数字信号处理

第三章 离散时间信号和系统的频域分析

2013年秋季学期 3教105

第三章 离散时间信号和系统的频域分析

3.1 周期序列DFS的定义

3.2 周期序列DFS的基本性质

3.3 非周期序列DTFT的定义

3.4 序列DTFT的基本性质

3.5 周期序列DTFT

3.6 序列的频域采样

2

本章主要学习

对于离散时间系统——

时域分析方法采用差分方程描述

频域分析方法则用Z变换或傅里叶变换这一数学工具

本章主要内容：

本章学习序列的DFS和DTFT, 分析信号和系统的频域特性。

序列的DFS的定义及性质

序列DTFT的定义及性质

频域采样

3

第三章 离散时间信号和系统的频域分析

3.1 周期序列DFS的定义

3.2 周期序列DFS的基本性质

3.3 非周期序列DTFT的定义

3.4 序列DTFT的基本性质

3.5 周期序列DTFT

3.6 序列的频域采样

4

3.1 (a) 周期序列DFS: 引言

信号和系统的分析方法有两种：时域分析方法

和变换域分析方法。

连续系统： 时域分析

微分方程

傅利叶变换、拉氏变换

代数方程

离散系统： 时域分析

代数方程

傅利叶变换、Z变换

差分方程

5

Jean-Baptiste-Joseph Fourier(1768～1830)生于

法国欧塞尔Auxerre一个裁缝家庭,八岁时沦为孤儿，

就读地方军校。

21岁，Fourier在巴黎学术界论述了有关数值方程解

的著名论作，这一工作使他在巴黎的数学界出名。

1795年任巴黎综合工科大学助教。

1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，

回国后被任命为格伦诺布尔省省长。

就是在此期间，Fourier完成了其经典之作Theorie analytiquede la

chaleur(热能数学原理)。在该著作中，他证明了任一周期函数都可以表

示成正弦函数和的形式，其中正弦函数的频率为周期频率的整数倍。由

于对热传导理论的贡献于1817年当选为巴黎科学院院士，1822年成为科

学院终身秘书。

3.1 (a) 周期序列DFS:引言

6

3.1 (a) 周期序列DFS:引言

1753年，Bernoulli就推断一振动的弦可以表示成正弦加权和的形式

，但是他未能给出所需的加权系数。

傅里叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文，但经拉格朗日、

拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝，1811年又提交了经修改的

论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。1822年，傅里叶终于出

版了专著《热的解析理论》。这部经典著作将欧拉、伯努利等人在

一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，

三角级数后来就以傅里叶名字命名。

拉普拉斯和傅里叶都是同时代的人，他们所处的时代在法国是处于

拿破仑时代，国力鼎盛。在科学上也取代英国成为当时世界的中心，

在当时众多的科学大师中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶就是他们

中间最为璀璨的三颗星。傅里叶关于信号可以分解为正弦信号叠加

的论文，其评审人即包括拉普拉斯和拉格朗日。

7

3.1 (a) 周期序列DFS: 引言

傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数

构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基

函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数。

开辟了近代数学的一个巨大分支----傅里叶级数,在物理,

数学,工程技术上都有广泛的应用.由于理论的优美,被誉为

“一首数学的诗”。

用于通信中，任何信号都可以表示成几个三角函数的叠加

（因为收敛，所以取有限和便可以很好地达到实际应用时

的精度要求），而三角函数的信号是最容易产生的。这在

很长的一段时间内都是通信的基础。

8

周期序列

10 2 3k

4-1-2-3-4 5 6 7

][~ kx

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

非周期序列?

有限长度序列

无限长度序列

D Fourier Series (DFS)

DTFT

DFT

3.1 引言 离散傅里叶级数DFS

9

x(t)

t0 T 2T

x[k]

k0 1 2

时域离散化

0 Ω c－Ω c

Xa(jΩ )

P (jΩ )

－Ω s Ω s

Ω

Ω

0

Xa(jΩ )

Ω

0

Xa(jΩ )

Ω

Ω cΩ s

（ a ）

（ b ）

（ c ）

（ d ）

＾

＾

2s

0

－Ω s Ω s

－Ω s

δ

2s2s

频域离散化

频域周期化

X(n0)

0

时域?

