220 Ⅴ. 함수

2 유리함수와 무리함수

수학+환경

일반적으로 엽록체가 있는 생물은 청정한 수역에, 엽록체가 없는 생물은

오염된 수역에 많이 살고 있다. 이러한 특성을 활용하여 수질 오염의 수치

를 나타내는 방법이 생물학적 오염 지표(BIP: Biological Index of

Pollution)이다.

물 mL당 엽록체가 있는 생물의 개체 수가 이고, 엽록체가 없는 생물

의 개체 수가 일 때, BIP는

×로 나타낼 수 있다. 이때 BIP

의 수치가 크면 수질 오염이 심하다는 뜻이다.

[참고 자료: 우달식 외, “최신 수질 오염 개론”]

“유리함수란 무엇일까? 또 유리함수의 그래프는 어떻게 그릴 수 있을까?”

준|비|학|습 1 다음을 계산하시오.

(1)

(2)

2 다음 반비례 관계의 그래프를 그리시오.

(1)

(2)

2. 유리함수와 무리함수 221

01 유리함수의 그래프⦁유리함수

의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 이해한다.

유리식이란 무엇일까?

개 념 열 기 어느 연극 동아리의 회원 명 중에서 명이 남성이다.

이 연극 동아리에 여성 회원 명이 추가로 가입하였을

때, 전체 회원 수에 대한 남성 회원 수의 비율을 구하시

오.

두 다항식 (≠)에 대하여 의 꼴로 나타내어지는 식을 유리식이라고

한다.

특히 가 상수이면 는 다항식이므로 다항식도 유리식이다.

예를 들어

,

, ,

는 모두 유리식이고, 이 중에서

,

는 다항식이다.

유리식의 덧셈과 뺄셈은 유리수의 경우와 마찬가지로 분모가 서로 다를 때는

분모를 통분하여 계산한다.

유리식의 곱셈도 유리수의 경우와 마찬가지로 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼

리 곱하여 계산하고, 유리식의 나눗셈은 나누는 식의 분모와 분자를 서로 바꾸어

곱하여 계산한다.

즉, 다항식 에 대하여 유리식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈은 다음과

같이 계산한다.

①

(단, ≠) ②

(단, ≠)

③

×

(단, ≠ ④

÷

(단, ≠)

유리식 중에서 다

항식이 아닌 유리식을

분수식이라고 한다.

222 Ⅴ. 함수

(1)

(2)

×

×

문제 01 다음 식을 계산하시오.

(1)

(2)

÷

유리함수란 무엇일까?

함수 에서 가 에 대한 유리식일 때, 이 함수를 유리함수라고 한

다.

특히 가 에 대한 다항식일 때, 이 함수를 다항함수라고 한다.

다항식도 유리식이므로 다항함수도 유리함수이다.

예를 들어 함수 ,

,

,

은 모

두 유리함수이고, 이 중에서 ,

는 다항함수이다.

특별한 말이 없는 경우에 유리함수의 정의역은 분모가 이 되지 않도록 하는

실수 전체의 집합으로 생각한다.

(1) 유리함수

의 정의역은 ≠인 실수

(2) 유리함수

의 정의역은 ≠ 인 실수

문제 02 다음 유리함수의 정의역을 구하시오.

(1)

(2)

2. 유리함수와 무리함수 223

유리함수 의 그래프는 어떻게 그릴까?

다음 그림은 공학적 도구를 이용하여 유리함수

≠ 에서 의 값이

± ± ±일 때 그래프를 그린 것이다.

위의 그래프에서 알 수 있듯이 유리함수

의 그래프는 의 절댓값이 커질

수록 축에 한없이 가까워지고, 의 절댓값이 작아질수록 축에 한없이 가까워진

다.

이와 같이 곡선이 어떤 직선에 한없이 가까워질 때, 이 직선을 그 곡선의 점근

선이라고 한다.

따라서 유리함수

의 그래프의 점근선은 축과 축이다.

일반적으로 유리함수

(≠ )의 그래프는 다음을 만족시킨다.

유리함수 ≠의 그래프

① 정의역과 치역은 이 아닌 실수 전체의 집합이다.

② 이면 그래프는 제사분면, 제사분면에 있고,

이면 그래프는 제사분면, 제사분면에 있다.

③ 원점에 대하여 대칭이다.

④ 점근선은 축과 축이다.

문제 03 다음 유리함수의 그래프를 그리고, 점근선을 구하시오.

