2007.08.12 КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ

Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 8.12.2007 г

2 клас Времето за решаване е 120 минути.

Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан

верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се

оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки.

Организаторите Ви пожелават успех!

Име...........................................................училище..........................................град......................

1 зад. Определете най-голямото число, което може да бъде поставено на мястото на ? така, че да е вярно

неравенството 24– (?+3)>18–(5–3).

а) не може да се определи б) 1 в) 2 г) друг отговор

2 зад. Намерете броя на двуцифрените числа с цифра на единиците с 2 по-голяма от цифрата на

десетиците.

а) 7 б) 6 в) 8 г) друг отговор

3 зад. С колко броят на квадратите е по-голям от броя на триъгълниците на чертежа:


4 зад. С колко сборът В+D е по-малък от А+С, ако А = 59 – (21+13), В = (43+30) – 27, С = (100–60) + 25,

D = (77–50)–3 ?


5 зад. Всички страни на триъгълник са по 2 см. Квадрат има обиколка, която е с 10 см. по-голяма от

обиколката на триъгълника. Страната на квадрата е:

а) 3 см. б) 1 см. в) 4 см. г) друг отговор

6 зад. На местата на * поставете числа, така че квадратите да са магически /сборовете по редове,

колони и по двата диагонала да са равни/. Сборът на тези числа е


7 зад. Като откриете следващото число в редицата 25, 24, 21, 16, 9, ? изчислете

сбора на всичките шест числа.


8 зад. Дядо Коледа разнася подаръци като започва от Ани, минава при всяко

дете само по един път и стига до Тодор. Колко метра изминава Дядо Коледа?

а) 100м. б) 60м. в) 80м. г) друг отговор

9 зад. Ели закачила толкова играчки на елхата, колкото е броят на всички числа

между 6 и 32 включително, в чийто запис няма цифрите 2 и 5. Лили закачила толкова играчки, колкото

са начините числото 28 да се представи като сбор от две различни числа, без да се използва нула. Коя от

двете е закачила повече играчки? а) Лили б) равен брой в) не може да се определи г) друг отговор

10 зад. Най-голямото двуцифрено число с различни цифри намалете с числото, което се получава, ако

към сбора на числа, които са по-малки от 18 и по-големи от 14 се прибави числото, което показва колко

пъти в записа на числата от 1 до 100 се използва цифрата 7.

ОТГОВОРИ: 1–г 4; 2–а; 3–г 3; 4–б; 5–в; 6–а; 7–а; 8-в; 9–б; 10 98-(48+20)=30

32 37 *

31 * 35

36 29 34

26 31 24

25 * 29

30 23 28

Секция “Изток” – СМБ

КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 8.12.2007 г

3 клас

Времето за решаване е 120 минути.

Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при

отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки,

задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки.


Име..................................................................................................училище..........................................град......................

1 зад. Стойността на израза 100 – (32:4 - 2 + 4:2).2 е равна на: а) 90 б)80 в) 84 г) друг отговор 2 зад. В един клас има 15 момичета и 13 момчета, като 17 от децата са с кафяви очи, а

останалите - със сини. Ако 6 от момичетата имат сини очи, колко момчета имат кафяви очи?

а) 4 б) 8 в) 10 г) друг отговор 3 зад. Една от страните на триъгълник е 7 см и е с 3 см по-дълга от втората страна и с 1 см по-къса от третата страна. Обиколката на триъгълника е: а) 11 б) 19 в) 23 г) друг отговор

4 зад. За една книга заплатили 10 лв. и още половината от цената на книгата. Колко струва

книгата?

а) 20 лв. б) 15 лв. в) 10 лв. г) друг отговор 5 зад. Колко триъгълника има на чертежа?

а) 6 б) 11 в) 12 г) друг отговор 6 зад. На реката няколко рибари уловили по 9 риби и няколко – по 7 риби. Общо хванали 50 риби. Колко рибари са хванали по 9 риби? а) 3 б) 2 в) 1 г) друг отговор 7 зад. Разликата на две числа е 29. С колко ще се измени тя, ако от умаляемото извадим 15, а към умалителя прибавим 14? а) 0 б) 1 в) 29 г) друг отговор

8 зад. Камион пътувал 2 часа. Всеки час изминавал по 71 км. Останали му 52 км по-малко от

изминатия път. Колко километра е целия път?


9 зад. Обиколката на защрихованата част от правоъгълника е 54 см.

Обиколката на незащрихованата част е:

а) 21 см б) 69 см в) 84 см г) друг отговор

10 зад. Заменете буквите с цифри, така че да са изпълнени означените

действия, като се знае, че всяка буква означава цифра (еднаквите букви – еднакви цифри, а

различните букви - различни цифри). Кое число съответства на Ш А Х?

А Х А

+ А Х

А

Ш А Х

ОТГОВОРИ 3 клас

1. в); 2. б); 3. б); 4. а); 5. б); 6. г) 4; 7. в); 8. г) 232; 9. г) 54; 10. отг. 659

РЕШЕНИЯ:

1 зад. 100 - (32:4 - 2 + 4:2).2=100 – (8 - 2 + 2).2=100 – 8.2 =100 – 16 = 84 2 зад. 15 + 13 = 28 деца има в класа. 28 – 17 = 11 деца са със сини очи. Тогава 11 – 6 = 5 момчета са със сини очи. Следователно 13 – 5 = 8 момчета са с кафяви очи. 3 зад. Втората страна на триъгълника е 7 – 3 = 4 см. Третата страна на триъгълника е 7 + 1 = 8 см. Обиколката на триъгълника е 7 + 4 + 8 = 19 см. 4 зад. Щом за книгата са заплатили 10 лв. и половината от цената и следва, че половината от цената и е 10 лв. Тогава книгата струва 10 + 10 = 20 лв. 5 зад. Отг. 11 триъгълника 6 зад. Ако един рибар е уловил 9 риби, то останалите трябва да са уловили 50 – 9 = 41 риби. Но 41 не се дели на 7. Ако двама рибари са уловили по 9 риби, то останалите трябва да са уловили 50 – 2.9=50 – 18 =32 риби. Но 32 не се дели на 7. Ако трима рибари са уловили по 9 риби, то останалите трябва да са уловили 50 – 3.9=50 – 27 = 23 риби. Но 23 не се дели на 7. Ако четирима рибари са уловили по 9 риби, то останалите трябва да са уловили 50 – 4.9 = 50 – 36 = 14 риби. 14:7=2, т.е. 4 рибари са уловили по 9 риби. Ако петима рибари са уловили по 9 риби, то останалите трябва да са уловили 50 – 5.9 = 50 – 45 = 5 риби – невъзможно. Следователно 4 рибари са уловили по 9 риби. 7 зад. От умаляемото вадим 15 следователно разликата намалява с 15. Към умалителя прибавяме 14 следователно разликата ще намалее с още 14. Общо разликата ще се измени с 15 + 14 = 29 8 зад. За два часа камионът изминал 71 + 71 = 142 км. Следователно му остава да измине 142 – 52 = 90 км. Тогава целият път ще е 142 + 90 = 232 км 9 зад. За да се намери обиколката на незащрихованата фигура трябва да се намери дължината на страната на малко квадратче. Но по-лесно е да се съобрази, че двете обиколки се получават от събирането на равен брой страни. Следователно са равни. Отг. 54 см 10 зад. От А + Х + А = Х , следва че А трябва да е или 5 или 0 /2 точки/. Тъй като А е цифра на десетици в двуцифрено число и цифра на стотици в трицифрено не може да е 0, следва да е 5 /3 точки/. Тогава от А + Х + А получаваме 1 наум. При сумата на десетиците получаваме Х + 5 + 1 = 5, т.е. Х е 9 и едно наум /7 точки/. Тогава Ш ще е 5 + 1 = 6 /3 точки/. За намиране на А – 5 точки; за намиране на Х – 7 точки; за намиране на Ш – 3 точки. Автори: Здравка Минчева, Драгомир Драганов – РИО Велико Търново



4 клас






Име...........................................................училище..........................................град......................

1 зад. Определете най-малкото число, което трябва да се постави на мястото на квадратчето, така че

да е вярно неравенството � + 7.65– 3.72 > 3 ( 2.7 + 69 )


2 зад. Колко е броят на правоъгълниците от Чертеж.1, които имат

обиколка равна на 6?


3 зад. Като използвате Чертеж.2 определете кое от твърденията е

грешно?

I BD е разлика на АD и AB

II BD е разлика на BE и DE

III BD е разлика на BC и CD

IV BD е разлика на BF и DF

Чертеж.2

а) I б) III и IV в) III г) друг отговор

4 зад. Бащата на Иван купил елха и тръгнал в 18.35 часа от магазина към дома си. Трябвало да

измине 3 км. За един час изминава 6 км. Обещал да занесе елхата в 19.00 часа. Колко минути ще

закъснее?

а) 10 б) 5 в) няма да закъснее г) друг отговор

5 зад. В шейната при Дядо Коледа се качили няколко джуджета. Шейната се тегли от 7 елена. Колко

са джуджетата, ако всички крака са били 36?


6 зад. Равнобедрен триъгълник, правоъгълник и квадрат имат равни обиколки. Лицето на квадрата е

100 кв.см. Основата на триъгълника е 2 пъти по-малка от бедрото му и равна на една от страните на

правоъгълника. Намерете другата страната на правоъгълника.


7 зад. Мария, Петя и Ели садили цветя. Мария садила 5 часа и засадила 60 цветя, Петя садила 4 часа, а

Ели работила 6 часа и засадила 66 цветя. За един час Петя засаждала толкова цветя повече от Мария,

колкото Ели за един час засаждала по-малко от Мария. Колко цветя е засадила Петя?


