2011 Distribucion Poisson EyM LA
-
Upload
annie-moleker -
Category
Documents
-
view
63 -
download
1
Transcript of 2011 Distribucion Poisson EyM LA
Lic. Gladys Pavan 1
La distribución de Poisson
Lic. Gladys Pavan 2
Tabla de contenido
Introducción
Objetivos de la presentación
Dato histórico
Utilidad
Propiedades de un proceso de Poisson
La distribución de Poisson
La función
Ejemplos
Lic. Gladys Pavan 3
Tabla de contenido
La tabla de la probabilidad de Poisson
Ejemplos
Ejercicio de redacción
La media y la desviación estándar
Resumen
Ejercicios de prueba
Glosario de términos
Referencias
Lic. Gladys Pavan 4
Introducción
En este módulo se describe el uso de la distribución de Poisson para obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros cuyo resultado lo representa una variable discreta.
Lic. Gladys Pavan 5
Objetivo general del módulo
Esperamos que cuando termines esta presentación puedas determinar cómo y cuándo se debe utilizar la distribución de Poisson para obtener las probabilidades de aquellas situaciones gerenciales que ocurren de forma impredecible y ocasional.
Lic. Gladys Pavan 6
Objetivos específicos
Además, esperamos que puedas:
1. Identificar las propiedades de una distribución Poisson.
2. Determinar los valores de frecuencia p y segmento n para establecer las bases para el cómputo de las probabilidades.
3. Determinar el promedio, la varianza y la desviación estándar utilizando las variables de la distribución de Poisson.
Lic. Gladys Pavan 7
Dato histórico
La distribución de Poisson se llama así
en honor a su creador, el francés
Simeón Dennis Poisson (1781-1840),
Esta distribución de probabilidades fue
uno de los múltiples trabajos matemáticos
que Dennis completó en su productiva trayectoria.
Lic. Gladys Pavan 8
Utilidad
La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.
Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto.
Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña.
Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido.
Lic. Gladys Pavan 9
Ejemplos de la utilidad
La llegada de un cliente al negocio durante una hora.
Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.
Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido.
Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de producto terminado.
Lic. Gladys Pavan 10
Propiedades de un proceso de Poisson
1. La probabilidad de observar exactamente un éxito en el segmento o tamaño de muestra n es constante.
2. El evento debe considerarse un suceso poco probable.
3. El evento debe ser aleatorio e independiente de otros eventos
Si repetimos el experimento n veces podemos
obtener resultados para la construcción de la
distribución de Poisson.
Lic. Gladys Pavan 11
La distribución de Poisson
La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta.
La distribución de Poisson parte de la distribución binomial.
Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento
muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribución de Poisson.
Se tiene que cumplir que:
p < 0.10
p * n < 10
Lic. Gladys Pavan 12
La función P(x=k)
P(x)= 𝝀𝒙𝒆−𝝀
𝒙!
Donde: P(X) es la probabilidad de ocurrencia de un evento exactamente X veces. λ = la media, E(x); Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). Es igual a p por el segmento dado. e = La constante e tiene un valor aproximado de 2.711828
A continuación veremos la función de probabilidad de la distribución de Poisson.
Lic. Gladys Pavan 13
Ejemplo1 de la función
F (x=k)
La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufactura es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?
Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es menor que 10 (300 * 0.02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de distribución de Poisson:
Al realizar el cómputo tenemos que P(x = 3) = 0.0892
Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 días de trabajo es de 8.9%.
Lic. Gladys Pavan 14
Ejemplo 2 de la función
F(x=k)
La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados hayan 5 defectuosos?
En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor que 0.1, y el producto n * p menor que 10, por lo que aplicamos el modelo de distribución de Poisson:
El resultado es P (x = 5) = 0.04602
Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos
defectuosos entre 800 recién producidos es de 4.6%.
Lic. Gladys Pavan 15
Tablas de probabilidad de Poisson
Utilizando la tabla de probabilidad de Poisson se pueden resolver los ejemplos anteriores.
Para esto, usted debe saber los valores X y λ.
X es el número de éxitos que buscamos. Este es el valor K.
λ es el número promedio de ocurrencias por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). Se consigue multiplicando a p por el segmento dado n.
Del ejemplo 1: λ = 0.02 * 300 = 6
Del ejemplo 2: λ = 0.012 * 800 = 9.6
Lic. Gladys Pavan 16
Tabla de probabilidad de Poisson
Obtenga más información de cómo asignar probabilidades utilizando las tablas.