(1)

(2)

224 Ⅴ. 함수

유리함수

의 그래프는 어떻게 그릴까?

유리함수

(≠ )의 그래프를 그려 보자.

유리함수

의 그래프는 유리함수

의 그래프를 축의 방향으

로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

이때 점근선은 두 직선 , 이고, 정의역은 ≠ 인 실수, 치역은

≠ 인 실수이다.

따라서 그 그래프는 다음 그림과 같다.

예제

1유리함수

의 그래프를 그리고, 점근선을 구하시오.

유리함수

의 그래프는 유리함수

의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축

의 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽

그림과 같다.

또 점근선은 두 직선 , 이다.

풀이 참고

문제 04 다음 유리함수의 그래프를 그리고, 점근선을 구하시오.

(1)

(2)

2. 유리함수와 무리함수 225

분모와 분자가 모두 일차식인 유리함수

( ≠ ≠ )의 그래

프는

≠ 의 꼴로 변형하여 그린다.

예제

2유리함수

의 그래프를 그리고, 점근선을 구하시오.

위의 유리함수를 변형하면

따라서 유리함수

의 그래프는 유리함수

의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의

방향으로 만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림

과 같다.

또 점근선은 두 직선 , 이다.

풀이 참고

문제 05 다음 유리함수의 그래프를 그리고, 점근선을 구하시오.

(1)

(2)

전기 저항을 나타

내는 단위는 Ω(옴)이

다.

두 저항 를 병렬로 연결했을 때 합성

저항을 라고 하면

이 성립한

다. Ω , Ω , Ω이라고

할 때, 를 구하고, 함수 의 그래

프를 그리시오. (단, )

함수

에

서 , ≠이면 일

차함수, ,

≠이면 상수함수가

된다.

226 Ⅴ. 함수

02 무리함수의 그래프⦁무리함수 의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 이해한다.

무리식이란 무엇일까?

개 념 열 기 체감 온도(°C)는 다음과 같이 기온(°C), 풍속 (m/s), 지표면이 받

는 복사량 (cal/×min)에 대한 식으로 나타낼 수 있다.

체감온도 기온 풍속 × 지표면이받는복사량

기온이 0 °C, 풍속이 m/s, 지표면이 받는 복사량이

cal/×min일 때, 체감 온도를 에 대한 식으로 나타내시오.

[참고 자료: 기상청, http://web.kma.go.kr]

식을 정리하였을 때, 근호 안에 문자가 포함된 식 중에서 유리식으로 나타낼 수

없는 식을 무리식이라고 한다.

예를 들어 ,

, ,

은 무리식이다.

무리식의 값이 실수이려면 근호 안의 식의 값이 이상이어야 하므로 무리식을

계산할 때는

(근호 안의 식의 값)≥ , (분모의 값)≠

인 문자의 값의 범위에서만 생각한다.

(1) 무리식 의 값이 실수이려면 ≥ 이어야 하므로 ≥

(2) 무리식

의 값이 실수이려면 이어야 하므로

문제 01 다음 무리식의 값이 실수이기 위한 의 값의 범위를 구하시오.

(1) (2)

2. 유리함수와 무리함수 227

무리식의 계산은 무리수의 계산과 마찬가지로 제곱근의 성질을 이용한다.

특히 분모가 무리식인 경우에는 분모를 유리화하여 계산한다.

(1)

(2)

문제 02 다음 식을 계산하시오.

(1)

(2)

무리함수란 무엇일까?

함수 에서 가 에 대한 무리식일 때, 이 함수를 무리함수라고 한다.

예를 들어 함수 , 은 모두 무리함수이다.

특별한 말이 없는 경우에 무리함수의 정의역은 근호 안의 식의 값이 이상이

되도록 하는 실수 전체의 집합으로 생각한다.

(1) 무리함수 의 정의역은 ≤

(2) 무리함수 의 정의역은 ≥

문제 03 다음 무리함수의 정의역을 구하시오.

(1) (2)

228 Ⅴ. 함수

무리함수 의 그래프는 어떻게 그릴까?

무리함수 의 그래프를 그 역함수의 그래프를 이용하여 그려 보자.

무리함수 는 정의역 ≥ 에서 공역 ≥ 으로의 일대일대응이

므로 역함수가 존재한다.

무리함수 의 역함수를 구하기 위하여 를 에 대하여 풀면

≥

이고, 와 를 서로 바꾸면

≥

이다.