在时域抽样（离散化）相当于频域周期化

10

3.1 (a) 离散傅里叶级数DFS：问题的提出

连续时间信号傅里叶变换的定义

( ) ( ) j tX j x t e

𝑥(𝑡) =1

2𝜋 𝑋 𝑗𝑡 𝑒𝑗𝑡𝑑

+∞

−∞

只有当序列x(n)绝对可和，即:

x(n)的傅里叶变换才存在（周期序列不满足条件）。

11

dt

12

正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样，离散周期序列也可以用离散傅里叶级数表示，也就是用周期为N的复指数序列来表示。

周期为N的复指数序列的基频序列为

k次谐波为：

由于是周期序列，其k次谐波也是周期为N的序列：

nN

jnj

eene)

2(

10)(

knN

j

k ene

2

)(

knN

jnNkN

j

Nkk eenene

2)(

2

)()(

)(~)(~ kNnxnx K为任意整数

tjn

n

neAtx 0)(~

tje 0 ——基波

3.1 (a) 离散傅里叶级数DFS：问题的提出

一个周期为N的周期序列 可表示为： )(~ nx

3.1 (b) 离散傅里叶级数DFS: 推导

设 是以N为周期的周期序列，其傅立叶级数为： )(~ nx

2

( )j kn

Nk

k

x n a e

将周期序列展开成N个谐波分量的和的形式

如何确定傅立叶级数的系数ak ？

2

1

j nNa e

2j kn

Nka e

2

0 N

基波分量：

K次谐波分量： 2, 1,2,..., 1k k k N

N

13

两边同乘 ，并对n在一个周期中求和 mn

Nj

e

2

2

( )j kn

Nk

k

x n a e

对式

确定傅立叶级数的系数ak：

14

2 2 2 21 1 1 ( )

0 0 0

21 ( )

0

21 ( )

0

21

0

( )

(

0 )

1( )

N N Nj mn j kn j mn j n k mN N N N

k k

n n k k n

N j n k mN

k

k n

N j n k mN

n

N j mnN

k m

n k m

x n e a e e a e

N a m k e N

m k e

x n e a aN

（ ）

当 时

当 时

故有

21

0

2 2 2( )

1( ) ,

,

N j knN

k

n

j kn j k N n j kmN N N

k

a x n eN

e N e e

ak k lN

a a

即:

是周期为 的周期函数，

也是周期函数:

15

3.1 (c) 离散傅里叶级数DFS定义

DFS变换对

( )X k 也是一个以N为周期的周期序列， 称为 的离散傅里

叶级数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示

( )x n

21

0

( ) ( ) ( )N j kn

Nk

n

X k Na X k x n e

令

)(~)(~ rNnxnx 设

1

0

2

1

0

2

)(~1

)](~

[)(~

)(~)](~[)(~

N

k

knN

πj

N

n

knN

πj

ekXN

kXIDFSnx

enxnxDFSkX

16

3.1 (c) 离散傅里叶级数DFS物理意义

为了方便： Nj

N eW

2

kn

N

πj

kn

N eW

2

上式表明将周期序列分解成N次谐波,第k个谐波频率为ωk=(2π/N)k，k=0,

1, 2 … N-1，幅度为

基波分量的频率是2π/N，幅度是 。

~

(1/ ) ( )N X k~

(1/ ) (1)N X

1

0

1

0

2

1

0

1

0

2

)(~1

)(~1

)](~

[)(~

)(~)(~)](~[)(~

N

k

kn

N

N

k

knN

j

N

n

kn

N

N

n

knN

j

WkXN

ekXN

kXIDFSnx

WnxenxnxDFSkX

也是一个以N为周期的周期序列，称为 的离

散傅里叶级数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。

)(~

kX )(~ nx

一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。 17

}e10e10{10

1][~ 10

π2j

10

π2j kk

kx

系数为的可得周期序列表达式对比 DFS][~IDFS kx，

其他0

9 ,1 10][

~ mmX

}e10e10{10

1 )110(10

π2j

10

π2j kk

例：求周期序列 的DFS系数。 ) 5

π2cos(][~ kkx

解： 周期序列 的周期为10。 ) 5

π2cos(][~ kkx

18

例: 求如图所示周期为N的方波序列的DFS系数(N>2M+1)。

Mk

1

0

x[k]

M N-N

]}[{DFS][~

: kxmX 解km

N

M

Mk

π2j

e

当取m=0, N, 2N, 时，有 12][ MmX

当m取其他值时，利用等比级数的求和公式有

mN

MmN

mMN

mXπ2

j

)1(π2

jπ2

j

e1

ee][

N

m

MN

m

πsin

12π

sin

19

第三章 离散时间信号和系统的频域分析

3.1 周期序列DFS的定义

3.2 周期序列DFS的基本性质

3.3 非周期序列DTFT的定义

3.4 序列DTFT的基本性质

3.5 周期序列DTFT

3.6 序列的频域采样

20

1. 线性特性

]}[~{]}[~{]}[~][~{ kxbkxakxbkxa 2121 DFSDFSDFS

3.2 DFS的基本性质

21

2. 位移特性

10 2 3k

4

3

2

1

周期序列位移后，仍为相同周期的周期序列，因此，只需

要观察位移后序列一个周期的情况。

10 2 3k

4-1-2-3-4 5 6 7

][~ kx

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

周期序列的位移

][~ 2kx

3.2 DFS的基本性质

22

2. 位移特性

(a) 时域位移特性

mnNmXnkx

π2j

e][~

]}[~{DFS

序列在时域的位移，对应其频域的相移

3.2 DFS的基本性质

(b) 频域位移特性

序列在时域的相移，对应其频域的位移

][~

}e][~{DFS

π2j

lmXkxlk

N

23

3. 对称特性 ][~

]}[~{DFS mXkx

][~

]}[~{DFS mXkx

若为实序列，则有 ][

~][

~mXmX

][][

|][~

||][~

|

mm

mXmX

][~

][~

][~

][~

II

RR

mXmX

mXmX

3.2 DFS的基本性质

若 为偶对称的实序列，则有 ][~ kx 且为偶对称为实序列，mX ][~

若 为奇对称的实序列，则有 ][~ kx 虚部奇对称为纯虚序列，mX ][~

24

4. 周期卷积定理

周期卷积定义：

][~][~][~~][~

21

1

0

21 nkxnxkxkxN

n

周期卷积是两个等周期的周期序列的卷积运算。

周期卷积的结果仍为相同周期的周期序列。

3.2 DFS的基本性质

25

][~ kx

0 1 2 3

k

4

1 1

]0[~ nx

0 1 2

n

1 1

]1[~ nx

0 1 2

n

1 1

]2[~ nx

0 1 2

n

11

][~~][~ kxkx

例：周期N=3的序列 如图所示，计算 ][~ kx ][~~][~][~ kxkxky

0 1 2

k

1

2

1

26

周期卷积的矩阵表示

][~][~][~~][~

21

1

021 nkxnxkxkx

N

n

]3[~]2[~]1[~]0[~

]0[~]1[~]2[~]3[~]3[~]0[~]1[~]2[~]2[~]3[~]0[~]1[~]1[~]2[~]3[~]0[~

1

1

1

1

2222

2222

2222

2222

x

x

x

x

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

]3[~]2[~]1[~]0[~

]0[~]1[~]2[~]3[~]1[~]0[~]1[~]2[~]2[~]1[~]0[~]1[~]3[~]2[~]1[~]0[~

]3[~]2[~]1[~]0[~

1

1

1

1

2222

2222

2222

2222

x

x

x

x

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

y

y

y

y

例：N=4

27

4. 周期卷积定理

时域周期卷积定理：

]}[~{DFS]}[~{DFS][~~][~DFS 2121 kxkxkxkx

]}[~{DFS~

]}[~{DFS1

][~][~DFS 2121 kxkxN

kxkx

频域周期卷积定理：

时域的周期卷积对应频域的乘积；

时域的乘积对应频域的周期卷积。

3.2 DFS的基本性质

28

1 2( ) [ ( ) ( )]y n IDFS X k X k 证：

1

1 2

0

1( ) ( )

Nkn

N

k

X k X k WN

1 1

1 2

0 0

1[ ( ) ] ( )

N Nmk kn

N N

k m

x m W X k WN

1 1( )

1 2

0 0

1( )[ ( ) ]

N Nn m k

N

m k

x m X k WN

1

1 2

0

( ) ( )N

m

x m x n m

29

5. Parseval定理

NmNk

mXN

kx 22 |][~

|1

|][~|

时域周期序列的功率等于频域周期序列的功率

3.2 DFS的基本性质

30

第三章 离散时间信号和系统的频域分析

3.1 周期序列DFS的定义

3.2 周期序列DFS的基本性质

3.3 非周期序列DTFT的定义

3.4 序列DTFT的基本性质

3.5 周期序列DTFT

3.6 序列的频域采样

31

3.3 非周期序列DTFT的定义

n

a

n

a

n

aTaa nTtnTxnTttxnTttxttxtx )()()()()()()()()(ˆ

n

nj

n

Tnj

a

n

tj

a

tj

n

a

tj

a

enxenTx

dtenTtnTxdtenTtnTxdtetx

)()(

)()(])()([)(ˆ

n

njdef

j enxeX )()(

n

nx )(

X(e j )是的连续函数

X(e j )是周期为2的周期函数

DTFT[x(n)]存在的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条

件，即满足式：

离散时间傅里叶变换

32

DTFT的收敛性

定义X(ej)的部分和 k

N

Nk

N kxX jj ee

][)(

][kxk

若 绝对可和

0ee jj

)()(lim N

NXX则 一致收敛

2][kx

k

若 能量有限

0dee2jj

π

π

)()(lim NN

XX则 均方收敛

若序列满足绝对可和，则序列存在DTFT。

若序列满足能量有限，存在DTFT。（充分条件）

3.3 非周期序列DTFT的定义

33

例： 试求序列 x[k]=aku[k] 的DTFT。

a kk

k

X j

0

j e)e(

当|a|>1时， 求和不收敛，序列的DTFT不存在。

当|a|<1时，

a j

j

e1

1)e(

X

0 30

1

2

3

3 2 2

|X(e

j)|

解：

34

序列x(n)的傅里叶变换 X(ejω)是 x(n)的频谱函数。可以用DTFT(Discrete Time Fourier Transform)缩写字母表示。

频谱函数可用下式表示：

arg[ ( )]( ) | ( ) |jj j j X eX e X e e

35

反变换IDTFT（Inverse Discrete Time Fourier Transform)

