2006. március 3.
description
Transcript of 2006. március 3.
2006. március 3.
Három négyzet oldalai különböző prím-számok. A két kisebb négyzet kerületének ösz-szege egyenlő a legnagyobb négyzet kerületé-vel; a két nagyobb területének összege 290 cm2.
Mekkorák a négyzetek oldalai?
Telefonos feladat
Emelt szintű írásbeli érettségi
Matematika – (1.)
2006. február 21.
Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:
1. feladat (12 pont)
04sin5sin42cos 2 xxx
04sin5sin42cos 2 xxx
xx 22 sincos
x2sin1
x2sin21
04sin5sin4sin21 22 xxx
03sin5sin2 2 xx
03sin5sin2 2 xx
4
24255sin 2,1
x
4
75
,3sin x2
1sin x
kx 26
71
kx 262
2. feladat Az 52 941 számjegyeit leírjuk az összes lehetséges sorrendben. a) Az 52 941 számmal együtt hány ötjegyű számot kaptunk? (2 pont) b) Ezen számok közül hány osztható 12-vel? (6 pont) c) Bizonyítsa be, hogy e számok egyike sem négyzetszám! (4 pont)
a) 54321!5 120
b) 52 941 3-mal mindegyik osztható
24... ,92... ,52... ,12...!3
!3
!3
!3
24!34 c) 3-mal osztható, de 9-cel nem, így nem lehet
négyzetszám.
3. feladat Egy automatából 100 Ft értékű ital kapható, s az automatába csak 100 Ft-os érme dobható be. Az automata gyakran hibásan működik. 160 kísérletet végezve azt tapaszaljuk, hogy - az esetek 18,75%-ában az automata elnyeli a pénzt, és nem ad italt; - 90 esetben visszaadja a 100 forintost, anélkül, hogy italt adna; - 30 esetben italt is ad és a 100 Ft-ost is visszaadja; - és csak a fennmaradó esetekben működik rendel-tetésszerűen
a) Mekkora annak az esélye, hogy egy százast bedobva az automata rendeltetésszerűen fog működni? (4 pont) b) Minek nagyobb a valószínűsége: annak, hogy ingyen ihatunk, vagy annak, hogy ráfizetünk? (5 pont) c) Várhatóan mennyi lesz a ráfizetése annak, aki 160-szor próbál italt vásárolni ennél az automatánál? (4 pont)
3075,186,1
a)
16
1
160
10 b) Mindkét valószínűség:
16
3
c) Nem lesz vesztesége
4. feladat Állítsuk a pozitív egész számokat növekvő sorrendbe, majd bontsuk rendre 1-gyel növekvő elemszámú csoportokra, a felbontást az alábbi módon kezdve:
(1), (2; 3), (4; 5; 6), (7; 8; 9; 10)
a) A 100-adik csoportban melyik szám az első elem? (5 pont)
b) Az 1851 hányadik csoport hányadik eleme? (9 pont)
a) A k-adik csoportban levő utolsó elem:
2
)1(.....321
kkk
A 99. csoport utolsó eleme: 49502
10099
Tehát a 100. csoport első eleme: 4951
(1), (2; 3), (4; 5; 6), (7; 8; 9; 10)
b) Ha 1851 a k-adik csoportban van, akkor
2
)1(1851
2
)1(
kkkk
kkkk 22 3702
037022 kk
37020 2 kk
3,61k k3,60 61k
61k
12
6160
A 61. sor első eleme: a 60. sor utolsó eleme +1
183111830
1851 a 61. sor 21. eleme.
5. feladat (16 pont) Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD, AB>CD. A trapéz átlóinak metszéspontja K. Az ABK háromszög AB oldalhoz tartozó ma-gassága kétszerese a CDK háromszög CD oldalá-hoz tartozó magas-ságának. Jelölje T az ADK háromszög terü-letét. Hányszorosa az ABCD trapéz területe T-nek?
AMDBMC TT
AK
CK
T
t x
AK
CK
t
T
x
4
x
x
t
T
T
t
4
2
Tt x
TTT
TTABCD 24
2T 5,4
A telefonos feladat megoldása
A feltételekből
rqp
)( rqp
29022 rq
Az első feltételből csak 2p lehetséges.
A másodikból pedig .13 ,11 rq