210우공비 고등수학(상)_정답_web
136
01 집합의 연산법칙 O@ 2 02 명제 O@ 12 03 실수 O@ 20 04 복소수 O@ 30 05 다항식과 그 연산 O@ 39 06 항등식과 나머지정리 O@ 47 07 인수분해, 약수와 배수 O@ 57 08 유리식 O@ 67 09 무리식 O@ 76 10 이차방정식 O@ 84 11 고차방정식 O@ 97 12 연립방정식 O@ 108 13 부등식 O@ 122 집합과 명제 I 수체계 II 식과 그 연산 III 방정식과 부등식 IV 정답 과 풀이 퓽覃 수학 상
Transcript of 210우공비 고등수학(상)_정답_web
01 집합의연산법칙 2
02 명제 12
03 실수 20
04 복소수 30
05 다항식과그연산 39
06 항등식과나머지정리 47
07 인수분해, 약수와배수 57
08 유리식 67
09 무리식 76
10 이차방정식 84
11 고차방정식 97
12 연립방정식 108
13 부등식 122
집 합 과 명 제I
수 체 계II
식 과 그 연 산III
방 정 식 과 부 등 식IV
정답과풀이
수학상
2
01 집합의포함관계
우공비
익히기 |
유제 |
01-1 S 1, 2, {2, 3}
① S Δ Δ≤S
② 1 S 1<S
③ {2, 3} S {2, 3}<S
④ S 3 {2, 3}¯S
⑤ {2, 3} S {{2, 3}},S
답⃞ ③,⑤
01-2 X Δ, a, b, {a, b}
. Δ,X
. Δ X {Δ},X
. {a, b} X {a, b}<X
. a, b X {a, b},X
, , , .
답⃞ , , ,
01-3 P(S) S
.
① Δ P(S) Δ<P(S)
② Δ,P(S)
③ S P(S) S<P(S)
⑤ S P(S) {S},P(S)
④ . 답⃞ ④
02-1 A 1 B
a+5=1 4-a=1
a=-4 a=3
⁄ a=-4 ,
⁄ A={1, 15}, B={-2, 1, 8}
A¯B
¤ a=3 ,
⁄ A={1, 8}, B={-2, 1, 8}
A,B
A,B a 3 . 답⃞ 3
02-2 A 2 B
a¤ -2=2, a¤ =4
a=-2 a=2
⁄ a=-2 ,
A={2}, B={2, 6} A+B
¤ a=2 ,
A={2, 6}, B={2, 6} A=B
A=B a 2 . 답⃞ 2
B 6 A
a¤ +a=6, a¤ +a-6=0
(a+3)(a-2)=0
a=-3 a=2
⁄ a=-3 ,
A={2, 6}, B={6, 7} A+B
다른 解
원소의 개수가 n인 집합의부분집합의개수는
⋯2_2_y_2=2«( | { | 9
n개
Δ은 집합 X의 원소
도 되고, X의 부분집합인공집합도된다.
11 A 0, 1, {1}, {1, 2} 0<A,
1<A, {1}<A, {1, 2}<A 2≤A .
답⃞ ④
22 ⑴ 1 10 2, 4, 6, 8, 10
⑴ ⑴⑴A={2, 4, 6, 8, 10}
⑵ 3, 6, 9, 12, y 3
⑴ ⑴⑴B={x|x 3 } 답⃞
33 10 2, 3, 5, 7
⑴⑴A={2, 3, 5, 7}
⑴ 2<A ⑵ 6≤A
⑶ {1, 3}¯A ⑷ {3, 5, 7},A
답⃞ ⑴ < ⑵ ≤ ⑶ ¯ ⑷ ,
44 A={-1, 0, 1}, B={-1, 1}, C={x|-1…x…1}
B,A,C 답⃞ ③
55 ⑴ A 5
2fi =32
⑵ {a£, a¢, a∞} a¡, a™
2fi —¤ =2‹ =8
⑶ {a™, a£, a∞} a¡
2fi —¤ =2‹ =8 답⃞ ⑴ 32 ⑵ 8 ⑶ 8
원소의 모양에 상관없
이 집합 안에 있으면
원소이다.
1은 소수도 아니고 합성수도아니다.
집합의연산법칙01집합과명제Ⅰ
P(S)={x|x,S}이면집합 P(S)는집합 S의모든부분집합을원소로갖는집합이다.예를들어 S={1, 2}이면⋯⋯P(S)={Δ, {1}, {2}, {1, 2}}
보충학습
1이 집합 S의 원소이므로
⋯{1},S
우공비
Ⅰ
집합과
명제
3
¤ a=2 ,
A={2, 6}, B={2, 6} A=B
A=B a 2 .
02-3 A, B
.
A,B
3-k…1, 2k…8
kæ2, k…4 2…k…4
a=2, b=4
a+b=6 답⃞ 6
03-1 A={1, 2, 4}, B={1, 2, 3, 4, 6, 12}
X {1, 2, 3, 4, 6, 12}
1, 2, 4
.
2fl —‹ =2‹ =8 답⃞ 8
03-2 ⑴ a, b, c f
A
2fl —› =2¤ =4
⑵ A
2fl =64
A
{b, c, d, f }
2› =16
⑵⑵64-16=48 답⃞ ⑴ 4 ⑵ 48
⑵ a
2fl —⁄ =2fi =32
e
2fl —⁄ =2fi =32
a, e
2fl —¤ =2› =16
32+32-16=48
03-3 A={1, 2, 3, 6}
⑴ A 1 2
{3, 6} .
A
2› -1=15
다른 解
83-k 2k1
BA
x
{3, 6}
2¤ =4
15-4=11
⑵ ( )_( )=( ), ( )_( )=( )
( )_( )=( )
. A
.
A
2› =16
A
{1, 3}
2¤ =4
16-4=12
답⃞ ⑴ 11 ⑵ 12
⑴ 1
⋯⋯2› —⁄ =2‹ =8
2
⋯⋯2› —⁄ =2‹ =8
1, 2
⋯⋯2› —¤ =2¤ =4
1, 2, 3, 6
⋯⋯1
⋯⋯8+8-4-1=11
⑵ 2
⋯⋯2› —⁄ =2‹ =8
6
⋯⋯2› —⁄ =2‹ =8
2, 6
⋯⋯2› —¤ =2¤ =4
⋯⋯8+8-4=12
다른 解
적어도 한 개의 모음
을 원소로 갖는 집합
의 개수는 전체 부분
집합의 개수에서 모음
을 원소로 갖지 않는
집합의 개수를 뺀 것
과같다.
집합 {d, e}의 부분집합에 원소 a, b, c만추가시키면된다.
집합 {3, 6}의 부분집합은 1 또는 2를 원소로갖지않는다.
a¡, a™, y, a«
a¡_a™_y_a« a¡, a™, y,
a« .
a¡_a™_y_a« a¡, a™, y, a«
.
a¡+a™+y+a« a¡, a™, y, a«
.
a¡+a™+y+a« a¡, a™, y, a«
.
보충학습
진부분집합은 자기 자
신을제외한집합이다.
본책10 13쪽
우공비
4
02 집합의연산
익히기 |
⁄ a=3 , A={0, 5}, B={2, 5, 7}
A'B={0, 2, 5, 7}
¤ a=10 , A={5, 7}, B={2, 5, 21}
A'B={2, 5, 7, 21}
a 3 .
답⃞ ⑴ 1 ⑵ 3
04-2 ⑴ 0<A 0<B .
a¤ +a=0, a(a+1)=0
a=0 a=-1
⁄ a=0 , A={0, 1}, B={0, 3, 5}
A¯B
¤ a=-1 , A={0, 3}, B={0, 3, 5}
A,B
a -1 .
⑵ A-B={3} 3<A, 5<B .
a-b=3, a+b=5
a=4, b=1
ab=4
답⃞ ⑴ -1 ⑵ 4
05-1 A Ç ,B Ç B,A
.
① B-A=Δ② AÇ -BÇ =AÇ ;(B Ç )Ç
=AÇ ;B=B-A=Δ③ (B-A)Ç =Δ Ç =U
④
AÇ 'B+U
⑤ (A'B)-A=A-A=Δ 답⃞ ④
05-2 A;C=Δ, B,C
.
. A;B=Δ
. A'B+A
. B;C=B
. A;BÇ =A-B=A
. AÇ 'C=AÇ
, , . 답⃞ ③
U
BCA
A
B
U
A
B
U
A,B일때, x<A이면x<B이다.
11 ⑴ A'B={1, 2, 3, 4, 6}
⑵ A;B={2, 4}
⑶ AÇ ={5, 6, 7}
⑷ U-A={5, 6, 7}
⑸ A-B={1, 3}
⑹ A;BÇ ={1, 3} 답⃞
22 U 4, 9
Δ, {1}, {7}, {1, 7}
답⃞ Δ, {1}, {7}, {1, 7}
33 ① B,A A;B=B
② B,A A'B=A
③ A;AÇ =Δ④ A-B=A;BÇ
⑤ A;(A'B)=A
답⃞ ⑤
44 U={1, 2, 3, y, 10}
U
A, B
.
⑴ B={3, 4, 8, 10}
⑵ A'B={2, 3, 4, 6, 7, 8, 10}
답⃞
UA B
486
2
7
3
105
9
1
유제 |
04-1 ⑴ A;B={1, 3} 3<A
a¤ +2a=3, a¤ +2a-3=0
(a+3)(a-1)=0 a=-3 a=1
⁄ a=-3 , A={0, 1, 3}, B={0, 1, 11}
A;B={0, 1}
¤ a=1 , A={0, 1, 3}, B={1, 3, 4}
A;B={1, 3}
a 1 .
⑵ A={5, a-3}, B={2, 5, 2a+1},
A'B={0, 2, 5, 7} 0<A 7<A
a-3=0 a-3=7
a=3 a=10
공집합은모든집합과서
로소이다.
A-B AÇ ;BÇA;B
A-B=A;BÇ=A-(A;B)=(A'B)-B
U-A=AÇ
A;BÇ =A-B
차집합의성질
여집합의성질
A={1, 5, a-b}에서A-B={3}이므로 3<A이고5<(A;B)➞ 5<B
우공비
Ⅰ
집합과
명제
5
03 집합의연산법칙
익히기 |
06-1 (A;B)'X=X
(A;B),X yy
X-A=ΔX,A yy
, (A;B),X,AA;B={a, e} X A
a, e .
X2fl —¤ =2› =16 답⃞ ⑤
06-2 A={2, 3, 5, 7}, B={2, 4, 6, 8}
A;B={2}, A'B={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
(A;B)'X=X (A;B),X yy
(A'B);X=X X,(A'B) yy
, (A;B),X,(A'B) X
A'B 2
.
X
2‡ —⁄ =2fl =64 답⃞ 64
06-3 X,A n(B;X)=3 X
A 2, 4, 6, 8
.
⁄ X 2, 4, 6 , 8
2° —› =2› =16
¤ X 2, 4, 8 , 6
2° —› =2› =16
‹ X 2, 6, 8 , 4
2° —› =2› =16
› X 4, 6, 8 , 2
2° —› =2› =16
X
16_4=64 답⃞ 64
y
22 A;(A;B) Ç
=A;(AÇ ' )
=(A;AÇ )'(A; )
= '(A-B)
=A-B 답⃞ BÇ BÇ Δ
33 (A-B)Ç ;A
=(A;BÇ )Ç ;A
={AÇ '(BÇ )Ç };A
=(AÇ 'B);A
=(AÇ ;A)'(B;A)
=Δ'(A;B)
=A;B 답⃞ ④
ΔBÇ
BÇ
A
B C
A
B C
A
A B'C A'B'CB C
' =
11
A
B C
A
B C
A
B C
' =
A'B C A'B'C
유제 |
07-1 {A;(A'B)}'{A;(AÇ 'B)}
07-1=A;{(A'B)'(AÇ 'B)}
07-1=A;{(A'AÇ )'(B'B)}
07-1=A;(U'B)
07-1=A;U
07-1=A 답⃞ A
07-2 {(A'B);(AÇ 'B)};{(BÇ;C)'(B'C)Ç }
={(A'B);(AÇ 'B)};{(BÇ;C)'(BÇ ;CÇ )}
={(A;AÇ )'B};{BÇ ;(C'CÇ )}
=(Δ'B);(B Ç ;U)
=B;BÇ
=Δ 답⃞ ①
①원소의 개수가 n개인집합의 부분집합의 개
수는
⋯ ⋯2_2_y_2(개)
②원소 n개 중 특정한
m개를원소로갖지않는부분집합의개수는
⋯ ⋯2_2_y_2(개)
③원소 n개 중 특정한
m개를 반드시 원소로갖는 부분집합의 개수
는
⋯ ⋯2_2_y_2(개)
n개
(n-m)개
(n-m)개
A;B=B;AA'B=B'A
A-B=A;BÇ
본책15 21쪽
(A;B)Ç =AÇ 'BÇ
(A'B)Ç =AÇ;BÇ
A;(B'C)=(A;B)'(A;C)
A'(B;C)=(A'B);(A'C)
보충학습
우공비
6
07-3 {(A'B);(A'BÇ )}'(A Ç ;B)
={A'(B;BÇ )}'(AÇ ;B)
=(A'Δ)'(AÇ ;B)
=A'(AÇ ;B)
=(A'AÇ );(A'B)
=U;(A'B)
=A'B
① A;B ② A'B ③ A-B
④ B-A ⑤ AÇ
② .
답⃞ ②
08-1 (A-B)'(A;B )=(A;B Ç )'(A;B )
=A;(B Ç 'B )
=A;U
=A
A={1, 2, 4} yy
(A'B);(A Ç 'BÇ )
=(A'B);(A;B) Ç
=(A'B)-(A;B)
(A'B)-(A;B)={4, 8} yy
A;B ,
A;B=A-{(A'B)-(A;B)}
={1, 2, 4}-{4, 8}
={1, 2} 답⃞ {1, 2}
08-2 U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
A;B={8},
A;BÇ =A-B={1, 4},
AÇ ;BÇ =(A'B)Ç ={2, 3, 7, 9}
B-A={5, 6, 10}B-A
5+6+10=21
답⃞ 21
08-3 U={1, 2, 3, y, 20}
A={1, 2, 3, 6, 9, 18} yy
(A-B)'(A-C)=(A;BÇ )'(A;C Ç )
=A;(B Ç 'C Ç )
=A;(B;C)Ç
=A-(B;C)
={1, 2, 3, 9} yy
UA B
856
10
14
3
7
2
9
A;B;C ,
A;B;C=A-{A-(B;C)}
={6, 18}
2 . 답⃞ 2
09-1 {(A;B)'(A-B)};B
={(A;B)'(A;BÇ )};B
={A;(B'BÇ )};B
=(A;U);B
=A;B
A;B=A A,B . 답⃞ A,B
09-2 (A'B);(AÇ 'BÇ )
=(A'B);(A;B)Ç
=(A'B)-(A;B)
=ΔA=B 답⃞ ④
09-3 (A-B)'(B-C)=ΔA-B=Δ B-C=ΔA,B B,C A,B,C
(A;B)'(A-C)=A'Δ=A 답⃞ ①
10-1 AΩB=(AÇ ;BÇ )Ç -(A;B)
=(A'B)-(A;B)
A={1, 3, 5},
AΩB={3, 4, 5}
.
B={1, 4}
답⃞ {1, 4}
10-2 A≠U=(A;U)'(A'U)Ç
=A'U Ç =A'Δ=A
A≠A=(A;A)'(A'A) Ç
=A'A Ç =U
A≠B=(A;B)'(A'B)Ç
B≠A=(B;A)'(B'A) Ç
=(A;B)'(A'B) Ç
A≠B=B≠A
, . 답⃞ ⑤
10-3 A X=(A-X)'(X-A)=B
.
X={2, 9, a} ,
X 15
2+9+a=15 a=4 답⃞ 4
A
92 a
3
6
X
UA B
135
4
2
6
합집합, 교집합에대하여 교환법칙이 성립한
다.
(A'B)-(A;B)=Δ이면A=B이다.
A=B
세 집합 A, B, C가서로다르므로
A=B=C=Δ일 수
는없다.
(AÇ;BÇ )Ç={(A'B)Ç }Ç=A'B
우공비
Ⅰ
집합과
명제
7
04 유한집합의원소의개수
익히기 |
11-1 (A¡™'A•);(A¡™'A™¢)=A¡™'(A•;A™¢)
=A¡™'A™¢=A¡™
답⃞ A¡™
11-2 ① A¢;A•=A•
② A∞'A¡º=A∞
③ (A™;A£)'A¡™=A§'A¡™=A§
④ (A™;A£)=A§ A¡™,(A™;A£)
⑤ A¢'A•=A¢ (A¢'A•),A™
④ . 답⃞ ④
11-3 A™;A£ 2 3 , 6
Aμ,A§
m 6 m 6 .
답⃞ 6
유제 |
12-1 n(A Ç ;BÇ )=n((A'B) Ç )
=n(U)-n(A'B)
n(A'B)=n(U)-n(AÇ ;BÇ )
=40-11=29
n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)
29=23+n(B)-8
n(B)=14 답⃞ 14
12-2 A£ 3
n(A£)=33
A¢ 4
n(A¢)=25
A£;A¢ 3 4 , 12
n(A£;A¢)=n(A¡™)=8
n(A£'A¢)=n(A£)+n(A¢)-n(A£;A¢)
=n(A£)+n(A¢)-n(A¡™)
=33+25-8=50 답⃞ 50
12-3 A B
n(A;B)=0, n(A;B;C)=0
n(B;C)=n(B)+n(C)-n(B'C)
=9+18-21=6
n(C;A)=n(C)+n(A)-n(C'A)
=18+6-23=1
n(A'B'C)
=n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B)
=-n(B;C)-n(C;A)+n(A;B;C)
=6+9+18-0-6-1+0=26 답⃞ 26
13-1 U,
A, B
n(U)=50, n(A)=30, n(A;B)=13,
n(AÇ ;BÇ )=n((A'B) Ç )=5
n(A'B)=n(U)-n((A'B) Ç )
=50-5=45
n(B)=n(A'B)+n(A;B)-n(A)
=45+13-30=28 답⃞ 28
13-2 1 100 U, n
X«n(U)=100, n(X™)=50, n(X£)=33,
n(X™;X£)=n(X§)=16
n(X™'X£)=n(X™)+n(X£)-n(X™;X£)
=50+33-16=67
2 3
(X™'X£)Ç
n((X™'X£)Ç )=n(U)-n(X™'X£)
=100-67=33 답⃞ ④
13-3 U, , ,
A, B, C
Aμ,A˚이면 m은 k의배수이다.
n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)
11 n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B)
=15+28-37=6 답⃞ 6
22 n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B)
=24+16-33=7
n(A-B)=n(A)-n(A;B)
=24-7=17 답⃞ 17
A£={3, 6, 9, y, 99}
A¢={4, 8, 12, y, 100}
n의배수의집합
A¡™={12, 24, y, 96}
(A;B);C=Δ;C=Δ
2와 3으로 나누어떨어지는 자연수의 집합,즉 6의 배수의 집합이다.
2 또는 3으로 나누어떨어지는 자연수의 집
합이다.
본책21 28쪽
우공비
8
n(U)=100, n(A)=36, n(B)=42, n(C)=49
n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)
n(A;B)-3n(A;B;C)=29
n(A;B;C)=15
n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)=74
A'B'C
n(A'B'C)=n(A)+n(B)+n(C)
=-n(A;B)-n(B;C)
-n(C;A)+n(A;B;C)
n(A'B'C)=36+42+49-74+15=68
답⃞ 68
14-1 U, A
B A, B
n(U)=32, n(A)=17, n(B)=23
A, B
n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B)
=40-n(A'B)
⁄ n(A;B) n(A'B)
, A,B n(A;B)
n(A;B)=n(A)=17
¤ n(A;B) n(A'B)
, A'B=U n(A;B)
n(A;B)=40-n(A'B)
=40-n(U)=40-32=8
17+8=25 답⃞ ⑤
14-2 U,
A, B
n(U)=40, n(A)=10, n(B)=27
n((A'B) Ç )=n(U)-n(A'B)
=40-n(A'B)
⁄ n((A'B) Ç ) n(A'B)
, A,B n((A'B) Ç )
n((A'B)Ç )=40-n(A'B)
=40-n(B)=40-27=13
종합문제 |
01 ④ 02 -3 03③ 04 8 05④ 06②
07② 08 24 09① 10 10 11 18 12①
13④ 14② 15② 16 12 17 31 18①
19④ 20⑤ 21③ 22 20
01 A, B, C
.
A={2, 3, 5, 7}, B={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19},
C={3, 5, 7} C,A,B 답⃞④
02 A, B A=B A, B
.
B 3 A
a¤ +2a=3, a¤ +2a-3=0
(a+3)(a-1)=0
a=-3 a=1
⁄ a=-3 , A={-2, 3}, B={-2, 3}
A=B
¤ a=1 , A={-2, 3}, B={3, 6}
A+B
A=B a -3 .
답⃞-3
03.
1, 2 3
{4, 5, 6} 3
2fl —‹ =2‹ =8 답⃞③
04 A-B A, B, X
.
A-B={1, 2}
A;X=X
X,A yy ⋯ 30`%
전략
전략
전략
전략
¤ n((A'B) Ç ) n(A'B)
, A;B=Δn((A'B) Ç )
n(A'B) Ç )=40-n(A'B)
=40-{n(A)+n(B)}
=40-(10+27)=3
13+3=16 답⃞ 16
A과목을 신청한 학생17명 모두가 B과목을신청한경우
A,B일때,⋯A;B=A
축구공을 가지고 있는
회원 10명 모두가 농구공을 가지고 있는
경우
A,B일때, ⋯A'B=B
학급의 학생 32명이모두 A과목또는 B과목을신청한경우
축구공과 농구공 2개를 모두 가지고 있는
회원이없는경우
A;B=Δ일때,n(A'B)=n(A)+n(B)
9
우공비
(A-B)'X=X
(A-B),X yy ⋯ 30`%
, (A-B),X,A X
{1, 2, 3, 4, 5} 1, 2
.
X 2fi —¤ =2‹ =8 40`%
05 A-B=A;BÇ .
(A-B)'(A-C)=(A;BÇ )'(A;C Ç )
=A;(B Ç 'C Ç )
=A;(B;C) Ç
=A-(B;C)
답⃞④
.
06 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)
.
n(A Ç ;BÇ )=n((A'B)Ç )=n(U)-n(A'B)
=25-n(A'B)=10
n(A'B)=25-10=15
n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)
n(A)+n(B)=n(A'B)+n(A;B)
=15+5=20 답⃞②
07 A,B x<A x<B
A, B a .
A 1 B
a-1=1 2a+1=1
a=2 a=0
⁄ a=2 , A={1, 2}, B={1, 2, 5}
A,B
¤ a=0 , A={0, 1}, B={-1, 1, 2}
A¯B
A,B a 2 . 답⃞②
08 2 4 2, 4
.
2 4
2, 4
.
전략
전략
전략
' =
UA
B C
UA
B C
UA
A-C A-(B;C)
B C
A-B
다른 解
전략
Ⅰ
집합과
명제A
2fi =32
A 2, 4
2fi —¤ =2‹ =8
A 2 4
32-8=24
답⃞ 24
2
2fi —⁄ =16
4
2fi —⁄ =16
2, 4
2fi —¤ =8
2 4
16+16-8=24
09 A, B, X
.
A,B A'X=B X
B-A B
.
B-A,X,B X
B B-A 5
.
X
28-5=2‹ =8
답⃞①
10 U A, B
, A;BÇ =A-B .
U={-5, -4, -3, y, 3, 4, 5},
A={-4, -3, -2, y, 2, 3, 4},
B={1, 2, 3, 4, 5}
A;BÇ =A-B
={-4, -3, -2, -1, 0}
(A;BÇ )Ç ={-5, 1, 2, 3, 4, 5}
-5+1+2+3+4+5=10
답⃞ 10
AÇ ={-5, 5}
(A;BÇ )Ç =AÇ 'B
={-5, 5}'{1, 2, 3, 4, 5}
={-5, 1, 2, 3, 4, 5}
다른 解
전략
B
A
전략
다른 解
드모르간의 법칙에 의
하여
(A;BÇ )Ç=AÇ '(BÇ )Ç=AÇ 'B
(적어도한개인경우)=(전체의경우)-(한개도아닌경우)
B-A,X
본책28 31쪽
우공비
10
11 U A, B
.
U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
AÇ ;B=B-A={1, 4, 5},
AÇ ;BÇ =(A'B) Ç ={2, 6} 40`%
A={3, 7, 8} 40`%
A
3+7+8=18 20`%
A=(A'B)-(B-A)
={1, 3, 4, 5, 7, 8}-{1, 4, 5}
={3, 7, 8}
참고 주어진조건으로 A;B의원소를구할수는없다.
12.
={(AÇ ;BÇ )'(B-A)}'BÇ
={(AÇ ;BÇ )'(B;AÇ )}'BÇ
={AÇ ;(B Ç 'B)}'BÇ
=(AÇ ;U)'BÇ
=AÇ 'BÇ =(A;B) Ç =AÇ
A;B=A A,B 답⃞①
13.
P,(PÇ 'Q)
P-(PÇ 'Q)=ΔP;(PÇ 'Q)Ç =ΔP;(P;QÇ )=Δ
P;QÇ =Δ 답⃞④
14 A-B=A-(A;B) .
n(A Ç ;B)=n(B-A)
=n(B)-n(A;B)
=36-n(A;B)
11=36-n(A;B)
n(A;B)=36-11=25
n(A;B Ç )=n(A-B)
=n(A)-n(A;B)
=28-25=3 답⃞ ②
n(A;BÇ )=n(A-B)
=n(A'B)-n(B)
=n(A)+n(B-A)-n(B)
=28+11-36=3
다른 解
전략
전략
전략
다른 解
UA B 2
64
5
1
전략 15 A¢, A§, A•
.
A•,A¢ A¢,
A§, A•
.
n(A¢)=50, n(A§)=33, n(A•)=25,
n(A¢;A§)=n(A¡™)=16
n(A¢'A§)=n(A¢)+n(A§)-n(A¢;A§)
=50+33-16=67
n((A¢'A§);A•Ç )=n(A¢'A§)-n(A•)
=67-25=42
답⃞②
16 A;B=Δ, A;B+Δ.
⁄ A;B=Δ ,
⁄ A={1} B={2} B={3}
⁄ A={2} B={1} B={3}
⁄ A={3} B={1} B={2}
⁄ (A, B) 6 40`%
¤ A;B+Δ ,
⁄ A={1, 2} B={1, 3} B={2, 3}
⁄ A={1, 3} B={1, 2} B={2, 3}
⁄ A={2, 3} B={1, 2} B={1, 3}
⁄ (A, B) 6 40`%
(A, B) 12 . 20`%
17 .
U, A , B
A, B
n(U)=80, n(A)=34, n(B)=59,
n(A'B)=71
A B A;B
n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B)
=34+59-71=22
A B
(A'B) Ç
n((A'B) Ç )=n(U)-n(A'B)
=80-71=9
A B A B
22+9=31
답⃞ 31
전략
전략
A¢ A§
A•
U
전략
A,B이면A-B=Δ이다.
A'B=((A'B)Ç )Ç={2, 6}Ç
결합법칙에의하여
P;(P;Q Ç )=(P;P);Q Ç=P;QÇ
B={1, 3}에서 1은A;B의원소, 3은B-A의원소이다.
색칠한부분이
(A¢'A§);A•Ç 이다.
우공비
Ⅰ
집합과
명제
11
18 A, B, C
.
A, B, C
n(A B)=n((A'B)-(A;B))
=a+d+e+f=75
yy
n(B C)=n((B'C)-(B;C))
=b+d+e+g=68 yy
n(C A)=n((C'A)-(C;A))
=a+b+f+g=55 yy
n(A'B'C)=a+b+c+d+e+f+g=120
yy
+ +
2(a+b+d+e+f+g)=198
a+b+d+e+f+g=99 yy
n(A;B;C)
=n(A'B'C)-n(A)-n(B)-n(C)
+n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)
=120-(a+b+c+d )-(b+c+e+f )
=-(c+d+f+g)+(b+c)+(c+f )+(c+d)
=120-(a+b+d+e+f+g)=120-99=21
답⃞①
19 A£, A¢, A∞ .
A£=[[ ], [ ], [ ]]={0, 1, 3}
A¢=[[ ], [ ], [ ], [ ]]={0, 1, 2, 4}
A∞=[[ ], [ ], [ ], [ ], [ ]]
A∞={0, 1, 3, 5}
3 A£, A∞ .
답⃞④
20 3« 6« A(3), A(6)
.
. 3⁄ =3, 3¤ =9, 3‹ =27, 3› =81, 3fi =243, y
. A(3)={1, 3, 7, 9}
. 1<A(3)
. 6⁄ =6, 6¤ =36, 6‹ =216, y
. A(6)={6}
. A(6)¯A(3)
전략
5¤5
4¤5
3¤5
2¤5
1¤5
4¤4
3¤4
2¤4
1¤4
3¤3
2¤3
1¤3
전략
A
a
c
fe gb d
B C
전략 . 3« 3 A(3« )=A(3)
n=5 A(3fi )={1, 3, 7, 9}
A(3fi )=A(3)
, . 답⃞⑤
21,
.
⑴, ⑵, ⑶
A, B, C ,
.
⑴, ⑵, ⑶
150, 140, 180
n(A)=a+b+c+d=150 yy
n(B)=b+c+e+f=140 yy
n(C)=c+d+f+g=180 yy
120
b+c+d+f=120 yy
a+e+g ,
c
a+c+e+g .
, , ,
a+c+e+g=n(A)+n(B)+n(C)-2(b+c+d+f)
=150+140+180-2_120
=230 답⃞③
22 S M
. .
S
a+a, a+b, a+c, b+b, b+c, c+c
6 5 , a<b<c a+c=b+b
.
S={a+a, a+b, a+c, b+c, c+c} ,
40
4a+2b+4c=40, 2(2a+b+2c)=40
2a+b+2c=20 답⃞ 20
참고 a<b<c에서
⋯⋯a+a+a+b+b+b+b+c+c+c
이므로 a+c=b+b이다.
전략
A
a
c
fe gb d
B C
전략
㉤
n(A)+n(B)+n(C)=(a+b+c+d)+(b+c+e+f)+(c+d+f+g)
=(a+e+g)+2(b+d+f)+3c
본책31 33쪽
㉣
12
05 명제와조건
11 ①
④
②, ③, ⑤` ,
. 답⃞ ①, ④
22 ⑴ p . ( )
⑵ 3¤…10 ( )
답⃞
33 ⑴ x-3<0 x<3
p
{1, 2}
⑵ (x-2)(x-3)=0 x=2 x=3
q
{2, 3}
답⃞ ⑴ {1, 2} ⑵ {2, 3}
44 ⑴ x+2 y+3
⑵ x+2 y+3
⑶ 0…x<4
⑷ x…0 x>4
답⃞
익히기 |
유제 |
01-1 U={1, 2, 5, 10}
⑴ 10 1, 2, 5, 10
15 1, 3, 5, 15
p {1, 5}
⑵ x¤ -8x+15=0 (x-3)(x-5)=0
x=3 x=5
q {5}
답⃞ ⑴ {1, 5} ⑵ {5}
01-2 U={1, 2, 3, 4, 6, 12}
;[*; x 1, 2, 4, 8
p P
P={1, 2, 4}
x¤ +x-6=0
(x+3)(x-2)=0
x=-3 x=2
q Q
Q={2}
⑴ p ~q P'QÇ
P'QÇ ={1, 2, 3, 4, 6, 12}
⑵ ~p q PÇ ;Q
PÇ ;Q=Δ답⃞ ⑴ {1, 2, 3, 4, 6, 12} ⑵ Δ
01-3 U={1, 2, 3, y, 10}
p, q
P, Q
P={3, 6, 9}
Q={2, 3, 5, 7}
⑴ ~(p q) (P'Q)Ç
(P'Q)Ç ={1, 4, 8, 10}
⑵ ~(p ~q) (P;QÇ )Ç
(P;QÇ )Ç =PÇ 'Q={1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10}
답⃞ ⑴ {1, 4, 8, 10} ⑵ {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10}
UP Q
369
25
7
4
8
1
10
PQ
U3
621
412
06 명제 p 22⁄⁄ q
익히기 |
11 ⑴ x=-3 x¤ =9 .
⑵
답⃞ ⑴ , x=-3 ⑵
22 ⑤ R,P r 2⁄ p .
답⃞ ⑤
33 ⑴
.
우공비
명제02집합과명제Ⅰ
전체집합이 자연수 전
체의집합이므로
⋯x=1, 2
전체집합이 실수 전체
의집합이므로
⋯x=2, 3
부정= ¤2⁄ +
부정< ¤2⁄ æ
부정> ¤2⁄ …
부정그리고¤2⁄ 또는
p 2⁄ q ,두조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라하면
P,Q이면명제p 2⁄ q는참이다.P¯Q이면명제p 2⁄ q는거짓이다.
드모르간의법칙
U A, B
(A'B)Ç =AÇ ;BÇ
(A;B)Ç =AÇ 'BÇ
보충학습
우공비
Ⅰ
집합과
명제
13
본책37 43쪽
R,P, R,Q ③ r 2⁄ p
. 답⃞ ③
03-3 P, Q, R
P'Q=Q, P;R=Δ
.
① P,Q p 2⁄ q
② P,RÇ p 2⁄~r
③ R,PÇ r 2⁄~p
④ (P'R)¯Q (p r) 2⁄ q
⑤ R,(P;Q)Ç r 2⁄~(p q)
답⃞ ④
04-1 p, q
p -2…x…4, q -a…x…a
p 2⁄ q
{x|-2…x…4},{x|-a…x…a}
-a…-2, aæ4
aæ4
a 4 .
답⃞ ④
04-2 0<x-3…5 3<x…8
1…x-a…7 a+1…x…a+7
p 2⁄ q
{x|3<x…8},{x|a+1…x…a+7}
a+1…3, a+7æ8
1…a…2
a 1, 2 .
답⃞ 1, 2
04-3 p, q
p x¤ -2x-3=0, q a-4<x<a+5
x¤ -2x-3=0
(x+1)(x-3)=0
x=-1 x=3
p 2⁄ q
{-1, 3},{x|a-4<x<a+5}
a-4<-1, a+5>3
-2<a<3
a 2, -1
2+(-1)=1
답⃞ 1
a+5a-4 3-1 x
a+7a+1 83 x
a-a 4-2 x
UQ R
P
조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할
때, P,Q이어야한다.
-2<a<3의 범위에
속하는정수 a는⋯-1, 0, 1, 2
유제 |
02-1 ⑴ x=8 x 8 12
.
⑵ x='2, y=-'2 x, y
x+y=0 .
답⃞ ⑴ ⑵
02-2 xy x y
.
. xy=2 x=1 .
. xy=2 y=1 .
, .
답⃞ ,
02-3 . x=-2 x¤ +x-2=0
x+1 .
. 2x>8 x>4 , -3x<15 x>-5
x>4 x>-5 . .
. x='2 x¤ =2 x
.
.
답⃞ ②
03-1 ~q 2⁄ p
QÇ ,P .
.
⑤ P'Q=U .
답⃞ ⑤
03-2 P, Q, R
R,(P;Q)
.
P QR
U
UP
QÇ
조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할
때,명제 p 2⁄ q가 거짓임을 보이는 반례는
p이지만 q가 아닌 예,즉집합 P-Q의원소이다.
{x|x>4},{x|x>-5}
⑵ x ¤ +1=0, x¤ =-1 x
.
답⃞ ⑴ ⑵
44 ⑴ x x¤ <0 .
⑵ .
답⃞
부정모든¤2⁄ 어떤
P,Q
P;Q=P
우공비
14
07 명제의역, 이, 대우
익히기 |
유제 |
05-1 ⑴ x, y x=0 y=0
x¤ +y¤ =0 . ( )
x=0, y=1 x=0 y=0
x¤ +y¤ =1+0 .
x, y x¤ +y¤ +0 x+0
y+0 . ( )
x=1, y=0 x¤ +y¤ +0 x+0
y=0 .
x, y x+0 y+0
x¤ +y¤ +0 . ( )
⑵
. ( )
ABC= DEF=2
.
. ( )
ABC DEF
ABC= DEF .
A D
B C2
2
2
2
E F
명제와 그 대우의 참, 거짓은일치한다.
(삼각형의넓이)
=;2!;_(밑변)_(높이)
이므로 두 삼각형의
밑변의 길이와 높이만
같으면 모양에 상관없
이넓이가같다.
. ( )
답⃞
05-2 . x, y x=0 y=0
xy=0 . ( )
x, y x+0 y+0
xy+0 . ( )
x=0, y=1 x+0 y+0
xy=0 .
. x+y x, y . ( )
x='2, y=-'2 x+y=0
x, y .
x+y x y
. ( )
. A, B A'B=B A,B
. ( )
A, B A'B+B
A¯B . ( )
.
답⃞
05-3.
. .
3 B .
답⃞ ③
06-1 ⑴ a=2 b=5
ab=10 . .
a=2, b=5 ab=2¥5=10 .
. y
⑵ m, n m
n mn . .
m n
m=2a-1, n=2b-1 (a, b )
mn=(2a-1)(2b-1)
=4ab-2a-2b+1
=2(2ab-a-b)+1
mn .
. y
주어진명제에서
가정：두 삼각형은 합
동이다.결론：두 삼각형의 넓
이가같다.
부정모음¤2⁄ 자음
부정홀수¤2⁄ 짝수
명제 p 2⁄ q에대하여역：q 2⁄ p이：~p 2⁄ ~q대우：~q 2⁄ ~p
11 ⑴
⑵
⑶
답⃞ ⑴ ⑵ ⑶
22 ⑴ x¤ =y¤ x=y .
⑵ x+y x¤ +y¤ .
⑶ x¤ +y¤ x+y . 답⃞
33 ~p 2⁄ q ~q 2⁄ p
. 답⃞ ③
44 p 2⁄~q, ~q 2⁄ r
p 2⁄ r . 답⃞ ②
우공비
Ⅰ
집합과
명제
15
본책45 50쪽
08 필요조건과충분조건
익히기 |
06-2 a+1 a 2
a . a
.
a+1 .
답⃞ 2
06-3 m, n, l 3
m=3a—1, n=3b—1, l=3c—1
(a, b, c 0 )
.
( , a, b, c 0 m=3a+1, n=3b+1,
l=3c+1 .)
m¤ +n¤ =(3a—1)¤ +(3b—1)¤
=9a¤ —6a+1+9b¤ —6b+1
=3(3a¤ +3b¤ —2a—2b)+2
l¤ =(3c—1)¤ =9c¤ —6c+1=3(3c¤ —2c)+1
m¤ +n¤ +l¤
m¤ +n¤ =l¤ m, n, l
3 . y
07-1 p 2⁄~r, ~p 2⁄ q
r 2⁄~p, ~q 2⁄ p ②,④
.
r 2⁄~p, ~p 2⁄ q
r 2⁄ q ③
.
r 2⁄ q
~q 2⁄~r ⑤
. 답⃞ ①
07-2 p 2⁄~r, q 2⁄ r, ~p 2⁄~s
r 2⁄ ~p, ~r 2⁄~q, s 2⁄ p ,
.
p 2⁄~r, ~r 2⁄~q
p 2⁄ ~q
, s 2⁄ p, p 2⁄~r
2
s 2⁄~r
.
, , , 4 .
답⃞ 4
07-3 p 2⁄~q
q 2⁄~p
.
q 2⁄~p, ~r 2⁄ s q 2⁄ s
~p 2⁄~r
.
~p 2⁄~r r 2⁄ p
r 2⁄ p .
답⃞ ②
두조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라할때,p jjK q이면⋯⋯P,Qp HjjK q이면⋯⋯P=Q
11 p, q P, Q .
⑴ P,Q p q .
⑵ p x(x-10)=0
x=0 x=10
P={0, 10}
q x=0 Q={0}
Q,P p q .
⑶ p x-1=0 x=1
P={1}
q |x-1|=0 x=1
Q={1}
P=Q p q .
답⃞ ⑴ ⑵ ⑶
22 p q
Q,P .
.
①PÇ,QÇ
②P'Q=P
③P;Q=Q
P
Q
U
Q,P이고, P+Q이므로 Q는 P의진부분집합이다.
m¤ +n¤과 l¤은 3으로나누었을 때 나머지가
각각 2, 1이므로⋯m¤ +n¤ +l¤
1 1
. 2 2
.
보충학습
결론을 부정하여 가정이
모순임을 보여줌으로써
명제가참임을증명한다.
우공비
16
④Q-P=Δ⑤P-Q+Δ
④ . 답⃞ ④
33 ⑴ R,Q q r .
⑵ P,R Ç p ~r .
답⃞ ⑴ ⑵
유제 |
08-1 p, q p, q
P, Q .
⑴ p a .
q a 3 .
P={1, 3, 5, 7, 9, y}
Q={3, 5, 7, 11, y}
Q,P p q .
⑵ p : xy=0, q : xyz=0
xy=0 xyz=0 p jjjK qp jjjK/ q .
p q .
⑶ p :A-B=Δ, q :A;B=A
A-B=Δ A,B A;B=A ,
A;B=A A,B A-B=Δ .
p HjjKqp q .
답⃞ ⑴ ⑵ ⑶
08-2 ⑴ A C
B C A, B, C
.
A C
.
⑵ C
, A B .
C
.답⃞ ⑴ ⑵
09-1 p, q, r P, Q, R
P={x|xæk},
Q={x|-1…x…1},
R={x|x>0}
p q r (Q'R),P
.
k…-1
k -1
.
답⃞ -1
09-2 |x-a|…1
-1…x-a…1
a-1…x…a+1
p, q P, Q
P={x|0…x…3},
Q={x|a-1…x…a+1}
p q Q,P .
a-1æ0,
a+1…3 1…a…2
.
답⃞ 1…a…2
09-3 p 1…x…4, q a…x…3, r 0…x…b
q p , r p
.
p, q, r P, Q, R
Q,P, P,R Q,P,R
1…a…3, bæ4 .
a 1,
b 4
4 . 답⃞ 4
10-1 P, Q
P'Q=U, P;Q=Δ
.
Q=P Ç q ~p
.
답⃞
10-2 ~p q
P Ç ,Q ,
.
④ P'Q=U .
답⃞ ④
UQ
PÇ
U
P Q
40 1 3a b x
PR
Q
a+1a-10 3 x
QP
k 10-1
P
RQ
x
소수는 2를 제외하고
모두홀수이다.
[반례] x=y=1, z=0이면 xyz=0이지만xy+0이다.
③ P;Q=Q-PÇ⑤ Q-P=PÇ
|x|…a (a>0)이면⋯-a…x…a
우공비
Ⅰ
집합과
명제
17
본책50 54쪽
종합문제 |
01 ④ 02③ 03⑤ 04 4…a…5
05 06① 07② 08③ 09④
10 11③ 12 3 13⑤ 14④
15⑤ 16⑴ ⑵ 17③
18 (P'Q'R)Ç 19 24 20⑤ 21④
22③ 23①
10-3 P, Q, R
P'Q=Q, Q;R=Δ
.
① P,Q p q .
② P,RÇ p ~r .
③ Q¯R, R¯Q q r
.
④ R,PÇ ~p r .
⑤ Q,R Ç ~r q .
답⃞ ③
U
PQ R
p, q P, Q
P,Q , [p q
q p
P=Q , p q
보충학습
01
① a=0 a¤ =0 .
② a=1, b=2, c=-3 ac>bc a<b
.
③ a=2, b=;2!; ab=1 a+1 b+1
② .
④ a=0 b=0 , ab=0
a+0 b=0 , ab=0
a=0 b+0 , ab=0
.
⑤ a='2, b=-'2 a+b=0, ab=-2
a, b .
답⃞④
02 .
. x¤ +1>0
.
전략
전략
. x-1…0
.
x=3 x-1>0
. x¤ +1<0
.
. x=0 x-1…0 .
, . 답⃞③
03 p 2⁄ q , p
q .
~p 2⁄ q , ~p
q .
~p q
PÇ -Q=PÇ ;QÇ =(P'Q)Ç
(P'Q)Ç .
답⃞⑤
04 p, q
.
p q a-1<x<a+1
3<x<6 . .
{x|a-1<x<a+1},{x|3<x<6}
a-1æ3 , a+1…6
4…a…5
답⃞ 4…a…5
05 .
⑴ a, b a+b . ( ) 25`%
⑵ : a+b a, b . ( )
a=;2!;, b=-;2!; a+b=0
a, b . 25`%
: a, b a+b
. ( ) 25`%
: a+b a, b
. ( ) 25`%
06 p, q
.
U p, q P, Q
p q P,Q .
QÇ ,PÇ .
~p ~q
. 답⃞①
P
QU
전략
전략
63 a+1a-1 x
전략
전략
P'Q=QHjjK P,Q
Q;R=ΔHjjK Q,RÇP,Q이고 Q,RÇ 이므로⋯⋯P,RÇ
전체집합 U에 대하여
조건 p의 진리집합을 P라할때,모든 x에 대하여 p 가참HjjK P=U어떤 x에 대하여 p 가참HjjK P+Δ
‘모든’이 있는 명제는
반례가 하나만 존재하
여도거짓이다.
‘어떤’이 있는 명제는
그것을 만족시키는 것
이 하나만 존재하여도
참이다.
q jjjK p
우공비
18
07 x 3 2
.
x 3 2
x=3n+2 (n=0, 1, 2, y, 32) .
n
. n=1, 3, 5, y, 31
P={5, 11, 17, y, 95} .
P 16 . 답⃞②
3 3, 6, 9, y, 99 x+1 3
x=2, 5, 8, y, 98 .
x=5, 11, 17, y, 95
P 16 .
08 p, q
.
U p, q P, Q
p q P'Q
P'Q={1, 2, 3, 4, 5}
p ~q P;QÇ
P;QÇ =P-Q={1, 2}
~p q PÇ ;Q
PÇ ;Q=Q-P={4, 5}
P, Q
.
Q={3, 4, 5}
3+4+5=12
답⃞③
09 ,
.
x>1 y>1 x+y>2 . ( )
x+y…2 x…1 y…1 . ( )
x…1 y…1 x+y…2 . ( )
x=1, y=2 x…1 y…1
x+y>2 .
답⃞④
10.
n 3 n¤ 3
. . 20`%
전략
전략
UP
1
23
4
5
Q
전략
다른 解
전략 n=3k-2 n=3k-1(k )
⁄ n=3k-2 ,
n¤ =(3k-2)¤
=9k¤ -12k+4
=3(3k¤ -4k+1)+1 25`%
¤ n=3k-1 ,
n¤ =(3k-1)¤
=9k¤ -6k+1
=3(3k¤ -2k)+1 25`%
n¤ 3 1 n
3 n¤ 3 . 20`%
. y 10`%
11 p jjjK q .
① x¤ =y¤ x=—y q jjK pp q .
② x¤ =0 x=0 |x|=0 x=0
p HjjK qp q .
③ x¤ +y¤ =0 x=y=0 ,
xy=0 x=0 y=0 p jjK qp q .
④ x=1, y=-1 ;[!;>;]!; x>y
④ p jjK/ q
④ x=-2, y=1 x<y ;[!;<;]!;
④ q jjK/ p
④ p q
.
⑤ x=-2, y=1 x¤ >y¤ x<y
p jjK/ q
x>y>0 x¤ >y¤ q jjK pp q .
답⃞③
참고 x>y>0에서 x>0, y>0이므로⋯⋯x+y>0
x>y이므로⋯⋯x-y>0
⋯⋯(x+y)(x-y)=x¤ -y¤ >0⋯⋯∴ x¤ >y¤
따라서 x>y>0이면⋯⋯x¤ >y¤
12 p, q .
{x|-1…x…2 xæ4},{x|xæa}
a…-1a 42-1 x
전략
전략
x+1이 3의 배수, 즉3으로 나누었을 때의
나머지가 0이므로 x는3으로 나누었을 때의
나머지가 2인수이다.
명제의 역과 이는 서
로 대우 관계에 있으
므로 역이 참이면 이
도 참이고, 역이 거짓이면이도거짓이다.
x¤ =y¤에서⋯x¤ -y¤ =0⋯(x+y)(x-y)=0∴ x=-y 또는 x=y
우공비
Ⅰ
집합과
명제
19
본책 55 57쪽
{x|xæb},{x|-1…x…2 xæ4}
bæ4
a
-1, b 4
-1+4=3 답⃞ 3
13 .
~p jjjK q ~q jjjK p ①
r jjjK ~q q jjjK ~r ②
~p jjjK q q jjjK ~r
~p jjjK ~r ③
~p jjjK ~r r jjjK p ④
답⃞⑤
14 P, Q, R
.
(P'Q);RÇ =Δ HjjK (P'Q)-R=ΔHjjK (P'Q),R
P, Q, R
.
① P,R r p
.
② Q,R q r .
③ (P'Q),R r p q
.
④P;R=P P Q
p r q
.
⑤ Q,(P'R) q p r
. 답⃞④
15 P Q
.
p(x) x q(x)
.
x x<P x<Q
P;Q+Δ 답⃞⑤
16 P, Q .
⑴ P;QÇ =Δ HjjK P-Q=ΔHjjK P,Q
HjjK QÇ ,PÇ
⑴ ~q ~p .
전략
전략
RQP
U
전략
전략
b42-1 x
⑵ P'QÇ =U HjjK (P'QÇ )Ç =U Ç
HjjK PÇ ;Q=ΔHjjK Q-P=ΔHjjK Q,P
⑵ p q .
답⃞ ⑴ ⑵
17 (A'B)-(A;B)=(A-B)'(B-A)
.
(A'B)-(A;B)=(A-B)'(B-A)=A-B
(B-A),(A-B)
B,A 답⃞③
18 p, q, r, s P, Q, R, S
.
P={x|0<x<3},
Q={x|xæ4},
R={x|x…-1} 30`%
s S
S={x|-1<x…0 3…x<4}
=(PÇ ;RÇ );(PÇ ;QÇ ) 40`%
=PÇ ;QÇ ;R Ç
=(P'Q'R) Ç
s (P'Q'R)Ç . 30`%
19 A(p, q)=P;QÇ =P-Q .
A(q, p)=Q-P={3, 6}
A(~p, q)=P Ç -Q=PÇ ;QÇ
=(P'Q)Ç ={7, 8}
A(q, p)'A(~p, q)={3, 6, 7, 8}
A(q, p)'A(~p, q)
3+6+7+8=24 답⃞ 24
20 A, B, C
.
⁄ A ,
A : , B : , C :
.
¤ B ,
A : ,
B : ,
C :
.
‹ C ,
A : , B : ,
전략
전략
0-1 43 x
0-1 43 x
R P Q
전략
전략
P'R=R
전체집합 U에 대하여 두조건 p, q의 진리집합을각각 P, Q라 할 때, 명제 p 2⁄ q가 거짓임을
보이는반례는집합
P-Q의원소이다.
명제 ~p가 거짓이면
p는 참이다. 즉‘야구부가 아니다.’라는 말
이 거짓이면‘야구부
이다.’는참이다.
우공비
09 실수의분류와연산
11 ② I,(̀R-Z)
답⃞ ②
22 ⑴
⑴ A={-1, 0, 1}
-2≤A, 2≤A
A
.
⑵ x-y, x_y, x÷y .
답⃞
33 ⑴ 2Ω3=2¥3+2-3=5
⑵ (-3)Ω4=(-3)¥4+(-3)-4
=-19
⑶ (3Ω2)Ω5=(3¥2+3-2)Ω5
=7Ω5
=7¥5+7-5=37
답⃞ ⑴ 5 ⑵ -19 ⑶ 37
RQ
IZN
익히기 |
y x -1 0 1
-1 -2 -1 0
0 -1 0 1
1 0 1 2
y x -1 0 1
-1 1 0 -1
1 -1 0 1
x÷y
y x -1 0 1
-1 1 0 -1
0 0 0 0
1 -1 0 1
x_y
y x -1 0 1
-1 0 1 2
0 -1 0 1
1 -2 -1 0
x-y
A
.
A
.
A
.
수체계Ⅱ
실수03
집합 A가연산 Á에대하
여닫혀있다.➞ 집합 A의 두 원소의연산의 결과가 집합 A의원소이다.
연산 결과가 하나라도
그 집합에 속해 있지
않으면 연산에 대하여
닫혀있지않다.
1-(-1)=2≤A
-1-1=-2≤A
3Ω2=3¥2+3-2=7이므로 연산을 할 때
에는순서에유의한다.
20
C :
A : , B : , C :
.
, ,
C, B, A . 답⃞⑤
참고 명제‘나는 야구부가 아니다.’의 부정은‘나는 야구부
이다.’이고, 명제‘나는야구부이다.’의부정은‘나는야구부가
아니다.’, 즉‘나는축구부또는농구부이다.’이다.
21 A, B .
A A={x|-a…x…a}
B B={x|1-b…x…1+b}
A;B=Δ ,
A, B
.
A;B=Δ a<1-b , a<1-b
A;B=Δ .
A;B=Δ a+b<1
. 답⃞④
22 p 2⁄ q P,Q .
p 2⁄ q P,Q ,
q 2⁄ r Q,R .
P, Q, R
. ( , U
)
. P,Q,R P,R ( )
. P'Q=Q (P'Q),R ( )
. Q,(P'R) (P'R) Ç ,QÇ
(P Ç ;RÇ ),QÇ ( )
, . 답⃞③
23 P, Q
.
P-Q=Δ P,Q
P'Q=U, P+Q
Q=U .
.
. P,Q p 2⁄ q .
. PÇ ,Q ~p 2⁄ q .
. Q¯P q 2⁄ p .
. Q¯PÇ q 2⁄ ~p .
, . 답⃞①
U=Q
P
전략
URQP
전략
-a a x
A
1-b 1+b
B
전략
위수직선의경우에는
⋯1+b<-a한편 a, b가양수라는조건에의하여
⋯1+b>0, -a<0이므로위와같은경우는
성립하지않는다.
-a a x
B
1-b 1+b
A
P,Q이고P'Q=U이므로P'Q=Q=U이다.
B가 야구부이므로 C는야구부가아니다.따라서 C는 축구부이다.
우공비
21
Ⅱ
수체계
본책57 64쪽
유제 |
01-1 ⑴ A
x=2å , y=2∫ (a, b )
xy=2å ¥2∫ =2å ±∫ <A ( a+b )
A .
2<A, 4<A
2+4=6≤A, 2-4=-2≤A, ;4@;=;2!;≤A
A , ,
.
