2.4 Entscheidung bei Risiko - swl.htwsaar.de · 72 Bernoulli-Prinzip § Bisherige Ansätze zur...
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2.4 Entscheidung bei Risiko§ Entscheidung bei Risiko nimmt an, dass für jeden ZustandSj seine Eintrittswahrscheinlichkeit P(Sj) bekannt ist
§ Eintrittswahrscheinlichkeiten bestimmbar als
§ statistische Wahrscheinlichkeiten basierend auf Erfahrungen aus der Vergangenheit (z.B. wie ofthat es an diesem Tag in den letzten100 Jahren geregnet)
§ subjektive Wahrscheinlichkeiten basierend aufden Erwartungen des Entscheiders
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
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Diskrete Zufallsvariable§ Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit möglichen Werten
{a1,…,an} und Wahrscheinlichkeiten P(X = ai),
§ Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable X ist
§ Beispiel: Fairer Würfel mit sechs Seiten
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
E(X) = 1 · 16 + 2 · 1
6 + . . . 6 · 16 = 3.5
µ = E(X) =nÿ
i=1ai · P (X = ai)
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Diskrete Zufallsvariable§ Varianz einer diskreten Zufallsvariable X ist
und es gilt
§ Größe σ heißt Standardabweichung (auch: Streuung)
§ Beispiel: Fairer Würfel mit sechs Seiten
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
‡2 = V (X) =nÿ
i=1(ai ≠ µ)2 · P (X = ai)
V (X) = E(X ≠ E(X))2 = E(X2) ≠ (E(X))2
V (X) = (1 ≠ 3.5)2 · 16 + (2 ≠ 3.5)2 · 1
6 + . . . + (6 ≠ 3.5)2 · 16 = 2.916
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Dominanz bei Unsicherheit§ Konzept der Dominanz lässt sich auf den Fall
mehrerer Zustände erweitern
§ absolute Dominanz betrachtet nur das schlechtmöglichsteund bestmöglichste Ergebnis je Alternative
§ Zustandsdominanz vergleich die Ergebnisseder Alternativen zustandsweise
§ stochastische Dominanz (erster Ordnung) betrachtetauch die Wahrscheinlichkeiten der Zustände
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
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Absolute Dominanz§ Alternative Ai dominiert Alternative Aj im Sinne
absoluter Dominanz, wenn gilt
d.h. das schlechteste Ergebnis von Ai ist mindestensso gut wie das beste Ergebnis von Aj
§ Beispiel:
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
min
k(xik) Ø max
k(xjk)
S1 S2 S3 S4
0.20 0.50 0.20 0.10
A1 40 20 30 50A2 20 20 5 10
A1 dominiert A2
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Zustandsdominanz§ Alternative Ai dominiert Alternative Aj im Sinne der
Zustandsdominanz, wenn gilt
d.h. Ai ist in allen Zuständen mindestens so gut wie Aj
und in mindestens einem besser
§ Beispiel:
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
’k : xik Ø xjk : · ÷ k : xik > xjk
S1 S2 S3 S4
0.20 0.50 0.20 0.10
A1 40 20 10 20A2 40 25 10 40 A2 dominiert A1
60
Stochastische Dominanz§ Stochastische Dominanz beruht auf Vergleich der
Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Alternativen
§ Betrachte Alternative Ai als Zufallsvariable, dann sei
die Wahrscheinlichkeit, dass Ai zu einen Ergebniskleiner gleich xi führt
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
P (Ai Æ xi)
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Stochastische Dominanz§ Beispiel:
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
S1 S2 S3 S4
0.10 0.50 0.20 0.20
A1 10 20 50 100A2 10 50 100 20
P (Ai Æ 10) P (Ai Æ 20) P (Ai Æ 50) P (Ai Æ 100)
A1 0.10 0.60 0.80 1.00A2 0.10 0.30 0.80 1.00
10 20 50 100
A2
A1
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Stochastische Dominanz§ Stochastische Dominanz (erster Ordnung) der Alternative
Ai über die Alternative Aj liegt vor, wenn
§ Beispiel: Alternative A2 dominiert Alternative A1
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
10 20 50 100
A2
A1
’ x : P (Ai Æ x) Æ P (Aj Æ x) · ÷ x : P (Ai Æ x) < P (Aj Æ x)
…’ x : P (Ai > x) Ø P (Aj > x) · ÷ x : P (Ai > x) > P (Aj > x)
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Risikoeinstellung des Entscheiders§ Risikoneutralität
§ Entscheider ist indifferent zwischen Alternativen mitgleichem Erwartungswert
