24776-1272950911-Bab Vii Transformasi Linear
-
Upload
mainkeizer -
Category
Documents
-
view
108 -
download
14
description
Transcript of 24776-1272950911-Bab Vii Transformasi Linear
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear ElementerMA1223 3 SKS
Silabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 2
VII Transformasi Linear
Sub pokok Bahasan• Definisi Transformasi Linear • Matriks Transformasi• Kernel dan Jangkauan
Beberapa Aplikasi Transformasi Linear • Grafika Komputer• Penyederhanaan Model Matematis• dan lain lain
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 3
Transformasi Linear
Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V W dinamakan transformasi linear, jikauntuk setiap dan berlaku :
Jika V = W maka T dinamakan operator linear
Vba ∈, R∈α
( )=+ baT.1 ( ) ( )bTaT +
( ) =aT α.2 ( )aTα
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 4
Contoh :Tunjukan bahwa T : R2 R3, dimana
merupakan tranformasi linear.Jawab :
Ambil unsur sembarang di R2, Misalkan
(i) Akan ditunjukan bahwa
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
yxyx
yx
T
,2
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=uu
u 2
2
1 Rvv
v ∈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
( ) ( ) ( )vTuTvuT +=+
Rumus Transformasi
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 5
Terbukti bahwa
( ) =+ vuT ⎥⎦
⎤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎢
⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
1
2
1
vv
uu
T
( ) ( )( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++−
+−+=
22
11
2211
vuvu
vuvu
( ) ( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−−
+−+=
22
11
2211
vuvu
vuvu
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
=
2
1
21
2
1
21
vvvv
uuuu
( ) ( ) ( )vΤuΤvuT +=+
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 6
(ii) Ambil unsur sembarang
Jadi, T merupakan transformasi linear.
RRu ∈∈ αdan2
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Τ=Τ
2
1
uu
uαα
α
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−=
2
1
21
uuuu
αα
αα
( )( )( ) ⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−=
2
1
21
uuuu
αα
α
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
=
2
1
21
uuuu
α
( )uΤα=
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 7
Contoh 2 :Misalkan T merupakan suatu transformasi dari M2x2 ke R yang didefinisikan oleh T(A) = det (A), untuk setiap A ∈ M2x2, Apakah T merupakan Transformasi linier.
Jawab :Misalkan
maka untuk setiap α∈ R berlaku
det (αA) =
2243
21
xM
aaaa
A ∈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
43
21
detaaaa
αααα
( ) )det(24321
2 Aaaaa αα =−=
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 8
Perhatikan bahwa det(αA) ≠ α det(A)Jadi T bukan transformasi linier.
Contoh 3 :Diketahui T : P2 (Polinom orde-2) R2, dimana
a. Apakah T merupakan transformasi linear b. Tentukan
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=++caba
cxbxaT )( 2
)1( 2xxT ++
2321 xuxuuu ++= 2
321 xvxvvv ++=
Jawab :a.(i) Ambil unsur sembarang P2,
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 9
Sehingga
Perhatikan bahwa
=+ vu ( ) ( ) ( ) 2332211 xvuxvuvu +++++
( ) ( ) ( ) ( )( )2332211 xvuxvuvuTvuT +++++=+
( ) ( )( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−++−+
=3311
2211
vuvuvuvu
( ) ( )( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−−+−
=3131
2121
vvuuvvuu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=31
21
31
21
vvvv
uuuu
( ) ( )2321
2321 xvxvvTxuxuuT +++++=
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 10
Ambil unsur sembarang P2,dan α ∈ R, sehingga
Jadi, T merupakan transformasi linear
2321 xuxuuu ++=
( ) ( )2321 xuxuuTuT ++= αα
( )( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=31
21
uuuu
αααα
( )( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=31
21
uuuu
αα
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=31
21
uuuu
α
( )2321 xuxuuT ++= α
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 11
b.
Suatu transformasi linear T : V W dapat direpresentasikan dalam bentuk :
A dinamakan matriks transformasi dari T.
