเคลอนทแบบหมน (Work and energy in rotational motion)

ขอใหสงเกตวา F sin φ ขนานกบ ds สวน Fr ⊥ ds จงไมเกดงาน แต rF sin φ คอทอรก (τ) เราจงเขยนงานสาหรบการหมนไดมม dθ เปน

dW = τdθ (6.21)

differentiate ทงสองขางไดกาลง (power) และ จากสมการ ωθ=

dtd

จงให τωθ

τ ===dtd

dtdWP (6.22)

กาลงทสงใหแก rigid body

พจน P = τω เทยบไดกบกาลงในการเคลอนทเชงเสน P = Fv และ dW = τdθ เทยบไดกบ dW = Fxdx (การเคลอนทเชงเสน)

ทฤษฎงาน-พลงงานในการเคลอนทแบบหมน ในการเคลอนทเชงเสน เราม work-energy theorem Wc = ∆K ดงนนเราจงคดวา สาหรบการเคลอนทของวตถสมมาตร (เชนวงลอ) รอบแกนคงท งานเนองจากแรงภายนอก จะเทากบ ผลตางของพลงงานจลนของการหมน เราจะพสจนอนน โดยเรมตนจาก τ = Iα ใช Chain rule เขยนทอรกไดเปน

→==== ωθ

ωθ

θ

ωωατ

ddI

dtd

ddI

dtdII

τdθ = Iωdω และ dW = τdθ ดงนน dW = τdθ = Iωdω

อนทเกรตได ∫ ∫∫θ

θ

ω

ωωωωωθτ −====

0 0

20

2 I21I

21dIddWW (6.23)

Work-energy theorem for rotational motion

สมมตวาแกนหมนทผานจด O อยใน inertial frame พจารณาวตถแขงเกรงหมนรอบจด O ดงรป สมมตอกวามแรงภายนอก Fv (1 ตว) กระทาทจด P งานทกระทาโดย Fv ททาใหวตถเคลอนทไดทางนอยๆ ds (= rdθ) ในเวลา dt คอ

θφ=⋅= rd)sinF(sdFdW vv


จากนเรากลาว ทฤษฎงาน-พลงงาน สาหรบการเคลอนทแบบหมนไดเปน “งานสทธทกระทาโดยแรงภายนอก เพอหมนวตถแขงเกรงสมมาตรรอบแกนคงทอนหนง เทากบ ผลตางของพลงงานจลนของการหมนของวตถนน”

ตวอยาง 6.13 Rotating Rod-Revisited

วธทา ก. ปญหานแกไดโดยพจารณาพลงงานกลของระบบเมอแทงวตถอยในแนวนอน มนไม

มพลงงานจลน พลงงานศกยของ CM ของแทง เมออยในแนวนอนมคาเทากบ 2

MgL เทยบกบ O

เมอวตถอยในแนวดง พลงงานทงหมด กคอ พลงงานจลนเทานน 2I21ω เมอ I เปนโมเมนต

ความเฉอยรอบจดหมน เพราะ 2ML31I = (ตาราง 6.2) และพลงงานกลเปนอนรกษ เราได

⇒⎟⎠⎞⎜

⎝⎛== ωω 222 ML

31

21I

21MgL

21

Lg3

=ω ตอบ

เชน ถา L = 1 เมตร, จะได ω = 5.42 rad/s

ข. gL321

2LrvCM === ωω

จดตาสดของแทงวตถมความเรวเชงเสนเทากบ

)v2vL

vv:note(gL3v2 CMendend

2LCM

CM =⇒=== ω ตอบ

วตถแทงกลมเอกรปยาว L มมวล M หมนรอบหมดไดอยางอสระ ผานปลายหนงดงรป แทงวตถนถกปลอยจากนงในลกษณะทขนานกบพน ก. ความเรวเชงมมของแทงวตถนเปนเทาไร เมอมนอยท

ตาแหนงตาสด ข. จงหาความเรวเชงเสนของ CM ของแทง และความเรว

เชงเสนของจดตาสดเมอแทงอยในแนวตง


ตวอยาง 6.14 วธทา ถาไมคดความเสยดทานของระบบ แลวพลงงานกลเปนอนรกษ และเราสามารถกลาวไดวา พลงงานจลนของระบบทเพมขน เทากบ พลงงานศกยทลดลง เพราะ Ki = 0 (ระบบเรมตนจากอยนง) เราได

222

21if I

21vm

21vm

21KKK ω++=−=∆

ในเมอ m1 และ m2 มความเรวเทากน แต v = Rω ดงนน 2

221 v)RImm(

21K ++=∆

จากรป เราเหนวา m2 สญเสยพลงงานศกย ขณะท m1 ไดรบพลงงานศกย นนคอ ∆U2 = -m2gh และ ∆U1 = m1gh ประยกตกฎการอนรกษของพลงงานในรป ∆K+∆U1+∆U2 = 0 ให