§ Risikoaversion
§ Entscheider zieht bei zwei Alternativen mit gleichem Erwartungswert diejenige mit geringerer Streuung vor
§ Risikofreude
§ Entscheider zieht bei zwei Alternativen mit gleichem Erwartungswert diejenige mit höherer Streuung vor
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
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Risikoeinstellung des Entscheiders§ Beispiel: Entscheidung über Teilnahme an einfachem
Glücksspiel (z.B. Münzwurf) mit Einsatz 10€
§ A1: Teilnahme, A2: Nicht-Teilnahme
§ S1: Gewinn, S2: Kein Gewinn
§ A1 oder A2 bei Risikoneutralität§ A1 bei Risikofreude§ A2 bei Risikoaversion
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
S1 S2 µ ‡
0.50 0.50
A1 10 ≠10 0.0 10.0A2 0 0 0.0 0.0
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Indifferenzkurven nach Risikoeinstellung
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
µ
‡
µ
‡
µ
‡
Risikoneutralität Risikoaversion Risikofreude
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µ-Regel§ μ-Regel beurteilt Alternativen nach ihrem Erwartungswert
(ursprünglich formuliert für den Fall einer Zielgröße)
§ Risikoeinstellung des Entscheiders nicht berücksichtigt
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
�(Ai) = E(xij) =nÿ
j=1xij · P (Sj)
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µ-Regel§ Beispiel: Lotterie mit 5 Millionen im Jackpot und Einsatz 3€
§ A1: Teilnahme, A2: Nicht-Teilnahme
§ S1: Gewinn, S2: Kein Gewinn
§ Entscheider wird niemals an der Lotterie teilnehmen,sofern er die µ-Regel anwendet
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
S1 S2 µ
14 · 10≠6 1 ≠ 14 · 10≠6
A1 4, 999, 997 ≠3 ¥ ≠2.64A2 0 0 0
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(µ,σ)-Prinzip§ (µ,σ)-Prinzip berücksichtigt neben dem Erwartungswert
die Standardabweichung der Ergebnissezur Beurteilung der Alternativen
§ Präferenzfunktion Φ(Ai) = Φ(µi, σi) z.B. als Linearkombination von Erwartungswert µi
und Standardabweichung σi definiert
mit α als Gewichtungsparameter, welcher die Risikoeinstellung des Entscheiders erfasst (α > 0 : Risikoaversion; α < 0 : Risikofreude)
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
�(Ai) = µi ≠ – · ‡i
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(µ,σ)-Prinzip§ Beispiel:
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
S1 S2 S3 µ ‡ – = +1 – = 0 – = ≠10.5 0.2 0.3
A1 40 20 10 27.00 13.45 13.55 27.00 40.45A2 120 ≠30 ≠20 48.00 72.08 ≠24.08 48.00 120.08A3 30 10 60 35.00 18.03 16.97 35.00 53.03
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(μ,σ)-Prinzip und stochastische Dominanz§ Stochastische Dominanz erster Ordnung und
(µ,σ)-Prinzip sind inkompatibel, d.h. wireliminieren u.U. optimale Alternativen
§ Beispiel:
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
S1 S2 µ ‡
0.50 0.50
A1 100 100 100 0.00A2 50 100 75 35.35
0 50 100
A2
A1
A2 würde eliminiert, ist aber für risikofreudige Entscheider (z.B. α = -1.0) u.U. optimal
71
Petersburger Spiel§ Petersburger Spiel (auch: Petersburger Paradoxon)
§ wiederholter Wurf einer fairen Münze (Kopf oder Zahl)
§ fällt im n-ten Münzwurf erstmals Zahl, so erhält Spieler 2n
§ Erwartungswert des Petersburger Spiels
§ Ein nach der µ-Regel handelnder Entscheider wäre alsoimmer bereit, einen beliebig großen Betrageinzusetzen und am Spiel teilnehmen
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
µ = 2 · 12 + 4 · 1
4 + 8 · 18 + . . . = Œ
72
Bernoulli-Prinzip§ Bisherige Ansätze zur Entscheidung bei Risiko
§ betrachten nur eine Zielgröße und
§ verdichten Zielgrößenwerte in den Parametern µ und σ
§ Bernoulli-Prinzip besteht aus zwei Schritten
§ bestimme für den Entscheider eine Nutzenfunktion U(xi)(z.B. mittels Durchführung einer Bernoulli-Befragung)
§ wähle eine Alternative mit höchstem erwarteten Nutzen(auch: Bernoulli-Nutzen, Erwartungsnutzen)
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
�(Ai) =nÿ
j=1U(xij) · P (Sj)
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Bernoulli-Prinzip§ Wo liegt der Unterschied zur µ-Regel und (µ,σ)-Prinzip?
