20121MAT042S6 Ejercicios Funciones de Variables Aleatorias y B
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Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Mat 042 - PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Profesor: Rubén Escanilla Problema 1.- La función de distribución de una variable aleatoria X es: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > − = − caso otro en x si e ) x ( F x X 0 0 1 2 Hallar la función densidad de la variable aleatoria ) 1 ln( + = X Y Solución: 0 y si e 1 ) 1 e X ( P ) y ) 1 X (ln( P ) y Y ( P ) y ( F 2 y ) 1 e ( y Y > − = − ≤ = ≤ + = ≤ = − − ( ) 0 y e e 1 e 2 ) y ( F dy d ) y ( f 2 y ) 1 e ( y y Y Y > − = = − − Problema 2.- Se denomina distribución de Rayleigh, de parámetro b , a la de la variable aleatoria 2 1 Y X = donde Y tiene f.d.p ⎩ ⎨ ⎧ ≥ = − caso otro en y si e y f y Y 0 0 ) ( λ λ con 2 2 1 b = λ a) Determinar la f.d.p. de X b) Calcular ) / 2 ( b X b X P ≥ ≤ c) Calcular la probabilidad de que la variable aleatoria X sea inferior a su valor esperado. Solución: Obviamente, la f.d.a. de la v.a Y es: ⎩ ⎨ ⎧ ≥ − = λ − caso otro en 0 0 y si e 1 ) y ( F y Y ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > − = = ≤ = ≤ = ≤ = λ − . c . o . e 0 0 x si e 1 ) x ( F ) x Y ( P ) x Y ( P ) x X ( P ) x ( F 2 x 2 Y 2 2 1 X ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > λ = = λ − . c . o . e 0 0 x si xe 2 )) x ( F ( dy d ) y ( f 2 x X Y 77687 , 0 e e e ) b ( F 1 ) b ( F ) b 2 ( F ) b X ( P ) b 2 X b ( P ) b X / b 2 X ( P 5 , 0 0 , 2 5 , 0 X X X ≈ − = − − = ≥ ≤ ≤ = ≥ ≤ − − − Para la distribución de Rayleigh de parámetro b , se verifica que: 2 2 b ) X ( E π = y 2 b 2 2 ) X ( Var ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − = 544 , 0 e 1 ) 2 2 b ( F )) X ( E X ( P 4 X ≈ − = π = < π − Problema 3.- Sea X una variable aleatoria con f.d.a. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ = − caso otro en x si e x F x X 0 0 ) ( 3 1
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ESTADISTICA
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Universidad Tcnica Federico Santa Mara Departamento de Matemtica
Mat 042 - PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Profesor: Rubn Escanilla
Problema 1.- La funcin de distribucin de una variable aleatoria X es:
>=
casootroenxsie)x(F
x
X 001
2
Hallar la funcin densidad de la variable aleatoria )1ln( += XY Solucin:
0ysie1)1eX(P)y)1X(ln(P)yY(P)y(F2y )1e(y
Y >==+==
( ) 0yee1e2)y(Fdyd)y(f
2y )1e(yyYY >==
Problema 2.- Se denomina distribucin de Rayleigh, de parmetro b , a la de la variable
aleatoria 21
YX = donde Y tiene f.d.p
=
casootroenysie
yfy
Y 00
)(
con 221b
=
a) Determinar la f.d.p. de X b) Calcular )/2( bXbXP c) Calcular la probabilidad de que la variable aleatoria X sea inferior a su valor esperado. Solucin:
Obviamente, la f.d.a. de la v.a Y es:
=
casootroen00ysie1
)y(Fy
Y
>=====
.c.o.e00xsie1)x(F)xY(P)xY(P)xX(P)x(F
2x2
Y22
1
X
>==
.c.o.e00xsixe2))x(F(
dyd)y(f
2x
XY
77687,0eee
)b(F1)b(F)b2(F
)bX(P)b2Xb(P)bX/b2X(P 5,0
0,25,0
X
XX =
=
=
Para la distribucin de Rayleigh de parmetro b , se verifica que:
22b)X(E = y 2b
22)X(Var
=
544,0e1)22b(F))X(EX(P 4X ===>==== ysiyF
yXP
yXPy
XPyYPyF XY
033
)())(1()(34
34
31
31
>===
ysieyyyfyF
dydyf yXXY
Problema 4.- Sea X una variable aleatoria con f.d.a.
