2015年度大学入試センター試験...

第 1 問

　［1］ (1)　2 点間の距離の公式から，

　　　　　

OP = ( cos ) ( sin )

( cos sin )

2 2

4 4 1 2

2 2

2 2

q q

q q

+

= + = ¥ = 　　　 ……ア　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……イ　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　である。また，

　　　　OQ2 = (2 cos q + cos 7q)2 + (2 sin q + sin 7q)2

　　　　　　= 4 cos 2q + 4 cos q cos 7q + cos 2 7q

　　　　　　　　　 + 4 sin2q + 4 sin q sin 7q + sin2 7q

　　　　　　= 4 (cos 2q + sin2q) + (cos 2 7q + sin2 7q)

　　　　　　　　　 + 4 (cos 7q cos q + sin 7q sin q)

　　　　　　= 5 + 4 (cos 7q cos q + sin 7q sin q) ……ウ，エ　　　　　　　　

　　　　　　= 5 + 4 cos (7q - q)　　　( 加法定理を用いて )

　　　　　　= 5 + 4 cos 6 q　……① ……オ　　　　　　　　　　　　

　　　ここで，

　　　　p

qp

8 4£ £ 　　　 ……②

　　　より，

　　　　34

632

p q p£ £ 　 ……③

　　　であるから，

　　　　cos cos cosp q p£ £6

32

　　　　- 1 £ cos 6q £ 0

　　　ゆえに，①は cos 6q = 0　つまり，q = p4

のとき最大となる。

　　　よって，②より，OQ は q = p4

のとき， ……カ　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　最大値 5 4 0 5+ ¥ = ……キ　　　　　　　　　　　　　

　　　をとる。

PQ = { ( cos cos ) cos } { ( sin sin ) sin }2 2 2 7 22q q q q q q+ 7 - + + - 22

2 27 7 1= + =cos sinq q

− 1 −

２０１5 年度大学入試センター試験解説〈数学ⅡB〉

- 1

- 1

1

1

p

O-

34

12

2015 年度センター試験　数学ⅡB

　 (2)　②において，cos q „ 0 であるから，P (2 cos q，2 sin q) より，

　　　直線 OP を表す方程式は

　　　　　 y x x= =22sincos

sincos

qq

qq

　　　すなわち，

　　　　　(sin q) x - (cos q) y = 0　……④　　(…… 3 ) ……ク　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 3 点 O，P，Q が一直線上にあるのは，Q が直線 OP 上の点のときであるから，

④より，

　　　　　　　(sin q) (2 cos q + cos 7q) - (cos q) (2 sin q + sin 7q) = 0

　　　　　　　sin q cos 7q - cos q sin 7q = 0

　　　　　　　sin 7q cos q - sin q cos 7q = 0

　　　　　　　sin (7q - q) = 0　より，sin 6q = 0

　　　 ③より，これを満たす q は

　　　　　6q = p

　　　つまり，

　　　　　q = p6

　　　このことにより，②の範囲で，3 点 O，P，Q が一直線上にあるのは，

　　　q = p6

のときである。 ……ケ　　　　

　 (3) 　∠ OQP が直角となるのは，△ OPQ が

直角三角形であることおよび， (1) から，

　　　　OP = 2，PQ = 1

　　　　に着目すると，OQ = 3 のとき，　……コ　　　　　　　　　　　

　　　このとき，①より，

　　　

( ) cos

cos

3 5 4 6

612

2 = +

= -

q

q

　　　③に注意すると，②の範囲でこれを満たす q は，

　　　　 6 43

q p= 　つまり， q p=29

であるから，∠ OQP = 90°となるのは　　　　q = 2

9p のときである。 ……サ，シ　　　

− 2 −

P

O Q

12


　［2］ (1)　(＊) より

　　　　　 x y a3 = から， x y a2=3 2( )

　よって，x2y3 = a2　……①

　　 x y b3 = から， ( )x y b3 3 3=

　よって，xy3 = b3　 ……②

　① ∏ ②より，

　　 x yxy

ab

2 3

3

2

3= から，x = a2 b - 3　……③ ……ス，セソ　　　　　　　　　　　　　　　

　②より，

　　 yxb x b3 3 1 31

= = -

　

　であるから，これに③を用いて，

　　y3 = (a2b - 3) - 1 ¥ b3 = a - 2 b3 ¥ b3 = a - 2 b6

　よって，

　　y a b a b= =- -( )2 6

13

23 2 　　　 ……④

　これより，p = - 23

とおくと， ……チツ，テ　　　　　　　　　　

　　y = ap b2 ……タ　　　　

　　

