profbaptista.files.wordpress.com24 15 18 4 20 60 13 2 60 13 60 2 2 73 x x xx mcm xx x x xx x x xx xx...
Transcript of profbaptista.files.wordpress.com24 15 18 4 20 60 13 2 60 13 60 2 2 73 x x xx mcm xx x x xx x x xx xx...
21. 21. 21. 21. 21. ( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( )
( )( )
( )( )
32
55
12
3 14 104 4
3 5 5 2 2 5
2 53 14 10
2
3 15 5 20 20 7 105 3 14 10
9 42 305 3 14 10
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
aa b a b a b
a ab ba ab b
a a b a b a b a b
a b a ba ab b
a b
a ab a ab b a ab ba b a ab b
a ab ba b a ab b
−+
−+
−
− +− +
=
− + − + − −
− −− +
−
=− + − + + − +
− − +
=− +
− − +( )
( )( )=− +
− − +=
−3 3 14 105 3 14 10
35
2 2
2 2
a ab ba b a ab b a b
22. 22. 22. 22. 22.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
xx
xx
xx
xx
xa b
xa b
x xx
x xx
xa b
a bx
x x x xx x x x
xx
xx
xx
+−
−−+
−+
++−
⋅+−
÷−
=
+ − −−
− + +−
⋅+−
⋅−
=+ + − + −− + + + +
⋅+
=+
⋅+
=
11
11
11
11
12 2
2
1 11
1 11
12 2
2 1 2 12 1 2 1
14
42 1
14
12
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
2
23. 23. 23. 23. 23. ( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
13 9
16 12
1
2 3
1
69
13 3
16 2
1
2 3 6 9
2 3 2 3 3 2 6 2
6 3 2
2 2 12 6 9 3 6 6 12
6 3 2
7 13 27
6 3 2
2
2 2
2
2
2 2 2
2
2
2
x x x xx
x x x
xx x
x x x x x
x x
x x x x x x x
x x
x xx x
−−
+−
−+
− +
=−
−+
−−
+− +
=− + − − − + + +
− +
=− − − + − − − + +
− +
=+ −
− +
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )( )
( )( )
a ba ba b
a ba b
a b
bba
a b a bb
a b a ba b
a b a ba b
ab ba
a b b a bb
aa bb
a b
b a ba
a b ab
a a bb a b
b a ba a b
ba
− +++
+ −−−
⋅+
−⋅
+−
=
− + ++
− − +−
⋅
+
−⋅ + −
=+
−
⋅
+
−⋅ =
−+
⋅+−
⋅ =
2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
21
12
21
2
21
22
21
EJERCICIO 141
1. 1. 1. 1. 1.
( )
xx
x x
x xx xx x
x
x
x
65
13
306
1 33
30 2 1 330 2 66 2 307 28
2874
+ = −
⇒+
=−
+ = −+ = −+ = −
= −
=−
= −
2. 2. 2. 2. 2. 3
5
2
3
1
50 15
9 10 3 0
3
3
x xmcm
x x
x
x
− + = =
− + =− = −
=
3. 3. 3. 3. 3. 1
2
1
4
1
10
1
520
10 5 2 4
5 4 10 2
8
x xmcm x
x x
x x
x
+ − = =
+ − =− = − +
= −
4. 4. 4. 4. 4. x x x
mcm
x x x
x x x
x
x
x
22
12 6
5
412
6 24 2 15
6 2 15 24
3 39
39
313
+ − = − =
+ − = −− − = − −
= −
=−
= −
5. 5. 5. 5. 5. 3
4
1
52
5
4
3
2020
15 4 40 25 3
55 3 25 4
58 29
29
581
2
xx
xmcm
x x x
x x
x
x
x
− + = − =
− + = −+ = +
=
=
=
6. 6. 6. 6. 6. 2
3
5 7
10
3
21 30
20 150 21 45 30
130 45 51
85
515
3
x x xmcm x
x x
x
x
x
− = − + =
− = − +− + =
−=
−=
7. 7. 7. 7. 7. x
mcm
x
x
x
−− = =
− − =− =
=
4
35 0 3
4 15 0
19 0
19
8. 8. 8. 8. 8. xx x
mcm
x x x
x x
x
x
− + = =
− − =− =− =
= −
2
12
5
212
12 2 30
11 30 2
19 2
2
19
9. 9. 9. 9. 9. xx
x mcm
x x x
x x
x
x
x
−−
= − =
− + = −− − = − −
− = −
= −−
=
5 1
34
3
515
15 25 5 60 9
10 60 9 5
70 14
14
70
1
5
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )
108 3
42 3 4
40 8 3 8 340 8 8 24 3
40 16 2727
2498
xx
x mcm
x x xx x x
x x
x
x
−−
= − =
− + = −− = − −
− = −
=−
= −
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( ) ( )
x x xmcm
x x xx x x
x xx
x
−−
−=
−=
− − − = −− − + = −
− = − −− = −
=
23
34
45
60
20 2 15 3 12 420 40 15 45 12 48
5 12 48 57 53
537
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
mcm
x x x xx x x x
x xx x
x
x
−−
−−
−= −
−
=
− − − − − = − −− − + − + = − +
− + = − +− + = −
=
=
12
23
34
55
60
30 1 20 2 15 3 12 530 30 20 40 15 45 12 60
5 55 12 605 12 60 55
7 557
13. 13. 13. 13. 13. ( )( ) ( )
x xx
mcm
x x xx x x
xx
x
x
− − −−
= =
− − − − =− + − + =
− + =− =
=−
= −
5 17 5
101 10
10 10 5 1 7 5 1010 50 10 7 5 10
35 3 1035 7
735
15
14. 14. 14. 14. 14. ( )
( ) ( )
25 6
413
5 5
12
24 3 5 6 4 5 6024 15 18 4 20 60
13 2 6013 60 2
273
xx
x x
mcm
x x x xx x x x
x xx x
x
−−
+ − = −
=
− − + − = −− + + − = −
− = −+ =
=
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( )4
10 16
416 3
412
48 2 10 1 48 3 16 348 20 2 48 48 9
20 46 920 55
5520
114
−+
= −+
=
− + = − +− − = − −
− + = −− = −
=−−
=
xx
xmcm
x x xx x x
xx
x
x
16. 16. 16. 16. 16. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
12
1 313
316
6
3 1 6 3 2 3 13 3 6 18 2 6 1
3 15 2 75 8
85
x x x mcm
x x xx x x
x xx
x
− − − = + + =
− − − = + +− − + = + +
− + = +− = −
=
17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
6 13
11 29
14
5 256
6 1 36
12 6 1 4 11 2 9 5 2 30 6 172 12 44 8 45 18 180 30
17 38 180 30197 8
8197
x xx x mcm
x x x xx x x x
x xx
x
+−
−− − = + =
+ − − − − = ++ − + − + = +
− + = +− = −
=
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
4 13
13
4 113 2
612
3 6
2 4 1 2 4 1 13 2 3 38 2 8 2 13 2 3 9
2 6 58 585
xx
xx mcm
x x x xx x x x
xx
x
+= − −
+− − =
+ = − − + − −+ = − − − − +
= − −= −
− =
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
25
5 13
1010 3
12
265
10
4 5 1 3 10 3 5 2 1220 4 30 9 5 10 12
50 13 5 10 1250 13 5 2
55 1115
x x x mcm
x x xx x x
x xx x
x
x
− + − = − − − =
− + − = − − −− + − = − + −
− = − + −− = − −
=
=
20. 20. 20. 20. 20.
( ) ( ) ( ) ( )
3 12
5 43
28
2 35
110
120
60 3 1 40 5 4 15 2 24 2 3 12180 60 200 160 15 30 48 72 12
35 250 48 8483 166
2
x x x x
mcm
x x x xx x x x
x xxx
−−
+−
+=
−−
=
− − + − + = − −− − − − − = − −
− − = −− =
= −
21. 21. 21. 21. 21.
( ) ( ) ( ) ( )
7 13
5 22
4 34
1 43
12
4 7 1 6 5 2 3 4 3 4 1 4
28 4 30 12 12 9 4 168 30 9 4
17 342
2
2
2 2 2
x xx
x xx
mcm x
x x x x x x
x x x x x xx x
xx
−−
−=
−+
+
=
− − − = − + +
− − + = − + +− = − +
==
22. 22. 22. 22. 22. ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 73
2 45
4 615
7 63
15
5 2 7 6 4 4 6 5 7 6
10 35 6 24 4 6 35 3030 30
30301
2 2 2
2
2
2 2 2 2
3 2 3 3 2
x xx
xx
xx
mcm x
x x x x x x x
x x x x x x xx
x
x
+−
−−
−=
+
=
+ − − − − = +
+ − + − + = +=
=
=
23. 23. 23. 23. 23.
( ) ( )
23
15
34
63
60
8 1 15 68 8 15 90
8 15 90 87 98
987
14
x xmcm
x xx x
x xx
x
x
+
=
−
=
+ = −+ = −
− = − −− = −
=−−
=
24. 24. 24. 24. 24.
( ) ( ) ( )
35
2 16
43
3 24
15
23
15
0
60
6 2 1 20 3 2 4 2 12 012 6 60 40 4 8 12 0
52 26 02652
12
x x x
mcm
x x xx x x
x
x
−
−
+
−
−
+ =
=
− − + − − + =− − − − + + =
− − =
= − = −
25. 25. 25. 25. 25.
( )
103 5
63 2
460 3 5
64712 8
24
4 55 3 94 3220 12 94 312 3 94 220
9 126126
914
1112−
+= −
⇒− −
= − =
− = −− = −
− + = −− = −
=−−
=
xx
x xmcm
x xx x
x xx
x
x
26. 26. 26. 26. 26.
( )
9 2 71 1
2
12
22
9 2 72
22
4114
9 2 72
213
44
36 8 14 2 1336 8 28 14 13
50 36 1349 49
1
34x x
x
x
x xx x
xx x
mcm
x x xx x x
x xxx
− − −
=
++
⇒ − −−
=
++
⇒ − −−
=
+=
− − − = +− − + = +
− = +==
27. 27. 27. 27. 27.
( ) ( ) ( )
38
710
12 516
2 320
4 94
780
0 160
60 112 10 12 5 8 2 3 40 4 9 14 060 112 120 50 16 24 160 360 14 0
84 336 084 336
336844
x x x xmcm
x x x xx x x x
xx
x
x
− −−
−−
++
+ = =
− − − − − + + + =− − + − + + + + =
+ == −
=−
= −
28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( )( ) ( ) ( )
54
317
20 2 124
3468
85 12 20 68 2 1 2 2485 12 240 136 68 2 48
63 308 2 4865 260
26065
4
xx x
xmcm
x x x xx x x x
x xx
x
x
− − − − =+
=
− − − − = +− + − + = +
− + = +− = −
=−−
=
29. 29. 29. 29. 29.
( ) ( )
54
13
22
23
14
1053
204
13
42
23
14
30 53
204
46
23
30 512
12
3 20 2 4 8 30 560 3 8 2 8 30 560 3 7 30
10 303
+ = −
− + −
⇒+
=−
− +
−
⇒+
=−
− +−
=
+ = − − + −+ = − − + −+ = − +
= −= −
x x x
x x x
x x x
mcm
x x xx x xx xxx
30. 30. 30. 30. 30. ( )
( ) ( ) ( )
5 212
49
2236
3 20812
20 318
36
15 2 16 22 108 720 3 8 2 20 315 30 6 108 720 24 3 40 6
16 24 117 784101 808
8
x xx
x xmcm
x x x x xx x x x x
x xxx
++ −
−= − −
−−
−=
+ + − + = − − − − −+ − + = − − + − +
+ = −− = −
=
31. 31. 31. 31. 31.
( ) ( )
32
13
72
62
33
72
6
3 6 2 3 42 318 3 6 2 42 3
12 42 32 30
15
−
− −
= − −
⇒−
−−
= − =
− − − = −− − + = −
− = −==
x xx
x
x x xmcm
x x xx x x
x xxx
32. 32. 32. 32. 32. ( )( )x x x xx
x
x xx x
x x
xmcm
xx
x
+ − − − = −
− −
⇒ − − − = −−
⇒ − =− +
⇒ − =− +
=
− = − +− = −
=
3 354 5
334
954
45
12 34
414
16 60 1520
414
44 1520
20
205 44 15220 44
5
2
2 2
33. 33. 33. 33. 33.
( ) ( )
2 23 1
823
26
14
216 3 1
82 4
1814
72
144 9 13 1 4 2 4 18144 117 9 8 16 18
27 9 8 219 7
719
x xx x
xx x x
mcm
x x xx x x
x xx
x
− −−
=
+
−
⇒ −− +
=+
− =
− + = + −− − = + −
− = −=
=
EJERCICIO 142
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )
35
32 1
0 5 2 1
3 2 1 15 06 3 15 0
6 122
+−
= = −
− + =− + =
= −= −
xmcm x
xx
xx
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( )
24 1
34 1
16 1
2 4 1 3 4 18 2 12 3
4 554
2
x xmcm x
x xx x
x
x
−=
+= −
+ = −+ = −
− = −
=
3. 3. 3. 3. 3. 5
1
1
11
5 1
4
22
x xmcm x
x
x
−=
−= −
= +=
4. 4. 4. 4. 4.
( )
31
11
0 1
3 1 1 03 3 1 0
3 443
22
x xmcm x
xx
x
x
+−
−= = −
− − =− − =
=
=
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( )( ) ( )( )
5 83 4
5 23 4
3 4 3 4
3 4 5 8 5 2 3 4
15 4 32 15 26 826 4 8 32
22 4040222011
2 2
xx
xx
mcm x x
x x x x
x x x xx x
x
x
x
++
=+−
= + −
− + = + +
+ − = + +− + = +
− =
= −
= −
6. 6. 6. 6. 6.
( )
10 5 85 9 19
2 5 9 19
10 5 8 2 5 9 19
10 5 8 10 18 385 18 38 8
23 464623
2
2
22
2 2
2 2
x xx x
mcm x x
x x x x
x x x xx x
x
x
x
− ++ −
= = + −
− + = + −
− + = + −− − = − −
− = −
=−−
=
7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )
13 3
14 4
112 12
12 1
4 1 3 1 14 4 3 3 1
7 06 0
0
2
x x xmcm x
x x xx x x
x xxx
−+
+=
−= −
+ + − = ++ + − = +
− ===
8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( ) ( )
x x xx
mcm x
x x x x x
x x x x xx xxx
48
4 574
4 4 5
4 5 4 8 7 4 5
4 5 4 32 28 3527 28 35
3535
2
2
2 2
−−−
= = −
− − − = −
− − + = −= −
− = −=
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )( ) ( ) ( )
2 910
2 32 1 5
10 2 1
2 9 2 1 10 2 3 2 2 1
4 20 9 20 30 4 221 2212
10
2 2
12
x xx
xmcm x
x x x x x
x x x x xx
x
x
−+
−−
= = −
− − + − = −
− + + − = −− = −−−
=
=
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )( ) ( )( )
3 11
18 12
2 1
2 9 6 1 1 18 1
18 12 2 18 19 112 19 1 2
7 117
2
2
2 2
xx
xmcm x
x x x x
x x x xx x
x
x
−−
=−
= −
− + = − −
− + = − +− + = −
= −
= −
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )( )( ) ( )( )
2 75 2
2 15 4
0 5 2 5 4
2 7 5 4 2 1 5 2 0
10 27 28 10 2 028 26
1314
2 2
xx
xx
mcm x x
x x x x
x x x xx
x
++
−−−
= = + −
+ − − − + =
+ − − + + ==
=
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )
5 2 7 37 5 1
1 0 7 5 1
5 2 7 3 7 5 1 0
35 6 35 7 08 6
34
2 2
x xx x
mcm x x
x x x x
x x x xx
x
− +−
− = = −
− + − − =
+ − − + ==
=
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )
34
23
87 12
7 12
3 3 2 4 83 9 2 8 8
3 2 99
22
x x x xmcm x x
x xx x
x xx
−=
−+
− += − +
− = − +− = − +
− ==
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
6 118
3 25 6
1 39
18 5 6
6 1 5 6 54 2 2 1 3 5 6
30 41 6 54 108 26 12 3095 102 26 12
69 9090691
2 2
723
x xx
xmcm x
x x x x x
x x x x xx x
x
x
x
−−
+−
=+
= −
− − − + = + −
− + − − = − − +− − = − −
− =
= −
= −
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( )
51
31
61
0 1
5 1 3 1 6 05 5 3 3 6 0
8 4 08 4
12
22
+−
−−
−= = −
− − + − =− − − − =
− − =− =
= −
x x xmcm x
x xx x
xx
x
16. 16. 16. 16. 16.
( )( ) ( )( )
1 21 3
1 21 3
3 141 9
1 9
1 2 1 3 1 2 1 3 3 14
1 6 1 6 3 142 3 14
14
22
2 2
++
−−−
= −−
−= −
+ − − − + = − +
− − − − + = − +− = − +
=
xx
xx
xx
mcm x
x x x x x
x x x x xx xx
17. 17. 17. 17. 17.
( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
3 17 12
12 6
76 24
7 12 3 4
2 6 2 3
6 24 6 4 6 3 4
6 3 1 3 4 7 318 6 3 12 7 2118 6 10 33
8 39398
4
2
2
78
xx x x x
x x x x
x x
x x mcm x x
x x xx x xx x
x
x
x
−+ +
=+
++
⇒ + + = + +
⇒ + = +
⇒ + = + = + +
− = + + +− = + + +− = +
=
=
=
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1
1
32 2
32 2
2 1 1
2 1 3 1 1 3 1
2 2 3 3 3 6 32 5 6 3
4 82
22
2
2 2
x x xmcm x x
x x x x
x x x xx x
xx
−−
−= −
+= − +
+ − − + = − −
+ − + = − + −+ = −
− = −=
19. 19. 19. 19. 19. ( )( )( ) ( ) ( )
5 1315
4 55 15 3
15 3
5 13 3 3 4 5 5 3
5 2 39 12 15 5 1514 54 15
54
2 2
x xx
xmcm x
x x x x x
x x x x xx x
x
+−
+−
= = −
+ − − + = −
− − − − = −− − = −
=
20. 20. 20. 20. 20. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
2 12 1
43 2
23
3 2 1 3 2
3 2 1 3 2 3 4 2 1 2 2 1 3 2
18 21 6 6 21 12 12 2 418 2 422 211
2 2 2
xx
xx
mcm x x
x x x x x x
x x x x x xxx
x
−+
−−−
= = + −
− − − − + = + −
− + − + + = − −= − −= −
− =
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
4 32 5
3 83 7
1 2 5 3 7
4 3 3 7 3 8 2 5 2 5 3 7
12 19 21 6 40 6 29 3520 19 29 35
9 16169
1
2 2 2
79
xx
xx
mcm x x
x x x x x x
x x x x x xx x
x
x
x
+−
−+−
= = − −
+ − − + − = − −
− − − − + = − +− + = − +
=
=
=
22. 22. 22. 22. 22. ( )( ) ( )( ) ( )
10 715 3
3 812
5 420 4
12 5 1
4 10 7 3 8 5 1 3 5 4
40 28 15 43 8 15 1240 28 43 20
3 4816
2
2
2 2
xx
x xx
mcm x
x x x x
x x x xx x
xx
−+
=+
−−+
= +
− = + + − −
− = + + − +− = +− =
= −
23. 23. 23. 23. 23. ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )
4 15
22 7
8 310
1 10 2 7
2 4 1 2 7 10 2 8 3 2 7 13 2 7
16 60 14 10 20 16 62 21 26 9150 6 88 112
38 11811838
3
310
2 2
219
x xx
xmcm x
x x x x x x
x x x x x xx x
x
x
x
−+
−−
=−
− = −
− − + − = − − − −
− + + − = − + − +− − = − +
=
=
=
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
11
22
32 2
22 4
11
22
32 2
73
2 41
12
23
2 27
6 12
6 1 2
6 2 12 1 9 2 7 16 12 12 12 9 18 7 7
6 2 118 11
118
1
13
38
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x
x x x xx x x x
x xx
x
−−
−=
−−
−
−−
−=
−−
−
−−
−=
−−
−
= − −
− − − = − − −− − + = − − +
− = −− = −
=−−
=
25. 25. 25. 25. 25.
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
13
25 20
13 12
23
15 4 3
15 4 6 315 3
230 4
15 60 6 1815 45
230 120
2 9 78 15 45 2 30 12018 156 15 45 60 24018 156 45 285
63 4417
12
x x x x
mcm x x
x xx
x
x xx
x
x x xx x xx x
xx
+−
−=
−−
+
= − +
− − + =+
− −
− − − =+
− −
− = + − −− = + − +− = − +
==
26. 26. 26. 26. 26.
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
16 2
45 5
1012 4
310 10
20 1 3
10 1 16 3 50 1 6 310 10 48 16 50 50 18 6
6 38 44 3250 70
751 2
5
−−
−=
−−
−
= − −
− − − = − − −− − + = − − +
− = − +=
=
=
x x x x
mcm x x
x x x xx x x x
x xx
x
x
27. 27. 27. 27. 27. ( )( ) ( )
23
69 1
23 1
3 9 1
2 9 1 18 6 3 1
18 2 18 18 62 18 68 1849
2
22
2 2
2 2
−−
=−
= −
− − = +
− − = +− = +− =
− =
xx x
mcm x
x x x
x x xxx
x
28. 28. 28. 28. 28. ( )( ) ( ) ( )( )
5 275 3
16 5 3
5 27 5 3 5 3 6
5 27 5 3 5 27 185 3 18
13 33
13
2
2
3 2 3 2
x xx x
x mcm x x
x x x x x x x
x x x x x xx x
x
x
−+
− = − = +
− − + = + −
− − − = − −− − = −
=
=
29. 29. 29. 29. 29.
( ) ( )
4 14 1
616 1
4 14 1
16 1
4 1 6 4 1
16 8 1 6 16 8 116 5 1
16 638
22
2 2
2 2
xx x
xx
mcm x
x x
x x x xx
x
x
+−
−−
=−+
= −
+ − = −
+ + − = − +− =
=
=
30. 30. 30. 30. 30. ( )
( )( ) ( ) ( )
311
214
5 13 4
3 4
3 1 4 2 1 5 1
3 15 12 2 4 2 5 511 14 5
6 1473
2
2
2
2
2 2 2
13
xx
xx
x xx x
mcm x x
x x x x x
x x x x x xx x
x
x
x
−+
+
+−
=
−− −
= − −
− − + + = −
− + + + + = −− + = −
− = −
=−−
=
31. 31. 31. 31. 31.
( )( )( )( ) ( )
222
32
2 378
2 6
2 2 3
2 2 2 3 3 2 78
4 14 12 3 12 12 7826 78
3
2
2
2 2
2 2 2
xx
xx
xx x
mcm x x
x x x x
x x x x xxx
+−
−
−+
=
+− −
= − +
+ + − − = +
+ + − + − = +==
32. 32. 32. 32. 32.
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )
13 28
112 35
320
3 28 7 4
12 35 7 5
20 5 4
7 5 4
5 4 3 75 4 3 21
9 3 2112 34
2 2 2
2
2
2
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x xx x x
xx
x
+ −−
+ +=
+ −
⇒ + − = + −
⇒ + + = + +
⇒ + − = + −
= + + −
+ − − = ++ − + = +
= +− =− =
33. 33. 33. 33. 33.
( )( )( )( )
( )( )( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
xx x
xx
xx x
x x x x
x x x
x x x x
mcm x x x x x
x x x x x x
x x x x x xx x
xx
−+ +
=−
−−
−− −
⇒ + + = + +
⇒ − = + −
⇒ − − = − +
= + − + = − +
− − = − + − − +
− + = − − − − +− + = − +
− = −
28 7
2 549
26 7
8 7 7 1
49 7 7
6 7 7 1
7 7 1 49 1
2 7 2 5 1 2 7
9 14 2 3 5 5 149 14 8 9
5
2 2 2
2
2
2
2
2 2 2
= 5
34. 34. 34. 34. 34.
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
4 515 7 2
2 312 7 10
2 520 29 5
0
15 7 2 3 2 5 1
12 7 10 4 5 3 2
20 29 5 4 5 5 1
3 2 5 1 4 5
4 5 4 5 2 3 5 1 2 5 3 2 0
16 25 10 13 3 6
2 2 2
2
2
2
2 2
xx x
xx x
xx x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x x x
x x x
++ −
−+
− −−
−− +
=
⇒ + − = + −
⇒ − − = − +
⇒ − + = − −
= + − −
+ − − + − − − + =
− − − + − x xx
xx
2 11 10 02 12 0
2 126
+ + =− − =
− == −
35. 35. 35. 35. 35. ( )
( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
72 1
34
21
3 12 9 4
2 1 4 1
7 4 1 3 2 1 1 2 2 1 4 3 1
7 35 28 6 9 3 4 18 8 3 6 326 25 12 5
14 20107
1
2
2
2 2 2 2
37
x x xx
x x
mcm x x x
x x x x x x x
x x x x x x x xx x
x
x
x
+−
+=
+−
++ +
= + + +
+ + − + + = + + − +
+ + − − − = + + − − −+ = +
= −
= −
= −
36. 36. 36. 36. 36. ( )( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
x
xxx
xx x
mcm x x
x x x x x x
x x x x x x x xx
x
x
+
−=
−+
++
− −
= − +
+ + = − − + + −
+ + + = − + − + − −= − −= −
− =
3
3
11
2 7 12 3
3 1
3 1 3 1 2 7 1 3
7 15 9 7 15 9 14 40 69 15 40
24 4035
2
2 2
2
2 2
3 2 3 2 2
37. 37. 37. 37. 37. ( )
( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
xx
xx
x
xmcm x x
x x x x x x x
x x x x x x x xx x
x
x
x
−+
−+−
= −+
+= + −
+ − − − + + = − + −
− − + − − − − = − − +− + = − +
− =
= −
= −
45
12
12 3
55 2
5 2 4 5 1 12 3 2
22 40 11 35 25 12 12 7257 15 12 72
45 5757451
22
2
3 2 3 2 2
415
38. 38. 38. 38. 38. ( )( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
xx
xx
xx
xx
mcm x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x xx
−−
−−−
=++
−++
= − − + +
− + + − − − + = + − − − − − +
− − + + − + + − − = − − + + − + + − −+ =
34
23
21
32
4 3 1 2
3 1 2 4 4 1 2 4 3 9 4 1
3 7 15 18 3 8 12 16 3 12 20 48 3 13 27 363 2
2 2 2 2
4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2
− +==
7 1210 10
1
xxx
39. 39. 39. 39. 39. ( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )
xx
xx
xx
xx
mcm x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x xx
++
−+−
=−−
−+
= + − − +
+ − − + − − + + = − + − + − + − −
+ − − + − − − + + = − − + + − + + −− + =
62
13
51 4
2 3 1 4
6 3 1 4 1 2 4 5 2 3 4 2 3 1
6 13 66 72 6 7 6 8 2 25 26 120 2 5 660 80
2
4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2
20 12080 40
12
xx
x
+− =
= −EJERCICIO 1431. 1. 1. 1. 1. ( )a x
xa
xa
xa
a
+ =
+ =
− + + = −
=−
1 1
11
1 11
1
1
2. 2. 2. 2. 2.
( )
ax bxax bx
x a b
xa b
− = −− = −
− =
=−
4 24 2
22
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( )( )
ax b a bxax bx a b
x a b a b a bx a b
+ = −
+ = −
+ = + −= −
2 2
2 2
4. 4. 4. 4. 4. ( )
( )( ) ( )
3 2 9
6 3 9
3 9 6
3 33
2
2
2
2
a x ax a
a x ax a
x a a a
x a ax a
− + = +
− + = +
− = + −
− = −= −
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( )a x b x b a b a xax ba xb ax ab bx
xb bx ab abbx ab
xabb
x a
+ + − = −+ + − = −
+ = −=
=
=
2 24 2
2 43 3
33
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )x a x a a a x
x ax a x ax a a axax ax a
ax a
xaa
xa
− − + = −
− + − − − = −− + =
=
=
=
2 2
2 2 2 2 2
2
2
2
7
2 2 74 7
3
3
3
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )
( ) ( )( )
ax a a b x ab
ax a ab x abax x a
x a a ax a
− + = − − +
− − = − − −
+ = −
+ = + −= −
1
11
1 1 11
2
2
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )
( )
a a x b x b b x b
a a x b x b b x ba x b x a ba x b x a b
x a b a b
xa ba b
2 2 2
3 2 2 3 2 3
2 2 3 3
2 2 3 3
2 2 3 3
3 3
2 2
2 22 2
2 2
22
− − − = −
− − + = −
− − = − −
+ = +
+ = +
=++
9. 9. 9. 9. 9.
( )( ) ( )( ) ( )
( )
x a x b x b x a b a a
x bx ax ab x ax bx ab ab b abx ax ab ab b a
x a b a bx
+ − − + − = − +
− + − − + − + = − +− + + = − +
− = −=
2 2 3
2 2 2 32 3 2 3
3 2 3 21
2 2
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )
( )
x a a x a a
x a a ax x a aa ax a
a aa
x
ax
2 2 2
2 2 2 2 2
2
1
2
2
12
12
+ = + − −
+ = + + − +
= +
−=
−=
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
m n x m n m mx a
mn mx mn m m x ammx m x am m
xm m m a
xam
− − − = −
− − + = −− − = − −
− + = − +
=++
1
1 111
2
2
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )
( )( ) ( )
x a ax a x ax a ax a x a
x a ax a xx a ax x
a ax x
a x ax
− + = − + − −− + = − − − +
− = − − ++ − = −
− = −
− = −=
2 2 3 2 52 2 3 3 2 10
2 5 3 84 8 2 3
4 2 2 4
4 2 2 22
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( )
( ) ( )( )( )( )
( )
a x a bx b b a x
ax a bx b ab bxax bx b ab a
x a b b a b a
xa b b a
a b
x b ax a b
− − = − −
− − = − −
− = − +
− = − −
= −− −
−
= − −= −
2 2
2 22
2 2
2 2
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )( )( )( )( ) ( )
ax bx x a b x b x a
x a b x ax bx a ab b x ax bx ab
x a b a ab b
x a b a bx a b
+ = + − − − +
+ = + − + − + − − + +
+ = + +
+ = += +
2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2 4
2
15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x a b a a x x a b
ax bx a a x ax bxax x a a
x a a
xa
+ − − − = − − −
+ − − + = − − +
− = − +
− = −
=−
3 2 2 1
3 2 2 22 2 2 1
2 1 11
2
2
2
2
16. 16. 16. 16. 16. ( )( ) ( ) ( )m x m x x m m x m
m mx x x mx m mx mmx m
xmm
xm
+ + = − + −
+ + = − + + −= −
= −
= −
4 3 2 15
3 13 4 4 4 152 3
3232
2
2 2 2 2 2
2
2
17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
( )
a a x a a b b x b b a a
a a x a a b b x b b a aa x b x b a
x b a b a
x b a a b b a
x a b
xa b
2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2
2 2
2 2
1 1 1 0
00
0
11
− − + − − − − + + =
− − − − + − + + + =
− + − + =
− − − =
− + = −
+ =
=+
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
ax b bx a a x x b a a b b
a x abx b abx bx a ax bx a x a b b
ax b b b
xba
− = − − − − + + −
− + = + − − − + + + −
− = −
=
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
2 2
1 3 1 3
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
x b x a a b
x bx b x ax a a ab bbx ax a ab
x b a a a b
x a a bx ax a
+ − − − + =
+ + − + − − − − =+ − − =
+ − + =
− + ===
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
0
2 2 2 02 2 2 2 0
2 2 0
2 02 2
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )x m m x m x
x x m xm m m x x m xm m xx xm x m
xm m
xmm
x m
+ − = − − +
+ + + − = − + − + ++ − =
=
=
=
3 3 3 3
3 2 2 3 3 3 2 2 3 3
3 2 3 3
2 3
3
2
12 2
3 3 12 3 3 22 6 2 12
6 12126
2
EJERCICIO 144
1. 1. 1. 1. 1. m
x m mmcm mx
m x x
m x
mx
− = =
− =
=
=
1 2
2
3
3
2
2
2
2. 2. 2. 2. 2. a
x
b a
xmcm x
a bx a
bx a
xa
b
+ = =
+ ==
=
2
42
2 8
6
6
3. 3. 3. 3. 3.
( )
( )
xa
xa a
mcm a
ax x aax x a
x a a
xaa
x
21 1
22
2 12 2
2 222
1
22−
−= =
− − =− + =
+ = +
=++
=
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )
mx
nm
nx
mcm mx
m nx mn mxm mn mx nx
m m n x m nm x
+ = + =
+ = +− = −
− = −=
12
2
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )
( )( ) ( )
aa
ax
mcm ax
x a ax a a
ax x ax a a
ax x a a
x a a ax a
−+ =
−
=
− + = −
− + = −
− = −
− = −=
1 12
3 2
2
2 1 2 3 2
2 2 6 4
3 2 2 3 2
3 2 2 3 22
2
6. 6. 6. 6. 6. ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
a xa
b xb
a bab
mcm ab
b a x a b x a b
ab bx ab ax a b
x a b a bx
−−
−=
−
=
− − − = −
− − + = −
− = −=
2
2
2
22
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )
( ) ( )
x aa
a xab a
mcm a b
b x a a a x ab
bx ab a ax abbx ax ab a
x a b a a bx a
−−
−= − =
− − − = −
− − + = −
+ = +
+ = +=
3 2 1
3 2
3 22 2
22
22
2
2
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )
x mm
x nn
m nmn
mcm mn
n x m m x n m n mn
xn mn mx mn m mn n
x n m m n
x n m n m m n
x m nx n m
+−
+=
+− =
+ − + = + −
+ − − = − +
− = −
− = − − −
= − −= −
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )
( ) ( )
x ba
x ab
mcm ab
b x b ab a x a
bx b ab ax abx ax a ab b
x a b a bx a b
−= −
−=
− = − −
− = − +
+ = + +
+ = += +
2
2
22
2 2
2 2
2
10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )
( )
42
332
2 2
8 6 2 3 28 12 6 6 3
8 6 3
3 28
xa b
mcm a b
x a b a bx a b a b
x a b
xa b
+− = − = +
− + = − +− − = − −
= +
=+
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
2 3 2 64
4
2 3 4 2 2 6
2 11 12 12 10 244
2 2 2 2
2
a xx a
x ax a
mcm x a x a
a x a x x a x a
a ax x x ax aax ax a
++
=−
+= + +
+ + = + −
+ + = + −
= −= −
12. 12. 12. 12. 12. ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
24
24
4 4
8 2 4
8 8 8 8 8 2 46 12 9
6 2 93
2 2
2 2
x cx b
x cx b
mcm x b x b
x c x b x c x b
x xb xc bc x xb xc bcxb xc bc
x b c bc
xbc
b c
−−
=+−
= − −
− − = + −
− − + = − + −− − = −
− + = −
=+
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )
1 1 1
1 1
2
2
nmx mn x
mcm xmn
xm m n x mnxm x m n mn
x m mn mx mn
− = − =
− = −− = −
− = −=
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
x b x ax a a b x
mcm x a a b x
x b x a x a a b x
x ax bx ab bx x a abax ab a
ax a b a
x b a
− +− − +
= = − − +
− + = − − +
+ − − = − + − += −
= −
= −
2 22
2 2
2 2 2 2
2 4 2 4 2 2 46 2
2 3
2 3
2 2 2
2
15. 15. 15. 15. 15. ( )( )
( ) ( )( )
x mx n
n xm x
mcm m x x n
x m x n x n
x mx m x nmx m n
xm n
m
+−
=++
= + −
+ = + −
+ + = −
= − −
= −+
2
2 2 2 2
2 2
2 2
22
2
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )
( )( ) ( )( )
x x b x bx b
x bx b mcm x b
x x b x b x b x bx b
x x b b x x bx b x bb x b x b
xb
2 33
2 3
2 3 3 2
2 5 3 2 5 2 33 2 3
35
2 2
2 2
3 2 2 3 2 3
2 2 3
2
+ ++
= − + = +
+ + = + − +
+ + = + − +
+ =
=
17. 17. 17. 17. 17.
( ) ( ) ( )
( )
34
13
5 1312
34
13
5 1312
3 34 3
5 1312
12
3 3 3 4 5 13
9 9 4 4 5 135 13 5 13
5 13
2
2
xb
xa
xb
xa
a ba
ax bxab
ax bxab
a ba
ax bxab
ax bxab
a ba
mcm ab
ax bx ax bx b a b
ax bx ax bx ab bax bx ab b
x a b
+
= −
+
+
⇒+
=
−
+
+
⇒+
=−
++
=
+ = − + +
+ = − + ++ = +
+ = ( )b a bx b
5 13+=
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
x a x bx a
ab bx a
mcm x a
x a x a x b ab b
x ax a x bx b ab bax bx a ab
x a b a a b
xa
+=
−−
+−−
= −
+ − = − + −
+ − = − + + −
+ = +
+ = +
=
3 33 39 3
3 3
3 3 3 3
3 2 3 6 3 3 32 6 3
2 3 3
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
19. 19. 19. 19. 19. ( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
53
53
3 3
3 5 5 3
15 2 15 22 2
2
2
2 2 2 2
2 2
x ax b
x bx a
mcm x b x a
x a x a x b x b
x ax a x bx bax bx a b
x a b a b a b
xb a
++
=−−
= + −
− + = − +
− − = + −− − = −
− + = + −
=−
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
x ax a
x ax a
a x abx a
mcm x a x a
x a x a a x ab
x ax a x ax a ax a bax ax a bax a b
xab
+−
−−+
=+
−= − +
+ − − = +
+ + − + − = += +
=
=
2
2
2 2 24 22
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
2
21. 21. 21. 21. 21.
( )( ) ( )
( )( )
2 34
211
1616
2 3 4 2 16 11
2 11 12 2 32 1111 44 11
11 11 44
11 11 1 4
1 44 1
2 22 2
2 2
2 2 2 2
2
2
x ax a
ax a
mcm x a
x a x a x a a
x ax a x a aax a a
ax a a
ax a a
x ax a
−+
− =−
= −
− − − − =
− + − + =
− + =− = −
− = −
= − −= −
22. 22. 22. 22. 22. ( )
( )
( )
1
22
121
2
2
2
2 2
2 2 2
2
x ax
a axx a
amcm a x a
a x x a
a x x ax aa a ax
a aa
x
ax
++
+=
+= +
+ = +
+ = + +
− =
−=
−=
23. 23. 23. 23. 23. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2 3 6 2
2 3 6 2
2 2 3 3 6 122 3 4 9
2 3 2 3 2 32 3
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
a xb
b xa
a bab
mcm ab
a a x b b x a b
a ax b bx a bax bx a b
x a b a b a bx a b
+−
+=
−=
+ − + = −
+ − − = −
− = −
− = − += +
24. 24. 24. 24. 24. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
m n x m n m x nn
mn m n mcm n
nm n x n m n m x n mn m n
mn mnx m n mn mnx n x n mn m nmnx n x mn m n n
nx n m n n mn m
x n m n mx n m
− − − + = − − =
− − − + = − −
− − + − + = − +
− + = − + +
− = − +
− = −= −
2 2 2
3 2 2
2 2 2 2 3 2 2
2 2 2 3
2 2
2
12 3
2 3
2 32 4 4
2 4 4
2 22
EJERCICIO 1451. 1. 1. 1. 1.
( )
x N buscado
xx
x
x x xx xx
x
x
→
− = −
− = −= −
− = −
=−−
=
º38
2 11
8 3 8 2 115 16 88
11 888811
8
2. 2. 2. 2. 2.
( )
x N buscado
xx
x
x x xx xx
x
x
→
+ = −
+ = −= −
− = −
=−−
=
º56
3 14
6 5 6 3 1411 18 84
7 84847
12
3. 3. 3. 3. 3.
( )
x N que se resta
xx
x xx xxx
→
− = +
− = +− = +− = −
=
º
22 1165
5 22 55 6110 5 55 6
11 555
4. 4. 4. 4. 4. x N que tienediferencia
x x mcm
x x
x
x
→
− = =
− ===
º
5
4
7
830 8
10 7 240
3 240
80
5. 5. 5. 5. 5. x N buscado
x x x mcm
x x x
x
x
→
− = − =
− = −− = −
=
º
173
5
1
630
30 510 18 5
510 17
30
6. 6. 6. 6. 6. x N buscadox
x x x
xx
xmcm
x x xxx
→
+ − = −
⇒ + − = =
+ − ===
º
..
538
49 216
112
538
496
120
24 45 5 880 2049 5 880
120
7. 7. 7. 7. 7. x Edad de Ax
Edad de B
xx x
mcm
x x xxx años Edad de A
años Edad de B
→
→
+ − =
=
+ − === →
⇒⋅
= = →
35
35
4 235
5
5 3 20 62 20
103 10
5305
6
8. 8. 8. 8. 8. x Lo que tiene Ax
Lo que tiene B
xx
mcm
x xx
x Tiene A
Tiene B
→
→
+ =
=
+ =− = −
= →
⇒⋅
= →
78
90 278
8
8 720 146 720
1207 120
8105
$
$
9. 9. 9. 9. 9. x Long pieza
xx
mcm
x x
x
x m
→
− = =
− ===
.
3
540 5
5 3 200
2 200
100
10. 10. 10. 10. 10. x Lo que tenia
x x x mcm
x x xxx bs
→
− +
= =
− − ===
13
18
39 24
24 8 3 93613 936
72 .11. 11. 11. 11. 11. x N buscado
xx
mcm
x x
x
x
→
− = =
− ===
º
3 483
3
9 144
8 144
18
12. 12. 12. 12. 12. x N buscado
xx
mcm
x x
x
x
→
− = + =
− = +==
º
4 192
30 2
8 38 60
7 98
14
13. 13. 13. 13. 13. x N buscado
xx mcm
x x
x
x
→
− = − =
− = −− = −
=
º
802
10 2
160 2 20
3 180
60
14. 14. 14. 14. 14. x N buscado
x xmcm
x x
x
x
x
→
− = =
− ==
=
=
º
7
82
4
540
35 80 32
3 80
80
3
26 23
15. 15. 15. 15. 15. x Ancho del buque
x
x
x
x
Pies x
→
− =
=
=
=
=
800 7448
9
568
9504 8
504
863
16. 16. 16. 16. 16.
( ) ( ) ( )( )
15 25 2
25 15 2 0
15 15 4 25 22 25
15 225 20050
15 2550
15 550
2050
25
15 550
1050
15
2
2
2
1
2
x xx x
x
x
x
x
x
= +
− + =
=± −
=± −
=±
=+
= =
=−
= =
17. 17. 17. 17. 17.
( ) ( ) ( )( )
8 2 3 0
2 2 4 8 32 8
2 4 9616
2 10016
2 1016
2 1016
1216
34
2 1016
816
12
2
2
1
2
x x
x
x
x
x
x
x
− − =
=± − −
=± +
=±
=±
=+
= =
=−
=−
= −
18. 18. 18. 18. 18.
( ) ( )( )( )
105 22 105 0
1 1 4 2 1052 2
1 1 8404
1 8414
1 294
1 294
284
7
1 294
304
7
2
2
2
1
212
= +
+ − =
=− ± − −
=− ± +
=− ±
=− ±
=− +
= =
=− −
=−
= −
x xx x
x
x
x
x
x
x
EJERCICIO 266
1. 1. 1. 1. 1. ( )
( ) ( )( )( )
x x x
x x xx x x
x x
x
x
x
x
x
+ = +
+ = +
+ − − =
− − =
=± − − −
=± +
=±
=+
= =
=−
=−
= −
3 5 3
3 5 33 5 3 0
2 3 0
2 2 4 1 32 1
2 4 122
2 42
2 42
62
3
2 42
22
1
2
2
2
2
1
2
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
3 3 2 4 4
9 6 169 22 0
9 9 4 1 222 1
9 1692
9 132
42
2
9 132
222
11
2
2
2
1
2
x x x
x xx x
x
x
x
x
− = + −
− = − ++ − =
=− ± − −
=±
=− +
= =
=− −
=−
= −
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
9 1 3 5 3 2
9 1 3 15 69 1 2 9
0 2 8 10
8 8 4 2 102 2
8 64 804
8 124
8 124
204
5
8 124
44
1
2
2 2
2
2
2
1
2
x x x x
x x x xx x x
x x
x
x
x
x
x
+ = − − − +
+ = − − + ++ = + −
= − −
=± − − −
=± +
=±
=+
= =
=−
=−
= −
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2 3 5 23
4 12 9 10 25 23 0
3 22 7 0
22 22 4 3 72 3
22 4006
22 206
22 206
426
7
22 206
26
13
2 2
2 2
2
2
1
2
x x
x x x xx x
x
x
x
x
x
− − + = −
− + − − − + =− + =
=± −
=±
=±
=+
= =
=−
= =
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )
( ) ( )( )( )
25 2 7 81
25 100 100 14 49 8124 114 132 0
4 19 22 0
19 19 4 4 222 4
19 361 3528
19 38
19 38
168
2
19 38
228
2
2 2
2 2
2
2
2
1
234
x x
x x x xx x
x x
x
x
x
x
x
+ = − −
+ + = − + −+ + =
+ + =
=− ± −
=− ± −
=− ±
=− +
=−
= −
=− −
=−
= −
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
3 2 6 23 3
3 6 6 23 693 30 75 0
10 25 0
10 10 4 1 252 1
10 100 1002
102
5
2
2
2
2
1 2
x x x x
x x x xx xx x
x
x
x x
− − − = −
− − + = −
− + =
− + =
=± − −
=± −
= = =
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
7 3 5 1 5 2
7 21 5 5 5 107 16 5 4 10
17 16 0
17 17 4 1 16
2 1
17 2252
17 152
17 152
22
1
17 152
322
16
2 2
2 2 2
2 2
2
2
1
2
x x x x x
x x x x xx x x x
x x
x
x
x
x
x
− − − = − +
− − + = − −
− − = − −
− + − =
=− ± − − −
−
=− ±
−
=− ±
−
=− +
−=
−−
=
=− −
−=
−−
=
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
x x x
x x x x x xx x x
x xx x
x
x
x
x
− − − = − −
− + − + − = − + −
− = − −
− − =
− − =
=± − − −
=±
=+
= =
=−
=−
= −
5 6 2 3 118
10 25 12 36 4 12 9 1182 11 4 12 109
4 14 98 02 7 49 0
7 7 4 2 492 2
7 4414
7 214
284
7
7 214
144
3
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
1
212
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( )
( ) ( )( )( )
5 2 3 1 60 0
25 20 4 9 6 1 60 015 26 57 0
26 26 4 15 572 15
26 676 3 42030
26 6430
26 6430
9030
3
26 6430
3830
1
2 2 2
2 2 2
2
2
1
24
15
x x x
x x x x xx x
x
x
x
x
x
− − + − − =
− + − − − − − =− − =
=± − − −
=± +
=±
=+
= =
=−
=−
= −
.
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )
( ) ( )( )( )
x x
x x x x x xx x
x x
x
x
x
x
x
+ − − =
+ + + − + − + − =
+ − =
− − + =
=± − − −
−
=±−
=±−
=+−
=−
= −
=−−
=−−
=
4 3 343
12 48 64 9 27 27 343 0
21 21 252 012 0
1 1 4 1 12
2 1
1 492
1 72
1 72
82
4
1 72
62
3
3 3
3 2 3 2
2
2
2
1
2
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
x x x x
x x x x x x x xx x
x
x
x
x
+ − − = + +
+ + + − + − + = + +
+ + =
=− ± −
=− ± −
=− +
=−
= −
=− −
=−
= −
2 1 3 4 8
6 12 8 3 3 1 3 4 86 5 1 0
5 5 4 6 12 6
5 25 2412
5 112
412
13
5 112
612
12
3 3
3 2 3 2 2
2
2
1
2
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )( )
5 4 3 5 2 1 20 2 27
25 40 16 6 7 5 20 40 2719 47 21 20 40 27
7 6 0
7 7 4 1 6
2 1
7 49 242
7 252
7 52
122
6
7 52
22
1
2
2 2 2
2 2
2
2
1
2
x x x x x
x x x x x xx x x x
x x
x
x
x
x
x
− − + − = − +
− + − − + = − +
− + = − +
− − − =
=± − − − −
−
=± −
−
=±−
=+
−=
−= −
=−
−=
−= −
EJERCICIO 267
1. 1. 1. 1. 1.
( ) ( )x x
x
x
x
x
x
2
2
1
2
3 2 0
32
34
2
32
94
2
32
14
32
12
42
2
32
12
22
1
− + =
= −−
±−
−
= ± −
= ±
= + = =
= − = =
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( ) ( )
x x
x
xxxx
2
2
1
2
2 15 0
22
24
15
1 1 151 41 4 51 4 3
− − =
= −−
±−
− −
= ± += ±= + == − = −
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( )
x xx x
x
x
x
x
x
2
2
2
1
2
19 8819 88 0
192
194
88
192
3614
88
192
94
192
32
222
11
192
32
162
8
= −− + =
= −−
±−
−
= ± −
= ±
= + = =
= − = =
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )
x xx x
x
x
xxx
2
2
2
1
2
4 2854 285 0
42
44
285
2 4 285
2 2892 17 152 17 19
+ =+ − =
= − ± − −
= − ± +
= − ±= − + == − − = −
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )
( )
5 1 2 2 7 8
5 5 4 14 8 09 8 0
92
94
8
92
814
8
92
494
92
72
22
1
92
72
162
8
2
2 2
2
2
1
2
x x x x
x x x xx x
x
x
x
x
x
− − − = −
− − + + =
+ + =
= − ± −
= − ± −
= − ±
= − + =−
= −
= − − =−
= −
6. 6. 6. 6. 6. ( )
( ) ( ) ( )
x x x
x x xx x
x
xxxx
2
2
2
2
1
2
7 6 59
7 6 59 08 65 0
82
84
65
4 16 654 94 9 134 9 5
− + = +
− − − − =
− − =
= −−
±−
− −
= ± += ±= + == − = −
8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x x
x xx x
x
x
x
x
x
− + − − =
− − + − =− − =
= −−
±−
− −
= ± +
= ±
= + = =
= − =−
= −
2 2 7 1 21
4 7 7 21 07 18 0
72
74
18
72
494
18
72
1214
72
112
182
9
72
112
42
2
2
2
2
1
2
9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 5 7 3
2 3 10 7 2110 11 0
102
104
11
5 25 11
5 365 6 115 6 1
2
2 2
2
2
1
2
x x x x
x x x xx x
x
x
xxx
− − + = +
− − + = +− − =
= −−
±−
− −
= ± +
= ±= + == − = −
10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )( )
( ) ( )
x x x x x
x x x x xx xx x
x
x
x
x
x
− + − − + − + =
+ − − − + − + =
− − + =
+ − =
= − ± − −
= − ± +
= − ±
= − + = =
= − − =−
= −
1 2 2 3 4 14 0
2 2 5 12 14 05 24 0
5 24 0
52
54
24
52
254
24
52
1214
52
112
62
3
52
112
162
8
2 2
2
2
2
1
2
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x x x
x x x x x xx x x xx x
x
x
x
x
x
− + + = − −
− + + + = − + −
+ + = + −− − =
= −−
± − −
= ± +
= ±
= + = =
= − =−
= −
1 11 199 3 2
2 1 11 199 3 4 49 200 2 4 45 204 0
52
54
204
52
254
204
52
8414
52
292
342
17
52
292
242
12
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
1
2
EJERCICIO 268
1. 1. 1. 1. 1.
( ) ( ) ( )( )
x xmcm
x xx x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
1
2
5 23
1010
2 5 32 5 3 0
5 5 4 2 32 2
5 25 244
5 74
5 74
124
3
5 74
24
12
− = =
− =− − =
=± − − −
=± +
=±
=+
= =
=−
=−
= −
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( ) ( )( )
413 3
22
8 26 38 3 26 0
3 3 4 8 262 8
3 9 83216
3 2916
3 2916
3216
2
3 2916
2616
1
2
2
2
1
258
xx
mcm x
x xx x
x
x
x
x
x
− = =
− =
− − =
=± − − −
=± +
=±
=+
= =
=−
=−
= −
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
( ) ( )
x xx mcm
x x x
x x xx x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
1
2
6 23 5 6
3 18 5
3 18 9021 90 0
212
214
90
212
814
212
92
302
15
212
92
122
6
− = − =
− = −
− = −
− + =
= −−
±−
−
= ±
= + = =
= − = =
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
14
425
515
53
20
5 4 8 5 4 53
5 20 8 40 4 212 04 13 152 0
13 13 4 4 152
2 4
13 169 2 4328
13 518
13 518
388
4
13 518
648
8
2
2
2
2
2
134
2
x x x
mcm
x x x
x x xx x
x
x
x
x
x
− + − = −
=
− + − = −
− + − − + =
− + + =
=− ± − −
−
=− ± +
−
=− ±
=− +
−=
−= −
=− −
−=
−−
=
.
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( ) ( )
5 12
1 2
5 12
1 2
5 10 2
2 10 0
22
24
10
1 1 10
1 11
1 11
1 11
2
2
2
1
2
x xmcm x
xx mcm x
x x x xx x
x
x
x
x
x
−+
= = +
+
− = + =
+ − = +
− − =
= −−
±−
− −
= ± +
= ±
= +
= −
6. 6. 6. 6. 6.
( )
( ) ( )
15 11 51
15 11 5
4 5 0
42
44
5
2 4 52 32 3 12 3 5
22
2
2
2
1
2
xxx
mcm x
x x x
x x
x
xxxx
−+
= − =
− + = −
+ − =
= − ± − −
= − ± += − ±= − + == − − = −
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( ) ( )( ) ( )( )
83 5
5 11
3 3 5 1
8 1 5 1 3 5 3 3 5 1
8 8 15 22 5 9 24 1523 30 5 9 24 1514 6 20 0
2 2 2
2 2
2
xx
xx
mcm x x
x x x x x x
x x x x x xx x x xx x
++
−+
= = + +
+ + − + = + +
+ + + − = + +
+ − = + ++ − =
( ) ( )( )( )x
x
x
x
=− ± − −
=− ±
=− ±
=− +
= =
=− −
=−
= −
6 6 4 14 202 14
6 1 15628
6 3428
6 3428
2828
1
6 3428
4028
1
2
1
237
.
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
12
11
16
6 2 1
6 1 6 2 2 1
6 6 6 12 3 26 3 20 3 4
32
34
4
32
94
4
32
254
32
52
32
52
82
4
32
52
22
1
2
2
2
2
1
2
x x
mcm x x
x x x x
x x x xx xx x
x
x
x
x
x
−−
−=
= − −
− − − = − −
− − + = − += − +
= − −
= −−
±−
− −
= ± +
= ± = ±
= + = =
= − =−
= −
9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
12 3
52
1010 5
10 5 10 2 3 5 2
10 50 20 30 3 1010 80 3 10
0 13 90
132
134
90
2
2
2
2
−−+
=−
= +
+ − − = + −
+ − + = + −
− + = + −
= + −
= − ± − −
xx
xmcm x
x x x x
x x x xx x x
x x
xContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
9. Continuación9. Continuación9. Continuación9. Continuación9. Continuación
x
x
x
x
x
= − ± +
= − ±
=−
±
=−
+ = =
=−
− =−
= −
132
1694
90
132
5294
132
232
132
232
102
5
132
232
362
18
1
2
10. 10. 10. 10. 10. ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( )
xx
xx
mcm x
x x x x
x x x xx x
x
x
x
x
x
x
−= −
+=
− = − +
− = − −
− + + =
=− ± − −
−
=− ± +
−
=±
−
=− ±
−
=− +
−=
−= −
=− −
−=
−−
=
135
10 5 3
13 5 10 5 3
13 5 50 304 37 30 0
37 37 4 4 30
2 4
37 1 369 4808
37 1 8498
37 438
37 438
68
34
37 438
808
10
22
2
2 2
2
2
1
2
.
.
11. 11. 11. 11. 11. ( )( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
xx
xx
mcm x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x xx x
x
x
x
x
x x
−−
−= = −
− − − = −
− − + = −
− + − = −
= − +
=− − ± − −
=± −
=±
=± ⋅
=±
=±
=+
=−
22 5
22 2
2 2 2 2 5 2
2 2 4 4 5 10
2 2 8 8 5 100 5 18 8
18 18 4 5 82 5
18 324 16010
18 16410
18 2 4110
18 2 4110
9 415
9 415
9 415
2 2 2
2 2 2
2
2
2
1 2;
12. 12. 12. 12. 12. ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
41
1 34
203
12 1
12 4 3 1 1 3 4 1 20
48 9 12 3 80 8023 68 3 0
68 68 4 23 3
2 23
68 4 624 27646
68 4 90046
68 7046
68 7046
246
123
68 7046
13846
3
2
2
2 2 2
2
2
1 2
xx
x xmcm x
x x x x x
x x x x xx x
x
x
x x
−−
−= = −
− − − = −
+ − + = −− + + =
=− ± − −
−
=− ± +
−=
− ±−
=− ±
−
=− +
−=
−= − =
− −−
=−−
=
. .
;
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
3 1 22 1
76
0 6 2 1
6 2 1 3 1 6 2 7 2 1 0
6 6 5 1 12 14 7 0
36 30 6 12 14 7 010 23 6 0
23 23 4 10 62 10
23 529 24020
23 28920
23 1720
23 1720
4020
223 17
20
2 2 2
2 2 2
2
2
1 2
xx
xx
mcm x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x xx x
x
x
x x
−−
−− = = −
− − − − − =
− + − − + =
− + − − + =
− + =
=± −
=± −
=±
=±
=+
= = =−
; = =6
203
10
14. 14. 14. 14. 14.
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
5 81
7 42
2 5 8 7 4 1
5 2 16 7 11 4
0 2 13 20
13 13 4 2 202 2
13 169 1604
13 94
13 34
13 34
164
413 3
4104
52
2
2 2
2
2
1 212
xx
xx
x x x x
x x x xx x
x
x
x x
−−
=−
+
+ − = − −
+ − = − +
= − +
=± −
=± −
=±
=±
=+
= = =−
= = =;
15. 15. 15. 15. 15.
( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
xx
xx
mcm x x
x x x x
x x x xx xx x
x
x
x x
+−
−−+
=
= − +
+ + − − − =
+ + − + − =− + + =
− − =
=± − − −
=± +
=±
=±
=+
= = =−
=−
= −
32 1
5 14 7
0
2 1 4 7
3 4 7 5 1 2 1 0
4 19 21 10 7 1 06 26 20 03 13 10 0
13 13 4 3 102 3
13 169 1206
13 2896
13 176
13 176
306
513 17
64
623
2 2
2
2
2
1 2;
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
14
16
11
6 4 1
6 1 4 1 6 4
6 6 3 4 24 63 2 24 6
9 22 0
92
94
22
92
814
2292
1694
92
132
92
132
42
29
2132
222
11
2
2
2
2
1 2
−− =
+
= − +
+ − − + = −
+ + − − = −
+ + = −
+ − =
= − ± − −
= − ± + = − ± =−
±
=−
+ = = =−
− =−
= −
x x
mcm x x
x x x x
x x x xx x x
x x
x
x
x x;
17. 17. 17. 17. 17. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
xx
xx
mcm x x
x x x x x x
x x x x x xx xx x
x
xx x
++
−++
= = + +
+ + − + + = + +
+ + − − − = + +
= + += + −
= − ± − −
= − ± + = − ± = − ±= − + = = − − = −
45
23
124
24 5 3
24 3 4 24 2 5 5 3
24 168 288 24 168 240 8 15
48 8 150 8 33
82
84
33
4 16 33 4 49 4 74 7 3 4 7 11
2 2 2
2
2
2
1 2;
18. 18. 18. 18. 18. ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( )
51
61
3 8 1
40 48 1 29 1
40 48 48 29 29
29 48 117 0
48 48 4 29 117
2 29
48 2 304 13 57258
48 12658
48 12658
17458
348 126
587858
1
258
2
2
2
2
2
1 21029
x xmcm x
x x
x xx x
x
x
x x
−−
+= = −
− − = −
− + = −
− − + =
=− − ± − −
−
=± +
−=
±−
=+
−=
−= − =
−−
=−−
=
. .
;
19. 19. 19. 19. 19. ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
xx
xx
xx
mcm x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x xx x x
−+
++−
=++
= + − +
− − + + + + + = + + −
− + + + + + + = + −
+ − − + + + + + + + + = − + −
+ + + =
11
11
2 93
1 1 3
1 1 3 1 1 3 2 9 1 1
2 1 3 2 1 3 2 9 1
3 2 6 3 3 2 6 3 2 2 9 92 6 2 6
2 2 2
3 2 2 3 2 2 3 2
3 2 2 9 2 90 3 4 15
3 2
2
x x xx x
+ − −
= − −
( ) ( )( )( )x
x
x x
=± − −
=± +
=±
=±
=+
= = =−
=−
= −
4 4 4 3 152 3
4 16 1806
4 1966
4 146
4 146
186
34 14
6106
1
2
1 223
20. 20. 20. 20. 20. ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
32
12
11
2 2 1
3 2 1 2 1 2 2
3 3 6 3 2 42 6 8 4
6 4 0
62
64
4 3 9 4 3 13
3 13 3 13
2 2 2
2 2
2
2
1 2
x x xmcm x x x
x x x x x x
x x x x xx x xx x
x
x x
+−
−=
+= + − +
− + − + + = + −
− − − − − = −
− − = −
− − =
= −−
±−
− − = ± + = ±
= + = −;
EJERCICIO 269
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )
x x
x xx x
2
1 2
6 0
3 2 03 2
− − =
− + == = −
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )
x xx x
x xx x
2
2
1 2
7 187 18 0
9 2 09 2
+ =
+ − =
+ − == − =
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )
8 658 65 0
13 5 013 5
2
2
1 2
x xx x
x xx x
− = −
+ − =
+ − == − =
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )
x xx x
x xx x
2
2
2 2
1 2
108 33 108 0
108 254 2 2 3 327 3 12 9 39 33 31
12 9 012 9
= −
+ − =
⋅ −− =
+ − == − =
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 7 4 0
2 7 2 8 0
2 8 2 12
0
4 2 1 04 0 2 1 0
412
2
2
1 2
x x
x x
x x
x xx x
x x
+ − =
+ − =
+ −=
+ =+ = − =
= − =
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 10 116 11 10 0
6 11 6 60 0
6 15 6 43 2
0
2 5 3 2 02 5 0 3 2 0
52
223
2
2
2
112 2
x xx x
x x
x x
x xx x
x x
= −+ − =
+ − =
+ −⋅
=
+ − =+ = − =
= − = − =
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )
( )( )
( )( )
20 27 1420 27 14 0
20 27 20 280 0
20 35 20 85 4
0
4 7 5 2 074
125
2
2
2
134 2
x xx x
x x
x x
x x
x x
− =− − =
− − =
− +⋅
=
− + =
= = = −
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
( )( )
( )( )
7 15 3030 7 15 0
30 7 30 450 0
30 25 30 185 6
0
6 5 5 3 06 5 0 5 3 0
6 5 5 35
635
2
2
2
1 2
x xx x
x x
x x
x xx x
x x
x x
= −
+ − =
+ − =
+ −⋅
=
+ − =+ = − =
= − =
=−
=
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )
( )( )
( )( )
60 8 157
8 157 60 0
8 157 8 480 0
8 160 8 38
0
20 8 3 020 0 8 3 0
20 8 338
2
2
2
1
2
= +
+ − =
+ − =
+ −=
+ − =+ = − == − =
=
x xx x
x x
x x
x xx xx x
x
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )
( )( )
x x x
x x xx x
x xx x
x x
− − − =
− − + − =
− + =
− − =− = − =
= =
1 5 2 2
5 10 2 06 8 0
4 2 04 0 2 0
4 2
2
2
1 2
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x x
x x x xx xx x
x x
x x
− − + = −
− + − − − + =
− − + =
+ − =
+ − =
+ −=
2 2 3 80
4 4 4 12 9 80 03 16 75 03 16 75 0
3 16 3 225 0
3 25 3 93
0
2 2
2 2
2
2
2
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación
( )( )3 25 3 03 25 0 3 03 25 3
253
8
2
113
x xx xx x
x
+ − =+ = − == − =
= − = −
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 9 43
3
18 27 44 27 18 0
4 27 4 72 0
4 24 4 34
0
6 4 3 06 0 4 3 06 4 3
34
22
2
2
2
1
2
x xmcm x
x xx x
x x
x x
x xx xx x
x
− = − =
− = −
− + =
− + =
− −=
− − =− = − == =
=
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )
xx
xx
mcm x
x xx x
x xx xx x
++ = =
+ + =+ − =
+ − =+ = − == − =
2 74
2 7472 0
9 8 09 0 8 0
9 8
2
2
1 2
14. 14. 14. 14. 14. ( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
xx
mcm
x x
x x xx x
x x
x x
x xx xx x
x
+ −−
= =
+ − − =
+ + − + − =+ + =
+ + =
+ +=
+ + =+ = + == − = −
=−
= −
22 5
33 3
3 2 2 5 9
3 12 12 2 5 9 03 10 8 0
3 10 3 24 0
3 6 3 43
0
2 3 4 02 0 3 4 0
2 3 44
31
2
2
2
2
2
1
213
15. 15. 15. 15. 15. ( )( ) ( )( )
( )( )
xx
xx
mcm x
x x x x x
x x x x xx x
x xx xx x
−+ =
+= −
+ − = + −
+ − = + −
− + =
− − =− = − == =
23 15
44 2
4 4 2 3 15 2
4 4 8 3 9 3013 30 0
10 3 010 0 3 010 3
2 2
2
1 2
16. 16. 16. 16. 16. ( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
64
4 512
12 4
72 48 4 5 4
72 48 192 5 205 44 192 0
5 44 5 960 0
5 60 5 165
0
12 5 16 012 0 5 16 012 5 16
165
3
2
2
2
1
215
x xmcm x x
x x x x
x x x xx x
x x
x x
x xx xx x
x
−− = = −
− − = −
− + = −
− − =
− − =
− +=
− + =− = + == = −
=−
= −
17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x x
x x x x x xx x
x x
x xx xx x
x x
− − − =
− + − − + − + − =
− − =
− − =
− + =− = + == = −= = −
2 3 37
6 12 8 9 27 27 37 03 15 18 0
3 15 3 54 0
3 18 3 3 03 18 0 3 3 03 18 3 3
6 1
3 3
3 2 3 2
2
2
1 2
18. 18. 18. 18. 18. ( )( ) ( ) ( )( )
( )( )
xx
xmcm x
x x x x
x x x xx x
x xx xx x
−+
− =+
= +
− − + = + +
− − − = + ++ + =
+ + =+ = + == − = −
11
23
33 1
3 1 6 1 3 1
3 3 6 6 4 37 12 0
4 3 04 0 3 0
4 3
2
2
1 2
19. 19. 19. 19. 19.
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
4 12 3
2 16 5
6 5 4 1 2 1 2 3
24 14 5 4 8 320 6 8 010 3 4 0
10 3 10 40 0
10 8 10 52 5
0
5 4 2 1 05 4 0 2 1 05 4 2 1
45
12
2 2
2
2
2
1 2
xx
xx
x x x x
x x x xx xx x
x x
x x
x xx xx x
x x
−+
=++
+ − = + +
+ − = + +
+ − =
+ − =
+ − =
+ −⋅
=
+ − =+ = − == − =
=−
=
20. 20. 20. 20. 20.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
3 24
59 14
1212
3 3 2 60 9 14
9 6 60 9 149 45 14 0
9 45 9 126 0
9 42 9 33 3
0
3 14 3 1 03 14 0 3 1 03 14 3 1
143
13
4
2
2
2
1 2
123
x xx
mcm x
x x x x
x x x xx x
x x
x x
x xx xx x
x x
x
+= −
+=
+ = − +
+ = − −
− + =
− + =
− −⋅
=
− − =− = − == =
= =
=
EJERCICIO 270
1. 1. 1. 1. 1.
( )( )x ax a
x a x ax a x ax a x a
2 2
1 2
2 35 0
7 5 07 0 5 0
7 5
+ − =
+ − =+ = − == − =
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( )( )( )
10 36 37
10 37 36 0
37 37 4 10 362 10
37 2 80920
37 5320
37 5320
1620
45
37 5320
9020
92
2 2
2 2
2 2
2
1
2
x a axx ax a
xa a a
xa a a a
xa a a a
xa a a a
= −
+ − =
=− ± − −
=− ±
=− ±
=− +
= =
=− −
=−
=−
.
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( )( )( )
a x abx b
a x ab a x a b
a x ab a x ab
a x ab a x aba x ab a x ab
xab
ax
aba
xba
xba
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 2 2 2
1 2
2 0
2 0
2 0
2 0 02
2
2
+ − =
+ − =
+ − =
+ = − =
= − =
=−
=
= − =
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( ) ( )( )( )
89 42 2242 89 22 0
89 89 4 42 222 42
89 4 22584
89 6584
89 6584
2484
27
89 6584
15484
116
2 2
2 2
2 2
2
1
2
bx x bx bx b
xb b b
xb b b
xb b b b
xb b b b
= +
− + =
=− − ± − −
=±
=±
=−
= =
=+
= =
.
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )
x ax ax ax a
x a x ax a x a
x a x a
2 2
2 2
1 2
2020 0
5 4 05 0 4 0
5 4
+ =
+ − =
+ − =+ = − =
= − =
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 3
2 3 0
2 2 6 0
2 3 2 22
0
2 3 02 3 0 02 3
32
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 2
x abx a bx abx a b
x ab x a b
x ab x ab
x ab x abx ab x abx ab x ab
xab
x ab
= +
− − =
− − =
− +=
− + =− = + == = −
= = −
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )( )( )
( ) ( )
b x abx ab x abx a
b x ab b x a b
b x ab b x abb b
bx a bx abx a bx a
bx a bx a
xab
xab
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
1 2
2 32 3 0
2 3 0
30
3 03 0 0
33
+ =
+ − =
+ − =
+ −⋅
=
+ − =+ = − =
= − =
= − =
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )( ) ( )
x ax bx abx ax bx ab
x x a b x a
x b x ax b x a
x b x a
2
2
1 2
0
0
00 0
+ − =
+ − − =
+ − + =
− + =− = + =
= = −
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )( ) ( )
x ax ab bxx bx ax ab
x x b a x b
x b x ax b x ax b x a
2
2
1 2
2 6 33 2 6 0
3 2 3 0
3 2 03 0 2 0
3 2
− = −
+ − − =
+ − + =
+ − =+ = − == − =
10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )
( )( )
3 2 4 2 0
3 2 2 2 0
2 3 2 02 0 3 2 0
2 3 2
223
2
1 2
x mx nx mn
x x m n x m
x m x nx m x n
x m x n
xm
xn
− + − =
− + − =
− + =− = + =
= = −
= = −
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
x a bx ab
x a b x a
x a x a b x a
x a b x ax a b x a
x a b x a
2 2
2 2
1 2
0
0
0
00 0
− − − =
− − + =
+ − − + =
− − + =− − = + =
= + = −
12. 12. 12. 12. 12. ( )
( ) ( )( )( )
abx x b a
abx bx axabx ax bx
ax bx bx
bx axbx ax
bx ax
xb
xa
2
2
2
1 2
2 2
2 2 02 2 0
2 2 0
2 1 02 0 1 0
2 12 1
− − =
− + − =
+ − − =
+ − + =
+ − =+ = − =
= − =
=−
=
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( ) ( )
( )
( )
x ax a b
xa a a b
xa a a b a b
xa b a b
a b
xa b a b
a b
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
2
2 0
2 2 42
2 4 4 42
2 22
2 22
22
2 22
22
− + − =
=− − ± − −
=± − +
=±
=+
=+
= +
=−
=−
= −
14. 14. 14. 14. 14. ( )
( ) ( ) ( )( )( )
( )
( )
4 4
4 4 4 0
4 4 4 4 42 4
4 16 16 648
4 648
4 88
4 88
4 28
22
4 88
4 28
22
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
1
2
x x b b m
x bx b m
xb b b m
xb b b m
xb m b m
xb m b m b m
xb m b m b m
− + =
− + − =
=− − ± − − −
=± − +
=±
=±
=+
=+
=+
=−
=−
=−
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( ) ( )
( )
( )
x b a axx ax b a
xa a b a
xa a b a a b
xa b a b
a b
xa b a b
a b
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
2
4 4 04 4 0
4 4 4 42
4 16 4 162
4 22
4 22
2 22
2
4 22
2 22
2
− + − =
− − + =
=− − ± − − − +
=± + −
=±
=+
=+
= +
=−
=−
= −
16. 16. 16. 16. 16. ( )
( ) ( )( )( )
x a x a
x ax x a
x x a x a
x a xx a x
x a x
2
2
1 2
2 2
2 2 0
2 0
2 00 2 0
2
− + = −
− − + =
− − − =
− − =− = − =
= =
17. 17. 17. 17. 17. ( )
( ) ( )( )( )
x x a a
x x ax a
x x a x
x x ax x a
x x a
2
2
1 2
2 4 3 48
8 6 48 0
8 6 8 0
8 6 08 0 6 0
8 6
+ − =
+ − − =
+ − + =
+ − =+ = − =
= − =
18. 18. 18. 18. 18.
( )( ) ( )( )( )
x x m mx m x m
x m x m x m
x m x mx m x m
x m x m
2 2
2 2
1 2
2 22 2 0
2 0
2 02 0 0
2
− = +
− − − =
+ − − + =
− − + =− − = + =
= + = −
19. 19. 19. 19. 19. ( )
( ) ( )( )( )
x m x m m
x xm xm m
x x m m x m
x m x m
x m x mx m x m
2 2 5
2 3 2 5
3 2 3
3 2
3 2
13
22
2 2
2 2 0
2 0
2 0
0 2 02
+ − =
+ − − =
+ − + =
+ − =
+ = − =
= − =
20. 20. 20. 20. 20.
( ) ( )( )( )
6 15 2 56 2 15 5 0
2 3 5 3 0
3 2 5 03 0 2 5 03 2 5
352
2
2
1 2
x ax bx abx bx ax ab
x x b a x b
x b x ax b x ax b x a
xb
xa
− = −
− − + =
− − − =
− − =− = − == =
= =
21. 21. 21. 21. 21.
( ) ( )
( )( )
( )( )
34 2 2
0 4
3 2 2 0
2 3 2 0
2 3 2 4 0
2 4 22
0
2 2 02 0 2 02 2
2
2
2 2
2 2
2 2
1
2
x a xa
mcm a
ax a xx ax a
x a x a
x a x a
x a x ax a x ax a x a
xa
+ − = =
+ − =
− − =
− − =
− +=
− + =− = + == = −
= −
22. 22. 22. 22. 22.
( ) ( )
( ) ( )( )( )
22
23
3 2 2 2
6 3 4 2 0
3 2 2 2 0
2 3 2 02 0 3 2 0
2 3 2
223
2
2
2 2
1 2
x b bx bx
x x b bx b
x bx bx b
x x b b x b
x b x bx b x b
x b x b
xb
xb
−=
−
− = −
− − + =
− − − =
− − =− = − =
= =
= =
23. 23. 23. 23. 23.
( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
a xa x
a xa x
mcm a x
a x a x a x a x a x
a ax x a ax x a xa ax x
x ax a
x a x ax a x a
x a x a
+−
+−+
= − = −
+ + + − − = − −
+ + + − + = − +
− − =
+ − =
+ − =+ = − =
= − =
24
2 4
2 3 2 4 46 0
6 0
3 2 03 0 2 0
3 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
1 2
24. 24. 24. 24. 24. ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
( )( ) ( )
xx
aa
a x a x
x a a x a
x a a x a
xa a a a
a
xa a a a
a
xa a a a
a
xa a a
aa a a
a
xa a a
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 4 3 2
2 2 2
2 2 22 2
1
2 2
1 2 2
2 2 1
2 4
2 4 0
4 2 4
2 2 4
8 162 2 4
8 164 8
4
4 24
4 2
4
−=
−
− = −
− = −
− − + =
=− − ± − − −
−
=± − +
−
=± − +
−
=± −
−=
± −−
=+ −( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )
4 22 44 2
2 24 2 2
44 2
44 2 2
2
2
2 2
aa aa
a aa
a
xa a a
aa
aa
a
−=
−−
=−
−=
=− −
−=
−=
−
25. 25. 25. 25. 25.
( ) ( )( )( )
xx a
a mcm ax
ax a x a xax x a a x
x ax a ax
ax x aax x a
ax x a
xa
x a
+ = + =
+ = +
− + − =
− − − =
− − =− = − =
= =
= =
2 12
2 22 2 0
1 2 1 0
1 2 01 0 2 0
1 21
2
2 2
2 2
1 2
26. 26. 26. 26. 26. ( )( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 24
4
4 2 4 2
8 4 4 4 2 26 2 4 0
3 2 0
3 3 6 0
3 3 3 23
0
3 2 00 3 2 0
3 223
2 2 2
2 2
2 2
2 2
1
2
x bb
xx b
xb
mcm b x b
x b x b bx x x b
x bx b bx x bxx bx bx bx b
x b x b
x b x b
x b x bx b x b
x b x b
xb
−−
+= = +
− + − = +
+ − − = +
− − =
− − =
− − =
− +=
− + =− = + =
= = −
= −
EJERCICIO 271
1. 1. 1. 1. 1. 3 48
16
16
4
2
2
x
x
x
x
=
=
== ±
2. 2. 2. 2. 2. 5 9 46
5 55
11
11
11
2
2
2
x
x
x
x
x
− =
=
=
=
= ±
3. 3. 3. 3. 3. 7 14 0
2 0
2
2
2 1
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x i
+ =
+ =
= −
= −
= −
= ±
4. 4. 4. 4. 4. 9 0
9
9
9
3
2 2
2 2
22
2
x a
x a
xa
xa
xa
− =
=
=
=
= ±
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )x x
xx
x
x
x
+ − = −
− = −
=
=
= ⋅
= ±
5 5 7
25 718
18
3 2
3 2
2
2
2
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )2 3 2 3 135 0
4 9 135 04 144
36
366
2
2
2
x x
xxx
xx
− + − =
− − =
=
=
== ±
7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )3 2 2 4 8
3 12 8 16 82 28 0
2 2814
14
2
2 2
2
2
2
x x x x
x x x xx
xx
x
+ − = − +
− = − + +
− ==
=
= ±
8. 8. 8. 8. 8. x x
x
x
x
x
+
−
=
− − =
=
= ±
= ±
13
13
13
19
13
0
49
49
23
2
2
9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( )( )2 1 2 4 1 5 0
2 3 2 3 4 5 07 0
7
7 1
7
2 2
2
2
x x x x
x x x xx
x
x
x i
− + − + − + =
+ − − − + + =
+ == −
= −
= ±
10. 10. 10. 10. 10. 5
2
1
6
7
1212
30 2 7
28 7
4
4
2
2 22
2
2
2
x xmcm x
x
x
x
x
x
− = =
− =
=
=
=± =
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )( )( ) ( )( )
2 33
21
3 1
2 3 1 2 3
2 5 3 5 63 0
3
3
2 2
2
2
xx
xx
mcm x x
x x x x
x x x xx
x
x
−−
=−−
= − −
− − = − −
− + = − +
− =
=
= ±
12. 12. 12. 12. 12. x x x
x x x
x
x
x
x
x
2 2 2
2 2 2
2
2
2
5
3
4 1
5
14 1
150
5 25 12 3 14 1 0
3 27 0
3 27
9
9
3
−+
−−
−=
− + − − + =
− =
=
=
== ±
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( ) ( ) ( )2 3
12
7 2
2 2 3 2 1 7 2
2 4 3 6 1 7 145 14
9
93
2
2
2 2
2
2
xxx
mcm x
x x x x x
x x x x xx
x
xx
− −+
−= − = −
− − − − + = − −
− − + − − = − ++ =
=
== ±
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )3
34 1
2 4 1
3 4 1 3 2 4 1
12 6 8 24 4
1
11
22
2 2
2 2
2
2
−−
= = −
− − = −
− = −==
== ±
xmcm x
x x
x xxx
xx
EJERCICIO 272
1. 1. 1. 1. 1.
( )
x xx x
x xx x
x
2
2
1
2
55 0
5 00 5 0
5
=
− =
− == − =
=
2. 2. 2. 2. 2.
( )
4 324 32 0
4 8 04 0 8 0
0 8
2
2
1 2
x xx x
x xx x
x x
= −
+ =
+ == + == = −
3. 3. 3. 3. 3.
( )
x x x xx x
x xx x
x x
2 2
2
1
2
3 3 40 2
0 2 10 0 2 1
1 212
− = −
= −
= −= = −
= ⇒ =
4. 4. 4. 4. 4. ( )
( )
5 4 2 2
5 4 2 4
5 2 0
5 2 00 5 2 0
5 225
2
2
2
1
2
x x
x xx x
x xx x
x
x
+ = +
+ = +
− =
− == − =
=
=
7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )( )
( )
4 1 2 3 3 1
8 10 3 2 37 8 0
7 8 00 7 8 0
7 8871
2 2
2
1
2
217
x x x x
x x x xx x
x xx x
x
x
x
− + = + −
+ − = + −+ =
+ == + =
= −
= −
= −
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )
( )
x x
x x x xx x
x xx x
x
x
− − + = −
− + − − − + =
− − =
+ == + =
= −
=−
= −
3 2 5 16
6 9 4 20 25 16 03 26 0
3 26 00 3 26 0
3 26263
8
2 2
2 2
2
1
223
6. 6. 6. 6. 6.
( )
x xmcm
x x
x xx x
x x
x
2
2
1
2
39
632
12
4 2 18 18
2 2 1 02 0 2 1 0
0 2 112
−−
= =
− + =
− == − == =
=
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
xx
xx
mcm x x
x x x x x x
x x x x x xx x
x xx x
x
+−
−+−
= = − −
+ − − + − = − −
− − − − + = − +
= +
= += + =
= −
11
42
1 1 2
1 2 4 1 1 2
2 3 4 3 20
0 10 1 0
1
2 2 2
2
1
2
EJERCICIO 273
1. 1. 1. 1. 1.
( ) ( )
( )( )
x x
x x
x x
x x xx x
x xx
x chazo sol extrañax
x sol que satisface
+ + =
+ = −
+ = −
+ = − +
= − +
= − −− =
= →− =
= →
4 1 5
4 1 5
4 1 5
4 1 25 100 14 24
0 12 212 0
122 0
2
2 2
2
2
1
2
Re
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( )
( )( )
2 1 3 7
7 1
7 1
49 14 115 50 0
10 5 010 0
105 0
5
2 2
2
2
1
2
x x x
x x
x x
x x xx x
x xx
x chazo sol extrañax
x sol que satisface
− − = −
− = −
− = −
− + = −
− + =
− − =− =
= →− =
= →
Re
3. 3. 3. 3. 3.
( )
( ) ( )
( )( )
5 1 3 4
5 1 3 16
5 1 2 5 14 3 3 16
2 5 14 3 14 6
5 14 3 7 3
5 14 3 49 42 90 4 56 520 14 13
0 13 113 0
131 0
1
2
2
2
22 2
2 2
2
2
1
2
x x
x x
x x x x
x x x
x x x
x x x xx x
x x
x xx
x chazo por sol extrañax
x sol que satisface
− + + =
− + + =
− + + − + + =
+ − = −
+ − = −
+ − = − += − += − +
= − −− =
= →− =
= →
Re
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 5 1
2 1 5
4 1 2 5 5
3 6 2 5
3 6 2 5
9 36 36 4 20
9 40 16 0
9 40 9 144 0
9 36 9 49
0
4 9 4 04 0
49 4 0
9 449
2 2
2 2
2
2
2
1
2
x x
x x
x x x
x x
x x
x x xx x
x x
x x
x xx
x sol que satisfacex
x
x chazo por sol extraña
− + =
= + +
= + + + +
− = +
− = +
− + = +
− + =
− + =
− −=
− − =− =
= →− =
=
= → Re
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
2 1 3 3
2 1 3 3
2 1 9 6 3 3
13 6 3
6 3 13
36 3 169 26
36 108 169 260 62 61
0 61 161 0
611 0
1
2 2
2 2
2
2
2
1
2
x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
x x xx x
x xx
x chazo por sol extrañax
x sol que satisface
− + + =
− = − +
− = − + + +
− = − +
+ = −
+ = − +
+ = − +
= − +
= − −− =
= →− =
= →
Re
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )
( ) ( )( )
x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x x
x x x x
− + + − =
− + + =
− + − − + + =
− − = +
− − = + +
− − = + +
3 2 1 2 0
3 2 1 2
3 2 2 5 3 2 1 4
2 2 5 3 2
4 2 5 3 4 4
8 20 12 4 4
2 2
2
22 2
2 2
2 2
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación
( ) ( )
( )( )
( )( )
7 24 16 0
7 24 7 112 0
7 28 7 47
0
4 7 4 04 0 4
7 4 0
7 447
2
2
1
2
x x
x x
x x
x xx x sol factiblex
x x sol inadmisible
− − =
− − =
− +=
− + =− = ⇒ = →
+ =
= − ⇒ = − →
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
5 1 3 2
5 1 2 3
5 1 2 10 2 2 3
2 10 2 8 4
8 4 2 10 2
4 2 1 2 10 2
4 2 10 2
16 16 4 10 26 14 4 0
6 14 6 24 0
6 12 6 26
0
2 6 2 0
2 2
2
2
2
2
2 22
2 2
2
2
x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x xx x
x x
x x
x xx
− − − =
− − = −
− − − + = −
− − = − +
− = −
− = −
− = −
− + = −− + =
− + =
− −=
− − =− =
= →− =
=
= →
2 02
6 2 06 2
13
1
2
x sol factiblex
x
x sol inadmisible
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
( )
3 1 5 16 1
3 1 2 15 5 5 16 1
2 15 5 8
15 5 4
15 5 160 5
0 50
5 05
2
2
22 2
2 2
2
1
2
x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x xx x
x xx sol admisiblex
x sol admisible
+ + = +
+ + + + = +
+ =
+ =
+ =
= −
= −= →
− == →
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )
( )( )
2 4 3 3
2 4 3 9
4 3 9 2
4 3 81 36 4
0 4 40 84
0 10 21
0 7 37 0
7
3 03
2 2
2
2
2
1
2
x x
x x
x x
x x xx x
x x
x xx
x chazo porsol inadmisible
xx sol aceptada
+ − =
+ − =
− = −
− = − +
= − +
= − +
= − −− =
= →
− == →
Re
10. 10. 10. 10. 10.