⇒=−+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++ 0ghmghmv

RImm

21

212

221

21

RI

21

12

)mm(gh)mm(2v

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−=

เพราะ v = Rω ความเรวเชงมมของรอกทขณะน คอ Rv

=ω ตอบ

มมวลสองกอนผกดวยเชอกเบา แลวพาดบนรอกทมโมเมนตความเฉอย I รอบแกน การหมนของมนดงรป เชอกไมไถลบนรอก และระบบถกปลอยจากนง จงหาความเรวเชงเสนของมวล ภายหลง m2 เลอนลงระยะ h และความเรวเชงมมของรอก ณ จดน


ตาราง 6.3 เปรยบเทยบสมการการเคลอนทเชงเสนและแบบหมน การเคลอนทเชงเสน การเคลอนทแบบหมนรอบแกนคงท

ความเรวเชงเสน dtdxv =

ความเรงเชงเสน 2

2

dtxd

dtdva ==

แรงลพธ ∑ = MaF ถา

a = คงท

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+=

++=

+=

)xx(a2vv

at21tvxx

atvv

020

2

200

0

งาน ∫=x

xx

0

dxFW

พลงงานจลน 2mv21K =

กาลง P = Fv โมเมนตมเชงเสน p = mv

แรงลพธ dtdPF =

ความเรวเชงมม dtdθ

ω =

ความเรงเชงมม 2

2

dtd

dtd θω

α ==

ทอรกลพธ ∑ ατ = I ถา

α = คงท

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+=

+=−

+=

θθαωω

αωθθ

αωω

)(2

t21t

t

020

2

200

0

งาน ∫θ

θθτ=

0

dW

พลงงานจลน 2I21K ω=

กาลง P = τω โมเมนตมเชงมม L = Iω

ทอรกลพธ dtdL

=τ

ผศ,ดร.ชมพนช วรางคณากล

บทท 7 การเคลอนทแบบกลง โมเมนตมเชงมม และทอรก Rolling Motion Angular Momentum and Torque

ในบททแลวเราเรยนการเคลอนทแบบหมนทมแกนหมนอยกบท ในบทนแกนของการ

หมนไมอยกบท จากนนจะศกษาโมเมนตมเชงมม และการอนรกษ รวมทงทอรก 7.1 การเคลอนทแบบกลงของวตถแขงเกรง (Rolling motion of a rigid body) ในหวขอนเราจะศกษาการเคลอนทของ rigid body ทหมนรอบแกนทกาลงเคลอนท การเคลอนทในหวขอนคอนขางยาก และซบซอน เราจงจากดปญหาของเราใหงายเขา โดยถอวาวตถแขงเกรงมเนอเดยว มระดบคาสมมาตรสง เชน ทรงกระบอก ทรงกลม วงแหวน หรอวงลอ ยงกวานน เราสมมตวาการกลงอยบนพนระนาบ

รป 7.1 มดวงไฟทขอบ และจดศนยกลางของทรงกระบอกตน กลงอยบนพนราบ สแดงเปนเสนทางเดนของจดบนขอบใหรป cycloid จดศนยกลางใหเสนตรง

สมมตวา ทรงกระบอกกลงเปนเสนตรงบนพนราบ (รป 7.1) ศนยกลางมวลของทรงกระบอกจะเคลอนทเปนเสนตรง ขณะทจดบนขอบจะเคลอนทไดทางทซบซอน ทเรยกวา cycloid ในรป 7.1 จะเปนการเคลอนทเชงเสนของ CM ผสมกบการหมน (รอบ CM)

รป 7.2 สาหรบการกลงบรสทธ เชนทรงกระบอกหมนไดมม θ

จดศนยกลางของทรงกระบอกเคลอนทไดทาง s = Rθ

การเคลอนทแบบกลง หนา 119

ขอใหพจารณาทรงกระบอกเอกรป รศม R กลงบนพนหยาบ ในพนระนาบ (รป 7.2) ขณะททรงกระบอกหมนไดมม θ, CM ของมนจะเคลอนไดทาง s = Rθ ดงนน ความเรวและความเรงของ CM (ของทรงกระบอก) สาหรบการกลงบรสทธ คอ

ωθ=== R

dtdR

dtdsvCM (7.1)

αωθ==== R

dtdR

dtdR

dtdva 2

2CM

CM (7.2)

ความเรวเชงเสนของจดตางๆ บนทรงกระบอกกลงแสดงดงรป 7.3 ทขณะใดๆ จด P อยนงเทยบกบพน เพราะไมมการไถล

