booksshare.netbooksshare.net/books/physics/revujenko-af/2013/files/... · 2019-02-26 · УДК...

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУКС И Б И Р С К О Е О Т Д Е Л Е Н И ЕИНСТИТУТ ГОРНОГО ДЕЛА им. Н.А. ЧИНАКАЛАНОУ (ВУЗ) СИБИРСКИЙ НЕЗАВИСИМЫЙ ИНСТИТУТ

А.Ф. РЕВУЖЕНКО

ПРИЛИВНЫЕ ВОЛНЫИ НАПРАВЛЕННЫЙПЕРЕНОС МАСС ЗЕМЛИ

Ответственный редакторакадемик РАН Б.Д. Аннин

НОВОСИБИРСК«НАУКА»2013

1

УДК 525.6ББК 26.0

Р 32

Ревуженко А.Ф. Приливные волны и направленный пере-нос масс Земли / А.Ф. Ревуженко. — Новосибирск: Наука,2013. — 204 с.

ISBN 978–5–02–019126–6.

Монография посвящена моделированию процесса деформирова-ния Земли под действием приливных сил. Предложен кинематическийметод экспериментального исследования приливов в лабораторных ус-ловиях. Показано, что при определенных параметрах возможен вос-точный дрейф ядра. Обнаружен эффект направленного переноса массприливными волнами. Дано теоретическое описание эффекта в рамкахразличных реологических моделей тела.

Показано, что с увеличением высоты приливной волны механизмдеформирования тела может измениться качественно.

Указаны приложения полученных результатов в смежных облас-тях механики: для проведения визкозиметрических измерений, обога-щения полезных ископаемых, обработки пластических материалов ипорошков, моделирования ряда процессов, приводящих к образова-нию упорядоченных структур.

Книга рассчитана на научных работников и студентов, специали-зирующихся в области наук о Земле и механики сплошных сред, а так-же аспирантов.

Ил. 97. Библиогр. 277 назв.

Р е ц е н з е н т ыдоктор технических наук А.Г. Кирдяшкиндоктор технических наук В.Е. Миренковдоктор технических наук В.М. Серяков

Утверждено к печати Ученым советомИнститута горного дела им. Н.А. Чинакала СО РАН

ISBN 978–5–02–019126–6

2

© Ревуженко А.Ф., 2013© Институт горного дела им. Н.А. Чинакала

СО РАН, 2013© НОУ (ВУЗ) Сибирский независимый ин-

ститут, 2013© Редакционно-издательское оформление.

Сибирская издательская фирма «Наука»,2013

Приливные силы действуют на все небесные тела и оказываютвлияние на их эволюцию. Приливы приводят к перестройке орбитнебесных тел, изменению скоростей их вращения, перемещениямвоздушных и водных масс, а также к циклическому деформирова-нию всего тела в целом. При определенных условиях приливныесилы могут вызвать разрушение небесного тела.

Круг явлений, связанных с приливами, чрезвычайно широк. Ихизучению посвящена обширная литература. Однако в этой областиесть практически не разработанное направление — эксперименталь-ное моделирование приливного деформирования в лабораторных ус-ловиях. Необходимость развития этого направления диктуется всемопытом механики и спецификой поставленной ниже задачи. Мыздесь не будем рассматривать эволюцию орбит небесных тел, при-ливные явления в атмосфере или океанах. Ограничимся изучениемтолько твердых приливов и соответствующих перемещений внутрен-них масс Земли. В такой формулировке поставленную задачу можноотнести к области механики деформируемого твердого тела или кдинамике вязкой жидкости, если для тела принять вязкую реологию.

В механике, как известно, экспериментальное моделированиеиспользуется довольно широко и играет такую же важную роль, каки теоретические исследования, а также исследования, связанныес инструментальными наблюдениями в натурных условиях (для техзадач, в которых изучаются природные или техногенные явления,например в горном деле). В исследованиях же по приливам сложи-лось так, что развиваются только теоретические методы и методы,связанные с инструментальными наблюдениями в естественных ус-ловиях (на Земле, Луне и других, доступных для наблюдения небес-ных телах). Третье направление — экспериментальное моделирова-ние — здесь практически не развивается.

В настоящей книге сделана попытка частично восполнить этотпробел. Основная трудность моделирования приливов связана с тем,

3

Предисловие

что в лабораторных условиях невозможно избавиться от силы тяже-сти и задать распределение массовых сил, линейно зависящее откоординат (именно к таким сводятся приливные силы). 18 апреля1983 г. автор предложил метод кинематического моделирования при-ливов, который позволил обойти эту трудность. Экспериментальнона моделях был обнаружен эффект направленного переноса масс. Онпроявляется в том, что за полный оборот приливной волны внутрен-ние точки тела описывают почти замкнутые траектории, но к перво-начальному положению не возвращаются. С увеличением числациклов эффект накапливается и приводит к сколь угодно большимдеформациям тела. Эти результаты изложены в гл. 1. Теоретическоеисследование эффекта в рамках различных реологических моделейтела дано в гл. 2.

Для Земли приливные деформации весьма малы. Однако естьданные, показывающие, что в прошлом они были гораздо больши-ми. Кроме того, есть определенные основания считать, что совре-менная Луна образовалась вследствие приливного разрушения суще-ствовавшего ранее более крупного спутника Земли (ссылки на ис-точники содержатся во Введении). В связи с этим в гл. 2–4рассмотрены экспериментальные и теоретические модели деформи-рования тела в условиях возрастания высоты приливной волны. По-казано, что в этом случае механизм приливного деформированияможет измениться качественно. В конце концов тело приобретаетформу, близкую к тору или гантели, и с дальнейшим увеличениемприливных сил тело разделяется на части. В последней гл. 5 рассмот-рены приложения полученных результатов в смежных областях ме-ханики для проведения визкозиметрических измерений, постановкиэкспериментов с целью изучения определяющих уравнений различ-ных сложных сред, обработки пластических материалов, уплотненияи смешения порошков, исследования локализации сдвигов (в томчисле и турбулентных пластических течений, когда различные се-мейства пересекающихся линий скольжения функционируют попе-ременно). Рассмотренные способы нагружения позволили просле-дить развитие ряда новых процессов самоорганизации в сложныхсредах (возникновение и функционирование регулярных структур).

Настоящая книга написана на основе работ [1–51] и предназна-чена для исследователей в области наук о Земле, механики и при-кладной математики, инженеров, а также аспирантов и студентов.Автор выражает благодарность А.П. Бобрякову и В.П. Косых, совме-стно с которыми проводились лабораторные эксперименты.А.П. Бобрякову принадлежит конструктивная разработка экспери-ментальных стендов. В их изготовлении и проведении эксперимен-

4


тов принимали участие Ю.А. Борисов, Н.А. Громов, Э.В. Захаревич,М.А. Кривошеин.

Автор признателен В.Б. Бохонову, О.П. Бушмановой, В.И. Кра-маренко и С.В. Лаврикову, совместно с которыми проводились чис-ленные расчеты.

Автор благодарен академику РАН В.М. Фомину, профессоруД. Колимбасу за ценные обсуждения, академику РАН Б.Д. Аннинуза редактирование монографии. Автор считает своим приятным дол-гом отметить роль академика РАН Евгения Ивановича Шемякина,который принимал участие в данной работе и поддерживал ее навсех этапах выполнения.

В 1996–1998 гг. работа выполнялась при финансовой поддержкефондов ИНТАС — РФФИ (проект № 95-0742).

5


О существовании приливных волн в океанах известно всем.Труднее представить себе, что такие же волны, только меньшей ам-плитуды, бегут и по твердой поверхности Земли. Мы все время под-нимаемся или опускаемся на этих волнах и не замечаем этого толькопотому, что волны являются невысокими и чрезвычайно пологими.Приливные волны вызываются приливными силами. Природу при-ливных сил объяснил Ньютон, показав, что их наличие являетсяпрямым следствием закона всемирного тяготения [52]. Дальнейшееисследование этого вопроса связано с именами Лапласа и Эйлера[53]. Большой вклад в исследование приливных волн внесли Дарвин,Джефферсон, Рош и их последователи [54]. Из современных иссле-дований необходимо отметить работы Ю.Н. Авсюка, в которых даноканоническое определение приливной силы и анализируется рядтонких эффектов, связанных с вычислением этих сил [55–58]. Раз-личные аспекты приливного взаимодействия Земли, Солнца и Луныизучались в трудах П. Голдрайха, Г. Макдональда, Е.Л. Рускола и др.[59–61].

Приливные силы носят универсальный характер и действуют навсе протяженные тела, которые находятся в гравитационном поле,создаваемом другими небесными телами. Кроме того, приливныесилы действуют постоянно и поэтому они в той или иной степениоказывают влияние на все процессы эволюции небесных тел. В од-них случаях это влияние может быть пренебрежимо малым, в дру-гих — определяющим или по крайней мере весьма существенным.Все зависит от конкретной ситуации. Изучению различных аспектовроли приливов посвящена обширная литература. В настоящей книгене ставится задача представить ее полный обзор. Остановимся толь-ко на некоторых основных работах, в которых содержится подроб-ная библиография.

Вначале естественно обратиться ко времени, когда Солнечнаясистема только зарождалась. Этот процесс всегда вызывал большой

6

Введение

интерес. Существовало множество различных теорий. В свое времяпользовались популярностью теории, объясняющие происхождениепланет результатом катастрофы. К ним можно отнести и теориюпроисхождения Луны путем отделения от Земли. В этих теорияхприливным силам отводилась определяющая роль.

В настоящее время наиболее признанной является теория фор-мирования солнечной системы из протопланетного облака. Даннаятеория восходит к Канту и Лапласу (небулярная гипотеза). Совре-менный вид она приобрела благодаря трудам О.Ю. Шмидта [62] иего последователей (В.С. Сафронова [63] и др.). По одной из версийданной теории, Земля и Луна формировались одновременно в про-топланетном облаке, т. е. Луна (в противоположность теориям ее за-хвата) была образована сразу в области формирования самой Земли,составив с Землей двойную планету. Такого мнения придерживалисьРускол [61], Харрис, Каула [64]. (Обзор моделей с захватом и (или)одновременной аккреции представлен в работе Смита [65].) Бульше-му числу имеющихся в настоящее время данных удовлетворяют тео-рии, согласно которым Луна была образована в два этапа (Опик [66],Вуд, Митлер [67], Сорохтин [68], Сорохтин, Ушаков [69–71]). Когдаречь идет о первом этапе эволюции системы, то используется болееточное ее название — прото-Земля и прото-Луна. В соответствии сданными теориями прото-Луна была захвачена прото-Землей. Наэтом этапе приливные силы были настолько большими, что под ихдействием прото-Луна была разрушена (на пределе Роша). В резуль-тате система изменилась качественно и перешла ко второму этапусвоей эволюции. Теперь уже можно говорить собственно о Землеи Луне. Таким образом, в данном переходе приливные силы игралиопределяющую роль, которая остается большой и на втором этапеэволюции системы. Расчеты дают значения амплитуд приливныхволн порядка 1–3 км. Амплитуда волны постепенно уменьшалась,пока не достигла современных значений порядка десятков сантимет-ров. Приливные деформации играли большую роль во всех процес-сах эволюции Земли [72]. Они оказывали влияние на форму нашейпланеты, изменение скорости ее вращения, формирование магнит-ного поля, процессы накопления и высвобождения энергии, т. е.тектонические процессы, землетрясения и т. д. На современном эта-пе роль приливов, конечно, уменьшилась, но по-прежнему остаетсязаметной [73, 74].

Рассмотрим указанные вопросы подробнее. Начнем с вопросао форме Земли или в более широком смысле — вопроса о форме не-бесного тела, которую оно принимает под действием известных сил.Данная проблема представляет теоретический интерес, а для Земли

7

Введение

она имеет и большое практическое значение. Достаточно сказать,что проблема описания формы Земли является предметом изученияспециальной научной дисциплины — геодезии.

История исследования вопроса о форме Земли и ее размерахуходит в глубь веков. Ее краткий обзор дан в книге Н.П. Грушинско-го [75]. Теоретические исследования формы Земли связаны с имена-ми Гюйгенса, Ньютона, Маклорена, Эйлера, Клеро, Даламбера, Ла-гранжа, Лапласа, Лежандра, Гаусса, Пуассона, Эри, Якоби, Дирихле,Стокса, Кельвина, Пуанкаре, Пицетти и др. [52, 76, 77]. Теоретиче-ское исследование предполагает использование законов механикив рамках той или иной модели Земли. Остановимся на модели Нью-тона — одной из первых в этой области [52]. (Именно эта модель бу-дет использована ниже для оценки влияния приливных сил на фор-му небесного тела.) В [52] рассматривались два столба жидкости, ко-торые простираются от поверхности Земли до ее центра. Один столбрасположен вдоль оси Земли к ее полюсу. На него центробежныесилы не действуют. Второй столб направлен к экватору, и действиена него центробежной силы является максимальным. Из условияравенства давления в указанных столбах в центре Земли, где онисоединяются, было показано, что «диаметр Земли по экватору отно-сится к ее диаметру, проходящему через полюсы как 230 к 229» [52].

В математическом плане проблема описания формы небесноготела приводит к постановке целого ряда новых и весьма сложных за-дач. Исторически так сложилось, что самые значимые классическиеработы в этой области были выполнены в предположении о том, чток небесному телу можно применить законы гидростатики и гидроди-намики. Проще говоря, предполагалось, что небесное тело можнопредставить как изолированный объем вращающейся и самограви-тирующей жидкости. Особый интерес представляет вопрос об устой-чивости формы небесного тела. Здесь сложилось целое научноенаправление, связанное с именами Клеро, Дирихле, Дедекинда, Ри-мана, Дарвина, Пуанкаре, Ляпунова, Роша, Аппеля, Пицетти, Лих-тенштейна, Чандрасекхара и др. [76–79]. Какова здесь роль прилив-ных сил? Задача о равновесии и устойчивости однородного тела,находящегося в гравитационном поле другого тела, создающего при-ливные силы, рассматривалась Рошем, Джинсом и др. (задача Роша)[78]. В большинстве же работ этого направления приливные силы нерассматриваются. Иными словами, учитываются только силы собст-венной гравитации, центробежные и кориолисовы, а для вязкихжидкостей и силы вязкого трения. В такой постановке приливныеэффекты можно учесть как возмущения основной формы небесноготела. В некоторых случаях приливное искажение формы удобно учи-

8

Введение

тывать сразу в конфигурации его основной (т. е. невозмущенной)фигуры (например, когда возмущение неподвижно относительнотела или когда возмущение по телу движется, но внешняя форматела остается неизменной). Именно такой вариант с использованиеммодели Ньютона [52] рассматривается ниже.

Ясно, что во всех случаях скорость движения приливных волнопределяется скоростью вращения тела вокруг своей оси. Энергиявращения служит источником для многих диссипативных процес-сов, происходящих в теле планеты. Один из возможных механизмовтаких процессов рассмотрен ниже. Здесь отметим только некоторыеработы, посвященные различным проблемам, связанным с враще-нием Земли. Это прежде всего исследования Ержанова, Киселева,Куликова, Манка и др., касающиеся построения общей теории вра-щения Земли, теории движения полюсов, анализа процесса замедле-ния вращения Земли вследствие приливного трения и др. [80–86].

Хорошо известно, какое большое значение имеет магнитноеполе Земли. В науке о земном магнетизме можно выделить два фун-даментальных направления. Первое посвящено изучению магнитно-го поля как такового. Речь идет о получении, систематизации и опи-сании данных о магнитном поле как в далеком прошлом (палеомаг-нетизм по Монину [87]), так и о действующем магнитном поле идинамике его изменения (по Калинину, Долгинову и др. [88–90]).Основополагающими в этой области являются труды Гаусса [91].Второе направление связано с построением и проверкой теорийвозникновения и эволюции магнитного поля. В настоящее время об-щепринятой является теория магнитного геодинамо. История еевозникновения и развития изложена в [92, 93] и связана с трудамиЛармору, Эльзассера, Булларда, Геллмана [94–99], Бэкуса и Чандра-секхара [100], Герценбергера [101] и др. В дальнейшем значительныеработы в этой области были выполнены С.И. Брагинским [102–105],С.И. Брагинским и П.Н. Робертсом [106, 107] и др. Согласно теориимагнитного геодинамо, происхождение и эволюция магнитного поляЗемли связаны с течением масс в ее жидком ядре. Возникает вопросо силах, приводящих в движение геодинамо. Считается, что основ-ным источником этих сил являются конвективные течения в жидкомядре Земли, которые приводят к появлению сил Кориолиса вследст-вие вращения Земли. Источником энергии течений являются хими-ческие и физические процессы, которые происходят в жидком ядре,а также на его границах с внутренним ядром и мантией.

Еще один источник энергии связан с вращением Земли в грави-тационном поле Луны и Солнца. Гравитационное взаимодействиеприводит к прецессии земной оси и приливам. Влияние прецессии

9

Введение

оси Земли на работу геодинамо исследовалось в работах Малкуса[108, 109], Ш.Ш. Долгинова [110] и др. (модель прецессионного ди-намо планет). Приливным силам, по мнению Жаркова [111], здесьотводится гораздо более скромная роль. Но она ненулевая, и это яв-ляется вполне достаточным основанием для того, чтобы эти силы изанализа не исключать. Есть еще обстоятельство, которое также име-ет значение. В настоящее время получены данные, согласно кото-рым внутреннее жесткое ядро Земли испытывает дифференциальноевращение относительно жидкого ядра (Овчинников, Адушкин, Ан[112]). В рамках определенных моделей дифференциальное враще-ние ядра может быть получено только за счет приливных сил (точ-нее, за счет приливного искажения внешней границы жидкого ядра).Этот вопрос рассмотрен ниже.

Перейдем теперь к основной проблеме, которой посвящена на-стоящая книга. Приливные волны наблюдаются на поверхности не-бесного тела. Однако хорошо известно, что это не поверхностное яв-ление, а напротив — следствие деформирования всего небесноготела в целом. Приливные силы имеют природу массовых сил. Ониприложены ко всем частицам небесного тела, расположенным какна его поверхности, так и на любой глубине. Исключением являетсябесконечно малый объем в центре тела, где приливные силы равнынулю, поэтому исследование поведения небесного тела под действи-ем приливных сил можно отнести к области механики, изучающейпроцессы деформирования и течения твердых тел, вязких жидкостейи сложных реологических сред. Ниже будем рассматривать процессприливного деформирования именно с этой точки зрения. Вначалеобратимся к теории пластичности [113].

Способы нагружения пластических тел принято делить на дваосновных типа: простые нагружения, когда оси тензора напряженийотносительно тела неподвижны, и сложные нагружения, когда осиотносительно тела поворачиваются. Здесь речь идет об элементар-ном, т. е. бесконечно малом, объеме тела. Главным, однако, являют-ся не размеры этого объема, а тот факт, что в пределах данного объе-ма напряжения можно считать постоянными, а поля скоростей и пе-ремещений — линейными по координатам. В [4–6, 22, 30, 31] данаобщая классификация нагружений такого типа. Оказалось, что одиниз типов сложного нагружения [20] (нагружения с непрерывнымвращением осей тензора напряжений) имеет общие черты с прилив-ным нагружением небесного тела, которое вращается относительнонаправления к возмущающей массе. Экспериментальное исследова-ние нагружения данного типа сводилось к созданию условий, прикоторых тело в одном направлении растягивается, а в ортогональ-

10

Введение

ном — сжимается. Причем тело относительно данных направленийнепрерывно поворачивается. Для неупругих тел такого рода нагру-жение приводит к направленному переносу масс: за один полныйоборот материальные точки тела в первоначальное положение невозвращаются. С увеличением числа циклов эффект накапливается.Анализ указанного процесса и составляет предмет настоящей книги.В данном обзоре ограничимся только работами, наиболее близкимик теме книги.

Таким образом, речь идет о решении следующего вопроса: могутли периодические приливные деформации трансформироваться внеобратимые перемещения масс Земли как на ее поверхности, таки в ее глубинах, включая жидкое ядро. Предположение о возможномдвижении материков как следствия приливного взаимодействияЗемли с Луной и Солнцем обсуждалось Шварцем, Виттштейном,Штаубом, Вегенером и др. [114, 115]. Например, В.Ф. Бончковскийв своей монографии [116] 1953 года ставит вопрос о том, «являютсяли приливы твердой земной поверхности только выражением ее уп-ругих свойств, или же они вызывают некоторые остаточные дефор-мации вследствие пластичности вещества. В последнем случае при-ливное трение, накапливая деформации, может привести к значи-тельно большим эффектам». Далее высказывается предположениео том, что силы, которые связаны с приливными деформациями,могут способствовать возникновению землетрясений. Ниже в на-стоящем обзоре указываются более поздние работы, в которых дан-ное предположение нашло полное подтверждение. Кроме того,в [116] отмечается, что если жидкое ядро Земли «обладает значитель-ной вязкостью, то деформации, накапливающиеся от приливов,могут создать дополнительные напряжения, которые, возможно,весьма заметны на границе между упругой оболочкой и ядром Зем-ли, на глубине 2900 км». В целом, мнение автора [116] сводитсяк тому, что «приливные явления, вызывая периодические и непе-риодические накопления деформаций, могут оказаться действитель-ной силой для возникновения различных процессов внутри Земли».Результаты настоящей работы по экспериментальному и теоретиче-скому моделированию приливного деформирования полностью под-тверждают предположения, выдвинутые в работах [113–116]. (Этотперечень, конечно, не является полным.)

Детальный анализ сил, которые возникают в земной коре поддействием приливов, был дан Надаи в его фундаментальной моно-графии [113], основные выводы которой сводятся к следующему:«…гравитационные объемные силы g 0, порожденные Луной, стре-мятся крайне медленно смещать материал в обоих полушариях к эк-

11

Введение

ваториальной области, где он постепенно нагромождается и накап-ливается в широкой полосе…». Кроме того, внешняя твердая обо-лочка может испытывать скольжение «по ядру Земли подобногигантской тормозной колодке…». «Таким образом, присутствиеприливного твердого трения порождает три эффекта: 1) оно тормо-зит движение как земного ядра, так и внешней оболочки пород;2) оно вызывает медленное движение оболочки относительно ядрана запад; 3) оно увеличивает расстояние… от Земли до Луны» [113].Надаи исходил из теории «горячей» Земли, которая первоначальнонаходилась в расплавленном состоянии. С течением времени рас-плав охлаждался, и происходило затвердевание поверхности. Такимобразом, согласно данной теории, формировалась твердая оболочкаЗемли. В настоящее время указанная теория большинством исследо-вателей не разделяется (хотя по-прежнему у нее есть немало сторон-ников: В.В. Кузнецов [117, 118], Ромашев и др. [119]). Однако основ-ные выводы [113] от гипотезы о начальном состоянии Земли не зави-сят. Для нас наибольший интерес представляет вывод 2. Здесьфактически речь идет о возможном дифференциальном вращениикоры Земли. К аналогичному выводу на основе различных исходныхпосылок приходили авторы целого ряда работ. Во всех исследовани-ях этого направления речь идет о возможном механизме преобразо-вания энергии вращения Земли в энергию тектонических процессов.

В последние годы интерес к ротационному фактору значительновырос. В работе В.Е. Хаина, А.И. Полетаева [120] предлагается рас-сматривать ротационные процессы в рамках специально выделеннойветви современной геологической науки — ротационной тектоники.Ряд авторов считает роль ротационного фактора в эволюции Землинастолько важной, что ставит вопрос о формулировке новой геоло-го-физической парадигмы — ротационной геодинамике [121]. В ра-боте Н.И. Павленковой [122] показано, что движение палеомагнит-ных полюсов можно объяснить относительными перемещениямисфер Земли вокруг ядра.

Далее, в живой природе существует механизм смещения пла-стичной среды вдоль канала в случае, когда по его стенкам бежитволна перистальческой деформации. В работе З.Ф. Данеша [123]данный тип движения рассмотрен применительно к каналу, стенкикоторого представляют собой нижнюю кромку коры и верхнююкромку мантии, а текучая среда — это астеносфера. Деформациистенки — это приливные деформации Земли. Оценка, приведеннаяв книге Л.А. Маслова [124], показывает, что данный механизм вно-сит чрезвычайно малый вклад в западный дрейф коры. Далее необ-ходимо остановиться на близких по идеологии работах Б.Н. Середи-

12

Введение

на, в которых исследовались механизмы волновой передачи [125].Такие механизмы включают в себя гибкое звено (например, гибкуюсферу), слой смазки или набор подшипников и жесткое звено (на-пример, жесткую сферу). Подобные механизмы называют также вол-новой передачей. В ней циклические волновые движения в гибкомзвене передаются жесткому телу. Автор [125] обратил вниманиена аналогию схемы деформации гибкого звена волновой передачис двухволновым генератором волн эллиптической формы и схемой«приливные деформации Земли». Отсюда следует вывод о возмож-ности дифференциального вращения гибкой геосферы относительножесткой подстилающей сферической оболочки. Для литосферы этоможет проявляться в ее дрейфе в западном направлении.

Фактически к тому же самому механизму преобразования не-сколько иным путем пришел А.И. Добролюбов. В работах [126–129]он описывает волновые движения жидкостей и деформируемых тел,включая гибкие нити и оболочки. Показано, что подобные движе-ния могут сопровождаться переносом масс. В частном случае, когдаречь идет о деформируемых телах, перенос масс может приводитьк смещению тела как такового. Движение тел под действием такогорода волн автором названо дискретно-волновым. Подобные движе-ния достаточно часто встречаются в природе и используются в тех-нике. В [128, 129] представления о бегущих волнах в гибких телахиспользованы для анализа возможного переноса масс приливнымиволнами. Если земную кору рассматривать как гибкую оболочку, ко-торая лежит на подстилающих слоях, то можно показать, что при оп-ределенных условиях гибкая оболочка будет смещаться относитель-но своей опоры. Причем с увеличением числа циклов данные пере-мещения будут накапливаться. Аналогичные процессы возможны ив теле Земли, если предположить существование там набора оболо-чек, которые контактируют между собой с возможностью относи-тельного проскальзывания. В [130] описан прибор, на котором упо-мянутый эффект может быть продемонстрирован. В серии работэтот эффект подробно обсуждается и делается вывод о том, что онспособен быть «движущим механизмом геомагнитного динамо»,а также играть определяющую роль в генерации горизонтальныхдвижений земной коры (Гарецкий, Добролюбов, Левков, Середин[131–135]).

В настоящей книге показано, что направленный перенос массимеет место, даже если в строение небесного тела не вводить нижесткого ядра, ни каких-либо оболочек с возможностью их относи-тельного скольжения. В общем случае достаточно только двух фак-торов: тело должно вращаться относительно направления действия

13

Введение

приливной силы, т. е. по поверхности тела должна бежать приливнаяволна; в реакции тела на приливное воздействие обязательно должнабыть неупругая составляющая. Это минимальные условия, которыеуже обеспечивают направленный перенос масс. Механизм данногопроцесса имеет фундаментальный (в смысле — всеобщий) характери связан только с законами механики и реологией небесного тела.В связи с этим уместно вспомнить о классической работе Стокса1847 г., в которой [136] исследованы волны конечной амплитуды наповерхности бесконечно глубокой жидкости. «Изучая вопрос о форметраекторий частиц жидкости при распространении прогрессивнойволны конечной амплитуды, Стокс пришел к неожиданному и заме-чательному результату, что при распространении такой волны части-цы жидкости имеют, помимо колебательного движения, еще постоян-ное движение в направлении распространения волны. К такому за-ключению Стокс пришел, интегрируя уравнения движения частицжидкости при наличии потенциалов скоростей…» (цит. по: [136]). Пе-ренос масс волнами Стокса осуществляется только в приповерхност-ном слое жидкости. Эффект, изучаемый в настоящей книге, имеетместо во всем объеме тела и наблюдается даже для полностью одно-родных тел. Если же в тело ввести жесткое ядро и оболочки, то эф-фект только усилится. В пределе, когда жесткое ядро приходит (илипочти приходит) в соприкосновение с внешней оболочкой, вся систе-ма начинает функционировать как механизм волновой передачи,описанный в работах В.Н. Середина, А.И. Добролюбова.

Вернемся теперь к эффекту направленного переноса масс в егообщей трактовке. Как отмечалось, для реализации эффекта доста-точно двух условий: движения приливной волны по небесному телуи неупругой составляющей в реакции тела. Первое условие для Зем-ли выполнено. Изучению второго условия посвящена обширная ли-тература, и общий вывод работ этого направления является поло-жительным: да, в реакции современной Земли на приливные воз-действия есть неупругая составляющая. Эта составляющая была и впрошлой истории Земли. Приведем здесь ссылки только на некото-рые работы в этой области. В них содержится дальнейшая библио-графия. Прежде всего отметим работы Макдональда, Голдрайхаи Соттера [137, 138]. Отклонение реакции от идеально упругой при-нято оценивать с помощью эффективной диссипативной функцииQ-1. (Обратная величина, т. е. Q — это добротность колебательнойсистемы.) Отклонение от упругости можно оценивать также величи-ной угла запаздывания e. Величина e представляет собой угол междупрямыми, исходящими из центра Земли и направленными к верши-не приливного горба и к возмущающему телу, которое этот прилив

14

Введение

вызывает. Для идеально упругого тела данный угол равен нулю, длянеупругого тела — он отличен от нуля. Известно, что Q- = »1 2 2tg e e

(для малых углов). Астрономические и прямые наблюдения дают дляугла запаздывания прилива величину, равную e » 2,16° [137, 138].В данной оценке суммируются все статьи диссипации энергиивследствие прилива, т. е. сюда входит как диссипация энергии вокеанах и на шельфе, так и диссипация в земной коре, атмосфере,мантии и ядре. Исследованию приливов в гидросфере (океанах,шельфе, реках и водоемах) посвящена обширная литература (напри-мер, Б.А. Каган, Г. Ламб, Г.И. Марчук и др. [139–143]). Однако при-ливы в твердой оболочке Земли и ее внутренних областях такжепредставляют большой интерес. Какова степень отклонения от иде-ально упругой реакции твердой Земли и ее недр на приливные воз-действия? Нет сомнений в том, что реакция упругой не является, ноотносительно степени отклонения имеются только некоторые оцен-ки. Есть данные, что большая часть энергии (до 90 %) диссипируетсяв гидросфере в то время как в твердой Земле диссипируется толькопорядка 10 % энергии [139]. Энергия всех тектонических процессовимеет тот же самый порядок [124]. В настоящей работе посыл о не-упругой реакции примем в качестве исходной.

Особый интерес представляют для нас прямые данные о реак-ции горных пород на малые деформации, сравнимые с приливными.Тело Земли является неоднородным. Неоднородным будет и распре-деление приливных деформаций в теле Земли. Ясно, что средняядеформация, равная отношению высоты приливного горба к радиусуЗемли ( )10 7- , может служить только масштабом для реальных при-ливных деформаций, которые испытывают горные породы на по-верхности Земли и в ее недрах. Деформации (а через них и напряже-ния) определяются как отношение относительного смещения точектела к расстоянию между ними. Горный массив имеет блочноестроение, поэтому в зонах между блоками приливные деформациимогут быть гораздо выше средних (за счет того, что размеры блоковзначительно превышают размеры зон контакта между блоками).Кроме того, неоднородность земной коры и ее блочное строениеприводят к соответствующей неоднородности ее отклика на «одно-родное» приливно-силовое воздействие.

Блоки земной коры имеют разные масштабы и образуют опреде-ленную иерархию. Этот факт имеет принципиальное значение и по-этому обсудим его подробнее. Если посмотреть на данный вопросшире, то можно сказать, что иерархичность является наиболее уни-версальным свойством реального мира. Иерархию мы наблюдаем во

15

Введение

Вселенной, природе, сообществах животных, человеческом общест-ве, строении живых существ и т. д. Иерархичность необходима длясамого существования сложных систем. Везде царит принцип иерар-хии и подчинения.

Работы последних десятилетий показывают, что эта общая зако-номерность простирается не только на горные породы, но также и наупруго-пластические тела, сыпучие и другие среды. Такое понима-ние (если говорить о современных публикациях, не касаясь историивопроса) было достигнуто в результате работы научных школ ака-демиков В.Е. Панина, М.А. Садовского, Е.И. Шемякина (Панин,Гриняев, Лихачев [144–146], Садовский, Болховитинов, Кочарян,Писаренко, Родионов, Сизов, Спивак, Цветков [147–156], Шемя-кин, Стажевский, Бобряков, Бушманова, Косых, Крамаренко, Лав-риков, Ревуженко [3–5], [157–166]).

В указанных работах не раз отмечалось, что для описания блоч-но-иерархической среды необходима разработка новых математиче-ских моделей, более адекватных, чем те, которые основаны на клас-сической концепции сплошной среды. Попытки построения такихмоделей, предпринятые в работах [167–171], привели к неожиданно-му результату. Оказалось, что для адекватного описания блочно-иерархических сред необходимо наделять сами независимые пере-менные иерархией масштабных уровней. Это достаточно радикаль-ный шаг, который означает, что иерархией масштабных уровнейдолжны наделяться уже само пространство и время. Изменениеструктуры независимых переменных означает отказ от аксиомыАрхимеда и приводит к необходимости соответствующих измененийв самом математическом аппарате*.

Вернемся теперь к реакции блочно-иерархической среды на при-ливные силы. Как отмечалось, наличие блоков приводит к неоднород-ностям в распределении локальных деформаций и наклонов земнойповерхности. В статье А.А. Спивака, С.Б. Кишкиной [172] на основенатурных измерений описан новый тип движения в земной коре —прецессионное движение структурных блоков. Показано, что причи-ной движения блоков является приливное взаимодействие Земли,Луны и Солнца. Особо следует подчеркнуть следующий факт [172]: су-точные движения на границах блоков могут достигать 1–5 мм/сут, чтона три порядка превышает скорость вековых движений.

Как отмечалось, данные о деформациях и наклонах могут бытьполучены из непосредственных натурных измерений, поэтому здесь

16

Введение

* А.Ф. Ревуженко. Математический анализ функций неархимедовой перемен-ной. — Новосибирск: Наука, 2012. — 327 с.

становятся возможными постановка и решение обратных задач —по измерениям отклика земной коры получать данные о ее локаль-ном строении. В статье П.С. Матвеева [173] и обзоре И.А. Дычко,Н.И. Панченко [174] даны ссылки на экспериментальный материало «значительном возмущении приливов в непосредственной близо-сти от тектонических нарушений». Отмечается также, что ослабле-ние земной коры разломами приводит к аномальному увеличениюприливной деформации земной поверхности вблизи разломов. Приэтом возмущения с удалением от разлома затухают довольно быстро.

Исследование приливных наклонов в обвалоопасных зонахмогут также использоваться при прогнозировании обвалоопасныхситуаций (Кутный [175]).

В общем случае, если геосистема находится в состоянии, близ-ком к критическому, то факт неоднородного распределения ее при-ливных деформаций может иметь решающее значение для переходасистемы в критическое состояние.

Если же говорить о возможности накопления эффектов, и в ча-стности о направленном переносе масс, то здесь, как уже отмеча-лось, главным будет вопрос о неупругой составляющей в реакциигорных пород. В настоящее время накоплен большой объем прямыхэкспериментальных данных о том, что горные породы могут прояв-лять пластические свойства даже при весьма малых деформациях.В ряде работ приведены данные о микропластичности образцовгорной породы при их нагружении в диапазоне деформаций порядка10 6- , 10 105 3- -- , т. е. речь идет о деформациях, приближающихсяпо порядку величин к приливным деформациям (Дьяков, Кокшаров,Кочегаров, Машинский, Чаплыгин [176–178], Машинский [179–188]).

Таким образом, есть основания считать, что приливная реакциядаже внешней оболочки Земли может иметь неупругую составляю-щую. Данное обстоятельство имеет большое прикладное значение,прежде всего для горного дела, а также в связи с добычей нефтии газа. В первом случае речь идет о глубинах до 3 км, во втором —до 10 км. Нет необходимости говорить о чрезвычайной важностивопросов, связанных с горными ударами и землетрясениями (в томчисле, и землетрясениями техногенного происхождения). В настоя-щее время накоплен обширный материал о том, что «спусковымкрючком» данных явлений могут служить твердые земные приливы(триггерный эффект). Сошлемся на недавний семинар [189, 190],который был посвящен различным триггерным эффектам в геосис-темах. Триггерный эффект исследовался в ряде работ. Отметим ра-боту Varga [191], в которой даны результаты расчетов лунно-солнеч-ных напряжений в рамках различных моделей мантии. Показано,

17

Введение

что данные напряжения увеличиваются в направлении от полюсовк экватору, и кроме того, триггерный эффект приливных напряже-ний существенно зависит от ориентации разломов. В статьях Б.Г. Та-расова, А.Н. Шабарова, Д.В. Яковлева [192–196] приведен обшир-ный материал, показывающий, что с приливами связаны не толькосейсмические события различных масштабов, включая горные уда-ры и землетрясения, но также импульсные проявления конверген-ции стенок подготовительных выработок. На связь тектоническихпроцессов, которые происходят на Земле и Луне, указано в работеН.А. Козырева [197]. На большом статистическом материале показа-но, что одной из причин такой связи являются приливные воздейст-вия Луны на Землю и Земли на Луну. Здесь уместно отметить, чтос точки зрения механики деформирующего твердого тела данныепроцессы отличаются друг от друга принципиально. В первом случаетело (Земля) относительно направления приливной силы поворачи-вается, поэтому все его элементы испытывают сложное нагружениес непрерывным поворотом осей тензора напряжений. Во второмслучае это не так: Луна обращена к Земле одной стороной и тип на-гружения является простым (циклическим с неподвижными осямитензора напряжений). Параметр нагружения связан только с рас-стоянием между Землей и Луной. Данное расстояние меняется на10 %, и это обстоятельство приводит к циклическому нагружениютела Луны, что вносит свой вклад в тектонические процессы, кото-рые происходят на ней [198].

В работе Ю.Н. Авсюка [199] установлена убедительная корреля-ция приливного воздействия на Луну с проявлением лунной сейс-мичности. «Отмечена ритмика активности очаговых зон поверхност-ных лунотрясений Восточного и Западного полушарий. Показано,что активность очаговых зон то одного, то другого полушария управ-ляется приливной силой, создающей чередующиеся во временито области локальных растяжений, то области локальных сжатий»[199]. Лунотрясения можно рассматривать как упрощенную модельземлетрясений. Именно модель, в которой целый ряд усложняющихкартину факторов исключен вследствие отсутствия у Луны атмосфе-ры и гидросферы, совпадение экватора с плоскостью эклиптикии др. [199].

Вернемся теперь к процессам деформирования Земли. Они со-провождаются сейсмическими шумами, которые генерируются по-стоянно и являются следствием процессов разрушения горных породна достаточно малых масштабных уровнях. Приливные деформацииприводят к вариации параметров шумов.

18

Введение

В работах М.А. Садовского, А.В. Николаева [147, 200], Л.Н. Ры-кунова, О.Б. Хаврошкина, В.В. Цыплакова [201, 202], А.А. Спивака,С.Б. Кишкиной [203], С.В. Гольдина и др. [204] приведены данныео связи параметров микросейсмического фона с приливными де-формациями Земли. Воздействие твердых приливов на сейсмич-ность исследовалось в работах Г.А. Соболева, Ю.С. Тюпкина [205,206]. В.А. Салтыковым и др. [207, 208] выдвинута и обоснована гипо-теза о связи параметров вариации с положением очага готовящегосяземлетрясения. В работе В.А. Салтыкова, Ю.А. Кугаенко [209] про-веден анализ сейсмических шумов перед сильными региональнымиземлетрясениями 1992–2006 гг. Отмечается большая роль дилатан-сии горных пород в приповерхностных зонах.

Наряду с натурными наблюдениями большой интерес представ-ляют исследования процессов деформирования и разрушения об-разцов горных пород в лабораторных условиях. По этому вопросуимеется обширная литература. Отметим только некоторые исследо-вания, наиболее близкие к основной проблеме, которая рассматри-вается в настоящей книге. Прежде всего это работы, относящиесяк кинетической теории разрушения твердых тел, включая горныепороды [210]. Согласно кинетической термофлуктуационной теориипроцесс разрушения происходит постепенно с накоплением повреж-дений. Определяющим является то обстоятельство, что разрушениеначинается с некоторого порога, который гораздо ниже пределапрочности материала. Периодические приливные напряжения, на-ложенные на фоновые тектонические, вносят свой вклад в процесснакопления повреждений, а значит и в процесс формирования оча-гов землетрясений и горных ударов. Вопросы, связанные с прогно-зированием состояния разрушения, рассматривались В.С. Куксенко[211]. Особый интерес представляет исследование триггерных эф-фектов в лабораторных условиях. В ряде работ показано, что слабыевибрационные воздействия на образцы горных пород могут игратьроль триггера при их разрушении (Садовский, Мирзоев, Негматул-лаев, Саломов [212]).

Садовский, Шамина, Стопинский [147, 213], Мирзоев, Виногра-дов, Рузибаев [214], Трапезников, Манжиков, Богомолов [215], Со-болев, Пономарев [216], Куксенко, Манжиков, Тилегенов, Шатеми-ров, Эмильбеков [217] и др.). К этим же работам примыкают иссле-дования А.П. Бобрякова, В.П. Косых, А.В. Лубягина и автора,связанные с изучением длительных слабых воздействий на сыпучуюсреду [218–220]. Опыты и натурные наблюдения показывают, чтобольшинство процессов деформирования развиваются вначале ус-тойчиво. Затем в силу разных причин в системе «созревает» крити-

19

Введение

ческое состояние и происходит катастрофический переход в новоеустойчивое состояние.

Здесь возникает много проблем. Одна из первых — это выясне-ние того, что именно служит причиной перехода системы в крити-ческое состояние, какие скрытые условия и параметры управляюттаким переходом? Иногда причина перехода, по крайней мере в пер-вом приближении, лежит на поверхности. Например, когда нагруже-ние осуществляется в пространстве одного измерения. В простей-шем варианте — тонкий упругий стержень или образец горной поро-ды сжимаются силой, которая монотонно увеличивается. В первомслучае переход через критическое состояние (катастрофа) приводитк потере устойчивости, во втором — к разрушению образца. Можносказать, что здесь причина катастрофы — сжимающая сила. Следую-щее приближение требует исследования начальных несовершенствстержня, исходных трещин в образце и т. д. Таким образом, в ука-занном примере катастрофа происходит вследствие однократногоприложения достаточно большой сжимающей силы. Часто можнонаблюдать противоположную ситуацию, когда «подталкивание» сис-темы к катастрофе вызывается совершенно незначительными, напервый взгляд, причинами. Если такие причины влияют на фонекаких-то других факторов, которые сами по себе кризиса не прово-цируют, но действуют систематически в течение длительного време-ни, то система также может подойти к катастрофе.

Здесь основным становится свойство системы в той или инойформе «запоминать» свою историю. Действительно, пусть тело явля-ется, например, идеально упругим. Такое тело «помнит» только своюначальную конфигурацию, поэтому любые длительные слабые воз-действия не приведут к накапливанию необходимых изменений,а значит и не смогут повлиять на «подталкивание» упругой системык катастрофе. Для неупругих тел ситуация иная. Здесь каждый циклнагружения приводит к необратимому рассеянию энергии. Однакои в этом случае может осуществиться выход на стационарное состоя-ние так, что эволюция системы прекратится.

Таким образом, для поиска новых нетривиальных ситуаций не-обходимо было обратиться к неупругим средам и нестационарнымпроцессам их деформирования. В [218–220] в качестве природнойсреды выбран сыпучий материал, так как он удовлетворяет всемисходным требованиям.

Во-первых, для сыпучих материалов ярко выражены допредель-ное и предельное состояния. Кроме того, даже если внешняя дефор-мация носит допредельный характер, на микроуровне всегда нахо-дятся предельные контакты между частицами. Скольжение по ним

20

Введение

и приводит к необратимым изменениям. И главное — сыпучий ма-териал является простейшим представителем геоматериалов и отра-жает многие их свойства. В [218–220] показано, что длительные сла-бые воздействия могут приводить к формированию зон неустойчи-вости и в конечном счете к катастрофическим последствиям прификсированных внешних нагрузках (потеря устойчивости тяжелойколонны, неустойчивость прямого среза и т. д.).

Таким образом, слабые вибрационные воздействия можно рас-сматривать как имитацию приливных воздействий на породы, кото-рые находятся в заданном поле статических нагрузок. Тогда полу-ченные экспериментальные результаты в определенной степени рас-крывают механизм триггерных эффектов, которые возможны внатурных условиях.

Кроме указанного выше триггерного эффекта, приливные воз-действия также вносят свой вклад в формирование напряженно-де-формированного состояния земной коры. В работе В.В. Адушкина,А.А. Спивака [221] отмечается: «В отличие от морского прилива,энергия твердоприливной деформации не рассеивается в литосфере.Это вызывает накопление напряжений в среде и влияет таким обра-зом на направленность геологических процессов вследствие посто-янного присутствия приливного возмущения в течение значительно-го периода эволюции Земли».

В той или иной степени приливы оказывают периодическоевлияние на все параметры оболочек Земли, а также геофизическиепроцессы, которые в них происходят (Адушкин, Спивак, Харламов[222]). Так, твердые приливы воздействуют на геоэлектрический по-тенциал и интенсивность генерации электрических импульсов (Ку-гаенко [223], Спивак, Харламов [224]). Имеется много данных овлиянии приливов на гидрогеологический режим подземных вод(Спивак, Кишкина, Локтев и др. [225–227], Горбунова, Кабыченко,Кочарян и др. [227]). В работе С.С. Сардарова, В.Д. Осокина [228]приводятся обширные данные о влиянии приливов на дебит тер-мальных источников. Здесь же содержится вся предыдущая библио-графия.

Необходимо отметить, что приливы оказывают также влияниена режим процессов дегазации, которые происходят в земной коре(А.А. Спивак и др. [229]). Одна из чрезвычайно важных проблем гор-ного дела связана с внезапными выбросами угля и газа в шахтах.В связи с этим большой интерес представляют данные по корреля-ции между интенсивностью газовыделения в скважинах и прилив-ными движениями земной коры. Указанные корреляции объясняют-ся тем, что «в период наиболее интенсивных приливных движений

21

Введение

трещины тектонической зоны раскрываются, способствуя выходунакопившихся газов» [230].

Подводя итог, можно сказать, что с земными приливами связанвесьма широкий круг задач, которые имеют большое теоретическоеи прикладное значение. Среди них особенно выделяется задача ис-следования возможных механизмов накапливания приливных де-формаций в теле Земли. Далее, большинство работ по приливам —это теоретические работы и работы, связанные с наблюдениямии измерениями, которые проводятся в натурных условиях. Необхо-димо отметить, что задачи о приливном деформировании — это в об-щем задачи механики твердого тела и реологии. Для их исследованиямогут быть использованы все методы механики, включая и методымоделирования в лабораторных условиях. Однако, насколько извест-но из литературы, публикации, касающиеся лабораторного модели-рования приливов, практически отсутствуют. В настоящей работесделана попытка частично восполнить этот пробел, т. е. задачуо приливном деформировании поставить как прикладную задачумеханики, а именно — найти метод экспериментального исследова-ния приливов на моделях в лабораторных условиях и затем на этойоснове рассматривать различные постановки теоретических задач.В последних можно учесть факторы, которые не поддаются экспери-ментальному моделированию.

Как отмечалось в предисловии, основные результаты, на кото-рых основана данная книга, изложены в работах [1–51]. Представле-ния в упомянутых работах развиваются в различных направлениях.Прежде всего это труды академика Е.И. Шемякина о магнитном гео-динамо Земли, природе солнечной активности и процессах дефор-мирования вращающихся планет [231–235]. В работах академикаЮ.А. Косыгина и профессора Л.А. Маслова [124, 236–238] построенообобщение решения [19], подробно рассматривается роль различныхфакторов в тектонических процессах Земли. Показано, что прилив-ный фактор является достаточно значимым. Основные результаты[1–51], кроме [8, 11], относятся к плоской деформации. Следующийшаг естественно связан с постановкой и решением существеннотрехмерных задач. Он сделан в работах Ю.М. Григорьева, А.Н. Мох-начевского, О.Е. Скрябиной [239–245]. В них используются методыкватернионного исчисления и результаты работ [246 и др.], выпол-ненных под руководством академика Б.Д. Аннина.

22

Введение

1. Закон всемирного тяготения. Что такое приливные силы? Ка-ково их происхождение? Чтобы ответить на эти вопросы обратимсяк закону всемирного тяготения. Общеизвестно, что все тела притя-гиваются к Земле. Природа сил тяготения во многом еще не ясна.Исследование этого вопроса выходит за рамки механики. Для насважен только сам факт — все тела притягиваются друг к другу. Из-вестна также история о знаменитом яблоке, которое послужилотолчком для открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. Ноне все понимают смысл этого яблока. То, что яблоки падают на Зем-лю, замечали, конечно, и до Ньютона. Но Ньютон первый понял,что точно так же, как яблоко, на Землю падает и Луна. Вот эта связьбыла уже не только неочевидной, но скрытой, причем весьма глубо-ко. Понимание связи этих двух внешне совершенно различных фак-тов и явилось предметом одного из важнейших открытий.

