23/4/19 1

●基础知识

一、逻辑联结词

1 ．逻辑联结词有 或、且、非 ．

2 ．不含逻辑联结词 的命题叫做简单命题 , 由 简单命题和 逻辑联结词 构成的命题叫做复合命题．

3 ．复合命题的构成形式有 p 或 q 、 p 且 q 、非 p .

4 ．判断下表中复合命题的真假：①④⑥⑨⑪⑫为假，其余为真 .

23/4/19 2

0

0

0

0 0 0

p q 非 p p或 q p且 q

真 真 ① ② ③

真 假 ④ ⑤ ⑥

假 真 ⑦ ⑧ ⑨

假 假 ⑩ ⑪ ⑫

23/4/19 3

二、四种命题

1 ．四种命题：一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用┑p和┑q 分别表示 p 和 q 的否定．于是四种命题的形式为：

原命题： 若 p 则 q ；

逆命题： 若 q 则 p ；

否命题： 若┑p则┑q ；

逆否命题： 若┑q则┑p .

23/4/19 4

2 ．四种命题的关系：

23/4/19 5

3 ．原命题为真，它的逆命题 不一定为真 ；

原命题为真，它的否命题 不一定为真 ；

原命题为真，它的逆否命题 一定为真 ．

4 ．反证法

欲证“若 p 则 q” 为真命题，从否定其结论即“非 q” 出发，经过正确的逻辑推理导出 矛盾 ，从而“非 q” 为假，即原命题为 真 ，这样的方法称为反证法．

23/4/19 6

三、充分必要条件1 ．若 p⇒q ，则 p 叫做 q 的 充分 条件；若 q⇒p ，则 p

叫做 q 的 必要 条件；如果 p⇔q ，则 p 叫做 q 的 充要 条件．2 ．判断充要条件的方法：(1) 定义法； (2) 逆否法； (3) 集合法．逆否法：若┑A⇒┑B, 则 A 是 B 的 必要条件 ， B 是 A 的 充分条件 ;

若┑A⇒┑B且┑B/⇒┑A 则 A 是 B 的 必要非充分条件 ；若┑A⇔┑B ，则 A 与 B 互为 充要条件 ；若┑A/⇒┑B且┑B/⇒┑A ，则 A 既不是 B 的 充分条件 也

不是 B 的 必要条件 ．

23/4/19 7

集合法：

从集合观点看，建立命题 p ， q 相应的集合． p ： A

＝ {x|p(x) 成立 } ， q ： B ＝ {x|q(x) 成立 } ，那么：

若 A⊆B ，则 p 是 q 的 充分条件 ；若 AB ，则 p 是q 的充分非必要条件 ；

若 B⊆A ，则 p 是 q 的 必要条件 ；若 BA ，则 p 是q 的必要非充分条件 ；

若 A ＝ B ，则 p 是 q 的 充要条件 ；若 A B 且 B

A ，则 p 既不是 q 的 充分条件 ，也不是 必要条件 ．

23/4/19 8

示意图为下图．

23/4/19 9

●易错知识

一、数学中的“或”与生活中的“或”混淆

1 ．命题：方程 x2 － 4 ＝ 0 的解为 x ＝ ±2 ，使用的逻辑联结词为 ________ ．

答案：“或”

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二、已知命题 p 、 q 写出复合命题“p 或 q”，“p 且q” 一定注意所写命题要符合真值表．

2 ．下面写法对吗？它们与真值表相符吗？(1)p 或 q ：方程 (x － 1)(x － 2) ＝ 0 的根是 x ＝ 1 或

x ＝ 2 ；(2)p 且 q ：四条边相等且四个角相等的四边形是正方

形．你知道应该怎样写吗？答案：不对，与真值表不相符．p 或 q ：方程 (x － 1)(x － 2) ＝ 0 的根是 x ＝ 1 或方

程 (x － 1)(x － 2) ＝ 0 的根为 x ＝ 2.

p 且 q ：四个角相等的四边形是正方形且四条边相等的四边形是正方形．

23/4/19 11

三、命题的否定与否命题的混淆

3 ．存在一个实数 x ，使得 x2 ＋ x ＋ 1≤0 的否定是 ___

_____________________________ ；否命题是 ___________

_____________________________________ ．

答案：命题的否定是：“不存在实数 x 使得 x2 ＋ x ＋ 1

≤0” ，即“对所有的实数 x ，有 x2 ＋ x ＋ 1>0” 　否命题是：“不存在实数 x ，使得 x2 ＋ x ＋ 1>0” ，即“对所有的实数 x ，有 x2 ＋ x ＋ 1≤0”