8 зад. Стефко получил коледния си подарък във вълшебна кутия, която има форма на куб. Ръбът на

куба има дължина 1 дм. Кутията се отваря сама, но само ако правилно се изчисли в квадратни

сантиметри сборът от лицата на всички квадрати. Колко е този сбор?


9 зад. Ученици тръгнали на екскурзия на 28-ми в петък и се върнали на 1-ви пак в петък, като

екскурзията им траяла общо 36 дена. През кои месеци са били на екскурзия?

а) март, април и май б) юни и юли или май и юни в) юли и август г) друг отговор

10 зад. Джуджетата Даниел, Кирчо, Сергей и Пламен изработили подаръци. Броят на подаръците,

изработени от Сергей и Пламен е число, четири пъти по-голямо от 27. Сергей е изработил с 6 подаръка

по-малко от Пламен, Кирчо 3 пъти по-малко от Сергей, а Даниел с 36 по-малко от Пламен. По колко

подаръка е изработило всяко от джуджетата?

ОТГОВОРИ: 1 - а); 2 - б); 3 - в); 4 - б); 5 - в); 6 - г) 12; 7 - а); 8 - в); 9 - г) декември, януари и

февруари или юли, август и септември.

РЕШЕНИЯ:

1 зад. � + 7.65– 3.72 > 3 ( 2.7 + 69 ); � + 455– 216 > 3 ( 14 + 69 ); � + 239 > 3 *83; � + 239 >249; �=11

2 зад. Правоъгълниците са с размери 2 и 1. Броят им е 10.

3 зад. Грешно е третото твърдение.

4 зад. Три километра бащата изминава за половин час. Ще пристигне в 19.05 часа. Ще закъснее с 5

минути.

5 зад. Краката на елените са 7*4=28. Краката на джуджетата и Дядо Коледа са 36-28=8, а само на

джуджетата – 6. Джуджетата са 6:2=3.

6 зад. Страната на квадрата е 10 см., а обиколата на всяка една от фигурите е 40 см. За триъгълника –

2х+2х+х=40, х=8, основата му е 8 см. За правоъгълника – (40-2*8)/2=12, другата страна е 12 см.

7 зад. Мария е засаждала по 60/5=12 цветя на час, а Ели – 66/6=11 цветя на час. Ели е засаждала с12-

11=1 цвете по-малко на час от Мария. Петя е засаждала по 12+1=13 цветя на час и е засадила 4*13=52

цветя.

8 зад. Ръбът на куба има дължина 10 см. Лицето на единия квадрат (околна стена) е 100 кв.см., а

сборът от лицата на всички квадрати е 6*100=600 кв.см.

9 зад. Екскурзията започва през месец, който има 31 дена, продължава през целия следващ месец, който

също има 31 дена и завършва през третия пореден месец. Възможните варианти са декември, януари и

февруари или юли, август и септември.

10 зад.

4 . 27 = 108 подаръка общо са изработили Сергей и Пламен –> 2 точки

(108 - 6) / 2 = 51 подаръка е изработил Сергей –> 4 точки

51 + 6 = 57 подаръка е изработил Пламен –> 2 точки

51 / 3 = 17 подаръка е изработил Кирчо –> 2 точки

57 – 36 = 21 подаръка е изработил Даниел –> 2 точки

Останалите 3 точки са за цялостна и изчерпателна обосновка на решението.


КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 8.12.2007

5клас


Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение

само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се

оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се

оценява с 15 точки.


Име...............................................................................училище.........................град......................

Зад. 1. Стойността на израза ( )7,0:075,321 +− m където 8,1=m e:

а) 1,23; б) 19,77; в) 20,23; г) друг отговор;

Зад. 2. Ако 5,2.04,213,5.2,1 =−х то х е:

а) 8,45; б) 8,525; в) 85,25; г) друг отговор;

Зад. 3. В едно семейство има пет сина. Всеки син има по една сестра. Колко са членовете на семейството?

а) 8; б) 12; в) 6; г) друг отговор;

Зад. 4. С колко ще се увеличи обиколката на правоъгълник, ако едното му измерение се намали с 1,2 дм, а другото

се увеличи със 7,5 дм.

а) 8,7 дм; б) 1,26 дм; в) 17,4 дм; г) друг отговор;

Зад. 5. Сборът на седем числа е 6,6. Шест от числата са равни, а седмото е с едно по-голямо от тях. Кои са числата?

а) 1 и 0,6; б) 1 и 1,6; в) 0,6 и 1,6; г) друг отговор;

Зад. 6. За три минути разрязали една дъска напречно, на по-малки дъски от по половин метър, като всяко

разрязване траело по една минута. Да се намери дължината на дъската.

а) 1,5 м; б) 15дм; в) 200см; г) друг отговор;

Зад. 7. Майката на Никола е на три пъти повече години от него, а баща му е с пет години по-възрастен от майка му.

Тримата са общо на 82 години. Бащата е на:


Зад. 8. Няколко приятелки трябвало да купят подарък. Ако всяка даде по 6 лева, ще съберат 16 лева по-малко от

стойността на подаръка; ако всяка даде по 9 лева, ще съберат 11 лева повече от стойността на подаръка.. Колко са

приятелките?


Зад. 9. В 6ч. 30 мин. от град А за град В тръгва лека кола, която се движи със скорост 62,25 км/ч. В 9 ч. 30 мин. от

град А в същата посока тръгва втора лека кола със скорост 67,5 км/ч. На колко километра една от друга ще се

намират двете коли в 11 ч. 30 мин

а) 331,25 км; б) 446,25 км; в) 176,25 км; г) друг отговор;

Зад. 10. Имате три съда с вместимост 4 литра, 7 литра и 10 литра. В първия съд има 1 литър вода, във втория -7

литра, а в третия – 2 литра. С колко най-малко преливания можете да разделите водата на две равни части, като

използвате само тези съдове?

5клас

Отговори: 1б; 2б; 3а; 4г - 12,6; 5г - 0,8 и 1,8; 6в; 7а; 8г-9 ; 9в; 10- 4 прливания.

Кратки решения

1 зад. 21 – 3,075 : 2,5 = 21 – 1,23 = 19,77

2 зад. Х=8,525

3 зад. бащата + майката + 5 синове + 1 дъщеря = 8

4 зад. 2.7,5 – 2.1,2 = 12,6дм

5 зад. (6,6 – 1):7 = 0,8 0,8+1 = 1,8

6 зад. От три разрязвания се получават четири по-малки дъски по 50 см. Дължината на дъската е 200 см

7 зад. ( 82 - 5) : 7 = 11 Бащата е на 11.3 + 5 = 38 год.

8 зад. 9 – 6 = 3 лв., 16лв. + 11лв. = 27 лв., 27 : 3 = 9 приятелки

9 зад. 11ч. 30 мин. – 6. ч. 30 мин. = 5 ч.

5 . 62,25 = 311,25 км

11ч. 30 мин. – 9 ч. 30 мин. = 2 ч.

2 . 67,25 = 135 км

311,25 – 135 = 176,25 км.

10 зад. 1- съд 2 – съд 3 - съд

вместимост 4 литра 7 литра 10 литър

първоначално количество 1 литър 7 литра 2 литра

първо преливане 1 литър 0 литра 9 литра 6т

второ преливане 0 литра 1 литра 9 литра 3т

трето преливане 4 литра 1 литър 5 литра 3т

четвърто преливане 5 литра 5 литра 3т

При правилно решаване, но с по- голям брой преливания- 10т.

Автори: Маргарита Цанова, Бисерка Петкова и Блага Маркова

гр. Ботевград


КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 8.12.2007

Време за работа: 120минути.

Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. „ Друг отговор” се приема за верен само при отбелязан резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват

с по 3 точки, а от 4 до 6 с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки.

ЗАДАЧИ ЗА 6 КЛАС

Име...............................................................................училище.........................град......................

Зад 1. Стойността на израза 5.2

3-3

2.(12:4-1) е:


Зад 2. 2008- та цифра след десетичната запетая на десетичната дроб, равна на 13

2 е:

а) 1 б) 8 в) 7 г) друг отговор.

Зад.3 Три кутии съдържат по един от следните предмети: монета, зарче и молив. Червената кутия е вдясно от

молива, зелената кутия е вляво от бялата, зарчето е вдясно от червената кутия, а монетата е вляво от зарчето. В коя

кутия е монетата?

а) в зелената б) в червената в) не може да се определи г) друг отговор

Зад 4. Точките А и В изобразяват на числовата ос съответно числата -24

3 и

8

5.

Кое число изобразява т. М, която е среда на отсечката АВ?

a) -116

1 б)-2

8

1 в) -1

8

1 г) друг отговор.

Зад 5. Мартина и Антон учат в 6 клас. Мартина има толкова съученици, колкото и съученички, а броят на

съучениците на Антон е 6

7 от броя на съученичките му. Колко са учениците в 6 клас?


Зад 6. Дадена е отсечката АВ = 163

2 см. Върху нея е взета точка М така, че дължината на АМ е 30 % от дължината

на АВ. Построен е квадрат АВСД и точка М е свързана с върха С на този квадрат . Лицето на четириъгълника

АМСД е :

а) 3619

1кв. см б)

9

5180 кв. см. в) 1377

9

7кв. см. г) друг отговор.

Зад 7. Кое е най-голямото от числата 3100

;25 25

; 475

; 749

; 1635

а)1632 б ) 475 в) 2525 г) друг отговор

Зад 8. Диагоналите АС и ВД на успоредника АВСД се пресичат в точка О.

Точката Е е средата на АО, а точка М е средата на ДЕ.

