@2012,Eko Didik Representasi Representasi Bilangan dan ... · PDF fileinformasi/bilangan...
Transcript of @2012,Eko Didik Representasi Representasi Bilangan dan ... · PDF fileinformasi/bilangan...
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Representasi Bilangan dan OperasiAritmatika
Kuliah#8 TSK205 Sistem Digital - TA 2011/2012
Eko Didik Widianto
Teknik Sistem Komputer - Universitas Diponegoro
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Review Kuliah
I Sebelumnya telah dibahas tentang sintesis rangkaianlogika dan teknologi implementasi menggunakan CMOS.Dalam rangkaian logika, diimplementasikanvariabel-variabel (masukan dan keluaran) yangmenyatakan suatu keadaan switch atau kondisi atausistem
I Selanjutnya akan dibahas tentang representasi nilaidigital untuk variabel sistem digital/komputer ini
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Tentang Kuliah
I Representasi posisional: bilangan unsigned, desimal,biner, oktal dan hexadesimal
I Konversi bilanganI Bilangan bertanda: sign-magnitude, 1´s complement, 2´s
complementI Operasi penjumlahan dan penguranganI Overflow aritmatikaI Bilangan fixed-point, floating-point, BCD dan ASCII
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Kompetensi Dasar
I Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa akan mampu:1. [C2] Mahasiswa akan mampu menuliskan sistem bilangan
digital, dalam bentuk bilangan positional, bertanda (signed)dan tak bertanda (unsigned) dengan tepat
2. [C2] Mahasiswa akan mampu menuliskan bilangan pecahandalam bentuk fixed-point dan floating-point dengan tepat
3. [C2] Mahasiswa akan mampu merepresentasikaninformasi/bilangan digital ke dalam kode BCD (binary-codeddecimal) maupun ASCII dengan tepat
4. [C3,C4] Mahasiswa akan mampu melakukan operasipenjumlahan dan pengurangan dengan tepat menggunakansistem bilangan 2´s complement dan mampu menganalisiskondisi overflow aritmatika
I LinkI Website: http://didik.blog.undip.ac.id/2012/02/24/
kuliah-sistem-digital-tsk-205-2011/I Email: [email protected]
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Bahasan
Representasi Posisional
Bilangan Signed (Bertanda)
Operasi Penjumlahan dan Pengurangan
Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Bilangan Integer dan Desimal
I Dua tipe bilangan
1. Tak bertanda (unsigned): bilangan yang hanya memuatnilai positif
2. Bertanda (signed): bilangan yang memuat nilai positif dannegatif
I Sistem desimal, unsigned integerI bilangan memuat digit yang mempunyai nilai 0-9I Bilangan desimal n-digit dapat dinyatakan sebagai
D = dn−1dn−2 · · ·d1d0I Bilangan D tersebut mewakili nilai integer
V (D) = dn−1×10n−1+dn−2×10n−2+· · ·+d1×101+d0×100
Misalnya: 8547 mewakili8 × 103 + 5 × 102 + 4 × 101 + 7 × 100
I Representasi bilangan tersebut disebut representasiposisional
I Bilangan desimal disebut bilangan radix-10 atau base-10,karena digitnya mempunayi 10 nilai yang mungkin dan tiap digitberbobot pangkat 10
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Bilangan Biner
I Dalam sistem digital, digunakan bilangan biner atau base-2I Tiap digit (bit, binary digit) mempunyai nilai 0 atau 1I Sebuah variabel mewakili satu bit
I Representasi posisional bilangan biner n-digit:B = bn−1bn−2 · · ·b1b0
I Bilangan B tersebut mewakili nilai integer V(B)
V (B) = bn−1×2n−1 +bn−2×2n−2 + · · ·+b1×21 +b0×20 =n−1∑i=0
bi × 2i
I Misalnya:(1101)2 = 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = (13)10
I Bilangan n-bit mewakili bilangan integer positif dari 0 . . . 2n − 1
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Bilangan Oktal dan Hexadesimal
