2.2 最大值、最小值问题
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2.2 最大值、最小值问题
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1. 理解函数最值的概念.
2. 掌握利用导数求函数最值的方法.
3. 掌握利用导数求最值的步骤 .
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1. 求函数在 [a, b] 上的最值. ( 重点 )
2. 函数的极值与最值的区别与联系. ( 易混点 )
3. 利用函数的单调性,图象等综合考查. ( 难点 )
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1 .函数极值的判定
解方程 f′(x) = 0 ,当 f′(x0) = 0 时,
(1) 如果在 x0 附近的左侧 ,右侧
,那么 f(x0) 是极大值;
(2) 如果在 x0 附近的左侧 ,右侧
,那么 f(x0) 是极小值.
2 .函数 y = x2 + 4x + 4 在 [ - 3,4] 上的最大值为,最小值为 .
f′(x)> 0 f′(x) < 0
f′(x)< 0 f′(x) > 0
36
0
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1 .函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上的最值
如果在区间 [a , b] 上函数 y = f(x) 的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在 [a, b] 上一定能够取得 和 并且函数的最值必在 或 取得.
2 .求函数 y= f(x) 在 [a, b] 上最值的步骤
(1) 求函数 y= f(x) 的 ;
(2) 将函数 y = f(x) 的 与 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
最大值 最小值极值 端点处
极值
各极值 端点值
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1 .函数 f(x) = x3 - 3x + 1 的闭区间 [ - 3,0] 上的最大值、最小值分别是 ( )
A .- 1 、- 1 B . 1 、- 17
C . 3 、- 17 D . 9 、- 19
解析: f(x)= 3x2- 3,令 f(x)= 3x2- 3= 0,∴ x2= 1,∴ x= ±1
f(- 3)=- 17, f(- 1)= 3, f(0)= 1,∴最大值 3.最小值- 17.
答案: C
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2.函数 f(x)=x+2cosx 在
0,
π2 上取得最大值时 x 为
( )
A.0 B.π6
C.π3 D.
π2
解析: f(x)=1-2sin x,令 f(x)=1-2sin x=0
∴ sin x=12,∵ x∈
0,
π2,∴ x=
π6
答案: B
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3 .函数 f(x) = lnx- x在 (0 , e] 上的最大值为 ________ .
答案: - 1
解析: f(x)=1x-1=
1-xx ,令 f′ (x)=
1-xx =0,∴ x=1
当 0<x<1时,f′ (x)>0
当 1<x<e时,f′ (x)<0
∴ f(x)max=f(1)=-1
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4 .已知函数 f(x) = 2x3 - 12x. 求函数 f(x) 的单调递增区间,并求函数 f(x) 在 [ - 1,3] 上的最大值和最小值.
解析: f(x)=2x3-12x,
f′ (x)=6x2-12=6(x+ 2)(x- 2).
令 f′ (x)=0,得 x=- 2或 x= 2.
当 x变化时,f′ (x)与 f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,- ) - (-, ) (,+∞ )
f′(x) + 0 - 0 +f(x) 极大 极小
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所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2),( 2,+
∞ ).
因为 f(-1)=10,f(3)=18,f( 2)=-8 2,
所以当 x= 2时,f(x)取得最小值为-8 2;
当 x=3时,f(x)取得最大值为 18.
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求下列各函数的最值.
(1)f(x)=-x4+2x2+3,x∈ [-3,2];
(2)f(x)=sin x-x,x∈
-
π2,
π2 .
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求函数最值的步骤:
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[ 解题过程 ] (1)f′(x)=- 4x3+ 4x,
令 f′(x)=- 4x(x+ 1)(x- 1)= 0,得
x=- 1, x= 0, x= 1.
当 x变化时, f′(x)及 f(x)的变化情况如下表:
x - 3( - 3 ,- 1)
- 1( - 1,
0)0 (0,1) 1 (1,2) 2
f′(x) + 0 - 0 + 0 -
f(x)- 6
0
极大值 4
极小值 3
极大值 4
-5
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∴ 当 x=-3时,f(x)取最小值-60;
当 x=-1或 x=1时,f(x)取最大值 4.
(2)f′ (x)=cos x-1≤ 0,
∴ f(x)=sin x-x在
-
π2,
π2上是减函数.
∴ f(x)max=f
-
π2=
π2-1,
f(x)min=f
π
2=1-π2.
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1. 已知函数 f(x) = 2x3 - 6x2 + a 在 [ - 2,2] 上有最小值- 3
7.