23/4/19 12

23/4/19 13

4．已知全集 U＝R，A⊆ U，B⊆ U，如果命题 p： 3

∈A∪ B，则命题“非 p\”是 ( )

A. 3∉A B. 3∈∁UB

C. 3∉A∩B D. 3∈ (∁UA)∩(∁UB)

解题思路：由题意，非 p： 3∉A∪ B，

∴ 3∈∁U(A∪ B)，即 3∈ (∁UA)∩(∁UB)．故选 D.

失分警示：∵ U＝R，∴ 3∉A∪ B，即 3∈∁U(A∪ B)．然后根据∁U(A∪ B)＝(∁UA)∩(∁UB)即得结果．此题考查的是“非 p\”命题的表达，不要与否命题混淆，误区中易犯此错误．解题时一定要注意区分清楚．

答案：D

4．已知全集 U＝R，A⊆ U，B⊆ U，如果命题 p： 3

∈A∪ B，则命题“非 p\”是 ( )

A. 3∉A B. 3∈∁UB

C. 3∉A∩B D. 3∈ (∁UA)∩(∁UB)

解题思路：由题意，非 p： 3∉A∪ B，

∴ 3∈∁U(A∪ B)，即 3∈ (∁UA)∩(∁UB)．故选 D.

失分警示：∵ U＝R，∴ 3∉A∪ B，即 3∈∁U(A∪ B)．然后根据∁U(A∪ B)＝(∁UA)∩(∁UB)即得结果．此题考查的是“非 p\”命题的表达，不要与否命题混淆，误区中易犯此错误．解题时一定要注意区分清楚．

答案：D

4．已知全集 U＝R，A⊆ U，B⊆ U，如果命题 p： 3

∈A∪ B，则命题“非 p\”是 ( )

A. 3∉A B. 3∈∁UB

C. 3∉A∩B D. 3∈ (∁UA)∩(∁UB)

解题思路：由题意，非 p： 3∉A∪ B，

∴ 3∈∁U(A∪ B)，即 3∈ (∁UA)∩(∁UB)．故选 D.

失分警示：∵ U＝R，∴ 3∉A∪ B，即 3∈∁U(A∪ B)．然后根据∁U(A∪ B)＝(∁UA)∩(∁UB)即得结果．此题考查的是“非 p\”命题的表达，不要与否命题混淆，误区中易犯此错误．解题时一定要注意区分清楚．

答案：D

4．已知全集 U＝R，A⊆ U，B⊆ U，如果命题 p： 3

∈A∪ B，则命题“非 p\”是 ( )

A. 3∉A B. 3∈∁UB

C. 3∉A∩B D. 3∈ (∁UA)∩(∁UB)

解题思路：由题意，非 p： 3∉A∪ B，

∴ 3∈∁U(A∪ B)，即 3∈ (∁UA)∩(∁UB)．故选 D.

失分警示：∵ U＝R，∴ 3∉A∪ B，即 3∈∁U(A∪ B)．然后根据∁U(A∪ B)＝(∁UA)∩(∁UB)即得结果．此题考查的是“非 p\”命题的表达，不要与否命题混淆，误区中易犯此错误．解题时一定要注意区分清楚．

答案：D

四、判断充分必要条件时，因分不清命题的条件和结论而失误．

5 ．若 p ： α ＝ β ， q ： tanα ＝ tanβ ，则 p 是 q 的 __

__________________ 条件．答案：既不充分也不必要五、用反证法证明问题时，结论的反面不能一一列举

出来．6 ．用反证法证题命题：“若整数系数一元二次方程 ax

2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 有有理根，那么 a 、 b 、 c 中至少有一个是偶数”，则应假设 ____________________________ ．

答案： a 、 b 、 c 都不是偶数

23/4/19 14

●回归教材

1 ．命题“2010≥2009” ( 　　 )

A ．使用了逻辑联结词“或”

B ．使用了逻辑联结词“且”

C ．使用了逻辑联结词“非”

D ．是假命题

解析：“2010≥2009” 是指“2010 ＞ 2009 或 2010 ＝ 20

09” ，故选 A.