§ es können mehrere Zielgrößen betrachtet werden
§ explizite Betrachtung von Nutzen anstelle von Zielgröße
§ Nutzenfunktion erfasst Risikoeinstellung des Entscheiders
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
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Nutzenfunktionen und Risikoeinstellung§ Krümmung der Nutzenfunktion lässt auf die
Risikoeinstellung des Entscheiders schließen
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
118 5 Rationale Entscheidung bei Risiko: Das Bernoulli-Prinzip
U(x)
x0
U(x)
x0
U(x)
x0
U(x)
x0 Risikofreude
RisikoaversionRisikoneutralität0
0
Abb. 5.1 Der Verlauf unterschiedlicher Nutzenfunktionen
veranschaulicht werden (vgl. bereits Abschn. 4.4 des Kap. 4): Ein Entscheider wird vordie Entscheidung gestellt, an einem Glücksspiel teilzunehmen, bei dem er mit gleicherWahrscheinlichkeit 0,5 (z. B. durch den Wurf einer Münze) den Betrag ! gewinnen oderverlieren kann. Beträgt sein gegenwärtiges Vermögen W, so ist das Ergebnis bei Teilnahmeam Glücksspiel entweder W + ! oder W − !. Da beide Ergebnisse gleich wahrscheinlichsind, beträgt der Erwartungswert W. Ist der Entscheider risikoneutral, so zeigt er sich indif-ferent bezüglich der Teilnahme am Glücksspiel. Ist er risikoavers, so lehnt er die Teilnahmestrikt ab. Ein risikofreudiger Entscheider dagegen begrüßt die Teilnahme.
Um dieses Entscheidungsverhalten über das Bernoulli-Prinzip, d. h. über die Orien-tierung an der Präferenzfunktion (5.1) nachzubilden, muss die Nutzenfunktion folgendeEigenschaft haben:
• Ist der Entscheider risikoneutral, so ist er indifferent zwischen Teilnahme und Nicht-Teilnahme am Glücksspiel. Entsprechend muss das Bernoulli-Prinzip beim Vergleichbeider Alternativen denselben Erwartungswert des Nutzens ausweisen:
12
· U(W + !) + 12
· U(W − !) = U(W).
Diese Bedingung ist für beliebige Werte von ! und W nur für lineare Nutzenfunktionenerfüllt.
118 5 Rationale Entscheidung bei Risiko: Das Bernoulli-Prinzip
U(x)
x0
U(x)
x0
U(x)
x0
U(x)
x0 Risikofreude
RisikoaversionRisikoneutralität0
0
Abb. 5.1 Der Verlauf unterschiedlicher Nutzenfunktionen
veranschaulicht werden (vgl. bereits Abschn. 4.4 des Kap. 4): Ein Entscheider wird vordie Entscheidung gestellt, an einem Glücksspiel teilzunehmen, bei dem er mit gleicherWahrscheinlichkeit 0,5 (z. B. durch den Wurf einer Münze) den Betrag ! gewinnen oderverlieren kann. Beträgt sein gegenwärtiges Vermögen W, so ist das Ergebnis bei Teilnahmeam Glücksspiel entweder W + ! oder W − !. Da beide Ergebnisse gleich wahrscheinlichsind, beträgt der Erwartungswert W. Ist der Entscheider risikoneutral, so zeigt er sich indif-ferent bezüglich der Teilnahme am Glücksspiel. Ist er risikoavers, so lehnt er die Teilnahmestrikt ab. Ein risikofreudiger Entscheider dagegen begrüßt die Teilnahme.
Um dieses Entscheidungsverhalten über das Bernoulli-Prinzip, d. h. über die Orien-tierung an der Präferenzfunktion (5.1) nachzubilden, muss die Nutzenfunktion folgendeEigenschaft haben:
• Ist der Entscheider risikoneutral, so ist er indifferent zwischen Teilnahme und Nicht-Teilnahme am Glücksspiel. Entsprechend muss das Bernoulli-Prinzip beim Vergleichbeider Alternativen denselben Erwartungswert des Nutzens ausweisen:
12
· U(W + !) + 12
· U(W − !) = U(W).