Contoh :Misalkan, suatu transformasi linear T : R2 R3
didefinisikan oleh :
=++ )1( 2xxT ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
00
1111
( ) uAuT = uuntuk setiap ∈ V.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Τ
yxyx
yx
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 12
Jawab :Perhatikan bahwa
Jadi matriks transformasi untuk T : R2 R3 adalah
Jika T : Rn Rm merupakan transformasi linearmaka ukuran matriks transformasi adalah m x n
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Τ
yx
yxyx
yx
100111
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−=
100111
A
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 13
dimana
{ }21,vv=Β32: RR →Τ
( ) ( )ii uv =Τ
( )( ) 222
111
uvvTuvvT
=Α==Α=
[ ] [ ] 2321222123 xxx uuvv =Α [ ]21 vv
[ ][ ] 12121
−=Α vvuu
Misalkan
basis bagi ruang vektor V dan
merupakan transformasi linear
untuk setiap i = 1,2.
Sehingga
Jadibasis bagi V
maka ia punya invers
Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara :Tulis :
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 14
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
100
,1
10
,1
11
321 vvv
13: PR →Τ
( ) iii pvAvT ==
xppxp 2;1;1 321 ==−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−Τ21
1dan
Contoh 3 :Misalkan
adalah basis bagi R3
Transformasi linear didefinisikan
untuk setiap i = 1,2,3.
Tentukan :Matrix transformasi
Jika
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 15
[ ] [ ] [ ] ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=−=20
2;01
1;1
111 32 BBB xppxp
3,2,1, =∀=Α iii pv
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−Α
201011
111011001
1
111011001
201011
−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=Α
Jawab :Definisikan :
Karena
Maka
atau
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 16
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−− 100010001
111011001
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
− 101011001
110010001
~
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
110011001
100010001
~
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=Α221010
110011001
201011
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 221
010
invers matriks dicari dengan OBE :
Sehingga
Jadi matriks transformasi T adalah
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 17
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−Α=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−Τ
21
1
21
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
11
21
1
221010
2111
xB
+−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−ingat bahwa
jadi
Sementara itu,
( )x+−=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−Τ 121
1
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 18
{ }22 1,,1 xxxxx −++−+
[ ]⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=+
210
1 xT [ ]⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=+−
021
2xxT [ ]⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=−+
012
1 2xxT
( )21 xxT +−
Contoh 4 :
Jika T : P2 R3 adalah transformasi linear dimana
Tentukan
.
Diketahui basis dari polinom orde dua adalah
GunakanDefinisi
Membangun
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 19
Jawab :Perhatikan bahwa
himpunan 3 polinom tersebut adalah basis bagi polinom orde 2
maka polinom tersebut ditulis nejadi :
Samakan suku-suku sejenis sehingga diperoleh SPL
dengan solusi k1 =0 , k2 = 2, dan k3 = 1. 1
11
32
321
31
=−−=+−
=+
kkkkk
kk
( ) ( ) ( )23
221
2 111 xxkxxkxkxx −+++−++=+−
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 20
Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :
atau
Karena transformasi T bersifat linear maka :
( ) ( ) ( ) ( )222 12101 xxTxxTxTxxT −+++−++=+−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
012
021
2⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
054
( ) ( ) ( ) ( )( )222 112101 xxxxxTxxT −+++−++=+−
( ) ( ) ( )222 112101 xxxxxxx −+++−++=+−
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 21
Kernel dan Jangkauan
Misalkan T : V → W merupakan transformasi linear Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di Wdinamakan kernel T notasi ker ( T ).atau
Contoh 5 :Trans. Linear T : P2 R2
Perhatikan bahwa
maka
( ){ }0|)( =∈= uTVuTKer
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=++caba
cxbxaT )( 2
=++ )1( 2xxT ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
00
1111
)(1 2 TKerxx ∈++
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 22
Sementara itu,
karena
Jelas bahwa vektor nol pada daerah asaltransformasi merupakan unsur kernel T. Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyaivektor tak nol sebagai unsur kernel T.