Согласно закону всемирного тяготения, две массы m и М притя-гиваются друг к другу с силой, равной

Fm

r= g

М2 , (1)

где g — универсальная постоянная (постоянная всемирного тяготе-ния); r — расстояние между центрами двух масс т и М. Пусть тело Мпредставляет собой однородный шар, радиус которого равен R. Вна-чале предположим, что т — это материальная точка, расположеннаявне шара М, причем масса m<< M. Предположим также, что вначалеэта точка покоится и затем начинает свободное падение на массу М.Согласно второму закону Ньютона, ускорение, с которым будетдвигаться эта точка, равно а F m= / . Отсюда и из равенства (1) видно,что ускорение падения составит

ar

= gМ2 .

23

Г л а в а

§ 1. Приливные силы

Кинематический методэкспериментального исследованияприливных волн

Величина g очень мала, а М — велика, поэтому вместо произве-дения g × Mудобнее ввести другую величину — ускорение свободногопадения на поверхности тела М. Обозначим его через g. Тогда

g gRR

= =g gM

M22, ,

и можно записать:

a gR

r=

æ

èçö

ø÷

2

. (2)

Таким образом, по мере приближения точки m к массе М уско-рение ее свободного падения будет возрастать. У поверхности Земливысота, с которой падает тело, намного меньше радиуса Земли, по-этому таким эффектом можно пренебречь. Именно в этом смыслесчитается, что ускорение свободного падения (около поверхностиЗемли) является величиной постоянной.

2. Приливные силы: случай свободного падения тела. Пусть дляопределенности тело М — это Земля. Из равенства (2) видно, чточем ближе точка т находится к центру Земли, тем с большим ускоре-нием она падает. Отсюда сразу можно вывести одно следствие. Дляэтого вместо точки т рассмотрим тело, протяженное в пространстве.Например, пусть тело т представляет собой тонкий цилиндрическийстержень (рис. 1.1). Расположим стержень вертикально и разрежемего на тонкие диски. Затем дадим возможность телу с разрезами сво-бодно падать вниз. Все диски будут падать с различными ускорения-ми. Причем, согласно формуле (2), диски, которые расположеныниже, будут падать с большими ускорениями, чем верхние, поэтомупервоначальный стержень превратится в совокупность отдельныхдисков, расстояние между которыми будет все время возрастать.

Рассмотрим теперь тот же опыт, но уже для цельного стержнябез разрезов. Стержень по-прежнему будем рассматривать как сово-купность дисков, которые теперь уже скреплены между собой. Ясно,что такой стержень будет двигаться с каким-то одним ускорением,общим для всех дисков. Интуитивно ясно, что это должно бытьускорение, соответствующее некоторому среднему диску. Но диск,который расположен ниже, стремится лететь с большим ускорением,чем средний диск, поэтому он увлекает стержень вниз. А диск, рас-положенный выше, «хочет» лететь с меньшим ускорением, чем сред-ний, поэтому стержень увлекает этот диск вниз. Это приводитк тому, что в стержне появляется растягивающая сила, которая на-зывается приливной.

24

Гл. 1. Кинематический метод экспериментального исследования приливных волн

Вычислим ее величину. Введем систему координат, как показа-но на рис. 1.2. Пусть h — расстояние нижнего конца стержня от цен-тра 0; l — длина стержня; S — площадь поперечного сечения; sx x( ) —среднее нормальное напряжение в сечении x; r — плотность. Вы-пишем уравнение движения элемента стержня от х до х + dx. На этотэлемент действуют массовая сила, равная rgSR dx x2 2/ , и поверхно-стные силы S x dx xx x× + -[ ( ) ( )]s s . Эти силы заставляют двигатьсяэлемент с некоторым ускорением а. Причем величина а одинаковадля всех элементов стержня, поэтому уравнение движения приметследующий вид:

¶

¶- = -

sr r

x

x

R

xg a

2

2 . (3)

Концы стержня от напряжения свободны.

s sx xh h l( ) , ( )= + =0 0.

25


Рис. 1.1.

Указанных двух условий достаточно длятого, чтобы определить одну постоянную ин-тегрирования и ускорение а, которое заранеене известно. Результат будет следующим:

( )a g x hR

h h l

gR

h x h lx= = - -æ

èç

ö

ø÷

+ +

2 2 1 1

( ), s

r.

Легко видеть, что наибольшее растяги-вающее напряжение достигается в точкеx x h h l= = +* ( ). Таким образом, это не есть в

точности середина стержня, а среднегеометри-ческое от координат его концов.

В дальнейшем нас будут интересоватьтолько деформации самого тела, возникающиепод действием приливных сил, поэтому пере-несем начало координат из центра М в точкуx x= *, т. е. положим y x x= - *. Тогда уравне-ние (3) можно записать в виде

¶

¶= +

æ

èç

ö

ø÷ -

é

ëêê

ù

ûúú

-sr

x

y

R

x

y

xg

2

2

2

1 1( )* *

. (4)

Во всех реальных ситуациях размеры теламного меньше расстояния от тела до массы,вызывающей прилив, значит, можно принять,что l h<< , и значит, y x/ *<< 1.

Приведем для удобства в качестве справкиизвестные формулы, которые будут использо-ваться в дальнейшем. Если величина e<< 1, тос точностью до e2 можно принять, что

1 1 1 1 1

1 1 2

2 3

1

11

1 2

1

1

3

2

+ = + + = + = -

= - = -

+

+ +

e e e

e

e e

e

e

e

e

; ; ;

;( )

.

На основе последней формулы правую часть (4) можно предста-

вить в следующем виде: 1 1 22

+æ

èç

ö

ø÷ - = --

y

x

y

x* *.

26


Рис. 1.2.

Отсюда¶

¶+ × = =

sr

y

R

xy gG G1 1 0

2

30 2,( )*

. (5)

Легко также заметить, что при l/h << 1

x h hl

h

l* = + = +1

2. (6)

Таким образом, в данном случае среднегеометрическое от коор-динат концов стержня практически совпадает со среднеарифмети-ческим. Поэтому наибольшее растяжение достигается в серединестержня.

Итак, уравнение движения (3) превратилось в обычное статиче-ское уравнение (5). Это уравнение показывает, что приливные силысводятся к обычным массовым силам, интенсивность которых про-порциональна расстоянию до центра тела. Эти силы направлены отцентра, т. е. они стремятся разорвать (растянуть) стержень. Сумма ихравна нулю. Следовательно, приливные силы представляют собойсамоуравновешенную систему. Они деформируют тело, но не сооб-щают ему никакого ускорения как целому.

В подавляющем большинстве интересующих нас случаев взаи-модействующие массы, конечно, не падают свободно, а вращаютсявокруг общего центра масс. Нетрудно понять, что и при этом протя-женное тело при своем обращении по орбите будет испытывать дей-ствие приливных сил.

3. Трехмерное тело. Статика. Теперь все готово для того, чтобырассмотреть ситуацию, когда приливному возмущению подвергаетсяреальное трехмерное тело. Здесь обнаруживается качественно новыйэффект. Оказывается, приливные силы не только растягивают телов направлении возмущающей массы, но и сжимают его в ортого-нальном направлении. Неожиданным является то обстоятельство,что это сжатие того же порядка, что и растяжение (оно всего в 2 разаменьше). Наиболее просто это можно показать, если воспользовать-ся следующим приемом [142]. Заменим действие одной возмущаю-щей массы М двумя массами М/2, расположенными на том же рас-стоянии, что и М, но симметрично относительно заданного тела(рис. 1.3). Можно предположить, что все три тела неподвижно закре-плены в пространстве. Это позволяет ограничиться чисто статиче-ским анализом (все силы инерции здесь отсутствуют).

Введем систему координат 0xyz, как показано на рис. 1.3. Выде-лим элементарный объем Dv с координатами x, y, z. Вычислим коор-

27


динаты силы, с которой этот объем притягивается к массе, располо-женной в точке x L= + . Пусть x y z L, , << . Тогда можно принять, что

r L r Lx

L

x

L r L

x

L

2 22 21 2 1 1 21 1

= +æ

èç

ö

ø÷ = -

æ

èç

ö

ø÷ = +

æ

èç

ö

ø÷, , ,

sina=y

L.

Отсюда сила притяжения равна

| |¢ = = +æ

èç

ö

ø÷

× ×F

m

r

m

L

x

Lg g

M MD D

2 22 2 1 ,

компоненты этой силы равны

| |

| |

¢ = ¢ = +æ

èç

ö

ø÷

¢=- ¢ =

F F

F F

x

y

m

L

x

Lcos cos

cos sin

Mb a g

b a

D

2 2 1 2 ,

| |

-

¢=- ¢ = -

g

b g

M

Msin

D

D

m

L

m

L

y

F F z

2

2

3

2 3

,

.

(7)

Теперь рассмотрим притяжение массы, расположенной слева.Для вычисления можно воспользоваться уже полученными форму-лами, заменив в них х на (–х). В результате получим

¢¢ = - -æ

èç

ö

ø÷ ¢¢= - ¢¢ = -F F y Fx y z

m

L

x

L

m

L

mg g g

M M MD D D

2 22 31 2 , ,2 3L

z. (8)

28


Рис. 1.3.

Складывая (7) и (8) получим результирующую силу, действую-щую на элемент т:

F F F

F x F y F zx y z

m

L

m

L

m

L

= ¢ + ¢¢

= = - = -

,

, , .2 3 3 3g g gM M MD D D (9)

Эта сила и называется приливной. Видно, что приливная силавызывает растяжение тела в направлении возмущающей массы исжатие его в ортогональном направлении. Неожиданным, на первыйвзгляд, кажется то обстоятельство, что интенсивность сжатия всеголишь в 2 раза меньше интенсивности растяжения. Таким образом,приливная сила представляет собой обычную массовую силу, компо-ненты которой пропорциональны соответствующим координатам.

Массовые силы, действующие на тело, которое находится в по-кое, неизбежно приведут к возникновению внутренних напряжений.Распределение напряжений должно быть таким, чтобы они полно-стью компенсировали приливные массовые силы. Введем для ком-понент напряжений обычные обозначения s sxx yy, ... Известно, чтосумма сил, действующих на элементарный объем тела D D Dx y z со

стороны окружающих объемов, равна¶

¶

¶

¶

¶+ +

æ

èçç

ö

ø÷÷

s s sxx xy xz

x y yzx y zD D D .

Эта сила должна равняться компоненте силы Fx с противопо-ложным знаком. Отсюда и двух аналогичных соотношений вдольосей 0y и 0z следует система уравнений

¶ ¶

¶

¶

¶

¶

¶+¶

¶

¶

¶

+ + + =

+ -

s

s

s s

s s s

xx xy xz

xy yy zz

x y z

x y z

x

y

2 0G

G

,

=

+ - =¶

¶+¶ ¶

¶

0

0

,

.s s

s

sxz yz zz

x y zzG

(10)

Здесь

G= grM

L3 , (11)

где r=D

D D D

m

x y z— плотность материала.

Система (10) представляет собой классические уравнения равно-весия. Это не что иное, как первый закон Ньютона, записанный длякаждого из элементарных объемов покоящегося тела.

29


4. Трехмерное тело. Случаи свободного падения тела. Покажем те-перь, что рассмотренная выше схема описывает реальные прилив-ные возмущения. Рассмотрим задачу в несколько более общей по-становке, чем выше, а именно, будем считать, что тело являетсятрехмерным и, кроме того, снимем ограничение на то, что возму-щающая масса является неподвижной. Предположим, что оба телападают с ускорением к некоторому общему центру масс.

Пусть M M1 2, — массы двух взаимодействующих тел. В началь-ный момент времени их скорости нулевые и они находятся друг отдруга на расстоянии L. Обозначим через a a1 2, ускорения, с которы-ми массы M M1 2, движутся к их общему центру масс С. Тогда(рис. 1.4) имеем

M MM M

1 1 2 21 2

2a aL

= = g .

Пусть F — гравитационная сила, действующая на элемент Dm скоординатами x y z, , ; S — сила, действующая на Dm со стороны со-седних элементов. В сумме эти силы должны сообщить элементу ус-корение a1, направленное параллельно оси 0x. Таким образом,

F ma+ =S D 1.Отсюда получаем

S S SD D D

x y z

m

L

m

L

m

Lx y z= - = - =2 2

323

23g g g

M M M, , .

Таким образом, для приливных сил мы получаем в точности теже самые выражения, что и в формулах (10). Видно, что приливнаясила в случае свободного падения тела на возмущающую массу М

30


Рис. 1.4.

равна приливной силе, которая возникает в статическом случае,когда на тело действуют две симметрично расположенные массыМ/2 [243].

Аналогично рассматривается случай, когда два тела вращаютсявокруг общего центра масс.

Природу приливных сил первым объяснил Ньютон. С того вре-мени в механике выделились целые научные направления, посвя-щенные исследованию приливных сил. В данной монографии невоз-можно представить даже краткий обзор этих работ. Отметим толькотруды [54–58, 243], в которых содержится подробная библиография.Для дальнейших построений будет достаточно приближения (10).

§ 2. Приливные волны

Итак, на каждое протяженное тело, которое находится в гра-витационном поле внешней (возмущающей) массы, действует осо-бая система самоуравновешенных (приливных) сил. Эти силы явля-ются растягивающими в направлении к возмущающей массе и сжи-мающими в ортогональных направлениях. Причем силы сжатия вортогональных направлениях имеют тот же порядок, что и растяги-вающие. В дальнейшем, говоря о приливных силах, для краткостибудем обычно упоминать только первую составляющую — состав-ляющую растяжения в направлении возмущающей массы. Теперьестественно поставить вопрос, какова будет реакция тела на этисилы, к каким последствиям приводит наличие приливных сил?

По своему характеру данный вопрос принадлежит уже к областимеханики сплошных сред. Так, в механике твердого тела по задан-ным силам или смещениям требуется найти деформации тела ивнутренние напряжения, в гидромеханике — определить течения,которые реализуются при заданных внешних условиях, для болеесложных сред — найти деформации, напряжения, их скорости и,возможно, некоторые функционалы от них (для сред с памятью).

Таким образом, реакция тела на приливные силы будет зависетьпрежде всего от свойств тела, его реологии, внутреннего строения,а также от характера распределения неоднородностей в теле. Еслитело является абсолютно жестким, то какие бы самоуравновешенныесилы на него не действовали, реакции не будет никакой. Тело всегдабудет в точности сохранять свою исходную форму. В любой реаль-ной ситуации тело будет, конечно, деформироваться.

Следует отметить, что данная задача все-таки не является обыч-ной задачей механики сплошных сред. В механике предполагается,что начальные и краевые условия заданы, а также, что известны и

31


уравнения, описывающие поведение тела. В задаче о приливах си-туация другая. О начальных данных здесь вообще трудно что-либосказать, о реологии среды, условиях на контактах между внутренни-ми оболочками тела можно судить только предположительно. В це-лом здесь действует чрезвычайно много факторов, которые в той илииной степени влияют на деформацию небесного тела.

В этом отношении исходная задача ближе к прикладным зада-чам, возникающим непосредственно на практике. Как известно, лю-бая прикладная задача никогда не возникает как математическая.Вначале она формулируется вербально. При этом, как правило, зада-ча выглядит достаточно расплывчато и включает в себя ряд неопре-деленных моментов. На этом этапе в поле зрения оказывается многофакторов, которые могут повлиять на результат. Затем происходитоценка роли различных факторов. Иногда оценка является более илименее строгой, чаще всего она носит интуитивный характер. Во всехслучаях здесь всегда есть достаточно большой произвол. Этот этаписследования является основным. Он приводит к построению опре-деленной модели процесса. Дальше задачу можно ставить уже либокак экспериментальную, либо как теоретическую, либо как и туи другую одновременно. В последнем случае эксперимент уточняетпринятую модель и влияет на математическую постановку задачи.В свою очередь и результаты математического исследования могутуточнить требования к эксперименту и т. д.

Примем для приливов ту же схему исследования, которая обыч-но используется для решения прикладных задач. Вначале перечис-лим как можно больше факторов, которые так или иначе могут вли-ять на процесс приливного деформирования. Затем уже выберем изних основные и перейдем к экспериментальному и теоретическомуизучению.

1. Во-первых, приливные силы вносят свой вклад в движениевоздушных масс атмосферы Земли.

2. Далее, всем хорошо известно, что существуют океанские при-ливы и отливы. Они могут быть весьма значительными. В некоторыхакваториях высота прилива достигает 18 м. В открытом океане коле-бание высоты воды составляет порядка 2 м. Причиной океанскихприливов также могут быть рассмотренные выше приливные силы.Такие же силы действуют и на внутренние моря и озера. Однакоздесь результат их действия уже менее заметен.

3. Наряду с океанскими приливами существуют такие же прили-вы в твердой оболочке Земли. Как отмечалось, приливные силыстремятся растянуть тело в направлении к возмущающей массе исжать его в ортогональных направлениях. Если тело является идеаль-

32


но упругим, то оно, естественно, растянется в направлении к возму-щающей массе и сожмется в ортогональных направлениях. Вместес тем тело будет продолжать собственное вращение вокруг оси. По-этому к возмущающей массе будут поворачиваться все время новыематериальные элементы тела. Это означает, что по поверхности телабудет бежать волна (приливная волна) (рис. 2.1, а).

Принципиально ситуация не меняется, если тело упругим не яв-ляется. Какой бы ни была реология тела, растягивающая сила вызо-вет растяжение в направлении своего действия. Осложнение будетсвязано только с вращением тела. Поскольку вращение приводитк изменению направления действия силы относительно материаль-ных элементов, то направление наибольшей деформации растяже-ния может уже не совпадать с направлением действия возникающейсилы. Однако основной результат здесь не изменится — по телубудет бежать приливная волна (рис. 2.1, б).

4. Необходимо подчеркнуть, что приливная волна — это неповерхностные явления. Это следствие деформирования всей Землив целом. (Как волна этот процесс воспринимается только для наблю-дателя на поверхности Земли.) Поэтому в число факторов, влияю-щих на процессы приливного деформирования, необходимо также

33


Рис. 2.1.

включить и приливные эффекты в мантии, жидком ядре и, в прин-ципе, возможно, и в твердом ядре.

5. Картина приливов в целом усложняется тем обстоятельством,что на Землю действуют не одно, а два возмущающих тела: Лунаи Солнце. Расстояния от них до Земли существенно различаютсямежду собой, однако так же существенно различаются и их массы.В результате приливные воздействия на Землю Луны и Солнца будутиметь одинаковый порядок. Некоторый вклад дают также звездыи другие планеты Солнечной системы.

6. Плоскость орбиты, по которой Земля обращается вокругСолнца (плоскость эклиптики), не совпадает с экваториальнойплоскостью Земли и неортогональна ей. Иными словами, если гово-рить о взаимной ориентации двух прямых — нормали к плоскостиэклиптики и оси вращения Земли, то можно сказать, что здесь имеетместо общий случай: эти прямые не параллельны и не ортогональны.Плоскость орбиты Луны практически совпадает с плоскостьюэклиптики и это упрощает задачу в целом.

7. Известно, что положение оси вращения Земли меняется впространстве и, кроме того, меняется также относительно самойЗемли (движение полюсов). Это также вносит свой вклад в динамикувнешних сил и все процессы деформирования планеты.

Безусловно, здесь перечислены не все факторы, которые оказы-вают влияние на приливное деформирование Земли. В этот списокможно включить также конвективное всплывание и погружениемасс, космические факторы, связанные с вращением Солнечнойсистемы относительно центра Галактики и т. д. Поэтому для полно-ты списка добавим еще один пункт.

8. Прочие факторы. Все указанные факторы связаны междусобой. Причем эти связи, как правило, носят нелинейный характер,т. е. общий результат от действия двух факторов не является простымналожением результатов от каждого из них в отдельности. Крометого, каждый из факторов оказывает определенное влияние на всеостальные. Например, отметим связь только двух факторов: прили-вов в океане и приливов в твердой оболочке Земли. Как это ни пока-жется неожиданным, высота приливной волны в твердой оболочкеЗемли имеет тот же порядок, что высота прилива в открытом океане.Но это означает, что колебание дна должно учитываться при анализединамики океанического прилива. Кроме того, имеет значениеи тот факт, что приливное повышение уровня океана приводит кдополнительному давлению на дно, а значит и к его прогибу. Анало-гичная и гораздо более выраженная ситуация имеет место и дляконтинентального шельфа.

34


Кроме того, эффект земных и океанических приливов сказыва-ется на гравитационном потенциале Земли, а любые перемещениямасс влияют на момент инерции Земли в целом и, кроме того, на по-тенциал центробежных сил. Изменение потенциалов в свою очередьоказывает определенное влияние на все остальные факторы и т. д.Таким образом, наши обычные представления о Земле, как о чем-тоочень стабильном при более внимательном рассмотрении, оказыва-ются весьма далекими от действительности. Земля «раскачивается»,«скрипит» и меняется во времени, т. е. эволюционирует. При этомприливы для Земли играют особую роль и накладывают свой отпеча-ток на все процессы ее эволюции.

Итак, мы видим, что процессы приливного деформированияЗемли являются чрезвычайно сложными. Здесь действует множествофакторов, большинство из которых можно оценить весьма прибли-женно. Как отмечалось, в этом отношении задача о приливах близкак обычным прикладным задачам, которые возникают на практике.

Каким должен быть следующий шаг? Ясно, что для такой слож-ной ситуации ставить вопрос об исследованиях приливов с учетомвсех известных факторов — дело практически безнадежное. Для тогочтобы реально продвинуться в решении, задачу необходимо резкосузить, т. е. сформулировать более доступную цель и, исходя уже изнее, вести дальнейшие построения. Мы сузим задачу следующим об-разом, а именно: исключим атмосферные и океанические приливыи будем интересоваться только твердыми приливами и соответст-вующим процессом деформирования внутренних масс Земли. Ос-новное видимое проявление этого процесса состоит в движении наповерхности Земли приливных волн. Поставленную задачу можносформулировать таким образом: исследовать в целом процесс дефор-мирования Земли, который связан с движением по ее поверхностиприливных волн. Однако и эта постановка является слишком общей,поэтому примем еще целый ряд дополнительных упрощений.

Исключим движение полюсов планеты, а также нутацию и пре-цессию ее оси. Будем учитывать не два, а только одно возмущающеетело, например, для определенности Луну, если речь идет о Земле.Для общности будем иметь в виду произвольную систему двух тел(т. е. не обязательно пару «Земля — Луна»). Поэтому конкретнымизначениями параметров связывать себя не будем. Одно из тел будемрассматривать как объект моделирования (т. е. деформируемоетело), а второе тело будем рассматривать только как возмущающуюмассу, которая создает прилив в первом теле.

Можно выделить несколько случаев характерного расположенияорбиты тела и ориентации оси его вращения относительно возму-

35


щающей массы. Именно этим обстоятельством определяется харак-тер нагружения деформируемого тела. Как и прежде, приливныесилы удобнее рассматривать как чисто статические, вызванные при-тяжением двух симметрично расположенных масс, каждая из кото-рых равна половине возмущающей массы Ì.

Введем координаты 0xyz так, чтобы ось 0x была направлена к воз-мущающему телу, ось 0y по касательной к орбите, ось 0z — ортогональ-на к 0x, 0y. Считаем, что орбита является окружностью и возмущающеетело находится в центре круга. Рассмотрим три крайних случая, когдаось вращения тела совпадает с одной из координатных осей 0x, 0y и 0z.Пусть тело вращается вокруг оси 0x (рис. 2.2). Возьмем произвольныйматериальный элемент тела. В течение суток элемент поворачиваетсявокруг оси 0х. Легко видеть, что поле приливных сил будет симметрич-ным относительно этой оси, значит, тело вытянется вдоль оси враще-ния, сожмется в ортогональных направлениях и фактически никакого

36


Рис. 2.2.

Рис. 2.3.

движения приливных волн на его поверхности не будет. А по этойпричине и приливные деформации будут отсутствовать.

Пусть теперь тело вращается вокруг оси 0y (рис. 2.3). В этом слу-чае тело растянуто вдоль направления 0х и сжато в ортогональныхнаправлениях. Суточное вращение приводит к тому, что в областьрастяжения попадают все новые элементы тела. Затем они переходятв область сжатия и т. д. Таким образом, тело будет непрерывно де-формироваться. На поверхности результат проявляется в виде при-ливной волны, непрерывно бегущей по поверхности тела.

Такой же будет ситуация в случае вращения тела вокруг оси 0z(рис. 2.4). Исключением является только один вариант, когда движу-щееся по орбите тело обращено к возмущающей массе одной и тойже стороной (сутки равны году). В схеме с двумя массами, показан-ной на рис. 1.7, этому случаю отвечает значение W z = 0. При W z ¹ 0,как отмечалось, по телу будет смещаться приливная волна.

В общем случае вращение будет осуществляться при отличииот нуля трех компонентов — W W Wx y z, , . Далее для анализа остано-вимся на самом простом (из нетривиальных) варианте, когдаW Wx y= = 0 и W z ¹ 0.

§ 3. Критерии моделирования

Теория моделирования развита достаточно полно, и в настоя-щей работе нет необходимости излагать ее основные результаты.Отметим только, что в качестве составных частей в теорию модели-рования можно включить анализ размерностей, теорию подобия,вопросы, связанные с исследованием различных аналогий, а такжеряд других близких по духу приемов и методов [247].

37


Рис. 2.4.

В принципе, есть полная ясность, в каких случаях можно гово-рить о моделировании одних процессов с помощью других, в томчисле и процессов, которые разыгрываются в натурных условиях ина больших масштабах, с помощью тех или иных процессов, которыесоздаются в искусственных условиях и в меньших масштабах (прощеговоря, в лабораторных опытах; именно эта ситуация представляетнаибольший интерес). В идеальной ситуации моделирование (точ-нее, полная аналогия) будет обеспечено, если в безразмерных пере-менных два процесса описываются одинаковыми уравнениями и од-ними и теми же начальными и краевыми условиями. Кроме того,должна иметь место единственность решения. При этом перемен-ные, фигурирующие в уравнениях, для каждого из данных процессовмогут иметь различный физический смысл.

В тех случаях, когда исходный процесс и его модель имеют однуи ту же физическую природу, на первый план выступают анализ раз-мерностей и соответствующие критерии подобия. Для вывода крите-риев есть четкий алгоритм. Реализация этого алгоритма никакихтрудностей не вызывает. Таким образом, если есть исчерпывающиеданные о реологии среды, ее строении и условиях нагружения или,иными словами, мы располагаем замкнутой системой уравненийи набором краевых и начальных условий, описывающих реальныйпроцесс, то вопросы об условиях моделирования решаются одно-значно.

Основные проблемы начинаются в тех случаях, когда часть ис-ходных данных либо вообще отсутствует, либо носит неполный илипредположительный характер. Однако трудности могут возникнутьи при наличии вполне достоверных данных и соответствующих имкритериев подобия. Требования критериев могут оказаться настоль-ко сложными, что выполнение их становится невозможным по тех-ническим или по иным причинам.

Задача моделирования приливов, которая рассматривается вэтой книге, демонстрирует полный набор всех указанных трудно-стей. Во-первых, в ней нет ясности со списком зависимых перемен-ных, относительно которых должна быть сформулирована замкнутаяматематическая модель. Во-вторых, отсутствуют полные данные обуравнениях состояния и определяющих уравнениях. При этом естьвполне достоверные сведения о характере всех действующих сил,а также о форме планеты и ее движении в целом. Отсюда можнополучить часть критериев подобия, но непосредственно реализоватьих практически невозможно. Рассмотрим все данные вопросы попорядку.

38


Вначале о списке неизвестных. Ясно, что в этом списке должныфигурировать плотность среды, компоненты тензоров напряжений,деформаций, вектора смещений и, возможно, их скоростей. Жела-тельно было бы включить температуру, внутреннюю энергию и дру-гие физические переменные. Однако для этих переменных получа-ются весьма сложные критерии, которым трудно удовлетворить дажев рамках приближенного подхода, который рассматривается ниже.Поэтому последнюю группу переменных исключим. Это означает,что вопросы моделирования конвективных течений в небесном теле,фазовых переходов, электромагнитных и температурных полей,а также механохимических эффектов здесь не ставятся и не рассмат-риваются. Ниже ограничимся только чисто механическим описани-ем процесса приливного деформирования.

Структура уравнений, описывающих механическое поведениесреды, хорошо известна. Ее можно представить в следующем виде:

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶+ + + = + +

s s sr

11

1

12

2

13

31

11

1

12

1

x x x

v

t

v

x

v

xF v v

23

1

3+

æ

èçç

ö

ø÷÷

¶

¶v

v

x,

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶+ + + = + +

s s sr

12

1

22

2

23

32

21

2

12

2

x x x

v

t

v

x

v

xF v v

23

2

3+

æ

èçç

ö

ø÷÷

¶

¶v

v

x, (1)

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶+ + + = + +

s s sr

13

1

23

2

33

33

31

3

12

3

x x x

v

t

v

x

v

xF v v

23

3

3+

æ

èçç

ö

ø÷÷

¶

¶v

v

x;

[ ]s eij ij km kme x x x= F , , , ,1 2 3 ; (2)

ekmk

m

m

kkm

k

m

m

k

u

x

u

x

v

x

v

xe= +

æ

èçç

ö

ø÷÷ = +

æ

èç

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

1

2

1

2, ç

ö

ø÷÷

= =¶

¶

,

, , , , , , , ,v i j k mkku

t1 2 3

(3)

где x ti , — декартовы координаты и время; s eij km k km ku e v, , ,, — ком-поненты напряжений, деформаций, перемещений и их скоростей;r — плотность; Fi — компоненты объемной силы. Определяющиеуравнения записаны символически через функционалы Fij . Для не-однородной, в частности для слоистой среды, функционалы будутявно зависеть от координат. В случае необходимости выражения (3)для компонент деформации можно заменить на соответствующиенелинейные соотношения. Точно так же в список неизвестных мож-но включить плотность среды и добавить для ее определения соот-ветствующее уравнение состояния.

39


Задача будет корректной, если к уравнениям (1)–(3) добавитьначальные и краевые условия. Как отмечалось, вопрос о начальныхусловиях для небесного тела весьма проблематичен. По-видимому,нет смысла рассматривать всю историю формирования небесноготела только ради решения проблемы начальных условий. Взамен по-следних можно поставить некоторые условия, которые обеспечивалибы стационарность процесса деформирования либо его определен-ную периодичность во времени. Для корректности задачи подобныеусловия вполне могут заменить начальные. Если же такой подходстановится недостаточным, например, в случаях, когда необходиморассматривать эволюцию тела (в частности, вековое замедление пла-неты вследствие приливного трения), то в качестве начального мож-но взять любое мгновенное состояние тела, о котором есть достаточ-ные данные относительно распределения скоростей, перемещенийи других необходимых переменных.

Перейдем теперь к краевым условиям. В общем случае краевыеусловия должны ставиться на поверхности тела после деформации.Например, в случае свободной поверхности должны выполнятьсяусловия

sn ux x x t x x x S t( , , , ) , ( , , ) ( ),1 2 3 1 2 30= Î (4)

где sn — напряжение на поверхности Su. Индекс u указывает на то,что конфигурация поверхности берется после того, как реализова-лись смещения u t( ), т. е. Su — это актуальная конфигурация небес-ного тела.

Итак, задача свелась к моделированию процесса деформирова-ния, который описывается системой уравнений (1)–(3). Для частныхвидов определяющих уравнений можно попытаться отыскать физи-ческие процессы, которые будут описываться теми же самыми урав-нениями (т. е. можно поставить задачу поиска аналогий). Это на-правление исследований в настоящей работе не рассматривается.Ниже ограничимся моделированием, основанным только на физи-ческих процессах, происходящих и в естественных условиях. В этомслучае проблема моделирования фактически сводится только к из-менениям характерных масштабов тела, изменениям условий нагру-жения и параметров деформируемой среды.

Обозначим через W > 0 скорость вращения небесного тела от-носительно возмущающей массы, через R — средний радиус тела.Примем величины W-1 и R за масштабы времени и длины. Тогдамасштаб напряжений будет равен rW2 2R , а объемных сил — rRW2.

40


В безразмерных переменных, которые отметим чертой наверху,имеем систему (1)–(3) в следующем виде:

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶+ + + = + +

s s s

r

11

1

12

2

13

3

12

11

1

12x x x

F

R

v

t

v

x

vv v

W

1

23

1

3¶

¶

¶+

x

v

xv ; ...

[ ]s e

e e

rij ij km km

km km km km k

Re Rx

v R

=

= = =

12 2 1

WF W

W

, , ,...

; ;e e Wv vk kku

t, .=

¶

¶

(5)

Будем отмечать индексом М переменные, относящиеся к моде-ли. Для переменных, которые относятся к действительному процессудеформирования, обозначения оставим прежними. Из теории из-вестно, что в идеальном случае безразмерные уравнения, краевыеи начальные условия (либо условия, их заменяющие) для моделии реального процесса должны полностью совпадать между собой.Посмотрим, что это будет означать для идеального процесса, моде-лирующего приливные деформации.

Обратимся к системе (5). Выражение для массовой силы даетпервый критерий подобия: объемные силы в модели должны отно-ситься к объемным силам в натуре как

kF

F

R

R

i

i1

2

2= =M M M Mr

r

W

W. (6)

Для любых разумных размеров модели отношение радиусовR RM / будет ничтожным. Однако сам по себе этот факт препятстви-ем для реализации критерия (6) не является. Действительно, для не-бесного тела характер массовых сил таков, что их величины зависятот расстояния до центра тела. Пусть F f xi i i= × , f1 — интенсивностьмассовых сил. Тогда из (6) следует, что

kf

f

i

i1

2

2= =M M Mr

r

W

W.

Таким образом, фактор малости отношения R RM / компенсиро-вался за счет специфики массовых сил. Однако осталась проблема,связанная с малостью самой интенсивности массовых сил. (Кромесил самогравитации. Однако эти силы уравновешиваются начальны-ми напряжениями и деформаций не вызывают.) Последнее приво-дит к тому, что будут малыми и вызываемые деформации. Этот

41


вопрос уже относится к геометрическим и кинематическим критери-ям подобия и будет рассмотрен ниже.

Принципиальные трудности в реализации критерия (6) связа-ны также с характером массовых сил. В естественных условиях мас-совые силы имеют три составляющие: центробежную, приливнуюи самогравитации. Моделирование центробежных сил принци-пиальных трудностей не вызывает. Однако попытки моделирова-ния в лабораторных условиях приливных сил и сил самогравитацииприводят к трудностям, которые следует признать непреодолимы-ми. Таким образом, от моделирования массовых сил мы полностьюотказываемся. Следовательно, мы отказываемся и от моделирова-ния действительного распределения напряжений в небесном теле.Однако это не означает, что вся задача моделирования в целомстановится безнадежной. В опытах можно воспроизвести кинема-тику деформирования, которая создается массовыми силами. Есте-ственно, это можно сделать только на границе тела. Следовательно,речь идет о том, чтобы воспроизвести на границе движения при-ливных волн.

Основной вопрос, который здесь возникает, сводится к следую-щему: насколько такая кинематическая постановка соответствуетреальной ситуации. Оказывается, что в довольно общих случаяхответ на этот вопрос будет положительным: при выполнении опре-деленных условий кинематическая постановка проблему моделиро-вания приливных деформаций решает. Причем здесь можно датьвполне строгие доказательства.

Обратимся к методам механики деформируемого твердого тела.Пусть у нас есть тело V, ограниченное поверхностью S. Предполо-жим, что тело деформируется под воздействием каких-то внешнихусловий. Вначале будем считать, что среди этих условий массовыесилы отсутствуют, т. е. процесс деформирования тела сводитсяк тому, что на части поверхности тела задаются перемещения, надругой части — напряжения либо некоторые комбинации переме-щений и напряжений. Предположим теперь, что мы задали неко-торые граничные условия и решили краевую задачу. Что это озна-чает? Это означает, что теперь мы располагаем информацией о на-пряжениях и смещениях во всем теле, включая его внутренниеточки и границу.

Рассмотрим теперь вторую задачу. Отбросим все силовые гра-ничные условия, которые фигурировали в первой задаче, и зададимна всей замкнутой границе тела именно то распределение смеще-ний, которое получилось из решения первой задачи. При довольнообщих предположениях можно показать, что здесь получится то же

42


самое решение, что и в первой задаче. (Исключение составляютнеустойчивые процессы, когда нет единственности решения. Нижетакие случаи не приводятся.) Например, для линейно-упругоготела рассмотренное утверждение следует из основного энергети-ческого тождества. Пусть ¢ ¢ ¢s eij ij iju, , и ¢¢ ¢¢ ¢¢s eij ij iju, , — два статическихрешения упругой задачи. Разность решений обозначена теми жебуквами, но без штрихов, тогда

( )s snS

ij ijV

u ds e dV× =ò ò ,

где справа стоит положительно определенная квадратная форма. Длясиловой задачи интеграл слева равен нулю в силу того, что sn = 0 награнице либо на отдельных участках границы sn u× = 0. Но если мыпод ¢s ij ,... понимаем решение силовой задачи, а под ¢¢s ij ,... — реше-ние кинематической задачи, то интеграл слева будет равен нулювследствие того, что u = 0 на всей поверхности S, т. е. в данном слу-чае совпадение двух решений следует из теоремы единственности.Правда, при этом предполагалось, что массовые силы отсутствуют.Отметим, что это результат точный. Его можно также строго дока-зать для более широкого класса моделей.

Предположим теперь, что массовые силы есть. Этот случай го-раздо сложнее. Во-первых, если материал тела является сжимаемым,то никаких достаточно общих результатов получить, по-видимому,нельзя. Но если тело несжимаемое, то возможны ситуации, когдачисто кинематическое нагружение без массовых сил дает в точноститу же самую картину деформирования, что и нагружение с массовы-ми силами. Действительно, перейдем в уравнениях (1)–(3) к пределуdivv ® 0 (здесь v — вектор скорости). Тогда в выражениях для нор-мальных напряжений выделится новая аддитивная переменная p —гидростатическое давление

s d sij ij ijp= - + ¢ ,

где dij — символ Кронекера; ¢s ij — компонента девиатора напря-жений. Для определения новой переменной появится и новое урав-нение

div vv

x

v

x

v

x= + + =¶

¶

¶

¶

¶

¶1

1

2

2

3

30. (7)

В рассматриваемой задаче объемные силы имеют потенциал:

F = -gradP. (8)

43


Поэтому систему (1) можно записать в следующей форме:

¶ ¢

¶

¶ ¢

¶

¶ ¢

¶

¶ +

¶

¶ ¢

¶

+ + = +s s s

s

r11

1

12

2

13

3 1

1

12

x x x

p

x

dv

dt

( ),

P

x x x

p

x

dv

dt

x

1

22

2

23

3 2

2

13

1

+ + = +

+

¶ ¢

¶

¶ ¢

¶

¶ +

¶

¶ ¢

¶

¶ ¢

s s

s s

r( )

,P

23

2

33

3 3

3

¶

¶ ¢

¶

¶ +

¶+ = +

x x

p

x

dv

dt

sr

( ),

P

(9)

где, как обычно, d dt/ означает полную производную. Благодаря ра-венству (8) из системы оказывается возможным исключить одновре-менно и массовые силы, и гидростатическое давление p. Это можносделать перекрестным дифференцированием уравнений:

¶

¶

¶ ¢

¶

¶ ¢

¶

¶ ¢

¶

¶

¶

¶ ¢

¶+ +

é

ëê

ù

ûú - +

x x x x x x1

12

1

22

2

23

3 2

11

1

s s s s ¶ ¢

¶

¶ ¢

¶

¶

¶

¶

¶+

é

ëê

ù

ûú= -

æ

èçç

ö

ø÷÷

s sr

12

2

13

3

2

1

1

2x x

d

dt

v

x

v

x,

¶

¶

¶ ¢

¶

¶ ¢

¶

¶ ¢

¶

¶

¶

¶ ¢

¶+ +

é

ëê

ù

ûú - +

x x x x x x2

13

1

23

2

33

3 3

12

1

s s s s ¶ ¢

¶

¶ ¢

¶

¶

¶

¶

¶+

é

ëê

ù

ûú= -

æ

èçç

ö

ø÷÷

s sr

22

2

23

3

3

2

2

3x x

d

dt

v

x

v

x,

¶

¶

¶ ¢

¶

¶ ¢

¶

¶ ¢

¶

¶

¶

¶ ¢

¶+ +

é

ëê

ù

ûú - +

x x x x x x1

13

1

23

2

33

3 3

11

1

s s s s ¶ ¢

¶

¶ ¢

¶

¶

¶

¶

¶+

é

ëê

ù

ûú= -

æ

èçç

ö

ø÷÷

s sr

12

2

13

3

3

1

1

3x x

d

dt

v

x

v

x.

(10)

Из трех уравнений (10) независимыми будут только два. Выде-лим из (2) девиаторную часть напряжений и подставим в (10) выра-жения ¢s ij через скорости и, возможно, операторы от скоростей и пе-ремещений. В результате получаем замкнутую систему уравнений,в которую вошли только кинематические переменные и не вошлиникакие данные о массовых силах. При этом не предполагалось, чтомассовые силы отсутствуют. Подразумевалось только, что они име-ют потенциал. Нетрудно заметить, что система представляет собойне что иное, как вариант известных уравнений Гельмгольца, которыешироко используются в гидродинамике. Коль скоро в уравненияхфигурируют только кинематические переменные, то естественнорассмотреть для нее и чисто кинематические краевые условия.

Пусть по-прежнему S tu( ) — это актуальная конфигурация по-верхности тела в момент времени t, wi — граничные значения компо-нент скоростей. Тогда

v x x x t wi i( , , , )1 2 3 = при ( ) ( )x x x tu1 2 3 ÎS . (11)

Везде имеется в виду, что краевые условия дополнены необходи-мыми начальными или некоторыми эквивалентными им условиями.

44


Вопрос о корректности задачи (11) для систем уравнений (10) и (7)является весьма непростым и зависит от структуры уравнений. Ясно,что в общем случае на функции wi должны быть наложены опреде-ленные дополнительные условия. Например, условие несжимаемо-сти среды диктует необходимость выполнения следующего ограни-чения:

( )w n dS

× =òò S 0, (12)

где w n, — векторы скорости и нормами к границе. Как уже отмеча-лось, здесь проблема корректности кинематической постановки ста-вится таким образом. Предположим, что мы решаем задачу для ис-ходной системы уравнений (1)–(3), в которой объемные силы фигу-рируют явно. При этом на границе тела задаются определенныенапряжения. (Основной случай, который имеет значение — это сво-бодная от напряжений поверхность.) Из решения указанной задачиопределяем граничные скорости wi и именно эти скорости задаемв краевых условиях (11), которые ставим для системы, где массовыесилы уже не фигурируют.

Таким образом, в данном случае кинематическое условие на гра-нице является следствием решения исходной силовой задачи. Теперьвозникает вопрос, в какой степени полученное кинематическое ус-ловие (11) может заменить исходное силовое условие (4). При нали-чии весьма необременительных предположений такая замена будетвполне корректной. Первое предположение связано с единственно-стью решения силовой задачи. Предположим, что единственностьрешения есть. Если краевое условие (4) выделяет единственное ре-шение, то замена его на кинематическое условие (11) также приведетк единственному решению, причем поле скоростей в обоих решени-ях будет одинаковым.

Конечно, это утверждение нуждается в обсуждении и целом рядеуточнений. Во-первых, если среда обладает памятью и в уравнениях(2) Fij — это действительно функционалы, а не функции, то речьдолжна идти не просто о смещениях или напряжениях на границе,а об условиях, которые описывают всю историю нагружения тела.Во-вторых, для определенных типов систем уравнений (например,для систем гиперболического типа) краевые условия не могут ста-виться на всей замкнутой поверхности, которая ограничивает де-формируемое тело. Однако, если смещения (11) получены уже изрешения некоторой корректно поставленной задачи, то они, хотяи будут выглядеть переопределенными, но тем не менее автоматиче-ски будут удовлетворять всем необходимым требованиям самосогла-сования (типа (12) и другим аналогичным условиям).

45


Рассмотрим теперь подробнее вопрос о единственности кине-матического решения. Формально он сводится к следующему. Пред-положим, что краевые условия силового типа обеспечивают единст-венность решения. Заменим теперь силовые условия на условиякинематического типа (11). Будет ли решение новой задачи такжеединственным? Для известных классических моделей (линейная уп-ругость, вязкая жидкость, пластическое тело) ответ на этот вопросбудет положительным, с точностью до аддитивного гидростатиче-ского давления, которое в данном случае значения не имеет. Есть всеоснования ожидать, что ответ будет положительным и для болееширокого класса математических моделей. Весь опыт теоретическо-го и экспериментального изучения деформирования различныхматериалов свидетельствует в пользу такого предположения. В част-ности, в экспериментальной механике различие в указанных типахкраевых условий выражается в понятии «жесткость нагружения».Нагружения силового типа, когда на границе задаются силы, назы-ваются «мягкими», а нагружения, когда на границе задаются смеще-ния — «жесткими». Можно ввести определения и промежуточныхтипов нагружений. Опыт показывает, что повышение степени жест-кости нагружения всегда увеличивает степень устойчивости про-цесса деформирования. Это также свидетельствует в пользуположительного решения поставленного выше вопроса.

В общем случае теоретическое доказательство (т. е. без конкре-тизации модели среды), по-видимому, невозможно. (Тем более, чтозаранее ясно — кинематические и силовые условия не эквивалентнымежду собой: из единственности решения при заданных смещенияхне следует единственность его при заданных напряжениях, дажеесли последние и определены из решения кинематической задачи.)Однако для конкретных моделей и задач можно получить исчерпы-вающие результаты.

В качестве иллюстрации рассмотрим с этой точки зрения клас-сическую задачу Эйлера об упругом сжатии стержня (рис. 3.1). ПустьАВ, СD — торцы стержня, на которые приложена равномерно рас-пределенная сжимающая нагрузка p*, AD, BC — боковая поверх-ность, свободная от напряжений. (Для удобства рассматриваетсяплоская деформация.)

Задача сводится к решению упругих уравнений при следующихкраевых условиях:

s s11 122 0= =p h/ , при x x AB CD1 2 Î , ; (13)

s s12 220 0= =, при x x BC AD1 2 Î , .

46


Решение этой задачи имеет следующий вид:

s s22 22 0= = , s11 2= p h/ ; (14)

u x u xh

v

h1 1 2 21

2 2= = -

E E

r r, , (15)

где E, v — упругие постоянные материала; ( , )x x1 2 — любая внутрен-няя или граничная точка области АВCD.

Итак, равенства (14), (15) представляют собой решение исходнойзадачи в напряжениях (мягкое нагружение). Если теперь компонентсмещений (14) задать на границе тела (жесткое нагружение), полу-чим то же самое распределение напряжений (14). Однако указанныезадачи будут эквивалентными только при значениях нагрузки, мень-ших некоторой критической p *. При больших нагрузках, как извест-но, решение задачи (13) становится неустойчивым. Более того, еслиисходить из краевых условий (15), то устойчивость будет сохранятьсяи при нагрузках p, больших критической (рис. 3.2), т. е. переходк кинематическим условиям заведомо повышает устойчивость де-формирования. В данном случае устойчивость гарантирует единст-венность, а значит, и совпадение решений силовой и кинематиче-ской задач.

Теперь можно сделать следующий общий вывод: если средаявляется несжимаемой и поле массовых сил имеет потенциал, тораспределение скоростей, которое реализуется в теле вследствиеприложения массовых сил и заданных напряжений на его границе,

47


Рис. 3.1.

Рис. 3.2.

будет совпадать с полем скоростей, получающимся в результатерешения чисто кинематической задачи, где массовые силы явноне фигурируют, а на границе задано специальное распределениескоростей (именно такое, которое получается на поверхности телапод действием массовых сил). Таким образом можно добиться мо-делирования кинематики деформирования, не прибегая к модели-рованию действительного распределения массовых сил. Этот фактположим в основу рассмотренного ниже метода исследования при-ливных волн. Такое моделирование оказалось возможным за счеттого, что поле действительных массовых сил компенсируется благо-даря специальному распределению гидростатического давления,поэтому при таком подходе распределение гидростатического дав-ления не моделируется. Для остальных напряжений (касательныхнапряжений и разностей нормальных напряжений) подобие соблю-даться будет.