　となる。

　 (2)　 b a= 2 43 つまり， b a= 243 　 ……⑤

　　　とするとき， (＊) を満たす正の実数 x，y が③，④であるので，

　　　③，⑤から，

　　　　 x a a a a a a= ¥ = ¥ ¥ = ¥ ¥- - ¥ - - -243 3 2 3

43

3 2 3 42 2 2( )( )

　　　より，

　　　　x = 2 - 3 a - 2　……⑥ ……トナ　　　　　　　　

　　　④，⑤から，

　　　　 y a a a a a a= ¥ = ¥ ¥ = ¥ ¥- - ¥ -23

43 2

23 2

432

23 2

832 2 2( )

　　　より，

　　　　y = 22a2　　 ……⑦ ……ニ　　　　　　　

　　　と表される。

− 3 −


　　　　ここで，x > 0，y > 0 に対する

　　　　( 相加平均 ) = x y+2

， ( 相乗平均 ) = xy

　　　について，

　　　　x y

xy+

≥2

( 等号は x = y　……⑧で成立 )

　　　つまり，

　　　　 x y xy+ ≥ 2

　　　が成り立つことを利用すると，⑥，⑦を用いて，

　　　　

x y a a+ ≥ ¥

= = ¥ = =

- -

- -

2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 2 2 2

112

12

( ) ( )

　　　であり，⑧より， x y+ = 2 は，

　　　　2 - 3 a - 2 = 22 a2

　　　　(a2)2 = 2 - 3 ・ 2 - 2

　　　　a4 = 2 - 5

　　　となる a で成立する。

　　　　よって，a > 0 であるから，q = - 54

とおくと， ……ネノ，ハ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　a = 2q のとき，x + y は最小値 2 をとることがわかる。 ……ヌ　　　　　　　　　　　　　　　　

− 4 −


第 2 問

　 (1) 　関数 f x x( ) =12

2 において h „ 0 のと

き，x が a から a + h まで変化するときの

f(x) の平均変化率は

　　　　 ……ア，イ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　である。

　　　　したがって，x = a における f(x) の微分係数 f'(a) は，

　　　　 f a ah

ah

'( ) lim= + =Æ0 2d D 　……① ……ウ，エ

　　　　　　　

　　　である。

　 (2)　C： y x=12

2 上の点 P

2行 3行

a， 12

2a

2行 3行

における接線ℓの傾きは，

　　　 f'(a) = a であるから，接線ℓの方程式は

　　　　 y a x a a= - +( )12

2　より， y ax a= -12

2　……② ……オ，カ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　②と x 軸 (つまり，y = 0) との交点 Q の x 座標は，ax a- =12

02 より，x a=2

　　　よって，Q

2行 3行

a2

，0

2行 3行

である。 ……キ，ク　　　　　　　　　

　　　　さらに，点 Q を通り，ℓと垂直

な直線 m について，①より，

　(ℓの傾き ) ¥ (m の傾き ) = - 1

　　　　a ¥ (m の傾き ) = - 1

　　　　これより，m の傾きは -1a

　　　であるから，m の方程式は，

　　　　 yax

a= - -

12

d D

　　　つまり， yax=

-+

1 12

……ケ〜ス　　　　　　　　

　　　　ここで，点 P から x 軸に垂直に下ろした点 (a，0) を点 B とする。m と y 軸の

交点 A と点 B について，

f a h f aa h a

a h a

h

hah h a

( ) ( )( )

( )

( )

+ -+ -

=+ -

= + =

12

12

12

2

2 2

2 ++h2

− 5 −

y y = f(x)

f(a + h)

f (a)

a + h xaO

(h > 0)

ℓ

Cy

A

O

B

ma

P

Q x

12a2

12


　　　△ APQ の面積 S は，

　　　　S = ( 四角形 OBPA) - △ AOQ - △ BPQ　　　　　　　　 ……③

　　　　また，

　　　　( 四角形 OBPA) = ¥ + ¥ = +12

12

12 4

12 2d Da aaa( ) 　……④

　　　　△ AOQ = ¥ ¥ =12 2

12 8

a a

　　　　△ BPQ = 12 2

12 8

23

¥ - ¥ =d Daa

aa

　　　これらと③から，

　　　　 S aa

a a aa

aa

a a

= + - - = + - +

=+

41

8 8 41

81

18

23

2 2

2

( ) ( ) ( )