答案： A

23/4/19 15

23/4/19 16

2．(2009·江西，1)下列命题是真命题的为 ( )

A．若1x＝

1y，则 x＝y B．若 x2＝1，则 x＝1

C．若 x＝y，则 x＝ y D．若 x＜y，则 x2＜y2

解析：对于 A，由1x＝

1y可得 x＝y，因此 A 正确；对

于 B，由 x2＝1不能确定 x＝1，因此 B不正确；对于 C，

由 x＝y不能得出 x＝ y，因为 x，y可能取负值，因此 C

不正确；对于 D，由 x＜y不能得出 x2＜y2，如－3＜2，而(－3)2＞22，因此 D不正确．综上所述，选 A.

答案：A

2．(2009·江西，1)下列命题是真命题的为 ( )

A．若1x＝

1y，则 x＝y B．若 x2＝1，则 x＝1

C．若 x＝y，则 x＝ y D．若 x＜y，则 x2＜y2

解析：对于 A，由1x＝

1y可得 x＝y，因此 A 正确；对

于 B，由 x2＝1不能确定 x＝1，因此 B不正确；对于 C，

由 x＝y不能得出 x＝ y，因为 x，y可能取负值，因此 C

不正确；对于 D，由 x＜y不能得出 x2＜y2，如－3＜2，而(－3)2＞22，因此 D不正确．综上所述，选 A.

答案：A

2．(2009·江西，1)下列命题是真命题的为 ( )

A．若1x＝

1y，则 x＝y B．若 x2＝1，则 x＝1

C．若 x＝y，则 x＝ y D．若 x＜y，则 x2＜y2

解析：对于 A，由1x＝

1y可得 x＝y，因此 A 正确；对

于 B，由 x2＝1不能确定 x＝1，因此 B不正确；对于 C，

由 x＝y不能得出 x＝ y，因为 x，y可能取负值，因此 C

不正确；对于 D，由 x＜y不能得出 x2＜y2，如－3＜2，而(－3)2＞22，因此 D不正确．综上所述，选 A.

答案：A

3 ．用反证法证明“若 x≠1 且 x≠2 ，则 x2 － 3x ＋ 2≠0”

时的假设应为 ( 　　 )

A ． x ＝ 1 或 x ＝ 2 B ． x2 － 3x ＋ 2 ＝ 0

C ． x2 － 3x ＋ 2≤0 D ． x2 － 3x ＋ 2 ＞ 0

解析：用反证法证明命题中的假设是原命题结论的否定，“x2 － 3x ＋ 2≠0” 的否定为“x2 － 3x ＋ 2 ＝ 0” ，故选 B.

答案： B

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4 ． ( 教材改编题 ) 设集合 P ＝ {x| － 1≤x≤1} ， Q ＝ {x|

－ 2≤x≤1} ．则“x∈P”是“x∈Q” 的 ( 　　 )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：∵P Q，∴“ x∈P”是“x∈Q” 的充分不必要条件．

答案： A

23/4/19 18

5 ． ( 课本 P42,11 题改编 ) 已知命题 p ：若 a ， b 都是

偶数，则 a ＋ b 是偶数．

命题 P 的否命题为 __________________________ ．

答案：若 a 、 b 不都是偶数，则 a ＋ b 不是偶数

23/4/19 19

【例 1 】　指出下列复合命题的形式及其构成，并判断复合命题的真假：

(1)10≤10 ；(2) 方程 x2 － 6x ＋ 1 ＝ 0 没有实数根；(3) 有两个角为 45° 的三角形是等腰直角三角形．[ 解析 ] 　 (1)是“p 或 q” 形式的复合命题，其中 p ： 10 ＝ 10 ； q ： 10 ＜ 10 ，为真命题；也可认为是“非 p” 形式的复合命题，其中 p ： 10 ＞ 10.

(2)是“非 p” 形式的复合命题，其中 p ：方程 x2 － 6x ＋ 1 ＝ 0 有实根，为假命题．

23/4/19

(3)是“p 且 q” 形式的复合命题，其中 p ：有两个角为 45° 的三角形是等腰三角形；q ：有两个角为 45° 的三角形是直角三角形，为真命

题．[ 反思归纳 ] 　学习逻辑知识，要学会把复杂命题分

拆成简单命题的组合，从而化归为对简单命题的判断，达到判定复合命题真假的结果，并会运用简单命题去构造新的命题．

23/4/19 21

分别写出由下列各组命题构成的“p 或 q”“p 且 q”“ 非 p”

形式的复合命题，并判断其真假．

(1)p ： 3 是 9 的约数， q ： 3 是 18 的约数；

(2)p ： a {∈ a ， b ， c} ， q ： {a} { a ， b ， c} ；

(3)p ：不等式 x2 ＋ 2x ＋ 2 ＞ 1 的解集是 R， q ：不等式x2 ＋ 2x ＋ 2≤1 的解集为∅ .

解析： (1)p 或 q ： 3 是 9 的约数或 18 的约数，为真命题．

p 且 q ： 3 是 9 的约数且是 18 的约数，为真命题．

非 p ： 3 不是 9 的约数，为假命题．

23/4/19 22

(2)p 或 q ： a {∈ a ， b ， c} 或 {a} { a ， b ， c} ，为真命题 .

p 且 q ： a {∈ a ， b ， c} 且 {a} { a ， b ， c} ，为真命题．

非 p ： a {∉ a ， b ， c} 为假命题．

(3)p 或 q ：不等式 x2 ＋ 2x ＋ 2 ＞ 1 的解集为 R或 x2 ＋ 2x

＋ 2≤1 的解集为∅，为假命题．

p 且 q ：不等式 x2 ＋ 2x ＋ 2 ＞ 1 的解集为 R且 x2 ＋ 2x ＋2≤1 的解集为∅，为假命题．

非 p ：不等式 x2 ＋ 2x ＋ 2 ＞ 1 的解集不是 R，为真命题．

23/4/19 23

【例 2 】　判断命题“若 a≥0 ，则 x2 ＋ x － a ＝ 0 有实根”的逆否命题的真假．

[ 命题意图 ] 　本题主要考查四种命题及其真假的判定 .

考查分析、推理的能力．

[ 分析 ] 　先写出逆否命题，再判断真假或利用原命题与其逆否命题同真假的关系等方法解决．

[ 解答 ] 　解法 1 ：写出逆否命题，再判断其真假 .

原命题：若 a≥0 ，则 x2 ＋ x － a ＝ 0 有实根，逆否命题：若 x2 ＋ x － a ＝ 0 无实根，则 a<0 ，

23/4/19 24

判断如下：∵x2 ＋ x － a ＝ 0 无实根，∴△ ＝ 1 ＋ 4a<0，∴a< － <0 ，∴“ 若 x2 ＋ x － a ＝ 0 无实根，则 a<0” 为真命题 .

解法 2 ：利用命题之间的关系：原命题与逆否命题同真同假 ( 即等价关系 ) 证明 .

∵a≥0，∴4a≥0，∴4a ＋ 1>0 ，∴ 方程 x2 ＋ x － a ＝ 0 的判别式△＝ 4a ＋ 1>0 ，∴ 方程 x2 ＋ x － a ＝ 0 有实根，故原命题“若 a≥0 ，则 x2 ＋ x － a ＝ 0 有实根”为真 .

又因原命题与其逆否命题等价，所以“若 a≥0 ，则 x2 ＋ x － a ＝ 0 有实根”的逆否命题

为真 .23/4/19 25

14

23/4/19 26

解法 3：利用充要条件与集合的包含、相等关系．

命题 p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根，

∴ p：A＝{a∈R|a≥0}，

q：B＝{a∈R|方程 x2＋x－a＝0有实根}

＝{a∈R|a≥－14}．

即 A B，∴ “若 p则 q”为真，

∴ “若 p则 q”的逆否命题“若┑ q则┑ p”为真．

∴ 若 a≥0，则 x2＋x－a＝0有实根的逆否命题为真．

23/4/19 27

解法 4：设 p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根， 则┑ p：a<0，┑ q：x2＋x－a＝0无实根， ∴ ┑ p：A＝{a∈R|a<0}， ┑ q：B＝{a∈R|方程 x2＋x－a＝0无实根}

＝

a∈R a<－

14 .

∵ B A，∴ “若┑ q则┑ p”为真，即“若方程 x2＋x－a＝0无实根，则 a<0”为真．

[总结评述] 理解“a<0”与“a<－14”的关系时易出现失

误，实际上 a<－14⇒ a<0.但 a<0不一定有 a<－

14.

解法 4：设 p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根， 则┑ p：a<0，┑ q：x2＋x－a＝0无实根， ∴ ┑ p：A＝{a∈R|a<0}， ┑ q：B＝{a∈R|方程 x2＋x－a＝0无实根}

＝

a∈R a<－

14 .