Далее. Обычно при решении сложных задач результаты такогорода распространяются за область своей первоначальной формули-ровки. В настоящей работе поступим таким же образом. Будем при-менять метод кинематического моделирования для любых сред безограничения на их сжимаемость. Ниже будет показано, что условиянагружения в целом будут такими, что общее изменение объема телавсе равно будет отсутствовать. Сделанный шаг означает только, чтоигнорируется сжимаемость, связанная с конвективным переносомматериальных элементов в неоднородном поле напряжений. В рас-смотренных задачах перенос элементов по глубине будет иметь по-рядок высоты приливной волны, поэтому поправка на сжимаемостьсреды будет ничтожной.

Итак, мы пришли к необходимости исследования кинематиче-ских задач (10), (7) и (11). Из указанных уравнений легко получитьследующий кинематический критерий подобия: граничные скоростина модели должны относиться к граничным скоростям в натуре как

kw

R

Ri2 = = M MM W

W. (16)

Сюда так же, как и в критерий (6), вошло отношение R RM <</ 1.При заданном уровне деформаций тела скорости его граничных то-чек возрастают пропорционально размерам тела. Поэтому сам посебе факт чрезвычайной малости отношения R RM / не служитпрепятствием для моделирования. Серьезной проблемой являетсядругое обстоятельство — малость самих приливных деформаций.В большинстве реальных ситуаций высота приливной волны h много

48


меньше характерных размеров тела R. Поэтому масштаб приливныхдеформаций, равный h R/ , много меньше единицы:

l= <<h

R1.

Критерии геометрического подобия требуют, чтобы форма моделибыла геометрически подобна форме небесного тела. Это сразу влечетза собой равенство безразмерного параметра l в натуре и модели.Значит, безразмерные деформации, которые реализуются в модели,должны совпадать с безразмерными деформациями самого небесно-го тела. Но поскольку последние весьма малы, то это сразу приводитко многим техническим трудностям. Во-первых, для проведения из-мерений на таких масштабах потребуется аппаратура с очень высо-кой степенью точности. Однако даже если допустить, что эта про-блема решена, то следующая проблема является еще более трудной.Она связана с наличием возмущений, которые всегда есть в любомэксперименте. Допустим, что найдены пути преодоления и этойтрудности. Последнее будет означать, что все геометрические крите-рии подобия выдержаны точно. Однако при этом выяснится, чтозначительные усилия, потраченные на точное выполнение указан-ных критериев, привели только к ухудшению экспериментальныхвозможностей в целом.

Действительно, чего мы ожидаем от лабораторного моделирова-ния приливных деформаций? Прежде всего выяснения роли необра-тимых эффектов, связанных с приливами. Необратимость означаетэволюцию модели (и моделируемого небесного тела) во времени.Поэтому в модели и натуре появляется еще одна характерная пере-менная — число циклов приливного деформирования, которое явля-ется безразмерной величиной. Следовательно, оно должно быть оди-наковым в модели и натуре. В свою очередь это означает, что в моде-ли потребуется реализация значительного числа циклов нагружения,которое может превысить технические возможности стендов. Прав-да, есть одно исключение — случай, когда необратимый процессвыходит на стационарный режим. При этом достаточно толькоубедиться в стационарности режима деформирования и измеритьскорости изменения всех переменных. Однако и тогда проблемамалости всех деформаций перемещений и их скоростей остаетсянерешенной.

Таким образом, в рассматриваемой задаче точное выполнениегеометрических критериев подобия не только невозможно (иливесьма трудоемко), но по указанным выше причинам и нецелесооб-разно. В связи с этим возникает необходимость в некотором расши-

49


рении самого понятия «моделирование». Идея расширения оченьпроста и коротко может быть описана следующим образом. Пустьв натурных условиях некоторая характеристика процесса, например,одна из компонент скорости, описывается функцией

v x x x R( , , , , ,..., )1 2 3 W l ,

где l — безразмерный параметр, причем l << 1. Масштаб скоростиизвестен. Поэтому от компоненты v можно перейти к вполне опре-деленной безразмерной функции от безразмерных аргументов. Обо-значим безразмерную функцию через j l( ). Остальные безразмерныеаргументы не выписаны, так как сейчас они рассматриваться небудут. «Ортодоксальная» теория моделирования требует, чтобы всебезразмерные параметры в модели и натуре были одинаковыми.Предположим, что этого можно добиться для всех параметров,кроме l. Обозначим достижимые значения этого параметра в моделичерез lM . Пусть

l lM = × N N >>, 1,

т. е. в модели параметр увеличен по сравнению с небесным телом в Nраз. Следовательно, в лабораторных экспериментах можно изучитьфункцию j l( )N × . Теперь ее необходимо соотнести с функцией j l( )и затем уже перейти к размерным переменным моделируемогонебесного тела. Ясно, что здесь все будет зависеть от поведенияфункции j l( ) в окрестностях нуля. Если функция в окрестностинуля является гладкой и раскладывается в ряд, то имеем

j l l l

j l l l

( ) ...,

( ) ... .

= + + +

= + + +

а а а

а а

0 1 22

0 12

22N Nа N

(17)

Нетрудно все отсчеты выбрать так, чтобы при l= 0 значение j = 0.(Это означает, что если приливной волны нет, то и никаких эффек-тов также нет.) Далее, основному случаю отвечают условияl l<< <<1, N 1. (Иными словами, хотя деформации в модели гораз-до большие, чем те, которые реализуются в натуре, тем не менее ониостаются достаточно малыми.) В этом случае вместо (17) можно за-писать

j l l j l l( ) ... ( ) ...= + = +a a1 1; N N . (18)

Равенства показывают, что если a1 0¹ , то проблема малого парамет-ра решается обычной линейной интерполяцией.

Таким образом, если безразмерная амплитуда реальных прилив-ных волн ниже (практически — на несколько порядков), чем в экс-периментальной модели, то для перехода от экспериментов к натуре

50


можно использовать линейную интер-поляцию. При этом должны выпол-няться условия, обеспечивающиеструктуру типа (18). Не располагаяуравнениями деформирования, обос-новать правомерность линейной ин-терполяции невозможно. Отметимтолько, что для уравнений линейноготипа (линейно-упругая среда, линей-но-вязкая жидкость) и большого клас-са нелинейных уравнений возможность представлений (18) сомне-ний не вызывает (рис. 3.3). Правда, нельзя исключать случаи, когданекоторые эффекты имеют не первый порядок малости, а например,второй. Тогда в разложении (18) a1 0= , a2 0¹ и коэффициент пере-хода меняется с N-1 на N-2.

Более сложной будет ситуация, когда свойства среды обладаютопределенным порогом, который обозначим через l*. Классическийпример связан с наличием порога пластичности: пластические свой-ства среды начинают проявляться только при деформациях, боль-ших l*. В таких случаях мы имеем три масштаба деформаций: пер-вый — деформации небесного тела, которые имеют порядок l; вто-рой — деформации модели Nl и третий — пороговая деформация l*.Между ними возможны следующие соотношения:

l l l

l l l

l l l

< <

< <

< <

N

N

N

*

*

*

,

,

.

(19)

В первых двух случаях можно говорить о подобии процессов в моде-ли и натуре. В третьем случае — нет, так как в натурных условиях де-формации слишком малы для преодоления порога l*, а в модели —слишком велики и порог оказывается преодоленным.

Все подобные вопросы должны решаться в каждом конкретномслучае отдельно. Отметим еще раз, что экспериментальное модели-рование имеет смысл и в тех случаях, когда критерии подобия вы-держиваются весьма приближенно или даже не выполняются. В этихслучаях полученные результаты могут быть полезными для разработ-ки математической модели процесса. А в математической модели,как уже отмечалось, нет никаких проблем ни с массовыми силами,ни с любыми сколь угодно малыми параметрами.

Далее рассмотрим еще одно упрощение проблемы. Обратимсяк рис. 2.4. Здесь возмущающая масса находится в плоскости эквато-

51


Рис. 3.3.

ра, поэтому Северное и Южное полушария планеты находятсяв одинаковых условиях. Из симметрии можно заключить, что пере-нос масс через экваториальную плоскость будет полностью отсутст-вовать. (Но, конечно, не всегда. Может оказаться, что симметрич-ное состояние станет неустойчивым. Например, при наличииу планеты жидкого ядра. Однако ясно, что при изучении простей-шего — базового — варианта модели эти эффекты вначале можноисключить.)

Таким образом, вследствие симметрии все материальные части-цы тела, находящиеся в его экваториальной плоскости, в процессеприливного деформирования будут смещаться, оставаясь все времяв той же плоскости. Поэтому вначале рассмотрим процесс дефор-мирования только этого сечения, причем в условиях плоской дефор-мации.

Это означает, что мы пренебрегаем еще рядом факторов. Какихименно? Возьмем в реальном трехмерном теле сечения, параллель-ные и близкие к экваториальной плоскости. Эти сечения будутиметь размеры меньшие, чем экваториальное сечение и поэтомумежду ними появляются градиенты смещений и соответствующиекасательные напряжения. Переход к плоской деформации означа-ет, что все параллельные сечения мы заменяем на сечения, совпа-дающие с экваториальным. Следовательно, упомянутые касатель-ные напряжения полностью игнорируются. Можно ожидать, чтов действительности указанные напряжения весьма малы и такаязамена значительного влияния на картину деформирования не ока-зывает.

Итак, мы приходим к следующей задаче: необходимо исследо-вать процесс деформирования плоского тела в условиях, когда на егогранице заданы перемещения, соответствующие движению прилив-ных волн. На пути к ее реализации возникают очередные вопросы:какую конфигурацию границы необходимо взять в качестве исход-ной; какие именно краевые условия задавать на этой границе; какимобразом можно реализовать требуемое нагружение.

Все эти вопросы тесно связаны с общей теорией аффинных де-формаций сплошной среды. Данная связь представляется интерес-ной как в плане дальнейших теоретических построений, так и дляэкспериментальной реализации процесса, поскольку для теоретиче-ских решений аффинные преобразования дают нетривиальное нуле-вое приближение (если задачу решать методом малого параметра),а для экспериментальной методики — подсказывают оптимальнуюконфигурацию внешней границы и вид краевых условий на ней.Кроме того, связь с аффинными преобразованиями позволяет рас-

52


ширить область приложения полученных результатов на проведениевизкозиметрических измерений, создать экспериментальную мето-дику проверки определяющих уравнений сложных сред и др. (см.гл. 5). Поэтому рассмотрим вначале некоторые результаты теорииаффинных деформаций.

§ 4. О связи приливных деформацийс аффинными преобразованиями сплошной среды

Если приливные деформации создаются одним небесным те-лом, то их можно охарактеризовать следующим образом: тело растя-гивается вдоль одного фиксированного направления (именно таквыбрана система координат) и одновременно сжимается вдоль орто-гональных направлений. В общем случае тело относительно ука-занных направлений непрерывно поворачивается, т. е. испытываетсложное нагружение с непрерывным поворотом осей тензоров де-формаций и напряжений. Данный процесс обладает одной замеча-тельной особенностью. Если отвлечься от ряда деталей, связанныхс неоднородностью тела, движением полюсов и неравномерностьюскорости вращения, то можно принять, что процесс деформирова-ния небесного тела носит стационарный характер. При этом внеш-няя форма тела остается неизменной. Иными словами, если смот-реть на тело из космоса без разрешения на материальные точки егоповерхности (т. е. фиксируя только форму его поверхности), то мож-но констатировать постоянство внешней формы. Поскольку внеш-няя форма тела отличается от сферической, вращение тела в данныхусловиях приводит к его циклическим деформациям. В первом при-ближении можно принять, что распределение деформаций в одно-родном теле также является однородным. Справедливость данногопредположения будет видна из дальнейших построений. Следующиеприближения, конечно, предполагают учет неоднородности дефор-маций как для однородного тела, так и для тела с неоднороднымстроением (в частности, с жестким внутренним ядром).

В данном параграфе рассмотрим только первое приближение.Итак, пусть тело испытывает однородную деформацию растяжениявдоль фиксированного направления и сжатие вдоль ортогональныхнаправлений.

Напомним, что деформацию называют однородной, если ее ха-рактеристики (компоненты тензора деформаций) не зависят от про-странственных координат, т. е. являются одинаковыми для всех эле-ментарных объемов тела. Однородной деформации отвечает линей-ное поле перемещений.

53

§ 4. О связи приливных деформаций с аффинными преобразованиями сплошной среды

В математике вводится более широкое понятие, чем деформацияобласти, а именно — отображение одной области на другую. Результатдеформирования можно рассматривать как частный вид отображениянекоторой области из ее исходного состояния в область, соответ-ствующую ее конечному состоянию. В этом смысле понятие однород-ной деформации равносильно понятию аффинного отображенияодной области на другую. Применительно к жидкостям или сложнымреологическим средам чаще говорят не о деформировании, а о тече-ниях той или иной среды. Поэтому понятия «однородная деформа-ция» (или «течение»), «аффинное преобразование, аффинная дефор-мация» — это разные названия одних и тех же процессов (точнее,процессов с одной и той же кинематикой).

Различные частные виды аффинных деформаций встречаютсяво многих областях механики. Они появляются при изучении целогоряда разнообразных проблем. История их исследования насчитываетмного десятков лет и связана с именами Дирихле, Дедекинда, Рима-на, Пуанкаре, Ламба, Жуковского и др. [79, 142, 248–250].

Результаты общей теории аффинных преобразований хорошоизвестны и приводятся во многих учебниках по геометрии [251, 252].Так, в общей теории доказывается, что при любых аффинных преоб-разованиях прямые переходят в прямые, круги — в эллипсы, а сфе-ры — в эллипсоиды. Кроме того, аффинные преобразования сохра-няют свойства параллельности прямых и плоскостей. Общие свойст-ва аффинных преобразований исследованы, по-видимому, самымисчерпывающим образом.

Однако если такие преобразования рассматривать с точки зре-ния механики, то обнаруживается ряд новых результатов, имеющихконкретный практический смысл. Здесь становятся важными нетолько сами по себе те или иные течения, но и их интерпретация,а также формулировка цели исследования и постановка самой зада-чи. В работах [3–5, 21] рассматривалась следующая постановка зада-чи: разработать экспериментальную методику исследования опреде-ляющих уравнений сложных сред. Известно, что идеальными длятакой цели являются эксперименты, реализующие аффинную де-формацию. Поэтому задача свелась к тому, чтобы дать полную клас-сификацию типов аффинных деформаций именно с точки зрениявозможностей для их реализации, а затем выбрать из них такие, ко-торые можно было бы практически реализовать. (Этот вопрос рас-смотрен в гл. 5.)

Некоторые типы таких деформаций можно связать с приливны-ми волнами. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

54


4.1. Приливное деформированиекак суперпозиция однородных растяжений и сжатий

Обратимся вначале к рис. 2.1 (см. с. 33). Как отмечалось, поддействием приливных сил тело вытягивается в направлении к возму-щающей массе и сжимается в ортогональных направлениях. Приэтом тело непрерывно поворачивается относительно данных направ-лений. Именно эти черты реального процесса будем считать основ-ными и именно их сохраним при экспериментальном моделирова-нии. Нас будут интересовать стационарные процессы, т. е. процес-сы, которые могут продолжаться неограниченно долго во времени,поэтому среду будем предполагать несжимаемой. Точнее, сама посебе среда может быть любой — как сжимаемой, так и несжимаемой,но условия нагружения должны быть такими, чтобы изменения объ-ема отсутствовали, т. е. дивергенция скорости должна равнятьсянулю. Несжимаемость в условиях плоской деформации означает, чторастяжение в одном направлении должно равняться такому же сжа-тию в ортогональном направлении. Поэтому в качестве первого шагапредположим, что тело испытывает аффинное растяжение в одномнаправлении и соответствующее сжатие в ортогональном направле-нии. Теперь о повороте. Взаимоотношения поворотов и деформацийв механике сплошной среды носят нетривиальный, а в ряде случаеви довольно запутанный характер. Рассмотрим этот вопрос подроб-нее, опираясь на предельно ясные исходные посылки.

Предположим, что мы располагаем некоторым устройством на-гружения, положение которого в пространстве характеризуется дву-мя ортогональными осями 0 1x , 0 2x (рис. 4.1). Возможности этогоустройства следующие. При фиксированном положении осей 0 1x ,0 2x устройство захватывает заданное тело по всей его границе и за-тем после включения дает ему однородное растяжение с постояннойскоростью деформации k вдоль 0 1x и сжатие с такой же скоростьювдоль направления 0 2x . Причем такой режим нагружения можетвыдерживаться сколь угодно долго. (Это означает, что динамическиеэффекты отсутствуют и процесс однородного деформирования со-храняет свою устойчивость.)

Включим устройство в момент времени t t= 0 и в моментt t t= +0 D выключим. За это время точка тела

x t a x t a10

1 10

1( ) , ( )= = (1)

получит следующие смещения:

D D D Du k a t u k a t1 1 2 2= × × = - × ×, . (2)

55


Зафиксируем полученную конфигурацию тела и положения всех еговнутренних точек. Затем освободим тело от захватов, повернем уст-ройство на угол D W Db = × t, и опять подвергнем тело растяжениювдоль нового направления 0 1x и соответствующему сжатию вдоль ор-тогонального направления 0 2x . Второй шаг нагружения также будемосуществлять в течение времени Dt: от момента t t0 + D до моментаt t0 2+ D . В результате на прежние смещения (4.1) наложатся новыесмещения второго шага и т. д.

Таким образом, мы получаем последовательность двухосныхрастяжений и сжатий, которые накладываются друг на друга с опре-деленным дискретным поворотом, т. е. в целом получается картинадеформирования, имитирующая приливные деформации.

Как реализовать подобный процесс? Здесь многое зависит отвыбора исходной формы тела. Для произвольной формы реализацияпроцесса довольно проблематична. Действительно, как осуществитьдвухосное растяжение и сжатие? Это легко сделать (по крайней мере,в принципе) только для стержня или прямоугольной пластины. Еслиже тело имеет более сложную конфигурацию, то требование линей-ной зависимости компонент смещений от координат граничныхточек приведет к сложной кинематике устройства нагружения. Вто-

56


Рис. 4.1.

рая проблема состоит в фиксировании деформаций, полученных наочередном шаге нагружения. Для материалов с чисто неупругой рео-логией полученные деформации являются полностью остаточнымии задача состоит только в сохранении полученной формы тела. Еслиже у материала есть упругая составляющая, то потребуются два уст-ройства нагружения. Одно устройство предназначено для силовогофиксирования достигнутых деформаций, а второе — для реализацииследующего шага нагружения. Есть, однако, исключительный слу-чай, когда все эти проблемы значительно упрощаются.

Очевидно, что двухосное аффинное растяжение вдоль фиксиро-ванных направлений всегда приведет к определенному изменениюформы тела. Оказывается, что можно найти такую исходную форму,что ее новая внешняя конфигурация после одного шага нагружениябудет отличаться от прежней только жестким поворотом. Здесь ни-какого парадокса нет. Схематически возможность подобной ситуа-ции показана на рис. 4.2.

Перейдем к обоснованию. Вначале найдем траектории матери-альных частиц, которые реализуются в описанной выше схеме на-гружения.

Введем новую систему координат 0 1 2¢ ¢x x , которую будем считатьнеподвижной и связанной с деформируемым телом. Система 0 1 2x xпо-прежнему относится к устройству нагружения. Пусть b — уголмежду осями 0 1x , ¢x 1 (рис. 4.3). Обозначим через u u u u1 2 1 2, ; ,¢ ¢ компо-ненты вектора перемещений в координатах 0 1 2x x и 0 1 2¢ ¢x x . По фор-мулам векторного проектирования

x x x

x x x

1 1 2

2 1 2

= ¢ + ¢

= - ¢ + ¢

cos sin

sin cos

b b

b b

,

;(3)

57


Рис. 4.2. Рис. 4.3.

¢ = -

¢ = +

u u u

u u u

1 1 2

2 1 2

cos sin

sin cos

b b

b b

,

.(4)

Проследим теперь за перемещениями материальной точки (1).Пусть в начальный момент t0 угол b b= 0. Тогда равенства (1), (3)позволяют определить начальные координаты точки в системе 0 1 2¢ ¢x x :

¢ = -

¢ = +

a a a

a a a

10

10

2

20

10

2

cos sin

sin cos

b b

b b

,

.(5)

Подставим (2), (5) в (4). В результате придем к формуле

D D

D

¢ = ¢ + ¢

¢ = ¢ -

u a a k t

u a

10

10

2

20

1

2 2

2 2

( ) ,

(

cos sin

sin cos

b b

b b02¢a k t) .D

(6)

Эта формула повторяет (2), но уже в неподвижной системе коор-динат 0 1 2¢ ¢x x . В этой системе положение материальной точки в произ-вольный момент времени уже можно найти последовательным сум-мированием смещений по временным шагам. Так, в результате пер-вого шага нагружения точка из положения (1), (5) переместитсяв следующее положение

¢ = ¢ + ¢

¢ = ¢ + ¢

x a u

x a u

1 1 1

2 2 2

D

D

,

.(7)

На втором шаге нагружения угол b фиксирован и равенb 0 +WDt, поэтому в правой части (6) координаты ( , )¢ ¢a a1 2 надо заме-

нить на координаты (7) и угол b 0 — на угол b 0 +WDt. Таким обра-зом, определятся смещения точки на втором шаге и т. д.

Итак, мы здесь имеем дискретный ряд аффинных растяженийи сжатий, которые последовательно накладываются друг на другаи приводят к некоторому процессу деформирования. Общую кар-тину легко понять, если перейти к дифференциальным уравнени-ям. Действительно, описанная выше процедура суммирования со-ответствует интегрированию следующих дифференциальных урав-нений

¢ = = ¢ - ¢

¢ = =

¢

¢

v k tx tx

v k

dx

dt

dx

dt

12

1 2

22

2 2( ),

(

cos sin

sin

W W

2 21 2W Wtx tx¢ + ¢cos ).

(8)

58


Течение (8) обладает рядом интересных свойств. Во-первых, длянего, как и следовало ожидать, отсутствует изменение объема и вра-щение

e w= + º = -æ

èçç

ö

ø÷

¶ ¢

¶ ¢

¶ ¢

¶ ¢

¶ ¢

¶ ¢

¶ ¢

¶ ¢

v

x

v

x

v

x

v

x

1

1

2

2

1

1

2

20

12

, ÷ º 0, (9)

а максимальная скорость сдвига постоянна

g = -æ

èçç

ö

ø÷÷ + +

æ

èçç

¶ ¢

¶ ¢

¶ ¢

¶ ¢

¶ ¢

¶ ¢

¶ ¢

¶ ¢

v

x

v

x

v

x

v

x

1

1

2

2

21

1

2

2

ö

ø÷÷ =

2

2k.

При этом результатом нагружения является только поворот главныхосей тензора скоростей деформаций

tg tg2

1

2

2

1

1

1

2

2

a= = -

¶ ¢

¶ ¢+¶ ¢

¶ ¢

¶ ¢

¶ ¢-¶ ¢

¶ ¢

v

x

v

x

v

x

v

x

tW . (10)

Теперь можно отвлечься от механического смысла системы (8)и перейти к ее решению. Сделаем формально следующую заменунеизвестных функций ¢ ¢x t x t1 2( ), ( ) на новые функции x t x t1 2( ), ( ):

x tx tx

x tx tx

1 1 2

2 1 2

= ¢ - ¢

= ¢ + ¢

cos sin

sin cos

W W

W W

,

.(11)

Смысл этой замены очевиден. Это переход к координатам, свя-занным с направлением растяжения тела. Теперь можно считать, чтоэти координаты вращаются относительно исходных непрерывно и спостоянной угловой скоростью.

Дифференцируя равенства (11), получим

dx

dt

dx

dt

dx

dt

dx

dt

dx

d

t t x

t

1 1 12

2 1

= - -¢ ¢

=¢

cos sin

sin

W W W

W

,

t

dx

dtt x+

¢+cosW W

21.

(12)

Подставим (8) в (12) и снова воспользуемся (11). В результате придемк следующей системе уравнений:

dx

dt

dx

dtkx x x kx

11 2

21 2= - = -W W, . (13)

59


Итак, мы пришли к полю скоростей (13). Оно представляет со-бой наложение двух полей. Первое поле — это двухосное растяжениесо скоростью k

dx

dt

dx

dtkx kx

11

22= = -, . (14)

Второе поле соответствует вращению тела как жесткому целому спостоянной угловой скоростью ( )-W (по часовой стрелке при W > 0):

dx

dt

dx

dtx x

12

21= - =W W, . (15)

Один из принципов механики сплошной среды утверждает, что еслина деформируемое тело наложить жесткое вращение, то на распреде-лениях напряжений, деформаций и их скоростей это никак сказы-ваться не должно, т. е. это не должно влиять ни на одну из объектив-ных характеристик процесса. Вопрос о реализации этого принципапри тех или иных конкретных построениях иногда бывает не-тривиальным. В этом мы убедились на примере рассмотреннойвыше задачи (одной из простейших этого типа).

Действительно, поле скоростей (14) описывает аффинное растя-жение и сжатие среды вдоль направлений 0 01 2x x, . Мы аддитивно до-бавляем к этому полю компоненты скорости (15), соответствующиежесткому вращению тела. В результате мы получаем качественно но-вое течение. Ниже будет показано, что оно совершенно отличается отжесткого поворота тела, испытывающего двухосное растяжения.

Механический смысл полученного результата ясен. Именно ра-венства (13) описывают тот процесс, который мы конструировалис самого начала, т. е. сложное нагружение тела в условиях, когда на-правления растяжения-сжатия все время меняют свою ориентациюотносительно самого тела.

Для сравнения теперь посмотрим, как выглядели бы уравнения,если бы мы действительно на двухосное растяжение наложили жест-кое вращение тела. Это легко сделать. Возьмем уравнения (14) и осу-ществим в них замену переменных (3). Для этого продифференци-руем (3), рассматривая угол b как функцию времени b = -W t. Затемвоспользуемся условиями (14). В результате придем к следующейсистеме обыкновенных дифференциальных уравнений:

dx

dt

dx

dt

k t x tx x

k

¢

¢

= × ¢ - ¢ - × ¢

= -

11 2 2

2

2 2( ) ,

(

cos sin

sin

W W W

2 21 2 1W W Wt x tx x× ¢ + ¢ + × ¢cos ) .

(16)

60


Система (16) отличается от (8) только наличием последних слагае-мых. Эти слагаемые как раз и описывают жесткий поворот тела.

Таким образом, можно сделать следующий общий вывод. Если кполю скоростей в координатах, связанных с направлением растяже-ния тела, добавить компоненты скорости, соответствующие жестко-му вращению тела, то это приведет к уравнениям, описывающимсложное нагружение тела. (Причем этот процесс существенно отли-чается от жесткого поворота тела, подверженного двухосному растя-жению.) Ситуация будет аналогичной и в более общем случае, когдарастяжение аффинным уже не является. Это будет показано ниже.

Перейдем теперь к исследованию системы (13). Построение ееобщих решений никаких трудностей не представляет. Пусть в на-чальный момент времени t0 0= некоторая материальная точка Аимела координаты

x a x a1 1 2 20 0( ) , ( )= = . (17)

Характер траектории ее движения существенно зависит от соот-ношения скоростей растяжения и поворота. При k < W траекторияопределяется следующим общим решением:

x t a a t a t

x t a a

k

k

1 1 2 1

2 1 2

( ) ,

( )

= -æ

èç

ö

ø÷ +

= -

l l

l l

l lW

W

sin cos

æ

èç

ö

ø÷ +sin cosl lt a t2 ,

(18)

где l= -W2 2k . Здесь траектории замкнуты и остаются все время вограниченной области пространства.

Так, для точки, которая имела в начальный момент координаты( , )a1 0 , имеем

x

a

k x

at t t

1

1

2

1= + =

l ll l lsin cos sin, .

W(19)

Для дальнейшего анализа удобнее перейти к координатам 0xy,повернутым относительно 0 1 2x x на угол p/4:

x yx x x x

= =+ - +1 2 1 2

2 2, . (20)

Механический смысл этого перехода связан со следующим об-стоятельством. В координатах 0 1 2x x компоненты тензора скоростейдеформаций для течения (13) имеют вид:

e e e111

122

2

212

1

2

2

1

1

2= = = = - = +

æ

èçç

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

v

x

v

x

v

x

v

xk k, ,

ö

ø÷÷ = 0,

61


т. е. 0 1x , 0 2x — главные оси тензора скоростей деформаций. Следо-вательно, направления 0x, 0y будут совпадать с направлением макси-мальной скорости сдвига:

e e exx yy xy

k= = =0 0

2, , .

В этих осях уравнения траекторий частицы упрощаются и приобре-тают следующий вид:

x

a k

y

a k

2

12

2

12

2

2( ) ( )W W

W

+ -+ =

l. (21)

Таким образом, траектории представляют собой эллипсы с ося-ми равными (рис. 4.4, а, б при k/ , ; ,W = 0 2 0 7):

a ba

k

a

k= =

- +

1 1

1 1/ /,

W W. (22)

Закон обращения точек вокруг центра обладает одной замеча-тельной особенностью. Если из центра к точке провести радиус-век-тор, то за одинаковое время он будет ометать одинаковые площади.Значит, секториальная скорость точки будет постоянной. Действи-тельно, продифференцируем (19) по времени

v a k t t

v a t

dx

dt

dx

dt

11

1

22

1

= = -

= =

( ),cos sin

cos

l l l

lW

(23)

и вычислим векторное произведение:

| |v r a´ = 12W. (24)

62


Рис. 4.4.

Здесь использованы обычные обозначения:

v v v r x x= ={ , }, { , }1 2 1 2 .

Таким образом, для фиксированной материальной точки величина(24) от времени не зависит. На рис. 4.4 показаны положения матери-альных точек через одинаковые промежутки времени. Центральныелучи строились таким образом: в начальный момент времени бра-лась совокупность материальных точек, лежащих на прямой, затемотмечалось положение всех этих же точек через одинаковые проме-жутки времени. Мы здесь сразу обнаруживаем два обстоятельства.Первое — эти точки все время остаются на прямолинейном луче.(Это естественно, так как деформация является аффинной и поэто-му любая исходная прямая может преобразоваться только в прямую.Очевидно, что если одна точка на этой прямой неподвижна, то пре-образование может приводить только к вращению этой прямой и кее сжатию или растяжению.) Из рисунка видно, что угловая скоростьвращения меняется, а секториальная скорость — постоянна (площа-ди всех секторов между двумя соседними лучами одинаковы).

Если скорость растяжения k постепенно увеличивать, то траек-тории будут все больше вытягиваться вдоль направления наиболь-шего сдвига. При k = W эллипсы выродятся в прямые, параллельныеоси 0x:

x t k a a t a

x t k a a t a

1 1 2 1

2 1 2 2

( ) ( ) ,

( ) ( ) .

= × - +

= × - +(25)

Если же k > W, то траектории становятся гиперболическими.

Действительно, положим m = -k 2 2W . Тогда

x t a a ek kt

1 1 21

2

1

21 1( ) = +æ

èçç

ö

ø÷÷ -

é

ëê

ù

ûú + -

æ

èçç

ö

ø÷

m m mmW

÷ +é

ëê

ù

ûú

= + -æ

èçç

ö

ø÷÷

é

ëê

ù

-a a e

x t a a

t

k

1 2

2 1 21

21

W

W

m

m m

m ,

( )ûú + - + +

æ

èçç

ö

ø÷÷

é

ëê

ù

ûú -e a a et tkm m

m m

1

2 1 21W

.

(26)

Легко показать, что этому решению отвечают гиперболы с двумяасимптотами

x

x k k

x

x k k

2

1 2 2

2

1 2 2= =

+ - - -

W

W

W

W, . (27)

К первой асимптоте траектории стремятся при t ® +¥, ко второй —при t ® -¥. Произведение угловых коэффициентов равно 1, поэтомуасимптоты симметричны относительно биссектрисы x x1 2= .

63


Появление в данной задаче непериодических решений с траек-ториями, уходящими на бесконечность, на первый взгляд, кажет-ся парадоксальным. Однако этот результат имеет ясный механиче-ский смысл. Для его объяснения перейдем к полярным координатамx r x r1 2= =cos sina a, и преобразуем систему (13) к следующемувиду:

d r

dt

d

dtk k

lncos sin= = -2 2a a

a, W . (28)

Последнее уравнение показывает, что угловая скорость движенияматериальной точки вокруг центра зависит не только от скоростивращения W, но и от скорости растяжения k. Это становитсяочевидным, если обратиться к рис. 4.1 (см. с. 56). Мы видим, чтокомпоненты вектора скорости, связанные с растяжением, дают оп-ределенную составляющую также на нормаль к радиусу, т. е. вносятсвой вклад в угловую скорость. Этот вклад достигает наибольшейвеличины при a p= /4. Если значение k приближается к величине Wили превосходит ее, то появляются направления, где указанныескорости полностью компенсируют друг друга. Преодолеть этотрадиус любая материальная точка уже не может — вследствиенепрерывного растяжения с течением времени точка уходит на бес-конечность по закону (25) или (26). При этом секториальная ско-рость точек также сохраняется постоянной (как и для эллиптиче-ских траекторий).

Рассматриваемый класс аффинных деформаций обладает ещеодной очень интересной особенностью. Для того чтобы ее понять,обратимся снова к уравнениям (13). В соответствии с этими уравне-ниями все точки среды движутся согласованно и по определенномузакону. В чем причина такой согласованности? Причины как тако-вые (т. е. поле напряжений) здесь не рассматриваются. Для этогонеобходимы данные о реологии среды. Но в общем случае можносказать, что главная причина состоит в том, что мы рассматриваемне набор отдельных частиц, а именно сплошную среду, подвержен-ную аффинной деформации. В свою очередь в качестве последнейвыступают определенные условия на границе. (Граничные скоростидолжны линейно зависеть от декартовых координат границы.) Этуситуацию проще всего пояснить на таком примере. Пусть у нас естьоднородный цилиндрический стержень. Растянем его, задав на кон-цах одинаковые по величине и противоположно направленные сме-щения. Тогда при достаточно общих предположениях (устойчивостьпроцесса и отсутствие динамики) можно утверждать, что независимоот реологии материала, распределение смещений по длине стержня

64


будет линейным: середина стержня останется неподвижной, а сме-щения остальных точек будут пропорциональны расстоянию до се-редины. Причина таких смещений заключается только в спецификекраевых условий и том факте, что соседние элементарные объемытела взаимодействуют между собой. Для стержня описанная ситуа-ция представляется очевидной. (Строго говоря, достаточно толькоодного факта: при симметричном растяжении однородного стержнясередина его остается неподвижной независимо от вида материала,из которого этот стержень изготовлен.)

В задаче (13) мы имеем точно такую же ситуацию. (Здесь это ужене так очевидно, как для стержня.) Если мы на границе задаем ско-рости, удовлетворяющие равенствам (13), то распределение скоро-стей вида (13) реализуется и внутри области независимо от реологиисреды.

Теперь можно рассмотреть следующую интерпретацию равенств(13). Предположим, что все связи между элементарными объемамисреды распались и их роль на себя взяли некоторые массовые силы.Возникает вопрос, какими должны быть силы, чтобы они моглиобеспечить такое же движение отдельных частиц, которое реализует-ся при их согласованном поведении в сплошной среде.

Структура уравнений (13) позволяет легко ответить на этот во-прос. Продифференцируем каждое из уравнений (13). В результатеполучим систему:

d x

dt

d x

dtk x k x

21

22 2

1

22

22 2

2= - - = - -( ) , ( )W W . (29)

Для частиц с единичной массой силу можно отождествить с ус-корением. Таким образом, мы видим, что при W ¹ k поле сил явля-ется центральным с потенциалом, пропорциональным r 2, т. е. каж-дая частица движется под действием центробежной силы и силыпритяжения или отталкивания, пропорциональной расстоянию доцентра. Если W > k, то центр выступает как точка притяжения, по-этому траектории замкнуты и точки находятся в ограниченной об-ласти. Если же k > W, то силы переходят в отталкивающие и точкиудаляются на бесконечность. При W = k точки движутся по инер-ции со скоростями, определяемыми равенствами (13). На языке силфакт постоянства секториальной скорости движения частиц по тра-екториям является хорошо известным следствием центральностиполя сил.

Теперь перейдем к вопросу о форме, которую необходимо вы-брать для модели тела, подверженного приливному растяжению.

65


Если скорость растяжения велика, то имеют место решения (25) или(26). В соответствии с ними размеры тела с любой начальной фор-мой с течением времени будут неограниченно расти. В этих случаяхначальная форма тела большого значения не имеет. Указанные ре-шения, по-видимому, можно использовать для исследования распа-да спутников или планет в поле приливного растяжения. Экспери-ментально же в лаборатории эту ситуацию воспроизвести, наверное,невозможно, поэтому для разработки экспериментальной методикирежимы течения (25), (26) интереса не представляют.

Основным является случай (13). Рассмотрим его подробнее. Какотмечалось, в этом случае все частицы среды движутся по эллипти-ческим траекториям. Это обстоятельство подсказывает и форму тела,которую удобнее всего выбрать для моделирования. Форма должнабыть эллиптической, причем такой, которая совпадает с одной изтраекторий (21). Закон движения (23) диктует и вид необходимыхкраевых условий: краевые условия должны быть такими, чтобы век-тор скорости был направлен по касательной к границе, а величинаего определялась законом Кеплера:

v r v n´ = × =const, ( ) 0. (30)

Итак, если на границе эллиптической области задается кепле-ровское распределение скоростей, то при выполнении некоторыхдополнительных условий (требование единственности решения иотсутствия динамических эффектов) внутри области мы получаемоднородную, аффинную деформацию эллиптического типа (13). Та-ким способом мы воспроизводим ситуацию, которая была описанавыше: имеем тело, подверженное растяжению и сжатию вдоль орто-гональных направлений с некоторой постоянной скоростью. При-чем указанные направления относительно тела непрерывно повора-чиваются. Следовательно, в первом приближении мы получаем си-туацию, характерную для приливных деформаций.

Далее, условие постоянства секториальной скорости приводит ктому, что линейная скорость различных точек границы должна бытьразличной (наибольшей на малой оси эллипса и наименьшей набольшей оси). В результате участки границы должны периодическирастягиваться и сжиматься. В действительности этого не происходит(по крайней мере для небесных тел с внешней твердой поверхно-стью). Более точным будет предположение, согласно которому ли-нейные участки границы считаются нерастяжимыми, поэтому крае-вые условия (30) необходимо заменить на следующие:

| | , ( )v v v n= = × =0 0const . (31)

66


В случае небольших эксцентри-ситетов условия (30) и (31)близки между собой.

Таким образом, можно сде-лать следующий общий вывод.Для моделирования приливныхдеформаций необходимо осуще-ствить деформирование области,имеющей форму эллипса, путемзадания на границе области ус-ловий, удовлетворяющих равен-ствам (31) (рис. 4.5). При малыхэксцентриситетах условия (31)близки к (30), а значит и реше-ние задачи (31) будет близко крешению (13).

4.2. Приливное деформирование как суперпозиция однородных сдвигов

Анализ приливного деформирования представляет интереси еще с одной точки зрения. А именно: вместо элементарного актарастяжения тела вдоль фиксированного направления и одновремен-ного сжатия в ортогональных направлениях можно взять элементар-ный сдвиг тела. Можно представить себе, что сдвиг реализуется меж-ду двумя параллельными пластинами, т. е. реализуется течение Куэт-та. При этом тело относительно плоскостей сдвига непрерывноповорачивается. В зависимости от ориентации вектора поворотамогут реализоваться различные режимы приливных деформаций.Нормаль к пластине и направление ее движения выделяют в про-странстве три взаимно ортогональных направления. Раскладываявектор вращения тела по данным направлениям, получим три основ-ных случая деформирования тела. Один из них, как и следовалоожидать, совпадет с тем, который рассмотрен выше, два других дадутновый тип деформаций.

Рассмотрим последовательно указанные случаи. Выберем систе-му координат, как показано на рис. 4.6. В случае простого сдвигачисло степеней свободы равно единице и поле скоростей имеет вид

v x1 2= g , v2 0= , v3 0= , (32)

где v v v1 2 3, , — компоненты вектора скорости в декартовых коорди-натах; ( , , ),x x x1 2 3 0g ³ — заданная постоянная. Будем искать новыеклассы сложных нагружений путем наложения последовательностей

67


Рис. 4.5.

течений вида (32). Для этого предположим, что поле скоростей (32)реализуется в промежутке времени t от 0 до Dt. За это время каждаяматериальная точка ( , , )x x x1 2 3 получит следующее перемещение:

v t x t1 2D D= g , v t2 0D = , v t3 0D = . (33)

Предположим, что устройство нагружения представляет собойдве параллельные пластины x H2 = ± . Причем если пластины смеща-ются вдоль своих плоскостей на векторы { , , }±gH tD 0 0 , то материаль-ные точки, заключенные между ними, получают смещения (33).Таким образом, возможная неустойчивость процесса, инерционныеи краевые эффекты исключаются.

Итак, пусть материальные точки некоторого тела сместилисьна вектор (33). Зафиксируем новые положения всех точек и уда-лим устройство нагружения x H2 = ± . Затем введем новое устрой-ство нагружения ¢ = ±x H2 , где система координат 0 1 2 3¢ ¢ ¢x x x поверну-та относительно прежней системы на некоторый угол, пропорцио-нальный величине Dt. Новое устройство «включим» на время Dt.На прежние смещения (33) наложатся смещения того же типа, нов координатах 0 1 2 3¢ ¢ ¢x x x и т. д. Таким образом, задавая различныепрограммы поворота осей, можно получать различные типы слож-ных нагружений. Выкладки будут проще, если указанную суперпо-зицию рассмотреть с другой точки зрения, а именно: после первогошага (33) удалим устройство нагружения x H2 = ± и затем за следую-щий промежуток времени от t t= D до t t= 2D повернем тело какжесткое целое на угол wDt. После этого снова введем устройство

68


Рис. 4.6.

нагружения x H2 = ± и зададим материальным точкам смещения(33) уже из их нового положения и т. д. Результат наложения можнопроследить, исследуя траектории фиксированных материальныхчастиц.

1. Вращение вокруг оси 0х3. Так, если взять материальнуючастицу, имевшую в начальный момент времени t = 0 коорди-

наты ( )x x x10

20

30, , , то в моменты t t t= D D, ...2 ее координаты бу-

дут равны

x t x x t x t x x t x1 10

2 2 20

3 30( ) ( ) , ( )D D D D= + = =g , ;

x t x t x t t1 1 22( ) ( ) ( )D D D D= - w ; (34)

x t x t x t t2 2 12( ) ( ) ( )D D D D= + w , x t x t3 32( ) ( )... .D D=

Рассмотрим теперь процесс, в котором шаг по времени неограни-ченно уменьшается Dt ® 0, а w представляет собой неотрицательнуюпостоянную величину. Исходя из (34), легко показать, что траекто-рии материальных частиц будут описываться следующей системойдифференциальных уравнений:

dx

dt

dx

dt

dx

dtv x v x v

11 2

22 1

33 0= = - = = = =( ) , ,g w w . (35)

Последнее уравнение показывает, что движение является плоским,поэтому достаточно ограничиться исследованием движения только вплоскости x 3 0= .

Деформации сдвига сводятся к деформациям растяжения и сжа-тия в ортогональных направлениях, поэтому равенства (13) и (35) —это один и тот же процесс только с разных точек зрения. При g w<материальные точки (35) движутся по эллиптическим траекториям,причем закон движения является кеплеровским. В предельныхслучаях w® 0 и w g® эллипс бесконечно вытягивается и течениепереходит в течение Куэтта.

Полученные результаты позволяют по-новому взглянуть на самоклассическое течение Куэтта (32). Его исходное определение кажет-ся весьма естественным и предельно простым: берется бесконечныйслой | | | |x H2 £ и на его границе задается вектор скорости, направ-ленный по касательной к границе. При этом скорость остаетсяпостоянной. Однако с более общей точки зрения главными здесьявляются не эти обстоятельства, а тот факт, что секториальная ско-рость постоянна. Иными словами, краевое условие | |v = const, задан-ное на параллельных прямых, принадлежит к кеплеровскому типу

69


| |v r´ = const, и именно это обеспечивает однородность деформациивнутри области течения (рис. 4.7).

Процессу деформирования (35) соответствует вращение тела во-круг оси 0 3x . Если теперь изменить вектор вращения тела, то придемк новым течениям, которые уже не сводятся к (35).

2. Вращение вокруг оси 0х2. Возьмем материальное волокно, рас-положенное в квадранте 1, т. е. в области растяжения (см. рис. 4.6).При его повороте вокруг оси 0 2x волокно переходит в квадрант 2 и,следовательно, сжимается. Затем опять переходит в квадрант 1,растягивается и т. д. Квадранты 3 и 4 являются для него недоступ-ными, но чередование деформаций растяжения и сжатия здесьпо-прежнему имеет место. Можно ожидать, что и в этом случае будетполучено финитное течение, выпишем систему уравнений для рас-сматриваемой суперпозиции:

v x xdx

dt11

2 3= = +g q , vdx

dt22 0= = , v x

dx

dt33

3= = -q , (36)

где q — скорость поворота вокруг оси 0 2x . Решение системы (36)имеет вид

x t x x t x t1 30

20

10( ) = +

æ

èç

ö

ø÷ +

g

qq qsin cos ,

x t x2 20( ) = , (37)

x t x x t x t x3 30

20

10

20( ) .= +

æ

èç

ö

ø÷ - -

g

q

g

qq qcos sin

70


Рис. 4.7.

Сделаем его анализ. Во-первых, видно, что точки, которые в на-чальный момент находились в фиксированной плоскости x 2 = const,в процессе движения эту плоскость не покидают. Во-вторых, в лю-бой момент времени выполняется следующее равенство:

( )x t x t x x x x12

3 20

2

10 2

30

20

2

( ) ( )+ +é

ëêù

ûú= + +

æ

èç

ö

ø÷

g

q

g

q. (38)

Следовательно, все точки движутся по круговым траекториям.Причем угловая скорость точки от радиуса не зависит. Это означает,что сечение тела плоскостью x 2 = const вращается как жесткое це-лое вокруг неподвижного центра. Центры расположены на прямой

x 1 0= , x x3 2= -g

q, (39)

поэтому область деформирования естественно ограничить наклон-ной цилиндрической поверхностью и двумя доньями. Образующейцилиндрической поверхности является окружность

x x12

32 1+ = , x 2 0= ,

а направляющая — параллельна прямой (39). В процессе деформи-рования поверхность тела переходит в себя следующим образом:донья вращаются в одну сторону с постоянной угловой скоростьюи дают соответствующее смещение боковой поверхности (рис. 4.8).Неформально характер деформирования можно понять следующимобразом. Возьмем два жестких параллельных диска, центры которыхразнесены по высоте. Предположим,что оба диска вращаются в одну сторо-ну. Пусть на первом диске находитсянаблюдатель, который следит за отно-сительными смещениями точек второ-го диска. Вращение медленное, так чтоцентробежными силами можно пре-небречь. Если диски вращаются с раз-личными угловыми скоростями, то на-блюдатель сможет определить центрыобоих дисков и свое положение отно-сительно этих центров. Однако еслидиски вращаются с одинаковой угло-вой скоростью и в одном и том же на-правлении, то относительная скоростьдля всех положений наблюдателя ста-

71


Рис. 4.8.

новится одинаковой. Именно это обстоятельство и обеспечивает од-нородность деформаций в течении (37). В другой системе координатпроцесс деформирования имеет вид, показанный на рис. 4.9.

3. Вращение вокруг оси 0х1. Очевидно, что волокно 0 1A можноперевести в положение 0 4A , вращая его не только в плоскости 0 1 2x x ,но и по конической поверхности вокруг оси 0 1x . В этом случае квад-ранты 2 и 3 станут для него недоступными, но основной результат —чередование деформаций растяжения и сжатия — будет достигнут,поэтому можно ожидать, что и здесь суперпозиция течений Куэттатакже приведет к финитному течению.

Теперь формальные построения. Выделим некоторую областьмежду пластинами x H2 = ± . В промежутке времени от 0 до Dt реа-лизуем течение Куэтта (32). В результате каждая материальнаячастица получит смещения (33). Зафиксируем новые положениячастиц, удалим устройство нагружения и за время от Dt до 2Dt по-вернем тело вокруг оси 0 1x на угол WDt. После этого снова введемустройство нагружения x H2 = ± и дадим смещения (33) за время от2Dt до 3Dt и т. д.

Просуммируем смещения произвольной материальной частицы сисходными координатами ( )x x x1

020

30, , и перейдем к пределу Dt ® 0.

В итоге получим следующую систему дифференциальных уравнений:

v xdx

dt11

2= = g , v xdx

dt22

3= = -W , v xdx

dt32

2= = W . (40)

Общее решение системы имеет вид:

x t t xx x x

120

30

10 3

0

= + + +æ

èçç

ö

ø÷÷

g g g

W W WW Wsin cos ,

x x t x t2 30

20= - +sin cosW W , (41)

x x t x t3 20

30= +sin cosW W .