รป 7.3 แสดงความเรว ณ จดตางๆ จะเหนวาความเรวตงฉากกบเสนตรงทลากจากจด P

จด Q มองคประกอบของความเรวทงแนวราบ และแนวดง ทจด P,C,P ′ นนนาสนใจ

เปนพเศษ เทยบกบพนผวททรงกระบอกกลง CM ม vCM = Rω ในขณะท vP = 0, ω==′ R2v2v CMp เพราะจดทงสามบนทรงกระบอกมความเรวเชงมมเทากน

เราสามารถเขยน พลงงานจลนรวมของทรงกระบอกกลงไดเปน

2PI2

1K ω= (7.3)

ในเมอ IP เปนโมเมนตความเฉอยรอบแกนทผานจด P ประยกตทฤษฎแกนขนาน เราแทน IP = ICM+MR2 ในสมการ 7.3 ได

2CM

2CM

222CM

Mv21I

21K

MR21I

21K

+=

+=

ω

ωω

(7.4)

Total kinetic energy of a rolling body

โดยท vCM = Rω


สมการ (7.4) บอกเราวาพลงงานจลนรวมของทรงกระบอก เทากบพลงงานจลนของ

การหมนรอบจด CM ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ω2

CMI21 บวกกบพลงงานจลนของการเคลอนยาย CM ของ

ทรงกระบอก ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ 2

CMMv21 จากนเรากลาวไดวา

พลงงานจลนรวมของวตถทกลงไปบนพนราบจะเปนผลบวกของพลงงานจลน

ของการหมนรอบจด CM กบพลงงานจลนของการเคลอนยายของ CM เราสามารถใช (7.4) แกปญหาการกลงของวตถแขงเกรงลงพนเอยงหยาบได เราสมมตวาวตถแขงเกรงในรป 7.4 ไมไถล และถกปลอยจากหยดนงทจดสงสดของพนเอยง ขอใหสงเกตวาการกลงจะเปนไปไดถามแรงเสยดทานระหวางวตถและพนเอยง เพอใหเกดทอรกสทธรอบ CM ของวตถ

รป 7.4 การกลงของวตถลงจากพนเอยง โดยไมมการไถล

แมจะมแรงเสยดทาน กไมสญเสยพลงงานกล เพราะทจดสมผสนถอวานงเทยบกบพนเอยงทขณะใดๆ ในทางตรงกนขาม ถาวตถแขงเกรงไถล พลงงานกลจะสญเสยบางตลอดทมการเคลอนท

ใช vCM = Rω สาหรบการกลง เราสามารถเขยน (7.4) ไดเปน 2CM

2CM

CM Mv21

RvI

21K +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

2CM2

CM vMRI

21K ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ += (7.5)

ใชหลกการอนรกษของพลงงานกลสาหรบรป 7.4 ได

⇒=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ + MghvM

RI

21 2

CM2CM


21

MRICM

2CM1

gh2v ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= (7.6)

ตวอยาง 7.1 Sphere rolling down an incline

ถาวตถในรป 7.4 เปนทรงกลม จงหาความเรวของ CM ของทรงกลมทตนพนเอยง และหาความเรงเชงเสนของ CM ของทรงกลม

วธทา สาหรบทรงกลมตนเอกรป 2CM MR

52I = แลว (7.6) ให

2121

MRMR52CM gh

710

1gh2v

2

2 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

การเปลยนแปลงในแนวดง (h) สมพนธกบระยะกระจด x (ตามพนเอยง) ตามสมการ h = x sin θ แทนในสมการบนได

θ= singx710v2

CM

เปรยบเทยบสมการนกบสตรการเคลอนท xa2v CM2CM = เราจะเหนวาอตราเรงของ CM ของ

ทรงกลมคอ

θ= sing75aCM

จากคาตอบของ vCM และ aCM เราจะเหนวาทงคเปนอสระจากมวล และรศมของทรงกลม ถาเราทดลองกบทรงกลมกลวง ทรงกระบอกตน หรอ hoop คาตอบกใหผลเหมอนกน จาก (7.6) จะเหนวา vCM ขนกบ ICM (รวมทง aCM) ไมวากรณใด ๆ จะเหนวา aCM นอยกวา g sin θ สาหรบกรณทไมมแรงเสยดทาน และกลงบนพนเอยง

ตวอยาง 7.2 Another Look at Rolling Sphere ใหทาซาตวอยาง 7.1 ใหม ดวยวธของพลศาสตร (dynamic method)

รป 7.5 Free-body diagram ของทรงกลมตนกลงลงตามพนเอยง


วธทา ประยกตกฎขอ 2 ของนวตนเขากบการเคลอนทของ CM ของทรงกลม ให (1) ∑ =−= θ CMx MafsinMgF ∑ =−= θ 0cosMgNFy

