2.5窄带随机过程

随机过程通过以 fc 为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度 Δf<<fc ，且 fc 远

离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，则如图 2 - 6(b) 所示，它是一个频率近似为 fc ，

包络和相位随机缓变的正弦波。

图 2-6 窄带过程的频谱和波形示意

£ fc O

S ( f )

f f

fc f

(a )

tO

S ( f ) 缓慢变化的包络 [a ( t ) ]

频率近似为 fc

(b )

因此，窄带随机过程 ξ(t) 可用下式表示 :

ξ(t)=aξ(t) cos ［ ωct+φξ(t) ］ , aξ(t)≥0 (2.5 - 1) 等价式为 ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct (2.5 - 2)

其中 ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t) (2.5 - 3)

ξs(t)=aξ(t) sinφξ(t) (2.5 - 4)

式中 , aξ(t) 及 φξ(t) 分别是 ξ(t) 的随机包络和随机相位， ξc(t) 及 ξs(t) 分别称为 ξ(t) 的同相分

量和正交分量， 它们也是随机过程， 显然它们的变化相对于载波 cosωct 的变化要缓慢得多。

由式（ 2.5 - 1 ）至 (2.5 - 4) 看出， ξ(t) 的统计特性可由 a

ξ(t) ， φξ(t) 或 ξc(t),ξs(t) 的统计特性确定。反之，如果已知 ξ

(t) 的统计特性则可确定 aξ(t),φξ(t) 以及 ξc(t) ， ξs (t) 的统计

特性。

2.5.1同相和正交分量的统计特性

设窄带过程 ξ(t) 是平稳高斯窄带过程，且均值为零， 方差为 σ2ξ 。下面将证明它的同相分量 ξc(t) 和正交分量 ξs(t) 也是零均值的平稳高斯过程，而且与 ξ(t) 具有相同的方差。

1. 数学期望

对式（ 2.5 - 2 ）求数学期望 :

E ［ ξ(t) ］ =E ［ ξc(t) ］ cosωct-E ［ ξs(t) ］ sinωct

(2.5 - 5) 可得

E ［ ξc(t) ］ =0

E ［ ξs(t) ］ =0 (2.5 - 6)

2. 自相关函数

Rξ(t, t+τ)=E ［ ξ(t)ξ(t+τ) ］

=E ｛［ ξc(t)cosωct-ξs(t) sinωct ］

· ［ ξc(t+τ)cosωc(t+τ)-ξs(t+τ) sinωc(t+τ)］｝

=Rc(t, t+τ) cosωct cosωc(t+τ)-Rcs(t, t+τ) cosωctsinωc(t+τ)

-Rsc(t, t+τ) sinωctcosωc(t+τ)+Rs(t, t+τ) sinωctsinωc(t+τ)

式中

Rc(t, t+τ)=E ［ ξc(t)ξc(t+τ) ］

Rcs(t, t+τ)=E ［ ξc(t)ξs(t+τ) ］

Rsc(t, t+τ)=E ［ ξs(t)ξc(t+τ) ］

Rs(t, t+τ)=E ［ ξs(t)ξs(t+τ) ］

因为 ξ(t) 是平稳的，

故有 Rξ(t, t+τ)=R(τ)

这就要求式（ 2.5 - 7 ）的右边也应该与 t 无关， 而仅与时间间隔 τ 有关。 若取使 sinωct=0 的所有 t 值，则式（ 2.5

- 7 ）应变为

Rξ(τ)=Rc(t, t+τ) cosωcτ-Rcs(t, t+τ)sinωcτ (2.5 - 8)

这时，显然应有

Rc(t, t+τ)=Rc(τ)

Rcs(t, t+τ)=Rcs(τ)

所以，式（ 2.5 - 8 ）变为

Rξ(τ)=Rc(τ)cosωcτ-Rcs(τ) sinωcτ (2.5 - 9)

再取使 cosωct=0 的所有 t 值，同理有

Rξ(τ)=Rs(τ)cosωcτ+Rsc(τ)sinωcτ (2.5 - 10)

其中应有

Rs(t, t+τ)=Rs(τ)

Rsc(t, t+τ)=Rsc(τ)