72


Рис. 4.9.

Полученное течение являетсяфинитным. Нетрудно показать,что

( ) ( )x t x t

x x

22

32

20 2

30 2

( ) ( )+ =

= + = const,(42)

[ ]x t x t x x3 1 10

30( ) ( )= - +

W

g.

Первое условие означает, чтоматериальная частица все времяостается на круговой цилиндри-ческой поверхности с осью 0 1x .Второе условие показывает, чтотраектория целиком лежит вплоскости, ортогональной коор-динатной плоскости x 2 0= и составляющей с основанием цилиндраугол, равный arctg g/W. Таким образом, траектория совпадает с сече-нием цилиндра плоскостью и, следовательно, представляет собойэллипс (рис. 4.10). Полуоси эллипса (см. рис. 4.10), отнесенные к ра-

диусу цилиндра ( ) ( )R x x= +20 2

30 2

, равны 1 и W W2 2+ g / . Центр

эллипса лежит на оси цилиндра. Если из центра к материальной час-тице провести радиус-вектор, то нетрудно показать, что закон дви-жения частицы по эллиптической орбите будет кеплеровским: заравное время радиус-вектор ометает одинаковые площади с посто-янной секторной скоростью.

Таким образом, полученное сдвиговое течение реализуется впрямом круговом цилиндре, является однородным и пространствен-ным. При этом кеплеровский закон обращения приводит к тому, чтопроекции точек на основание цилиндра движутся по окружностямс постоянной угловой скоростью. Это обстоятельство можно ис-пользовать для конструктивной реализации кеплеровского законадвижения. Естественно, что имеет место и предельный переход к ис-ходному плоскопараллельному течению Куэтта (при W = 0).

4.3. Приливные деформации как результат вращения телав условиях неизменности его внешней формы

Вернемся к рис. 2.1 (см. с. 33). Мы видим, что небесное тело внаправлении приливной силы вытягивается и одновременно враща-ется. Если ситуация является стационарной, то вращение тела про-

73


Рис. 4.10.

исходит в условиях, когда его внешняя форма остается неизменной.Именно этот факт можно взять за основу для построения первогоприближения решения задачи о приливном деформировании. Дан-ный факт можно также использовать при разработке методики экс-периментального моделирования.

Допустим, что в первом приближении тело принимает формуэллипсоида. Коль скоро речь идет об использовании аффинной де-формации, то происхождение эллипсоида можно представить себетаким образом. В некоторый начальный момент тело полностьюизолировано и имеет форму шара. Затем шар подвергается аффин-ной деформации. (Эту деформацию можно назвать изначальной.)В результате шар преобразуется в эллипсоид. Эллипсоид — это ре-альное существующее тело, а шар — это мысленный прообраз тела.

Параметры изначальной деформации позволяют определить од-нозначное соответствие между точками шара и эллипсоида. Теперьначнем вращать шар вокруг его центра по произвольной программе.Ясно, что поверхность шара при любых поворотах (в том числе и не-стационарных) всегда будет переходить сама в себя. Иными словами,внешняя форма шара всегда остается неизменной. Этим же свойст-вом будет обладать и образ шара — эллипсоид. Эллипсоид будет вра-щаться и при этом деформироваться так, что в результате его поверх-ность будет переходить сама в себя. Располагая данными об изна-чальной деформации и параметрах вращения шара, нетрудноописать кинематику деформирования эллипсоида.

Несколько слов об изначальной аффинной деформации. Конеч-но, теоретически возможен случай, когда некоторое тело форми-руется как изолированный шар, который затем захватывается воз-мущающей массой и начинается вращаться вокруг этой массы, ис-пытывая приливные деформации. Но это маловероятная картина.В типичной ситуации тело сразу формируется в гравитационномполе возмущающей массы. В таком случае изначальной деформациине было и представление о ней — это только прием, позволяющийпостроить кинематически возможное (аффинное) деформированиеэллипсоида.

В качестве изначальной деформации возьмем деформацию рас-тяжения-сжатия вдоль ортогональных осей. Введем систему коорди-нат 0 1 2 3y y y . Зададим в ней шар, ограниченный поверхностью S*.

Отобразим S* в системе координат 0 1 2 3x x x с помощью аффинного

преобразования

x k y x k y x k y1 1 1 2 2 2 3 3 3= = =, , . (43)

74


Заставим теперь вращаться прообраз S* вокруг оси симметрии.В каждый момент времени будем осуществлять преобразование (43).Поскольку поверхность S* переходит в себя, то и поверхность S0

будет сохранять это свойство. Ясно, что тогда внутренние точки об-ласти S0 будут испытывать аффинную деформацию. Определим еепараметры. Пусть скорость вращения w w w w= { , , }1 2 3 постоянная.Тогда в системе координат 0y i имеем

�y y y1 3 2 2 3= - +w w , �y y y2 3 1 1 3= -w w , �y y y3 2 1 1 2= - +w w . (44)

Продифференцировав (43) по времени, используя (44) и заме-няя y i через x ki i , получим

� ,x x xk

k

k

k11 3

22

1 2

33= - +

w w�x x x

k

k

k

k22 3

11

2 1

33= -

w w,

�x xk

k

k

k13 2

11

3 1

2= - +

w w. (45)

Легко показать, что в классе (45) содержится построенное вышерешение (35). Действительно, предположим, что k k1 31 1= =, иk2 1¹ , т. е. исходная деформация сводится к растяжению шара в на-правлении 0 2y . В результате шар превращается в эллипсоид враще-ния с большой осью, направленной вдоль 0 2y . Пусть w1 0= , w2 0= ,w3 0¹ , т. е. прообраз, равномерно вращается вокруг вертикальнойоси 0 3y . В результате получаем эллипсоид, который вращается во-круг вертикальной оси 0 3x , причем внешняя его форма остается не-изменной (см. рис. 2.4). Деформирование эллипсоида описываетсяследующими уравнениями

� , � , �x x x k x xk1

3

22 2 2 3 1 3 0= - = =

ww .

Сопоставим их с решением (35):

� ( ) ; � ; �x x x x x1 2 2 1 3 0= - = =g w w .

Видно, что решения совпадут, если положить

w w(w g)w

w g3 2= - =-

, k .

Таким образом, подходы, изложенные в п. 4.2 и здесь, привелик одному и тому же результату.

75


Обратимся теперь ко второму основному случаю. Выберем в ка-честве исходной деформации шара — его сдвиг параллельно плоско-сти 0 1 3y y :

x y x y x y y1 1 2 2 3 3 2= = = + ×, , Г , (46)

где Г const= . (В качестве исходной можно было бы взять и деформа-цию (43).) Пусть теперь шар вращается с постоянной условной ско-ростью вокруг вектора w w w w= { , , }.1 2 3 Продифференцируем (46),воспользуемся (45) и выразим y y y1 2 3, , через x x x1 2 3, , . В результатеполучим следующую кинематику деформирования эллипсоида:

� ( ) ,x x x1 3 2 2 2 3= - + +w w wG

�x x x x2 3 1 1 2 1 3= + -w w wG , (47)

� ( ) ( )x x x x3 3 2 1 12

1 2 1 3= - + + -G G Gw w w w w .

Сопоставим (47) с ранее полученным решением (36):

x x x x x x1 2 3 2 3 10= + = = -g q q: � , � .

Видно, что результаты совпадают, если положить

w w w qg

q1 3 20 0= = = = -, ; , .G (48)

Таким образом, процесс деформирования (36) совпадает с од-ним из частных случаев процессов класса (45). Этот факт можноиспользовать для экспериментального моделирования приливныхдеформаций в лабораторных условиях. Действительно, реализоватьв лаборатории деформирование эллипсоида так, чтобы в процесседеформирования он переходил сам в себя — весьма проблематично.Гораздо проще реализовать деформирование наклонного цилиндрапо схемам, изображенным на рис. 4.8 или 4.9. Ниже будет рассмот-рен пример реализации такого процесса.

Основным для исследования будет случай типа (35). Третий типдеформирования, определяемый равенствами (40), эксперименталь-но не реализован и поэтому здесь не рассматривается.

§ 5. Кинематический методмоделирования приливных волн

1. Плоская деформация. Итак, мы пришли к следующей про-грамме дальнейших действий. Вначале необходимо взять тело, огра-ниченное в плане эллиптической кривой. На поверхности телатребуется задать обе компоненты вектора скорости. Вектор должен

76


быть направлен вдоль границы, а его величина должна быть посто-янной. Необходимо также обеспечить выполнение условий плоскойдеформации.

Приступим к реализации этой программы. Для того чтобы вы-держать условия плоской деформации, необходимо располагать об-разцом тела в форме прямого эллиптического цилиндра с достаточнобольшой высотой. Характер нагружения должен быть таким, чтобывсе сечения образца, ортогональные к его образующей, находились водинаковых условиях. Это обычные требования, которые фигуриру-ют в плоских задачах [253]. К сожалению, здесь есть еще одно требо-вание, которое связано с тем, что должна отсутствовать компонентамассовой силы, параллельная образующей тела. Это требование вы-полнить точно невозможно. Однако его роль можно уменьшить, рас-полагая тело вертикально и прикладывая к его поверхности доста-точно большие нормальные нагрузки. (Заведомо большие, чем вестела.) Внешняя пригрузка затрудняет наблюдения за кинематикойдеформирования поверхности образца. Поэтому проще горизонталь-ную поверхность тела оставить свободной, а оценку роли силы тяже-сти сделать дополнительно.

Перейдем теперь к вопросу о способе нагружения. Обратимся кграничным условиям (31). В соответствии с этими условиями исход-ная эллиптическая область в процессе нагружения должна все времяпреобразовываться сама в себя (см. рис. 4.5), поэтому конфигурациявнешней ее формы будет оставаться неизменной. Очевидно, что есливзять материальное волокно АВ и расположить его вдоль границы,то в этих условиях его длина будет оставаться все время неизменной(рис. 5.1), т. е. граница тела растяжению не подвергается. С другойстороны, граница области имеет переменную кривизну, поэтомууказанное волокно будет испытывать периодические изгибные де-формации.

Для реализации таких условий можно взять гибкую цилиндриче-скую оболочку 1, поместить ее в жесткий неподвижный статор 2 ипридать ей вращение с постоянной линейной скоростью v. Схема та-кого нагружения показана на рис. 5.1. При этом испытуемый образец(тело) 3 помещается внутрь оболочки. Гибкая оболочка призванаобеспечить необходимую кинематику на границе тела 3, поэтомуконтакт между телом и оболочкой должен быть как можно болееплотным. В идеале необходимо реализовать условие полного прили-пания. Для вязких жидкостей никакой проблемы нет. Полное при-липание будет всегда. Для образцов из других материалов ситуациясложнее. Подробнее она будет рассмотрена ниже.

77

§ 5. Кинематический метод моделирования приливных волн

Статор должен быть жестким и иметь форму прямого круговогоцилиндра. В нем выполняется полость, имеющая форму эллиптиче-ского цилиндра. В эту полость помещается гибкая оболочка, котораявращается относительно статора (поэтому ее можно назвать рото-ром). Очевидно, что ротор и статор должны иметь общую вертикаль-ную ось. Для удержания испытуемого образца внутри оболочкипоследнюю необходимо закрыть дном. Дно не должно вносить за-метной погрешности в процесс деформирования, т. е. в принципеоно должно деформироваться так же, как и само тело. Полностьювыдержать условие невозможно. Самый приемлемый вариант состо-ит в том, чтобы выполнить дно в виде натянутой резины, которая непрогибается и в процессе деформирования не образует гофров. Та-ким образом, в результате мы получаем камеру с гибкой, но нерастя-жимой боковой поверхностью и растяжимым, но не гибким дном.(Последнее условие обеспечивалось жесткой плитой, которая подво-дилась под дно камеры.)

Теперь о самом способе нагружения. Можно предложить мно-жество различных его технических реализаций. Но если говорить опринципиальной схеме, то здесь, просматриваются только два ос-новных варианта. Первый вариант показан на рис. 5.1. В этом вари-анте статор является неподвижным, а оболочка скользит по его внут-ренней поверхности с постоянной линейной скоростью. Во второмварианте (рис. 5.2) оболочка закрепляется с помощью гибких тяг,а статору придается вращение с постоянной угловой скоростью.В главном эти схемы совпадают между собой — они обеспечиваютотносительные скольжения оболочки и статора. Однако в динамиче-ском отношении различие, конечно, есть.

78


Рис. 5.1. Рис. 5.2.

В первой схеме при больших скоростях скольжения появляютсяцентробежные силы. Во второй схеме центробежных сил нет, но прибольших скоростях вращения статора становятся существеннымиинерционные силы, связанные с периодическим радиальным движе-нием материала. В данной работе задача моделирования центробеж-ных сил не ставилась, поэтому можно ограничиться только второйсхемой нагружения, тем более что в техническом отношении эта схе-ма оказалась проще первой. Во всем дальнейшем, за немногими ис-ключениями, скорость вращения статора выбиралась достаточномедленной так, чтобы в целом процесс деформирования носил ква-зистатический характер.

На рис. 5.3 показано устройство нагружения: образец (1), кото-рый подвергается испытанию, имеет цилиндрическую камеру (2)(оболочка), выполненную из листовой бериллиевой бронзы толщи-ной 0,3 мм; дно (3) изготовлено из тонкой листовой резины. Онопредварительно натянуто и приклеено к оболочке. Фактически нетнеобходимости делать статор (4) в виде сплошного тела. Оказалось,что свою роль статор выполнит, если он будет охватывать оболочкувсего в двух сечениях, поэтому его можно изготовить в виде двухшаблонов с эллиптическими вырезами. Шаблоны устанавливаютсясоосно и охватывают камеру в двух сечениях. При деформированиикамера сохраняет форму прямого цилиндра, так как прогибы обо-

79


Рис. 5.3.

лочки между шаблонами практически отсутствуют. На оси (5) закре-плена жесткая опора для дна камеры и сам статор. Статор опираетсяна неподвижную опору 6 с жесткими стойками 7. Стойки служат длякрепления оболочки с помощью гибких тяг 8. Вращающий моментна статор передавался через ось 5 от электродвигателя и редукторасо ступенчатым переключением скорости вращения вала.

На рис. 5.4 показана фотография общего вида стенда: 1 — обра-зец из сыпучего материала; 2 — гибкая камера; 3–5 — статоры; 6, 7 —электродвигатель и редуктор; 8 — гибкие тяги, закрепленные к не-подвижным стойкам 9. Общий вид с камерой, заполненной вязкойжидкостью, изображен на рис. 5.5.

В одной из модификаций прибора усилия на камеру от статорапередавались через обжимные ролики (рис. 5.6). Это позволило за-менить трение скольжения между статором и камерой на трение ка-чения. (Поэтому уменьшается крутящий момент, а также износ обо-лочки.) На рис. 5.7 изображен общий вид указанной модификациистенда с блоком измерительной аппаратуры.

2. Кинематика устройства нагружения. Конструкция стенда по-зволяет непосредственно наблюдать кинематику деформированиясвободной поверхности образца. Эксперименты показали, что поле

80


Рис. 5.4.

81


Рис. 5.5.

Рис. 5.6.

скоростей имеет периодические колебания во времени. Оказалось,что эти колебания связаны только с выбранной кинематическойсхемой нагружения. Это заставило рассмотреть кинематику стендаподробнее. Она не так проста, как это может показаться на первыйвзгляд.

Выше мы остановились на схеме нагружения, при которой ста-тор вращается, а камера закреплена. Однако считать камеру непод-вижной нельзя. Все ее точки описывают в пространстве довольносложные траектории. Кроме того, несмотря на то что скорость вра-щения статора принята постоянной, кинематическая картина в це-лом стационарной не является. Нестационарность вносится точкамизакрепления гибких тяг.

Существо дела можно понять, если рассмотреть два крайнихслучая, изображенных на рис. 5.8. В положении а через точку за-крепления проходит большая ось эллипса. Следовательно, линей-ная скорость скольжения оболочки относительно статора будет рав-на v aa = ×W , где, как отмечалось, W — угловая скорость вращениястатора. Оболочка нерастяжима. Поэтому с такой же линейной ско-ростью будут скользить все ее точки. Теперь другой крайний случай.В положении б через точку закрепления проходит малая ось эллип-са, поэтому скорость скольжения будет равна v bb = ×W . Ясно, что

82


Рис 5.7.

в промежуточных положениях скорость будет равна некоторомупромежуточному значению между vb и va. Таким образом, при по-стоянной угловой скорости вращения статора Ù скорость скольже-ния оболочки постоянной не является и колеблется в интервале[ ]W W× - ×b a . В этом состоит причина нестационарности. На рис. 5.9изображены положения статора через одинаковые промежуткипроскальзывания (a b= =1 05; , ). Отчетливо видна соответствующаянеравномерность по углу.

Рассмотрим теперь кинематику граничных точек в лаборатор-ных, неподвижных координатах.Обозначим эту систему через 0xy.Подвижную систему 0x¢y¢ свяжемсо статором. Пусть A — материаль-ная точка на оболочке, котораязакреплена к гибкой тяге AN (см.рис. 5.2), N — неподвижный конецтяги. Во время вращения статораточка A будет смещаться по дугеокружности радиуса AN R= . Тягувыберем жесткой так, чтобы еерастяжением можно было пренеб-речь. Кинематика упростится, еслитягу взять достаточно длинной,а неподвижный ее конец закрепить

83


Рис. 5.8.

Рис. 5.9.

в точке x a b y R= - = -( )/ ;2 , гдеR a b>> - . В этом случае можнопринять, что точка А смещаетсявдоль оси 0x.

Допустим, что d— угол пово-рота статора, A ¢— точка на боль-шой оси его эллиптического вы-реза. Для определенности будемсчитать, что в начальный моментвремени точки А и А¢ совпадаютмежду собой. Пусть L(a, b) —длина всей эллиптической кри-вой, которую удобно принять залинейный масштаб. Обозначимчерез ~t t= × L длину дуги АА¢. Ве-личина t равна безразмерному

относительному проскальзыванию. Воспользовавшись стандартнойпрограммой для подсчета эллиптического интеграла, нетрудно по-строить графики функций d d t= ( , /b a) (рис. 5.10); кривые 1–5 соот-ветствуют значениям b/a = 0,1; 0,3; 0,5; 0,8 и 1. Возьмем теперь про-извольную материальную точку В, принадлежащую деформируемойоболочке. Через В¢ обозначим соответствующую точку статора (см.рис. 5.2). Пусть S × L — длина дуги ВА и В¢А¢. S играет роль ланграже-вой координаты точек В и В¢. Проскальзывание t можно рассматри-вать как параметр нагружения. Очевидно, что при t< S длина дугиА¢В равна ( )S L- t . Это позволяет определить координаты точки В

в системе 0x¢y. Кроме того, графики на рис. 5.10 по известномузначению t позволяют найти величину угла d. Отсюда легко пере-считываются координаты точки В в неподвижную систему 0xy. Припереходе величины t через значение, равное S, т. е. при t ³ S длинадуги отсчитывается от А¢ по часовой стрелке и все вычисления ана-логичны. Теперь можно ввести физическое время t = d/W. Это по-зволяет определить траектории всех точек и закон движения по нимв подвижных координатах. На рис. 5.11, 5.12 показаны траекторииточек для различных величин сжатия эллипса. Из симметрии следу-ет, что дополнительное закрепление эллипса во второй точке, распо-ложенной на другом конце его диаметра, кинематики не меняет (длякомпенсации крутящего момента такое закрепление в двух точкахудобнее). Однако если закрепление осуществить в другой точке, токинематика изменится. В этом случае тяги в работу будут включатьсяпопеременно.

84


Рис. 5.10.

Действительно, расположим вторую пару тяг, например, так, какпоказано на рис. 5.13. В рассмотренной выше схеме (рис. 5.2) тяга былавсе время натянута, поэтому ее можно было выполнить и в виде жест-кого стержня. На схеме же, изображенной на рис. 5.14, в случае жест-ких тяг деформации невозможны, поэтому тяги должны быть гибкими,так чтобы расстояние между точками A и N, C и M удовлетворяли усло-виям типа неравенств: AN R CM R£ £, . При увеличении угла d от 0в работу вначале включается тяга AN. При этом точка С движется потраектории, показанной на рис. 5.12, 5.13. Тяга СМ при этом провисает.Затем включается в работу тяга СМ, а тяга AN провисает. На рис. 5.14,5.15 показаны соответствующие траектории точек.

85


Рис. 5.11. Рис. 5.12.

Рис. 5.13.

Теперь можно поставить вопрос об оптимизации всего процесса.Из сказанного выше видно, что путем закрепления камеры в рядеточек и при соответствующем подборе тяг колебания скоростискольжения оболочки можно сгладить. Можно даже добиться того,чтобы при постоянной скорости вращения статора скорость сколь-жения оболочки была бы также практически постоянной.

Действительно, обратимся к графику (см. рис. 5.10). На нем естьточка (t d* *), в которой мгновенная скорость скольжения совпадаетсо средней скоростью скольжения оболочки за полный оборот стато-ра. Проведем секущую к графику, параллельную касательной в точке(t d* *) и отстоящую от нее на расстоянии e × L, где e<< 1. Получимдве точки: d e* - 1 и d e* + ×2 t. Примем положение статора d e* - 1 заначальное. Практически это означает, что первую пару тяг настроимна включение в работу именно в этом положении. Осуществимповорот статора до угла d e* + 2. Вторую пару тяг настраиваем на

включение ее в работу в момент d d e= +*2 и т. д. Путем передачи

такой эстафеты можно получить скорость скольжения оболочки,которая будет близка к постоянной и равной, естественно, ее сред-ней скорости. (Здесь, конечно, нет нужды обсуждать вопрос о том,что выбор числа e должен быть таким, чтобы при полном обходеконтура последняя точка закрепления совпадала с первой.) Такимобразом, при точном измерении скоростей точек поверхности образ-ца все поправки на колебания, связанные с конструкцией стенда,можно вычислить, используя рассмотренные выше результаты. Учетэтих колебаний необходим также при исследовании скорости враще-ния внутреннего ядра. В экспериментах периодические колебанияядра отчетливо регистрируются и с процессом деформированиясамого материала никак не связаны.

86


Рис. 5.14. Рис. 5.15.

Ниже описаны другие виды стендов, которые использовалисьдля моделирования волн большой амплитуды, а также для моделиро-вания пространственной деформации.

§ 6. Методика проведения экспериментов

Итак, на пути к лабораторному моделированию приливов мырешили вопросы о форме образца небесного тела и способе его на-гружения, который имитировал бы движение приливных волн. Сле-дующие вопросы носят конкретный характер и возникают при непо-средственной постановке экспериментов: первый — какую высотуприливной волны необходимо задавать в экспериментах, второй —какие материалы можно использовать для изготовления образцов.

Как отмечалось, во всех построениях мы будем иметь в виду нетолько Землю, но и другие небесные тела, например спутники пла-нет, двойные планетные системы и т. д. Это позволит рассматриватьболее широкий диапазон приливных сил и расширит свободу дейст-вий. Такое расширение имеет определенный смысл и для исследова-ния самой Земли. В настоящее время высоту твердой приливнойволны можно оценить в 0,5 м. Но в далеком прошлом она была в ты-сячи раз большей и достигала 1–1,5 км. Кроме того, нередкой яв-ляется ситуация, когда небесное тело под действием приливных силразрушается. В этом случае высота приливной волны возрастаети, по-видимому, становится сравнимой с размерами самого тела.Ясно, что при этом процесс приливного деформирования долженприобретать какие-то новые черты и завершаться разделением не-бесного тела на части. Как уже отмечалось во Введении, есть основа-ния считать, что современная Луна образовалась в результате имен-но подобного разрушения другого небесного тела — прото-Луны.

Все сказанное позволяет сделать следующий вывод: в экспери-ментах необходимо исследовать более широкий диапазон амплитудприливных волн. По крайней мере все ограничения должны дикто-ваться только техническими возможностями устройств нагружения.Формально принятая выше схема нагружения принципиальных ог-раничений на высоту приливной волны не накладывает. Однакопрактически она не позволяет достичь значительных амплитуд вол-ны, поэтому для исследования больших амплитуд был разработанновый способ нагружения и изготовлен соответствующий стенд. Этачасть работы изложена в § 9.

Перейдем теперь к собственно модели небесного тела. Много-численные данные показывают, что внутреннее строение Землиимеет четко выраженный слоистый характер. То же самое можно

87


сказать и о ближайших к Земле планетах и их спутниках. При моде-лировании сложных процессов всегда удобнее идти от самых про-стых ситуаций к более сложным, поэтому вначале вообще пренебре-жем любыми неоднородностями внутреннего строения небесноготела. Никаких дополнительных условий на его реологическое пове-дение ставить не будем. Пусть снаружи тело ограничено упругойоболочкой (слоем). Эту оболочку можно рассматривать с двух точекзрения. Первая связана с исходной кинематической постановкой за-дачи. При такой постановке внешняя оболочка может рассматри-ваться как часть, устройства нагружения. В этой роли она служиттолько для создания определенных смещений на поверхности образ-ца. И поэтому ее толщина имеет значение только для оптимизациихарактеристик самого устройства нагружения. От толщины зависятмомент вращения ротора и все усилия, развиваемые в стенде. По-следнее обстоятельство определяет контактные напряжения междуоболочкой и статором, а также ресурс стенда в целом.

Внешнюю оболочку можно рассматривать и как составную частьсамого образца. Для Земли и других небесных тел, имеющих твердуювнешнюю поверхность, такая интерпретация вполне оправданна.В этой роли толщина оболочки должна определяться мощностьювнешних упругих слоев небесного тела.

Моделирование деформаций внешнего упругого слоя никакихтрудностей не представляет. Можно подобрать ряд упругих материа-лов, вполне удобных для постановки таких экспериментов, т. е. об-ладающих достаточной податливостью, чтобы не потребовалисьбольшие усилия на границе, а также достаточным пределом упруго-сти, чтобы можно было не ограничивать высоту приливных волн.Правда, никаких особенных эффектов здесь ожидать не приходится.Упругое тело «не помнит» истории своего нагружения, поэтомуциклические приливные деформации никакого эволюционногопроцесса в упругом теле вызвать не могут. Траектории всех точектела всегда будут строго замкнутыми.

В настоящее время нет проблем и с математическим моделиро-ванием упругого процесса. Если заданы характеристики материала(в том числе и неоднородные), а также условия на контакте междуслоями, то задача может быть исследована известными методамиисчерпывающим образом. Ниже ограничимся только ссылками наклассические работы по теории упругих приливов и постановкойэкспериментов на плоской однородной модели.

Таким образом, в дальнейшем внешнюю упругую оболочку бу-дем брать достаточно тонкой и относить ее к устройству нагружения.Вначале ограничимся однородными образцами. Затем рассмотрим

88


роль жесткого внутреннего ядра и некоторые эффекты, связанныес изменением свойств среды по глубине, а также слоистостью внут-реннего строения тела.

Перейдем теперь к проблеме выбора материалов для экспери-ментальных моделей. Тело Земли обладает чрезвычайно широкимдиапазоном реологических свойств. Реакция геосреды на различныесилы зависит не только от свойств самой среды, но и от характерасилового воздействия. Хорошо известно, что один и тот же материалпри больших временах воздействия может выступать как вязкаяжидкость, а при малых — как упругая среда. Кроме того, есть суще-ственная зависимость свойств среды от температуры, всестороннегодавления и т. д. Приливное воздействие носит циклический харак-тер. Одному циклу отвечает безусловно малое время. Но число цик-лов таково, что общее время приливных деформаций — это все вре-мя жизни небесного тела. Следовательно, это предельно большиевремена.

Какие материалы можно использовать для моделей небесныхтел? Вопрос о чисто упругих моделях затрагивался выше. Рассмот-рим теперь, какие открываются возможности перед неупругими мо-делями. Здесь сразу возникает вопрос, насколько вообще оправдан-но применение неупругих моделей для исследования приливныхдеформаций Земли. К настоящему времени накоплено достаточномного наблюдений, которые позволяют ответить на этот вопросоднозначно и положительно — у приливной реакции Земли есть не-упругая составляющая. Если бы реакция Земли была целиком упру-гой, то наблюдалось бы полное совпадение фаз между приливнойсилой и приливной волной. Вместе с тем в наблюдениях регистриру-ется устойчивое отставание максимума приливного горба от макси-мума приливной силы. Разные источники дают разные значенияотставания, но сам по себе этот факт сомнению не подвергается.

Для приближенного моделирования конкретные значения раз-ности фаз не так важны: достаточно только принять, что у реакцииЗемли есть неупругая составляющая и на этом основании считатьоправданным исследование приливов на тех или иных неупругихмоделях.

Таких оснований станет гораздо больше, если обратиться к ис-тории образования Земли. В настоящее время наибольшее призна-ние получила теория Шмидта — Сафронова об эволюции допланет-ного газово-пылевого облака в рой твердых тел и последующуюаккумуляцию планет из твердых тел и частиц [62, 63]. Можно пред-положить, что на ранних стадиях эволюции планеты ее реологияпрошла путь от сыпучей среды со взвешенными и периодически

89


контактирующими частицами через сыпучую среду с частицами,испытывающими постоянные контакты, к твердому телу, в которомпостепенно выделилось внутреннее ядро.

Далее. Как уже отмечалось при оценке высоты приливной вол-ны, во всех построениях мы будем иметь в виду не только Землю с ееприливами от Солнца или Луны, но и другие двойные планетныесистемы, планеты и их спутники и т. д. Это позволяет расширитьдиапазон не только амплитуд приливных волн, но и реологическихсвойств небесных тел, а значит, и соответствующих им моделей.

Обратимся теперь к неупругим материалам, которые можно по-тенциально использовать в моделях. Класс неупругих сред являетсячрезвычайно обширным и изучен еще далеко не полно, поэтому ес-тественно начать с наиболее простых его представителей. По-види-мому, самой простой будет модель линейно-вязкой среды. Для ис-пользования вязких жидкостей в качестве модельных материаловесть ряд причин. Во-первых, внутреннее ядро современной Землипредставляет собой вязкую жидкость [111]. Во-вторых, эффекты вяз-кого трения наблюдаются и у твердых тел, составляющих внешниеоболочки Земли, особенно в условиях повышенных температур идавлений. В-третьих, модель жидкости (идеальной и вязкой) исполь-зовалась во многих классических работах, посвященных исследова-нию фигур равновесия вращающихся небесных тел [76–79]. Крометого, если говорить не только о Земле, но и о других планетах Сол-нечной системы, то для них модель вязкой жидкости имеет смысли для их внешних оболочек [254–256]. Итак, в качестве первого шагабудем использовать образцы моделей небесных тел, представленныеразличными видами вязких жидкостей.

Другим простейшим представителем неупругих сред являетсяпластическое тело. К пластическим можно отнести и геоматериалы.При сравнительно небольшом всестороннем сжатии геоматериаловпроявляются свойства внутреннего трения. Однако при бульшихсжатиях и температурах внутреннее трение уменьшается и становит-ся преобладающим чисто пластическое поведение. Однако если рас-сматривать процесс деформирования геосреды при фиксированномгидростатическом сжатии, то внутреннее трение проявляться небудет. Величина гидростатического сжатия войдет в качестве пара-метра в пластические модули среды и в целом ее поведение будетносить пластический характер [3–5]. Из подобных сред наиболееудобными для экспериментов являются сыпучие среды, и в част-ности, различные сухие кварцевые пески, поэтому их также будемиспользовать в качестве модельного материала.

90


Пластичность характеризуется наличием порога. Для сыпучихматериалов он чрезвычайно мал (допредельные пластические дефор-мации начинаются уже при малых сдвигах [257, 258]). Возникаетвопрос, будет ли порог пластичности преодолен и в натурных усло-виях? Если приливные деформации значительны, то да, если же не-значительны (как, например, для Земли), то вопрос остается откры-тым. Его можно перенести на математические модели. Более близ-кими к реальности будут усложненные модели, сочетающие в себевязкость, упругость, пластичность и, возможно, более сложные эле-менты.

Теперь самый трудный вопрос — как выбирать параметры мате-риалов, из которых изготавливаются образцы, и как эти параметрыдолжны соотноситься с аналогичными параметрами масс, из кото-рых состоит небесное тело? Этот вопрос только внешне выглядиткак чисто технический. В действительности он имеет принципиаль-ный характер и связан со следующими обстоятельствами. Можновыделить две точки зрения, на цели экспериментального моделиро-вания сложных явлений. Первую можно назвать ортодоксальной.Согласно этой точке зрения, при моделировании должны соблю-даться все критерии, которые диктуются теорией подобия и размер-ностей. В этом случае экспериментальные результаты, полученныена модели, легко переносятся на процессы, которые разыгрываютсяв естественных условиях. Пересчет является практически тривиаль-ным и сводится только к изменению масштабов.

Согласно второй точке зрения, цель моделирования несколькоиная: именно из сложного реального процесса выделяются тольконесколько отдельных факторов или, возможно, только единствен-ный фактор. Затем ставится задача моделирования действия именноэтого отдельного фактора в «чистом виде». Для выяснения роли дру-гих факторов проводятся серии экспериментов и т. д. Ясно, что притаком моделировании непосредственно перенести на натуру экспе-риментальные результаты невозможно, так как в естественных усло-виях все факторы действуют одновременно. Причем общий резуль-тат к простой суперпозиции частных результатов не сводится (реаль-ные процессы носят, как правило, нелинейный характер), из-за чегопростой пересчет путем изменения масштабов становится невоз-можным. Эту задачу можно решить только путем создания матема-тической модели процесса, которая учитывала бы одновременноедействие всех изученных факторов.

В настоящей работе, как уже не раз отмечалось, принята втораяточка зрения. Ряд аргументов в пользу такой постановки представ-лен выше. Здесь можно добавить только некоторые новые аргумен-

91


ты, которые непосредственно связаны с рассматриваемым вопро-сом — выбором параметров материалов для моделей небесных тел.Значения параметров легко вычисляются из соответствующих кри-териев подобия. Критерии подобия в свою очередь опираются науравнения состояния внутренних масс Земли и других небесных тел.Причем в критериях должны фигурировать конкретные значенияпараметров реальных сред. Данные о последних так же, как и о са-мих уравнениях состояния, носят весьма приближенный характер,поэтому и критерии, полученные на этой основе, будут иметь ту жесамую степень точности. Далее, если все же принять определенныезначения натурных параметров, то подобрать реальные материалыдля моделей с требуемыми свойствами будет весьма непросто, темболее что для физически нелинейных сред все локальные значенияпараметров (касательные модули) будут зависеть от уровня деформа-ции среды. В модели же геометрические критерии подобия выполне-ны в обобщенном смысле (воспроизводится характер реального на-гружения, но степень деформации — безразмерная высота прилив-ной волны — значительно увеличена). Уже одно это обстоятельстводелает проблему подбора материала для моделей (по крайней мерес нелинейными свойствами) чрезвычайно трудной. Кроме того,выше мы отказались от моделирования гидростатического давленияи температуры, поэтому нет смысла рассматривать критерии, где этипараметры фигурируют.

Таким образом, здесь можно только подтвердить общий вывод:альтернативы для принятой выше точки зрения на цели моделирова-ния — практически нет. В такой постановке нет необходимостистремиться и к буквальному моделированию свойств мантии Земли,астеносферы и ее жидкого ядра. Достаточно рассматривать прилив-ные эффекты только на отдельных типах реологического поведенияв чистом виде. Проблемы пересчета эффектов на реальные значениявязкости, времени релаксации и других параметров переносятся наматематические модели. Таким образом, далее мы будем придержи-ваться именно этого плана дальнейших действий.

92


Эксперименты осуществлялись следующим образом. Образецматериала 1 помещался в оболочку 2, представляющую собой прямойвертикальный цилиндр эллиптического поперечного сечения (см.рис. 5.3). Цилиндр изготовлен из листовой бронзы, так что форма егопоперечного сечения может меняться. Дно выполняется в виде натя-нутой резины и устанавливается на гладкий горизонтальный диск.Нагружающее устройство представляет собой набор жестких шабло-нов с эллиптическими вырезами. Шаблоны соосно крепятся к дискам4, которые связаны между собой жесткими стойками. Диски с шабло-нами приводятся во вращение электродвигателем 6 через редуктор 7(см. рис. 5.4). Оболочка удерживается от вращения посредством гиб-ких тяг 7, прикрепленных к неподвижным стойкам 8 (см. рис. 5.3).Таким образом обеспечивается относительное вращение оболочки ишаблонов. Поскольку форма образца в плане отлична от круговой, тотакой процесс приводит к периодическому деформированию образца.

Характер деформирования можно представить следующим обра-зом. Пусть от момента t до t t+ d шаблон совершает виртуальныйповорот на угол da (см. рис. 4.2, см. с. 57). Поскольку граница отлича-ется от окружности, то области в моменты t t t, + d не совпадают междусобой, поэтому при действительном повороте на угол da точкиграницы должны получить смещения, определяемые соответствующи-ми областями «несовместности». Расположение областей «несовмест-ности» таково, что в целом образец растягивается вдоль направления х= –y и сжимается вдоль ортогонального направления х = y. Причемпосле реализации смещений объем (на единицу высоты образца) иформа тела не меняются, а само преобразование, если следить толькоза внешним очертанием границы, выглядит как жесткий поворот.

В системе координат, связанной с осями эллипса, граничныеточки имеют одинаковые по величине скорости и направлены покасательной к границе, так что с этой точки зрения деформация яв-ляется следствием вращения тела в условиях, когда его внешняяформа не меняется.

93

Г л а в а

§ 7. Результаты лабораторных экспериментовна плоских моделях

7.1. Модели без внутреннего ядра

Эффект направленного переноса массприливными волнами

В лабораторных координатах оболочка закреплялась и нагруже-ние осуществлялось путем вращения шаблонов. В основной серииэкспериментов полуоси эллипса были равны: a = 60,8; b = 55,3 мм(эксцентриситет e= 0 4, , параметр m = (a –b)/(a + b) = 0,047, высотацилиндра — 180 мм, угловая скорость вращения шаблонов — 0,2 с–1).

В качестве основного материала использовался сухой кварцевыйпесок. Кинематика отдельных точек исследовалась с помощьюстереоскопического микроскопа МБС-9, снабженного окуляром ссеткой, на фоне которой фиксировались последовательные поло-жения меченой частицы.

Если в оболочку поместить упругое тело, то за один оборот (т. е.время, за которое фиксированная материальная точка, двигаясь вдоль

неизменной границы, вернетсяв первоначальное положение)или за 2 цикла все точки телаопишут замкнутые траекториии вернутся к первоначальномуположению (рис. 7.1, а, б).

1. Сыпучие среды. Поведе-ние сыпучего материала вэтом отношении принципи-ально отличается от упругого.Несмотря на то, что за одинцикл каждый объем сыпучейсреды испытывает знакопере-менную деформацию, тем неменее внутренние точки образ-ца к первоначальному поло-жению не возвращаются. Этоприводит к тому, что от цикла кциклу происходит накаплива-ние «остаточных» смещений иматериальные частицы от сво-его первоначального положе-ния уходят все дальше. Нарис. 7.2 изображены последова-тельно картины деформирова-ния свободной поверхности об-разца после 3 и 50 об. Для ви-зуализации процесса вдольбольшой оси наносилась тонкаяполоса окрашенного материала.

94

Гл. 2. Эффект направленного переноса масс приливными волнами

Рис. 7.1.

95

§ 7. Результаты лабораторных экспериментов на плоских моделях

Рис. 7.2.

Эксперименты показывают, что прямая, проходящая в начальном со-стоянии через центр области, в процессе деформирования преобразу-ется в спираль, длина которой неограниченно увеличивается.

При достаточно большом числе циклов каждая частица описы-вает полный оборот вокруг центра. Периоды их обращения зависятот полярного радиуса. Наибольшая угловая скорость — в центре об-ласти и с удалением от него монотонно уменьшается.

Для проверки условий плоской деформации в различных гори-зонтальных сечениях образца вдоль оси помещались меченые части-цы. После деформирования верхние слои удалялись и проводилосьсравнение картин деформирования в различных сечениях. Проверкапоказала, что внутренние сечения образца деформируются так же,как и его свободная поверхность. Следует отметить, что, строго гово-ря, гладкие стенки оболочки не обеспечивают полного прилипанияматериала: за один цикл граничные точки получают незначительныесмещения относительно оболочки. Увеличение шероховатости сте-нок, изменение масштаба модели (уменьшался в 2 раза), вида сыпу-чего материала (размер частиц увеличивался до 6 раз), скоростинагружения (менялись в диапазоне 4 10 3× - ј 5 от основной) и экс-центриситетов до некоторого критического (равного 0,54 для песка)на качественной картине деформирования не сказываются.

При эксцентриситетах, превышающих критические, в материалепоявляются регулярные системы линий скольжения. Развитие линий,хотя и приводит к «сильным» разрывам поля скоростей, но основно-го эффекта — направленного переноса масс — также не меняет.

Данный механизм обусловливает резкое возрастание приливнойдиссипации энергии вращения тела и усиление ее тектоническойактивности. Для Земли, по крайней мере на современном этапе ееэволюции, приливные деформации гораздо ниже критических, по-этому вопрос локализации рассматривается отдельно в § 9.

Вернемся теперь к основному случаю докритических приливныхдеформаций. Эксперименты показали, что процесс переноса массоказывается довольно чувствительным к несовершенствам формышаблонов и незначительной несоосности в их установке. В этом нетничего удивительного. Перенос масс определяется величиной сме-щений (для наблюдателя, который находится на поверхности дефор-мируемого тела). Указанные возмущения влияют на скорости пере-носа, поэтому даже малые возмущения стационарного поля скоро-стей с течением времени приводят к конечным, а затем и к большимвозмущениям поля перемещений.

Может быть, здесь уместно напомнить следующий известныйфакт. Свободное падение тела воспринимается нами как процесс,

96


безусловно, устойчивый. Однако это не совсем так. Если интересо-ваться только скоростями, то устойчивость, конечно, есть. Напри-мер, если дать малое горизонтальное возмущение начальной скоро-сти, то скорость на всей траектории получит также малое возмуще-ние. Возмущение перемещения пропорционально времени паденияи может стать значительным.

Возмущения формы шаблонов и отклонения от степени их соос-ности при установке имеют ту же природу, поэтому данные возму-щения могут существенно менять картину деформирования, котораяполучается после достаточно большого числа циклов нагружения.Эксперименты это подтверждают.

2. Вязкие жидкости. Перейдем теперь к результатам для вязкихжидкостей. Опыты на меде, глицерине, растительном масле (кине-матическая вязкость 860 10 12 10 1 2 104 4 4× × ×- - -; ; , м2/с соответствен-но) показали, что качественные результаты остаются без изменений.В пределах одного цикла частицы описывают почти замкнутыетраектории и к первоначальному положению не возвращаются. Также, как и для сыпучих материалов, от цикла к циклу идет системати-ческое накапливание «остаточных» смещений. На рис. 7.3 показано

97


Рис. 7.3.

98


Рис. 7.4.

Рис. 7.5.

положение поплавков, установленных первоначально вдоль оси,после трех оборотов (масло). Наибольшая угловая скорость — вцентре области, наименьшая линейная скорость — на 0,34 большойполуоси от центра эллипса. Аналогичные результаты имеют местодля глицерина, меда (рис. 7.4, 7.5 — 20 об.) и других жидкостей.

3. Сложные среды. Нарис. 7.6 показаны картиныдеформирования, полученныена песке с размером частиц0,4–0,315 мм, насыщенном сме-сью глицерина и воды (50 % —глицерин, 50 % — вода; а — ис-ходное состояние; б, в — через20 и 30 полных оборотов).

Аналогичный результатполучается и на пластилине.Здесь, однако, использованиестенда становится затрудни-тельным, поскольку образец неповторяет форму камеры. Этотопыт проводился по-другому.Образец из пластилина завора-чивали в бумагу, которая наторцах скручивалась подобнообертке карамели. Затем обра-зец прижимали к столу пло-ской дощечкой и прокатывали,подобно сигарете при ее разми-нании. После этого оберткуудаляли, образец разрезали надве части и фотографировали.Результат показан на рис. 7.7.Этот опыт вполне возможен и вдомашних условиях.

4. Независимое измерениесоставляющих момента и дисси-пации энергии. Рассмотренныетечения приводят к диссипацииэнергии и вносят свой вклад вэволюционные процессы пла-неты. Диссипацию можно оце-нить по-разному. Во-первых,

99


Рис. 7.6.

расчетным путем, если известны данные о реологии. Во-вторых, мож-но измерить локальные напряжения внутри тела и затем по деформа-циям восстановить диссипацию. Есть еще один путь — несколько ви-доизменить конструкцию стенда и получить интегральную оценку дис-сипации непосредственно из эксперимента, не прибегая к локальнымизмерениям и их последующему интегрированию.

В вопросе о диссипации есть еще одно обстоятельство. В опытена границе задаются условия § 4 (31), и поэтому энергия, которая по-ступает в тело, есть энергия, совершаемая граничными напряжения-ми s s sn nn nmn m= × + × на смещениях § 4 (31). В действительностиповерхность тела от напряжений свободна и энергия в него закачи-вается через массовые силы. Однако данному нагружению можнодать также следующую интерпретацию. Предположим, что внешняяоболочка тела является упругой и деформируется согласно условиям§ 4 (31). В этом случае энергию, передаваемую через границу, можнорассматривать как работу сил, деформирующих оболочку.

Энергия граничных напряжений, отнесенная к единице време-ни, равна

W d dn nm= × =ò òu s u sG GG G

0 . (1)

Нагружение является достаточно медленным, так что инерцион-ными силами можно пренебречь, поэтому суммарный момент на-пряжений, возникающих на границе, будет равен нулю:

M M M= × = + =ò sn n mrdGG

0. (2)

100


Рис. 7.7.

Mn nmn rd= ×ò s GG

, Mm nm nm nm rd r d= × = - ×òò s sG GGG

,

где r r n r mn m= × + × — радиус-вектор.Сравним теперь интеграл 1 и выражение для Mm. Пусть эксцен-

триситет области мал. Тогда проекция r a b» +( )/2 и скорость дисси-пации оказываются пропорциональными моменту Mm. Последнююсоставляющую момента можно измерить непосредственно.

Для этого введем дополнительную цилиндрическую камеру 1(рис. 7.8). Боковая поверхность камеры представляет собой гибкуюоболочку из тонкого листового металла. Дно камеры выполнено изпластичной резины. Дополнительная камера подвешена внутри ос-новной камеры 2 рассмотренного выше стенда. Между оболочкамивнешней и внутренней камер установлены два ряда подшипниковкачения. Оси подшипников зафиксированы на стойках, которыезакреплены на внутренней камере, как показано на рис. 7.8. Внеш-ними обоймами подшипники упираются в оболочку основной ка-меры, поэтому оболочки между собой не соприкасаются, и дефор-мирующее усилие на внутреннюю оболочку передается только че-рез подшипники. Такая конструкция позволяет почти полностьюустранить касательные напряжения на внешней границе дополни-тельной камеры. Заполним теперь внутреннюю камеру материаломи будем деформировать его путем вращения шаблонов 3. Дефор-мации вызовут напряжения на контакте материала с оболочкой 1.Поскольку внешние касательные напряжения через подшипникине передаются, то появится момент Mm, который стремится повер-нуть внутреннюю камеру 1. Данный момент можно измерить непо-средственно.

101


Рис. 7.8. Рис. 7.9.

Эксперименты проводились в следующем порядке. В дополни-тельную камеру 1 помещался образец, моделирующий деформируе-мое тело. После этого шаблоны 3 приводились во вращение с опре-деленной скоростью. Теперь устройством нагружения для образцаслужили шаблоны 3, внешняя камера 2 и подшипники качения.Гибкие тяги 4 удерживали внутреннюю камеру от вращения. Онисвязывались с тензорезисторными датчиками 5, подключенными ксилоизмерительному прибору. Показания прибора фиксировалисьсамописцем. Обратившись к равенствам (2), легко понять, что фак-тически здесь измерялась составляющая момента Mn, а значит, и мо-мента Mm. Опыты показали, что момент в общем случае зависит отсвойств материала, скорости деформирования, коэффициента сжа-тия и высоты образца. При этом пластическое тело дает постоянныймомент Mm, не зависящий от скорости, а вязкое тело — момент,зависящий от скорости.

Приведем экспериментальные данные на примере меда. Нарис. 7.9 представлены графики зависимости изменения величинымомента от скорости вращения шаблонов для различных коэффици-ентов сжатия К эллиптических отверстий (кинематическая вязкостьмеда 860 × 10–4 м2/с). Сечение камеры имело средний диаметр, равный(a + b) = 80 мм, высота заполнения материалом составила 75 мм.

