fizikai szemle

2009/7–8

Az Eötvös Loránd Fizikai Társulathavonta megjelenô folyóirata.

Támogatók: A Magyar TudományosAkadémia Fizikai Tudományok Osztálya,az Oktatási és Kulturális Minisztérium,

a Magyar Biofizikai Társaság,a Magyar Nukleáris Társaság

és a Magyar Fizikushallgatók Egyesülete

Fôszerkesztô:

Szatmáry Zoltán

Szerkesztô bizottság:

Bencze Gyula, Czitrovszky Aladár,Faigel Gyula, Gyulai József,

Horváth Gábor, Horváth Dezsô,Iglói Ferenc, Kiss Ádám, Lendvai János,Németh Judit, Ormos Pál, Papp Katalin,

Simon Péter, Sükösd Csaba,Szabados László, Szabó Gábor,

Trócsányi Zoltán, Turiné Frank Zsuzsa,Ujvári Sándor

Szerkesztô:

Füstöss László

Mûszaki szerkesztô:

Kármán Tamás

A folyóirat e-mailcíme:

szerkesztok@fizikaiszemle.huA lapba szánt írásokat erre a címre kérjük.

A folyóirat honlapja:

http://www.fizikaiszemle.hu

A címlapon:

Negyven évvel ezelôtt fordult elô elsôalkalommal, hogy az ember szilárdtalajon állva nézhette a távoli Földet.

TARTALOM

Hraskó Péter: A fizika axiomatizálásáról 229Vancsó Péter, Biró László Péter, Márk Géza István: Kvantum fônix

– hullámcsomag-dinamika az interneten 233Kiss Péter, Csabai István, Lichtenberger János, Jánosi Imre:

Kozmikus sugárzás, idôjárás, éghajlat: hol a hiányzó láncszem? 238Házi Gábor: A rács-Boltzmann módszer 244Hargittai Magdolna, Hargittai István: Nevek és hírnevek – Herzberg,

Jahn, Renner, Teller és az elektron–rezgési kölcsönhatások 247Füstöss László: Száz éve született Gombás Pál 251A FIZIKA TANÍTÁSABeke Tamás: Termoakusztikus projektfeladat Rijke-csô vizsgálatára 253Kopasz Katalin, Papp Katalin, Szabó M. Gyula, Szalai Tamás:

Üstökös az asztalon– Hogyan „fôzzünk” csillagászati demonstrációs eszközöket? 257

Jendrék Miklós: Minden, ami ellenállás 260Hogyan készítettem töltésmegkülönböztetô elektroszkópot?

(Czétényi Benjámin) 26552. Középiskolai Fizikatanári Ankét és Eszközbemutató (Kopcsa József ) 266Vannay László, Fülöp Ferenc, Máthé József, Nagy Tamás:

A Fizika Országos Középiskolai Tanulmányi Versenyharmadik fordulója, a második kategória részére 270

Szatmáry Károly: Egy „nem hivatalos” tanulmányi verseny sikerérôl:a Galilei Országos Csillagászati Diákvetélkedô 275

Fogolydilemma és tojáshéj-csontimplantátum az MFA nyári kutatótáborában 277Gyulai József: Élt 65 évet… – Requiem egy tanszékért 278Hartmann Ervin: BME Kísérleti Fizikai Tanszék 65 éve 278VÉLEMÉNYEKTheisz György: Gondolatok az iskolai energiafogalomhoz 281KÖNYVESPOLC 283HÍREK – ESEMÉNYEK 286

P. Hraskó: The axiomatization of physicsP. Vancsó, L. P. Biró, G. I. Márk: Quantum phoenix – the dynamics of wave groups on internetP. Kiss, I. Csabai, J. Lichtenberger, I. Jánosi: Cosmic rays, weather, climate

– where to look for the missing link?G. Házi: The grid-Boltzmann methodM. Hargittai, I. Hargittai: Names and fames: Herzberg, Jahn, Renner, and Teller,

and the vibronic interactionsL. Füstöss: The P. Gombás centenary

TEACHING PHYSICST. Beke: The study of Rijke-tubesK. Kopasz, K. Papp, M. G. Szabó, T. Szalai: Comet on the table

– How to “cook” astronomic demonstration equipmentsM. Jendrék: Everything behaving like a resistorHow I made an electroscope discerning the charge sign (B. Czétényi )52nd Meeting and Equipment Show of physics teachers (J. Kopcsa )L. Vannay, F. Fülöp, J. Máthé, T. Nagy: The 3rd round (2nd category)

of the secondary school pupils’ contest in physicsK. Szatmáry: A “non-official” but successful contest: the “Galileo” Astronomical ContestThe summer research camp of MFAJ. Gyulai: 65 years alive – an obituary of a TU departmentE. Hartmann: 65 years of the Department for Experimental Physics

of the Technical University at Budapest

OPINIONS, BOOKS, EVENTS

P. Hraskó: Über die Axiomatisierung der PhysikP. Vancsó, L. P. Biró, G. I. Márk: Quanten-Phönixe

– die Dynamik von Wellengruppen im InternetP. Kiss, I. Csabai, J. Lichtenberger, I. Jánosi: Kosmische Strahlung, Wetter, Klima

– wo ist das fehlende Glied der Kette zu suchen?G. Házi: Die Gitter-Boltzmann-MethodeM. Hargittai, I. Hargittai: Persönlichkeiten und Phänomene: Herzberg, Jahn, Renner,

Teller, und die Wechselwirkungen aufgrund von Elektronen-SchwingungenL. Füstöss: P. Gombás vor hundert Jahren geboren

PHYSIKUNTERRICHTT. Beke: Die Untersuchung von Rijke-RöhrenK. Kopasz, K. Papp, M. G. Szabó, T. Szalai: Komet auf dem Tisch

– wie “kocht” man astronomische Demonstrations-ObjekteM. Jendrék: Alles, was sich wie ein Widerstand verhältEin Elektroskop, das das Vorzeichen der Ladung aufzeigt (B. Czétényi )52. Landestreffen und Ausstellung der Physiklehrer (J. Kopcsa )L. Vannay, F. Fülöp, J. Máthé, T. Nagy: Die dritte Runde (zweite Kategorie)

des Schüler Wettbewerbs in PhysikK. Szatmáry: Ein erfolgreicher „inoffizieller“ Wettbewerb: Der Galilei-Wettbewerb in AstronomieDas Sommerlager des MFAJ. Gyulai: 65 Jahre am Leben – Requiem für einen LehrstuhlE. Hartmann: 65 Jahre des Lehrstuhls für Experimentalphysik der TU Budapest

MEINUNGSÄUSSERUNGEN, BÜCHER, EREIGNISSE

VNIMANIE! Po tehniöeákim priöinam ruáákaü öaáty oglavleniü peöataetáü otdelynona konce óurnala.

Fiz ikai SzemleMAGYAR FIZIKAI FOLYÓIRAT

A Mathematikai és Természettudományi Értesítõt az Akadémia 1882-ben indítottaA Mathematikai és Physikai Lapokat Eötvös Loránd 1891-ben alapította

LIX. évfolyam 7–8. szám 2009. július–augusztus

A FIZIKA AXIOMATIZÁLÁSÁRÓL Pécsi Tudományegyetem,Elméleti Fizika Tanszék

Hraskó Péter

A geometria, majd pedig az aritmetika axiomatizálásá-nak két és félezer éves története a tudománytörténetegyik legambiciózusabb vállalkozása volt, amelyrecsak a legnagyobb tisztelettel nézhetünk fel. Miért vanaz, hogy a fizikusok mégis inkább bizalmatlanul, mintelismeréssel tekintenek azokra a kollégáikra, akik afizikában is ezt az utat akarják követni?

Az ok a fizika és a matematika tárgyában, feladatá-ban és – ennek következtében – módszereiben rejlôfundamentális különbségekben keresendô. Ez annakellenére van így, hogy a fizika a legpéldaszerûbbenmatematizált ága a természettudományoknak. Azalábbiakban ezekre a mélyenfekvô különbözôségekrepróbálok majd rámutatni.

Mielôtt azonban ehhez hozzáfognék hangsúlyoz-nom kell, hogy axiomatikus módszeren nem csupánazt értjük, hogy feltevéseket teszünk, és ezekbôl kor-rekt matematikai eljárással következtetéseket vonunkle. Ezt természetesen a fizikában is így csináljuk. Azaxiomatikus módszer lényege máshol van, abbanpéldául, hogy egy axiomatizált elméletben vizsgálniillik az axiómák egymástól való függetlenségét és arendszer ellentmondás-mentességét, és az axiómákonvalamint az axiómákból levezetett tételeken kívülsemmit sem szabad a bizonyításnál felhasználni. Azezzel járó tömör szûkszavúság az axiomatikus tárgya-lásmód jellegzetes ismérve. Az axiomatizálást ellenzôelméleti fizikusok szerint az így értett axiomatikusmódszer az, aminek nincs helye a fizikában.1

1 C. W. Kilmister és J. E. Reeve Rational Mechanics címû köny-vükben (Longmans, 1966) a newtoni mechanikát hét kiinduló felte-vésre alapozzák. Ezeket axiómáknak nevezik, és az elnevezéshez akönyv 50. oldalán ezt a megjegyzést fûzik: „Az axiómák kiválasztá-sánál nem törekedtünk arra, hogy minimális számú egymástól füg-getlen axiómánk legyen; még ha ez lehetséges lenne is, nem biztos,hogy különösebben hasznos volna. A fô szempontunk az volt, hogyaz olvasók elfogadhatónak találják ôket és a kívánt eredményrevezessenek.”

A fizika alapfeltevései nem tekinthetôkaxiómáknak

Mindenekelôtt arra a különbözôségre mutathatunk rá,ami a matematikai és a fizikai ismeretek legitimáció-jában fedezhetô fel (hogy ezt a divatos politológiaikifejezést használjuk). Ez a különbözôség abból szár-mazik, hogy a matematika sajátos tárgyát a gondolko-dás törvényszerûségei, a fizikáét pedig a „külvilág”törvényszerûségei képezik. Ebbôl következôen azismeretek igazolási módja (vagyis azon kritériumoktermészete, amelyek alapján elfogadjuk ôket), a mate-matikában belsô, a fizikában külsô. Úgy gondolom,ezek a jelzôk elég világosan utalnak rá, mire gondo-lok, mégis hasznos lehet egy konkrét példa.

A 18–19. század folyamán egyre nagyobb pontos-sággal igazolták, hogy minden test súlyos és tehetet-len tömege – a test anyagi minôségétôl függetlenül –egyenlô egymással. Egy piros és egy fehér biliárdgo-lyó tehetetlen tömege akkor egyenlô egymással, hacentrális ütközésnél a nyugvó piros golyó teljesenátveszi a fehér golyó sebességét, és ezért a fehér go-lyó az ütközés után megáll. A súlyos tömegük pedigakkor egyenlô, amikor a rugósmérleg mindkettônélugyanazt a súlyt mutatja. A két megfigyelés egymástólteljesen eltérô természetû, mégis mindig igaz, hogy haaz egyik kísérlet szerint a tömegek egyenlônek bizo-nyultak, akkor a másik kísérlet szerint is egyenlôkegymással.

A newtoni fizika nem nyújtott semmiféle magyará-zatot erre a meglepô tapasztalati tényre, a rejtélyt csakEinsteinnek sikerült tisztáznia. Einstein megoldása azvolt, hogy posztulálta a kétfajta tömeg egyenlôségét,erre a posztulátumra felépített egy teljesen új gravitá-cióelméletet, amelynek struktúrája olyan, hogy a tes-teknek egy és ugyanazon paramétere jelenik megmindkét kísérlet leírásában. Az új elmélet nézôpontjá-

HRASKÓ PÉTER: A FIZIKA AXIOMATIZÁLÁSÁRÓL 229

ból ezért fel sem merülhet annak lehetôsége, hogy ezkét paraméter – a newtoni fizika súlyos és tehetetlentömege – különbözzön egymástól.