I Representasi posisional dapat digunakan untuk sebarangradix
I Untuk radix r, maka untuk bilangan
K = kn−1kn−2 · · · k1k0mempunyai nilai integern−1∑i=0
ki × ri
I Bilangan dengan radix 8 disebut oktalI Digit bernilai dari 0 . . . 7
I Bilangan dengan radix 16 disebut hexadesimal (hex)I Digit bernilai dari 0 . . . 9 dan A . . .F
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Representasi Bilangan dan Nilai Ekivalennya
Desimal Biner Oktal Hexa Desimal Biner Oktal Hexa
0 0000 0 0 8 1000 10 8
1 0001 1 1 9 1001 11 9
2 0010 2 2 10 1010 12 A
3 0011 3 3 11 1011 13 B
4 0100 4 4 12 1100 14 C
5 0101 5 5 13 1101 15 D
6 0110 6 6 14 1110 16 E
7 0111 7 7 15 1111 17 F
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Konversi Bilangan
I Konversi bilangan biner ke desimal atau sebaliknyaI Biner ke desimal
V (B) = bn−1 × 2n−1 + bn−2 × 2n−2 + · · ·+ b1 × 21 + b0 × 20
=
n−1∑i=0
bi × 2i
Misalnya:
(11101011)2 = 27 + 26 + 25 + 23 + 21 + 20
= (235)10 = 235
I Desimal ke binerI Bagi bilangan desimal D dengan 2, memberikan hasil bagi
(quotient) dan sisa. Sisa nilainya 0 atau 1. Sisa akan menjadiLSB
I Bagi quotient dengan 2, memberikan hasil bagi dan sisa.Ulangi pembagian quotient sampai quotient=0
I Untuk setiap pembagian, sisa akan merepresentasikan satubit bilangan binernya
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Contoh Desimal ke Biner
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Konversi Biner-Oktal-Hexadesimal
I Biner - OktalI 1 digit oktal merupakan grup 3 digit biner
I Konversi biner - oktal:Biner 001 000 110 100Oktal 1 0 6 4
I Konversi oktal - biner:Oktal 2 3 6 7Biner 010 011 110 111
I Biner - HexadesimalI 1 digit hexa merupakan grup 4 digit binerI Konversi biner - hexa:
Biner 1111 0000 0110 0100Hexa F 0 6 4
I Konversi hexa - biner:Hexa 2 A C 7Biner 0010 1010 1100 0111
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Bilangan Signed
I Dalam sistem biner, representasi bilangan signed berisi:tanda (sign) dan besar nilai (magnitude)
I Tanda diyatakan oleh bit paling kiri (0: bilangan positif, 1:bilangan negatif)
I Bilangan n-bit: 1 bit paling kiri menyatakan tanda, n-1 bitberikutnya menunjukan besar nilai bilangan
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Bilangan Sign-Magnitude
I Di bilangan signed, terdapat 3 format yang umum digunakanuntuk representasi bilangan negatif
1. Sign-Magnitude2. 1’s Complement3. 2’s Complement
I Bilangan sign-magnitude menggunakan 1 bit paling kiri untukmenyatakan tanda (0: positif, 1: negatif) dan bit sisanyamenyatakan magnitude (besar nilai bilangan). Bilangan 4-bit:
0 1 2 3 4 5 6 7Positif 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
Negatif 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111I Walaupun ini mudah dipahami, tapi ini tidak cocok digunakan di
sistem komputer (dibahas di Operasi Bilangan)
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Bilangan 1’s Complement
I Skema 1’s Complement:Bilangan n-bit negatif K dapat diperoleh dari mengurangkan2n − 1 dengan bilangan positif ekivalennya PK = (2n − 1)− P
I Misalnya untuk bilangan 4-bit (n=4):K = (24 − 1)− P = 15 − P = (1111)2 − P
0 1 2 3 4 5 6 7
Positif 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
Negatif 1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001 1000I Terlihat bahwa 1’s complement dapat dibentuk dengan
mengkomplemenkan tiap bit bilangan, termasuk bit tandaI Masih ada kekurangan dari penggunaan 1’s complement
(dibahas di Operasi Bilangan)
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Bilangan 2’s Complement