Diese Bedingung ist für beliebige Werte von ! und W nur für lineare Nutzenfunktionenerfüllt.
118 5 Rationale Entscheidung bei Risiko: Das Bernoulli-Prinzip
U(x)
x0
U(x)
x0
U(x)
x0
U(x)
x0 Risikofreude
RisikoaversionRisikoneutralität0
0
Abb. 5.1 Der Verlauf unterschiedlicher Nutzenfunktionen
veranschaulicht werden (vgl. bereits Abschn. 4.4 des Kap. 4): Ein Entscheider wird vordie Entscheidung gestellt, an einem Glücksspiel teilzunehmen, bei dem er mit gleicherWahrscheinlichkeit 0,5 (z. B. durch den Wurf einer Münze) den Betrag ! gewinnen oderverlieren kann. Beträgt sein gegenwärtiges Vermögen W, so ist das Ergebnis bei Teilnahmeam Glücksspiel entweder W + ! oder W − !. Da beide Ergebnisse gleich wahrscheinlichsind, beträgt der Erwartungswert W. Ist der Entscheider risikoneutral, so zeigt er sich indif-ferent bezüglich der Teilnahme am Glücksspiel. Ist er risikoavers, so lehnt er die Teilnahmestrikt ab. Ein risikofreudiger Entscheider dagegen begrüßt die Teilnahme.
Um dieses Entscheidungsverhalten über das Bernoulli-Prinzip, d. h. über die Orien-tierung an der Präferenzfunktion (5.1) nachzubilden, muss die Nutzenfunktion folgendeEigenschaft haben:
• Ist der Entscheider risikoneutral, so ist er indifferent zwischen Teilnahme und Nicht-Teilnahme am Glücksspiel. Entsprechend muss das Bernoulli-Prinzip beim Vergleichbeider Alternativen denselben Erwartungswert des Nutzens ausweisen:
12
· U(W + !) + 12
· U(W − !) = U(W).
Diese Bedingung ist für beliebige Werte von ! und W nur für lineare Nutzenfunktionenerfüllt.
Quelle: Laux, Gillenkirch und Schenk-Mathes [1]
konkav konvex
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Bernoulli-Befragung§ Nutzenfunktion des Entscheiders lässt sich mittels
Bernoulli-Befragung approximieren
§ bestimme schlechtestes und bestes Ergebnis xw und xb
§ für jedes Ergebnis bestimmt man die Wahrscheinlichkeit wi,so dass der Entscheider indifferent ist zwischen§ dem sicheren Ergebnis xi
§ einer Lotterie, die mit Wahrscheinlichkeit wi das Ergebnis xb und mit Wahrscheinlichkeit (1-wi) das Ergebnis xw auszahlt
§ die ermittelten Wahrscheinlichkeiten wi könnenals Werte der Nutzenfunktion U(xi)interpretiert werden
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
76
Bernoulli-Befragung§ Beispiel: Ergebnisse xw = 0, 20, 40, 60, 80, 100 = xb möglich
§ für x0 = 0 gibt Entscheider Wahrscheinlichkeit w0 = 0.0 an
§ für x1 = 20 gibt Entscheider Wahrscheinlichkeit w1 = 0.4 an
§ für x2 = 40 gibt Entscheider Wahrscheinlichkeit w2 = 0.6 an
§ für x3 = 60 gibt Entscheider Wahrscheinlichkeit w3 = 0.8 an
§ für x4 = 80 gibt Entscheider Wahrscheinlichkeit w4 = 0.9 an
§ für x5 = 100 gibt Entscheider Wahrscheinlichkeit w5 = 1.0 an
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
77
Bernoulli-Befragung§ Beispiel: Ermittelte Nutzenfunktion
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie
0 20 40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
w
RisikoaverserEntscheider
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Zusammenfassung§ Risikoeinstellung des Entscheiders spielt eine Rolle
§ risikoavers, risikoneutral oder risikofreudig
§ Entscheidung bei Risiko und einer Zielgröße
§ μ-Regel betrachtet nur Erwartungswert
§ (µ,σ)-Prinzip betrachtet Erwartungswert und Streuung
§ Bernoulli-Prinzip bei Risiko und beliebig vielen Zielgrößen
§ Bernoulli-Befragung zum Bestimmen einer Nutzenfunktion§ Auswahl der Alternative mit höchstem erwarteten Nutzen
Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie