201379730 Series Cronologicas
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Universidad de San Carlos de GuatemalaFacultad de Ciencias Económicas 1
CAPÍTULO I
SERIES CRONOLÓGICAS
1.1. Historia Económica
Las series de tiempo han representado un importante conjunto de datos para la
Ciencia Económica, sin embargo no es hasta la década de los 70´s en el milenio
anterior (1970 y mas), donde aparecen importantes descubrimientos al respecto.
Sucede así que George E.P. Box y G.M Jenkins, desarrollan la técnica ARIMA
(Auto regressive Integrated Moving Average) "Modelo auto regresivo Integrado de
Medias móviles".
ARIMA define un modelo econométrico que depende de sus estados anteriores,
esto es una variable yt va a depender de sus estadíos anteriores yt-1, yt-2, yt-
3...yt-j. Box-Jenkins parten de la concepción de la no estacionalidad de la serie,
recordemos que este concepto viene de las matemáticas, donde el matemático
francés J. Fourier, consigue la aproximación de una serie en términos de
funciones de la misma variable, expresadas como senos y cosenos, comprobando
su orientación determinística.
Pero los economistas necesitaban introducir el concepto estocástico dentro de los
modelos, porque existía en el proceso de cálculo con datos determinísticos un
conjunto de resultados de diferencias, que se atribuyen a un proceso Aleatorio no
controlable. Los trabajos pioneros del matemático A.N. Kolgomorov en 1931
(Anales matemáticos de la academia de ciencias alemana) y del estadístico
británico George Yule (1871-1951) y su obra "On the time-correlation Problem"
(1921); promueven la investigación y las primeras aplicaciones econométricas
basadas en estos modelos auto regresivos de segundo orden.
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Basado en los trabajos de Yule, el matemático y economista ruso Eugen Slutsky
(1880-1948), introduce esta metodología en el análisis de los ciclos económicos,
desde un punto de vista dinámico y estocástico, en su obra "Summation of
Random Causes as a Source of Cyclical Processes" (1927), sentando las bases
estadísticas que fundamentaran luego las teorías de los ciclos económicos y el
análisis econométrico de las series de tiempo.
Para los años de 1960 y en adelante, los investigadores habían desarrollado
modelos donde era posible descomponer una serie de datos en sus partes como
la tendencia, el componente cíclico y una componente aleatoria e irregular,
basándose en la aplicación de medias móviles y en las desviaciones de la
variable, esto se completa con el procedimiento estadístico denominado X-11, que
consta de un algoritmo muy sencillo resumible en 5 pasos y utilizado por las
oficinas estadísticas de gran parte del mundo occidental, cuya premisa
fundamental es concebir que una serie temporal se puede descomponer en:
• Tendencia de largo plazo.
• Variación cíclica.
• Variación estacional.
• Variación residual1
El trabajo de Box-Jenkins "Time Series Analysis. Forecasting and Control " (1970)
permitió considerar una descripción mas fidedigna de la serie temporal, mediante
la aplicación de procesos de integración, así; a partir de la transformación de la
serie real que es estacionaria, tenemos que mediante la aplicación, de una o dos
veces, de un procedimiento de suma; integrando las variables de la serie
estacionaria se llega a la serie real.
1 Ciencia de la economía http://cienciaeconomica.blogspot.com/2011/10/analisis-de-series-de-tiempo-un-poco-de.html
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1.2. Series Cronológicas
“Llamadas también series de tiempo, se denomina serie de tiempo a un conjunto
de observaciones obtenidas de una misma variable durante un periodo de tiempo.
La importancia de su análisis radica, porque contando con datos pasados permite
realizar un pronostico confiable de la actividad futura, y tomar decisiones
anticipadas. Las series pueden ser negativas o positivas en su comportamiento.
Vale la pena señalar que en el análisis de una serie de tiempo, es necesario
conocer si los datos se han dado en condiciones normales en cada periodo,
porque puede ser que en un periodo alguna situación haya variado, en este caso
debe omitirse para medir cuantitativamente el crecimiento y poder pronosticar en
mejor forma. El tiempo puede medirse en años, meses, semestres, etc. El análisis
de las series cronológicas, permite hacer un pronóstico de la actividad futura”.2
Una serie cronológica o temporal es un conjunto de observaciones de una
variable, ordenadas según transcurre el tiempo. En una serie de tiempo las
observaciones no se deben ordenar de mayor a menor debido a que se perdería el
grueso de la información debido a que nos interesa detectar como se mueve la
variable en el tiempo es muy importante respetar la secuencia temporal de las
observaciones.
Una serie temporal formada por fluctuaciones aleatorias superpuesta a una
tendencia creciente, la línea de mejor ajuste y diferentes suavizados de la serie.
Una serie temporal o cronológica es una secuencia de datos, observaciones o
valores, medidos en determinados momentos del tiempo, ordenados
cronológicamente y, normalmente, espaciados entre sí de manera uniforme. El
2 Reyes Donis, José Luis, “Estadística I Guía de Estudio” Editorial Serviprensa, 3ª Edición agosto2009, pág. 207
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análisis de series temporales comprende métodos que ayudan a interpretar este
tipo de datos, extrayendo información representativa, tanto referente a los
orígenes o relaciones subyacentes como a la posibilidad de extrapolar y predecir
su comportamiento futuro.
De hecho, uno de los usos más habituales de las series de datos temporales es su
análisis para predicción y pronóstico. Por ejemplo de los datos climáticos, de las
acciones de bolsa, o las series pluviométricas. Resulta difícil imaginar una rama de
las ciencias en la que no aparezcan datos que puedan ser considerados como
series temporales. Son estudiadas en estadística, procesamiento de señales,
econometría y muchas otras áreas.
1.3. Representación de una Serie Temporal
Para realizar la representación de una serie temporal se debe realizar mediante
una gráfica de dispersión x-y como se muestra en la fig.1
Figura 1
Gráfica de dispersión x-y
Fuente: Elaboración propia
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CAPÍTULO II
COMPONTES DE UNA SERIE CRONOLOGICA
2.1. Componentes de una Serie Cronológica
Las series de tiempo se suelen presentar por medio de una ecuación matemática
que describa los valores de la variable observada como una función del tiempo, es
decir (Y =f(t)).
Al representar gráficamente la información en un sistema de coordenadas, en el
eje de las ordenadas se ubica la variable y en el de las abscisas el tiempo. Esta
representación gráfica es difícil para detectar los movimientos de la serie, los
cuales son causados por una variedad de factores que pueden ser económicos,
naturales, institucionales o culturales. Algunos factores tienden a afectar los
movimientos de la serie a largo plazo y otros la afectan a corto plazo, de tal
manera que todos o algunos de los factores pueden aparecer en una misma serie
de tiempo.
Existen diferentes métodos para analizar una serie de tiempo, siendo uno de ellos
el modelo de descomposición, el cual considera que la serie está compuesta de
cuatro patrones básicos: la tendencia (T), las variaciones estacionales (S), las
variaciones c R clicas (C) y las variaciones irregulares o aleatorias (I). Por lo tanto,
la variable observada (Y) estar < en función de T, S, C, I.
Tradicionalmente, se ha considerado que el comportamiento en el tiempo de una
magnitud es el resultado de la dinámica que, conjuntamente, conduce la evolución
de cuatro componentes básicos: tendencia, ciclo variación estacional y
componente irregular.
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2.1.1. Tendencia
El componente tendencial. (T), representa la conducta a largo plazo de la serie. Es
decir, trata de reflejar hacia dónde tiende la serie.
“Es el componente que indica la evolución de la variable a través del tiempo,
evolución que se va a medir como un crecimiento o descenso constante en un
período de tiempo prolongado. Lo que mide la tendencia es la variación promedio
de la variable por unidad de tiempo. Esta tendencia se suele describir mediante
una recta o algún tipo de curva lisa.”3
La tendencia es un movimiento de larga duración que muestra la evolución
general de la serie en el tiempo. La tendencia es un movimiento que puede ser
estacionario o ascendente, y su recorrido, una línea recta o una curva. Algunas de
las posibles formas son las que se muestran en la fig.2
Figura 2
Formas de Tendencias
Fuente: Elaboración propia
3 Cáceres Hernández, José Juan. “Conceptos básicos de estadística para ciencias sociales”.
Editorial Delta. 1º. Edición. Madrid, España. 2007. Pág. 104.
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La tendencia es un movimiento que puede ser estacionario o ascendente o
descendente como se indica en la fig.3
Figura 3
Tendencias ascendente, estacionaria y descendente
Fuente: Elaboración propia
El estudio de la tendencia es de suma importancia porque sirve para determinar el
probable comportamiento de los datos en el futuro. La proyección de la serie
cronológica constituye el aspecto más importante para la planificación social,
económica, educacional, etc. de mediano y largo plazo.
La tendencia se puede determinar por una expresión matemática, siendo
necesario proyectar la serie y así obtener valores estimados para el futuro, que
puedan tener a su vez un error o sesgo cuya, dimensión depende de la validez o
significación de los datos de la serie, del periodo elegido y del método utilizado
para analizar la tendencia.
Del método estadístico elegido, depende el comportamiento de la variable en el
tiempo. La tendencia de una serie se puede determinar y estimar por dos métodos
generales: el gráfico y el analítico.
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Método de los promedios móviles, llamado también método empírico o método
gráfico.
Método de los ajustes de una línea o función o método analítico. Este es el más
utilizado, pudiendo ser:
Tendencia Lineal. Se representa por la fórmula general:
La tendencia rectilínea queda determinada cuando se conocen los valores
numéricos de a y b, se halla con el resultado de la aplicación de las siguientes
ecuaciones normales, del método de los mínimos cuadrados.
Tendencia Curvilínea. Las tendencias curvilíneas pueden ser de dos tipos:
Tendencia Parabólica
Tendencia Logarítmica. Estas a su vez se clasifican en:
Tendencia Exponencial o Logarítmica
Tendencia Exponencial Modificada
Tendencia Logística
Curva de Gompertz
Tendencia de Extrapolación
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2.1.2. Variaciones
Variaciones Cíclicas
Las variaciones cíclicas. (C), pueden considerarse oscilaciones más o menos
regulares y periódicas en torno a la conducta de largo plazo o tendencial que se
completan o compensan en un período largo, generalmente de varios años. En
este sentido, una tendencia no lineal y una variación cíclica pueden llegar a ser
indistinguibles, especialmente si la longitud temporal de la serie es reducida. De
ahí que, en ocasiones, se hable de componente tendencia-ciclo.
Son los movimientos ascendentes y descendentes de la variable, los cuales
difieren de las variaciones estacionales en que se extienden por períodos de
tiempo más o menos largos (2 o más años) y, supuestamente, resultan de un
conjunto de causas totalmente diferentes que en general son de naturaleza
económica y reflejan el estado de las actividades comerciales de tiempo en
tiempo.
Los períodos recurrentes de expansión, cúspide, contracción y sima constituyen
las 4 fases de un ciclo y se consideran causados por factores diferentes del clima
y las costumbres sociales que contribuyen a las variaciones estacionales. La
principal diferencia entre las variaciones cíclicas y las estacionales es que en las
estacionales la periodicidad es de un año como máximo, mientras que en las
cíclicas esta periodicidad es mayor; por esta razón para detectar las variaciones
cíclicas se debe tener una serie suficientemente larga.
Variaciones Estacionales
Por su parte, las fluctuaciones estacionales, (S) son también oscilaciones en torno
a la tendencia, pero se diferencias de las cíclicas en el periodo en el que las
primeras se completan o compensan es inferior o igual al año.
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“Corresponde a los movimientos en una serie de tiempo, que ocurren año tras año
en los mismos meses o períodos del año poco más o menos con la misma
intensidad. También se aplica la variación estacional a otros movimientos
periódicos por naturaleza, como los que ocurren en un día, una semana o un mes,
cuyo período es como máximo un año.”4
Entre los factores más importantes que originan variaciones estacionales, se
encuentran las condiciones climáticas, las costumbres sociales y las fiestas
religiosas. Las climáticas son la causa más importante de las variaciones
estacionales en la producción agrícola, la construcción y el turismo.
Por ejemplo:
En navidad las ventas de establecimientos se suelen incrementar.
El consumo de gasolina aumenta la primera decena del mes y disminuir la
última.
El clima afecta a la venta de determinados productos: helados
fundamentalmente en verano y la ropa de abrigo en invierno.
Se habla de este tipo de variaciones usualmente cuando el comportamiento de la
variable en el tiempo en un periodo esta relacionado con la época o un periodo
particular, por lo general en el espacio cronológico presente.
4Muñoz Ruiz, David “Manual de estadística”. Editorial CASALI. 1º. Edición. México. 2000. 64 Pág.
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Figura 4
Variaciones estacionales
Fuente: Elaboración propia
Variaciones Irregulares
Por último, el componente irregular o residual, (E) recoge las variaciones
impredecibles que se producen en el corto plazo sin responder a ningún patrón
sistemático.