Ако лицето на успоредника е 64 кв. см, то лицето на триъгълника СЕМ е :

а)16 б)18 в)12 г) друг отговор.

Зад 9. Крачун и Малчо се разхождат заедно,като тръгват едновременно от едно и също място в една и съща посока.

Крачката на Малчо е с 25 % по-къса от тази на Крачун, но затова пък той прави с 25% повече крачки от него.

След колко крачки на Крачун, Малчо ще бъде на 4 Крачунови крачки от него?


Зад.10.Разстоянието между градовете Русе и Варна е 212,50 км. В 9 часа и 20 мин от Русе за Варна тръгнала лека

кола, чиято скорост е такава, че изминава 60 км за 45 мин, а 1 час по-рано от Варна за Русе тръгнал камион, който

се движи със скорост 62,5 % от скоростта на леката кола.

а) Намерете в колко часа и на какво разстояние от Варна е станала срещата им.

б) В колко часа разстоянието между двете превозни средства е било 19,5 км?

6клас

Отговори и кратки решения:

Отговори:

Задача Зад.1. Зад.2. Зад.3. Зад.4. Зад.5 Зад.6 Зад.7 Зад.8 Зад.9

Отговор в/

22

б )

8

б ) а )

-116

1

а ) 27

б )

кв.9

5180

г)

3100

в )

12

г ) друг

отговор

(64)

Зад1. Решение: 5.8 - 9.2 = 40 -18 = 22 Отг. в) 22

Зад.2 Решение: 2:13=0,(153846)

2008= 6.334 + 4 следователно 4 цифра в периода е 8 т.е. 2008 цифра в редицата е 8

Отг. б) 8

Зад.3 Решение: зелена червена бяла

молив монета зарче Отг.: б) червена

Зад.4 Решение: 5 3 3

2 38 4 8

AB = + − =

3 273 : 2

8 16АМ = =

3 27 12 1

4 16 16− + = − т.М изобразява числото

11

16−

Отг.: а) 1

116

−

Зад.5 Решение: Нека x са момчетата в класа следователно x+1 са момичетата ( ) ( )61 1

7x x+ = −

следователно x=13 момчета, а класа е 27 ученика Отг.: а) 27

Зад.6 Решение: АМ=30%.2

163

=5 AMCD трапец

9

5180

3

50.

2

3

2165

.2

=

+=

+= AD

CDAMS

Зад.7 Решение: 2525

=550

475

=2150

=23.50

=850

1635

=470

3100

=950

470

<475

=850

550

<850

749

<850

но 850

<950

следователно 3100

е

най- голямо Отг.: г) 3100

зад. 8 Решение: SOCD=SAOD=1

4SABCD

SEOD=1

2SAOD=

1

8SABCD

SECD=SOCD+SDEO=1

4SABCD+

1

8SACD=

3

8SABCD

SECM=1

2SECD=

1

2.3

8SABCD=

3.64

16=12cm

2 Oтг.:в) 12

Зад.9 Решение:

1 Крач.крачка = 1 единица

1 Малч.крачка = 0,75 единици

За определено време Крачун прави 4 крачки = 4 единици

За същото време Малчо прави 5 крачки = 5.0,75=3,75 единици, т.е. 0,25 единици по-малко

След 4.4=16 Крач.крачки, Крачун ще бъде на 4. 0,25 = 1 крачка пред Малчо. Слдователно след 4.16

= 64 Крачуновски крачки Крачун ще бъде на 4 крачки пред Малчо - Отг: г) 64

Зад.10 Решение: а)V р =60 : 4

3= 80 км/ч. V в = 62,5%.80 = 50 км/ч. Нека след х часа от тръгването на леката

кола , е станала срещата: 80х +50(х+1) = 212,5

130х = 162,5 х = 1,25 часа = 1 часа и 15 мин. Следователно срещата е станала в 10 ч и 35 мин.

На разстояние 2,25. 50= 112,5 км от Варна.

б) Нека след у часа преди срещата разстоянието между тях е 19,5 км.

80у + 50(у+1) + 19,5 = 212,5

130у=143 у= 10

11 = 1час и 6 мин. Разстоянието 19,5 км между тях ще бъде в 10 часа и 26 мин преди да се

срещнат.

Нека след z часа разстоянието между тях ще бъде 19,5 ,след срещата

80z + 50(z +1) – 19,5 = 212,5

130z = 21,5-50+19,5

130z = 182 z =1,4 часа = 1 час 24 мин Разстоянието 19,5 км между тях ще бъде в 10 часа и 44 мин

след срещната.

- 1 -

КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА – 7 КЛАС

Уважаеми ученици,

Този тест съдържа 40 задачи. Към част от тях са дадени по четири възможности за

отговор – А), Б), В), и Г), от които само един е правилен. Вие трябва да изберете само един

отговор – този, който според Вас е правилен. Към останалите задачи не са дадени възможни

отговори. На тях Вие трябва да намерите отговора.

Всички отговори попълнете в ЛИСТА ЗА ОТГОВОРИ.

Срещу номера на съответната задача зачертайте със знака Х отговора, който приемате

за верен.

Ако след това прецените, че първоначалният Ви отговор не е правилен и искате да го

поправите, запълнете правоъгълника с грешния отговор и зачертайте с Х буквата на друг

отговор който приемате за верен.

Отговорите на задачите, които нямат дадени възможности за отговор, запишете на

празните места срещу номерата на съответните задачи в листа с отговори. Ако решите, че

сте сбъркали, зачертайте грешния според Вас отговор със знака “Х” и запишете до него

получения отговор.

Правилните отговори на задачи от 1 до 15 се оценяват с по 1 точка, на задачи от 16 до

30– с по 2 точки и на задачи от 31 до 40 – с по 3 точки. Неправилни решения, задачи с

недействителни отговори и задачи оставени без отговор се оценяват с по 0 точки.

.

Успешна работа!

Задачи 1 - 15 (всяка по 1 точкa)

1. Стойността на израза 0,1- 0,099 е:

A) 0,1 Б) 0,01 В) 0,001 Г) 0,011

2. Сборът 9

5

27

5+ е равен на:

A) 36

10 Б)

27

20 В)

27

10 Г)

36

5

3. Кое от следните равенства не е вярно:

А) 25

3

5

21 =+ Б)

30

11

5

1

3

1

2

1=++ В)

5

31

5

223 =− Г) 0

30

31

5

1

3

1

2

1=−++

4. Ако 4

31

7

4: =х то х е:

A) 1 Б) 49

16 В) 0 Г)

7

8

5. Колко процента заема защрихованата част от правоъгълника, показан на чертежа ?

А) 85% Б) 70%

В) 75% Г) 95%

6. 6% от половината на 200 са равни на:

A) 12 Б) 6 В) 15 Г) 3

- 2 -

7. Заплатата на г-н Петров е 300 лв. С колко процента ще бъде увеличена тя, ако от другия

месец ще получава 318 лв.?

A) 18% Б) 9% В) 6% Г) 10%

8. В един клас има 18 момичета, които са 60% от учениците в класа . Колко момчета има в

класа?

A) 10 Б) 12 В) 8 Г) 9

9. Ако (х2)3

= х5 , то x е:

10. Изразът 2

23

32

4.8 е равен на:

A) 2 Б) 4 В) 8 Г) 16

11. Ако 2:17x :5 = , то х е равно на:

A) 1,7 Б) 17

10 В)

5

34 Г) 1,5

12. Стойността на израза 131531 −−−−− ххх за 4,0−=x е равна на:

А) 1 Б) -1 В) 3 Г) - 3

13. 3

266 % от 100 е:

A) 3

20000 Б)

3

200 В)

3

2 Г)

3

2000

14. Четири еднакви кубчета с ръб 2 см са подредени, както е

показано на чертежа. Намерете лицето на повърхнината на

полученото тяло в см 2 :

А) 96 Б) 84 В)80 Г)72

15. Повърхнината на куб е 24см2. Обемът на куба е равен на?

А) 12см3

Б) 6см3 В) 8см

3 Г) 9см

3

Задачи 16 – 30 (всяка по 2точки)

16. Колко са нечетните двуцифрени числа с различни цифри?

А) 35 Б) 40 В) 45 Г) 50

17. На колко е равно произведението на целите числа х, за които π24 ≤≤ x ?

A) 400 Б) – 400 В) – 14400 Г) 14400

18. Мечо Пух изяжда за 30 дни 14 буркана с мед. За колко дни ще изяде 35 буркана с мед?

А) 60 Б) 70 В) 80 Г) 75

A) 1 Б) 0 или 1 В) -1 или 0 или 1 Г) 0

- 3 -

19. Колко градуса изминава часовата стрелка на часовник за 10 минути?

А) 30 Б) 50

В) 60 Г)10

0

20. Ако a:b =2:3, b:c = 4:5 и c:d = 5:6, то отношението а:d е равно на:

А) 1: 3 Б) 2:5 В) 3:4 Г) 4:9

21. Права призма има 10 околни стени. Броят на ръбовете на тази призма е равен на:

А)10 Б) 20 В) 30 Г) 40

22. Пресметнете стойността на израза 1 2 3 4 5 6 2005 2006 2007 2008− + − + − + + − + −⋯ .

А) 2008 Б) 2008− В) 1004 Г) 1004−

23. Телевизорът на Иво има канали с номера от 0 до 50.Ако Иво започне от канал с номер 15

да натиска клавиша на дистанционното 100 пъти постъпателно с 1 (16, 17, 18, и т.н.) на

какъв номер е спрял Иво?

(Отговора запишете в листа за отговори)

24. Две коли, намиращи се на разстояние 70 km една от друга, тръгват едновременно в

противоположни посоки, като едната се движи със скорост 60 km/h, a другата – с 80

кm/h. След колко време разстоянието между колите ще бъде 350 km?