Állítsuk most párhuzamba ezt a valódi fizikus-törté-netet egy kitalált matematikus-történettel. A súlyos ésa tehetetlen tömeg egyenlôségének még megoldatlanproblémáját feleltessük meg annak az „empirikus”ténynek, hogy bármely páros szám felbontható kétprímszám összegére (Goldbach-sejtés ). Tegyük felmost, hogy valaki úgy oldja meg ezt a rejtélyt, ahogyEinstein tette a kétfajta tömeggel: posztulálja, hogyminden egész szám felírható két prímszám összege-ként. Ezután annak érdekében, hogy ez biztosan nemondjon ellent az aritmetikának, az aritmetika Peano-féle axiómarendszerét sikeresen helyettesíti egy másikugyancsak ellentmondásmentes axiómarendszerrel,amelynek egyik axiómája éppen az, hogy az egészszámok között nincsenek olyanok, amelyek nem állít-hatók elô két prímszám összegeként.

A példa matematikai része mesterkélt, de úgy gon-dolom, tényleg van hasonlóság a valódi fizikai és akitalált matematikai szituáció között. Azonban bizto-san lényegesen különböznek abban, hogy mikor te-kintjük a javasolt megoldást elfogadhatónak.

Az általános relativitáselmélet esetében az olyantapasztalati tények perdöntôek, mint a Merkúr perihé-lium-vándorlása, a fénysugár elhajlása a Nap körül, éstermészetesen az, hogy a feltevésnek nincs egyetlen-egy olyan következménye se, amely végzetesen el-lentmondana a tapasztalatnak.

A matematikai példában a javaslat mellett vagyellen nem lehet érvelni azzal, hogy tapasztalatilagigaz-e vagy sem, mert ez a kritérium axiómákra nemalkalmazható. Itt csak arról lehet szó, hogy elég érde-kes és tartalmas séma építhetô-e fel az új axiómákraahhoz, hogy a matematikusok cikkeket írhassanakróla. Gondoljuk csak meg: amikor Bolyai és Loba-csevszkij az euklideszi V. posztulátumot az ellenkezô-jével cserélte fel, nem azért teremtett ezzel „új vilá-got”, mert kiderült, hogy fizikai világunkban az újgeometria érvényes. Az új világnak csak a logikailehetôségét mutatták meg, mégis méltán nevezhetjükfelfedezésüket korszakalkotónak, teljesen függetlenülattól, hogy a fizikai világ geometriája euklideszi vagysem. Ma úgy tudjuk, hogy a Világegyetem nagylépté-kû geometriája lehet Bolyai-geometria,2 de erre végsô

2 A ma elfogadott álláspont szerint a megfigyelések az euklidesziteret favorizálják a két másik lehetôséggel, a háromdimenziósgömbbel és a háromdimenziós Bolyai-térrel szemben.

soron a súlyos és a tehetetlen tömeg tapasztalatiegyenlôsége vezetett rá.

Ez az oka annak, hogy a súlyos és a tehetetlen tö-meg einsteini feltételezését semmiképpen sem tekint-hetjük axiómának, ha nem akarunk ezzel a kifejezés-sel visszaélni, vagyis teljes jelentés-udvarával (összeskonnotációjával) együtt fogjuk fel. Az axióma fogal-mába ma már beletartozik, hogy szabadon választha-tó, mert nem meghatározott objektumok tulajdonsá-gát fejezi ki, azaz nincs jelentése. Eukleidésznél még

volt, de ez a felfogás mára már teljesen elavult. Azaxiomatikában ma már nem sajátos tárgyak természe-térôl, hanem a bizonyítások struktúrájáról, bizonyítás-elméletrôl van szó. Bertrand Russel frivol megjegyzé-se szerint „a tiszta matematika olyan tudomány,amelyben sem azt nem tudjuk, hogy mirôl beszélünk,sem azt, hogy igaz-e, amit mondunk.”3

3 Mint már szó volt róla, az axiomatikus módszerhez nemcsak aztartozik hozzá, hogy csak az lehet tétel, amit az axiómákból lehetlevezetni a transzformációs szabályok alapján, hanem az ellentmon-dás-mentesség analízise is. Ennek egyik legfontosabb eljárása a mo-dellezés. Ha objektumok egy halmazáról sikerül megmutatni, hogyrealizálják az axiómarendszer összes axiómáját, akkor az axiómarend-szer nem lehet önellentmondó, mert ezek a tárgyak léteznek, és alétezôben nincs ellentmondás. A matematikában ennek a módszerneka hatékonysága elég korlátozott, mert az igazán érdekes esetekbennem lehet „tárgyakkal” realizálni egy axiómarendszert, hanem csaklegfeljebb egy másik axiómarendszerrel. De még így is érdekes ered-ményeket lehet kapni. Klein és Poincaré ezzel a módszerrel mutattameg, hogy a Bolyai-geometria ellentmondásmentes, ha az euklidesziaz, Hilbert pedig a Bolyai-geometria ellentmondás-mentességét azaritmetika ellentmondás-mentességére vezette vissza.

A fizika számára a „létezôben nincs ellentmondás” elvbôl azkövetkezik, hogy ha a fizika a tapasztalat folyamatos kontrollja alattfejlôdik, vagyis a kísérleti eredmények „visszaigazolják” az elgondo-lások helyességét, akkor nem szükséges még külön gondoskodniaz ellentmondás-mentességrôl, hiszen ekkor a természet maga azelmélet létezô modellje.4 A fizikai feltevéseket legfeljebb a posztmodern (teljesebb nevénaz ismeretelméleti szkepticizmus ) nézôpontjából tekinthetjük önké-nyesen választható axiómáknak. Ez az ókorig visszanyúló felfogásugyanis azt vallja, hogy a természet minden lehetséges „olvasata”egyenértékû egymással. A modern tudomány módszertani szkepti-cizmusa azonban megcáfolja ezt a véleményt.5 Lehet-e a földgolyót pontszerûnek tekinteni? A fizikában még ezta teljesen abszurd feltételezést is elfogadjuk annak érdekében, hogya Kepler-törvényeket levezethessük a newtoni gravitációelméletbenvagy az általános relativitáselméletben. De ha a Föld forgástengelyé-nek lassú precesszióját is meg akarjuk érteni, akkor már nem tekint-hetjük a Földet tömegpontnak. Akkor pedig végképp nem tehetjükezt meg, ha Buda egyik végébôl Pest másik végébe kell utaznunk.

Egy fizikai kijelentés ezzel szemben csak akkorérdekes, ha tudjuk, mire vonatkozik, és következmé-nyei falszifikálhatók (vagyis létezik olyan kísérlet,amelynek alapján eldönthetô, hogy igaz-e). Ezért sú-lyosan félrevezetô axiomatizálást ígérni a fizikában aszó teljes értelmében.4

A fontosság mérlegelésének szükségessége

Az axiomatizálás kérdéskörével szorosan összefügg,hogy a fizikában az alapfeltevésekkel egyenlôen fontosszerepet játszik a feltevések alkalmazhatóságának mér-legelése a különbözô konkrét esetekben.5 Nem arrólvan szó, hogy a rendszerint kis számú felkínálható fel-tevés közül melyiket válasszuk, hanem arról, hogy egykonkrét alapfeltevés alkalmazható-e a szóbanforgó fi-zikai szituációban vagy sem. Vagyis arról kell folyama-tosan dönteni, hogy a körülmények kusza halmazábanmelyik az a néhány összetevô, ami fontos.

A bizonyításelméletben ilyesmi nem fordulhat elô.Azon természetesen el lehet gondolkozni, hogy egy bi-zonyítás adott szakaszában melyik axiómát célszerû al-kalmazni, de arról szó sem lehet, hogy szubjektív mér-

230 FIZIKAI SZEMLE 2009 / 7–8

legelés alapján döntsük el, mikor érvényes egy axióma,mikor nem. Egy olyan axióma ugyanis, amely nem tar-talmazza egyértelmûen alkalmazhatóságának feltételeit,hiányosan van megfogalmazva (nem axióma).

A fizika alapfeltevéseivel viszont mindig pont ez ahelyzet, mert lehetetlen egyértelmûen körülhatárolniazokat a természeti körülményeket, amelyek mellettegy feltevés érvényes. Ezt minden esetben mérlegelnikell, és a döntés nem mindig könnyû. Meggyôzôdé-sem, hogy a mérlegelés aktusában van redukálhatat-lan összetevô, és ennek következtében a természettu-domány mûködése nem formalizálható. Ezért amikorvalaki azt állítja magáról, hogy axiomatikus fizikát ûz,ezzel akarva-akaratlanul azzal hiteget, hogy megsza-badít a fontosság mérlegelésének kényszerétôl, ezpedig semmiképpen sem lehet igaz (és ráadásul egy-általán nem is vonzó perspektíva, hiszen a mérlegelésa fizikusság egyik legélvezetesebb tevékenysége).

Folyamodjunk megint egy fizikatörténeti példához.1824-ben jelent meg Sadi Carnot könyve a „Carnot-ciklusról”. Carnot a perpetuum mobile lehetetlenségé-nek meggyôzôdéses híve volt, de még a hôanyagel-mélet (kalorikum) talaján állt. Ez a korszakalkotómunkája is a hôanyagelméleten alapult.

Carnot elméletének fô eredménye az volt, hogy ahôerôgép mûködtetéséhez két hôtartályra van szükség:egy magas és egy alacsony hômérsékletûre. Így érvelt:ha egy hegyi tó potenciális energiájának egy részétmozgási energiává akarjuk átalakítani, lehetôvé kelltennünk, hogy a víz alacsonyabb szintre zuhanjon. Haa lezúdult víz potenciális energiája a magasabb szintenU1 volt, az alacsonyabb szinten pedig U2, akkor maxi-málisan U1−U2 mozgási energiára tehetünk szert, teháta maximális hatásfok (U1−U2)/U1-gyel egyenlô.

Carnot „mérlegelte ezt a dolgot” és úgy találta,hogy ez a mechanikai képlet alkalmazható a hô-anyagra is, ha potenciális energián a hômérsékletetértjük, és ezzel felfedezte a termodinamika máig érvé-nyes formuláját, amely szerint a hôerôgép maximálishatásfoka (T1−T2)/T1.

Huszonöt évvel késôbb William Thomson (a ké-sôbbi Lord Kelvin ) is „mérlegelte a dolgot” és mégmindig a hôanyagelmélet alapján rámutatott, hogyCarnot kihagyott egy fontos (!) szempontot. Amikor avíz lezúdul a hegyrôl és közben vízimalmot hajt, ki-sebb sebességgel érkezik a völgybe, mint amikornincs ott a vízimalom. Carnot elképzelésébôl ez azelem hiányzik, ezért rosszul „mérlegelte a helyzetet”,analógiája sántít. Thomson kritikája helyénvalónakbizonyult, Carnot gondolatmenete ma már csupánfizikatörténeti kuriózum.

Egy bizonyításelméleten csiszolódott elme ebbôl atörténetbôl könnyen levonhatja azt a következtetést,hogy a fizika egyszerûen összevissza beszéd, amirecsak a gyengeelméjûségnek kijáró elnézéssel lehettekinteni, vagy – legjobb esetben – tragikomédia.6 De

6 C. A. Truesdell: The Tragicomical History of Thermodynamics,1822–1854. New York: Springer-Verlag, 1980.

ez súlyos félreértés. Ami itt történt, az maga volt a

mûködô fizika, Ember és Természet birkózásában a„fogáskeresés” stádiuma, amely elkerülhetetlen kez-deti szakasz a természettudományban, amikor új terü-letre merészkedik.7 Ha sikerülne megtisztítani a fizikát

7 Ugyanezt a „fogáskeresést” figyelhetjük meg a maghasadásfelfedezésének a történetében is (lásd az Epizódok a maghasadásfelfedezésének történetébôl címû cikkemet a Természet Világa 2004.I. különszámában).

ettôl a „termékenyen zavaros” gondolkozásmódtól,akkor biztosan a halálát okoznánk.

✧Tény azonban, hogy éppen a termodinamika az aterülete a fizikának, ahol talán a legerôsebb volt atörekvés az axiomatizálásra. A hô, ami a kalorikumhelyébe lépett, a hôanyagnál sokkal nehezebben fel-fogható entitás. A hôanyaggal ellentétben ugyanis atestekben nincs meghatározott mennyiségû hô, a ter-modinamikában mégis folyamatosan ennek a nemlé-tezô valaminek a változásáról van szó. Vagy vegyük areverzibilis folyamat fogalmát, ami alapvetô, csaképpen nem lehet megvalósítani.

