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22ProbabilidadeProbabilidade
EMC 5223Estatística e Metrologia para Engenharia
Prof. Armando Albertazzi G. Jr.
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Tópicos
§ Experimento, espaço amostral e evento§ Diagrama de Venn§ Contagem: permutações e combinações§ Probabilidade: conceito, axiomas e teoremas
elementares§ Regras de adição§ Probabilidade condicional§ Regra da multiplicação§ Independência§ Teorema de Bayes
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Experimento
2120 N2190 N2040 N2020 N
Repetições do mesmo experimento em condições idênticas.
Resultados variam de forma aleatória.
amostras
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Espaço Amostral
§ Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
§ Exemplos:□ {a, e, i, o, u}□ {2000 N ≤ X ≤ 2200 N}
§ Pode ser finito ou infinito§ Pode ser contínuo ou discreto (finito ou infinito
contável)§ É denotado por S
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Evento
§ Subconjunto do espaço amostral□ exemplos em relação ao espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5}
C = { 2, 3 } D = { 1, 2, 4 } E= { 1, 5 }
§ união: C È D = { 1, 2, 3, 4}§ interseção: C Ç D = { 2 }§ complemento: D’ = { 3, 5 }§ C e E são eventos mutuamente excludentes: C Ç E = Æ
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Diagramas de Venn
A
S
A
A
S
A’
A B
S
A B
A Ç B
S
A B
S
(A È B)’ = A’ Ç B’
A B
A È B
S
A B
A È B
S
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Contagem
§ Qual número de combinações de um algarismo, uma letra do nosso alfabeto e uma letra grega (nesta ordem) dos conjuntos:
1
2
3
A
B
a
b
n1 = 3 n2 = 2 n3 = 2
N = 3 * 2 * 2 = 12
• Teorema: Se os conjuntos A1, A2, ..., Ak contém respectivamente n1, n2, ..., nk elementos, logo há n1*n2* ... *nk maneiras de escolher um elemento de A1, depois outro de A2, ..., e finalmente um elemento de Ak.
1Aa1Ab1Ba1Bb
...
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Permutações
§ Exemplo: número de possíveis permutações do sorteio dos ganhadores dos 3 primeiros prêmios de uma rifa onde concorreram 6 pessoas:
n1 = 6 n2 = 5 n3 = 4 n = 6*5*4 = 120
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Permutações
§ Em geral se “r” objetos são selecionados de um conjunto de “n” objetos distintos, cada combinação ou ordem destes objetos é denominada de permutação. O número de permutações é calculado por:
§ No caso particular em que “n” = “r”
)!(!
)!()!)(1)...(2)(1(
)1)...(2)(1(
rnn
P
rnrnrnnnn
P
rnnnnP
rn
rn
rn
-=
--+---
=
+---=
!nPnn =
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Combinações
§ Número de maneiras diferentes em que “r” elementos podem ser selecionados de um conjunto de “n” elementos sem levar em conta a ordem
§ Exemplo: número de diferentes vitaminas de frutas que podem ser feitas combinado duas frutas de um conjunto de 8 diferentes variedades:
)!(!!rnr
nr
nCrn -
=÷÷ø
öççè
æ=
28256
!6.2!6.7.8
)!28(!2!8
2
8===
-=÷÷
ø
öççè
æ
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Probabilidade
§ Conceito clássico:□ “Se existem “n” possibilidades com as mesmas chances das
quais uma deve ocorrer e “f” destas são classificadas como favoráveis (ou sucesso), então a probabilidade de sucesso é dada por f/n”
§ Exemplo: A probabilidade de obter um número par ao se jogar um dado honesto:□ Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}□ Eventos favoráveis: {2, 4, 6}□ Probabilidade = f/n = 3/6 = 0,5 = 50%
n = 6
f = 3
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Probabilidade
§ Interpretação baseada na freqüência□ “A probabilidade de um evento ocorrer é a
proporção de vezes que este evento ocorreria em uma grande quantidade de experimentos repetidos”
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Algumas definições ligadas à probabilidade
§ Um espaço amostral é discreto se consistir em um conjunto finito ou infinito contável de resultados.
§ Quando um espaço amostral consistir de “n” resultados possíveis que sejam igaulmenteprováveis, a probabilidade de cada resultado é 1/n.
