Beretta Mod. 935 Cal. 7,65 - Mod. 934 Cal. 9 Corto - Mod. 948 Cal. 22 l.r.
2 Mod Ind Corto Plazo
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MODELOS INDIVIDUALES DE RIESGO
PARA EL CORTO PLAZO
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MODELOS INDIVIDUALES DE RIESGO A CORTO PLAZO
Introduccin
Modelos para reclamaciones individuales Variable Aleatorias
Suma de Variables Aleatoria Independientes
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Introduccin
Recapitulacin
El Tomador de decisiones o empresa podra estar buscando proteccin
contra prdidas de propiedad, ahorro o ingreso
Tambin podra ser una Aseguradora buscando proteccin contra
prdidas de fondos debido a demasiadas reclamaciones
Esta proteccin se llama Reaseguro
Se examinar uno de los dos modelos comnmente utilizados en la
valuacin de seguros, reservas y Aplicaciones de Reaseguros
En una compaa de seguros se define a S la prdida aleatoria sobre un
segmento de riesgo. S es la variable aleatoria para la cual se busca una
distribucin de probabilidad
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Introduccin
El modelo de riesgo individual se define como:
S = X1 + X2 + X3 ++ Xn (2.1.1)
En donde X es la prdida sobre la unidad i asegurada y n es el nmero de
unidades de riesgo aseguradas
Comnmente las Xi son definidas como v.a.'s independientes porque las
matemticas son ms fciles y no son necesarios datos histricos sobre
las relaciones de dependencia.
Este modelo ser aplicado a slo modelos cerrados, es decir, el nmero
de unidades aseguradas n es conocido y establecido al principio del
periodo.
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Modelos para Variables Aleatorias de
Reclamacin Individual
Como primer punto, hay que a revisar los conceptos bsicos de un
producto de seguro de vida.
Y la funcin de Distribucin Acumulada FX(x) es:
En un seguro de vida a 1 ao el asegurador se compromete a pagar una
cantidad b si el asegurado muere dentro de un ao de la pliza emitida y
no pagar nada si el asegurado sobrevive al ao.
La probabilidad de que ocurra una reclamacin durante el ao se denota
por q. Esta variable aleatoria, X, tiene una funcin de probabilidad fX(x)
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De la anterior funcin de probabilidad y de la definicin de momentos:
Y su varianza
Estas formulas tambin pueden ser obtenidas con las siguiente frmula:
Donde b es la constante cantidad a pagar en caso de fallecimiento e I es
la variable aleatoria que es 1 para el acontecimiento de la muerte y 0 en
caso contrario.
Modelos para Variables Aleatorias de
Reclamacin Individual
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Modelos para Variables Aleatorias de
Reclamacin Individual
Donde Pr(I=0)=1q y Pr(I=1)= q, la media y varianza de I es q y q*(1 q ) respectivamente, y la media y varianza de X es b*q y b2 * q* ( 1 q ).
La variable aleatoria I con su rango {0,1} es ampliamente aplicable en
modelos actuariales. En los libros de probabilidad es llamado como
indicador, variable aleatoria de Bernoulli, o una variable aleatoria
binomial para un nico ensayo.
Ahora busquemos modelos ms generales en las que el importe de la
reclamacin es tambin una variable aleatoria y varias reclamaciones
pueden ocurrir en un periodo. Vida Individual, automviles y otros bienes
y coberturas de responsabilidad proporcionar ejemplos inmediatos. De la
frmula (2.2.5) se postula entonces que:
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Modelos para Variables Aleatorias de
Reclamacin Individual
Donde X es la variable aleatoria de reclamo para el perodo, B del monto
total de las reclamaciones, e I que es el indicador para el caso de que al
menos una reclamacin se ha producido.
Echemos un vistazo a varias situaciones y determinar las distribuciones
de I y B para un modelo.
La v. a. I reporta la ocurrencia (I=1) o no ocurrencia (I=0) de
reclamaciones en este perodo y no el nmero de reclamaciones en el
perodo. Pr (I = 1) se denota por q.
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Modelos para Variables Aleatorias de
Reclamacin Individual
Ejemplo 1:
Consideremos un seguro de vida anual que paga un beneficio adicional
en caso de muerte accidental. Para ser especifico, si la muerte es
accidental, el monto del beneficio es de 50,000. Por otras causas de
muerte, el monto del beneficio es de 25,000.