ตอไปหาทอรกทกระทาตอทรงกลม แกนททรงกลมหมนรอบคอแกนทผานจด CM (ของทรงกลม) และตงฉากกบแผนกระดาษน; N, Mg sin

θ, Mg cos θ ผาน CM จงไมเกดทอรก สวน f

ทาใหเกดทอรก fR ในทศตามเขมนาฬกา ατ == CMCM IfR

เพราะ 2CM MR

52I = และ

RaCM=α ได

(2) CMCM

252

CM Ma52

Ra

RMR

RIf =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

α

แทน (2) ใน (1) ได

θ= sing75aCM

ซงใหคาตอบเหมอนกน ขอใหสงเกตวา aCM < g sin θ เพราะแรงเสยดทานหนวง f

7.2 โมเมนตมเชงมมของอนภาคตวหนง (Angular momentum of a particle) อนภาคตวหนง มวล m อยท rv เคลอนทดวยความเรว vv แลวโมเมนตมเชงมมของ

อนภาคตวน คอ prL vvv ×≡ (7.7) หนวยของ Lv คอ kg m2/s ขอใหสงเกตวา ทงขนาดและทศของ Lv ขนกบการเลอกของจดกาเนด ทศของ Lv ตงฉากกบระนาบทประกอบดวย rv และ pv และทศของมนใชกฎมอขวา เพราะ vmp vv = เราจงเขยนขนาดของ Lv ไดเปน φ= sinmvrL (7.8)

ในเมอ φ เปนมมระหวาง rv และ pv ในรป 7.6 ถา p,r vv อยในระนาบ xy แลว Lv จะอยในแนว z จาก (7.8) L ขนกบ φ ถา φ = 0 ได L = 0 และถา φ = 90o ได Lmax = mvr

รป 7.6 โมเมนตมเชงมม Lv ของมวล m ทเกดจากโมเมนตม pv

และเวกเตอรตาแหนง rv มคาเปน prL vvv ×=


ในกรณของการเคลอนทเชงเสน เราพบวาแรงรวมทกระทาตออนภาคตวหนงเทากบอตราการเปลยนโมเมนตมเชงเสนเทยบกบเวลา จากนเราจะใชกฎขอ 2 ของนวตนแสดงวาทอรกรวมทกระทาตออนภาคตวหนง เทากบอตราการเปลยนเทยบกบเวลาของโมเมนตมเชงมมของมน

เรมตนดวยการเขยนทอรกตออนภาค (หนง) ในรป

dtpdrFrv

vvvv ×=×=τ (7.9)

จาก (7.7) differentiate เทยบกบ time, t :

dtpdrp

dtrd)pr(

dtd

dtLd

1

vv

43421

vv

vvv

×+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ×=×=

1 เปนศนย เพราะ 0pv,vdtrd

=×= vvvv

เพราะ p//v vv

ดงนน dtpdr

dtLd v

vv

×=

เทยบกบ (7.9) จะเหนวา

dtLdvv =τ (7.10)

Torque equals time rate of change of angular momentum

(7.10) คลายกบ dtpdFvv = สาหรบการเคลอนทเชงเสน

ขอใหสงเกตวา (7.10) จะใชไดถาจดกาเนดของ τv และ Lv อยทเดยวกน และสมการ (7.10) ยงคงใชไดสาหรบแรงหลายๆ แรงทกระทาตออนภาคนน ซงยงผลให τv เปนทอรกสทธนนเอง ยงกวานนสมการ (7.10) จะใชไดถาจดกาเนดอยนงใน inertial frame ระบบของอนภาคหลายตว (A system of particles)

โมเมนตมเชงมม Lv ของระบบ (หนง) ของอนภาค (หลายตว) รอบจดๆ หนง กคอ ผลบวกแบบเวกเตอรของโมเมนตมเชงมมของอนภาคแตละตว

∑=

=+++=ni

in21 LL...LLL vvvvv

เพราะโมเมนตมเชงมมของอนภาคแตละตวอาจเปลยนไปตามเวลา ดงนนโมเมนตมเชงมมรวมกอาจเปลยนไปตามเวลา จากสมการ (7.7) ถง (7.9) เราพบวาอตราการเปลยน


เทยบกบเวลาของโมเมนตมเชงมมรวม เทากบผลรวมแบบเวกเตอรของทอรกทงหมด รวมทงสวนทสมพนธกบแรงภายในระหวางอนภาค และสวนทเปนของแรงภายนอก อยางไรกตามทอรกสทธทสมพนธกบแรงภายในจะเปนศนย เหลอแตของแรงภายนอก เราจงสรปไดวา