Se deben a razones aleatorias o esporádicas y por lo tanto impredecibles. No
obstante, estos sucesos se pueden reconocer e identificar fácilmente. Las
variaciones aleatorias son de dos clases: a) variaciones provocadas por
acontecimientos especiales, como elecciones, guerras, inundaciones, terremotos,
huelgas, etc. b) variaciones aleatorias o por casualidad, cuyas causas no se
pueden señalar en forma exacta.
Las variaciones aleatorias a menudo son poco importantes y se suelen considerar
como parte de las estacionales o cíclicas o simplemente se las ignora.
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2.2. Clasificación Descriptiva de las Series Cronológicas
Las series temporales se pueden clasificar en:
Estacionarias
“Una serie es estacionaria cuando es estable a lo largo del tiempo, es decir,
cuando la media y varianza son constantes en el tiempo. Esto se refleja
gráficamente en que los valores de la serie tienden a oscilar alrededor de una
media constante y la variabilidad con respecto a esa media también permanece
constante en el tiempo.
No Estacionarias
Son series en las cuales la tendencia y/o variabilidad cambian en el tiempo. Los
cambios en la media determinan una tendencia a crecer o decrecer a largo plazo,
por lo que la serie no oscila alrededor de un valor constante.”5
2.3.1. Tipos de Esquemas para Series Cronológicas
Las cuatro componentes enumeradas determinan conjuntamente los valores de la
variable analizada en cada instante, sin que pueda valorarse con precisión el
influjo individual de cada una de ellas.
Dos son los esquemas generalmente más admitidos sobre la forma en que la serie
temporal se descompone en sus cuatro componentes: el aditivo y el multiplicativo.
Esquema (Modelo) Aditivo
Supone que las observaciones se generan como suma de las cuatro
componentes, es decir:
Yt = tt + ct + et + rt
5Introducción a series de tiempo. Villavicencio, John. http://www.estadisticas.gobierno.pr/iepr/LinkClick.aspx?fileticket=4_BxecUaZmg%3D&tabid=100. Guatemala, 29 de junio de 2013; 23:20 pm.
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En este caso cada componente se expresa en el mismo tipo de unidad que las
observaciones. La variación residual, en este modelo, es independiente de las
demás componentes, es decir la magnitud de dichos residuos no depende del
valor que tome cualquier otra componente de la serie, (análogamente la variación
estacional y la cíclica son independientes de las demás componentes).
Esquema (Modelo) Multiplicativo
Supone que las observaciones se generan como producto de las cuatro
componentes, es decir:
Yt = tt x ct x et x rt
En este modelo (multiplicativo puro) la tendencia secular se expresa en el mismo
tipo de unidad que las observaciones, y el resto de las componentes en tanto por
uno.
Aquí no se cumple la hipótesis de independencia del esquema aditivo. Otro tipo de
modelo multiplicativo que si la cumple llamado modelo multiplicativo mixto es el
siguiente:
Yt == tt x ct x et x rt + rt
Existen otros modelos que combinan esquemas aditivos y multiplicativos, tratando
de resolver las carencias o inconvenientes de los modelos más sencillos.
Señalaremos que generalmente el modelo multiplicativo es el que mejor se adapta
a la descripción de variables económicas.
2.4. Análisis Descriptivo de Series Cronológicas
En la práctica es difícil distinguir la tendencia del comportamiento cíclico. Por
ejemplo la gráfica puede conducirnos a concluir que existe una tendencia
ascendente en la parte de 1980 a 1982, pero esto es una parte de la serie de
tiempo más grande.
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Figura 5
Tendencias entre periodos de tiempo
Fuente: Elaboración propia
“La primera herramienta descriptiva básica es el gráfico temporal. Un gráfico
temporal se construye situando los valores de la serie en el eje de ordenadas y los
instantes temporales en el eje de abscisas. Construir este gráfico es de gran
utilidad para observar el comportamiento de la serie temporal. Se presentan las
siguientes series temporales.”6
Los procedimientos de mayor aplicación para efectuar un análisis inicial de tipo
descriptivo (o exploratorio) de una dada serie de tiempo, además de los genéricos
son: la graficación de sus valores, el cálculo de coeficientes de auto correlación y
la obtención de valores suavizados ("smoothed"), que describimos en los puntos
siguientes:
El análisis de una serie cronológica requiere de la elección de un modelo
(multiplicativo o aditivo) y la determinación de los cuatro movimientos
característicos descritos anteriormente, para lo cual se requiere de un
6Pérez López, César “Problemas resueltos de econometría”. Editorial Thompson. Madrid, España.2002. Pág. 50.