Teljesen érthetô az a remény, hogy az axiomatikusmódszer bevetésével esetleg nagyobb világosságotlehet teremteni. Folyamatosan történtek ilyen próbál-kozások. Az elsô és talán legismertebb a ConstantinCarathéodoryé (1909), amelyet késôbb Max Bornnépszerûsített. Ha azok a másodlagos források, ame-lyekbôl errôl a próbálkozásról olvastam, igazat be-szélnek, Carathéodory nagyon különös módon fogotthozzá a feladatához.

Azt a kérdést tette fel, hogy vajon hogyan jutnánakel a hô és a hômérséklet fogalmához a „disztermiás”gondolkozó lények, akiknek egyáltalán nincs hôérze-tük. Ezután megmutatja, milyen kísérletek azok, ame-lyek – logikus gondolkozást föltéve – végül is elkalau-zolják ôket ezekhez a fogalmakhoz.

Disztermiás fizikusaink véletlenül rájöhetnek, hogyha speciális falú edényt készítenek, amely dugattyúvalvan ellátva, akkor az edénybe töltött gáz nyomásanem változik meg, akármilyen közegbe mártják isbele: akár forrásban levô vízbe (nem tudják, hogynagyon meleg!), akár olvadó jégbe (nem tudják, hogynagyon hideg!). Aztán készítenek hasonló edénytolyan anyagból is, amelyben a gáz nyomása függ at-tól, hogy milyen közegbe tették. Az elsô edényt elne-vezik adiabatikusnak, a másodikat diatermikusnak…Carathéodory megmutatta, hogy ezen az úton is ellehet jutni a termodinamikához.

Biztosan igaza volt, de milyen általános érvényûtanulság vonható le mindebbôl? Az, hogy érzékszer-veink csak akadályoznak abban, hogy a természetetmegértsük? Esetleg az optikát is akkor értenénk megjobban, ha vakok lennénk? A fizikában valójában ren-geteg olyan entitással van dolgunk, amelyek az érzék-szerveink számára hozzáférhetetlenek, ezért a Cara-théodory által elképzelt szituáció nagyon is gyakori.Az elektromos és a mágneses tér közvetlen érzékelé-sére nincs alkalmas érzékszervünk, mégis van elekt-rodinamikánk. Vajon nehezebb lett volna a Maxwell-

HRASKÓ PÉTER: A FIZIKA AXIOMATIZÁLÁSÁRÓL 231

egyenleteket megtalálni, ha a költözô madarakhozhasonlóan mi is tudnánk közvetlenül érzékelni a mág-neses teret?

Talán helyénvaló, ha idézek abból a magnós inter-júból, amelyet Frenkel Andor készített 2004-ben TiszaLászlóval Bostonban. Az interjú idején Tisza volt azegyedüli olyan élô szemtanú, aki a 20-as évek máso-dik felétôl kezdve közelrôl figyelhette a fizika nagyeseményeit. 1934 és 1937 között Harkovban „inasko-dott” Lev Davidovics Landaunál (aki egyébként egyévvel fiatalabb volt nála). Ezzel az inaskodással kap-csolatban tette fel Tiszának Frenkel a kérdést, hogyválasztott-e Harkovban magának egy konkrét problé-mát, amin dolgozott. Tisza válasza ez volt8:

8 Természet Világa 2004/4.

„A témaválasztásnak rituális rendje volt. Elôször ismindenkinek le kellett vizsgáznia a »teorminimum«-ból, amelyet késôbb »Landau-minimum«-nak nevez-tek. Erre egy tematikai összefoglaló alapján készülhet-tünk fel. Kérhettem volna, hogy tegyenek velem kivé-telt, de nem kértem. Landau minden sikeres vizsgázópályáját figyelemmel kísérte. Az élete végéig vezetettlistán az ötödik vagyok – az egyetlen külföldi. Azanyagot részterületekre osztották, és mindegyikbôlszóbeli vizsgát kellett tenni Landaunál. Matematikábólés klasszikus mechanikából felmentett, az elsô vizsgáttermodinamikából kellett letennem. Rögtön bajbakerültem. Mint már említettem, Max Borntól tanultamtermodinamikát. Landau felfogása nem is különböz-hetett volna jobban Bornétól. Born Carathéodory szel-lemében fektette le az alapokat. Önéletrajzából tud-juk, hogy az alapelvet ô javasolta Carathéodorynak.Mint már említettem, úgy találta, hogy Carathéodorydolgozata túlságosan elvont a fizikusok számára, éshárom cikkbôl álló sorozatot írt, amelyben az elméle-tet emészthetôbbé tette. Ezt a változatot adta elô azona kurzuson, amelyikre jártam.

Born szerint a termodinamika gyönyörû, de a fizi-kának tökéletesen kidolgozott ága volt; Landau úgylátta, hogy folyamatosan fejlôdik. Ennek megfelelôenLandau lebontotta azokat a határokat, amelyeket Bornemelt, amikor ezt a területet mindentôl el akarta vá-lasztani. A Born-féle termodinamika klasszikus, ésnem kapcsolódik sem a statisztikus fizikához, sem akvantummechanikához. Landau szerint a termodina-mika statisztikus és kvantumos, fejlôdésben lévô disz-ciplína. A vizsgán fogalmam sem volt, mirôl beszél,meg is buktam. A csoport egyik tagja, Pjatigorszkijmegszánt, és kölcsönadta a Landau-féle termodinami-ka rövid összefoglalóját. El voltam ragadtatva tôle, ésle is tettem a vizsgát.”

David Hilbert

David Hilbert nemcsak a matematikában képez külön fe-jezetet, hanem a fizika axiomatizálásának területén is.

Az elméleti fizika rengeteget köszönhet a matema-tikus Hilbertnek. Kettôt emelnék ki ezek közül. Elô-

ször is a lineáris integrálegyenletek elméletében elérteredményeit, ezen belül a Hilbert-tér fogalmánakmegalkotását, amely a kvantumelmélet matematikaiapparátusának alapját képezi. A másik terület a variá-ciós elvek és módszerek. Itt Hilbert talán legjelentô-sebb eredménye a fizika számára az általános relativi-táselmélet téregyenletének származtatása egy egysze-rû variációs elvbôl.

Hilbert körülbelül két évtizeden keresztül, nagyjá-ból 1900 és 1920 között folyamatosan foglalkozottfizikával, rendszeresen tartott egyetemi kurzusokat afizika különbözô ágairól. Elôtte a geometria axiomati-zálásának területén publikált jelentôs eredményeket(az euklideszi axiómarendszert öntötte modern for-mába), utána pedig a bizonyításelmélet róla elneve-zett formalista felfogását dolgozta ki. Egyáltalán nemmeglepô, hogy közben a fizika axiomatizálására isjelentôs erôfeszítéseket tett.

Egy Tel Aviv-i tudománytörténész, Leo Corry azutóbbi tízegynéhány évben kritikai vizsgálat alá vetteHilbertnek a fizika axiomatizálásával foglalkozó dol-gozatait. A konklúzióit 2004-ben egy könyvben publi-kálta.9 Az alábbiakban Corry következtetéseit fogla-

9 Leo Corry: Hilbert and the Axiomatization of Physics (1898–1918). Dodrecht: Kluwer, 2004.10 Emlékeztetek a Kirchhoff-törvényre: minden test elnyeli a rá esôelektromágneses sugárzás egy részét és maga is képes ilyen sugár-zást kibocsátani. Ezeket a tulajdonságokat két koefficienssel, az Aabszorpciós és az E emissziós koefficienssel lehet jellemezni, ame-lyek anyagról anyagra erôsen változnak. Arányuk azonban univer-zális, és csak a hômérséklettôl valamint a hullámhossztól függ.

lom össze dióhéjban.Hilbert axiomatizálási törekvései kiterjedtek a fizi-

ka összes fontos területére (mechanika, statisztikusfizika, termodinamika, elektrodinamika). Valószínû-leg Born és Carathéodory is innen merítették az indít-tatást a termodinamika axiomatizálására. Hilbert, ami-kor a fizika axiomatizálásáról írt vagy beszélt, ezt akifejezést az axiomatikus módszer matematikábanelfogadott értelmében használta, és úgy állította be adolgot, hogy a fizikában pontosan ugyanolyan célvezeti, mint az euklideszi geometria sikeres axiomati-zálásánál. Corry konklúziója szerint azonban a kétaxiomatizálás semmiképpen sem mérhetô össze egy-mással. Hilbert ezt sohasem ismerte el, pedig sokszorkényszerült rá, hogy a bírálatok hatása alatt az axió-máit átfogalmazza. Az is elôfordult, hogy a késôbbiséma ellentmondott a korábbinak, de Hilbert ezt kö-vetkezetesen tagadta.

A bírálatok idônként igencsak hevesek voltak. Ezkülönösen a hômérsékleti sugárzás axiomatizálásakapcsán dokumentálható. 1913-ban Hilbert úgy ítéltemeg, hogy Kirchhoff nevezetes törvényének10 igazolá-sa nem üti meg a szigorúság elvárható mértékét, ésazt állította, hogy axiomatikus alapon szigorú bizonyí-tást adott rá.

Hilbert bizonyítása azonban indulatos reakciót vál-tott ki annak a berlini kísérleti csoportnak a tagjaiból,akiknek a mérései alapján vezette be bô tíz évvel ko-rábban Max Planck a róla elnevezett h állandót. A

232 FIZIKAI SZEMLE 2009 / 7–8

csoport véleményét Ernst Pringsheim fogalmazta megcikk formájában. A bírálat lényege az volt, hogy Hil-bert olyan feltevéseket fogad el axiómaként, amelye-ket a fizikusok szerint bizonyítani kell,11 és ugyanak-kor olyan irányban általánosít, ami a fizikusok szerintérdektelen. Mint látható, a vita tényleg arról szólt,hogy a jelenségekben ki mit tart fontosnak. A fiziká-ban ez elkerülhetetlen, és aláaknáz minden axiomati-zálási kísérletet.

Volt Hilbert fizikájának egy csendes bírálója is, akicsak magánlevélben tett elmarasztaló észrevételeket:Albert Einstein. Már említettem, hogy Hilbertnek ma-radandó érdemei vannak az általános relativitáselmé-let variációs elvként történô megfogalmazásában.Van egy kitûnô könyv, A modern gravitációelméletkialakulása (szerzôje V. P. Vizgin, magyarul is meg-jelent Illy József fordításában), amely mintaszerûenelemzi Hilbert hozzájárulását az általános relativitás-elmélethez.12 Itt most a kérdésnek csak egyetlen as-pektusát emelem ki: Vizgin megerôsíti Einstein véle-

11 Például azt, hogy a sugárzás külön-külön minden hullámhosz-szon egyensúlyban van önmagával. Kirchhoff törvénye az elôzôlábjegyzetben idézett formájában erre az esetre vonatkozik. Amikora falak szórják a fényt és/vagy fluoreszkálnak, a Kirchhoff-törvénygyengébb formában érvényes (lásd Landau, Lifsic: Statisztikusfizika kötetében a Fekete sugárzás címû fejezetet).12 W. Isaacson nemrég megjelent Einstein-életrajzában (Alexandra,2009) újonnan elôkerült dokumentumokat is felhasznál arra, hogytisztázza Hilbert szerepét az általános relativitáselmélet létrejöttében.

ményét, hogy Hilbert – miközben tökéletesen megér-tette a probléma matematikai oldalát – az elmélet fizi-kai tartalmát súlyosan félreértette. Vizgin (és egyéb-ként Corry is) hivatkozik Einstein 1916-ban HermannWeylhez írott levelébôl az alábbi sorokra, amelyeketaz utolsó mondat miatt idézek:

„Gyerekesnek tûnik Hilbertnek az anyagra vonat-kozó föltevése, olyan gyerekre gondolok, aki nemismeri a világ álnokságát… Semmiképp sem lehethelyeselni, hogy a relativitási posztulátumból követ-kezô komoly megfontolásokat az elektron vagy azanyag fölépítésére vonatkozó ily kockázatos és alap-talan föltevésekkel zavarjanak össze. Készséggel elis-merem, hogy az elektron szerkezetére vonatkozóalkalmas föltevés, illetve Hamilton-függvény felkuta-tása ma az elmélet egyik legégetôbb feladata. Az»axiomatikus módszer« azonban aligha segíthet.”

✧Befejezésül újra aláhúzom, hogy a fizikában az egyestörvények alkalmazását mindig megelôzi annak mér-legelése, hogy a vizsgált jelenség szempontjából amegfigyelés konkrét körülményei között milyen hatá-sokat kell lényegesnek, illetve lényegtelennek tekinte-ni. Az axiomatizálás errôl eltereli a figyelmet, mert azegzaktság illúzióját nyújtja. Ezzel fontos igényt elégítki: a bizonyosság utáni vágyat. Lehet, hogy gyakranezért élik meg az axiómarendszerek kidolgozói inzul-tusként a bírálatot. Ez a reakció még egy Hilbert mé-retû zseninél is megfigyelhetô.

KVANTUM FÔNIX – HULLÁMCSOMAG-DINAMIKAAZ INTERNETEN Vancsó Péter, Biró László Péter, Márk Géza István

MTA Műszaki Fizikai és Anyagtudományi KutatóintézetNanoszerkezetek Osztály

A kvantummechanika ismerete alapvetô fontosságú,hogy megértsük a körülöttünk lévô természetet, an-nak mûködését. Az elektronok mozgásának, az ato-mok és molekulák tulajdonságainak leírásához aklasszikus fizika törvényei (már) nem elegendôek.Habár az a mikroszkopikus méret- és idôtartomány,amelyben a kvantummechanika törvényei érvénye-sek, távol esik emberi világunk méret- és idôskálájá-tól, ez a tudomány mégsem csupán a kutatók biro-dalma. A 21. század elején az embereket a minden-napokban körülvevô modern technikai eszközök [1]– például tranzisztor, lézer – mûködésének megérté-sénél is nélkülözhetetlenek a kvantummechanikaiismeretek. Ezeknek az ismereteknek az átadása azoktatás feladata, legyen szó középiskolai vagy egye-temi szintû oktatásról [2].

A kvantummechanika oktatása az egyik legnehe-zebb feladat a fizika tanítása folyamán, mivel a diákoktúl absztraktnak, matematikailag túl bonyolultnaktartják [3]. Ez érthetô is, ha végiggondoljuk, hogy a

klasszikus fizika fogalomkörének és törvényeinekmegértésénél segítségünkre vannak mindennapi ta-pasztalataink, mindenki által könnyen elvégezhetôkísérletek. Ezzel szemben a kvantummechanika mé-rettartományában végzett mérések többnyire közve-tettek és nehezen értelmezhetôk.

Matematikai szempontból ahhoz, hogy klasszikusmechanikai leírását adjuk egy részecske (tömegpont)mozgásának, 6 paramétert kell megadnunk: r(t ) ésp(t ), azaz a hely és a lendület x, y és z komponensétaz idô függvényében. Ezek határozzák meg a többidinamikai változót, például az energiát. A Newton-törvények ismeretében kiszámíthatjuk az r(t ) és p(t )függvények értékeit minden pillanatra, ha ismerjük afüggvények értékét valamely tetszôleges t0 kezdetipillanatban, azaz adottak az r0 = r(t0) és p0 = p(t0)kezdeti hely- és lendületértékek, továbbá ismerjük arészecskére ható erôket. A kvantummechanikai leírás-mód ennél bonyolultabb. A részecske állapotát t pilla-natban egy hullámfüggvény adja meg, ψ(r, t ), amely

VANCSÓ PÉTER, BIRÓ LÁSZLÓ PÉTER, MÁRK GÉZA ISTVÁN: KVANTUM FŐNIX – HULLÁMCSOMAG-DINAMIKA AZ INTERNETEN 233

tartalmazza az összes információt, amit a részecskérôltudni lehet. Látható tehát, hogy a 6 paraméter helyett,most végtelen számú paraméterünk van: a ψ 3+1 = 4változós függvény értékei a tér minden pontjában,minden idôpontban. A ψ(r, t ) függvényt valószínûségiamplitúdónak nevezzük, mert

annak a valószínûségét adja meg, hogy a részecske t

ρ(r, t ) dr3 = ψ(r, t ) 2 dr3

idôpontban egy r pont körüli dr3 térfogatelembentalálható, ρ(r, t ) pedig a megtalálási valószínûség-sûrûség. A hullámfüggvény idôfejlôdését az idôfüggôSchrödinger-egyenlet írja le, amely egy homogén li-neáris parciális differenciálegyenlet:

Ez az az egyenlet, amely mai ismereteink szerint az

i ∂ ψ(r, t )∂ t

= Ĥ ψ(r, t ).

atom- és molekulafizika, a szilárdtestfizika, sôt a ké-mia és a biológia összes (nem-relativisztikus) jelensé-gét kormányozza. Következményeit számtalan kísér-let igazolta az egyenlet megalkotása óta eltelt több,mint 80 év folyamán.

A Schrödinger-egyenlet determinisztikus; adottψ0(r) = ψ(r, t= t0) kezdôállapot esetén a hullámfügg-vény kiszámítható bármely t idôpontra. A véletlensze-rûség, az indeterminizmus, a fizikai mennyiség méré-se folyamán jelenik meg a kvantummechanikában. ASchrödinger-egyenlet megoldásához a kezdô állapotismeretén kívül szükséges az adott fizikai rendszertmeghatározó H Hamilton-operátor. Konzervatív rend-szerek esetén H = K+V, ahol K a kinetikus, V pedig apotenciális energia operátora, tehát a rendszert végsôsoron a V potenciáloperátor írja le. Ha ez a potenciállokális, akkor a potenciális energia operátor hatásaegy egyszerû V (r) potenciálfüggvénnyel adható meg.

Látható tehát, hogy a kvantummechanika matema-tikai nyelvezetének megértése szintén nem egyszerûfeladat, és további probléma, mint említettem, hogy ajelenségeket nem tudja a diák a mindennapi tapasztala-taihoz kapcsolni – ψ(r, t ) komplex értékû függvény(!) –,a mérések pedig mindig közvetettek: maga a hullám-függvény nem mérhetô, csak a belôle származtatottmennyiségek, az úgynevezett megfigyelhetô mennyisé-gek, mint például 〈r〉, a hely várható értéke:

Ahhoz, hogy mégis szemléletes képet tudjunk adni a

〈r〉 = 〈ψ r ψ〉 = ⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠ ψ ✽ r ψ dx dy dz.

diákoknak a Schrödinger-egyenlet „mûködésérôl”,egy nagyon hasznos eszközt alkalmazhatunk: a szá-mítógépes szimulációt. A mai személyi számítógépeksebessége és tárolókapacitása már bárki számára le-hetôvé teszi egyszerû kvantummechanikai rendszereknumerikus vizsgálatát. Ha például a háromdimenzióshullámfüggvényt egy x,y,z -ben egyaránt 256 pontbólálló felosztáson modellezzünk, a hullámfüggvény(duplapontos komplex) tárolásához 256 Megabytetárolókapacitás szükséges – egy mai köznapi PC-ben

általában több mint 1024 Megabyte memória találha-tó. Ha a számítást két dimenzióra korlátozzuk és/vagykihasználjuk az adott rendszer szimmetriáit, akkormég kevesebb memória elegendô a számításokhoz.

Web-Schrödinger

Az MTA Mûszaki Fizikai és Anyagtudományi Kutató-intézet Nanoszerkezetek Osztályán, belga kutatókkalegyüttmûködésben kifejlesztett Web-Schrödinger egyolyan interaktív számítógépes szimuláció, amelyszemléletessé teszi az idôfüggô Schrödinger-egyenletmegoldását. A numerikus számítás maga egy alkalma-zásszerveren fut, így a felhasználónak nem kell telepí-teni semmit a saját számítógépén, egyszerû web-bön-gészô segítségével használhatja a programot (http://www.nanotechnology.hu/online/web-schroedinger/index.html címen). A program interaktív voltából adó-dóan pedig a felhasználó betöltheti az elôre elkészí-tett példákat, és változtathat azok beállításain, továb-bá készíthet teljesen új példákat, amelyek mentéseszintén lehetséges. Ahhoz, hogy megértsük hogyan„kormányozhatja a hullámfüggvényt” a felhasználó aszimuláció során, kicsit részletesebben meg kell is-merkednünk a programmal.

A szimuláció három lépésbôl áll:• Elôször meg kell határoznunk a ψ0(r) kezdôálla-

pot- és a V (r) potenciálfüggvényeket, és beállítanunknéhány számolási paramétert, mint például a szimu-lált idôintervallumot.

• Ezután a program kiszámítja a hullámfüggvényidôfejlôdését.

• Végül megjeleníti a megtalálási valószínûségidôfejlôdését.

A hullámcsomag-dinamikai módszer

Erwin Schrödinger 1926-ban [4] azzal a céllal alkottameg a kvantummechanikai hullámcsomag fogalmát,hogy hidat építsen a klasszikus és a kvantummechani-ka között. A hullámcsomag egy térben lokalizált hul-lámfüggvény, azaz olyan kvantumállapotot ír le, amikora részecske nagy valószínûséggel egy adott pont köze-lében található. A Schrödinger-egyenletbôl levezethetô,hogy a hullámcsomag tömegközéppontja jó közelítés-sel úgy mozog, mint egy klasszikus tömegpont, ha apotenciál lassan változik a hullámcsomag méretéhezképest. A hullámcsomag leggyakrabban alkalmazottformája a Gauss-hullámcsomag – a Web-Schrödingerprogram is ezt használja kezdôállapotként:

ahol k0 = (2π/λ)n a hullámcsomag hullámszámvekto-

ψ0(r) = N exp i k0 r exp

r r02

a 2,

ra, λ a de Broglie hullámhossz, a pedig a hullámcso-mag szélessége – minél nagyobb a, annál szélesebb ahullámcsomag. Az n vektor a részecske haladási irá-

234 FIZIKAI SZEMLE 2009 / 7–8

nyát adja meg, N pedig egy normálási faktor. A hul-

1. ábra. STM tû – szén nanocsô – hordozó felület potenciál konst-rukciója a Web-Schrödingerben – a Web böngészô ablakából kimen-tett képernyôkép. Láthatjuk, hogyan lehet összerakni az STM leképe-zés szimulációjához használt potenciált a különféle objektumokból.A jobboldali kép az így elkészült potenciált mutatja: a fehér szín anulla potenciál, a fekete −9,81 eV, ezt a potenciálkád mélységet agrafit Fermi-energiájából és kilépési munkájából számítottuk ki, lásd[5]. A nanocsô átmérôje 1 nm, ez megfelel egy tipikus egyfalú szénnanocsô átmérôjének. A méreteket a programban ångströmben (1 Å= 0,1 nm), az energiákat elektronvoltban kell megadni.

lámszám a részecske lendületébôl így számítható ki:k0 = p0/ , = h /2π, ahol h a Planck-állandó. r0 adjameg a részecske helyét – a negatív kitevôjû exponen-ciális függvény miatt ezen a helyen maximális a ψhullámfüggvény abszolút értéke, r0-tól távolodvagyorsan csökken. Mivel ρ = |ψ|2 adja a megtalálásivalószínûségsûrûséget a hely függvényében, azonnalláthatjuk, hogy a Gauss-hullámcsomag valóban lokali-zált állapotot ír le: a részecske megtalálási valószínû-sége az r0 pontban a legnagyobb, attól távolodva ro-hamosan csökken – lásd a 2. ábrá t!

Mint azt korábban részletesen leírtuk [5], a hullám-csomag-dinamikai módszerben egy adott potenciál-térben vizsgáljuk meg a hullámcsomag mozgását (szi-mulált szóráskísérlet). Ennek szemléltetése pedig ki-emelkedô fontosságú, ugyanis a diákok nehezen tud-ják elképzelni, hogyan terjed egy elektron, mi törté-nik, ha potenciálgáttal érintkezik, hogyan megy végbea kölcsönhatás stb.

Paraméterek

Elsôként a felhasználó a számolási doboz méretét, illet-ve annak felosztását tudja beállítani. Jellegzetes nanofi-zikai alkalmazásoknál a számolási doboz mérete né-hány nanométer, a felosztást pedig úgy kell megadni,hogy a szimulációban elôforduló de Broglie hullámokatjól mintavételezze. Elektronvolt nagyságrendû energiák-nál ez – elektronra – 0,01–0,1 nm lépésközt jelent.

A második lépés a potenciálfüggvény megadása,voltaképpen ezzel határozzuk meg azt a fizikai rend-szert, amelyet vizsgálni akarunk. A különbözô poten-ciálokkal vagyunk tehát képesek különbözô jelensé-gek szemléltetésére, mint például az alagutazás folya-mata, a tiltott és megengedett sáv kristályokban, do-bozba zárt részecske stb.

Háromfajta potenciál „építôkocka” közül választha-tunk; a kör, a téglalap és a félsík, amelyeket tetszôlegesmódon és számban helyezhetünk el a számolási doboz-ban, természetesen értékeik megadásával, ezáltal szélesalkalmazási spektrumot kínálva a felhasználónak. Az 1.ábrán, amely egy, a programból kimentett képernyô-kép, láthatjuk, hogyan lehet bonyolult potenciálokat isegyszerûen felépíteni a programmal: ezen a képen egyszén nanocsô pásztázó alagútmikroszkópos leképezé-sének szimulációjánál használt potenciált [5] mutatunkbe. Az 1. ábrán az STM-tû – nanocsô – hordozó felület-nek a csôre merôleges keresztmetszetét láthatjuk: azalsó fekete félsík a hordozót, a középsô gyûrû a nano-csövet (amely a Van der Waals potenciálon „lebeg” ahordozó fölött, körülbelül 0,335 nm távolságra), a fölsôfélsík a félkör alakú kiemelkedéssel az alagútmikrosz-kóp tûjét szimulálja. Az STM leképezésnek ezzel azegyszerû, geometriai modelljével számos kísérleti ered-mény vált értelmezhetôvé, amelyekrôl részletesen azalábbi cikkekben lehet olvasni [5–7].

A következô lépés a kezdeti hullámcsomag paramé-tereinek megadása. Itt tudja a felhasználó a hullámcso-mag kezdeti helyét, kinetikus energiáját, szélességét ésmég egyéb, ehhez kapcsolódó adatokat beállítani.

Végül a már említett számolási lépésközt (δt ) és aszimulált idôtartamot adhatjuk meg. A számolás ered-ményét a program képek formájában jeleníti meg(results menüpont). A képeken a megtalálási valószí-nûségsûrûség, ρ(r, t ) = |ψ(r, t )|2 idôfüggése látható.

Megismerkedvén lehetôségeinkkel, a cikk követke-zô részében néhány példával szeretnénk bemutatni aprogram mûködését (ezek szintén megtalálhatóak a„példák” menüpont alatt).

PéldákAlagúteffektus

A klasszikus fizika törvényei szerint egy E energiávalrendelkezô részecske nem tud behatolni V > E poten-ciállal rendelkezô térrészbe, ez számára ugyanis tiltotttartomány. Ennek szemléletes példája a mély gödöralján lévô, abból kigurulni nem tudó labda esete. Akvantummechanika azonban mást mond: hullámtulaj-donságából kifolyólag a részecskének van egy végesvalószínûségû esélye arra, hogy áthaladjon az ener-giáját meghaladó „magasságú” potenciálfalon. Ezt ajelenséget nevezzük alagúteffektusnak, ennek nemegy megjelenési formájával találkozhatunk a termé-szetben és a technikában, a radioaktív bomlástól avillanykapcsoló mûködéséig. A Web-Schrödingerrelmost ezt a jelenséget szeretnénk bemutatni.

A beállítások kritériuma, hogy a potenciálfal ma-gassága legyen nagyobb a hullámcsomag energiájá-nál. Ekkor az áthaladási valószínûség jó közelítéssel

ahol κ paraméter a részecske tömegébôl, energiájá-

T ∼ e 2κd,

ból, illetve a potenciál nagyságából számítható. Innen

VANCSÓ PÉTER, BIRÓ LÁSZLÓ PÉTER, MÁRK GÉZA ISTVÁN: KVANTUM FŐNIX – HULLÁMCSOMAG-DINAMIKA AZ INTERNETEN 235

már látszik, hogy nem érde-

2. ábra. Hullámcsomag alagutazása, a ρ(x,y; t ) megtalálási valószínûségsûrûség függvény külön-bözô pillanatokra. A felülrôl lefelé haladó kezdeti hullámcsomag nekiütközik az E energiájánál na-gyobb V0 magasságú potenciálfalnak. Az áthaladás valószínûségét (az alagutazást) a potenciálfaltúloldalán megjelenô hullámcsomag mutatja, a potenciálfal felsô oldalán pedig a visszavert hullám-csomagot láthatjuk. A vízszintes sötét sáv a potenciálfalat jelképezi. A szürkeskálájú ábrázolásban asötétszürke jelenti a legnagyobb, a fehér a nulla megtalálási valószínûséget. Nemlineáris szürke-skálát alkalmaztunk, hogy a nagyobb és kisebb megtalálási valószínûségértékek egyaránt jól lát-szanak az ábrán.

2 nm

t = 0 fs t = 0,58 fs t = 1,16 fs t = 1,74 fs t = 2,32 fs

3. ábra. Megengedett és tiltott sáv. A felsô sorban a bejövô hullámcsomag energiájának középérté-ke 10,61 eV, amely a megengedett sávba esik, ezért a hullámcsomag áthalad a kristályon. Az alsósorban az energia 14,88 eV, ez egy, a tiltott sávba esô érték, ezért a hullámcsomag visszaverôdik.Szürke színnel továbbra is a hullámcsomag megtalálási valószínûségsûrûségét ábrázoltuk, a sötétvonalak pedig a kristály periodikus potenciálját mutatják. A kristály ebben a szimulációban hét da-rab, 0,53 Å vastag, 9,81 eV magas potenciálfalból állt, amelyek 5,3 Å távol vannak egymástól. Aszórási folyamat a kisebb energiájú hullámcsomag esetén lassabb.

65 nm

t = 0 fs t = 0,72 fs t = 1,44 fs t = 2,17 fs t = 2,89 fs

65 nm

t = 0 fs t = 1,44 fs t = 2,89 fs t = 4,34 fs t = 5,78 fs

mes a potenciálfal szélességéttúl nagyra választani, mert ak-kor az átjutás mértéke túlsá-gosan csökkenhet, ezáltal ajelenség kevésbé szemléletes.A példában a potenciál értékeV = 7 eV, a kezdeti energiapedig E = 5 eV. A potenciálvastagsága d = 2 Å. Ezekkelaz értékekkel az átmeneti va-lószínûségre T = 0,17 értéketkapunk a fenti képletbôl, avisszaverôdési valószínûségtehát R = 1−T = 0,83.

A megtalálási valószínûségsûrûség idôfejlôdése a 2.ábrán látható. Mivel a kezdeti hullámcsomagnak egy−y („lefelé”) irányú lendületet adtunk, megfigyelhet-jük, hogy idôfejlôdése során a −y irányba halad –amíg csak el nem éri a potenciálfalat. A további képekazt mutatják, ahogyan a hullámcsomag kölcsönhatás-ba lép a potenciálfallal, az utolsó kép pedig a köl-csönhatás lezajlása utáni végállapotot ábrázolja. Ateljes folyamat 2,32 fs = 2,32 10−15 s idôt vesz igény-be. A vízszintes csíkokat a visszavert és beérkezô hul-lámok interferenciája okozza. Látható hogy bár a ré-szecske elég nagy eséllyel visszaverôdik, mégis végesvalószínûséggel átjuthat a potenciálfalon (szürke folta potenciál túloldalán). Így tehát szemléletes képetsikerült alkotnunk az alagutazás folyamatáról.

Tiltott és megengedett sáv kristályokban

Az ideális kristály a térben ismétlôdô, azonos szerkezetiegységekbôl álló rendszer. Ha egy hullám, amelynekhullámhossza összemérhetô a kristály periodicitásával,kölcsönhatásba lép a kristállyal, akkor fellép a diffrak-ció jelensége. A diffrakció pedig erôsen függ a hullám-hossztól, ezáltal bizonyos hullámhosszú hullámok áttudnak hatolni a kristályon(megengedett sáv), míg másokvisszaverôdést szenvednek(tiltott sáv). Ha elektronokszóródnak, akkor ez a jelenségalakítja ki többek között azelektronok sávszerkezetét –ezen alapul a félvezetô eszkö-zök mûködése –, látható fényszóródásánál pedig különbözôszínek megjelenését tapasztal-hatjuk. Azokat a kristályokat,amelyek periodicitása a láthatófény hullámhosszának nagy-ságrendjébe esik, fotonikuskristályoknak nevezzük, ésbizonyos ásványoknál és élô-lényeknél ez okozza a szín-pompás megjelenést. Ezzelrészletesen az alábbi cikk fog-lalkozik [8].

A 3. ábrán bemutatott szimulációban a potenciálokmegegyeznek, de a kezdeti állapotok energiái eltérôek,így szemléltetve a tiltott és megengedett sáv hatását.Láthatjuk, hogy a szimulációban a tiltott sáv esetén isvan egy kis áthaladás és a megengedett sáv esetén isegy kis visszaverôdés. Ez abból adódik, hogy a hullám-csomag nem egy energia-sajátállapot, azaz van egybizonyos ∆E energiaszórása. Ezért a tiltott (megenge-dett) sávba esô hullámcsomag – kis valószínûséggel –áthaladhat (visszaverôdhet) a kristály-potenciálon. Ahullámcsomag ∆E energiaszórását természetesen tet-szôleges mértékben csökkenthetjük, de ez csak azon azáron lehetséges, hogy a ∆r térbeli kiterjedését megnö-veljük (azaz egyre inkább közelítünk a síkhullám határ-esethez). Ám a hullámcsomag térbeli kiterjedéséneknövelése megnöveli a számolási doboz méretét is.

A kvantum fônix

A szabad térbeli kvantummechanikai hullámcsomag –azaz, ha a részecske nem hat kölcsön semmi mással –alapvetô tulajdonsága a szétfolyás, azaz a megtalálásivalószínûség az idô elôrehaladtával egyre nagyobb tér-részre terjed ki. Megfelelô potenciál alkalmazásával

236 FIZIKAI SZEMLE 2009 / 7–8

azonban megfordíthatjuk ezt a folyamatot! Azt a jelen-

4. ábra. 7 nm széles dobozba zárt részecske idôfejlôdése látható aképeken, amely jól meghatározott idô – esetünkben 71 fs – után is-mét felveszi a kezdeti állapotot, azaz újjászületik. Ennek az idônek atört részeinél (1/2, 1/3, 1/4 …) a tört újjászületések (2×-es, 3×-os, 4×-es) figyelhetôk meg. Az idôfejlôdést egy újjásszületési periódus (revi-val time) hosszúságban (TR = 71 fs) szimuláltuk és TR/15 idôközön-ként mintavételeztük. A 3/15 és 6/15 képeken az ötszörös, az 5/15képen a háromszoros újjászületést figyelhetjük meg. A mintázatokTR/2 idôtôl fordított sorrendben ismétlôdnek. A kétszeres újjászüle-tést nem látjuk, mert a TR/2 idô nem esik pontosan egyik idôfelosztáspontra sem. De a 7/15 és 8/15 képeken megfigyelhetjük a hullám-csomag alakját a kétszeres rekonstrukció elôtt és után kis idôvel.

séget, amikor a kezdeti hullámcsomag idôfejlôdése fo-lyamán újra kialakul a kezdeti állapot, quantum revival-nek (kvantumállapot újjászületés) nevezzük. Egy végte-len mély potenciáldoboz esetén a folyamat érdekességetovábbá, hogy az a periódusidô, ami alatt a hullámfügg-vény visszatér kezdeti állapotába, független a kezdetihullámcsomag paramétereitôl, csak a doboz méretei ha-tározzák meg, ami szöges ellentétben áll a klasszikusszemlélettel. Ezt nevezik revival-paradoxonnak, továbbirészletek errôl az alábbi cikkben találhatók [9]. Érdemesmegemlíteni, hogy hasonló jelenség (Talbot-effektus)már 1836 óta ismert az optikában!