∑ ∑ ∑ =≡=τdtLdL

dtd

dtLd

ii

ext

vv

vv (7.11)

นนคอ อตราการเปลยน (เทยบกบเวลา) ของโมเมนตมเชงมมรวมของระบบ (หนง) รอบจดกาเนดในแกนอางองเฉอยจะเทากบ ทอรกภายนอกสทธทกระทาตอระบบนน

ขอใหสงเกตวาสมการ (7.11) คลายกบ dtpdFext

vv = สาหรบการเคลอนทของระบบอนภาค

ตวอยาง 7.3 Linear motion

รป 7.7

อนภาคตวหนงมวล m เคลอนทในระนาบ xy ดวยความเรว vv ตามเสนตรง (รป 7.7) เมอเทยบกบจดกาเนด 0 ขนาดของโมเมนตมเชงมมของอนภาคมคาเทาใดและทศไปทางไหน วธทา โมเมนตมเชงมม Lv คอ )k(sinmvrprL −=×= φvvv ขนาดของ L คอ L = mvr sin φ = mvd ในเมอ d = r sin φ ทศของ Lv อยตาม k− ตามกฎมอขวา สาหรบโมเมนตมเชงมมรอบจด A เปนศนย


ตวอยาง 7.4 Circular motion

รป 7.8 อนภาคตวหนงเคลอนทเปนวงกลมรศม r ในระนาบ xy (รป 7.8) ก. จงหาขนาดและทศทางของโมเมนตมเชงมมเทยบกบจด 0 เมอมนมความเรว vv ข. ใหเขยน Lv ในรปของ ω วธทา ก. เพราะ o90,vr =⊥ φ

vv ดงนน

mvr90sinrmvprL o ==×= vvv ทศทางของ Lv ตงฉากกบระนาบของวงกลม และทศขน ทศของ vv ตามรปทศของ Lv จะพงออกตงฉากกบกระดาษคอ k)mvr(L =v

ข. เพราะ v = rω แลว L = mvr = mr2ω = Iω

I เปนโมเมนตความเฉอยของอนภาครอบแกน z ผานจด 0 และ kIL ω=v (รป 7.8)


7.3 การหมนของวตถแขงเกรงรอบแกนคงท (Rotation of a rigid body about a fixed axis)

รป 7.9 เมอวตถแขงเกรงหมนรอบแกน z Lv จะมทศเหมอน ωv ตามสมการ ω= vv IL

พจารณาวตถแขงเกรงทหมนรอบแกนนง ในทนใหแกน z ซากบแกนหมนของวตถ mi, ri, vi เปนตวแทนของอนภาคตวท i ซงอนภาคทกตวเคลอนทในระนาบ xy แลวขนาดของโมเมนตมเชงมมของอนภาค mi รอบจด O คอ

ω= 2iii rmL

เวกเตอร iLv อยในแนว z สมนยกบทศของ ωv

องคประกอบ –z ของโมเมนตมเชงมมของวตถแขงเกรงนหาไดจากการหาผลบวกของ Li ทกตว คอ ( )∑ ∑ ωω == 2

ii2iiz rmrmL

หรอ Lz = Iω (7.12)

ในเมอ Lz เปนองคประกอบของโมเมนตมเชงมมตามแนว z, I เปนโมเมนตความเฉอยของวตถรอบแกน z

ตอไป differentiate สมการ (7.12) เทยบกบเวลา ขอใหสงเกตวา I คงทสาหรบวตถแขงเกรง

αω== I

dtdI

dtdLz (7.13)

ในเมอ α เปนอตราเรงเชงมมเทยบกบแกนหมน เพราะ Iα เทากบทอรกสทธ เราจงเขยน (7.13) ไดเปน

∑ ατ == Idt

dLzext (7.14)


นนคอ ทอรกภายนอกสทธทกระทาตอ rigid body ทหมนรอบแกนคงท เทากบผลคณ ของ moment of inertia รอบแกนหมนนนกบอตราเรงเชงมมเทยบกบแกนนน

ตวอยาง 7.5 Rotating Sphere ทรงกลมเอกรปตน รศม R = 0.50 เมตร มวล 15 kg หมนรอบแกน z ผานจดศนยกลางของมน ดงรป 7.10 จงหาโมเมนตมเชงมมเมอความเรวเชงมมเปน 3 rad/s

รป 7.10

วธทา 22CM )m5.0)(kg15(

52MR

52I ==

= 1.5 kg m2 L = Iω = (1.5 kg m2)(3 rad/s)