(Отговорите запишете в листа за отговори)

25. От пет еднакви квадрата е съставен правоъгълник с лице 80см2. Колко сантиметра е

обиколката на правоъгълник съставен от 7 такива квадрата?

А) 60см Б) 64см В) 68см Г) 88см

26. Даден е триъгълник АBC и нека точка М дели страната AB в отношение 3:1, считано от A

към B, а точката N дели страната BC в отношение 1:2, считано от B към C.Каква част от

лицето на триъгълника ABC е лицето на триъгълника MBN?


27. Трима автори разпределили хонорар в отношение 3:4:5. Ако си бяха разпределили

хонорара по равно, един от авторите щеше да получи 100лв. повече от първоначалното

разпределение. Колко е стойността на целия хонорар? (Отговора запишете в листа за отговори)

28. След като Иво решил 5

3 от заплануваните задачи, му останали с 5 по-малко нерешени

задачи от решените. Колко задачи е решил Иво?


29. От хижа А тръгнал турист, движещ се със скорост 3,5 km/h. Два часа по-късно по същия

път след него тръгнал друг турист със скорост 6 km/h. Колко време след тръгването си

вторият турист ще настигне първия?


30. В една кошница има 12 зелени и 13 червени ябълки. Ако в кошницата няма други ябълки,

то колко ябълки най- малко трябва да извадим от нея без да гледаме, за да сме сигурни че

между извадените има 3 червени?


- 4 -

D C

B A

Задачи 31 – 40 (всяка по 3 точки )

31. Даден е квадрат със страна 2 см. С центрове точките А и С, с

радиуси 2 см са начертани дъги от окръжности (виж чертежa). Лицето на защрихованата част е:

А) 42 −π Б) 4−π В) π Г) π−4

32. Ако числото 4

7 е записано като безкрайна десетична периодична

дроб, коя цифра стои на стотно място след десетичната запетая?

А) 2 Б) 4 В) 8 Г)1

33. Коя е цифрата на единиците на 20082 ?


34. Петима ученика решили общо 11 задачи. Кое от следните твърдения със сигурност е

вярно?

А) Някой е решил точно 2 задачи. Б) Някой е решил точно 3 задачи.

В) Някой решил повече от 4 задачи. Г) Някой решил по-малко от 3 задачи.

35. Какво следва със сигурност от поговорката ”Който пее зло не мисли”,

ако Х „ мисли зло”?

А) Х не пее Б) Х пее В) не може да се твърди нито, че Х пее, нито обратното

Г) нито едно от предходните твърдения не следва със сигурност.

36. Двама работника свършват определена работа за 2 часа. За колко време 3 работника ще

свършат половината работа?


37. Том пресметнал, че се движи със скорост 10 км/ч. Том допуснал само две грешки:

пресмятал, че 1 км е равен на 600 м, и че 1 час е равен на 100 минути. Каква е истинската

скорост на Том в км/ч.?

А) 4 Б) 3,6 В) 6 Г) 5

38. Иво решил в събота да отиде на мач или на кино, но не изпълнил намерението си. Тогава,

какво може да се твърди със сигурност?:

39. Продавачката в магазина попитала господин Многознайков дали има 20 стотинки за да

му върне рестото с банкнота. Той отговорил, че това не е невъзможно. Какво може да се

твърди със сигурност:

A) той има 20 ст. Б) той няма 20 ст. В) възможно е да има 20ст. Г) нито един от

посочените отговори

40. Най-голямото естествено число, на което винаги се дели сборът на три последователни

четни числа е :

A) 4 Б) 6 В) 8 Г) 12

A) ходил е на кино, но не е ходил на мач; Б) ходил е на мач, но не е ходил на кино;

В) ходил е на мач и на кино; Г) не е ходил нито на мач, нито на кино.

5

ЛИ

СТ

ЗА

ОТ

ГО

ВО

РИ

: И

ме:

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

... У

чи

ли

ще:

……

……

……

……

……

……

……

… г

р./с

.: …

……

……

……

…..

Бр. вер

ни

отг

овори

:……

.x 1

точ

ка…

……

. Б

р .вер

ни

отг

овори

……

….х

2то

чк

и …

……

Бр. вер

ни

отг

овори

……

х 3

точ

ки

……

..

..

ОБ

Щ Б

РО

Й Т

ОЧ

КИ

:...............................

ПР

ОВ

ЕР

ИЛ

: …

……

……

……

……

……

….

Въ

пр

ос N

О

тг.

Отг

. О

тг.

Отг

.

1 А

Б

В

Г

2 А

Б

В

Г

3 А

Б

В

Г

4 А

Б

В

Г

5 А

Б

В

Г

6 А

Б

В

Г

7 А

Б

В

Г

8 А

Б

В

Г

9 А

Б

В

Г

10

А

Б

В

Г

11

А

Б

В

Г

12

А

Б

В

Г

13

А

Б

В

Г

14

А

Б

В

Г

15

А

Б

В

Г

Въ

пр

ос N

О

тг.

Отг

. О

тг.

Отг

.

16

А

Б

В

Г

17

А

Б

В

Г

18

А

Б

В

Г

19

А

Б

В

Г

20

А

Б

В

Г

21

А

Б

В

Г

22

А

Б

В

Г

23

13

24

2 ч

аса

ил

и 3

час

а

25

А

Б

В

Г

26

1/12

27

1200

лв

28

15

29

2h48

min

30

15

Въ

пр

ос N

О

тг.

Отг

. О

тг.

Отг

.

31

А

Б

В

Г

32

А

Б

В

Г

33

6

34

А

Б

В

Г

35

А

Б

В

Г

36

40м

ин

.

37

А

Б

В

Г

38

А

Б

В

Г

39

А

Б

В

Г

40

А

Б

В

Г

6

ЛИ

СТ

ЗА

ОТ

ГО

ВО

РИ

: И

ме:

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

... У

чи

ли

ще:

……

……

……

……

……

……

……

… г

р./с

.: …

……

……

……

…..

Бр. вер

ни

отг

овори

:……

……

.x 1

точ

ка

Б

р .вер

ни

отг

овори

……

….х

2то

чк

и

Бр. вер

ни

отг

овори

……

……

х 3

точ

ки

…

..

ОБ

Щ Б

РО

Й Т

ОЧ

КИ

:...............................

ПР

ОВ

ЕР

ИЛ

: …

……

……

……

……

……

….

Въ

пр

ос N

О

тг.

Отг

. О

тг.

Отг

.

1 А

Б

В

Г

2 А

Б

В

Г

3 А

Б

В

Г

4 А

Б

В

Г

5 А

Б

В

Г

6 А

Б

В

Г

7 А

Б

В

Г

8 А

Б

В

Г

9 А

Б

В

Г

10

А

Б

В

Г

11

А

Б

В

Г

12

А

Б

В

Г

13

А

Б

В

Г

14

А

Б

В

Г

15

А

Б

В

Г

Въ

пр

ос N

О

тг.

Отг

. О

тг.

Отг

.

16

А

Б

В

Г

17

А

Б

В

Г

18

А

Б

В

Г

19

А

Б

В

Г

20

А

Б

В

Г

21

А

Б

В

Г

22

А

Б

В

Г

23

24

25

А

Б

В

Г

26

27

28

29

30

Въ

пр

ос N

О

тг.

Отг

. О

тг.

Отг

.

31

А

Б

В

Г

32

A

Б

В

Г

33

34

А

Б

В

Г

35

А

Б

В

Г

36

37

А

Б

В

Г

38

А

Б

В

Г

39

А

Б

В

Г

40

А

Б

В

Г

Секция “Изток“- СМБ

КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 8.12.2007 г.

8 клас

Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор” се приема за решение само при

отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки,

задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки.


Име.............................................................училище.........................................град............................

1 зад. Стойността на израза ( ) ( )42 215 12 147 5 3 3 3− + − + − − е :

а) 2 3 3− ; б) 2 3 15+ ; в) 2 3 9− ; г) друг отговор.

2 зад. Успоредник АВСD, за който AB BC AB AD+ = −��

е винаги :

а) квадрат; б) правоъгълник; в) ромб; г) друг отговор.

3 зад. Множеството от недопустими стойности на израза 2 1 2 1

:2 2

x x x x

x x x x

+ − − − + − + + e :

а) х = 0; -2; б) х ≠ 0; -2; 4 ; в) х = 0; -2; 4; г) друг отговор.

4 зад. В остроъгълен△АВС отсечката СН е височина. Ъглополовящата на ∡АВС пресича СН в

точка L така, че CL : LH = 2 : 1. Ако СН = 15 см, то дължината на LB е :

а) 7,5 см; б) 10 ; в) 2,5; г) друг отговор.

5 зад. Стойността на израза 9 4 5 9 4 5+ + − е :

а) 4; б) 2 5 ; в) 6 ; г) друг отговор.

6 зад. В квадрат АВСD точките M и N са средите на страните АВ и АD. Отношението на лицата

на триъгълниците ANM и MNC е :

а) 1: 4 ; б) 2: 3; в) 1: 3; г) друг отговор.

7 зад. Множеството от стойности на параметъра р, за които уравнението

( )( ) ( )221 2 1px x p x p− + + = − − има два различни реални корена е :

а) 1p ≠ − ; б) 5

,4

p ∈ − ∞

; в) 5

,4

p ∈ − ∞

; г) друг отговор.

8 зад. В едно училище приели в 8 клас 78 ученика. От тях 43 посещавали курс по математика,

37 – курс по български език, 18 – курс по английски език. На курс по математика и

български език едновременно са ходили 18 ученика, по български език и английски – 6, а

по математика и английски език – 7. Оказало се, че трима ученика са посещавали и трите

курса. Учениците, които не са посещавали никакъв курс са :

а) 4; б) 8; в) 12; г) друг отговор.