( )　　　　　　　　　　　　　……⑤ ……セ，ソ

　　　　　　　　　　

　　　

y

A

OBa

P

x

12

　　　　また，面積 T は上図の網目部分であり，x 軸と線分 BP および曲線 C によって

囲まれた図形の面積を U とおくと，

　　　　T = ④ - U　　　　 ……⑥

　　　これと，

　　　　U x dx x

aaa

=12

12

13 6

2 3

00

3

= ¥ÈÎÍ

˘˚˙ =Ú

　　　より，

　　　　T

aa

a a a=4

16

312

23 2

( )( )

+ - =+

……⑦ ……タ，チツ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　となる。

　　

　 ……テ，トナ　　　　　　　　　　

S Ta a a a

aa a

a a

- =( ) ( )

( ) ( )

(

2 2

2 2

2

18

312

3 1 2 324

+-

+

= ¥+ - +

=-- 324

)

− 6 −


　　　であるから，S - T > 0 となる a のと

り得る値の範囲は

　　　　a (a2 - 3) > 0　と　a > 0 より，

　　　　a2 > 3

　　　よって，a > 3 　 ……ニ　　　　　　　　　

　　　また，a > 0 のとき，S - T の値を g(a) とおくと，

　　　　 g aa a

( ) =-3 324

　

　　　　 g a a a'( ) ( )= - = -18

18

18

12 2

　　　であるから，a > 0 における g(a) の増減表は以下のようになる。

　　　　

a (0) … 1 …

g'(a) - +

g(a) 0 ↘ g(1) ↗

　　　ゆえに，g(a) は a = 1 で，　　　　　　　　　　　

　　　　極小値 g( )1

1 3 124

112

3

=- ¥

= - をとる。

　　　よって，S - T は a > 0 で a = 1 のとき最小値 - 112

をとる。 ……ヌ〜ヒ　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　

　

− 7 −

a

y

O3

3

-

y = a ( - 3 )a2


第 3 問

　 (1)　2n の値は n = 1，2，3，4，5 に対して，順に

　　　　2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32

　　　となることから，an の値は，

　　　　a1 = 2，a2 = 4，a3 = 8，a4 = 6，a5 = 2 ……ア〜エ　　　　　　　　　　　　

　　　　ここで，

　　　　　2n + 1 = 2・2n

　　　であるから，2n + 1 の一の位の数は 2n の一の位の数を 2 倍した数の一の位の数と

して定まる。

　　　よって，2n の一の位の数は

　　　　　2，4，8，6，2，4，8，6，2，……

　　　となり，2，4，8，6 の順にくり返すから

　　　　an + 4 = an

　　　　↑　　　 (…… 3 ) ……オ　　　　　

　　　が成り立つ。

　 (2)　①をくり返し用いることで，

　　　　

ba b

a a b a ab

nn n

n n n n nn

++ +

+ + + + ++

=

= ¥ =

43 3

3 2 2 3 2

2 2

4

4 4 4d D

== ¥ =

=

+ + + + + + ++

+

a a a b a a ab

a

n n n n n n nn

n

3 2

2

1 1 3 2 1

3 14 4 4d D

33 2 1

3

3 2 1

44 4 4

a a a b a a a ab

n n n n n n n nn

+ + + + +¥ =d D

よって，すべての自然数 n に対して，

　 ba a a a

bnn n n n

n++ + +

=43 2 1

82　……② ……カ

　　　　　　　　　　　

が成り立つことがわかる。

　ここで， (1) から，an，an + 1，an + 2，an + 3 は 2，4，8，6 が循環した数列の連続

した 4 数より，

　an + 3 an + 2 an + 1 an = 2 ¥ 4 ¥ 8 ¥ 6 = 21 ¥ 22 ¥ 23 ¥ (21 ¥ 3)

　　　　　　　　 = 21 + 2 + 3 + 1 ¥ 3 = 3•27 ……キ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

であり，これを②に用いると，

　 b bn n+ =¥

4

7

8

3 2

2　つまり，bn + 4 = 3

2bn 　……③ ……ク，ケ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

が成り立つ。

− 8 −


③を用いると，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……コ，サ

　

これと， ba b

21 1

42 14

12

= =¥

= より，

　　　　　 ……シ，ス

　

これと ba b

32 2

4

4124

12

= =¥

= より，

　　　　　 ……セ，ソ

　