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procedimiento que facilite y estandarice las operaciones, todo lo cual es
independiente de la naturaleza de la magnitud objeto de estudio.
Metodológicamente, el análisis de una serie cronológica consta de los siguientes
aspectos:
1. Recolección de datos fiables.
2. Representación gráfica de los datos de la serie y valoración cualitativa
de su comportamiento.
3. Determinación de la tendencia.
4. Determinación de la existencia o no de estacionalidad. En caso
afirmativo, obtener el índice correspondiente y proceder a suprimir este
movimiento en los datos.
5. Ajuste de los datos desestacionalizados a la tendencia, si procede.
6. Registro de las variaciones cíclicas si aparecen, señalando la
periodicidad y amplitud de la oscilación alrededor de la tendencia.
7. Determinación de los movimientos irregulares.
8. Evaluar los resultados obtenidos, en particular las fuentes de error y su
magnitud, como si el proceso se encuentra bajo control estadístico o no.
Es importante señalar que al determinar cada uno de los movimientos (tendencia,
estacionalidad, periodicidad y aleatorios) se debe realizar una discusión de la
correspondencia de los resultados obtenidos con lo esperado en dependencia de
la naturaleza de los datos, con vistas a brindar una valoración cualitativa del
comportamiento de la magnitud bajo estudio y con ello facilitar la adopción de las
acciones más adecuadas.
Igualmente debe significarse que en todos los análisis realizados, no se ha
efectuado referencia alguna a la naturaleza de los datos que componen la serie,
por lo cual los fundamentos teóricos expresados son aplicables a la evaluación de
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magnitudes tan diversas como pueden ser niveles de lluvia, demanda de
combustible, niveles de precios, importe de los cobros y pagos, etc.
2.5. Graficación
Este procedimiento permite obtener una síntesis visual global del comportamiento
de una o más series de tiempo, tanto formadas por valores experimentales como
por transformaciones de ellas o residuos de un dado proceso. Es usual realizar la
graficación de series en un sistema de dos dimensiones, en el que el eje horizontal
es el tiempo y el vertical el valor de la serie (o series) considerada. Dentro de ello
existen diversas variantes de representación, mediante las cuales pueden
destacarse visualmente ciertos comportamientos que interesa apreciar.
La posibilidad de graficación más directa es aquella en la que se indica la
secuencia de valores de la variable considerada a lo largo del tiempo. Otra forma
típica de graficación de series de tiempo involucra el indicar cada valor no
mediante un punto sino en forma relativa a uno o más valores de referencia que se
establecen en cada caso. Por ejemplo, en la primera de las figuras siguientes se
define un valor de referencia único, promedio del conjunto de observaciones, y los
valores de la serie se grafican a lo largo del tiempo como barras relativas a aquel.
En la segunda figura se establecen valores de referencia para periodos
representativos consecutivos (semanas, años, etc.) como promedio de los valores
en cada uno de ellos.
2.6. Correlación en Series
Mide el grado de relación lineal entre dos variables, y que tomaba valores entre -1
y 1. Este mismo concepto lo podemos trasladar al caso de una serie de tiempo,
surgiendo los coeficientes de auto correlación, de auto correlación parcial y de
correlación cruzada.
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2.6.1. Coeficientes de Auto Correlación
El cálculo de este coeficiente es similar al caso de dos variables relacionadas,
pero ahora evaluado entre pares de valores de la misma serie.
Para una misma serie, podemos obtener varios coeficientes de auto correlación,
según como consideremos en ella los pares de valores para el cálculo. Así, un
primer coeficiente r1 resulta de considerar los n-1 pares que se forman con cada
observación de la serie y la anterior. Generalizando, el coeficiente rk se obtiene
considerando los n-k pares que se forman entre un valor de la serie y el que se
encuentra k posiciones más atrás.
El conjunto r1 a rk de coeficientes de auto correlación de una serie suministra una
información útil sobre su comportamiento y el tipo de componentes presentes en
ella, así como sirve de ayuda en la etapa de identificación del modelo que se
considera explica más adecuadamente la serie en estudio. En el cálculo
computacional de los coeficientes es usual obtener representaciones visuales de
un conjunto de ellos para una dada serie (correlogramas).
En dichas graficaciones se suelen incluir también intervalos de confianza de sus
valores, para un nivel de significación dado (usualmente 5%), como se definieron
en el capítulo 4. Si un dado rk se encuentra dentro de ellos podemos presuponer
que su valor no es significativamente diferente de cero.