⑵ B
x=a+b'2, y=c+d'2(a, b, c, d )
⁄ x+y=(a+b'2 )+(c+d'2 )
=(a+c)+(b+d)'2
⁄ a+c, b+d
x+y<B
¤ x-y=(a+b'2)-(c+d'2)
=(a-c)+(b-d)'2
⁄ a-c, b-d
x-y<B
‹ xy=(a+b'2 )(c+d'2 )
=(ac+2bd)+(ad+bc)'2
⁄ ac+2bd, ad+bc
xy<B
B , ,
.
1+'2<B, 2+'2<B
= = ≤B
B .
답⃞ ⑴ ⑵ , ,
01-2 Ax=2a+1, y=2b+1 (a, b )
xy=(2a+1)(2b+1)=2(2ab+a+b)+1<A
A .
1<A, 3<A
1+3=4≤A, 1-3=-2≤A, ;3!;≤A
A , ,
.
A 5 .
답⃞ 5
'22
(1+'2 )(2-'2 )(2+'2 )(2-'2 )
1+'22+'2
01-3 Sx¤ <S .
x¤ =x x¤ =1
⁄ x¤ =x , x¤ -x=0
x(x-1)=0 x=0 ( x+1)
¤ x¤ =1 , x¤ -1=0
(x+1)(x-1)=0 x=-1 ( x+1)
x=0 x=-1 x
-1 . 답⃞ -1
02-1 1+'2
1+'2 -1='2
.
'2 .
1+'2 .
답⃞
02-2 ⑴ b+0 a+b'2=0
⑴ '2=- yy
⑴ a, b ,
⑴ - .
⑴ '2 .
b=0
b=0 a+b'2=0 a=0 .
y
⑵ x
x= (m, n , m+0)
x¤ = yy
n¤ , m¤ ,
.
x¤ .
x . y
03-1 ⑴ (2 1) 4=(2¤ +1¤ -2¥1) 4=3 4
=3¤ +4¤ -3¥4=13
⑵ (5 4)-(k 3)=(5¤ +4¤ -5¥4)-(k¤ +3¤ -k¥3)
=-k¤ +3k+12
⑵ -k¤ +3k+12=-6
⑵ k¤ -3k-18=0, (k+3)(k-6)=0
⑵ k=-3 k=6답⃞ ⑴ 13 ⑵ -3 6
n¤m¤
n¤m¤
nm
ab
ab
임의의 두 원소는 주
어진 집합의 원소의
꼴과같게나타낸다.
=0+;2!;'2에서
;2!;은정수가아니므로
≤B이다.'22
'22
1¥x=x¥1=x<S, 1¥1=1<S이므로x¤ <S만확인하면된다.
유리수는 덧셈,̀ 뺄셈,̀ 곱셈,̀ 나눗셈에 대하여 모두닫혀있다.
직접증명하기어려울때
➞결론을부정하여가정
에모순됨을보인다.
유리수의 집합을 Q,무리수의 집합을 I라하면 Q;I=Δ이다.즉 유리수이면서 무리
수인수는없다.
연산의 규칙을 파악하고
원소의위치를맞춰서대
입한다.
우공비
22
03-2 ⑴ , ,
a-b+3ab ab-a-2b
.
⑴ Z \ »
.
⑵ x»(1\2)=x»(1-2+3¥1¥2)
=x»5
=x¥5-x-2¥5
=4x-10
⑵ 4x-10=6
⑵ 4x=16 x=4
답⃞ ⑴ \ » . ⑵ 4
03-3 (x, 2) (3, y)=(x+3, x¥2-y)
(x+3, 2x-y)=(3, -1)
x+3=3, 2x-y=-1
x=0, y=1 답⃞ x=0, y=1
10 실수의연산에대한성질
익히기 |
11 답⃞
22 a b=a+b-ab
b a=b+a-ba
=a+b-ba
=a+b-ab
a b=b a
.
33 0,
1 x,
y
⑴ -3+x=0 x=3
⑴ -3¥y=1 y=-;3!;
일반적인연산에대한연산법칙
A Á , A a,
b, c
aΩb=bΩa
Á .
(aΩb)Ωc=aΩ(bΩc)
Á .
보충학습
⑵ ;4!;+x=0 x=-;4!;
⑴ ;4!;¥y=1 y=4
⑶ '∂10+x=0 x=-'∂10
⑴ '∂10¥y=1 y=
⑷ ('5-2)+x=0 x=-'5+2
⑴ ('5-2)¥y=1 y= ='5+2
답⃞ ⑴ 3, -;3!; ⑵-;4!;, 4
답⃞ ⑶-'∂10 , ⑷-'5+2, '5+2
44 e a
a e=e a=a
a e=5+a+e=a
e=-5
2 x
2 x=x 2=-5
5+2+x=-5
x=-12
답⃞ -5, -12
'∂1010
1'5-2
'∂1010
유제 |
04-1 0,
1
(2-'3)+a=0 a=-2+'3
(2-'3)¥b=1 b= =2+'3
a+b= -2+'3 )+(2+'3 )=2'3
답⃞ 2'3
04-2 A
x=2å , y=2∫ (a, b )
. xy=2å ¥2∫ =2å ±∫
yx=2∫ ¥2å =2å ±∫
. xy=yx
.
. xy=2å ¥2∫ =2å ±∫
. a+b xy<A
. .
. e
. x¥e=x e=1
12-'3
실수전체의집합에서덧
셈과곱셈에대한교환법
칙, 결합법칙, 분배법칙이성립한다.
실수전체의집합에서임
의의원소 a의덧셈에대한역원은-a, 곱셈에
대한역원은 ;a!;(a+0)
이다.
우공비
23
Ⅱ
수체계
본책64 71쪽
. 1≤A
.
. .
, . 답⃞ ③
04-3 0,
1 ,
b, 2
+b=0 b=- yy
¥2=1 2a=a-1 a=-1
a=-1 b=-;2!;
a+2b=-1+2¥{-;2!;}=-2 답⃞ -2
05-1 답⃞
05-2 ac=bc c
(ac)¥ =(bc)¥
a{c¥ }=b{c¥ }
a¥1=b¥1
a=b
y
06-1 ⑴ Á e
a aΩe=eΩa=a
⑴ 3ae+a+e=a
⑴ e(3a+1)=0
a
e=0
⑵ Á -2 x
(-2)Ωx=xΩ(-2)=0
3¥(-2)¥x+(-2)+x=0
5x=-2 x=-;5@; 답⃞ ⑴ 0 ⑵-;5@;
1c
1c
1c
1c
1c
aa-1
aa-1
aa-1
aa-1
보충학습
m, n
aμ _a« =aμ ±« (aμ )« =aμ «
aμ ÷a« =[
aμ —« (m>n)1 (m=n)
(m<n)1
a« —μ
06-2 A a
a≠2=2≠a=a
≠ 2 .
≠ 1 x
1≠x=x≠1=2
. 1≠0=2 ≠ 1
0 . 답⃞ ④
06-3 e
a a e=e a=a
a+e+ae=a
e(1+a)=0
a
e=0
a x
a x=x a=0
a+x+ax=0
x(1+a)=-a
⁄ a+-1 , x=-
¤ a=-1 , x¥0=1 x
.
-1 .
답⃞ -1
a1+a
11 실수의대소관계
익히기 |
11 ⑴ a>0 -a 0
⑵ a>b a-c b-c
⑶ a>b>0
답⃞ ⑴< ⑵> ⑶<
22 ③ a=1, b=2 a-b=-1<0
답⃞ ③
33 ⑴ '2-(3-'2)=2'2-3='8-'9<0
'2<3-'2
⑵ = =2+'3,
⑵ = ='2+1
⑵ - =(2+'3 )-('2+1)
=1+'3-'2>0
1'2-1
12-'3
'2+1('2-1)('2+1 )
1'2-1
2+'3(2-'3 )(2+'3 )
12-'3
1b<1
a
>
<
실수 a, b에대하여a-b>0이면 a>b이다.
실수전체의집합에서
덧셈에 대한 항등원
➞ 0곱셈에 대한 항등원
➞ 1a의덧셈에대한역원➞-a
② a의곱셈에대한역원
②➞ ;a!; (a+0)
c+0이므로 곱셈에 대한역원이존재한다.
역원은 항등원이 존재할
때에만존재한다.
연산한 결과가 처음에
써넣은 수 0, 1, 2와같은 가로줄과 세로줄
을 찾고, 그 줄에 해당
하는 처음에 써넣은
수가항등원이다.
a, b가같은부호일때
⋯a>b jjK ;a!;<;b!;
우공비
24
유제 |
07-1 ⁄ =0 , a(a>0)
⁄ ¥a 0¥a
⁄ .
¤ <0 , a(a>0)
⁄ ¥a 0¥a
⁄ .
답⃞ = 1=0 < 1<0
07-2 a¤ -b¤ =0 HjjK (a+b)(a-b)=0
HjjK a+b=0 a-b=0
a>0, b>0 a+b>0
a-b=0 a=b . y
07-3 ⑴ (x+y-3)¤ +(2x-3y-11)¤ =0
x, y
x+y-3=0, 2x-3y-11=0
x=4, y=-1
⑵ 4x¤ -4xy+2y¤ +6y+9=0
4x¤ -4xy+y¤ +y¤ +6y+9=0
(2x-y)¤ +(y+3)¤ =0
x, y
2x-y=0, y+3=0
x=-;2#;, y=-3
답⃞ ⑴ x=4, y=-1 ⑵ x=-;2#;, y=-3
08-1 ① a=1, b=-2
ab=-2<0
② a=1, b=-2 a¤ =1, b¤ =4
a¤ <b¤
③ a=2, b=1, c=-1 a-c=3, b-c=2
a-c>b-c
1<0
<1a
1a
1=0
=1a
1a
⑵ >
답⃞
1'2-1
12-'3
④ a=2, b=1, c=-1 ac=-2, bc=-1
ac<bc
⑤ 0 c c¤ >0
a>b c¤ >
답⃞ ⑤
08-2 . a>b -1
-a<-b
. a=-2, b=-3 a¤ =4, ab=6
a¤ <ab
. a=1, b=-2
. =- , = <
. 답⃞
08-3 . a>b c(c<0)
ac<bc
. =1+ , =1+
a>b>0 > >0
1+ <1+
<
. 0< a>0, b>0 a<0, b<0
.⁄ a>0, b>0 ,
.⁄ <1 >1 <1<
.⁄ <
.¤ a<0, b<0 ,
.⁄ <1 >1 <1<
.⁄ <
, . 답⃞ ,
09-1 - =
- =
b>0, d>0 bd>0 ,
> bd ad>bc
ad-bc>0
b+d>0, d>0 (b+d)d>0
cd
ab
ad-bc(b+d)d
(ad+cd)-(bc+cd)(b+d)d
cd
a+cb+d
ab
ba
ab
ba
ab
ba
ab
ba
ab
ba
ab
ba
ba
b+1b
a+1a
1b
1a
1a
1b
1b
b+1b
1a
a+1a
1ab¤
1a¤ b
14
1ab¤
12
1a¤ b
bc¤
ac¤
실수 a, b, c에 대하여 a=b이면 ac=bc이다.
실수 a, b, c에 대하여 a>b이고 c<0이면 ac<bc이다.
두실수 a, b에대하여a¤ +b¤ =0이면a=0, b=0이다.
- =
에서 a¤ b¤ >0,b-a<0이므로
⋯ <0
⋯∴ <1ab¤
1a¤ b
b-aa¤ b¤
b-aa¤ b¤
1ab¤
1a¤ b
<1의양변에 를
곱하면 ;bA;>0이므로
⋯;aB;¥;bA;<1¥;bA;
⋯∴ 1<;bA;
ab
ba
두실수 a, b에대하여a-b>0 HjK a>ba-b=0 HjK a=ba-b<0 HjK a<b
우공비
25
Ⅱ
수체계
본책 71 77쪽
>0
> 답⃞ >
09-2 -
=
=
=
=
=
b-a<0, b+a-2c=(b-c)+(a-c)>0,
b-c>0, c-a<0
>0
> 답⃞ >
09-3 ⁄ - =
=
=
⁄ c>0, a-b>0, b>0, b-c>0
⁄ >0
⁄ >
¤ - =
=
=
⁄ c>0, a-b>0, b>0, b+c>0
⁄ >0
⁄ >
> >
답⃞ > >a+cb+c
ab
a-cb-c
a+cb+c
ab
a-cb-c
a+cb+c
ab
c(a-b)b(b+c)
c(a-b)b(b+c)
ac-bcb(b+c)
a(b+c)-b(a+c)b(b+c)
a+cb+c
ab
ab
a-cb-c
c(a-b)b(b-c)
c(a-b)b(b-c)
ac-bcb(b-c)
(a-c)b-a(b-c)b(b-c)
ab
a-cb-c
c-bc-a
a-cb-c
c-bc-a
a-cb-c
(b-a)(b+a-2c)(b-c)(c-a)
(b-a)(b+a-2c)(b-c)(c-a)
(b-a)(b+a)-2c(b-a)(b-c)(c-a)
(b¤ -a¤ )-2c(b-a)(b-c)(c-a)
(-a¤ +2ac-c¤ )+(b¤ -2bc+c¤ )(b-c)(c-a)
(a-c)(c-a)-(c-b)(b-c)(b-c)(c-a)
c-bc-a
a-cb-c
cd
a+cb+d
cd
a+cb+d
ad-bc(b+d)d 12 실수의절댓값
익히기 |
유제 |
11 a='5 a-2>0, a-3<0, a-4<0
|a-2|+|a-3|+|a-4|
=a-2-(a-3)-(a-4)
=-a+5=-'5+5 답⃞ -'5+5
22 x, y
|x-3y+4|æ0, |y-1|æ0
|x-3y+4|+|y-1|=0
x-3y+4=0, y=1
x=-1, y=1 답⃞ x=-1, y=1
33 ⑴ |x-3|=7
x-3=7 x-3=-7
x=10 x=-4
⑵ |11-2x|=5
11-2x=5 11-2x=-5
x=3 x=8
답⃞ ⑴ x=10 x=-4 ⑵ x=3 x=8
øπ(a-b)¤ 꼴을포함한식을간단히하기
øπ(a-b)¤ a-b .
a>b øπ(a-b)¤ =a-b
a<b øπ(a-b)¤ =-(a-b)
보충학습
모든실수 a에대하여|a|æ0이므로 두 실수
a, b에대하여|a|+|b|=0이면|a|=|b|=0, 즉⋯a=b=0
|x|=a (aæ0)이면⋯x=-a 또는 x=a
2<'5<3이므로⋯a-2>0
실수 a에대하여⋯"ça¤ =|a|
10-1 -4<x<1 x-1<0, x+4>0
"√x¤ -2x+1+"√x¤ +8x+16
="√(x-1)¤ +"√(x+4)¤
=|x-1|+|x+4|
=-(x-1)+(x+4)=5 답⃞ 5
10-2 x-y<0 x<y
xy<0 x<0, y>0
x<0, 2y>0, x-1<0
|x|-|2y|+|x-1|
=-x-2y-(x-1)
=-2x-2y+1
답⃞ -2x-2y+1
우공비
26
종합문제 |
01 ⑤ 02 ④ 03 1 04 ;5#; 05④ 06②
07 2 08② 09③ 10② 11 2 12⑤
13 1 14 8 15⑤ 16① 17② 18③
19③ 20⑤ 21 10 22 {1, 2} 23④
24①
01 .
① x='2 '2x='2¥'2=2
.
② x=0 x+'2=0+'2='2
.
③ x='2, y=-'2
x+y='2+(-'2 )=0, xy='2¥(-'2 )=-2
x, y .
④ x=1, y='2 x+y=1+'2, xy='2
x, y .
⑤ m=x+y, n=x-y (m, n )
⑤ x= , y=
⑤ , , x, y
. 답⃞⑤
02 , ,
.
a(-b)+ab=a{(-b)+b}
=a¥0
=0
{a(-b)+ab}+(-ab)=0+(-ab)
a(-b)+{ab+(-ab)}=0+(-ab)
a(-b)+0=-ab
a(-b)=-ab 답⃞④
03 a, b a¤ +b¤ =0 a=b=0
.
x¤ +y¤ +2x-4y+5=0
(x+1)¤ +(y-2)¤ =0
전략
전략
m-n2
m+n2
전략
10-3 (|a|+|b|)¤ -|a+b|¤
=|a|¤ +2|a||b|+|b|¤ -(a+b)¤
=a¤ +2|ab|+b¤ -a¤ -2ab-b¤
=2|ab|-2ab
=2¥2-2¥(-2)=8 답⃞ 8
x, y (x+1)¤ æ0, (y-2)¤ æ0 .
(x+1)¤ +(y-2)¤ =0
x+1=0, y-2=0
x=-1, y=2
x+y=1 답⃞ 1
04 .
Ω a a
aΩa=aΩa=a
a+a-2aa=a, a(1-2a)=0
a
a=0 40`%
Ω 3 b 3Ωb=bΩ3=0
3+b-2¥3¥b=0, 5b=3
b=;5#; 40`%
a+b=;5#; 20`%
05 .
④ a=-2, b=-3 -2>-3
|-2|<|-3| . 답⃞④
06 .
-1<a<3 ,
a+1>0, a-3<0, 2a-7<0
|a+1|-|a-3|+|2a-7|
=(a+1)+(a-3)-(2a-7)=5 답⃞②
07 X={x} ,
.
1 X={x}
x¤ =x, x¤ -x=0
x(x-1)=0
x=0 x=1
X={0} X={1} 2 . 답⃞ 2
08 a+b'3 (a, b ) b=0 a+b'3
, b+0 a+b'3 .
. a=b=1 1+'3
A¯Q .
. A e
(a+b'3)+e=e+(a+b'3)=a+b'3
전략
전략
전략
전략
전략
(x¤ +2x+1)+(y¤ -4y+4)=0
임의의실수 a, b에대하여
|a|¤ =a¤ , |a||b|=|ab|
실수 a에대하여⋯|a|=[
a (aæ0)-a (a<0)
-1<a<3에서⋯-2<2a<6⋯-9<2a-7<-1
1+'3<A이지만1+'3≤Q이므로A¯Q이다.
연산 Á에대하여닫혀있
는 집합 A의 임의의 원소 a에대하여➞ aΩ(항등원)`=(항등원)Ωa=a➞ aΩ(역원)`=(역원)Ωa=(항등원)
우공비
27
Ⅱ
수체계
본책 77 80쪽
. a, b
. e=0
. a+b'3 x
. (a+b'3 )+x=0 x=-a-b'3
. -a, -b x<A .
. .
. x=3, y=2+'3 =;3@;+;3!;'3≤A
. .
. 답⃞②
09 a≠b=|a-b| .
. a≠b=|a-b|=|b-a|=b≠a
. a=2, b=3, c=5
(a≠b)≠c=(2≠3)≠5=(|2-3|)≠5
=1≠5=|1-5|=4
. a≠(b≠c)=2≠(3≠5)=2≠(|3-5|)
=2≠2=|2-2|=0
. (a≠b)≠c+a≠(b≠c)
. a≠0=0≠a=a ≠ 0
.
≠ 3 x
3≠x=|3-x|=0
x=3
, . 답⃞③
10 a b b a .
a b=2a+3b-1, b a=2b+3a-1
a b=b a 2a+3b-1=2b+3a-1
a-b=0 답⃞②
11 (aΩb)Ωc aΩ(bΩc)
.
a, b, c
(aΩb)Ωc=(ab+2-k)Ωc
=(ab+2-k)c+2-k
=abc+2c-kc+2-k 40`%
aΩ(bΩc)=aΩ(bc+2-k)
=a(bc+2-k)+2-k
=abc+2a-ak+2-k 40`%
전략
전략
전략
yx
필요충분조건 p HjjK qp 2⁄ q q 2⁄ p , p jjK q
q jjK p , p q
p HjjK q
보충학습
(aΩb)Ωc=aΩ(bΩc)
abc+2c-kc+2-k=abc+2a-ak+2-k
c(2-k)=a(2-k), (2-k)(c-a)=0
a, c
k=2 20`%
12 .
a b=b a=a, b b=b, c b=b c=c,
d b=b d=d b
.
c x c x=x c=b x
c .
d y d y=y d=b .
d d=b d
d . 답⃞⑤
13 .
e a
a e=e a=a
ae-a-e+2=a
a(e-2)-(e-2)=0
(e-2)(a-1)=0
a
e=2
a x
a x=x a=2
ax-a-x+2=2
x(a-1)=a
⁄ a+1 , x=
¤ a=1 , x¥0=1 x .
a 1 .
답⃞ 1
14.
.
30`%
S a a 6=6 a=a
e
전략
aa-1
전략
전략
◎ 2 4 6 8
2 4 8 2 6
4 8 6 4 2
6 2 4 6 8
8 6 2 8 4
0=0+0¥'3<A이므로 덧셈에 대한 항등
원은 0이다.
;3@;, ;3!;은 정수가 아니
다.
항등원이 존재하더라
도 역원이 존재하지
않을수있다.
우공비
28
e=6 30`%
8 x
8 x=x 8=6 x=2 30`%
e+x=6+2=8 10`%
15 a>b a-b>0 .
. 0<;aB;<1 a¤ (a¤ æ0)
. 0<ab<a¤ ab<a¤
. a>b, c>d a-b>0, c-d>0
(a-b)(c-d)>0
ac+bd-(bc+ad)>0
ac+bd>bc+ad
. <1 |a|<|b| b<0<a
. b<-a<0<a
. b<-a a+b<0
, , .
답⃞⑤
16.
a¤ =15+2'∂50, b¤ =15+2'∂54, c¤ =15+2'∂56
'∂50<'∂54<'∂56
a¤ <b¤ <c¤
a<b<c
답⃞①
17 a-b>0, ab<0 a>0>b .
a-b>0 a>b , ab<0 a, b
a>0, b<0
||a|+|b||=|a+(-b)|
=|a-b|
=a-b
답⃞②
18 |a|=-a a…0 , |c|=c cæ0 .
|a|=-a a…0
abæ0, a…0 b…0
|c|=c cæ0
a+b…0, a-c…0, c-bæ0 .
|a+b|-|a-c|-"√(c-b)¤
=|a+b|-|a-c|-|c-b|
=-(a+b)+(a-c)-(c-b)
=-a-b+a-c-c+b
=-2c 답⃞③
전략
전략
전략
|a||b|
전략
12=6'2_'2로 나타
낼 수 있지만 6'2는유리수가아니다.
19 A a, b
ab<A A .
. |x|…1 -1, 0, 1
{-1, 0, 1} .
{-1, 0, 1}
.
.
. x=2'2, y=3'2 xy=12
.
. x=a¤ -b¤ , y=c¤ -d¤ (a, b, c, d )
xy=(a¤ -b¤ )(c¤ -d¤ )
=(a¤ c¤ +b¤ d¤ )-(a¤ d¤ +b¤ c¤ )
=(a¤ c¤ +b¤ d¤ )-(a¤ d¤ +b¤ c¤ )+2abcd
=-2abcd
=(a¤ c¤ +2abcd+b¤ d¤ )
=-(a¤ d¤ +2abcd+b¤ c¤ )
=(ac+bd)¤ -(ad+bc)¤
. .
, .
답⃞③
20 a<A b<A a-b<A b-a<A
.
. 5<A 5-5=0<A .
. a<A 0<A
0-a=-a<A
a<A, -a<A
a-(-a)=2a<A, -2a<A
a<A, -2a<A
a-(-2a)=3a<A, -3a<A
n na<A
5<A n
5n<A
. 3<A 5-3=2<A, 3-2=1<A
1<A n
n¥1=n<A, Z,A
A,Z A=Z
, , .
답⃞ ⑤
전략
전략
_ -1 0 1
-1 1 0 -1
0 0 0 0
1 -1 0 1
두수 a, b가양수일때a¤ -b¤ >0 HjK a>ba¤ -b¤ =0 HjK a=ba¤ -b¤ <0 HjK a<b
실수 a에대하여⋯"ça¤ =|a|
"ça¤ =[-a (aæ0)-a (a<0)
부등식의 양변에 임의의
수를곱할때에는곱하는
수의부호에주의한다.
ac+bd, ad+bc도정수이다.
a<A이므로a-a=0<A이다.
집합A, B에대하여A,B이고 B,A이면
⋯A=B
우공비
29
Ⅱ
수체계
본책80 81쪽
21 x y, y x x, y
.
x y=x+y¤ , y x=y+x¤
x+y¤ =y+x¤
x¤ -y¤ -x+y=0
(x+y)(x-y)-(x-y)=0
(x-y)(x+y-1)=0
x=y x+y=1
S 1
{-3}, {-2}, {-1}, {0}, {1}, {2}, {3}, {-2, 3},
{-1, 2}, {0, 1}
10
답⃞ 10
22.
X
X A
A Δ=Δ A=A
ΔA<X A A=Δ
A A
{1, 2} {1, 2}
답⃞ {1, 2}
23 ;a!;+;b!;=1 b a
.
;a!;+;b!;=1 ;b!;=1-;a!;=
b=
a>1 a>a-1>0
b= >1
0<a<1 a-1<0<a
b= <0aa-1
aa-1
aa-1
a-1a
전략
전략
전략
Δ {1} {2} {1, 2}
Δ Δ {1} {2} {1, 2}
{1} {1} Δ {1, 2} {2}
{2} {2} {1, 2} Δ {1}
{1, 2} {1, 2} {2} {1} Δ
a<0 a-1<a<0
b= >0
답⃞④
참고 a>b>0이면 < 이고 >1이다.
참고 0>a>b이면 < 이고 <1이다.
24 .
a<c, ab>bc b<0
a<b, b<0 a<0
a+b+c=0 c>0
② a<0, c>0 ac<0
③ a<0, b<0 a+b<0
④ a<0, b<0 ;aB;>0
⑤ b<0, c>0 ;bC;<0 답⃞ ①
전략
ab
1b
1a
ab
1b
1a
aa-1
a<c의양변에 b를곱하여 부등호의 방향이
바뀌었으므로 b<0이다.
A△B=(A-B)'(B-A)=(A;BÇ )'(B;AÇ )=(A'B)-(A;B)
실수A, B에대하여①A>0, B>0이면
⋯ >0
②A>0, B<0이면
⋯ <0
③A<0, B<0이면
⋯ >0AB
AB
AB
a>b의양변을 b로나누면 b>0이므로
⋯;bA;>1
a>b의양변을 b로나누면 b<0이므로
⋯;bA;<1
30
익히기 |
13 복소수
유제 |
11
22 . 3i¤ =-3 . -2i
. i-2 . '∂-1=i
, . 답⃞ ,
참고 -3은실수, i-2는순허수가아닌허수이다.
33 ⑴ x-yi=3+2i
x=3, y=-2
⑵ (x-1)+(y+2)i=4-3i
x-1=4, y+2=-3
x=5, y=-5
⑶ (2x+1)+yi=0
2x+1=0, y=0
⑶ x=-;2!;, y=0
⑷ (x+y)+(x-y)i=-1+5i
x+y=-1, x-y=5
⑶
⑶ x=2, y=-3
답⃞ ⑴ x=3, y=-2 ⑵ x=5, y=-5
답⃞ ⑶ x=-;2!;, y=0 ⑷ x=2, y=-3
44 ⑴ -1”+”'2i ”=-1-'2i
⑵ 2i ’=-2i
⑶ 9’i+”5 ”=-9i+5
⑷ 8Æ=8
답⃞ ⑴ -1-'2i ⑵ -2i
답⃞ ⑶ -9i+5 ⑷ 8
-2+'7i 3i i-6 4
실수부분 -2 0 -6 4
허수부분 '7 3 1 0
우공비
복소수04수체계Ⅱ
01-2 (—i)¤ =-1 a=-1
3'2 ( )=3'2, ( )=0
b=0
-2i ”=2i c=2
a+b+c=-1+0+2=1 답⃞ ④
01-3 z=a+bi (a, b )
a+bi=-(a-bi)
2a=0 a=0
z=-z Æ 0
, 2 .
답⃞ ③
z=-zÆ z+zÆ=0
0
.
. -i+i=0
. 3i+(-3i)=0
. -2+(-2)=-4
. (1-'3i)+(1+'3i)=2
다른 解
14 복소수의연산
익히기 |
z=a+bi (a, b는실수)에서 a=0, b+0이면⋯z=0+bi
=0-(-bi)=-zÆ
z가실수이면⋯z=zÆ
허수와 허수, 실수와 허수사이에는대소관계가
정의되지않는다.
01-1② .
답⃞ ②
방정식 x¤ =-1의 근은 x=-i 또는 x=i이다.
복소수의 사칙연산은 i를문자처럼 생각하고 계산
한다.
11 ⑴ (1+2i)+(-2+8i)=(1-2)+(2+8)i
=-1+10i
⑵ (3-2i)+4i=3-2i+4i
=3+(-2+4)i
=3+2i
⑶ (3-4i)-(1-i)=(3-1)+(-4+1)i
=2-3i
⑷ 5i-(2-i)=5i-2+i
=-2+(5+1)i
=-2+6i
답⃞ ⑴ -1+10i ⑵ 3+2i
⑶ 2-3i ⑷ -2+6i
22 ⑴ (2-3i)(3+i)=6+2i-9i-3i¤
=6+2i-9i+3
=9-7i
⑵ (2+'3i)(2-'3i)=2¤ -('3i)¤
=4-3i¤ =4+3=7
우공비Ⅱ
수체계
31
본책86 91쪽
⑶ =
⑶ = =
⑷ =
⑶ =
⑶ =
⑸ (3-i)¤ -4i=9-6i+i¤ -4i
=(9-1)+(-6-4)i
=8-10i
⑹ 5-3i+ =5-3i+
=5-3i+
=5-3i+
=
답⃞ ⑴ 9-7i ⑵ 7 ⑶
답⃞ ⑷ ⑸ 8-10i ⑹
33 z¡(z™+z£)=(1+i){(-3+5i)+(2-3i)}
=(1+i)(-1+2i)
=-1+2i-i+2i¤
=(-1-2)+(2-1)i
=-3+i
z¡z™+z¡z£=(1+i)(-3+5i)+(1+i)(2-3i)
=-3+5i-3i+5i¤ +2-3i+2i-3i¤
=(-3-5+2+3)+(5-3-3+2)i
=-3+i
z¡(z™+z£)=z¡z™+z¡z£ y
44 x¡, x™
⑴ x¡=-(5+i)=-5-i
⑴ x™= = =
⑴ x™=;2∞6;-;2¡6;i
⑵ x¡=-(-1+2i)=1-2i
⑴ x™= =
⑴ x™= =-;5!;-;5@;i-1-2i1-4i¤
-1-2i(-1+2i)(-1-2i)
1-1+2i
5-i25-i¤
5-i(5+i)(5-i)
15+i
13-5i2
5+14i13
-1-3i2
13-5i2
3+i2
1-i+2i-2i¤1-i¤
(1+2i)(1-i)(1+i)(1-i)
1+2i1+i
5+14i13
8+12i+2i+3i¤4-9i¤
(4+i)(2+3i)(2-3i)(2+3i)
4+i2-3i
-1-3i2
1-i-2i+2i¤1-i¤
(1-2i)(1-i)(1+i)(1-i)
1-2i1+i
⑶ x¡=-(3-'2i)=-3+'2i
⑴ x™= =
⑴ x™= =;1£1;+ i
⑷ x¡=- =-
⑴ x™=- =-;5#;+;5$;i
⑴ x™= =
⑴ x™= =;5#;+;5$;i
답⃞
4+4i+i¤4-i¤
(2+i)¤(2-i)(2+i)
2+i2-i
4-4i+i¤4-i¤
(2-i)¤(2+i)(2-i)
2-i2+i
'211
3+'2i9-2i¤
3+'2i(3-'2i)(3+'2i)
13-'2i
유제 |
임의의 복소수 z에 대하여
①덧셈에대한항등원
➞ 0곱셈에대한항등원
➞ 1②덧셈에대한역원
➞-z곱셈에대한역원
➞ ;z!; (z+0)
복소수 a+bi (̀a, b는실수)에대하여① a+bi가실수이면➞ b=0
② a+bi가순허수이면➞ a=0, b+0
02-1 z=(1+i)x-3x+4-i
=(x-3x+4)+(x-1)i
=(-2x+4)+(x-1)i
z ( )=x-1=0 x=1
a=1
z ( )=-2x+4=0,
( )=x-1+0 x=2 b=2
a-b=1-2=-1
답⃞ -1
02-2 z=(1+i)a¤ -(2+9i)a-24+18i
=(a¤ -2a-24)+(a¤ -9a+18)i
( )=a¤ -2a-24=0
(a+4)(a-6)=0 a=-4 a=6
( )=a¤ -9a+18=0
(a-3)(a-6)=0 a=3 a=6
z+0 a+6
⑴ z ( )=0 a=3
⑵ z ( )=0
a=-4
답⃞ ⑴ 3 ⑵ -4
02-3 z=(1+i)x+i-2=(x-2)+(x+1)i
x-2=0, x+1+0
x=2 a=2
z=3i
z¤ =(3i)¤ =9i¤ =-9 b=-9
2a+b=2¥2+(-9)=-5
답⃞ ①
우공비
32
03-1 =
(x-yi)(2+3i)=(3-2i)i
2x+3xi-2yi-3yi¤ =3i-2i¤
(2x+3y)+(3x-2y)i=2+3i
2x+3y 3x-2y
2x+3y=2, 3x-2y=3
x=1, y=0
답⃞ x=1, y=0
03-2(2+i)¤ x+(3-2i)¤ y
=(4+4i+i¤ )x+(9-12i+4i¤ )y
=(3+4i)x+(5-12i)y
=(3x+5y)+(4x-12y)i
(3x+5y)+(4x-12y)i=2-16i
3x+5y 4x-12y
3x+5y=2, 4x-12y=-16
x=-1, y=1
x¤ +y¤ =(-1)¤ +1¤ =2
답⃞ 2
03-3(x+yi)¤ =x¤ +2xyi+y¤ i¤
=(x¤ -y¤ )+2xyi
(x¤ -y¤ )+2xyi=8+4i
x¤ -y¤ 2xy
x¤ -y¤ =8, 2xy=4
;]{;-;[};= =;2*;=4 답⃞ 4
04-1 ab+abÆ+aÆb+ab ’”
=a(b+bÆ)+aÆ(b+b Æ)
=(a+aÆ)(b+bÆ)
={(5-i)+(5+i)} {(4+3i)+(4-3i)}
=10¥8=80 답⃞ 80
04-2 + = +
=aÆ+bÆ=a+b”
=2-i ”=2+i 답⃞ 2+i
bÆbb Æ
aÆaaÆ
1b
1a
x¤ -y¤xy
3-2i2+3i
x-yii 04-3 ww ’= ¥
=
=
= =12
답⃞ 12
05-1 ⑴ x= = =
⑴ 2x=1+i, 2x-1=i
⑴ 4x¤ -4x+1=-1
⑴ 4x¤ =4x-2
⑴
⑴ 4x¤ -2x+3=(4x-2)-2x+3
=2x+1
⑴ 4x¤ -2x+3=2¥ +1
⑴ 4x¤ -2x+3=1+i+1
⑴ 4x¤ -2x+3=2+i
⑵ x= 2x=1-'3i
⑴ 2x-1=-'3i
⑴ 4x¤ -4x+1=-3
4x¤ -4x+4=0 x¤ -x+1=0
⑴
⑴ 3x‹ -2x¤ -6x+5
=3x(x¤ -x+1)+(x¤ -x+1)-8x+4
=-8x+4
=-8¥ +4
=4'3i 답⃞ ⑴ 2+i ⑵ 4'3i
⑵ x¤ -x+1=0 x+1
⑴ (x+1)(x¤ -x+1)=0
⑴ x‹ +1=0 x‹ =-1
⑴
⑴ 3x‹ -2x¤ -6x+5=-3-2x¤ -6x+5
=-2(x¤ -x+1)-8x+4
=-8x+4
=-8¥ +4
=4'3i
1-'3i2
다른 解
1-'3i2
1-'3i2
1+i2
1+i2
1+i(1-i)(1+i)
11-i
12(4+z+z Æ )4+z+z Æ
12+12(z+z Æ )+363+z+z Æ+1
4zz Æ+12z+12z Æ+36zz Æ+z+z Æ+1
2z Æ+6zÆ+1
2z+6z+1
(x+1)(x¤ -x+1)=x‹ +1
(x-1)(x¤ +x+1)=x‹ -1
보충학습
복소수 z¡, z™에대하여
① (z¡’ )”=z¡② z¡+z¡’=(실수),
z¡z¡’=(실수)
③ z¡+z™ ”=z¡’+z™’ ,z¡-z™ ”=z¡’-z™’
④ z¡z™ ”=z¡’¥z™’
{ }”= (z™+0)
z¡’z™’
z¡’z™’
복소수를 포함한 등식
에서 실수인 미지수의
값을구할때에는
➞ 실수부분은 실수부
분끼리, 허수부분의허수부분끼리정리한다.
두복소수 a+bi, c+di(a, b, c, d는실수)에서⋯a+bi=c+diHjjK a=c, b=d
본책92 97쪽
우공비
33
Ⅱ
수체계05-2 x+y=(2+'5i)+(2-'5i)=4,
xy=(2+'5i)(2-'5i)=4-(-5)=9
⑴ + = =
= =-;9@;
⑵ + = =
= =-;8™1;
답⃞ ⑴ -;9@; ⑵ -;8™1;
05-3 x+y=('2+i)+('2-i)=2'2
x-y=('2+i)-('2-i)=2i
xy=('2+i)('2-i)=2-(-1)=3
⋯⋯ + =
=
=
=
=2'2i 답⃞ 2'2i
06-1 z=a+bi (a, b )
z Æ=a-bi
(z-zÆ)+2zzÆ
={(a+bi)-(a-bi)}+2(a+bi)(a-bi)
=2bi+2(a¤ +b¤ )
=34-2i
2(a¤ +b¤ ) 2b
2(a¤ +b¤ )=34, 2b=-2
a=—4, b=-1
z=4-i z=-4-i z
(4-i)+(-4-i)=-2i 답⃞ -2i
06-2 z=a+bi (a, b )z Æ=a-bi
z+zÆ=(a+bi)+(a-bi)=2a=4a=2
zzÆ=(a+bi)(a-bi)=a¤ +b¤ =2¤ +b¤ =13b=-3 b=3z=2-3i z=2+3i .
답⃞ z=2-3i z=2+3i
2'2¥2i(2'2 )¤ -2¥3
(x+y)(x-y)(x+y)¤ -2xy
x¤ -y¤x¤ +y¤
x(x-yi)+yi(x+yi)(x+yi)(x-yi)
yix-yi
xx+yi
4¤ -2¥99¤
(x+y)¤ -2xy(xy)¤
x¤ +y¤(xy)¤
1y¤
1x¤
4¤ -2¥99
(x+y)¤ -2xyxy
x¤ +y¤xy
yx
xy
15 i의거듭제곱, 음수의제곱근
익히기 |
06-3 z=a+bi (a, b , b+0)
z+ =a+bi+
=a+bi+
=a+bi+
={a+ }+{b- } i yy
b- =0 a¤ +b¤ =1
zzÆ=(a+bi)(a-bi)=a¤ +b¤ =1
답⃞ 1
ba¤ +b¤
ba¤ +b¤
aa¤ +b¤
a-bia¤ +b¤
a-bi(a+bi)(a-bi)
1a+bi
1z
복소수와 그 켤레복소수
의 합과 곱은 항상 실수
이다.
x¤ +y¤=(x+y)¤ -2xy=(x-y)¤ +2xy
복소수 z=a+bi가실수 HjjK b=0
(단, a, b는실수)
i4k=(i› )̊ =1i4k+1=(i› )̊ ¥i=ii4k+2=(i› )̊ ¥i ¤
=i¤ =-1i4k+3=(i› )̊ ¥i ‹
=i‹ =-i
11 ① 1+i+i¤ =1+i+(-1)=i
② i ‹ _i› =-i_1=-i
③ i⁄ ⁄ =(i› )¤ ¥i ‹ =-i
④ i · · =(i› )¤ › ¥i ‹ =-i
⑤ (-i)⁄ ‚ ⁄ =-i⁄ ‚ ⁄ =-(i› )¤ fi ¥i=-i
답⃞ ①
22 ⑴ —'∂-3=—'3i
⑵ —'ƒ-16=—'1å6i=—4i
답⃞ ⑴ —'3i⋯⑵ —4i
33 '∂-4=æ≠ =- =- =- =2i
②
. 답⃞ ②
44 ⑴ '2'5='1å0
⑵ '2'ƒ-5='ƒ-10='1å0i
⑶ 'ƒ-2'5='ƒ-10='1å0i
⑷ 'ƒ-2'ƒ-5=-'1å0
⑸ =æ≠ ='5
⑹ =-æ≠- =-'∂-5=-'5i
⑺ =æ≠- ='∂-5='5i102
'ƒƒ-10'2
102
'1å0'ƒ-2
102
'1å0'2
2ii¤
2i
'4'ƒ-1
4-1
æ 에서 a>0, b<0이
면 æ =- 이다.'a'b
ab
ab
a<0, b<0일때,⋯'a'b=-'∂aba>0, b<0일때,
⋯ =-æab
'a'b
① ② ③ ④ ⑤
▲ ▲ ▲ ▲ ▲
우공비
34
유제 |
⑻ =æ≠ ='5
답⃞ ⑴ '1å0 ⑵ '1å0i ⑶ '1å0i ⑷ -'1å0
답⃞ ⑸ '5 ⑹ -'5i ⑺ '5i ⑻ '5
55 ⑴ 'ƒ-27+'ƒ-3='2å7i+'3i
=3'3i+'3i
=4'3i
⑵ 'ƒ-16-2'∂-5='1å6i-2'5i
=4i-2'5i
=(4-2'5 )i
⑶ 'ƒ-2'ƒ-18+
=-"√(-2)¥(-18)-æ≠
=-'3å6-'ƒ-9
=-6-'9i=-6-3i
⑷ =
=
= =
=2- i
답⃞ ⑴ 4'3i ⑵ (4-2'5 )i
답⃞ ⑶ -6-3i ⑷ 2- i'63
'63
-12+2'6 i-6
12i ¤ +2'6 i6i¤
(2'6i+2)'6 i'6 i¥ '6 i
'∂24 i+2'6 i
'ƒ-24+2'ƒ-6
18-2
'1å8'ƒ-2
-10-2
'ƒƒ-10'∂-2 07-2 ⑴ z=
⑴ z¤ ={ }¤= =i,
⑴ z› =i¤ =-1, zfl =z¤ ¥z› =i¥(-1)=-i,
⑴ z° =(z› )¤ =1, z⁄ ‚ =z› ¥zfl =i
⑴ z¤ +z› +zfl +z° +z⁄ ‚=i+(-1)+(-i)+1+i=i
⑵ z= = = =i
⑵ + + +y+
⑵ = + + +y+
⑵ =(-i-2+3i+4)+(-5i-6+7i+8)
⑵ =+y+(-97i-98+99i+100)
⑵ =25(2+2i)=50+50i
답⃞ ⑴ i⋯⑵ 50+50i
07-3 i+i¤ +i‹ +i› +y
=(i-1-i+1)+(i-1-i+1)+y
f(k)=i+i¤ +i‹ +y+i˚ =0
k 4 .
100 4 25 k 25
. 답⃞ ②
08-1 æ≠ =-
(a>0, a-1<0) (a=0, a-1+0)
0…a<1
|a|-øπ(a-1)¤ =|a|-|a-1|
=a+(a-1)
=2a-1 답⃞ 2a-1
08-2 'ƒ-a+1'ƒa-3=-øπ-a¤ +4a-3
(-a+1<0, a-3<0) -a+1=0 a-3=0
1…a…3
a 1, 2, 3 3 . 답⃞ ③
08-3 'a'b=-'aåb
a<0, b<0 ( abc+0)
=æ , b<0 c<0 ( abc+0)
|a+b|-øπ(b+c)¤ +|-c|
=|a+b|-|b+c|+|-c|
=-(a+b)+(b+c)+(-c)
=-a-b+b+c-c
=-a 답⃞ ①
cb
'c'b
'a'ƒa-1
aa-1
100i⁄ ‚ ‚
3i ‹
2i ¤
1i
100z⁄ ‚ ‚
3z‹
2z¤
1z
1+2i+i ¤2
(1+i)¤(1-i)(1+i)
1+i1-i
1+2i+i¤2
1+i'2
1+i'2
① i «의합의꼴➞ i+i¤ +i‹ +i› =0
+ + + =0
② { }« , { }
«
⋯ 의꼴
➞ , 의분모
⋯ 를실수화
③ { }« 의꼴
➞ { }¤ =—i
⋯ (복호동순)
1—i'2
1—i'2
1-i1+i
1+i1-i
1-i1+i
1+i1-i
1i›
1i‹
1i ¤
1i
07-1 ⑴ + + +y+
={ + + + }+y
+ { + + + }
={ -1- +1}+y+{ -1- +1}
=0
⑵ (1+i)¤ =1+2i+i¤ =2i(1+i)⁄ ‚ =(2i)fi =32ifi =32i› ¥i=32i
⑶ { }¤ = =i
{ }50=i25=(i › )fl ¥i=i
답⃞ ⑴ 0 ⑵ 32i ⑶ i
1+i'2
1+2i+i¤2
1+i'2
1i
1i
1i
1i
1i›
1i ‹
1i ¤
1i
1i⁄ fl
1i ›
1i ‹
1i ¤
1i
1i¤ ‚
1i ‹
1i ¤
1i
a<0, b<0, c<0에서⋯a+b<0, b+c<0이므로
|a+b|=-(a+b)|b+c|=-(b+c)|-c|=|c|=-c
"çx¤ =|x|
=[x (xæ0)
-x (x<0)
우공비Ⅱ
수체계
35
본책97 101쪽
01 z=a+bi (a, b ) , ,
, a, b .
① 'ƒ-4='4i=2i .
② ;2!;i .
③ -i -1 .
④ -2 —'2i .
⑤ a+0, b=0 a+bi . 답⃞③
02 a+bi a=0,
b+0 .
(a+i)¤ +4i-3=a¤ +2ai+i¤ +4i-3
=a¤ +2ai-1+4i-3
=(a¤ -4)+(2a+4)i
a¤ -4=0, 2a+4+0
a=2 답⃞⑤
03 ,
.
(2x-3y-1)+(2x+y-3)i=5+7i 2x-3y-1
2x+y-3
2x-3y-1=5, 2x+y-3=7
2x-3y=6, 2x+y=10
x=;2(;, y=1
x+y=;;¡2¡;; 답⃞ ④
04 i¤ =-1, i‹ =-i, i› =1, ifi =i, y .
=i+i¤ +i‹ +y+i · +i⁄ ‚
=(i-1-i+1)+(i-1-i+1)+i-1
=i-1 40`%
i ⁄ ⁄ =(i› )¤ ¥i ‹ =-i, i⁄ ¤ =(i› )‹ =1, i⁄ ‹ =(i› )‹ ¥i=i,
i⁄ › =(i› )‹ ¥i ¤ =-1
+ + + = + + +
=i+2-3i-4
=-2-2i 40`%
4-1
3i
21
1-i
4i⁄ ›
3i ⁄ ‹
2i ⁄ ¤
1i ⁄ ⁄
전략
전략
전략
전략
종합문제 |
01③ 02⑤ 03④ 04 -3-i 05 10
06① 07④ 08① 09③ 10 '2+i
11 100 12 6 13⑤ 14 -4 15④ 16⑤
17 -1-i 18 4 19 5 20① 21①
22 4 23③ 24①
( )=i-1-2-2i
=-3-i 20`%
05.
a=1-2i, b=2+3i
a+b=3+i
aaÆ+aÆb+abÆ+bb Æ
=aÆ(a+b)+bÆ(a+b)
=(a+b)(aÆ+bÆ)
=(a+b)(√a+b)
=(3+i)(3-i)
=9-i¤ =10 답⃞ 10
06 .
'ƒ-3'ƒ-4=-"√(-3)(-4)=-'∂12=-2'3
=-æ≠ =-'∂-3=-'3i
i=æ≠ i='3i
( )=-2'3-(-'3i)-'3i=-2'3
답⃞①
'ƒ-3'ƒ-4- - i
='3i¥2i- - i
=-2'3- -'3i
=-2'3+'3i-'3i=-2'3
07 a+bi b=0
.
,
a(1+i)+b(i-1)=(a-b)+(a+b)i
a+b=0 답⃞④
08 z z¤ <0 z .
z=i(x-i)¤ =i(x¤ -2xi-1)
=ix¤ -2xi ¤ -i=2x+(x¤ -1)i
전략
전략
'3i
'∂15i'5i
2'32i
'ƒ-15'ƒ-5
'∂12'ƒ-4
다른 解
-15-5
'ƒ-15'ƒ-5
12-4
'∂12'ƒ-4
전략
전략
실수 a, b, c, d에 대하여 i='ƒ-1일때① a+bi=0
HjjK a=0, b=0② a+bi=c+di
HjjK a=c, b=d
두 복소수 z¡, z™의 켤레복소수를 각각 z¡’, z™’라할 때, √z¡—z™=z¡’—z™’(복호동순)이다.
① a<0, b<0일 때,'a'b=-'∂ab
② a>0, b<0일 때,
=-æ;bA;'a'b
aæ0, b<0일때,
⋯⋯ = =
⋯⋯ =- i=-æ≠- i=-æab
ab
'a'ƒ-b
'ai'ƒ-b i¤
'a'ƒ-bi
'a'b
보충학습
우공비
36
z¤ <0 z
2x=0, x¤ -1+0
x=0 답⃞①
09 a, b, c, d
a+bi=c+di HjjK a=c, b=d .
(1+i)x+(ix+1)y=(x+y)+(x+xy)i
=3+(2+x)i
x+y x+xy, 2+x
x+y=3, x+xy=2+x
x+y=3, xy=2
+ = =
= =;2%; 답⃞③
10 a+b, ab
.
+ =
+ =
a='2+i, b='2-i
a+b=('2+i)+('2-i)=2'2
ab=('2+i)('2-i)=2-i ¤ =3
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=2
( )= = =a='2+i
답⃞ '2+i
참고 = + i (단, c+di+0)
11 n i4n=1, i4n+1=i, i4n+2=-1,
i4n+3=-i .
i+2i¤ +3i‹ +4i› +y+100i100
=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)
=+y+(97i-98-99i+100)
=(2-2i)+(2-2i)+y+(2-2i)
=25(2-2i)=50-50i
50-50i=a+bi
a=50, b=-50
a-b=100 답⃞ 100
i+2i ¤ +3i ‹ +4i › +y+100i100
=(1-3+5-7+y+97-99)i
=+(-2+4-6+8-y+100)
=(-2)_25i+2_25=50-50i
다른 解
전략
bc-adc¤ +d¤
ac+bdc¤ +d¤
a+bic+di
2a2
2aa¤ +b¤
2aa¤ +b¤
(a+bi)+(a-bi)(a+bi)(a-bi)
1a-bi
1a+bi
전략
3¤ -2¥22
(x+y)¤ -2xyxy
x¤ +y¤xy
yx
xy
전략
12 n=1, 2, 3, y { } «
.
{ } ¤ = 20`%
{ } ‹ = ¥ =-1 20`%
{ } › =-1¥ = 20`%
{ } fi = ¥ = 20`%
{ } fl = ¥ =1
A 6 . 20`%
13 a, b
.
f(1, 2)+f(2, 4)+f(3, 6)+y+f(10, 20)
= + + +y+
= + + +y+
=10_ =10_
=10_ =-6+8i
-6+8i=x+yi
x=-6, y=8
x+y=2 답⃞⑤
14z .
(3+i) z=(3+i)+z+(3+i)z
=(3+i)+(4+i)z
=1+i 30`%
z= =
z= = 50`%
a=-;1•7;, b=;1™7;
;bA;=-4 20`%
z=a+bi
(3+i) z=1+i
(3+i)+(a+bi)+(3+i)(a+bi)=1+i
(3+a+3a-b)+(1+b+a+3b)i=1+i
(4a-b+3)+(a+4b+1)i=1+i
다른 解
-8+2i17
-2(4-i)(4+i)(4-i)
-24+i
(1+i)-(3+i)4+i
전략
-3+4i5
(1+2i)¤(1-2i)(1+2i)
1+2i1-2i
1+2i1-2i
1+2i1-2i
1+2i1-2i
1+2i1-2i
10+20i10-20i
3+6i3-6i
2+4i2-4i
1+2i1-2i
전략
1+'3i2
1-'3i2
1+'3i2
1-'3i2
1+'3i2
-1-'3i2
1+'3i2
-1-'3i2
1+'3i2
1+'3i2
1+'3i2
-1+'3i2
1+'3i2
-1+'3i2
1+'3i2
1+'3i2
전략복소수 a+bi (a, b는실수)에 대하여 a+bi가순허수이면
➞ a=0, b+0
복소수와 그 켤레복소수
의 합과 곱은 항상 실수
이다.
=
=
= + ibc-adc¤ +d¤
ac+bdc¤ +d¤
(ac+bd)+(bc-ad)ic¤ +d¤
(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)
a+bic+di
= =-1-44
-1+3i¤4
=
=1-'3i
2
2-2'3i4
-1-2'3i-3i¤4
우공비Ⅱ
수체계
37
본책101 103쪽
4a-b+3 a+4b+1
4a-b+3=1, a+4b+1=1
4a-b=-2, a+4b=0
a=-;1•7;, b=;1™7;
;bA;=-4
15 z=a+bi (a, b )
a, b .
z=a+bi (a, b ) zÆ=a-bi
+
= +
= +
= +
=a+b=2
④ 2-i
( )+( )=2+(-1)=1
a+b=2 z .
답⃞④
16 z¡=a+bi, z™=c+di (a, b, c, d )
.
z¡=a+bi, z™=c+di (a, b, c, d )
z¡’=a-bi, z™’=c-di
. z¡=z™’ a+bi=c-di
. a=c, b=-d
z¡z™=(c-di)(c+di)=c¤ +d¤ ( )
. z¡+z™=0 z¡’+z™’=√z¡+z™=0Æ=0
. z¡z™’=1 z¡= , z™’=
. z¡= z¡’=
. z¡’+ = +z™’=z™’+
, , . 답⃞ ⑤
참고 복소수 z=a+bi (a, b는실수)에대하여
z+z Æ=2a, zzÆ=a¤ +b¤은모두실수이다.
17 x x=a+bi
x-a=bi .
x= =
x= =2+i4+2i2
(1+3i)(1-i)(1+i)(1-i)
1+3i1+i
전략
1z™
1z™
1z¡
1z™
1z™’
1z¡
1z™’
전략
a+ai-bi+b2
a-ai+bi+b2
(a-bi)(1+i)(1-i)(1+i)
(a+bi)(1-i)(1+i)(1-i)
a-bi1-i
a+bi1+i
zÆ1-i
z1+i
전략
x=2+i x-2=i
(x-2)¤ =i¤ , x¤ -4x+4=-1
x¤ -4x+5=0
x‹ -4x¤ +4x+1=x(x¤ -4x+5)-x+1
=-x+1
=-(2+i)+1
=-1-i 답⃞-1-i
18 'a'b=-'∂ab a…0, b…0 .