9 зад. Решение на уравнението 2 22 4 4 2 1 0x xy y x− + − + = е наредената двойка (x, y) :

а) (1; 1); б) (-1; 2); в) 1

;12


10 зад. Даден е правоъгълен триъгълник АВС (∠С = 90˚ ). Ъглополовящата на ∠ВАС пресича ВС

в точка L. Височината на триъгълник АВС през върха С пресича АВ в точка Н и височината на

триъгълника ALC, спусната от С, пресича AL в т. Q. Да се намери ∠СНQ, ако АН = CQ.

.

Отговори :

1. а

2. б

3. в

4. б

5. б

6. в

7. г

( )∞−∪

−− ,11,

4

5

8. б

9. г

2

1;1

Кратки решения :

1 зад. 332933299335373.27 −=−−+=−−−+

2 зад. AC BD=��

3 зад. ( ). 22 1

. 0; 2;42 4

x xx xx

x x x

++ −+ ⇒ = −

+ − са недопустими стойности

4 зад. Нека LP ⊥ BC . Триъгълник LPC – правоъгълен и LP=2

1CL⇒ ∢ LCP = 30°⇒ ∢ ABC = 60˚

⇒ △BLC е равнобедрен ⇒ BL = 10 см

5 зад. ( ) ( ) 522552525222

=−++=−++

6 зад. S - .лице на квадрат

S AMN = Saa

8

1

222

1= ; S MNC = S - SSSS

8

3

4

1

4

1

8

1=

++

7 зад. 2 2 2 22 2 1 2px px x p x px p+ − − + = − + −

( )

( )

21 1 0, 1

54 5 0 , 1 1,

4

p x x p

D p x

+ − − = ≠ −

= + > ⇒ ∈ − − ∪ − ∞

8 зад. М – 21 ; БЕЛ – 16 ; АЕ – 8 ; М, БЕЛ – 18 ; БЕЛ, АЕ – 6 ; М, АЕ – 7 ; М, БЕЛ, АЕ – 3

Общо – 70

Не са участвали 8 ученика.

9 зад.

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2

2 2

2 4 4 2 1 0 2 1 4 4 0

11 2 0 1,

2

x xy y x x x x xy y

x x y x y

− + − + = ⇒ − + + − + =

− + − = ⇒ = =

10 зад. ∆AHC≅∆CQА⇒CH=AQ, ∠ACH=∠CAQ=α. ∆AHC е правоъгълен ⇒3α=90° ⇒α=30°. В ∆AQC

∠ACQ=60°. ∠ACH=30° ⇒ ∠HCQ=30°. ∆AHQ≅∆CQH ⇒ ∠CHQ=∠AQH ⇒ ∆HPQ равнобедрен

(CH преича AQ в точката P) ⇒ ∠CHQ=(180°-∠HPQ):2=30°.



9 клас Времето за решаване е 120 минути.

Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен

резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с

по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки.


Име...........................................................училище..........................................град......................

Зад 1. Ако x>3, то изразът 2 3 2 3x x x x+ + − + + − е равен на:

a) -7; б) -2x-1; в) 1; г) друг отговор.

Зад 2. Кое от уравненията няма реални корени?

a) 2 4 0x x+ − = ; б) 2 1 0x x+ − = ; в) 2 2 1 0x x+ + = ; г) 2 4 0x x− + = .

Зад 3. Периметърът на триъгълник е 63см. Да се намери периметъра на триъгълника с върхове в средите на

страните на дадения триъгълник в сантиметри.

а) 21; б) 31,5; в) 15,75; г) друг отговор

Зад 4. Ако -1+2-3+4-5+......................-x+(x+1)=2007, то x е равно на:


Зад 5.

2 2 2

2 2

2 4 3 4 4. :

3 4 3 9

x x x x x

x x x x

+ − + + + − + + −

е равно на:

a) 1

1

x

x

+−

; б) 3

3

x

x

−+

; в) 1

1

x

x

−+


Зад 6. Медианите AM и CN на триъгълник ABC са перпендикулярни. Ако AM=12см и CN=10см, то лицето

на триъгълник ABC е:

a) 60кв.см; б) 40кв.см; в) 80кв.см; г) друг отговор.

Зад 7. ( )( )

( )2007

2007

2007 1004

6 4 213 2 2 .

43 2 2

− + + −

е равно на:

a) 2; б) 6; в) 10; г) друг отговор.

Зад 8. Точката M дели отсечката АВ вътрешно в отношение 3:5, а O е произволна точка нележаща на

правата AB. Ако OA a=��

, OB b=��

, то OM��

e равен на :

а) ( )3

5a b+�

�

; б) 1 1

3 5a b+� �

; в) 3 5

8 8a b+� �


Зад 9. Ако ( ) 2 1,

2 1 2f x x

x= ≠ −

+, то стойността на израза

)1003()1002(...)4()3()3()2()2()1( ffffffff ++++ е:

a) 1336

2007; б)

2003

6021; в)

668

2007; г) друг отговор.

Зад 10. Ако разделим двуцифрено число на сбора от цифрите му, ще получим частно 7 и остатък 6.

Ако разделим числото на цифрата на единиците, ще получим частно 27 и остатък 2. Намерете числото.

Отговори и решения-9 клас

Отговори: 1-а); 2-г) ; 3-б); 4-б); 5-в); 6-в); 7-г) 1; 8-г) 5 3

8 8a b+� �

; 9-a)

Решения :

Задача1. ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3 2 3 2 6 3 3 7x x x x x x x x x x x x+ + − + + − = + + − + − − = + + − − − + = −

Задача2. Отг. г).

Задача3. Нека даденият триъгълник е ABC и средите на страните му AB, BC и CA са съответно M, N и P.

Тогава 1 1

,2 2

MN AC MP BC= = и 1

2PN AB= като средни отсечки в ABC△ . Следователно

1 1 1 6331,5

2 2 2 2MN MP PN AC BC AB+ + = + + = = .

Задача4. ( -1+2)+(-3+4)+(-5+6)+.....................+(-x+(x+1))=2007, 1+1+…….+1=2007, 1

20072

x += , x=4013

Задача5. ( )( )

( )( )( )( )

( ) ( )( )

( )( )

22 2 2

2 22 2

2 1 3 3 3 12 4 3 4 4. : . =

3 4 3 9 1 3 13 2

x x x x x xx x x x x

x x x x x x xx x

+ − − − + −+ − + + + = − + + − + + + − +

Задача6. Ако G е пресечната точка на медианите в ABC△ , то тя ги дели в отношение 2:1 считано от

върховете на триъгълника. Тогава 2

83

AG AM= = и .

2 2 80 .2

ABC ANC

AG CNS S кв см= = = .

Задача7. ( )( )

( ) ( )( )

( )2007 20072007

2007 2007

2007 20071004 2008

6 4 2 2 3 2 21 13 2 2 . 3 2 2 .

4 23 2 2 3 2 2

− − + + = + + = − −

= ( ) ( )( )

( )2007 2007 2007

2007

1 1 13 2 2 3 2 2 3 2 2 . 2. 1

2 23 2 2

+ − + − = = −

Задача 8. Ясно е, че OM OA AM= +��

и OM OB BM= +��

. Тогава 3

8OM а AB= +��

и 5

8OM b AB= −��

. След като

умножим първото равенство по 5, а второто по 3 и ги съберем ще получим

15 155 3 5 3 5 3

8 8OM OM а AB b AB а b+ = + + − = +��

. Следователно 5 3

8 8OM а b= +��

.

Задача9. =++++=++++2007.2005

4.....

9.7

4

7.5

4

5.3

4)1003()1002(...)4()3()3()2()2()1( ffffffff

5 3 7 5 9 7 2007 2005 1 1 1 1 1 1 1 1 13362. .... 2. ..... 2.

3.5 5.7 7.9. 2005.2007 3 5 5 7 2005 2007 3 2007 2007

− − − − = + + + = − + − + + − = − =

Задача10. Ако означим цифрата на единиците с y, а на десетиците с x, тогава от условието следва системата

10 7( ) 6

10 27 2

x y x y

x y y

+ = + +

+ = +

и нейното решение е x=8, y=3.

Търсеното число е 83.



10 клас


Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение

само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се

оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се

оценява с 15 точки.


Име...........................................................училище..........................................град......................

Зад 1. Стойността на израза ( ) ( )5 72 2 18 3 32 : 4 3− − e:

а) 33 ; б) 6 ; в) 3 6 ; г) друг отговор.

Зад 2. Катетът и хипотенузата в правоъгълен триъгълник имат дължини съответно 6см и 8 см. Дължината

на височината към хипотенузата е:

а) 3 7 см; б) 3 7

4см; в)

3 7

2см; г) друг отговор.

Зад 3. Ако α е остър ъгъл и 1

sin3

α = ,то стойността на sin .tgα α е:

а) 2

12; б)

2

4; в)

2 2


Зад 4. Множеството от решенията на неравенството ( )( )( )2

2 30

5

x x

x

− +≥

− е:

а) ( ] [ ), 3 2,−∞ − ∪ ∞ ; б) ( ) [ ),3 2,−∞ ∪ ∞ ; в) [ ]3,2− ; г) друг отговор.

Зад 5. Ако 1x и

2x са корени на уравнението 23 1 0x x− − = , то 3 3

1 2 1 2x x x x+ е равно на:

а) 3 6

9

−; б)

6 3

9

+− ; в)

( )2 3 1

3

+− ; г) друг отговор.

