2 -Terminologia matemática
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UNA PROPUESTA PARA LAASIMILACIÓN DE CONCEPTOS
MATEMÁTICOS.
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Fundamentos científico-lógicos para la formación de
conceptos
¿QUÉ TANTO CONOCEMOS LA ESTRUCTURA O
COMPONENTES DE LA MATEMÁTICA?
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Fundamentos científico-lógicos para la formación de
conceptos
MATEMÁTICA
CONCEPTOS
DEFINICIONES
PROCEDIMIENTOS
TEOREMAS OAXIOMAS
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Fundamentos científico-lógicos para la formación deconceptos
Forma de pensamiento abst rac to que re f le ja
los ind ic ios sust anc ia les de una c lase deobje tos homogéneos o de un ob je to
(Guét m anova, A. Y ot ros, 1991)
¿QUÉ ES UN CONCEPTO?
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Fundamentos científico-lógicos para la formación deconceptos
Formación deconceptos
•Observación
•
Comparación•Análisis
•Síntesis
•Abstracción
•Generalización
Contenido
•Conjunto de propiedadesesenciales.
Extensión
•Al conjunto de objetos queposeen esas propiedadesesenciales
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Contenido y Extensión
Númeroprimo
Contenido
Es un númeronatural
Tiene
exactamente dosfactores
Extensión 2,3,5,7,11,13,….
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Contenido y Extensión
Númeroprimo
Contenido
Es un número natural
Tiene exactamentedos factores
Es número par
Extensión 2
“Ley de la Lógica Formal de Razón Inversa entre la extensióny el contenido del concepto”
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Fundamentos científico-lógicos para la formación de conceptos
Al razonar , pasamos con mucha f recuencia
de un concepto que t iene determinada
ext ens ión a o t ro c oncept o c uya ex t ens ión noconst i tuye más que una par te de aque l .
¿Cómo es el proceso del razonamiento?
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Fundamentos científico-lógicos para la formación deconceptos
Se l lama def in ic ión a la operac ión lóg ica por
med io de la cua l conc re tamos los rasgos
esenc ia les del conc epto , y se le d i ferenc ia detodos los que son parec idos (or ientac iones
metodo lóg icas duodéc imo grado 1991,
Matemát i ca )
DEFINICIÓN:
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Fundamentos científico-lógicos para la formación deconceptos
ImplícitasCuando no se danlas propiedadesesenciales del
concepto
Se determina por unarelación en la que
interviene
*Ecuacionesmatemáticas,
desigualdades, etc.
ExplicitasSe concretan los rasgos
esenciales delconcepto.
Un sistema depropiedadesnecesarias ysuficientes
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Fundamentos científico-lógicos para la formación deconceptos
Propiedades necesarias• Son aquellas que pertenecen a todos los objetos que
integran la extensión del concepto y también poseen
otras que no están incluidas en la extensión.
Propiedades suficientes
• La que sólo poseen los objetos que pertenecen a la
extensión del concepto
(O. Metodológicas, duodécimo grado Matemática 1991).
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Concepto: Número primo
Propiedades necesarias
• Son números naturales.
•
Son divisibles por la unidad y ellos mismos.
Propiedades suficientes
• Tienen exactamente dos factores o divisores (la
unidad y ellos mismos).
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d íf ló l f ó d
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Fundamentos científico-lógicos para la formación deconceptos
Proposición
Todo enunciado verbal o escrito que tiene un valor de
verdad, es decir, que es necesariamente falso o verdadero.
Las proposiciones matemáticas verdaderas son axiomas
o teoremas matemáticos. La verdad de un teoremadebe comprobarse con una demostración.
AXIOMA: Dos puntos distintos determinan una sola
recta y solo una a la cual pertenecen.
TEOREMA: Si dos rectas diferentes se intersectan,entonces su intersección es un solo punto.
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di i l í i
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Procedimiento Algorítmico
Según Landa se ent iende por e l lo una
suces ión de ind icac iones, exacta y
determinada unívocamente para la
rea l izac ión de una ser ie de operac iones
elementa les (o de s is tema de ta lesoperac iones) para reso lver e jerc ic ios de una
determinada c lase o de un determinado t ipo
(Jungk Wer ner, 1979 )
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Fundamentos científico-lógicos para la formación de conceptos
La esencia de un concepto es un sistema de propiedades
Por tanto, para operar con los conceptos es fundamental
aprender como se determinan las propiedades y seasocian a los diferentes objetos.
Para aprender a distinguir propiedades de los objetosse necesitan las habilidades de observar y comparar a
fin de poder establecer semejanzas y diferencias entreobjetos y, a partir de estas comparaciones, determinarlas propiedades.
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ACTIVIDAD 1
1) Defina el concepto del siguiente conjunto de números:
2,4,6,8,10,12,14,……….
Definición de números pares: Un número natural es
par si el residuo de la división entre dos es cero.
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ACTIVIDAD 1
1) Defina el concepto del siguiente conjunto de figuras:
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ACTIVIDAD 1
1) Definición: Triángulo Isósceles: Tiene dos lados
iguales y uno distinto al cual se les denomina base
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El d l b ió d t ti t f
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El proceso de elaboración de conceptos tienen tres fases:
Para as imi lar un c onc ept o e l a lumno debe
poder :
1 .
• I den t i f i ca r e l
concep to
• Br i nda r una
ideageomét r i ca
de l concepto
• I nd ic a r
con t ra
e jemplos
2 .
• Se ña la r
casos
especia les
• I nd ic a r casos l im i tes
3 .