7.2. Модели с внутренним жестким ядром. Восточный дрейф ядра

Рассмотрим модель внутреннего ядра Земли. Известно, чтооно является относительно жестким. Это обстоятельство влияет накартины течения вне ядра. В случае плоской деформации введениев модель ядра никаких трудностей не представляет. Экспериментыпроводились следующим образом. В центр камеры вводился круго-вой металлический цилиндр радиусом r0 . Цилиндр свободно под-вешивался на длинной гибкой нити. Вращение внешних шаблоновприводило в движение материал в камере, и последний в своюочередь увлекал в движение жесткое ядро (рис. 7.10). В установив-шемся режиме ядро вращалось так, что суммарный момент внеш-них сил, действующих на него, равнялся нулю. Основной эффект —дифференциальное вращение — имел место и здесь. На рис. 7.11представлены графики редукции x (отношение числа оборотовшаблонов к числу оборотов ядра в лабораторных координатах) в за-висимости от соотношений малой полуоси эллипса и радиуса ядра.Из графиков видно, что с увеличением отношения b r/ 0 коэффици-ент редукции увеличивается и выходит на постоянное значение.

102


Причем меньшим значениям эксцентриситета отвечает большеезначение x.

Главным в представленных результатах является то обстоятельст-во, что ядро вращается в ту же самую сторону, что и шаблоны. Это оз-начает западный дрейф ядра. Причем определяющим фактором слу-жит наличие вязкой жидкости, в которую погружено твердое внутрен-нее ядро. Таким образом, еслипринять, что внешнее ядропредставляет собой линейновязкую жидкость, то для внут-реннего ядра эксперименталь-ная модель показывает запад-ный дрейф. При этом следуетотметить, что в опытах реализу-ется плоская деформация и всевозможные течения в жидкомядре (кроме приливного) ис-ключены.

103


Рис. 7.10.

Рис. 7.11.

Лабораторные стенды позволяют исследовать в качестве внеш-него ядра среды, более сложные, чем линейно-вязкие жидкости.В качестве последних использовались сыпучие среды без сцепления(сухой кварцевой песок), смеси песка с водой и глицерином в раз-личных пропорциях, тесто различных консистенций (мука плюсвода), металлический порошок и др. Основной результат данныхопытов состоит в том, что для сложных сред уверенно регистрирует-ся как западный, так и восточный дрейф внутреннего ядра. Направ-ление и скорость дрейфа зависят от высоты приливной волны, диа-метра внутреннего ядра и реологических свойств внешнего ядра. Длясыпучих материалов наблюдается существенная зависимость от раз-мера частиц. Указанные зависимости носят довольно сложныйи, как правило, немонотонный характер.

Приведем характерные данные для гибкой цилиндрическойоболочки. Диаметр цилиндра до его сжатия равняется 116 мм, высо-та образца — 155 мм; использовались два типа шаблонов с коэффи-циентом сжатия 0,74 и 0,84. Диаметры внутреннего ядра dя = 11; 16;21; 30 и 41 мм. Вращение шаблонов осуществлялось с постояннойусловной скоростью, равной W = 16 об./мин. В установившемся ре-жиме скорость вращения ядра w постоянна. Поэтому постояннымбудет и коэффициент редукции x w= /W. Например, для сухогопеска (k = 0,74; dя = 11 мм) имеет место восточный дрейф: x= -0 01,для частиц размером 0,085 мм и западный дрейф x= +0 006, длячастиц размером 0,55 мм. Налицо качественное влияние данногофактора. Причем влияние является нелинейным. Так, для частицразмером 0,174; 0,312 и 0,350 мм имеет место только западныйдрейф с x= 0 05 0 062 0 02, ; , ,; .

Полное насыщение образца песка водой, глицерином или сме-сью воды и глицерина (1 : 1), как правило, заметно влияет на дрейфядра. Например, при dя = 30 мм, k = 0,84 имеем восточный дрейфx= -0 022, (песок); x= -031, (песок, вода), x= -0 04, (песок, глице-рин), x= -0 2, (песок, глицерин, вода). При dя = 16 мм имеем x » 0(песок), т. е. дрейфа ядра практически нет.

Для теста (мука, вода) скорость дрейфа существенно зависит отконсистенции массы. Например, для консистенции: мука 760 —1000 г, вода — 1000 г при диаметре ядра 41 мм имеем x= - × -65 10 4, ,

а при консистенции: мука — 1000 г, вода 1000 г, x= - × -3 4 10 4, . Зна-чение коэффициента сжатия k = 084, . Ряд данных по западномуи восточному дрейфу ядра для приливных волн большой амплитудыприведен далее в § 9.

104


§ 8. Результаты пространственного моделирования

Рассмотрим моделирование объемного процесса деформиро-вания. При моделировании необходимо обеспечить максимальныедеформации в плоскости экватора и их уменьшение к полюсам. Рас-стояние между полюсами должно оставаться неизменным.

С учетом этих требований опробовано несколько схем нагруже-ния, в частности, схема деформирования сферической поверхностивращающимися шаблонами с разными эксцентриситетами, умень-шающимися к полюсам. Однако реализация этой схемы оказаласьвесьма затруднительной и поэтому невыполнимой.

Приливный процесс нагружения может быть имитирован с по-мощью упругих металлических полуколец, средняя часть которыхнеподвижно закреплена в полюсах, а концевые части подвергаютсядеформированию. В этой схеме достаточно нагружения только вплоскости экватора, а за счет упругости полуколец напряжениепередается и к другим широтам.

Рассмотрим схему стенда подробнее. Его общий вид показанна рис. 8.1. Нагружающее устройство представляет собой вращаю-щийся ротор, на котором закрепляется шаблон с центральным эл-липтическим вырезом (оси равны 217 и 100 мм). Привод на роторосуществляется от двигателя через редуктор. Конструкция содер-жит следующие элементы. Вертикальная ось с фланцем неподвиж-но закреплена на станине. Фланец с девятью диаметральными от-верстиями, равномерно расположенными по периметру его окруж-ности, имитирует полюс. Проволочные упругие меридиональныеполукольца вставлены в отверстия и неподвижно там закреплены.На полукольца с некоторым шагом надеты скользящие втулки сплощадками на боковой поверхности. К площадкам приклеенарезиновая оболочка полусферы. Конструкция верхней части ана-логична.

Нагружение осуществляется деформированием двух ленточныхколец разного диаметра из тонкого проката бериллиевой бронзы.Кольца вложены одно в другое с зазором и скреплены между собой35 вертикально установленными втулками с отверстиями, равномер-но распределенными по периметру. В отверстия со скользящей на-садкой продеты концевые части полуколец с чередованием нижнейи верхней полусфер. Верхняя полусфера оканчивается также гибкимленточным кольцом, к которому прикреплена резиновая оболочка.Поскольку вырез шаблона имеет форму эллипса, то и горизонталь-ные сечения камеры также примут форму, близкую к эллиптиче-ской. Причем по мере приближения к полюсам эксцентриситет

105


уменьшается. От вращения камера удерживается гибкими тягами,прикрепленными к неподвижным стойкам. Расстояние между полю-сами сохраняется постоянным, поскольку «полюса» неподвижно за-креплены на станине: нижний непосредственно, а верхний — с по-мощью кронштейна (на рисунках не показан).

Процесс передачи деформаций от экваториальной плоскостик полюсам исследован на вязкой жидкости, которая заливаласьв нижнюю полусферу на разные уровни. На рис. 9 в работе [8] показа-ны положения поплавков, первоначально установленных по направ-лению большой оси эллипса после 104 циклов деформирования.Уровни жидкости от полюса составляли 49, 64, 79 мм. На фотографиивидно, что устройство обеспечивает затухающий процесс направлен-ного переноса по мере приближения к полюсу. Из сравнения картиндеформирования плоской и объемной моделей видно, что одинако-вым коэффициентам сжатия плоской и соответствующего сеченияобъемной модели отвечают близкие картины деформирования. Это

106


Рис. 8.1.

означает, что в определенной степени плоскую модель можно исполь-зовать и для имитации объемного деформирования (здесь широтабудет выступать только в каче-стве параметра задачи).

Теперь о результатах приполной загрузке камеры. Экс-перименты проводились накварцевом песке с размеромчастиц 0,3 мм. В исходном по-ложении со снятой верхнейполовиной в нижнюю частьв направлении малой оси вер-тикально устанавливались двепараллельные тонкие пластиныс зазором между ними. По фор-ме пластины совпадали с сече-нием внутренней полости каме-ры. В зазор между пластинамизасыпался закрашенный песок.Все остальное пространство за-полнялось белым песком. Пла-стины аккуратно извлекались.В результате по всей глубиненижней полусферы оставаласьвертикальная плоскость закра-шенного материала. Затем мон-тировалась верхняя половина, ався оставшаяся полость запол-нялась песком через отверстиев вершине. После деформи-рования материал, находящий-ся в верхней части, удалялся че-рез то же отверстие с помощьюпылесоса. Верхняя часть демон-тировалась. Затем песок ниж-ней части послойно снимался,и делались фотографии гори-зонтальных сечений на разныхглубинах. Типичные результатыпоказаны на рис. 8.2.

На основе этих данныхможно сделать вывод о том,

107


Рис. 8.2.

что эффект направленного переноса при объемном деформированиисохраняется. При этом угловые скорости вращения материальныхточек вокруг центра зависят от широты.

В заключение рассмотрим еще один тип деформирования, кото-рый может иметь место при определенных сочетаниях направленияприливных сил относительно оси вращения тела. Обратимся к фор-мулам (36), (47), (48) § 4. Если ограничиться аффинным приближе-нием, то реализация течения (36) § 4 может быть осуществлена посхемам, показанным на рис. 4.8 или 4.9. В техническом отношенииболее удобной является схема, изображенная на рис. 8.3, а, б.

Эксперименты указывают на эффект дифференциального вра-щения сечений тела, расположенных на различных высотах. В ре-зультате диаметральная плоскость тела переходит в геликоидальнуюповерхность (рис. 8.4, а, б).

Если отвлечься от неоднородности процесса, связанного с влия-нием веса, то можно утверждать, что в деформируемом образце мож-но выделить такой эллипсоид, который в процессе деформированияпереходит в себя. Это первые приближения в реализации приливной

108


109


Рис. 8.3.

Рис. 8.4.

деформации данного типа. Следующее приближение должно бытьаналогично рассмотренному выше переходу от кеплеровского рас-пределения граничной скорости к постоянной скорости. (Матери-альные элементы границы не должны растягиваться или сжиматься.)Технически приемлемую реализацию данного условия найти неудалось. Поэтому ниже ограничимся исследованиями только основ-ного типа приливной деформации, рассмотренной в § 7.

§ 9. Экспериментальные результатыс приливными волнами большой амплитуды

Как уже отмечалось, изучение приливных волн большой ам-плитуды имеет определенный смысл и вполне оправданно. Будемпостепенно увеличивать амплитуду приливной волны. Эксперимен-ты в лаборатории и расчеты показывают, что при достижении ам-плитудой критических значений механизм деформирования телалибо приобретает новые черты, либо вообще меняется качественно.Рассмотрим вначале экспериментальные результаты, когда в ролимодели используется сыпучий материал без сцепления.

При большой интенсивности деформаций геоматериалы начи-нают разрушаться. Если этот процесс происходит в условиях всесто-роннего сжатия или в случае, когда материал уже изначально состо-ит из конгломерата отдельностей, то процесс разрушения приводитк формированию в материале поверхностей скольжения (фактиче-ски — трещин сдвига). Появление поверхностей скольжения обу-словливает изменение распределения напряжений в материале, по-этому в целом здесь возможно достаточно много равновесных со-стояний, которым соответствуют различные картины разрушенияматериала. Рассмотрим основные случаи.

1. Пространственная структура, связанная с локализацией по сис-теме параллельных плоскостей. В качестве базового будем рассматри-вать плоское эллиптическое течение, описанное в гл. 1. Нагружениебудем осуществлять путем вращения пластин-шаблонов относитель-но гибкой камеры, в которую помещается деформируемый матери-ал. В данном случае рассматривается деформирование сухого квар-цевого песка. Если взять материальное волокно совпадающего с ма-лой осью эллипса, то в процессе деформирования оно переходит вбольшую ось, затем опять в малую и т. д., т. е. его длина меняется вдиапазоне 2b, 2a, где a ³ b — полуоси эллипса. Поэтому в качествеобобщенной меры деформации можно принять величину (a–b)/a,либо эксцентриситет эллипса e= -1 2 2b a/ . Если å = 0, то область

110


представляет собой круг, который вращается как жесткое целое от-носительно шаблонов. Если e ® 1 при b = const, то а ® ¥. В пределеполучается течение Куэтта между параллельными пластинами.

При малых e течения этого типа исследовались в § 7. Здесь насбудет интересовать больший диапазон значений e. Обозначим черезa угол поворота шаблонов и будем считать его параметром нагруже-ния. В процессе деформирования измерялись напряжения внутриобразца, а также его высота (средняя плотность).

Если образец был получен свободной засыпкой струи, то принагружении он необратимо уплотняется. Затем плотность образцавыходит на асимптоту и больше уже не меняется. Если образецформировался так, что его исходная плотность была достаточнобольшой, то с началом нагружения он разрыхляется. Затем деформи-рование выходит на тот же самый стационарный режим. Иными сло-вами, память об исходной структуре материала стирается и стацио-нарное состояние от исходной упаковки частиц не зависит.

Будем теперь постепенно увеличивать значение e. До значенийe = 0,661 реакция среды качественно не меняется. Затем происходиткачественное изменение — дилатансия приобретает пульсирующийхарактер и стационарный режим сменяется новым, который харак-теризуется более или менее периодической реакцией. Период пуль-сации равен времени поворота шаблонов на угол примерно 40°.

Какова причина такого поведения? Обратимся к наблюдениямза кинематикой деформирования. При малых значениях e поле ско-ростей носит гладкий характер. С увеличением e интенсивность де-формаций возрастает и в конце концов достигает таких значений,при которых начинается локализация. Это и является главной при-чиной формирования временных структур.

Рассмотрим механизм этого явления подробнее. Пусть установ-лена камера с эксцентриситетом e ³ e*. Камера заполняется материа-лом и начинается нагружение. Некоторое время 0 < a < a* материалдеформируется без разрывов (допредельные деформации). Затемформируется система линий скольжения, для наблюдения за кото-рыми на поверхность образца наносили маркирующие полосы иззакрашенного материала (рис. 9.1). При повороте шаблона на уголa > a* полосы разбиваются на отдельные отрезки, между которымиобразуются разрывы. Их величина — это и есть скачок касательнойкомпоненты смещения. Впервые линии скольжения появляются наплощадках, где отношение касательных и нормальных напряженийtn/sn максимально. В процессе деформирования линии скольжениявместе с материалом испытывают конвективный перенос и поворот,

111

§ 9. Экспериментальные результаты с приливными волнами большой амплитуды

поэтому отношение напряжений tn/sn, действующих на линиях,уменьшается. Однако скольжение при этом не прекращается. По-следнее связано с тем, что скольжение меняет свойство самого мате-риала на линиях. Материал разупрочняется, и поэтому для продол-жения скольжения требуются уже меньшие значения tn/sn. Такимобразом, здесь действуют два фактора: уменьшение соотношенийнапряжений tn/sn, с одной стороны, и разрушение материала —с другой. При увеличении сдвига разупрочнение материала посте-пенно прекращается и его «прочность» (отношение tn/sn на линии)стабилизируется. Следовательно, первый фактор довольно быстроисчерпывает себя, второй фактор более существен, так как в данномклассе нагружений оси тензора напряжений непрерывно поворачи-ваются. Поэтому через определенный угол поворота отношениеtn/sn уменьшается настолько, что скольжение все же прекращается.

Материал между линиями можно рассматривать как новый об-разец со специфическими границами. В силу заданных краевых ус-ловий этот образец будет сжиматься. Напряжения в нем достигаюткритической величины, и начинается новая локализация. Интересноотметить, что моменты прекращения скольжения на линиях одногосемейства и начала скольжения на следующем семействе не совпа-дают. Промежуток между ними составляет примерно 10°, т. е. в этовремя деформирование образца происходит без локализации: идетподготовка нового семейства линий и материал разрыхляется. Затемвсе повторяется снова.

112


Рис. 9.1.

2. Перенос масс вокруг двух неподвижных центров. Рассмотреннаясистема нагружения не позволяет реализовать деформацию сильновытянутых областей. Для таких областей скручивающий момент,действующий на гибкую оболочку, возрастает, и оболочка теряет ус-тойчивость. Для преодоления этой трудности изготовлен новыйстенд, в котором в известной степени объединены идеи прибороводнородного сдвига и сложного нагружения [2–5, 157]. Принципи-альная схема (а) и общий вид стенда (б) показаны на рис. 9.2. Веду-

113


Рис. 9.2.

щий шкив 2 приводит во вращение, которое передается ведомомушкиву 3 с помощью нескольких одинаковых ременных передач 4,равномерно расположенных по высоте шкивов. Регулировка напря-жения ремней осуществляется перемещением шкивов относительнодруг друга. Внутри ременных передач на гладкую поверхность 5 уста-навливается цилиндрическая камера 1 с исследуемым материалом.Боковая поверхность камеры изготовлена из упругого листового ме-талла толщиной 0,3 мм, а дно представляет собой равномерно растя-нутую тонкую резину, приклеенную к боковой поверхности. Сжатиекамеры задается путем регулирования расстояния между жесткимиподвижными платформами 6. При движении ремней камера увлека-лась ими за счет сил трения и происходило ее непрерывное дефор-мирование так, что скорость всегда была направлена по касательнойк границе.

Эксперименты показали, что в зависимости от параметров обо-лочки и крупности материала здесь также возможен целый ряд ста-ционарных и нестационарных состояний материала.

Опыты проводились в следующем порядке. Оболочка помеща-лась между плитами и задавалось некоторое ее сжатие, которое вэксперименте оставалось фиксированным. После этого оболочка за-полнялась материалом. Затем начиналось нагружение с постояннойскоростью (линейная скорость оболочки во всех опытах составляла~0,5 см/с). Нагружение носило квазистатический характер.

Опыты показывают, что здесь каждое течение также проходит не-стационарную стадию. Вначале при небольшом сдвиге процесс имеетхарактер допредельного деформирования. Затем происходит локали-зация и дальнейшее деформирование осуществляется уже в условияхлокализации. Линии скольжения переносятся и в конце концов при-обретают некоторую окончательную форму. В некоторых случаях этаформа стационарна, а в некоторых — квазистационарна, т. е. возни-кает еще одна форма, затем периодически другая, третья и т. д.

В зависимости от длины оболочки, степени сжатия и крупностиматериала, существует множество равновесных форм, что приводитк большому разнообразию картин течения. Здесь невозможно пред-ставить все стационарные состояния и переходы при различныхформах линий скольжения, поэтому ограничимся характеристикойосновных стационарных картин течения.

При описании всех опытов приводим следующие данные: 1) ра-диус оболочки, если ей в плане придать форму круга — R; 2) малыйдиаметр оболочки (расстояние между плитами) — H; 3) большойдиаметр оболочки (наибольшее расстояние между точками горизон-тального сечения оболочки) — L.

114


На рис. 9.3 приведена картина течения кварцевого песка части-цами размером 0,25 £ d £ 0,45 мм и следующими параметрами нагру-жения; мм: R = 47, H = 75, L = 104. Видно, что в стационарномсостоянии сформированы линии скольжения, которые представля-ют собой спирали. Они идут от периферии к центру образца. Однакоближе к центру они становятся малозаметными и исчезают.

Отметим, что для течений данного типа характерно наличие эф-фекта дифференциального вращения среды. Это видно по искаже-нию в процессе деформации первоначально прямолинейной мар-керной полосы, нанесенной вдоль малого диаметра (на рисунке онаокрашена темным цветом).

Будем теперь от опыта к опыту постепенно увеличивать степеньсжатия деформируемой области. Для этого расстояние H между пли-тами будем постепенно уменьшать (сохраняя периметр оболочкив плане неизменным). Картина деформирования меняется непре-рывно. Вначале она подобна изображенной на рис. 9.3. Затем проис-ходит качественное изменение.

Линии формируются вначале как спирали, потом они замыка-ются. При R = 47 мм, H = 67 мм, L = 122 мм, (материал прежний)имеет место первое качественное изменение. Оно выражается в том,

115


Рис. 9.3.

что формируются две внутренние области, ограниченные линиямискольжения, близкие по форме к лемнискате Бернулли.

Следующий качественный переход показан на рис. 9.4. ЗдесьR = 47 мм, H = 60 мм, L = 117 мм. Видна замкнутая внешняя линияскольжения. Начиная с этого момента, можно говорить о стационар-ных линиях, т. е. линиях, проскальзывание на которых может бытьв принципе неограниченным. Это видно также на рис. 9.5 по иска-жению первоначально прямолинейной маркерной полосы, нанесен-ной вдоль малого диаметра.

116


Рис. 9.4.

Рис. 9.5.

Поскольку получить большее сжатие на этой оболочке не позво-ляет конструкция стенда, то в следующем опыте использовали обо-лочку с другим (большим) диаметром поперечного сечения. Нарис. 9.6 приведена картина деформирования кварцевого песка. Здесьвидны стационарные линии и внутренняя область, ограниченнаякривой типа лемнискаты Бернулли, две неподвижные точки типаустойчивых фокусов и средняя неустойчивая точка. Здесь частицывсе время смещаются либо в одну, либо в другую область. В целомформа стационарных линий скольжения в этом опыте близка к се-мейству овалов Кассини.

Таким образом:1) в общем случае стационарные условия нагружения сыпучей

среды порождают процесс деформирования, который является либостационарным, либо близким к периодическому;

2) картина линий локализации зависит от формы контура дефор-мируемой области. При малых сжатиях линии близки к логарифмиче-ским спиралям. С увеличением сжатия линии замыкаются и прини-мают форму, близкую к овалам Кассини. Семейство овалов Кассинивстречается в самых различных областях механики и физики (на фа-зовых портретах различных физических процессов, картинах линийравных потенциалов в электродинамике и т. д.). В настоящей работеэто семейство во всем многообразии, включая лемнискату Бернулли,получено непосредственно в опытах с сыпучим материалом;

3) получены стационарные линии скольжения, на которых про-скальзывания могут продолжаться сколь угодно долго.

117


Рис. 9.6.

Это обстоятельство может быть использовано для исследованиясвойств различных геоматериалов в условиях неограниченных сдви-гов и, в частности, при моделировании процессов сегрегации на раз-ломах.

3. Роль внутреннего ядра. Из общих соображений непрерывностиясно, что при малых радиусах ядра картина локализации должна ос-таться прежней. Эксперименты подтверждают это. При увеличениидиаметра цилиндра и эксцентриситета шаблонов, а также при умень-шении крупности материала число этих линий увеличивается, и онистановятся менее закрученными.

В конце концов, происходит переход к новому механизму де-формирования. Он характеризуется тем, что дополнительно к пер-вому семейству линий скольжения нарезается второе семейство,которое имеет вид противоположно закрученных логарифмическихспиралей (рис. 9.7). При этом материал вблизи цилиндра разбивает-ся на блоки более или менее правильной формы. По мере повороташаблонов происходит поочередное функционирование то одного, тодругого семейства линий скольжения.

Переключение функционирования линий происходит через уголповорота шаблонов равный примерно 45°.

Следуя работам [38], рассмотрим вопрос о дрейфе внутреннегожесткого ядра. Вначале сделаем размерный анализ. Перечислимпараметры, которые влияют на кинематику течения материала. Раз-мерными величинами, характеризующими сыпучий материал, явля-ется масса образца M, средний размер частиц D и их плотность r.Существует также ряд безразмерных величин, характеризующихвзаимодействие между частицами, а также между частицами и уст-ройством нагружения. Это коэффициент внутреннего трения j икоэффициенты трения по оболочке j1 и ядру j2.

Область деформирования однозначно задается тремя парамет-рами. К ним можно отнести, например, R — радиус оболочки, еслиона имеет форму круга, малую полуось эллипса b и зазор D = b – r,где r — радиус ядра.

Следует также учесть, что нагружение осуществляется вращени-ем шаблонов с угловой скоростью W и процесс происходит в полесилы тяжести с ускорением свободного падения g.

Средняя угловая скорость w ядра в стационарной стадии дефор-мирования является некоторой функцией перечисленных вышепараметров:

w = f(M, r, D, R, b, W, g, j, j1, j2, …).

118


119


Рис. 9.7.

Из этих параметров можно составить следующие безразмерныекомбинации:

M

R

R

g b

R

D

b

Rr 3

2

; ; ; ; ,W D

которые в совокупности с j, j1, j2 являются основными параметра-ми рассматриваемого процесса.

Первый параметр в проведенных экспериментах не менялся, таккак длина оболочки, масса образцов и плотность частиц материалаот опыта к опыту оставались постоянными. Второй параметр опре-деляет инерционные силы, действующие на образец в процессенагружения. При угловой скорости вращения шаблонов, равной1 об./с, его влияние достаточно мало и им можно пренебречь.

Таким образом, для скорости вращения ядра имеем:

w j j j= ×æ

èç

ö

ø÷W

DF

b

R

D

b

R, , , , , ,...1 2 .

В соответствии с этим выражением экспериментально исследо-валась зависимость угловой скорости вращения ядра от его диаметраи крупности материала при различных значениях эксцентриситетадеформируемой области.

В [33] приведены графики относительной скорости вращения

ядра в зависимости от величины отношенийD

bдля разных значений

крупности материала и различных степеней сжатия эллипса.Главный результат состоит в том, что в зависимости от парамет-

ров материала и условий нагру-жения возможен как западный,так и восточный дрейф ядра. Длядостаточно хрупких частиц на-блюдается исключительно вос-точный дрейф ядра (рис. 9.8. За-висимость x от радиуса ядра r: длярезиновой крошки 2 2 2´ ´ мм —1; пластизолевых шариков диа-метром 4 мм — 2; мраморнойкрошки 3ј7 мм — 3; кварцевогопеска 0,3ј0,25 мм, длина оболоч-ки 365 мм; k = 084, ) [38]. Детальновопросы локализации деформацийрассмотрены в [259].

120


Рис. 9.8.

4. Ячеистые структуры. Выше рассматривалась среда без сцепле-ния. Наличие сцепления вносит в картины деформирования качест-венно новые элементы. В качестве базового будем рассматриватьплоское эллиптическое течение. В качестве потенциального носите-ля структуры выберем упруго-вязко-пластическую среду (кварцевыйпесок, насыщенный вязкой жидкостью). Такая среда обладает сцеп-лением и потому в ней возможны как линии скольжения, так и тре-щины нормального разрыва. Разрушение происходит, если деформа-ция достигает определенного критического значения. Следователь-но, если эксцентриситет эллипса взять достаточно большим, тооднородность неизбежно нарушается и можно ожидать, что в средевозникнет определенная упорядоченная структура.

Опыты ставились в следующей последовательности. Сначала вкамеру помещался образец из сухого песка, и проводилось нагруже-ние до перехода упаковки частиц в стационарное состояние. Приэтом коэффициент сжатия эллипса выбирался таким, чтобы струк-тур не возникало (К = 0,91; a = 60,8 мм; b = 55,3 мм). Использовалсякварцевый песок с размером частиц 0,3 мм, вес образца — 545 г,в стационарном состоянии объемы образца и пор равны 320 см3 иvn = 115 см3 , пористость — 36 %.

После достижения стационарного состояния нагружение пре-кращалось и в образец вводилась жидкость. Во всех опытах ееобъем Vж превосходил объем пор, т. е. коэффициент насыщенияmv = Vж/Vп в исходном состоянии был больше 1. Поэтому переддеформированием на поверхности образца всегда оставался слойизбыточной жидкости. Затем начиналось нагружение уже водо-насыщенного образца. При повороте внешнего цилиндра упаковкачастиц испытывает положительную дилатансию. Поэтому слойжидкости с поверхности образца всасывается в увеличенный объемпор. При достижении критических деформаций в образце форми-руется система параллельных трещин. Вследствие конвективногоповорота трещины уходят из-под нагрузки и формируется новаясистема трещин. В этом отношении указанный процесс похож надеформирование сухого песка. Отличие состоит в том, что в сухомпеске трещины носят только сдвиговый характер и залечиваются.Здесь же образуются отдельные устойчивые ячейки. При поворотеуглы их сглаживаются.

Общая картина деформирования зависит от вязкости жидкости.На рис. 9.9 показана структура, полученная на смеси кварцевогопеска и глицерина с водой (1 : 1). Ячеистая структура, представ-ленная на рисунке, сформировалась в течение 100 об. Она являетсяустойчивой и при дальнейшем деформировании практически не

121


меняется. Ячейки медленно вращаются и взаимодействуют междусобой, так что в целом кинематика является достаточно интересной.

Подведем итог. Если в экспериментах, моделирующих прилив-ное деформирование, значительно увеличить высоту приливнойволны, то помимо основного эффекта — направленного переносамасс, обнаруживается ряд новых эффектов, обусловленных появле-нием в теле различных регулярных структур, в том числе структур,связанных с линиями скольжения в виде лемнискаты Бернулли, ова-лов Кассини (перенос масс вокруг двух неподвижных центров) и т. д.

122


Рис. 9.9.

В § 4 было показано, что если на границе эллиптической об-ласти задать кеплеровское распределение скоростей, то распределе-ние скоростей внутри области будет всегда линейным. Причем этотфакт от реологии среды не зависит. Отклонение граничных условийот кеплеровского типа приводит к нелинейности поля скоростейи, следовательно, к зависимости его от реологии среды. Основныечерты нелинейного поля можно проследить на модели ньютонов-ской вязкой жидкости. Задача сводится к решению стационарныхуравнений Навье — Стокса

n ur

Du up

x

u

x

u

y- = +

¶

¶

¶

¶

¶

¶

1, (1)

n u ur

u uD - = +

¶

¶

¶

¶

¶

¶

1 p

y x yu ,

¶

¶

¶

¶+ =

u

x y

u0,

внутри области x2/(1 + m)2 + y2/(1 – m)2 £ 1 при условии, что на гра-нице заданы обе компоненты скорости u u= u, , удовлетворяющие(31) § 4, где u0 1= . Здесь использованы стандартные обозначения:х, у — декартовы координаты; n — вязкость; r, p — плотность и дав-ление; D — оператор Лапласа. Ограничимся случаем большой вязко-сти (Re )<< 1 и малых эксцентриситетов ( )m<< 1 . Методом малого па-раметра система сводится к последовательности бигармоническихуравнений относительно членов разложения функции тока. Исполь-зуя схему [249], получим:

u y m y y m y y y

x y x y

= - + - + + + -æ

èç -

+-

( )3 2 3 2 3 5

2 2 3

7

4

7

2

9

4

21

2

15

2+

ö

ø÷÷ + - - +

æ

èç

15

4

87

8

57

4

33

84 3 3 5x y m y y y

(2)

123

Г л а в а

§ 10. Однородная вязкая жидкость

Теоретическое исследование эффектанаправленного переноса масс

+ + - +ö

ø÷ +

- + -+

5

2

165

4

105

4

35

4

16

7 2 2 5 6

3 52 6

y x y x y x y

x x x xmRe( )y xy x y2 4 3 25 6+ + ,

u= + - + + - - + +æ

èç

+ -

x m x x m x x x

xy x y

( )3 2 3 2 3 5

2 3 2

7

4

7

2

9

4

21

2

15

2-

ö

ø÷ + - - +

æ

èç

+ -+

15

4

87

8

57

4

33

8

5

2

165

4

16

4 3 3 5

7 3 2

xy m x x x

x x y5

4

105

4

35

4

16

4 3 2 6

3 5 2 42 6 5

xy x y xy

y y y x y xm

- +ö

ø÷÷ +

+ - + - + -Re

( )y x y- 6 2 3 .

Перенос частиц и характер деформирования материальных объ-емов определялись численным интегрированием системы обыкно-венных дифференциальных уравнений

dx/dt = u(x, y), dy/dt = õ(x, e). (3)

Расчеты показали, что все частицы движутся вокруг центра позамкнутым траекториям. Однако периоды обращения на различныхтраекториях различны. На рис. 10.1, 10.2 показаны траектории и по-ложения частиц, находящиеся вначале на большой полуоси эллипса(а, б при m = 0.1; 0.2). Различие в периодах приводит к тому, чтовнутренние деформации тела с течением времени неограниченнорастут (на рис. 10.3 представлено изменение формы квадратного

124

Гл. 3. Теоретическое исследование эффекта направленного переноса масс

Рис. 10.1. Рис. 10.2.

элемента из положения 0 в положение 1, 2, 3). Причем эти измене-ния происходят в условиях, когда внешние деформации малы (по-рядка m). Например, области, первоначально близкие к полукругу,в процессе деформирования приобретают спиралевидную форму(рис. 10.4; m = 0,1, 16 об.). С увеличением числа циклов они все боль-ше закручиваются вокруг центра и в пределе вырождаются в две бес-конечно тонкие и длинные спирали, которые вложены друг в другатак, что, последовательно чередуясь, полностью заполняют исход-ную двумерную область.

Для вязких жидкостей роль малых параметров m и Re в развитиитечения различна: параметр m входит в решение (2) без коэффици-ента Re, а Re фигурирует только в произведении с m. Поэтому рольпоследнего в формировании «остаточных» смещений на фоне пара-метров m незначительна. Более того, если перейти к пределу Re ® 0(n ® ¥), то кинематика течения по сравнению с Re << 1 практическине изменится даже количественно.

Итак, в системе координат (2) эффект выглядит как дифферен-циальное вращение материальных элементов вокруг центра. Лабо-раторные координаты соответствуют точке зрения наблюдателя,который связан с фиксированной точкой границы области. С этихпозиций каждая точка границы описывает замкнутую петлю. Дляупругого тела отсюда следует, что и все внутренние (см. рис. 7.1)точки также будут описывать замкнутые петли. Если же допуститьналичие неупругой реакции, то за полный цикл на границе внутрен-няя точка опишет почти замкнутую петлю, но к первоначальномуположению тем не менее не вернется. С увеличением числа цикловэффект будет накапливаться и точка начнет движение по «глобаль-ной» траектории, параметры которой определяются расстояниемот центра.

125

§ 10. Однородная вязкая жидкость

Рис. 10.3. Рис. 10.4.

Интересно проследить этот перенос численно. На рис. 10.5(m = 0,05) изображена траектория движения фиксированной точкипри увеличении числа оборотов в указанных координатах (показанотакже положение границы после целого числа циклов). Увеличениеэксцентриситета приведет к тому, что за один оборот точки полу-чают большие остаточные смещения, т. е. траектории все большеотличаются от «почти замкнутых». В своем «глобальном» движениивокруг центра точки за определенное время совершат полный обо-рот. В общем случае это время не кратно времени совершения одно-го цикла, поэтому движение точки на следующем витке происхо-дит по траектории, несколько отличной от предыдущей (рис. 10.6,m = 0,2) и т. д.

Таким образом, в системе координат (2) эффект выглядит какнаправленный перенос масс. Следует отметить, что в указанных ко-ординатах (особенно при малых эксцентриситетах эллипса) предло-женный способ нагружения можно рассматривать как задание на по-верхности тела определенного волнового движения.

§ 11. Неоднородная вязкая жидкость. Сыпучие среды

1. Неоднородная вязкая жидкость. В качестве первого шага поусложнению модели, следуя работе [10], учтем неоднородность рас-пределения вязких свойств (m m= (x, y)). Это связано с тем, что ре-альные процессы происходят в условиях ярко выраженной слоисто-сти материала, которая присутствует как на глобальном уровне, таки на уровне меньших масштабов.

При достаточно большой вязкости можно пренебречь инерци-онными силами. При отсутствии массовых сил уравнения движения

126


Рис. 10.5. Рис. 10.6.

и уравнения состояния вязкой несжимаемой жидкости в плоскомслучае имеют вид

¶

¶

¶

¶+ =

s sxx xy

x y0,

¶

¶

¶

¶+ =

s sxy yy

x y0,

¶

¶

¶

¶+ =

u

x y

u0,

s mxx pu

x= - +

¶

¶2 , s m

uyy p

y= - +

¶

¶2 , s m

uxy

u

y x= +

æ

èç

ö

ø÷

¶

¶

¶

¶. (1)

Здесь, как обычно, sxx , syy , sxy — компоненты тензора напряжений,u,u — компоненты вектора скорости, p — давление, m — коэффици-ент вязкости.

После преобразования к безразмерным величинам запишемуравнения (1) в переменных Y W- (функция тока — вихрь):

DW W W Y Y Y+ + + + - =A A A Ax y xy yy xx1 2 3 42 0( ) ,

DY W+ = 0. (2)

Здесь используются общепринятые обозначения производных по хи у, D — оператор Лапласа, функция тока Ø определяется из урав-нений:

Yy u= , Yx = -u,

а коэффициенты имеют вид

Ax

1

2=

m

m, A

y

2

2=

m

m, A

xy

3

2=

m

m, A

xx yy

1 =-m m

m.

Единицами масштаба (эталонными величинами) длин, напря-жения и давления, скоростей, вязкости являются соответствующиеданной задаче характерные величины. Будем считать, что процессдеформирования осуществляется в эллиптической области, на гра-нице которой вектор скорости направлен по касательной и его вели-чина выбрана в качестве характерной скорости. В качестве характер-ного линейного размера выберем полуось эллипса, в качестве харак-терной вязкости — вязкость на границе области.

Не ограничивая общности, можно считать, что на границе зада-ны следующие условия:

Yn = -1, Yr = 0. (3)

Здесь Yn, Yr — производные вдоль нормали и касательной к грани-це. Реальная приливная деформация Земли, как уже отмечалось,весьма мала. Поэтому если в расчетах значительно увеличить при-ливную деформацию, то увеличится и остаточное смещение, т. е.при численном моделировании остаточное смещение накопится за

127

§ 11. Неоднородная вязкая жидкость. С ы п у ч и е с р е д ы

меньшее число циклов. Для того чтобы проверить качественноевлияние переменной вязкости, в дальнейшем выберем большой экс-центриситет эллипса.

Для получения конечномерного аналога системы (2) использу-ется метод конечных элементов [260], а исследуемая эллиптическаяобласть разбивается на треугольные конечные элементы с линейны-ми функциями формы (рис. 11.1). Картина смешения материальныхчастиц строится при помощи численного решения дифференциаль-ных уравнений:

dx

dtu x y= ( , ),

dy

dtx y= n( , ),

где t — время.В исследуемом случае задание функции тока и вихря скорости

возможно лишь в табличном виде (в точках сетки), поэтому распре-деление скоростей определится в точках сетки, одно из семейств ли-ний которой совпадает с линиями тока. Построение сетки конечныхэлементов, обладающей указанным свойством, осуществляется наоснове решения задачи на произвольно выбранной сетке, а для ап-проксимации линий сетки используются сплайн-функции третьегопорядка.

128


Рис. 11.1. Рис. 11.2.

Расчеты производились по предложенной схеме для различныхзаконов изменения вязкости и различных эксцентриситетов эллипса.Как и следовало ожидать, увеличение вязкости материала при при-ближении к центру приводит к уменьшению скоростей частиц, т. е. кбольшему запаздыванию. На рис. 11.2 показано положение частиц,первоначально находившихся на большой оси эллипса, при различ-ных циклах нагружения в случае изменения вязкости по закону:

m( ) ( ( ))r a r= -exp 1 ,

здесь r xy

b= +2

2

2 , b = 0,54 — малая полуось эллипса, a = –1.

Хорошо заметно, что при большом числе циклов срединныйучасток почти прямолинеен, т. е. вращение внутренней области ста-новится более близким к вращению абсолютно твердого тела.

2. Гипопластическая модель. Задача о приливном деформирова-нии рассматривалась также в рамках гипопластической модели Ко-лимбаса [261–263]. Изначально модель была предназначена дляописания упруго-пластических свойств сыпучих сред. Отличитель-ная ее особенность состоит в том, что в рамках одних и тех же опре-деляющих уравнений описываются как активное нагружение, так иразгрузка. Поэтому уравнения являются нелинейными даже отно-сительно приращений напряжений и скоростей деформации. Ха-рактер нагружения в рассматриваемой задаче таков, что на границезадано стационарное поле скоростей. Эксперименты показывают,что на первой стадии деформирование неупругих образцов носитнеустановившийся характер, а затем переходит в стационарнуюстадию. Расчеты проводились с учетом данного обстоятельства.Сначала решалась нестационарная задача об аффинном деформи-ровании (на границе эллиптической области задавалось кеплеров-ское распределение скоростей) [28, 34]. Через полтора оборота рас-пределение напряжений и скоростей выходило на стационарныйрежим. В рассматриваемой задаче данное распределение напряже-ний выбиралось как начальное. Оно играло роль первого прибли-жения. Далее решалась задача с краевым условием (31) § 4 и опреде-лялись неоднородные поля напряжений и скоростей деформаций.Перемещения определялись численным интегрированием поляскоростей. Расчеты показали наличие эффекта направленного пе-реноса масс. Качественно результаты получились такими же, как идля вязкой жидкости. Аналогично проводились расчеты и для жест-кого внутреннего ядра. Показано, что ядро вовлекается во враще-ние окружающей средой, причем дрейф его относительно поверх-

129

§ 11. Неоднородная вязкая жидкость. С ы п у ч и е с р е д ы

ности тела является западным. Конкретные данные и рисунки при-ведены в статьях [9, 264].

3. Модель сыпучей среды [3–5]. Данные модели построены наоснове гипотез о микродеформировании сыпучей среды. Действи-тельная случайная упаковка частиц заменяется эффективной регу-лярной. Проводится осреднение, и в результате строится модель свнутренними переменными. Задача о приливном деформированиирешается методом малого параметра. Модель адекватно описываетэффект направленного переноса масс. Результаты близки к описан-ному выше решению для вязких жидкостей.

§ 12. Динамическая модель

1. Постановка задачи. Выше рассматривалась кинематическаяпостановка задачи, когда на границе тела задаются скорости, соот-ветствующие движению приливной волны. При этом собственноприливные силы из уравнений исключаются. Рассмотрим теперь«силовую» постановку задачи, когда приливные силы учитываютсяявно и учитывается также поворот тела относительно направленийдействия приливных сил.

Пусть тело находится в естественном состоянии: смещения, ско-рости и напряжения равны нулю. В начальный момент t = 0 «вклю-чаются» приливные силы. С их направлениями свяжем координаты0xy. Предположим временно, что тело относительно осей 0xy не по-ворачивается. Будем считать, что в этом случае приливные силы вы-зовут некоторое течение со скоростями

udx

dtf x y= = ( , ), u= =

dy

dtg x y( , ). (1)

Здесь x(t), y(t) — координаты материальной частицы. Течение (1) на-зовем базовым.

Свяжем с телом систему координат 0x¢y¢ и «разрешим» враще-ние. Представим его как дискретную последовательность отдельныхположений тела. Пусть в промежутке времени от 0 до ∆t тело непод-вижно и под действием массовых сил течет по закону (1). Затем оноскачком поворачивается на угол WDt, где W — некоторая постоян-ная. (Или лучше считать, что тело остается неподвижным, а скачкомна угол — WDt меняется направление массовых сил.) Приt t tÎ ( , )D D2 тело опять неподвижно. На прежние деформации накла-дываются новые, которым соответствует та же скорость (1), и т. д.Осуществляя, как и в § 4, суммирование смещений в 0x¢y¢, затем

130


переход к пределу Dt ® 0 и координатам 0xy, получим следующийрезультат:

u f x y y

g x y x

dx

dt

dy

dt

= = -

= = +

( , ) ,

( , ) .

W

Wu

(2)

Здесь по-прежнему u, u — компоненты скорости в координатах 0xy.Таким образом, вращение тела приводит к появлению аддитивнойсоставляющей вектора скорости. Ее роль в переносе материальныхчастиц весьма существенна. В частном случае, когда базовое течениебыло однородным, роль поворота рассмотрена в § 4.

Перейдем теперь к конкретным моделям. Предположим, чтосреда является вязкой, однородной и несжимаемой. Причем вяз-кость настолько велика, что инерционными силами можно пренеб-речь. В этом случае уравнения Навье — Стокса аналогичны уравне-ниям линейно-упругого тела [113], поэтому для решения задач мож-но использовать методы [253].

При оценке массовых сил ограничимся только приливнымпотенциалом [143]. Тогда компоненты сил равны

X x= 2rG , Y y= -rG ,

где r — плотность, Г = G/MD3 (G — гравитационная постоянная;М — масса, которая вызывает прилив; D — расстояние до ее центра).Примем D = const и, следовательно, Г = const.

Займемся теперь уравнениями Навье — Стокса. Вначале пе-рейдем к безразмерным переменным (отмечены чертой сверху).Обозначим через R масштаб длины: x Rx= , y Ry= . Тогда в ка-честве масштаба напряжений необходимо взять величину rГR 2:s r sxx xxR= G 2 , p R p= rG 2 и т. д. Здесь, как обычно, sxx , syy , sxy —

компоненты напряжений, p — давление. Для определения масштабаскорости необходимо ввести характерное время. Имея в виду ис-пользование результата (2), за единицу времени примем W-1. Тогдаu R u= W , u u= RW . Уравнения вязкого течения имеют вид:

s r mчч = - +¶

¶2

u

x, s r m

uyy y= - +

¶

¶2 , s m

uxy

u

y x= +

æ

èç

ö

ø÷

¶

¶

¶

¶,¶

¶

¶

¶+ =

u

x y

u0. (3)

Видно, что для коэффициента вязкости естественен следующиймасштаб: m r m= -G WR 2 1 . В дальнейшем безразмерные переменныебудем обозначать так же, как и размерные.

131


Уравнения движения

¶

¶

¶

¶+ + =

s sxx xy

x yx2 0,

¶

¶

¶

¶+ - =

s sxy yy

x yy 0, (4)

совместно с (3) образуют замкнутую безразмерную систему отно-сительно скоростей u, u, напряжений sxx , syy , sxy и давления p.Перейдем к задачам.

2. Деформирование без внутреннего ядра. Введем полярные коор-динаты r и J. Луч J = 0 направим вдоль оси 0x. Пусть исходная об-ласть имеет форму круга x y2 2 1+ £ . Ее граница от напряжений сво-бодна: s rr = 0, s rJ = 0. Тогда приливные силы вызывают базовоетечение:

8 3 32 2mu x xy x= - - + , 8 3 33 2mu= + -y x y y,

sxx x y= - -1 2 2, s syy xx= -05, , sxy = 0, p xx= -0 25, s . (5)

Формула (5) дает точное решение системы (3), (4) и удовлетворяетпоставленным краевым условиям.

В безразмерных переменных правила перехода от (1) к (2) сво-дятся к следующему:

u f x y y= -( , ) , u= +f x y x( , ) . (6)

Отсюда для решения (5):

dx

dty x xy x= - + - - +l( )3 23 3 ,

dy

dtx y x y y= + + -l( )3 23 3 , (7)

где коэффициент l, выраженный через размерные параметры, имеетвид

lr

m=

G

W

R2

8. (8)

Как выглядит течение (7)? Этот вопрос удобно исследовать вполярных координатах. Здесь перенос вещества характеризуетсяследующим образом:

dr

dtF r= Jl ( )cos2 ,

d

dtG r

J= + J1 2 2( )sin , (9)

F r r r( ) ( )= -3 2 , G r r( ) ( )= - -3 2 2 . (10)

Как правило, приливные силы невелики, так что l << 1, поэтомуможно использовать метод малого параметра. Разложим решение по l:

132


r t r t r t r t( , ) ( ) ( ) ( ) ...l l l= + + +0 12

2 , J = J + J + J +( , ) ( ) ( ) ( ) ...t t t tl l l0 12

2

.

Сделаем подстановку в (9) и получим цепочку уравнений:

dr

dt

0 0= ,d

dt

J=0 1,

dr

dtF r

10 02= J( )cos ,

d

dtG r

J= J1

0 02( )sin ,

dr

dtF r r t F r t

20 0 1 0 0 12 2 2= ¢ J - J J( ) ( ) ( ) ( )cos sin , (11)

d

dtG r r t G r t

J= ¢ J + J J2

0 0 1 0 0 12 2 2( ) ( ) ( ) ( ),... .sin cos

Для наших целей вполне достаточно второго приближения.Пусть начальные условия имеют вид:

r l( , )0 l = , J =( , )0 0l , r l0 0( )= , u0 0 0( )= , r1 0 0( )= , J =1 0 0( ) , r2 0 0( )= ,

J =2 0 0( ) , … , 0 1£ £l ,

т. е. рассмотрим перенос материальных частиц, расположенных налуче J = 0. Все уравнения интегрируются и приводят к следующемурезультату:

r t l0( ) = , J =0( )t t, r t F l t1 2 2( ) ( ) /= sin , J =12( ) ( )t G l tsin ,

r t F l G l t F l G l F lt

22

2

22

8( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )]= - + + ¢sin

sin, (12)

J = ¢ - + - ¢ +22 22

4

2

2( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )t G l F l G l G l G l F l

t tsin2 2 4

16G l

t( )]

sin.