§ Para um espaço amostral discreto, a probabilidade de um evento E, denotada por P(E), é igual a soma das probabilidades dos resultados de E.
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Axiomas da probabilidade
§ Dado um espaço amostral finito S e seja A um evento de S
§ ax 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1
§ ax 2: P(S) = 1
§ ax 3: Se A e B são eventos mutuamente excludentes de S, então:
A Ç B = ÆP(A È B) = P(A) + P(B) A
B
S
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Teoremas Elementares
§ Se A é um evento de S, então:P(A’) = 1 - P(A)
§ Uma coleção de eventos A1, A2, ..., An é denominada mutuamente excludente se para todos os pares:
Ai Ç Aj = Æ
§ Se A1, A2, ..., An são eventos mutuamente excludentes do espaço amostral S, então
P(A1 È A2 È ... È An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)
A1
A4
A2 A3
A5
S
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Regras de Adição
§ Para dois eventos:P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)
§ Para três eventos:P(A È B È C) = P(A) + P(B) + P(C) –– P(A Ç B) – P(A Ç C) – P(B Ç C) ++ P(A Ç B Ç C)
A B
S
A B
S
C
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Soma de dois dados
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
123456
36 possibilidades
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2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
123456
P(A=6 ou A=7) = P(A=6 È A=7) = P(A=6) + P(A=7) = 5/36 + 6/36 = 11/36
P(6≤A≤8) = P(A=6)+ P(A=7) + P(A=8) = 5/36 + 6/36 + 5/36 = 16/36
P(A=6) = 5/36
P(A≠6) = 1 – P(A=6) = 1 - 5/36 = 31/36
36 possibilidades
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2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
123456 36 possibilidades
P(A=par ou A≥10) = P(A=par È A≥10) = P(A=par) + P(A≥10) – P(A=par Ç A≥10)
P(A=par) = P(A=2)+ P(A=4) + P(A=6) + P(A=8)+ P(A=10) + P(A=12)= 18/36
P(A≥10) = P(A=10)+ P(A=11) + P(A=12) = 6/36
P(A=par Ç A≥10) = P(A=10)+ P(A=12) = 4/36
P(A=par ou A≥10) = 18/36 + 6/36 – 4/36 = 20/36
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Probabilidade Simples
§ Exemplo:□ Um dado de seis faces é lançado ao acaso. Qual a
probabilidade de obter 4?
□ P = 1/6
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Probabilidade Condicional
§ Há casos onde a probabilidade deve ser reavaliada a medida que informações adicionais se tornam disponíveis.
§ Exemplo:□ Um dado de seis faces foi lançado ao acaso. □ Sabe-se que um número par foi obtido.
□ Qual a probabilidade que seja 4?□ P = 1/3
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S
Probabilidade Condicional
§ Dois eventos:□ A = lançar um dado e obter um número par = {2, 4, 6}□ B = obter o número 4 = {4}
§ Escreve-se:□ P(B | A) = probabilidade de B dado A
§ Calcula-se:□ P(B | A) = P(A Ç B) / P(A)
§ No exemplo:□ P(B | A) = (1/6) / (3/6) = 1/3
A B
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Regra da Multiplicação
§ Considere as equações da probabilidade condicional:□ P(B | A) = P(A Ç B) / P(A)□ P(A | B) = P(A Ç B) / P(B)
§ Que podem ser reescritas como:P(A Ç B) = P(A | B) . P(B) = P(B | A) . P(A)§ Que é a regra da multiplicação
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Regra da Multiplicação
§ Verificando: considere os dois eventos:□ A = lançar um dado e obter um número par
A = {2, 4, 6}□ B = obter o número 4
B = {4}
§ AplicandoP(A Ç B) = P(A | B) . P(B) = P(B | A) . P(A)P(A Ç B) = 1/1 . 1/6 = 1/3 . 1/2 = 1/6
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Independência
§ Dois eventos são independentes se o resultado de um deles não afeta a probabilidade do outro ocorrer.
§ Se A e B são dois eventos independentes, estão:P(A | B) = P(A)P(B | A) = P(B)P(A Ç B) = P(A) . P(B)
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Teorema de Bayes
§ A regra da multiplicaçãoP(A Ç B) = P(A | B) . P(B) = P(B | A) . P(A)
§ Pode ser reescrita como:P(A | B) = P(B | A) . P(A) / P(B)
§ Que é o teorema de Bayes