• Es t a bl e c er
re lac ión
en t re
concep to
Super ior yconcep to
Subordinado
• A p li c a r e l
concep to
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A par t i r de esta re lac ión s ign i f icat iva, e l
conten ido de los nuevos conceptos cobra
un verdadero va lor para la persona yaumentan las pos ib i l idades de que d icho
aprendizaje sea:
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duradero
recuperable
aprendizaje
generalizable
transferible
aprendizaje
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Después de haber estudiado las
par t i cu la r idades re la t i vas a la fo rmac ión dec oncept os , e laboramos la p ropuesta
s igu ient e :
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Pensamiento numérico
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Pensamiento numérico
Los fundamentos delpensamiento numéricoestán presentes muytemprano en la vida.
Incluso los bebés cuentancon unas matemáticasinformales (Canfield ySmith, 1996; Saxe, 1991;
Starkey, 1992; Wynn, 1996)
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Aritmética
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Aritmética
Número
¿Qué es?¿Para qué lo utilizo?¿Cómo lo utilizo?
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Aritmética
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Aritmética
Números Naturales
¿Qué son?
N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ………………}
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Aritmética
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Aritmética
Si se incorpora el cero a los números naturales se
obtienen:
Números cardinales.
Si a los cardinales le incorporamos los naturalesnegativos se obtienen:
Números enteros.
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Aritmética
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Aritmética
Si se obtienen cocientes entre números enteros
(que no sea cero) se tendrán:
Números racionales.
Si utilizamos números como π o √2, se obtienen:
Números irracionales.
29
Aritmética
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Aritmética
¿Cómo llamamos a la unión de estos conjuntos?
Números reales.
30
Aritmética
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Aritmética
Números reales.
Propiedades:Relación deorden
RepresentacióngeométricaInverso aditivoValor absoluto
31
Matemática
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Matemática
Deberás realizar un gráfico que te permita visualizar larepresentación de los números siguientes:½¼⅞ ⅛ √2
Actividad 2
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Proposición Justificación Proposición Justificación 4. –2<– 1 ( )
5. – 8<– 4 ( )
6. –9 –12 ( ) 7. – 15 20 ( )
8. –8 – (-4) ( ) 9. 0
–
(–
4) ( )
10. 0 – (–6) ( ) 11. –3 – 7 ( )
12. 6 –2 ( ) 13. –8 – 2 ( )
14. 0 >11 ( ) 15. 11> 0 ( )
16. 0 < 7 ( ) 17. –8 < –8
( )
Decida si cada una de las proposiciones siguientes es verdadera o falsa yjustifique su respuesta.
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Matemática
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Matemática
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Matemática
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Matemática
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Matemática
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Matemática
Propiedades de la suma y de la multiplicación
Para los números reales , y , se cumplen las siguientes propiedades:
Propiedades de cierre Si y son números reales, entonces y son números reales
Propiedades conmutativas
Propiedades asociativas
Propiedades de la identidad Existe un número real 0 tal que y
Existe un número real1, tal que y
Propiedades de los inversos Para cada número real , existe un solo número real tal que y
Para cada número real distinto de cero, , existe un solo número real , tal que y
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma
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Matemática
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Matemática
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Matemática
Señale si la proposición es FALSA o VERDADERA y argumente la respuesta, en lossiguientes ejercicios:“5 es divisor de 20” ( ), porque_______________________________________“8 es divisor de 24” ( ), porque_______________________________________“13 es divisor de 20” ( ), porque_______________________________________“3 es divisor de 0” ( ), porque_______________________________________
“0 es divisor de 26” ( ), porque_______________________________________
Considerando que, al sumar las cifras de un número resulta un múltiplo de 3 elnúmero es divisible entre 3, si no, no lo es, resuelve:“10,263 es divisible entre 3” ( ), porque_____________________________“4,096 es divisible entre 3” ( ), porque_____________________________
Actividad 3
41
Matemática
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Matemática
La sala 1 y la sala 2 de cierto conjunto de cines, proyectanpelículas en forma continua, y cada sala comienza su primerafunción a las 1:00 p.m. Si la película proyectada en la sala 1dura 80 minutos y la película proyectada en la sala 2 dura 2
horas, ¿a qué hora volverán a comenzar las dos películas almismo tiempo?
42
Matemática
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Matemática
Juan Hernández tiene 450 etiquetas con adherente y 840tarjetas sin adherente. Debe colocarlas en montones en unamesa de trabajo, de modo que cada montón tenga el mismonúmero de etiquetas y que dentro de cada montón no existan
etiquetas diferentes ¿Cuál es el número más grande deetiquetas que puede tener en cada montón?
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Matemática
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Matemática
Explique en sus propias palabras cómo determinar el máximocomún divisor de un grupo de números.
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Matemática
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Matemática
Orden de las operaciones.
Si hay paréntesis o corchetes
Paso 1. Resuelva arriba y debajo de las rayas de fracciones por separado.
Paso 2. Utilice las reglas siguientes dentro de cada conjunto de paréntesis ocorchetes. Inicie con el conjunto más interno y trabaje hacia fuera.
Si no hay paréntesis o corchetes:
Paso 1. Aplique todos los exponentes.
Paso 2. Haga las multiplicaciones o divisiones en el orden en que aparezcan,trabajando de izquierda a derecha.
Paso 3. Haga las sumas y restas en el orden en que aparezcan, trabajando deizquierda a derecha.
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Matemática
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Matemática
=−+− )8(12
Realice las operaciones indicadas. Utilizando el orden de las operaciones cuando sea necesario.
9(-12)(-4)(01)3=
=−−−−− )64()11(9
[ ]=+−+− )23(56
( )=
−−
−⋅+−
27
)3(410
[ ]=−−−−−
)43()2()3(7
3
Actividad 4
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Álgebra
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Álgebra
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Álgebra
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Álgebra
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Álgebra
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Álgebra
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Actividad 5
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Álgebra
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Escribir en lenguaje algebraico las siguientes situaciones