A kvantumállapot újjászületés bemutatásához a „do-bozba zárt részecske” modellbôl indulunk ki, amelybena hullámcsomag egy kétdimenziós potenciálgödörbevan lokalizálva. ρ(x,y; t ) idôfejlôdését láthatjuk a 4. áb-rán, ahol a szimuláció teljes idôtartama egy újjászületésiperiódus. Megfigyelhetjük, hogy a kezdeti hullámcso-mag elôször elkezd szétfolyni, majd visszaverôdik apotenciálfalról, interferencia-mintázatok alakulnak ki. Aszimuláció végére rekonstruálódik a kezdeti állapot. Áma közbensô idôkben is bámulatosan érdekes jelenségetfigyelhetünk meg, a többszörös (tört) újjászületéseket: akezdeti hullámcsomag több példányban rekonstruáló-dik a potenciáldoboz különbözô helyein. A többszörösújjászületések szimmetriaszerkezetét a V(r) potenciálszimmetriája szabja meg. Mivel a 4. ábrán a potenciál xés y irányban szimmetrikus, a kezdeti hullámcsomag x

és y irányban is megismétlôdik. Mint a hátsó borítónlátható színes kép bemutatja, az újjászületés és a több-szörös újjászületések bonyolult alakú hullámcsomagokesetén is bekövetkeznek. A 4. ábrán a fehér felel meg anulla megtalálási valószínûségsûrûségnek, a fekete alegnagyobb megtalálási valószínûségsûrûségnek. Lát-hatjuk, ahogyan a hullámcsomag szétfolyik, úgy egyreszélesebb lesz, de egyre alacsonyabb lesz a csúcsa. Fizi-kailag ez azt jelenti, hogy a kezdeti, jól lokalizált állapot-ban a hullámcsomag az r0 hely (ami a 4. ábrán az ori-gó) kis környezetében található nagy valószínûséggel,de késôbb már nagyobb térrészre tejed ki. A többszörösrekonstrukciók esetén, ha a rekonstrukció n -szeres, amaximális megtalálási valószínûség 1/n2 arányban csök-ken a kiinduló állapothoz képest.

Természetesen az idôfüggô Schrödinger-egyenletmegoldásán alapuló hullámcsomag-dinamikai szimu-lációkat nemcsak az oktatásban, hanem a kutatásbanis eredményesen lehet használni. Ennek szemlélteté-sére a Web-Schrödinger példái közt szerepel még egyérdekes, a hétköznapi tudományból származó példa,amellyel az 1990-es években tanulmányoztuk a szénnanocsövek alagútmikroszkópos leképezését.

Összegzés

A kvantummechanika megértéséhez nagyon hatékonyeszköz a számítógépes szimuláció, amellyel szemléle-tesen tudunk bemutatni különbözô folyamatokat. AWeb-Schrödinger egy ilyen szimulációs program,amely a szemléletesség mellett interaktív is. Ezáltal adiákok maguk készíthetnek példákat, modellezhetnekfolyamatokat, amelyek segítségével mélyebben meg-érthetik a kvantummechanika jelenségvilágát.

Epilógus

A hullámcsomag-dinamikai szimulációk még a kvan-tummechanika filozófiai kérdéseit is segítenek megvi-lágítani – már az egyszerû alagútjelenség példája segít-ségével. Ugyanis a hullámcsomag, amíg nem éri el apotenciálgátat, egyenletesen halad és közben szétfo-lyik. A szétfolyás jelensége ellen még talán nem nagyonberzenkedik a klasszikus szemléletünk – annyi történikmindössze, hogy a részecske helyének „bizonytalansá-ga” egyre nagyobb lesz. Ám az alagútjelenség lezajlásautáni végállapotban (2. ábra ) azt láthatjuk, hogy a hul-lámcsomag két különálló részre oszlott, amelyek egyretávolodnak egymástól – azaz immár nem egy, hanemkét hely van, amelynek környezetében nagy valószínû-séggel megtalálható a részecske. Nevezzük ezeket A (apotenciálfal egyik oldalán) és B (a potenciálfal másikoldalán) helyeknek. Az idô múlásával a két rész-hul-lámcsomag bármilyen messzire távolodhat egymástól.De – mivel az egyrészecske hullámfüggvény valójábanegyetlen tömegpont megtalálási valószínûségsûrûségéthatározza meg – a részecske csak az A hely környeze-tében, vagy a B hely környezetében lehet, viszont az,

VANCSÓ PÉTER, BIRÓ LÁSZLÓ PÉTER, MÁRK GÉZA ISTVÁN: KVANTUM FŐNIX – HULLÁMCSOMAG-DINAMIKA AZ INTERNETEN 237

hogy melyik helyen találjuk meg a részecskét, csak

1. ábra. Rekonstruált napfoltgyakoriság a 17. század elejétôl. Agrafikon bal felén látható keresztek a korai, kevésbé megbízhatóadatokat jelzik. A folytonos vastag vonal a 11 éves futó átlag, ame-lyen a hosszútávú ingadozást jellemzô szakaszok nevét föltün-tettük (http://en.wikipedia.org).

250

200

150

100

50

0

napfoltokszám

a

1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000

–

–

–

–

–

–

– – – – – – – – –

Maunder-minimum

Dalton-

minimum

modernmaximum

évek

2. ábra. a) A Napból érkezô elektromágneses sugárzás energiasûrûsé-gének eloszlása a légkörön kívül (folytonos vonal), illetve a Föld fel-színén (pontozott vonal) a hullámhossz függvényében. b) A 11 évesnapfoltciklusok során mért spektrális változékonyság ([2] nyomán).

10

10

10

10

10

6

4

2

0

–2

besugárzás

(mW/m

/nm)

2

–

–

–

–

–

–

–

–

–

10

– – – – –

100 1000 10000(nm)

EUV UV látható IR

0 km

10

10

10

10

10

10

10

2

0

–1

–2

–3

–4

11-évesváltozékonyság

(max–m

in)/min

–

–

–

–

–

–

–

10

– – – – –

100 1000 10000(nm)

teljes átlagos változékonyság

a)

b)

akkor derül ki, mikor megmérjük, hogy hol van. Ámamint megmérjük, hogy például az A oldalon van-e arészecske és azt találjuk, hogy ott van (illetve nincs),ekkor abban a szempillantásban meghatározottá válik,hogy a másik oldalon nincs (illetve van). Az A és B he-lyeken történô részecske helymeghatározás akkor isantikorrelációt fog mutatni, ha a két mérés között a t =d/c idônél rövidebb idô telik el, ahol d a két hely távol-sága és c a vákuumbeli fénysebesség. Ezekrôl a kérdé-sekrôl lásd bôvebben [10, 11] Geszti Tamás cikkeit!

Irodalom1. Gyulai J.: Az anyagtudomány apoteózisa. Fizikai Szemle 46/8(1996) 264.

2. Márk G. I.: A modern fizika alapjai a mûszaki menedzser-kép-zésben – Fizikai Szemle 47/9 (1997) 298.

3. D. F. Styer: Common misconceptions regarding quantum me-chanics. American Journal of Physics 64 (1996) 31–34.

4. E. Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem (ZweitereMitteilung). Ann. Phys. 79 (1926) 489.

5. Márk G. I.: Egy hullámcsomag kalandjai az alagútmikroszkóp-ban. Fizikai Szemle 61/6 (2006) 190.

6. G. I. Márk, L. P. Biró, J. Gyulai: Simulation of STM images of 3Dsurfaces and comparison with experimental data: carbon nano-tubes. Phys. Rev. B 58 (1998) 12645.

7. G. I. Márk, L. P. Biró, P. Lambin: Calculation of axial chargespreading in carbon nanotubes and nanotube Y-junctions du-ring STM measurement. Phys. Rev. B 70 (2004) 115423-1.

8. Rajkovits Zs.: Szerkezeti színek az élôvilágban. Fizikai Szemle72/4 (2007) 121.

9. D. F. Styer: Quantum revivals versus classical periodicity in theinfinite square well. American Journal of Physics 69/1 (2001)56–62.

10. Geszti Tamás: Párolt macska. Fizikai Szemle 47/5 (1997) 157.11. Geszti Tamás: Kvantum és klasszikus határán. Fizikai Szemle

58/6 (2008) 209.

KOZMIKUS SUGÁRZÁS, IDÔJÁRÁS, ÉGHAJLAT:HOL A HIÁNYZÓ LÁNCSZEM?

Kiss Péter1, Csabai István1, Lichtenberger János2, Jánosi Imre11ELTE TTK Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék

2ELTE TTK Űrkutató Csoport

A bolygónk felszínén lejátszódó természeti folyama-tok túlnyomó részét végsô soron a Napból érkezôsugárzási energia hajtja, ezért igen kézenfekvô feltéte-lezés, hogy a naptevékenység jellemzôiben bekövet-kezô változások szoros csatolásban állhatnak az ég-hajlati és idôjárási jelenségekkel [1]. Nem valószínû,hogy az 1. ábrán látható napfoltgyakoriság adatsoratúl sok Olvasónak jelentene újdonságot. A napfoltgya-koriság nagyjából 11 éves ciklikusságát (SamuelHeinrich Schwabe, 1843) közvetlen csillagászati meg-figyelések alapján egészen Galilei 1610 körüli észlelé-séig visszamenôleg sikerült kimutatni. A pontos földiés mûholdas mérések az utolsó néhány napciklusideje alatt sok ismeret összegyûjtését tették lehetôvé,ezért valószínûleg hasonlóan ismerôs a 2.a ábra is,ami a beérkezô elektromágneses sugárzás energiasû-rûségének eloszlását mutatja a hullámhossz függvé-

nyében (Planck -görbe). A légkör optikai szûrôhatá-sairól sem érdemes itt sokat értekezni. Különösen azózonlyuk megjelenése óta tekinthetô közismertnek,hogy az ultraibolya (UV) és extrém-ultraibolya (EUV)komponensek gyakorlatilag nem érik el a Föld felszí-nét (2.a ábra, pontozott vonal), legalábbis rendeskörülmények között.

238 FIZIKAI SZEMLE 2009 / 7–8

Talán nem ennyire közismert a 2.b ábrán vázolt

3. ábra. A felhôborítottság anomáliája (eltérés a hosszútávú éghajla-ti átlagoktól) és az illesztett napfoltszám-ingadozás (vékony folyto-nos vonal) az idô függvényében, három földrajzi régióra. A VRCO(angolul: vertical rigidity cut off ) érték a kozmikus sugárzás ré-szecskéinek azon energiaküszöbét jellemzi, ami egy adott földrajzihelyen a földfelszín eléréséhez szükséges, függôleges beesési iránytföltételezve ([7] nyomán).

felhõborítottságanomália(%)

sarkvidékek: VRCO < 4 Gev

közepes szélesség: 4 Gev < VRCO < 9 GeV

egyenlítõ közelében: VRCO > 9 GeV

2

0

–2

–4

2

0

–2

–4

2

0

–2

–41980 1985 1990 1995 2000 2005

évek

görbe, amely egy tipikus napciklus maximum- és mi-nimumértékeinél mutatja a spektrális eloszlásfüggvé-nyek különbségét. Elôször is érdemes megjegyezni,hogy a napfoltgyakoriság maximumaihoz és minimu-maihoz tartozó teljes sugárzási intenzitásban mind-össze 0,1% különbség tapasztalható (2.b ábra, víz-szintes szaggatott vonal). Eközben egyre több környe-zeti jelenségben vélték fölfedezni a naptevékenységváltozékonyságának hatását, például az 1. ábrán jel-zett Maunder-minimumot (a napfoltok szinte teljeshiányát) sokan az Európában komoly válságok sorá-val jellemzett „kis jégkorszak”-kal látják ok-okozatiösszefüggésben. De hogyan vezethet néhány tized-százaléknyi sugárzási intenzitásváltozás ilyen komolyéghajlati eltolódásokhoz? Arról nem is beszélve, hogyez a tized-százaléknyi változás is a spektrum EUV ésUV tartományában összpontosul (2.b ábra ), ami alégkör legfelsô rétegeiben elnyelôdik. Miféle csatolásimechanizmus létezhet, amely az atmoszféra tetejénbekövetkezô változásokból felszíni éghajlati kilengé-seket eredményez?

A kozmikus sugárzás hipotézis

Nagyjából másfél évtizeddel ezelôtt elég nagy vissz-hangot keltett a fôleg Henrik Svensmark dán fizikusnevéhez köthetô elmélet, amely a hiányzó láncszemeta kozmikus sugárzásban vélte fölfedezni [3]. A Napból(hasonlóan egyéb kozmikus forrásokhoz) az elektro-mágneses sugárzás mellett nagy intenzitású részecs-kezápor is érkezik (napszél), amely sok más összete-vô mellett fôleg alacsony és közepes energiájú proto-nokból, valamint elektronokból áll [4, 5]. Az elektro-mosan töltött részecskék kölcsönhatásba lépnek aFöld mágneses terével, pályájuk módosul, és többekközött egy sor látványos légköroptikai jelenség, pél-dául a sarki fény okozói [6]. Az alacsonyabb energiájútöltött részecskék többsége nem éri el a Föld felszínét,bár behatolási mélységük jóval nagyobb, mint az EUVés UV sugárzásé. Lényeges viszont az a tény, hogy arészecskesugárzásnak a napciklus maximumához ésminimumához tartozó intenzitásváltozása 15% körüli,azaz két és fél nagyságrenddel nagyobb, mint azelektromágneses sugárzásé. A Svensmark-féle hipoté-zis szerint a troposzférába hatoló kozmikus részecs-kéknek jelentôs szerepe van a felhôképzôdés mik-roszkopikus folyamataiban.

