2. Newtonsche Mechanik 2.1. Kinematik Kinematik:Beschreibung von Bewegungsabläufen Dynamik:Lehre...
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2. Newtonsche Mechanik
2.1. Kinematik
Kinematik: Beschreibung von Bewegungsabläufen
Dynamik: Lehre der Ursachen von Bewegungen (Kräfte, Massen)
x
y
z
O
Bezugssystem(zeitlich fest oder variabel)
Bahnkurve
bewegter (Massen-)Punkt
Ortsvektor tr
kartesische Koordinaten
tztytx
tr
Beispiele:
a) Geradlinige, gleichförmige Bewegung in der (x,y)-Ebene
x
y
O
tax tby
0z a
b
x
yαtan
oder äquivalent
0zαsintvyαcostvx
22 bav Geschwindigkeit
t
tr
b) Gleichförmige Kreisbewegung in der (x,y)-Ebene
x
y
O 0tz
ωtsinrtsinrtyωtcosrtcosrtx
tωttt
Winkelgeschwindigkeit
r
r rtr
cosr
sinr
2.1.1. Geschwindigkeit
O
tr
Δttr rΔ
trΔttrrΔ
Def.: Momentangeschwindigkeit
rtd
rd
Δt
rΔlimtv
0Δt
1smv
Def.: Mittlere Geschwindigkeit:
τdτvΔt
1Δtt,v
tΔt
t
Es gilt:
Δt
rΔΔtt,v
Beweis: Tafel
tv
Tangente
v
v v
2.1.2. Addition von Geschwindigkeiten
Komponentenzerlegung:
zzyyxx
z
y
x
evevevvvv
v
x
y
O
v
xxev
yyev
v
v
Addition komponentenweise:
x
y
Oxxevyyev
v
xx ev
yy ev
2.1.3. Beschleunigung
O
tr
Δttr
rΔ tvΔttvvΔ
Def.: Momentanbeschleunigung
vtd
vd
Δt
vΔlimta
0Δt
2sma
Def.: Mittlere Beschleunigung:
Δt
vΔτdτa
Δt
1Δtt,a
tΔt
t
tv
Δttv
Addition wie bei Geschwindigkeit (wie bei allen Vektoren)
2.1.4. Einfache Bewegungsabläufe
a) Freier Fall:
Massenanziehung Erdbeschleunigung g
.constgdt
dvz sm81,9g 2
Erdoberfläche
zega
zh
0
Tafelrechnung tgtvz 221 tghtz
Fallzeit T: 221 Tgh0Tz
Methode zur Messung von g2Th2g
b) Schiefe Ebene: a
g
Tangetialbeschleunigung:
.constαsinga Lösung wie im freien Fall
Laufzeit:αsin
1αsing
s2t
sinααsintgts 221 Gerutschte Strecke s(t):
c) Wurfparabel:
, 0
αsinvαcosv
v 0
0
0
x
y 0v
O L
H
g
0g
0a
komponentenweise konstante Beschleunigung wie freier Fall
y2
21
0 etgtvtr
• x(t) v0x t unabhängig von v0y
• x(t) t , y(t) t2 y(x) ist Parabel
Tafelrechnung α2sinL gv2
0 αsinH 2g2
v20
WurfhöheWurfweite
H max bei 90
2.2. Dynamik von Massenpunkten
2.2.1. Trägheit
Trägheitsprinzip (Galilei): Ohne äußere Einflussnahme bleibt die Geschwindigkeit eines Körpers konstant.
1. Newtonsches Axiom: Wirken keine äußeren Kräfte, bleibt die Geschwindigkeit eines Körpers konstant.
Voraussetzung: Koordinatensystem bewegt sich unbeschleunigt Inertialsystem
unbeschleunigt gegen was?