I Skema 2’s Complement:Bilangan n-bit negatif K dapat diperoleh darimengurangkan 2n dengan bilangan positif ekivalennya PK = 2n − P
I Misalnya untuk bilangan 4-bit (n=4):K = 24 − P = 16 − P = (10000)2 − P
0 1 2 3 4 5 6 7 8Positif 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 -Negatif 0000 1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001 1000
I Terlihat bahwa 2’s complement dapat dibentuk denganmengkomplemenkan tiap bit bilangan dan menambahkan1
I (2’s complement) = (1’s complement) + 1
I Bilangan signed 2’s complement ini yang seringdigunakan dalam sistem komputer
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Aturan Mencari 2’s Complement
I Jika diberikan satu bilangan signed B = bn−1bn−2 · · ·b1b0
(baik positif maupun negatif) maka 2’s complementnyaK = kn−1kn−2 · · · k1k0 dapat diperoleh dengan
I Melihat semua bit B dari kanan ke kiri (mulai b0, b1, dst) danmengkomplemenkan semua bit setelah nilai ’1’ yangpertama dijumpai
I Jika B=+76 (01001100) maka K=-76 (10110100)I Jika B=-81 (10101111) maka K=+81 (01010001)
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Bilangan Integer Bertanda (Signed Integer)4-bit
b3b2b1b0 sign-magnitude 1’s complement 2’s complement
0111 +7 +7 +7
0110 +6 +6 +6
0101 +5 +5 +5
0100 +4 +4 +4
0011 +3 +3 +3
0010 +2 +2 +2
0001 +1 +1 +1
0000 +0 +0 +0
1000 -0 -7 -8
1001 -1 -6 -7
1010 -2 -5 -6
1011 -3 -4 -5
1100 -4 -3 -4
1101 -5 -2 -3
1110 -6 -1 -2
1111 -7 -0 -1
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Jangkauan Bilangan Signed
#Bit Nama Jangkauan
4 nible, semioctet signed: −(23) s/d 23 − 1
unsigned: 0 s/d 24 − 18 byte, octet signed: −
(27) s/d 27 − 1
unsigned: 0 s/d 28 − 116 half-word, word, short signed: −
(215) s/d 215 − 1
unsigned: 0 s/d 216 − 132 word, long, doubleword,
intsigned: −
(231) s/d 231 − 1
unsigned: 0 s/d 232 − 164 doubleword, int64 signed: −
(263) s/d 263 − 1
unsigned: 0 s/d 264 − 1n Integer n-bit (bentuk
umum)signed: −
(2n−1) s/d 2n−1 − 1
unsigned: 0 s/d 2n − 1
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Operasi Bilangan Unsigned
I Operasi penjumlahan 2 bilangan 1-bit memberikan 4kombinasi yang mungkin
I Diimplementasikan dengan HA (Half-Adder)
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Rangkaian Full-Adder (FA)
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Rangkaian Full-Adder (Dekomposisi)
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Rangkaian Full-Adder (Dekomposisi Lain)
I Persamaan:I ci+1 = xiyi + xici + yici = xiyi + (xi + yi) ciI si = xi ⊕ yi ⊕ ci
I Anggap gi = xiyi dan pi = xi + yi , maka ci+1 = gi + pici
I Rangkaian?
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Operasi Penjumlahan
I Operasi penjumlahan 2 bilangan dengan n-bit (n>1)I Tiap pasang bit ditambahkanI Untuk tiap posisi bit i, operasi penjumlahannya mungkin
melibatkan sebuah carry-in dari bit posisi (i-1)
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Ripple Carry Adder (RCA)I Operasi penjumlahan dimulai dari pasangan digit paling kanan
(LSB) sampai ke paling kiri (MSB)I Jika sebuah carry dihasilkan dalam suatu posisi bit i, maka carry
tersebut ditambahkan ke operasi penjumlahan di digit denganposisi i+1
I Operasi ini dapat diwujudkan dengan sebuah rantai full-adder(FA) yang dihubungkan seri
I Konfigurasi ini disebut sebagai penjumlah ripple-carryI Sinyal carry ’ripple’ dari FA satu ke FA berikutnyaI RCA ini mempunyai kelemahan, yaitu adanya delay untuk
meripple carryI Akan diperbaiki dengan struktur CLA
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Operasi Bilangan Signed
I Sign-magnitudeI Misalnya: operasi 5-2=? ekivalen dengan 5+(-2)=3.