E feltevés igazolására a 3. ábrán láthatóhoz ha-sonló görbéket szoktak bemutatni. Annak oka, hogyszándékosan nem az eredeti közlemények egyikétidézzük az, hogy mind a mai napig nem jutott nyug-vópontra az a szakmai vita, ami a bizonyítékok hite-lessége körül bontakozott ki. A 3. ábrán az alacsonymagasságú (< 3–4 km) felhôborítottság anomáliájá-nak idôsora látszólag meggyôzôen mutatja a napcik-lussal egybeesô 11 éves ingadozást, különösen aközepes földrajzi szélességekhez tartozó sávban (3.ábra, középsô grafikon). Az alapadatok a Nemzet-

közi Mûholdas Felhô Klímatológiai Projekt (angolul:International Satellite Cloud Climatology Project,ISCCP) adatbankjából származnak, és infravörös táv-érzékelésen alapulnak (http://isccp.giss.nasa.gov).A napciklus illesztése valójában a kozmikus részecs-kesugárzás intenzitását veszi alapul [7], ami a nap-foltok gyakoriságváltozásával pontosan ellentéteselôjelû (azaz napfoltminimum idején maximális anapszél fluxusa).

Még abban sincs egyetértés, hogy a görbéken lát-ható monoton csökkenô trend vajon valódi fizikai(éghajlati) effektus-e, vagy a mûholdra szerelt érzéke-lôk fokozatos elöregedésével kapcsolatos. A vita el-döntését különösen nehezíti, hogy a különbözô cso-portok jobb híján ugyanabból az ISCCP adatbankbóldolgoztak, néha kiegészítve azt különösen megbízha-tatlan felszíni észlelésekkel.

Az elmélet ellenzôinek fôbb érvei, hogy (i) a 3.ábrán látható korreláció nem feltétlenül jelent ok-okozati összefüggést (igaz), (ii) a magasabb szintûfelhôknél még ez a korreláció is eltûnik (erre utalnakaz adatok), illetve (iii) a felhôborítottság nem követia kozmikus részecskefluxus rövid idejû, nagy ampli-túdójú „kilengéseit” (erre még visszatérünk). Az el-mélet támogatói hangsúlyozzák, hogy a globális fel-hôészlelések még csak nagyon kezdeti stádiumbanjárnak, sok hibával és bizonytalansággal (igaz), és akorrelációkat valódi fizikai csatolásokkal lehet ma-

KISS P., CSABAI I., LICHTENBERGER J., JÁNOSI I.: KOZMIKUS SUGÁRZÁS, IDŐJÁRÁS, ÉGHAJLAT: HOL A HIÁNYZÓ LÁNCSZEM? 239

gyarázni. Ez utóbbi érvet támasztják alá például a 4.

4. ábra. Hosszútávú ingadozás az éghajlati átlagok körül: a Paraná-folyó vízhozama (folytonos vonal), a napfoltok száma (szaggatottvonal) és a felszíni besugárzás erôssége (pontozott vonal). Mindhá-rom mennyiség standardizált formájú (aritmetikai átlag kivonva,szórással normálva), ezért a függôleges tengely dimenziótlan ([8]nyomán).

2

1

0

–1

–2

1920 1940 1960 1980 2000évek

5. ábra. Az alacsony magasságú, vékony rétegfelhôk környékénészlelt tipikus függôleges elektromos töltéseloszlás és térerôsségvázlata; részletek a szövegben ([1] nyomán).

zéró nettó töltés

zéró nettó töltés

pozitív réteg

negatív réteg

„szépidõ”tér

„szépidõ” áram~2 pA/m2

„felhõs”tér

250m

elektromostérerõsség

napszél-moduláció

ionizációsszint

töltöttaeroszolok

ábrán bemutatott érdekes eredmények is, amelyek aParaná-folyó hosszú idejû vízhozam-ingadozásábantalálják meg a naptevékenységgel fönnálló szignifi-káns korrelációt [8]. Hangsúlyozzuk, hogy ez nem a11 év körüli napciklus, hanem az 1. ábrán is láthatógyakoriság-maximumok „modulációjával” kapcsola-tos. A vízhozam esetében tényleg nem sok egyéblehetséges magyarázat adódik, mint hogy a vízgyûjtôterületre hulló csapadék mennyiségének kell követ-nie valahogyan a Nap aktivitásának változásait, ezpedig a felhôképzôdéssel szorosan összefüggô folya-mat. Megjegyezzük, hogy saját vizsgálataink soránugyanezt a korrelációt nem sikerült kimutatnunk aDuna hasonlóan hosszú idôszakot lefedô, napi vízál-lási adataiban. Persze érvelhetünk azzal, hogy telje-sen más az éghajlati terület, vagy megemlíthetjük aDunán épített 59 duzzasztó-szabályozó gátat is. Detény az is, hogy a naptevékenység ingadozása a kü-lönféle jelenségekben csak nagyon gyenge háttérjel-ként jelentkezik, ezért a meggyôzô kimutatása nem isolyan egyszerû.

Mi lehetne a kozmikus részecskék és a felhôkép-zôdés csatolási mechanizmusa? A vezetô elmélet sze-rint a csatolás a töltött részecskék ütközéses ionizálóhatásával kapcsolatos. Bizonyos „nyomgáz” moleku-lákból (elsôsorban H2O és H2SO4) keletkezô ionoknanométer nagyságú aeroszolok (nano-cseppecskék)kialakulását segíthetik elô, amit sok helyen meg isfigyeltek. E cseppecskék aztán szerencsés esetbenegy kritikus nagyságot elérve stabil kondenzációsmagokká válhatnak, ami az elképzelések szerint afelhôképzôdés alapja lehet. A kondenzációs magok-ból kialakuló makroszkopikus cseppek esô formájá-ban folyamatosan „kiürülnek” a troposzférából, ezérta folyamatos felhôképzôdés és csapadék-utánpótlás

nem képzelhetô el a kondenzációs magok állandókeletkezése nélkül. Ha ennek tényleg döntô lépése akozmikus részecskék kiváltotta ionizáció, akkor arészecskezápor intenzitásának változásai szükség-képpen megjelennek a felhôképzôdés és a csapadékingadozásaiban is [1, 9]. A kondenzációs magokhozszükséges légköri aeroszolok koncentrációját sokmás folyamat is erôsen befolyásolja: például a vulká-ni vagy az emberi tevékenység (gondoljunk csak arepülôgépek mögött kialakuló „kondenzcsíkokra”).Az ilyen forrásokból származó ingadozásokat elvilegel lehet különíteni a kozmikus részecskék hatásaitól.A vulkánkitörések, nagy kiterjedésû erdôtüzek vagygyárak által kibocsátott SO2 szennyezés jól lokalizált,erôs kilengéseket okoz, ezzel szemben a kozmikussugárzás hatása a várakozások szerint sokkal gyen-gébb, de globális.

Az egyéb elképzelések közül talán érdemes mégmegemlíteni a már meglévô felhôk és a kozmikusrészecskék kölcsönhatását taglaló elmélete(ke)t. Ta-pasztalati tény, hogy nemcsak a látványos zivatarfel-hôk, hanem az alacsonyan elhelyezkedô, vékony ré-tegfelhôk környékén is erôsen inhomogén a töltés-eloszlás (5. ábra ). Ennek egyszerûsített magyarázata,hogy a felhôsáv belseje még a levegônél is rosszabbvezetônek számít, mert ott a cseppecskék miatt a kis-méretû ionok kiürülnek a légtérbôl, mozgékonysá-guk csökken [1]. A globális „szépidô” áram (1,5–2pA/m2), ami az ionoszféra és a földfelszín között„csordogál”, kialakít egy tértöltést, ami a felhôsáv fö-lött egy 200–300 m vastag nettó pozitív, alatta nettónegatív töltésû rétegbôl áll. Ez a tértöltés aztán beál-lítja a „szükséges” áramerôsséget a felhô belsejében.Innen kezdve az elmélet különbözô variációi jócskánelbonyolódnak. A közös pont bennük az, hogy a töl-tésmegosztás miatt e rétegek különösen érzékenyekaz ionizáló háttérsugárzás moduláló hatásaira. A to-vábbi részletek és egyéb elméletek ismertetésétôleltekintünk, ugyanis egyelôre számszerû mérések efolyamatokkal kapcsolatban nem léteznek, ezek hiá-nyában pedig a spekulációk jobbára csak különfélebecsléseken alapulnak.

240 FIZIKAI SZEMLE 2009 / 7–8

Kapcsolat a villámokkal

6. ábra. A globális villámgyakoriság földrajzi eloszlása, ahol a szür-keségi szint arányos a villámkisülések sûrûségével. Afrika közepén,például a fekete foltok 50 villám/km2/év értékhez tartoznak, azamerikai kontinenseken pedig a csúcsérték 30 villám/km2/év körülalakul (http://visibleearth.nasa.gov/).

Az 5. ábra arra mindenképpen jó, hogy segítsen ki-hangsúlyozni a felhôk körüli elektromos töltésmegosz-tás általános jelenlétét. A rendesen kifejlett zivatarfel-hôkben, amelyek akár a troposzféra felsô határát (10–11km) is elérik, a töltések erôsen inhomogén eloszlásánakmindenki által ismert következménye az intenzív villám-tevékenység. E felhôkben sokkal nagyobb elektromostérerôsségértékek, és nem ritkán 6–8 váltakozó elôjelûtöltött réteg fölépülése a jellemzô [10]. A villámjelensé-gek tanulmányozása is szép múlttal rendelkezik, az egy-re modernebb mérôeszközök és kísérletileg létrehozottlégköri kisülések segítségével egyre több részletet sike-rült megmagyarázni. Itt most nem célunk a villámokfölépülési folyamatainak és különbözô tulajdonságainaktaglalása, egyetlen kivételtôl eltekintve.

Laboratóriumi körülmények között viszonylag egy-szerû meghatározni, hogy az átlagos összetételû leve-gôben az elektromos átütési feszültség, azaz a spon-tán ívkisülés létrehozásához szükséges kritikus elekt-romos térerôsség nagysága a felszíni nyomáson közel3000 kV/m (lásd [10], 3. fejezet). Ezzel szemben többtucatnyi ballonos mérés során, amelyekkel sikerült atérerôsség magasságfüggését eléggé pontosan megha-tározni aktív zivatarfelhôk belsejében, nemigen talál-tak 150 kV/m-nél nagyobb csúcsértékeket (a valahamért abszolút maximum 400 kV/m körüli volt). Jogo-san merül föl a kérdés, hogy akkor mi indítja el a ki-sülési folyamatot?

Természetesen itt sincs hiány a tetszetôs magyará-zatokban, de mielôtt ezekre fordulna a figyelmünk,ejtsünk néhány szót a villámok észlelésérôl. Érdemesmegnézni az Országos Meteorológiai Szolgálat hon-lapján látható villámtérképet (http://www.met.hu/kepek/index.php?id=blhh). Ha szerencsénk van, ak-kor igazán látványosan rajzolódnak ki a Kárpát-me-dence térségében az elôzô fél óra heves zivatargócai.Aki ennél nagyobb területre kíváncsi, bátran látogas-son el a http://wwlln.net címre, ahol nagy meglepe-tésben lehet része: szemmel követheti a földgolyóteljes területén zajló villámaktivitást! A rövidítés a Vil-lám Lokalizációs Világhálózat (angolul: World WideLightning Location Network, WWLLN) szervezôdésre

utal, amely a (cikk írásának idôpontjában) 40 önkén-tes mérôállomás adatai alapján határozza meg a vil-lámkisülések helyét, méghozzá pár kilométeres pon-tossággal, és körülbelül 4% globális hatásfokkal. Abudapesti mérôpontot az ELTE TTK Ûrkutató Cso-portja üzemelteti (http://sas2.elte.hu).