∵ B A，∴ “若┑ q则┑ p”为真，即“若方程 x2＋x－a＝0无实根，则 a<0”为真．

[总结评述] 理解“a<0”与“a<－14”的关系时易出现失

误，实际上 a<－14⇒ a<0.但 a<0不一定有 a<－

14.

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：

(1) 若 a ＝ b ，则 a2 ＝ b2 ；

(2) 若 x2 ＋ y2 ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0(x 、 y∈R) ，则 x ＝－ 1 且 y ＝0 ；

(3)若△ABC≌△PQR ，则 S△ABC ＝ S△PQR.

解析： (1) 逆命题为：若 a2 ＝ b2 ，则 a ＝ b, 此命题为假；

否命题为：若 a≠b ，则 a2≠b2 ，此命题为假；

逆否命题为：若 a2≠b2 ，则 a≠b ，此命题为真．23/4/19 28

(2) 逆命题为：若 x ＝－ 1 且 y ＝ 0 ，则 x2 ＋ y2 ＋ 2x

＋ 1 ＝ 0 ，此命题为真；否命题为： x2 ＋ y2 ＋ 2x ＋ 1≠0 ，则 x≠ － 1 或 y≠0 ，

此命题为真；逆否命题为：若 x≠ － 1 或 y≠0(x 、 y∈R) ，则 x2 ＋ y2

＋ 2x ＋ 1≠0 ，此命题为真．

(3) 逆命题为：若 S△ABC ＝ S△PQR ，则△ABC≌△PQR ，此命题为假；否命题为：若△ABC与△PQR 不全等，则 S△

ABC≠S△PQR, 此命题为假；逆否命题为：若 S△ABC≠S△PQR ，则△ABC与△PQR 不全等，此命题为真 .

23/4/19 29

【例 3 】　指出下列各组命题中， p 是 q 的什么条件(在“充分而不要条件”、“必要而不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答 ) ．

(1)在△ABC 中， p：∠ A＞∠ B ， q ： BC ＞ AC ；(2) 对于实数 x 、 y 、 p ： x ＋ y≠8 ， q ： x≠2 或 y≠6 ；(3)在△ABC 中， p ： sinA ＞ sinB ， q ： tanA ＞ tanB ；(4) 已知 x ， y∈R， p ： (x － 1)2 ＋ (y － 2)2 ＝ 0 ，q ： (x － 1)(y － 2) ＝ 0.

[ 解析 ] 　 (1)在△ABC 中，显然有∠ A＞∠ B⇔BC ＞ A

C ，∴p 是 q 的充要条件．

23/4/19 30

(2)∵逆否命题： x ＝ 2 且 y ＝ 6⇒x ＋ y ＝ 8 ，∴p 是 q 的充分不必要条件．(3)取 A ＝ 120° ， B ＝ 30° ， p / ⇒ q ，又取 A ＝ 30° ， B ＝ 120° ， q / ⇒ p ，∴p 是 q 的既不充分又不必要条件．(4)∵p ： x ＝ 1 且 y ＝ 2 ， q ： x ＝ 1 或 y ＝ 2 ，∴p 是 q 的充分不必要条件．[ 反思归纳 ] 　 (1) 分析 p 是 q 的什么条件时，一定要

结合命题 p 与 q 所涉及的知识，进而全面分析，严格按四种条件的结构和定义进行判断．

(2) 分析判断时，为了得出命题 p 与 q 的准确关系，有时需对命题 p 与 q进行化简，然后再分析．

23/4/19 31

(3)如果 p，q满足：若 p⇒ q，则有┑ q⇒ ┑ p；若 q⇒ p，

则┑ p⇒ ┑ q；若 p⇔ q，则┑ p⇔ ┑ q.

(2009·陕西， 7)“m ＞ n ＞ 0”是“方程 mx2 ＋ ny2 ＝ 1 表示焦点在 y轴上的椭圆”的 ( 　　 )

A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案： C

23/4/19 32

解析：∵ mx2＋ny2＝1表示焦点在 y轴上的椭圆，有1n

＞1m＞0⇔ m＞n＞0，故选 C.

(2007·高考山东卷 ) 下列各小题中， p 是 q 的充要条件的是 ( 　　 )

①p ： m ＜－ 2 或 m ＞ 6 ；q ： y ＝ x2 ＋ mx ＋ m ＋ 3 有两个不同的零点．②p ： ＝ 1 ；　　　　 q ： y ＝ f(x) 是偶函数．③p ： cosα ＝ cosβ； q ： tanα ＝ tanβ.