推导：用e jωn乘DTFT式两边， 并在-π~π内对ω进行积分

πj j j

π

1( ) IFT[ ( )] ( )

2π

nx n X e X e e d

36

deexnx njj

][2

1][

( )1[ ]

2

j nx e d

sin ( )[ ]

( )

nx

n

37

sin ( )

( )

n

n

1 0

0 0

n l

n l

n l

[ ] [ ]x n

sin ( )

[ ]( )

nx

n

[ ]x n

FT存在的充分必要条件是：

如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，其傅立

叶变换可用冲激函数的形式表示出来，如周期序列。

)(nx

nj

n

j enxeX

)()(

1( ) ( )

2

j j nx n X e e d

x(n)和X(ej)是一对傅立叶变换对

3.3 非周期序列DTFT的定义

38

[例 ] 已知x(n)=δ(n)，利用傅立叶变换求它的频谱函数。

解 按照频谱函数式

因为只有在n=0时，δ(n)=1，而对其他的n，δ(n)=0，因此将n=0

带入上式中，可得到

说明: δ(n)的频谱函数在整个频率轴上保持一个常

数1。所有的频率分量均相等，相位函数在整个频率轴上为0。

n

njj eneX )()(

1)()( 0

n

n

njj eneX

X(ej)

0 2

δ(n)的幅度特性:

39

例 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT

1

0

/ 2 / 2 / 2

/ 2 / 2 / 2

( 1) / 2

( ) ( )

1 ( )

1 ( )

sin( / 2)

sin / 2

Nj j n j n

N

n n

j N j N j N j N

j j j j

j N

X e R n e e

e e e e

e e e e

Ne

解：

40

R4(n)的幅度与相位曲线

N=4时， 幅度与相位随ω变化曲线:

( 1) / 2 sin( / 2)( )

sin / 2

j j N NX e e

3/ 2 sin(2 )( )

sin( / 2)

j jX e e

x(n)=RN(n)

41

例：试求周期为 2的单位冲激函数 的 IDTFT。 )(~

2

0

)(2~

de)(~

2

1][ j

2

kkx

2

1

x[k]

k0 1 212

π2

1

33

解：

de)(2

1 j

2

k

该例说明绝对可和与平方可和只是DTFT存在的充分条件，

不是必要条件。 42

第三章 离散时间信号和系统的频域分析

3.1 周期序列DFS的定义

3.2 周期序列DFS的基本性质

3.3 非周期序列DTFT的定义

3.4 序列DTFT的基本性质

3.5 周期序列DTFT

3.6 序列的频域采样

43

3.4 DTFT的基本性质

1)、DTFT的周期性

2)、 DTFT的线性

3)、 DTFT的时移和频移特性

4)、 DTFT的对称性

5)、时域卷积定理

6)、频域卷积定理

7)、帕斯维尔(Parseval)定理

44

1). DTFT的周期性

由序列的傅立叶变换公式：

M取整数，可以把频率分成两部分

nj

n

j enxeX

)()(

M 2

nMj

n

nj

n

j enxenxeX )2()()()(

因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数， 周期是2π。

X(ejω)可以展成傅里叶级数， x(n)是其傅里叶级数系数。

由于DTFT的周期性，一般只分析之间或0~2之间的DTFT

时域的离散导致频

域的周期延拓

45

数字频率ω与模拟频率Ω的区别与联系：

1）ω=ΩT，模拟频率的单位为rad/s，而数字频率的单位为rad，代表在一

个采样间隔T上正弦序列相位的变化量。

2） Ω、ω所代表的信号变化快慢有所不同：对模拟频率，Ω越大，模拟正

弦信号变化越快；而对数字频率ω，正弦序列对ω的变化呈现2π周期性，

当ω= 2πM时，变化最慢，当ω= (2M+1)π时，变化最快。所以将ω=0附近

称为数字低频，将ω= π附近称为数字高频.

