20101028 proof complexity_hirsch_lecture06

Сложность пропозициональных доказательств

Эдуард Алексеевич Гирш

http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch

ПОМИ РАН

28 октября 2010 г.

1 / 8

http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch

Принцип ДирихлеНижняя оценка Ω(n) на ширину вывода

I Сократим ширину аксиом: “забудем” о некоторых возможностях.I G -PHP: двудольный граф G задаёт возможности размещения.

I Пусть G = ((P,H),E ) — двудольный расширитель: степень —константа, имеются константы ε, ρ ∈ (0; 1), т.ч.

∀P ′ ⊆ P (|P ′| ≤ ρ|P| ⇒ |∂P ′| ≥ ε|P ′|),где ∂P ′ — те клетки, где может сидеть ровно один кролик из P ′.

I “Уравнения” кролика p ∨(p,h)∈E

xph

∧ ∧(p,h),(p′,h)∈E

p 6=p′

(¬xph ∨ ¬xp′h).

I Любые ρ|P| уравнений совместны; все |P| — нет.I В выводе есть дизъюнкция C , следующая в точности из

уравнений для множества P ′ размером ∈[1

3ρ|P|..23ρ|P|

].

I Для каждой клетки из ∂P ′ в C должна быть переменная.

2 / 8


I Сократим ширину аксиом: “забудем” о некоторых возможностях.I G -PHP: двудольный граф G задаёт возможности размещения.I Пусть G = ((P,H),E ) — двудольный расширитель: степень —

константа, имеются константы ε, ρ ∈ (0; 1), т.ч.



xph

∧ ∧(p,h),(p′,h)∈E

p 6=p′




3ρ|P|..23ρ|P|

].

I Для каждой клетки из ∂P ′ в C должна быть переменная.

2 / 8


I Сократим ширину аксиом: “забудем” о некоторых возможностях.I G -PHP: двудольный граф G задаёт возможности размещения.I Пусть G = ((P,H),E ) — двудольный расширитель: степень —

константа, имеются константы ε, ρ ∈ (0; 1), т.ч.



xph

∧ ∧(p,h),(p′,h)∈E

p 6=p′




3ρ|P|..23ρ|P|

].

I Для каждой клетки из ∂P ′ в C должна быть переменная. 2 / 8

Корректность метода резолюций (Reflection)

I Корректность системы док-в Π — невыполнимость формул

Π(x , y) = 1 ∧ x [z ] = 1

(для конкретного размера формулы x , набора значений z , док-ва y).

I В Res нет коротких док-в корректности Res.I Res(2): Res с новыми переменными для 2-конъюнкций:

¬ax ,y ∨ x , ¬ax ,y ∨ y , ¬x ∨ ¬y ∨ ax ,y .

I В Res(2) есть короткие док-ва корректности Res.I . . . и корректности Res(2).

3 / 8


I Корректность метода резолюций — невыполнимость формул

Res(x , y) = 1 ∧ x [z ] = 1

(для конкретного размера формулы x , набора значений z , док-ва y).I В Res нет коротких док-в корректности Res.

I Res(2): Res с новыми переменными для 2-конъюнкций:

¬ax ,y ∨ x , ¬ax ,y ∨ y , ¬x ∨ ¬y ∨ ax ,y .


3 / 8



Res(x , y) = 1 ∧ x [z ] = 1

(для конкретного размера формулы x , набора значений z , док-ва y).I В Res нет коротких док-в корректности Res.I Res(2): Res с новыми переменными для 2-конъюнкций:

¬ax ,y ∨ x , ¬ax ,y ∨ y , ¬x ∨ ¬y ∨ ax ,y .

I В Res(2) есть короткие док-ва корректности Res.

I . . . и корректности Res(2).

3 / 8



Res(x , y) = 1 ∧ x [z ] = 1

(для конкретного размера формулы x , набора значений z , док-ва y).I В Res нет коротких док-в корректности Res.I Res(2): Res с новыми переменными для 2-конъюнкций:

¬ax ,y ∨ x , ¬ax ,y ∨ y , ¬x ∨ ¬y ∨ ax ,y .


3 / 8

Корректность метода резолюцийТочная формулировка: переменные

I Индексы:I Формула от n переменных (индексы v ∈ [1..n]).I . . . из m дизъюнкций (индексы ` ∈ [1..m]).I Вывод из r дизъюнкций (индексы ` ∈ [1..r ]).I Отрицания указываются индексами b ∈ 0, 1.

