2301116 แคลคูลัส สำำหรับธุรกิจ II บทที่ ๒...
18
2301116 แคลคูลัส สำหรับธุรกิจ II บทที่ ๒ เวกเตอร์ โดย ผศ. ดร. กรุง สินอภิรมย์สรำญ
Transcript of 2301116 แคลคูลัส สำำหรับธุรกิจ II บทที่ ๒...
2301116 แคลคลส สำำหรบธรกจ IIบทท ๒ เวกเตอร
โดย ผศ. ดร. กรง สนอภรมยสรำญ
เวกเตอร 2
เวกเตอร
นยำมเวกเตอร ปรภมสำมมต มมแสดงทศทำง พชคณตของเวกเตอร ผลคณเชงสเกลำร ผลคณเชงเวกเตอร
เวกเตอร 3
เวกเตอร
เวกเตอรคอปรมำณทมขนำดและทศทำง โดยปรกตนกคณตศำสตรใชควำมยำวสวนของเสนตรงแทนขนำดและใชหวลกศรเพอบอกทศทำงเวกเตอรในปรภมสำมมต
ใชกำรบอกตำำแหนงจดระนำบพกดฉำก o เรยกจดกำำเนด
ระนำบทผำนแกน x, y เรยกระนำบ xy
ระนำบทผำนแกน x, z เรยกระนำบ xz
ระนำบทผำนแกน y, z เรยกระนำบ yz
z
yx
Oร ะ น ำ บ x z
ระนำบ xy
ร ะ น ำ บ y z
z
yx
Oร ะ น ำ บ x z
ระนำบ xy
ร ะ น ำ บ y z
o
เวกเตอร 4
จดในปรภมสำมมตระนำบทงสำมแบงปรภมสำมมตออกเปน 8 สวน แตละสวนเรยกวำ อฐภำคกำรเลอกทศทำงทเปนบวกบนแกนพกดฉำกใชกฎมอขวำ กลำวคอ จดน วหวแมมอ นวชและนวกลำงของมอขวำใหอยในลกษณะตงฉำก กนให P เปนจดในปรภมสำมมต
เรยกพกดทไดวำ พกดฉำกของจด PR ( 0 , b , c )
( 0 , 0 , 0 )
P ( a , b , c )
( a , 0 , 0 )
( 0 , b , 0 )
( 0 , 0 , c ) R ( 0 , b , c )
( 0 , 0 , 0 )
P ( a , b , c )
( a , 0 , 0 )
( 0 , b , 0 )
( 0 , 0 , c )
เวกเตอร 5
ระนำบในปรภมสำมมต➔ สมกำรระนำบในปรภมสำมมตทขนำนกบพกดฉำก แสดงดงรป
y
y = k 2
x
z
z = k 3
x = k 1
y
y = k 2
x
z
z = k 3
x = k 1
เวกเตอร 6
เวกเตอรในปรภมสำมมต➔ ใชสญลกษณ แทนเวกเตอรจำกจดเรมตน P
1 ไปจดปลำย P
2 และ
แทนควำมยำวของเวกเตอร➔ เวกเตอรสองเวกเตอรเทำกน กตอเมอ เวกเตอรทงสองมขนำดและทศทำงเดยวกน
P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 )
P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
P 1 P 2
P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 )
P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
P 1 P 2
P1 P2 ∥P1 P2∥
จำกนยำม เวกเตอรทเทำกนไมจำำเปนตองมจดกำำเนดเดยวกน
เวกเตอร 7
นยำม 2.1.1-2.1.2➔ ให เปนเวกเตอรในปรภมสำมมต เรำเรยก a, b, c วำสวนประกอบ
ของเวกเตอร ตำมแกน X แกน Y และแกน Z ตำมล ำำดบ➔ ควำมยำวของเวกเตอรหำไดจำก
เวกเตอรศนยคอเวกเตอรทมสวนประกอบทกตวเปนศนย
P=a ,b , cP
R ( 0 , b , c )
( 0 , 0 , 0 )
P ( a , b , c )
( a , 0 , 0 )
( 0 , b , 0 )
( 0 , 0 , c ) R ( 0 , b , c )
( 0 , 0 , 0 )
P ( a , b , c )
( a , 0 , 0 )
( 0 , b , 0 )
( 0 , 0 , c )
∥P∥= a2b2
c2
เวกเตอร 8
นยำม 2.1.3-2.1.4
ให กตอเมอ a
1 = b
1, a
2 = b
2, a
3 = b
3
กำรบวกเวกเตอร
กำรคณเวกเตอรดวยสเกลำร
กำรลบกนของเวกเตอร
A=a1, a2, a3 , B=b1, b2, b3 , k∈ℝ
A=B
AB=a1b1, a2b2, a3b3
k A=k a1, k a2, k a3
A−B=A−B
เวกเตอร 9
สมบตของเวกเตอร
ให เปนเวกเตอรในปรภมสำมมต เปนเวกเตอรในปรภมสำมมต