= 4.5 kg m2/s ตอบ ตวอยาง 7.6 Rotating Rod Rigid rod มมวล M ยาว l หมนในระนาบดงรอบจดหมนไมมความฝด ผานจดศนยกลางของมน (รป 7.11) มมวล m1 และ m2 ตดทปลายของ rod

รป 7.11 มทอรกรอบจด 0 เพราะ 21 mm ≠ ซงยงผลใหเกด α โดยท ατ = Inet


ก. จงหาโมเมนตมเชงมมเมอมความเรวเชงมมเปน ω ข. หาอตราเรงเชงมมของระบบเมอ rod ทามม θ กบแนวราบ วธทา ก. rod, m1, m2 กอใหเกด I โมเมนตความเฉอยรอบจด 0 คอ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+= 21

22

2

2

12 mm

3M

42m

2mM

121I llll

กาหนดใหความเรวเชงมมของระบบเปน ω ดงนน

ωω ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++== 21

2

mm3M

4IL l ตอบ

ข. หา α เมอระบบหมนไดมม θ เทยบกบแนวราบ ทอรกเนองจากแรง m1g รอบจดหมน คอ

θτ = cos2

gm11l (พงออกจากกระดาษ)

ทอรกเนองจากแรง m2g รอบจดหมน คอ

θτ −= cos2

gm22l (พงเขาสกระดาษ)

ทอรกสทธรอบจด O คอ

θτττ −=+= cosg)mm(21

2121net l

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++

−==

θτα

21

21net

mm3M

cosg)mm(2I l

ตอบ

หมายเหต ถา m1 > m2, τnet พงออก, ถา m1 < m2, τnet พงเขา α เปนศนยเมอ 2π

θ =

หรอ 2π− และ α เปน max เมอ θ = 0 หรอ π คอความเรวเชงมมของระบบจะเปลยนเพราะ

α เปลยนตามเวลา


ตวอยาง 7.7 Two connected masses

รป 7.12

มวลสองกอน m1 และ m2 มเชอกเบาผกตดทปลายทงสองแลวคลองบนรอกรศม R โมเมนตความเฉอย I รอบแกนของมน (รป 7.12) มวล m2 เลอนบนพนราบและเรยบ ใหหาอตราเรงของมวลทงสองโดยใชความรเรอง โมเมนตมเชงมมและทอรก วธทา ประการแรก หาโมเมนตมเชงมมของระบบ ซงประกอบดวย m1, m2 และรอก เราจะหา L รอบแกนตามเพลาของรอกผานจด 0 ขณะทมวล m1 และ m2 มความเรว v โมเมนตมเชงมมของ m1 คอ m1vR ขณะทของ m2 เปน m2vR ขณะเดยวกน โมเมนตมเชงมมของรอก คอ

RvII =ω ดงนนโมเมนตมเชงมมรวมของระบบ คอ

RvIvRmvRmL 21 ++= (1)

ตอไปหา total external torque ตอระบบรอบเพลารอก เพราะแรงของเพลาตอรอกมแขนโมเมนตเปนศนยจงไมเกดทอรก แรงปฏกรยาของ m2g กหกลางกบแรงของมนเอง แรงเหลานไมกอใหเกดทอรก แรงภายนอก m1g ทาใหเกดทอรกรอบเพลารอก ซงมขนาดเทากบ m1gR เมอ R เปนแขนโมเมนตของแรงรอบเพลา คานเปน total external torque รอบ 0 ; นนคอ τext = m1gR ใชผลลพธน กบ (1) และสมการ (7.14) ให

dtdL

ext =τ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++=

RvIRv)mm(

dtdgRm 211 หรอ

dtdv

RI

dtdvR)mm(gRm 211 ++= (2)

เพราะ dtdva = แกสมการหา a ได

2RI

21

1

)mm(gma++

= ตอบ


7.4 การอนรกษของโมเมนตมเชงมม (Conservation of angular momentum) ในบทท 4 เราพบวา โมเมนตมเชงเสนรวมของระบบ (หนง) ของอนภาค (หลายตว) จะ

ยงคงท เมอแรงภายนอกรวมทกระทาตอระบบอนภาคเปนศนย อนนเปนกฎอนรกษโมเมนตมเชงเสน ในการเคลอนทแบบหมน กมกฎอนรกษของโมเมนตมเชงมม ซงกลาววา “โมเมนตมเชงมมรวมของระบบอนภาค (ระบบหนง) จะคงท ถาทอรกภายนอกรวมทกระทาตอระบบเปนศนย” อนน ถาเรมตนจากสมการ (7.11) เราจะได

คอถา 0dtLd

ext ==∑τ

vv (7.15)

แลว =Lv คาคงท (7.16)