Зад 6. Произведението от корените на уравнението 2 3 4 2 3x x x− = − + е:

а) 9

4; б)

9

4− ; в)

3


Зад 7. Ако 2 27 12 0x xy y− + = и x и y са отрицателни числа, то x y

x y

−+

е равно на:

а) 1

2; б)

3

5; в)

1

2 или

3


Зад 8. Точките M и N са съответно от страните BC и CD на успоредника ABCD. Ако M е среда BC, а

отношението CN:ND = 2:3 и O е пресечната точка на AM и BN, то отношението AO:AM е:

а) 2 : 3 ; б) 5 : 6 ; в) 1: 5 ; г) друг отговор.

Зад 9. Ако ( )2

22 2 3 3 3

3 2 02

x xx

a

+− + + + =

, то стойността на а x− е:

а) 2 3− ; б) 3− ; в) 0; г) друг отговор.

Зад 10. Медицентърът на равнобедрения триъгълник ABC (AC=BC), лежи на вписаната му окръжност. Да

се намери периметъра на на триъгълника, ако AB=10см.

Отговори 10 клас

1.б); 2.в); 3.а); 4.г) ( ] [ ) ( ), 3 2,5 5,−∞ − ∪ ∪ ∞ ; 6.в); 5.б); 7.в); 8.б); 9.г) 2 3 .

Решения:

Зад 1. ( ) ( ) ( ) ( ) 12 25 72 2 18 3 32 : 4 3 30 2 6 2 12 2 : 4 3 6

4 3− − = − − = =

Зад 2. От Питагоровата теорема за дадения триъгълник следва, че другият катет има дължина

2 7 см. Тогава височината към хипотенузата има дължина 6.2 7 3 7

8 2= см.

Зад 3. 2 1 2 2

cos 1 sin 19 3

α α= − = − = . Тогава 2 1 1 1 2sin . sin .

cos 9 122 2

3

tgα α αα

= = = .

Зад 4. Ясно е, че даденото неравенство е еквивалентно на ( )( )

5

2 3 0

x

x x

≠

− + ≥

Следователно ( ] [ ) ( ), 3 2,5 5,x∈ −∞ − ∪ ∪ ∞ .

Зад 5. От формулите на Виет следва, че 1 2

1 2

3

3

3

3

x x

x x

+ =

= −

Тогава ( ) ( )( )2

23 3 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

3 3 3 6 32 2

3 3 3 9x x x x x x x x x x x x x x

+ + = + = + − = − − − = −

Зад 6. Уравнението 2 3 4 2 3x x x− = − + е еквивалентно на системата

( ) ( )2 2

2 3 0

2 3 0

4 0

2 3 2 3 4

x

x

x

x x x

− ≥

+ ≥

≥

− + + =

Следователно

2

3

2

3

2

0

4 9 0

x

x

x

x

≥

≥ −

≥

− =

и решение на тази система е 3

2x = , което

е решение и на даденото уравнение.

Зад 7. Ясно е, че y=0 не е решение. Тогава уравнението 2 27 12 0x xy y− + = е еквивалентно на 2

7 12 0x x

y y

− + =

. Ако положим

xz

y= , то от 2 7 12 0z z− + = следва,че 3z = или 4z = .

Следователно

11

11

x

x y zy

xx y z

y

−− −

= =+ ++

. Тогава при 3z = отговорът е 1

2, а при 4z = е

3

5.

Зад 8. Нека точка R е от отсечката BN такава, че MR е успоредна на CD. Ако означим CN=2k, то

ND=3k и AB=5k. MR е средна отсечка в триъгълник NBC и MR=к. От ABO MRO△ ∼△ следва, че

5 5

1

AB AO k

MR MO k= = = . Следователно AO:AM=5:6.

Зад 9. Тъй като всяко от събираемите от лявата част на уравнението е по-голямо или равно на нула,

то за да има решение трябва и трите да са 0 т.е. ( ) ( )( )22 23 3 3 3 0x x x x− = − = − + = ,

2 22 0

xx a

a a+ = + = и ( )

223 3 3 9

3 02 4

xx

+= + =

. От първото и третото равенство следва, че

3x = − , а от второто x a= − . Тогава 3a = и ( )3 3 2 3a x− = − − = .

Зад 10. Нека точките E, M и O са съответно средата на AB, медицентърът и центърът на вписаната

окръжност за триъгълник ABC. От AC=BC следва, че M и O са от медианата CE. Тогава CM:ME=2:1

и MO=OE, откъдето следва, че CO:OE=5:1. Тъй като O e пресечна точка на ъглополовящите в

триъгълник ABC, то като приложим свойството на ъглополовящите за триъгълник AEC ще получим,

че AE:AC=EO:OC=1:5. Но AE=5см и тогава AC=25см. Следователно 10 25 25 60ABCP см= + + = .



11 клас






Име...........................................................училище..........................................град......................

1 зад. Решенията на неравенството ( ) ( )( )22 1 3 0x x x+ − − ≥ са:

а) ( ] [ ]3;12; ∪−∞− ; б) [ ] { }23;1 −∪ ; в) ( ] [ )+∞∪∞− ;31; ; г) друг отговор.

2 зад. Дадена е аритметична прогресия, за която 12,0 62 == aa . На колко е равен десетият член на

прогресията?


3 зад. Ъглите в правоъгълен триъгълник образуват аритметична прогресия. Най-малката страна е 5. На

колко е равна медианата към най-голямата страна?

а) 2,5; б) 25 ; в) 5; г) друг отговор.

4 зад. За ъглите γβα ,, , от интервала ( )00 180;0 , е изпълнено равенството 1sin.sin.sin =γβα . Кое от

твърденията е вярно?

а) 0>− βα ; б) γβα =+ ; в) 0270=++ γβα ; г) друг отговор.

5 зад. На колко е равен ъгълът на правилен четиридесетоъгълник ?

а) 1400; б) 171

0; в) 160


6 зад. Графиката на 42 −= ху представлява:

а) части от две параболи; б) парабола; в) две параболи; г) две прави.

7 зад. Колко различни шестбуквени думи, без повторение на буквите, могат да се съставят от

К, О, Л, Е, Д и А така, че думите да започват и завършват с гласна буква?

а) 6!; б) 2

6С ; в) 144; г) друг отговор.

8 зад. Триъгълник АВС е вписан в окръжност с радиус R. Ако страната AB = R, на колко е равен ъгъл

ACB?

а) 300; б) 90

0 в) 150


9 зад. Корените на уравнението ( )2222 2544 xxxxx −++=+− са:

а) 0; б) 0 и 2

1− ; в) няма корени; г) друг отговор.

10 зад. Числата a, b и c в този ред образуват аритметична прогресия и b е средно геометрично на a и c.

а) Докажете, че a, b и c равни;

б) Намерете числените стойности на x, y и z, ако a=tgx+cotgx, ( )00 90;0∈x , 22 962 zyzyb −+−= и zc

5log= .

Отговори:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Б Б В В Б А В Г

300 или 150

0

А

Решения и упътвания: 1 зад. х = –2 не променя знака на израза, следователно решения на неравенството са решенията на

квадратното неравенство ( )( ) 2031 −=∪≤−− xxx .

2 зад. Решаваме системата 125

0

1

1

=+

=+

da

da, с решение а1 = -3, d = 3 249110 =+=⇒ daa .

3 зад. Нека 090=<< γβα са ъглите в триъгълника. От прогресията γαβ +=⇒ 2 . Но 00 90,90 =−= γβα , откъдето получаваме 00 60,30 == βα . Хипотенузата е два пъти по-голяма

от най-малкия катет, а медианата към най-голямата страна (хипотенузата) е половината от нея.

4 зад. Произведението на три числа в интервала (0;1] е единица, тогава и само тогава, когато всяко

от тях е 1 090===⇒ γβα .

5 зад. Всеки n – ъгълник, чрез всички диагонали през един от върховете, можем да разделим на (n-2)

триъгълника, тогава сборът от ъглите на всеки n – ъгълник е (n-2).1800. Всички ъгли на

правилния многоъгълник са равни, в случая 00

17140

180).240(=

−

6 зад. 7 зад. Ако фиксираме първа и последна позиция,

останалите символи можем да подредим по

241.2.3.4!44 ===P начина. Гласните букви може да поставим

на първа и последна позиция по 62.32

3 ==V начина, общо

6.24 = 144 думи.

8 зад. От синусова теорема ACBRАB ∠= sin2 , от условието

получаваме 2

1sin =∠ACB , откъдето АСВ∠ е 30

0 или 150

0.

9 зад. Допустимите стойности на уравнението са

[ ]1;002 ∈⇔≥− xxx , тогава уравнението е равносилно на 22 252 xxxx −++=− , но при [ ] ххx −=−⇒∈ 221;0 , откъдето получаваме 024 2 =+ хх , с

корени х1 = 0 и х2 = –0,5. Дефиниционните условия изпълнява само х = 0.

10 зад. a) От основните свойства на аритметична и геометрична прогресия получаваме

условиятаacb

cab

=

+=

2

2, след заместването получаваме ( ) accaac

ca4

2

2

2

=+⇔=

+. След

преобразувания достигаме до ( ) bсаса ==⇔=− 02

.

б) сборът две положителни реципрочни числа е по-голям или равен на 2 2а⇒ ≥ ,

( ) 2322 ≤−−= zyb . Очевидно единствена възможност е a = b = 2, от подточка а) получаваме и с

= 2. Равенства се достига при tgx=cotgx=1 045x⇒ = и y = 3z. ( ) 552

= 5,15,450 ===⇒ zyx .

Стефчо Наков гр. Монтана


КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 08.12.2007г.

12 клас



Име...............................................................................училище.........................град......................

ПЪРВА ЧАСТ

Всяка задача има само един верен. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан

верен резултат.