( )( ) ( )
( )( )
xx
x x
x x
x x
x xx
x sol admisiblex
x sol admisible
+ ++
=
+ + = +
+ = +
− + =
− − =− =
= →− =
= →
36
35
3 6 5 3
9 5 3
7 6 0
1 6 01 0
16 0
6
2
2 2
2
1
2
11. 11. 11. 11. 11.
( )( ) ( )
( )( )
xx
x x
x x
x x xx x
x xx
x sol admisiblex
x sol admisible
+ =
+ =
+ =
+ + =
− + =
− − =− =
= →− =
= →
45
4 5
4 5
8 16 2517 16 0
16 1 016 0
161 0
1
2
2 2
2
2
1
2
12. 12. 12. 12. 12.
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 78
7
2 7 7 8
2 7 15
4 28 30 2253 2 225 0
3 2 3 675 0
3 27 3 253
0
9 3 25 09 0 9
3 25 0253
2 2
22 2
2 2
2
2
1
2
x xx
x x x
x x x
x x x xx x
x x
x x
x xx x sol aceptada
x x sol inadmisible
= + ++
+ = + +
+ = +
+ = + +− − =
− − =
− +=
− + =− = ⇒ = →
+ = ⇒ = − →
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x x x
x x x
x x
x xx x
x x
x x
x x sol aceptada
x x sol rechazada
+ + =
+ + =
+ =
+ =
− − =
− − =
− +=
− = ⇒ = →
+ = ⇒ = − →
8 2
8 4
8 3
8 99 8 0
9 1 9 72 0
9 9 9 89
0
1 0 1
9 8 089
2 2
2
2
2
1
2
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 7 12 1 0
6 7 12 1
6 2 42 7 12 1
2 42 12 12
42 6 6
42 36 72 360 37 71 6
37 71 37 222 0
37 74 37 337
0
2 37 3 02 0 2
37 3 0
37
2 2
2
2
22 2
2 2
2
2
1
− + + − + =
− + + = +
− + − − + + = +
− − = −
− − = −
− − = − +
= − −
− − =
− +=
− + =− = ⇒ = →
+ =
=
x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x xx x
x x
x x
x xx x sol aceptada
x
x − ⇒ = − →33
372x sol inadmisible
EJERCICIO 280
1. 1. 1. 1. 1.
( ) ( ) ( )
( )( )
x x
x
x
x
x
x x x x
2
2
1
2
2
16 63 0
16 16 4 632
16 42
16 22
16 22
182
9
16 22
142
7
16 63 9 7
− + =
=− − ± − −
=±
=±
=+
= =
=−
= =
− + = − −
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]( )( )
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
2
2
1
2
2
24 143 0
24 24 4 1432
24 42
24 22
24 22
222
11
24 22
262
13
24 143 11 13
11 13
+ + =
=− ± −
=− ±
=− ±
=− +
=−
= −
=− −
=−
= −
+ + = − − − −
= + +
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( ) ( )
( )( )
x x
x
xxx
x x x x
2
2
1
2
2
26 155 0
262
264
155
13 324 13 1813 18 3113 18 5
26 155 31 5
− − =
= −−
± − −
= ± = ±= + == − = −
− − = − +
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )( )( )
( )
( )( )( )
2 6 0
1 1 4 2 62 2
1 494
1 74
1 74
64
32
1 74
84
2
2 6 232
2
22 3
22
2 3 2
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
xx
x x
+ − =
=− ± − −
=− ±
=− ±
=− +
= =
=− −
= − = −
+ − = −
+
=−
+
= − +
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
12 5 2 0
5 5 4 12 22 12
5 12124
5 1124
5 1124
624
14
5 1124
1624
23
12 5 2 1214
23
124 1
43 2
3
12 4 1 3 212
4 1 3 2
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
x x
+ − =
=− ± − −
=− ±
=− ±
=− +
= =
=− −
=−
= −
+ − = −
+
=−
+
=− +
= − +
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( ) ( )( )
( )( )( )
5 41 8
41 41 4 5 82 5
41 1 52110
41 3910
41 3910
210
15
41 3910
8010
8
5 41 8 515
8
5 1 8
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ +
=− ± −
=− ±
=− ±
=− +
= − = −
=− −
=−
= −
+ + = +
+
= + +
.
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )( )( )
( )( )( )
6 7 10
7 7 4 6 102 6
7 28912
7 1712
7 1712
1012
56
7 1712
2412
2
6 7 10 656
2
6 5 2
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ −
=− ± − −
=− ±
=− ±
=− +
= =
=− −
=−
= −
+ − = −
+
= − +
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
12 25 12
25 25 4 12 122 12
25 4924
25 724
25 724
3224
43
25 724
1824
34
12 25 12 1243
34
12 3 4 4 312
3 4 4 3
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
− +
=− − ± − −
=±
=±
=+
= =
=−
= =
− + = −
−
=− −
= − −
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( ) ( )( )
( )( )
8 50 63
50 50 4 8 632 8
50 48416
50 2216
50 2216
2816
74
50 2216
7216
92
8 50 63 874
92
4 7 2 9
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ +
=± −
=− ±
=− ±
=− +
=−
= −
=− −
= − = −
+ + = +
+
= + +
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( ) ( )( )
( )( )
27 30 7
30 30 4 27 72 27
30 14454
30 1254
30 1254
1854
13
30 1254
4254
79
27 30 7 2713
79
3 1 9 7
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ +
=− ± −
=− ±
=− ±
=− +
= − = −
=− −
= − = −
+ + = +
+
= + +
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
30 61 30
61 61 4 30 302 30
61 12160
61 1160
61 1160
7260
65
61 1160
5060
56
30 61 30 3065
56
5 6 6 5
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
− +
=− − ± − −
=±
=±
=+
= =
=−
= =
− + = −
−
= − −
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( )
11 153 180
153 153 4 11 1802 11
153 31 32922
153 17722
153 17722
33022
15
153 17722
2422
1211
11 153 180 11 151211
15 11 12
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
− −
=− − ± − − −
=±
=±
=+
= =
=−
= − = −
− − = − +
= − +
.
13. 13. 13. 13. 13.
( )
( )( )( )( )
66
12
14
612
254
12
52
42
2
12
52
62
3
6 2 3
6 2 3
2
2
1
2
2
2
− −
+ −
= − ± − − = − ±
= − + = =
= − − = − = −
+ − = − +
− − = − +
x xx x
x
x
x
x x x x
x x x x
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( ) ( )( )( )
5 9 2
9 9 4 2 5
2 2
9 1214
9 114
9 114
204
5
9 114
24
12
2
2
1
2
− −
=− − ± − − −
−
=±−
=±−
=+−
=−
= −
=−−
=−−
=
x x
x
x
x
x
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
14. Continuación14. Continuación14. Continuación14. Continuación14. Continuación
( )( )( )
( )( )
5 9 2 2 512
5 2 1
5 1 2
2− − = − + −
= − + −
= + −
x x x x
x x
x x
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( )( )( )
( )( )( )( )
15 4 4
4 4 4 15 4
2 44 256
8
4 168
128
32
4 168
208
52
15 4 4 432
52
2 3 2 5
3 2 5 2
2
2
1
2
2
+ −
=− ± − −
−=
− ±−
=− +
−=
−= −
=− −
−=
−−
=
+ − = − +
−
= − + −
= + −
x x
x x
x
x
x x x x
x x
x x
16. 16. 16. 16. 16.
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )( )( )
4 13 1212 13 4
13 13 4 12 42 12
13 36124
13 1924
3224
43
13 1924
624
14
12 13 4 1243
14
3 4 1 4
4 13 12 4 3 1 4
2
2
2
1
2
2
2
+ −
− −
=− − ± − − −
=±
=+
= =
=−
=−
= −
− − = −
+
= − +
+ − = − +
x xx x
x x
x
x
x x x x
x x
x x x x
17. 17. 17. 17. 17.
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
72 55 7
55 55 4 72 72 72
55 5 041144
55 71144
126144
78
55 71144
16144
19
72 55 7 7278
19
8 7 9 1
2
2
1
2
2
x x
x x
x
x
x x x x
x x
− −
=− − ± − − −
=±
=+
= =
=−
=−
= −
− − = −
+
= − +
.
18. 18. 18. 18. 18.
( ) ( )( )( )
( )( )( )( )
6 31 30
31 31 4 30 6
2 30
31 1 68160
31 4160
1060
16
31 4160
7260
65
6 31 30 3016
65
6 1 5 6
1 6 6 5
2
2
1
2
2
+ −
=− ± − −
−
=− ±
−
=− +
−=
−= −
=− −
−=
−−
=
+ − = − +
−
= − + −
= + −
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
.
19. 19. 19. 19. 19.
( ) ( )( )( )
( )( )( )
10 207 63
207 207 4 10 632 10
207 45 36920
207 21320
620
310
207 21320
42020
21
10 207 63 103
1021
10 3 21
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ −
=− ± − −
=− ±
=− +
= =
=− −
=−
= −
+ − = −
+
= − +
.
20. 20. 20. 20. 20.
( ) ( )
( )( )( )( )( )( )
100 1515 100
152
154
100
152
6254
152
252
102
5
152
252
402
20
15 100 5 20
15 100 5 20
5 20
2
2
2
1
2
2
2
− −
+ −
= − ± − −
=−
±
=−
+ = =
=−
− =−
= −
+ − = − +
− − + = − − +
= − +
x xx x
x
x
x
x
x x x x
x x x x
x x
21. 21. 21. 21. 21.
( ) ( )( )( )
( )( )( )
18 31 49
31 31 4 18 492 18
31 4 48936
31 6736
3636
1
31 6736
9836
4918
18 31 49 18 14918
1 18 49
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ −
=− ± − −
=− ±
=− +
= =
=− −
=−
= −
+ − = − +
= − +
.
22. 22. 22. 22. 22.
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
6 2
4 6 22 6
4912
712
812
23
712
612
12
6 2 623 2
3 2 2
2 2
2 2 2
1
2
2 2
x ax a
xa a a a a
xa a a a
xa a a
a
x ax a x a xa
x a x a
− −
=− − ± − − −
=±
=+
= =
=−
=−
= −
− − = −
+
= − +
23. 23. 23. 23. 23.
( ) ( )( )( )
( )( )( )
5 22 15
22 22 4 5 152 5
22 78410
22 2810
22 2810
610
35
22 2810
5010
5
5 22 15 535
5
5 3 5
2 2
2 2
2
1
2
2 2
x xy y
xy y y
xy y y
xy y y
y
xy y y
y
x xy y xy
x y
x y x y
+ −
=− ± − −
=− ±
=− ±
=− +
= =
=− −
= − = −
+ − = −
+
= − +
24. 24. 24. 24. 24.
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
15 32 7
32 32 4 15 72 15
32 1 44430
32 3830
32 3830
7030
73
32 3830
630 5
15 32 7 155
73
5 3 7
2 2
2 2
2
1
2
2 2
x mx m
xm m m
xm m m m
xm m m m
xm m m m
x mx m xm
xm
x m x m
− −
=− − ± − − −
=±
=±
=+
= =
=−
=−
= −
− − = +
−
= + −
.