I Формула — таблица вхождений x`,v ,b.I Набор — значения zv и указатели z`,v ,b (что вып. ` ?).I Док-во —

I дизъюнкции y`,v ,b,I зависимости p`,`′,b: дизъюнкция ` получена резольвированием `′,

b — знак резольвируемой переменной,I резольвируемая переменная w`,v .

4 / 8



I Формула — таблица вхождений x`,v ,b.

I Набор — значения zv и указатели z`,v ,b (что вып. ` ?).I Док-во —



4 / 8



I Формула — таблица вхождений x`,v ,b.I Набор — значения zv и указатели z`,v ,b (что вып. ` ?).

I Док-во —I дизъюнкции y`,v ,b,I зависимости p`,`′,b: дизъюнкция ` получена резольвированием `′,


4 / 8



I Формула — таблица вхождений x`,v ,b.I Набор — значения zv и указатели z`,v ,b (что вып. ` ?).I Док-во —



4 / 8

Корректность метода резолюцийТочная формулировка: дизъюнкции

I Каждая дизъюнкция чем-то выполнена:∨v ,b

z`,v ,b.

I Тем, что есть в ней: ¬z`,v ,b ∨ x`,v ,b.I Набор согласован с указателями: ¬z`,v ,0 ∨ zv , ¬zv ∨ ¬z`,v ,1.

I Формула — часть вывода: ¬x`,v ,b ∨ y`,v ,b.I Для надёжности, ¬y`,v ,0 ∨ ¬y`,v ,1.I ` не с потолка упало:

∨`′<`

p`,`′,b,∨v

w`,v .

I Резольвента по одной переменной: ¬w`,v ∨ ¬w`,v ′ .I Которая была: ¬w`,v ∨ ¬p`,`′,b ∨ y`′,v ,b.I Остальные переменные на месте: ¬p`,`′,b ∨ ¬w`,v ∨ ¬y`′,v ,b′ ∨ y`,v ,b.I «В общем, все умерли»: ¬y`,v ,b.

5 / 8



z`,v ,b.


I Формула — часть вывода: ¬x`,v ,b ∨ y`,v ,b.

I Для надёжности, ¬y`,v ,0 ∨ ¬y`,v ,1.I ` не с потолка упало:

∨`′<`

p`,`′,b,∨v

w`,v .


5 / 8



z`,v ,b.


I Формула — часть вывода: ¬x`,v ,b ∨ y`,v ,b.I Для надёжности, ¬y`,v ,0 ∨ ¬y`,v ,1.

I ` не с потолка упало:∨`′<`

p`,`′,b,∨v

w`,v .


5 / 8



z`,v ,b.



∨`′<`

p`,`′,b,∨v

w`,v .


5 / 8



z`,v ,b.



∨`′<`

p`,`′,b,∨v

w`,v .

I Резольвента по одной переменной: ¬w`,v ∨ ¬w`,v ′ .

I Которая была: ¬w`,v ∨ ¬p`,`′,b ∨ y`′,v ,b.I Остальные переменные на месте: ¬p`,`′,b ∨ ¬w`,v ∨ ¬y`′,v ,b′ ∨ y`,v ,b.I «В общем, все умерли»: ¬y`,v ,b.

5 / 8



z`,v ,b.



∨`′<`

p`,`′,b,∨v

w`,v .

I Резольвента по одной переменной: ¬w`,v ∨ ¬w`,v ′ .I Которая была: ¬w`,v ∨ ¬p`,`′,b ∨ y`′,v ,b.

I Остальные переменные на месте: ¬p`,`′,b ∨ ¬w`,v ∨ ¬y`′,v ,b′ ∨ y`,v ,b.I «В общем, все умерли»: ¬y`,v ,b.

5 / 8



z`,v ,b.



∨`′<`

p`,`′,b,∨v

w`,v .

I Резольвента по одной переменной: ¬w`,v ∨ ¬w`,v ′ .I Которая была: ¬w`,v ∨ ¬p`,`′,b ∨ y`′,v ,b.I Остальные переменные на месте: ¬p`,`′,b ∨ ¬w`,v ∨ ¬y`′,v ,b′ ∨ y`,v ,b.

I «В общем, все умерли»: ¬y`,v ,b.

5 / 8



z`,v ,b.



∨`′<`

p`,`′,b,∨v

w`,v .


5 / 8

Корректность метода резолюцийВерхняя оценка в Res(2)

Последовательно доказываем, что выполняющий набор zвыполняет все дизъюнкции вывода y , включая последнюю (пустую):∨

v

(y`,v ,0 ∧ zv ) ∨ (y`,v ,1 ∧ ¬zv ).