Vamos a suponer que por la edad y salud y ocupacin de un individuo
especfico, la probabilidad de una muerte accidental durante el ao es de
0.0005 mientras que la probabilidad de una muerte no accidental es
0.0020.
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Modelos para Variables Aleatorias de
Reclamacin Individual
Ejemplo 2:
Consideremos ahora un seguro de automvil que proporciona una
cobertura de colisin (indemniza al propietario por los daos a la colisin
de su coche) por encima del deducible de 250 hasta una reclamacin
mxima de 2,000. Para fines ilustrativos, se supone que para un individuo
en particular la probabilidad de la reclamacin 1 en un perodo es de 0.15
y la probabilidad de ms de 1 es 0 reclamaciones:
La suposicin poco realista de no ms de 1 por cada perodo de
reclamacin se hace para simplificar la distribucin de B.
Como B es la reclamacin incurrida por la compaa de seguros, ms que
el monto del dao del auto, podemos deducir dos caractersticas de la I y
B.
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Modelos para Variables Aleatorias de
Reclamacin Individual
En primer lugar, el evento I=0 incluye las colisiones en las que el dao es
menor que el deducible de 250.
La otra inferencia es que la distribucin de B tendr una probabilidad del
tamao mximo de reclamacin de 2,000. Supongamos que probabilidad
en este punto es 0.1
Por otra parte, supongamos que el monto de reclamaciones esta entre 0 y
2000 puede ser modelada por una distribucin continua con un fdp
proporcional a 1 x/ 2,000 para 0
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Modelos para Variables Aleatorias de
Reclamacin Individual
Figure 2.1
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Introduccin
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Los momentos de X pueden ser calculados de la siguiente forma
Calcular E(X) y VaR(X)
Modelos para Variables Aleatorias de
Reclamacin Individual
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Modelos para Variables Aleatorias de
Reclamacin Individual
Existen varias formulas generales asociadas con los momentos de las
variables aleatorias mediante la esperanza condicional. Para la Media y la
varianza
Donde E [W|V] y Var [W|V] se calculan mediante el uso de la distribucin
condicional de W para un valor dado de V. Estos componentes son
entonces funciones de la variable aleatoria V, y se puede calcular sus
momentos.
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Modelos para Variables Aleatorias de
Reclamacin Individual
En muchos modelos actuariales se utilizan las distribuciones
condicionales. Esto hace a frmulas anteriores directamente aplicable. En
nuestro modelo, X = IB, podemos sustituir X por W y V por I para obtener.
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Entonces resolviendo la v.a. B
Con las siguiente medias condicionales
Las frmulas (2.2.16) y (2.2.17) definen E(X | I) como una funcin de I,
que puede expresarse como:
Modelos para Variables Aleatorias de
Reclamacin Individual
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Por lo tanto
Como X=0 para I=0, tenemos que:
Para I=1 tenemos que X=B y
Modelos para Variables Aleatorias de
Reclamacin Individual
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Las Formulas (2.2.21) and (2.2.22) pueden combinarse como:
Entonces,
Sustituyendo (2.2.19), (2.2.20) y (2.2.24) en (2.2.12) y (2.2.13) tenemos:
Modelos para Variables Aleatorias de
Reclamacin Individual
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Hay otros modelos posibles de B en situaciones de seguros. Como
ejemplo, consideremos un modelo para el nmero de muertes por
accidentes durante un ao de operacin para una aerolnea.
Podemos empezar con una variable aleatoria para el nmero de muertes,
X, en un vuelo y luego agregar un conjunto de variables aleatorias sobre
el conjunto de los vuelos durante el ao. Para un solo vuelo, el evento I =
1 ser el caso de un accidente durante el vuelo.
El nmero de muertes en el accidente, B, ser modelado como el
producto de dos variables aleatorias, L y Q, donde L es el factor de carga,
el nmero de personas a bordo en el momento del accidente, y Q es la
fraccin de las muertes de personas a bordo.
Modelos para Variables Aleatorias de
Reclamacin Individual
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Suma de Variables Aleatorias Independientes
En el modelo de riesgo individual, las reclamaciones de una
aseguradora se modela con la suma de las reclamaciones de muchos
asegurados.
Suponemos que las reclamaciones de los individuos son independientes.
