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2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08 183
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
Alternative Betrachtungsweisen des Optimierungsverhalten des Haushalts: � Nutzenmaximierung unter gegebenen Ausgaben/Einkommen oder � Minimierung der Ausgaben p1x1 + p2x2 unter der Erzielung eines vorgegebenen Nutzens.
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08 184
x1
x2
A
x1A
x2A
U = U0
I1/p2
I2/p2
I3/p2
Abbildung 2.53: Das Haushaltsoptimum – Ausgabenminimierung
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08 185
Gegeben: Zielfunktion: minx1,x2 p1x1 + p2x2 Nebenbedingung: U(x1,x2) = U0
1. Schritt: Umformung der Nebenbedingung zu:
U(x1,x2) – U0 = 0
2. Schritt: Bilden der Lagrange-Funktion:
Z(x1,x2,λ) = p1x1 + p2x2 - λ(U(x1,x2) – U0)
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08 186
3. Schritt: Minimierung von Z über x1,x2.
Notwendige Bedingungen 1. Ordnung:
0MUpx
Z11
1
=λ−=∂
∂ (1)
0MUpx
Z22
2
=λ−=∂
∂ (2)
0U)x,x(UZ 0
21 =+−=λ∂
∂ (3)
Umformung von (1) und (2) zu: 11 MUp λ= (1’), 22 MUp λ= (2’)
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08 187
Division von (1’) durch (2’):
GRSMU
MU
p
p
2
1
2
1 == (4)
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08 188
Rechenbeispiel für Cobb-Douglas-Nutzenfunktion: Zielfunktion: minx1,x2 p1x1 + p2x2 Nebenbedingung: U(x1,x2) = x1
αx21-α
= U0 1. Schritt: Umformung der Nebenbedingung zu:
x1αx2
1-α - U
0 = 0
2. Schritt: Bilden der Lagrange-Funktion:
Z(x1,x2,λ) = p1x1 + p2x2 - λ(x1αx2
1-α - U0)
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08 189
3. Schritt: Minimierung von Z über x1,x2.
Notwendige Bedingungen 1. Ordnung:
0xxpx
Z 12
111
1
=λα−=∂
∂ α−−α (1)
( ) 0xx1px
Z212
2
=α−λ−=∂
∂ α−α (2)
0UxxZ 01
21=+−=
λ∂
∂ α−α (3)
Umformung von (1) und (2) zu:
α−−αλα= 12
111 xxp (1’)
α−αα−λ=
212 xx)1(p (2’)
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08 190
Division von (1) durch (2):
( ) ( )
1
2
21
12
11
2
1
x1
x
xx1
xx
p
p
α−
α=
α−
α=
α−α
α−−α
⇔ ( )
2
1
1
2
p
p1
x
x
α
α−= (4)
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08 191
Nachfragefunktionen:
1
0
1x
Up λα= ⇔ 0
11 Uxp λα= (1’’)
2
0
2x
U)1(p α−λ= ⇔ 0
22 U)1(xp α−λ= (2’’)
Addition beider Gleichungen:
02211 Uxpxp λ=+
� I = λU0 ⇔ U0 = I/λ
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08 192
Einsetzen in (1’’) und (2’’) ergibt:
11
1x
I
x
I/p α=
λλα= ⇔
11
p
I*x α=
22
2x
I)1(
x
I/)1(p α−=
λα−λ= ⇔
22
p
I)1(*x α−=
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08 193
Was geschieht bei der Kombination von (4) mit (3) 4. Schritt: Auflösen nach x1 oder x2 und Einsetzen in die Nebenbedingung
( )1
2
12
xp
p1x
α
α−= (4)
⇒ ( ) 0
1
12
11
Uxp
p1x =
α
α−α−
α
⇔ ( ) 0
1
2
11
Up
p1x =
α
α−α−
⇔ ( )
01
1
21
Up1
px
α−
α−
α= (Nachfragefunktion nach x1)
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08 194
Einsetzen in (4):
( )
( )0
1
1
2
2
12
Up1
p
p
p1x
α−
α−
α
α
α−=
⇔ ( )
( ) 0
2
10
1
22 U
p
p1U
p1
px
αα−
α
α−=
α−
α= (Nachfragefunktion nach x2)
� Hick’schen Nachfragefunktionen (John Hicks 1904-1989) oder auch „kompensierte“ Nachfragefunktionen: x1 = x1
H(p1, p2, U0)
x2 = x2H(p1, p2, U
0)
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08
x1
x2
A
U2
U1
x1A
x2A
C x2C
x1C
B
p1
x1
C
B
A
)I,p,p(xx 2111 =
)U,p,p(xx 12111 =
p1A
p1B
x1B
x1A
x1C
x1B
x2B
Abbildung 2.54: Marshall’sche und Hicks’sche
Nachfragefunktionen (normales Gut)
195
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08
x1
x2
A
B
U2
U1
x1B
x2A
C x2C
x1C
x1A
p1
x1
C
B
A
)I,p,p(xx 2111 =
)U,p,p(xx 12111 =
p1A
p1B
x1B x1
C x1
A
Abbildung 2.55: Marshall’sche und kompensierte
Nachfragekurve bei einem inferioren Gut
196
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08
x1
x2
A
U2
U1
x1A
x2A
C x2C
x1C
B
p1
x1
C
B
A
)I,p,p(xx 2111 =
)U,p,p(xx 12111 =
p1A
p1B
x1B
x1A
x1C
x1B
)U,p,p(xx 22111 =
x2B
Abbildung 2.56: Zusammenhang von Marshall’schen
und Hicks’schen Nachfragefunktionen
197
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08 198
Rechenbeispiel: Berechnung der kompensierten Nachfragefunktion für die Nutzenfunktion U(x1,x2) = x1 · x2
Bedingung für Haushaltsoptimum:
2
1
2
1
p
p
MU
MUGRS ==
⇒ 2
1
1
2
p
p
x
x= ⇔ 1
2
12 x
p
px =
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08 199
Einsetzen in die Nebenbedingung für die Ausgabenminimierung: U0 = x1 · x2,
⇒ 0
1
21
21
2
11
2
11
0 Up
pxx
p
px
p
pxU =⇔=⋅= ,
und für x2:
0
2
10
1
2
2
12 U
p
pU
p
p
p
px ==
kompensierte (Hicks’sche) Nachfragefunktionen:
Up
px
1
2H1 = , U
p
px
2
1H2 =
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08 200
Ausgabenfunktion p1x1
H(p1,p2,U) + p2x2H(p1,p2,U) = E(p1,p2,U).