由以上的数学期望和自相关函数分析可知， 如果窄带过程 ξ(t) 是平稳的，则 ξc(t) 与 ξs(t) 也必将是平稳的。

进一步分析， 式（ 2.5 - 9 ）和式（ 2.5 - 10 ）应同时成立，

故有 Rc(τ)=Rs(τ) (2.5 - 11)

Rcs(τ)=-Rsc(τ) (2.5 - 12)

可见，同相分量 ξc(t) 和正交分量 ξs(t) 具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有

Rcs(τ)=Rsc(-τ)

将上式代入式（ 2.5 - 12 ），可得

Rsc(τ)=-Rsc(-τ) (2.5 - 13)

同理可推得

Rcs(τ)=-Rcs(-τ) (2.5 - 14)

式（ 2.5 - 13 ）、（ 2.5 - 14 ）说明， ξc(t) 、 ξs(t) 的

互相关函数 Rsc(τ) 、 Rcs(τ) 都是 τ 的奇函数，在 τ=0 时

Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5 - 15)

于是， 由式（ 2.5 - 9 ）及式（ 2.5 - 10 ）得到

Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5 - 15)

于是，由式（ 2.5 - 9 ）及式（ 2.5 - 10 ）得到

Rξ(0)=Rc(0)=Rs(0) (2.5 - 16)

即 σ2ξ=σ2c=σ2s (2.5 - 17)

这表明 ξ(t) 、 ξc(t) 和 ξs(t) 具有相同的平均功率或方差（因为均值为 0 ）。

另外，因为 ξ(t) 是平稳的，所以 ξ(t) 在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量， 故在式（ 2.5 - 2 ）中有

取 t=t1=0 时， ξ(t1)=ξc(t1)

取 t=t2=3π2ωc 时， ξ(t2)=ξs(t2)

所以 ξc(t1) ， ξs(t2) 也是高斯随机变量，从而 ξc(t) 、 ξs

(t) 也是高斯随机过程。又根据式（ 2.5 - 15 ）可知， ξc(t) 、 ξs(t) 在同一时刻的取值是互不相关的随机变量， 因而它们还是统计独立的。

上所述，我们得到一个重要结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程 ξ(t) ，它的同相分量 ξc(t) 和正交分量 ξs(t) 也是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同。此外， 在同一时刻上得到的 ξc 和 ξs 是互不相关的或统计独立的。

2.5.2包络和相位的统计特性

由上面的分析可知， ξc 和 ξs 的联合概率密度函数为

f(ξc, ξs)=f(ξc)·f(ξs )= ]2

exp[2

12

22

2

c

设 aξ,φξ 的联合概率密度函数为 f(aξ, φξ) ，则利用概率论知识， 有

f(aξ, φξ)=f(ξc, ξs)

,(

,(

asc

根据式（ 2.5 - 3 ）和式（ 2.5 - 4 ）在 t 时刻随机变量之间的关系

ξc=aξcosφξ

ξs=aξsinφξ

得到

),(),(

asc

a

c

a

s

c

s

Cosφξ sinφ ξ

-aξsinφξ aξcosφξ =

于是f(aξ,φξ) =aξf(ξc, ξs)= ]

2

)sin()cos(exp[

2

22

2

aaa

]2

(exp[

2 2

2

2

aa

注意，这里 aξ≥0, 而 φξ 在 (0 ， 2π) 内取值。

再利用概率论中边际分布知识将 f(aξ,φξ) 对 φξ 积分， 可求得包络 aξ 的一维概率密度函数为

d

adafaf ]

2exp[),()(

2

0 2

0],2

exp[2

2

2

a

aa

可见， aξ 服从瑞利分布。

同理， f(aξ, φξ) 对 aξ 积分可求得相位 φξ 的一维概率密度函数为

f(φξ)=

20,2

1])

2exp([

2

1),(

2

2

0 20

da

aadaaf

可见， φξ 服从均匀分布。

综上所述，我们又得到一个重要结论：一个均值为零， 方差为 σ2ξ 的窄带平稳高斯过程 ξ(t) ，其包络 aξ(t) 的一维分布是瑞利分布，相位 φξ(t) 的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言， aξ(t) 与 φξ(t) 是统计独立的，即有下式成立：

f(aξ,φξ)=f(aξ)·f(φξ) (2.5 - 23)