Ruhesystem des Weltalls der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung
2.2.2. Kräfte und Massen
2. Newtonsches Axiom (Aktionsprinzip): Wirkt auf einen Massenpunkt der (trägen) Masse m eine Kraft , so erfährt er eine Beschleunigung mit
Bewegungsgleichung:
F
a
amF
Definition der Massen-Einheit: [m] 1 kg (Kilogramm)
1 kg ist definiert durch Normal (hier: Platin-Iridium-Zylinder, gelagert in Paris)
Definition der Kraft-Einheit: [F] 1 kg m s2 1 N (Newton) 1 N ist die Kraft, die das Massen-Normal mit 1 m s2 beschleunigt
(Eine) Messvorschrift für Kräfte und Massen:
m
DD
x x0
entspannt belastet
mgF
x0
x
FederwaageKleine Auslenkung
0xxDF Hookesches Gesetz
D Federkonstante
Eichmessung mit Massen-Normal:
0kg1
kg1
xx
gm
0kg1kg1
D
xxDgmF
0xxDF 0gD xxm
Kraftmessung Massenmessung
Bemerkungen:
a) Dichte:
Ausgedehnte homogene Körper: Volumen V Masse m
3mkg1ρ,V
mρ Definition: Dichte:
Beispiel: (H2O, 4C, 1 bar) 1000 kg m3 1 kg ℓ
1 ℓ 1 Liter 1 dm3
b) Schwere Masse: Quelle des Gravitationsfeldes
z.B. freier Fall
gmF TT
Trägheitskraft Träge Masse
SR
MNG mGF 2
E
E
Gravitationskraft Schwere Masseconst.
Schwere Masse der Erde
Erdradius
Experiment ist unabhängig von mT (auf 1010)T
S2E
EN
T
G
m
m
Rg
MG
F
F
Folgerung: mS mT Festlegung: mmm TS
Gravitationskonstante 21311
E
2E
T
GN skgm106,67
M
Rg
F
FG
→ Äquivalenzprinzip (allgemeine Relativitätstheorie): Trägheitskräfte und Gravitationskräfte sind in der Umgebung einer Testmasse prinzipiell ununterscheidbar
c) Impuls: vmp
smkgp 1
2. Newtonsches Axiom (allgemein für m const.):
ptd
vmamF
(relevant bei Systemen von Massenpunkten)
d) Addition von Kräften:
Kraft ist Vektor übliche Vektoraddition
3. Newtonsches Axiom (Reaktionsprinzip): Unterliegen zwei Massenpunkte keinen äußeren Kräften, so wird jede Kraftwirkung des einen Punktes auf den anderen durch eine gleichgroße Gegenkraft kompensiert.
1F
2F
Actio Reactio
0FF 21
2.2.3. Kraftfelder
Kraftfeld: t,r,rF Zeitabhängige Kraft, die auf einen Massenpunkt mit einer bestimmten Geschwindigkeit irgendwo im Raum wirkt
Statisches Kraftfeld: Häufig: r,rF rF
Beispiele:
a) Zentralkraftfeld
Kraftfeld
eGG rrM
N 2
Gravitationsfeld
GmF
mProbemasse
M
Quell-Masse z.B. Erde
G
r
Kraft Feldlinien-Dichte
Analog: Elektrisches Feld
eE rr
Qπε41
20
EqF
Q: Quellladung
q: Probeladung
const.E
Plattenkondensator
b) Homogenes Kraftfeld
.constEqF
c) Wirbelfeld ElektrischerStrom I
BMagnetisches
Wirbelfeld
Draht
q
vMagnetisches Feld
erB rI
2πμ0
Kraftfeld
rBvqv,rF
d) Komplizierterer Fall:
Magnetisches Wechselfeld t,rB
t,rEt,rBrqt,r,rF
Kraftfeld für Testladung q mit Geschwindigkeit am Ort r
r
Fundamentale Kraftfelder:
• Gravitation
• Elektromagnetisch
• Stark (Kernkraft)
• Schwach (Radioaktivität)
2.2.4. Arbeit und Energie
A
B
0 tr
rF
Kraftfeld
Def.: Bei Verschiebung verrichtete Arbeit
Vom Kraftfeld verrichtete Arbeit:
rdFdW
rdFdW
(Joule) J1smkg1mN1W 22
Def.: Bei Verschiebung aufgebrachte Leistung
vFtd
dWP
(Watt)1W sJ1P 1
A
B
0 tr
rF
KraftfeldArbeit Bewegung
z.B. freie Bewegung im Kraftfeld:
B
A
221
B
A
vmrdrFΔW
(Beweis: → Tafelrechnung)
Definition der kinetische Energie T eines Massepunktes
mvT 221 J1T
(manchmal alternative Benennung T Ekin)
A
B
0 tr
rF
KraftfeldDef.: Kraftfeld konservativ es gibt Stammfunktion V:
V heißt Potential des Feldes
VVgradF
Es gilt (vgl. Theorie-VL):
Potential V WA→B ist wegunabhängig 0rdF
Potential V 0FFrot
( “” gilt nur für hinreichend glatte Felder in einfach zusammenhängenden Gebieten)
Def.: Potentielle Energie eines Massenpunktes (bzgl. ) im konservativen Kraftfeld:
0r
rdrFrVr
r0
skalares Feld
VF
Def.: Äquipotentialflächen Flächen mit V const.
0rδ VrδVδr
VV
für
rδ
Folgerung: in Äquipotentialfläche V const. V 0 rVF
• Feldlinien stehen senkrecht auf Äquipotentialflächen• Bewegung in Äquipotentialflächen W 0• Verschiedene Äquipotentialflächen sind diskunkt
Beispiele:
Wirbelfeld hat kein Potential
Radialfeld
•
Dipolfeld
• •
Beweis: 2 Äquipotentialflächen (V1V2) berühren sich nicht !
rF Äquipotentialfläche 2
V2 = V1 Δs·F
Äquipotentialfläche 1
Potential V1
Δs·F
•
•
Beispiele für potentielle Energie:
a) Heben von Lasten: Tafelrechnung
m
Heben
zemgF
z
0
h hgmhV
b) Potentielle Energie der Feder:
DD
x
entspannt belastet
F
0
x
xe
0xxDF Hookesches Gesetz
D Federkonstante
Tafelrechnung
221 xDxV
Experiment:
m
Dgestaucht Dentspannt
m Maximalhöhe ( Umkehrpunkt
)
xh
mghDxV 221
22 xx2mg
Dh
Umwandlung der potentiellen Energie der Feder in die einer Masse im Schwerefeld
2.2.5. Erhaltungsgrößen
a) Impulserhaltungssatz
PF
QF
P Q
mP mQ 0FF QP
3. Axiom
2. Axiom
.constpp
0pp
QP
QP
Verallgemeinerung: Wirken in einem System von Massenpunkten keine äußeren Kräfte (abgeschlossenes System), gilt
Impulserhaltung: .constppi
i
Bemerkung: Es ist irrelevant, ob die inneren Kräfte konservativsind oder nicht!
M
rm
m
rmr i
ii
ii
iii
S
Definition: Schwerpunkt
Gesamtmasse
Schwerpunktsatz: Für ein abgeschlossenes System ist der Schwerpunktimpuls konstant.
Folgerung: i i
iiiSS .constprmprM
Schwerpunktimpuls
Demo-Versuch: Luftkissenbahn
m m
Magnetische Abstoßung (äquiv. gestauchte Feder)
Faden
vv
der Schwerpunkt bleibt in Ruhe!
v2
Gedankenexperiment zum Schwerpunktsatz:
......
Sand (masselos)
m 0 m 0
v1
m 0
Munition, M 1 Kugel: dM
Wie weit kann man mit diesem Rückstoßantrieb fahren?