Considrense la suma de dos variables aleatorias, S = X + Y, en un
espacio muestral (ver figura 2.3)
La lnea X+Y = s y la regin debajo de la lnea, representan el evento
[S=X+Y
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Suma de Variables Aleatorias Independientes
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Suma de Variables Aleatorias Independientes
Por tanto, la funcin de distribucin acumulada de S es:
Para dos variables aleatorias discretas, positivas, se puede usar la ley
de la probabilidad total para expresar (2.3.1) de la siguiente forma:
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Suma de Variables Aleatorias Independientes
Y si X y Y son independientes podemos expresar la anterior suma como:
La funcin de probabilidad (f.p.) correspondiente puede calcularse
mediante:
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Suma de Variables Aleatorias Independientes
Y para variables aleatorias continuas las formulas correspondientes sera:
Cuando alguna v.a tienen una distribucin de tipo mixto (muy comunes en
modelos de riesgo individual) las formulas son anlogas, para v.a.'s que
tengan tambin valores negativos las sumas e integrales son para los
valores de - a :
En anlisis matemtico la operacin en (2.3.3) y (2.3.6) se denominan
CONVOLUCION del par de funciones () y se denotan como .
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Suma de Variables Aleatorias Independientes
En anlisis matemtico la operacin en (2.3.3) y (2.3.6) se denominan
CONVOLUCION del par de funciones () y se denotan como .
Para determinar la distribucin de la suma de ms de 2 variables
aleatorias podemos usar el proceso iterativo de convolucin. Para S = X1
+ X2 ++ Xn. Donde las Xi's son variables aleatorias independientes y Fi es la funcin de distribucin de Xi y F
(i) es la funcin de densidad de S =
X1 + X2 ++ Xk, lo que nos da:
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Suma de Variables Aleatorias Independientes
Ejemplo 3
Sea X una distribucin Uniforme en (0,2) y sea Y independiente de X con
una distribucin Uniforme en (0,3). Determine la f.d. de S = X +Y
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Ejemplo 4:
Las variables aleatorias X1, X2 y X3 son independientes con funcin de
distribucin definida de las siguiente forma:
f1(x) Pr(X=0)=0.4, Pr(X=1)=0.3, Pr(X=2)=0.2, Pr(X=3)=0.1,
f2(x) Pr(X=0)=0.5, Pr(X=1)=0.2, Pr(X=2)=0.1, Pr(X=3)=0.1 y Pr(X=4)=0.1
f3(x) Pr(X=0)=0.6, Pr(X=1)=0.0, Pr(X=2)=0.1, Pr(X=3)=0.1, Pr(X=4)=0.1 y
Pr(X=5)=0.1
Obtenga la funcin de probabilidad y funcin de distribucin de S = X1 +
X2 + X3
Suma de Variables Aleatorias Independientes
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Aproximaciones para la distribucin de la suma
El teorema del lmite central sugiere un metodo para obtener valores
numricos para la distribucin de la suma de variables aleatorias
independientes.
El planteamiento es para una sucesin de variables aleatorias
independientes e idnticamente distribuidas X1, X2,,Xn donde:
= = 2
Para cada n, la distribucin de:
Donde = (1 + 2 ++ ) / n y tiene media cero y varianza 1.
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Aproximaciones para la distribucin de la suma
En forma equivalente la distribucin de las suma de las n variables
aleatorias se aproxima mediante una distribucin normal con media y varianza .
La efectividad de estas aproximaciones depende no slo del nmero de
variables sino tambin de las desviaciones de los sumandos de la
normalidad.
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Aproximaciones para la distribucin de la suma
Ejemplo 5
Una compaa de seguros expide plizas de vida a un ao con beneficios
por la cantidad de 1 y 2 unidades a individuos con probabilidades de morir
de 0.02 o 0.10.
El siguiente cuadro muestra el nmero de individuos nk en cada uno de
las cuatro clases creadas con un beneficio por la cantidad de bk y una
probabilidad de reclamacin qk:
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Aproximaciones para la distribucin de la suma
Ejemplo 6
La compaa desea recaudar, de esta poblacin de 1,800 individuos, una
cantidad igual al percentil 95 de la distribucin de reclamaciones totales.
Ms aun, desea que la participacin de cada individuo sea proporcional a
la reclamacin esperada por ese individuo. La participacin del individuo j
con media sera + .
El requisito del percentil 95 sugiere que > 0. Esta cantidad extra, es el recargo de seguridad relativo.
Calcule