xeX exF
=)( para cada x real. a) Determinar su f.d.p. b) Determinar la f.d.p. de la variable aleatoria: XeY = Solucin: a) Su f.d.p. es
xexX eexf
=)( definida en todos los reales. b)
0))ln((1))ln(())ln(()()()( >=>==== ysiyFyXPyXPyePyYPyF XX
Y
01))ln(()))ln((1()( >=== ysiey
yfyFdydyf yXXY
Problema 5.- Sea X una v.a. continua e Y una v.a. discreta tal que la funcin conjunta de probabilidad est dada por:
{ }
>=
casootroen
yxyex
yxf
xy
YX
0
,...2,1,00!),(
2
,
a) Encontrar la f.d.p. marginal de )(, yfY Y Qu f.d.p. conocida es?. b) Encontrar la f.d.p. condicional )/(,2/ 2/ yxfYX YX == c) Encontrar )2/()2/( == YXVaryYXE Solucin:
+
+
+
===0
2
0
2
0
2
)2(!2
1!1
!)( dxex
ydxex
ydx
yexyf xyy
xyxy
Y Haciendo el cambio de
variable
dxduxu 22 == +
+
+
===0
2
0
2
0
2
)2(!2
1!1
!)( dxex
ydxex
ydx
yexyf xyy
xyxy
Y
)1(!2
1)(!2
12
)(!2
1)( 10
10
+=== ++
+
+ yydueuydueu
yyf y
uyy
uyyY
)1(!2
1!
)(),(
)/(1
2
,/
+==
+
yy
yex
yfyxf
yxfy
xy
Y
YXYX
-
0)3(
2
)12(!22
1!2)/(
223
12
22
2/ >=
+=
+
= xex
ex
yxfx
x
YX es decir )21,3(2/ =YX
As 23)2/( ==YXE y
43)2/( ==YXVar
Problema 6.- Sean X e Y v.a. con densidad conjunta definida por:
=...0
10114),(
2
, coexyxx
yxf YX
Obtenga )21/( =XYE
Solucin:
Como: )(),(
)/( ,/ xfyxf
xyfX
YXXY = necesitamos calcular la marginal de la v.a. X.
104))1(1(44),()( 321
1,
2
====
+
xsixxxxdydyyxfxfx
YXX . Luego:
1011144
)(),(
)/( 223,
/ === xparayxsixxx
xfyxf
xyfX
YXXY
12114
211)/(
2
221/
=
==
ysixyfXY
. Finalmente:
==
...0
1434
)(21/
coe
yyf
XY
87))
43()1((24)()
21/( 22
1
432
1/=====
+
=
dyydyyyfXYEXY
Problema 7.- Se selecciona una m.a.s. de 16 observaciones de una distribucin normal con media y desviacin estndar 12 y que se selecciona independientemente otra m.a.s. de 25 observaciones de una distribucin normal con la misma media y desviacin estndar 20. Sean
YX y las medias muestrales de las dos muestras. Calcula ( )5
- Problema 8.- Se va a seleccionar una m.a.s. de tamao n de una distribucin normal con media y varianza 92 = . Determina el valor de n para el cual ( ) 95,01
-
Para solucionar la inecuacin anterior en c, recordemos que la parbola x2 + bx toma valores negativos entre sus ceros es decir, 0 y b, as los valores de c que satisfacen la inecuacin anterior, deben cumplir 0 < c < 2 y 0 100 prefiero el segundo. Si n > 100 y sabemos que c < 2, conviene el primero. Si n 100 y c < 2, con la informacin del enunciado no se puede saber si el 1 es mejor que el 3, entonces, es preferible el estimador en 3, que al menos se sabe insesgado.
Problema 10.- Considere dos muestras aleatorias independientes de tamaos: n = 31 y m=61,
311,...,XX ; 611,...,YY de la variables independientes ),N(~2
1 X ; ),N(~2
2 Y respectivamente. A partir de cada muestra se proponen los siguientes estimadores de la varianza 2 :
30)( 231
12 = = i iXXX
S ; 60
)( 26112 = = i iY
YYS
a) Demuestre que el estimador mnmSnSS YX
++
=22
2 es mejor que los anteriores.
b) Considere el siguiente estimador de la varianza: 222 YXp SSS += . Encuentre las ponderaciones y de modo que el estimador anterior sea insesgado y an mejor que 2S .
SOLUCION a)
Se sabe que ambos estimadores S2X y S2Y son estimadores insesgados de 2.
Ahora, con respecto a S2, se tiene que tambin es insesgado pues:
22222
2 =++=
++
=mnmn
mnmESnESES YX
Adems se sabe que en el caso normal, Var[S2X] = 24/(31-1) = 24 0,033 y Var[S2Y] = 24/(61-1) = 24 0,017.