Задачите се оценяват с по 2 точки:

1 зад. Решенията на неравенството x 1

12x 1

+≥

− са от интервала:

а) 1

;22

б) 1

;22

в) 1

;22

г) 1

;22

2 зад. Ако 325

A4

= и 5125

B8

= , то е вярно, че:

а) A B= б) A B> в) A B< г) не могат да се сравнят

3 зад. Решенията на уравнението 3x x 2+ = са:

а) 0; 0,5 б) 1 в) 0,5 г) 0,5; 1

4 зад. Корените на уравнението 2 x x 1 x8 8 8 8 0+− − + = са:

а) 2; 4 б) 1; 2 в) 1; 3 г) друг отговор

5 зад. Броят на реалните решения на системата 2 2x y 23

xy 1

+ =

= е:


6 зад. Корените на уравнението ( )2

8 64log 1 x 2log x− = са:

а) 5 1

2

− б)

5 1

2

− − в)

5 1

2

−;

5 1

2

− − г) друг отговор

7 зад. В ∆ABC медианите AD и BE са взаимно перпендикулярни. Ако дължините на страните AC и BC

са съответно 3 см и 4 см, то дължината на страната АВ е равна на:


8 зад. Радиусите на две пресичащи се окръжности са съответно 13 см и 15 см, а дължината на общата

им хорда е 24 см. Ако центърът на всяка от двете окръжности е външна точка за другата окръжност, то

разстоянието между центровете е равно на:


9 зад. За геометрична прогресия, състояща се от седем члена, сумата на първите три от тях е 0,875, а

сумата на последните три е равна на 14. Четвъртият член на тази прогресия е равен на

а) 1 б) 7

3− в) 0 г) друг отговор

10 зад. Радиусът на окръжността, описана около ∆АВС е 6 см, 0A 70=∡ и 0C 80=∡ . Дължината на

ъглополовящата на C∡ е равна на:


11 зад. Трицифрено число е по-голямо от 500 и по-малко от 600. Ако то е 64 пъти по-голямо от сбора на

цифрите си, то числото е:


12 зад. Правоъгълен триъгълник има лице 116 см2, а катетите му се отнасят както 3 :7 . Височината към

хипотенузата го разделя на два триъгълника. Лицата на тези триъгълници са равни на:

а) 18см2 и 98см

2 б) 52см

2 и 64см

2 в) 33,8см

2 и 82,2см

2 г) друг отговор

ВТОРА ЧАСТ

Следващите две задачи са със свободен отговор, който трябва да се напише.


1 зад. Да се намерят корените на уравнението 3 3 2 2sin x cos x sin x cos x− = − за ( )0 0x 0 ;60∈ .

Отговор:.................................................

2 зад. В правоъгълен триъгълник, периметърът на който е 36 см, е вписана окръжност.Допирната точка

на окръжността с хипотенузата я дели в отношение 2 : 3 . Да се намери дължината на хипотенузата на

триъгълника.

Отговор:.................................................

ТРЕТА ЧАСТ

На следващите три задачи трябва да се опише решението.


1 зад. Да се реши уравнението 3 6 1x x− = − − .

2 зад. За кои стойности на реалният параметър p уравнението 2( 1) 2 3 0p x px p− − + + = има два реални

корена, за които е вярно неравенството 2 2

1 2 4x x+ ≥ ?

3 зад. Даден е квадрат ABCD със страна a , в който т. N е среда на BC, M CD∈ и CM : MD 2 : 1= . Да се

намери лицето на петоъгълника, ограничен от правите BC, CD, AN, AM и BD.

Кратки решения и отговори

ПЪРВА ЧАСТ

1зад. x 1

12x 1

+≥

−;

1x

2≠ ;

2 x0

2x 1

−≥

−

1x ;2

2

⇒ ∈ ; Отг. б)

2зад.

2 102

3 1533

25 5 5 5A

4 2 2 2

= = = =

;

3 93

5 1555

125 5 5 5B

8 2 2 2

= = = =

след. A B> ; Отг. б)

3зад. 3x x 2+ = ; x 2 3x= − . Ако 2

x3

≥ , уравнението няма решение, след. решение е само 1

x2

= . Отг. в)

4зад. 2 x x 1 x8 8 8 8 0+− − + = ; ( )2x x8 9 8 8 0− ⋅ + = ; x 08 1 8 x 0= = ⇒ = ; x8 8 x 1= ⇒ = Отг. г) 0; 1

5зад. 2 2x y 23

xy 1

+ =

=

( )2x y 25

xy 1

+ =⇔

=

x y 5

xy 1

+ =⇔

= и

x y 5

xy 1

+ = −

=. Решенията са четири:

5 21

2

+;

5 21

2

− и

5 21

2

− +;

5 21

2

− − Отг. г) четири

6зад. ( )21 x x

8 64log 2 log−

= , DC: ( )x 0,1∈ . Уравнението е еквивалентно на: ( )21 x x

8 8log log−

= , т.е. 2x x 1 0+ − = .

От корените на това уравнение само 5 1

2

− принадлежи на допустимите стойности.

7зад. Нека М е пресечната точка на медианите. Означаваме AM 2x; MD x; BM 2y; ME y= = = = .

Тогава от Питагоровата теорема за правоъгълните триъгълници получаваме 2 2AB 4x 4 y 5= + = .

Отг. в)

8зад. Нека АВ е общата хорда, ОО1 е разстоянието между центровете и 1OO AB M∩ = . Тъй като

1AB OO⊥ и AM MB= , то от Питагоровата теорема и от правоъгълните триъгълници пресмятаме

OM 5= и 1MO 9= , след. 1OO 14= . Отг. а)

9зад. От условието и свойствата на геометричната прогресия получаваме ( )

( )

2

1

4 2

1

a 1 q q 0,875

a q 1 q q 14

+ + =

+ + =, от

където q 2= ± и съответно намираме 4

7a

3= − и 4a 1= . Отг. г)

10зад. ∆ACL е равнобедрен и AC CL= . От синусова теорема за ∆ACL намираме AC 6см= . Отг. б)

11зад. Ако числото е abc , то очевидно е, че a 5= . Тогава от условието получаваме 6b 7c 20+ = , от

където b 1, c 2= = Отг. г) 512

12зад. Правоъгълните триъгълници, получени от височината към хипотенузата, са подобни. Тогава 2

1

2

2

S a 9

S 49b= = , от където намираме 2

1S 18см= и 2

2S 98см= . Отг. а)

ВТОРА ЧАСТ

1зад. 3 3 2 2sin x cos x sin x cos x− = − за ( )0 0x 0 ;60∈ . Преобразуваме уравнението и получаваме

( )( ) ( )( )2 2sin x cos x sin x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x− + + = − +

( ) ( )( )sin x cos x 1 cos x sin x 1 cos x 0− − − − =

( )( ) ( )sin x cos x 1 cos x 1 sin x 0− − − =

sin x cos x= cos x 1= sin x 1=

0x 0 ;4 3

π π = ∈

решенията на тези уравнения не принадлежат на дадения интервал

2зад. Ако допирните точки на окръжността със страните на триъгълника са съответно M, N и P,

означаваме AM AP 2x, MB BN 3x, CP CN r= = = = = = и от системата ( ) ( )2 2 2

r 5x 18

r 2x r 3x 25x

+ =

+ + + =

намираме 1 2x 18; x 3= − = .Тъй като AB 5x= е дължина на отсечка, то AB 15.=

ТРЕТА ЧАСТ

1зад. Определяме ДМ: 3 6x≤ ≤ 23 1 6x x− + = − ↑ ………………………..

23 4x x− = − ↑ и допълваме ДМ: 3 4x≤ ≤ .............................

1

9 5

2x

+= , не е решение и 2

9 5

2x

−= е решение.

2зад. 1p ≠

2 3 0 3/ 2D p p= − + > ⇒ <

……2

2 2

1 2 2

2 4 20

( 1)

p px x

p

− + ++ = ≥

−

…….Oтговор [ )

∪−∈2

3;11;21p

3 зад. 2 2 27 5 9

12 24 24KPNCM ANCM ACP

a a aS S S= − = − =

A B

C D

N

М

К

P

O

Q

B(3,4)

D(6,1.5)

C(3,-1)

A(0,-4)

Section “Iztok” – UBM

Christmas Competition – 8.12.2007

11-12 grade

Time - 120 minutes

Rules: For each problem from 1 to 50 you receive1 point and there is only one correct answer.

Organizing committee wishes a successful work!

Name………………………………………………..School………………………….City……………………..