สาหรบระบบของอนภาค (ระบบหนง) เราเขยนกฎการอนรกษไดเปน ∑ =nLv คาคงท

ถาวตถมการจดตวของมวลอยางสมาเสมอ แลวโมเมนตของความเฉอยเปลยนไป เราจงเขยนกฎอนรกษของโมเมนตมเชงมมในรป

== fi LL vv คาคงท (7.17) ถาระบบเปนวตถทหมนรอบแกนคงท เชนแกน z แลวเราสามารถเขยน ω= vv ILz ใน

เมอ zLv เปนองคประกอบในแนว z ของ Lv ตามแกนของการหมน และ I เปนโมเมนตความ

เฉอยรอบแกนน ในกรณน เราเขยนหลกการอนรกษของโมเมนตมเชงมมไดเปน

fi fi II ω=ω vv =คาคงท (7.18) Conservation of angular momentum

สตรใชไดสาหรบการหมนไมวาจะรอบแกนคงทหรอแกนทผาน CM ของระบบ ตราบ

เทาทแกนยงคงขนานกบแกนของมนเอง ในทนเพยงตองการใหทอรกภายนอกสทธเปนศนยเทานน

โดยไมตองพสจน มทฤษฏทสาคญเกยวกบโมเมนตมเชงมมสมพทธกบ CM ทฤษฎนกลาววา “ทอรกรวมทกระทาตอวตถอนหนงรอบแกนหนงทผานจด CM จะเทากบอตราการเปลยนโมเมนตมเชงมมเทยบกบเวลา โดยไมตองคานงถงการเคลอนทของ CM” ทฤษฎนใชไดแมถา CM กาลงเรง ถา τv และ Lv ถกวดเทยบกบ CM

สตร (7.18) ใชอธบายการหมนของนกสเกตทหมนบนพนนาแขงได


ตวอยาง 7.8 A projectile cylinder collision ยงวตถมวล m ความเรว 0vv เขาหาทรงกระบอกตนมวล M รศม R (รป 7.13) เรมตน

ทรงกระบอกอยนงและวางตวขนานกบพนราบ โดยหมนรอบเพลาทผาน CM ของมน แนวการเคลอนทของ m ตงฉากกบเพลา ณ ตาแหนงท d < R จากศนยกลาง จงหาอตราเรวเชงมมของระบบภายหลงทมวล m กระทบ และตดอยกบผวของทรงกระบอก

รป 7.13

วธทา เราจะเหนโมเมนตมเชงมมของระบบ (มวล m + ทรงกระบอก) รอบเพลาของทรงกระบอก รอบจดน ทอรกภายนอกสทธตอระบบรอบเพลาจะเปนศนย ดงนนโมเมนตมเชงมมของระบบเหมอนเดมไมวากอน และหลงการชน

กอนชน โพรเจกไทล m มโมเมนตมเชงมมเทยบกบจดบนเพลา ขนาดของโมเมนตมเชงมมคอ dvm 0

v และมทศเขากระดาษตามแนวของเพลา ภายหลงชนโมเมนตมเชงมมรวมของระบบ คอ ωvI ในเมอ I เปนโมเมนตความเฉอยรวมรอบเพลา (projectile + ทรงกระบอก) เพราะโมเมนตมเชงมมรวมอนรกษ เราได

ωω ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +== vvv 22 mRMR

21Idvm 0

2221

0

mRMRdmv+

=ωv ตอบ


ตวอยาง 7.9 The Merry-Go-Round โตะหมนมพนโตะขนานกบผวโลก และหมนรอบเพลาในแนวดงซงไมมความฝด (รป 7.4)

พนโตะมมวล 100 kg รศม 2 เมตร ชายคนหนงมวล 60 kg เดนชาๆ จากขอบสจดศนยกลาง ถาความเรวเชงมมของระบบเทากบ 2 rad/s เมอนกเรยนอยทรมขอบ ก. จงหาความเรวเชงมมเมอเคาถงจดท 0.5 เมตร จากจดศนยกลาง ข. จงคานวณหาพลงงานจลนเรมตน และสดทายของระบบ

รป 7.14 ขณะทผชายเดนเขาจดศนยกลาง ω ของระบบจะเพมขน

เพราะโมเมนตมเชงมมคงท วธทา ก. ให IP = โมเมนตของ inertia ของ platform Is = moment of inertia ของผชาย ถอวาผชายเปนจดมวล m , Moment of inertia ของระบบหมนรอบเพลาดงตอนเรมตน คอ

22sPi mRMR

21III +=+=

เมอ M และ R เปนมวลและรศมของ platform ตามลาดบ เมอผชายเดนไปอยทตาแหนง r < R moment of inertia ลดเปน

22f mrMR

21I +=

เพราะไมมทอรกภายนอกกระทาตอระบบ (student+platform) รอบแกนหมน เราใชสตร Iiωi = Ifωf ได