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08
Nutzenmaximierung
max U(x1,x2) u.d. NB:
p1x1 + p2x2 = I
Ausgabenminimierung
min p1x1 + p2x2 u.d. NB:
U(x1,x2) = U0
Dualität
Marshall’sche
Nachfragefunktionen
x1(p1,p2,I)
x2(p1,p2,I)
Hicks’sche
Nachfragefunktionen
x1H(p1,p2,U
0)
x2H(p1,p2, U
0)
xjH(p1,p2,U
0) =
xj(p1,p2,E(p1,p2,U0))
xj(p1,p2,I) =
xjH(p1,p2,V(p1,p2,I))
Lösen Lösen
Indirekte Nutzenfunktion
V(p1,p2,I) =
U(x1(p1,p2,I),x2(p1,p2,I))
Ausgabenfunktion
E(p1,p2,U0) =
p1x1H(p1,p2, U
0)+p2x2
H(p1,p2, U
0)
U0 = V(p1,p2,I)
I = E(p1,p2,U0)
Einsetzen Shephard’s
Lemma Roy’s
Identität Einsetzen
Abbildung 2.57: Übersicht über Dualität (Breyer (2007), S. 138)
201
2. Theorie des Haushalts
2.5 Die Dualität der Konsumtheorie
VWL I/WS 2007/08 202
Literatur:
Breyer (2007), 131-43.
Pindyck/Rubinfeld (2005), S. 159-168, 205-11. Varian (2007), Kap. 6.
2. Theorie des Haushalts
2.6 Einkommens- und Substitutionseffekte
VWL I/WS 2007/08 203
2.6 Einkommens- und Substitutionseffekte
Zerlegung der Nachfrageänderung nach einem Gut infolge einer Änderung seines Preises: � Änderung des relativen Preises, d.h. des Preisverhältnisses zwischen beiden Gütern (Substitutionseffekt). � Die Preisänderung beeinflußt die reale Kaufkraft des Haushalts. Die daraus entstehende Änderung der Nachfrage nach dem Gut ist der Einkommenseffekt.
2. Theorie des Haushalts
2.6 Einkommens- und Substitutionseffekte
VWL I/WS 2007/08 204
x1
x2
A
U2
U1
x1A
x2A
C x2C
x1C
Abbildung 2.58: Ein Preisrückgang bei Gut 1
2. Theorie des Haushalts
2.6 Einkommens- und Substitutionseffekte
VWL I/WS 2007/08 205
x1
x2
A
B U2
U1
x1A
x1B
x2A
C x2C
x1C
Abbildung 2.59: Einkommens- und Substitutionseffekt bei einem normalen Gut
2. Theorie des Haushalts
2.6 Einkommens- und Substitutionseffekte
VWL I/WS 2007/08 206
x1
x2
A
B
U2
U1
x1A x1
B
x2A
C x2C
x1C
Abbildung 2.60: Einkommens- und Substitutionseffekt bei einem inferioren Gut
2. Theorie des Haushalts
2.6 Einkommens- und Substitutionseffekte
VWL I/WS 2007/08 207
x1
x2
A
B
U1
x1A x1
B
x2A
x2B
Abbildung 2.61: Warum der Substitutionseffekt einer Preissenkung immer positiv
sein muß.
2. Theorie des Haushalts
2.6 Einkommens- und Substitutionseffekte
VWL I/WS 2007/08 208
Tabelle: Wirkung einer Preisänderung für Gut 1 auf die Nachfrage nach Gut 1
Substitutionseffekt Einkommenseffekt Gesamteffekt (normal) (inferior) (normal) (inferior) p1 sinkt + + - + ? p1 steigt - - + - ?
2. Theorie des Haushalts
2.6 Einkommens- und Substitutionseffekte
VWL I/WS 2007/08 209
x1
x2
A
B
U2
U1
x1A
x1B
x2A
C x2C
x1C
Abbildung 2.62: Einkommens- und Substitutionseffekt bei einem Giffen-Gut
2. Theorie des Haushalts
2.6 Einkommens- und Substitutionseffekte
VWL I/WS 2007/08 210
Anwendung: Hartz IV Anpassung nach Preiserhöhung für Milchprodukte
Milchprodukte (M)
andere
Güter
(x)
C
B
U2
U1
MC
xC
A xA
MA
KV/pM Abbildung B2.4: Einkommens- und Substitutionseffekte einer Preiserhöhung für
Milchprodukte
2. Theorie des Haushalts
2.6 Einkommens- und Substitutionseffekte
VWL I/WS 2007/08 211
Milchprodukte (M)
andere
Güter
(x)
C
B
U2
U1
MC
xC
A xA
MA
Einkommensanpassung
nach EVS/pM
Abbildung B2.5: Nutzenwirkungen einer Transferanpassung bei einer
Preiserhöhung für ein Gut