A távolsági villámlokalizáció elve tulajdonképpennem bonyolult. A kisülések jelentôs amplitúdójúelektromágneses zavarjeleket sugároznak ki az ala-csony rádiófrekvenciás sávban is (1–25 kHz). Ezekspeciális tulajdonsága, hogy a földfelszín és az iono-szféra közti „üregrezonátorban” csekély csillapodásukmiatt nagyon nagy távolságra jutnak el, akár a teljesFöldet megkerülhetik. Már egy egyszerû rádióvevô isalkalmas a villámok által gerjesztett impulzussoroza-tok vételére. Ha van legalább 4, nagy pontossággalszinkronizált, nagy távolságban elhelyezkedô vevônk,akkor a jelek beérkezési idejének különbségeibôl egynem túl bonyolult algoritmus segítségével meghatá-rozható a villámforrás helye (3 állomás nem elegen-dô, az elôbb említett, Földet megkerülô jelterjedésmiatt). Ehhez persze ismerni kell a rádiójel terjedésisebességét, a csillapodás mértékét, be kell azonosíta-ni az ugyanazon eseményhez tartozó impulzusokat,és egy sor más részletre is figyelni kell. Nem véletlen,hogy a WWLLN adatbázisba csak azok a villámkisülé-sek kerülnek rögzítésre, melyeket legalább 5 állomáspárhuzamos észlelése alapján lehetett azonosítani.

Egy ilyen hálózattal el lehet készíteni például a 6.ábrán látható térképet, amely a villámlás gyakoriság-eloszlását ábrázolja egy év adatai alapján. Még egy felü-letes szemrevételezés is elég egy sor következtetéslevonásához. Például jól látszik, hogy a villámok kelet-kezéséhez legjobb helyek az egyenlítôi övezetben, akontinensek fölött találhatók. Ez persze megfelel a vá-rakozásainknak, mert a jelentôs zivatarokat eredmé-nyezô „szupercellák” fölépüléséhez erôs hômérsékletikonvekció szükséges, erre pedig a feltételek leginkábbaz erôsen besugárzott szárazföldek fölött adottak. Afelhôkhöz elegendô vízpára is szükséges, ezért érthetôaz afrikai kontinens fölötti erôs aszimmetria. Az igazánérdekes észlelések persze nem a globális átlagokkalkapcsolatosak, hanem kihasználják a hálózat nagy idô-beli és térbeli felbontóképességét.

Egy példát mutat erre a 7. ábra, amely a nevezetesKatrina hurrikán körzetében illusztrálja a térbeli pon-tosságot (ennek alapján könnyen magunk elé képzel-hetjük a jellegzetes mûholdas felhôképeket). A 7. ábraalsó grafikonján látszik, hogy érdekes módon a villám-aktivitás maximuma nem esik egybe a hurrikán legerô-sebb fázisával, amikor a szélsebesség maximális a kö-zépponti nyomáseséssel együtt. Egy késôbbi tanul-mányban 58 hurrikán közelében elemezték a villámak-tivitást a WWLLN adatai alapján, és azt találták, hogyhasonlóan a 7. ábra adataihoz, a villámtevékenységmaximális intenzitása a vihar legerôsebb fázisánál kö-zel 30 órával korábban tapasztalható [12]. Erre a szer-zôk még csak spekuláció szintjén sem próbáltak megmagyarázatot találni, ehhez valószínûleg sokkal többrészlet ismerete lesz szükséges. Ugyanakkor nem tár-

KISS P., CSABAI I., LICHTENBERGER J., JÁNOSI I.: KOZMIKUS SUGÁRZÁS, IDŐJÁRÁS, ÉGHAJLAT: HOL A HIÁNYZÓ LÁNCSZEM? 241

gyaltak egy másik érdekességet sem, ami pedig már az

7. ábra. A WWLLN hálózattal lokalizált villámcsapáshelyek 2005.augusztus 28-án (felül), és a villámcsapásszámok idôbeli fejlôdéseaz átlagos szélsebességgel és a középponti nyomással együtt (alul).A Katrina hurrikán kétszeri földet érését nyilak jelzik ([11] nyomán).

–

–

–

–

–

–

–

–

–

– – – – – – – – –

8006004002000–200–400–600–800

800

600

400

200

0

–200

–400

–600

–800

K–Ny távolság a központtól (km)

É–D

távolság

aközponttól (km

)

–

–

–

–

–

–

–

–

–

80

70

60

50

40

30

20

10

0tartósszélsebesség(m

/s),ill. villám

szám

(db)

–

–

–

–

–

–

–

–

–

1100

1050

1000

950

900

légkörinyomás

(mb)

– – – – – – – –

24 25 26 27 28 29 30 31naptári napok 2005 augusztusában

szélsebesség

nyomás

villámszám

Florida

New Orleans

adatok alapján szembeötlô.A Saffir–Simpson-skálán az elemzett 58 hurrikán

mindegyike a legerôsebb, 4-es és 5-ös kategóriájú tró-pusi vihar volt. Az azonos kategóriába esô vihartölcsé-rek egymáshoz nagyon hasonló szerkezetûek, mozgá-suk pályája sem sokban különbözik egy-egy forrásvidékkörzetében (például az atlanti viharok nagy része a Me-xikói-öblöt átszelve kanyarodik észak-keleti irányba).Azt gondolhatnánk, hogy a hasonló felhôstruktúra, ha-sonló áramlási rendszer stb. miatt a villámtevékenységsem sokban különbözik, márpedig a megfigyelések eztnem támasztják alá. A maximális villámgyakoriság akárkét nagyságrendben is eltérhet, az óránkénti néhánytucattól a közel kétezer kisülésig terjedô tartományban[11, 12]. Ennek vajon mi lehet a magyarázata?

Itt kanyarodnánk vissza nyitó kérdésünkre, amely avillámkisülés eredetére vonatkozott. A komolyabb mé-rések elkezdéséig az általános elképzelés szerint a villá-mok is csak „szokásos” kisülések voltak, legföljebbnagyobbak annál, mint amelyeket a laboratóriumbantudnak gyártani. A már említett térerôsség-problémamellé azonban újak is fölsorakoztak: például Moore és

munkatársai észlelése, amely szerint a villámlással egy-idôben nagyenergiájú Röntgen- és gammasugárzás isföllép [13]. Mivel ehhez még a legnagyobb kisülésekenergiája sem elegendô, rögtön adódott a kozmikusrészecskék hatásának ötlete: ha feltételezzük, hogytöltött kozmikus részecskék segítségével jön létre avillámok ionizált csatornája, akkor ez megmagyarázza atérerôsség-problémát is, a villámláskor észlelt nagy-energiás sugárzással együtt. Innen pedig kézenfekvô,hogy megnézzük a globális villámaktivitás és kozmikusrészecskefluxus esetleges kapcsolatát.

A villámok távérzékelô hálózatai csak az utóbbiévekben épültek föl, ezért nincsenek még olyan hosszúadatsorok, amiket egy napciklussal össze lehetne vetni.Vannak ugyan hosszabb idejû mûholdas megfigyelé-sek, például a LIS (angolul: Lightning Imaging Sensor ),aminek hátránya, hogy a mûszer egy adott hely fölöttnaponta csak pár percig tartózkodik, 55 napot kell vár-ni, hogy ugyanakkor nézzen ugyanarra a 670×670 km2nagyságú területre (http://trmm.gsfc.nasa.gov).

Szerencsére vannak a kozmikus részecskefluxus-nak olyan rövid idejû, nagy amplitúdójú kilengései,amelyek esélyt adhatnak a korrelációk kimutatására.Ilyenekre jó példa az úgynevezett Forbush -esemény,vagy a Napból érkezô protonzáporok esete. Az elôbbinagyerejû napkitörések után lép föl, amikor a napszélplazmájának mágneses tere a kozmikus részecskékegy jó részét „kisöpri” a Föld közelébôl. Ennek mér-hetô hatása, hogy mind a légkörön kívüli proton- éselektronfluxus, mind pedig a földfelszínre érkezô má-sodlagos neutronfluxus jelentôsen csökken néhánynapos idôtartamra. A protonzápor is hasonló okokravezethetô vissza, csak éppen jelentôs nagyságú, im-pulzusszerû fluxusnövekedéssel jár. Ez is a napkitöré-sek során kirepülô plazmából származik, annak leg-nagyobb energiájú komponense alkotja, amely képesáttörni a Föld mágneses terét.

Más csoportokhoz hasonlóan, nekünk sem sikerültkimutatnunk statisztikailag szignifikáns korrelációt avillámtevékenység intenzitása és a kozmikus részecs-kefluxus alkalmanként bekövetkezô kilengései között.A 8. ábra egy tipikus negatív eredményt illusztrál. Leg-fölül az egyik POES mûhold (angolul: Polar OrbitingEnvironmental Satellites, http://www.swpc.noaa.gov)egyik protondetektorának idôsora látható, amely 700–800 km magasságban méri a Föld felé érkezô részecs-kefluxust több energiasávban. Alatta a kiterjedt földineutrondetektor hálózat egyik svájci állomásának ada-tai láthatóak. Mindkettôn kitûnôen látszik két „tiszta”Forbush-esemény, illetve a 2005. január 15-i protonzá-por (ami egy Forbush-minimum közepén következettbe). Ha ezt összehasonlítjuk két villámadatsorral (8.ábra, alul), akkor láthatjuk, hogy nemigen figyelhetômeg bármiféle korreláció. (A legalsó idôsor legnagyobb„tüskéje” a protonzápor elôtt következett be!) Sokegyéb negatív kimenetelû kísérlet után be kellett lát-nunk, hogy a rendelkezésünkre álló adatokkal semmi-féle korreláció sem mutatható ki a kozmikus részecs-kék fluxusának ingadozása, illetve különbözô helyivagy a globális villámtevékenység között.

242 FIZIKAI SZEMLE 2009 / 7–8

A végsô válasz: CLOUD?

8. ábra. Mûholdon mért protonfluxus (legfölül), a Jungfraujoch (Svájc) földi állomás neutronfluxusa(alatta), illetve egy WWLLN és LIS mûholdas adatbázisból kinyert villámgyakoriság idôfejlôdése. Azelsô két ellipszis Forbush-eseményeket, a harmadik a Napból érkezô 2005. január 15-i protonzáportjelöli, részletek a szövegben.

– – – – – – – – – – – – –

– – – – – – – – – – – –

– – – – – – – – – – – –

– – – – – – – – – – – –

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

50

40

160

140

20

0

0,2

0

POES protonfluxus (> 70 MeV)

neutronfluxus, Jungfraujoch

WWLLNegyenlítõ 2°�

LISegyenlítõ 1,5°�

2004,5 2005 2005,5idõ (év)

villámgyakoriság

részecske-beütésszám

9. ábra. A 3 m átmérôjû CLOUD kamra végsô munkálatai 2009 már-ciusában. A kamra falán körben különféle mûszerek csatlakozói ésaz észlelôablakok nyílásai láthatók ([14] nyomán).

Számos próbálkozás ellenére akozmikus részecske – felhô, il-letve kozmikus részecske – vil-lám hipotézisek egyikét sem si-került ez idáig meggyôzôen bi-zonyítani a hozzáférhetô adatokalapján. Minden hiányosság éspontatlanság ellenére biztosankijelenthetô, hogy ha létezik isilyen kapcsolat, akkor az fölöt-tébb gyenge, alig kimutatható.Az elméletek támogatóiból álló(fogyatkozó) tábor élcsapataminden bizonnyal Genfben ta-lálható, ahol teljes gôzzel folyika végsô választ megadni kívánóprojekt elôkészítése.

E projekt, a CLOUD (a betû-szó magyarul „felhô”, a teljeselnevezés angolul CosmicsLeaving Outdoor Droplets, le-fordíthatatlan), a tervek szerint2010–2011 környékén tisztáznifogja a sok nyitott kérdést,méghozzá igen alapos kísérle-tek sorozatával. A berendezés alapja egy nagyméretûaeroszol tartály (9. ábra ), amiben a fizikai paraméte-rek és kémiai összetevôk rendkívül pontosan kontrol-lálhatók, továbbá az elérhetô nyomás- és hômérsék-let-tartomány lefedi a Föld minden