MSand + Munition
Massenschwerpunkt (zeitlich konstant)
b) Energieerhaltungssatz
Voraussetzung: konservatives Kraftfeld rVrF
Tafelrechnung für Massenpunkt .constVTE
Energiesatz der Mechanik: Bewegt sich ein Massenpunkt in einem konservativen Kraftfeld, ist die Energie (d.h. die Summe aus kinetischer und potentieller Energie) zeitlich konstant.
Verallgemeinerung: System von Massenpunkten →
.constVTEE i
iii
i Verallgemeinerung: Nicht-konservative (dissipative) Kräfte (z.B. Reibung) führen zur Wärmebewegung (Energie Q) der Umgebung
.constQVT
Demo-Versuch: Looping
mg
z
h
R
m
v
Idealisierende Anahmen:
• Keine Reibung (dissipative Kraft)
• Kugel rutscht (kein Rollen, keine Rollenergie)
x
y
R
m tv
tr
t
tsintcosRtr
Winkelgeschwindigkeit:
tsintcosRtr
v
r
||a
a
Zentripetal-beschleunigung
ttω
Tafelrechnung
sincosta
cossinta
tatata
trcossintvtv
||
||
mit
R
v2||
2
ωRtatωRta
tωRtv
Bedingung für Looping-Bewegung (oberster Punkt der Bahn):
mg
z
h
R
m
v
Rv2
mmgSchwerkraft
Zentripetal-
kraft
Tafelrechnung
Rh 25
m1
1v
m2
2v
1v
2v
Wechsel-wirkungs-
gebiet
1v
1v
θ1
2v
2v
θ2
Streuwinkel
• Konservative Kräfte: Elastischer Stoß Σ Ekin = const
• Dissipative Kräfte: Unelastischer Stoß Σ Ekin nimmt ab
• Innere Anregung: Superelastischer Stoß Σ Ekin kann zunehmen
• Konservative Kräfte: Elastischer Stoß Σ Ekin = const
• Dissipative Kräfte: Unelastischer Stoß Σ Ekin nimmt ab
• Innere Anregung: Superelastischer Stoß Σ Ekin kann zunehmenBilliard: Direkter Stoß des Laien ziemlich elastisch
Profistoß mit Drall superelastisch
2.2.5. Stoßgesetze
θθ
Beispiel: Elastische Streuung von Elementarteilchen
e+ e100 GeV
100 GeV
e+
e
Detektor
100 GeV 100 GigaVolt Beschleunigungsspannung
Experimentelle Charakterisierung der Kraft beim Stoß:
2θ4sin
θd
Nd
sinθ
1
2π
1
cosθd
Nd
2π
1
Ωd
Nd
eeeeBeispiel:
e
e
e+ e100 GeV
100 GeV
Detektore+
eγ
Lichtquant (Photon) Gammastrahlung
Typischer Detektor für Elektronen und Photonen: „Kalorimeter“ aus speziellen Kristallen
Teilchenenergie sichtbares Licht Photosensor
Typischer Detektor für Elektronen und Photonen: „Kalorimeter“ aus speziellen Kristallen
Teilchenenergie sichtbares Licht Photosensor
Beispiel: Unelastische Streuung von Elementarteilchen
γeeee Beispiel:
e
e
m1
1v
m2
2v
1v
2v
Impulserhaltung:
vmvmvmvm 22112211
(Stets gültig! Egal ob elastisch oder nicht)
Beispiel: total unelastischer Stoß
m1 m2
0v2
1vv
vmm
mvvmmvm
21
1211
21 vvv
m1 m2
Verformungsenergie Q ↗
m2
L
Beispiel: Ballistisches Pendel
m1 v v'
Messe d dL
g
m
mmv
1
21
Tafelrechnung
Schwerpunktsbewegung:
L L
Umkehr-punkt
dh
dL
Aufheizung, Wärmeenergie Q
2
21
21 vmm
mm
2
1Q
1v
1v
θ1
2v
2v
θ2
Streuwinkel
Elastischer Stoß: Q 0
...und zusätzlich Energieerhaltung
vmvmvmvm 2222
12112
12222
12112
1
6 UnbekannteImpulserhaltung 3 GleichungenEnergieerhaltung 1 Gleichung
21 v,v 2-dimensionale Lösungsschar
z.B. Parameter: 1 , 2
vmvmvmvm 22112211
Impulserhaltung...