(1) 求实数 a的值;
(2) 求 f(x) 在 [ - 2,2] 上的最大值.
解析: (1)∵f′(x)= 6x2- 12x= 6x(x- 2).
令 f′(x)= 0得 x= 0或 x= 2.
∵f(- 2)= a- 40, f(0)= a, f(2)= a- 8,
比较知 f(x)的最小值是 f(- 2),
由已知 f(- 2)= a- 40=- 37,
∴a= 3.
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(2)由 a= 3知 f(0)= 3, f(2)=- 5
∴f(0)= 3是 f(x)在 [- 2,2]上的最大值.
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(2011·江西卷,20)设 f(x)=13x
3+mx2+nx.
(1)如果 g(x)=f′ (x)-2x-3 在 x=-2 处取得最小值-
5,求 f(x)的解析式.
(2)如果 m+n<10(m,n∈N+),f(x)的单调递减区间的长
度是正整数,试求 m和 n的值.(注:区间(a,b)的长度为 b
-a)
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解析: (1)由题意得 g(x)=x2+2(m-1)x+(n-3)=(x+
m-1)2+(n-3)-(m-1)2,
已知 g(x)在 x=-2处取得最小值-5,
所以 m-1=2,n-3-m-12=-5,
解得 m=3,n=2.
故所要求的解析式为 f(x)=13x
3+3x2+2x.
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(2)因为 f′ (x)=x2+2mx+n,且 f(x)的单调递减区间的长
度为正整数,故 f′ (x)=0一定有两个不同的根,从而 Δ=4m2
-4n>0,即 m2>n.
不妨设这两个不同的根为 x1,x2,则|x2-x1|=2 m2-n为
正整数.
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故 m≥2时才可能有符合条件的 m, n.
当 m= 2时,只有 n= 3符合要求.
当 m= 3时,只有 n= 5符合要求.
当 m≥4时,没有符合要求的 n.
综上所述,只有 m= 2, n= 3或 m= 3, n= 5满足上述要求.
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已知函数 f(x) = x3 - ax2 + bx+ c(a, b, c∈R) .
(1) 若函数 f(x) 在 x=- 1 和 x= 3 处取得极值,试求 a,b的值;
(2) 在 (1) 的条件下,当 x∈[ - 2,6] 时, f(x) < 2c恒成立,求 c的取值范围.
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(1)由函数 f(x)在 x=-1和 x=3处取得极值,知导函数
有两根,利用韦达定理可求出 a,b.
(2)等价于求 f(x)在[-2,6]上的最大值.
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[解题过程] (1)f′ (x)=3x2-2ax+b,
∵ 函数 f(x)在 x=-1和 x=3处取得极值,
∴ -1,3是方程 3x2-2ax+b=0的两根,
∴
-1+3=23a,
-1× 3=b3,
∴ a=3,b=-9.
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(2)由 (1)知 f(x)= x3- 3x2- 9x+ c, f′(x)= 3x2- 6x- 9,当 x变化时,有下表:
x( -∞,
- 1)- 1 ( - 1,3) 3
(3 ,+∞ )
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 c
+ 5
极小值 c- 27
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而 f(- 2)= c- 2, f(6)= c+ 54,
∴x∈[- 2,6]时, f(x)的最大值为 c+ 54.
要使 f(x)< 2c恒成立,只要 c+ 54< 2c即可.
∴c> 54.
∴c的取值范围为 (54,+∞ ).
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2.设 f(x)=x3-12x
2-2x+5.
(1)求函数 f(x)的单调递增、递减区间;
(2)当 x∈ [-1,2]时,f(x)<m恒成立,求实数 m的取值范
围.
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解析: (1)由已知得 f′ (x)=3x2-x-2,
令 f′ (x)=0,即 3x2-x-2=0,解得 x=1或 x=-23,
∴ 当 x∈
-∞,-
23时,f′ (x)>0,f(x)为增函数,
当 x∈
-
23,1时,f′ (x)<0,f(x)为减函数,
当 x∈ (1,+∞ )时,f′ (x)>0,f(x)为增函数,
∴ f(x)的递增区间为
-∞,-
23 和(1,+∞ ),递减区间
为
-
23,1 .
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(2)当 x∈ [-1,2]时,f(x)<m恒成立,
只需使 f(x)在[-1,2]上的最大值小于 m即可.