Bagaimana implementasinya, apakah 0101+1010?I Perlu rangkaian logika untuk membandingkan dan
mengurangkan bilangan
I 1’s complementI Misalnya: (-5)+(-2)=(-7). Ekivalen dengan
1010+1101=(1)0111. Carry 1 harus ditambahkan ke 0111agar menghasilkan 1000 (=-7)
I Perlu koreksi untuk mendapatkan hasil yang benar
I 2’s complementI penjumlahan selalu benar
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Operasi 2’s Complement
I Penjumlahan
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Operasi 2’s Complement
I Pengurangan
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Unit Penjumlah dan Pengurang
I Operasi pengurangan dapat direalisasikan sebagaioperasi penjumlahan dengan menggunakan 2’scomplement di pengurangnya (baik positif maupun negatif)
I Ini memungkinkan menggunakan rangkaian adder untukmelakukan penjumlahan dan pengurangan sekaligus
I Note: (2’s complement) = (1’s complement) + 1I 1’s complement dapat diimplementasikan dengan
menggunakan XORI x ⊕ 1 = x dan x ⊕ 0 = xI Jika operasi pengurangan dilakukan, 1’s complementkan
bilangan kedua dengan meng-XOR-kan semua bit dengan 1
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Unit Penjumlah dan Pengurang
I Menggunakan 2’s complement di bilangan pengurang
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Overflow Aritmatika
I Jika n-bit digunakan untuk merepresentasikan bilangansigned, maka hasil penjumlahan atau pengurangan harusdalam jangkauan −2n−1 sampai +2n−1 − 1
I Jika hasil operasi tidak dalam jangkauan ini, maka telahterjadi overflow aritmatika
I Untuk memastikan rangkaian aritmatika beroperasi denganbenar, perlu pendeteksi kejadian overflow
I Untuk operasi 4-bit, jika c3 dan c4 mempunyai nilai yangsama, maka tidak terjadi overflow
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Overflow Aritmatika
I Overflow dapat dideteksi dengan:I overflow = c3 ⊕ c4
I Untuk bilangan n-bitI overflow = cn−1 ⊕ cn
I Bagaimana rangkaian unit penjumlah/pengurang denganoverflow detection?
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Rangkaian Komparator Bilangan
I Misalnya: Bandingkan dua bilangan X = x3x2x1x0 danY = y3y2y1y0
I Bisa diimplementasikan dengan rangkaian pengurang (X-Y)I Terdapat 3 output: Z, N, V
I Z=1 jika (X-Y)=0, hasil lainnya Z=0I N=1 jika (X-Y)<0, hasil lainnya N=0I V=1 jika terjadi overflow aritmatika, kalau tidak ada overflow
V=0
I Tunjukkan bagaimana Z, N, V digunakan untuk menentukanX=Y, X<Y, X≤Y, X>Y dan X≥Y
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Solusi
I Misalnya X < Y, kemungkinan yang akan terjadiI Jika X dan Y mempunyai tanda yang sama, tidak akan
terjadi overflow, sehingga V=0. Dan untuk semua nilai Xdan Y (positif/negatif) menghasilkan nilai negatif N=1
I Saat X negatif dan Y positif, maka (X-Y) akan negatif (N=1)jika tidak ada overflow (V=0) dan (X-Y) akan positif (N=0)jika terdapat overflow (V=1)
I Sehingga jika X<Y maka N ⊕ V = 1I Hasil
I X=Y terdeteksi saat Z=1I X<Y terdeteksi jika N ⊕ V = 1. X≤Y terdeteksi jika
Z + (N ⊕ V ) = 1I X>Y terdeteksi jika Z + (N ⊕ V ) = 1. X≥Y terdeteksi jika
(N ⊕ V ) = 1
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Rangkaian Komparator 4-bit
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Bilangan Fixed-Point
I Bilangan fixed-point terdiri atas bagian integer (digit signifikan) danpecahan
I memungkinkan bilangan pecahan (mis: 75,625)I Digunakan di mesin yang tidak mempunyai FPU (floating-point unit)
I Notasi bilangan (n+k) bit: Bn, k = bn−1bn−2 · · ·b1b0,b−1b−2 · · ·b−k
I n: #bit integer (tanpa bit tanda), k: #bit pecahan. Misal: B3,4adalah bilangan dengan 3 bit integer dan 4 bit pecahan yangdisimpan dalam satu integer 2’s complement 8-bit
I Nilai bilangan: V(Bn, k) =n−1∑i=−k
bi × 2i
I Contoh:I B3, 4 = (0101, 1010)2 = 22 + 1 + 2−1 + 2−3 = 5, 62510 = 5,A16I B3, 4 = (1011, 1010)2 = −
(22 + 1 + 2−1 + 2−3) = −5, 62510 =
B,A16
I Rangkaian logika untuk fixed-point sama dengan bilangan integer
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Konversi Bilangan Fixed-Point
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Konversi Bilangan Fixed-Point
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Bilangan Floating-Point
I Bilangan fixed-point mempunyai range yang dibatasi oleh digitsignifikan yang digunakan untuk merepresentasikan bilangan