Otra prueba disponible involucra obtener la significación global de un conjunto de
m coeficientes de auto correlación correspondientes a una dada serie (prueba de
Box-Pierce). En función de la suma cuadrática de estos coeficientes se obtiene
una estadística de prueba, que sigue una distribución "Chi2" en el caso de que los
coeficientes en conjunto no sean significativos.
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2.6.2. Coeficientes de Auto Correlación Parcial
Estos coeficientes tienen un significado similar a los de auto correlación, ya que
evalúan el grado de relación entre pares de valores de una serie separados un
cierto número de posiciones (una o más), pero ahora considerando que se
mantiene constante el efecto de otras separaciones. Su utilidad principal es como
ayuda en la etapa de identificación ligada a algunos tipos específicos de modelos
de serie de tiempo.
Los coeficientes de auto correlación parcial se vinculan con los coeficientes de
auto correlación rk mediante un sistema de ecuaciones lineales, cuya resolución
permite obtener los valores de aquellos. Sus valores varían también entre -1 y +1 y
para ellos pueden también definirse intervalos de confianza en torno al valor 0.
2.6.3. Coeficientes de Correlación Cruzada
Estos coeficientes se calculan de manera similar a los de auto correlación, pero
considerando valores de dos series relacionadas, en lugar de una. Así, por
ejemplo, un coeficiente rk corresponde a la correlación entre cada valor de una
serie y el de otra serie ubicado k posiciones adelante en el tiempo. De la misma
manera un coeficiente r-k evalúa la correlación entre cada valor de una serie y el
valor de otra serie ubicado k posiciones más atrás.
2.7. Suavizamiento ("smoothing")
Los procesos de suavizamiento o filtrado permiten obtener una apreciación del
comportamiento general de una serie, para lo cual obtienen, a partir de ésta, una
nueva serie en cuyos valores se reducen significativamente componentes no
deseables de variación de los valores experimentales (aleatoriedad y, en algunos
casos, estacionalidad). De esta manera la nueva serie obtenida resulta mucho
más "inteligible" que la serie original, en cuanto a apreciar su comportamiento
global.
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Los criterios más conocidos y aplicados para el suavizado de una serie son los
siguientes:
2.8. Promedios Móviles
De acuerdo a este criterio, cada valor de la serie suavizada se obtiene como
promedio de un número definido de valores de la serie original y se ubica en una
posición centrada con respecto a éstos. Por ejemplo, si consideramos cinco
valores para el promedio, un valor genérico y suavizado resulta, a partir de los
valores de la serie experimental X:
yt = (xt-2+ xt-1+ xt+ xt+1+ xt+2)/5
El proceso de promedio móvil puede aplicarse varias veces consecutivas a los
valores de una serie, lo que permite obtener diferentes grados de suavizamiento.
Asimismo, resulta posible aplicar ponderadores diferentes a cada uno de los
valores que forman cada promedio, con lo que se generaliza el proceso de
suavizado ("Hanning"). Un posible ejemplo de ello sería el siguiente, considerando
tres valores para el promedio:
yt = 0.25 x-1 + 0.5 xt + 0.25 xt+1
2.9. Métodos Robustos de Suavizamiento
Estos métodos, que en general se agrupan dentro del Análisis Exploratorio de
permiten obtener series suavizadas que se ven menos afectadas por valores
experimentales extraordinarios que los métodos de promedio móvil. Los métodos
robustos se basan en un concepto similar al de promedios móviles, pero
considerando ahora las medianas, en lugar de las medias aritméticas. Asimismo,
resulta posible combinar varias operaciones de medianas móviles, obteniendo
diferentes grados de suavizamiento. Dentro de estas operaciones se pueden
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contemplar también procesos de ponderación de los valores de medianas, igual
que en el caso de los promedios móviles.
2.10. Regresión
Mediante las técnicas de regresión puede suavizarse una cierta serie
experimental. Ello se logra ajustando a ella alguna función de regresión,
considerando al tiempo como variable independiente:
yt = f(t)
Una vez obtenida dicha función, resulta directa la determinación con ella de los
valores suavizados en correspondencia con los de la serie original. Las funciones
f() más usuales son la lineal y aquellas que se transforman al caso lineal:
potencial, exponencial, semilogarítmica, logística o polinómica.
2.11. Método de Estimación de la Tendencia
Una tendencia puede estimarse de diferentes maneras:
Método de los Mínimos Cuadrados.