由(1)知 f(x)极大值=f
-
23=5+
2227,f(x)极小值=f(1)=
72,
又∵ f(-1)=112,f(2)=7,
∴ f(x)在[-1,2]上的最大值为 f(2)=7,
∴ m>7,即 m的取值范围为(7,+∞ ).
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某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m米,
余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个
桥墩的工程费用为 256万元.距离为 x米的相邻两墩之间的
桥面工程费用为(2+ x)x万元.假设桥墩等距离分布,所有
桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y
万元.
(1)试写出 y关于 x的函数关系式;
(2)当 m=640米时,需新建多少个桥墩才能使 y最小?
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解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际
问题抽象成数学问题,就是从实际问题出发,抽象概括,利
用数学知识建立相应的数学模型,再利用数学知识对数学模
型进行分析、研究,得到数学结论,然后再把数学结论返回
到实际问题,其思路如下:
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[解题过程] (1)设需新建 n个桥墩,则(n+1)x=m,
即 n=mx-1.
所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x
=256
m
x-1+mx (2+ x)x
=256mx +m x+2m-256.
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(2)由(1)知,
f′ (x)=-256mx2 +
12mx-
12=
m2x2(x
32-512).
令 f′ (x)=0,得 x32=512,
所以 x=64.
当 0<x<64时,
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f′ (x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数;
当 64<x<640时,
f′ (x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数,
所以 f(x)在 x=64处取得最小值.
此时 n=mx-1=
64064-1=9.
故需新建 9个桥墩才能使 y最小.
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3.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(吨)
与每吨产品的价格 p(元/吨)之间的关系式为 p=24 200-15x
2,
且生产 x吨的成本为 R=50 000+200x(元).问该厂每月生产
多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?
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解析: 依题意,每月生产 x吨时的利润为
f(x)=
24 200-
15x
2 x-(50 000+200x)=-15x
3+24 000x
-50 000(x≥ 0).
由 f′ (x)=-35x
2+24 000,令 f′ (x)=0,
解得 x1=200,x2=-200(舍去).
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因为 f(x)在[0,+∞ )内有意义,则有且只有当 x=200时
f′ (x)=0,且它就是最大值点,最大值为 f(200)=-15× 2003
+24 000× 200-50 000=3 150 000.
故每月生产 200吨产品时,利润达到最大,最大利润为
315万元.
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1 .函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质,是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较.
2 .函数的极值不一定是最值,需要将极值和区间端点的函数值进行比较,或者考查函数在区间内的单调性.
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3 .如果连续函数在区间 (a , b) 内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.
4 .可导函数在极值点的导数为零,但是导数为零的点不一定是极值点.例如,函数 y= x3 在 x= 0 处导数为零,但 x= 0
不是极值点.
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(1) 抽象出实际问题的数学模型,列出变量之间的函数关系式 y= f(x) ;
(2) 求出函数的导数 f′(x) ,解方程 f′(x) = 0 ;
(3) 比较函数在区间端点和使 f′(x) = 0 的点的取值大小,最大者为最大值、最小者为最小值.
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◎ 已知 a∈R , f(x) = (x2 - 4)(x- a) .
(1) 求 f′(x) ;
(2) 若 f′( - 1) = 0 ,求函数 f(x) 在 [ - 2,4] 上的最大值和最小值.
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【错解】 (1)由原式可得 f(x)=x3-ax2-4x+4a
∴ f′ (x)=3x2-2ax-4.
(2)由 f′ (-1)=0,得 a=12,
此时 f(x)=x3-12x
2-4x+2,
f′ (x)=3x2-x-4.
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令 f′ (x)=0得 x=-1或 x=43,
f(-1)=92,f(
43)=-
5027,
∴ 函数 f(x)在[-2,4]上的最大值为92,最小值为-
5027.
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【错因】 第 (2)问,求函数 f(x)在 [- 2,4]上的最大值和最小值时,误将 f(x)在 [- 2,4]上的极值当作了最值,再就是没有将区间端点的函数值与极值进行大小比较,从而导致出现错误.
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【正解】 (1)由原式可得 f(x)=x3-ax2-4x+4a.
所以,f′ (x)=3x2-2ax-4.
(2)由 f′ (-1)=0得 a=12,
此时 f(x)=(x2-4)(x-12),
f′ (x)=3x2-x-4.
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令 f′ (x)=0,得 x=-1或 x=43
又 f(-1)=92,f(
43)=-
5027,
f(-2)=0,f(4)=42,
所以函数 f(x)在[-2,4]上的最大值为 42,最小值为-5027.
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练考题、验能力、轻巧夺冠