I Dalam beberapa aplikasi, diperlukan bilangan yangmungkin sangat besar atau sangat kecil
I Memerlukan representasi floating-pointI Bilangan direpresentasikan dengan mantissa yang berisi
bit signifikan dan eksponen dari radix RI Format: mantisa × Reksponen
I Bilangan tersebut seringkali dinormalisasi terhadapradixnya. Misalnya untuk radix 10: 1, 5 × 1044atau1, 25 × 10−36
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Format IEEE Presisi Tunggal
I IEEE mendefinisikan format 32-bit (single precision) untuk nilaifloating-point (IEEE 754-1985)
I 1-bit sign (S)I 8-bit eksponen (E)I 23-bit mantissa (M)
I Dalam programming dikenal dengan tipe data float (C, C++, Java) dansingle (Pascal, VB, MATLAB)
I Nilai bilangan: V(B) = (−1)S
(1 +
23∑i=1
b−i × 2−i
)× 2E−127
I Baca: http://en.wikipedia.org/wiki/Single_precision
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Bilangan Float 32-bit
I Representasi bilangan floatI B = (3E200000)16I B=(+)(1.01)2 × 2124−127 = +(0.00101)2 = 0.15625
I Nilai eksponen:I Emin = 1, Emax = 254, menghasilkan eksponen (bias=127):
E = 1− 127 = −126 dan E = 254− 127 = 127
Eksponen(E)
Signifikan=0 signifikan6=0 Persamaan
0 0, -0 subnormal (−1)S × 0.bit signifikan × 2−126
1-254 Nilai ternormalisasi (−1)S × 1.bit signifikan × 2E−127
255 ∞ bukan bilangan(NAN=not-a-
number)
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Contoh Bilangan Float 32-bit
I Nyatakan nilai bilangan dari:
I Nyatakan bilangan (3.5)10 dalam bentuk IEEE singleprecision
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
BCD (Binary-Coded Decimal)
I Binary-coded-decimal mengkodekan bilangan desimal dalambentuk biner
I Karena terdapat 10 nilai yang harus diwakili, diperlukan 4 bit perdigit
I Dari 0=0000 sampai 9=1001I Contoh: (01111000)BCD = (78)10
I BCD digunakan di sistem komputer terdahulu dan kalkulator,keypad numerik
I Menyediakan format yang memadai saat informasi numerikperlu ditampilkan di display sederhana berorientasi digit
I Tapi, membutuhkan rangkaian yang kompleks untukmelakukan operasi aritmatika dan masalah efisiensi kode (6buah kode tidak digunakan)
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Operasi dengan BCD
I Operasi penjumlahan Z = X + YI Jika Z ≤ 9, maka S=Z dan Carry=0I Jika Z > 9, maka S=Z+6 dan Carry=1
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Rangkaian Penjumlah BCD 1 Digit
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Implementasi Rangkaian Penjumlah BCD 1Digit
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Kode ASCII
I Kode yang sering digunakan untuk merepresentasikaninformasi di komputer
I American Standard Code for Information InterchangeI bilangan, huruf, tanda baca dan kontrol kode
I Kode ASCII menggunakan pola 7-bit untukmerepresentasikan 128 simbol
I digit bilangan (0-9)I karakter (a-z dan A-Z)I tanda bacaI kode kontrol
I Kode ASCII ekstended 8-bit mempunyai tambahan simboluntuk 128 karakter grafik (local glyph)
I http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_ASCII
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
Kode ASCII
I Lihat: http://en.wikipedia.org/wiki/ASCIII Sumber:
http://en.wikipedia.org/wiki/File:ASCII_Code_Chart-Quick_ref_card.png
Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika
@2012,Eko DidikWidianto
RepresentasiPosisional
Bilangan Signed(Bertanda)
Operasi Penjumlahandan Pengurangan
Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point
Representasi Lainnya
Lisensi
LisensiCreative Common Attribution-ShareAlike 3.0 Unported (CCBY-SA 3.0)
I Anda bebas:I untuk Membagikan — untuk menyalin, mendistribusikan,
dan menyebarkan karya, danI untuk Remix — untuk mengadaptasikan karya
I Di bawah persyaratan berikut:I Atribusi — Anda harus memberikan atribusi karya sesuai
dengan cara-cara yang diminta oleh pembuat karyatersebut atau pihak yang mengeluarkan lisensi
I Cantumkan sumber asal file ini, yaituhttp://didik.blog.undip.ac.id/2012/02/24/
kuliah-sistem-digital-tsk-205-2011/
I Pembagian Serupa — Jika Anda mengubah, menambah,atau membuat karya lain menggunakan karya ini, Andahanya boleh menyebarkan karya tersebut hanya denganlisensi yang sama, serupa, atau kompatibel.
I Lihat: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0Unported License