Este método, puede usarse para calcular la ecuación de una recta o curva de
tendencia apropiada. Con esta ecuación se suelen calcular los valores de
tendencia T.
Método a Mano Libre
Este método, que consiste en trazar una recta o curva de tendencia simplemente
mirando la gráfica, puede usarse para estimar Y. Sin embargo, tiene la obvia
desventaja de depender demasiado del juicio individual.
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Método del Promedio Móvil
Por medio de promedios móviles de orden adecuado, se pueden eliminar patrones
cíclicos, estacionales e irregulares así solo el movimiento de tendencia.
Una desventaja de este método es que los datos al inicio y final de las series se
pierden, como en el ejemplo 1, donde se inició con siete números y con un
promedio móvil de orden 3 se llegó a cinco números. Otra desventaja es que los
promedios móviles pueden generar ciclos u otros movimientos que no estaban en
los datos originales. Una tercera desventaja es que los promedios móviles se ven
muy afectados por valores extremos. Para superar esto de alguna manera,
algunas veces se utiliza un promedio móvil ponderado con pesos adecuados; en
tal caso, se da el dato o a los datos centrales el mayor peso y a los valores
extremos se les proporcionan pesos pequeños.
Método de los Semipromedios
“Este consiste en separar los datos en dos partes (de preferencia iguales) y
calcular el promedio de los datos en cada parte, con lo que se obtienen dos puntos
en la gráfica de series de tiempo. Después se traza una recta de tendencia entre
estos dos puntos. Los valores de tendencia a partir de la recta de tendencia, pero
también pueden determinarse de manera directa, sin grafica”7
A pesar de que este método es sencillo de aplicar, suele conducir resultados
pobres cuando se utiliza en forma indiscriminada. Además, solo es aplicable
cuando la tendencia es lineal o aproximadamente lineal, aunque llega a
extenderse a casos en donde los datos pueden separarse en varias partes, en
cada una de las cuales la tendencia sea lineal.
7Ciro Martínez, Bencardino “Estadística básica aplicada“. Editorial ECE. Colombia. 2006. Pág. 249
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2.12. Estimación de las Variaciones Estacionales
Índice Estacional
Para determinar el factor estacional S en la ecuación (l), se debe estimar como
varían los datos en las series de tiempo de un mes a otro, considerando un año
típico. Un conjunto de números que muestra los valores relativos de una variable
durante los meses del año se llama índice estacional de la variable. Por ejemplo,
si se conoce que las ventas durante enero, febrero, marzo, etc., son de 50,
120,90, … Por ciento del promedio de las venta mensuales para todo el ano,
entonces los números 50, 120, 90, ….Proporcionan el índice estacional del ano,
estos números suelen llamarse números índice estacionales. El promedio (media)
del índice estacional para todo el ano debe ser 100, es decir, la suma de los
números índice de los 12 meses tiene que ser 1200%. Diversos métodos están
disponibles para calcular el índice estacional.
Método de Porcentaje Promedio.
“En este método, los datos de cada se me expresan como porcentajes del
promedio del ano. Entonces, se promedian los porcentajes de los meses
correspondientes de diferentes anos, usando una media o una mediana; si se usa
288 la media, es mejor evitar cualquier valor extremo que pueda presentarse. Los
12 porcentajes resultantes dan el índice estacional. Si su media no es 100% (es
decir, si la suma no es 1200%), entonces deben ajustarse, lo que se logra
multiplicándolos por un factor adecuado.”8
8Ibid. Pag. 250.
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Método del porcentaje de la tendencia o de la razón de la tendencia.
En este método, los datos de cada mes se expresan como porcentajes de valores
de la tendencia mensual. Un promedio adecuado de los porcentajes para los
meses correspondientes proporcionan, entonces, el índice requerido. Igual que en
el método 1, estos se ajustan si no promedian 100% obsérvese que dividir cada
valor mensual Y entre el valor de tendencia T correspondiente, proporciona Y/T =
CSI, de la ecuación (l), y que el siguiente promedio de Y/T produce los índices
estacionales. Mientras estos índices incluyan variaciones cíclicas e irregulares,
estas pueden ser una desventaja importante del método, especialmente si las
variaciones son grandes.
Método del Porcentaje del Promedio Móvil o la Razón del Promedio
Móvil.