Проследим судьбу двух материальных частиц l = l1, l2. Решениепоказывает, что эти частицы обращаются вокруг центра по замкну-тым траекториям. В пределах одного оборота различие в их поляр-ных углах возрастает на порядок l и затем уменьшается до порядкаl2 — налицо эффект дифференциального вращения. Главную рольиграет первое слагаемое в формуле (12) для J 2( )t . Оно пропорцио-нально времени, и поэтому с увеличением числа циклов даже близ-кие точки l1, l2 будут все больше расходиться. Это означает, что про-цесс идет с накоплением деформаций.

Под действием приливных сил меняется конфигурация внешнейграницы. При малых l ее форма близка к эллиптической. Осиэллипса составляют с направлением 0x угол 45°. Последнее виднои непосредственно из (9): от угла J = –45° до +45° значение r(t) воз-растает, затем до J = 135° убывает и т. д. Таким образом, чисто вяз-кая модель без учета самогравитации дает сдвиг по фазе между

133


приливными волной и силой в 45°.На рис. 12.1 показаны траектории иположения частиц 0 1£ £l за одиноборот. (Получены численным ин-тегрированием (9) при l= 0 1, .)

Итак, безразмерное поле ско-ростей характеризуется парамет-ром l. Этот параметр определяетконфигурацию внешней границыи, следовательно, высоту прилив-ной волны. Если высота известна,то можно найти величину l, а зна-чит, и эффективную вязкость тела.

Ситуация в рамках даннойсхемы следующая. Пусть заданонекоторое тело. В начальный мо-

мент на него начинают действовать приливные силы. Как отмеча-лось, эти силы стремятся растянуть тело в одном направлении исжать его в ортогональных направлениях. Поэтому если вращениянет ( , )W = = ¥0 l , то вследствие вязкой реологии тело будет вытяги-ваться в бесконечно длинную и тонкую иглу (базовое течение). Этосвязано с тем, что стабилизирующие механизмы типа самогравита-ции и внешних упругих оболочек здесь не учитываются. Единствен-ный стабилизирующий механизм, который учитывается в модели, —это собственное вращение тела. Действует этот механизм следую-щим образом. Тело в направлении возмущающей массы вытягивает-ся. Затем, вращаясь, оно «подставляет» растяжению новую сторону,которая до этого сжималась, и т. д. В результате устанавливается не-которая стабильная форма. Ее параметры зависят от соотношенияэффективной вязкости и скорости вращения. Поскольку скоростьизвестна, то можно определить вязкость.

Сделаем оценку для тела с параметрами Земли. При малых lвысота прилива равна lR. Если для последней принять величину0,5 м, то формула (8) дает значения вязкости порядка 1016 П. Даннаяоценка не относится к Земле, но только к модели, в которой два важ-нейших фактора стабилизации формы тела (самогравитация и внеш-няя упругая оболочка) — исключены.

3. Деформирование с внутренним жестким ядром. Предположим,что в центре тела находится жесткое ядро радиуса L. Для определе-ния базового течения поставим следующую задачу: найти поле ско-ростей, которое удовлетворяет уравнениям (3), (4), условиям прили-пания на границе с ядром (u= =0 0, u при r = L) и условиям отсут-

134


Рис. 12.1.

ствия напряжений на внешней границе (s srr r= =J0 0, при r = 1).Решение этой задачи с учетом формул (6) можно представить в виде(9). Здесь функции F и G имеют вид:

F r Ar BrC

r

D

r( ) = - - + +3

3 ,

G r A BrD

r( ) = + +2 2

4 , (13)

где АL L L

=- + - -12 6 64 2 2

D, B

L L=

- + -6 4 22 2

D, C

L L=- + -6 6 126 2

D,

DL L L

=- +2 4 66 4 2

D, D = + - + +-2 4 6 46 4 2 2( )L L L L .

Результаты (11), (12) не опирались на конкретный вид функций F(r),G(r), поэтому они имеют место и в случае (13). Основные выводытакже сохраняются: течение (9), (13) приводит к эффекту направлен-ного переноса, деформации со временем накапливаются (рис. 12.2,l= =0 2 0 4, ; ,L ). При L ® 0 формулы (13) переходят в (10).

Перейдем теперь к случаю, когда тело имеет внешнюю упругуюоболочку. Оболочка играет роль независимого стабилизирующегофактора: даже при отсутствии вращения форма тела сохраняется не-изменной. Рассмотренные выше модели можно назвать динамиче-скими в том смысле, что в них причиной течения выступают массо-вые силы. При этом граничные условия также имеют силовой харак-тер. Попытки учета внешних оболочек приводят к другому классумоделей, которые можно назватькинематическими. Эти моделиопираются на следующие свойст-ва уравнений Навье — Стокса.Подставим выражения для на-пряжений (3) в уравнения (4) изатем исключим давление. В ре-зультате получим замкнутую сис-тему относительно скоростей.Если ротор массовых сил равеннулю (у нас как раз такой слу-чай), то система будет однород-ной. Это значит, что информа-ция о массовых силах из урав-нений исчезает. Предположимтеперь, что найдено решение ис-

135


Рис. 12.2.

ходной «динамической задачи», т. е. решены уравнения с массовымисилами и какими-то силовыми условиями на границе. Этому реше-нию соответствуют определенные конфигурации границы и распре-деление скоростей на ней. Если теперь эту информацию взять за ис-ходную и построить решение однородной системы для скоростей,то, естественно, придем к тому же самому полю скоростей. Подоб-ные кинематические постановки используют новые данные на гра-нице и являются более простыми, чем исходные (см. § 3).

Пусть внешняя оболочка является гибкой и нерастяжимой.Аппроксимируем ее форму эллипсом:

x

a

y

b

2

2

2

2 1+ = , (14)

a m= +1 , b m= -1 , 0 1£ £m .

Все параметры заранее известны. На границе должны выполнятьсядва кинематических условия — вектор скорости v направлен по каса-тельной к границе, его величина — постоянна (следствие нерастяжи-мости оболочки):

( )v n× = 0, | |v = const, (15)

где n — внешняя нормаль. Решение задачи (14) и (15) при m<< 1рассмотрено в § 10. Это решение обладает интересной особенностью.Оказывается, его первое приближение совпадает с (9), (10). (Это лег-ко показать, положив l = m и повернув систему координат на 45°.)

Таким образом, кинематическая модель также приводит к эф-фекту направленного переноса. При этом для m<< 1 она дает те жеколичественные результаты, что и динамическая модель.

Естественно теперь посмотреть, что дает кинематическая модельпри наличии жесткого ядра (рис. 12.3). Здесь течение происходитмежду ядром и внешней эллиптической оболочкой. Причиной тече-

ния выступает движение внешнейоболочки по закону (15). На кон-такте с ядром выполняются ус-ловия прилипания, поэтому онобудет увлекаться во вращение снекоторой угловой скоростью w:при r = L

ur = 0, u wJ = L . (16)

Величину w можно определитьследующим образом. Фактическиядро находится в свободном со-

136


Рис. 12.3.

стоянии. В стационарном течении оно вращается равномерно. Сле-довательно, момент сил, действующих на него, равен нулю. Решимкинематические задачи (15), (16) для разных величин wи подсчитаеммомент сил. Действительным будет такое значение w, при которомсуммарный момент сил отсутствует.

Ниже ограничимся приближенной оценкой. Она основана наследующих соображениях. В целом о течении, изображенном нарис. 12.3, можно сказать, что оно происходит между коаксиаль-ными цилиндрами с переменным зазором. В качестве оценки бу-дем использовать решение для цилиндров с постоянным зазором[265]. Из этого решения видно, что если угловая скорость внеш-него цилиндра будет больше, чем внутреннего, то на последнийдействует положительный момент, если наоборот, то отрицатель-ный. В нашем случае на внешней границе постоянна не угловая,а линейная скорость, поэтому соотношение между угловыми ско-ростями для точек на одном радиусе будет переменным. Так, уг-ловая скорость точки B — наибольшая, а точки A — наименьшая(W b b= | | /u , Wa a= | | /u ). Ясно, что ядро должно вращаться с неко-торой промежуточной скоростью. При этом течение в зазоре B B¢стремится увлечь ядро во вращение против часовой стрелки, а взазоре A A¢ — затормозить его. Примем, что касательное напря-жение в точке A ¢ такое же, как и в случае двух коаксиальныхцилиндров, зазор между которыми равен A A¢ , радиусы L, a и угло-вые скорости w и Wa. Аналогичное уравнение примем и для точкиB¢. Предположим, что суммарный момент будет отсутствовать, еслимоменты от этих двух экстремальных на контуре напряженийкомпенсируют друг друга. Отсюда легко определяется скоростьвращения ядра:

w=

æ

èçç

ö

ø÷÷

æ

èçç

ö

ø÷÷

æ

èç

ö

- + -

- +

W Wa b

L

b

L

a

La b

1 1

21 1

2

2

2

2

22 2 ø

÷. (17)

Если значения a и b близки, то w » +( )/W Wa b 2. В другом крайнемслучае, когда L b® , скорость ядра w® W b, причем независимо отвеличин a и Wa. В этом случае механизм переноса переходит в вол-новой механизм, рассмотренный в [25–135].

В работе [10] дано численное решение задачи (15), (16). Скоростьвращения ядра определялась из условия отсутствия момента, дейст-вующего на ядро. Полученное решение сравнивалось с (17). Ошибкалежит в пределах 2 %.

137


§ 13. Связь приливных деформацийсо всюду разрывными отображениями

Рассмотренные выше модели указывают на существованиеприливного переноса масс. Результат его длительного действияпредставляет интерес и с математической точки зрения. В последниегоды возросла роль математических объектов типа фракталов, всюду

138


Рис. 13.1.

разрывных отображений и т. д. Приливной механизм дает еще одинпример, показывающий, как вполне естественные внешние условияпорождают всюду разрывные отображения. Ситуацию можно пояс-нить на самом простом примере. Пусть дифференциальное враще-ние создается следующим полем скоростей:

dr

dt= 0,

d

dtr

J= -1 .

Предположим, что в начальный момент половина круга r £ 1,0 £ J £ p закрашена в белый цвет, другая половина — в черный.Зафиксируем в пространстве радиус J = 0 и будем интересоваться -изменениями его цвета. Эволюцию лучше всего проследить в плос-кости r -J. Пусть плоскость закрашена полосами, как показано нарис. 13.1. Соединим точки r = 1,J = 0 и r = 0,J = t прямой. Тогда еепересечение с белыми и черными полосами даст ответ на вопросо раскраске радиуса в момент времени t. Видно, что с увеличением tколичество белых и черных участков на радиусе неограниченноувеличивается. При этом любой фиксированный участок монотон-но смещается от центра к наружной границе r = 1, а его длина стре-мится к нулю. Центр окружности r = 0 выступает как источник но-вых участков разного цвета. Для области в форме круга это означа-ет, что обе ее половины преобразуются в две бесконечно длинные итонкие спирали, которые вложены друг в друга так, что последова-тельно чередуясь, они целиком заполняют всю область. При этомматериальные объемы неограниченно растягиваются и одновре-менно «складываются». В целом процесс деформирования аналоги-чен известному «преобразованию пекаря» [266].

§ 14. Пространственная задача о переносе массприливными волнами

Выше задача о переносе масс ставилась как плоская. Ее ре-шение приближенно описывало перенос масс в экваториальнойплоскости небесного тела. При этом предполагается, что ось вра-щения тела ортогональна плоскости эклиптики (случай, показан-ный на рис. 2.4, см. с. 37) . Кроме этого, предполагается, что телооднородно и процесс течения устойчив. Тогда из симметрии следу-ет, что переноса вещества через экваториальное сечение не проис-ходит и в качестве первого приближения можно ограничиться дву-мерной постановкой.

139

§ 14. Пространственная задача о переносе масс приливными волнами

В работах [11, 36] сделан следующий шаг и рассмотрена та жесамая задача в трехмерной постановке. Форма тела выбрана в видеэллипсоида вращения с малым эксцентриситетом e и с осью враще-ния 0х (см. рис. 2.4). Предполагается, что тело является однородными линейно вязким. При достаточно малых высотах приливной волныи малой скорости ее движения можно ограничиться ползущим при-ближением. Используются кватернионное представление общегорешения системы и метод малого параметра. В качестве последнегоиспользуется параметр l = e2/2 << 1. В результате строится поле ско-ростей { , , }u u ux y z .

Для определения поля перемещений материальных частиц необ-ходимо решить задачу Коши относительно системы обыкновенныхдифференциальных уравнений:

dx t

dt x x t y t z t t( )

( ( ), ( ), ( )),= >u 0;

dy t

dt y x t y t z t( )

( ( ), ( ), ( ))= u ;

dz t

dt z x t y t z t( )

( ( ), ( ), ( ))= u ;

x x y y z z( ) , ( ) , ( )0 0 00 0 0= = = .

На экваториальной плоскости имеем точное равенство uz(x,y, 0) = 0. Результаты численных решений задачи показывают, чтовсе частицы двигаются по замкнутым траекториям на плоскостях,параллельных экваториальной плоскости.

Периоды обращения частиц различны, так что налицо эффектдифференциального вращения (для наблюдателя на поверхности

тела — эффект направленного пе-реноса масс). В полном соответст-вии с лабораторными эксперимен-тами (см. § 8) наибольший эффектимеет место в экваториальнойплоскости. При смещении же кполюсам эффект уменьшается. Нарис. 14.1 показаны положениячастиц через 1 и 10 об. в экватори-альном и двух сечениях тела(спроектированы на экваториаль-ную плоскость; e l= =05 0 125, ; , ).Первоначально частицы находи-

140


Рис. 14.1.

лись на большой полуоси соответствующего сечения тела. Для Землисредний радиус R = 6371,032 км; пусть h — высота приливной волны;l — соответствующий h малый параметр l = e2/2; e2 = 1 – a2/b2;a = R + h; b = R — h; u — скорость западного дрейфа. Приведем зна-чения скорости западного дрейфа для разных значений приливнойволны

h = 1500 м, l = 0,00047, u = 1664 м/год,

h = 100 м, l = 0,0000314, u = 7,4 м/год,

h = 10 м, l = 3,14 × 10–6, u = 0,074 м/год,

h = 0,5 м, l = 1,57 × 10–7, u = 0,2 × 10–3 м/год.

Для дополнительной проверки вычислительного алгоритма былатакже рассчитана задача в плоской постановке. Результаты совпалис полученными в § 10.

Подведем итог. Расчеты в рамках плоской и пространственноймоделей однородного тела (либо тела с переменной по глубине вяз-костью) для высоты приливной волны порядка 0,5 м дают нижнююи весьма малую оценку направленного переноса масс. Увеличениевысоты приливной волны приводит к значительному увеличениюнаправленного переноса. Для Земли это обстоятельство имеет толь-ко историческое значение. Есть немало данных (см. Введение),которые указывают на то, что в прошлом прилив твердой оболочкиЗемли составлял порядка километра и этот фактор играл сущест-венную роль во всех процессах формирования современного обли-ка нашей планеты. Если обратиться к полученным выше результа-там, то легко заметить, что основные предположения, которые при-водят к ничтожно малому переносу масс (для амплитуды волныпорядка 0,5 м), — это предположения об однородности небесноготела. Такие решения годятся только для демонстрации эффектанаправленного переноса, но не для получения его реальных оце-нок. В реальных ситуациях тело является неоднородным, и это об-стоятельство меняет ситуацию принципиально. Это видно из по-строенных выше решений для жесткого ядра. Для получения верх-ней оценки направленного переноса масс достаточно обратиться красчетам § 12 и формуле (17) § 12. Как отмечалось в § 12, при стрем-лении диаметра внутреннего ядра L к радиусу Земли (L > b) угловаяскорость вращения ядра w стремится к значению Wa. Вычислимзначение переноса, которое соответствует данному предельномуслучаю. Для получения предельной оценки достаточно ограни-

141

§ 14. Пространственная задача о переносе масс приливными волнами

читься плоским экваториальным сечением. Длина кривой, ограни-чивающей эллипс с осями a = b + h и b, равна

J = 2p × b + ph, (1)

если h/b << 1 и членами высших порядков малости пренебречь. Сле-довательно, если на контакте оболочки с ядром проскальзывания небудет, то суточный перенос составит ph, т. е. при высоте приливнойволны порядка 0,5 м перенос составит порядка 500 м в год. Этотеоретически возможный верхний предел переноса.

Формула (1) обладает чрезвычайно интересной и на первыйвзгляд неожиданной особенностью: второе слагаемое в сумме (1) отвеличины b — не зависит. Это свойство становится очевидным приследующем сравнении. Возьмем шар радиусом R размером с Землюи обвяжем его по экватору тонкой проволокой. Ее длина будет равна40 000 км. Теперь вырежем из проволоки относительно ничтожныйкусок, например длиной Dl = 6 м. Сведем концы проволоки вместе.Проволока углубится в шар. Поставим вопрос: на какую глубину?Формула для длины окружности l = 2pR дает мгновенный ответDR = Dl/2p, т. е. при Dl = 6 м проволока углубится на 1 м. Оказывает-ся, 40 000 км здесь ни при чем. Если взять шар радиусом 1 млн кмили радиусом 10 м — результат будет таким же: при изъятии из об-вязки 6 м она углубится на 1 м от поверхности шара. Тот факт, чтовторое слагаемое в (1) зависит только от высоты прилива h и не зави-сит от радиуса шара b — имеет ту же самую природу. В данном случаеследствием этого факта будет уже не углубление гипотетическойпроволоки в тело, а направленный перенос (или дифференциальноевращение) оболочек небесного тела.

Действительно, перейдем в формуле (1) к приращениям

DJ = 2p × Db + pDh.

Рассмотрим теперь случай, когда параметры b и h относятся не толь-ко к поверхности, но и к внутренним точкам деформируемого тела.Наибольший интерес представляют глубины, на которых высотаприливной волны h меняется скачком. Для таких глубин имеемDb = 0, а Dh ¹ 0. Относительный перенос (вследствие дифферен-циального вращения) равен pDh за 1 сут. Причем от самой глубиныэффект переноса не зависит.

Резкое изменение амплитуды волны можно ожидать на глуби-нах, где свойства тела меняются скачком, например, на границахс астеносферными слоями, границе твердого и жидкого ядра и др.Как отмечалось, верхняя оценка эффекта составляет 500 м/год.Оценка была получена для ядра с максимально возможным радиу-

142


сом. В реальном случае слои с резким изменением свойств тела на-ходятся на определенных глубинах. Однако их расстояние от центраЗемли имеет тот же порядок радиуса Земли. Значит, если взять в ка-честве опорной линейную зависимость высоты волны от глубины, тофактор глубины может изменить перенос только в несколько раз.Основной вклад в эффект связан со скачком h вследствие изменениясвойств тела. Для его оценки необходимы данные о реологии тела.Однако, даже если допустить, что скачок составляет всего 1 % от h,то получим оценку переноса порядка 100 см/год.

§ 15. Перенос масс волнами большой амплитуды

Эксперименты на моделях показывают, что с увеличением вы-соты приливной волны механизм деформирования тела приобретаеткачественно новые черты. Появляются различные системы линийскольжения, регулярные структуры и т. д. При достаточно большойволне тело так сплющивается, что его внутренние точки начинаютобращаться вокруг двух центров.

Далее ограничимся рассмотрением только этого эффекта. Обра-тимся к решению (7) § 12. Поле скоростей (7) § 12 дает точное реше-ние задачи при любых значениях � (т. е. при построении решенияне предполагалось, что l < 1). Будем постепенно увеличивать зна-чение l. С увеличением l небесное тело все больше вытягиваетсяв направлении к возмущающей массе. Соответственно вытягива-ются и линии тока материальных частиц (рис. 15.1, l = 0,33). Навсех рисунках размер квадратной сетки принят за единицу. Линиитока представляют собой овалы с общим центром. С увеличением lэффект направленного переноса (диф-ференциального вращения) становит-ся все более выраженным (рис. 15.2:а — l = 0,3; б — l = 0,35). Таким об-разом, если l невелико, то все мате-риальные точки обращаются вокругцентра по определенным замкнутымтраекториям. И это кажется естест-венным. Парадоксальным выглядит тообстоятельство, что при больших l уг-ловая скорость в некоторых областяхстановится отрицательной, поэтомухарактер течения меняется. Такое по-ведение никаким уравнениям не про-

143


Рис. 15.1.

тиворечит и объясняется тем, что при большой скорости приливногорастяжения скорость сжатия в ортогональном направлении настоль-ко велика, что не компенсируется переносом вследствие поворотатела. Таким образом, существует критическое искажение формы(высота приливного горба порядка 0,3R), при переходе через котороекартина переноса масс меняется качественно. Конечно, если гово-

144


Рис. 15.2.

Рис. 15.3.

рить о реальных процессах, то полученный результат нужно рассмат-ривать как посылку для поиска подобных режимов в рамках болеесложных моделей.

На рис. 15.3 показана картина течения при l = 0,75. Внутреннеетечение осуществляется вокруг двух фокусов и отдельно от внешнеготечения сепаратрисой. Наличие внутреннего жесткого ядра можетизменить ситуацию качественно. Например, если ядро сравнительномало (R = 0,2), то течение происходит вокруг двух центров (рис. 15.4,l = 0,75). Увеличение же радиуса ядра до 0,4 приводит к течению во-круг одного центра (рис. 15.5, l = 0,75).

Решение пространственной задачи (см. § 14 и [11, 36]) также ука-зывает на возможность появления двух вихрей при достаточно боль-шом приливном искажении формы небесного тела.

145


Рис. 15.4. Рис. 15.5.

Рассмотренные выше модели приливного деформированиятела можно отнести к классу квазистатических. В рамках этих моде-лей однозначно предсказывается эффект направленного переноса,однако самогравитация тела и инерционные силы явно не учитыва-ются.

В связи с этим рассмотрим другой класс моделей — модели ди-намического типа, в которых можно учесть инерцию среды, само-гравитацию и, кроме того, получить обозримые результаты для трех-мерной задачи. В расчетах мы не связаны реальными значениямипараметров как самого небесного тела, так и действующих на негосил. Поэтому всегда можно уменьшить одни параметры и значитель-но увеличить другие. Например, можно убрать самогравитацию ицентробежные силы, но сохранить чисто кинематические последст-вия вращения тела, можно также многократно увеличить приливныесилы и рассмотреть эволюцию формы тела и его разрушение поддействием этих сил и т. д. Последняя задача представляет интересв связи с изучением эволюции двойных звезд, двойных планетныхсистем, а также систем «планета — ее спутники».

В настоящее время накоплено достаточно много данных, кото-рые показывают, что ситуация, когда приливные силы планеты раз-рушают ее спутник, является достаточно типичной. По одной из тео-рий происхождение Луны связано именно с таким процессом при-ливного разрушения некоторого массивного тела — прото-Луны.Приливными разрушениями объясняется происхождение метеори-тов, особенности их химического состава, а также целый ряд другихфактов. Исследование такой ситуации представляет также и теорети-ческий интерес. Есть многочисленные данные, показывающие, чтои в истории формирования современного облика Земли приливныесилы в прошлом играли гораздо большую роль, чем в настоящее вре-мя. Поэтому рассмотрим динамические модели, не накладывая зара-нее ограничений на высоту приливной волны.

146

Г л а в а

Динамика деформированияи разрушения небесного телаприливными силами

§ 16. Динамическая модельприливного деформирования небесного тела

Сейчас общеизвестно, что Земля у полюсов сплюснута, т. е.радиус Земли от центра до полюса меньше, чем ее радиус от центрадо экватора. Объясняется это тем, что Земля вращается вокруг своейоси. Ось проходит через полюсы, и поэтому центробежные силы, ко-торые направлены от оси, будут максимальными на экваторе. Вбли-зи полюса они минимальны, а на самом полюсе равны нулю. В соот-ветствии с этими силами Земля и принимает сплюснутую форму.

Ньютон не только предсказал сжатие Земли, но и дал ему коли-чественную оценку. Причем сделал это, исходя из чрезвычайно про-стой и наглядной модели (рис. 16.1). Модель Ньютона сводилась кследующему. Рассматривались два канала, простирающиеся от по-люса до центра Земли и от центра до экватора. Каналы заполненыводой и сообщаются между собой в центре Земли. Поэтому давлениев центре в обоих каналах должно быть одинаковым. Центробежнаясила «уничтожает» определенную часть веса воды в канале, направ-ленном к экватору. Поэтому равновесие будет сохранено только вслучае, когда высота столба воды, направленного к экватору, будетнесколько больше высоты столба, направленного к полюсу. ОтсюдаНьютон получил величину сжатия, равную e = 1/230, где e = 1 – b/a,b и а — полярный и экваториальный радиусы. Следует отметить, чтов данном случае давления жидкости являются гидростатическими,поэтому совершенно неважно, будет ли жидкость в каналах идеаль-ной, вязкой или какой-либо дру-гой. Главное — чтобы отсутство-вало трение на стенках канала, ивыполнялся закон Паскаля.

1. Идея динамических моделей.Итак, модель Ньютона дает вели-чину сжатия, равную e = 1/230.Современное значение сжатияоценивается как 1/298, т. е. при-ближенное значение отличаетсяот точного всего на 23 %. Кажет-ся удивительным, что такая про-стая модель дала не только аб-солютно верный качественный,но и вполне приемлемый коли-чественный результат. Эти об-

147

§ 16. Динамическая модель приливного деформирования небесного тела

Рис. 16.1.

стоятельства позволяют надеяться, что и модель, построенная какобобщение классической модели, может дать вполне приемлемыерезультаты.

Идея обобщения очень проста. В исходной модели учитываютсясилы самогравитации и центробежные силы. Можно попытаться та-ким же образом учесть и приливные силы. Учет приливных сил вво-дит в систему элемент нестационарности. Для любого фиксирован-ного канала, проведенного от центра Земли к ее поверхности, цен-тробежную и гравитационную силы можно считать постоянными.Приливная же сила зависит от ориентации канала и будет все времяменяться. Поэтому в анализ необходимо будет ввести динамику сре-ды, а значит, и ее реологию. Предположим, что имеется бесконечномного каналов. Все они заполнены жидкостью и в центре тела сооб-щаются между собой. Собственно само тело можно теперь представ-лять как совокупность указанных каналов. Здесь возникает, конеч-но, ряд новых вопросов: надо ли учитывать радиальность каналовили можно считать их цилиндрическими; как учитывать влияниеградиента скорости в соседних каналах и др.?

Ниже ограничимся построением самых простых моделей, кото-рые были бы как можно ближе к исходной модели Ньютона. На ве-личину приливных сил ограничений накладывать не будем. Поэтомудля обобщения будем говорить о деформировании небесного тела,имея в виду Землю при малых силах или двойную планету, звездуили другой объект при больших приливных и центробежных силах.

2. Основное уравнение. Перейдем теперь к выкладкам. Рассмот-рим вначале динамику вязкой жидкости в одном произвольном ка-нале (рис. 16.2). Предположим, что канал имеет цилиндрическуюформу. Пусть S и L — площадь и периметр поперечного сечения ка-нала, r — координата вдоль его оси, s( ), ( )r u r — среднее по сечениюнормальное напряжение и смещение. Как обычно, сжимающие на-пряжения будем считать отрицательными.

148

Гл. 4. Динамика деформирования и разрушения небесного тела приливными силами

Рис. 16.2.

Предположим, что вязкое трение пропорционально скорости движе-ния жидкости относительно стенок канала. Выделим двумя сечения-ми r и r + dr элементарный объем. Тогда, пренебрегая силой Карио-лиса, получим следующее уравнение движения:

s s m r( ) ( ) ( ) .*r dr S r S Ldr F r Sdr Sdrdu

dt

d u

dt+ - - + =

2

2

Слева стоит сумма всех сил, действующих на элемент. Согласно вто-рому закону Ньютона эти силы вызывают движение элемента с уско-рением d u dt2 2/ . Смысл остальных обозначений очевиден: m* — ко-эффициент вязкого трения, r — плотность жидкости, F — состав-ляющая объемной силы вдоль оси канала. Предположим, что матери-ал несжимаем и однороден как по плотности, так и по вязкостнымсвойствам, т. е. r m, * = const. Кроме того, примем, что гравитацион-ный потенциал тела не меняется и соответствует однородному шарурадиуса R, т. е. изменения потенциала вследствие изменения формытела учитывать не будем. Тогда гравитационная сила, действующаяна элемент со стороны самого тела, будет пропорциональна коорди-нате r. Пропорциональными координате r будут также центробежнаяи приливные силы, поэтому для объемной силы можно принять, чтоF r= ×g , где коэффициент g от координаты r уже не зависит. Вели-чину g будем называть интенсивностью объемной силы. Конкретныйее вид и зависимость от времени рассмотрим далее. Перепишемтеперь уравнение движения в следующем виде:

d

dru u r

sr m g= + - ×�� , (1)

где m m= * /L S и точкой обозначена производная по времени.

Вследствие несжимаемости переменная u может зависеть толькоот времени, поэтому уравнение (1) можно проинтегрировать по r.Результат будет следующим:

s r mg

( , ) ( �� ) ( ),r t u u r r c t= + - +2

2

где c(t) — «постоянная» интегрирования.Теперь о начальных и краевых условиях. Будем считать, что в

начальный момент времени канал заполнен жидкостью от сеченияr = 0 до сечения r R= . Предположим, что поверхность r R= от на-пряжений свободна: s( , )R t = 0, т. е. влияние атмосферы и океаназдесь не учитывается. Начальные смещения и скорости можно выби-рать из дополнительных соображений.

149

§ 16. Динамическая модель приливного деформирования небесного тела

Теперь о краевых условиях. В геометрических линейных задачахкраевые условия ставятся обычно на недеформированной поверхно-сти, т. е. если мы считаем, что в начальный момент тело представля-ет собой шар, граница которого от напряжений свободна, то линей-ная постановка предполагает, что напряжение отсутствует на исход-ной границе шара, т. е. на сфере, а не на той поверхности, в которуюэта сфера перейдет. Рассматриваемая модель позволяет исследоватьболее точную постановку, а именно, учесть изменение границы.Итак, пусть новая поверхность от напряжений свободна, поэтому

s( ) .R u+ = 0 (2)Отсюда следует

s r mg

( , ) ( �� ) [( ) ] ( ) .[ ]r t u u R u r R u r= - + + - - + -22 2 (3)

Мы предполагаем рассмотреть множество каналов типа (3). Каналысвязаны между собой в точке r = 0, поэтому значение напряжения вцентре для всех каналов будет одинаковым: s s( , ) ( )0 0t t= . Положивв равенстве (3) r = 0, придем к следующему уравнению:

( �� )( ) ( ) ( ) .r m sg

u u R u R u t+ + - + + =2

2 0 0 (4)

Таким образом, мы получили уравнение вынужденных колебаний связким сопротивлением и нелинейной восстанавливающей силой.Численно исследование таких колебаний не представляет большихтрудностей. Однако основные и более ясные результаты можно по-лучить, если сделать определенные упрощения и получить замкнутоерешение.

Разберемся в этом вопросе детальнее. Чисто линейное краевоеусловие имело бы вид

s( , )R t = 0. (5)

Таким образом, отличие (2) от (5) состоит в учете сил, с которы-ми слой, заключенный между деформированной и недеформирован-ной поверхностями, действует на первоначальную поверхностьr R= . В свою очередь эта сила распадается на ряд составляющих, ко-торые существенно различаются между собой. Рассмотрим их по от-дельности. Для этого подсчитаем напряжение, которое возникаетв сечении r R= при точной подстановке задачи (2) (напряжение,вызванное ондуляцией):

s g r mg

( , ) ( �� )R t R u u u u u= × + - + ×2

2 . (6)

150


Естественно, что это равенство верно как для смещения u > 0, таки для u < 0. Выводы от знака смещения u также не зависят. Удобнее,однако, представлять себе, что u > 0, и говорить о весе слоя междуповерхностями r R= и r R u= + при u > 0, а не о дефиците веса приu < 0.

В большинстве реальных ситуаций величина смещения | |u R<< .Первое слагаемое в (6) описывает вес слоя в случае, если бы по-тенциал в пределах самого слоя не менялся: gR — это интенсив-ность объемной силы на подошве слоя, и — высота слоя. Этослагаемое является основным. Второе слагаемое gu2 2/ учитываетпоправку на изменения потенциала в пределах слоя R x R u£ £ + .Им можно пренебречь. Третье слагаемое u u u× +( �� )r m представляетсобой дополнительное напряжение, которое появляется на подош-ве слоя и обеспечивает его ускорение и вязкое сопротивление награнице. Им также можно пренебречь по сравнению с первымслагаемым. В результате вместо (2), (5) приходим к следующемукраевому условию

s g( , )R t R u= × . (7)

Соответствующее уравнение имеет вид

( �� ) ( )r m g sg

u u R rRu R t+ - - + =2

2 0 0. (8)

Это уравнение описывает динамику движения материала вдоль од-ного фиксированного канала. По существу, уравнение не замкнуто,так как последний член в уравнении неизвестен. Он определяется издополнительного условия, описывающего деформирование всеготела в целом. При вычислении s0( )t уже имеет значение, рассматри-ваем ли мы плоскую или пространственную постановку задачи, какориентируем ось вращения тела относительно направления прилив-ных сил и т. д. Поэтому рассмотрим последовательно различные ва-рианты, начиная с самого простого — плоского случая.

§ 17. Плоская задача

1. Постановка задачи. В плоской модели шару соответствуеткруг (рис. 17.1). Пусть ось его вращения ортогональна плоскостичертежа. Внешнюю массу, вызывающую прилив, можно разбить надве, расположенные симметрично относительно тела. Это позволяетпредставлять себе приливные силы как чисто статические, вызван-ные притяжением указанных двух масс (см. гл. 1).

151


Итак, у нас есть множество каналов, каждый из которых направ-лен по своему радиусу. Пусть a— идентификатор конкретного кана-ла. Например, а — угол между осью канала и осью 0x в начальныймомент времени t = 0. (По существу, a — лангранжева координатаканала.) Пусть J — угол, который составляет ось канала с осью 0хв момент времени t (эйлерова координата).

Подсчитаем теперь интенсивность объемных сил для канала J.Эти силы имеют три составляющие: силу самогравитации (g 1),центробежную (g 2) и приливнную (g 3): g g g g= + +1 2 3. Вначалеоценим самогравитацию. Уточним смысл плоской деформации.Ниже плоскую деформацию будем понимать в следующем смысле.

152


Рис. 17.1.

Именно гравитационный потенциал будем брать для простран-ственного и конечного тела — для шара. Но действие потенциа-ла будем рассматривать только на плоское сечение типа, показан-ного на рис. 17.1. Таким образом, считается, что экваториальнаяплоскость тела совпадает с плоскостью орбиты и, кроме того, свя-зями экваториального сечения планеты с параллельными ему сече-ниями можно пренебречь. Это позволяет исследовать деформиро-вание экваториального сечения отдельно, причем в рамках плоскойзадачи.

Итак, пусть g0 — ускорение свободного падения на поверхноститела r R= (без поправок на центробежную и другие силы). Предпо-ложим, что тело однородное. Тогда гравитационное притяжение эле-

мента среды с координатами (r, J) равно: g r10= -

g

R. Для центробеж-

ной силы g rw22= , где w — угловая скорость вращения. Векторы

приливной силы, отнесенные к единице объема, обозначим как{ , }G G1 2x y (см. рис. 17.1). Как обычно, направления всех стрелок нарисунках соответствуют положительным значениям параметров. Дляодной возмущающей массы имеем G G G G1 2= = -, , где G — извест-ная постоянная. Ради общности сохраним в выкладках оба значенияG1 и G2.

Уравнение движения материала в канале J имеет вид (8) § 16.В нем фигурирует сила, направленная вдоль оси канала. Проектируявектор приливной силы на ось, получим

g 3 12

22= J + JG Gcos sin . (1)

Таким образом, интенсивность суммарной силы равна

g g g g r rw= + + = - + + J + J1 2 30 2

12

22g

R( )G Gcos sin . (2)

Теперь необходимо найти связь лангранжевой и эйлеровой коор-динат. Проще говоря, необходимо вычислить положение некото-рого фиксированного канала a относительно оси 0х, т. е. найтиугол J как функцию параметра a и времени t. Пусть w( )t — средняяскорость вращения тела от момента времени t = 0 до момента t.Тогда

J = + ×a w t. (3)

Здесь мы сталкиваемся с проблемой начальных данных. Для по-строения замкнутого решения достаточно задать начальные данные:u u( , ), � ( , )a a0 0 и начальную скорость вращения w( )0 . Дальнейшуюэволюцию всех параметров можно определить уже из решения зада-

153


чи. Однако такая чисто динамическая постановка излишне усложня-ет задачу. Действительно, определим из (3) мгновенную скоростьвращения

� � ( )J = × +w wt t . (4)

Наличие вязкости приведет к замедлению вращения. (Полноечисленное исследование динамической задачи больших трудностейне представляет.)

В настоящее время накоплено достаточно много фактов, кото-рые показывают, что с течением времени скорость вращения Землиуменьшается. Это происходит по двум основным причинам. Перваясвязана с диссипацией механической энергии в процессе прилив-ного деформирования Земли. Вторая причина замедления связанас формой, которую принимает Земля вследствие приливного дефор-мирования. Форма Земли и ее ориентация относительно направле-ния приливных сил таковы, что возникает момент, тормозящийвращение Земли. Таким образом, имеем некоторый «начальный»импульс планеты, который постепенно растрачивается на преодоле-ние приливного трения. Это и есть одно из проявлений собственнойжизни планеты, ее эволюции во времени.

Динамическая модель позволяет рассчитать вековое замедлениевращения. Это можно сделать без усложнения поставленной вышезадачи. Действительно, наблюдения и оценки показывают, что дляЗемли первое слагаемое в (4) (вековое замедление при разумныхпромежутках времени t) много меньше второго. Кроме того, динами-ческий вклад этого замедления, равный �� ( )w t R× , на фоне других сил,включая даже приливные, ничтожен. Поэтому задачи о приливномдеформировании и о замедлении вращения планеты можно рассмат-ривать как не связанные между собой.

Для решения первой задачи положим w= const. Это — кинема-тическая постановка. Такая постановка, строго говоря, предполага-ет, что к планете приложен некоторый внешний момент, которыйподдерживает скорость ее вращения постоянной. После подсчетаэтого момента из условия сохранения энергии можно будет опреде-лить вековое замедление вращения. Нетрудно рассчитать диапазон,когда динамика, связанная с замедлением вращения, становится за-метной. Это, однако, весьма экзотическая ситуация и ее из анализаисключим. Ниже везде ограничимся чисто кинематической поста-новкой, когда скорость вращения w заранее задана и поддерживает-ся постоянной.

Итак, мы пришли к уравнению (8) § 17 относительно функцииu t( , )a . Здесь a — параметр канала, t — время. Канал вращается

154


вместе с планетой в поле действия приливных сил (собственно сово-купность каналов и представляет собой планету). Закон вращениямы предположили заданным. Для плоского случая он имеет вид (3),где w= const. Тогда уравнение (8) § 17 опишет движения материала вканале a. При этом коэффициент в этом уравнении необходимо рас-сматривать как функции времени, где J задано равенством (3).

Теперь можно сделать еще одно упрощение. Как отмечалось,восстанавливающая сила равна весу слоя материала, заключенногомежду деформированной и недеформированной поверхностями:

g g g g r rwRu Ru Rug

R= + + = - + J + J

æ

èç

ö

ø÷( )1 2 3

0 21

22

2G Gcos sin .

Первое слагаемое, связанное с g 1, — это вес слоя. Слагаемые g 2, g 3играют роль поправки на центробежную и приливную силы.При этом последняя нестационарна и много меньше веса. Крометого, величина | |u R<< . Поэтому поправкой на прилив пре-небрежем. По этой же причине (R u>> | |) составляющую прилива вслагаемом gR 2 2/ сохраним. В результате придем к следующемууравнению:

( �� ) ( ) ( )r m g g g su u R Ru tR

+ - + - + =1 2

20

20, (5)

где u u t= ( , ),a a — параметр. Теперь информация о том, что всеканалы связаны между собой, содержится только в одном условии:последнее слагаемое в уравнении не имеет аргумента a. Следо-вательно, во всех каналах давление в центре тела будет одним итем же.

Далее, материал во всех каналах принят несжимаемым. Поэтомураспределение смещений u t( , )a должно быть таким, чтобы общийобъем материала во всех каналах был неизменным:

u t d( , )a a

p

0

2

0ò = . (6)

Произвол в выборе давления s0( )t позволяет удовлетворить этому ус-ловию. Выше предполагалось, что все каналы имеют цилиндриче-скую форму. С другой стороны, естественно рассмотреть все телокак совокупность сходящихся к центру каналов. Ясно, что для тела вформе шара точно удовлетворить указанным двум условиям невоз-можно. Однако это обстоятельство принципиального значения неимеет. Замена цилиндрических каналов на радиальные принципи-

155


альных трудностей не представляет. Условие несжимаемости в этомслучае примет вид

Ru du

+æ

èçç

ö

ø÷÷ J =ò

2

0

2

20

p

. (7)

При | |u R<< это условие совпадает с (6).

2. Замкнутая система уравнений. Подведем итог. Формально пло-ская задача свелась к следующей. Требуется найти функцию u t( , )aпри 0 2 0£ £ ³a p, t , удовлетворяющую уравнению

( �� ) ( ) ( )r m g g g su u R Ru tR

+ - + - + =1 2

2

20, (8)

где g g g g= + +1 2 3; g r10= -

g

R; g rw2

2= ; g 3 12

22= J + JG Gcos sin ;

J = +a wt, (9)

и следующим условиям:

u t u t u t u t( , ) ( , ); � ( , ) � ( , )0 2 0 2º ºp p (10)либо

u u u v( , ) ( ), � ( , ) ( )a a a a0 00 0= = ,

а также условию

u t d( , )a a

p

0

2

0ò = .

Функции u v0 0( ), ( )a a и величина w= const заданы, функция s0( )tопределяется в процессе решения задачи. Смысл остальных обозна-чений указан в предыдущих разделах. Таким образом, задача свеласьк исследованию континуума связанных между собой осцилляторов.На каждый из осцилляторов действуют вынуждающая и восстанав-ливающая силы. В общем случае есть также вязкое сопротивлениеи диссипация энергии.

3. Стационарные решения. Перейдем теперь к построению реше-ния. Пусть заданы некоторые начальные данные и скорость враще-ния тела. Зафиксируем условия самогравитации и приливные силы.Возможны два случая. Первый — у тела при заданных внешних си-лах нет устойчивого состояния. Тогда из начального состояния телобудет эволюционировать до тех пор, пока решение имеет смысл. На-пример, до значения u R= - (в этом случае необходимо учесть, чтоусловие | |u R<< уже не выполняется). Фактически это означает раз-рушение тела. Второй случай более интересен. Он реализуется, когда

156


тело эволюционирует к некоторому устойчивому состоянию. Сампереход к этому состоянию можно не рассматривать, так как он свя-зан с начальными данными, а для небесного тела начальных данных,по крайней мере в традиционном смысле, не существует. Поэтомубудем строить сразу стационарные решения, которые от начальныхусловий вообще не зависят.

Рассмотрим весь процесс с точки зрения наблюдателя, связан-ного с системой координат 0ху (т. е. из космоса). В этой системевнешняя форма планеты должна оставаться неизменной. Это озна-чает, что от аргументов a и t смещение u должно зависеть так, чтобыпри J = const величина смещения u была постоянной. Поэтомудолжно быть верно представление

u t u t( , ) ( )a a w= + . (11)

В этом случае величина давления s0 от времени зависеть уже недолжна: s s0 0( )t = = const. Подставим (2.11) в (2.8) и перейдем к без-размерным переменным:

~ ; ~ ; ~ ; ;

;

uR

а b

u

R R= = = =

= =+

m s lw

m

rw

s

rw

rw rw

00

2 2

1 2

2

g0

2

1 1G G2

G G1 2

2

-.

(12)

В результате получим

¢¢ + ¢ + - = - + + + J -u u u a bm l l s( ) ( )112

1 2 0cos . (13)

Вместо начальных условий здесь имеем два условия склейки(10). Знаки «тильда» везде опускаются, штрих означает производнуюпо J. Пусть l > 1. (В соответствии с определением (9), условие l > 1означает, что центробежные силы остаются все время меньше силсамогравитации.)

Нетрудно понять, что условию (6) можно удовлетворить, еслисвободный член в правой части (13) приравнять нулю. Отсюда

sl0 1

2=- + + a

(14)

и

¢¢ + ¢ + - = Ju u ub

m l( )1 22

cos . (15)

157


Решение уравнений этого типа хорошо изучено [267, 268]. В данномслучае они имеют вид

u

b

= J -

= - =- + -

Acos

A tg

( ),

,( )

.

2

2 5 4

2

52 2

k

kl m

m

l

(16)

Это решение дает следующий вид свободной поверхности тела:r = + J -1 2Acos( )k или в координатах (r, q), отклоненных от на-правления действия приливных сил, на угол k/2 —

r = +1 2Acos q. (17)

Рассмотрим последовательность стационарных форм тела припостепенном увеличении параметра А от нуля. При малых А формаблизка к кругу. При увеличении параметра А поверхность приq p= /2 уплощается, а затем становится вогнутой. С дальнейшимувеличением приливных сил перемычка утоньшается и в конце кон-цов при А = 1 вырождается в точку — тело распадается на две части.Представляется весьма неожиданным, что такое сложное поведениеописывается одним и тем же и таким простым уравнением. Последо-вательность форм тела напоминает овалы Кассини, а в критическомслучае А = 1 — лемнискату Бернулли. Построенные выше решенияимеют смысл только при А < 1. В размерных переменных это озна-чает, что должно выполняться условие:

G G1 2 0 22 2

224 5 4

-< -

æ

èç

ö

ø÷ +

r

m

rw w

g

R. (18)

Строго говоря, уже при переходе тела к вогнутой форме в моделинеобходимо возвратиться к исходному уравнению (4) без упрощения.

4. Стабилизирующие и дестабилизирующие факторы. Перечислимфакторы, которые учитываются в построенной модели: а) самогра-витация тела; б) вращение тела вокруг оси и центробежная сила;в) приливные силы; г) вязкое трение. Для Земли количественныеоценки этих факторов вполне определены и имеют различные мас-штабы. Для других небесных тел соотношения между ними могутбыть другими. Например, для двойных звезд приливные силы могутстать преобладающими. Для быстро вращающихся объектов возрас-тает роль центробежных сил. Более важным фактором является са-могравитация. В теоретических расчетах мы не связаны конкретны-ми значениями параметров. Поэтому можно рассмотреть различныепредельные случаи и выявить роль каждого из указанных факторовв отдельности.

158


Уравнение (15), включая различные предельные случаи, возни-кает во многих областях и исследовано, по-видимому, исчерпываю-ще [267, 268]. Ниже остается только учесть специфику поставленнойзадачи. Обратимся к уравнению (8). В нем при переходе к безразмер-ным переменным в качестве характерного напряжения бралась ве-личина R 2 2rw . Для исследования предельного случаями w® 0 этотмасштаб неудобен. Поэтому будем исходить непосредственно изуравнения (8). Для упрощения разделим обе части на rR 2 и вели-чины u R R/ , / , /s r m r2 обозначим как u и s m, . Тогда

�� u u u f fg

R

g

R+ + -

æ

èç

ö

ø÷ = - + + + J

æ

èç

ö

ø÷ -m w w s

0 2 0 21 2

21

2cos 0

11 2

21 2

2 2

( ),

; .

t

f fгде = =+ -G G G G

(19)

Из структуры коэффициента при восстанавливающей силе вид-но, что самогравитация играет роль стабилизирующего фактора, ацентробежная сила — дестабилизирующего.

Легко понять, что стабилизирующая роль самогравитации связа-на с тем, что в рассмотренной постановке задачи краевые условиябрались на деформированной поверхности тела, а не сносились наповерхность тела до деформации. Роль самогравитации становитсяочевидной, если вращение тела вообще исключить. Тогда прилив-ные силы будут компенсироваться исключительно силами самогра-витации. В этом случае

J = = - +æ

èç

ö

ø÷ = =a s a, ( )t f u

g

R

R f

g

1

2 20

12

0

2const и cos .

Посмотрим теперь, что будет, если силы самогравитации полно-стью исключить. Если при этом тело не вращается, то J = a и в полеприливных сил тело будет всегда неустойчивым. Это более или менееочевидный вывод, так как в данном случае он связан только реологи-ей тела. Для вязкого тела даже малые приливные силы, если они дей-ствуют достаточно долго, могут привести к большим деформациями разрушению:

u tf

=æ

èçç

ö

ø÷÷

1

22 2

macos .

Таким образом, приливные силы необходимо отнести к дестабили-зирующим факторам.