'ƒa+3 'ƒa-4=-"√(a+ √3)(√a-4)
a+3…0, a-4…0
a…-3 yy
=-æ≠
a+6æ0, a<0 -6…a<0 yy
, -6…a…-3
a -6, -5, -4, -3 4 .
답⃞ 4
19 iz« z=-ai (a>0)
.
= =
i(1+i)n+1 i¤ =-1
(1+i)n+1=-ai (a>0) .
n=1 , (1+i)¤ =2i
n=3 , (1+i)› ={(1+i)¤ }¤ =(2i)¤ =-4
n=5 , (1+i)fl =(1+i)¤ (1+i)› =-8i
i(1+i)fl =i(-8i)=8
n 5 . 답⃞ 5
20 a '∂-a='ßai .
'ƒ-a¡_'ƒ-a™_'ƒ-a£_y_'ƒ-a¡º
='ßa¡i_'ßa™i_'ßa£i_y_'∂a¡ºi
=øπa¡_πa™_ πa£_πy_ πa¡ºi ⁄ ‚
='∂100(i› )¤ ¥i ¤
=-'∂100=-10 답⃞ ①
전략
i(1+i)« ±⁄2
i(1+i)« (1+i)(1-i)(1+i)
i(1+i)«1-i
전략
a+6a
'ƒa+6'a
전략
.
.
x=a+bi (a, b ) x-a=bi
x¤ -2ax+a¤ +b¤ =0
.
보충학습
(실수부분)+(허수부분)=2
복소수 z에 대한 등식이주어지면
❶ z=a+bi (a, b는 실
수)로놓고등식에대입한다.
❷두 복소수가 서로 같
을조건을이용하여 a,b의값을구한다.
ƒz¡+z™=z¡’+z™’ƒz¡-z™=z¡’-z™’z¡z™”=z¡’¥z™’
≠{ }= (z™+0)z¡’z™’
z¡z™
순허수의 제곱은 실수
이므로 복소수 x의 실수부분을 좌변으로 옮
긴후양변을제곱하여
x에 대한 이차방정식
을만든다.
-6 -3 0 a
우공비
38
21 z=a+bi, z Æ=a-bi(a, b )
.
z=a+bi (a, b ) zÆ=a-bi
. zz Æ=(a+bi)(a-bi)=a¤ +b¤ =0
a, b a=b=0
z=0
. z¤ +z Æ ¤ =(a+bi)¤ +(a-bi)¤
=2(a¤ -b¤ )=0
. a¤ =b¤ z=0 .
. z=1+i z¤ +z Æ ¤ =(1+i)¤ +(1-i)¤ =0
z+0 .
. z=-zÆ a+bi=-(a-bi)
. a=0 z=bi
. z=i z Æ=-i z=-z Æ z
.
. 답⃞ ①
참고 복소수 z=a+bi (a, b는 실수)에 대하여 z+zÆ=2a,
zz Æ=a¤ +b¤은 모두 실수이다. 또한 z=-z Æ이면 z=0 또는 z
는순허수이다.
22 z=a+bi(a, b ) z¤ =z Æ
a, b .
z=a+bi (a, b ) zÆ=a-bi
z¤ =zÆ
(a+bi)¤ =a-bi
a¤ -b¤ +2abi=a-bi
a, b
a¤ -b¤ =a yy
2ab=-b yy
b=0 a=-;2!;
⁄ b=0 , a¤ =a
⁄ a=0 a=1
¤ a=-;2!; , ;4!;-b¤ =-;2!;
¤ b=—
S=[0, 1, -;2!;+ i, -;2!;- i]
S 4 . 답⃞ 4
23 z w .
z= =
z= =i3'2+9i+2i-3'2
11
(3+'2i)('2+3i)('2-3i)('2+3i)
3+'2i'2-3i
전략
'32
'32
'32
전략
전략w= =
w= =
w¤ ={ }¤= =-i
w› =-1, w° =1
n 8 w« =1 .
n 8, 16, 24, y, 96 12
. 답⃞ ③
24 .
z¡ -z¡
-z¡=1+i z¡=-(1+i)
z™
z£= = = =
z£
z¢=≠{ }=
= =-2 답⃞ ①-(1+i)1+i2
z¡z¢
1+i2
1-i2
1-i2
1-i(1+i)(1-i)
11+i
1z™
1z™
전략
-2i2
-1+i'2
-1+i'2
i(1+i)'2
i{1-(-i)}'2
z(1-zÆ)'2
w¤ =-iw› =(w¤ )¤ =(-i)¤=i¤ =-1
wfl =w¤ ¥w›=-i¥(-1)=i
w° =(w› )¤=(-1)¤ =1
임의의 복소수 z에 대하여
①덧셈에대한항등원
➞ 0곱셈에대한항등원
➞ 1②덧셈에대한역원
➞-z곱셈에대한역원
⋯ ➞ ;z!; (z+0)
a¤ -a=0a(a-1)=0⋯∴ a=0 또는 a=1
본책103 108쪽
우공비
Ⅲ
식과
그연산
39
16 다항식의덧셈과뺄셈
11 ⑴ x
2x‹ +2x¤ y-4x+5y‹ -3
⑵ y
2x‹ -4x-3+2x¤ y+5y‹
답⃞ ⑴ 2x‹ +2x¤ y-4x+5y‹ -3
⑵ 2x‹ -4x-3+2x¤ y+5y‹
22 ⑴ 2A+B
=2(x¤ +5x-5)+(2x¤ -x+1)
=2x¤ +10x-10+2x¤ -x+1
=2x¤ +2x¤ +10x-x-10+1
=4x¤ +9x-9
⑵ A-3B
=(x¤ +5x-5)-3(2x¤ -x+1)
=x¤ +5x-5-6x¤ +3x-3
=x¤ -6x¤ +5x+3x-5-3
=-5x¤ +8x-8
⑶ 3A-2(A-B)
=3A-2A+2B
=A+2B
=(x¤ +5x-5)+2(2x¤ -x+1)
=x¤ +5x-5+4x¤ -2x+2
=x¤ +4x¤ +5x-2x-5+2
=5x¤ +3x-3
⑷ (A-3B)-(2A-B)
=A-3B-2A+B
=-A-2B
=-(x¤ +5x-5)-2(2x¤ -x+1)
=-x¤ -5x+5-4x¤ +2x-2
=-x¤ -4x¤ -5x+2x+5-2
=-5x¤ -3x+3
답⃞ ⑴ 4x¤ +9x-9 ⑵ -5x¤ +8x-8
⑶ 5x¤ +3x-3 ⑷ -5x¤ -3x+3
우공비
익히기 |
유제 |
01-1 -A+3(B-C)-X=-(2C-3A)
X=-A+3(B-C)+(2C-3A)
=-A+3B-3C+2C-3A
=-4A+3B-C
=-4(x¤ +3xy-2y¤ )+3(2x¤ -4xy+y¤ )
=-(-x¤ -5xy+5y¤ )
=-4x¤ -12xy+8y¤ +6x¤ -12xy+3y¤
=+x¤ +5xy-5y¤
=3x¤ -19xy+6y¤
답⃞ 3x¤ -19xy+6y¤
01-2 (x¤ -y+3x-5)
≠{(-3x¤ -y+2)≠(xy-y-4)}
=(x¤ -y+3x-5)
≠{2(-3x¤ -y+2)-(xy-y-4)}
=(x¤ -y+3x-5)
≠(-6x¤ -2y+4-xy+y+4)
=(x¤ -y+3x-5)≠(-6x¤ -xy-y+8)
=2(x¤ -y+3x-5)-(-6x¤ -xy-y+8)
=2x¤ -2y+6x-10+6x¤ +xy+y-8
=8x¤ +6x+xy-y-18
답⃞ 8x¤ +6x+xy-y-18
참고 일반적으로는 새로정의되는 연산에 대하여결합법칙이
성립하지않으므로괄호안의식을먼저계산하여야한다.
01-3 A-B=x¤ -3y¤ yy
A+B=-2x¤ +3xy-3y¤ yy
+
2A=-x¤ +3xy-6y¤
A=-;2!;x¤ +;2#;xy-3y¤
-
-2B=3x¤ -3xy
B=-;2#;x¤ +;2#;xy
4A+B=4{-;2!;x¤ +;2#;xy-3y¤ }
4A+B=+{-;2#;x¤ +;2#;xy}
4A+B=-2x¤ +6xy-12y¤ -;2#;x¤ +;2#;xy
4A+B=-;2&;x¤ +:¡2∞:xy-12y¤
답⃞ -;2&;x¤ +:¡2∞:xy-12y¤
x에대하여정리할때,x가 아닌 문자로 이루어진항은상수항이다.
y에대하여정리할때,y가 아닌 문자로 이루어진항은상수항이다.
주어진두식을연립하여
두 다항식 A, B를 찾는다.
다항식과그연산05식과그연산Ⅲ
.
A-(B-C)+(A-B)-C
- .
보충학습
먼저주어진식을간단히
정리한다음조건식을대
입하여 동류항끼리 정리
한다.
우공비
40
⑷
⑴ 3x-10, 40x-21
답⃞
33
Q=2x+4, R=2x-3
2x‹ +4x¤ -7=(x¤ -1)(2x+4)+2x-3
답⃞ Q=2x+4, R=2x-3
2x‹ +4x¤ -7=(x¤ -1)(2x+4)+2x-3
2x+4
x¤ -1 <‘ 2x‹ +4x¤ - ‘2x-7
2x‹ +4x¤ -2x
3x‹ -4x¤ +2x-7
3x‹ -4x¤ -2x-4
3x‹ -4x¤ -2x-3
3x-10
x¤ +3x-2 <‘ 3x‹ -x¤ +4x‘-1
3x‹ +9x¤ -6x
3x‹ -10x¤ +10x-1
3x‹ -10x¤ -30x+20
3x‹ -10x¤ -40x-21
17 다항식의곱셈과나눗셈
익히기 |
유제 |
다항식의 나눗셈에서는
차수를 맞춰서 계산해야
한다. 이때 계수가 0인항의자리는비워둔다.
분배법칙과 지수법칙을
이용하여괄호를풀고동
류항끼리정리한다.
각다항식에서하나씩선
택한항의곱이 x항이되는것만전개한다.
02-1 (3x¤ +2x+1)(x¤ -x+k) x
2x¥k+1¥(-x)=(2k-1)x
x 7
2k-1=7, 2k=8
k=4 답⃞ 4
02-2 A=(x¤ -3x-6)(4x‹ +5x¤ -10)
x›
x¤ ¥5x¤ -3x¥4x‹ =-7x›
a=-7
B=(2x› +x¤ -7)(x¤ -3x+6) x›
2x› ¥6+x¤ ¥x¤ =13x›
b=13
a+b=-7+13=6 답⃞ 6
참고 x›항은 (x›항)_(상수항), (x‹항)_(x항),
(x¤항)_(x¤항)에서 나올 수 있으므로 이 항들만 선택하여 곱
한다.
02-3 ⑴ (1+x+2x¤ +y+100x⁄ ‚ ‚ )¤
=(1+x+2x¤ +y+100x⁄ ‚ ‚ )
_(1+x+2x¤ +y+100x⁄ ‚ ‚ )
11 ⑴ xy(y› -4x¤ y+4y¤ )
=xyfi -4x‹ y¤ +4xy‹
⑵ (x¤ +y)(3x‹ -y)
=3xfi -x¤ y+3x‹ y-y¤
⑶ (x¤ -3xy+6y)(x+y)
=x‹ +x¤ y-3x¤ y-3xy¤ +6xy+6y¤
=x‹ -2x¤ y-3xy¤ +6xy+6y¤
⑷ (x+3y)(x¤ -xy+y¤ )
=x‹ -x¤ y+xy¤ +3x¤ y-3xy¤ +3y‹
=x‹ +2x¤ y-2xy¤ +3y‹
답⃞ ⑴ xyfi -4x‹ y¤ +4xy‹
답⃞ ⑵ 3xfi -x¤ y+3x‹ y-y¤
답⃞ ⑶ x‹ -2x¤ y-3xy¤ +6xy+6y¤
답⃞ ⑷ x‹ +2x¤ y-2xy¤ +3y‹
22 ⑴
⑴ 6x-17, 37
⑵
⑴ x¤ -6x+24, -90
⑶
⑴ x+;2!;, -4x-:¡2∞:
x+;2!;
2x¤ -1 <‘ 2x‹ +x¤ - ‘5x-8
2x‹ +x¤ -x
2x‹ -x¤ -4x-8
2x‹ -x¤ -4x-;2!;
2x‹ -x¤ -4x-:¡2∞:
x¤ -6x+24
x+4 <‘ x‹ -2x¤ ‘-24x+6
x‹ +4x¤
x‹ -6x¤
x‹ -6x¤ -24x
x‹ -6x¤ -24x+6
x‹ -6x¤ -24x+96
x‹ -6x¤ -24x-90
6x-17
x+2 <‘ 6x¤ -5x+3
6x¤ +12x
6x¤ -17x+3
6x¤ -17x-34
6x¤ -17x-37
다항식의 나눗셈에서
는 나머지가 음수인
경우도있다.
우공비
Ⅲ
식과
그연산
41
본책110 114쪽
⑴ x›
⑴ 1¥4x› +x¥3x‹ +2x¤ ¥2x¤ +3x‹ ¥x+4x› ¥1=18x›
⑴ x› 18 .
⑵ (x+3)(2x¤ -4x+7)(x› +x¤ -2x-5)
x‹
⑵ x¥2x¤ ¥(-5)+x¥(-4x)¥(-2x)+x¥7¥x¤
+3¥2x¤ ¥(-2x)+3¥(-4x)¥x¤
=-19x‹
⑴ x‹ -19 .
답⃞ ⑴ 18 ⑵ -19
참고 ⑴`에서 xfi항, xfl항, x‡항, y과곱하여 x›항이나오게할
수 있는 항은 항, 항, 항, y이고 각각의 다항식에
는 항, 항, 항, y이없으므로차수가 5 이상인항에
대해서는생각하지않아도된다.
03-1 2x› +5x¤ +12x-10=f(x)(2x¤ +2x-3)-x+5
f(x)=(2x› +5x¤ +13x-15)÷(2x¤ +2x-3)
f(x)=x¤ -x+5
답⃞ x¤ -x+5
03-2 x› +2x‹ -3x¤ -4x-1=(x¤ -2)Q(x)-3
Q(x)=(x› +2x‹ -3x¤ -4x+2)÷(x¤ -2)
Q(x)=x¤ +2x-1
Q(-2)=4-4-1=-1 답⃞ -1
03-3 f(x) 4x-3 Q,
R
f(x)=(4x-3)Q+R
x¤ +2x-1
x¤ -2 <‘ x› +2x‹ -‘3x¤ -4x+2
x› +2x‹ -2x¤
x› +2x‹ -x¤ -4x
x› +2x‹ -x¤ -4x
x› +2x‹ -x¤ -4x +2
x› +2x‹ -x¤ -4x +2
x› +2x‹ -x¤ -4x +0
x¤ -x+5
2x¤ +2x-3 <‘ 2x› +2x‹ +5x¤ ‘+13x-15
2x› +2x‹ -3x¤
3x‹ -2x‹ +8x¤ +13x
3x‹ -2x‹ -2x¤ +3x
3x‹ -2x‹ 110x¤ +10x-15
3x‹ -2x‹ 110x¤ +10x-15
3x‹ -2x‹ 110x¤ +10x- 0
1x‹
1x¤
1x
1x‹
1x¤
1x
18 곱셈공식
익히기 |
다음 곱셈 공식을 참고
한다.
⑶ (a-b)(a¤ +ab+b¤ )=a‹ -b‹⑹ (a+b)(a¤ -ab+b¤ )=a‹ +b‹⑺ (a¤ +ab+b¤ )(a¤ -ab+b¤ )=a› +a¤ b¤ +b›⑼, ⑽(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤-ab-bc-ca)=a‹ +b‹ +c‹ -3abc
11 ⑴ (2x+3)‹
=(2x)‹ +3¥(2x)¤ ¥3+3¥2x¥3¤ +3‹
=8x‹ +36x¤ +54x+27
⑵ (4x-1)‹
=(4x)‹ -3¥(4x)¤ ¥1+3¥4x¥1¤ -1‹
=64x‹ -48x¤ +12x-1
⑶ (x+2)(x¤ -2x+4)
=(x+2)(x¤ -2¥x+2¤ )
=x‹ +2‹ =x‹ +8
⑷ (2x-1)(4x¤ +2x+1)
=(2x)‹ -1‹ =8x‹ -1
⑸ (x+2)(x-3)(x+1)
=x‹ +(2-3+1)x¤ +(-6-3+2)x
=+2¥(-3)¥1
=x‹ -7x-6
⑹ (x-2y+z)¤
=x¤ +(-2y)¤ +z¤ +2¥x¥(-2y)+2¥(-2y)¥z
+2¥z¥x
=x¤ +4y¤ +z¤ -4xy-4yz+2zx
⑺ (4x¤ +2xy+y¤ )(4x¤ -2xy+y¤ )
=(2x)› +(2x)¤ y¤ +y›
=16x› +4x¤ y¤ +y›
⑻ (9y¤ +12y+4)(9y¤ -12y+4)
=(3y+2)¤ (3y-2)¤
={(3y+2)(3y-2)}¤
=(9y¤ -4)¤
=81y› -72y¤ +16
⑼ (a+2b-c)(a¤ +4b¤ +c¤ -2ab+2bc+ca)
=a‹ +(2b)‹ +(-c)‹ -3¥a¥2b¥(-c)
=a‹ +8b‹ -c‹ +6abc
⑽ (2a-b-2c)(4a¤ +b¤ +4c¤ +2ab-2bc+4ca)
=(2a)‹ +(-b)‹ +(-2c)‹
=-3¥2a¥(-b)¥(-2c)
=8a‹ -b‹ -8c‹ -12abc 답⃞
f(x)=4{x-;4#;} Q+R
f(x)={x-;4#;} ¥4Q+R
f(x) x-;4#; 4Q,
R . 답⃞ 4Q, R
식의값을묻는경우에는
x에 값을 대입하여 식의값을구할수있다. 즉(-2)› +2(-3)‹-3(-2)¤ -4(-2)-1
=(4-2)Q(-2)-3⋯∴ Q(-2)=-1
우공비
42
22 ⑴ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
=5¤ -2¥3=19
⑵ a¤ +b¤ =(a-b)¤ +2ab
=(-6)¤ +2¥7=50
⑶ a‹ +b‹ =(a+b)‹ -3ab(a+b)
=(-3)‹ -3¥2¥(-3)
=-27+18=-9
⑷ a‹ -b‹ =(a-b)‹ +3ab(a-b)
=4‹ +3¥5¥4
=64+60=124
⑸ x¤ +y¤ +z¤ =(x+y+z)¤ -2(xy+yz+zx)
=7¤ -2¥8
=49-16=33
⑹ (1-x)(1-y)(1-z)
=1-(x+y+z)+(xy+yz+zx)-xyz
=1-1+3-5=-2
⑺ x‹ +y‹ +z‹
=(x+y+z)(x¤ +y¤ +z¤ -xy-yz-zx)+3xyz
=0¥(x¤ +y¤ +z¤ -xy-yz-zx)+3¥2
=6 답⃞
=x› -4x‹ +4x¤ -18x¤ +36x+45
=x› -4x‹ -14x¤ +36x+45
a=-4, b=-14
a-b=-4-(-14)=10
답⃞ 10
04-3 (x+1)(x-1)(x¤ +x+1)(x¤ -x+1)
={(x+1)(x¤ -x+1)}{(x-1)(x¤ +x+1)}
=(x‹ +1)(x‹ -1)
=xfl -1
=30-1=29 답⃞ 29
05-1 x¤ +y¤ =(x-y)¤ +2xy
7=9+2xy xy=-1
⑴ (x+y)¤ =(x-y)¤ +4xy
=3¤ +4¥(-1)=9-4=5
⑵ x‹ -y‹ =(x-y)‹ +3xy(x-y)
=3‹ +3¥(-1)¥3=27-9=18
⑶ (x+y)¤ =5 x+y>0
x+y='5
x‹ +y‹ =(x+y)‹ -3xy(x+y)
=('5)‹ -3¥(-1)¥'5
=5'5+3'5=8'5
⑶ xfi +yfi =(x¤ +y¤ )(x‹ +y‹ )-x¤ y¤ (x+y)
=7¥8'5-(-1)¤ ¥'5
=56'5-'5=55'5
답⃞ ⑴ 5 ⑵ 18 ⑶ 55'5
05-2 x+y= + =1,
xy= ¥ = =-;2!;
+ =
=
=
=-5 답⃞ -5
1‹ -3¥{-;2!;}¥1
-;2!;
(x+y)‹ -3xy(x+y)xy
x‹ +y‹xy
x¤y
y¤x
1-34
1-'32
1+'32
1-'32
1+'32
유제 |
공통부분이 나오도록 짝
을 지어 곱셈 공식을 이
용한다.
곱셈공식
(x-a)(x-b)(x-c)=x‹ -(a+b+c)x¤+(ab+bc+ca)x-abc를이용한다.
이때 x 대신 1을 대입하여전개한다.
공통부분을 치환하여 곱
셈공식을이용한다.04-1 ⑴ (x¤ +3xy+y¤ )(x¤ -3xy+y¤ )
⑴ x¤ +y¤ =t
⑴ =(t+3xy)(t-3xy)
=t¤ -9x¤ y¤
=(x¤ +y¤ )¤ -9x¤ y¤
=x› +2x¤ y¤ +y› -9x¤ y¤
=x› -7x¤ y¤ +y›
⑵ (x+1)‹ (x-1)‹
={(x+1)(x-1)}‹
=(x¤ -1)‹
=(x¤ )‹ -3(x¤ )¤ ¥1+3¥x¤ ¥1¤ -1‹
=xfl -3x› +3x¤ -1
답⃞ ⑴ x› -7x¤ y¤ +y› ⑵ xfl -3x› +3x¤ -1
04-2 (x-5)(x-3)(x+1)(x+3)
={(x-5)(x+3)}{(x-3)(x+1)}
=(x¤ -2x-15)(x¤ -2x-3)
x¤ -2x=t
( )=(t-15)(t-3)
=t¤ -18t+45
=(x¤ -2x)¤ -18(x¤ -2x)+45
x, y의 값을 각각 대입하기보다는 x+y,xy의 값을 대입하여
구하는것이간편하다.
x« +y« (n은자연수)의식의변형
x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy
x‹ +y‹ =(x+y)(x¤ +y¤ )-xy(x+y)
x› +y› =(x¤ +y¤ )¤ -2x¤ y¤
xfi +yfi =(x¤ +y¤ )(x‹ +y‹ )-x¤ y¤ (x+y)
보충학습
우공비
Ⅲ
식과
그연산
43
본책114 119쪽
07-2 ⑴ a=1000
999¤ +1001¤ =(1000-1)¤ +(1000+1)¤
=(a-1)¤ +(a+1)¤
=a¤ -2a+1+a¤ +2a+1
=2a¤ +2
=2¥1000¤ +2=2000002
⑵ a=100, b=0.1
100.1(100¤ -10+0.1¤ )
=(100+0.1)(100¤ -100_0.1+0.1¤ )
=(a+b)(a¤ -ab+b¤ )
=a‹ +b‹
=100‹ +0.1‹
=1000000.001
답⃞ ⑴ 2000002 ⑵ 1000000.001
07-3 (4+1)(4¤ +1)(4› +1)(4° +1)
=;3!;¥(4-1)(4+1)(4¤ +1)(4› +1)(4° +1)
=;3!;¥(4¤ -1)(4¤ +1)(4› +1)(4° +1)
=;3!;¥(4› -1)(4› +1)(4° +1)
=;3!;¥(4° -1)(4° +1)
=;3!;¥(4⁄ fl -1) 답⃞ ③
05-3 x¤ -x-1=0 x
x-1-;[!;=0 x-;[!;=1
x‹ - ={x-;[!;} 3 +3x¥;[!;{x-;[!;}
={x-;[!;} ‹ +3{x-;[!;}
=1‹ +3¥1=4 답⃞ 4
06-1 a¤ +b¤ +c¤ =(a+b+c)¤ -2(ab+bc+ca)
8=4¤ -2(ab+bc+ca)
ab+bc+ca=4
⑴ ;a!;+;b!;+;c!;=
⑴ ;a!;+;b!;+;c!;= =-2
⑵ ab+bc+ca=4
a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ +2(ab¤ c+abc¤ +a¤ bc)=16
a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ =16-2abc(a+b+c)
=16-2¥(-2)¥4
=32
⑶ (a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤
=a¤ -2ab+b¤ +b¤ -2bc+c¤ +c¤ -2ca+a¤
=2 {a¤ +b¤ +c¤ -(ab+bc+ca)}
=2(8-4)=8 답⃞ ⑴ -2 ⑵ 32 ⑶ 8
06-2 a+b+c=4
a¤ +b¤ +c¤ +2(ab+bc+ca)=16
14+2(ab+bc+ca)=16
ab+bc+ca=1
a‹ +b‹ +c‹ -3abc
=(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)
34-3abc=4¥(14-1), 3abc=-18
abc=-6 답⃞ -6
06-3 x-y=2, y-z=3
x-z=5
x¤ +y¤ +z¤ -xy-yz-zx
=;2!; {(x-y)¤ +(y-z)¤ +(z-x)¤ }
=;2!; {2¤ +3¤ +(-5)¤ }=19 답⃞ 19
07-1 t
, 20-2t,
12-2t, t
t(20-2t)(12-2t)=4t‹ -64t¤ +240t
답⃞ 4t‹ -64t¤ +240t
4-2
ab+bc+caabc
1x‹
종합문제 |
01 ② 02 19 03③ 04② 05 2'5+2
06 ⑴ 19 ⑵ 3 07③ 08④ 09 -;2!; 10 ⑤
11③ 12⑴ 9+4'5 ⑵ -9-3i 13④
14 ;3!; 15 -16 16① 17② 18⑤
19 Q(x)-1, 2R(x)20 -2 21⑤
22 14 23② 24②
01 .
C-(2A-3B)
=C-2A+3B
=4x¤ +5xy-3y¤ -2(x¤ -3xy+2y¤ )+3(-3x¤ +xy+y¤ )
=4x¤ +5xy-3y¤ -2x¤ +6xy-4y¤ -9x¤ +3xy+3y¤
=-7x¤ +14xy-4y¤
a=14, b=-4
a+b=14+(-4)=10 답⃞②
전략
(직육면체의부피)=(가로)_(세로)_(높이)
;3!;¥(4-1)=1이므로
식의 값은 변하지 않
는다.
곱셈공식
(ab+bc+ca)¤=(ab)¤ +(bc)¤ +(ca)¤+2abc(a+b+c)를이용한다.
곱셈공식의변형을이용
하여주어진식을변형한
후필요한식을찾는다.
반복되는숫자는한문자
로 놓은 후 곱셈 공식에
적용한다.
우공비
44
02 .
2x‹ -x¤ +x+1 x¤ -x-1
Q(x)=2x+1, R(x)=4x+2
Q(2)+R(3)=5+14=19 답⃞ 19
03 P(x)
.
P(x)=(x¤ +2x+3)(x-1)+x+3
P(2)=(4+4+3)¥1+2+3=16 답⃞③
04 xfi +3x¤ -2x x¤ -x+1
x¤ -x+1=0 .
xfi +3x¤ -2x x¤ -x+1
xfi +3x¤ -2x=(x¤ -x+1)(x‹ +x¤ +2)-2
=-2 답⃞ ②
05 (a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab a¤ +b¤ , ab
.
a¤ +b¤ =('5+2)+('5-2)=2'5,
(ab)¤ =a¤ b¤ =('5+2)('5-2)=5-4=1
ab=1 ( ab>0)
(a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab
=2'5+2 답⃞ 2'5+2
06 (a+b+c)¤ =a¤ +b¤ +c¤ +2(ab+bc+ca),
(a+b)‹ =a‹ +b‹ +3ab(a+b) .
⑴ a¤ +b¤ +c¤ =(a+b+c)¤ -2(ab+bc+ca)
=5¤ -2¥3=19 30`%
⑵ a‹ +b‹ =(a+b)‹ -3ab(a+b) 20`%
⋯⋯-4=(-1)‹ -3ab¥(-1)
ab=-1 30`%
⋯⋯ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
=(-1)¤ -2¥(-1)=3 20`%
전략
전략
x‹ +x¤ +2
x¤ -x+1 <‘ xfi -x› -x‹ +3x¤ ‘-2x
xfi -x› +x‹
x‹ -x› -x‹ +3x¤
x‹ -x› -x‹ +x¤
x‹ -x¤ -x› +2x¤ -2x
x‹ -x¤ -x› +2x¤ -2x+2
x‹ -x¤ -x› +2x¤ -2x-2
전략
전략
2x‹ +1
x¤ -x-1 <‘ 2x‹ -x¤ +x+1
2x‹ -2x¤ -2x
2x‹ -x¤ +3x+1
2x‹ -x¤ -x-1
2x‹ -x¤ -4x+2
전략 07 afl +bfl a, b .
a+b=(1+i)+(1-i)=2
ab=(1+i)(1-i)=2
a‹ +b‹ =(a+b)‹ -3ab(a+b)
=2‹ -3¥2¥2=-4
afl +bfl =(a‹ +b‹ )¤ -2a‹ b‹
=(a‹ +b‹ )¤ -2(ab)‹
=(-4)¤ -2¥2‹ =0 답⃞③
a¤ =2i, b¤ =-2i
afl +bfl =(a¤ )‹ +(b¤ )‹ =(2i)‹ +(-2i)‹
=-8i+8i=0
08.
x+1 1
x x·
x+2 2
x 2x·
x+3 3
x 3x·
x+10 10 x
10x·
x·
x· +2x· +3x· +y+10x· =55x·
55 . 답⃞④
09 x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy xy
.
x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy=(2xy)¤ -2xy=0
xy+0 2xy=1 xy=;2!;
x+y=2xy=2¥ ;2!;=1
x‹ +y‹ =(x+y)‹ -3xy(x+y)
x‹ +y‹ =1‹ -3¥;2!;¥1=-;2!; 답⃞-;2!;
10 x, y, z ,
2(xy+yz+zx) .
x, y, z
전략
전략
전략
다른 解
전략
A=BQ+R에서 B=0이면A=R이다.
다항식 A를 다항식 B로나누었을 때의 몫을 Q,나머지를 R라하면A=BQ+R이다.
x¤ -x+1=0
(2xy)¤ -2xy=2xy(2xy-1)=0이므로 2xy=0 또는2xy-1=0
x, y
x¤ +y¤ =0 HjjK x=0, y=0
x y x¤ +y¤ =0 , x=0,
y=0 .
보충학습
우공비
45
88
4(x+y+z)=88 x+y+z=22
288
2(xy+yz+zx)=288 xy+yz+zx=144
x¤ +y¤ +z¤ =(x+y+z)¤ -2(xy+yz+zx)
=22¤ -2¥144=196
øπx¤ +y¤ +z¤ '∂196=14
. 답⃞⑤
11 a‹ +b‹ +c‹
=(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)+3abc
.
a¤ +b¤ +c¤ =(a+b+c)¤ -2(ab+bc+ca)
=4¤ -2¥3=10
a‹ +b‹ +c‹
=(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)+3abc
=4(10-3)+3¥2=34
답⃞③
12 (x )=0
.
⑴ x= 2x-1='5
⑴
4x¤ -4x+1=5, 4x¤ -4x-4=0
x¤ -x-1=0 10`%
⑴ x¤ =x+1
x› =(x+1)¤ =x¤ +2x+1
=(x+1)+2x+1=3x+2
⑴ xfl =x› ¥x¤ =(3x+2)(x+1)
=3x¤ +5x+2
=3(x+1)+5x+2
=8x+5 20`%
⑴ xfl =8¥ +5=9+4'5 20`%
⑵ x=2+i x-2=i
x¤ -4x+4=i¤
x¤ -4x+5=0 10`%
2x‹ -9x¤ +11x-8 x¤ -4x+5
2x-1
x¤ -4x+5 <‘2x‹ -9x¤ +11x-8
2x‹ -8x¤ +10x
2x‹ 8-x¤ +x-8
2x‹ 8-x¤ +4x-5
2x‹ 8-x¤ -3x-3
1+'52
1+'52
전략
전략
⑵ 2x‹ -9x¤ +11x-8
=(x¤ -4x+5)(2x-1)-3x-3
=-3x-3 20`%
=-3(2+i)-3
=-9-3i 20`%
x¤ -4x+5=0
2x‹ -9x¤ +11x-8=2x(x¤ -4x+5)-x¤ +x-8
=-x¤ +x-8
=(-4x+5)+x-8
=-3x-3
=-3(2+i)-3
=-9-3i
13 a+b+c=0 a‹ +b‹ +c‹ =3abc .
x+y+z=-3 (x+1)+(y+1)+(z+1)=0
(x+1)‹ +(y+1)‹ +(z+1)‹
=3(x+1)(y+1)(z+1)
=27
(x+1)(y+1)(z+1)=9 답⃞④
14 (a+b)(a-b)=a¤ -b¤
;3!;¥(5-2) .
;3!;¥(5-2)(5+2)(5¤ +2¤ )(5› +2› )(5° +2° )
=;3!;¥(5¤ -2¤ )(5¤ +2¤ )(5› +2› )(5° +2° )
=;3!;¥(5› -2› )(5› +2› )(5° +2° )
=;3!;¥(5° -2° )(5° +2° )
=;3!;¥(5⁄ fl -2⁄ fl )
k=;3!; 답⃞ ;3!;
15 (xy+yz)(yz+zx)(zx+xy)
=(3-zx)(3-xy)(3-yz)
.
xy+yz+zx=3
xy+yz=3-zx, yz+zx=3-xy, zx+xy=3-yz
40`%
전략
전략
전략
다른 解
우공비
;3!;¥(5-2)=1이므로
식의 값은 변하지 않
는다.
x¤ -4x+5=0을 대
입한다.
xfl =(x¤ )‹ =(x+1)‹
={ +1}‹
=;8!;(3+'5 )‹
을 이용하여 값을 구
할수있다.
1+'52
a‹ +b‹ +c‹ =(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)+3abc
a+b+c=0 a‹ +b‹ +c‹ =3abc .
보충학습
곱셈공식
(x-a)(x-b)(x-c)=x‹ -(a+b+c)x¤+(ab+bc+ca)x-abc를이용한다.
Ⅲ
식과
그연산
본책119 121쪽
우공비
46
(xy+yz)(yz+zx)(zx+xy)
=(3-zx)(3-xy)(3-yz)
=27-9(xy+yz+zx)+3xyz(x+y+z)
-(xyz)¤ 40`%
=27-9¥3+3¥(-1)¥5-(-1)¤
=27-27-15-1=-16 20`%
16 (3+2a)« =A, (3-2a)« =B P
.
(3+2a)« =A, (3-2a)« =B
P=(A-B)¤ -(A+B)¤
=A¤ -2AB+B¤ -A¤ -2AB-B¤
=-4AB
=-4(3+2a)« (3-2a)«
=-4{(3+2a)(3-2a)}«
=-4(9-4a¤ )«
=-4(9-8)«
=-4 답⃞①
17 x-y=1, x-z=3 y-z .
x-y=1, x-z=3
y-z=2
x¤ +y¤ +z¤ -xy-yz-zx
=;2!; {(x-y)¤ +(y-z)¤ +(z-x)¤ }
=;2!; (1+4+9)
=7 답⃞②
18 A B
Q, R A=BQ+R .
21x‹ -17x¤ +19x+42=(7x+6)A(x)-7x-6
(7x+6)A(x)=21x‹ -17x¤ +26x+48
A(x)=(21x‹ -17x¤ +26x+48)÷(7x+6)
21x‹ -17x¤ +26x+48 7x+6
A(x)=3x¤ -5x+8 x -5 .
답⃞⑤
3x¤ -5x+8
7x+6 <‘21x‹ -17x¤ ‘+26x+48
21x‹ +18x¤
21x‹ -35x¤ +26x
21x‹ -35x¤ -30x
21x‹ -35x¤ -56x+48
21x‹ -35x¤ -56x+48
21x‹ -35x¤ -56x+40
전략
전략
전략
19 A B
Q, R A=BQ+R .
A(x)=B(x)Q(x)+R(x) 30`%
A(x)-B(x)+R(x)
=B(x)Q(x)+R(x)-B(x)+R(x)
=B(x){Q(x)-1}+2R(x) 50`%
Q(x)-1, 2R(x) .
20`%
20 (ax+by)(bx+ay) ,
.
x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy
=1-2=-1
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
=4-4=0
(ax+by)(bx+ay)
=abx¤ +a¤ xy+b¤ xy+aby¤
=ab(x¤ +y¤ )+xy(a¤ +b¤ )
=2¥(-1)+1¥0
=-2
답⃞-2
21 , ,
(x-a)(x-b)(x-c) .
, , a, b, c
x-a, x-b, x-c
(x-a)(x-b)(x-c)=d
x‹ -(a+b+c)x¤ +(ab+bc+ca)x-abc=d
x‹ =(a+b+c)x¤ -(ab+bc+ca)x+abc+d
답⃞⑤
22 x‹ -x¤ -6x=x(x¤ -x-6) .
f(x) x‹ -x¤ -6x Q(x)
f(x)=(x‹ -x¤ -6x)Q(x)+x¤ +ax+4
=x(x¤ -x-6)Q(x)+x¤ +ax+4
=x(x¤ -x-6)Q(x)+x¤ -x-6+(a+1)x+10
=(x¤ -x-6){xQ(x)+1}+(a+1)x+10
5x+b=(a+1)x+10
5=a+1, b=10
a=4, b=10
a+b=14
답⃞ 14
전략
전략
전략
전략
A=BQ+R에서BQ=A-R이고, 이때A-R는 B로 나누어떨어진다.
한 모서리의 길이가 x인 정육면체의 부피는
x‹이다.
f(x)를 x¤ -x-6으로나누었을 때의 나머지
가 일차식이 되도록
변형한다.
f(x)를 x¤ -x-6으로나누었을때의몫이
xQ(x)+1이고, 나머지가 (a+1)x+10임을의미한다.
3‹ -(xy+yz+zx)¥3¤+(x¤ yz+xy¤ z+xyz¤ )¥3-x¤ y¤ z¤
A« ¥B« =(AB)« 임을이용한다.
우공비
47
23.
( )=px¤ (x+3)
( )=p(x-2)¤ x
( )
=px¤ (x+3)-p(x-2)¤ x
=px(x¤ +3x-x¤ +4x-4)
=px(7x-4)
답⃞②
24.
( )=x‹
( )=xy¤
( )=y‹
( )
=( )
=-3_( )
=+2_( )
=x‹ -3xy¤ +2y‹
답⃞②
전략
전략
우공비
식과그연산Ⅲ
항등식과나머지정리06
19 항등식
익히기 |
11 . 2x+1=3x-1 x=2
.
(x+1)(x-4)=x¤ -3x-4
x¤ -3x-4=x¤ -5x-4
2x=0 x=0
.
x(x+3)-6=x¤ +3x-6
.
x
.
. 2x¤ -9x=0 x(2x-9)=0
x=0 x=;2(;
. 답⃞
22 ⑴ x
a-1=0, b+2=0, 3-c=0
a=1, b=-2, c=3
⑵ ax-7y+c=-3x+by+8 x, y
a=-3, b=-7, c=8
답⃞ ⑴ a=1, b=-2, c=3
답⃞ ⑵ a=-3, b=-7, c=8
33 ⑴ a(x+2)+b(2x-1)=5x-10
(a+2b)x+2a-b=5x-10
x
a+2b=5, 2a-b=-10
a=-3, b=4
⑵ x=1
b=13 yy
x=0
1-a+b=5 yy
, a=9, b=13
⑶
a-b=1, b-3=0, -(c+4)=2
a=4, b=3, c=-6
답⃞ ⑴ a=-3, b=4 ⑵ a=9, b=13
답⃞ ⑶ a=4, b=3, c=-6
x의 값이 2일 때에만등식이 성립하므로 방
정식이다.
, , 은 각각 특
정한 x의 값을 대입하였을 때에만 성립하므
로방정식이다.
항등식에서 미정계수를
구할때,
➞ 내림차순
으로정리하기쉬운경우
에사용
➞적당한값
을대입하면식이간단해
지는경우에사용
주어진등식의우변은
x¤ +2=x¤ +0¥x+2이므로 x의 계수는 0이다.
(원기둥의부피)=(밑넓이)_(높이)
Ⅲ
식과
그연산
본책121 126쪽
우공비
48
a
e+2=0, e+k=0e=-2, k=2 답⃞ 2
항등원에대한등식
Á e aΩe=a a
.
보충학습
⑴ x=-2
⑵ -5b=-20 b=4
⑵ x=;2!;
⑵ ;2%;a=-;;¡2∞;; a=-3
⑵ (x-1)¤ +a(x-1)+b=x¤ +7x+5
x¤ -2x+1+ax-a+b=x¤ +7x+5
x¤ +(a-2)x-a+b+1=x¤ +7x+5
x
a-2=7, -a+b+1=5
a=9, b=13
⑶ x=0
-(c+4)=2 c=-6 yy
x=1
a-c-7=3 a-c=10 yy
x=-1
a-2b-c=4 yy
, , a=4, b=3, c=-6
44 x‹ +ax¤ +b (x+1)(x-2)
Q(x)
x‹ +ax¤ +b=(x+1)(x-2)Q(x)+4x+1
yy
x
x=-1
-1+a+b=-3
a+b=-2 yy
x=2
8+4a+b=94a+b=1 yy
,
a=1, b=-3
답⃞ a=1, b=-3
55 Á e a
aΩe=eΩa=a
aΩe=a
a+e+a(e+2)+k=a
a(e+2)+e+k=0
다른 解
다항식의나눗셈
x A, B (B+0) A B
Q, R A=BQ+R
x .
보충학습
유제 |
a(x+2)+b(2x-1)=5x-10에서x+2=0, 2x-1=0을만족시키는값이다.
① ax¤ +bx+c=0이x에대한항등식➞ a=b=c=0
② ax+by+c=0이x, y에대한항등식➞ a=b=c=0
01-1 a
a .
(a-3)x-(2a-5)y-3a+6=0 a
(x-2y-3)a-3x+5y+6=0
x-2y-3=0, -3x+5y+6=0
x=-3, y=-3
x¤ +y¤ =9+9=18 답⃞ 18
01-2 x¤ +(k-1)x+(k+5)a+b-2=0
-1
1-(k-1)+(k+5)a+b-2=0
k k
(a-1)k+5a+b=0
a-1=0, 5a+b=0
a=1, b=-5
ab¤ =25 답⃞ 25
01-3 =k(k )
ax+by+2=k(x+6y-4)
x, y x, y
(a-k)x+(b-6k)y+2+4k=0
a-k=0, b-6k=0, 2+4k=0
k=-;2!;, a=-;2!;, b=-3
-2a+b=1-3=-2 답⃞ ④
ax+by+2x+6y-4
임의의 실수 k에 대하여 항상 -1을 근으로가지므로 주어진 방정
식의 x에 -1을 대입한다.
우공비
49
Ⅲ
식과
그연산
본책126 129쪽
02-1 x=0
d=0 yy
x=-1
-c+d=-1 yy
x=-2
2b-2c+d=-8 yy
x=1
6a+2b+c+d=1 yy
, , ,
a=1, b=-3, c=1, d=0
답⃞ a=1, b=-3, c=1, d=0
02-2 x=2
8-10+11=3(a+b) a+b=3
x=-1
2+5+11=9ab ab=2
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
=3¤ -2¥2=5 답⃞ 5
02-3 x=-1
0=1+a+b
a+b=-1 yy
x¤ =2
0=8+2a+b
2a+b=-8 yy
,
a=-7, b=6
(x+1)(x¤ -2)f(x)=xfl -7x¤ +6
x=2
3¥2f(2)=64-28+6
6f(2)=42
f(2)=7 답⃞ 7
03-1 x‹ +3x-5 x¤ -x-2=(x+1)(x-2)
Q(x), ax+b (a, b )
x‹ +3x-5=(x+1)(x-2)Q(x)+ax+b
(x+1)(x¤ -2)f(x)=xfl +ax¤ +b
, 0 x
x+1=0, x¤ -2=0 x
.
x¤ -2=0 x=—'2 x¤ =2
.
보충학습
x x=-1
-1-3-5=-a+b
-a+b=-9 yy
x=2
8+6-5=2a+b
2a+b=9 yy
,
a=6, b=-3
6x-3 . 답⃞ 6x-3
주의 구하는 것은 상수 a, b의 값이 아니라 나머지 ax+b임
을주의한다.
03-2 e
a a e=e a=a .
a e=a
3ae-2(a+e)+k=a
a
3ae-2a-2e+k=a
(3e-3)a-2e+k=0
3e-3=0, -2e+k=0
e=1, k=2 답⃞ 2
03-3 (4-5x-3x¤ )‹ =aº+a¡x+a™x¤ +y+a§xfl
x x=1
(4-5-3)‹ =aº+a¡+y+a∞+a§
aº+a¡+y+a∞+a§=-64 yy
x=-1
(4+5-3)‹ =aº-a¡+y-a∞+a§
aº-a¡+y-a∞+a§=216 yy
+
2(aº+a™+a¢+a§)=152
aº+a™+a¢+a§=76 답⃞ 76
a«x« +an-1xn-1+y+a¡x+aº
a«+an-1+y+a¡+aº a«-an-1+y+aº(n
x 1 -1
.
보충학습
집합 A가연산 Á에대하
여 닫혀 있을 때, A의임의의원소 a에대하여⋯aΩe=eΩa=a를 만족시키는 A의 원소e가 연산 Á에 대한 항등
원이다.
다항식의 전개를 나타
내는 등식은 주어진
문자에 대한 항등식이
다.
수치 대입법을 이용하여
항등식의 미정계수를 구
할때에는미지수가포함
되어있는항을 0이되게하는수를대입한다.
이차식으로 나누었을
때의 나머지는 일차식
또는상수이다.
우공비
50
20 나머지정리
익히기 |
2
2
2 -116-3
-63-2
-53-1-1
3 -2 -3
2
3 -8-30
-202
-6;3@;
f(x) x+;aB; Q(x),
R f(x) ax+b
;a!;Q(x), R .
보충학습
44 ⑴
x¤ -6x-5, -6
⑵
4x¤ +12x+38, 109
⑶
x¤ -x-1, -3
⑷
9x¤ -6x+8, -;3@;
답⃞
-;3!; 9 -3 6 2
-;3!; 2 -3 2 -;3*;
-;3!; 9 -6 8 -;3@;
-1 1 -0 -2 -4
-2 3 -1 -1 -1
-2 1 -1 -1 -3
3 4 10 32 -5
2 3 12 36 114
2 4 12 38 109
2 1 -8 - 7 -14
2 3 -2 -12 -10
2 1 -6 -5 -6
유제 |
04-1 f(x)=x‹ +ax¤ +bx+5
f(1)=2, f {;2!;}=;8#;
f(1)=2 1+a+b+5=2
a+b=-4 yy
f {;2!;}=;8#; ;8!;+ + +5=;8#;
a+2b=-19 yy
,
a=11, b=-15
f(x)=x‹ +11x¤ -15x+5 f(x) x+2
f(-2)=-8+44+30+5=71 답⃞ 71
04-2 f(x)=2x‹ +ax¤ -8x-3
f(2)=f(-3)
16+4a-16-3=-54+9a+24-3
5a=30 a=6 답⃞ 6
b2
a4
몫과나머지를모두구해
야하고일차식으로나누
는 문제이므로 조립제법
을이용한다.
일차식으로 나누었을 때
의나머지만구하는문제
이므로나머지정리를이
용한다.
11 f(x)=x‹ +2x¤ -3x-4
⑴ f(-1)=-1+2+3-4=0
⑵ f {;2!;}=;8!;+;2!;-;2#;-4=-;;£8ª;;
⑶ f(3)=27+18-9-4=32
답⃞ ⑴ 0 ⑵ -;;£8ª;; ⑶ 32
22 ⑴ f(x)=4x‹ -kx¤ +7x+2
f(x) x+2
f(-2)=0
-32-4k-14+2=0
⑴ 4k=-44 k=-11
⑵ f(x)=6x‹ +x¤ -kx-5
f(x) 3x-1
⑴ f {;3!;}=0
⑴ ;9@;+;9!;- -5=0
⑴ =- k=-14
답⃞ ⑴ -11 ⑵ -14
33 ⑴
2x¤ -3x+6, -11
⑵
x¤ -1, -8
답⃞
143
k3
k3
x에대한다항식 f(x)가x-a로나누어떨어진다.HjjK f(x)는 x-a를 인
수로갖는다.HjjK f(x)
=(x-a)Q(x)HjjK f(a)=0
-x+3=0을 만족시
키는 x의값➞ x=3
x-;3@;로 나누었을 때
의몫이 3x¤ -3이므로3x-2로나누었을때
의몫은 ;3!;(3x¤ -3),
즉 x¤ -1이다.
f(x)가 3x-1로 나누
어떨어지면 x-;3!;로도
나누어떨어진다.
우공비
51
Ⅲ
식과
그연산
본책132 135쪽
04-3f(1)=4, g(1)=-3
2 f(1)-5g(1)=2¥4-5¥(-3)
=8+15=23 답⃞ 23
참고 h(x)=2f(x)-5g(x)로 놓으면 h(x)를 x-1로 나누
었을때의나머지는 h(1)=2f(1)-5g(1)이다.
05-1 f(x) x¤ -3x-4=(x+1)(x-4)
Q(x), ax+b (a, b )
f(x)=(x+1)(x-4)Q(x)+ax+b
f(-1)=-5, f(4)=5
a-b=5, 4a+b=5
a=2, b=-3
2x-3
답⃞ 2x-3
05-2 f(x) x¤ -4x+3
Q¡(x)
f(x)=(x¤ -4x+3)Q¡(x)+4x-2
=(x-1)(x-3)Q¡+4x-2 yy
f(x) x¤ -5x+6
Q™(x)
f(x)=(x¤ -5x+6)Q™(x)+10
=(x-2)(x-3)Q™+10 yy
f(x) x¤ -3x+2 Q(x),
ax+b (a, b )
f(x)=(x¤ -3x+2)Q(x)+ax+b
=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b yy
f(1)=4¥1-2=2
f(2)=10
x=1, x=2
f(1)=a+b, f(2)=2a+b
a+b=2, 2a+b=10
a=8, b=-6
8x-6 . 답⃞ 8x-6
05-3 f(x) (x-2)¤ (x-3)
Q(x), ax¤ +bx+c (a, b, c
)
f(x)=(x-2)¤ (x-3)Q(x)+ax¤ +bx+c
yy
f(x) (x-2)¤ 2x+1
ax¤ +bx+c (x-2)¤
2x+1 .
ax¤ +bx+c=a(x-2)¤ +2x+1
f(x)=(x-2)¤ (x-3)Q(x)+a(x-2)¤ +2x+1
yy
f(x) x-3 10
f(3)=a+7=10
a=3
3(x-2)¤ +2x+1=3x¤ -10x+13
답⃞ 3x¤ -10x+13
06-1 f(x) x-;2!;
1
f {;2!;}=1 yy
4x¤ f(x-1) 2x-3
Q(x), R
4x¤ f(x-1)=(2x-3)Q(x)+R yy
x x=;2#;
4¥ ;4(; f {;2#;-1}={2¥ ;2#;-3}Q{;2#;}+R
9f {;2!;}=R f {;2!;}=1
R=9¥1=9 답⃞ 9
06-2 f(x) x+1
R
f(-1)=R yy
(x+3)f(3x+2)+2 x+1
Q(x), R'
(x+3)f(3x+2)+2=(x+1)Q(x)+R'
yy
x x=-1
(-1+3)f(3¥(-1)+2)+2=(-1+1)Q(-1)+R'
2 f(-1)+2=R' f(-1)=R
R'=2R+2
답⃞ ⑤
A B(B+0) Q,
R A=BQ+R
(R )<(B )
R=0 A B .
보충학습
다항식 f(x)를 이차
식으로 나누었으므로
나머지는 일차 이하의
다항식이다.
㉡`의 양변에 x=3을대입한다.
나머지는 나누는 식의
차수보다작아야한다.나누는 식이 삼차식이
므로 나머지는 이차
이하의 다항식이어야
한다.
우공비
52
06-3 f(x) x¤ -x-12
Q(x)
f(x)=(x¤ -x-12)Q(x)+2x+1
=(x-4)(x+3)Q(x)+2x+1 yy
f(5x-1) x-1
Q'(x), R
f(5x-1)=(x-1)Q'(x)+R yy
x x=1
f(5¥1-1)=(1-1)Q'(x)+R
f(4)=R f(4)=2¥4+1=9
R=9 답⃞ 9
07-1 f(x)=x› +ax¤ +bx+6
f(-1)=0, f(3)=0
f(-1)=0 1+a-b+6=0
a-b=-7 yy
f(3)=0 81+9a+3b+6=0
3a+b=-29 yy
,
a=-9, b=-2
ab=(-9)¥(-2)=18 답⃞ 18
07-2 (x+2)¤
Q(x)
x‹ +3x¤ -ax+b=(x+2)¤ Q(x) yy
x=-2
-8+12+2a+b=0
b=-2a-4 yy
x‹ +3x¤ -ax-2a-4=(x+2)¤ Q(x)
x+2
x¤ +x-a-2=(x+2)Q(x)
x=-2
4-2-a-2=0
a=0
b=-4
a+b=0+(-4)=-4 답⃞ -4
07-3 f(8)=0 f(x) x-8 .
f(x) x-8 Q(x)
f(x)=(x-8)Q(x)
f(x¤ +2x)=(x¤ +2x-8)Q(x¤ +2x)
=(x+4)(x-2)Q(x¤ +2x)
f(x¤ +2x) x-2
. 답⃞ ③
08-1 f(x)=3x‹ +4x¤ -5x+2
a(x+1)‹ +b(x+1)¤ +c(x+1)+d
=(x+1){a(x+1)¤ +b(x+1)+c}+d yy
=(x+1)[(x+1){a(x+1)+b}+c]+d yy
=(x+1)[(x+1){(x+1)a+b}+c]+d yy
f(x) x+1 d
.
f(x) x+1 x+1
c .
x+1 a,
b .
abcd=3¥(-5)¥(-4)¥8=480 답⃞ 480
08-2
x› =1+4(x-1)+6(x-1)¤ +4(x-1)‹ +(x-1)›
aº=1, a¡=4, a™=6, a£=4, a¢=1
a£-a¡=4-4=0 답⃞ 0
08-3 ⑴ 2 4 -7 5 -1
8 2 14
2 4 1 7 13 = d
8 18
2 4 9 25 = c
8
4 17 = b||a
1 1 0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 = aº
1 2 3
1 1 2 3 4 = a¡
1 3
1 1 3 6 = a™
1
1 4 = a£||a¢
-1 3 -4 -5 2
-2 3 -3 -1 6
-1 3 -1 -6 8 = d
-3 2
-1 3 -2 -4 = c
-3
3 -5 = b||a
x+1, x-3으로나누었을 때 나누어떨어지
므로 인수정리를 이용
한다.