어떤 함수의 그래프와 그 역함수의 그래프는 직선

에 대하여 대칭이므로 무리함수 의 그래

프는 그 역함수 ≥ 의 그래프를 직선

에 대하여 대칭이동한 것이다.

따라서 무리함수 의 그래프는 오른쪽 그림

과 같다.

한편 무리함수 의 그래프는 무리함수

의 그래프와 축에 대하여 대칭이므로 오른쪽

그림과 같다.

문제 04 다음 두 학생의 대화를 완성하고, 두 무리함수 , 의 그

래프를 그리시오.

의 그래프

와 의 그래

프는 축에 대하여 대

칭이다.

2. 유리함수와 무리함수 229

무리함수 ≠ 의 그래프를 그려 보자.

무리함수 의 그래프는 그 역함수

≥ 의 그래프와 직선

에 대하여 대칭이다.

오른쪽 그림은 공학적 도구를 이용하여 무

리함수 에서 의 값이 ± , ± ,

±일 때 그래프를 그린 것이다.

이 그림에서 알 수 있듯이 의 절댓값이

커질수록 그래프는 축에서 멀어진다.

일반적으로 무리함수 ≠ 의 그래프는 다음을 만족시킨다.

무리함수 ≠의 그래프

① 일 때, 정의역은 ≥ , 치역은 ≥ 이고,

일 때, 정의역은 ≤ , 치역은 ≥ 이다.

② 함수 ≥ 의 그래프와 직선 에 대하여 대칭이다.

③ 의 절댓값이 커질수록 그래프는 축에서 멀어진다.

또 무리함수 의 그래프는 무리함수 의 그래프를 축에 대

하여 대칭이동한 것이다.

따라서 무리함수 의 그래프는 다음 그림과 같다.

문제 05 다음 무리함수의 그래프를 그리고, 정의역과 치역을 구하시오.

(1) (2)

(3) (4)

230 Ⅴ. 함수

무리함수 의 그래프는 어떻게 그릴까?

무리함수 ≠ 의 그래프를 그려 보자.

무리함수 의 그래프는 무리함수 의 그래프를 축의

방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로 다음 그림과 같다.

위의 무리함수 의 그래프에서

일 때, 정의역은 ≥ , 치역은 ≥

일 때, 정의역은 ≤ , 치역은 ≥

임을 알 수 있다.

예제

1무리함수 의 그래프를 그리고, 정의역과 치역을 구하시오.

무리함수 의 그래프는 무리함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.따라서 그 그래프는 오른쪽 그림과 같다.또 정의역은 ≥ , 치역은 ≥ 이다.

풀이 참고

문제 06 다음 무리함수의 그래프를 그리고, 정의역과 치역을 구하시오.

(1) (2)

2. 유리함수와 무리함수 231

무리함수 ≠ 의 그래프는 의 꼴로 변형

하여 그린다.

예제

2무리함수 의 그래프를 그리고, 정의역과 치역을 구하시오.

위의 무리함수를 변형하면

따라서 무리함수 의 그래프는 무

리함수 의 그래프를 축의 방향으로 만

큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로

오른쪽 그림과 같다.

또 정의역은 ≥ , 치역은 ≥ 이다.

풀이 참고

문제 07 다음 무리함수의 그래프를 그리고, 정의역과 치역을 구하시오.

(1) (2)

정보 처리

수학 역량 기르기공학적 도구를 이용하여 무리함수의 그

래프를 그려 보자. 예를 들어 무리함수

의 그래프를 그리려면 오

른쪽 그림과 같은 공학적 도구의 입력

창에 ‘ sqrt ’를 입력한 후,

자판의 를 누른다. 무리함수

에서 상수 의 값을 스스로 정하고, 그 그래프를

그려 보자. (단, sqrt는 square root(제곱근)의 줄임말이다.)

공학적 도구를 이용할 때는

공학적 도구를 이

용하여 수학적 개념

과 원리를 이해할 수

있도록 한다.

232 Ⅴ. 함수

개념 정리 O, X 문제

• 유리함수

≠의 그래프

• 무리함수 ≠의 그래프

다음 문장이 참이면 표, 거짓이면

×표를 하시오.

1 은 유리식이다.

2 유리함수의 정의역은 분모가 이 되지 않도록 하는 실수 전체의 집합이다.

3 무리함수 의 정의역은 ≥ 이다.

1 다음 식을 계산하시오.

(1)

(2)

×

3 다음 식을 계산하시오.