En este método se calcula un promedio móvil de 12 meses. Dado que los
resultados así obtenidos caen entre meses sucesivos, en lugar de en la mitad del
mes (que es donde caen los datos originales), se busca un promedio móvil de 2
meses, de este promedio móvil de 12 meses. El resultado suele llamarse
promedio móvil centrado de 12 meses.
Después de esto, se expresan los datos originales de cada mes como un
porcentaje del promedio móvil centrado de 12 meses correspondiente a los datos
originales. Luego se promedian los porcentajes de los meses correspondientes,
con lo que se obtiene el índice requerido. Como antes, si estos no promedian
100% se hace un ajústela media, es mejor evitar cualquier valor extremo que
pueda presentarse. Los 12 porcentajes resultantes dan el índice estacional. Si su
media no es 100% (es decir, si la suma no es 1200%), entonces deben ajustarse,
lo que se logra multiplicándolos por un factor adecuado.
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2.13. Estimación de las Variaciones Cíclicas
Una vez que los datos han sido ajustados a las variaciones estacionales, también
suelen ajustarse a la tendencia dividiéndolos, sencillamente, entre los valores de
tendencia correspondientes. De acuerdo con la ecuación (l), el proceso de ajuste a
la variación estacional y a la tendencia es equivalente a dividir Y entre ST, que
resulta en Cl (las variaciones cíclicas e irregulares). Un promedio móvil adecuado
de pocos meses de duración (como 3, 5 o 7 meses, de modo que en
consecuencia no se necesita centrado) sirve, entonces, para suavizar las
variaciones irregulares l y para dejar únicamente las variaciones cíclicas C. Una
vez que se han aislado estas variaciones cíclicas, es posible estudiarlas en
detalle. Si se presenta una periodicidad o periodicidad aproximada de ciclos, se
pueden construir índices cíclicos de la misma manera que los índices
estacionales.
2.14. Estimación de las Variaciones Irregulares
“Las variaciones irregulares (o aleatorias) pueden estimarse ajustando los datos
alas variaciones de tendencia, estacionales y cíclicas. Esto equivale a dividir los
datos originales y entre T, S y C, lo que [por ecuación (1) da I. En la práctica se
encuentra que los movimientos irregulares se inclinan a tener una pequeña
magnitud y suelen seguir el patrón de una distribución normal; es decir, las
pequeñas desviaciones ocurren con gran frecuencia las desviaciones grandes
suceden con poca frecuencia].”9
Promedios Móviles
A menudo, se considera que una tendencia secular es un indicio del “recorrido
general” de la generación d una serie de tiempo. Si se tiene incertidumbre de
quela tendencia sea lineal o de que se podría describir mejor por medio de alguna
9Bowerman L. Bruce, Richard T. O’Connell “Pronósticos, series de tiempo y regresión: un enfoque aplicado”. Editorial CENGAGE. 4º. Edición. México, DF., 2006. Pág.380.
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otra clase de curva, si no estamos seguros de tener en realidad una tendencia o
parte de un ciclo y si no estamos realmente interesados en obtener una ecuación
matemática, podemos describir muy adecuadamente el “comportamiento” general
de una serie de tiempo mediante una serie artificial conocida como promedio
móvil.
Un promedio móvil se construye sustituyendo cada valor de una serie por la media
del mismo y algunos de los valores inmediatamente anteriores y posteriores. Por
ejemplo, en un promedio móvil de tres años, calculado en relación con datos
anuales, cada cifra anual es reemplazada por la media de ella misma y las cifras
anuales de los dos años adyacentes; en un promedio móvil de cinco años cada
cifra anual se sustituye por la media de dicha cifra y las de los dos años anteriores
y las de los dos años siguientes. Di la ponderación se realiza en un numero par de
periodos, por ejemplo, 4 años o 12 meses, el promedio móvil quedara inicialmente
entre años o meses sucesivos.
En estos casos, se suelen “reordenar” (o “centrar”) los valores tomando el
promedio móvil de los dos años (o dos meses) adyacentes. Utilizaremos este
procedimiento más adelantes para medir la variación estacional.
El problema básico en la elaboración de un promedio móvil es la elección de un
periodo apropiado para el promedio. Esta elección depende considerablemente
dela naturaleza de los datos y del propósito para el cual se elabora el índice.
Ordinariamente, el objeto de ajustar un promedio móvil es el de eliminar, hasta
donde sea posible, las fluctuaciones indeseables o perturbadoras de los datos. El
primer paso del procedimiento consiste en determinar los totales móviles de los12
meses que aparecen en la columna 2. El primer dato de esta columna 211.5, 291
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