Рассмотрим теперь роль вращения. Было показано, что центро-бежные силы играют роль дестабилизирующего фактора. Однако

159


чисто кинематическое следствие вращения можно отнести к стаби-лизирующим факторам. Действительно, исключим из уравнения (19)динамическое проявление вращения (т. е. положим g 2 0= ) и исклю-чим также силы самогравитации (g 1 0= ). При этом учтем изменениеориентации каналов вследствие вращения тела. В результате придемк уравнению:

�� ( )u u tf

+ = +m a w2 2

2cos .

Отсюда следует, что если вращение происходит достаточно бы-стро, то реологическая неустойчивость этим вращением подавляет-ся. Механизм подавления неустойчивости объясняется следующимобразом. Поле приливных сил таково, что в направлении к возму-щающей массе происходит растяжение тела, а в ортогональных на-правлениях — его сжатие. Возьмем некоторый линейный элементтела. Предположим, что вращения нет и поэтому ориентация эле-мента относительно приливных сил неизменна. Если элемент нахо-дится в зоне растяжения, то вследствие вязкости он будет растяги-ваться вплоть до разрушения тела. То же самое произойдет и в зонесжатия. (Самогравитация здесь специально исключена.)

Вращение тела может изменить эту картину качественно. Дейст-вительно, поворот тела приводит к тому, что линейные элементы,которые были в зоне растяжения, перемещаются в зону сжатия, за-тем опять в зону растяжения и т. д., поэтому форма тела в целом мо-жет стабилизироваться только за счет этого фактора.

Теперь о роли вязкости. Она очевидна. Вязкость, безусловно,является стабилизирующим фактором. Кроме того, она приводитк сдвигу по фазе между действием приливной силы и кинематиче-ской реакции тела. Если в уравнении (2.19) допустить m ® 0, то при-дем к следующему решению:

ub

= J = >-

Acos A2

2 55, ,

( )ll .

Вдали от резонанса форма тела устойчива и выпукла. Однакопри подходе к резонансу появляется вогнутость и тело начинает раз-деляться на две части.

§ 18. Пространственная задача

Обычно переход от плоской к трехмерной постановке усложняетзадачу принципиально. В рамках рассматриваемой модели это не так.

Последнее связано с тем, что и двух- и трехмерная задача факти-чески сводятся к одномерной. По-видимому, это предельно упро-

160


щенная постановка. Поэтому и при оценке действующих сил естьсмысл ограничиться только самыми грубыми приближениями. Итак,пусть тело обращается вокруг одной возмущающей массы и ось еговращения ориентирована вдоль некоторого фиксированного (и про-извольного) направления в пространстве. Изначально в рассматри-ваемой ситуации выделены одна точка и два направления. Точка —это центр деформируемого тела, одно направление — это направле-ние от центра к возмущающей массе, второе направление — это ось,вокруг которой вращается тело. Введем две декартовые системы ко-ординат 0xyz и 0x y z¢ ¢ ¢ (рис. 18.1). Начала обеих систем поместим вцентр тела, ось 0x направим к возмущающей массе M. Пользуясьприемом [142], разделим возмущающую массу на две равные частии поместим их, как показано на рисунке. Теперь обе массы M/2и центр тела можно считать неподвижными, так что динамику дви-жения тела по орбите (вокруг барицентра) можно исключить. На-правим ось 0z ¢ вдоль оси вращения тела, а ось координат 0y — орто-

161


Рис. 18.1.

гонально осям 0x и 0z ¢. Ось 0y¢направим вдоль 0y, ось 0z ортогональ-на 0y и 0x. Угол между осями 0x и 0x ¢ обозначим через Y. Отметим,что в общем случае ось 0y в плоскости орбиты не лежит. Движениепо орбите проявляется в изменении угла Y от значения Ymax до-Ymax . Ymax — известно, прецессия и нутация исключены. Примем,что обе системы координат являются инерциальными, так что угол jможно рассматривать как параметр задачи. С координатами 0x y z¢ ¢ ¢свяжем сферические координаты ( , , )r u j .

18.1. Ось вращения тела ортогональна к плоскости его орбиты

1. Постановка задачи. Вначале ограничимся наиболее простымслучаем, когда ось вращения тела ортогональна плоскости его орби-ты. В этом случае системы координат 0xyz и 0x y z¢ ¢ ¢ совпадают междусобой и угол Y º 0.

Возьмем некоторый канал и рассмотрим динамику движенияматериала в нем. Положение канала в пространстве характеризуетсядвумя параметрами. В качестве таких параметров выберем два угла:Jи j. Пусть

0 22 2

£ £ - £ £J p jp p

; .

Связь с декартовыми координатами дается следующими формулами:

x r

y r

z r

= J

= J

=

cos cos

cos sin

sin

j

j

j

,

,

.

(1)

Указанные углы J и j являются эйлеровыми координатами ка-нала. В качестве лангранжевых координат возьмем значения тех жеуглов в начальной момент времени: a b j=J =( ), ( ).0 0

Уравнения движения материала в канале (a b, ) имеют прежнийвид — (4) § 16. Не меняется также и упрощенное уравнение движе-ния (8) § 16:

( �� ) ( )r m g sg

u u R Ru R t+ - - + =2

2 0 0. (2)

Уравнение записано относительно функций u t( , , )a b и s0( )t .Здесь a b, — параметры, t — независимая переменная, s0( )t — неиз-вестная функция, которая определяется из условия сохранения объ-ема тела в целом:

u t d d( , , ) ; .( , )

a b j a b a p bp p

a b

cos ,= £ £ - £ £òò 0 0 22 2

(3)

162


Для сходящихся каналов условие сохранения объема имеет вид

u u d du

+ +æ

èçç

ö

ø÷÷ J =

Jòò 2

3

30

( , )

.j

j jcos

При | |u << 1 это условие совпадает с (3).Вследствие вращения тела фиксированный канал (a b, ) перено-

сится в пространстве. Это вызывает изменения массовых сил, дейст-вующих на элемент среды, расположенной в канале. Указанныесилы нетрудно определить.

Прежде всего о силах самогравитации. В уравнениях самограви-тация представлена компонентом силы g 1. Примем для g 1 прежнеевыражение:

g r10= -

g

R. (4)

В действительности, гравитационный потенциал зависит отформы, которую принимает тело в процессе деформирования. Пред-ставление (4) означает, что изменение не учитывается. Здесь потен-циал берется для тела в форме шара, плотность которого с глубинойне меняется.

По-видимому, эти упрощения вполне оправданны, однако нессылками на то, что указанные эффекты пренебрежимо малы(при большом искажении формы это не так), а общей точностьюрассуждений, принятой в построенной модели. Если в начальныхпосылках заложены весьма грубые гипотезы, то нет смысла учиты-вать более тонкие эффекты в дальнейших построениях. Хотя следу-ет отметить, что учет неоднородности по глубине в рамках пред-ложенной и по существу одномерной модели никаких трудностейне представляет. Учет изменения потенциала сложнее, но такжевозможен.

Подсчитаем теперь интенсивность центробежной силы. Опытрешения плоской задачи показал, что роль вращения тела неодно-значна: с одной стороны, динамическое проявление вращения иг-рает дестабилизирующую роль, с другой — чисто кинематическоеего проявление может приводить к стабилизации. Поэтому удобнов динамических членах скорость вращения снабдить индексом «¶»,а в кинематических — индексом «k». Интенсивность центробежнойсилы равна rw j¶

2 cos . Проекция ее на ось равна

g rw j22 2= ¶ cos .

163


Займемся теперь подсчетом приливной составляющей объемнойсилы. Для трехмерного тела компоненты приливной силы пропор-циональны декартовым координатам точки:

{ , , }G G G1x y z2 3 .

Единичный вектор вдоль оси канала равен

{ , , }/ ,x y z r r x y z= + +2 2 2.

Отсюда проекция приливной силы на ось канала равна

( )G G G12

22

32x y z r+ + / .

Следовательно,

( )g 3 12

22

32 2= + +G G Gx y z r/ , (5)

где (см. гл. 1) G G G G G G1 2 32= = - = -, , , (6)

где Г — известная величина, зависящая от возмущающей массы.Предположим теперь, что тело вращается с известной и посто-

янной угловой скоростью wk . Это означает, что задачи о приливномдеформировании тела и о вековом замедлении его вращения можносчитать не связанными между собой. Тогда для канала (a b, ) имеетместо следующий весьма простой закон его переноса в пространстве:

J = + =a w j bk t, . (7)

2. Замкнутая система уравнений. Обратимся к уравнению (2). Вовтором слагаемом стоит коэффициент g, который состоит из трехчастей: g g g1 2 3, , . Величина g 1 равна весу слоя между деформирован-ной и недеформированной поверхностями тела, g g2 3, — поправкивеса на центробежную и приливную составляющие. Уравнение ус-ложняется за счет последней поправки, так как она зависит отвремени. Ею вполне можно пренебречь (как и в плоской задаче).

Таким образом, задача сводится к следующей: требуется найтифункцию u t( , , )a b , которая удовлетворяет уравнению

( �� ) ( ) ( ) ( )r m g g g g g su u R Ru tR

+ - + = + + -1 2

2

1 2 30

2, (8)

где

g r g rw j g j j10

22 2

322 2= - = = + × + J¶

g

Rk f h; ;cos cos cos cos ; (9)

J = + = = + + = + - = -a w j bk t k f; ; ; ;4 2 4 21 2 3 1 2 3 1 2G G G G G G G G2h.

164


Последние выражения получены подстановкой (1) в (5). Функцияu t( , , )a b должна удовлетворять следующим начальным условиям:

u u u v( , , ) ( , ), � ( , , ) ( , )a b a b a b a b0 00 0= = ,

а также условию сохранения объема всего тела

u t d d( , , ) , ;,

a b j a b a p bp p

a b

cos = £ < - £ £òò 0 0 22 2

. (10)

Именно в этом условии содержится информация о том, что рассмат-ривается динамика трехмерного тела, а не отдельного канала.

3. Стационарные решения. Будем искать решение уравнения вследующем:

u t u tk( , , ) ( , )a b a w j= + . (11)

Производную по первому аргументу обозначим штрихом. Тогда,переходя в уравнении (8) к безмерным переменным

~ , ~ ; ~ ;

, ~ ; ~

u

k k f f

u

R R

g

R

= = =

= = =

m s

l

m

rw

s

rw

w rw rw

00

2 2

02 2 2

1 1, ~ ;h h=

12rw

(12)

получим:

¢¢+ ¢ + - =

=- + - + + + +

u u u

k f h

m l x j

s l x j j

( )

(

cos

cos cos co

2

0 21

22 s cos2 2j J),

(13)

где l x w ww

= = ¶

g

R kk

02 , / .

Знаки «тильда» везде опущены. Решение уравнения (13) имеет вид

uf k

= + J -- + + + -

-

l x j j s

l x jk

cos cos

cosAcos

2 0

2

2 2

22

( )( ), (14)

где Ah

= =- - + - -

cos

cos costg

2

2 2 2 22 4 4

2

4

j

l j m

m

l x jk

( ), . (15)

Решение (14), (15) показывает, что сечения тела различными ко-ническими поверхностями j = const имеют различные вязкие запаз-дывания по фазе. Это создает дополнительное искажение формытела в виде скручивания вокруг оси вращения. Причем происхожде-

165


ние этого эффекта связано только с центробежной силой, действую-щей на слой материала, заключенный между деформированной инедеформированной поверхностями тела (слагаемое x jcos2 в левойчасти уравнения (13)).

Рассмотрим подробнее случай, когда указанным эффектом мож-но пренебречь. Для этого необходимо исключить динамическуюроль вращения для слоя, расположенного между деформированнойи недеформированной поверхностями. Это значит, что в левой частиуравнения (13) можно положить x= 0, а в правой части x= 1. (Основ-ной вклад центробежных сил по-прежнему учитывается.) В результа-те придем к следующему решению:

uh f k

= J- + +- +

+ - - +coscos cos

2

2 2

0

2 4 4

0 5

2

22 2

j

l m l

s lk j

( )

,( )

0 5

2

,,

l(16)

где tgkm

l=

-

2

4.

Это решение определяет стационарную форму тела:

r u= + J1 0( , , )j s . (17)

Уравнению (17) удобно придать следующую форму:

~ /r r m n= M= + +1 2 22cos cos cosj q j, (18)

где

q ks l

l s l

l

s

=J - M= =

=

- + + +

- + +

-

22 0 5

2

0 5

2 0 5

2

0

0

0

;, ,

,,

k f

k

k

n

m

,

+ + - +×

l l m0 5 4 42 2, ( ).

h(19)

4. Исследование равновесных форм поверхности тела. Уравнение,которое описывает форму тела, представлено в замкнутом и весьмапростом виде. Его исследование никаких трудностей не представ-ляет. Прежде всего запишем это уравнение в различных видах:

~ ( ) ( ) ,

~

r n n m m

rm

= - + - +

= +æ

èç

ö

1 2 2

1 2

2 2 2

2

cos cos cos

cos

j j q

qø÷ + +

æ

èç

ö

ø÷

= + +

n

r n m

m

22 2

1 2 22

cos cos

cos cos cos

q j

j j q

,

~ ( ) .

(20)

Параметры m и n будем рассматривать как параметры нагружения.В исходном состоянии m n= =0 0, и тело имеет форму шара. Увели-

166


чивая mи n, мы видим, как меняетсяформа тела с увеличением центро-бежных и приливных сил. По смыс-лу задачи величина ~r должна бытьвсегда положительной. Это условиенакладывает ограничение на об-ласть определения m n, . Она легконаходится из (18) и на рис. 18.2 обо-значена как 0АВС. Форма тела (вкоординатах (~,r q)) от постояннойМ не зависит, поэтому вначале за-давались параметры m n, и затем оп-ределялся масштаб М из условиясохранения объема всего тела:

M cos3 3 4~,

r d dj j pj

J =Jòò .

Из решения (19) видно, что отноше-ние n m/ от величин M, s0 не зависит:

n

m

f

h= -

æ

èç

ö

ø÷ +

+ 0 5 41 4

2 2

2

,

l

m

l.

Равенства (20) показывают, что случай n m/ ,= 05 является в оп-ределенном отношении особым (см. рис. 18.2, прямая 0В). Пустьm n= 2 и, следовательно,

~r mm

= - +1 22

2 2cos cosj q. (21)

Возьмем сечение поверхности тела плоскостью x x= =0 const.Если обратиться к формулам (1), нетрудно заметить, что для сеченияx x= 0, r = const. Следовательно, в сечении получаем круг и, следо-вательно, тело имеет осесимметричную форму с осью симметрии,совпадающей с осью 0x. При m= 0 тело имеет форму шара. Затемс увеличением приливных сил тело постепенно вытягивается в на-правлении к возмущающей массе. При малых m — форма тела яв-ляется выпуклой (сфероид). Затем у полюсов происходит уплощениеи с дальнейшим увеличением сил образуется перемычка. В самомузком месте перемычка имеет радиус

~rm

= -12.

167


Рис. 18.2.

168


Рис. 18.3.

При m n= =2 1, перемычка вырождается в точку и происходит рас-пад тела на два сфероида (рис. 18.3, а–в: n m= =0 1 0 25 1 0 2, ; , ; , , ;0 5 2, ; ).

Другой крайний случай реализуется при m= 0. Из равенств (20)видно, что в этом случае зависимость от угла q исчезает:

~r = +1 2cos j,

поэтому ось вращения тела становится также и осью его симметрии.Этот случай реализуется, когда величиной m в (20) на фоне другихслагаемых можно пренебречь. В частности, когда центробежныесилы становятся преобладающими. Здесь критическое состояниереализуется при n= 1. При этом тело приобретает торообразнуюформу (южный и северный полюса соприкоснулись между собой)(рис. 18.4, а–в: n m= =0 25 05 1 0, ; , ; ; ).

Значение n= 1 является особым и для других значений m. Приn= 1 имеем (см. рис. 18.2, граница АВ):

( )~rm

= +æ

èç

ö

ø÷ +1 2 1 2

2cos cosq j .

Видно, что при любом m, если j p® ± /2, то и r ® 0. Причем это име-ет место для всех сечений тела плоскостями q= const (рис. 18.5:n m= =1 05; , ).

Рассмотрим теперь границу области СВ (см. рис. 18.2). Здесьm n= + 1 и

~ ( ) ( )r n n= - + +1 2 12 2sin cosj q.

Видно, что при всех значениях n всегда есть точка касания, если

j qp

= =02

, . Остался последний участок границы — 0С. На этом

участке n m= £ £0 0 1, и ~r m= +1 22cos cosj q.

Итак, это были рассмотрены конфигурации пограничных (или вкаком-то смысле особых) фигур тела. Все остальные сочетания пара-метров (m n, ) дают уже типичные случаи.

18.2. Ось вращения тела наклоненак плоскости его орбиты

1. Замкнутая система уравнений. Приливные силы задают одноизбранное направление в пространстве, ось вращения тела задаетдругое направление. Выше рассмотрен вариант, когда эти направле-ния были ортогональны между собой. Перейдем теперь к общему

169


170


Рис. 18.4.

случаю, когда системы координат 0xyz и 0x y z¢ ¢ ¢между собой не сов-падают (см. рис. 18.1):

x x z

y y

z x z

= ¢ - ¢

= ¢

= ¢ + ¢

cos sin

sin cos

Y Y

Y Y

,

,

,

x r

y r

z r

¢= ¢ J¢

¢= ¢ J¢

¢= ¢

cos cos

cos sin

sin

j

j

j

,

,

.

(22)

Уравнение движения материала вдоль канала остается без изме-нений. Вся проблема состоит в том, чтобы описать закон измененияобъемных сил. Выражение для силы самогравитации от направленияоси вращения тела не зависит и поэтому остается прежним. Центро-бежная сила также не меняется.

Далее о приливной составляющей. Эта составляющая зависиттолько от положения материального канала относительно возму-щающей массы. Поэтому выражение (5) остается без изменений.В рассматриваемом случае вращение происходит вокруг оси 0z ¢,поэтому будут выполняться равенства:

g g g g

g r g rw j g

= + +

= - = = + +¶

1 2 3

10

22 2

3 2 12

221

,

, , (g

R rx ycos G G G3

2z ).(23)

Подставляя (22) в (23), после элементарных преобразований полу-чим:

g j j j322 2 2= ¢+ ¢ + ¢ J - Jk f h Gcos cos cos sin cos , (24)

где4 2

2 2 3

1 2 3 1 32

1 2 3 1 3

k

f

¢= + + + -

¢= + - - -

G G G G G Y

G G G G G

( ) ,

( )

sin

sin

sin

sin

2

1 2 1 32

1 32

4

4

Y

G G G G Y

G G Y

,

( ) ,

( ) .

h

G

¢= - - -

= -

(25)

171


Рис. 18.5.

Таким образом, задача свелась к определению функции u t( , , )a b .Параметры a b, являются лангражевыми координатами канала. Ониимеют следующий смысл:

J = + =a w j bk t, , (26)

где J, j — эйлеровые координаты. Уравнение движения, естествен-но, имеет прежний вид:

( �� ) ( ) ( ) ( )r m g g g g g su u R Ru tR

+ - + = × + + -1 2

2

1 2 30

2, (27)

где g g1 2, определяются равенствами (22), а g 3 — равенствами (24),(25), в которых J, j необходимо заменить выражениями (26). Кромеэтого, должны выполняться условия несжимаемости:

u t d d( , , ) , ;,

a b j a b a p bp p

a b

cos = £ £ - £ £òò 0 0 22 2

,

а также начальные условия или условия периодичности (склейки)для стационарных решений.

2. Стационарные решения. Будем искать решения в следующемвиде:

u t u t uk( , , ) ( , ) ( , )a b a w b j= + = J . (28)

Производную по аргументу J обозначим штрихом. Перейдемк безразмерным переменным (12). Тогда задача (27), (28) сведетсяк решению следующего уравнения:

[¢¢ + ¢ + - = - + - + + ¢+

+ ¢ + ¢

u u u k

f h

m l x j s l x j

j

( )cos cos

cos

2 0 21

2

2 ]cos cos sin cos2 2 2j jJ - JG ,

(29)

где, как и прежде,

l xw

w

w= = ¶g

R k k

02 , .

Безразмерные постоянные k f h G¢ ¢ ¢, , , равны правым частям выра-жений (25), отнесенным к rwk

2 , напряжение отнесено к r wR k2 2 , сме-

щение — к R. Величина J является безразмерной и одновременноиграет роль полярного угла и времени.

Для стационарного решения начальные условия фактически за-меняются следующими условиями склейки:

u o u

u o u

( , ) ( , ),

( , ) ( , ).

j p j

j p j

º¢ º ¢

2

2

172


Уравнение (29) является линейным. Его решение никаких трудно-стей не представляет [267, 268]:

uk f

h

= +

+

- + + ¢+ ¢ -

-

¢

-

l x j j s

l x j

j

l

cos cos

cos

cos

2 0

2

2

2 2

2

2

( )

( x j m

j

l x j m

kcos

sin

cos

cos

co

2 2 2

2 2 2

4 4

2

2 1

2- +

- - +

J - -

-

)

( )

( )

Gs( ),J - d

(30)

где

tg tgcos cos

k dm

l x j

m

l x j= = -

- - - -

2

4 12 2, .

Полученное решение позволяет выявить роль наклона оси вращениятела к плоскости его орбиты. В решении фигурируют четыре пара-метра, каждый из которых зависит от угла Y— угла наклона оси вра-щения тела. Вспомним, что для приливных сил G G G G G1 2 32= = = -,и рассмотрим подробнее именно этот случай. Из (25) следует, что

4 1 3

4 3 1 3

2 3 1 3

2

2

2

k

f

h

¢= - -

¢= -

¢= -

G Y

G Y

G Y

( ),

( ),

( )

sin

sin

sin ,

.4 3 22G = G Ysin

Отсюда видно, что случай Y = 90° является особым. ЗначениюY = 90° соответствует тело, ось вращения которого направлена стро-го к возмущающей массе. В этом случае h G¢= =0 0, и решение отугла J становится независимым. Тело под действием приливных,гравитационных и центробежных сил приобретает определеннуюосесимметричную форму. Причем в процессе вращения форма пере-ходит сама в себя, так что деформации тела не происходит. Теловращается как жесткое целое.

Можно также отметить случай, когда sin / ,2 13Y = Y = 35,3° и

k f¢= ¢= 0. Здесь решение упрощается, но принципиально от общегослучая оно, однако, ничем не отличается.

Качественно новые черты, связанные с неортогональностьюоси, дает только последнее слагаемое в (30). Во-первых, его появле-ние связано исключительно с неортогональностью оси вращения:при Y = 0, постоянная G также равна нулю. Во-вторых, только это

173


слагаемое нечетно по углуJ. Все остальные слагаемые в (30) являют-ся четными. Следовательно, материальные элементы тела с коорди-натами (J, j) и (J -, j) на приливные силы реагируют по-разному.Это приводит к несимметрии Северного и Южного полушарий.В-третьих, только в этом слагаемом содержится гармоника с перио-дом по j равным 2p. (В остальных слагаемых период равен p.) Этозначит, что при замене j на ( )j p+ знак слагаемого также меняется,поэтому появляется вклад в несимметрию формы и по отношению кплоскостям, проходящим через ось вращения тела. Очевидно также,что при одновременной замене j на ( )-j и J на ( )J + p слагаемое неменяется. Ранее при записи динамического уравнения угол наклонаY предполагался постоянным. В действительности этот угол менял-ся, причем весьма сложным образом, поэтому запись (27) означаеттолько, что производными �Y по сравнению с величиной wk можновезде пренебречь. Отметим, однако, что это ограничение непринци-пиально. Рассматриваемая модель настолько проста (фактически,это одномерная модель), что учет многих факторов такого типа кбольшим трудностям не приводит.

Наличие вязкости приведет к тому, что форма тела к изменениюугла Y будет приспосабливаться не мгновенно. В случае необходи-мости в рамках рассмотренной модели все запаздывания по измене-нию угла Y также можно рассчитать. Точно так же можно учесть идвижение полюсов относительно поверхности Земли.

174


Прежде всего отметим, что приливные деформации тесно свя-заны с аффинными преобразованиями сплошной среды (см. § 4).Если принять, что небесное тело является однородным, то аффин-ные преобразования определенного типа можно рассматривать какпервые приближения для описания приливных деформаций. Ничтоне мешает рассмотреть данную связь в обращенном виде. Тогда мыприходим к выводу, что приливные деформации (как они реализу-ются в описанных моделях) это есть не что иное, как первое прибли-жение аффинных деформаций. С теоретической точки зрения аф-финная деформация является более простой, чем приливная.

Но, с другой стороны, если говорить о трудностях эксперимен-тальной реализации, то ситуация становится обратной: реализацияприливной деформации гораздо проще, чем аффинной. Например, вплоской модели в первом случае на границе эллиптической областинеобходимо задавать постоянный по величине вектор скорости (на-правленный вдоль границы). Во втором случае вектор скорости дол-жен меняться по закону Кеплера. Таким образом, все эксперименты,которые были поставлены с целью имитирования приливов, теперьможно рассматривать как эксперименты, приближенно реализую-щие аффинную деформацию. Поэтому все течения можно рассмат-ривать как визкозиметрические, а их результаты использовать дляпостроения определяющих уравнений сложных сред. Ясно, что вэтом случае программы нагружения должны быть значительно рас-ширены (например, включены циклические нагружения). Крометого, должны проводиться измерения напряжений внутри образцаи т. д. Но главным является то обстоятельство, что можно использо-вать те же способы напряжения и стенды, которые создавались длямоделирования приливов [44, 46–48, 50, 51].

Как отмечалось, приливная деформация дает пример сложногонагружения с непрерывным поворотом осей тензоров напряженийи деформаций.

175

Г л а в а

§ 19. Визкозиметрические течения.Исследование реологических свойств сложных сред

Приложение результатовв смежных областях механики

Рассмотрим еще две схемыреализации подобных нагруже-ний, по-видимому, наиболеепростые и удобные для лабора-торных исследований [48, 50].Первая из них показана нарис. 19.1. Гибкая цилиндриче-ская оболочка (капсула) запол-няется испытуемым материаломи помещается на наклонную плоскость. Под действием силы тяже-сти капсула смещается вниз, перекатываясь подобно гусенице трак-тора. При этом форма ее все время переходит сама в себя, т. е. ос-тается неизменной. Вектор граничной скорости всегда направленстрого вдоль границы, и величина его постоянна (так как оболочкав процессе скатывания дополнительно не растягивается). Из общихсоображений ясно, что за счет искажения формы капсулы течениебудет более неоднородным, чем описанное в § 10. Однако в целомоно является течением того же класса, что и эллиптические течения.Степень неоднородности течения можно рассчитать и при интерпре-тации учесть необходимые поправки.

Преимуществом схемы являются ее исключительная простота,точные данные о действующих силах (без силовых измерений) и вы-сокая точность измерения скорости деформаций, если они незначи-тельны. (Чем медленнее капсула скатывается вниз, тем точнее изме-ряется ее скорость.) Недостаток также очевиден — рассмотреннаяметодика применима либо к вязким и сложным реологическим жид-костям, либо к пластическим телам с низким пределом пластично-сти. Для расширения диапазона можно использовать схему нагруже-ния, указанную в [3]. Интересно отметить, что схема испытанийрис. 19.1 была также предложена в работе [269].

Рассмотренный тип нагружения можно отнести к мягкому: за-даются напряжения (угол ската) и меряются скорости деформаций.В схеме, показанной на рис. 19.2, напротив: задаются скорости и из-меряются напряжения. Здесь капсула с материалом помещается навнутреннюю поверхность барабана, которому придается вращение

176

Гл. 5. Приложение результатов в смежных областях механики

Рис. 19.1.

Рис. 19.2.

с постоянной угловой скоростью. Вследствие этого капсула переме-щается в положение, при котором скорость ее скатывания становит-ся равной заданной скорости вращения барабана. Измеряя уголската, можно вычислить все напряжения.

Необходимо отметить большую наглядность всех опытов. На-пример, если свойства материала меняются во времени, то хорошовидно, как при постоянной скорости вращения барабана устойчивоеи «стационарное» положение капсулы постепенно смещается книзу(опыты с тестом). Рассмотренные схемы удобны также для исследо-вания вибровязких свойств сыпучих сред.

Отметим одно обстоятельство общего характера. Пусть в безгра-ничном пространстве задано некоторое однородное течение сплош-ной среды. Формально это означает, что задано некоторое поле ско-ростей, линейное по координатам. Если вместо исходных координатвзять теперь другую систему (возможно, вращающуюся относитель-но исходной), то получается некоторое альтернативное описаниетого же самого течения. Хотя полученное течение и совпадает с ис-ходным (при квазистатическом нагружении), тем не менее внешнеоно может выглядеть совершенно по-другому. В гл. 3 это обстоятель-ство использовалось для того, чтобы дать различные интерпретацииодного и того же процесса деформирования. Это обстоятельствоможно использовать и для поиска новых технических решений.

В качестве примера можно привести [46, 51], где описаны дваустройства для реализации одного и того же течения. Не останавли-ваясь на технических деталях, отметим работы [44, 47], в которыхописаны устройства для реализации течений эллиптического вида.

§ 20. Псевдовязкость сыпучих среди задачи обогащения полезных ископаемых

Вначале рассмотрим одно свойство сыпучих сред, связанноес внешним сухим трением между ее частицами.

1. Основной закон, который управляет поведением сыпучихсред, — это закон сухого трения Кулона — Амантона. Согласно это-му закону, два соприкасающихся тела начинают скользить друг подругу, когда касательное усилие T достигает определенной доли отнормального усилия Р:

T f P= × . (1)

Здесь f — коэффициент внешнего трения, который зависит только отсвойств поверхности контакта и не зависит ни от величины сжатияР, ни от площади контакта и скорости сдвига. Несмотря на привыч-

177

§ 20. Псевдовязкость сыпучих сред и задачи обогащения полезных ископаемых

ность и внешнюю простоту, соот-ношение (1) содержит в себе однонеожиданное, на первый взгляд,следствие. Оказывается, что сухоетрение в определенном смысле мо-жет проявляться в принципиальнодругом режиме, а именно, как тре-ние вязкое. Это проще всего про-

иллюстрировать на следующем примере. Пусть на жесткой горизон-тальной поверхности покоится тело весом Р (рис. 20.1, вид сверху).Приложим к телу в направлении 0z сдвигающую силу t. Будем счи-тать, что эта сила мала, так что порог трения она не преодолеваети поэтому тело остается неподвижным. Затем приложим в направле-нии 0х силу F, которую будем увеличивать монотонно от нуля. В ка-кой-то момент времени порог трения будет преодолен и тело начнетскользить по горизонтальной поверхности. Легко видеть, что сколь-жение будет происходить не в направлении 0х, а в направлении 0А,причем

F f PP f z

2 2+ = × = =×

t a u u at

, , .sin sin (2)

Здесь u — скорость тела, uz — составляющая скорости в направле-нии 0z. Из равенств (2) следует, что

u tu

z Pf= . (3)

Последнее равенство показывает, что скорость тела в направле-нии 0z пропорциональна силе t, действующей в этом же направле-нии. Иными словами, закон трения проявляется как вязкий (точнее,псевдовязкий). Это свойство хорошо известно и используется в рядеустройств [270].

Внутреннее трение сыпучих материалов является следствиемвнешнего трения частиц, из которых сложены эти материалы. По-этому можно ожидать, что при определенных условиях эффекты, по-добные (3), будут наблюдаться и для сыпучих сред. Какими должныбыть эти условия? Из равенств (2), (3) прежде всего ясно, что псев-довязкость может обнаружить себя только на фоне сил, которые пре-одолели порог сухого трения. Поэтому необходимо реализовать та-кое деформирование сыпучей среды, которое обеспечит относитель-ные проскальзывания между ее частицами. Причем для получениязаметного эффекта необходимо задать достаточно большую величи-

178


Рис. 20.1.

ну относительного скольжения. Действительно, если в (3) от скоро-стей перейти к смещениям, то, очевидно, получим

uz

u

Pf= t, (4)

где и — величина относительного скольжения; иz — составляющаяскольжения в направлении действия t. В равенстве (3) выражениеu/P × f играет роль коэффициента вязкости. При этом главным явля-ется то обстоятельство, что равенства (3), (4) не содержат никакогопорога: какой бы малой ни была сила t, перемещение в направлениидействия этой силы все равно будет реализовано. Для увеличениякомпоненты иz необходимо, чтобы одна из величин t или u/P × f быладостаточно большой. Практически возможности в управлении вели-чинами t и P × f весьма ограниченны, поэтому остается только одинпуть — увеличение относительного скольжения u.

Наиболее интенсивное скольжение происходит на поверхностяхлокализации сдвигов. Если они расположены вертикально, то меха-низм псевдовязкости приведет к погружению тяжелых частиц ивсплытию легких в зоне локализации. В естественных условиях ониимеют значение для переноса масс в зонах разломов земной коры.

Представляет интерес также случай, когда эффекты псевдовяз-кости проявляются во всем объеме сыпучего материала. Равенство(4) показывает, что в этом случае необходимо реализовать значи-тельные относительные сдвиги во всем объеме. С этой точки зренияболее удобным является сложное нагружение с непрерывным пово-ротом осей тензора деформаций.

2. Итак, в режиме псевдовязкого деформирования в сыпучейсреде проявляется закон, подобный закону Архимеда в обычной вяз-кой жидкости. Это обстоятельство можно использовать для разделе-ния сыпучих сред по удельному весу частиц, т. е. для решения задачиобогащения.

Представляет интерес случай, когда тяжелая частица имеет разме-ры, гораздо меньшие, чем частицы, из которых состоит внешняя сре-да, например, размеры, достаточные для проникания частицы черезтрехмерный лабиринт порового пространства. В этом случае псевдо-вязкое течение также обеспечивает обогащение. Практически важ-ным является также то обстоятельство, что основной эффект сохраня-ется и в случае, когда поровое среды пространство заполнено водой.

Для реализации процесса возможны самые различные техниче-ские решения. Некоторые примеры технических решений рассмот-рены в [41, 43].

179

§ 20. Псевдовязкость сыпучих сред и задачи обогащения полезных ископаемых

§ 21. Приложения эффектов сложного нагружениядля обработки неупругих материалов

1. Способ создания (уплотнения) однородных плотных упаковокчастиц порошковых материалов.

В некоторых технологических процессах возникает проблемасоздания однородных плотных упаковок частиц порошковых мате-риалов. Причем эти упаковки должны иметь минимальное число де-фектов, особенно крупных (арок, дислокаций, вакансий). Идеаль-ным был бы способ формирования упаковки по одной частице,когда очередная частица непосредственно укладывается в нужноеместо упаковки. Однако технически этот способ нереален, поэтомунеобходимо ставить задачу по-другому. А именно, пусть уже задананекоторая упаковка частиц, которая получена произвольным обра-зом (например, путем засыпки материала струей или дождем). Приэтом исходная упаковка частиц будет неоднородной, как правило,рыхлой и, главное, будет содержать множество дефектов. Причембольшая часть этих дефектов — довольно устойчива к внешнему об-жатию. Теперь задача сводится к тому, чтобы улучшить качество ис-ходной упаковки.

Обычно для уплотнения используется вибрация. Этот способимеет ряд недостатков. Вибрация приводит к сегрегации, а при боль-шой интенсивности и к вихревым течениям, а значит, и к неод-нородности упаковки. Кроме того, вибрация требует большоговремени.

Рассмотренные выше способы нагружения приводят к деформи-рованию всего объема материала, причем к деформированию квази-статическому и близкому к однородному. Вследствие свойства псев-довязкости (§ 20) дефекты разрушаются и упаковка переходит вплотное состояние с меньшим числом дефектов [271, 272].

2. Реализация больших пластических деформаций. Обратимся кэффекту направленного переноса. На рис. 21.1 изображены картиныдеформирования области, близкой к кругу. В начальном положенииполовина области закрашена в черный цвет, другая половина — вбелый.

Видно, что длина границы раздела неограниченно увеличивает-ся. При этом внешняя деформация области имеет порядок 1-b/a,т. е. мала (a, б как и прежде полуоси эллипса), однако за счет эффек-та накопления внутренних деформаций может быть сколь угоднобольшой. Это свойство можно использовать для реализации различ-ных процессов обработки материалов давлением [273].

180


3. Композиционные материалы. Осуществим теперь сложное на-гружение образца, составленного из различных материалов. Тогда,подбирая различные исходные сочетания компонентов одинаковойплотности, можно получить различные композиционные материалы(рис. 21.2) [42].

4. Операция усреднения. Эффект направленного переноса приво-дит к смещению материалов или их усреднению (в условиях отсутст-

181

§ 21. Приложения эффектов сложного нагружения для обработки неупругих материалов

Рис. 21.1. Рис. 21.2.

вия переноса массы по радиусу). Нетрудно определить параметрыпроцесса, которые обеспечивают одинаковое содержание компонентразных типов в любом наперед заданном объеме пробы [45].

Возможны и некоторые другие приложения [49].

§ 22. Задача о формировании шарапод действием сил поверхностного натяжения

Приливные деформации приводят к преобразованию тела изэллипсоида (в первом приближении) в эллипсоид с теми же осями,но повернутыми относительно тела на определенный угол. Прибли-женно данное преобразование можно считать аффинным. Данныйподход можно применить к решению еще одной задачи, возникаю-щей в некоторых технологических процессах получения гранулиро-ванных материалов.

Согласно классическому опыту Плато, жидкость в свободномсостоянии принимает форму шара. Это свойство используется приизготовлении ряда гранулированных материалов. Здесь возникаетзадача анализа эволюции изолированного объема жидкости под дей-ствием сил поверхностного натяжения. Представляет интерес полу-чение количественных оценок как для линейно-вязких, так и длясред с более сложной реологией. В строгой постановке задача явля-ется весьма трудной в силу нелинейности, а также в связи с ее трех-мерностью и необходимостью анализа инерционных эффектов.С учетом неизбежной приближенности «строгой» постановки дляописания реальной ситуации представляется необходимым поискидеализации, которая позволила бы учесть основные черты реально-го процесса и преодолеть трудности «строгой» постановки.

Пусть в исходном состоянии объем имеет форму эллипсоида.При подходящих внешних условиях под действием сил поверхност-ного натяжения объем через определенное время приобретает фор-му шара. Таким образом, результирующее преобразование являетсяаффинным. С достаточной степенью точности можно предполо-жить, что и в промежуточные моменты времени объем имеет формуэллипсоида, т. е. в своей эволюции он проходит через последова-тельность эллипсоидов. Следовательно, задача сводится к исследо-ванию однородного течения с учетом сил инерции и, возможно,сложной реологии среды. Как отмечалось, течение происходит поддействием сил поверхностного натяжения. В реальных условияхпроцесс осуществляется в присутствии внешней среды (это позво-ляет приблизиться к условиям невесомости), поэтому энергия

182


поверхностного натяжения тратится также на вовлечение в движе-ние внешней среды. Решение задачи в рамках указанной поста-новки изложено в работах [12–15].

§ 23. Модели пластичности и рулонированные оболочки

Вернемся к рис. 9.7 (см. с. 119). На нем четко видны два семейст-ва линий скольжения, которые близки к логарифмическим спира-лям. В эксперименте непосредственно можно наблюдать механизмдеформирования сыпучего материала в данных условиях.

Полученные результаты позволяют яснее понять механизм пла-стической деформации вообще. Классические теории пластичностидают два семейства линий скольжения. Главным является то, что обасемейства совершенно равноправны; на них действуют одинаковыекасательные напряжения, реализуются одинаковые сдвиги и т. д.При этом линии между собой пересекаются, образуя сетку. Труднопредставить себе одновременное функционирование пересекающих-ся линий.

В поставленном эксперименте получены прямые и непосредст-венные данные о механизме скольжения — линии скольжения изразных семейств функционируют попеременно. Для металлов по-добный механизм функционирования получил название турбулент-ного пластического течения [274].

Глядя на картины деформирования на рис. 9.7, нельзя не заме-тить их поразительное сходство с линиями скольжения, которые по-лучаются при решении задачи о распределении напряжений вокругцилиндрической выработки методами теории предельных состоя-ний. Это сходство показывает адекватность моделирования горныхпород сыпучими материалами и позволяет надеяться на полезностьтакого моделирования для разработки расчетных схем о деформиро-вании подземных выработок с учетом структуры горного массива.

Наличие структуры приводит к необходимости учитывать в ма-тематических моделях пластичности внутренние переменные, и в ча-стности, внутреннее микровращение. Именно микровращениепозволяет описать несимметричность функционирования линийскольжения из различных семейств. В предельном случае одно из се-мейств линий может вообще не функционировать, так что все сдвигибудут сосредоточены только на втором семействе.

Последний режим представляет интерес для описания деформи-рования рулонированных оболочек. Данная идея возникла из сле-дующих соображений. Обратимся к классическому решению задачиЛаме для толстостенной цилиндрической трубы. В силу осевой сим-

183


метрии задачи касательные напряжения отсутствуют: srq = 0 (r, q —полярные координаты). Но это означает, что если в трубе сделатьпроизвольное число разрезов по окружностям r = const, то на работеконструкции эти разрезы никак не отразятся. Следовательно, все се-чение трубы можно представить набранным из тонких отдельныхколец, вплотную вставленных друг в друга; кольца работают так, чтоусловия на контактах между ними на работе всей конструкции несказываются. Как известно, в такой схеме материал нагружен весьманеравномерно, причем если внешний радиус трубы превосходитвнутренний более чем в 3–4 раза, то дальнейшее увеличение толщи-ны трубы на переход внутренней области в пластическое состояние

184


Рис. 23.1.

(разрушение) практически не влияет. Поэтому, естественно, возни-кает идея: нельзя ли работу упругих колец организовать таким обра-зом, чтобы между ними мобилизовались силы внешнего трения,которые внесли бы свой вклад в «противостояние» внутреннему дав-лению.

Разрежем кольца по некоторому радиусу и склеим их со сдвигомв один шаг (рис. 23.1, а, б). Полученная конструкция отличается отпредыдущей принципиально. Можно сказать, что за счет проскаль-зывания слоев удается включить в работу материал, удаленный отвнутренней границы и, следовательно, приложенную нагрузку рас-пределить более равномерно, увеличив тем самым несущую способ-ность конструкции. На рис. 23.1 показана модель подобной конст-рукции. Модель представляет собой рулон фотопленки, которая поддействием внутренних усилий постепенно раскручивается. Четко ви-ден эффект дифференциального вращения, связанный с относитель-ным скольжением ее слоев.

Таким образом, здесь видна аналогия с дифференциальным вра-щением, которое возникает в небесном теле под действием прилив-ных сил.

Для описания деформирования рулонированных оболочек мож-но использовать модели пластичности, описанные в [3, 275]. За счетвыбора условий трения на контакте можно добиться значительногоувеличения несущей способности подобной конструкции. Эти во-просы изложены в [3, 276, 277].

185


1. Revuzhenko-af.narod.ru2. Бобряков А.П., Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. О возможном механизме пе-

ремещения масс Земли // Докл. АН СССР. — 1983. — Т. 272, № 5. —С. 1097–1099.

3. Ревуженко А.Ф. Механика упруго-пластических сред и нестандартный ана-лиз. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 2000. — 428 с.

4. Ревуженко А.Ф. Механика сыпучей среды. — Новосибирск: ЗАО ИПП«ОФСЕТ», 2003. — 373 с.

5. Revuzhenko A.Ph. Mechanics of Granular. — Berlin; Heidelberg: Media Springer-Verlag, 2006. — 308 p.

6. Revuzhenko A. Experimental Detection of constitutive behaviour and self-organization // Modern Approaches to Plasticity / ed. D. Kolymbas. — Amsterdam;L.; N. Y.; Tokyo: Elsevier, 1993. — P. 727–735.

7. Ревуженко А.Ф. О приливном механизме переноса масс // Изв. АН СССР.Физика Земли. — 1991. — № 6. — С. 13–20.

8. Бобряков А.П., Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. Приливное деформированиепланет: опыт экспериментального моделирования // Геотектоника. — 1991. —№ 6. — С. 21–34.

9. Lavrikov S.V., Revuzhenko A.Ph. Complex loading of heterogeneous materials withredistribution of internal mass // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. —1998. — Vol. 29. — P. 85–91.

10. Бушманова О.П., Ревуженко А.Ф. Об эффекте направленного переноса масспри сложном нагружении // Вычислительные технологии. — 1999. — Т. 4,№ 3. — С. 36–41.

11. Григорьев Ю.М., Ревуженко А.Ф. Пространственная задача о переносе массприливными волнами // Препринт № 8. — НГУ, 1999.

12. Ревуженко А.Ф. Образование шара из свободного объема неньютоновскойкапиллярной жидкости // Докл. АН СССР. — 1987. — Т. 295, № 5. —С. 1070–1073.

13. Димов А.И., Ревуженко А.Ф. Образование шара из свободного объема жидко-сти под действием сил поверхностного натяжения // Изв. СО АН СССР. Тех-нические науки. — 1989. — Вып. 6. — С. 66–71.

14. Басманова Т.Ф., Ревуженко А.Ф. Влияние внешней среды на образованиешара из объема капиллярной жидкости // Сиб. физ.-техн. журн. — 1991. —Вып. 3. — С. 10–15.

186

Библиографический список

15. Адилбеков Е.Н., Ревуженко А.Ф. Роль внешней среды при стягивании объемакапиллярной жидкости к шару // Сиб. физ.-техн. журн. — 1993. — Вып. 1.

16. Бобряков А.П., Ревуженко А.Ф. О псевдовязкости сыпучих сред // Физи-ко-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 1996. —№ 3. — С. 18–26.

17. Ревуженко А.Ф., Чанышев А.И., Шемякин Е.И. Математические модели упру-го-пластических тел // Актуальные проблемы вычислительной математики иматематического моделирования. — Новосибирск: Наука, 1985.

18. Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. О сложном нагружении упруго-пластическихтел // Современные проблемы механики сплошных сред. — М., 1985.

19. Ревуженко А.Ф. Один класс сложных нагружений неупругой среды //ПМТФ. — 1986. — № 5. — С. 150–158.

20. Аннин Б.Д., Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. Механика деформированноготвердого тела в СО АН СССР // ПМТФ. — 1987. — № 4. — С. 66–86.

21. Ревуженко А.Ф. О самых простых течениях сплошной среды // Докл. АНСССР, 1988. — Т. 303, № 1. — С. 54–58.

22. Бобряков А.П., Косых В.П., Ревуженко А.Ф. О временных структурах в про-цессах деформирования сыпучей среды // Физико-технические проблемыразработки полезных ископаемых. — 1990. — № 2. — С. 29–39.

23. Revuzhenko A.Ph., Shemyakin E.I. The modelling of the Motion of the Inner Massesof the Earth // International Conference on Mechanics, Physics and Structure ofMaterials «A Celebration of Aristotle`s 23 Centuries». — Thessaloniki, Greece,1990.

24. Бобряков А.П., Ревуженко А.Ф. Об одном методе испытания неупругих мате-риалов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1990. — № 4. —С. 178–182.

25. Ревуженко А.Ф. Диссипативные структуры в сплошной среде // Изв. вузов.Сер. Физика. — 1992. — № 4. — С. 94–104.

26. Бобряков А.П., Ревуженко А.Ф. Способ получения регулярной структуры в де-формируемой области сплошной среды // ПМТФ. — 1993. — № 1. —С. 137–144.

27. Revuzhenko A.Ph. Vorgдnge der Selbstorgani-Sierung in den Boden // Mitteilungender Deutschen Bodenkundlichen Gesellschaft. — 1993. — Bd 71. — S. 77–85.

28. Колимбас Д., Лавриков С.В., Ревуженко А.Ф. Однородное деформированиесыпучей среды: теория и эксперимент // ПМТФ. — 1994. — № 6. — С. 114–121.

29. Ревуженко А.Ф. Однородные сдвиговые течения сыпучей среды // Физи-ко-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 1996. —№ 1. — С. 3–14.

30. Ревуженко А.Ф. Однородная деформация сплошной среды // ПМТФ. —1997. — Т. 38, № 3.

31. Бобряков А.П., Косых В.П., Ревуженко А.Ф. О течении сыпучей среды с воз-можным неограниченным скольжением по поверхностям локализации //Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 1997. —№ 3. — С. 37–42.

32. Lavrikov S.V., Revuzhenko A.Ph. Complex loading of heterogeneous materials withredistribution of internal mass // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. —1998. — Vol. 29. — Р. 85–91.

187


33. Ревуженко А.Ф., Косых В.П., Бобряков А.П. О локализованном пластическомтечении геосреды вокруг жесткого включения // Физико-технические про-блемы разработки полезных ископаемых. — 1998. — № 6. — С. 27–34.

34. Колимбас Д., Лавриков С.В., Ревуженко А.Ф. Об одном методе анализа мате-матических моделей сред при сложном нагружении // ПМТФ. — 1999. —Т. 40, № 5. — С. 133–142.