(1)

(2)

2 유리함수

의

그래프를 그리고,

점근선을 구하시오.

4 무리함수

의

그래프를 그리고, 정

의역과 치역을 구하

시오.

2. 유리함수와 무리함수 233

Ⅴ-2. 유리함수와 무리함수

정답과 해설 304쪽

5 다음 중 함수의 그래프를 평행이동하였

을 때 유리함수

의 그래프와 겹쳐

지는 함수를 말한 학생을 모두 고르시오.

8 무리함수

의

그래프가 오른쪽 그

림과 같을 때, 상수

의 값을 구하시

오.

9 무리함수 의 역함수를

라고 하자. , 일 때, 상수

의 값을 구하시오.

6유리함수

의 그래프가 오른쪽

그림과 같을 때, 상

수 의 값을 구

하시오.

10두 유리함수

,

의

그래프의 점근선으로 둘러싸인 부분의

넓이가 일 때, 양수 의 값을 구하시

오.

7유리함수

의 그래프는 점

을 지나고, 직선 는 이 그래

프의 점근선 중 하나이다. ≤ ≤ 에서

이 함수의 최솟값과 최댓값을 구하시오.

(단, 는 상수)

11 정의역이 ≤ ≤ 인 두 함수

, 의 그래프가

한 점에서 만날 때, 상수 의 최댓값을

구하시오.

234 Ⅴ. 함수

문제

해결

활동 목표 유리함수의 성질과 그래프를 이해할 수 있다.

다음 유리함수와 단계를 연결하는 각 세로선 사이에 가로선을 그어 유리함수

와 그 그래프가 알맞게 연결되도록 사다리를 만들어 보자.

자기 평가유리함수의 개념, 성질을 이용하여 과제를 해결하였는가?사다리를 알맞게 완성하였는가?과제 해결 방법을 점검하는 과정이 있었는가?

2. 유리함수와 무리함수 235

의학! 수학과

통하다통 체표 넓이에 따른 소아의 약용량

소아는 성인에 비해 약물에 대한 반응이 민감하고, 부작용이 쉽게 나타날

수 있기 때문에 약용량에 대한 세심한 주의가 필요하다.

과거에는 소아의 약용량을 단순히 나이와 몸무게에 따라 정하였지만, 인체

의 생리 현상이 몸무게보다는 체표 면적에 비례한다는 것이 알려진 이후에는

체표 넓이에 따라 정한다고 한다.

체표 넓이를 어떻게 활용할까?체표 넓이란 체표면의 총넓이로 다음과 같이 계산된다.

(체표 넓이)=

키 × 몸무게

(단, 체표 넓이의 단위는 m, 키의 단위는 cm , 몸무게의 단위는 kg이다.)

예를 들어 키가 cm이고, 몸무게가 kg인 소아의 체표 넓이는

×

즉, m이고, 이때 소아의 약용량은 다음과 같이 계산된다.

소아의 약용량 성인의 체표 넓이

소아의 체표 넓이 × 성인의 약용량

×성인의 약용량 ×성인의 약용량

따라서 소아의 약용량은 성인의 약용량의 %이다.

체표 넓이는 약용량을 정하는 데 활용될 뿐만 아니라 신체의 에너지 대사율

을 측정할 때도 활용된다.

[참고 자료: 식품의약품안전처, “소아에 대한 의약품 적정 사용 정보집”]

236 Ⅴ. 함수

1 두 집합 가 ,

일 때, 다음 중

에서 로의 함수가 아닌 것은?

① ②

③ ④

⑤

4 두 함수 , 에서

∘ ∘ ∘을 구하시오.

2 다음 함수의 그래프 중 일대일대응인

것은?

5 다음 그림은 직선 와 ≥ 에서

정의된 두 함수 , 의 그

래프를 나타낸 것이다. 두 함수 의

역함수가 존재할 때, 를 구하

시오. (단, 모든 점선은 축 또는 축에

평행하다.)

3 세 함수 가

, ∘

∘ ∘

를 만족시킬 때, 상수 의 값을 구하

시오.

6 다음 식을 계산하시오.

(1)

(2)

Ⅴ. 함수 237

Ⅴ. 함수

정답과 해설 305쪽

7 유리함수

의 그래프를 축의 방

향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼

평행이동한 그래프가 점 를 지날

때, 의 값을 구하시오.

[11~16] 다음 문제의 풀이 과정을 자세히 쓰시오.