⇒⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ + ωω fi

2222 mrMR21mRMR

21 vv


if 2221

2221

mrMRmRMR

ωω ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

= vv

แทนคาได

s/rad1.4)s/rad2(15200240200

f =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

++

=ωv ตอบ

ข. หาพลงงานจลนของระบบ

J880)s/rad2)(mkg440(21I

21K 222

iii === ω

J800,1)s/rad1.4)(mkg215(21I

21K 222

fff === ω ตอบ

ตวอยาง 7.10 Spinning on a stool มานง(หมนไดรอบแกนไมมความฝด) เรมตนนกเรยนถอ dumbbells กางแขน (outstretched) เมอหบแขนทาไมความเรวเชงมมจงเพม

รป 7.5 a) กางแขน b) หบแขน

คาตอบ ใชกฎอนรกษโมเมนตมเชงมม fi fi II ω=ω vv เพราะ If < II แลว if ω>ω vv

ωi ωf


ตวอยาง 7.11 The spinning bicycle wheel

รป 7.16 เรมตนวงลอจกรยานกาลงหมน เกาอยงหยดนงอย

เมอกลบทศวงลออะไรจะเกดขน

รป 7.16 นกเรยนกาลงถอวงลอทกาลงหมนอย ใหเพลาของมนอยในแนวดง (ไมมแรงเสยดทานในเพลา) โดยโมเมนตมเชงมมเรมตน 0L

v ชขน จงอธบายวาอะไรจะเกดขนเมอเพลากลบทศรอบจดศนยกลางของมน 180o อธบาย System = student + wheel + stool

0Lv = โมเมนตมเชงมมเรมตน ขณะทกลบวงลอจะเกดทอรกปอนแกนกเรยน แตเปน

ทอรกภายในระบบ ไมมทอรกภายนอกกระทาตอระบบรอบแกนดง ดงนนโมเมนตมเชงมมของระบบตองอนรกษ เรมตน : 0system LL vv = (ทศขน) ภายหลงกลบหว

wheelstootstudent0system LLLL vvvv +== + ในกรณน 0wheel LL vv −= เพราะมนกลบหว ดงนน ⇒−= + 0stoolstudent0 LLL vvv

0stoolstudent L2L vv =+ แสดงวานกเรยนและ stool จะเรมหมน โดยมขนาดของโมเมนตมเชงมมเปนสองเทา

และชขน


7.5 การเคลอนทของไจโรสโคป และลกขาง (The motion of gyroscopes and tops)

รป 7.17 Precessional motion ของลกขางทหมนรอบแกนสมมาตรของมน

N,Mg v เปนแรงภายนอกทกระทาตอลกขาง ทศ Lv อยตามแกนของลกขาง

เราเรยกการเคลอนทของแกนสมมาตรของลกขางรอบแกนดงวา “precessional motion” ในรป 7.17a มแรง N,Mg v ทเขามาเกยวของกบการเคลอนทของลกขาง แรง Mg เทานนททาใหเกดทอรกภายนอก τv ถาลกขางไมหมน ωv เปนศนยลกขางกตก เมอลกขางหมนจะเกดโมเมนตมเชงมม Lv รอบแกนลกขาง ทศของ Lv กอยตามแกนลกขาง τv จะทาใหแกนของลกขางม precessional motion โดยท

gMr vvv ×=τ รอบจด O ⊥τv plane ทม rv และ gMv อย

แลวเราจะได

tLlim

dtLd

0t∆∆

== →∆τ

vvv

โดยท LL vv ⊥∆ เพราะ fi LL vv = แตทศของ Lv เปลยนตลอดเวลา ในการหาอตราเรวของแกนลกขาง ( Lv ) ทกวาดรอบแกน z กทาไดโดยพจารณารป

7.17b ให dφ เปนมมนอยๆ ท Lv กวาดไป dφ อยระหวาง iLv และ fLv ถา iL

v เปลยนเปน fLv ในเวลา dt เราจะได dt)gMr(dtLd vvv v ×== τ ดงนน (จากรป 7.17b)


Ldt)sinMgr(

LLdd vv

vθ

φ ==

ถา θ = 90o (กรณของ gyroscope) (ดรป 7.18) เราได

Ldt)Mgr(

LLdd vv

v==φ

ใช p,IL ωω= vvv = ความเรวเชงมมของแกน gyroscope หมนรอบแกน z เราจะได

ω

φω == vv

IMgr

dtd

p (7.19)

รป 7.18 gyroscope

261107 1 7 - Naresuan University · 2013. 8. 22. ·...

Documents

Transcript of 261107 1 7 - Naresuan University · 2013. 8. 22. ·...