2.1 Demostración Del Método Simplex

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CAB

P.L. en forma canónica Las desigualdades han sido convertidas en igualdades.

Max Z =

s.a: =

con: 0

donde: A es de orden … m n.

es de orden …

es de orden …

es de orden …

Denótense las columnas de A con:

X c

X A b

X

c

X

b

naaa ...,,, 21

Ya están las variables de holgura

1× n

n × 1

m × 1


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Composición del P.L. La matriz A se puede partir en dos submatrices:

A = ( ) = ( [ B] [ N ] )

Cualquier vector de N se puede expresar como una

combinación lineal de los vectores de B.

]...,,[]...,,,[ 121 nmm aaaaa

Matriz básica, conformada por

vectores básicos (coeficientes de

las variables de holgura)

Matriz no básica, conformada por

vectores no básicos (coeficientes

de las restricciones)

mmj j j j aY aY aY a ...2211

m

k

k kj j aY a1

Bak

Sea:

Entonces: = ( )

Por lo tanto:

mj

j

j

j

Y

Y

Y

Y ...

2

1

j j Y Ba

maaa ...,,, 21 ja

mj

j

j

Y

Y

Y

...

2

1

j j a BY 1


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¿Cómo conseguir una

solución factible del P.L.? El sistema planteado tiene m ecuaciones con n incógnitas,

siendo n > m.

De las infinitas soluciones posibles, a simple vista se puededeterminar una con al menos (n – m) incógnitas iguales a cero,

es decir, con no más en m incógnitas positivas.

a11 x1 + a12 x2 + … + xh1 ……… = b1

a21 x1 + a22 x2 + ………+ xh2 …. = b2

…… …… …

am1 x1 + am2 x2 + …….…….+ xhm = bm

Para obtener una solución básica factible se considera:

Por lo tanto:

A esta solución se le denomina solución básica .

b X A

b X

X N B

N

B

b X N X B N B

0;0 B N X X

b X B B

b B X B1


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Para esta solución, la función objetivo será:

Esta solución inicial es muy mala, pues como los c B son ceros,Z=0 ¿Cómo mejorarla?

Dantzig buscó otra solución cambiando un vector de la base B,es decir, sacando un vector básico para reemplazarlo por otrono básico. De esta manera conseguiría mejorar la funciónobjetivo.

X c Z

N N B B N

B N B X c X c

X

X cc Z

B B X c Z

¿Y cómo llegar a la solución óptima?

Recuérdese que cualquier vector de N se puede expresar como

una combinación lineal de vectores de B:

j = 1, 2, …, n-m

Si es el vector que se va a sacar de B:

m

k

k kj j aY a1

r a

r rj

m

r k k

k kj j aY aY a 1

m

r k k

k

rj

kj

j

rj

r aY

Y a

Y a

1

1Si a j es el nuevo vector de entrada.


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Por otro lado, el sistema de ecuaciones de donde se obtiene lasolución inicial básica factible, , puede expresarse de lasiguiente manera:

Ahora debemos sustituir en esta última ecuación la expresión delvector de salida, ār :

b xam

k

Bk k 1

b xa xa Br r

m

r k k

Bk k 1

Sustituyendo en esta última ecuación la expresión del vector de

salida, ār :

y reordenando:

b xa xa Br r

m

r k k

Bk k 1

m

r k k

k

rj

kj

j

rj

r aY

Y a

Y a

1

1

baY

xa

Y

Y x x j

rj

Br k

m

r k k rj

kj

Br Bk

1

b xaY

Y

aY xa Br

m

k k

k rj

kj

jrj

m

r k k

Bk k

1111


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Sustituyendo con:

Se obtiene:

baY xa

Y

Y x x j

rj

Br k

m

r k k rj

kj Br Bk

1

rj

kj

Br Bk k Y

Y x x x '

rj

Br r

Y

x x '

ba xa x jr k m

r k k

k

''1

Este sistema de ecuacionesproporciona una nueva

solución básica

¿Cómo conseguir que la nueva

solución básica sea factible? Es necesario que:

x’ k = y x’ r =

Para que se cumpla la segunda condición, siendo x Br 0 (esuna de las soluciones anteriores), es necesario que: Y rj > 0.