35. Lavrikov S.V., Revuzhenko A.Ph. Hypoplastic simulation of complex loading pathConstitutive Modelling of Granular Materials / D. Kolymbas (ed.). — Berlin;Heidelberg; N. Y.: Springer-Verlag, 2000.

36. Григорьев Ю.М., Ревуженко А.Ф. Пространственная задача о переносе массприливными волнами // Вычислительные технологии. — 2000. — Т. 5, № 4. —С. 40–54.

37. Ревуженко А.Ф. Перенос масс Земли приливными волнами // Большая Мед-ведица. — 2002. — № 1. — С. 75-76.

38. Бобряков А.П., Ревуженко А.Ф. Экспериментальное моделирование спираль-ных линий скольжения в сыпучих материалах // Физико-технические про-блемы разработки полезных ископаемых. — 2009. — № 2. — С. 3–9.

39. Краус Е.И., Лавриков С.В., Медведев А.Е., Ревуженко А.Ф., Шабалин И.И.Моделирование эффекта дифференциального вращения при сложном нагру-жении сыпучих сред // ПМТФ. — 2009. — Т. 50, № 4. — С. 139–149.

40. Ревуженко А.Ф., Клишин С.В. Об одном методе сопоставления моделей моле-кулярной динамики с континуальными моделями сплошных сред // Пробле-мы и достижения прикладной математики и механики: к 70-летию академикаВ.М. Фомина: сб. науч. тр. — Новосибирск: Параллель, 2010. — С. 577–585.

41. А.с. № 1167803 (СССР). Устройство для гравитационного разделения частиц /Бобряков А.П., Бочкарев Г.Р., Ревуженко А.Ф. и др. — 1984.

42. А.с. № 1199452 (СССР). Способ получения композиционных заготовок и уст-ройство для его осуществления / Шемякин Е.И., Бобряков А.П., Ревужен-ко А.Ф. и др. — Бюл. № 47, 1985.

43. А.с. № 1311790 (СССР). Устройство для разделения сыпучего материала /Бобряков А.П., Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б. и др. — 1985.

44. А.с. № 1132192 (СССР). Устройство для испытания образцов сыпучих мате-риалов / Шемякин Е.И., Бобряков А.П., Ревуженко А.Ф. и др. — Бюл. № 48,1984.

45. А.с. № 1197713 (СССР). Способ смешения сыпучих материалов / Ревужен-ко А.Ф., Шемякин Е.И., Бобряков А.П. — Бюл. № 46, 1985.

46. А.с. № 1308879 (СССР). Устройство для испытаний сыпучих материалов / Ре-вуженко А.Ф., Бобряков А.П. — Бюл. № 17, 1987.

47. А.с. № 1332187 (СССР). Устройство для испытания образцов сыпучих мате-риалов / Ревуженко А.Ф., Бобряков А.П. — Бюл. № 31, 1987.

48. А.с. № 1582078 (СССР). Способ определения реологических характеристикнеупругих материалов / Ревуженко А.Ф. — Бюл. изобр. № 28, 1990.

49. А.с. № 1668220 (СССР). Бункер для трудносыпучего материала / Бобря-ков А.П., Ревуженко А.Ф. — Бюл. № 29, 1991.

50. А.с. № 1755114 (СССР). Способ реометрического исследования неупругих ма-териалов / Ревуженко А.Ф. — Бюл. № 30, 1992.

188


51. А.с. № 1778626 (СССР). Устройство для определения реологических свойствматериала / Ревуженко А.Ф., Бобряков А.П. — Бюл. № 44, 1992.

52. Ньютон И. Математические начала натуральной философии: пер. с лат. //Собр. тр. акад. А.Н. Крылова. — М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1936. — Т. 7. —696 с.

53. Euler L. Novi commentarii Academiae Scientiarum petropolitanae 1. (1748–48)1750. — С. 428–443.

54. Дарвин Дж.Г. Приливы и родственные им явления. — М.: Наука, 1965. —251 с.

55. Авсюк Ю.Н. Приливные силы и природные процессы. — М.: Изд-во ОИФЗРАН, 1996. — 188 с.

56. Авсюк Ю.Н. Поправка в приливную силу // Докл. АН СССР. — 1976. —Т. 229, № 5. — С. 1071–1074.

57. Авсюк Ю.Н. О приливной силе // Письма в астрономический журнал. —1977. — Т. 3. — С. 184–188.

58. Авсюк Ю.Н. Приливная сила в случае невозмущенного (кеплерова) движенияисследуемого тела и в случае возмущенного движения // Физика Земли. —2001. — № 11. — С. 40–49.

59. Голдрайх П. История лунной орбиты // Приливы и резонансы в солнечнойсистеме. — М.: Мир, 1975. — С. 97–129.

60. Макдональд Г.Дж.Ф. Приливное трение // Приливы и резонансы в солнеч-ной системе. — М.: Мир, 1975. — С. 9–96.

61. Рускол Е.Л. Происхождение Луны. — М.: Наука, 1975. — 188 с.62. Шмидт О.Ю. Происхождение Земли и планет. — М.: Изд-во АН СССР,

1962. — 130 с.63. Сафронов В.С. Эволюция допланетного облака и образование Земли и пла-

нет. — М.: Наука, 1969. — 244 с.64. Harris A.W., Kaula W.M. A co-accretional model of satellite formation. Presented

at IAU Colloquium No. 28 // Icarus. — 1975. — Vol. 24. — P. 516–524.65. Смит Дж.В. Развитие системы Земля — Луна и выводы применительно к гео-

логии ранней Земли // Ранняя история Земли / под ред. Б. Уиндли. — М.:Мир, 1980. — С. 9–28.

66. Opik E.J. Tidal deformation and the origin of the moon // Astron. J. — 1961. —Vol. 66. — P. 60–67.

67. Wood J.A., Mitler H.E. Origin of the Moon by a modified captur mechanism, orhalf a loaf is better then a whole one // Lunar Science. — 1974. — Vol. 5. —P. 851–853.

68. Сорохтин О.Г. Происхождение Луны и начальные этапы развития Земли //Жизнь Земли. — М.: Изд-во МГУ, 1988. — С. 5–24.

69. Сорохтин О.Г., Ушаков С.А. Роль лунных приливов в энергетическом балансеЗемли // Жизнь Земли. — М.: Изд-во МГУ, 1988. — С. 24–46.

70. Сорохтин О.Г., Ушаков С.А. Происхождение Луны и ее влияние на глобаль-ную эволюцию Земли. — М.: Изд-во МГУ, 1989.

71. Сорохтин О.Г., Ушаков С.А. Глобальная эволюция Земли. — М.: Изд-во МГУ,1991. — 446 с.

72. Монин А.С., Сорохтин О.Г., Ушаков С.А. О вкладе лунных приливов в эволю-цию Земли // Докл. АН СССР. — 1987. — Т. 293, № 6. — С. 1341–1345.

189


73. Садовский М.А., Авсюк Ю.Н. Глобальные изменения природной среды и ва-рианты объяснения наблюдаемых аномалий в рамках современной геодина-мической модели // Глобальное изменение природной среды и климата. —М., 1997.

74. Садовский М.А., Авсюк Ю.Н. Причина асейсмичности Антарктиды // Докл.РАН. — 1999. — Т. 314, № 6.

75. Грушинский Н.П. Теория фигуры Земли. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.:Физматлит, 1976. — 512 с.

76. Клеро А. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики. — М.:Изд-во Академии наук СССР, 1947. — Сер. «Классики науки». — 358 с.

77. Пицетти П. Основы механической теории фигуры планет. — М; Л.: Гос.тех.-теор. изд-во, 1933. — 170 с.

78. Лихтенштейн Л. Фигуры равновесия вращающейся жидкости. — М.: Физмат-лит, 1965. — 252 с.

79. Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. — М.: Мир, 1973. —288 с.

80. Манк У., Макдональд Г. Вращение Земли. — М.: Мир, 1964. — 384 с.81. Ержанов Ж.С., Калыбаев А.А. Общая теория вращения Земли. — М.: Наука,

1984. — 254 с.82. Куликов К.А. Вращение Земли. — М.: Недра, 1985. — 159 с.83. Киселев В.М. Солнечная активность, приливное трение и вращение Земли за

последние 2000 лет // Астроном. журн. — 1981. — Т. 58, вып. 3. — С. 590–596.84. Сидоренков Н.С. Нестабильность вращения Земли // Вестн. РАН. — 2004. —

Т. 74, № 8. — С. 701–715.85. Перепелкин В.В. Вращение деформируемой Земли с учетом флуктуацион-

но-диссипативных моментов сил // Механика твердого тела. — 2006. — № 4.86. Дычко И.А., Карба П.С. // О приливном замедлении вращения Земли // Вра-

щение и приливные деформации Земли. — Киев: Наук. думка, 1974. —Вып. 6. — С. 92–95.

87. Монин А.С. История Земли. — Л.: Наука, 1977. — 228 с.88. Головков В.П., Коломийцева Г.И., Ротанова Н.М. Динамика главного магнит-

ного поля Земли // Электромагнитные и плазменные процессы от Солнца доядра Земли. — М.: Наука, 1989. — С. 212–232.

89. Бенькова Н.П., Долгинов Ш.Ш. Геомагнитное поле: исследование внутрен-них и внешних источников со спутников // Электромагнитные и плазменныепроцессы от Солнца до ядра Земли. — М.: Наука, 1989. — С. 233–246.

90. Калинин Ю.Д. Вековые геомагнитные вариации. — Новосибирск: Наука,1984. — 159 с.

91. Гаусс К.Ф. Общая теория земного магнетизма: избр. тр. по земному магнетиз-му. — М.: Изд-во АН СССР, 1952. — 341 с.

92. Джекобс Дж. Земное ядро: пер. с англ. — М.: Мир, 1979. — С. 305.93. Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде: пер. с англ.

под ред. Я.Б. Зельдовича. — М.: Мир, 1980. — 330 с.94. Паркер Е. Космические магнитные поля, их образования и проявления / пер.

с англ. под ред. Я.Б. Зельдовича. — М.: Мир, 1982. — Ч. 1. — 608 с.; Ч. 2. —479 с.

190


95. Elsasser W.M. Induction effects in terrestrial magnetism. Pt I: Theory // Phys.Rev. — 1946. — Vol. 69, N 106.

96. Elsasser W.M. Induction effects in terrestrial magnetism. Pt II: The secularvariation // Phys. Rev. — 1946. — Vol. 70, N 202.

97. Elsasser W.M. Induction effects in terrestrial magnetism. Pt III: Electric modes //Phys. Rev. — 1947. — Vol. 72, N 821.

98. Bullard E.C. The magnetic field within the Earth // Proc. Roy. Soc. Lond. —1949. — Vol. A107. — P. 433–453.

99. Bullard E.C., Gellman H. Homogeneous dynamos and terrestrial magnetism //Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. — 1954. — Vol. A247. — P. 41–51.

100. Backus G.E., Chandrasekhar S. On Cowling’s theorem on the impossibility ofself-maintained axi-symmetric homogeneous dynamos // Proc. Nat. Acad. Sci.USA. — 1956. — Vol. 42, N 105.

101. Herzenberg A. Geomagnetic dynamos // Phil. Trans. Roy. Soc. — 1958. —Vol. A250, N 543.

102. Брагинский С.И. Геомагнетизм и высокие слои атмосферы // Итоги науки итехники. — М.: ВИНИТИ, 1980. — Т. 5. — С. 96–130.

103. Брагинский С.И. Самовозбуждение магнитного поля при движении высоко-проводящей жидкости // ЖЭТФ. — 1964. — Т. 47, № 9.

104. Брагинский С.И. Теория гидромагнитного динамо // ЖЭТФ. — 1964. — Т. 47,№ 12.

105. Брагинский С.И. Геомагнитное динамо // Изв. АН СССР. Физика Земли. —1978. — № 9. — С. 74–90.

106. Braginsky S.I., Roberts P.H. A model-Z geodynamo // Geophys. Astrophys. FluidDynam. — 1987. — Vol. 38. — P. 327–349.

107. Braginsky S.I., Roberts P.H. Equations governing convection in the Earth’s coreand the geodynamo // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. — 1995. — Vol. 79. —P. 1–97.

108. Malkus W.V.R. Precession of the Earth as the cause of geomagnetism // Science. —1968. — Vol. 160. — P. 259–264.

109. Malkus W.V.R. An experimental study of global instabilities due to the tidal(elliptical) distortion of a rotating elastic cylinder // Geophys. Astrophys. FluidDynam. — 1989. — Vol. 48. — P. 123–134.

110. Долгинов Ш.Ш. Исследования магнитных полей планет // Электромагнит-ные и плазменные процессы от Солнца до ядра Земли. — М.: Наука, 1989. —С. 247–261.

111. Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет. — 2-е изд., перераб. идоп. — М.: Физматгиз, 1983. — 416 с.

112. Овчинников В.М., Адушкин В.В., Ан В.А. О скорости относительного враще-ния внутреннего ядра Земли // Докл. РАН. — 1998. — Т. 362, № 5. —С. 683–686.

113. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. — М.: Мир, 1969. —Т. 2. — 863 с.

114. Вегенер А. Происхождение континентов и океанов. — М.: Наука, 1984. —285 с.

191


115. Штауб Р. Механизм движений земной коры в приложении к строению зем-ных горных систем. — Л.; М.: Главная редакция геологоразвед. и геофиз.лит-ры, 1938. — 271 с

116. Бончковский В.Ф. Внутреннее строение Земли. — М.: Изд-во АН СССР,1953. — 175 с.

117. Кузнецов В.В. Введение в физику горячей Земли. — Петропавловск-Камчат-ский: Изд-во Кам. ГУ, 2008. — 367 с.

118. Кузнецов В.В. Анизотропия свойств внутреннего ядра Земли // Усп. физ.наук. — 1997. — Т. 167, № 9. — С. 1001–1012.

119. Ромашев А.Н. Планета Земля: Гектонофизика и эволюция. — М.: ЕдиториалУРСС, 2003. — 264 с.

120. Хаин В.Е., Полетаев А.И. Ротационная тектоника: Предыстория, современ-ное состояние, перспективы развития // Ротационные процессы в геологиии физике. — М.: КомКнига, 2007. — 528 с.

121. Ротационные процессы в геологии и физике. — М.: КомКнига, 2007. — 528 с.122. Павленкова Н.И. Ротационные движения крупных элементов Земли и гло-

бальная геодинамика // Ротационные процессы в геологии и физике. — М.:КомКнига, 2007. — С. 103–114.

123. Danes Z.F. Mainstream mantle convection: A geologic analysis of plate motion:discussion // Amer. Assoc. Pet. Geol. Bull. — 1973. — Vol. 57. — P. 410–411.

124. Маслов Л.А. Геодинамика литосферы тихоокеанского подвижного пояса. —Хабаровск; Владивосток: Дальнаука, 1996. — 199 с.

125. Середин Б.Н. Приливный энергомеханизм движений и деформаций лито-сферы (системный анализ) // Системные исследования и разработки в гео-логии. — М.: Наука, 1985. — С. 120–128.

126. Добролюбов А.И. Механизмы на гибких и упругих элементах. — Минск:Наука и техника, 1984. — 117 с.

127. Добролюбов А.И. Бегущие волны деформации. — Минск: Наука и техника,1987. — 144 с.

128. Добролюбов А.И. Волновые движения деформируемых тел и жидкостей: Ки-нематика и массоперенос. — Минск: Наука и техника, 1989. — 94 с.

129. Добролюбов А.И. Скольжение, качение, волна. — М.: Наука — Физматлит,1991. — 176 с.

130. Добролюбов А.И. Волновой перенос вещества. — Минск: Белоруская навука,1996. — 304 с.

131. Гарецкий Р.Г., Добролюбов А.И. Приливные дискретно-волновые движенияи дрейф континентов. — Минск: Геотектоника, 2006. — № 1. — С. 3–13.

132. Добролюбов А.И. Глобальный механизм генерации горизонтальных движе-ний земной коры // Докл. АН БССР. — 1982. — Т. 24, № 4. — С. 358–361.

133. Добролюбов А.И. О движущем механизме геомагнитного динамо // ДокладыАкадемии наук БССР. — 1988. — Т. 32, № 5. — С. 429–432.

134. Гарецкий Р.Г., Добролюбов А.И., Левков Э.А., Середин Б.П. Приливныйэнергомеханизм глобальной тектоники // Системный подход в геологии(теоретические и прикладные аспекты). II Всесоюз. конф.: тез. докл. — М.:Наука, 1986. — Ч. 2. — С. 324–326.

192


135. Гарецкий Р.Г., Добролюбов А.И., Левков Э.А., Середин Б.П. Дискретно-вол-новой механизм глобальных горизонтальных перемещений в литосфере //Докл. АН БССР. — 1988. — Т. 32, № 3. — С. 248–251.

136. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. — 2-е изд., перераб.и доп. — М.: Наука, 1977. — 816 с.

137. Макдональд Г.Дж.Ф. Приливное трение // Приливы и резонансы в солнеч-ной системе: сб. ст. — М.: Мир, 1975. — С. 9–96.

138. Голдрайх П., Сотер С. Q в солнечной системе // Приливы и резонансы в сол-нечной системе: сб. ст. — М.: Мир, 1975. — С. 248–272.

139. Каган Б.А. Глобальное взаимодействие океанских и земных приливов. — Л.:Гидрометеоиздат, 1977. — 48 с.

140. Березкин В.А. Динамика моря. — М.; Л.: Гидрометеоиздат, 1947. — 683 с.141. Дронкерс (Dronkers J.J.) Tidal computations in rivers and coastal waters [Русский

перевод: «Расчет приливов в реках и прибрежных водах]. — Л.: Гидрометео-издат, 1967. — 291 с.

142. Ламб Г. Гидродинамика: пер. с англ. проф. Н.А. Слезкина. — М.; Л.: ОГИЗ,1947. — 929 с.

143. Марчук Г.И., Каган Б.А. Океанские приливы // Математические модели ичисленные эксперименты. — Л.: Гидрометеоиздат, 1977. — 296 с.

144. Панин В.Е., Лихачев А.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформациитвердых тел. — Новосибирск: Наука, 1985. — 229 с.

145. Панин В.Е., Гриняев Ю.В. Физическая мезомеханика — новая парадигма настыке физики и механики деформируемого твердого тела // Физ. мезо-мех. — 2003. — Т. 6, № 4. — С. 9–36.

146. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов /под ред. В.Е. Панина. — Новосибирск: Наука, 1995. — Т. 1. — 298 с., Т. 2. —320 с.

147. Садовский М.А. Избранные труды: Геофизика и физика взрыва. — М.:Наука, 2004. — 440 с.

148. Садовский М.А. Естественная кусковатость горной породы // Докл. АНСССР. — 1979. — Т. 247, № 4. — С. 829–831.

149. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. О свойстве дискретно-сти горных пород // Изв. АН СССР. Физика Земли. — 1982. — № 12.

150. Садовский М.А., Писаренко В.Ф., Родионов В.Н. От сейсмологии к геомеха-нике. О модели геофизической среды // Вестн. АН СССР. — 1983. — № 1.

151. Садовский М.А. О моделях геофизической среды и сейсмического процес-са // Горн. журн. — 1984. — № 7.

152. Родионов В.Н., Сизов И.А., Цветков В.М. Основы геомеханики. — М.:Недра, 1986.

153. Садовский М.А. О значении и смысле дискретности в геофизике // Дискрет-ные свойства геофизической среды. — М.: Наука, 1989.

154. Садовский М.А., Писаренко В.Ф. Подобие в геофизике // Природа. Геофизи-ка. — 1991. — № 1.

155. Садовский М.А. Прикладная сейсмология последних десятилетий века //Изв. АН СССР. Физика Земли. — 1992. — № 2.

156. Кочарян Г.Г., Спивак А.А. Динамика деформирования блочных массивовгорных пород. — М.: ИКЦ «Академкнига», 2003. — 423 с.

193


157. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. О механизме деформиро-вания сыпучего материала при больших сдвигах // Физико-техническиепроблемы разработки полезных ископаемых. — 1974. — № 3. — С. 130–133.

158. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. Несимметрия пластиче-ского течения в сходящихся осесимметричных каналах // Докл. АНСССР. — 1979. — Т. 246, № 3. — С. 572–574.

159. Бобряков А.П., Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. Однородный сдвиг сыпучегоматериала. Локализация деформаций // Физико-технические проблемы раз-работки полезных ископаемых. — 1983. — № 5. — С. 7–21.

160. Ревуженко А.Ф. О структурах пластического деформирования // Физи-ко-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 1987. —№ 5. — С. 3–10.

161. Крамаренко В.И., Ревуженко А.Ф. О формировании блочной структуры присдвиге сыпучей среды // Физико-технические проблемы разработки полез-ных ископаемых. — 1988. — № 2. — С. 3–10.

162. Бобряков А.П., Косых В.П., Ревуженко А.Ф. О временных структурах в про-цессах деформирования сыпучей среды // Физико-технические проблемыразработки полезных ископаемых. — 1990. — № 2. — С. 29–30.

163. Лавриков С.В., Ревуженко А.Ф. Об устойчивости деформирования блочногомассива вокруг выработки // Физико-технические проблемы разработки по-лезных ископаемых. — 1991. — № 1. — С. 37–43.

164. Ревуженко А.Ф. Диссипативные структуры в сплошной среде // Изв. вузов.Физика. — № 4. — 1992. — С. 94–104.

165. Revuzhenko A. Vorgnge der Selbstorgani-Sierung in den Boden // Mitteilungen derDeutschen Bodenkundlichen Gesellschaft. — 1993. — Bd 71. — P. 77–85.

166. Бушманова О.П., Ревуженко А.Ф. О пластическом деформировании в усло-виях локализации сдвигов на дискретной системе линий // Физическая ме-зомеханика. — 2002. — Т. 5, № 3. — С. 9–16.

167. Ревуженко А.Ф. Об использовании в механике твердого тела концепции про-странства, наделенного иерархией структурных уровней // Физическая ме-зомеханика. — 2003. — Т. 6, № 4. — С. 73–83.

168. Ревуженко А.Ф. Неархимедовое пространство как основа математическогоаппарата геомеханики. Проблемы механики деформируемых твердых тел игорных пород: сб. ст. к 75-летию Е.И. Шемякина. — М.: Физматлит, 2006. —С. 605–626.

169. Лавриков С.В., Микенина О.А., Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. Концепциянеархимедова многомасштабного пространства и модели пластических средсо структурой // Физическая мезомеханика. — 2008. — Т. 11, № 3. —С. 45–60.

170. Механика — от дискретного к сплошному. — Новосибирск: Изд-во СО РАН,2008. — 344 с.

171. Ревуженко А.Ф. Об использовании в теории пластичности методов неархи-медова анализа // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Механика предельногосостояния. — 2010. — № 2 (8). — С. 439–451.

172. Спивак А.А., Кишкина С.Б. Прецессия структурных блоков земной коры //Триггерные эффекты в геосистемах: материалы Всероссийского семинар-

194


совещания, г. Москва 22–24 июня 2010 г. / под ред. акад. РАН В.В. Адушки-на, проф. Г.Г. Кочаряна. — М.: Геос, 2010. — С. 309–316.

173. Матвеев П.С. О возможности использования результатов наклономерныхнаблюдений для исследования особенностей строения земной коры // Вра-щение и приливные деформации Земли. — Киев: Наук. думка, 1970. —Вып. 1. — С. 72–86.

174. Дычко И.А., Панченко Н.И. Развитие геофизических и астрономических ис-следований в Полтавской гравиметрической обсерватории за 50 лет // Вра-щение и приливные деформации Земли. — Киев: Наук. думка, 1976. —Вып. 8. — С. 3–19.

175. Кутный А.М. Исследование приливных наклонов в обвалоопасной зоне(шурфы № 2 и № 4) // Вращение и приливные деформации Земли. — Киев:Наук. думка, 1980. — Вып. 12. — С. 47–50.

176. Машинский Э.И., Кочегаров Г.Г. Квазимикропластическая неупругость гор-ных пород // Докл. АН СССР. — 1992. — Т. 324, № 6. — С. 1175–1178.

177. Машинский Э.И., Кочегаров Г.Г., Кокшаров В.З., Чаплыгин В.Н. Экспери-ментальные исследования квазимикропластичности пород при деформациисжатием // Геология и геофизика. — 1994. — № 12. — С. 131–137.

178. Машинский Э.И., Дьяков Г.Н. Микропластическая анизотропия при дефор-мировании сжатием // Геофизика. — 1997. — № 6. — С. 44–46.

179. Машинский Э.И. Эффект Портевина — ле Шателье в осадочных породах всейсмическом диапазоне деформаций // Теория и практика вибросейсмиче-ского зондирования земной коры. — Новосибирск: Изд-во ИГиГ СО АНСССР, 1988. — С. 66–72.

180. Машинский Э.И. Процессы квазимикропластичности и нелинейная сейсми-ка // Известия РАН. Физика Земли. — 1994. — № 2. — С. 3–10.

181. Машинский Э.И. Энергия квазимикропластической деформации горных по-род // Геология и геофизика. — 1996. — Т. 37, № 5. — С. 111–115.

182. Машинский Э.И. Нелинейно-неупругие сейсмические эффекты и расшире-ние возможностей методики ПГР // Геофизика. — 1999. — № 6. — С. 20–23.

183. Машинский Э.И. Нелинейность квазистатической связи напряжение — де-формация: зависимость от уровня механической энергии // Геофизика. —2001. — № 2. — С. 37–41.

184. Машинский Э.И. Влияние микропластичности на статические и динамиче-ские модули упругости горных пород // ФТПРПИ. — 2002. — № 3. —С. 11–18.

185. Машинский Э.И. Физические причины различия статических и динамиче-ских модулей упругости горных пород // Геология и геофизика. — 2003. —Т. 44, № 9. — С. 953–959.

186. Машинский Э.И. Экспериментальные соотношения напряжение — дефор-мация и амплитудная зависимость скоростей волн в осадочных породах //Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. —2003. — № 1. — С. 10–17.

187. Машинский Э.И. Девиация кривых напряжение — деформация и амплитуд-ная зависимость скоростей волн // Рос. геофиз. журн. — 2004. — Т. 34,№ 33. — С. 4–11.

195


188. Mashinskii E.I. Non-linear stress-strain relation in sedimentary rocks and its effecton seismic wave velocity // Geophysica. — 2005. — Vol. 41, N 1–2 (Fin.).

189. Триггерные эффекты в геосистемах // Тез. докл. семинара-совещания (-Москва, июнь 2010 г.). — М.: ИГД РАН, 2010. — 105 с.

190. Триггерные эффекты в геосистемах // Материалы Всерос. семинар-совещ.,г. Москва 22–24 июня 2010 г. / под ред. акад. РАН В.В. Адушкина, проф.Г.Г. Кочаряна. — М.: Геос, 2010. — 348 с.

191. Varga P. Connection between lumsolar and loading effects and the outbreak ofearthguarkes // Proc. 9 Int. Symp. Earth Tides. — N. Y., Aug. 17–22, 1981. —Stuttgard, 1983. — P. 663–668.

192. Шабаров А.Н., Тарасов Б.Г. О влиянии на напряженно-деформированноесостояние горных массивов волн земных приливов // Физико-техническиепроблемы разработки полезных ископаемых. — 2004. — № 1. — С. 62–71.

193. Яковлев Д.В., Тарасов Б.Г. Ритмы земных приливов и вариации интенсивно-сти горных ударов // Проблемы геодинамической безопасности: II Между-нар. рабочее совещ. 24–27 июня 1997 г. — СПб.: ВНИМИ, 1997.

194. Яковлев Д.В., Тарасов Б.Г. Энергетика техногенных сейсмических событий иприливные циклы лунного месяца // Проблемы геодинамической безопас-ности: II Междунар. рабочее совещ. 24–27 июня 1997 г. — СПб.: ВНИМИ,1997.

195. Яковлев Д.В., Тарасов Б.Г. Земной прилив и его отражение в статистике гео-динамической активности // Горная геомеханика и маркшейдерское дело.70 лет ВНИМИ. — СПб., 1999.

196. Яковлев Д.В., Тарасов Б.Г. Динамика геологической среды в циклах Земли иСолнца и аварийность инженерных объектов // Геодинамическая и эколо-гическая безопасность при освоении месторождений газа, его транспорти-ровке и хранении: III Междунар. совещ. 27–29 июня 2001 г. — СПб., 2001.

197. Козырев Н.А. О связи тектонических процессов Земли и Луны // Избранныетруды / сост. А.Н. Дадаев, Л.С. Шихобалов. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та,1991. — 448 с.

198. Green J. Lunar Defluidizaiton and Volcanism. [Downey (California)]: NorthAmerican Aviation, Inc., 1964.

199. Авсюк Ю.Н. Механическая интерпретация некоторых особенностей луннойсейсмичности // Докл. АН СССР. — 1983. — Т. 268, № 1. — С. 51–55.

200. Садовский М.А., Николаев А.В. Новые методы сейсмической разведки: Пер-спективы развития // Вестн. АН СССР. — 1982. — № 1.

201. Рыкунов Л.Н., Хаврошкин О.Б., Цыплаков В.В. Временные вариации высо-кочастотных сейсмических шумов // Физика Земли. — 1979. — № 11. —С. 72–77.

202. Рыкунов Л.Н., Хаврошкин О.Б., Цыплаков В.В. Лунно-солнечная приливнаяпериодичность в линиях спектров временных вариаций высокочастотныхмикросейсм // Докл. АН СССР. — 1980. — Т. 252, № 3. — С. 577–580.

203. Спивак А.А., Кишкина С.Б. Исследование микросейсмического фона с це-лью определения активных тектонических структур и геодинамических ха-рактеристик среды // Физика Земли. — 2004. — № 7. — С. 35–49.

196


204. Гольдин С.В., Тимофеев В.Ю., Ван Раумбеке М. и др. Приливная модуляцияслабой сейсмичности для южной части Сибири // Физическая мезомехани-ка. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 81–93.

205. Соболев Г.А., Тюпкин Ю.С. Аномалии в режиме слабой сейсмичности передсильными землетрясениями Камчатки // Вулканология и сейсмология. —1996. — № 4. — С. 64–74.

206. Соболев Г.А., Тюпкин Ю.С. Стадии подготовки, сейсмологические предвест-ники и прогноз землетрясений Камчатки // Вулканология и сейсмология. —1998. — № 6. — С. 17–26.

207. Салтыков В.А., Синицын В.И., Чебров В.Н. Вариации приливной компонен-ты высокочастотного сейсмического шума в результате изменений напря-женного состояния среды // Вулканология и сейсмология. — 1997а. —№ 4. — С. 73–83.

208. Салтыков В.А., Синицын В.И., Чебров В.Н. Использование высокочастотно-го сейсмического шума для среднесрочного прогноза сильных камчатскихземлетрясений. Кроноцкое землетрясение на Камчатке 5 декабря 1997 года:Предвестники, особенности, последствия. — Петропавловск-Камчатский:КГАРФ, 1998. — С. 99–105.

209. Салтыков В.А., Кугаенко Ю.А. Особенности пространственной связи при-ливной компоненты сейсмических шумов с областями подготовки сильныхземлетрясений: По материалам долговременных режимных наблюдений наКамчатке // Физика Земли. — 2007. — № 9. — С. 48–60.

210. Журков С.Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел // Вестн. АНСССР. — 1968. — № 3. — С. 46–52.

211. Куксенко В.С. Диагностика и прогнозирование разрушения крупномасштаб-ных объектов // Физика твердого тела. — 2005. — Т. 47, № 5. — С. 788–792.

212. Садовский М.А., Мирзоев К.М., Негматуллаев С.Х., Саломов Н.Г. Влияниемеханических вибраций на характер пластических деформаций материа-лов // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. — 1981. — № 6. — С. 32–42.

213. Садовский М.А., Шамина О.Г., Стопинский З. Изменение физическихсвойств горных пород под влиянием ультразвуковых вибраций // Докл. АНСССР. — 1989. — Т. 309, № 6.

214. Мирзоев К.А., Виноградов С.Д., Рузибаев З. Влияние микросейсм и вибрацийна акустическую эмиссию // Физика Земли. — 1991. — № 12. — С. 69–72.

215. Трапезников Ю.А., Манжиков Б.Ц., Богомолов Л.М. Влияние слабых вибра-ций на деформирование горных пород при постоянной нагрузке // Вулкано-логия и сейсмология. — 2000. — № 1. — С. 66–71.

216. Соболев Г.А., Пономарев А.В. Физика землетрясений и предвестники. — М.:Наука, 2003. — 270 с.

217. Куксенко В.С., Манжиков Б.Ц., Тилегенов К. и др. Триггерный эффект сла-бых вибраций в твердых телах // Физика твердого тела. — 2003. — Т. 45,№ 12. — С. 2182–2186.

218. Бобряков А.П., Косых В.П., Ревуженко А.Ф. О катастрофических последст-виях длительных слабых воздействий на сыпучую среду // Физико-техниче-ские проблемы разработки полезных ископаемых. — 1995. — № 1. —С. 19–24.

197


219. Бобряков А.П., Косых В.П., Ревуженко А.Ф. О влиянии длительных слабыхвоздействий на сопротивление сыпучих сред срезу // Физико-техническиепроблемы разработки полезных ископаемых. — 1996. — № 2. — С. 26–30.

220. Бобряков А.П., Косых В.П., Лубягин А.В. Неустойчивость пластического те-чения сыпучих сред при статических нагрузках и слабых сотрясениях //Триггерные эффекты в геосистемах: Материалы Всерос. семинар-совещ.,г. Москва 22–24 июня 2010 г. / под ред. акад. РАН В.В. Адушкина, проф.Г.Г. Кочаряна. — М.: Геос, 2010. — С. 175–183.

221. Адушкин В.В., Спивак А.А. Приливная сила как триггер геофизических про-цессов в окружающей среде // Триггерные эффекты в геосистемах: Мате-риалы Всероссийского семинар-совещ., г. Москва 22–24 июня 2010 г. / подред. акад. РАН В.В. Адушкина, проф. Г.Г. Кочаряна. — М.: Геос, 2010. —С. 8–18.

222. Адушкин В.В., Спивак В.А., Харламов В.А. Влияние лунно-солнечного при-лива на вариации геофизических полей на границе земная кора — атмосфе-ра // Физика Земли. — 2012. — № 2. — С. 14–26.

223. Кугаенко Ю.А. Особенности геоэлектрического отклика среды на приливноевоздействие // Физика Земли. — 2005. — № 7. — С. 65–74.

224. Спивак А.А., Харламов В.А. Статистические и корреляционные свойствамикросейсмических и геоэлектрических импульсов в земной коре // Ло-кальные и глобальные проявления воздействий на геосферы: сб. научныхтрудов ИДГ РАН. — М.: ГЕОС, 2008. — С. 236–245.

225. Спивак А.А., Кишкина С.Б., Локтев Д.Н. и др. Вариации геофизических по-лей в приповерхностной зоне континентальной земной коры в результатетвердого прилива // Проблемы взаимодействующих геосфер: сб. науч. тр.ИГД РАН. — М.: ГЕОС, 2009. — С. 222–232.

226. Спивак А.А., Кишкина С.Б., Локтев Д.Н., Овчинников В.М. Периодичностимикросейсмических процессов // Докл. РАН. — 2004. — Т. 398, № 3. —С. 400–403.

227. Горбунова Э.М., Кабыченко Н.В., Кочарян Г.Г. и др. Исследование динамикивариаций уровня подземных вод под воздействием внешних факторов //Проблемы взаимодействующих геосфер: сб. науч. тр. ИГД РАН. — М.:ГЕОС, 2009. — С. 232–244.

228. Сардаров С.С. (мл.), Осокин В.Д. Экспериментальные исследования прилив-ных колебаний дебита термальных источников // Изв. АН СССР. ФизикаЗемли. — 1980. — № 3. — С. 78–82.

229. Спивак А.А., Кожухов С.А., Сухоруков М.В., Харламов В.А. Эманация радонакак индикатор интенсивности межгеосферных взаимодействий на границеземная кора — атмосфера // Физика Земли. — 2009. — № 2. — С. 34–48.

230. Александров И.М. Сравнение интенсивности выделения газа из скважины вшахте № 1 рудоуправления «Артемсоль» с приливными наклонами // Вра-щение и приливные деформации Земли. — Киев: Наук. думка, 1972. —С. 90–93.

231. Шемякин Е.И. Геомеханическая модель магнитного поля Земли // Сб. науч.тр. Ин-та геодинамики геосфер РАН. — 1998. — С. 18–26.

232. Шемякин Е.И. О возможной природе солнечной активности // Докл. АН. —1992. — Т. 326, № 1. — С. 59–62.

198


233. Шемякин Е.И. Об одном эффекте сложного нагружения // Упругость и пла-стичность, посвящ. 90-летию А.А. Ильюшина. — М.: Изд. МГУ, 2001.

234. Шемякин Е.И. Деформация вращающихся планет (новые материалы) // Тез.докл. Всерос. конф. по теор. и прикл. механике. — Пермь, 2001.

235. Шемякин Е.И. О деформации вращающихся планет (новые материалы) //Материалы Ломоносовских чтений. — М.: Изд-во МГУ, ноябрь 2005.

236. Косыгин Ю.А., Маслов Л.А. Роль твердых лунных приливов в тектоническомпроцессе // Геотектоника. — 1986. — № 6. — С. 3–7.

237. Косыгин Ю.А. Тектоника. — М.: Недра, 1988. — 462 с.238. Косыгин Ю.А., Маслов Л.А. О физических полях вращающихся планет //

Геотектоника. — 1989. — № 1. — С. 8–11.239. Григорьев Ю.М., Скрябина О.Е. Моделирование направленного переноса

внутренних масс Земли приливными деформациями / VII Лаврентьевскиечтения: науч. конф. Секция «Математика, механика и физика»: сб. ст. 7–11апреля 2003 г. — Якутск, 2003. — Т. 1. — С. 33–38.

240. Григорьев Ю.М., Скрябина О.Е. Математические проблемы моделированиянаправленного переноса внутренних масс Земли приливными деформация-ми // Динамика сплошной среды. — Новосибирск, 2004. — Вып. 122. —С. 57–62.

241. Григорьев Ю.М., Скрябина О.Е. О приливном механизме дифференциально-го вращения внутреннего ядра Земли / IX Всерос. съезд по теоретической иприкладной механике: аннотации докладов (Н. Новгород, 22–28 августа2006 г.). — Н. Новгород: Изд. НГГУ, 2006. — Т. 1. — С. 139–140.

242. Григорьев Ю.М., Скрябина О.Е. Математическое моделирование относи-тельной динамики твердого и жидкого ядер Земли // Вестн. Сиб. гос. аэро-космического ун-та им. акад. М.Ф. Решетнева. — 2008. — Т. 4, № 21. —С. 68–72.

243. Григорьев Ю.М., Скрябина О.Е. Математическое моделирование движенийжидкого и твердого ядер Земли, вызванных приливным деформировани-ем // Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, тео-рия приближений: Междунар. конф., посвящ. 100-летию со дня рожденияакадемика С.Л. Соболева, 5–12 октября 2008, г. Новосибирск: Тез. докл. —Новосибирск: ИМ СО РАН, 2008. — С. 476.

244. Григорьев Ю.М., Скрябина О.Е. О влиянии приливных деформаций на вра-щение внутреннего ядра Земли // Новые математические модели механикисплошных сред: построение и изучение: Всерос. конф., приуроченная к90-летию академика Л.В. Овсянникова, 23–28 апреля 2009, г. Новосибирск:тез. докл. — Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 2009. — С. 56–57.

245. Григорьев Ю.М., Мохначевский А.Н., Скрябина О.Е. Математическое моде-лирование влияния приливного деформирования земли на дифференциаль-ное вращение внутреннего ядра // Деформирование и разрушение структур-но-неоднородных сред и конструкций: тезисы докл. II Всерос. конф. Ново-сибирск, 10–14 октября 2011 г. — Новосибирск: НГТУ, 2011. — С. 30.

246. Аннин Б.Д., Григорьев Ю.М. Общее решение уравнений равновесия несжи-маемых упругих тел // Современные проблемы механики и прикладной ма-тематики: материалы школы-семинара, посвящ. 70-летию проф. Д.Д. Ивле-ва. — Воронеж, 2000. — С. 12–20.

199


247. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. — 10-е изд. — М.:Наука, 1987. — 430 с.

248. Риман Б. О движении жидкого однородного эллипсоида // Сочинения. —М.; Л.: ГИТТЛ, 1948. — 339 с.

249. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов А.М. Системы гидродинамическоготипа и их применение. — М.: Наука, 1981. — 368 с.

250. Жуковский Н.Е. Избранные сочинения. — М.; Л.: ОГИЗ, 1948. — Т. 1.251. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969. —

699 с.252. Постников М.М. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1973. — 751 с.253. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории

упругости. — М.: Наука, 1966. — 707 с.254. Очерки сравнительной планетологии. — М.: Наука, 1981. — 326 с.255. Хаббард У. Внутреннее строение планет. — М.: Мир, 1987. — 328 с.256. Жарков В.Н., Трубицин В.П., Самсоненко Л.В. Физика Земли и планет:

Фигуры и внутреннее строение. — М.: Наука, 1971. — 384 с.257. Николаевский В.Н. Механические свойства грунтов и теория пластично-

сти // Итоги науки и техники. — М., 1972. — Т. 6 (Сер. «Механика твердыхдеформируемых тел»). — С. 86.

258. Николаевский В.Н. Механика геоматериалов. Усложненные модели // Итогинауки и техники. Серия. Механика деформируемого твердого тела. — М.:ВИНИТИ, 1987. — Т. 19. — С. 148–182.

259. Бобряков А.П. Экспериментальное моделирование локализации пластиче-ских деформаций вокруг отверстий // Численные методы решения задачтеории упругости и пластичности: тр. 17-й Межресп. конф. под ред.В.М. Фомина. — Новосибирск, 2001. — С. 32–37.

260. Сегерлинд Л. Применение методов конечных элементов. — М.: Мир, 1979. —С. 392.

261. Kolymbas D. Computer-aided design of constitutive laws // Intern. J. Numer. Anal.Methods Geomech. — 1991. — Vol. 15. — P. 593–604.

262. Kolymbas D., Wu W. Introduction to hypoplasticity // Modern approaches toplasticity / ed. by D. Kolymbas. — Amsterdam etc.: Elsevier, 1993. — P. 213–223.

263. Kolymbas D., Herle I., von Wolffersdorff P.-A. Hypoplastic constitutive eguationwith internal variables // Intern. J. Numer. Anal. Methods Geomech. — 1995. —Vol. 19. — P. 415–436.

264. Лавриков С.В. К расчету дифференциального вращения жесткого ядра присложном нагружении гипопластических сред // ПМТФ. — 2002. — Т. 43,№ 6. — С. 75–83.

265. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. — М.: Мир, 1981. — 638 с.266. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. — Ижевск: НИЦ, 2001. —

528 с.267. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М.: Наука,

1981. — 568 с.268. Бабаков И.М. Теория колебаний. — 3-е изд. — М.: Наука, 1968. — 560 с.269. Arvid M. Johnson, Sumaryanto Y. Martosudarmo. Discrimination between inertial

and macro-viscous flows of fine-grained debris with a rolling-sleeve viscometer //

200


Debris-Flow Hazards Mitigation: Mechanics, Prediction, and Assessment / ed. byCheng-Lung Chen // ASCE. — 1997. — P. 229–238.

270. Хайкин С.Э. Физическая механика. — М.; Л.: ОГИЗ, 1947. — 574 с.271. А.с. № 1202706 (СССР). Способ уплотнения порошковых материалов / Ше-

мякин Е.И., Бобряков А.П., Ревуженко А.Ф. — Бюл. № 1, 1986.272. Бобряков А.П., Ревуженко А.Ф. Две задачи обработки порошковых материа-

лов: дозирование и уплотнение // Сиб. физ.-техн. журн. — 1993. — № 5. —С. 94–101.

273. А.с. № 1669623 (СССР). Устройство для поперечной прокатки / Афиноге-нов Ю.А., Бобряков А.П., Жигалкин В.М., Ревуженко А.Ф., Шемя-кин Е.И. — Бюл. № 30, 1991.

274. Cottrel A.H. Dislocations and Plastic Flow in Crystals. — Oxford: Clarendon Press,1953.

275. Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. К вопросу о плоском деформировании уп-рочняющихся и разупрочняющихся пластических материалов // ПМТФ. —1977. — № 3. — С. 157–173.

276. Лавриков С.В., Ревуженко А.Ф. Пластические модели в задачах упругого де-формирования рулонированных оболочек // ПМТФ. — 1988. — № 3. —С. 153–159.

277. Лавриков С.В., Ревуженко А.Ф. Об оптимизации конструкций рулонирован-ных оболочек // ПМТФ. — 1988. — № 5. — С. 162–167.

201


Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Г л а в а 1Кинематический метод экспериментального исследования прилив-ных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

§ 1. Приливные силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23§ 2. Приливные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31§ 3. Критерии моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . 37§ 4. О связи приливных деформаций с аффинными преобразова-

ниями сплошной среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1. Приливное деформирование как суперпозиция однород-

ных растяжений и сжатий . . . . . . . . . . . . . . . 554.2. Приливное деформирование как суперпозиция однород-

ных сдвигов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3. Приливные деформации как результат вращения тела в

условиях неизменности его внешней формы . . . . . . 73§ 5. Кинематический метод моделирования приливных волн 76§ 6. Методика проведения экспериментов . . . . . . . . . . . 87

Г л а в а 2Эффект направленного переноса масс приливными волнами 93

§ 7. Результаты лабораторных экспериментов на плоских моделях 937.1. Модели без внутреннего ядра . . . . . . . . . . . . . 937.2. Модели с внутренним жестким ядром. Восточный дрейф

ядра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102§ 8. Результаты пространственного моделирования . . . . . . . 105§ 9. Экспериментальные результаты с приливными волнами боль-

шой амплитуды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Г л а в а 3Теоретическое исследование эффекта направленного переноса масс

§ 10. Однородная вязкая жидкость . . . . . . . . . . . . . . . 123

202

Оглавление

§ 11. Неоднородная вязкая жидкость. Сыпучие среды . . . . . . 126§ 12. Динамическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130§ 13. Связь приливных деформаций со всюду разрывными отобра-

жениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138§ 14. Пространственная задача о переносе масс приливными вол-

нами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139§ 15. Перенос масс волнами большой амплитуды . . . . . . . . 143

Г л а в а 4Динамика деформирования и разрушения небесного тела прилив-ными силами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

§ 16. Динамическая модель приливного деформирования небесно-го тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

§ 17. Плоская задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151§ 18. Пространственная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

18.1. Ось вращения тела ортогональна к плоскости его орбиты 16218.2. Ось вращения тела наклонена к плоскости его орбиты 169

Г л а в а 5Приложение результатов в смежных областях механики . . . . 175

§ 19. Визкозиметрические течения. Исследование реологическихсвойств сложных сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

§ 20. Псевдовязкость сыпучих сред и задачи обогащения полезныхископаемых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

§ 21. Приложения эффектов сложного нагружения для обработкинеупругих материалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

§ 22. Задача о формировании шара под действием сил поверхност-ного натяжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

§ 23. Модели пластичности и рулонированные оболочки . . . . 183

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

203

Оглавление

204

Научное издание

Ревуженко Александр Филиппович

ПРИЛИВНЫЕ ВОЛНЫ И НАПРАВЛЕННЫЙ ПЕРЕНОС МАСС ЗЕМЛИ

Редактор Т.П. Гришина

Художественный редактор Л.В. Матвеева

Художник Н.А. Горбунова

Технический редактор Н.М. Остроумова

Корректоры И.Л. Малышева, Л.А. Анкушева

Оператор электронной верстки Р.Г. Усова

Сдано в набор 22.03.13. Подписано в печать 25.04.13. Бумага ВХИ. Формат 60´90 1/16. Офсетнаяпечать. Гарнитура Times ET. Усл. печ. л. 12,75. Уч.-изд. л. 11,4. Тираж 400 экз. Заказ № 735.

Сибирская издательская фирма «Наука» АИЦ «Наука» РАН.630077, Новосибирск, ул. Коммунистическая, 1.

Сибирское предприятие «Наука» АИЦ РАН. 630077, Новосибирск, ул. Станиславского, 25.

1—735 2—735 3—735 4—735 5—735 6—735 7—735

8—735 9—735 10—735 11—735 12—735 13—735

2 Заказ № 735 3 Заказ № 735 4 Заказ № 735 5 Заказ № 735 6 Заказ № 735 7 Заказ № 735

8 Заказ № 735 9 Заказ № 735 10 Заказ № 735 11 Заказ № 735 12 Заказ № 735 13 Заказ № 735

booksshare.netbooksshare.net/books/physics/revujenko-af/2013/files/... · 2019-02-26 · УДК...

Documents

Transcript of booksshare.netbooksshare.net/books/physics/revujenko-af/2013/files/... · 2019-02-26 · УДК...