これと ba b

43 3

4

8124

1= =¥

= より，

　b k

k

4

132

=-c C

とわかる。

b b b bk k k k4 3 4 3 4 4 1 3

2

4 2 332

32

32- - - - - - -= = = =( ) ( ) ( )c C ��

== = =

=

-

- -{ }-

- -

-

c C c C c C32

32

32

3

1

4 1 3

1

1

1

4 2

k

k k

k k

k

b b

b

( )

2232

32

32

4 2 4 4 1 2

2

4 2 2b b bk k k

k

( ) ( ) ( )- - - - - -= = =

=

c Cc C

��

--

- -{ }-

-

=1

4 1 2

1

232

b bk k

k

( ) c C

b

b b b

k

k

k k k

4 2

1

4 1 4 1 4 4 1 1

1232

32

32

3

-

-

- - - - -

=

= = =

c Cc( ) ( ) 22

32

32

2

4 2 1

1

4 1 1

1

3

Cc C c C

b

b b

k

k

k k

k

( )

( )

- -

-

- -{ }-

-

=

= =

��

b

b b b b

k

k

k k k k

4 1

1

4 4 4 4 1

2

4

1232

32

32

32

-

-

- - -

=

= = =

c Cc C( ) ( 22

1

4 1

1

4

32

32

)

( )

=

=

=

-

- -{ }

-

��

c Cc C

k

k k

k

b

b

− 9 −

− 10 −


　 (3)　 S bn jj

n

==Â1 より，自然数 m に対して，

　S4m = (b1 + b2 + b3 + b4) + (b5 + b6 + b7 + b8)

　　　　　　　 + …… + (b4m - 3 + b4m - 2 + b4m - 1 + b4m)　……④

　ここで， (2) より，

　

b b b bk k k k

k k k

4 3 4 2 4 1 4

1 132

12

32

12

32

- - -

- -

+ + +

= + +d D d D d D -- - -

+ =1 1 13

2332

d D d Dk k

であり，④はこの式で k = 1，2，…，m としたものの総和であるから，

　

S mk

m

m

k

m

4

1

1332

3

32

1

32

16

32

1= = ¥-

-= -

-

=Â d D d D d Dd D　よって，

　S4m = 632

6d Dm - ……タ，チ　　　　

である。

　 (4)　(2) から，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……⑤ ……ツ，テ　　　　　　　　　　

　

　　

であることと， (3) と同様にして，

　 T4m = (b1 b2 b3 b4) ¥ (b5 b6 b7 b8) ¥ …… ¥ (b4m - 3 b4m - 2 b4m - 1 b4m)

が⑤の式で k = 1，2，……，m としたもののすべての積であることから，

　

　　　　　　　

　

　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　……⑥

ここで，

　 0 1 2 11

2+ + + + - =

-�� ( )

( )m

m m

より，⑥から，

　T m m

m m

m

m m

4

41

22 21

432

14

32

2

= =¥

- -d D d D( )

……ト，ナ　　　　　　　　　　　　　　　　

である。

b b b bk k k k

k k k

4 3 4 2 4 1 4

1 1 132

12

32

12

32- - -

- - -

= ¥ ¥ ¥d D d D d D dd Dd D

32

14

32

1

4 1

k

k

-

-

=( )

T m44 1 1 4 2 1 4 3 11

432

14

32

14

32

= ¥ ¥- - -d D d D dd D d D d D( ) ( ) ( ) DDd D¥ ¥

=

-

+ + + + -

��

��

14

32

14

32

4 1

4 0 1 2 1

d Dd D

( )

{ ( ) }

m

m

m

− 11 −


ここで，

　T10 = T8 b9 b10　……⑦

に注意すると，

　T T8 4 2 2

2 2 2 2

4

4 4

8

14

32

12

32

32

2

= = = =¥

◊ - ◊d D d D

また， (2) より，

　

b b

b b

9 4 3 3

3 1 2

2

10 4 3 2

3 1 2

3

32

32

1232

32

= = =

= = =

¥ -

-

¥ -

-

d Dd D

であるから，⑦より

　T10

4

8

2

2

2

3

8

13

32

32

32

32

= ¥ ¥ =

……ニ，ヌ，ネ　　　　　　　　　　　　　

である。

( 注 ) 　本問の【オ】の解説では 3 を正解としていますが，大学入試センターより実施 2 日後に

(1) を独立した問題と考えると 0 も当てはまることから， 0 も正解とすると解答訂正の発

表がありました。

− 12 −


第 4 問

　 (1)

　　　　