-2 1 3 -a -2a-4-2 -2 2a+4
1 1 -a-2 0몫：x¤ +x-a-2
f(x)=(x-8)Q(x)에서 x 대신 x¤ +2x를대입한다.
공통된 일차식의 거듭제
곱의합으로이루어진식
의미정계수를구할때에
는 조립제법을 반복하여
이용한다.
우공비
53
Ⅲ
식과
그연산
본책135 138쪽
⑵
⑵ f(x)=4(x-2)‹ +17(x-2)¤ +25(x-2)+13
⑵ f(x)=4(x-2)‹ +17(x-2)¤ +25(x-2)+13
x=1.9
⑵ f(1.9)
⑵ =4(1.9-2)‹ +17(1.9-2)¤ +25(1.9-2)+13
=4_(-0.1)‹ +17_(-0.1)¤ +25_(-0.1)+13
=-0.004+0.17-2.5+13
=10.666
` `답⃞ ⑴ f(x)=4(x-2)‹ +17(x-2)¤ +25(x-2)+13
` `답⃞ ⑵ 10.666
02 f(x) Q(x), R .
f(x)=(2x+1)Q(x)+R
=2{x+;2!;}Q(x)+R
={x+;2!;} 2Q(x)+R
f(x) x+;2!; 2Q(x),
R . 답⃞③
03 R(x)=ax+b (a, b )
.
x‹ -x¤ +2x-1 x¤ -1
Q(x), ax+b (a, b )
x‹ -x¤ +2x-1=(x¤ -1)Q(x)+ax+b
=(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b
x x=1
1=a+b yy
x=-1
-5=-a+b yy
,
a=3, b=-2
R(x)=3x-2
R(5)=3¥5-2=13 답⃞ 13
04 f(x) x-a f(a)=0
.
f(x) x+1
f(-1)=0
f(-1)=-1-3-k+5=0
k=1
f(x)=x‹ -3x¤ +x+5
f(x) x-2
f(2)=8-12+2+5=3 답⃞④
05 f(x) (x-a)(x-b)
f(a)=0, f(b)=0 .
f(x)=x‹ -x¤ +ax+b f(x)
x¤ -x-2=(x-2)(x+1)
f(2)=0, f(-1)=0
f(2)=0 8-4+2a+b=0
2a+b=-4 yy
f(-1)=0 -1-1-a+b=0
a-b=-2 yy
,
a=-2, b=0
ab=0 답⃞③
전략
전략
전략
전략
종합문제 |
01⑤ 02③ 03 13 04④ 05③
06⑴ x¤ -x+2, 3
⑵ x¤ +2x+1, -2
07③ 08 -1 09① 10① 11 -5 12 7
13③ 14 ;4!;x¤ +x 15④ 16 3 17①
18② 19 17 20 6 21③ 22② 23⑤
24③
01 .
x=1
6=c yy
x=2
17=a+b+c yy
x=0
1=a-b+c yy
a=3, b=8, c=6
a+b-2c=-1 답⃞⑤
3x¤ +2x+1=a(x-1)¤ +b(x-1)+c
3x¤ +2x+1=ax¤ +(-2a+b)x+a-b+c
x
a=3, -2a+b=2, a-b+c=1
a=3, b=8, c=6
a+b-2c=-1
다른 解
전략
0 0
.
.
보충학습 나누는식이일차식이아
니어도 일차식의 곱으로
나타낼수있으면인수정
리를이용할수있다.
계산하기 편리한 값을
대입한다.
나누는 식이 이차식이
므로 나머지 R(x)는일차 이하의 다항식이
다.
우공비
54
06 .
⑴
⑴ x¤ -x+2, 3 40`%
⑵
⑴
⑴ 2x‹ +3x¤ -3={x-;2!;}(2x¤ +4x+2)-2
⑴ 2x‹ +3x¤ -3=(2x-1)(x¤ +2x+1)-2
⑴ x¤ +2x+1, -2 60`%
07 ax+b=0 x a=0, b=0
.
x x
(k¤ -2k-3)x-(k¤ -5k+6)=0
k¤ -2k-3=0, k¤ -5k+6=0
k¤ -2k-3=0 (k-3)(k+1)=0
k=3 k=-1 yy
k¤ -5k+6=0 (k-2)(k-3)=0
k=2 k=3 yy
k 3
. 답⃞③
08 0 x .
x=1
0=1+a+b a+b=-1 yy
x¤ =-1
0=1-a+b a-b=1 yy
, a=0, b=-1
2a+b=-1 답⃞-1
참고 x¤ =-1을 만족시키는 x의 값은 x=i 또는 x=-i이
다. 따라서 x=i 또는 x=-i를 대입한 것이라고 생각할 수
있다.
09 x+y=1 y x
.
x+y=1 y=1-x
ax¤ +bx(1-x)+c(1-x)¤ =1
ax¤ +bx-bx¤ +c-2cx+cx¤ =1
(a-b+c)x¤ +(b-2c)x+(c-1)=0
전략
전략
전략
;2!; 2 3 0 -3
1 2 1
2 4 2 -2
1 1 -2 3 1
1 -1 2
1 -1 2 3
전략 x
a-b+c=0, b-2c=0, c-1=0
a=1, b=2, c=1
a+b+c=4 답⃞①
10 x, y x, y
.
x=1, y=0
f(1)f(0)=f(1)+f(1)
f(1)=1 f(0)=1+1
f(0)=2
x=1, y=1
f(1)f(1)=f(2)+f(0) 1=f(2)+2
f(2)=-1 답⃞①
11 g(x) ,
.
21x‹ -17x¤ +19x+42 g(x)7x+6, -7x-6
21x‹ -17x¤ +19x+42=(7x+6)g(x)-7x-6
(7x+6)g(x)=21x‹ -17x¤ +26x+48
21 g(x)3 .
g(x)=3x¤ +ax+b
(7x+6)(3x¤ +ax+b)=21x‹ -17x¤ +26x+48
x=0
6b=48 b=8
x=-1
-(3-a+b)=-16
a-b=-13 yy
b=8
a-8=-13 a=-5
g(x)=3x¤ -5x+8
g(x) x -5 . 답⃞ -5
참고 (7x+6)g(x)=21x‹ -17x¤ +26x+48에서
g(x)=(21x‹ -17x¤ +26x+48)÷(7x+6)으로도풀수있다.
12 f(x), Q(x) A=BQ+R .
f(x) x-1 Q(x)
3
f(x)=(x-1)Q(x)+3 20`%
Q(x) x-2 x¤ +x+1
1
Q(x)=(x-2)(x¤ +x+1)+1 20`%
f(x)=(x-1){(x-2)(x¤ +x+1)+1}+3
30`%
전략
전략
전략
f(x)={x+;aB;}Q(x)
+R(x)
f(x)=;a!;(ax+b)Q(x)
+R(x)이므로 f(x)를 ax+b로나누었을때의몫은
;a!;Q(x)이다.
x¤ +1=0을 만족시킨
다.
x+y=1에서x=1-y이므로 이것
을 주어진 식에 대입
하면 y에 대한 항등식이된다.
f(1)=1을이용하여f(0)의 값을 구하기
위하여 x=1, y=0을대입한다.
f(1)=1, f(0)=2를이용하여 f(2)의값을구하기 위하여 x=1,y=1을대입한다.
삼차식을 g(x)로 나
누었더니 몫이 일차식
이었으므로 g(x)는이차식이다.
우공비
55
Ⅲ
식과
그연산
본책138 141쪽
f(x) x+1 f(-1)
f(-1)=(-2){(-3)_1+1}+3=7
7 . 30`%
참고 f(x)=(x-p)Q(x)+R일 때, Q(x)를 x-a로 나누
었을때의나머지는 f(a)=(a-p)Q(a)+R에서
Q(a)= 이다.
13 f(x)g(x) x-a
f(a)g(a) .
f(x) x-2 3
f(2)=3
g(x)=(x¤ +3x+5)f(x) g(x) x-2
g(2)=(4+6+5)f(2)=45 답⃞③
14 f(x)
.
f(x) (x-2)(x¤ +4) Q(x),
ax¤ +bx+c (a, b, c )
f(x)=(x-2)(x¤ +4)Q(x)+ax¤ +bx+c 10`%
f(x) x¤ +4 x-1
ax¤ +bx+c x¤ +4 x-1
.
ax¤ +bx+c=a(x¤ +4)+x-1
f(x)=(x-2)(x¤ +4)Q(x)+a(x¤ +4)+x-1
40`%
f(2)=3
f(2)=8a+2-1=3 a=;4!; 30`%
;4!;(x¤ +4)+x-1=;4!;x¤ +x 20`%
15 f(x+2009)=(x+2012)Q(x)+R
.
f(x+2009) x+2012 Q(x),
R
f(x+2009)=(x+2012)Q(x)+R
x=-2012 f(-3)=R
f(x) x+3 1
f(-3)=1
R=1 답⃞ ④
16 a, b , af(x)+bg(x) x-k
af(k)+bg(k) .
2f(x)+3g(x) x-1 7
전략
전략
전략
전략
f(a)-Ra-p
2f(1)+3g(1)=7 yy
3f(x)-g(x) x-1 5
3f(1)-g(1)=5 yy
, f(1)=2, g(1)=1
f(x)+g(x) x-1
f(1)+g(1)f(1)+g(1)=3 답⃞ 3
17 f(x) x-1 x-1
.
f(x) (x-1)¤ Q(x)
f(x)=(x-1)¤ Q(x)=(x-1)(x-1)Q(x)
f(x) x-1 x-1
.
f(x) x-1 0
a+b=0 yy
x-1 0
2a+2=0 yy
, a=-1, b=1
a-b=-1-1=-2 답⃞ ①
18 x‹ +ax¤ -4x+b=(x¤ -x-1)Q(x) x
.
x‹ +ax¤ -4x+b x¤ -x-1
x+c(c )
x‹ +ax¤ -4x+b=(x¤ -x-1)(x+c)
=x‹ +(c-1)x¤ -(c+1)x-c
a=c-1, 4=c+1, b=-c
a=2, b=-3, c=3
a+b=2+(-3)=-1 답⃞ ②
19 f(x) x-a¤
f(a¤ ) .
f(x) x-a R¡
R¡=f(a)=a‹ +a¤ +2a+1
f(x) x+a R™
R™=f(-a)=-a‹ +a¤ -2a+1
R¡+R™=2a¤ +2=6
전략
전략
1 1 a -1 b
1 a+1 a
1 1 a+1 a a+b
1 a+2
1 a+2 2a+2
전략
삼차식의 최고차항의
계수가 1이고 삼차식
을 이차식으로 나누었
을 때 몫은 일차식이
되므로 몫은 x+c로놓을수있다.
f(1), g(1)을 문자로생각하고 ㉠, ㉡`을 연립하여푼다.
우공비
56
f(x)=(x¤ +2x)(x‹ +2x¤ +3x-1)
f(x)=+3(x‹ +2x¤ )+3(3x-1)
f(x)=(x¤ +2x)(x‹ +2x¤ +3x-1)
f(x)=+3x(x¤ +2x)+3(3x-1)
f(x)=(x¤ +2x)(x‹ +2x¤ +6x-1)+3(3x-1)
R(x)=3(3x-1)
R(3)=24 답⃞ ⑤
24 a, b .
f(x)=x‹ +ax¤ +bx+1
f(-2)=4a-2b-7
f(1)=a+b+2
f(x) x+2 x-1
f(-2)=f(1)
4a-2b-7=a+b+2
3a-3b=9
a-b=3
f(x) x+1 f(-1)
f(-1)=-1+a-b+1=3 답⃞ ③
전략
a¤ =2
f(x) x-a¤
f(a¤ )=afl +a› +2a¤ +1
=2‹ +2¤ +2¥2+1=17 답⃞ 17
20 f(1-x), xf(x)
x .
f(1-x) x-1 p(x) ,
x f(x) (x+1)(x-4) q(x)
f(1-x)=(x-1)p(x)-4 yy
x f(x)=(x+1)(x-4)q(x) yy
x=1 f(0)=-4
x=-1 f(-1)=0
x=4 f(4)=0
f(x) f(x)=a(x+1)(x-4) (a )
.
f(0)=-4a=-4 a=1
f(x)=(x+1)(x-4) x+2
f(-2)=(-1)¥(-6)=6 답⃞ 6
21 f(x)=g(x)Q(x)+R(x) .
. f(x) g(x) Q(x)
Q(x) m-n .
. f(x)=x› +x¤ , g(x)=x‹ , Q(x)=x
R(x)=x¤ Q(x) R(x)
.
. R(x) g(x) g(x)3 R(x) 2 .
, . 답⃞ ③
22 q(x) x-3
q(3) .
f(x)=(x-1)(x-2)q(x)+x+1 x=3
f(3)=(3-1)(3-2)q(3)+3+1
f(3)=2q(3)+4
f(3)=8 2q(3)+4=8
q(3)=2
2 . 답⃞ ②
23 f(x)=(x¤ +2x)Q(x)+R(x)
.
f(x)=(x¤ +2x+3)(x‹ +2x¤ +3x-1)
f(x)=(x¤ +2x)(x‹ +2x¤ +3x-1)
f(x)=+3(x‹ +2x¤ +3x-1)
전략
전략
전략
전략
f(a)=0, f(b)=0이면f(x)는 x-a, x-b를
인수로가지므로
f(x)=a(x-a)(x-b)로놓을수있다.
q(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는
나머지정리에의하여
q(3)과같으므로 q(3)을 구하기 위하여 양
변에 x=3을 대입한
다.
f(x)를 x-3으로 나
누었을 때의 나머지가
8이므로⋯f(3)=8
a, b의 값을 구하여
a-b의 값을 구하는
것이 아니라 위에서
구한 a-b=3을 대입하여 식의 값을 구한
다.
Ⅲ. 57
Ⅲ
식과
그연산
본책141 146쪽
우공비
인수분해, 약수와배수07식과그연산Ⅲ
21 인수분해
익히기 |
⑿ 8x‹ -y‹ +z‹ +6xyz
=(2x)‹ +(-y)‹ +z‹ -3¥2x¥(-y)¥z
=(2x-y+z)(4x¤ +y¤ +z¤ +2xy+yz-2xz)
⒀ x› +4x¤ y¤ +16y›
=x› +x¤ ¥(2y)¤ +(2y)›
=(x¤ +2xy+4y¤ )(x¤ -2xy+4y¤ )
⒁ x› -y› =(x¤ )¤ -(y¤ )¤
=(x¤ +y¤ )(x¤ -y¤ )
=(x¤ +y¤ )(x+y)(x-y)
⒂ xfl -64
=(x¤ )‹ -4‹
=(x¤ -4)(x› +4x¤ +16)
=(x+2)(x-2)(x› +x¤ ¥2¤ +2› )
=(x+2)(x-2)(x› +2x+4)(x¤ -2x+4)
답⃞
유제 |
01-1 ⑴ a‹ +a¤ c-b‹ -b¤ c
=(a‹ -b‹ )+c(a¤ -b¤ )
=(a-b)(a¤ +ab+b¤ )+c(a+b)(a-b)
=(a-b)(a¤ +b¤ +ab+bc+ca)
⑵ 9a¤ b¤ +6ab-b¤ +1
=(9a¤ b¤ +6ab+1)-b¤
=(3ab+1)¤ -b¤
=(3ab+b+1)(3ab-b+1)
답⃞ ⑴ (a-b)(a¤ +b¤ +ab+bc+ca)
⑵ (3ab+b+1)(3ab-b+1)
01-2 a› -b› -2b¤ c¤ -c› =a› -(b› +2b¤ c¤ +c› )
=(a¤ )¤ -(b¤ +c¤ )¤
=(a¤ +b¤ +c¤ )(a¤ -b¤ -c¤ )
③ .
답⃞ ③
01-3 xfl -9x› -x¤ +9
=x› (x¤ -9)-(x¤ -9)
=(x¤ -9)(x› -1)
=(x+3)(x-3)(x¤ +1)(x¤ -1)
=(x+3)(x-3)(x¤ +1)(x+1)(x-1)
f(x)=(x+3)(x-3)(x¤ +1)(x-1)
f(-1)=2¥(-4)¥2¥(-2)=32
답⃞ 32
a‹ +b‹ +c‹ -3abc=(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)
공통인수를 찾아 공통인
수를묶는다.
11 `⑴ 2xy¤ -8y=2y(xy-4)
⑵ (2a-b)x+(b-2a)y=(2a-b)x-(2a-b)y
=(2a-b)(x-y)
⑶ 1-m+n-mn=1-m+n(1-m)
=(1-m)(1+n)
⑷ (a-3b)¤ -2a+6b=(a-3b)¤ -2(a-3b)
=(a-3b)(a-3b-2)
답⃞
22 ⑴ 9x¤ -6x+1=(3x)¤ -2¥3x¥1+1¤
=(3x-1)¤
⑵ 25x¤ -4y¤ =(5x)¤ -(2y)¤
=(5x+2y)(5x-2y)
⑶ x¤ -3xy-4y¤ =(x+y)(x-4y)
⑷ 15x¤ -10xy-5y¤ =5(3x¤ -2xy-y¤ )
=5(3x+y)(x-y)
`⑸ x¤ -(3a+2)x+(2a-1)(a+3)
={x-(2a-1)} {x-(a+3)}
=(x-2a+1)(x-a-3)
⑹ x¤ +y¤ +z¤ +2xy-2yz-2zx
=x¤ +y¤ +(-z)¤ +2xy+2y¥(-z)+2¥(-z)¥x
=(x+y-z)¤
⑺ 4x¤ +9y¤ +z¤ -12xy+6yz-4zx
=(2x)¤ +(-3y)¤ +(-z)¤ +2¥2x¥(-3y)
=+2¥(-3y)¥(-z)+2¥(-z)¥2x
=(2x-3y-z)¤
⑻ x‹ +9x¤ +27x+27=x‹ +3¥x¤ ¥3+3¥x¥3¤ +3‹
=(x+3)‹
⑼ 8x‹ -12x¤ y+6xy¤ -y‹
=(2x)‹ -3¥(2x)¤ ¥y+3¥2x¥y¤ -y‹
=(2x-y)‹
⑽ 27x‹ +64y‹ =(3x)‹ +(4y)‹
=(3x+4y)(9x¤ -12xy+16y¤ )
⑾ 54x‹ -16y‹ =2(27x‹ -8y‹ )
=2{(3x)‹ -(2y)‹ }
=2(3x-2y)(9x¤ +6xy+4y¤ )
a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
x¤ +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
acx¤ +(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
a¤ +b¤ +c¤ +2ab+2bc+2ca
=(a+b+c)¤
a‹ —3a¤ b+3ab¤ —b‹=(a—b)‹
a‹ —b‹=(a—b)(a¤ –ab+b¤ )
a› +a¤ b¤ +b›=(a¤ +ab+b¤ )(a¤ -ab+b¤ )
우공비
58
03-1 ⑴ x› +2x¤ -8=(x¤ )¤ +2¥x¤ -8
=(x¤ +4)(x¤ -2)
⑵ x› -6x¤ y¤ +5y› =(x¤ )¤ -6x¤ y¤ +5(y¤ )¤
=(x¤ -y¤ )(x¤ -5y¤ )
=(x+y)(x-y)(x¤ -5y¤ )
답⃞ ⑴ (x¤ +4)(x¤ -2)
⑵ (x+y)(x-y)(x¤ -5y¤ )
03-2 ⑴ x› +6x¤ +25
=(x› +10x¤ +25)-4x¤
=(x¤ +5)¤ -(2x)¤
=(x¤ +2x+5)(x¤ -2x+5)
⑵ 4x› -16x¤ y¤ +9y›
=(2x¤ )¤ -12x¤ y¤ +(3y¤ )¤ -4x¤ y¤
=(2x¤ -3y¤ )¤ -(2xy)¤
=(2x¤ +2xy-3y¤ )(2x¤ -2xy-3y¤ )
답⃞ ⑴ (x¤ +2x+5)(x¤ -2x+5)
⑵ (2x¤ +2xy-3y¤ )(2x¤ -2xy-3y¤ )
03-3 x-1=X
(x-1)› +4(x-1)¤ +16
=X› +4X¤ +16
=(X› +8X¤ +16)-4X¤
=(X¤ +4)¤ -(2X)¤
=(X¤ +2X+4)(X¤ -2X+4)
={(x-1)¤ +2(x-1)+4} {(x-1)¤ -2(x-1)+4}
=(x¤ +3)(x¤ -4x+7)
② x¤ +3 . 답⃞ ②
04-1 ⑴ x
⑴ x¤ +4xy+3y¤ -3x-7y+2
=x¤ +(4y-3)x+(3y¤ -7y+2)
=x¤ +(4y-3)x+(y-2)(3y-1)
=(x+y-2)(x+3y-1)
보충학습
, x›
x¤ .
x› +6x¤ +25=(x› + x¤ +25)- x¤
=—2¥1¥5=—10
x› +6x¤ +25=(x› +10x¤ +25)-4x¤
=(x¤ +5)¤ -(2x)¤
22 복잡합식의인수분해
유제 |
02-1 ⑴ (a¤ -2a)¤ -3a¤ +6a-28
⑴ =(a¤ -2a)¤ -3(a¤ -2a)-28
⑴ a¤ -2a=X
(a¤ -2a)¤ -3(a¤ -2a)-28
=X¤ -3X-28
=(X-7)(X+4)
=(a¤ -2a-7)(a¤ -2a+4)
⑵ (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15
={(x-1)(x-7)}{(x-3)(x-5)}+15
=(x¤ -8x+7)(x¤ -8x+15)+15
⑵ x¤ -8x=X
⑵ (x¤ -8x+7)(x¤ -8x+15)+15
=(X+7)(X+15)+15
=X¤ +22X+120
=(X+12)(X+10)
=(x¤ -8x+12)(x¤ -8x+10)
=(x-2)(x-6)(x¤ -8x+10)
답⃞ ⑴ (a¤ -2a-7)(a¤ -2a+4)
⑵ (x-2)(x-6)(x¤ -8x+10)
02-2 x¤ +3x=X
(x¤ +3x)(x¤ +3x-14)+40
=X(X-14)+40
=X¤ -14X+40
=(X-4)(X-10)
=(x¤ +3x-4)(x¤ +3x-10)
=(x+4)(x-1)(x+5)(x-2)
⑤ . 답⃞ ⑤
02-3 (x+4)(x+3)(x+2)(x+1)+k
={(x+4)(x+1)}{(x+3)(x+2)}+k
=(x¤ +5x+4)(x¤ +5x+6)+k
x¤ +5x=X
(x¤ +5x+4)(x¤ +5x+6)+k
=(X+4)(X+6)+k
=X¤ +10X+24+k yy
x
X
.
24+k=5¤ =25 k=1
답⃞ 1
x¤ +ax+b가 완전제곱
식으로인수분해되려면
⋯b={;2A;}¤
x¤ =X로치환하면x› +6x¤ +25=X¤ +6X+25이고 이 식은 인수분
해공식을이용하여인
수분해되지않는다. 따라서 A¤ -B¤ 꼴로 변형한다.
x¤ 을 치환하지 않고
한 문자로 생각하여
인수분해하여도된다.
1 y-21 3y-1
4y-3
▲
▲
일차항의 계수가 같아
지도록 두 일차식끼리
짝을지어곱한다.
우공비
Ⅲ. 59
Ⅲ
식과
그연산
본책149 152쪽
⑵ a
⑴ a¤ (b-c)+b¤ (c-a)+c¤ (a-b)
=a¤ b-a¤ c+b¤ c-ab¤ +ac¤ -bc¤
=(b-c)a¤ -(b¤ -c¤ )a+b¤ c-bc¤
=(b-c)a¤ -(b+c)(b-c)a+bc(b-c)
=(b-c){a¤ -(b+c)a+bc}
=(b-c)(a-b)(a-c)
=-(a-b)(b-c)(c-a)
답⃞ ⑴ (x+y-2)(x+3y-1)
⑵ -(a-b)(b-c)(c-a)
04-2 x
3x¤ -10xy+3y¤ +2x+2y-1
=3x¤ -(10y-2)x+(3y¤ +2y-1)
=3x¤ -(10y-2)x+(3y-1)(y+1)
={x-(3y-1)} {3x-(y+1)}
=(x-3y+1)(3x-y-1)
a=-3, b=1, c=-1, d=-1
a+b+c+d=-4 답⃞ -4
04-3 a
ab(a+b)+ac(a-c)-bc(b+c)
=a¤ b+ab¤ +a¤ c-ac¤ -b¤ c-bc¤
=(b+c)a¤ +(b¤ -c¤ )a-b¤ c-bc¤
=(b+c)a¤ +(b+c)(b-c)a-bc(b+c)
=(b+c){a¤ +(b-c)a-bc}
=(b+c)(a+b)(a-c)
(b+c)(a+b)(a-c)=0
b+c+0, a+b+0
a-c=0 a=c
a=c
.
답⃞ a=c
05-1 ⑴ f(x)=x‹ -4x¤ +x+6
⑴ f(-1)=-1-4-1+6=0
x+1 f(x) .
⑴
⑴
⑴ x‹ -4x¤ +x+6=(x+1)(x¤ -5x+6)
=(x+1)(x-2)(x-3)
⑵ f(x)=2x‹ -3x¤ -11x+6
⑴ f(-2)=-16-12+22+6=0
⑴ x+2 f(x) .
⑴
⑴
⑴ 2x‹ -3x¤ -11x+6=(x+2)(2x¤ -7x+3)
=(x+2)(x-3)(2x-1)
답⃞ ⑴ (x+1)(x-2)(x-3)
⑵ (x+2)(x-3)(2x-1)
05-2 ⑴ f(x)=2x› +3x‹ -3x¤ +4
⑴ f(-1)=2-3-3+4=0,
f(-2)=32-24-12+4=0
⑴ x+1, x+2 f(x) .
⑴
⑴
⑴ 2x› +3x‹ -3x¤ +4
⑴ =(x+1)(x+2)(2x¤ -3x+2)
⑵ f(x)=6x› -17x‹ +8x¤ +5x-2
⑴ f(1)=6-17+8+5-2=0,
f(2)=96-136+32+10-2=0
⑴ x-1, x-2 f(x) .
⑴
⑴
⑴ 6x› -17x‹ +8x¤ +5x-2
⑴ =(x-1)(x-2)(6x¤ +x-1)
=(x-1)(x-2)(2x+1)(3x-1)
답⃞ ⑴ (x+1)(x+2)(2x¤ -3x+2)
⑵ (x-1)(x-2)(2x+1)(3x-1)
1 6 -17 8 5 -2
6 -11 -3 2
2 6 -11 -3 2 0
12 2 -2
6 1 -1 0
-1 2 -3 -3 -0 -4
-2 -1 -4 -4
-2 2 -1 -4 -4 0
-4 6 -4
2 -3 2 0
-2 2 -3 -11 -6
-4 14 -6
2 -7 3 0
-1 1 -4 1 6
-1 5 -6
1 -5 6 0
a, b, c
a=b b=c c=a
a=b=c
a¤ +b¤ =c¤ c
주의 삼각형의 세 변의 길이는 모두 양수이고, 한 변의 길
이가나머지두변의길이의합보다작다.
보충학습
a, b, c는삼각형의세변의길이이므로
⋯a>0, b>0, c>0
1 -(3y-1)3 -(y+1)
-(10y-2)
▲
▲
우공비
60
23 정수의약수와배수
익히기 |
11 n=3k+2 (k )
n¤ +2n=(3k+2)¤ +2(3k+2)
=9k¤ +12k+4+6k+4
=9k¤ +18k+8
=3(3k¤ +6k+2)+2
n¤ +2n 3 2 .
답⃞ 2
22 6› _10° =(2_3)› _(2_5)°
=2⁄ ¤ _3› _5°
6› _10° ⑤ .
답⃞ ⑤
33 ⑴ 324 4 4 4
.
0, 4, 8 .
⑵ 925 3
9+2+5+ =16+
3 .
2, 5, 8 .
답⃞ ⑴ 0, 4, 8 ⑵ 2, 5, 8
44 ⑴ 108=2¤ _3‹
⑵ (2+1)(3+1)=12
⑵
⑵ (1+2+2¤ )(1+3+3¤ +3‹ )=280
⑵ 144=2› _3¤
(4+1)(2+1)=15
(1+2+2¤ +2‹ +2› )(1+3+3¤ )=403
⑶ 300=2¤ _3_5¤
(2+1)(1+1)(2+1)=18
(1+2+2¤ )(1+3)(1+5+5¤ )=868
⑷ 360=2‹ _3¤ _5
(3+1)(2+1)(1+1)=24
(1+2+2¤ +2‹ )(1+3+3¤ )(1+5)=1170
답⃞ ⑴ 12, 280 ⑵ 15, 403
⑶ 18, 868 ⑷ 24, 1170
05-3 f(x)=x‹ -(a-1)x¤ -(a+3)x+3a
f(a)=a‹ -(a-1)a¤ -(a+3)a+3a=0
x-a f(x) .
x‹ -(a-1)x¤ -(a+3)x+3a
=(x-a)(x¤ +x-3)
답⃞ (x-a)(x¤ +x-3)
06-1 ⑴
⑴ a‹ -a¤ b+ab¤ -b‹ =a¤ (a-b)+b¤ (a-b)
=(a-b)(a¤ +b¤ )
=(a-b){(a-b)¤ +2ab}
⑴
⑴ a-b= - ='5,
⑴ ab= ¥ =1
⑴
⑴ (a-b){(a-b)¤ +2ab}
⑴ ='5¥{('5)¤ +2¥1}=7'5
⑵ a=114, b=78
⑴ =
=
=a+b
=114+78=192
답⃞ ⑴ 7'5⋯⑵ 192
06-2 a=2005
2005‹ +8=a‹ +8
=(a+2)(a¤ -2a+4)
2005_2003+4=a(a-2)+4
=a¤ -2a+4
2005‹ +8 2005_2003+4
a+2=2005+2=2007 답⃞ 2007
06-3y(4x¤ +1)-2x(y¤ +1)=4x¤ y+y-2xy¤ -2x
=2xy(2x-y)-(2x-y)
=(2x-y)(2xy-1)
=4¥(2¥6-1)=44
답⃞ 44
(a+b)(a¤ -ab+b¤ )a¤ -ab+b¤
a‹ +b‹a¤ -b(a-b)
114‹ +78‹114¤ -78¥36
3-'52
3+'52
3-'52
3+'52
a 1 -(a-1) -(a+3) 3a
1 -(a-1) -(a+3) -3a
1 1 -3 0
N=p¬ qμ (p, q는 서로
다른 소수, l, m은 자연수)의꼴로소인수분해될때
①약수의개수：
(l+1)(m+1)②약수의총합：
(1+p+y+p¬ )(1+q+y+qμ )
A=BQ+R일때, A를 B로 나눈 나머지
는 R이다.
4의 배수：끝의 두 자리의수가 4의배수인수
3의 배수：각 자리의 수의합이 3의배수인수
2x-y=4, xy=6을대입한다.
a¤ +b¤=(a+b)¤ -2ab=(a-b)¤ +2ab
우공비
Ⅲ. 61
Ⅲ
식과
그연산
본책152 158쪽
08-2 . n(n¤ -1)=n(n+1)(n-1)
. n(n+1) 2
.
. n(n¤ -4)=n(n+2)(n-2)
n , n+2, n-2
n(n¤ -4) 2 .
. (n+1)(n+2) 2
.
. n , n+1, 2n+1
(n+1)(2n+1) 2 .
2 , . 답⃞ ,
08-3 N=2n‹ -2n
N=2n‹ -2n=2n(n¤ -1)=2n(n-1)(n+1)
N 2 n-1, n, n+1
n(n-1)(n+1) 6 .
N 12 . y
09-1 18=18_1=9_2=6_3=3_3_2
18 a, b, c
.
a⁄ ‡ , a° _b, afi _b¤ , a¤ _b¤ _c yy
18
a, b, c 2, 3, 5
2⁄ ‡ , 2° _3, 2fi _3¤ , 2¤ _3¤ _5
2¤ _3¤ _5
(1+2+2¤ )(1+3+3¤ )(1+5)=546 답⃞ 546
09-2 180=2¤ _3¤ _5
n(180)=(2+1)(2+1)(1+1)=18
n(180)¥n(k)=144 18¥n(k)=144
n(k)=8
① 24=2‹ _3 n(24)=(3+1)(1+1)=8
② 36=2¤ _3¤ n(36)=(2+1)(2+1)=9
③ 40=2‹ _5 n(40)=(3+1)(1+1)=8
④ 54=2_3‹ n(54)=(1+1)(3+1)=8
⑤ 128=2‡ n(128)=7+1=8 답⃞ ②
09-3 N 15
(m+1)(n+1)=15
m, n
m+1=3, n+1=5 m+1=5, n+1=3
m=2, n=4 m=4, n=2
⁄ m=2, n=4 ,
N=2¤ ¥3› N
유제 |
07-1 7 4 N
N=7m+4 (m )
m 4 n
⁄ m=4n , N=7¥4n+4=28n+4
¤ m=4n+1 ,
N=7(4n+1)+4=28n+11
‹ m=4n+2 ,
N=7(4n+2)+4=28n+18
› m=4n+3 ,
N=7(4n+3)+4=28n+25
7 4
28n+4, 28n+11, 28n+18, 28n+25 (n )
4 1
28n+25 .
28 25 . 답⃞ 25
07-2 a=5m+2, b=5n+4 (m, n )
a¤ b=(5m+2)¤ (5n+4)
=(25m¤ +20m+4)(5n+4)
=125m¤ n+100m¤ +100mn+80m+20n+16
=5(25m¤ n+20m¤ +20mn+16m+4n+3)+1
a¤ b 5 1 . 답⃞ 1
07-3 a<A¡, b<A£, c<A¢
a=5l+1, b=5m+3, c=5n+4 (l, m, n )
.
ab¤ -c‹ =(5l+1)(5m+3)¤ -(5n+4)‹
=(5l+1)(25m¤ +30m+9)
=-(125n‹ +300n¤ +240n+64)
=125lm¤ +150lm+45l+25m¤ +30m
=+9-125n‹ -300n¤ -240n-64
=5(25lm¤ +30lm+9l+5m¤ +6m
= -25n‹ -60n¤ -48n-11)
ab¤ -c‹ 5 0
ab¤ -c‹ <Aº 답⃞ ①
08-1 N=100a+10b+c
=9( )+(a+b+c)
3
=3k (k )
N=3{3( )+k}
N 3 .
답⃞ 11a+b a+b+c
11a+b
a+b+c
a+b+c
11a+b100a+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)
28n+25=4(7n+6)+1
5로 나눈 나머지를 구해야 하므로 5도 묶어정리한다.
①연속한두정수의곱
➞ 2의배수②연속한세정수의곱
➞ 6의배수③연속한네정수의곱
➞ 24의배수
우공비
62
33 ⑴ A, B
(x+5)(x-5)(x+7) A, B
x-5 x+5 A
Q(x)=x+7
⑵ A=(x+5)(x-5), B=(x-5)(x+7)
x-5 .
답⃞ ⑴ x+7 ⑵ x-5
유제 |
10-1 x¤ +ax+6, 2x¤ -x+b x-2
x-2 .
4+2a+6=0, 8-2+b=0
a=-5, b=-6
a+b=-11 답⃞ -11
10-2 A, B
A=x‹ -2x¤ -x+2
=x¤ (x-2)-(x-2)
=(x¤ -1)(x-2)
=(x+1)(x-1)(x-2)
B=x‹ -4x¤ +x+6
=(x+1)(x¤ -5x+6)
=(x+1)(x-2)(x-3)
A, B
(x+1)(x-2)
B, C (x+1)(x-2)
C (x+1)(x-2) .
C x+1
-1+a-11+b=0 a+b=12 yy
C x-2
8+4a+22+b=0 4a+b=-30 yy
,
a=-14, b=26 답⃞ a=-14, b=26
10-3 ⑴
⑴ 2x‹ +5x¤ +2x+15=(x+3)(2x¤ -x+5)
⑴ x+3 .
⑴ x¤ +ax+6 x+3
⑴ 9-3a+6=0 a=5
⑵ x¤ +5x+6=(x+2)(x+3),
2x‹ +5x¤ +2x+15=(x+3)(2x¤ -x+5)
(x+2)(x+3)(2x¤ -x+5)
답⃞ ⑴ 5 ⑵ (x+2)(x+3)(2x¤ -x+5)
(1+2+2¤ )(1+3+3¤ +3‹ +3› )=847
¤ m=4, n=2 ,
N=2› ¥3¤ N
(1+2+2¤ +2‹ +2› )(1+3+3¤ )=403
N=2› ¥3¤ =144 답⃞ 144
24 다항식의약수와배수
익히기 |
11 f(x)=x‹ +x¤ -10x+8 f(1)=0
x-1 f(x) .
f(x)=(x-1)(x¤ +2x-8)
=(x-1)(x-2)(x+4)
③ .
답⃞ ③
22 ⑴ a¤ bc¤ , a‹ bfi c‹
⑵ (x+1)(x-3)
(x+1)¤ (x-3)¤ (2x+5)(2x-3)
⑶
x‹ -x¤ -2x=x(x¤ -x-2)
=x(x+1)(x-2)
⑶ x‹ +2x¤ -8x=x(x¤ +2x-8)
=x(x+4)(x-2)
⑶ x(x-2),
x(x-2)(x+1)(x+4)
⑷
x‹ +1=(x+1)(x¤ -x+1)
x‹ -2x¤ +2x-1
=(x‹ -1)-2x(x-1)
=(x-1)(x¤ +x+1)-2x(x-1)
=(x-1)(x¤ -x+1)
⑶ x› +x¤ +1=(x¤ +x+1)(x¤ -x+1)
⑷ x¤ -x+1,
(x+1)(x-1)(x¤ +x+1)(x¤ -x+1)
답⃞
1 1 1 -10 8
1 2 -8
1 2 -8 0
f(x)가 x-a를 인수
로가지면
⋯f(a)=0
⑤ x¤ +3x-4=(x-1)(x+4)이므로 ⑤는 주어진
다항식의약수이다.
다항식의 최대공약수와
최소공배수를 구할 때,우선각다항식을인수분
해한후
①최대공약수는 각 다항
식의 공통인수를 곱하
여구한다.②최소공배수는 각 다항
식 중 어느 쪽에라도
들어 있는 인수를 모
두곱하여구한다.
두 다항식의 최대공약수
가 G, 최소공배수가L=abG(a, b는서로소)임을이용한다.
우공비
Ⅲ. 63
Ⅲ
식과
그연산
본책158 163쪽
종합문제 |
01 ⑤ 02 ⑤ 03② 04⑤ 05
06 x-1 07④ 08② 09 2x+1
10 0 11③ 12① 13① 14②
15 4 16 -5 17② 18④ 19 461 20 48
21④ 22④ 23⑤
01A¤ -B¤ .
.
① 2x‹ +x¤ +x+2=2(x‹ +1)+x¤ +x
=2(x+1)(x¤ -x+1)+x(x+1)
=(x+1)(2x¤ -x+2)
② 8x‹ -y‹ =(2x)‹ -y‹
=(2x-y)(4x¤ +2xy+y¤ )
③ f(x)=x‹ -7x+6
f(1)=1-7+6=0
x-1 f(x) .
⑴
f(x)=(x-1)(x¤ +x-6)
=(x-1)(x-2)(x+3)
④ x› +2x¤ +9=x› +6x¤ +9-4x¤
=(x¤ +3)¤ -(2x)¤
=(x¤ +2x+3)(x¤ -2x+3)
⑤ x
3x¤ -(7y-2)x+2y¤ +y-1
=3x¤ -(7y-2)x+(2y-1)(y+1)
={3x-(y+1)}{x-(2y-1)}
=(3x-y-1)(x-2y+1)
⑤ . 답⃞⑤
02 .
x¤ +x=X
(x¤ +x-2)(x¤ +x-12)+24
=(X-2)(X-12)+24
=X¤ -14X+48
=(X-6)(X-8)
=(x¤ +x-6)(x¤ +x-8)
=(x-2)(x+3)(x¤ +x-8)
a=3, b=1
a+b=4 답⃞⑤
03 A¤ -B¤ .
x› -11x¤ +1=x› -2x¤ +1-9x¤
=(x¤ -1)¤ -(3x)¤
=(x¤ +3x-1)(x¤ -3x-1)
(x¤ +3x-1)+(x¤ -3x-1)=2x¤ -2
답⃞②
전략
전략
1 1 0 -7 -6
1 1 -6
1 1 -6 -0
전략11-1 A, B A, B
G
A=aG, B=bG (a, b )
AB=x‹ -12x-16
=(x+2)(x¤ -2x-8)
=(x+2)¤ (x-4)
=abG¤
G=x+2
(x+2)(x-4), x+2
답⃞ (x+2)(x-4), x+2
11-2 f(x), g(x)
x¤ +x-6=(x+3)(x-2)
x› -13x¤ +36=(x¤ -4)(x¤ -9)
=(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)
f(x), g(x)(x+2)(x+3)(x-2), (x-3)(x+3)(x-2)
f(x)+g(x)=(x+2)(x+3)(x-2)+(x-3)(x+3)(x-2)
=(x+2+x-3)(x+3)(x-2)
=(2x-1)(x+3)(x-2)
답⃞ (2x-1)(x+3)(x-2)
11-3 ,
A=a(x-1), B=(x-1)(x+2),
C=b(x+2) (a, b )
A, C
x‹ +4x¤ +x-6=(x-1)(x¤ +5x+6)
=(x-1)(x+2)(x+3
a=b=x+3
A=(x+3)(x-1) 답⃞ (x+3)(x-1)
G
G
a, b가 서로 다른 일차식이면 A, C의 최소공배수는
ab(x-1)(x+2)이므로사차식이된다.따라서 a와 b는같다.
ab=x-4
x¤ =X로놓으면X¤ -13X+36
=(X-4)(X-9)=(x¤ -4)(x¤ -9)
우공비
64
=a‹ -3a¤ b+3ab¤ -b‹ +b‹ -3b¤ c+3bc¤ -c‹ +c‹
-3c¤ a+3ca¤ -a‹
=-3(b-c)a¤ +3(b¤ -c¤ )a-3bc(b-c)
=-3(b-c)a¤ +3(b+c)(b-c)a-3bc(b-c)
=-3(b-c){a¤ -(b+c)a+bc}
=-3(b-c)(a-b)(a-c)
=3(a-b)(b-c)(c-a) 답⃞ ②
(a-b)+(b-c)+(c-a)=0
⑴ (a-b)‹ +(b-c)‹ +(c-a)‹
⑴ =3(a-b)(b-c)(c-a)
09 f(x) x-1 x-1
.
f(x) (x-1)¤ Q(x)
f(x)=(x-1)¤ Q(x)=(x-1)(x-1)Q(x)
f(x) x-1 , f(x) x-1
x-1 . 20`%
30`%
f(x)=(x-1)¤ (ax+2a+b)
0
a+b+1=0, 3a+2b=0
a=2, b=-3 30`%
f(x)=(x-1)¤ (2x+1)
2x+1 . 20`%
10 .
x‹ -y‹ +6xy+8
=x‹ +(-y)‹ +2‹ -3¥x¥(-y)¥2
=(x-y+2)(x¤ +y¤ +4+xy+2y-2x)
x-y=-2
x‹ -y‹ +6xy+8=0 답⃞ 0
11
=[a, b, b]+4[c, a, b]
=(a-b)(a-b)+4(c-a)(c-b)
=a¤ -2ab+b¤ +4(c¤ -bc-ca+ab)
=a¤ -2ab+b¤ +4c¤ -4bc-4ca+4ab
=a¤ +2(b-2c)a+(b¤ -4bc+4c¤ )
=a¤ +2(b-2c)a+(b-2c)¤
=(a+b-2c)¤ 답⃞③
전략
전략
1 a b 0 1
a a+b a+b
1 a a+b a+b a+b+1=0
a 2a+b
a 2a+b 3a+2b=0
전략
다른 解
04 .
540
540=2¤ _3‹ _5
540
a=(2+1)(3+1)(1+1)=24
b=(1+2+2¤ )(1+3+3¤ +3‹ )(1+5)=1680
a+b=1704 답⃞⑤
05 .
x¤ +x-6=(x+3)(x-2)
x‹ +27=(x+3)(x¤ -3x+9)
x‹ +9x¤ +27x+27=(x+3)‹ 50`%
x+3 25`%
(x+3)‹ (x-2)(x¤ -3x+9) . 25`%
06 A, B G,
L , AB=LG .
A, B G, L
AB=(x-1)¤ (x¤ +x+5)
L=(x-1)(x¤ +x+5)
AB=LG
(x-1)¤ (x¤ +x+3)=(x-1)(x¤ +x+5)G
G=x-1 답⃞ x-1
07 .
(1-x¤ )(1-y¤ )-4xy
=1-x¤ -y¤ +x¤ y¤ -4xy
=(y¤ -1)x¤ -4yx-(y¤ -1)
=(y+1)(y-1)x¤ -4yx-(y+1)(y-1)
={(y+1)x+y-1}{(y-1)x-(y+1)}
=(xy+x+y-1)(xy-x-y-1)
④` . 답⃞④
(1-x¤ )(1-y¤ )-4xy
=1-x¤ -y¤ +x¤ y¤ -4xy
=(1-2xy+x¤ y¤ )-(x¤ +2xy+y¤ )
=(1-xy)¤ -(x+y)¤
={(1-xy)+(x+y)}{(1-xy)-(x+y)}
=(1-xy+x+y)(1-xy-x-y)
=(xy+x+y-1)(xy-x-y-1)
08.
=(a-b)‹ +(b-c)‹ +(c-a)‹
전략
다른 解
전략
전략
전략
전략
a‹ +b‹ +c‹ -3abc=(a+b+c)_(a¤ +b¤ +c¤ -ab
-bc-ca)
f(x)를 x-1로 나누
었을때의몫
f(x)를 x-1로 나누
었을때의나머지
(x-1)Q(x)를 x-1로 나누었을 때의 나
머지
한 문자에 대하여 내
림차순으로정리한다.
y+1 y-1y-1 -(y+1)
-4y
▲
▲
A¤ -B¤ 꼴로 변형한
다.
본책163 165쪽
우공비
Ⅲ. 65
Ⅲ
식과
그연산12 .
c
(a-b)c¤ +a‹ -a¤ b+ab¤ -b‹ =0
(a-b)c¤ +a¤ (a-b)+b¤ (a-b)=0
(a-b)(a¤ +b¤ +c¤ )=0
a¤ +b¤ +c¤ +0 a-b=0 a=b
a=b . 답⃞ ①
13 A, B G A+B,
A-B G .
A=x¤ +ax+b, B=x¤ +bx+a
A-B=x¤ +ax+b-(x¤ +bx+a)
=(a-b)x+b-a
=(a-b)(x-1)
A, B A-B A, B
x-1 .
k=-1
x¤ +ax+b , x¤ +bx+a x-1
1+a+b=0 a+b=-1
a+b+k=-2 답⃞①
14 A, B G
G .
2x¤ -4x-6=2(x¤ -2x-3)
=2(x-3)(x+1)
x‹ -x¤ -9x+9=x¤ (x-1)-9(x-1)
=(x-1)(x¤ -9)
=(x-1)(x+3)(x-3)
x-3 .
(x-3)(x+3)=x¤ -9,
(x-3)(x-1)=x¤ -4x+3
a=0, b=-4, c=3
a+b+c=0+(-4)+3=-1 답⃞②
15 A, B G A+B,
A-B G .
A=x‹ +ax¤ -1, B=x‹ +bx¤ -2x+1
A+B=2x‹ +(a+b)x¤ -2x
=x {2x¤ +(a+b)x-2} 30`%
A-B=(a-b)x¤ +2x-2 30`%
전략
전략
전략
전략
2x¤ +(a+b)x-2 =(a-b)x¤ +2x-2 20̀%
a-b=2, a+b=2
a=2, b=0
2a+b=4 20`%
16,
.
x‹ +3x¤ -x-3
x‹ +3x¤ -x-3=x¤ (x+3)-(x+3)
=(x+3)(x¤ -1)
=(x+3)(x+1)(x-1)
x› -10x¤ +9=(x¤ -1)(x¤ -9)
=(x+1)(x-1)(x+3)(x-3)
x+1 ,
x‹ +3x¤ -x-3=(x+3)(x+1)(x-1)
x¤ +ax+b=(x+1)(x-3)
=x¤ -2x-3
a=-2, b=-3
a+b=(-2)+(-3)=-5
답⃞-5
17 f(x), g(x) G,
L , f(x)g(x)=LG .
G, Lf(x)g(x)=(x+1)¤ (x¤ +2x-15)
=(x+1)¤ (x-3)(x+5)
L=(x+1)(x¤ +2x-15)
=(x+1)(x-3)(x+5)
f(x)g(x)=LG
(x+1)¤ (x-3)(x+5)=(x+1)(x-3)(x+5)G
G=x+1
(x+1)(x-3), (x+1)(x+5)
, f(0)=-3, g(0)=5
f(x)=(x+1)(x-3)
g(x)=(x+1)(x+5)
f(1)+g(-2)=-4+(-3)=-7
답⃞ ②
18 A=ag, B=bg (a, b , g A, B
) .
전략
전략
전략
G
문자가 여러 개이면
차수가 낮은 문자에
대하여 내림차순으로
정리한다.
주어진 다항식 중 상수
항이-9인식이x¤ +ax-9이므로x¤ +ax-9=x¤ -9x¤ +bx+c=x¤ -4x+3
A=aG, B=bG (a, b는서로소)이면⋯A+B=(a+b)G⋯A-B=(a-b)G➞최대공약수：G
우공비
66
n 48 .
답⃞ 48
21 A=a(x-1), B=b(x-1) .
A, B x-1
A=a(x-1), B=b(x-1)(a, b )
xA=(x+1)B
ax(x-1)=b(x+1)(x-1)
a=x+1, b=x
. A=(x+1)(x-1)=x¤ -1
. A, B
x(x-1)(x+1)=x‹ -x
. B=x(x-1)
AB=x(x+1)(x-1)¤
, . 답⃞ ④
22,
.
x‹ -2x¤ -5x+6=(x-1)(x¤ -x-6)
=(x-1)(x-3)(x+2)
x-3
(x-3)(x-1), (x-3)(x+2)➊ .
|f(0)-g(0)|=|3-(-6)|=9 답⃞ ④
23 A, B
G, L A=aG, B=bG (a, b )
L=abG, AB=LG .
x(x-1) x(x-1)(x+1)(x+2)
(x+1)(x+2) .
x(x-1)(x-2) x(x-1)
x(x-1) .
x(x+1)(x+2)(x-2)
x x-1 .
x(x+1)(x+2) .
답⃞ ⑤
전략
전략
전략
f(x) g(x)
. |f(0)-g(0)|
f(x)=(x-3)(x-1), g(x)=(x-3)(x+2)
.
보충학습
A, B gA=ag, B=bg (a, b )
. G(A+B, AB)=G((a+b)g, abg¤ )=g=G(A, B)
. L(A, L(A, B))=L(ag, abg)=abg=L(A, B)+AB
. = =
=ag=A
. =
=
=bg=B
, , . 답⃞ ④
19 a=20 .
a=20
20¥21¥22¥23+1=a(a+1)(a+2)(a+3)+1
=(a¤ +3a)(a¤ +3a+2)+1
a¤ +3a=X
(a¤ +3a)(a¤ +3a+2)+1=X(X+2)+1
=X¤ +2X+1
=(X+1)¤
=(a¤ +3a+1)¤
"√20¥21¥22¥23+1=øπ(a¤ +3a+1)¤
=a¤ +3a+1
=20¤ +3¥20+1
=461 답⃞ 461
20 n=3k+5k=8k (k )
, n .
n 3k, 5k (k )
n=5k+5k=8k
n 8 96 n
8, 16, 24, 32, 48, 96 .
8=2‹ 3+1=4
16=2› 4+1=5
24=2‹ _3 (3+1)(1+1)=8
32=2fi 5+1=6
48=2› _3 (4+1)(1+1)=10
96=2fi _3 (5+1)(1+1)=12
전략
전략
ab(a+b)g¤a(a+b)g
L(abg¤ , (a+b)g)L(ag, (a+b)g)
L(AB, A+B)L(A, A+B)
ag¤g
G(a¤ g¤ , abg¤ )G(A, B)
G(A¤ , AB)G(A, B)
A=a(x-1)=(x+1)(x-1)
B=b(x-1)=x(x-1)
수를문자로생각하고인
수분해 공식을 이용하여
인수분해한다.
"≈a¤ =|a|
본책165 170쪽
67
Ⅲ
식과
그연산
우공비
익히기 |
⑷ ÷
= _(x-1)
=-
⑸ ÷ _
= _ _
= _ _
=
⑹ { - }÷
=[ - ]
=_(2x-1)
= -
=
=
=
답⃞
55 ⑴ = =4+
⑵
= { - }
= { - }
⑶ =
⑷ =
=
=
답⃞ ⑴ 1⋯ ⑵ 2, x-1
답⃞ ⑶ (x+1)(x+3) ⑷ 2x-1
x(x-2)
x(x+2)(x-2)(2x-1)(x+2)
x(x¤ -4)(2x-1)(x+2)
x¤ -42x-1x+2x
xx+1x
x+3
1x+1
11
1x+1
1x-1
1(x+1)-(x-1)
1(x-1)(x+1)
x+14(x+1)+1
x+14x+5x+1
x¤ +4x-2(2x+1)(x-1)
(3x¤ +x-4)-(2x¤ -3x-2)(2x+1)(x-1)
(3x+4)(x-1)-(x-2)(2x+1)(2x+1)(x-1)
x-2x-1
3x+42x+1
x-2(2x-1)(x-1)
3x+4(2x+1)(2x-1)
12x-1
x-22x¤ -3x+1
3x+44x¤ -1
x+1(x-1)(3x-4)
x+2x-1
(x+1)(x-1)(3x-4)(x+3)
x+3(x+2)(x-1)
x+2x-1
x¤ -13x¤ +5x-12
x+3x¤ +x-2
x+2x-1
3x¤ +5x-12x¤ -1
x+3x¤ +x-2
12x+1
1-(2x+1)(x-1)
1x-1
1-2x¤ +x+1
2 x-1
1
(x+1)(x+3)
분수식의결과는더이상
약분할수없는기약분수
식으로나타내도록한다.이때 기약분수식은 분자
와분모가서로소인분수
식을말한다.