c , d ∈ℝ , A , B , C
ABAB=BA
AB C=A BC A0=AA−A=0
cd A=c d A=d c A
cd A=c Ad A
cAB=c Ac B1 A=A ,0 A=0
เวกเตอร 10
โจทย
ก ำำหนดให จงหำขนำดและมมแสดงทศทำง จงหำเวกเตอรทก ำำหนดเมอ
A=−1, 2 ,1
A−2 B
A=1, 0, 2 , B=−2,3,1 , C=10, 2,−3
8 A−BC15
C−A
A⋅−A
เวกเตอร 11
มมแสดงทศทำง บทนยำม 2.1.5 ให เปนเวกเตอรทท ำำมม , , กบแกน X, Y, Z ทเปน
บวกตำมลำำดบ โดยท α, β, γ อยระหวำง 0 ถง เรำเรยก α, β, γ วำมมแสดงทศทำงของ และเรยก cos α, cos β, cos γ วำโคไซน แสดงทศทำงของ
A=a1, a2, a3≠0
AA
cos =a1
∥A∥
cos =a2
∥A∥
cos =a3
∥A∥
A
เวกเตอร 12
บทนยำม 2.1.6
เวกเตอรหนวย คอเวกเตอรทมขนำดหนงหนวย ให เปนเวกเตอรในปรภมสำมมต ไดวำเวกเตอรหนวยในทศทำงของ คอ
เวกเตอรหนงหนวยทสำำคญคอเวกเตอรหนวยในทศทำงบวกของแกน X, Y, Z
ถำ เรำไดวำ
A≠0 A
A
∥A∥
i =1, 0 , 0 ,j=0,1, 0 ,k=0,0, 1
A=a1, a2, a3A=a1
i a2ja3
k
เวกเตอร 13
ผลคณเชงสเกลำร บทนยำม 2.1.7
ให และ เปนเวกเตอรในปรภม 3 มต ผลคณเชงสเกลำรของ และ คอ
สมบตเก ยวกบผลคณเชงสเกลำร
ตงฉำกกบ กตอเมอ
A=a1, a2, a3
A A⋅B=a1b1a2 b2a3 b3
A⋅B=B⋅A
B
B=b1, b2,b3
A⋅BC =A⋅BA⋅C
k A⋅B=k A⋅B=A⋅k B
A⋅A=∥A∥20
A⋅B=∥A∥∥B∥cosq ,0q
A⋅A=0⇔A=0และ
A B A⋅B=0
เวกเตอร 14
บทนยำม 2.1.8
ให และ q เปนมมระหวำงเวกเตอรทงสองจำกจดปลำยของ ลำกเสนตงฉำกกบ ทจด P เรยกเวกเตอร วำเวกเตอรภำพฉำยของ บน และเรยก วำภำพฉำย สเกลำรของ บน
เรำไดวำเวกเตอรภำพฉำยของ บน คอ
ขนำดของเวกเตอรภำพฉำยของ บน คอ
A≠0, B≠0A
AB P
B∥A∥cos q
A⋅B∥B∥
A
B
A⋅B∥B∥2 B
A B
A B
เวกเตอร 15
ผลคณเชงเวกเตอร บทนยำม 2.1.9
ให เปนเวกเตอรในปรภมสำมมตผลคณเชงเวกเตอรของ และ คอ
สมบตเก ยวกบผลคณเชงเวกเตอร
A=a1, a2, a3 , B=b1, b2, b3
A
A
B A×B=a2 b3−a3 b2,a3 b1−a1b3, a1 b2−a2 b1
A⋅A×B=0
A×BC =A×BA×C
A×B=0 B
B⋅A×B=0
A×B=−B×A
k A×B=k A B=Ak B
กตอเมอ และ ขนำนกน
เวกเตอร 16
ผลคณเชงเวกเตอร
เมอ q เปนมมระหวำง กบ คอพนทของสเหลยมดำนขนำนทมดำนประชดเปน และ
เมอ
∥A×B∥2=∥A∥
2∥B∥
2− A⋅B
2
A
A
B∥A×B∥=∥A∥∥B∥sin q
A×B=∣i j ka1 a2 a3
b1 b2 b3∣
B∥A×B∥
A=a1, a2, a3 , B=b1, b2, b3
เวกเตอร 17
ผลคณเชงสเกลำรของสำมเวกเตอร
ให เปนเวกเตอรในปรภมสำมมต ผลคณเชงสเกลำรของสำมเวกเตอรคอ
เมอ นอกจำกน เรำแสดงไดวำ คอปรมำตรของรปทรงสเหลยมหนำขนำนซงม
ดำนประชดเปนเวกเตอร
A , B , C
A⋅B×C=∣a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3∣
∣[ A⋅B×C ]∣
A=a1, a2,a3 , B=b1, b2,b3 , C=c1, c2, c3
A⋅B×C
เวกเตอร 18
โจทย
ก ำำหนดให จงหำเวกเตอรภำพฉำยของ บน และภำพฉำยสเกลำรของ บน
จงหำพนทของสำมเหลยมซงมจดมมเปน จงหำปรมำตรของรปทรงสเหลยมหนำขนำนทมดำนประชดเปนเวกเตอร
เมอก ำำหนดให จงพจำรณำวำเวกเตอรตอไปนคใดทตงฉำกกน
A=−1,2,1 , B=3,2,4 A
1, 3,−2 ,3,−1,2 ,4,1, 0
A=1, 2,−2 , B=4,1, 3 , C=2,−1, 2 ,D=2,−8,0 , E=−1,1,1
A , B , C
BA B
A=−1,2,3 , B=2,1,−1 , C=1,−2,1