Adems, 2
22222
)( mnVarSmVarSnVarS YX
++
= = 24 0,011
As el estimador anterior tiene menor varianza y por lo tanto es mejor que los dos anteriores.
b) Para el estimador S2p sea insesgado con respecto 2, los ponderadores deben sumar 1, += 1, es decir, = 1- y la varianza queda:
Var [ S2p] = 2 24 0,033 + (1-)2 24 0,017
Derivando e igualando a cero, se tiene, 224 0,033 - 2(1-) 24 0,017 = 0
Resolviendo = 0,34 y = 1- = 0,66.
Una moraleja importante del ejercicio anterior es que la combinacin lineal de estimadores produce estimadores mejores que los originales.
-
P R O P U E S T O S
Problema 1.- Si la fdp de X es )1(6)( xxxf = , con 0 < x < 1, determine la fdp de las siguientes variables aleatorias: a) Y = 4 X2 b) Y = eX c) Y = 1 / X d) Y = ln X Problema 2.- Se sabe que la funcin generadora de momentos de la suma de n v.a independientes es igual al producto de las funciones generadoras de momentos de las variables individuales, es decir:
)()...()()(2121 ... tMtMtMtM nn XXXXXX =+++ y adems se sabe que: )()( atMetM X
btbaX =+ . Probar
que )()...()()(21 n
tMntM
ntMtM
nXXXX = . Si adems las v.a. nXXX ,...,, 21 son idnticamente
distribuidas provenientes de una poblacin con funcin de distribucin )(xFX . Probar que: n
XX ntMtM
= )()( . A partir de la frmula anterior y si =)(XE y 2)( =XVar . Muestre que:
=)(XE y n
XVar2
)( = .
Problema 3.- Considere dos muestras i.i.d. independientes entre s, provenientes de poblaciones normales nXXX ,...,, 21 , mYYY ,...,, 21 . La primera proviene de una poblacin normal con media
X y desviacin estndar X , la segunda tambin proveniente de una poblacin normal con media Y y desviacin estndar Y . a) Demuestre que la distribucin que sigue la v.a. YXT = , con X e Y independientes, es
una normal con media YXYXT == y desviacin estndar dada por 22
YXYXT +== b) Si )1,4(NX y )2,2(NY , variables independientes. Calcular )4( > YXP . c) Demuestre que la distribucin que sigue la v.a. YXW = es una normal con media
YXYXW == y desviacin estndar dada por mnYX
YXW
22 +==
d) La filtracin de agua a travs del suelo depende, entre otras cosas, de la porosidad (volumen de los huecos del suelo). Para comparar dos clases de suelo arenoso se tomaron n=50 medidas de la porosidad del suelo A y m=100 medidas de la porosidad del suelo B. Suponga que 01,02 =A y 01,0
2 =B . Determine la probabilidad de que la diferencia entre las medias muestrales se encuentre dentro de 0.05 unidades de la diferencia entre las medias poblacionales BA .
Problema 4.- Si X tiene una distribucin binomial con n ensayos y una probabilidad de xito Xp , es decir, la v.a. X se puede considerar como la suma de una muestra que consta de ceros y
unos, =
=n
iiXX
1
donde
=...0
1coe
xitounesensayosimoidelresultadoelsiX i
-
las v.a. niX i ,...,2,1= son independientes. Por consiguiente, cuando n es grande, la proporcin
de xitos XXnn
XPn
iiX ===
=1
1 posee aproximadamente una distribucin normal con media
Xp y desviacin estndar npp XX )1( . Considere XP y YP dos proporciones muestrales
independientes basadas en n y m pruebas, respectivamente, procedentes de dos poblaciones binomiales cuyas probabilidades son Xp y Yp , respectivamente, y supongamos que n y m son lo bastante grandes para tratar a XP y YP como v.a. normales. Probar que la diferencia de las proporciones muestrales YX PP tiene una distribucin aproximadamente normal con media
yxPP ppYX = y desviacin estndar mpp
npp YYXX
PP YX)1()1(
=
Problema 5.- Use la funcin generadora de momentos para hallar la distribucin de la variable
=
=n
iiZW
1
2 donde nZZZ ,...,, 21 son v.a. i.i.d. de una poblacin normal con media 0 y desviacin
estndar 1. Indicacin: Recordar que si ),( GammaX , la funcin generadora de momentos
es )1(
1t
si 10 t . Hallar )4( 23
22
21