Lic. Gladys Pavan 17
La media μ y la varianza σ2
17
Características de la distribución Poisson
k = 5 λ = 0.1
k = 5 λ = 0.5
Media
= E(X) = λ
Varianza
λ = σ2
0
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
0
Lic. Gladys Pavan 18
En resumen
En este módulo hemos determinado la probabilidad de Poisson mediante el uso de la función de Poisson y las tablas de distribución. Además, aprendimos que:
1. La distribución de Poisson se forma de una serie de experimentos de Bernoulli.
2. La media μ o valor esperado en la distribución de Poisson es igual a λ.
3. La varianza (σ2 ) en la distribución de Poisson también es igual a λ.
4. La desviacion estándar es la raíz de λ.
Lic. Gladys Pavan 19
Ejercicio de prueba #1
Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 3% de la caja está descompuesta. Si un comprador elige 100 verduras al azar, encuentre la probabilidad de que,
a) las 4 estén descompuestas.
b) de 1 a 3 estén descompuestas
Para resolver la pregunta “b” repase el
módulo de las reglas de probabilidad.
En este caso se resuelve sumando las
probabilidades P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)
= 0.1494 + 0.2240 + 0.2240
Lic. Gladys Pavan 20
Ejercicio de prueba #2
En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 0.04 presentaban fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que,
a) 4 salgan defectuosos,
b) más de 5 tengan fuga de aceite.
c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos.
d) Determine el promedio y la desviación estándar de amortiguadores con defectos.
La pregunta “b” debe sumar las probabilidades desde
P(x=6) en adelante.
En la “c” debe sumar P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6).
Lic. Gladys Pavan 21
Ejercicio de prueba #3
Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 200 alternadores de un lote. Si el 2% de los alternadores del lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra,
a) ninguno esté defectuoso,
b) uno salga defectuoso,
c) al menos dos salgan defectuosos
d) más de tres estén con defectos Para la pregunta “d” puede realizar
la siguiente operación:
1 – [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)]
Lic. Gladys Pavan 22
Ejercicio de prueba #4
La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin que falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en una muestra de 15,
a) 12 duren menos de un año,
b) a lo más 5 duren menos de un año,
c) al menos 2 duren menos de un año.
Lic. Gladys Pavan 23
Ejercicio de prueba #5
Si 8 de 100 viviendas violan el código de construcción. ¿cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a 50 de ellas, descubra que:
a) ninguna de las casas viola el código de construcción
b) una viola el código de construcción
c) dos violan el código de construcción
d) al menos tres violan el código de construcción
Lic. Gladys Pavan 24
Glosario de términos
Aleatorio – que ocurre al azar.
Distribución de Poisson – Distribución discreta que se aplica cuando se realizan más de una vez y de forma independiente el experimento de Bernoulli.
Éxitos – Es la ocurrencia del evento de interés como cantidad de defectos, llamadas recibidas, servicios completados.
Experimento independiente – Cuando el resultado de un experimento no tiene influencia en el resultado de otro experimento.
Lic. Gladys Pavan 25
Glosario de términos
Resultado discreto – Son resultados con un número finito de valores (3 defectos, menos de 8, hasta 5, etc.)
Suceso raro – Un evento que ocurre con poca frecuencia.
Segmento - es un intervalo, porción, fragmento o tamaño de muestra, ya sea en unidades de distancia, área, volumen, tiempo o cualquier otra medida.
Variable Aleatoria Discreta - Variable que puede obtener un número finito de valores de forma impredecible o al azar.
Variable Discreta – Variable que puede obtener un
número finito de valores como 0, 1, 2, 3.
Lic. Gladys Pavan 26
Referencias
Anderson, S. (2006). Estadísticas para administración y
economía. (8tva ed.). México:Thomson.
Newbold P. (2003). Statistics for Business And Economics.
(2003). (5ta. Ed.). New Jersey: Prentice Hall.
Bluman, A. G. (2007). Statistics. (6ta ed.). New York: Mc Graw
Hill.
http://cyber.gwc.cccd.edu/faculty/jmiller/Binom_Tab.pdf http://stattrek.com/Tables/poisson.aspx#calculator
Lic. Gladys Pavan 27
Referencias
http://www.udc.es/dep/mate/estadistica2/documentos-pdf/dmtablas.pdf
http://karnak.upc.es/teaching/estad/MC/taules/com-usar-taules.pdf
http://www.capdm.com/demos/software/html/capdm/qm/poissondist/usage.html
http://www.uv.es/zuniga/09_La_distribucion_de_Poisson.pdf
http://www.matematicas.net/paraiso/download.php?id=formula/fr_poisson.zip