Spezialfall: Elastischer Stoß im Schwerpunktsystem
(S)
1v
(S)2v
(S)1v(S)
2v
Streuebene
0p S
Impulserhaltung im Schwerpunktsystem:
0pvmvmvmvm S)S(
22)S(
11)S(
22)S(
11
vmvm
vmvm )S(
22)S(
11
)S(22
)S(11
Energieerhaltung
vv,vv )S(
2)S(
2)S(
1)S(
1
Impulsübertrag:
211111 sinvm2vvmΔp
Spezialfall: Elastischer Stoß im Targetsystem
Streuebene
0v 2
Schwerpunktgeschwindigkeit:
121
1S v
mm
mv
oft ruhend im Labor Laborsystem
(S)1v
(S)2v
m1 m2
(S)2S vv (S)
1v
1v
2v
1v
1
21
1S
S2
121
2S1
S1
vmm
mv0v
vmm
mvvv
min1v
Folgerung:21
21
mmmm
1min1 vv
0vmin1
falls m1 m2
Anwendung: Neutronen-Abbremsung durch Moderator in Kernkraftwerken
(S)2
(S)1 vv
(S)2v
Streuebene
50 % 50 %(S)2S vv S
(S)1 vv
1v
2v
1v
entartete Streukreise
vv 21 vv 21
Spezialfall: Targetsystem, m1 m2
1v
1v
Streuebene
100 %
0vv (S)2S
1(S)1 vv
0vv 22 v2msinv2mΔp
0ΔT0vv
vv
11211
22
11
v2msinv2mΔp 0ΔT
0vv
vv
11211
22
11
Streuung in alle Richtungen
Spezialfall: Targetsystem, m2
1v
Streuebene
100 %
1(S)2S vvv
0v(S)
1
vmΔp vmΔT
v2v0
vv
22
2222
1
12
11
vmΔp vmΔT
v2v0
vv
22
2222
1
12
11
Vorwärtsstreuung
(S)2v
0v (S)1
11 vv
2v
Spezialfall: Targetsystem, m1
vvvv 11
v
||v
v
Elastischer Stoß gegen eine ruhende ebene Wand:
keine Kräfte parallel zur Wand
||v 1v
1v
vv ||||
2m
0vv 22
Folgerung: Reflexionsgesetz
Einfallswinkel Ausfallswinkel
0ΔTv2mαcosv2mΔp 1111
2.2.6. Bewegung mit Reibung
Reibungsarten: Haft-, Gleit-, Rollreibung
Mikroskopische Theorie: Oberflächen-Beschaffenheit (sehr kompliziert)
Kleine Körper in Flüssigkeiten und Gasen: Stokes-Reibung
vαFR
Stokes-Reibung: (empirischer Befund)
Reibungskoeffizient: 1msNα
a) Freie Bewegungm v0
x
α
Geschoss
x0 Eindringtiefe
Δx
t
xx0 + Δx
x0
vαFvm R texpvtv m
α0
τdτvxtxt
0
0
texp1vx mα
αm
00
Eindringtiefe:
αm
0
0
vxtxΔx
b) Freier Fall
m
z
v
vα
zemg
Bewegungsgleichung:
vαmgvm
Lösung:
texpvtexp1tv mα
0mα
αmg
Beweis: Prüfe für dieses v(t)1. v(0) v0 (Anfangsbedingung)
2. v(t) erfüllt die Bewegungsgleichung
Asymptotisches Verhalten:
.consttv αmg