… …

－1 0 1 2 3 4

1

－1

… …

0

1

2

3

4

5

6

n n

( a ) ( b )

1

π2 π)12( M

cos

M

ncos n

=2M， M为整数，序列的直

流分量

=（2M+1） ，一个时间波形变化愈快，

意味着它包含的频率愈高，对于序列变化

最快的波形 46

2). DTFT的线性

设

那么

式中a和b为常数。

—— 满足比例叠加性

1 2 1 2[ ( ) ( )] ( ) ( )j jFT ax n bx n aX e bX e

)]([)(

)]([)(

22

11

nxFTeX

nxFTeX

j

j

47

3). DTFT 的时移和频移特性

)e(e][ jjDTFT Xnkx n

)e(][e)(jDTFTj 00

Xkxk

)e(][ jDTFT Xkx 若

则

序列的时域位移对应频域的相移

序列的时域相移对应频域的频移

48

[例] x(n)=RN(n)的傅立叶变换为

试求y(n)=x(n-n0)=RN(n-n0)的傅立叶变换。

解

令 n′=n-n0, 即 n=n′+n0

则

( 1) / 2 sin( / 2)( )

sin( / 2)

j j N Nx e e

n

njNN

j ennRnnRDTFTeY )()]([)( 00

0 0( ' ) '

' '

( ) ( ') ( ')j n n j nj j n

N N

n n

Y e R n e R n e e

按照傅立叶变换的基本定义，可以得到:

0( ) ( )j nj jY e e X e

49

X

4). DTFT 的对称性

(1) 概念

共轭:

复数x=a+jb， 式中a、 b是实常数，如果取它的共轭，则得到

x*= a-jb 。

复序列x(n)=ejωn=cos(ωn)+jsin (ωn)，取它的共轭，则得到

x*(n)=e -jωn=cos (ωn)-j sin (ωn)。

y(n)=jejωn，取共轭则得到y*(n)=-je-jωn。

对称：

序列x(n)如果服从公式: x(n)=x(-n)，则称x(n)是一个对称

序列

50

(2)共轭对称序列与共轭反对称序列

如果序列满足

为共轭对称序列——用xe(n) 表示。

如果序列满足

为共轭反对称序列——用xo(n) 表示。

)()( nxnx ee

)()( nxnx oo

51

A 共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数

证明：将xe(n)用实部和虚部表示：

将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到：

对比上面两式，因为左边相等，故可以得到：

)()()( njxnxnx eiere

)()()( njxnxnx eiere

)()(

)()(

nxnx

nxnx

eiei

erer

)()( nxnx ee

52

B 共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数

证明：将x0(n)用实部和虚部表示：

将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到：

对比上面两式，因为左边相等，故可以得到：

)()()( njxnxnx oioro

)()()( njxnxnx oioro

)()(

)()(

nxnx

nxnx

oioi

oror

)()( nxnx oo

53

[例 ] 试分析y(n)=jejωn的对称性。

解 先分析它是否是对称函数，将式中的n 用-n代替，得到:

y(-n)=je-jωn

y(n)≠y(-n)

上式说明该函数不是对称函数。

如果再对y(-n)取共轭, 得到:

y*(-n)= - jejωn

y(n)= -y*(-n)

上式说明y(n)是一个共轭反对称函数。

用欧拉公式展开，得到：y(n)= -sin (ωn)+j cos (ωn)

共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数 54

例 试分析x(n)=ejωn的对称性。

解 这是一个复序列。先分析是否具有对称性，将x(n)的n用-n代替，得到:

x(-n)=e-jωn

由于x(n)≠x(-n)，因此它不具有对称性。但对上式再取共轭，得到:

x*(-n)=ejωn

将上式和原信号对比，得到x(n)=x*(-n)，因此该信号具有共轭对称性。

将信号用欧拉公式展开，则得到

x(n)=ejωn=cos (ωn)+j sin (ωn)

共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数

55

[例 ] 试分析y(n)=jejωn的对称性。

解 先分析它是否是对称函数，将式中的n 用-n代替，得到:

y(-n)=je-jωn

y(n)≠y(-n)

上式说明该函数不是对称函数。

如果再对y(-n)取共轭, 得到:

y*(-n)= - jejωn

y(n)= -y*(-n)

上式说明y(n)是一个共轭反对称函数。

用欧拉公式展开，得到： y(n)= -sin (ωn)+j cos (ωn)

共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数 56

一般序列的共轭对称和共轭反对称表示法

)]()([2

1nxnx

共轭对称序列

)]()([2

1nxnx

共轭反对称序列

)]()([2

1)( )]()([

2

1)( nxnxnxnxnxnx oe 定义

)()()( nxnxnx oe 可得

)]()([2

1)(

)]()([2

1)(

)()()(

jjj

o

jjj

e

j

o

j

e

j

eXeXeX

eXeXeX

eXeXeX

对于频域函数

任意一个序列可写成共轭对称序列和共轭

反对称序列之和

57

(3) 序列的傅里叶变换性质一

具有共轭对称性

)()()( njxnxnx ir

)()()]([FT j

e

n

nj

rr eXenxnx

)()()]([FT j

o

n

nj

ii eXenxjnjx

具有共轭反对称性

)()()(

)()()(

j

o

j

e

j

ir

eXeXeX

njxnxnx

【性质1】序列的实部对应的FT具有共轭对称性，虚部和j一起

对应的FT具有共轭反对称性。序列x(n)的FT可以写成共轭对

称函数与共轭反对称函数之和。

4). DTFT 的对称性

58

4). DTFT 的对称性

(4) 序列的傅里叶变换性质二

【性质2】序列写成共轭对称部分xe(n)与共轭反对称部分xo(n)之和，xe(n)