La primera condición se cumplirá si todos los Y kj 0.

¿Y qué pasará si algún Y kj > 0?

0rj

kj

Br Bk Y

Y x x 0

rj

Br

Y

x


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Si Y kj > 0, se puede dividir la primera condición entreY kj sin

que cambie el signo de desigualdad:

Es decir:

El cociente x Br / Y rj debe ser el menor de todos los k posibles

cocientes x Bk / Y kj. Así la nueva solución será factible.

0rj

Br

kj

Bk

Y

x

Y

x0'

rj

kj

Br Bk k Y

Y x x x

kj

Bk

rj

Br

Y

x

Y

x

Regla de salida

En conclusión, si supiera qué vector de N formará

parte de la nueva base B, entonces el vector que saldrá

de la base debe ser aquél cuyo cociente x Bk / Y kj sea el

menor de todos (con Y kj > 0).

ja

r a


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¿Y cómo determ inar el vec to r

que en trará a la base? El vector de precios básico es:

Una vez que se haya cambiado un vector de la base, el vector

de precios básico resultante sólo diferirá del anterior en un

elemento.

Este nuevo vector será:

)...,,...,,,( 21 Bm Br B B B ccccc

)...,,...,,,(' 21 Bm j B B B ccccc

Por lo tanto la nueva F.O. será:

Sustituyendo las expresiones de x’ k y x’ r :

Nótese que el término de la sumatoria que corresponde ak = r resulta igual a cero.

r j

m

r k k

k Bk

m

k

Bk Bk B B xc xc xc X c Z '''''''11

rj

Br j

m

r k k rj

kj

Br Bk Bk Y

xc

Y

Y x xc Z

1

'


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Por lo tanto se incluye ese término en la sumatoria:

rj

Br j

m

k rj

kj

Br Bk Bk Y

xc

Y

Y x xc Z

1

'

rj

Br j

m

k rj

kj

Br Bk

m

k

Bk Bk Y

xc

Y

Y xc xc Z

11

'

rj

Br j

m

k

kj Bk

rj

Br

Y

xcY c

Y

x Z Z

1

'

z j

Regla de entrada Entonces, la nueva F.O. resulta:

Por lo tanto, para que la función objetivo se incremente(Z´ > Z), es necesario seleccionar como variable de

entrada a aquella cuyo z j – c j sea negativo.

Si existen varios negativos, resulta práctico seleccionar el

más negativo.

rj

Br j jY

xc z Z Z '


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Resumen del método Simplex1. Exprese el P.L. en su forma canónica y añada las

variables de holgura para convertir las desigualdades en

igualdades.

Construya, a partir de estas igualdades, la primera tabla,

que expresa la solución inicial básica.

Si esta solución no es factible, emplee otra variante del

método Simplex.

2. Si todos los z j – c j 0, la solución encontrada es óptima.En caso contrario, seleccione como vector de entrada

a aquél cuyo z j – c j sea el más negativo. ja

3. Seleccione como vector de salida a aquél cuyo cociente x Bk /Y kj sea el menor de todos, para todo .

4. Identifique el “pivote”, que es el valor arj que está en laintersección de la fila r con la columna j, y aplique lasoperaciones matriciales elementales definidas antes:

a) Divida la fila del pivote entre el valor arj.

b) Asigne ceros a los coeficientes aij de la columna del pivote con i

diferente de r .

c) Calcule los nuevos valores de a’ ik (de las filas diferentes a r ylas columnas diferentes a j) haciendo:

a’ ik = aik -

5. Regrese al paso 2.

r a0kjY

rj

rk ij

a

aa

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