11 정의역과 공역이 모두 자연수 전체의

집합인 세 함수 에 대하여 는

항등함수, 는 상수함수,

이다. 일

때, 의 값을 구하시오.

8 두 유리함수

,

의

그래프가 직선 에 대하여 대칭일

때, 상수 의 값을 구하시오.

9 무리함수 에 대한 다

음 설명 중 옳지 않은 것은?

① 정의역은 ≤

이다.② 치역은 ≤ 이다.

③ 그래프는 제사분면을 지난다.

④ 그래프는 무리함수

의 그래프와 축에 대

하여 대칭이다.

⑤ 역함수는

≤

이다.

12 두 함수 , 가

∘ ∘를 만족시킬 때, 을

구하시오. (단, 는 상수)

10 정의역이 ≤ ≤ 인 무리함수

의 최솟값이 , 최댓

값이 일 때, 상수 의 값을 구하시

오.

13 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수

, ≥

에서 ∘ 의 값을 구하시

오.

238 Ⅴ. 함수

14 정의역이 ≤ ≤ 인 유리함수

의 최댓값이 일 때, 상수

의 값을 구하시오.

16 유리함수

의 그래프가 오른쪽

그림과 같을 때, 다음

물음에 답하시오.

(단, 는 상수)

(1) 의 부호를 정하시오.

(2) 무리함수 의 그래프

가 지나는 사분면을 구하시오.

15 무리함수 과 일차함수

≥ 에 대한 합성함수

∘ 의 역함수를 구하시오.

1 이 단원에서 학습한 내용에 대한 나의 성취 수준을 아래 그림에 점으로 표시하고, 이웃한 점

을 선으로 연결해 보자. | 성취수준 |

1수준: 개념을 이해하기 어려웠다.

2수준: 개념을 일부 이해하였다.

3수준: 문제를 일부 해결하였다.

4수준: 문제를 대부분 해결하였다.

5수준: 문제를 모두 해결하였다.

2 이 단원에서 세운 학습 계획을 잘 실천하였는지 평가해 보고, 아쉬웠던 점이나 더 알고 싶은

점을 적어 보자.

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274 수학 익힘책

Ⅴ. 함수

1 다음 중 함수의 그래프인 것을 모두 고르

면? |2점|

4 다음 그림과 같은 함수 →에서

∘ ∘ ⋯

∘(은 자연수)

으로 정의할 때, 의 값을 구

하시오. |4점|

2 정의역이 일 때, 다음 보기 중

함수 와 서로 같은 함수를 모두 고

르시오. |2점|

ㄱ. ㄴ.

ㄷ. ㄹ.

5 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수

≥

,

에서 ∘∘ 를 구하시오. |3점|

3 두 집합 , 에

서 함수 는 에서 로의 일대일대응이

고, , 일 때,

의 값을 구하시오. |3점|

6 함수 ≥ 에서 함수

의 그래프와 그 역함수

의 그래프의 교점을 P라고 할 때, 선분

OP의 길이를 구하시오. (단, O는 원점)

|3점|

Ⅴ. 함수 275

정답과 해설 312쪽

7유리함수

의 그래프가 두 직선

, 에 대하여 대칭일 때,

상수 의 값을 구하시오. |3점|

10 일 때,

의 값을

구하시오. |2점|

8 다음 보기 중 유리함수

의 그래

프에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르

시오. |3점|

ㄱ. 점 을 지난다.

ㄴ. 점근선은 두 직선 이다.

ㄷ. 그래프는 제사분면을 지나지 않는다.

ㄹ. 평행이동하였을 때, 유리함수

의 그래프와 겹쳐진다.

11 다음 보기의 함수 중 그 그래프를 평행이

동 또는 대칭이동하였을 때, 함수

의 그래프와 겹쳐지는 함수를 모

두 고르시오. |3점|

ㄱ. ㄴ.

ㄷ. ㄹ.

9 다음 그림과 같이 유리함수

의 그래

프 위의 점 A에서 축, 축에 각각 평행

한 직선을 그어 유리함수

의

그래프와 만나는 점을 각각 B C라고 하

자. 삼각형 ABC의 넓이가 일 때, 상수

의 값을 구하시오. (단, 점 A는 제사분면

위에 있다.) |4점|

12 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

≤

가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

치역은 이다.

임의의 두 실수 에 대하여

이면 이다.

일 때, 상수 의 값을 구하시

오. (단, 는 상수) |4점|