1. 15

210= (A) 2/5 (B)

5

52 (C)

6

3 (D)

3

32 (E)

3

5

2. What is the relationship between the areas of ∆ABC and ∆DBC in figure?

(A)Equal (B)Area ∆ABC=1/2 Area of ∆DBC (C)Area of ∆ABC> Area of ∆DBC

(D)Area of ∆ABC+1= Area of ∆DBC (E) Area of ∆ABC=1/3 Area of ∆DBC

3. If a≠-b, then ba

ba

+

−-1=

(A) 0 (B) ba

ba

+

−− 1 (C)

2b

a b

−+

(D) ba

a

+

2 (E)

ba

ba

++ 22

4. If the given angles have the measures indicated in figure, what are the measures of x and y?

(A) x=1000, y=90

0 (B) x=120

0, y=85

0 (C) x=120

0, y=90

0 (D) x=110

0, y=90

0

5. If 3+y=a and 3-y=a, then

(A) a=5, y=2 (B) a=1, y=-1 (C) a=2, y=-1 (D) a=3, y=1 (E) a=3, y=0

6. If 250 quadles = 1 dorple and 1750 septles =1 dorple, how many septles = 1 quadle?

(A) 3 (B) 7 (C) 17 (D) 30 (E) 70

7. If 1 2

1 3

x

x

−=

+ then x=

(A) 3 (B) 2 (C) No value possible (D) 4 (E) 5

8. In figure, if ray OA is perpendicular to line BD and ∠AOE has degree measure of 15,

then the measure of ∠COD is

(A) 75 (B) 95 (C) 100 (D) 105 (E) 100

9. If 42x

=16, then x=

(A) -2 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) -4

10. If 3

12 −x=5 and y

−3

12x=15, then y=

(A) 5 (B) 3 (C) 3 (D) 15 (E) Cannot be determined

11. cosx-(sin(900-x))=

(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) .87 (E) .5

12. In figure, arc CD is a semicircle. AB ⊥ CD, BC=3, BD=4. Then the length of AB=

(A) 3.46 (B) 4.42 (C) 3 (D) 4 (E) 5

13. If (b+c)(ab-ac)=b2-c

2, then a=

(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) b (E) c

14. If x=2, y=3, and z=4, then )32(2

23

y

yzx

−−+

=

(A) 5 (B) -5.6 (C) -5 (D) 5.6 (E) 4

15. If the radii of the circles in figure are 5 and 3, the centers are A and B and both ∠GAF

and ∠DBC are right angles, what is perimeter of ∆CEG?

(A) 32 (B) 38.63 (C) 30 (D) 27,63 (E) Cannot be

determined

16. If ABCD in figure is a parallelogram and is positioned in the coordinate plane so that

A=(1,1), B=(4,2), and E=(3,3), then D is

(A)(-4,-2) (B) (-4,2) (C) (2,4) (D) (2,-4) (E) (-2,-4)

1300

700

450

x0

y0

A

B

CD

E

O

A

C B D

A BC

D

E

G

F

A B

CD

E

17. In figure, if AD=2 and DB=3, then the ratio ABCarea

ADCarea

∆∆

is

(A) 2/3 (B) 3/2 (C) 2/5 (D) 3/5 (E) 5/3

18. If

x

f1

=2x, what is f(x)?

(A) 2/x (B) x/2 (C) 1/(2x) (D) 2 (E) Cannot be determined

19. In figure, ∠D and ∠B are right angle, AD=AB, BC=DC, and AB≠BC. How many circles can be drawn that

contain A, B and C, but not D?

(A) None (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) Infinitely many

20. If

−

−2

3

2

1xx <0, then the greatest negative value for x is

(A) -1 (B) -1/2 (C) -3/2 (D) 0 (E) No negative value of x will make the inequality true

21. The graphs of which of the following are the same?

I. 2

1

2

1+= xy II. ( )3

2

11 +=+ xy III. )3(

2

12 −=− xy

(A) I and II only (B) None (C) II and III only (D) I and III only (E) I, II, and III

22. In 10 minutes, the number of degrees the hour hand of a clock rotates is

(A) 1 (B) 6 (C) 3

26 (D) 5 (E) 10

23. If xx

11+ =0, then x=

(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 111 (E) No real value possible

24. (sinx)(cosx)=1 when x= I. 0 II. π/4 III. All real numbers

(A) I only (B) II. only (C) I and II only (D) none (E) all

25.If 1/x<1/2, then

(A) x>2 (B) x>2 or x<2 (C) x>2 and x<2 (D) x>2 or x<0 (E) x is any real number except zero

26. If k+1 represents a given odd integer, which of the following must also be an odd integer?

(A) 2(k+1) (B) k(k+1) (C) (k+1)(k+2) (D) (k+1)(k-1) (E) (k+1)2-1

27. If (a2-3a)(a+3)=0 then a=

(A) {3} (B) {-3} (C) {3,-3} (D) {0,3,-3} (E) {0,-1,3,-3}

28. If the right angles and sides are as marked in figure, the area of trapezoid ABCD is

18, and a=2b, then c=

(A) 4.47 (B) 8.94 (C) 4 (D) 2 (E) Cannot be determined

29. If(x) = -1/x3 and x takes on successive values from -10 to -1/10, then

(A) f(x) increases throughout (B) f(x) decreases throughout (C) f(x)

increases, then decreases (D) f(x) decreases, then increases (E) f(x) remains constant throughout

30. If in a ∆ABC, ∠C is a right angle, BC=1, and tan∠B=p, then cos∠A=

(A)1

1

2 +p (B)

1+pp

(C)12 +p

p (D)

p

p 12 + (E) p

2+1

31. A gold bar with dimensions 2’x3’x4’ has all of its faces rectangular. If it is melted and recast into three

cubes of equal volumes, what is the length of an edge of each cube?

(A) 1 (B) 2 (C) 3) (D) 4 (E) 5

32. If n!/2=(n-2)! Then n= (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

33. If log x=2

1log a-log b and a=4b

2, then x=

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (E) 16

34. If p, m, and n are prime numbers, none of which is equal to the other two, what is the greatest common

factor of 24pm2n

2, 9pmn

2, and 36p(mn)

3?

(A) 3pmn (B) 3p2m

2n

2 (C) 3pmn

2 (D) 3pmn

2n

2 (E) 3pmn

3n

3

35. If the perpendicular bisector of the segment with endpoints A (1,2) and B (2,4) contains the point (4,c), then

the value of c is

(A) 7 (B) 7/4 (C) -7 (D) 4 (E) -4

A D B

C

A C

D

B

E A B

C D

36. If f(x) =1/x and f[f(x)]=f(x), then x is

(A) 1 only (B) -1 only (C) 1 or -1 (D) no real number (E) any real number

37. If in figure, line DE is parallel to line AB, and CD=3 while DA=6, which of the following

must be true?

I. ∆CDE~∆CAB II.

2

=∆∆

CA

CD

CABArea

CDEArea III. If AB=4, then DE=2

(A) I only (B) II only (C) III only (D) II and III only

(E) I and II only

38. If x=3i, y=2i, and z=1+i, then xy2z=

(A) 0 (B) -1 (C) 1-i (D) 12-12i (E) 6-6i

39. If a<b, then each of the following is true for all a and b EXCEPT

(A) –a<|b| (B) –a>-b (C) –b2<a

2 (D) –a

2<b

2 (E) 0>b-a

40. A singer has memorized 12 different songs. If every time he performs he sings any three of these songs,

how many different performances can he give?

(A) 4 (B) 12 (C) 110 (D) 220 (E) 440

41. In figure, the measure of ∠AOD and ∠BOY is 90, and the measure of ∠DOY is between 40 and 50. What

is the range of possible values of the measure of ∠AOC?

(A) 30 to 40 (B) 40 to 50 (C) 50 to 60 (D) 40 to 60 (E) Cannot

be determined

42. If a circle is tangent to be both the x- and y-axis and has a radius of 1, then its equation

is (A) (x-1)2+(y+1)

2=1 (B) x

2+y

2=1 (C) x

2+(y+1)

2=1 (D) (x+1)

2+y

2=1

(E) (x-1)2+y

2=1

43. If two planes P1, and P2, are parallel, then

(A) Any line in P1 is parallel to any line in P2

(B) AB=CD whenever A and C are in P1 and B and D are in P2

(C) Any line that intersects P1 in exactly one point will intersect P2 in exactly one point

(D) Any line parallel to P1 will intersect P2

(E) Any line that intersects P1 in more that one point must intersect P2 in more than one point

44. If tan2

y=sin

2

y and 0≤

2

y≤

2

π, then cos y =?

(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 1/2 (E) - 2 /2

45. The number of points in the intersection of the graphs of y=|x+2| and y=-|x|+2 is

(A) Infinitely many (B) A finite but indeterminable number (C) 3 (D) 2 (E) 0

46. If sin x>0 and cos x=–.8, then tan x=

(A) .6 (B) -.6 (C) 1.33 (D) -.75 (E) -1.33

47. If x= yz , x>0, y>0, and z>0, then log y=

(A) z

x 2

(B)z

x

log

log 2

(C)z

x

log

log2 (D) 2logx-logz (E) 2(log x-log z)

48. A parallelogram has an area of 36 square feet and two sides of lengths 6 feet and 9 feet. Which of the

following is the sine of an angle of the parallelogram?

(A) 2/3 (B) 3/2 (C) 4/9 (D) 5/9 (E) -5/6

49. Three cards, Card One, Card Two, and Card Three, are drawn from a desk. One of these is a queen, one an

ace, and one a king. One and only one of the following statements is true.

I. Card Two is NOT a queen II. Card Three IS a queen III. Card One is NOT an ace

Based on this information, which of the following is true?

(A) Card One is a queen (B) Card One is an ace (C) Card Two is a king

(D) Card Three is an ace (E) Card Three is a queen

50. If a cube has an edge of length 10, then the length of the segment connecting the center of a face of the cube

to any vertex not contained in the plane of that face is

(A) 6 (B) 5 6 (C) 6 5 (D) 3 5 (E) 10 6

A B

D

C

E

A

B

CD

E

Y

O

Отговори 11-12клас SAT

1-d; 2-a; 3-c; 4-b; 5-е; 6-b; 7-e; 8-d; 9-d; 10-b; 11-a; 12-a; 13-b; 14-e; 15-d; 16-c; 17-a; 18-a; 19-a; 20-e; 21-e;

22-d; 23-e; 24- ; 25-d; 26-d; 27-d; 28-a; 29-a; 30-c; 31-b; 32-b; 33-b; 34-c; 35-b; 36-e ; 37-e; 38-e; 39-e; 40-d;

41-b; 42-a; 43-c; 44-b; 45- a; 46-d; 47-d; 48-a; 49-d; 50-b

2007.08.12 КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ

Documents

Transcript of 2007.08.12 КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