I Доказываем при условии p`,`′,0, p`,`′′,1, w`,v ,когда-нибудь потом воспользуемся существованием `′, `′′, v .

I Уцелевшие переменные наследуются из резольвированных д.,модицифируем старые д. в новую.

I Пропавшая явно указывает, какой из членов ∨ выполнен (знаемзнак переменной), остаётся zv (а для другой — ¬zv , осталосьсрезольвировать).

6 / 8

Корректность метода резолюцийНижняя оценка для метода резолюций

I Короткое док-во 7→ маленькая монотонная схема, отделяющаявыполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.

I Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих k2-клику.I В первом случае F выполнима.I Во втором случае F имеет “короткое” док-во невыполнимости:

I среди её дизъюнкций есть принцип Дирихле k2 7→ k ;I у него есть док-во размера 2(log n)O(1)

в Res((log n)O(1)):

I разделим кроликов на k стай по k штук, клетки на 2 по k/2 штук,какая-то стая целиком в первой клетке =⇒ инъекция k 7→ k

2 ;иначе каждая даёт кролика во вторую =⇒ инъекция k 7→ k

2 .I композиция инъекций k2 7→ k, k 7→ k

2 даёт k2 7→ k2 .

I повторим log k раз.

7 / 8



I Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих k2-клику.

Теорема (Alon, Boppana)

3 ≤ k ≤ K и K√

k ≤ m/(8 logm) =⇒ монотонные схемы,отделяющие k-раскрашиваемые графы с m вершинами от

содержащих K -клики, имеют размер ≥ 18

(m

4K√

k log m

)(√k+1)/2.

Осталось извлечь схему для раскрашиваемости из доказательствдля Reflection.

I В первом случае F выполнима.I Во втором случае F имеет “короткое” док-во невыполнимости:






2 даёт k2 7→ k2 .


7 / 8



I Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих k2-клику.Граф G 7→ формула F о k-раскрашиваемости + доп. переменныедля всех конъюнкций длины (log n)O(1).







2 даёт k2 7→ k2 .


7 / 8




I В первом случае F выполнима.

I Во втором случае F имеет “короткое” док-во невыполнимости:I среди её дизъюнкций есть принцип Дирихле k2 7→ k ;I у него есть док-во размера 2(log n)O(1)





2 даёт k2 7→ k2 .


7 / 8










2 даёт k2 7→ k2 .


7 / 8






в Res((log n)O(1)):I разделим кроликов на k стай по k штук, клетки на 2 по k/2 штук,

какая-то стая целиком в первой клетке =⇒ инъекция k 7→ k2 ;

иначе каждая даёт кролика во вторую =⇒ инъекция k 7→ k2 .

I композиция инъекций k2 7→ k, k 7→ k2 даёт k2 7→ k

2 .I повторим log k раз.

7 / 8






в Res((log n)O(1)):I разделим кроликов на k стай по k штук, клетки на 2 по k/2 штук,

какая-то стая целиком в первой клетке =⇒ инъекция k 7→ k2 ;

иначе каждая даёт кролика во вторую =⇒ инъекция k 7→ k2 .

I композиция инъекций k2 7→ k, k 7→ k2 даёт k2 7→ k

2 .I повторим log k раз.

УпражнениеДоделать док-во принципа Дирихле k2 7→ k в Res((log k)O(1)).

7 / 8

Корректность метода секущих плоскостейНижняя оценка для CP


I Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих (k + 1)-клику.I Дальнейшее аналогично резолюции, только проще:

обычный принцип Дирихле имеет короткие док-ва в CP!I Осталось сформулировать корректность CP — ясно, что это

можно сделать, сохранив условие на монотонность вхожденийпеременных формулы, ведь

I обе части действительно монотонно от них зависят,I а остальное делается так же, как в док-ве теоремы Кука-Левина об

NP-полноте SAT.

8 / 8




обычный принцип Дирихле имеет короткие док-ва в CP!

I Осталось сформулировать корректность CP — ясно, что этоможно сделать, сохранив условие на монотонность вхожденийпеременных формулы, ведь



8 / 8




обычный принцип Дирихле имеет короткие док-ва в CP!I Осталось сформулировать корректность CP — ясно, что это

можно сделать, сохранив условие на монотонность вхожденийпеременных формулы, ведь



8 / 8

20101028 proof complexity_hirsch_lecture06

Technology

Transcript of 20101028 proof complexity_hirsch_lecture06