25 유리식의계산
유리식08식과그연산Ⅲ
2x-1
두다항식A, B(B+0)
에대하여 의꼴로나
타내어지는 식을 유리식
이라하고유리식은다항
식과 분수식으로 이루어
져있다.
AB
11 ④ ;2{;+;3!; . 답⃞ ④
22 ⑴ 10x¤ a‹ b
,
⑵ x¤ -4=(x+2)(x-2),
x¤ +x-6=(x-2)(x+3)
(x-2)(x+2)(x+3)
,
답⃞
33 ⑴ 3x¤ yz
⑵ a¤ -4a+3=(a-1)(a-3),
a¤ -9=(a-3)(a+3)
a-3
답⃞
44 ⑴ + =
=
⑵ -
= -
= -
=
=
⑶ _
= _
=x-3
(x+1)(x-1)
(x-3)(x+2)(x+1)(x-1)
x-1(x+2)(x-1)
x¤ -x-6x¤ -1
x-1x¤ +x-2
x+2(x-1)(x+3)
x+3-1(x-1)(x+3)
1(x-1)(x+3)
1x-1
1(x-1)(x+3)
x+1(x+1)(x-1)
1x¤ +2x-3
x+1x¤ -1
2x(x+y)(x-y)
x-y+x+y(x+y)(x-y)
1x-y
1x+y
a-1a+3
5y¤3xz
x+2(x-2)(x+2)(x+3)
(x+1)(x+3)(x-2)(x+2)(x+3)
5xb10x¤ a‹ b
4a¤10x¤ a‹ b
먼저각분수식을기약분
수식으로만든후분수식
의덧셈, 뺄셈을한다.
A를 B로나누었을때의몫이 Q이고나머지가 R일때,
⋯ =Q+RB
AB
우공비
68
유제 |
01-1
+ =
=
= x
a+b=6, 2a-b=2
a=;3*;, b=:¡3º:
ab=;3*;¥:¡3º:=:•9º: 답⃞ :•9º:
01-2
+ + =
=
= x
a+c=1, b-a=1, b=3
a=2, b=3, c=-1
abc=2¥3¥(-1)=-6 답⃞ -6
01-3
=
=
x
a-2=3, 7-2a=-3, a-12=b-9, 6=3b
a=5, b=2
a¤ +b¤ =5¤ +2¤ =29 답⃞ 29
x› +3x‹ -3x¤ +(b-9)x+3b(x-1)¤ (x‹ -3x+b)
x› +(a-2)x‹ +(7-2a)x¤ +(a-12)x+6(x-1)¤ (x‹ -3x+b)
(x+3)(x‹ -3x+b)(x-1)¤ (x‹ -3x+b)
(x¤ +ax+6)(x-1)¤(x-1)¤ (x‹ -3x+b)
x¤ +x-3x¤ (x-1)
(a+c)x¤ +(b-a)x-bx¤ (x-1)
(a+c)x¤ +(b-a)x-bx¤ (x-1)
ax(x-1)+b(x-1)+cx¤x¤ (x-1)
cx-1
bx¤
ax
6x+2x¤ +x-2
(a+b)x+(2a-b)x¤ +x-2
(a+b)x+(2a-b)x¤ +x-2
a(x+2)+b(x-1)(x-1)(x+2)
bx+2
ax-1
02-1 ⑴ -
= -
={2- }-{2+ }
=- -
=-
=-
⑵ - + -
= +
=
=
답⃞ ⑴ -
답⃞ ⑵
02-2 = =2+ ,
= =2+ ,
= =2+ ,
= =2+
+ - -
={2+ }+{2+ }-{2+ }
=-{2+ }
= + - -
={ - }+{ - }
= +
=
=
답⃞6(x¤ -2)
(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)
6(x¤ -2)(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)
2(x-2)(x+2)+4(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)
4(x-2)(x+2)
2(x-1)(x+1)
1x+2
1x-2
1x+1
1x-1
1x+2
1x+1
1x-2
1x-1
1x+2
1x+1
1x-2
1x-1
2x+5x+2
2x+3x+1
2x-3x-2
2x-1x-1
1x+2
2(x+2)+1x+2
2x+5x+2
1x+1
2(x+1)+1x+1
2x+3x+1
1x-2
2(x-2)+1x-2
2x-3x-2
1x-1
2(x-1)+1x-1
2x-1x-1
2(x¤ +9x+21)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
5x-1x(x+1)(2x-1)
2(x¤ +9x+21)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
(x+5)(x+6)+(x+3)(x+4)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
1(x+5)(x+6)
1(x+3)(x+4)
1x+6
1x+5
1x+4
1x+3
5x-1x(x+1)(2x-1)
2(2x-1)+(x+1)x(x+1)(2x-1)
1x(2x-1)
2x(x+1)
12x¤ -x
2x¤ +x
2(2x¤ -x)+12x¤ -x
2(x¤ +x)-2x¤ +x
4x¤ -2x+12x¤ -x
2x¤ +2x-2x¤ +x
분모의 최소공배수를
공통분모로 하는 분수
식으로고친다.
양변의 분자의 동류항
의계수를비교한다.
간단한식이되도록적당
히두 개씩짝을 지어계
산한다.
분자의차수가분모의차
수보다크거나같으면먼
저분자의차수를분모의
차수보다낮게식을변형
한다.
ax+b=0 x
HjjK a=0, b=0
계수 비교법
보충학습
계산하기 편리한 식을
이용하여 a, b의 값을구한다.
a-2=3에서⋯a=56=3b에서⋯b=2이때 a=5, b=2를나머지두식에대입하여
도성립한다.
우공비
69
Ⅲ
식과
그연산
본책171 174쪽
02-3 - + -
= - +
=-
={2+ }-{3+ }+{3+ }
=-{2+ }
= - + -
= +
=
=
=
x f(x)=4x¤ +32x+76
f {;2!;}=4¥{;2!;}2+32¥{;2!;}+76=93 답⃞ 93
03-1 + +
={;[!;- }+{ - }
=+{ - }
=;[!;- = 답⃞
03-2 + +
= + +
={;[!;- }+{ - }
=+{ - }
=;[!;- = 답⃞ ④
03-3 + + +y+
={1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y+{;9¡9;-;10!0;}
=1-;10!0;=;1ª0ª0;
199¥100
13¥4
12¥3
11¥2
3x(x+3)
1x+3
1x+3
1x+2
1x+2
1x+1
1x+1
1(x+2)(x+3)
1(x+1)(x+2)
1x(x+1)
1x¤ +5x+6
1x¤ +3x+2
1x¤ +x
9x(x+9)
9x(x+9)
1x+9
1x+9
1x+4
1x+4
1x+1
1x+1
5(x+4)(x+9)
3(x+1)(x+4)
1x(x+1)
f(x)(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)
4x¤ +32x+76(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)
4x¤ +32x+76(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)
2(x+5)(x+7)+2(x+1)(x+3)(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)
2(x+5)(x+7)
2(x+1)(x+3)
1x+7
1x+5
1x+3
1x+1
1x+7
1x+5
1x+3
1x+1
2(x+7)+1x+7
3(x+5)+1x+5
3(x+3)+1x+3
2(x+1)+1x+1
2x+15x+7
3x+16x+5
3x+10x+3
2x+3x+1
1ª0ª0;=;bA; a=99, b=100
a+b=99+100=199 답⃞ 199
04-1 ⑴ =
=
⑵ = =
= =
=-x+1
답⃞ ⑴ ⑵ -x+1
04-2 =
=
=- yy
a=21
- =- =-
답⃞ -
04-3 ;3!0#;= =
= =
a=2, b=3, c=4
a-b-c=2-3-4=-5 답⃞ -5
112+1213
3+;4!;
112+11:¡4£:
1
2+;1¢3;
1
;1#3);
1156
1156
23¥2024
(21+2)(21-1)21+3
(a+2)(a-1)a+3
a+2112a+1-a-31111112(a+1)(a-1)
a+2112a+1(a-1)-2(a+1)11111111(a+1)(a-1)
11+121a+11 2121-121a+1 a-1
3x+yx+3y
1-1112x-1
1x-1-x1111x-1
1x1-111x-1
111-111x-1112x
111-111
1-;[!;
3x+yx+3y
3x+y111x+yx+3y111x+y
x-y2+121x+yx-y2-121x+y
분모가 두 개 이상의 인
수의곱인분수식은다음
과같이부분분수로변형
하여계산한다.
= { - }
(단, A+B)
1B
1A
1B-A
1AB
각분모의인수가일정한
값만큼 증가하므로 부분
분수로의 변형을 이용하
면연쇄적으로항이소거
된다.
( )=
=1AB
BA
1( )
보충학습
04-3발전
식을정리한후 a의값을대입한다.
우공비
70
05-1 ⑴ x¤ -5x-1=0 x+0 x
x-5-;[!;=0 x-;[!;=5
x‹ - ={x-;[!;}3+3{x-;[!;}
=5‹ +3¥5=140
⑵ ab=3 b=;a#;
+ = +
= +
= +
= =1
답⃞⑴ 140⋯⑵ 1
05-2 x¤ -2x-1=0 x+0 x
x-2-;[!;=0 x-;[!;=2
4x¤ +x-1-;[!;+
=4{x¤ + }+{x-;[!;}-1
=4[{x-;[!;}2+2]+{x-;[!;}-1
=4(2¤ +2)+2-1
=25 답⃞ 25
05-3 + + =0 =0
a+b+c=0
{1+;aC;}{1+;bA;}{1+;cB;}
= ¥ ¥
= ¥ ¥
=-
=-1 답⃞ -1
abcabc
-ac
-cb
-ba
c+bc
b+ab
a+ca
a+b+cabc
1ca
1bc
1ab
1x¤
4x¤
a+3a+3
33+a
aa+3
;a#;
3+aa
aa+3
;a#;
;a#;+1
aa+3
bb+1
aa+3
1x‹
26 비례식의계산
익히기 |
세 비례식의분모의합이
0이 아니면 가비의 리를이용할 수 있지만 0이면가비의 리를 이용할 수
없다.
x와 y를 k (k+0)에 관한 식으로 나타낸 후 구
하려는 식을 한 문자에
대하여정리한다.
11 ⑴ x : y=1 : 3 x=k, y=3k (k+0)
⑵ = = =-;2!;
⑵ x : y : z=2 : 4 : 1
⑵ x=2k, y=4k, z=k (k+0)
⑵ =
= =;2#;
답⃞ ⑴ -;2!;⋯⑵ ;2#;
22 ;2{;= ;3};= ;4Z;=
=
k=47 답⃞ 47
33 ⁄ 3a+2b+c=0 , 2b+c=-3a
⁄ = =-1
⁄ k=-1
¤ 3a+2b+c+0 ,
¤ = =
= =2
¤ k=2k=-1 k=2 답⃞ -1 2
참고 ⁄ 3a+2b+c=0일때, c+3a=-2b를이용하여도
= =-1이나온다.
즉 어떤식을이용하여도 k=-1이다.
-2b2b
c+3a2b
2(3a+2b+c)3a+2b+c
3a+2bc
c+3a2b
2b+c3a
-3a3a
2b+c3a
4x+5y+6z47
4x+5y+6z4¥2+5¥3+6¥4
21k¤14k¤
4k¤ +16k¤ +k¤8k¤ +4k¤ +2k¤
x¤ +y¤ +z¤xy+yz+zx
-2k4k
k-3kk+3k
x-yx+y
유제 |
x‹ -
={x-;[!;}‹
+3¥x¥;[!;{x-;[!;}
={x-;[!;}‹ +3{x-;[!;}
1x‹
= =
= 에서
⋯p=4, q=5, r=6
pa+qc+repb+qd+rf
ef
cd
ab
x¤ -5x-1=0의 좌변에 x=0을대입하면0¤ -5¥0-1=-1+0따라서 x+0이다.
조건이 비례식으로 주어
진경우에는
;bA;= ;dC;=k (k+0)
HjjK a=bk, c=dk임을이용한다.
06-1 ⑴ 2a=7b HjjK a : b=7 : 2
⑴ a=7k, b=2k (k+0)
⑴ +
⑴ = +
⑴ = +
⑴ =;5&;-;9@;=;4%5#;
-10k¤45k¤
7k5k
(2k)¤ -14k¤(7k)¤ -(2k)¤
7k7k-2k
b¤ -aba¤ -b¤
aa-b
a‹ +b‹ =(a+b)‹ -3ab(a+b)
a‹ -b‹ =(a-b)‹ +3ab(a-b)
보충학습
우공비
71
Ⅲ
식과
그연산
본책175 180쪽
⑵ ;2{;= = =k(k+0)
⑵ x=2k, x+y=3k, x+y+z=5k
⑵
⑵ x=2k, y=k, z=2k
⑵
=
= =;1ª4; 답⃞ ⑴ ;4%5#; ⑵ ;1ª4;
06-2 =1 x-y=2x+y
x=-2y
= = =-;2%;
답⃞ -;2%;
06-3 x¤ -xy-2y¤ =0, (x-2y)(x+y)=0
x=2y x=-y
⁄ x=2y ,
⁄ =
= =;6&;
¤ x=-y ,
⁄ =
= =-;3!;
;6&; -;3!;
답⃞ ;6&; -;3!;
07-1
[
-
2x+z=0 z=-2x yy
- _2
x-y=0 y=x yy
,
=
= =-;1¶2;
답⃞ -;1¶2;
7x-12x
2x+3x-(-2x)x-5x+4¥(-2x)
2x+3y-zx-5y+4z
x+y+z=0 yy
3x+y+2z=0 yy
y¤-3y¤
(-y)¤ +(-y)¥y+y¤3¥(-y)¥y
x¤ +xy+y¤3xy
7y¤6y¤
(2y)¤ +2y¥y+y¤3¥2y¥y
x¤ +xy+y¤3xy
5y¤-2y¤
(-2y)¤ +y¤(-2y)¥y
x¤ +y¤xy
x-y2x+y
9k¤14k¤
(2k)¤ +k¤ +(2k)¤2¥2k¥k+3¥k¥2k+2k¥2k
x¤ +y¤ +z¤2xy+3yz+zx
x+y+z5
x+y3
07-2 2x=3y x= ;2#;y
y=2z z= ;2!;y
=
= =;4!; 답⃞ ;4!;
07-3 ;[!;+y=1
y=1-;[!; y=
x+;z!;=1
;z!;=1-x z=
z+;]!;= +
z+;]!;= =1 답⃞ 1
08-12x, 3x (x+0),
3y, 4y (y+0)
2x-3y, 3x-4y .
(2x-3y) : (3x-4y)=3 : 5
5(2x-3y)=3(3x-4y)
x=3y
3y
2x=2¥(3y)=6y
3y : 6y=1 : 2
답⃞ 1 : 2
08-2 A, B a ,
b
a+b=70( ) yy
A a{1+;1™0º0;}=;5̂;a( )
B b{1+;1™0∞0;}=;4%;b( )
12 : 5
;5̂;a : ;4%;b=12 : 5
6a=15b a=;2%;b yy
,
a=50( ), b=20( )
A, B
1-x1-x
xx-1
11-x
11-x
x-1x
y¤4y¤
{;2#;y}2-{;2#;y}¥y+{;2!;y}2
{;2#;y}2+{;2#;y}¥y+{;2!;y}2
x¤ -xy+z¤x¤ +xy+z¤
비례식에서 내항의 곱
과외항의곱은같다.
각 문자를 한 문자에
대한 식으로 나타낸다.
즉 y, z를 x에 대한
식으로 나타내거나 x,z를 y에 대한 식으로나타내거나 x, y를 z에 대한 식으로 나타
낸다.
조건이 방정식으로 주어
진 경우에는 한 문자를
다른문자에대한식으로
나타낸 후 식의 값을 구
하는분수식에대입한다.
(x=2k y
{x+y=3k y
9x+y+z=5k y을 에대입하면
⋯y=k을 에대입하면
⋯z=2k
우공비
72
;5̂;a=;5̂;¥50=60( ),
;4%;b=;4%;¥20=25( )
60+25=85 ( ) 답⃞ 85
;3@; x
3k-6=0, -2k-a=0
3k-6=0 k=2
-2k-a=0 a=-2k=-4 답⃞ ②
04
+ +
={;[!;- }+{ - }
=+{ - } 50`%
=;[!;- 20`%
=
= 30`%
05 ;2{;=;3};=;4Z;=k (k+0) x, y, z k
.
;2{;=;3};=;4Z;=k (k+0)
x=2k, y=3k, z=4k
=
= =;1#3%; 답⃞ ⑤
참고 x=2, y=3, z=4로 놓고 풀어도 답은 나오지만 정확
한풀이는아니므로 k에대한식으로나타내어풀도록한다.
06 x .
x¤ -4x+1=0 x+0 x
x-4+ =0 x+ =4
x¤ + ={x+;[!;}2-2=4¤ -2=14
x¤ +x+;[!;+ =14+4=18 답⃞ ④
07 .
x¤ -9
+ -
= + -
= =4x-1x¤ -9
2x+6+2x-6-1x¤ -9
1x¤ -9
2(x-3)x¤ -9
2(x+3)x¤ -9
1x¤ -9
2x+3
2x-3
전략
1x¤
1x¤
1x
1x
전략
70k¤26k¤
4k¤ +18k¤ +48k¤ 6k¤ +12k¤ +8k¤
x¤ +2y¤ +3z¤xy+yz+zx
전략
5x(x+5)
x+5-xx(x+5)
1x+5
1x+5
1x+b
1x+b
1x+a
1x+a
5-b(x+b)(x+5)
b-a(x+a)(x+b)
ax(x+a)
전략
종합문제 |
01 ① 02③ 03② 04
05 ⑤ 06④ 07 65 08 10 09② 10 11
11 ④ 12③ 13① 14② 15① 16⑤
17 32 : 51 : 35 18 19⑤ 20 32
21④ 22④ 23 16 24 930
2aba+b
5x(x+5)
01 ÷ = _ .
÷
= _
= _
= 답⃞ ①
02 , x x¤
.
= =;8̂;=;4#; 답⃞ ③
03 k (k+0) .
=k (k+0)
6x+a=k(3x-2)
(3k-6)x-2k-a=0
6x+a3x-2
전략
x¤ -1x¤ +1
x-;[!;
x+;[!;
전략
(x-2)(x-3)x+5
(x-1)(x-3)x+2
(x+2)(x-2)(x+5)(x-1)
x¤ -4x+3x+2
x¤ -4x¤ +4x-5
x+2x¤ -4x+3
x¤ -4x¤ +4x-5
CD
BA
DC
BA
전략
= { - }
(단, A+B)
1B
1A
1B-A
1ABa
x% a{1+ }
x% a{1- }x100
x100
보충학습
다항식 A, B, C(B+0,C+0)에대하여
⋯ =A_CB_C
AB
주어진 조건인 x¤ =7을 이용할 수 있도록
구하는식을변형한다.
x=0이면⋯x¤ -4x+1=0이성립하지않는다.
x¤ +x+;[!;+
={x¤ + }+{x+;[!;}1x¤
1x¤
본책180 183쪽
73
=
a=4, b=-1
a‹ -b‹ =4‹ -(-1)‹ =65 답⃞ 65
08 f(x) .
f(x)
_f(x)=x-1
f(x)=(x-1)(x¤ +ax-6)
=x‹ +(a-1)x¤ -(a+6)x+6 yy
_f(x)=x+3
f(x)=(x+3)(x¤ +bx+2)
=x‹ +(b+3)x¤ +(3b+2)x+6 yy
a-1=b+3, -(a+6)=3b+2
a-b=4, a+3b=-8
a=1, b=-3
a¤ +b¤ =1¤ +(-3)¤ =10 답⃞ 10
f(x)
f(x)=(x-1)(x¤ +ax-6) yy
f(x)=(x+3)(x¤ +bx+2) yy
f(x) x-1 x+3 .
x=-3
f(-3)=-4(9-3a-6)=12a-12=0
a=1
x=1
f(1)=4(1+b+2)=4b+12=0
b=-3
a¤ +b¤ =1¤ +(-3)¤ =10
09 .
{(x¤ -x)≠(1-x)}≠1
=[ ]≠1= ≠1
={- }≠1=
= =
=- 답⃞ ②
10.
전략
x+1x+2
x+1-x-2
1-1-x-111111x+1
11-112-1x+1
1x+1
1-xx¤ -1
1-x(x¤ -x)-(1-x)
전략
다른 解
1x¤ +bx+2
1x¤ +ax-6
전략
ax+bx¤ -9
4x-1x¤ -9
;4̂3@;=1+;4!3(;=1+
=1+ =1+
=1+ =1+
=1+ 70`%
a=1, b=2, c=3, d=1, e=4 20`%
a+b+c+d+e=1+2+3+1+4=11 10`%
11 f(x) .
f(x)= = -
f(1)+f(3)+y+f(99)
={;1!;-;3!;}+{;3!;-;5!;}+y+{;9¡9;-;10!1;}
=1-;10!1;=;1!0)1);
답⃞ ④
12 .
(4a+b)+(4b+c)+(4c+a)=5(a+b+c)
⁄ a+b+c=0 , c=-a-b
⁄ =
= =-1
¤ a+b+c+0 ,
¤ = =
= =;5&;
k=-1 k=;5&;
k
-1+;5&;=;5@; 답⃞ ③
13 y x
.
xy=4 y=;[$;
전략
7(a+b+c)5(a+b+c)
3a+4b4c+a
3c+4a4b+c
3b+4c4a+b
-(4a+b)4a+b
3b+4(-a-b)4a+b
3b+4c4a+b
전략
1x+2
1x
2x(x+2)
전략
112+11121312+3+1111+;4!;
112+111212+3+12;4%;
112+111
3+;5$;
112+11:¡5ª:
1
2+;1∞9;
1
;1$9#;
우공비
Ⅲ
식과
그연산
양변의 동류항의 계수
가 같음을 이용하여
미정계수를 구하는 계
수비교법을이용한다.
양변의 분자의 계수를
비교한다.
㉢`은 x+3도 인수로
가지므로 f(-3)=0이고 ㉣`은 x-1도 인수로가지므로
f(1)=0이다.
분모의 합이 0인 경우와0이 아닌 경우로 나누어계산한다.
= 임을이용하여
주어진식을변형한다.
1BA
AB
= =
=
(b+d+f+0)
a+c+eb+d+f
ef
cd
ab
조건을 변형하여 구하는
식을 한 문자에 대한 식
으로 변형하거나, 구하는식을통분하여정리한후
조건의값을대입한다.
우공비
74
+ = +
= +
= +
= =1 답⃞ ①
+ =
=
= =1
14 a, b
.
3a¤ +2ab-b¤ =0
(3a-b)(a+b)=0 b=3a ( ab>0)
= =
= =-;5$; 답⃞ ②
15 x+y=5k, y+z=6k, z+x=7k (k+0)
x, y, z k .
x+y=5k, y+z=6k, z+x=7k (k+0) yy
2(x+y+z)=18k
x+y+z=9k yy
, x=3k, y=2k, z=4k
=
= =;2!; 답⃞ ①
16 5 a, b
.
5 a, b
a{1+ }=b{1+ }
=
a= b
5 .
답⃞ ⑤
y+100x+100
y+100x+100
b(y+100)100
a(x+100)100
y100
x100
전략
25k¤50k¤
9k¤ +16k¤18k¤ +16k¤ +16k¤
x¤ +z¤2x¤ +4y¤ +z¤
전략
-8a¤10a¤
a¤ -9a¤a¤ +9a¤
a¤ -(3a)¤a¤ +(3a)¤
a¤ -b¤a¤ +b¤
전략
x+4y+8x+4y+8
2xy+x+4yxy+x+4y+4
x(y+1)+y(x+4)(x+4)(y+1)
yy+1
xx+4다른 解
x+4x+4
44+x
xx+4
;[$;
4+xx
xx+4
;[$;
;[$;+1
xx+4
yy+1
xx+4
17.
3x+2y-z=x+y+2z
2x+y-3z=0 yy
x+y+2z=-x-4y+8z
2x+5y-6z=0 yy
- -4y+3z=0 z=;3$;y
_2- 2x-3y=0 x=;2#;y
+ = + =
+ = + =
+ = + =
{ + } : { + } : { + }
= : :
=32 : 51 : 35
18 A, B k
.
A, B kkm
A B t¡
t¡=;aK;( ) 20`%
B C t™
t™=;bK;( ) 20`%
A B
t¡+t™=;aK;+;bK;= ( ) 20`%
A C
v
v= = (km/ ) 40`%
19 x¡, x™, x£, y .
x¡=;3@;, x™= =3, x£= =-;2!;,
x¢= =;3@;, x¢= =3, y1
1-;3@;
1
1-{-;2!;}
11-3
1
1-;3@;
전략
2aba+b
2kk(a+b)
ab
k(a+b)ab
전략
3512y
174y
83y
1x
3z
3z
2y
2y
1x
3512y
23y
94y
1x
3z
174y
94y
2y
3z
2y
83y
2y
23y
2y
1x
전략
a=-b인경우에는ab<0이므로 주어진
조건에모순이다.
xy=4
a, b, c
: : = : : =bc : ac : ababcc
abcb
abca
1c
1b
1a
보충학습
x : y : z=a : b : c이면x=ak, y=bk, z=ck(k+0)로놓는다.
(속력)= 이므로
⋯(시간)=(거리)(속력)
(거리)(시간)
우공비
75
Ⅲ
식과
그연산
본책183 184쪽
x« ;3@;, 3, -;2!; .
200=3_66+2 x™ºº=x™ .
x™ºº=3 답⃞ ⑤
20 a b .
=
a(a-b)=b(b-a), a¤ -ab=b¤ -ab
a¤ -b¤ =0, (a-b)(a+b)=0
a=b a=-b
⁄ a=b , ;aB;+;bA;=2
¤ a=-b , ;aB;+;bA;=-2
a=2, b=-2 a=-2, b=2
4(a¤ +b¤ )=32 답⃞ 32
21.
+ + +y+
= +
=+y+
=3{ - }+3{ - }
=+y+3{ - }
=3[{ - }+{ - }
= +y+{ - }]
=3[ +
= +y+ ]
=63[ +
= +y+ ]
k=63 답⃞ ④
22 .
n‹ +6n¤ +15n+14
n+1
n¤ +5n+10,
4
n‹ +6n¤ +15n+14=(n+1)(n¤ +5n+10)+4
=n¤ +5n+10+4
n+1n‹ +6n¤ +15n+14
n+1
-1 1 -6 15 14
-1 -5 -10
1 5 10 4
전략
1(x-20)(x+1)
1(x-2)(x+19)
1(x-1)(x+20)
21(x-20)(x+1)
21(x-2)(x+19)
21(x-1)(x+20)
1x+1
1x-20
1x+19
1x-2
1x+20
1x-1
1x+20
1x-20
1x+2
1x-2
1x+1
1x-1
120(x-20)(x+20)
12(x-2)(x+2)
6(x-1)(x+1)
120x¤ -400
18x¤ -9
12x¤ -4
6x¤ -1
전략
b-aa
a-bb
전략
n+1 4 .
n -5, -3, -2, 0, 1, 3 6 . 답⃞ ④
23 k x, y, z k
.
= = =k (k+0)
xy+xz=80k, yz+xy=98k, xz+yz=108k
yy
2(xy+yz+zx)=286k
xy+yz+zx=143k yy
, xy=35k, yz=63k, xz=45k
x= k, y= k
x : y= k : k=5 : 7
y= k, z= k
y : z= k : k=7 : 9
x : y : z=5 : 7 : 9 m=7, n=9
m+n=7+9=16 답⃞ 16
24 A, B 4a km/L,
5a km/L, 4kL, 3k L
.
A, B 4a km/L, 5a km/L
(a+0), 4kL, 3k L (k+0)
400km
A 4k- (L)
B 3k- (L)
{4k- } : {3k- }=2 : 1
6k- =4k-
k=
A, B
4k¥4a=16ak=16a_ =480(km)
3k¥5a=15ak=15a_ =450(km)
x=480+450=930 답⃞ 930
30a
30a
30a
4004a
8005a
4005a
4004a
4005a
4004a
전략
45x
35x
45x
35x
63z
45z
63z
45z
z(x+y)108
y(z+x)98
x(y+z)80
전략
4n+1
괄호 안의 분수를 각각
통분했을때분자를같게
하기 위하여 교환법칙을
이용한다.
(연료탱크의용량)_(연비)
(사용한연료)
=(달린거리)
(연비)
4의 약수는 -4, -2,-1, 1, 2, 4이다.
x¡=x¢=x¶=y=;3@;
x™=x∞=x•=y=3
x£=x§=xª=y=-;2!;
76
27 무리식의계산
우공비
⑵ = =
= =
+ = +
+ =
55 ⑴ = =
⑵ =
=
=‹"≈3¤ +‹'3+1
=‹'9+‹'3+1
⑶ =
=
⑷
=
=
=
=x+"√x¤ -1
답⃞ ⑴ ⑵ ‹'9+‹'3+1
답⃞ ⑶ ⑷ x+"√x¤ -1'∂2x+12x-1
'5-'23
2x+2"√x¤ -12
x+1+2"√x¤ -1+x-1x+1-(x-1)
('ƒx+1+'ƒx-1 )¤('ƒx+1-'ƒx-1 )('ƒx+1+'ƒx-1 )
'ƒx+1+'ƒx-1'ƒx+1-'ƒx-1
'∂2x+12x-1
'∂2x+1('∂2x-1)('∂2x+1)
1'∂2x-1
2(‹"≈3¤ +‹'3+1)
‹"≈3‹ -1
2(‹"≈3¤ +‹'3+1)
(‹'3-1)(‹"≈3¤ +‹'3+1)2
‹'3-1
'5-'23
'5-'2('5+'2)('5-'2)
1'5+'2
2'ßxx-1
'ßx-1x-1
'ßx+1x-1
1'ßx+1
1'ßx-1
'ßx-1x-1
'ßx-1('ßx+1)('ßx-1)
1'ßx+1
'ßx+1x-1
'ßx+1('ßx-1)('ßx+1)
1'ßx-1
다른 解
유제 |
01-1 ⑴ 0<x<4
⑴ øμx¤ =|x|=x
⑴ øπx¤ -8x+16 =øπ(x-4)¤
=|x-4|=-(x-4)
⑴ øμx¤ -øπx¤ -8x+16 =x+(x-4)
=2x-4
익히기 |
11 ④ 5 —'5 .
답⃞ ④
22 ⑴ ('∂28+'∂12 )('7-'3)
=(2'7+2'3 )('7-'3)
=2('7+'3 )('7-'3)
=2(7-3)=8
⑵ æ– {æ– -æ– }
=æ≠ -æ≠
=æ– -æ≠
=;2!;-;4!;=;4!;
답⃞ ⑴ 8⋯⑵ ;4!;
33 ⑴ x+5æ0, x-1æ0 xæ-5, xæ1
xæ1
⑵ 4-xæ0, x-3>0 x…4, x>3
3<x…4
답⃞ ⑴ xæ1⋯⑵ 3<x…4
44 ⑴ ('ƒx+y+'ƒx-y)('ƒx+y-'ƒx-y)
=('ƒx+y )¤ -('ƒx-y )¤
=x+y-(x-y)
=2y
⑵ + =
⑵ + =
답⃞ ⑴ 2y⋯⑵2'∂xx-1
2'∂xx-1
'∂x+1+'∂x-1('∂x-1)('∂x+1)
1'∂x+1
1'∂x-1
116
14
348
624
16
23
38
aæ0일때,a의제곱근➞—'a제곱근 a ➞ 'a
(a+b)(a-b)=a¤ -b¤
'ß28=øπ2¤ ¥7=2'7'ß12=øπ2¤ ¥3=2'3
무리식 가실수
➞Aæ0, B>0
'∂A'∂B
무리식09식과그연산Ⅲ
a>0, b>0 ,
'a'b='∂ab "ça¤ b=a'b
=æ;bA; æ ='ab
ab¤
'a'b
보충학습
우공비
Ⅲ. 77
Ⅲ
식과
그연산
본책188 190쪽
02-1 ⑴ +
= +
= +
=
⑵ =
=
=
=
=
답⃞ ⑴ ⑵
02-2 +
= +
= +
= +
= +
=
답⃞
02-3 + +
+y+
= +
+
+y+'∂399-'∂400
('∂399+'∂400)('∂399-'∂400)
'3-'4('3+'4 )('3-'4)
'2-'3('2+'3 )('2-'3)
1-'2(1+'2 )(1-'2)
1'∂399+'∂400
1'3+'4
1'2+'3
11+'2
2xx-1
2xx-1
x-'∂xx-1
x+'∂xx-1
'∂x('∂x-1)('∂x+1)('∂x-1)
'∂x('∂x+1)('∂x-1)('∂x+1)
'∂x'∂x+1
'∂x'∂x-1
1'∂x+1'∂x
1'∂x-1'∂x
11
1+21'∂x
11
1-21'∂x
2'3+3-'∂2112
8+2x4-x
2'3+3-'∂2112
(2+'3-'7)¥'34'3¥'3
2+'3-'74'3
2+'3-'7(4+4'3 +3)-7
(2+'3 )-'7{(2+'3 )+'7 } {(2+'3 )-'7 }
12+'3+'7
8+2x4-x
4+4'∂x+x4-x
4-4'∂x+x4-x
(2+'∂x )¤(2-'∂x )(2+'∂x )
(2-'∂x )¤(2+'∂x )(2-'∂x )
2+'∂x2-'∂x
2-'∂x2+'∂x
주어진식의근호를없애
기 위해 절댓값 기호 안
의식의부호를결정하여
식을간단히한다.
⑵ 0<a<1
⑴ æ≠{a-;a!;}¤ +4=æ≠{a+;a!;}¤
=|a+;a!;|=a+;a!;
⑴ æ≠{a+;a!;}¤ -4=æ≠{a-;a!;}¤
=|a-;a!;|=-{a-;a!;}
⑴ æ≠{a-;a!;}¤ +4-æ≠{a+;a!;}¤ -4
=a+;a!;+{a-;a!;}=2a
⑶ 2<x…8
⑴ øπ(x¤ -64)¤ =|x¤ -64|=-(x¤ -64),
⑴ øπ(4-x¤ )¤ =|4-x¤ |=-(4-x¤ )
⑴ øπ(x¤ -64)¤ +øπ(4-x¤ )¤
=-(x¤ -64)-(4-x¤ )
=60
답⃞ ⑴ 2x-4 ⑵ 2a ⑶ 60
01-2 a+b=(3-'2 )+'5>0,
a-b=(3-'2 )-'5<0
øπ(a+b)¤ +øπ(a-b)¤ =|a+b|+|a-b|
=a+b-(a-b)
=2b=2'5
답⃞ 2'5
01-3 x>2
'∂a+4=æ≠ +4=æ≠
a+4 =æ≠ =
a+4 = =
'∂a-4=æ≠ -4=æ≠
'∂a-4=æ≠ =
'∂a-4= =
'ƒa+4+'ƒa-4= +
= =2'ßx
답⃞ 2'ßx
2x'ßx
x-2'ßx
x+2'ßx
x-2'x
|x-2|'x
"√(x-2)¤'x
(x-2)¤x
x¤ -4x+4x
x¤ +4x
x+2'x
|x+2|'x
"√(x+2)¤'x
(x+2)¤x
x¤ +4x+4x
x¤ +4x
1<'2<2에서1<3-'2<2이고2<'5<3이므로⋯3-'2<'5⋯∴ 3-'2-'5<0
a>0이고 ;a!;>0이므로
⋯a+;a!;>0
a<1이고 ;a!;>1이므로
⋯a-;a!;<0
4<x¤ …64이므로⋯x¤ -64…0,⋯4-x¤ <0
분모가 'ßn+'ƒn+1 꼴이므로분자와분모에
'ßn-'ƒn+1을 곱하여
유리화하면분모는
n-(n+1)=-1이된다.
우공비
78
28 이중근호
익히기 |
=-(1-'2 )-('2-'3 )-('3-'4)
-y-('∂399-'∂400)
=-(1-'2+'2-'3+'3-'4+y+'∂399-'∂400)
=-1+'∂400
=-1+20=19 답⃞ 19
유제 |
03-1 øπ14-'∂160=øπ14-2'4å0='∂10-2
=1.___ ( 3<'∂10<4)
a=1, b='∂10-2-1='∂10-3
a-;b!;=1-
=1-
=1-('∂10+3)
=-'∂10-2 답⃞ -'∂10-2
03-2 øπ2+øπ16+2'∂48 =øπ2+'∂12+2
=øπ4+2'3
='3+1
=2.___ ( 1<'3<2)
a=2, b='3+1-2='3-1
a¤ -b¤ =2¤ -('3-1)¤
=4-(3-2'3+1)=2'3 답⃞ 2'3
03-3 n øμn¤ =n,
øπn¤ +2n+1=øπ(n+1)¤ =n+1
n<øπn¤ +n<n+1
A=n, B=øπn¤ +n-n
=
=
=
=2(øπn¤ +n+n) 답⃞ 2(øπn¤ +n+n)
04-1 ⑴
=
= =x+øπx¤ -1
='2+'ƒ2-1='2+1
2x+2øπx¤ -12
('ƒx+1+'ƒx-1)¤('ƒx+1-'ƒx-1)('ƒx+1+'ƒx-1)
'ƒx+1+'ƒx-1'ƒx+1-'ƒx-1
2n(øπn¤ +n+n)n
2n(øπn¤ +n+n)
(øπn¤ +n-n)(øπn¤ +n+n)
2nøπn¤ +n-n
2AB
'∂10+3('∂10-3)('∂10+3)
1'∂10-3
( )=( )-( )
.
보충학습
이중근호를풀때에는
øπA—2'∂B `꼴로변형하여합이A, 곱이B인두수를찾는다.
11 ⑴ øπ10+2'∂21='7+'3
⑵ øπ4-'∂12=øπ4-2'3='3-1
⑶ øπ4+'∂15=æ≠ =
= =
⑷ øπ12-6'3=øπ12-2'∂27=3-'3
답⃞ ⑴ '7+'3 ⑵ '3-1
답⃞ ⑶ ⑷ 3-'3
22 ⑴ x-1+(3x+y+2)'2=0
x, y
x-1=0, 3x+y+2=0
x=1, y=-5
⑵ 2x+y(1+'3 )=5+'∂27
2x+y+y'3=5+3'3
x, y
2x+y=5, y=3
x=1, y=3
답⃞ ⑴ x=1, y=-5⋯⑵ x=1, y=3
'∂10+'62
'∂10+'62
'5+'3'2
øπ8+2'∂15'2
8+2'∂152
a>b>0 ,
øπ(a+b)—2'ßab='a—'b
2
.
2 .
m>0, n>0 ,
øπm+'∂4n=øπm+2'ån
øπm+'ån=æ≠ = øπ2m+2'ån'2
2m+2'ån2
보충학습
7+3=10, 7¥3=21
3+1=4, 3¥1=3
5+3=8, 5¥3=15
9+3=12, 9¥3=27
10+4=14, 10¥4=40
(소수부분)=(주어진식)-(정수부분)
12+4=16, 12¥4=48
3+1=4, 3¥1=3
n이자연수이므로n¤ <n¤ +n<n¤ +2n+1이성립함을이용한다.
a, b, c, d가 유리수이고, '∂m, 'ßn이 무리수일때,① a+b'∂m=0
HjjK a=0, b=0② a+b'∂m=c+d'∂m
HjjK a=c, b=d
우공비
Ⅲ. 79
Ⅲ
식과
그연산
본책190 196쪽
⑵ x=2'å7
- = -
= -
=
=;6@;=;3!;
답⃞ ⑴ '2+1⋯⑵ ;3!;
04-2 x= = =3+2'2
= =
= = 답⃞
04-3 f(x)=øπ2x-1+2"√x¤ -x='∂x+'ƒx-1
=
=
='ßx-'ƒx-1
+ + +y+
=(1-0)+('2-1)+('3-'2 )+y+('∂50-'∂49 )
='∂50-0=5'2 답⃞ 5'2
05-1 x=øπ4+'∂12=øπ4+2'3='3+1,
y=øπ4-'∂12 =øπ4-2'3 ='3-1
x+y=2'3, xy=2
+ = =
=
=2 답⃞ 2
05-2 x= = =
= ='6-'2
4'6-'2
('6+'2 )('6-'2)
1'6+'2
1
øπ8+2'∂12
1
øπ8+4'3
(2'3 )¤ -2¥22¤
(x+y)¤ -2xy(xy)¤
x¤ +y¤x¤ y¤
1y¤
1x¤
1f(50)
1f(3)
1f(2)
1f(1)
'ßx-'ƒßx-1('ßx+'ƒx-1)('ßx-'ƒx-1)
1'ßx+'ƒx-1
1f(x)
'22
'22
1'2
1'2+1-1
1
øπ3+2'2-1
1'ßx-1
('2+1)¤('2-1)('2+1)
'2+1'2-1
'7+1-('7-1)('7-1)('7+1)
1'7+1
1'7-1
1øπ8+2'7
1øπ8-2'7
1'ƒ8+x
1'ƒ8-x
y= = =
y= =
x+y= , x-y=- , xy=;4!;
=
=
=
= ='2-'3
답⃞ '2-'3
05-3 a-b=øπ27+'∂200=øπ27+2'∂50
=5+'2 yy
b-c=øπ27-'∂200=øππ27-2'∂50
=5-'2 yy
+ a-c=10 c-a=-10
a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca
=;2!; {(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ }
=;2!; {(5+'2 )¤ +(5-'2 )¤ +(-10)¤ }
=;2!;¥154
=77 답⃞ 77
06-1 x= 2x+1='5
4x¤ +4x+1=5
x¤ +x-1=0
x
x¤ +5x+4=(x¤ +x-1)+4x+5
=4x+5
=4¥ +5
=2'5+3 답⃞ ③
06-2 x= = =7-4'3
x-7=-4'3
x¤ -14x+49=48
x¤ -14x+1=0
x
(2-'3 )¤(2+'3 )(2-'3)
2-'32+'3
'5-12
'5-12
2-'6'2
'612-2¥;2!;2'2
-122
x-2'∂xy+yx-y
('ßx-'y)¤('∂x+'∂y )('∂x-'∂y )
'∂x-'∂y'∂x+'∂y
'22
'62
'6+'24
'6+'2('6-'2 )('6+'2)
1'6-'2
1
øπ8-2'∂12
1
øπ8-4'3
➞
➞
보충학습
7+1=8, 7¥1=7
3+1=3, 2¥1=2
x+(x-1)=2x-1,x(x-1)=x¤ -x
3+1=4, 3¥1=3
6+2=8, 6¥2=12
a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca
=;2!; {(a-b)¤ +(b-c)¤
+(c-a)¤ }임을이용한다.
25+2=27, 25¥2=50
x¤ +x-1=0
우공비
80
(x-2)(x-7)(x¤ -14x+2)
=(x-2)(x-7)(x¤ -14x+1+1)
=(7-4'3-2)(7-4'3-7)¥1
=(5-4'3)¥(-4'3)
=-20'3+48 답⃞ -20'3+48
06-3 x= 2x+1='2
4x¤ +4x+1=2
4x¤ +4x-1=0
=
=
= =2 답⃞ 2
07-1(2+'2a)(b-'2)
=2b-2'2+'2ab-2a
=(2b-2a)+(ab-2)'2
(2b-2a)+(ab-2)'2=-2
a, b
2b-2a=-2, ab-2=0
a-b=1, ab=2
a¤ +b¤ =(a-b)¤ +2ab=1¤ +2¥2=5
답⃞ 5
07-2
+
= +
=
=
=2'5+4'2
a, b
(a+b)'5+(-a+b)'23
(a+b)'5+(-a+b)'23
a('5-'2 )+b('5+'2)('5+'2 )('5-'2)
b'5-'2
a'5+'2
bøπ7-2'∂10
aøπ7+2'∂10
;2!;
;4!;
x(4x¤ +4x-1)-;2!;(4x¤ +4x-1)+;2!;
;4!;(4x¤ +4x-1)+;4!;
x(4x¤ +4x-1)-(2x¤ +2x-1)x¤ +x
4x‹ +2x¤ -3x+1x¤ +x
'2-12
x¤ -14x+1=0
5+2=7, 5¥2=10
=2, =4
a+b=6, -a+b=12
a=-3, b=9
2a+b=2¥(-3)+9=3 답⃞ 3
07-3 2+'∂10=5.___ ( 3<'∂10<4)
m=5, n=2+'∂10-5='∂10-3
= =
=5'∂10+15
5'∂10+15=a+b'∂10
a, b
a=15, b=5
ab=15¥5=75
답⃞ 75
5('∂10+3)('∂10-3)('∂10+3)
5'∂10-3
mn
-a+b3
a+b3
종합문제 |
01 ⑤ 02 2a+3 03⑤ 04 28'2
05 ③ 06② 07 2a 08④ 09 20
10 3'2+'6 11③ 12⑤ 13④ 14 52
15① 16② 17 30 18③ 19② 20②
21 20 22③ 23①
01 .
0
2x+10æ0, 2-xæ0
-5…x…2
x -5, -4, -3, y, 2
x -12 . 답⃞ ⑤
02 .
-6…a…3
øπ(a+6)¤ -øπ(a-3)¤ =|a+6|-|a-3|
=(a+6)+(a-3)
=2a+3
답⃞ 2a+3
전략
전략
등식의 좌변을 전개하여
유리수부분과무리수부
분으로 정리한 후 두 무
리수가서로같을조건을
이용한다.
무리식 '∂A가실수➞Aæ0
a>0일때,
"ça¤ =|a|
=[a (aæ0)
-a (a<0)
우공비
Ⅲ. 81
Ⅲ
식과
그연산
본책196 199쪽
03 .
øπ2+'3 =æ≠ =
øπ2-'3 =æ≠ =
+ = +
+ = ='6
답⃞ ⑤
04 x, y .
x=øπ6+'∂32=øπ6+2'8=2+'2,
y=øπ6-'∂32 =øπ6-2'8=2-'2 30`%
x-y=2'2, xy=(2+'2 )(2-'2 )=2 20`%
x‹ -y‹ =(x-y)‹ +3xy(x-y)
=(2'2 )‹ +3¥2¥2'2
=28'2 50`%
05 x a, b
b=x-a .
øπ3+'8=øπ3+2'2='2+1=2.___ ( 1<'2<2)
a=2, b='2+1-2='2-1
2a¤ -ab-b¤ =(a-b)(2a+b)
=(2-'2+1)(4+'2-1)
=(3-'2 )(3+'2)
=9-2=7 답⃞ ③
06 a, b a+b'3=0
a=b=0 .
a(1+2'3 )+b(-1+'3 )=6
(a-b)+(2a+b)'3=6
a, b
a-b=6, 2a+b=0
a=2, b=-4
a+b=2+(-4)=-2 답⃞ ②
07 x=a+;a%; .
"çx¤ +"√x¤ -20=æ≠{a+;a%;}¤ +æ≠{a+;a%;}
¤ -20
"çx¤ +"√x¤ -20=æ≠{a+;a%;}¤ +æ≠{a-;a%;}
¤
전략
전략
전략
전략
2'62
'2'3-1
'2'3+1
1øπ2-'3
1øπ2+'3
'3-1'2
4-2'32
'3+1'2
4+2'32
전략 "çx¤ +"√x¤ -20=|a+;a%;|+|a-;a%;|
a>5
|a+;a%;|+|a-;a%;|=a+;a%;+a-;a%;
|a+;a%;|+|a-;a%;|=2a
답⃞ 2a
08 x x¤ -1
.
(x+øπx¤ -1)¤ -(x-øπx¤ -1)¤
=x¤ +2xøπx¤ -1+x¤ -1-(x¤ -2xøπx¤ -1+x¤ -1)
=4xøπx¤ -1
øπx¤ -1=æ≠[;2!; {'3+ }] ¤ -1
=æ≠;4!;[('3)¤ +≠2+{ }¤ ]-1
=æ≠;4!;[('3)¤ -≠2+{ }¤ ]
=æ≠[;2!; {'3- }] ¤
=;2!; {'3- }
4xøπx¤ -1=4¥ ;2!; {'3+ }¥;2!; {'3- }
4xøπx¤ -1=;3*; 답⃞ ④
09 .
æ≠ +æ≠ = +
æ≠ +æ≠ = yy
a+b=12, ab=4
('ßa+'ßb )¤ =a+b+2'∂ab
=12+2¥2
=16
'ßa+'ßb =4 ( 'ßa+'ßb >0)
"ça‹ +"çb‹ =('ßa)‹ +('ßb )‹
=('ßa+'ßb )‹ -3'∂ab('∂a+'b)
=4‹ -3¥2¥4=40
=;;¢2º;;=20
답⃞ 20
"ça‹ +"çb‹'∂ab
"ça‹ +"çb‹'∂ab
"çb¤'∂a
"ça¤'∂b
b¤a
a¤b
전략
1'3
1'3
1'3
1'3
1'3
1'3
1'3
전략
x='ßa+'ßb,y='ßa-'ßb➞ x+y, x-y, xy 꼴로변형
4+2=6, 4¥2=8
우공비
82
10.
AD”=ø πAC” ¤ +CD” ¤ =ø π('3 )¤ +3¤ ='∂12=2'3 30`%
AB”=ø πBC” ¤ +AC” ¤
=øπ(2'3+3)¤ +('3 )¤ 20`%
=øπ24+12'3
=øπ24+2'∂108
=3'2+'6 50`%
11 x .
x= =
x= =3+2'2
x-3=2'2
x¤ -6x+9=8
x¤ -6x+1=0 yy
x‹ -4x¤ -11x+36
=(x¤ -6x+1)(x+2)+34 ( )
=34
답⃞ ③
12 ‹øπ3+2'2=a, ‹øπ3-2'2=b .
‹øπ3+2'2=a , ‹øπ3-2'2=b
ab=‹øπ(3+2'2 )(3-2'2 )=1
x=a-b
x‹ +3x=(a-b)‹ +3(a-b)
=a‹ -3ab(a-b)-b‹ +3(a-b)
=a‹ -b‹ ( ab=1)
=(3+2'2 )-(3-2'2)
=4'2 답⃞ ⑤
13 x .
øπ12+6'3=øπ12+2'∂27=3+'3=4.___
[øπ12+6'3 ]=4
x=3+'3-4='3-1
x¤ =('3-1)¤ =4-2'3=2(2-'3)
전략
전략
6+4'22
(2+'2 )¤(2-'2 )(2+'2)
2+'22-'2
전략
전략
9+3=12, 9¥3=27
BC”=BD”+DC”=AD”+DC”
+ =(2-'3 )+
=(2-'3 )+
=(2-'3 )+(2+'3 )=4
답⃞ ④
14 x=3-'5 a, b
.
x=3-'5
(3-'5 )¤ +a(3-'5 )+b=0
14-6'5 +3a-a'5+b=0
(3a+b+14)-(a+6)'5=0
a, b
3a+b+14=0, a+6=0
a=-6, b=4
a¤ +b¤ =36+16=52 답⃞ 52
15 x<1 .
x=3-2'2<1
+
= +
=
=
= =
=
='2
'2=a+b'2 a, b
a=0, b=1
a¤ +b¤ =0+1=1
답⃞ ①
'ßx=øπ3-2'2='2-1
+
= +
= +
= + ='2'22
'22
'2'2¥'2
('2 -1)(2+'2)(2-'2 )(2+'2)
1'2
'2-12-'2
11+'ßx
'∂x1-'ßx
다른 解
(2-'2)('2+1)('2-1)('2+1)
2-'2'2-1
4-2'22'2-2
1+x1-x
'∂x+x+1-'∂x(1-'∂x )(1+'∂x )
11+'ßx
'∂x1-'ßx
1
øπx+1+2'x
'∂x
øπx+1-2'x
전략
전략
2+'3(2-'3 )(2+'3)
12-'3
2x¤
x¤2
피타고라스의정리
c a,
b
⋯a¤ +b¤ =c¤
보충학습 x=a가방정식
f(x)=0의근이면f(a)=0이다.
3-2'2-1=2-2'2='4-'8<0∴ 3-2'2<1
18+6=24,18¥6=108
x=a+'b 꼴이 주어지
면 x-a='b의 양변을
제곱하여근호를없앤다.
우공비
Ⅲ. 83
Ⅲ
식과
그연산
본책199 201쪽
16 .
a 3b=a+3b'3
b a=b+a'3
(a 3b)-(b a)=1
(a+3b'3)-(b+a'3)=1
(a-b)+(3b-a)'3=1
a, b
a-b=1, 3b-a=0
a=;2#;, b=;2!;
'3a b= ;2!;
'3a b= +
'3a b=2'3 답⃞ ②
17.
=
=
=
=
=-
=- 60`%
- =a+b'2+c'6
a=-1, b=-;2!;, c=-;2!; 20`%
20(a¤ +b¤ +c¤ )=20{1+;4!;+;4!;}=30 20`%
18.
a, b (a>0,
b>0)
( )=6_ a¤
( )= b¤
3 : 4
6a¤ : b¤ =3 : 4 3b¤ =24a¤ b=2'2a
6a,
'34
'34
전략
'6+2+'22
'6+2+'22
('3+'2+1 )'2'2'2
2('3+'2+1 )-2'2
2('3+'2+1 )3-(3+2'2 )
2('3+'2+1 )('3)¤ -('2+1)¤
2('3+'2+1 ){'3-('2+1) } {'3+('2+1)}
2'3-'2-1
전략
'32
3'32
3'32
전략 3b=6'2a
m : 12
6a : 6'2a=m : 12 m=6'2 답⃞ ③
19 øπ7-øπ21+'8å0
.
øπ7-øπ21+'8å0
øπ21+'8å0=øπ21+2'∂20='∂20 +1=2'5+1
øπ7-øπ21+'8å0=øπ7-(2'5+1)=øπ6-2'5
='5-1=1.___
'5-1 1
x=('5-1)-1='5-2
x+;[!;='5-2+
='5-2+
='5-2+'5+2=2'5 답⃞ ②
20 (3+2'2 )« =a, (3-2'2 )« =b .