O

A

P

B

C

Q

　　　　P は線分 AB を AP：PB = 2：1 に内分する点より，

　OP��

��

=++

= +a b

a b2

2 113

23 　

……① ……ア，イ，ウ　　　　　　　　　　　

また，t を実数とすると，

　

OQ OB OC

OB OC OB

OB

��

�� = - +

= + -

=

( )

( )

1 t t

t��

+ tBC

であり， BC��

= -a と合わせて，

　OQ��

= + ¥ - = - +b t a t a b( ) 　……② ……エ　　　　　　　　　　　

ここで，a と b のなす角は 60°であり，MaM = MbM = 1　　　 ……③

　a•b = MaMMbM cos 60°

　　　 = 1 ¥ 1 ¥ 12

　　　 = 12

　……④ ……オ，カ　　　

　　　また， OP OQ��

^ により，

　OP OQ��

◊ = 0 ……キ　　　　

　　　であることから，①，②より，

　　　　d D d D13

23

0a b t a b��

+ ◊ - + =

　(a + 2b) • ( - ta + b) = 0

　- tMaM2 - 2ta•b + a•b + 2MbM2 = 0

− 13 −


　③，④を用いて，

　 - ¥ - ¥ + + ¥ =t t1 212

122 1 02 2

よって，

　 2 52

t = より，t = 54

……ク，ケ　　　　　　　　　

これらのことから，

　

OP��

��

2 13

23

13

23

19

2

= + ◊ +

= +

d D d Da Aa b a b

a b ◊◊ +

= + ◊ +

= +

a Ab Ad

a b

a a b b

��

��

2

19

4 4

191

2 2

2

| | | |

4412

4 179

2¥ + ¥ =D

よって，

　 OP��

=73

……コ，サ　　　　　

　また， t =54

より， OQ��

= - +54a b 　……⑤であるから，

　

OQ��

��

2 54

54

1165 4

= - + ◊ - +

= -

d D d Da Aa b a b

a b ◊◊ -

= - ◊ +

=

a Ab A

5 4

116

25 40 162 2

a b

a a b b

��

�� | | | |

1116

25 1 4012

16 12116

2 2d D¥ - ¥ + ¥ =

よって，

　OQ��

=214

……シス，セ　　　　　　

であるから，△ OPQ の面積 S1 は，∠ POQ = 90°に注意すると，

　S1

12

12

73

214

7 324

= = ¥ ¥ =OP OQ��

……ソ〜ツ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

− 14 −


　 (2)　

　　　　

O

A

P

BR

T C

Q

　　　　点 R は BC を 1：3 に内分する点なので，

　OR

OB OCOB OC

�� =

++

= +31 3

34

14

ここで，

　OC OB BC��

= +

　BC��

= - a

より，

　OC��

= + - = -b a b a( )

であるから，

　OR��

= + - = - +34

14

14

b b a a b( ) 　……⑥

である。

　ここで，直線 OR と直線 PQ の交点 T は OR 上の点であるから，⑥より，

　　　　　　　(r は実数 )

　　　　　　　　　　　……⑦

　

一方，T が直線 PQ 上の点より，

　 OT OP OQ��

= - +( )1 s s

と表されることから，①，⑤より，

　　　　　　　　　　　　　　　　　……⑧

OT OR��

��

��

=

= - +

= - +

r

r a b

ra r b

c C14

4

OT��

= - + + - +

= -

( )113

23

54

13

1912

s a b s a bc C c Cc ss a s bC c C��

+ +23

13

− 15 −


　　　ここで，a „ 0��

，b „ 0��

，a ? b であることから，⑦，⑧において，それぞ

れの a，b の係数は一致するから，

　

-r

s

r s

413

1912

23

13

= -

= +

これを解いて，

　r = 79

，s = 13

……テ〜ニ　　　　　

　r の値と⑦より，

　OT��

=-

+736

79

a b ……ヌ〜フ　　

と求まる。

　r，s の値により，

　OR：OT = 1：r = 1： 79

= 9：7

つまり，　

　OT：TR = 7：2

また，

　PT：TQ = s： (1 - s) = 13

113

1 2: :c C- =

これらを用いると，

　△ OPT = 13 1S

　また，

　△ OPT：S2 = 7：2

より，

　　　　　 △ OPT = 72 2S

よって，

　 13

721 2S S= ，つまり S S1 2

212

=　

これより，

　S1：S2 = 2121: = 21：2 ……ヘホ　　　　　　　　

である。

O

A

P

BR

TC

Q

① 2

7

②

S2

2015年度大学入試センター試験...

Documents

Transcript of 2015年度大学入試センター試験...