对应着X(ejω)的实部XR(ejω)，xo(n)对应着X(ejω)的虚部XI(ejω)乘以j。

)()()( nxnxnx oe

)]()([2

1)( )]()([

2

1)( nxnxnxnxnxnx oe

)()](Re[)]()([2

1)]([FT j

R

jjj

e eXeXeXeXnx

)()](Im[)]()([2

1)]([FT j

I

jjj

o ejXeXjeXeXnx

)()()(

)()()(

j

I

j

R

j

oe

ejXeXeX

nxnxnx

59

4). DTFT 的对称性

(5)实序列h(n)的对称性

实序列h(n)的FT只有共轭对称部分He(ejω)

)()( j

e

j eHeH 共轭对称性

)()( jj eHeH

)()(

)()(

)()()(

j

I

j

I

j

R

j

R

j

I

j

R

j

eHeH

eHeH

ejHeHeH

)](/)(arctan[)](arg[

)()(|)(| 22

j

R

j

I

j

j

I

j

R

j

eHeHeH

eHeHeH

实部是偶函数

虚部是奇函数

60

61

4). DTFT 的对称性

推论：对于实序列的 DTFT，要画出 X(ejω)的幅频特性，只需要 X(ejω)半个周

期即可，通常在实际中是选择ω∈[0,π ] 的部分。

例 x(n)=anu(n); 0<a<1; 求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。

解： x(n)=xe(n)+xo(n)

(0), 0

1( ), 0

2

1( ), 0

2

x n

x n n

x n n

( )ex n

1, 0

1, 0

2

1, 0

2

n

n

n

a n

a n

(0), 0

1( ), 0

2

1( ), 0

2

x n

x n n

x n n

( )ox n

0, 0

1, 0

2

1, 0

2

n

n

n

a n

a n

--偶函数

--奇函数

62

5). 时域卷积定理

设 则

证明：

)()()( nhnxny )()()( jjj eHeXeY

nj

n m

j

m

emnhmxnyFTeY

mnhmxny

])()([)]([)(

)()()(

令 k=n-m ，则

)()(

)()(

)()()(

jj

mj

k m

kj

mjkj

k m

j

eXeH

emxekh

eekhmxeY

定理说明： 在求系统的输出信号时，可以在时域用卷积来计算，也可以在频域先求输出的DTFT，再作逆变换。

63

如果两个时域信号服从相乘的关系，它们分别的频域函数则服

从卷积关系

证明：

)()()( nhnxny

( )1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

j j j j jY e X e H e X e H e d

1( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ]

2

j j n j j n j n

n n

Y e x n h n e x n H e e d e

交换积分和求和次序得到：

)()(2

1

)()(2

1

])()[(2

1)(

)(

)(

jj

jj

nj

n

jj

eHeX

deXeH

denxeHeY

定理表明：

在时域两序列相

乘，转换到频域

服从卷积关系。

则

6). 频域卷积定理

64

22 1( ) ( )

2

j

n

x n x e d

7). 帕斯维尔(Parseval)定理

2*

1( ) ( )

2

1 1( ) ( ) ( )

2 2

j j n

n

j j j

X e x n e d

X e X e d X e d

帕斯维尔定理说明： 信号时域的总能量等于频域

的总能量，这里频域总能量是指|X(ejω)|2在一个周期

中的积分再乘以1/(2π)。

2 * * 1( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) )]

2

j j n

n n n

x n x n x n x n X e e d

证明：

65

8)．序列的折叠

9)．序列乘以n

10)．序列的复共轭

66

序列傅里叶变换的性质

67

序列傅里叶变换的性质

68

第三章 离散时间信号和系统的频域分析

3.1 周期序列DFS的定义

3.2 周期序列DFS的基本性质

3.3 非周期序列DTFT的定义

3.4 序列DTFT的基本性质

3.5 周期序列DTFT

3.6 序列的频域采样

69

3.5 周期序列DTFT

0 0

2

X(ej)