(3+2'2 )« =a, (3-2'2 )« =b
ab=(3+2'2 )« (3-2'2 )«
={(3+2'2 )(3-2'2)}« =1
'∂A=
A+1= +1
=
={ }¤
'∂A+'ƒA+1= + =a
=(3+2'2 )« 답⃞ ②
21 n f(2n-1, 2n+1) n
.
f(x, y)= =
n
f(2n-1, 2n+1)
=
=
=2(-'ƒ2n-1+'ƒ2n+1 )
4('ƒ2n+1-'ƒ2n-1 )('ƒ2n+1+'ƒ2n-1)('ƒ2n+1-'ƒ2n-1)
4'ƒ2n+1+'ƒ2n-1
4'∂y+'∂x
4øπx+y+2'∂xy
전략
a+b2
a-b2
a+b2
a¤ +2+b¤4
a¤ +b¤ -24
a-b2
전략
'5+2('5-2)('5+2)
1'5-2
전략
2<'5<3이므로⋯1<'5-1<2
(1, 3), (3, 5),(5, 7), y은 연속하는두홀수이므로
(2n-1, 2n+1)로나타낼수있다.
a, b, c가 유리수이므로 분모의 유리화를
한번더한다.
'∂A= 에서
⋯A=
⋯ =a¤ +b¤ -2
4
a¤ +b¤ -2ab4
a-b2
한 변의 길이가 a인정삼각형이 6개이고,한 변의 길이가 a인정삼각형의넓이는
a¤이다.'34
우공비
방정식과부등식Ⅳ
이차방정식10
29 일차방정식의풀이
익히기 |
11 ⑴ 2(x-2)-3(2x+1)=x+3
2x-4-6x-3=x+3
5x=-10 x=-2
⑵ -2x+1=
⑵ 4
2(x+3)-8x+4=3x-8
2x+6-8x+4=3x-8
9x=18 x=2
⑶ 3(x-2)-x+5=2(x+1)-3
3x-6-x+5=2x+2-3
0¥x=0
.
⑷ 5(x+2)-(3x+2)=2(x+5)
5x+10-3x-2=2x+10
0¥x=2
.
답⃞ ⑴ x=-2 ⑵ x=2
답⃞ ⑶ . ⑷ .
22 ⑴ a(x+1)=3x+1
⑴ (a-3)x=1-a
⑴ ⁄ a+3 , x=
⑴ ¤ a=3 , 0¥x=-2 .
⑵ (a-1)x=a¤ -1
(a-1)x=(a+1)(a-1
⁄ a+1 , x=a+1
¤ a=1 , 0¥x=0 .
답⃞ ⑴ ‡
a+3 , x=
a=3 , .
답⃞ ⑵ [a+1 , x=a+1
a=1 , .
33 ⑴ ⁄ x<;2#; , 2x-3<0
⑴ ⁄ -(2x-3)=5 x=-1
⑴ ¤ xæ;2#; , 2x-3æ0
⑴ ⁄ 2x-3=5 x=4
1-aa-3
1-aa-3
3x-84
x+32계수가 분수인 일차방정
식 ➞ 양변에 분모의 최
소공배수를곱한다.
0¥x=0의꼴의방정식은해가무수히많고,0¥x=k (k+0)의 꼴의
방정식은해가없다.
84
( )
=2{(-1+'3 )+(-'3+'5 )+(-'5+'7)
+y+(-'ƒ119+'ƒ121 )}
=2(-1+11)=20 답⃞ 20
22 v .
W=;2!;mv¤ -;2!;mvº¤ W=3'3, m=3, vº=2
3'3=;2!;_3_v¤ -;2!;_3_2¤
v¤ =4+2'3
v=øπ4+2'3=1+'3 답⃞ ③
23 a+2b .
a
, '2a .
a+2b
a+2b='2a, b= a
+ = +
= +
= +
= + ='2
답⃞ ①
'2-12
'2+12
'2-12
'2+12('2-1)('2+1)
'2-12
12('2-1)
('2-1)a2a
a2('2-1)a
ba
a4b
'2-12
전략
전략
우공비
85
Ⅳ
방정식과
부등식
본책201 207쪽
유제 |
01-1 a¤ x+4a=2ax+a¤
a¤ x-2ax=a¤ -4a
a(a-2)x=a(a-4)
0¥x=b (b+0)
.
a(a-2)=0, a(a-4)+0
a=2 답⃞ 2
01-2 (m¤ -2)x=(x+1)m-2
(m¤ -m-2)x=m-2
(m-2)(m+1)x=m-2
⁄ m+2, m+-1 , x=
¤ m=2 , 0¥x=0 .
‹ m=-1 , 0¥x=-3 .
③ . 답⃞ ③
01-3 A=R A .
2x-(1+x)a+a¤ -2=0
.
(a-2)x=a¤ -a-2
(a-2)x=(a-2)(a+1)
⁄ a+2 , x=a+1
¤ a=2 , 0¥x=0 .
A=R a 2 .
답⃞ 2
1m+1
⑴ x=-1
x=4 .
⑵ ⁄ x<-1 , x+1<0
-(x+1)=2x-4 x=1
x<-1 x=1 .
⑴ ¤ xæ-1 , x+1æ0
x+1=2x-4 x=5
⑴ x=5 .
답⃞ ⑴ x=-1 x=4 ⑵ x=5
⑴ |2x-3|=5
⑴ 2x-3=-5 2x-3=5
⑴ x=-1 x=4
다른 解
02-1 ⑴
0 x 0, 2 .
⁄ x<0 , x-2<0, x<0
-(x-2)=4+x x=-1
¤ 0…x<2 , x-2<0, xæ0
-(x-2)=4-x
0¥x=2 .
‹ xæ2 , x-2æ0, x>0
x-2=4-x
x=3
x=-1 x=3
.
⑵ 0
x -1, 1 .
⁄ x<-1 , x+1<0, x-1<0
-(x+1)-3(x-1)=2x+1
¤ x=;6!;
¤ x<-1 x=;6!; .
¤ -1…x<1 , x+1æ0, x-1<0
x+1-3(x-1)=2x+1
¤ x=;4#;
‹ xæ1 , x+1>0, x-1æ0
x+1+3(x-1)=2x+1
¤ x=;2#;
x=;4#; x=;2#; .
답⃞ ⑴ x=-1 x=3
답⃞ ⑵ x=;4#; x=;2#;
02-2
øπ(x+2)¤ +|x-3|=7
|x+2|+|x-3|=7
0 x -2,
3 .
⁄ x<-2 , x+2<0, x-3<0
-(x+2)-(x-3)=7
x=-3
¤ -2…x<3 , x+2æ0, x-3<0
x+2-(x-3)=7
0¥x=2 .
‹ xæ3 , x+2>0, x-3æ0
x+2+x-3=7
x=4
|x-a|=bHjjK x-a=—bHjjK x=a—b
"ça¤ =|a|
구한 해가 각 범위에
속하는지 반드시 확인
해야한다.
a(a-2)=0에서⋯a=0 또는 a=2이때 a=0이면a(a-4)=0이므로a+0이다.
해의 집합이 R(실수전체의 집합)이면 해
가 무수히 많고, 해의집합이 Δ(공집합)이면해가없다는의미이다.
우공비
86
x=-3 x=4
(-3)¥4=-12 답⃞ -12
02-3 ⁄ x<0 , |3+x|=2x
0 x -3 .
x<-3 , 3+x<0
-(3+x)=2x x=-1
x<-3 x=-1 .
-3…x<0 , 3+xæ0
3+x=2x x=3
-3…x<0 x=3 .
¤ xæ0 , |3-x|=2x
0 x 3 .
0…x<3 , 3-x>0
3-x=2x x=1
xæ3 , 3-x…0
-(3-x)=2x x=-3
xæ3 x=-3 .
x=1 . 답⃞ x=1
30 이차방정식의풀이
익히기 |
11 ⑴ x¤ =-3 x
.
⑵ x¤ =-3 x=—'3 i
답⃞ ⑴ . ⑵ x=—'3 i
22 ⑴ x¤ -4x-5=0, (x+1)(x-5)=0
x=-1 x=5
⑵ x=2—øπ(-2)¤ -1¥(-5)=2—3
⑵ x=-1 x=5
답⃞
33 ⑴ x¤ -16x+60=0, (x-6)(x-10)=0
x=6 x=10
⑵
⑵ x= =
⑶
⑵ x= =
⑷ (x+2)¤ =4, x¤ +4x+4=4
x¤ +4x=0, x(x+4)=0
2—"ç17i3
2—øπ(-2)¤ -3¥73
5—"ç174
5—øπ(-5)¤ -4¥2¥12¥2
x=0 x=-4
⑸ 2(x¤ -2x+1)=3x+5
2x¤ -7x-3=0
⑸ x= =
답⃞
7—"ç734
7—"√(-7)¤ -4¥2¥(-3)2¥2
유제 |
03-1 x=2
4+6a+a¤ +5=0
a¤ +6a+9=0
(a+3)¤ =0
a=-3
a=-3
x¤ -9x+14=0
(x-2)(x-7)=0
x=2 x=7
7 .
답⃞ a=-3, 7
03-2 {1-'3, a}
1-'3 .
x=1-'3
(1-'3 )¤ +k(1-'3 )-2=0
k(1-'3 )=-2(1-'3)
k=-2
k=-2
x¤ -2x-2=0
x=1-'3 x=1+'3
1+'3 a=1+'3
ak=(1+'3)¥(-2)=-2-2'3
답⃞ -2-2'3
03-3 x=1
k+a-(k+2)a¤ +1=0
(a¤ -1)k+(2a¤ -a-1)=0
k
a¤ -1=0, 2a¤ -a-1=0
a¤ -1=0 a=1 a=-1
2a¤ -a-1=0 a=1 a=-;2!;
a 1 .
답⃞ 1
절댓값기호안에절댓값
기호가 있는 방정식에서
는 안쪽에 있는 절댓값
기호를먼저없앤다.
일차항의 계수가 짝수인
이차방정식의 근의 공식
을이용한다.
이차방정식
ax¤ +bx+c=0의 좌변
이인수분해되지않을때
에는근의공식을이용하
여근을구한다.
임의의 실수 a에 대하여 a¤ æ0이다.
(x+2)¤ =4에서⋯x+2=—2⋯HjjK x=-2—2⋯∴ x=0 또는 x=-4
이차방정식의한근이 a
➞ x=a를대입
우공비
87
Ⅳ
방정식과
부등식
본책207 213쪽
04-1 ⑴ '2-1
x¤ +('2-1)(3+'2 )x+2('2-1)=0
x¤ +(2'2-1)x+2('2-1)=0
(x+1){x+2('2-1)}=0
x=-1 x=-2('2-1)
⑵ i
-x¤ +3ix-4=0, x¤ -3ix+4=0
(x+i)(x-4i)=0
x=-i x=4i
답⃞ ⑴ x=-1 x=-2('2-1)
⑵ x=-i x=4i
04-2 1-i
2x¤ -(1-i)¤ x+4=0
x¤ +ix+2=0
(x+2i)(x-i)=0
x=-2i x=i
ai, bi
a=-2, b=1 a=1, b=-2
a¤ +b¤ =5 답⃞ 5
04-3 x x='3x¤ -x+x='3x¤ ,
x 2=2'3x-x+2=(2'3-1)x+2
(x x)-3(x 2)+9'3-3=0
'3x¤ -3{(2'3-1)x+2}+9'3-3=0
'3x¤ -(6'3-3)x+9'3-9=0
3x¤ -(18-3'3 )x+27-9'3=0
x¤ -(6-'3 )x+9-3'3=0
(x-3){x-(3-'3)}=0
x=3 x=3-'3
답⃞ x=3 x=3-'3
05-1 ⑴ 0 x
2 .
⁄ x<2 , x-2<0
¤ x¤ +x-2-4=0, x¤ +x-6=0
¤ (x+3)(x-2)=0
¤ x=-3 x=2
¤ x<2 x=-3
¤ xæ2 , x-2æ0
¤ x¤ -x+2-4=0, x¤ -x-2=0
¤ (x+1)(x-2)=0
x=-1 x=2
¤ xæ2 x=2
x=-3 x=2
⑵ x¤ -2x+[x]=0
⁄ -3…x<-2 , [x ]=-3
¤ x¤ -2x-3=0, (x+1)(x-3)=0
¤ x=-1 x=3
¤ -3…x<-2 .
¤ -2…x<-1 , [x ]=-2
¤ x¤ -2x-2=0 x=1—'3
¤ -2…x<-1 .
‹ -1…x<0 , [x ]=-1
¤ x¤ -2x-1=0 x=1—'2
¤ -1…x<0 x=1-'2
x=1-'2
답⃞ ⑴ x=-3 x=2 ⑵ x=1-'2
05-2 2[x] ¤ -5[x]+2=0
(2[x]-1)([x]-2)=0
[x ]=;2!; [x ]=2
[x ] [x ]=2
2…x<3 답⃞ 2…x<3
05-3 x¤ =|x-1|+"çx¤
x¤ =|x-1|+|x|
0 x 0, 1
.
⁄ x<0 , x-1<0, x<0
x¤ =-(x-1)-x, x¤ +2x-1=0
x=-1—'2
x<0 x=-1-'2
¤ 0…x<1 , x-1<0, xæ0
x¤ =-(x-1)+x, x¤ =1
x=—1
0…x<1 .
‹ xæ1 , x-1æ0, x>0
x¤ =x-1+x, x¤ -2x+1=0
(x-1)¤ =0 x=1
x=-1-'2 x=1
-1-'2+1=-'2 답⃞ -'2
06-1xm
(20-x)m
.
(20-x)¤ =225
20-x
20-xx
x
근의 공식을 이용하여
x의값을구하면
x=
=
=-(2'2-1)—(3-2'2)
2
-(2'2-1)—('9-'8)2
-(2'2-1)—øπ17-2'∂722
x¤ 의 계수를 유리수로고치기위해양변에
'3을곱한다.
[x ]=n (n은정수)➞ n…x<n+1
이차항의 계수가 무리수
인이차방정식은
(a+'b )(a-'b )=a¤ -b임을 이용하여 이차항의
계수를유리화한다.
이차항의 계수가 허수인
이차방정식은
(a+bi)(a-bi)=a¤ +b¤임을 이용하여 이차항의
계수를실수화한다.
우공비
88
20-x=—15
x=35 x=5
x<20 x=5 .
5m .
답⃞ 5m
06-2 44 n
=44 (næ4)
n(n-3)=88
n¤ -3n-88=0
(n+8)(n-11)=0
n=-8 n=11
næ4 n=11 .
11 . 답⃞ 11
06-3 a x%
a{1+;10{0;}
x%
a{1+;10{0;}{1-;10{0;} yy
9%
a{1+;10{0;}{1-;10{0;}=a{1-;10(0;}
1- =1-;10(0;
x¤ =900 x=—30
x>0 x=30 . 답⃞ 30
x¤10000
n(n-3)2
31 이차방정식의판별식
익히기 |
11 ⑴ =(-'2 )¤ -1¥2=0 .
⑵ D=(-5)¤ -4¥1¥5=5>0
.
⑶ =(-2)¤ -2¥5=-6<0
.
⑷ D=0¤ -4¥3¥5=-60<0
.
답⃞ ⑴ ⑵
답⃞ ⑶ ⑷
D4
D4
유제 |
07-1 (a-1)x¤ +x-2=0 x
a-1+0 a+1 yy
D=1¤ -4(a-1)¥(-2)æ0
8a-7æ0 aæ;8&; yy
, ;8&;…a<1 a>1
a 2 . 답⃞ 2
주의 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, 서로 다른 두 실근
을가질조건은 D>0이고, 실근을가질조건은 Dæ0이다.
07-2 x¤ +2(k-a)x+(k-1)¤ -4b=0
=(k-a)¤ -{(k-1)¤ -4b}=0
k¤ -2ak+a¤ -k¤ +2k-1+4b=0
2k-2ak+a¤ +4b-1=0
(2-2a)k+(a¤ +4b-1)=0
k
D4
22 =(k-1)¤ -(k+5)
=k¤ -3k-4
=(k+1)(k-4)
⑴ =(k+1)(k-4)>0
⑴ k<-1 k>4
⑵ =(k+1)(k-4)=0
⑴ k=-1 k=4
⑶ =(k+1)(k-4)<0
⑴ -1<k<4
답⃞ ⑴ k<-1 k>4
답⃞ ⑵ k=-1 k=4
답⃞ ⑶-1<k<4
33
D=(-m)¤ -4(2m-3)=0
m¤ -8m+12=0, (m-2)(m-6)=0
m=2 m=6
답⃞ m=2 m=6
D4
D4
D4
D4
큰 정사각형의 한 변
의길이가 20m이므로x<20이다.
n각형의 대각선의 총
개수
➞ (næ4)n(n-3)
2
a {1+ }
-a {1+ }¥
=a {1+ }{1- }x100
x100
x100
x100
x100
계수가 실수인 이차방정
식의 판별식을 D라 할
때
①D>0 HjjK 서로 다른두실근
②D=0 HjjK 중근③D<0 HjjK 서로 다른두허근
이차식 ax¤ +bx+c가완전제곱식이면
b¤ -4ac=0이다.
k에 대한 항등식이므
로 pk+q=0에서p=0, q=0이다.
우공비
89
Ⅳ
방정식과
부등식
본책213 218쪽
⁄ a=2 , k=1
¤ a=-3 , k=-;9!;
k k=1 , x=2
. 답⃞ k=1, 2
09-1 b(1+x¤ )+2cx+a(x¤ -1) x
(a+b)x¤ +2cx+(b-a)
=c¤ -(a+b)(b-a)=0
c¤ -b¤ +a¤ =0
a¤ +c¤ =b¤
a, b, c
B=90° .
ABC=;2!;¥a¥c= 답⃞ ⑤
09-2x¤ -2(a+b+c)x+2(ab+bc+ca+a¤ )
=(a+b+c)¤ -2(ab+bc+ca+a¤ )=0
b¤ +c¤ -a¤ =0
b¤ +c¤ =a¤
= =1 답⃞ 1
09-3 x¤ +ky¤ -2xy+6x-4y+5 x
x¤ +2(3-y)x+ky¤ -4y+5
x x¤ +2(3-y)x+ky¤ -4y+5=0
x=-(3-y)—æ≠
{ , =(3-y)¤ -(ky¤ -4y+5)}
D y
=(3-y)¤ -(ky¤ -4y+5)
=9-6y+y¤ -ky¤ +4y-5
=(1-k)y¤ -2y+4
y (1-k)y¤ -2y+4=0
D'
=(-1)¤ -4(1-k)=0
4k=3 k=;4#; 답⃞ ;4#;
D'4
D4
D4
D4
a¤a¤
b¤ +c¤a¤
D4
ac2
D4
2-2a=0, a¤ +4b-1=0
a=1, b=0
답⃞ a=1, b=0
07-3 x¤ +ax+b=0 D¡
D¡=a¤ -4b<0
x¤ -(a-2)x+(b-a+1)=0
D™
D™=(a-2)¤ -4(b-a+1)
=a¤ -4b<0
x¤ -(a-2)x+(b-a+1)=0
.
답⃞
08-1 a
a¤ +5(1-2i)a+k+10i=0
(a¤ +5a+k)+(10-10a)i=0
a, k
a¤ +5a+k=0, 10-10a=0
a=1, k=-6
k -6 . 답⃞ -6
08-2 x¤ +2(2a-i)x+(3i-b)=0
=(2a-i)¤ -(3i-b)=0
4a¤ -4ai-1-3i+b=0
(4a¤ +b-1)-(4a+3)i=0
a, b
4a¤ +b-1=0, 4a+3=0
a=-;4#;, b=-;4%;
a+b=-;4#;+{-;4%;}=-2
답⃞ -2
08-3 a
(1+ki)a¤ +(1-i)a-6-2i=0
(a¤ +a-6)+(ka¤ -a-2)i=0
k, a
a¤ +a-6=0, ka¤ -a-2=0
a¤ +a-6=0 (a-2)(a+3)=0
a=2 a=-3
D4
계수가 허수인 이차방정
식이 서로 같은 두 근을
가지므로 판별식 D=0임을 이용한 후 두 복소
수가 서로 같을 조건을
이용한다.
이차식이두일차식의곱
으로 인수분해되려면 판
별식이완전제곱식이어야
한다.
우공비
90
32 이차방정식의근과계수의관계
익히기 |
유제 |
10-1a+b=-1, ab=-4
. a¤ b+ab¤ =ab(a+b)
=(-4)¥(-1)=4
. + = =
= =-;4(;
. a‹ +b‹ =(a+b)‹ -3ab(a+b)
=(-1)‹ -3¥(-4)¥(-1)
=-13
. + =
=
= =-5
, . 답⃞ ,
10-2a+b=-1, ab=2
(a¤ -a+1)(b¤ -b+1)
=(ab)¤ -a¤ b+a¤ -ab¤ +ab-a+b¤ -b+1
=(ab)¤ -ab(a+b)+(a¤ +b¤ )-(a+b)
=+ab+1
=2¤ -2¥(-1)+(-3)-(-1)+2+1
=7 답⃞ 7
10-3a+b=5
a
a¤ -5a+10=0 a¤ =5a-10
a¤ +5b=5a-10+5b
=5(a+b)-10
=5¥5-10=15 답⃞ 15
11-1 ⑴ 2a, 3a (a+0)
2a+3a=m+1 m=5a-1 yy
2a¥3a=m m=6a¤ yy
, 5a-1=6a¤ , 6a¤ -5a+1=0
(3a-1)(2a-1)=0
a=;3!; a=;2!;
m ;3@; ;2#; .
9-(-1)-4-(-1)+1
a¤ +b¤ -(a+b)ab-(a+b)+1
b(b-1)+a(a-1)(a-1)(b-1)
ab-1
ba-1
(-1)¤ -2¥(-4)-4
(a+b)¤ -2abab
a¤ +b ¤ab
ab
ba
11 ⑴ x¤ -4x+6=0
( )=4, ( )=6
⑵ 2x¤ +3x-8=0
( )=-;2#;, ( )=-4
답⃞ ⑴ 4, 6
답⃞ ⑵ -;2#;, -4
22 ⑴ (x+2)(x-5)=0
x¤ -3x-10=0
⑵ 6{x-;3@;}{x-;2!;}=0
⑵ 6x¤ -7x+2=0
답⃞ ⑴ x¤ -3x-10=0
⑵ 6x¤ -7x+2=0
33 ⑴ x¤ +10=0 x=—'∂10i
(x+'∂10i)(x-'∂10i)
⑵ x¤ -5x+7=0
⑵ x= =
⑵ {x- }{x- }
답⃞ ⑴ (x+'∂10i)(x-'∂10i)
답⃞ ⑵ {x- }{x- }
44 ⑴ a, b x¤ +ax+b=0
1+'3 1-'3 .
⑵
⑵ (1+'3 )+(1-'3 )=-a,
(1+'3 )(1-'3 )=b
⑵ a=-2, b=-2
⑵ a, b x¤ +ax+b=0
3-2i 3+2i .
⑵
⑵ (3-2i)+(3+2i)=-a,
(3-2i)(3+2i)=b
⑵ a=-6, b=13
답⃞ ⑴ a=-2, b=-2 ⑵ a=-6, b=13
5-'3 i2
5+'3 i2
5-'3 i2
5+'3 i2
5—'3 i2
5—øπ(-5)¤ -4¥1¥72
이차방정식
ax¤ +bx+c=0에서
①두근의합：-;aB;
②두근의곱：;aC;
두 수 a, b를 근으로 갖고 x¤의계수가 a인이차방정식
➞ a(x-a)(x-b)=0
(이차식)=0으로 놓고
근의공식을이용하여이
차방정식의근을구한후
이차식을인수분해한다.
a¤ +b¤=(a+b)¤ -2ab=(-1)¤ -2¥(-4)=9
a¤ +b¤=(a+b)¤ -2ab=(-1)¤ -2¥2=-3
두근의비가m : n➞ma, na두근의차가m➞ a, a+m한 근이 다른 근의 m배
➞ a, ma
a=;3!;일때, ㉡에서
⋯m=6{;3!;}¤ =;3@;
a=;2!;일때, ㉡에서
⋯m=6{;2!;}¤ =;2#;
우공비
91
Ⅳ
방정식과
부등식
본책220 224쪽
x¤ +3x+2=0
(x+1)(x+2)=0 a=-1
x¤ +x-12=0
(x-3)(x+4)=0 b=-4
-1, -4 x¤ 1
x¤ +5x+4=0 답⃞ x¤ +5x+4=0
12-3 f(x)=0 a, b
f(a)=0, f(b)=0 f(x)=a(x-a)(x-b)
2a+3, 2b+3
a(x-2a-3)(x-2b-3)=0
4
a{ -a}{ -b}=0
f { }=0 답⃞ ④
13-1 m, n
x¤ +mx+n=0 øπ4-2'3='3-1
-'3-1 .
('3-1)+(-'3-1)=-m,
('3-1)(-'3-1)=n
m=2, n=-2 yy
x¤ +(2m+1)x-3n=0
x¤ +5x+6=0, (x+3)(x+2)=0
x=-3 x=-2
답⃞ x=-3 x=-2
13-2 p, q x¤ +px+q=0
=2+i 2-i .
(2+i)+(2-i)=-p, (2+i)(2-i)=q
p=-4, q=5
-;4!;, ;5!; x¤ 20
20[x¤ -{-;4!;+;5!;}x-;2¡0;]=0
1+3i1+i
x-32
x-32
x-32
⑵
a+b=a, ab=9
+ =2
+ = = =2
a=18
답⃞ ⑴ ;3@; ;2#; ⑵ 18
11-2 a, 4a`(a+0)
a+4a=3k+1 5a=3k+1 yy
a¥4a=16 a¤ =4 yy
a=—2
⁄ a=2 , k=3
¤ a=-2 , k=-;;¡3¡;;
k k=3 답⃞ 3
11-3 x¤ -mx+4=0 a, b
a+b=m, ab=4 yy
x¤ -3x-2n=0 a+b, ab
(a+b)+ab=3, (a+b)ab=-2n yy
m+4=3, 4m=-2n
m=-1, n=2
mn=(-1)¥2=-2 답⃞ -2
12-1 x¤ -10x+26=0
a+b=10, ab=26
a+1, b+1
(a+1)+(b+1)=a+b+2=12,
(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=37
a+1, b+1 x¤ 1
x¤ -12x+37=0 답⃞ x¤ -12x+37=0
12-2 x¤ +ax+b=0 -2
4-2a+b=0
2a-b=4 yy
x¤ +(b-1)x-4a=0 3
9+3b-3-4a=0
4a-3b=6 yy
, a=3, b=2
a9
a+bab
1b
1a
1b
1a
f(x)=0 a , f(ax+b)=0
aa+b ax+b=a x= .a-ba
보충학습f { }=0에두근
x=2a+3, x=2b+3을각각대입하면
⋯f(a)=0, f(b)=0이 성립함을 알 수 있
다.
x-32
=
=2+i
4+2i2
(1+3i)(1-i)(1+i)(1-i)
20{x¤ +;2¡0;x-;2¡0;}=0
20x¤ +x-1=0
a=1, b=-1 a+b=0
답⃞ 0
13-3x x’ .
x+x’=1, xx ’=4
zzÆ= ¥
=
= =;3@; 답⃞ ;3@;4-1+14+1+1
xx ’-(x+x ’ )+1xx ’+x+x’+1
x’-1x’+1
x-1x+1
33 이차방정식의실근의부호
익히기 |
11 x¤ +(k-2)x-k+5=0 a,
b
D=(k-2)¤ -4(-k+5)
=k¤ -4k+4+4k-20
=k¤ -16
a+b=-k+2, ab=-k+5
⑴ ⁄ D=k¤ -16æ0 k…-4 kæ4
⑴ ¤ a+b=-k+2>0 k<2
⑴ ‹ ab=-k+5>0 k<5
⑴ k…-4
⑵ ⁄ D=k¤ -16æ0 k…-4 kæ4
⑴ ¤ a+b=-k+2<0 k>2
⑴ ‹ ab=-k+5>0 k<5
⑴ 4…k<5
⑶ ab=-k+5<0 k>5
답⃞ ⑴ k…-4 ⑵ 4…k<5 ⑶ k>5
우공비
92
유제 |
a+b=-(5-2a)>0 a>;2%; yy
,
;2%;<a<4 답⃞ ;2%;<a<4
14-2 a, b
ab=2-k<0 k>2
k 3 m=3
⁄ =(-2'∂k )¤ -(2-k)æ0 kæ;5@;
¤ a+b=-4'k<0 k>0
‹ ab=2-k>0 k<2
;5@;…k<2
k 1 M=1
m+M=3+1=4 답⃞ 4
14-3 ax+by+c=0 y=-;bA;x-;bC;
-;bA;>0, -;bC;<0
;bA;<0, ;bC;>0 yy
bx¤ +ax-c=0
D=a¤ +4bc>0
( )=-;bA;>0
( )=-;bC;<0
. .
. D>0 .
. ( )<0 .
, .
답⃞ ,
D4
직선 y=mx+n의성질
m ➞̀
m>0 x y .
m<0 x y .
n ➞̀ y
n>0 y .
n<0 y .
보충학습
① z¡+z™”=z¡’+z™’
② z¡-z™”=z¡’-z™’
③ z¡z™”=z¡’¥z™’
④ { }”=
z¡’z™’
z¡z™
①두 근의 부호가 서로
다르다.⋯ ̀➞ ab<0② |양의근|=|음의근|⋯ ̀➞ a+b=0③ |양의근|>|음의근|⋯ ➞ a+b>0④ |양의근|<|음의근|⋯ ➞ a+b<0
14-1 a, b
ab=a-4<0 a<4 yy
(기울기)>0,(y절편)<0이므로
-;bA;>0, -;bC;<0
a¤ æ0이고bc>0이므로⋯a¤ +4bc>0
우공비
93
Ⅳ
방정식과
부등식
본책224 228쪽
04 ax¤ +bx+c=0 a, b
a+b=-;aB;, ab=;aC; .
a+b=;2%;, ab=;2!;
a¤ b+ab¤ =ab(a+b)
=;2!;¥ ;2%;=;4%; 답⃞ ;4%;
05 a, b
a(x-a)(x-b)=0 (a+0) .
a+b=-;3@;, ab=;3!;
,
+ = =-2
¥ = =3
, x¤ 1
x¤ +2x+3=0 답⃞①
06 a, b
ab<0, a+b=0 .
x¤ -(a¤ +3a-4)x+a+1=0 a, b
a, b
ab=a+1<0
a<-1 yy ⋯ 40`̀%
a, b
a+b=a¤ +3a-4=0
(a+4)(a-1)=0
a=-4 a=1 yy ⋯ 40`̀%
, a
a=-4 20`̀%
07 x ax=b
a=0, b+0 .
A={x|m¤ x-m=x+1}=Δ x
m¤ x-m=x+1 .
전략
전략
1b
1a
1ab
1b
1a
a+bab
1b
1a
1b
1a
전략
전략종합문제 |
01 1 02 ③ 03① 04 ;4%; 05①
06 -4 07④ 08② 09 4-2'3 10③
11 12③ 13 ;4!; 14 72
15⑤ 16 20 17② 18③ 19 0 20⑤
21③ 22③ 23①
01 0 x
x .
|x|+|x-1|=2
0 x 0, 1 .
⁄ x<0 , x<0, x-1<0
-x-(x-1)=2, -2x=1
x=-;2!;
¤ 0…x<1 , xæ0, x-1<0
x-(x-1)=2
0¥x=1 .
‹ xæ1 , x>0, x-1æ0
x+x-1=2, 2x=3
x=;2#;
x=-;2!; x=;2#;
-;2!;+;2#;=1 답⃞ 1
02 '2+1
.
('2-1)x¤ -('2+1)x+2=0
'2+1
x¤ -('2+1)('2+1)x+2('2+1)=0
x¤ -(3+2'2 )x+2'2+2=0
(x-1)(x-2-2'2 )=0
x=1 x=2+2'2 답⃞③
03 ax¤ +bx+c=0
b¤ -4ac=0 .
A={x|x¤ +2(k+1)x+3=0} n(A)=1
x¤ +2(k+1)x+3=0 .
D=0
=(k+1)¤ -3=0
k¤ +2k-2=0
k
-2 . 답⃞①
D4
전략
전략
전략
ax¤ +bx+c=0 a, b ,
, ax¤ +bx+c=0
x¤ a+ =0 x
. cx¤ +bx+a=0 .
1x
cx¤
bx
1b
1a
보충학습
aa ¤ +ba+c=0에서양변을 a¤으로나누면
a+ + =0, 즉
은 cx¤ +bx+a=0
의한근이다.
1a
ca¤
ba
집합 A의 원소의 개
수가 1이므로 이차방
정식은 서로 같은 두
실근, 즉 중근을 갖는다.
방정식 ax=b의해⁄ a+0일때,
⁄ x=;aB;
¤ a=0, b=0일때,해가무수히많다.
‹ a=0, b+0일때,해가없다.
(m¤ -1)x=m+1
(m+1)(m-1)x=m+1
⁄ m+-1, m+1 , x=
¤ m=-1 , 0¥x=0 .
‹ m=1 , 0¥x=2 .
A=Δ , m=1 답⃞④
08 x¤ +kx+6=0 2
x=2 .
x¤ +kx+6=0 2 x=2
2¤ +2k+6=0 k=-5
k=-5
x¤ -5k+6=0, (x-2)(x-3)=0
x=2 x=3
3 a=3
k+a=-5+3=-2 답⃞②
x¤ +kx+6=0 2, a
2+a=-k, 2a=6
a=3, k=-5
k+a=-2
09 BP”=x CP”=CQ”=2-x .
BP”=x
CP”=CQ”=2-x
APQ
AP”=PQ”
AP” ¤ =PQ” ¤
2¤ +x¤ =(2-x)¤ +(2-x)¤
x¤ -8x+4=0
x=4—2'3
0<x<2 x=4-2'3 . 답⃞ 4-2'3
10 ax¤ +bx+c=0
b¤ -4ac=0 .
x¤ +2(k+a)x+k¤ +k+b=0
D=0 .
=(k+a)¤ -(k¤ +k+b)
=(k¤ +2ak+a¤ )-(k¤ +k+b)
=(2a-1)k+(a¤ -b)=0
k
2a-1=0, a¤ -b=0
a=;2!;, b=;4!;
D4
전략
B C
A D
P
Q
2-x
2-x
x
2
전략
다른 解
전략
1m-1
우공비
94
aæ0, b<0이므로⋯a¤ -4b>0
삼각형 ABP와 삼각
형 PCQ는 직각삼각
형이므로 피타고라스
의정리를이용한다.
a+b=;2!;+;4!;=;4#; 답⃞③
11 =-æ≠ aæ0, b<0 .
0 a, b
=-æ≠ aæ0, b<0 . 30`̀%
x¤ +ax+b=0 D
D=a¤ -4b>0 50`̀%
x¤ +ax+b=0 .
20`̀%
12 ( 1 )_( )
=( ) .
1000{1+ }_1000{1- }=1000000{1-;1¡0§0;}
{1+ }{1- }=;1•0¢0;
1- + - =;1•0¢0;
20000-100x-3x¤ =16800
3x¤ +100x-3200=0
(x-20)(3x+160)=0
x=20 ( x>0) 답⃞③
13 3 : 4 3a, 4a (a+0)
.
x¤ -{k+;2!;} x+k=0 3 : 4
3a, 4a (a+0)
3a+4a=k+;2!; yy
3a¥4a=k yy
7a=12a¤ +;2!;, 24a¤ -14a+1=0
(2a-1)(12a-1)=0
a=;2!; a=;1¡2;
k=3 k=;1¡2;
k
3¥ ;1¡2;=;4!; 답⃞ ;4!;
14 a, b
a(x-a)(x-b)=0 (a+0) .
3 , 1, 2
3(x-1)(x-2)=0, 3x¤ -9x+6=0
전략
전략
3x¤20000
x100
3x200
3x200
x100
3x200
x100
전략
ab
'∂a'∂b
ab
'∂a'∂b
전략
우공비
95
Ⅳ
방정식과
부등식
본책228 230쪽
f(2x+1)=0
2x+1=a 2x+1=b
x= x=
f(2x+1)=0 ,
¥ =
= =;2!; 답⃞②
18 a, b
ab<0 ,
a+b<0 .
a, b
ab=a<0 yy
a+b=a¤ -1<0
-1<a<1 yy
-1<a<0 답⃞③
19 a+bi (a,
b ) a-bi .
x¤ +mx+n=0 (m, n ) 2+i
2-i .
(2+i)+(2-i)=-m, (2+i)(2-i)=n
m=-4, n=5
-;4!;, ;5!;
{x+;4!;}{x-;5!;}=0, x¤ +;2¡0;x-;2¡0;=0
a=;2¡0;, b=-;2¡0;
a+b=0 답⃞ 0
20 ax¤ +bx+c=0 a, b
a+b=-;aB;, ab=;aC; .
x¤ +px+q=0 a, b
a+b=-p, ab=q
x¤ -qx+p=0 a-3, b-3
전략
전략
전략
3-2+14
ab-(a+b)+14
b-12
a-12
b-12
a-12
b-12
a-12
b ⋯⋯b=6 40`%
3 , -1, 3
3(x+1)(x-3)=0, 3x¤ -6x-9=0
a ⋯⋯a=-6 40`%
a¤ +b¤ =(-6)¤ +6¤ =72 20`%
3x¤ +ax+b=0 b
1, 2
;3B;=1¥2 b=6
3x¤ +ax+b=0 a -1, 3
-;3A;=-1+3 a=-6
a¤ +b¤ =(-6)¤ +6¤ =72
15 f(x)=x¤ +ax+b
a, b .
x¤ +3x+1=0 a, b
a+b=-3, ab=1
f(x)=x¤ +ax+b
f(a)=a¤ +aa+b=3 yy
f(b)=b ¤ +ab+b=3 yy
- a¤ -b¤ +a(a-b)=0
(a-b)(a+b)+a(a-b)=0
(a-b)(a+b+a)=0
a+b a+b+a=0 a=3
f(1)=1+a+b=1 b=-3
f(x)=x¤ +3x-3
f(2)=4+6-3=7 답⃞ ⑤
16 ax¤ +bx+c=0 a, b
a+b=-;aB;, ab=;aC; .
3⁄ =3, 3¤ =9, 3‹ =27, 3› =81, 3fi =243, y
31001 10 3 .
k=3
x¤ -4x+2=0 a, b
a+b=4, ab=2
+ = =
= =20 답⃞ 20
17 f(x)=0 a, b
f(a)=0, f(b)=0 .
f(x)=0 a, b f(a)=0, f(b)=0
.
전략
4‹ -3¥2¥42
(a+b)‹ -3ab(a+b)ab
a‹ +b‹ab
b ¤a
a¤b
전략
전략
다른 解
어떤 수를 10으로 나눈 나머지는 일의 자
리의숫자와같고,3« (n은 자연수)의 일의 자리의 숫자는 3,9, 7, 1이반복되므로31001=34¥250+1의 일의
자리의숫자는 3이다.
이차방정식
x¤ +3x+1=0에서D=3¤ -4>0이므로서로 다른 두 실근을
갖는다.
이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이면이차방정식
f(ax+b)=0의두근은
x= 또는
x=b-ba
a-ba
(a-3)+(b-3)=q, (a-3)(b-3)=p
(a+b)-6=q -p-6=q
p+q=-6 yy
ab-3(a+b)+9=p q+3p+9=p
2p+q=-9 yy
p=-3, q=-3
pq=(-3)¥(-3)=9 답⃞ ⑤
21 P P(t, 2t+2)
PAH t .
A A(-1, 0) ,
P P(t, 2t+2)
H(t, 0)
t>-1 ,
PAH=;2!;(t+1)(2t+2)
PAH=(t+1)¤
t<-1 ,
PAH=;2!;(-1-t)(-2t-2)
PAH=(t+1)¤
PAH 5
(t+1)¤ =5, t¤ +2t-4=0
x a, b
ab=-4 답⃞ ③
22 a, b
ab<0 .
x¤ +(m-1)x+m-2=0 (m )
D=(m-1)¤ -4(m-2)
=m¤ -6m+9
=(m-3)¤ æ0
m .
. a b
ab=m-2<0 m<2
. ⁄ a b ,
a+b=-(m-1)>0 m<1
ab=m-2>0 m>2
m<1, m>2 m .
a b .
. ¤ a b ,
a+b=-(m-1)<0 m>1
ab=m-2>0 m>2
전략
x
y y=2x+2
O-1 HA
2
P
전략
우공비
96
. a b m
m>2 .
. a¤ =b¤ a=b a=-b
. ⁄ a=b ,
x¤ +(m-1)x+m-2=0
D=(m-3)¤ =0 m=3
. ¤ a=-b ,
a+b=0
a+b=-(m-1)=0 m=1
. a¤ =b¤ m=3 m=1 .
, . 답⃞ ③
23 AD”=x x .
x .
x¤ ;4#;
;2!; {x+(x+4)}(x-1)=;4#;x¤
x¤ +4x-8=0, x=-2—2'3
x=-2+2'3 ( x>0) 답⃞ ①
1
x-1
xA D
B C
1
x+4
전략
윗변의길이가 a, 아랫변의길이가 b, 높이가h인 사다리꼴의 넓이
S는
⋯S=;2!;(a+b)h
a, b의 부호가 서로
같으면
⁄ 부호가모두양
¤ 부호가모두음
의 두 가지 경우가 있
다.
완전제곱식을 이용한
이차방정식의 풀이를
이용할수도있다.
⋯(t+1)¤ =5⋯HjjK t+1=—'5⋯∴ t=-1—'5
97
Ⅳ
방정식과
부등식
본책230 233쪽
34 삼차방정식과사차방정식
우공비
익히기 |
⑵
(x-1)(x-2)(2x+3)=0
⑵ x=1 x=2 x=-;2#;
⑶ f(x)=x› +x‹ -x¤ -7x-6
f(-1)=1-1-1+7-6=0,
f(2)=16+8-4-14-6=0
⑵ f(x)
⑵ f(x)=(x+1)(x-2)(x¤ +2x+3)
⑵
(x+1)(x-2)(x¤ +2x+3)=0
⑵ x=-1 x=2 x=-1—'2i
⑷ f(x)=x› +2x¤ -8x+5
f(1)=1+2-8+5=0
⑵ f(x)
⑵ f(x)=(x-1)¤ (x¤ +2x+5)
⑵
(x-1)¤ (x¤ +2x+5)=0
⑵ x=1 x=-1—2i
답⃞
33 ⑴ x¤ +3x=t
⑴ t¤ -2t-8=0
⑴ (t+2)(t-4)=0
t=-2 t=4
⑴ ⁄ t=-2 , x¤ +3x+2=0
(x+2)(x+1)=0
x=-2 x=-1
⑴ ¤ t=4 , x¤ +3x-4=0
1 1 0 2 -8 -5
1 1 -3 -5
1 1 1 3 -5 -0
1 2 -5
1 2 5 -0
-1 1 -1 -1 -7 -6
-1 -0 -1 -6
-2 1 -0 -1 -6 -0
-2 -4 -6
1 -2 -3 -0
다항식 f(x)가일차식x-a로 나누어떨어지기
위한필요충분조건은
⋯f(a)=0
고차방정식11
① a¤ —2ab+b¤=(a—b)¤② a¤ -b¤=(a-b)(a+b)③ x¤ +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)④ a‹ —b‹=(a—b)(a¤ –ab+b¤ )
11 ⑴ x‹ +8=0
⑴ (x+2)(x¤ -2x+4)=0
⑴ x=-2 x=1—'3i
⑵ x‹ -4x¤ +3x=0
x(x¤ -4x+3)=0
x(x-1)(x-3)=0
x=0 x=1 x=3
⑶ 16x› -1=0
(4x¤ -1)(4x¤ +1)=0
(2x-1)(2x+1)(4x¤ +1)=0
⑶ x=;2!; x=-;2!; x=—;2!; i
⑷ x› -x‹ -9x¤ +9x=0
x(x‹ -x¤ -9x+9)=0
x {x¤ (x-1)-9(x-1)}=0
x(x-1)(x¤ -9)=0
x(x-1)(x-3)(x+3)=0
x=0 x=1 x=3 x=-3
답⃞
22 ⑴ f(x)=x‹ -4x¤ +6x-4
f(2)=8-16+12-4=0
⑴ f(x)
⑴ f(x)=(x-2)(x¤ -2x+2)
(x-2)(x¤ -2x+2)=0
x=2 x=1—i
⑵ f(x)=2x‹ -3x¤ -5x+6
f(1)=2-3-5+6=0
⑵ f(x)
⑵ f(x)=(x-1)(2x¤ -x-6)
=(x-1)(x-2)(2x+3)
1 2 -3 -5 -6
-2 -1 -6
2 -1 -6 -0
2 1 -4 -6 -4
-2 -4 -4
1 -2 -2 -0
공통부분이 있으면 공통
부분을한문자로치환한
다.
일반적으로 고차방정
식의 해는 복소수의
범위에서구한다.
f(x) ,
f(a)=0 a
—
.
( f(x) )( f(x) )
보충학습
f(x)를 x-1로 나누
었을 때의 몫을 Q(x)라하면
Q(x)=x‹+x¤+3x-5이때
Q(1)=1+1+3-5=0이므로 Q(x)는 x-1을인수로갖는다.
방정식과부등식Ⅳ
우공비
98
유제 |
(x+4)(x-1)=0
x=-4 x=1
⑵ x=-4 x=-2 x=-1
x=1
⑵ x¤ +x=t
⑴ (t-3)(t+2)+4=0
⑴ t¤ -t-2=0
(t+1)(t-2)=0
t=-1 t=2
⑴ ⁄ t=-1 , x¤ +x+1=0
⑴ ⁄ x=
⑴ ¤ t=2 , x¤ +x-2=0
(x+2)(x-1)=0
x=-2 x=1
⑴ x=-2 x=1
⑴ x= 답⃞
44 ⑴ x¤ =t
t¤ +t-12=0
(t+4)(t-3)=0
t=-4 t=3
x¤ =-4 x¤ =3
x=—2i x=—'3
⑵
(x› +6x¤ +9)-4x¤ =0
(x¤ +3)¤ -(2x)¤ =0
(x¤ +2x+3)(x¤ -2x+3)=0
⁄ x¤ +2x+3=0 x=-1—'2i
¤ x¤ -2x+3=0 x=1—'2i
x=-1—'2i x=1—'2i
답⃞ ⑴ x=—2i x=—'3
답⃞ ⑵ x=-1—'2i x=1—'2i
55 ⑴ 2 x=2
8-12+2a+6=0, 2a=-2
a=-1
⑵ x‹ -3x¤ -x+6=0
2
⑵ (x-2)(x¤ -x-3)=0
2 1 -3 -1 -6
-2 -2 -6
1 -1 -3 -0
-1—'3i2
-1—'3i2
⑵ x=2 x=
⑵ .
답⃞ ⑴ -1 ⑵1—'∂13
2
1—'∂132
1—'∂132
복이차방정식은 x¤ =t로치환한 후 인수분해하여
푼다. 인수분해가 되지
않으면 주어진 방정식을
A¤ -B¤ =0 꼴로 변형하여푼다.
x=a가방정식
f(x)=0의근이면f(a)=0이다.
공통부분이 생기도록 식
을변형한후공통부분을
치환한다.
01-1 ⑴ (x¤ +2x)¤ =2x¤ +4x+3
⑴ (x¤ +2x)¤ =2(x¤ +2x)+3
⑴ x¤ +2x=t
⑴ t¤ =2t+3
⑴ t¤ -2t-3=0
⑴ (t+1)(t-3)=0
⑴ t=-1 t=3
⑴ ⁄ t=-1 , x¤ +2x+1=0
⑴ ⁄ (x+1)¤ =0 x=-1
⑴ ¤ t=3 , x¤ +2x-3=0
⑴ ⁄ (x+3)(x-1)=0
⑴ ⁄ x=-3 x=1
⑴ x=-3 x=-1 x=1
⑵ (x-1)(x-2)(x+3)(x+4)=84
⑴ {(x-1)(x+3)}{(x-2)(x+4)}-84=0
(x¤ +2x-3)(x¤ +2x-8)-84=0
⑴ x¤ +2x=t
(t-3)(t-8)-84=0
t¤ -11t-60=0
(t+4)(t-15)=0
t=-4 t=15
⑴ ⁄ t=-4 , x¤ +2x+4=0
⑴ ⁄ x=-1—'3i
⑴ ¤ t=15 , x¤ +2x-15=0
⑴ ⁄ (x+5)(x-3)=0
⑴ ⁄ x=-5 x=3
⑴ x=-5 x=3 x=-1—'3i
답⃞
01-2 x¤ -3x=t
t¤ -8t-20=0, (t+2)(t-10)=0
t=-2 t=10
⁄ t=-2 , x¤ -3x+2=0
(x-1)(x-2)=0
x=1 x=2
네 일차식의 곱을 공
통부분이 생기도록 두
개씩 짝을 지어 전개
할 때에는 두 이차식
의 일차항의 계수가
같아지도록 짝을 짓는
다.
우공비
99
Ⅳ
방정식과
부등식
본책233 235쪽
⁄ t=-;;¡3º;; , x+;[!;+;;¡3º;;=0
⁄ 3x¤ +10x+3=0
⁄ (3x+1)(x+3)=0
⁄ x=-;3!; x=-3
¤ t=;2%; , x+;[!;-;2%;=0
¤ 2x¤ -5x+2=0
¤ (2x-1)(x-2)=0
¤ x=;2!; x=2
{-;3!;}¥(-3)¥;2!;¥2=1 답⃞ 1
02-2 x+0 x¤
x¤ +2x+3+;[@;+ =0
x¤ + +2{x+;[!;}+3=0
{x+;[!;}¤ +2{x+;[!;}+1=0
x+;[!;=t t¤ +2t+1=0
(t+1)¤ =0 t=-1
t=-1 , x+;[!;+1=0
a
a+ +1=0
a+ =-1 답⃞ -1
02-3 f(x)=xfi +3x› +x‹ +x¤ +3x+1
f(-1)=-1+3-1+1-3+1=0
f(x)
f(x)=(x+1)(x› +2x‹ -x¤ +2x+1)
(x+1)(x› +2x‹ -x¤ +2x+1)=0
x=-1 x› +2x‹ -x¤ +2x+1=0
x+0 x› +2x‹ -x¤ +2x+1=0 x¤
1a
1a
1x¤
1x¤
¤ t=10 , x¤ -3x-10=0
(x+2)(x-5)=0
x=-2 x=5
x=-2 x=1 x=2 x=5
a=5, b=-2
a+b=5+(-2)=3 답⃞ 3
01-3 x(x+1)(x+2)(x+3)-3=0
{x(x+3)}{(x+1)(x+2)}-3=0
(x¤ +3x)(x¤ +3x+2)-3=0
x¤ +3x=t
t(t+2)-3=0, t¤ +2t-3=0
(t-1)(t+3)=0
t=1 t=-3
⁄ t=1 , x¤ +3x-1=0
D=3¤ -4¥1¥(-1)>0
.
¤ t=-3 , x¤ +3x+3=0
D=3¤ -4¥1¥3<0
.
x¤ +3x+3=0
. a, b
a+b=-3, ab=3
(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab
=(-3)¤ -4¥3
=9-12=-3 답⃞ -3
02-1 x+0 x¤
6x¤ +5x-38+;[%;+ =0
6{x¤ + }+5{x+;[!;}-38=0
6{x+;[!;}¤ +5{x+;[!;}-50=0
x+;[!;=t 6t¤ +5t-50=0
(3t+10)(2t-5)=0
t=-;;¡3º;; t=;2%;
1x¤
6x¤ 주어진 식에 x=0을
대입해 보면 6=0이되어모순이다. 따라서x+0이므로 양변을 x¤으로나눌수있다.
이차방정식
ax¤ +bx+c=0의 두 근이 a, b일때
⋯a+b=-;aB;, ab=;aC;
조립제법을 이용하여 주
어진방정식을
⋯(x+1)f(x)=0의꼴로나타낸다.
이차방정식의 판별식
을 이용하여 허근을
갖는 이차방정식을 찾
는다.
이차방정식의근의판별
①D>0 HjjK②D=0 HjjK③D<0 HjjK
보충학습
3x¤ +10x+3=0
1 , 2x¤ -5x+2=0 1
1_1=1 .
보충학습
-1 1 -3 -1 1 -3 -1
-1 -2 1 -2 -1
1 -2 -1 2 -1 -0
x¤ + ={x+ }¤ -2
={x- }¤ +2
1x
1x
1x¤
우공비
100
x¤ +2x-1+;[@;+ =0
x¤ + +2{x+;[!;}-1=0
{x+;[!;}¤ +2{x+;[!;}-3=0
x+;[!;=t t¤ +2t-3=0
(t+3)(t-1)=0
t=-3 t=1
⁄ t=-3 , x+;[!;+3=0
⁄ x¤ +3x+1=0 x=
¤ t=1 , x+;[!;-1=0
⁄ x¤ -x+1=0 x=
x=-1 x= x=
답⃞
1—'3 i2
-3—'52
1—'3 i2
-3—'52
1x¤
1x¤
35 삼차방정식의근의성질
익히기 |
11 ⑴ a+b+c=4
⑵ ab+bc+ca=3
⑶ abc=7
답⃞ ⑴ 4 ⑵ 3 ⑶ 7
22 ⑴ 1+(-2)+4=3
1¥(-2)+(-2)¥4+4¥1=-6
1¥(-2)¥4=-8
⑴ x‹ -3x¤ -6x+8=0
⑵ 5+(1-'3 )+(1+'3 )=7
5(1-'3 )+(1-'3 )(1+'3 )+5(1+'3 )=8
5(1-'3 )(1+'3 )=-10
⑴ x‹ -7x¤ +8x+10=0
⑶ = =1-i,
⑴ = =1+i
-1+(1-i)+(1+i)=1
-1¥(1-i)+(1-i)(1+i)+(1+i)¥(-1)=0
-1¥(1-i)(1+i)=-2
x‹ -x¤ +2=0
답⃞ ⑴ x‹ -3x¤ -6x+8=0
⑵ x‹ -7x¤ +8x+10=0
⑶ x‹ -x¤ +2=0
33 ⑴
4+3'2 4-3'2 .
⑴ -2, 4+3'2,
4-3'2
⑴ -2+(4+3'2 )+(4-3'2 )=-a
-a=6
⑴ -2(4+3'2)+(4+3'2 )(4-3'2)
+(4-3'2)¥(-2)=b
⑴ b=-18
⑴ -2(4+3'2 )(4-3'2 )=-c
⑴ -c=4
a=-6, b=-18, c=-4
⑵ 1-6i
1+6i .