④p ： A∩B ＝ A; q ：∁ UB⊆∁UA.

A．①②　　 B．②③ C．③④ D．①④答案： D

解析：① q ： y ＝ x2 ＋ mx ＋ m ＋ 3 有两个不同的零点⇔ q：△＝ m2 － 4(m ＋ 3) ＞ 0⇔q ： m ＜－ 2 或 m ＞ 6⇔p ；

23/4/19 33

f(－x)f(x)

【例 4 】　已知函数 f(x) 是 (－∞，＋∞)上的增函数，a ， b∈R，对命题“若 a ＋ b≥0 ，则 f(a) ＋ f(b)≥f( － a) ＋ f( － b)” ．

(1) 写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论．(2) 写出其逆否命题，并证明你的结论．[ 分析 ]

23/4/19 34

[ 解答 ] 　 (1) 逆命题是：若 f(a) ＋ f(b)≥f( － a) ＋ f( －b) ，则 a ＋ b≥0. 它是成立的．可用反证法证明它．

假设 a ＋ b<0 ，则 a< － b ， b< － a.∵f(x) 是 (－∞，＋∞)上的增函数，则 f(a)<f( － b) ， f(b)<f( － a) ．

∴f(a) ＋ f(b)<f( － a) ＋ f( － b) ，与条件矛盾．∴ 逆命题为真．(2) 逆否命题是：若 f(a) ＋ f(b)<f( － a) ＋ f( － b) ，则

a ＋ b<0. 此命题为真命题．可证明原命题为真来证明它．∵a ＋ b≥0.

① 若 a ＋ b>0 ，则 a> － b ， b> － a ，由 f(x) 在 (－∞，＋∞)上递增，

∴f(a)>f( － b) ，且 f(b)>f( － a) ，因此 f(a) ＋ f(b)>f( －a) ＋ f( － b) ．

23/4/19 35

② 若 a ＋ b ＝ 0 ，则 a ＝－ b ， b ＝－ a ，由函数的定义知 f(a) ＝ f( － b) ，且 f(b) ＝ f( － a) ，因此 f(a) ＋ f(b) ＝ f( － a) ＋ f( － b) ．综上所述，若 a ＋ b≥0 ，则 f(a) ＋ f(b)≥f( － a) ＋ f( － b) ．[总结评述 ] 　在本题 (2) 的证明过程中，既用到了函数

的单调性，又用到了函数的定义．

23/4/19 36

求证：关于 x 的方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0 ， a 、 b 、c均为常数 ) 至多有两个不等实数根．

分析：含有“至少”、“至多”、“不存在”等词语的数学命题，常用反证法．

证明：假设方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 至少有三个不等实数根分别为 x1 、 x2 、 x3代入方程得

23/4/19 37

ax2

1＋bx1＋c＝0 ①

ax22＋bx2＋c＝0 ②

ax23＋bx3＋c＝0 ③

①－②，②－③得

a(x2

1－x22)＋b(x1－x2)＝0

a(x22－x2

3)＋b(x2－x3)＝0

即 a(x1＋x2)＋b＝0 ④

a(x2＋x3)＋b＝0 ⑤

23/4/19 38

即 a(x1＋x2)＋b＝0 ④

a(x2＋x3)＋b＝0 ⑤

④－⑤得 a(x1－x3)＝0 ∵ a≠0，x1≠x3 ∴ a(x1－x3)≠0，因此假设不成立． 所以方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)至多有两个不等实根．

1 ．否命题与命题的否定是两个易混的问题，要注意其区别，另外要掌握一些常见词的否定词．

2 ．原命题⇔它的逆否命题， ( 原命题的否命题⇔原命题的逆命题 ) 因此，判断四种命题的真假时，可只判断其中的两个；当一个问题的真假不易判断时，可通过判断此命题的逆否命题解决问题．

3 ．若 p⇒q ，则 p 是 q 的充分条件，同时 q 也是 p 的必要条件；若 p⇔q ，则 p 与 q 互为充要条件，应理解充分条件、必要条件、充要条件的形式化定义，整理出命题的“条件”与“结论”，画出“⇒ ”图是解决“充分条件与必要条件”问题的一种好的方法，注意运用．对论证充要条件题要分清“充分性”与“必要性”，然后分别作出相应的证明．但要判断两个涉及具体内容的命题 p 与 q 之间的关系，掌握涉及的具体数学知识是关键．

23/4/19 39