－

2

))2((2][FT)(

- )(

0

)2(

)2(

0

0

00

0

reeX

ee

enx

r

nrjj

nrjnj

nj

，

1).复指数序列 的傅立叶变换 nj

e 0

)(2]1[FT)]([FT)(

)(

00

0

tj

aa

tj

a

etxjX

etx

复指数序列的FT是以ω0为

中心，以2л的整数倍为间

距的一系列冲激函数，其积

分面积为2л 。

这个结果是否成立？则须考

察它的反变换必须存在，且

唯一等于ej0n

70

按照反变换的定义

在 区间，只包括一个冲激函数，故等式右边为

r

nj

nrjnj

reFT

eenx

)2(2][

)n()(

0

)2(

0

00

取整数由于

derdeeX nj

r

njj

)2(22

1)(

2

10

00 2

)( jeX

nj oe 的FT

2

证明：

0j ne

71

2). 一般周期序列的傅立叶变换式

一般周期序列 展成离散傅立叶级数

类似复指数序列的FT，周期序列第k次谐波 的FT为：

因此 的FT为：

)(~ nx

)(~ nx

2

( ( ) / )j kn

N

X k N e

( ) 22 ( 2 )

r

X kk r

N N

21

0

21

0

1( ) ( )

( ) ( )

N j knN

k

N j knN

k

x n X k eN

X k x n e其中 ＝

1

0

2 ( ) 2( ) [ ( )] ( 2 )

Nj

k r

X kX e FT x n k r

N N

如果k在之间变化，上式可简化成

)2

()(~2

)](~[)( kN

kXN

nxFTeXk

j

72

基本序列的傅里叶变换

73

(1) 周期序列的傅立叶变换由在 处的冲激函

数组成，冲激函数的强度为

(2) 周期序列的傅立叶变换仍以2π为周期，而且一个周期中只有N个用冲激

函数表示的谐波。

kkN

2

，

|)(~

|2

kXN

周期序列傅立叶变换的特点：

22

FT

k

j kN

kXN

nxeX )()(~

)](~[)(

0 1 2 3 4 5 6 7 k

|)(~

| kX

0 4

π3

4

π5

4

π7

4

π

|X(ej

)|

74

例 R4(n)以8点为周期延拓，求周期序列的DTFT。

解： 将得到的 代入下式中得到

~

( )X k

3

8sin( / 2)

( ) ( )4 sin( /8) 4

j kj

k

kX e e k

k

)2

()(~2

)](~[)( kN

kXN

nxFTeXk

j

3

8

sin2( )

sin8

j kk

X k e

k

得：

75

1

0 1 2 3 4 5 6 7 n

0 1 2 3 4 5 6 7 k

(a)

(c)

(b)

1

0 1 2 3 n

|)(~

| kX

)(nx~

)(nx

4 5 6 7

0 4

π3

4

π5

4

π7

4

π

|X(ej

)|

(d)

76

对于同一个周期信号， 其DFS

和DTFT分别取模的形状一样，

不同的是DTFT用单位冲激函数

表示(用带箭头的竖线表示)。

因此周期序列的频谱分布用其

DFS或者DTFT表示都可以， 但

画图时应注意单位冲激函数的

画法。

DTFT DTFT

DFS

77

例 令 ， 2π/ω0为有理数，求其FT。

解： 将 用欧拉公式展开

0( ) cosx n n

0 01

( ) [ ]2

j n j nx n e e

0

0 0

0 0

( ) [cos ]

12 [ ( 2 ) ( 2 )]

2

[( 2 ) ( 2 )]

j

r

r

X e FT n

r r

r r

( )x n

78

cosω0n的FT

0 ω0

－ ω0

X(ejω)

ω

π2πππ2

cosω0n的FT： 是在ω=±ω0处的单位冲激函数，强

度为π， 且以2π为周期进行延拓。

0 0 0( ) [cos ] [ ( 2 ) ( 2 )]j

r

X e FT n r r

79

第三章 离散时间信号和系统的频域分析

3.1 周期序列DFS的定义

3.2 周期序列DFS的基本性质

3.3 非周期序列DTFT的定义

3.4 序列DTFT的基本性质

3.5 周期序列DTFT

3.6 序列的频域采样

80

3.6 (a) 时域离散信号和模拟信号的傅立叶变换之间的关系

模拟信号xa(t)的傅立叶变换用 Xa(j) 表示：

傅立叶变换对：

采样信号 的傅立叶变换用 表示

傅立叶变换对：

dejXtx

dtetxjX

tjaa

tjaa

)(2

1)(

)()(

)(ˆ jX a

)(1

)(ˆs

kaa jkjX

TjX

ˆ ( ) ( ) ( )a a

n

x t x nT t nT

ˆ ( )ax t

序列的傅立叶变换（即时域离散信号的傅立叶变换）与模拟信号的

傅立叶变换之间的关系如何？数字频率、模拟频率的关系如何？ 81

离散信号的傅立叶变换DTFT

模拟信号的傅立叶反变换为：

取t =nT时，则有

由于时域离散序列x(n)是采样信号 构成，所以有

deeXnx

enxeX

njj

n

njj

)(2

1)(

)()(

dejXtx tjaa )(

2

1)(

dejXnTx nTjaa )(

2

1)(

)(ˆ txa

)()( nxnTxa

1式

2式

1式与2式方程左边数值相同，由于方程右边的积分上下限

不同，故无法得到 X(ej) 和 Xa(j) 之间的关系。 82

将上式变成无数个小区间之和，区间间隔为2 / T

(2 1)