⑴ 2, 1-6i, 1+6i
⑴ 2+(1-6i)+(1+6i)=-a
-a=4
⑴ 2(1-6i)+(1-6i)(1+6i)+(1+6i)¥2=b
b=41
⑴ 2(1-6i)(1+6i)=-c
-c=74
a=-4, b=41, c=-74
답⃞ ⑴ a=-6, b=-18, c=-4
⑵ a=-4, b=41, c=-74
2(1+i)(1-i)(1+i)
21-i
2(1-i)(1+i)(1-i)
21+i
계수가좌우대칭인고차방정식의풀이
ax› +bx‹ +cx¤ +bx+a=0
x+0 x¤ .
{x+;[!;}¤ , x+;[!; .
x+;[!;=t
axfi +bx› +cx‹ +cx¤ +bx+a=0
x=-1 (x+1)f(x)=0 .
f(x)=0
.
보충학습
세 근의 합, 두 근끼리의곱의 합, 세 근의 곱을
구하여 삼차방정식을 작
성한다.
계수가 유리수일 때, 한
근이 p+q'∂m이면 다른한근은 p-q'∂m이다.(단, p, q는유리수, q+0,'∂m은무리수)
계수가 실수일 때, 한 근
이 p+qi이면 다른 한
근은 p-qi이다.(단, p, q는 실수, q+0,i='∂-1 )
우공비
101
Ⅳ
방정식과
부등식
본책235 240쪽
유제 |
03-1a+b+c=-1, ab+bc+ca=-10, abc=-8
⑴ + + = = =;4%;
⑵ a¤ +b ¤ +c¤ =(a+b+c)¤ -2(ab+bc+ca)
=(-1)¤ -2¥(-10)=21
⋯⋯ a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤
⋯⋯ =(ab)¤ +(bc)¤ +(ca)¤
⋯⋯ =(ab+bc+ca)¤ -2(ab¤ c+bc¤ a+ca¤ b)
⋯⋯ =(ab+bc+ca)¤ -2abc(a+b+c)
⋯⋯ =(-10)¤ -2¥(-8)¥(-1)=84
⋯⋯ a› +b › +c›
⋯⋯ =(a¤ +b¤ +c¤ )¤ -2(a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ )
=21¤ -2¥84=273
답⃞ ⑴ ;4%; ⑵ 273
03-2a+b+c=7, ab+bc+ca=-1, abc=3
x‹ -7x¤ -x-3=0 a
a‹ -7a¤ -a-3=0
a‹ -7a¤ =a+3
b‹ -7b¤ =b+3, c‹ -7c¤ =c+3
(a‹ -7a¤ )(b‹ -7b¤ )(c‹ -7c¤ )
=(a+3)(b+3)(c+3)
=abc+3(ab+bc+ca)+9(a+b+c)+27
=3+3¥(-1)+9¥7+27
=90 답⃞ 90
03-3a+b+c=-k, ab+bc+ca=3, abc=-2
(a-2)(b-2)(c-2)=8
abc-2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)-8=8
-2-2¥3+4¥(-k)-8=8
4k=-24 k=-6
답⃞ -6
04-1a+b+c=1, ab+bc+ca=4, abc=-3
, ,
+ + = =-;3$;
+ + = =-;3!;a+b+cabc
1ca
1bc
1ab
ab+bc+caabc
1c
1b
1a
1c
1b
1a
-10-8
ab+bc+caabc
1c
1b
1a
=-;3!;
, , x‹ 3
3{x‹ +;3$;x¤ -;3!;x+;3!;}=0
3x‹ +4x¤ -x+1=0
답⃞ 3x‹ +4x¤ -x+1=0
04-2 x‹ -6x¤ +ax+b=0
1 : 2 : 3 k, 2k, 3k (k+0)
k+2k+3k=6 yy
k¥2k+2k¥3k+3k¥k=a yy
k¥2k¥3k=-b yy
6k=6 k=1
k=1
2+6+3=a a=11
k=1
6=-b b=-6
a+2b=11+2¥(-6)=-1 답⃞ -1
04-3 x‹ +ax¤ +bx+c=0 a,
b, c
a+b+c=-a, ab+bc+ca=b, abc=-c
ab, bc, ca x‹ 1
x‹ -(ab+bc+ca)x¤ +{abc(a+b+c)}x
x‹ -(abc)¤ =0
x‹ -bx¤ +acx-c¤ =0
x‹ -6x-4=0
b=0, ac=-6, c¤ =4
c>0 c=2
a=-3, b=0, c=2
a¤ +b¤ +c¤ =(-3)¤ +0¤ +2¤ =13 답⃞ 13
05-1 ⑴
1-'3 1+'3 .
a
⑴ a+(1-'3 )+(1+'3 )=-a
⑴ a+2=-a
⑴ a(1-'3 )+(1-'3 )(1+'3 )+a(1+'3 )=b
⑴ 2a-2=b
⑴ a(1-'3 )(1+'3 )=-4 -2a=-4
⑴ a=2, a=-4, b=2
⑴ a=-4, b=2, 2, 1+'3
1c
1b
1a
1abc
a¤ +b¤ +c¤=(a+b+c)¤-2(ab+bc+ca)
¥ + ¥
+ ¥
= + +1ca
1bc
1ab
1a
1c
1c
1b
1b
1a
세근의비가 1 : 2 : 3이므로세근을 k, 2k,3k (k+0)로 놓을 수있다.
일차항의계수는
ab¥bc+bc¥ca+ca¥ab
=ab¤ c+abc ¤ +a¤ bc=abc(a+b+c)
우공비
102
⑵ 1+i
1-i .
a
a+(1+i)+(1-i)=-a
⑴ a+2=-a
⑴ a(1+i)+(1+i)(1-i)+a(1-i)=4
⑴ 2a+2=4
⑴ a(1+i)(1-i)=a+5 2a=a+5
⑴ a=1, a=-3
⑴ a=-3, 1, 1-i
` 답⃞ ⑴ a=-4, b=2, 2, 1+'3
⑵ a=-3, 1, 1-i
05-2 3+2i
3-2i .
a
a+(3+2i)+(3-2i)=-a a+6=-a
a(3+2i)+(3+2i)(3-2i)+a(3-2i)=b
⑴ 6a+13=b
a(3+2i)(3-2i)=13 13a=13
a=1, a=-7, b=19
-7, 19 x¤ 1
x¤ -(-7+19)x+(-7)¥19=0
x¤ -12x-133=0
답⃞ x¤ -12x-133=0
05-3 f(x)=2x‹ +ax¤ +bx+c (a, b, c )
.
f(x)=2x‹ +ax¤ +bx+c=0
øπ4-'∂12=øπ4-2'3='3-1
-'3-1 .
2+('3-1)+(-'3-1)=-;2A;
2('3-1)+('3-1)(-'3-1)+2(-'3-1)=;2B;
2('3-1)(-'3-1)=-;2C;
a=0, b=-12, c=8
f(x)=2x‹ -12x+8
f(1)=2-12+8=-2 답⃞ -2
주의 삼차방정식의 계수가 모두 유리수라는 조건이 없으면
p+q'∂m이 이 방정식의 한 근일 때, 다른 한 근이 반드시
p-q'∂m이되는것은아님에주의한다.
36 방정식 x‹ =1의허근 x
익히기 |
11 x‹ =1 x‹ -1=0
(x-1)(x¤ +x+1)=0
x x‹ =1 x¤ +x+1=0
x ‹ =1 , x¤ +x+1=0
⑴ x x¤ +x+1=0 , x
xÆ x¤ +x+1=0 .
x+xÆ=-1
⑵ x‹ =1 x› =x‹ ¥x=x
x¤ +x+1=0 x¤ +1=-x
⑵ = =-1
⑶ 2x¤ +2x+3
=2(x¤ +x+1)+1
=1
답⃞ ⑴ -1 ⑵ -1 ⑶ 1
x-x
x ›x ¤ +1
유제 |
06-1 x‹ +1=0 (x+1)(x¤ -x+1)=0
x x‹ +1=0 x¤ -x+1=0
x‹ =-1, x¤ -x+1=0
x xÆ x¤ -x+1=0
x+x Æ=1, xx Æ=1
⑴ x¤ + = =
= = =-1-x¤x¤
-x+1x¤
x‹ ¥x+1x¤
x› +1x¤
1x¤
a, b x¤ 1
➞ (x-a)(x-b)=0 HjjK x¤ -(a+b)x+ab=0
보충학습
øπ —2'∂ ➞ , .
보충학습
x¤ -x+1=0에서⋯-x+1=-x¤
x¤ +x+1=0
x는허근이므로
x+1
우공비
103
Ⅳ
방정식과
부등식
본책240 243쪽
⑵ + =
=
=
=1
답⃞ ⑴ -1 ⑵ 1
06-2 x¤ +x+1=0 x-1
(x-1)(x¤ +x+1)=0
x‹ -1=0 x‹ =1
x x¤ +x+1=0 x‹ =1
x¤ +x+1=0, x‹ =1
x xÆ x¤ +x+1=0
x+x Æ=-1, xx Æ=1
. x⁄ ‚ + =(x ‹ )‹ ¥x+ =x+
= = =-1
. + = = =-1
. (1+x)(1+xÆ)=1+x+xÆ+xx Æ=1+(-1)+1=1
. = =
. = =1
, .
답⃞ ,
06-3 x+;[!;=-1 x
x¤ +x+1=0
x¤ +x+1=0 x-1
(x-1)(x¤ +x+1)=0 x‹ -1=0
x x¤ +x+1=0 x‹ -1=0
x¤ +x+1=0, x‹ =1
f(1)= = =-1
f(2)= = =-1
f(3)= = =2
f(4)= = =f(1)
f(5)= = = =f(2)
f(6)= = =f(3)1+11
1+xflx⁄ ¤
-xx
1+x¤x
1+xfix⁄ ‚
1+x
x¤1+x›x°
1+11
1+x‹xfl
-xx
1+x¤x›
-x¤x¤
1+x
x¤
3x-23x-2
2(x¤ +x)+3x3x-2
2x¤ +2x+3x3x-2
2x¤ +5x3x-2
-x¤x¤
x+1x¤
1x¤
1x
-xx
x¤ +1x
1x
1(x‹ )‹ ¥x
1x⁄ ‚
2+11+1+1
2+x+xÆ1+x+x Æ+xx Æ
1+x Æ+1+x
(1+x)(1+xÆ)1
1+xÆ1
1+x
f(1)= f(4)= f(7)=y= f(19)=-1,
f(2)= f(5)= f(8)=y= f(20)=-1,
f(3)= f(6)= f(9)=y= f(18)=2
f(1)+f(2)+f(3)+y+f(20)
=(-1)_7+(-1)_7+2_6
=-2 답⃞ -2
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+y+f(20)
={ f(1)+f(2)+f(3)}+{ f(4)+f(5)+f(6)}
+y+{ f(16)+f(17)+f(18)}+ f(19)+f(20)
=0+0+y+0+(-1)+(-1)=-2
다른 解
x+x Æ=1, xxÆ=1
종합문제 |
01① 02① 03 0 04 3(1-'2) 05③
06④ 07 2 08⑤ 09⑤ 10 1
11⑴ 1 ⑵ 3 12① 13⑤ 14② 15①
16 2 17 9 18 5 19① 20 8 21 10
22② 23②
01 f(x)=x‹ -7x+6 f(a)=0
a .
f(x)=x‹ -7x+6
f(1)=1-7+6=0
f(x)
f(x)=(x-1)(x¤ +x-6)
=(x-1)(x-2)(x+3)
(x-1)(x-2)(x+3)=0
a=-3, b=1, c=2
a+2b+3c=-3+2+6=5 답⃞①
1 1 0 -7 -6
1 -1 -6
1 1 -6 -0
전략
x¤ +x+1=0에서⋯x ¤ +1=-x
x¤ +x+1=0에서⋯x+1=-x¤
x¤ +x+1=0에서⋯x ¤+x=-1
f(1)+f(2)+f(3)=(-1)+(-1)+2=0
a<b<c이므로
⋯a=-3, b=1, c=2
우공비
104
02 x¤ +x=t .
x¤ +x=t
(t+2)¤ -3t=6, t¤ +t-2=0
(t+2)(t-1)=0
t=-2 t=1
⁄ t=-2 , x¤ +x+2=0
-1 .
¤ t=1 , x¤ +x-1=0
-1 .
-2 .
답⃞①
03 A'B
.
A
x‹ +x¤ -2x=0
x(x¤ +x-2)=0
x(x+2)(x-1)=0
A={-2, 0, 1} 40`%
B
x› -5x¤ +4=0
(x¤ -1)(x¤ -4)=0
(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)=0
B={-2, -1, 1, 2} 40`%
A'B={-2, -1, 0, 1, 2}
A'B 0 . 20`%
04 1+'2
1-'2 .
1+'2
1-'2 .
a
a+(1+'2)+(1-'2)=5
a=3
3, 1-'2
3(1-'2) 답⃞ 3(1-'2)
05 2, -3
x=2, x=-3
x=2
16+8-28+2a+b=0
2a+b=4 yy
x=-3
81-27-63-3a+b=0
-3a+b=-9 yy
전략
전략
전략
전략 ,
a=-1, b=6
a+b=-1+6=5
답⃞③
06 x‹ =1 x x ‹ =1, x ¤ +x+1=0
.
x‹ =1 (x-1)(x¤ +x+1)=0
x x‹ =1 x¤ +x+1=0
x‹ =1, x¤ +x+1=0
x+x‹ +xfi +x‡ +x· +x⁄ ⁄ +x⁄ ‹ +x⁄ fi
=(x+1+x¤ )+(x+1+x¤ )+x+1
=x+1=-x¤
답⃞④
07 f(x)=x‹ -5x¤ +3x+9
A .
A f(x)=x‹ -5x¤ +3x+9
f(-1)=-1-5-3+9=0
f(x)
f(x)=(x+1)(x¤ -6x+9)
=(x+1)(x-3)¤
A={-1, 3}
A,B a a…-1
b bæ3 a -1, b
3 .
(-1)+3=2 답⃞ 2
08 f(x)=x› +2x‹ +x¤ -2x-2
.
f(x)=x› +2x‹ +x¤ -2x-2
f(1)=1+2+1-2-2=0,
f(-1)=1-2+1+2-2=0
f(x)
f(x)=(x-1)(x+1)(x¤ +2x+2)
(x-1)(x+1)(x¤ +2x+2)=0
x=1 x=-1 x=-1—i
1 1 -2 -1 -2 -2
-1 -3 -4 -2
-1 1 -3 -4 -2 -0
-1 -2 -2
1 -2 -2 -0
전략
-1 1 -5 3 -9
-1 6 -9
1 -6 9 -0
전략
전략
xfi =x‹ ¥x¤ =x ¤x‡ =(x‹ )¤ ¥x=x
x· =(x‹ )‹ =1x⁄ ⁄ =(x ‹ )‹ ¥x¤ =x ¤x⁄ ‹ =(x ‹ )› ¥x=x
x⁄ fi =(x ‹ )fi =1
B
-1 3a b
우공비
105
Ⅳ
방정식과
부등식
본책243 244쪽
. .
.
1+(-1)=0
.
(-1)¤ +1¤ +(-1-i)¤ +(-1+i)¤ =2
, .
답⃞ ⑤
09 ax‹ +bx¤ +cx+d=0 (a+0) a, b, c
a+b+c=-;aB;, ab+bc+ca=;aC;, abc=-;aD; .
x‹ +2x-3=0 a, b, c
a+b+c=0, ab+bc+ca=2, abc=3
(2-a)(2-b)(2-c)
=8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc
=8-0+4-3=9 답⃞⑤
10 (x-1)‹ +a(x-1)¤ +b(x-1)+c=0
x-1=t .
(x-1)‹ +a(x-1)¤ +b(x-1)+c=0 0, 3
x-1=t t‹ +at¤ +bt+c=0
-1, 2 .
x‹ +ax¤ +bx+c=0 1, -1, 2
1+(-1)+2=-a
1¥(-1)+(-1)¥2+2¥1=b
1¥(-1)¥2=-c
a=-2, b=-1, c=2
a+b+2c=-2+(-1)+2¥2=1 답⃞ 1
11 a .
⑴ x‹ +ax¤ -ax-1=0
(x¤ -x)a+(x‹ -1)=0
a
x¤ -x=0, x‹ -1=0
x¤ -x=0 x(x-1)=0
x=0 x=1
전략
전략
전략
x=1을대입하면⋯1+(a+1)+1=0에서 a=-3이므로a>1에모순이다.
x‹ -1=0 (x-1)(x¤ +x+1)=0
⑵ x=1 x=
⑵ a
x=1 a=1 30`%
⑵ f(x)=x‹ +ax¤ -ax-1
f(1)=1+a-a-1=0
f(x)
f(x)=(x-1){x¤ +(a+1)x+1}=0
(x-1){x¤ +(a+1)x+1}=0
x¤ +(a+1)x+1=0 D
D=(a+1)¤ -4=a¤ +2a-3
=(a+3)(a-1)>0 ( a>1)
x=1 x¤ +(a+1)x+1=0
70`%
12 f(x)=x› -2x¤ +3x-2
.
f(x)=x› -2x¤ +3x-2
f(1)=1-2+3-2=0,
f(-2)=16-8-6-2=0
f(x)
f(x)=(x-1)(x+2)(x¤ -x+1)
(x-1)(x+2)(x¤ -x+1)=0
x¤ -x+1=0
x¤ -x+1=0 x
x-1+;[!;=0, x+;[!;=1
a+ =1
{a- }¤ ={a+ }¤ -4
=1¤ -4=-3
답⃞ ①
1a
1a
1a
1 1 -0 -2 -3 -2
-1 -1 -1 -2
-2 1 -1 -1 -2 -0
-2 -2 -2
1 -1 -1 -0
전략
1 1 a a -a -1
1 a+1 -1
1 a+1 1 -0
-1—'3i2
a에대한항등식HjjK 임의의 a에 대하여
성립
HjjK a의 값에 관계없이성립
HjjK a가 어떤 값을 갖
더라도성립
x-1=t에서x=0일때,⋯t=-1x=3일때,⋯t=2
0¤ -0+1+0이므로x+0이다.
x¤ -x+1=0의 한 근이 a이므로
⋯a+ =11a
x f(x)=0 a t
f(t)=0 a
x‹ +ax¤ +bx+c=0 1
t‹ +at¤ +bt+c=0 1 .
보충학습
⑴`에서삼차방정식
x‹ +ax¤ -ax-1=0은 a의 값에 관계없이항상 x=1을 근으로
갖는다.
우공비
106
13 , 1+2i
1-2i .
f(x)=x‹ +ax¤ +bx+c f(3)=f(1+2i)=0
3, 1+2i x‹ +ax¤ +bx+c=0
.
1+2i
1-2i .
x‹ +ax¤ +bx+c=0 3, 1+2i,
1-2i
3+(1+2i)+(1-2i)=-a
3(1+2i)+(1+2i)(1-2i)+3(1-2i)=b
3(1+2i)(1-2i)=-c
a=-5, b=11, c=-15
a+b+c=(-5)+11+(-15)=-9 답⃞⑤
14 x¤
.
x› +2x‹ -x¤ +2x+1=0 x¤
x¤ +2x-1+;[@;+ =0
{x¤ + }+2{x+;[!;}-1=0
{x+;[!;}¤ +2{x+;[!;}-3=0
x+;[!;=t
t¤ +2t-3=0, (t-1)(t+3)=0
t=1 t=-3
⁄ t=1 , x+;[!;-1=0
x¤ -x+1=0
D=1-4¥1¥1<0
.
¤ t=-3 , x+;[!;+3=0
x¤ +3x+1=0
D=3¤ -4¥1¥1>0
.
a¤ +3a+1=0 a¤ +3a=-1 답⃞ ②
15 .
x‹ -4x¤ -3x+1=0 a, b, c
a+b+c=4, ab+bc+ca=-3, abc=-1
, ,
+ + = =93(ab+bc+ca)
abc3c
3b
3a
3c
3b
3a
전략
1x¤
1x¤
전략
전략+ + = =-36
=-27
, , x‹ 1
x‹ -9x¤ -36x+27=0 답⃞①
16 x¤ -x+1=0 x
x‹ +1=0 .
x¤ -x+1=0 x
x¤ -x+1=0 20`%
(x+1)(x ¤ -x+1)=0
x‹ +1=0 x‹ =-1 20`%
(1+x¤ )(1-x‹ )(1+x› )
=x¥2¥(1-x)
=2x¥(-x¤ )
=-2x‹ =2 60`%
17 =t f(t)=0 t
t=a, t=b, t=c .
=t f(t)=0 t
t=a, t=b, t=c 40`%
=a, =b, =c
x=2a+1, x=2b+1, x=2c+1 40`%
(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)
=2(a+b+c)+3=9 20`%
18 x
x .
( )=20_15_5=1500(m‹ )
(20-x)(15-x)(5+2x)=1500{1+;1∞0º0;}
2x‹ -65x¤ +425x-750=0
f(x)=2x‹ -65x¤ +425x-750
f(5)=250-1625+2125-750=0
f(x)
f(x)=(x-5)(2x¤ -55x+150)
(x-5)(2x¤ -55x+150)=0
x=5 ( x ) 답⃞ 5
5 2 -65 -425 -750
-10 -275 -750
2 -55 -150 75-0
전략
x-12
x-12
x-12
x-12
x-12
전략
전략
3c
3b
3a
27abc
9(a+b+c)abc
9ca
9bc
9ab
x¤ -x+1=0에서⋯1+x ¤ =x
x‹ =-1에서⋯1-x ‹ =2⋯1+x › =1+x ‹ ¥x
=1-x
=-x ¤
(직육면체의부피)=(가로)_(세로)_(높이)
2x¤ -55x+150=0에서
⋯x=55—5'7å3
4
우공비
107
Ⅳ
방정식과
부등식
본책245 246쪽
19 A c , B a
, C b .
A c
abc=(-1)¥1¥3=-c
c=3
B a
a+b+c=(-1)+2+3=-a
a=-4
C b
ab+bc+ca=(-1)¥2+2¥7+7¥(-1)=b
b=5
x‹ -4x¤ +5x+3=0
a+b+c=4, ab+bc+ca=5, abc=-3
+ +
=
=
=
=-2 답⃞ ①
20 n
1 n‹ .
(n-2)‹ ,
6(n-2)¤ .
(n-2)‹ =6(n-2)¤
(n-2)¤ (n-2-6)=0
(n-2)¤ (n-8)=0
n=8 ( n>2) 답⃞ 8
21 x¤ =t
A¤ -B¤ =0 .
x› -6x¤ +25=0
x› +10x¤ +25-16x¤ =0
(x¤ +5)¤ -(4x)¤ =0
(x¤ -4x+5)(x¤ +4x+5)=0
x¤ -4x+5=0 a, aÆ (
b, b Æ) x¤ +4x+5=0 b,
b Æ ( a, aÆ) .
aaÆ+bbÆ=5+5=10 답⃞ 10
전략
n-2
n-2
전략
4¤ -2¥5-3
(a+b+c)¤ -2(ab+bc+ca)abc
a¤ +b ¤ +c¤abc
bca
abc
cab
전략 22 x‹ +1=0 a a‹ =-1,
a¤ -a+1=0 .
. x‹ +1=0 (x+1)(x¤ -x+1)=0
a x¤ -x+1=0
a¤ -a+1=0 .
. a x¤ -x+1=0 aÆ .
a+aÆ=aa Æ=1
. a, aÆ x‹ +1=0
a‹ =(aÆ)‹ =-1 a‹ +(aÆ)‹ =-2
a+aÆ=aa Æ=1
a¤ +(aÆ)¤ =(a+aÆ)¤ -2aaÆ=1-2=-1
a‹ +(aÆ)‹ +a¤ +(aÆ)¤
, . 답⃞ ②
. a‹ +(aÆ)‹ =(a+aÆ){a¤ -aa Æ+(aÆ)¤ }
=a¤ +(aÆ)¤ -1+a¤ +(aÆ)¤
23 xcm
x‹ cm‹ .
xcm
x‹ cm‹
4x‹ cm‹ , 4 24
6 18x¤ cm ¤
.
A=4x‹ , B=18x¤
3A=B+24
12x‹ =18x¤ +24, 2x‹ -3x¤ -4=0
f(x)=2x‹ -3x¤ -4
f(2)=16-12-4=0
f(x)
f(x)=(x-2)(2x¤ +x+2)
(x-2)(2x¤ +x+2)=0
x=2 ( x ) 답⃞ ②
2 2 -3 0 -4
-4 2 -4
2 -1 2 -0
전략
다른 解
전략
큰 정육면체 한 면에
서 한 면만 파란색으
로 칠해진 작은 정육
면체의개수는
(n-2)¤이다.
정육면체의 한 면의
넓이가 x¤ 이고 면이
18개이다.
2x¤ +x+2=0에서
⋯x=-1—'1 å5i
4
근과 계수의 관계에
의하여
⋯aa Æ=5, bbÆ=5
x¤ -4x+5=0에서
=(-2)¤ -1¥5<0
x¤ +4x+5=0에서
=2¤ -1¥5<0D4
D4
108
37 연립일차방정식
⑷ x
⑴ x=-2y-4 yy
⑴
⑴ 3(-2y-4)+6y=-12
⑴ 0¥y=0 .
22
`=
`=
[8x+y=-5 yy
17x-y=5 yy
+ 25x=0 x=0
x=0
0+y=-5 y=-5
x=0, y=-5 답⃞ x=0, y=-5
33 [ax+2y=1 yy
3x+(a-1)y=1 yy
_a- _3 (a¤ -a-6)y=a-3
(a+2)(a-3)y=a-3
⁄ a=-2 0¥y=-5 .
¤ a=3 0¥y=0 .
m=-2, n=3
m+n=-2+3=1 답⃞ 1
;3A;= +;1!;
;3A;= a(a-1)=6
a¤ -a-6=0, (a+2)(a-3)=0
a=-2 ( a+3)
;3A;= =;1!; a=3
m=-2, n=3
m+n=-2+3=1
2a-1
2a-1
2a-1
다른 解
-x+y+14
3x+y5
2x+y-16
3x+y5
우공비
익히기 |
({9
연립방정식12방정식과부등식Ⅳ
,
1
.
보충학습
A=B=C 꼴의연립방정식
.
, , [A=C
B=C[A=B
B=C[A=B
A=C
보충학습
➞소거하려는미
지수의 계수의 절댓값을
같게 한 후 변끼리 더하
거나뺀다.
➞ 한 방정식을
한미지수에대한식으로
나타낸후다른방정식에
대입한다.
11 ⑴ [2x+y=1 yy
x-3y=4 yy
⑴ - _2 7y=-7 y=-1
⑴ y=-1
x+3=4 x=1
⑴ x=1, y=-1
⑵ [3x+2y=-2 yy
-x+2y=6 yy
⑴ - 4x=-8 x=-2
⑴ x=-2
2+2y=6 y=2
⑴ x=-2, y=2
⑶ [x-2y=5 yy
2x-4y=6 yy
⑴ _2- 0¥x=4 .
⑷ [3x+6y=-12 yy
-x-2y=4 yy
⑴ + _3 0¥x=0
.
답⃞ ⑴ x=1, y=-1 ⑵ x=-2, y=2
⑶ . ⑷ .
⑴ x
⑴ x=3y+4 yy
⑴
⑴ 2(3y+4)+y=1
⑴ 7y=-7 y=-1
⑴ y=-1 x=1
⑵ x
⑴ x=2y-6 yy
⑴
⑴ 3(2y-6)+2y=-2
⑴ 8y=16 y=2
⑴ y=2 x=-2
⑶ x
⑴ x=2y+5 yy
⑴
⑴ 2(2y+5)-4y=6
⑴ 0¥y=-4 .
다른 解
계수가 분수인 연립방
정식은 양변에 분모의
최소공배수를 곱하여
계수를 정수로 고친
후푼다.
a=3이면
⋯;3A;= =;1!;
이성립한다.
2a-1
[ax+by+c=0a'x+b'y+c'=0①해가없다.
➞ = +
②해가무수히많다.
➞ = = cc'
bb'
aa'
cc'
bb'
aa'
우공비
109
Ⅳ
방정식과
부등식
본책248 251쪽
, a=1, b=2
a=1, b=2 c=3
a-b-c=1-2-3=-4 답⃞ -4
02-1 ⑴
⑴ + + 2(x+y+z)=10
x+y+z=5 yy
- z=4
- x=3
- y=-2
x=3, y=-2, z=4
⑵
⑵ + + 2z=24
z=12
⑵ z=12 y=-2
⑵ z=12 x=1
⑵ x=1, y=-2, z=12
답⃞ ⑴ x=3, y=-2, z=4
답⃞ ⑵ x=1, y=-2, z=12
02-2
+ + 6(x+y+z)=6
x+y+z=1 yy
- _2 x-y=4 yy
- x+2y=-2 yy
, x=2, y=-2
x=2, y=-2 z=1
x=2, y=-2, z=1
답⃞ x=2, y=-2, z=1
02-3 ⑴
⑵ + + 2{;[!;+;]!;+;z!;}=6
;[!;+;]!;+;z!;=3 yy
- ;z!;=-1 z=-1
;[!;+;]!;=4 yy
;]!;+;z!;=5 yy
;z!;+;[!;=-3 yy
(\{\9
3x+y+2z=6 yy
2x+3y+z=-1 yy
x+2y+3z=1 yy
({9
4x-3y=10 yy
3y+z=6 yy
z-4x=8 yy
({9
x+y=1 yy
y+z=2 yy
z+x=7 yy
({9
유제 |
01-1
+ _2 4x-y=4 yy
+ 4x-3y=8 yy
, x=;2!;, y=-2
x=;2!;, y=-2 z=-;2!;
a=;2!;, b=-2, c=-;2!;
a+b+c=-2 답⃞ -2
+ 3x-z=2 yy
- _2 x-3z=2 yy
, x=;2!;, z=-;2!;
x=;2!;, z=-;2!; y=-2
참고 미지수 x, y, z 중 1개를 소거하여 미지수가 2개인 연
립일차방정식을 만들 때, 어떤 미지수를 소거하여도 결과는
같다.
01-2 ⑴
⑴ - 5y+z=4 yy
, y=1, z=-1
y=1 x=5
x=5, y=1, z=-1
⑵
⑵ - 2y-x=14 yy
, x=8, y=11
x=8 z=20
x=8, y=11, z=20
답⃞ ⑴ x=5, y=1, z=-1
⑵ x=8, y=11, z=20
01-3 x=2, y=-1, z=1
+ 3a+b=5 yy
_2+ 3a-b=1 yy
2a-b-c=-3 yy
2b+c+a=8 yy
2c-a+b=7 yy
({9
3x+y=35 yy
2y+z=42 yy
x+z=28 yy
({9
x+2y+z=6 yy
x-3y=2 yy
2y-z=3 yy
({9
다른 解
2x+y-2z=0 yy
x-y+z=2 yy
3x-2y-z=6 yy
({9
x, y, z의 계수가 서로돌아가면서바뀐다.
;[!;=X, ;]!;=Y,
;z!;=Z로생각하면
⑴ `과
같은유형이다.
미지수 x, y, z 중 1개를소거하여미지수가 2개인연립일차방정식을 만든
다.
연립방정식의 해를 구
한 후 x, y, z의 값을각 방정식에 대입하여
세 방정식이 모두 참
이 되는지 확인하면
해를 바르게 구하였는
지확인할수있다.
연립방정식에 x, y, z의 값을 대입하면 미
지수가 a, b, c인 연립일차방정식이된다.
위와 같은 꼴로 주어진
연립방정식은세변을모
두더하여해결한다.
●+■=a■+▲=b▲+●=c
({9
02-1익힘
우공비
110
x, y
x=k (k )
y=2-2k
x=k, y=2-2k
k+2-2k+z=0 z=k-2
x=k, y=2-2k, z=k-2(k )
x, y, z .
.
⑵
⑴ + 3x+z=4 yy
_3+ 9x+3z=2 yy
_3- 0¥x=10
x .
⑴ .
답⃞ ⑴ ⑵ .
03-3
- (k-1)x-(k-1)y=0 yy
_k-
(k¤ -1)x+(k-1)y=2(k-1) yy
+ (k¤ +k-2)x=2(k-1)
(k+2)(k-1)x=2(k-1)
k=-2 0¥x=-6 , k=1
0¥x=0 .
a=-2, b=1
a-b=-2-1=-3 답⃞ -3
kx+y+z=2 yy
x+ky+z=2 yy
x+y+kz=2 yy
({9
x+y+2z=4 yy
2x-y-z=0 yy
3x+3y+6z=2 yy
({9
38 연립이차방정식
익히기 |
11 ⑴ [x-2y=-2 yy
x¤ -y=2 yy
⑴ x=2y-2 yy
⑴
(2y-2)¤ -y=2, 4y¤ -9y+2=0
(y-2)(4y-1)=0
⑴ y=2 y=;4!;
- ;[!;=-2 x=-;2!;
- ;]!;=6 y=;6!;
x=-;2!;, y=;6!;, z=-1
⑵
⑵ _ _ (xyz)¤ =36
⁄ xyz=—6
⁄ xyz=-6 yy
⁄ ÷ z=-2
⁄ ÷ x=1
⁄ ÷ y=3
⁄ x=1, y=3, z=-2
¤ xyz=6 yy
⁄ ÷ z=2
⁄ ÷ x=-1
⁄ ÷ y=-3
⁄ x=-1, y=-3, z=2
x=1, y=3, z=-2 x=-1, y=-3, z=2
답⃞
03-1
+ 3x+3y=6
x+y=2 yy
+ 4x+4y=a+1 yy
- _4 0¥x=a-7
a-7=0 0¥x=0
.
a=7 답⃞ 7
03-2 ⑴
⑴ - 2x+y=2 yy
- 4x+2y=4
2x+y=2 yy
x+y+z=0 yy
3x+2y+z=2 yy
7x+4y+z=6 yy
({9
x+2y+z=5 yy
2x+y-z=1 yy
2x+3y+z=a yy
({9
xy=3 yy
yz=-6 yy
zx=-2 yy
({9
방정식의해가무수히많
다. ➞ 0¥x=0 꼴
미지수를 소거하여 x, y,z 중한문자와 k에대한방정식으로나타낸후조
건을 만족시키는 k의 값을구한다.
[일차방정식
`이차방정식
➞일차방정식에서한미
지수를다른미지수의식
으로변형
x, y, z
➞
➞
보충학습
두 일차방정식이 같으
면 두 직선은 일치하
므로 해가 무수히 많
다.
우공비
111
Ⅳ
방정식과
부등식
본책251 255쪽
⑴ y=2 x=2
⑴ y=;4!; x=-;2#;
⑴
⑴
⑵ [x-y=1 yy
x¤ +y¤ =5 yy
⑴ y=x-1 yy
⑴
x¤ +(x-1)¤ =5, x¤ -x-2=0
(x+1)(x-2)=0
x=-1 x=2
⑴ ⁄ x=-1 y=-2
¤ x=2 y=1
⑴
⑴
⑶ [x+3y=1 yy
x¤ -4y¤ =9 yy
⑴ x=-3y+1 yy
⑴
(-3y+1)¤ -4y¤ =9, 5y¤ -6y-8=0
(5y+4)(y-2)=0
⑴ y=-;5$; y=2
⑴ ⁄ y=-;5$; x=;;¡5¶;;
⑴ ¤ y=2 x=-5
⑴
⑴
답⃞
22 [(x-y)(x-2y)=0 yy
x¤ -5y¤ =-4 yy
x=y x=2y
⁄ x=y y¤ -5y¤ =-4
y¤ -1=0, (y+1)(y-1)=0
y=-1 y=1
⁄ x=y
y=-1 x=-1, y=1 x=1
¤ x=2y (2y)¤ -5y¤ =-4
[x=-5
y=2
x=;;¡5¶;;
y=-;5$;
({9
[x=2
y=1[x=-1
y=-2
x=-;2#;
y=;4!;
({9
[x=2
y=2
⁄ y¤ -4=0, (y+2)(y-2)=0
⁄ y=-2 y=2
⁄ x=2y
y=-2 x=-4, y=2 x=4
답⃞
33 [x+y=3 yy
xy=2 yy
x, y t t¤ -3t+2=0
(t-1)(t-2)=0
t=1 t=2
답⃞
y=-x+3 yy
x(-x+3)=2, x¤ -3x+2=0
(x-1)(x-2)=0 x=1 x=2
⁄ x=1 y=2
¤ x=2 y=1
[x=2
y=1[x=1
y=2
다른 解
[x=2
y=1[x=1
y=2
[x=4
y=2
[x=-4
y=-2[x=1
y=1[x=-1
y=-1
유제 |
04-1 ⑴
x=2y+1 yy
(2y+1)y-y¤ =6, y¤ +y-6=0
(y+3)(y-2)=0 y=-3 y=2
⁄ y=-3 x=-5
¤ y=2 x=5
⑵ [3x-y=2 yy
2x¤ -2xy+y¤ =1 yy
[x=5
y=2[x=-5
y=-3
[x-2y=1 yy
xy-y¤ =6 yy
두 수 x, y를 근으로 갖고, 이차항의 계수가 1인t에대한이차방정식은⋯t¤ -(x+y)t+xy=0
x=y+1로 변형하여
도된다.
우공비
112
참고 에서 k=3일 때 주어진 연립방정식의
해를구하면
에서⋯⋯3y¤ +12y+12=0
⋯⋯y¤ +4y+4=0,⋯⋯(y+2)¤ =0
⋯⋯∴ y=-2
y=-2를 에대입하면⋯⋯x=-1
따라서주어진연립방정식의해는 이므로오직한
쌍의해를갖는다.
05-1 ⑴ [x¤ -3xy+2y¤ =0 yy
x¤ +2xy-y¤ =14 yy
(x-y)(x-2y)=0
x=y x=2y
⁄ x=y
y¤ +2y¤ -y¤ =14, y¤ =7, y=—'7
⁄ x=—'7, y=—'7
¤ x=2y
4y¤ +4y¤ -y¤ =14, y¤ =2, y=—'2
⁄ x=—2'2, y=—'2 ( )
⑵ [x¤ +xy=6 yy
2x¤ +5xy-3y¤ =0 yy
(x+3y)(2x-y)=0
x=-3y x=;2!;y
⁄ x=-3y
9y¤ -3y¤ =6, y¤ =1, y=—1
¤ x=–3, y=—1( )
¤ x=;2!;y
¤ ;4!;y¤ +;2!;y¤ =6, y¤ =8, y=—2'2
¤ x=—'2, y=—2'2 ( )
답⃞
05-2 [x¤ -3xy-4y¤ =0 yy
x¤ -2xy-2y¤ =6 yy
(x+y)(x-4y)=0
[x=-'2
y=-2'2
[x='2
y=2'2[x=3
y=-1[x=-3
y=1
[x=-2'2
y=-'2
[x=2'2
y='2[x=-'7
y=-'7[x='7
y='7
[x=-1
y=-2
y=3x-2 yy
2x¤ -2x(3x-2)+(3x-2)¤ =1
5x¤ -8x+3=0, (5x-3)(x-1)=0
x=;5#; x=1
⁄ x=;5#; y=-;5!;
¤ x=1 y=1
답⃞
04-2 [4x¤ +4xy+y¤ =9 yy
2x-3y=1 yy
x= yy
4¥{ } ¤ +4{ }y+y¤ =9
2y¤ +y-1=0, (y+1)(2y-1)=0
y=-1 y=;2!;
⁄ y=-1 x=-1
¤ y=;2!; x=;4%;
x=-1, y=-1 |x|+|y|=2
x=;4%;, y=;2!; |x|+|y|=;4&;
|x|+|y| 2 . 답⃞ 2
04-3 [x-2y=k yy
x¤ -y¤ =-3 yy
x=2y+k yy
(2y+k)¤ -y¤ =-3
3y¤ +4ky+k¤ +3=0 yy
.
D
=(2k)¤ -3(k¤ +3)=0, k¤ -9=0
k=-3 k=3
k>0 k=3 답⃞ 3
D4
x=;4%;
y=;2!;
({9
[x=-1
y=-1
3y+12
3y+12
3y+12
[x=1
y=1
x=;5#;
y=-;5!;
({9
이차방정식이 중근을
가질 조건은 판별식
D=0이다.
04-3발전
( (일차식)(일차식)=0{ y
9 (이차식)=0 y
➞ 에서 얻은 두 일차
방정식과 을각각연립
하여푼다.
우공비
113
Ⅳ
방정식과
부등식
본책255 258쪽
x=-y x=4y
⁄ x=-y
y¤ +2y¤ -2y¤ =6, y¤ =6, y=—'6
⁄ x=–'6, y=—'6 ( )
¤ x=4y
⁄ 16y¤ -8y¤ -2y¤ =6, y¤ =1, y=—1
⁄ x=—4, y=—1 ( )
(a, b) (-'6, '6),
('6, -'6 ), (4, 1), (-4, -1) 4 .
답⃞ 4
05-3 [3x¤ +2xy-y¤ =0 yy
x¤ +y¤ =12-2x yy
(x+y)(3x-y)=0
y=-x y=3x
⁄ y=-x x¤ +x¤ =12-2x
x¤ +x-6=0, (x+3)(x-2)=0
⁄ x=-3 x=2
⁄ x=-3 y=3
⁄ x=2 y=-2
¤ y=3x x¤ +9x¤ =12-2x
5x¤ +x-6=0, (x-1)(5x+6)=0
⁄ x=1 x=-;5̂;
⁄ x=1 y=3
⁄ x=-;5^; y=-;;¡5•;;
x, y x=1, y=3
a=1, b=3
a¤ +b¤ =1¤ +3¤ =10
답⃞ 10
06-1 ⑴ [2x¤ +2y¤ +3x-y=2 yy
x¤ +y¤ +2x-y=1 yy
- _2 -x+y=0
x=y yy
y¤ +y¤ +2y-y=1
2y¤ +y-1=0, (y+1)(2y-1)=0
y=-1 y=;2!;
⁄ y=-1 x=-1
¤ y=;2!; x=;2!;
x=;2!;
y=;2!;
({9
[x=-1
y=-1
⑵ [x¤ -xy=6 yy
xy-y¤ =2 yy
- _3 x¤ -4xy+3y¤ =0
(x-y)(x-3y)=0
x=y x=3y
⁄ x=y 0¥y¤ =6
.
¤ x=3y y¤ =1, y=—1
x=—3, y=—1 ( )
답⃞
06-2 [2x¤ +3x-5y=9 yy
3x¤ -5x+2y=4 yy
_3- _2 19x-19y=19
x-y=1 x=y+1 yy
2(y+1)¤ +3(y+1)-5y=9
y¤ +y-2=0, (y+2)(y-1)=0
y=-2 y=1
⁄ y=-2 x=-1
¤ y=1 x=2
x+y=-3 x+y=3
x+y ⑤ .
답⃞ ⑤
06-3 [x¤ -4xy+2y¤ =14 yy
2x¤ -5xy=14 yy
- x¤ -xy-2y¤ =0
(x+y)(x-2y)=0
x=-y x=2y
⁄ x=-y y¤ =2, y=—'2
x=–'2, y=—'2 ( )
¤ x=2y y¤ =-7, y=—'7i
⁄ x=—2'7i, y=—'7i ( )
x>0 x='2,
y=-'2
a='2, b=-'2
a-b='2-(-'2 )=2'2 답⃞ 2'2
07-1 ⑴ [xy+2x+2y=16
xy-x-y=1
[x=2
y=1[x=-1
y=-2
[x=-3
y=-1[x=3
y=1
허수와 실수 사이에는
대소 관계가 정의되지
않으므로 x=—2'7i는 x>0을 만족시키
지않는다.
두 이차방정식이 모두
인수분해되지 않고 이
차항을 소거할 수 없
으므로 상수항을 소거
한다.
두 이차방정식이 모두
인수분해되지 않고 이
차항을 소거할 수 있
으므로 이차항을 소거
한다.
우공비
114
x+y=a, xy=b
[b+2a=16 yy
b-a=1 yy
b=a+1
a+1+2a=16, 3a=15
a=5
a=5 b=6
x+y=5, xy=6 , x, y
t¤ -5t+6=0
(t-2)(t-3)=0 t=2 t=3
⑵ [x¤ +xy+y¤ =7
x+y-xy=1
x+y=a, xy=b
[a¤ -b=7 yy
a-b=1 yy
b=a-1
a¤ -(a-1)=7, a¤ -a-6=0
(a+2)(a-3)=0 a=-2 a=3
a=-2 b=-3, a=3 b=2
⁄ a=-2, b=-3, x+y=-2, xy=-3
x, y t¤ +2t-3=0
(t+3)(t-1)=0 t=-3 t=1
¤
¤ a=3, b=2, x+y=3, xy=2 , x, y
t¤ -3t+2=0
(t-1)(t-2)=0 t=1 t=2
¤
답⃞
07-2 [xy+x+y=7
x¤ y+xy¤ =12
x+y=a, xy=b
[a+b=7 yy
ab=12 yy
b=7-a
a(7-a)=12, a¤ -7a+12=0
(a-3)(a-4)=0 a=3 a=4
[x=2
y=1
[x=1
y=2[x=1
y=-3[x=-3
y=1
[x=2
y=1[x=1
y=2
[x=1
y=-3[x=-3
y=1
[x=3
y=2[x=2
y=3
a=3 b=4, a=4 b=3
⁄ a=3, b=4, x+y=3, xy=4 ,
⁄ x, y t¤ -3t+4=0
⁄ t=
⁄ x, y .
¤ a=4, b=3, x+y=4, xy=3 , x, y
t¤ -4t+3=0
¤ (t-1)(t-3)=0 t=1 t=3
x, y x=1, y=3 x=3, y=1
|x-y|=2 답⃞ 2
07-3 x,
y ,
. x, y t¤ -3t-4=0
.
(t+1)(t-4)=0 t=-1 t=4
x>y x=4, y=-1
x¤ -y¤ =m 4¤ -(-1)¤ =m m=15
x¤ +2y=n 4¤ +2¥(-1)=n n=14
답⃞ m=15, n=14
08-1 , , CD
x, y, z
,
(2y-3)+y+(y+8)=105
4y=100 y=25
y=25 x=47
y=25 z=33
CD 47 .
답⃞ 47
08-2 1 A, B, C 1
x, y, z
,
x+y=;2∞4; yy
y+z=;6!; yy
z+x=;8!; yy
(»{»9
;;™5¢;;(x+y)=1
6(y+z)=1
8(z+x)=1
({9
x+y+z=105 yy
x=2y-3 yy
z=y+8 yy
({9
[x=4
y=-1[x=-1
y=4
[x¤ -y¤ =m
x¤ +2y=n[x+y=3
xy=-4
[x=3
y=1[x=1
y=3
3—'7i2
x¤ y+xy¤ =12에서⋯xy(x+y)=12⋯∴ b¥a=12
x+y=3, xy=-4
x¤ +xy+y¤ =7에서⋯(x+y)¤ -xy=7⋯∴ a¤ -b=7
➞ 전체 일의 양을 1로놓고 로봇 한 대가 단위
시간에 할 수 있는 양을
각각 미지수 x, y, z로놓는다.
네개의방정식이하나의
공통인해를가지므로어
떤두방정식을연립하여
풀어도공통인해를구할
수있다.
우공비
본책258 261쪽Ⅳ
방정식과
부등식
115
3x+4y=19 y=
y æ1 x…5
x x=1, 2, 3, 4, 5
x, y (x, y)
(1, 4), (5, 1)
22 ⑴ x, y x-1, y-2 3
.
x-1, y-2 .
⁄ x-1=1, y-2=3 ,
⁄ x=2, y=5
¤ x-1=3, y-2=1 ,
⁄ x=4, y=3
‹ x-1=-1, y-2=-3 ,
⁄ x=0, y=-1
› x-1=-3, y-2=-1 ,
⁄ x=-2, y=1
x, y
33 ⑵ x¤ +y¤ -2x+6y+10=0
(x¤ -2x+1)+(y¤ +6y+9)=0
(x-1)¤ +(y+3)¤ =0
x, y x-1, y+3
x-1=0, y+3=0
x=1, y=-3
답⃞
⑵ ̀x
x¤ -2x+y¤ +6y+10=0
x, y D
=1-(y¤ +6y+10)æ0
y¤ +6y+9…0, (y+3)¤ …0 y=-3
y=-3
x¤ -2x+1=0, (x-1)¤ =0 x=1
33 x¤ +3x+2=0 (x+1)(x+2)=0
D4
다른 解
[x=-2
y=1[x=0
y=-1
[x=4
y=3[x=2
y=5
19-3x4
19-3x4다른 解
39 부정방정식, 공통근
익히기 |
11 3x+4y=19
⁄ y=1
¤ 3x+4=19 x=5
¤ y=2
¤ 3x+8=19 x=;;¡3¡;;
‹ y=3
¤ 3x+12=19 x=;3&;
› y=4
¤ 3x+16=19 x=1
x, y (x, y)
(1, 4), (5, 1) 답⃞ (1, 4), (5, 1)
+ + 2{x+y+z}=;2!;
x+y+z=;4!; yy
- z=;2¡4;
- x=;1¡2;
- y=;8!;
A 12
. 답⃞ 12
08-3xcm, ycm 13cm
x¤ +y¤ =13¤ yy
10xy
2cm
10(x+2)(y+2)
10(x+2)(y+2)=10xy+380
x+y=17 yy
y=17-x
x¤ +(17-x)¤ =13¤ , (x-5)(x-12)=0
x=5 x=12
x=5 y=12, x=12 y=5
x>y x=12, y=5
12cm,
5cm .
답⃞ 12cm, 5cm
x 1 2 3 4 5
y 4 ;;¡4£;; ;2%; ;4&; 1
x-1 1 3 -1 -3
y-2 3 1 -3 -1
3의 약수는 -3, -1,1, 3이다.
이차방정식이 실근을
가질 조건은 판별식
Dæ0이다.
(실수)¤ æ0이므로(실수)¤ …0을 만족시
키는 실수는 0뿐이다.즉 y+3=0에서⋯y=-3
(직육면체의부피)=(가로)_(세로)
_(높이)
x, y 중 계수가 큰 것에 자연수를 차례로
대입해본다.
y가 5 이상일 때 x의 값은 음수이므로 자연수가
아니다.
우공비
116
답⃞
09-3 x¤ +(a-1)x+a+1=0
a, b a, b ,
a+b=-(a-1) yy
ab=a+1 yy
+ a+b+ab=2
ab+a+b+1=3
a(b+1)+(b+1)=3
(a+1)(b+1)=3
a, b a+1, b+1 , 3
. a+1, b+1
⁄ a+1=1, b+1=3 , a=0, b=2
¤ a+1=3, b+1=1 , a=2, b=0
‹ a+1=-1, b+1=-3 , a=-2, b=-4
› a+1=-3, b+1=-1 , a=-4, b=-2
⁄, ¤ ab=0 a=-1
‹, › ab=8 a=7
a 7 . 답⃞ 7
10-1 ⑴ 4x¤ +y¤ +4x-6y+10=0
⑴ (4x¤ +4x+1)+(y¤ -6y+9)=0
(2x+1)¤ +(y-3)¤ =0
x, y
2x+1=0, y-3=0
x=-;2!;, y=3
⑵ 2x¤ +3y¤ -4xy-4y+4=0
⑴ 2(x¤ -2xy+y¤ )+(y¤ -4y+4)=0
2(x-y)¤ +(y-2)¤ =0
x, y
x-y=0, y-2=0
x=2, y=2
답⃞ ⑴ x=-;2!;, y=3
답⃞ ⑵ x=2, y=2
10-2 x
2x¤ +2(y-1)x+y¤ +2y+5=0 yy
x D
[x=6
y=6[x=12
y=4[x=4
y=12
a+1 1 3 -1 -3
b+1 3 1 -3 -1
xy-3x에서 x(y-3)이므로-3y에서-3(y-3)이 되도록
양변에 상수 9를 더한다.
xy+x에서 x(y+1)이므로 2y-5에서2(y+1)이 되도록 양변에상수 7을더한다.
유제 |
09-1 xy+x+2y-5=0
xy+x+2y+2=7
x(y+1)+2(y+1)=7
(x+2)(y+1)=7
x, y x+2, y+1 , 7
. x+2, y+1 .
⁄ x+2=1, y+1=7 , x=-1, y=6
¤ x+2=7, y+1=1 , x=5, y=0
‹ x+2=-1, y+1=-7 , x=-3, y=-8
› x+2=-7, y+1=-1 , x=-9, y=-2
x, y
답⃞
09-2 ;[!;+;]!;=;3!; =;3!;
3x+3y=xy, xy-3x-3y=0
xy-3x-3y+9=9
x(y-3)-3(y-3)=9
(x-3)(y-3)=9
xæ1, yæ1 x-3æ-2, y-3æ-2
x-3, y-3 .
⁄ x-3=1, y-3=9 , x=4, y=12
¤ x-3=9, y-3=1 , x=12, y=4
‹ x-3=3, y-3=3 , x=6, y=6
x, y
x+yxy
[x=-9
y=-2
[x=-3
y=-8[x=5
y=0[x=-1
y=6
x=-1 x=-2
x‹ -2x¤ -x+2=0
x¤ (x-2)-(x-2)=0
(x¤ -1)(x-2)=0
(x+1)(x-1)(x-2)=0
x=-1 x=1 x=2
x=-1 .
답⃞ x=-1
x-3 1 9 3
y-3 9 1 3
x+2 1 7 -1 -7
y+1 7 1 -7 -1
ab+a에서 a(b+1)이므로 b에서 b+1이되도록 양변에 상수 1을더한다.
두실수 A, B에대하여
A¤ +B¤ =0 HjjK A=0, B=0
①A¤ +B¤ =0 꼴로변형②한 문자에 대하여 내
림차순으로 정리한 후
판별식이용
우공비
117
Ⅳ
방정식과
부등식
본책261 265쪽
종합문제 |
01 ⑤ 02④ 03 -3 04⑤ 05 4 06 -4
07④ 08 40 09② 10① 11 10 12 4
13⑤ 14 85 15① 16 260cm 17③
18① 19⑤ 20③ 21 270 22①
01 2
.
- _2
5y-5z=5 y-z=1 yy
-
-3y+4z=-2 yy
y=2, z=1
y=2, z=1 x=0
a=0, b=2, c=1
a¤ +b¤ +c¤ =5 답⃞⑤
02 A=B=C=k (k )
.