Teorema :Jika T : V W adalah transformasi linear maka Ker (T) merupakan subruang dari V
Bukti :Ambil sembarang dan α∈Riil)(, TKerba ∈
)(21 2 TKerxx ∉++
011
)21( 2 ≠⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=++ xxT
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 23
1. Karena setiapartinya setiapmaka Ker(T) ⊆ V
2. Perhatikan bahwa artinya setiapoleh karena itu Ker(T) ≠ { }
3. Karena dan Ker(T) ⊆ VIngat bahwa V mrp ruang vektor, sehingga berlaku
akibatnya
Jadi
)(TKera ∈( ) 0sehingga =∈ aTVa
)(0 TKer∈( ) 000 == AT
)(, TKerba ∈
Vba ∈+
( ) 000 =+=+=+ bTaTbaT
( )Tba ker∈+
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 24
karena V adalah ruang vektor maka untuk setiap α ∈ Riil berlaku :
Jadi,
Dengan demikian, terbukti bahwaJika T : V W adalah transformasi linear makaKer(T ) merupakan subruang dari ruang vektor V
Karena Ker(T ) merupakan subruang
Basis Ker(T).
VaTKera ∈∈ maka)(Karena 4.
)(TKera∈α
( ) ( ) 00 === ααα aTaT
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 25
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
cba
T
( ) ( ) ( ) 022 2 =+++−++=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛xcbaxcaba
cba
T
Contoh 6 :Diketahui Transformasi linear T : R3 →P2 dengan
Jawab :Perhatikan bahwa :
=(a + b) + (2a – c)x + (2a + b + c)x2
Tentukan basis dan dimensi Ker(T) dan R(T)
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 26
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++−
+
000
22
cbacbba
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
cba
T =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++−
+
cbacbba
22
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−112120
011
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
cba
Ini memberikan
sehingga
Jadi, matriks transformasi bagi T adalah
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=112120
011A
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 27
~000
112120
011
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
000
110120
011
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
000
2/1002/110
2/101~
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
000
100010001
~
Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :
Dengan demikian, Basis ker(T) = { }
dan nulitasnya adalah nol.
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 28
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
11
0,
121
,201
{ }222 2121 xx,xx,x +−+++
Perhatikan hasil OBE maka basis ruang kolom dari matriks A adalah :
oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah :
sehingga rank (dimensi basis R(t)) = 3
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 29
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+−−−+
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
dcbadcba
dcba
T2
2
Contoh 7 : Diketahui transformasi linear T : R4 R3
didefinisikan oleh :
Tentukan basis kernel dari T dan nulitasnya
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 30
Jawab :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+−−−+
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
dcbadcba
dcba
T2
2
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−=
dcba
21112100
0011
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−=
21112100
0011A
Jadi
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 31
( ) ( ) 4, 0 R
dcba
vvAvT ∈
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=∀==
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
00002100
0011~
21112100
0011~A
Basis Ker(T) dan Nulitasnya?
Dengan OBE
Ker(T) adalah ruang solusi dari
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 32
0=vA
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≠
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
0, ,
21100
00
11
tsts
dcba
dcba
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
21100
,
001
1
Ker(T) = ruang solusi dari
yaitu
Jadi Basis Ker(T) adalah
Nulitas = Dimensi dari Ker(T) = 2
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 33
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
caba
cba
T2
[ ] 242 xxxT +−=+ [ ] 222731 xxxT −+=+
[ ]xT −3
Latihan1. Suatu transformasi T : ℜ3 ℜ2
didefinisikan oleh
2. Jika suatu transformansi T : P1 P2 diberikan oleh :
dan
Tentukan
Periksa apakah T merupakan transformasi linear
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 34
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
113
21
T⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
121
53
T
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛31
T
(Untuk no. 3 – 5)
Suatu transformasi linear, T :R2 R3
Yang diilustrasikan sebagai berikut :
dan
3. Tentukan matriks transformasi dari T !
4. Tentukan hasil transformasi,
5. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T !
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 35
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−=
12211321
1121A
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
caba
cba
T2
7. Misalkan T : ℜ3 ℜ2 didefinisikan oleh
Tentukan basis Ker(T) dan basis R(T) beserta dimensinya !
6. Tentukan rank dan nulitas matriks Transformasi :