(2 1)

2

2

1( ) ( )

2

2

1 2( ) ( )

2

1 2( ) ( ) ( 1 )

2

1( )

2

rj nTT

a ar

r T

j r nTj nTT T

a a

r T

j rnTj nTT T

a a

r T

a

x nT X j e d

rT

x nT X j j r e e dT

x nT X j j r e d eT

x nT

换元 －

其中

交换求和号和积分号：

2( ) j nTT

a

rT

X j j r e dT

dejXnTx nTjaa )(

2

1)(

83

又 =T= / fs，所以

比较等式：

可得

结论：时域离散信号的傅立叶变换仍然是模拟信号的傅立叶变换Xa(j)以周期s=2/T 进行的周期延拓。

deeXnx njj )(2

1)(

1 2( ) ( )j

a

r

X e X j j rT T T

1 1 2( ) ( )

2

j n

a a

r

x nT X j j r e dT T T

1 1 2( ) ( )

2

j n

a a

r

x nT X j j r e dT T T

/

1ˆ ( ) ( )

1 2( ) ( )

ˆ ( ) ( ) |

ˆ( ) ( ) |

a a s

r

j

a

r

j

a T

j

a T

X j X j j rT

X e X j j rT T T

X j X e

X e X j

84

模拟频率与数字频率之间的定标关系

－0.5－ 1 0 0.5 1

－0.5－ 1 0 0.5 1

－0.5－ 1 0 0.5 1

－ fs 2sf f

s f

f ′

2s

2sf

2s ss

0

0

0 π2πππ2

85

X(ej)在频域的离散化导致对应的

时域序列x[k]的周期化。

x(t)在时域的离散化导致对应的频

谱函数X(j)的周期化。

时域抽样定理和频域抽样定理为利用数字化方式

分析和处理信号奠定了理论基础。

][)( kxtx 时域抽样

n T

nX

TX )

π2j(

1)j(

周期化

CTFT DTFT

][~

)e( j mXX 频域抽样

n

nNkxkx ][][周期化

IDTFT IDFS

3.6 序列的频域采样

86

假设连续频谱函数为F(ω) ，抽样频谱函数为FS(ω) ,即在频域抽样有

假设 FS(ω) 对应的时间信号为 fs (t) ，则有

( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s s s

n n

F F n F n n

1( ) ( )s s

ns

f t f t nT

说明：信号在频率域抽样（离散化）等效于在时间域周期化。

频域抽样定理：频域抽样定理表明，一个时间受限的信号 f (t) ，如果时间

只占据 的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的频率抽样值

唯一地表示，抽样间隔为 ，它必须满足条件 ，其中

( , )m mt t ( )sF n

s ms tT 2

2

ssT

3.6 序列的频域采样

87

例： 大致画出图所示周期矩形信号冲激抽样后信号的频谱。

t

1( )f t

0 TT2

2

E

t

( )sf t

0 TT2

2

E

3.6 序列的频域采样

88

解：信号在时域抽样、周期化过程中频谱的变化规律：

（1）信号在时域周期化，周期为 T ，则频谱离散化，

抽样间隔为 ω0＝2π/T。

（2）信号在时域抽样，抽样间隔为 TS ，则频谱周期化，

重复周期为 ωS＝2π/TS 。

3.6 序列的频域采样

89

矩形单脉冲信号的频谱 0 ( )

2F E Sa

01 0( ) 2 ( )

2m

mEF Sa m

T

周期矩形信号的频谱

频域抽样

频谱周期化，重复周期为 ωS＝2π/TS 。

1

0 00

1( ) ( )

( )2

s s

ns

s

n ms

F F nT

E nSa n m

T

时域抽样 抽样间隔为 TS

周期矩形信号

3.6 序列的频域采样

90

a

t

tf1

0

t

tf0

0

E

)(0 F

0

2

2

E

b 1F

0

2

2

0E

TT

2

c d

e

2

2

2

E

t

tf s

0

sF

0

2

2

sT

E 0

TT

f

2

2

E

sT

2

sT

2

3.6 序列的频域采样

91

第三章 离散时间信号和系统的频域分析

3.1 周期序列DFS的定义

3.2 周期序列DFS的基本性质

3.3 非周期序列DTFT的定义

3.4 序列DTFT的基本性质

3.5 周期序列DTFT

3.6 序列的频域采样

92

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