=1, =1, =1z+x5
y-z3
x-y6
A=kB=kC=k
({9
전략
2x+y+z=3 yy
x-2y+3z=-1 yy
2x+4y-3z=5 yy
({9
전략
=(y-1)¤ -2(y¤ +2y+5)æ0
y¤ +6y+9…0, (y+3)¤ …0
y y+3=0 y=-3
y=-3
2x¤ -8x+8=0, 2(x-2)¤ =0
x=2
a=2, b=-3
a¤ +b¤ =13
답⃞ 13
10-3 (x¤ +25)(y¤ +1)-20xy=0
x¤ y¤ +x¤ +25y¤ +25-20xy=0
{(xy)¤ -10xy+25}+(x¤ -10xy+25y¤ )=0
(xy-5)¤ +(x-5y)¤ =0
x, y
xy-5=0 yy , x-5y=0 yy
x=5y
5y¤ -5=0, 5y¤ =5
y¤ =1 y=—1
x=—5, y=—1 ( )
답⃞ x=—5, y=—1 ( )
11-1 a
a¤ +(a-1)a+6=0 yy
a¤ +2a+2a=0 yy
- (a-3)a-2(a-3)=0
(a-3)(a-2)=0
a=3 a=2
⁄ a=3 , x¤ +2x+6=0
.
¤ a=2 ,
¤ 4+4+2a=0 a=-4 답⃞ -4
11-2 a
a¤ +(m-2)a-5m=0 yy
a¤ -(m+4)a+5m=0 yy
+ 2a¤ -6a=0, 2a(a-3)=0
a=0 a=3
⁄ a=0 , m=0
m+0 .
¤ a=3 ,
9+3(m-2)-5m=0, 2m=3
m=;2#;
D4
m=;2#; 3 .
답⃞ m=;2#;, 3
11-3 a
a¤ +aa+2b=0 yy
a¤ +ba+2a=0 yy
- (a-b)a-2(a-b)=0
(a-b)(a-2)=0
a=b a=2
⁄ a=b ,
.
¤ a=2 ,
4+2a+2b=0
a+b=-2 답⃞ -2
상수항을소거한다.
계수가 분수인 방정식
은 적당한 수를 양변
에 곱하여 정수로 만
든후에푼다.
❶공통근을 a라하고주
어진 방정식에 대입한
다.❷최고차항 또는 상수항
을소거하여푼다.
우공비
118
x, y x-3, y+2 x-3,
y+2 .
30`%
⁄ x-3=1, y+2=-11 , x=4, y=-13
¤ x-3=-1, y+2=11 , x=2, y=9
‹ x-3=11, y+2=-1 , x=14, y=-3
› x-3=-11, y+2=1 , x=-8, y=-1
(x, y) (4, -13), (2, 9),
(14, -3), (-8, -1) 4 . 40`%
06 a x=a
.
a
a¤ +ka+3=0 yy
a¤ +a+3k=0 yy
-
(k-1)a-3(k-1)=0
(k-1)(a-3)=0
k=1 a=3
⁄ k=1 , x¤ +x+3=0
.
¤ a=3 ,
9+3k+3=0 k=-4 답⃞-4
07 x, y z
.
+ 3x+3z=3
x+z=1 x=-z+1 yy
-2_ y-z=-2
y=z-2 yy
,
3(-z+1)+2(z-2)+kz=2
-3z+3+2z-4+kz=2
(k-1)z=3
k=1 0¥z=3
k=1 답⃞ ④
08 x+y+z=180
.
전략
3x+2y+kz=2 yy
2x+y+z=0 yy
x-y+2z=3 yy
({9
전략
전략
+ + 2x=14 x=7
x=7 y=1
x=7 z=-2
a=7, b=1, c=-2
a+b+c=6 답⃞④
03 A;B=Δ.
_(2a-3)+
{(a+4)(2a-3)+9}x=a(2a-3)+3-4a
(2a¤ +5a-3)x=2a¤ -7a+3
(2a-1)(a+3)x=(2a-1)(a-3)
⁄ a=;2!; 0¥x=0 .
A;B+Δ¤ a=-3 0¥x=42 .
A;B=Δa -3 .
답⃞ -3
04.
(x+2y)(x-y)=0
x=-2y x=y
⁄ x=-2y
⁄ 4y¤ +y¤ =50, y¤ =10, y=—'∂10
⁄ y=—'∂10 , x=–2'∂10 ( )
¤ x=y
⁄ y¤ +y¤ =50, y¤ =25, y=—5
⁄ y=—5, x=—5 ( )
x, y x=5, y=5
a=5, b=5
a+b=10 답⃞⑤
05 ( )_( )=( )
.
x(y+2)-3y-6=-5-6
x(y+2)-3(y+2)=-11
(x-3)(y+2)=-11 30`%
전략
[x¤ +xy-2y¤ =0 yy
x¤ +y¤ =50 yy
전략
[(a+4)x-y=a yy
9x+(2a-3)y=3-4a yy
전략
x-y=6 yy
y-z=3 yy
z+x=5 yy
({9
정수조건의부정방정식
➞ (일차식)_(일차식)=(정수)의꼴로변형
x에대한방정식이① 0¥x=0 꼴➞해가무수히많다.
② 0¥x=k (k+0)꼴➞해가없다.
3
❶주어진 식을 변끼리
더한다.❷❶`에서 나온 식과 주
어진 식을 이용하여
방정식을푼다.
공통인수를 만들기 위
해양변에서 6을뺀다.
공통근을 a라 하고 a에
대한두방정식의최고차
항또는상수항을소거한
다.
x-3 1 -1 11 -11
y+2 -11 11 -1 1
우공비
119
Ⅳ
방정식과
부등식
본책265 267쪽
180˘
- -y+z=60 yy
+ 3z=300 z=100z=100 y=40y=40 x=40 답⃞ 40
09 ,
.
,
y=x-2
x¤ +(x-2)¤ =10
x¤ -2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x=3 x=-1
x>0 x=3
x=3 y=1
x=3, y=1
3+1=a a=4
3+b=1 b=-2
a+b=4+(-2)=2 답⃞ ②
10 ;[!;+;]!;= .
=6 ;a!;+;b!;=6 yy
=11 ;b!;+;c!;=11 yy
=7 ;a!;+;c!;=7 yy
+ + 2{;a!;+;b!;+;c!;}=24
;a!;+;b!;+;c!;=12 yy
- ;c!;=6 c=;6!;
- ;a!;=1 a=1
- ;b!;=5 b=;5!;
2a+15b-6c=4 답⃞①
11.
전략
c+aca
b+cbc
a+bab
x+yxy
전략
[x+y=a
x+by=1
[x+y=a
x+by=1[x-y=2 yy
x¤ +y¤ =10 yy
x+y=a
x+by=1[
x-y=2
x¤ +y¤ =10[전략
x+y+z=180 yy
x+2y=120 yy
y+2z=240 yy
({9
30`%
x+y=14, y=14-x
x¤ +(14-x)¤ =100
x¤ +196-28x+x¤ =100
2x¤ -28x+96=0, x¤ -14x+48=0
(x-6)(x-8)=0
x=6 x=8 40`%
x>y x=8, y=6 20`%
2x-y=2¥8-6=10 10`%
12 x, y
x+y=a, xy=b a, b .
x+y=a, xy=b
x¤ +xy+y¤ =(x+y)¤ -xy
[a+b=-5 yy
a¤ -b=7 yy
+ a¤ +a=2
a¤ +a-2=0, (a-1)(a+2)=0
a=1 a=-2
⁄ a=1 , b=-6
x+y=1, xy=-6 , x, y
t¤ -t-6=0
(t+2)(t-3)=0 t=-2 t=3
¤ a=-2 , b=-3
x+y=-2, xy=-3 , x, y
t¤ +2t-3=0
(t+3)(t-1)=0 t=-3 t=1
(a, b) 4 .
답⃞ 4
13 A¤ +B¤ =0 .
x¤ y¤ -16xy+x¤ +16y¤ +16=0
x¤ y¤ -8xy+16+x¤ -8xy+16y¤ =0
(xy-4)¤ +(x-4y)¤ =0
x, y
xy-4=0, x-4y=0
전략
[x=1
y=-3[x=-3
y=1
[x=3
y=-2[x=-2
y=3
전략
[x=8
y=6[x=6
y=8
[x¤ +y¤ =100 y
2(x+y)=28 y 10y
x
실수조건의부정방정식
➞A¤ +B¤ =0`꼴로변형
네개의방정식이하나의
공통인해를가지므로어
떤두방정식을연립하여
풀어도공통인해를구할
수있다.
가로의 길이가 x, 세로의 길이가 y인 직사각형의둘레의길이는
2(x+y)이다.
우공비
120
xy=4, x=4y
x=4y xy=4
4y¤ =4 y¤ =1
x¤ =(4y)¤ =16y¤ =16
x¤ +y¤ =16+1=17 답⃞ ⑤
x
(y¤ +1)x¤ -16yx+16(y¤ +1)=0 yy
x .
=(-8y)¤ -(y¤ +1)¥16(y¤ +1)æ0
64y¤ -16y› -32y¤ -16æ0
-16y› +32y¤ -16æ0
-16(y¤ -1)¤ æ0
(y¤ -1)¤ …0
y y¤ -1=0, y¤ =1
y=—1
⁄ y=1 ,
2x¤ -16x+32=0, (x-4)¤ =0
x=4
¤ y=-1 ,
2x¤ +16x+32=0, (x+4)¤ =0
x=-4
x¤ =16
x¤ +y¤ =16+1=17
14.
AB”=x, CD”=y ABC ACD
x¤ +7¤ =y¤ +9¤ , x¤ -y¤ =32
(x-y)(x+y)=32
x, y
x+y>2 x-y<x+y
x=6, y=2
a¤ =AC” ¤ =6¤ +7¤ =2¤ +9¤ =85
답⃞ 85
[x=6
y=2[x=9
y=7
[x-y=4
x+y=8[x-y=2
x+y=16
전략
D4
다른 解
15 a
.
a
2010a‹ +aa+2011=0 yy
a¤ -a=0 yy
a=a¤
2010a‹ +a¤ ¥a+2011=0
2011a‹ +2011=0
a‹ +1=0
(a+1)(a¤ -a+1)=0
a
a=-1
a=-1 a=1
답⃞①
16 x, y
.
x, y
⋯ 30`%
y+0
x-20=;3@;x x=60 30`%
x=60
70(y-20)=50y y=70 30`%
2(x+y)=2(60+70)=260(cm) 10`%
17 ( )= _100(%)
.
A, B a%, b%
.
A 100g
100_ =a (g)
B 400g
400_ =4b (g)
500_ =40 (g)
a+4b=40 yy
A 400g
400_ =4a (g)a100
8100
b100
a100
( )( )
전략
(x+10)(y-20)=;6%;xy yy
(x-20)y=;3@;xy yy
({9
전략
전략
A, B ,
A¤ +B¤ =0 HjjK A=0, B=0
보충학습
ab=32를 만족시키는
자연수 a, b의 순서쌍은 (1, 32), (2, 16),(4, 8), (8, 4),(16, 2), (32, 1)이다.
a ¤ -a+1=0의 판별
식을D라하면D=(-1)¤ -4¥1<0이므로 서로 다른 두
허근을갖는다.
우공비
121
Ⅳ
방정식과
부등식
본책267 268쪽
B 100g
100_ =b (g)
500_ =70 (g)
4a+b=70 yy
, a=16, b=6
A, B lg
l_ +l_ =2l_
l+ l= lx
x=11 답⃞ ③
18 x, y t
t¤ -2(a+1)t+(a¤ -1)=0 .
x, y t
t¤ -2(a+1)t+(a¤ -1)=0 yy
,
.
D
=(a+1)¤ -(a¤ -1)æ0
2a+2æ0 aæ-1
a -1 .
답⃞ ①
19 x : y : z .
[18x-24y+7z=0 yy
2x-3y+z=0 yy
- _7 4x-3y=0 y=;3$;x
- _8 2x-z=0 z=2x
x : y : z=x : ;3$;x : 2x=3 : 4 : 6
x=3k, y=4k, z=6k (k ) 3k, 4k,
6k 12k
12k=240 k=20
x=60, y=80, z=120
x+y+z=60+80+120=260
답⃞ ⑤
전략
D4
전략
2100
6100
16100
x100
b100
a100
14100
b100
20 ac+bc=17 c(a+b)=17 a, b
a+bæ2 .
ac+bc=17 c(a+b)=17
a, b a+bæ2
c=1, a+b=17
c=1, b=17-a ab+bc=65
a(17-a)+17-a=65
a¤ -16a+48=0
(a-4)(a-12)=0
a=4 a=12
⁄ a=4 , b=13, c=1
a¤ +b¤ +c¤ =186
¤ a=12 , b=5, c=1
a¤ +b¤ +c¤ =170
a¤ +b¤ +c¤ 186 . 답⃞ ③
21 x, y, 2, 5
.
x, y, 2, 5
x+y+2+5=19 x+y=12 yy
(x+2)-(y+5)=3 x-y=6 yy
,
x=9, y=3
9325
9_3_2_5=270 답⃞ 270
22 i xi
.
i
xi
=3, =5,
=7, =9,
=1
5
x™+x¢+x§+x•+x¡º=25
x™+x¢=6, x•+x¡º=18 x§=1 .
6 1 .
답⃞ ①
x¡º+x™2
x•+x¡º2
x§+x•2
x¢+x§2
x™+x¢2
1
6(x§)
57
2(x™)(x¡º)10
4(x¢)
3
(x•)8
9
전략
전략
전략
.
.
보충학습
k 3k 4k 6k3 3 4 62 1 4 2
1 2 1∴ (최소공배수)=k_3_2_2=12k
이차방정식이 실근을 가
질조건은판별식
Dæ0이다.
평균이 3인 사람이 들은 수는 x™와 x¢이고이 두 수의 평균이 3이므로
⋯ =3x™+x¢
2
x, y는 자리의 숫자를나타내므로 0부터 9까지의 자연수 중 하나
이다.
a, b가양의정수이면aæ1, bæ1이므로⋯a+bæ2
122
40 부등식의성질
우공비
유제 |
01-1 ⑴ a>b, c>0 ac>bc
⑴ c>d, b>0 bc>bd
⑴ ac>bd y`
⑵ a<0, b<0 a+b<0
⑴ a>b jjjK a-b>0
jjjK (a-b)(a+b)<0
jjjK a¤ -b¤ <0
jjjK a¤ <b¤
⑴
⑴ a¤ <b¤ jjjK a¤ -b¤ <0
jjjK (a-b)(a+b)<0
jjjK a-b>0
jjjK a>b
⑴ a>b HjjK a¤ <b¤ y`
01-2 a>b a+c>b+c
a=2, b=-1, c=1, d=0
a>b c>d a-c=1, b-d=-1
a-c>b-d
c<0 c¤ >0
a>b, c¤ >0 >
a>b>0 a¤ +ab+b¤ >0
a>b jjjK a-b>0
jjjK (a-b)(a¤ +ab+b¤ )>0
jjjK a‹ -b‹ >0
jjjK a‹ >b‹
, . 답⃞ ②
bc¤
ac¤
부등식13방정식과부등식Ⅳ
⑵ 5x+2<5(x-1)-3
5x+2<5x-5-3
5x-5x<-5-3-2
⑶ 0¥x<-10 .
⑶ ax-1>3a+2
ax>3a+3
⑶ ⁄ a>0 , x>
⑶ ¤ a<0 , x<
⑶ ‹ a=0 , 0¥x>3 .
⑷ (a+2)x…a¤ -4
(a+2)x…(a+2)(a-2)
⑶ ⁄ a>-2 , x…a-2
⑶ ¤ a<-2 , xæa-2
⑶ ‹ a=-2 , 0¥x…0
.
답⃞
22 ⑴ |2x-3|<3
-3<2x-3<3
⑴ 0<2x<6 0<x<3
⑵ |4x+1|æ5
⑵ 4x+1…-5 4x+1æ5
⑵ 4x…-6 4xæ4
⑵ x…-;2#; xæ1
⑶ |x|<2x-6
⑵ ⁄ x<0 ,
⑵ ¤ -x<2x-6, -3x<-6
⑵ ¤ x>2
⑵ ¤ x<0 .
⑵ ¤ xæ0 ,
⑵ ¤ x<2x-6, -x<-6
⑵ ¤ x>6
⑵ x>6
⑷ |2x-1|æ3x+2
⑵ ⁄ x<;2!; , 2x-1<0
⑵ ⁄ -(2x-1)æ3x+2, -5xæ1
⑵ ⁄ x…-;5!;
⑵ ¤ xæ;2!; , 2x-1æ0
⑵ ⁄ 2x-1æ3x+2, -xæ3
⑵ ⁄ x…-3
⑵ ⁄ xæ;2!; .
3a+3a
3a+3a
41 일차부등식
익히기 |
11 ⑴ 4x+1æ3(x-1)+5
4x+1æ3x-3+5
4x-3xæ-3+5-1
xæ1
ac>bc>bd이므로⋯ac>bd
부등식의 양변에 같은
수를 더하여도 부등호
의 방향은 바뀌지 않
는다.
부등식의 양변을 양수
로 나누어도 부등호의
방향은바뀌지않는다.
a¤ >0, ab>0, b¤ >0이므로
⋯a¤ +ab+b¤ >0
a+b<0, a-b>0이므로
⋯(a+b)(a-b)<0
(a-b)(a+b)<0,a+b<0이므로⋯a-b>0
우공비
123
Ⅳ
방정식과
부등식
본책271 274쪽
03-1 ⑴ |x-1|+3|x+1|…10
⁄ x<-1 ,
-(x-1)-3(x+1)…10
-x+1-3x-3…10
-4x…12 xæ-3
x<-1 -3…x<-1
¤ -1…x<1 ,
-(x-1)+3(x+1)…10
-x+1+3x+3…10
2x…6 x…3
-1…x<1 -1…x<1
‹ xæ1 ,
x-1+3(x+1)…10
x-1+3x+3…10
4x…8 x…2
xæ1 1…x…2
-3…x…2
⑵ |2x+4|-|x-1|>5
⁄ x<-2 ,
-(2x+4)+(x-1)>5
-2x-4+x-1>5
-x>10 x<-10
¤ -2…x<1 ,
(2x+4)+(x-1)>5
3x>2 x>;3@;
-2…x<1 ;3@;<x<1
‹ xæ1 ,
(2x+4)-(x-1)>5
2x+4-x+1>5
x>0
xæ1 xæ1
x<-10 x>;3@;
답⃞ ⑴ -3…x…2 ⑵ x<-10 x>;3@;
03-2 3|x-2|-2|x+1|<6
⁄ x<-1 ,
-3(x-2)+2(x+1)<6
-3x+6+2x+2<6
-x<-2 x>2
x<-1 .
유제 |
02-1 (5a+2)x-4…(2a+1)x+2
(3a+1)x…6 yy
xæ-3 3a+1<0
3a+1
xæ
=-3 3a+1=-2
a=-1
a=-1 (1-2a)x+4<a-1
3x<-6 x<-2
답⃞ x<-2
02-2 ax+2b+bx-3a<0
(a+b)x<3a-2b yy
x>4 a+b<0
a+b
x>
=4 3a-2b=4a+4b
a=-6b
a=-6b bx-(5a+2b)…0
bx…-28b xæ-28
x -28 . 답⃞ -28
02-3 3x-4<bx+a
(3-b)x<a+4
3-b=0, a+4…0
a…-4, b=3
a -4, b=3
-4+3=-1
답⃞ -1
3a-2ba+b
3a-2ba+b
63a+1
63a+1
⑵ x…-;5!;
답⃞ ⑴ 0<x<3 ⑵ x…-;2#; xæ1
답⃞ ⑶ x>6 ⑷ x…-;5!;
주의 절댓값 기호를 포함한 부등식에서 x의 값의 범위를 나
누어 해를 구한 다음 해가 x의 값의 범위에 적합한지 반드시
확인해야한다.
부등식과 해의 부등호
의 방향이 다르므로
3a+1의 부호는 음수이다.
부등식 ax<b일때,a=0, b…0이면 부등식
의해는없다.
32 1-10 x
1 2-3 -1 x
우공비
124
42 이차부등식
익히기 |
¤ -1…x<2 ,
-3(x-2)-2(x+1)<6
-3x+6-2x-2<6
-5x<2 x>-;5@;
-1…x<2 -;5@;<x<2
‹ xæ2 ,
3(x-2)-2(x+1)<6
3x-6-2x-2<6
x<14
xæ2 2…x<14
-;5@;<x<14
x 13, 0
a=13, b=0
a-b=13 답⃞ 13
03-3 |3-|x-2||…4
⁄ x<2 ,
¤ |3+x-2|…4, |x+1|…4
¤ -4…x+1…4 -5…x…3
¤ x<2 -5…x<2
¤ xæ2
¤ |3-x+2|…4, |x-5|…4
¤ -4…x-5…4 1…x…9
¤ xæ2 2…x…9
-5…x…9
a=-5, b=9 답⃞ a=-5, b=9
|3-|x-2||…4
-4…3-|x-2|…4
-7…-|x-2|…1
-1…|x-2|…7
|x-2|æ0 0…|x-2|…7
-7…x-2…7
-5…x…9
a=-5, b=9
다른 解
⑵ -;2#;<x<-1
⑶ x¤ -3x+2æ0 (x-1)(x-2)æ0
x…1 xæ2
⑷ 2x¤ -x-15…0 (2x+5)(x-3)…0
⑵ -;2%;…x…3
답⃞ ⑴ x<-1 x>6 ⑵ -;2#;<x<-1
답⃞ ⑶ x…1 xæ2 ⑷ -;2%;…x…3
22 ⑴ x¤ -4x+4>0 (x-2)¤ >0
⑴ x¤ -4x+4>0 x+2
.
⑵ 9x¤ +12x+4<0 (3x+2)¤ <0
⑴ 9x¤ +12x+4<0 .
⑶ 4x¤ -12x+9æ0 (2x-3)¤ æ0
⑴ 4x¤ -12x+9æ0 .
⑷ x¤ +2x+1…0 (x+1)¤ …0
⑴ x¤ +2x+1…0 x=-1
답⃞ ⑴ x+2 ⑵ .
⑶ ⑷ x=-1
33 ⑴ 3x¤ -2x+1=3{x-;3!;} ¤ +;3@;æ;3@;
⑴ 3x¤ -2x+1>0 .
⑵ x¤ -x+2={x-;2!;}¤ +;4&;æ;4&;
⑴ x¤ -x+2<0 .
⑶ 2x¤ +2x+3=2{x+;2!;} ¤ +;2%;æ;2%;
⑴ 2x¤ +2x+3æ0 .
⑷ 2x¤ +3x+4=2{x+;4#;} ¤ +;;™8£;;æ;;™8£;;
⑴ 2x¤ +3x+4…0 .
답⃞ ⑴ ⑵ .
⑶ ⑷ .
44 ⑴ x¤ +x+8<2x¤ +3x
x¤ +2x-8>0, (x+4)(x-2)>0
x<-4 x>2
⑵ 4x¤ -2x-3æ-3x
4x¤ +x-3æ0, (x+1)(4x-3)æ0
⑵ x…-1 xæ;4#;
⑶ 4x-3æ2x¤ +3x 2x¤ -x+3…0
⑵ 2x¤ -x+3=2{x-;4!;} ¤ +;;™8£;;æ;;™8£;;
⑵ .
11 ⑴ x¤ -5x-6>0 (x+1)(x-6)>0
x<-1 x>6
⑵ 2x¤ +5x+3<0 (2x+3)(x+1)<0
판별식 D<0일 때 이차부등식의풀이방법을이
용한다.
ax¤ +bx+c=a(x-a)¤=0 (a>0)
,ax¤ +bx+c>0➞ x+a인모든실수
ax¤ +bx+c<0➞해는없다.ax¤ +bx+cæ0➞해는모든실수
ax¤ +bx+c…0➞ x=a
5-2 142 x
|x|æ0|x|…a (a>0)HjjK -a…x…a
|a|=|-a||-x+5|=|x-5|
우공비
125
Ⅳ
방정식과
부등식
본책274 279쪽
유제 |
x¤ -4x+4+1=(x-2)¤ +1>0
.
⁄ 0…x<4 0…x<4
‹ xæ4 ,
x(x-4)-5…0, x¤ -4x-5…0
(x+1)(x-5)…0 -1…x…5
⁄ xæ4 4…x…5
-1…x…5
답⃞ ⑴-2<x<0 0<x<2
⑵ -1…x…5
04-2 2[x] ¤ -5[x]+2<0
(2[x]-1)([x]-2)<0
;2!;<[x]<2
[x] [x]=1
[x]=1 , 1…x<2
답⃞ 1…x<2
04-3 [x-1]=[x]-1
[x-1] ¤ -[x]+1…0
([x]-1)¤ -[x]+1…0
[x]¤ -2 [x]+1-[x]+1…0
[x] ¤ -3 [x]+2…0
([x]-1)([x]-2)…0
1…[x]…2
[x] [x]=1, 2
⁄ [x]=1 , 1…x<2
¤ [x]=2 , 2…x<3
1…x<3
a=1, b=3
a+b=4 답⃞ 4
05-1 ⁄ a=0 , 0¥x¤ +0¥x+15>0
15>0 x
.
a=0
¤ a+0 , x
a>0 yy
절댓값 기호 안의 식의
값이 0이 되는 x의 값을경계로하여 x의값의범위를나누어푼다.
04-1 ⑴ 0 x
0
⁄ x<0 , x¤ +2x<0, x(x+2)<0
-2<x<0
¤ xæ0 , x¤ -2x<0, x(x-2)<0
0<x<2
-2<x<0 0<x<2
⑵ |x¤ -4x|-5…0 |x(x-4)|-5…0
0 x 0, 4
⁄ x<0 ,
x(x-4)-5…0, x¤ -4x-5…0
(x+1)(x-5)…0, -1…x…5
⁄ x<0 -1…x<0
¤ 0…x<4 ,
-x(x-4)-5…0, x¤ -4x+5æ0
⑷ 3x¤ -5x>2x¤ +3x-16
x¤ -8x+16>0, (x-4)¤ >0
⑵ x+4
답⃞
55 ax¤ +4ax-5aæ0
a(x¤ +4x-5)æ0, a(x+5)(x-1)æ0
⑵ ⁄ a>0 , (x+5)(x-1)æ0
x…-5 xæ1
⑵ ¤ a<0 , (x+5)(x-1)…0
-5…x…1
⑵ ‹ a=0 , 0¥(x+5)(x-1)æ0
x
답⃞ a>0 , x…-5 xæ1
a<0 , -5…x…1
a=0 ,
66 ⑴ x<1 x>2 x¤ 1
(x-1)(x-2)>0
x¤ -3x+2>0
⑵ -3…x…7 x¤ 1
(x+3)(x-7)…0
x¤ -4x-21…0
답⃞ ⑴ x¤ -3x+2>0 ⑵ x¤ -4x-21…0
x=n+a(n , 0…a<1)
[x-1]=[n+a-1]=[(n-1)+a]=n-1
[x]-1=[n+a]-1=n-1
[x-1]=[x]-1
보충학습
[x ]를 한 문자로 생각하여부등식을푼후
[x ]=n (n은정수)일때,n…x<n+1임을 이용
한다.
우공비
126
43 연립이차부등식
익히기 |
ax¤ +2ax+15=0 D
=a¤ -15a<0, a(a-15)<0
0<a<15 yy
, 0<a<15
0…a<15
a 0 . 답⃞ 0
05-2 x x¤ -2ax+3a>2,
x¤ -2ax+3a-2>0
x¤ -2ax+3a-2=0 D
=(-a)¤ -(3a-2)<0
a¤ -3a+2<0, (a-1)(a-2)<0
1<a<2 답⃞ 1<a<2
05-3 -x¤ +(k+3)x-k-3æ0
x¤ -(k+3)x+k+3…0
x¤ -(k+3)x+k+3=0 D
D=(k+3)¤ -4(k+3)<0
k¤ +2k-3<0, (k+3)(k-1)<0
-3<k<1 답⃞ -3<k<1
06-1 x…-1 xæ2 1
(x+1)(x-2)æ0, x¤ -x-2æ0 yy
ax¤ +bx+4…0
a<0
a ax¤ -ax-2a…0
ax¤ +bx+4…0
-a=b, -2a=4 a=-2, b=2
a, b bx¤ +2ax-6<0
2x¤ -4x-6<0, x¤ -2x-3<0
(x+1)(x-3)<0 -1<x<3
답⃞ -1<x<3
06-2 x<1 x>b 1
(x-1)(x-b)>0, x¤ -(b+1)x+b>0
x¤ -3x+2a>0
-(b+1)=-3, b=2a a=1, b=2
답⃞ a=1, b=2
06-3 |2x-1|>3
2x-1<-3 2x-1>3
2x<-2 2x>4
D4
D4
x<-1 x>2
x<-1 x>2 1
(x+1)(x-2)>0, x¤ -x-2>0 yy
ax¤ +bx+6<0
a<0
a ax¤ -ax-2a<0
ax¤ +bx+6<0
-a=b, -2a=6 a=-3, b=3
a¤ +b¤ =(-3)¤ +3¤ =18 답⃞ 18
x¤의 계수가 음수이면이차부등식의 양변에
-1을 곱하여 x¤의 계수를 양수로 바꿔서
푼다.
절댓값의정의에의하여
|x|>a (a>0)HjjK x<-a 또는 x>a임을이용한다.
각 부등식의 해를 구한
후그해들의공통부분을
찾는다.
11 ⑴ x-1>0 x>1 yy
⑴ x¤ -x-2…0 (x+1)(x-2)…0
⑴ -1…x…2 yy
⑴ ,
⑴ 1<x…2
⑵ 2x¤ -5x+2>0 (2x-1)(x-2)>0
⑴ x<;2!; x>2 yy
⑴ x¤ -3x-4…0 (x+1)(x-4)…0
⑴ -1…x…4 yy
⑴ ,
⑴ -1…x<;2!; 2<x…4
⑶ x¤ -5x+6<0 (x-2)(x-3)<0
⑴ 2<x<3 yy
⑴ 3x¤ -11x-4æ0 (3x+1)(x-4)æ0
⑴ x…-;3!; xæ4 yy
⑴ ,
.
⑴ .
⑷ |x-5|æ1
⑴ x-5…-1 x-5æ1
⑴ x…4 xæ6 yy
⑴ 2x¤ -9x+4…0 (2x-1)(x-4)…0
⑴ ;2!;…x…4 yy
x¤의 계수가 양수이므로
판별식 D<0만 성립하
면된다.
우공비
127
Ⅳ
방정식과
부등식
본책279 283쪽
⑴ ,
⑴ ;2!;…x…4
답⃞ ⑴ 1<x…2 ⑵ -1…x<;2!; 2<x…4
답⃞ ⑶ . ⑷ ;2!;…x…4
22 ⑴ x¤ +8<6x x¤ -6x+8<0
⑴ (x-2)(x-4)<0
⑴ 2<x<4 yy
⑴ 6x<3x¤ +2x-4 3x¤ -4x-4>0
⑴ (3x+2)(x-2)>0
⑴ x<-;3@; x>2 yy
⑴ ,
⑴ 2<x<4
⑵ 3-3x<x¤ +5 x¤ +3x+2>0
⑴ (x+2)(x+1)>0
⑴ x<-2 x>-1 yy
⑴ x¤ +5…2x+4 x¤ -2x+1…0
⑴ (x-1)¤ …0 x=1 yy
⑴ ,
⑴ x=1 답⃞ ⑴ 2<x<4 ⑵ x=1
유제 |
07-1 [x¤ -4x+3>0 yy
x¤ -(a+5)x+5a…0 yy
(x-1)(x-3)>0
x<1 x>3
(x-a)(x-5)…0
⁄ a>5 , 5…x…a
¤ a=5 , x=5
‹ a<5 , a…x…5
,
x
3<x…5
1…a…3 답⃞ 1…a…3
07-2 [x¤ -2x-a<0 yy
x¤ -2x+bæ0 yy
-1<x…0
2…x<3
.
x-1 0 2 3
x1 a 3 5
x¤ -2x-a<0 -1<x<3
1
(x+1)(x-3)<0, x¤ -2x-3<0
a=3
x¤ -2x+bæ0 x…0 xæ2
x(x-2)æ0, x¤ -2xæ0
b=0
a=3, b=0 답⃞ a=3, b=0
07-3 [2x¤ -3x-5>0 yy
x¤ +(a-3)x-2a+2<0 yy
(x+1)(2x-5)>0
x<-1 x>;2%;
(x+a-1)(x-2)<0
⁄ -a+1<2, a>-1 , -a+1<x<2
¤ -a+1=2, a=-1 , .
‹ -a+1>2, a<-1 , 2<x<-a+1
x
3<-a+1…4, 2<-a…3
-3…a<-2 답⃞ -3…a<-2
08-1 x¤ -2kx+1=0 D¡
=(-k)¤ -1æ0, (k+1)(k-1)æ0
k…-1 kæ1 yy
x¤ -2kx+4k=0 D™
=(-k)¤ -4k<0, k(k-4)<0
0<k<4 yy
, 1…k<4
k 1+2+3=6 .
답⃞ 6
08-2 x¤ -4kx+5k-1=0
D¡
=(-2k)¤ -(5k-1)æ0
4k¤ -5k+1æ0, (4k-1)(k-1)æ0
k…;4!; kæ1 yy
D¡4
D™4
D¡4
x25-1 2 3-a+1
4
방정식 x¤ -2x-a=0의해는
⋯x=-1 또는 x=3방정식 x¤ -2x+b=0의해는
⋯x=0 또는 x=2
이차방정식의 근의 판별
은 판별식 D=b¤ -4ac를이용한다.
A…B…C 꼴인 연립부등식의풀이
➞ [A…B
를 이용한다.B…C
a=-1일때, ㉡`의 부등식은 (x-2)¤ <0이므로해는없다.
우공비
128
x¤ +kx+k+3=0 D™
D™=k¤ -4(k+3)æ0
k¤ -4k-12æ0, (k+2)(k-6)æ0
k…-2 kæ6 yy
,
k…-2 kæ6
a=-2, b=6
|a-b|=|-2-6|=8 답⃞ 8
08-3 x¤ -2(a-1)x+2a¤ +a-3=0
D a, b
=(a-1)¤ -(2a¤ +a-3)æ0
a¤ +3a-4…0, (a+4)(a-1)…0
-4…a…1 yy
a+b=2(a-1)<0
a<1 yy
ab=2a¤ +a-3>0
(2a+3)(a-1)>0
a<-;2#; a>1 yy
, ,
-4…a<-;2#;
a -4, -3, -2 3 . 답⃞ 3
09-1 A x¤ -4x-12<0
(x+2)(x-6)<0, -2<x<6
A={x|-2<x<6}
A'B={x|x }, A;B={x|2…x<6}
A, B
.
B
B={x|x…-2 xæ2}
={x|(x+2)(x-2)æ0}
={x|x¤ -4æ0}
x¤ +ax+bæ0
a=0, b=-4
답⃞ a=0, b=-4
09-2 A x¤ +x-6<0
(x+3)(x-2)<0, -3<x<2
A={x|-3<x<2}
B x¤ +(k-2)x-2k…0
(x+k)(x-2)…0
x-2
BA
B
2 6
D4
⁄ -k<2, k>-2 , -k…x…2
¤ -k=2, k=-2 , x=2
‹ -k>2, k<-2 , 2…x…-k
A;B=A
-k…-3 kæ3
답⃞ kæ3
09-3 p, q P, Q
P={x|x¤ +12…7x}, Q={x|x¤ -3ax+2a¤ <0}
p q P,Q
P x¤ +12…7x x¤ -7x+12…0
(x-3)(x-4)…0, 3…x…4
P={x|3…x…4}
Q x¤ -3ax+2a¤ <0
(x-a)(x-2a)<0
⁄ a<2a, a>0 , a<x<2a
¤ a=2a, a=0 , .
‹ a>2a, a<0 , 2a<x<a
P,Q
a>0
.
a<3 yy , 4<2a yy
, 2<a<3
답⃞ 2<a<3
xa
QP
3 4 2a
x-k
BA
-3 2
44 절대부등식
익히기 |
11 ⑴ a>1 a-1>0, b>1 1-b<0
a+b-(1+ab)
=a+b-1-ab
=a(1-b)-(1-b)
=(1-b)(a-1)<0
a+b<1+ab
⑵ 2'2+'6 >0, 3+'3>0
(2'2+'6 )¤ -(3+'3 )¤
=(8+8'3+6)-(9+6'3+3)
=2+2'3>0
2'2+'6>3+'3
근호를 포함하는 경우이
므로 두 수의 제곱의 차
를이용하여대소를비교
한다.
계수가 실수인 이차방정
식 ax¤ +bx+c=0의 두실근을 a, b라할때, 두근이모두음이면
Dæ0, a+b<0, ab>0
부등식으로 나타내어진
두집합의교집합과합집
합이주어지면
➞ 두 집합을 조건에 맞
게 수직선 위에 나타내
본다.
우공비
129
Ⅳ
방정식과
부등식
본책283 288쪽
⑶ = ={ }‹ <1
3⁄ fi <7·
답⃞ ⑴ a+b<1+ab
⑵ 2'2+'6>3+'3
⑶ 3⁄ fi <7·
22 ⑴ ;bA;>0, ;aB;>0
⑴
⑴ ;bA;+;aB;æ2æ≠;bA; ¥ ;aB;=2
( , a=b )
⑴ ;bA;+;aB; 2 .
⑵ 2a>0, ;a*;>0
⑴
⑴ 2a+;a*;æ2æ≠2a¥ ;a*;=2¥4=8
( , a=2 )
⑴ 2a+;a*; 8 .
답⃞ ⑴ 2 ⑵ 8
33 a, b, x, y
(a¤ +b¤ )(x¤ +y¤ )æ(ax+by)¤
3¥2æ(ax+by)¤
-'6…ax+by…'6
( , ay=bx )
답⃞ -'6…ax+by…'6
243343
(3fi )‹(7‹ )‹
3⁄ fi7·
유제 |
10-1 ⑴ a¤ +b¤ æ2(a+b-1)
a¤ +b¤ -2a-2b+2=(a-1)¤ +(b-1)¤
a, b (a-1)¤ æ0, (b-1)¤ æ0
(a-1)¤ +(b-1)¤ æ0
a¤ +b¤ æ2(a+b-1)
a-1=0, b-1=0, a=b=1
. y
⑵ ⁄ |a|æ|b| ,
|a|-|b|æ0, |a-b|æ0
(|a|-|b|)¤ -|a-b|¤
=(a¤ -2|a||b|+b¤ )-(a-b)¤
=a¤ -2|ab|+b¤ -a¤ +2ab-b¤
=2(ab-|ab|)
ab…|ab| 2(ab-|ab|)…0
(|a|-|b|)¤ …|a-b|¤
|a|-|b|…|a-b|
¤ |a|<|b| ,
|a|-|b|<0, |a-b|>0
|a|-|b|<|a-b|
|a|-|b|…|a-b|
ab-|ab|=0, abæ0 .
y
10-2 'ßa+'ßbæ0, 'ƒa+bæ0
('ßa+'ßb )¤ -('ƒa+b )¤
=a+b+2'ßa'ßb -(a+b)
=2'∂abæ0
('ßa+'ßb )¤ æ('ƒa+b )¤
'ßa+'ßb æ'ƒa+b
'∂ab=0, ab=0 .
y
11-1 ⑴ {x+;](;}{;[$;+y}=4+xy+ +9
=13+xy+
xy>0, >0
13+xy+ æ13+2æ≠xy¥
=13+2¥6
=25
( , xy=6 )
{x+;](;}{;[$;+y} 25 .
⑵ x>0, 4y>0
x+4yæ2'ƒx¥4y=4'∂xy
( , x=4y )
x+4y=8
8æ4'∂xy , 2æ'∂xy
4æxy
xy…4
xy 4 . 답⃞ ⑴ 25 ⑵ 4
36xy
36xy
36xy
36xy
36xy
;bA;=;aB;
HjjK a¤ =b¤HjjK (a+b)(a-b)=0HjjK a=b
(∵ a>0, b>0)
2a=;a*;
HjjK 2a¤ =8HjjK a¤ =4HjjK a=2 (∵ a>0)
등호가성립할때 x, y의값을구하려면 x+4y=8의 식에 x=4y를 대입하여연립한다.즉 4y+4y=8⋯∴ y=1, x=4
우공비
130
11-2 2a>0, 3b>0
2a+3bæ2'ƒ2a¥3b=2'ƒ6ab=2'ƒ6¥6=12
( , 2a=3b )
2a+3b 12 . 답⃞ 12
11-3 x>2 x-2>0
x+1+ =x-2+ +3
æ2æ≠(x-2)¥ +3
=2¥1+3=5
x-2=
(x-2)¤ =1
x=3 ( x>2)
x+1+ x=3 5
m=5, n=3
m+n=5+3=8 답⃞ 8
12-1 ⑴ x, y
(2¤ +3¤ )(x¤ +y¤ )æ(2x+3y)¤
( , 3x=2y )
x¤ +y¤ =13 13_13æ(2x+3y)¤
-13…2x+3y…13
⑵ x, y
{('3 )¤ +1¤ }(x¤ +y¤ )æ('3x+y)¤
( , x='3y )
'3x+y=2'2 4(x¤ +y¤ )æ(2'2 )¤
x¤ +y¤ æ2
x¤ +y¤ 2 .
답⃞ ⑴ -13…2x+3y…13⋯⑵ 2
12-2 a, b, x, y
(a¤ +b¤ )(x¤ +y¤ )æ(ax+by)¤
( , ay=bx )
a¤ +b¤ =5, x¤ +y¤ =15 75æ(ax+by)¤
-5'3…ax+by…5'3
ax+by 5'3, -5'3
(5'3)¥(-5'3 )=-75
답⃞ -75
1x-2
1x-2
1x-2
1x-2
1x-2
12-3 x, y, z
(2¤ +1¤ +2¤ )(x¤ +y¤ +z¤ )æ(2x+y+2z)¤
{ , ;2{;=y=;2Z; }
2x+y+2z=9 9(x¤ +y¤ +z¤ )æ9¤
x¤ +y¤ +z¤ æ9
x¤ +y¤ +z¤ 9 .
답⃞ 9
종합문제 |
01⑤ 02① 03 9 04④ 05③ 06 4
07 > 08⑤ 09②
10 -1<a<5 11③ 12 9 13① 14⑤
15 x>3 16 6 17⑤ 18① 19⑤
20④ 21 25 22⑤ 23②
bb+1
aa+1
01 .
① a=2, b=1, c=-1 2>1
2¥(-1)<1¥(-1)
② a=2, b=-1 2>-1
② ;2!;>-1
③ a=2, b=-3 2>-3
|2|<|-3|
④ a=1, b=-2 1>-2
1¤ <(-2)¤
⑤ a>b jK a-b>0
jK (a-b)(a¤ +ab+b¤ )>0
jK a‹ -b‹ >0
jK a‹ >b‹
답⃞⑤
참고 ① a>b, c>0일때, ac>bc
② a, b가같은부호일때, a>b이면 ;a!;<;b!;
a, b가다른부호일때, a>b이면 ;a!;>;b!;
02 |x|<a(a>0) -a<x<a .
|2x-3|<5 -5<2x-3<5
-2<2x<8 -1<x<4 답⃞①
전략
전략
a, b, c, x, y, z가실수일때,(a¤ +b¤ +c¤ )(x¤ +y¤ +z¤ )æ(ax+by+cz)¤
{단, 등호는 ;a{;=;b};=;cZ;
일때성립}
a¤ +ab+b¤
={a+;2B;}¤ +;4#;b¤ >0
f(x)+ (f(x)>0)
꼴을포함하도록식을적
절히변형한후산술평균
과기하평균의관계를이
용한다.
1f(x)
우공비
131
Ⅳ
방정식과
부등식
본책288 291쪽
03 A
.
A={x|x¤ -6x+a…0}
x¤ -6x+a=0 .
D D=0 .
=(-3)¤ -a=0 a=9
a=9 x¤ -6x+9=(x-3)¤ …0
A .
답⃞ 9
04 a<b , (x-a)(x-b)<0
a<x<b .
-2<x<3 1
(x+2)(x-3)<0, x¤ -x-6<0
x¤ +ax+b<0
a=-1, b=-6
a, b ax¤ -x-b<0
-x¤ -x+6<0, x¤ +x-6>0
(x+3)(x-2)>0
x<-3 x>2 답⃞④
05.
x¤ -3x-4…0 (x+1)(x-4)…0
-1…x…4 yy
-x¤ +x+2<0 x¤ -x-2>0
(x+1)(x-2)>0
x<-1 x>2 yy
,
2<x…4
a=2, b=4
a+b=6 답⃞③
06.
(1+x){1+;[!;}=1+;[!;+x+1=2+x+;[!; 40`%
x>0, ;[!;>0
2+x+;[!;æ2+2æ≠x¥;[!;=2+2=4
( , x=1 )⋯ 50`%
(1+x){1+;[!;} 4 . 10`%
07 A-B>0 A>B .전략
전략
전략
전략
D4
전략 a-b>0, a+1>0, b+1>0
- =
= >0
> 답⃞ >
08 ax>b a>0 x>;aB;
a<0 x<;aB; .
(2a-b)x+3a-2b<0 x<-3
2a-b>0 yy
x< =-3 3a=b yy
2a-3a>0 a<0
(a-4b)x+2a+3b>0
(a-12a)x+2a+9a>0
-11ax>-11a
x>1 ( a<0)
S={x|x>1} S={x|x>1},{x|x>0}
. 답⃞⑤
09 f(x)
.
x<-3 x>2 1
(x+3)(x-2)>0 yy
f(x)<0
f(x) a a<0
a a(x+3)(x-2)<0
f(x)=a(x+3)(x-2)
f(x-1)=a(x+2)(x-3)>0
(x+2)(x-3)<0
-2<x<3 답⃞②
10 x
ax¤ +bx+c>0 a>0, D=b¤ -4ac<0
.
x
x¤ -2(a-2)x+9=0 D
<0 . 20`%
=(a-2)¤ -9<0 40`%
a¤ -4a-5<0, (a+1)(a-5)<0
-1<a<5 40`%
D4
D4
전략
전략
-3a+2b2a-b
전략
bb+1
aa+1
bb+1
aa+1
a-b(a+1)(b+1)
a(b+1)-b(a+1)(a+1)(b+1)
bb+1
aa+1
a>0, b>0일때⋯a+bæ2'∂ab(단, 등호는 a=b일 때
성립)
이차방정식
ax¤ +bx+c=0(a>0)이중근 a를가지면
ax¤ +bx+c…0의해는x=a이다.
x=;[!;일때등호가
성립한다.즉 x¤ =1에서x=1 (∵ x>0)
일차부등식과 해의 부
등호의 방향이 같으므
로 일차부등식의 일차
항의계수가양수이다.
우공비
132
11 ax¤ +bx+cæ0
a<0, D=b¤ -4ac<0 .
-x¤ +(k+2)x-(2k+1)æ0
x¤ -(k+2)x+(2k+1)…0
x¤ -(k+2)x+(2k+1)=0 D
D<0 .
D=(k+2)¤ -4(2k+1)<0
k¤ -4k<0, k(k-4)<0
0<k<4 답⃞ ③
12.
A x¤ +2x-3…0
(x+3)(x-1)…0, -3…x…1
A={x|-3…x…1} 20`%
A;B=Δ, A'B={x|-3…x<4}
A, B
. 20`%
B
B={x|1<x<4}
={x|(x-1)(x-4)<0}
={x|x¤ -5x+4<0} 40`%
x¤ -5x+4<0 x¤ +ax-b<0
a=-5, b=-4
a¤ -b¤ =(-5)¤ -(-4)¤ =9 20`%
13 A;B (A;B),C
a .
A x¤ -x-6<0
(x+2)(x-3)<0, -2<x<3
A={x|-2<x<3}
B x¤ +2x-8>0
(x+4)(x-2)>0, x<-4 x>2
B={x|x<-4 x>2}
A;B={x|2<x<3}
C x¤ -4ax+3a¤ <0
(x-a)(x-3a)<0
(A;B),C a>0
C={x|a<x<3a}
(A;B),C
a…2, 3…3a 1…a…2 답⃞ ①
xa
CA;B
2 3 3a
전략
x-3
A B
1 4
전략
전략 14 [x]
[x ]=n (n ) , n…x<n+1 .
[x ] ¤ -[x ]>0 [x ]([x ]-1)>0
[x ]<0 [x ]>1
[x] [x]…-1 [x]æ2
x<0 xæ2 yy
[x ] ¤-4[x ]+3…0
([x ]-1)([x ]-3)…0
1…[x ]…3
1…x<4 yy
,
2…x<4 답⃞⑤
15 a, b, c (a<b<c)
a¤ +b¤ >c¤ .
x, x+1, x+2
x>0 yy
x, x+1, x+2
x+x+1>x+2 x>1 yy
x¤ +(x+1)¤ >(x+2)¤
x¤ +x¤ +2x+1>x¤ +4x+4
x¤ -2x-3>0, (x+1)(x-3)>0
x<-1 x>3 yy
, ,
x>3 답⃞ x>3
16.
a, b, c
+ +
=;aB;+;aC;+;bC;+;bA;+;cA;+;cB; 30`%
={;aB;+;bA;}+{;bC;+;cB;}+{;aC;+;cA;}
æ2æ≠;aB;¥ ;bA; +2æ≠;bC;¥ ;cB; +2æ≠;aC;¥ ;cA; 40`%
=2+2+2
=6 ( , a=b=c )
a+bc
c+ab
b+ca
전략
전략
전략
a, b, c(a<b<c)
➞ a¤ +b¤ >c¤
➞ a¤ +b¤ =c¤
➞ a¤ +b¤ <c¤
보충학습
부등식 f(x)æ0의 해가없으면 부등식 f(x)<0은모든실수 x에대하여항상 성립한다. 따라서부등식은 변형하여 10과
같은방법으로풀어도된
다.
세 변의 길이가 주어
졌을 때 삼각형이 될
수있는조건
➞ (나머지 두 변의
길이의합)>(가장긴변의길이)
우공비
133
Ⅳ
방정식과
부등식
본책291 293쪽
+ + 6 .
30`%
17 .
x, y
(1¤ +2¤ )(x¤ +y¤ )æ(x+2y)¤
x¤ +y¤ =5
5_5æ(x+2y)¤ -5…x+2y…5
M=5, m=-5
M-m=5-(-5)=10 답⃞⑤
18 ,
.
A 4cm
S(A)= _4¤ =4'3(cm¤ )
B 3cm
S(B)=3_3=9(cm¤ )
C r 2pr=12
r=
S(C)=pr¤ =p{ } ¤ = (cm¤ )
4'3 9
9¤ -(4'3 )¤ =81-48>0 9>4'3
S(B)>S(A)
9
= >1 >9
S(C)>S(B)
S(A)<S(B)<S(C) . 답⃞ ①
19 .
. 'ßa…'ƒa+b…'ƒa+b+'ßb
'ßa…'ƒa+b+'ßb
'ßa-'ßb…'ƒa+b
( , b=0 )
. 'ƒa+bæ0, 'ßa+'ßbæ0
('ßa+'ßb )¤ -('ƒa+b )¤
=(a+2'∂ab +b)-(a+b)
=2'∂abæ0
'ƒa+b…'ßa+'ßb
( , a=0 b=0 )
전략
36p
4p
36p9
36p
36p
6p
6p
'34
전략
전략
a+bc
c+ab
b+ca
. 'ßa+'ßbæ0, "√2(a+b)æ0
("√2(a+b))¤ -('ßa+'ßb )¤
=2(a+b)-(a+2'∂ab+b)
=a-2'∂ab+b
=('a-'b )¤æ0
'ßa+'ßb…"√2(a+b)
( , a=b )
, , . 답⃞ ⑤
20 A(a), B(b)
AB”=|b-a| .
P x
AP ”=|x-3|, BP”=|x-7|
AP”+BP”=|x-3|+|x-7|
|x-3|+|x-7|…8
⁄ x<3 ,
-(x-3)-(x-7)…8
-2x…-2
xæ1
x<3 1…x<3
¤ 3…x<7 ,
(x-3)-(x-7)…8
0¥x…4 .
3…x<7 3…x<7
‹ xæ7 ,
(x-3)+(x-7)…8
2x…18
x…9
xæ7 7…x…9
1…x…9
1…OP”…9
OP 9, 1
10 .
답⃞ ④
21.
OA”=a, OB”=b, OC”=c, OD”=d
OAB=;2!;ab, OBC=;2!;bc,
OCD=;2!;cd, ODA=;2!;ad
OBC, ODA 4, 9
;2!;bc=4, ;2!;ad=9 b=;c*;, d=;;¡a•;;
전략
전략
a, b, x, y가실수일때,(a¤ +b¤ )(x¤ +y¤ )æ(ax+by)¤`(단, 등호는 ay=bx일때성립)
절댓값기호또는근호를
포함한경우
➞ 두 수의 제곱의 차를
조사하여 대소를 비교한
다.
나눗셈이간편한경우
➞ 두 수의 비를 조사하
여대소를비교한다.
우공비
134
ABCD=;2!;ab+;2!;bc+;2!;cd+;2!;ad
=;2!;¥a¥;c*;+;2!;¥;c*;¥c
=+;2!;¥c¥;;¡a•;;+;2!;¥a¥;;¡a•;;
= +4+ +9
=13+ +
a>0, c>0
13+ + æ13+2æ≠ ¥
=13+2¥6=25
( , 4a¤ =9c¤ )
ABCD 25 .
답⃞ 25
22 a, b
a>0, b>0
.
am, bm
ab=35 m¤ yy
(2a+2b)_5=10a+10b
2b_2=4b
10a+10b+4b=10a+14b
a>0, b>0
10a+14bæ2'ƒ10a¥14b=4'ƒ35ab yy
10a+14bæ4'ƒ35¥35 =140
( , 5a=7b )
140( )
.
답⃞ ⑤
23 S¡+S™=4p , a, b, x, y
(a¤ +b¤ )(x¤ +y¤ )æ(ax+by)¤ .
S¡, S™
[{;2!;}¤ +1¤ ]{(2S¡)¤ +(S™)¤ }æ[;2!;(2S¡)+S™] ¤
{;4!;+1}(4S¡¤ +S™¤ )æ(S¡+S™)¤
;4%;(4S¡¤ +S™¤ )æ(4p)¤ ( S¡+S™=4p)
전략
전략
9ca
4ac
9ca
4ac
9ca
4ac
9ca
4ac
4S¡¤ +S™¤ æ;;§5¢;;p¤
4S¡¤ +S™¤ ;;§5¢;;p¤ . 답⃞ ②
S¡+S™=4p S™=4p-S¡
4S¡¤ +S™¤ =4S¡¤ +(4p-S¡)¤
=5{S¡- } ¤ +;;§5¢;;p¤
4S¡¤ +S™¤ ;;§5¢;;p¤ .
4p5
다른 解
등호는 10a=14b, 즉5a=7b일 때 성립한
다.
a, b, x, y가실수일때,(a¤ +b¤ )(x¤ +y¤ )æ(ax+by)¤을이용한다.
memo
memo
